Matematika | Analízis » Vincze Szilvia - Differenciálszámítás

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS MINTAPÉLDÁK 6.1 Példa Határozzuk meg az f(x) = 2x2 függvénynek az x0 = 1 helyhez tartozó differenciahányados függvényét, majd vizsgáljuk meg, hogy f(x) differenciálható-e az x0-ban (adjuk meg az x0 = 1 helyhez tartozó differenciálhányadost). Megoldás: (1) d( x )  f1 ( x )  f1 ( x 0 ) 2x 2  2 2( x 2  1) 2( x  1)( x  1)     2x  2, x  R{1} x  x0 x 1 x 1 x 1 (2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim 2x  2  4. x 1 1. Példa (1) f(x) = c (c  R) az értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható, mert x  x0 esetén cc d( x )   0, x  x0 Így f ( x 0 )  lim d( x )  lim 0  0 . tehát f ( x )  0 , azaz az állandó függvény x x 0 x x 0 származtatottja az azonosan 0 függvény. (2) f(x) = x függvény differenciahányadosa x  x0  1, x  x0 f ( x 0 ) 

lim d( x )  lim 1  1 . tehát f ( x )  1 , azaz az f(x)=x függvény d( x )  Így x x 0 x x 0 származtatottja az azonosan 1 függvény. (3) f(x) = x2 mindenütt differenciálható, hiszen x 2  x02 x  x0 x  x0  d ( x)    x  x0 , x  x0 x  x0 Így f ( x 0 )  lim d( x )  lim x  x 0  2x 0 . tehát f ( x )  2 x x x 0 x x 0 2. Példa Tekintsük az f(x) = |x| függvényt és vizsgáljuk az x 0 = 0 helyen folytonosság és a differenciálhatóság tekintetében. Mutassuk meg, hogy folytonos a függvény a 0-ban, de ott mégsem differenciálható. Megoldás: A függvény grafikonját a 9. ábra mutatja be A függvény az értelmezési tartománya (R) minden helyén folytonos, így a 0-ban is, mivel a helyettesítési érték megegyezik a határértékkel (a bal és jobb oldali határértékeket számítva mindkét esetben 0-t, kapunk). A 0 helyen a differenciálhányados: d(0)  f ( x )  f (0) | x |

 1 ha x  0,   x0 x  1 ha x  0. 1 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Ez azt jelenti, hogy a differenciahányadosnak a 0 pontban nincs határértéke, hiszen a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, mivel |x| x  lim  1 és x 0  0 x x 0  0 x lim d( x )  lim x 0  0 |x|  (x)  lim  1 . x 0  0 x x 0  0 x lim d( x )  lim x 0  0 Tehát a függvénynek a 0 helyen nem létezik a deriváltja, nem differenciálható. 3. Példa Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! (1) f(x) = 6x2 − 7x + 5x + ex − 8cos(x), x ∈ R, (2) f(x) = (3x2 + 6x)sin(x) x ∈ R, (3) h ( x )  2x 2 e x , cos( x ) (4) h(x) = (x2 −2x+5)4, (5) h(x) = ln(7x2), (6) h(x)  e (7 x 2 5 x ) 2 . Megoldás: (1) Az összeg, alapján: különbség és a skalárszoros függvény deriválási szabálya f′(x) = (6x2)′ − (7x)′ + (5x)′ + (ex)′ − (8cos(x))′ = 12x − 7 + 5x · ln5 + ex −

8(−sin(x)) = 12x − 7 + 5x · ln5 + ex + 8sin(x). (2) A szorzat függvény deriválási szabálya alapján: f′(x) = (3x2 + 6x)′sin(x) + (3x2 + 6x)(sin(x))′ = (6x + 6)sin(x) + (3x2 + 6x)cos(x). (3) A hányados és szorzat függvény deriválási szabálya alapján: (2x 2 e x ) cos( x )  (2x 2 e x )  cos( x ) h (x)   cos 2 ( x ) (2x ) e 2 x   (2x 2 )(e x )  cos( x )  2x 2 e x (cos( x ))  cos 2 ( x ) (4xe x  2x 2 e x )  cos( x )  2x 2 e x ( sin( x )) . cos 2 ( x ) (4) Mivel a h függvény a g(x) = x2 −2x+5 és az f(u) = u4 függvények segítségével h(x) = f(g(x)) alakban állítható elő, így az összetett függvény deriválási szabályát kell alkalmazni: h′(x) = f′(g(x)) · g′(x) = 4(x2 − 2x + 5)3 · (2x − 2). (5) Mivel a h függvény a g(x) = 7x2 és az f(u) = lnu függvények segítségével h(x) = f(g(x)) alakban állítható elő, így az összetett függvény deriválási szabálya alapján: 1 2 h ( x )

 f (g( x )  g ( x )  2  14x  . x 7x 2 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS (6) Mivel a h(x) függvény a z(x) = 7x2-5x, a g(u) = u2, és az f(t) = et függvények segítségével h(x) = f(g(z(x))) alakban állítható elő, így az összetett függvény deriválási szabálya alapján: h (x)  f (g(z(x)))  g (z(x))  z (x)  e (7 x 2 5 x ) 2  2(7x 2  5x)1  (14x  5). Bevezető feladatok Határozza meg az alábbi függvények első derivált függvényét: x2 sin x  3  log 5 8  2 log 3 x b) g ( x)  3 c) h( x)  e x  ln x 4x  6 x x 2 cos( x 3  2 x) d ) i ( x)  e) j ( x)  sin 10 x 4  3x 2 2 x  6x  3 a) f ( x)  6 x 2  4 3 Megoldások | 5 1 5   2  1  1  4 3 4   a) f ( x)   6 x  3x  x  log 5 8  2 log 3 x   12 x  3     x  0  2  x  ln 3  4   5 3  2  12 x  x 4  4 x  ln 3 cos x  4 x 3  6  sin x 

12 x 2 b) g ( x )  2 4x3  6  d ) i ( x)        x c) h ( x)  e x  ln x  e x     1 x  2 sin x 3  2 x  3x 2  2  x 2  6 x  3  2 cos x 3  2 x  2 x  6 e) j ( x)  cos 10 x 4  3x 2  2    6x  3 1 10 x 4  3x 2 2   40x 1 2 2 3  6x  Deriválás gyakorlása 1. Deriválja az alábbi függvényeket! y 3x 2  2 x 3 x 5 x  63 x x2 1 y 6 x 2x y 2 x 1 3 y x y 2 x 2  3x y 4x  6 y 2 y 4 x3 x 2 y3 x 2 y  x4  x y y 1 3 x 21 3x 6 x y  2 4 x  2 5x  3 x 5x  x 2  x4 3 x y 3 6 x y   3x  7 2 3x x 5 x 5x y  e  cos x y 1   y  3 x x    x 3 y  5x 6  4 x 4  3x 3 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS y  6 tg x  cos x 5 y  3x x  6  2 x y  5  ln x  3  ln x y  5x 3 

4 x 2  1 2x  1 sin x y  2  sin x  3  cos x y  ln y  e 2 x ln 2 x y  5  tg x  2  ctg x 3 y  ln 3x  4 y  log 5 6 x  4 y  5x 2  3  4 x  6 5x y  ln 4x  3 y  x  sin x y  5  sin x  cos x y  tg sin5x  2 4 y 3  3x 2  2 x y 2 y  sin6 x 2  3x  2 y  sin x x 1 2 y  cossin 6 x 2 y  5e x  3e 2 x 2 y  e x  e cos x  e 2 x 3 1 y  a 7x  a x  a 2x 2 x 2  3  cos2 6 x Derivált fogalma, jelentése 2. Milyen szögben metszik az X tengelyt a következő görbék? x a) y  1 x2 b) y  x 4  1 c) y   x  1 3 3. Legyen f ( x)  4  5x  2 x 3  x 5 Igaz-e, hogy f  a   f   a  ? 4. Határozza meg az y  x 2 függvény x 0  3 abcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét! 5. Adja meg az y  4 x 2  5 függvény x 0  3 abcisszájú

pontjához húzott érintő egyenletét! 6. Differenciálja a derivált fogalmának felhasználásával az a) f ( x)  2 x 3  x  5 b) f ( x)  2 x 3  5x 2  7 x  4 7. Írja fel az f ( x)  x 3  2 x 2  4 x  3 görbe  2,5 pontjához tartozó érintő egyenletét! 8. Adja meg az f ( x)  x görbe érintőjének az egyenletét az x 0  4 abcisszájú pontban! 9. Határozza meg az f ( x)  2 x 2  2 x parabola és az metszéspontjaiban a parabolához tartozó érintők egyenletét! f ( x)  1  x egyenes 10. Az f ( x)  2 x 2  7 x  3 függvény képe parabola Írja fel az x  1 abcisszájú pontjában az érintő egyenletét! 4 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Összetett függvények deriválása 11. Végezze el a következő függvények deriválását! a) b) c) d) e) f) g) 3  sin x  3  x 2 6 x f ( x)  ln    x 5 x  cos x  cos x 2  x 1 1   x 2 f ( x)  sin( 5 x 2  3x 

2)  7 sin x    e  x 2  5 x  32 4 3    ln(7 x  5) 3 2 f ( x)   x  ( x 2  2) 3  4 cos(5 x 3) cos(5 x  3) 5x 3    x3 cos x 2  5x  3  e  x 3 6 f ( x)  ctg   7 x  8   1  5 x 2  3x   2x   ln x 2  7 x  3x  5 3   tg(5 x 3)  x 3  2x  5  3    f ( x)    x  e   ln 2  x x4 5 sin(2 x 3 x 5)      f ( x)  f ( x)  i) j) k)  cos(7 x 2  9 x  3) 5   cos 7 x  3   5 5  sin 7 x  8  9x2  4x  6 2 e5x  4 x  3  cos 7 x 2 ln h)   9x  4x  3 2 3  9x2  4x  3  6 x 4x 5x 2  10 x ln(5 x 2  12 x) f ( x)  ln( x  2 x )  3  ( x  6 x  34  cos x)  sin( 3x  8)  2 x  sin( 3x 2  6 x) 3 f ( x)  f ( x)  2 1 7 6x 2  4 x  3

 x2 3 2 2  ln x  4 x    tg 7 x  6  e  sin 4 x  3 5tg x    3x  4 4  5 cos 4 x 2  7 x  6    x2 2x  8  2 x7  3 2 e  x  6x  7 x ctg( 3x 2  5 x  5) 1  f ( x)    3 x  4 x 5   ln(5 x  5)   ctg( 9 x 5  7 x 2  3) 2 ln x x  5 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Magasabb-rendű deriváltak 12. Határozza meg a következő függvények magasabb-rendű deriváltjait! a) y  x 5  2 x 3  1 y 5  ? b) y  x 3  8 x  2 y  4  ? c) y  4 x 3 y   ? 4 d) y  x  ln x y   ? e) y  2 5x y   ? x3 x 1 g) y  x 2  e 2 x y 5  ? h) y  e x  sin x y  4  ? f) y y   ? x2  1 . Számítsa ki a függvény ötödik deriváltját! x 1 14. Határozza meg az y  x 2  e x függvény tizedik deriváltját! Számítsa ki a

századik és az n -edik deriváltját is! 13. Legyen y  15. Igazolja, hogy az differenciálegyenletet! 16. Bizonyítsa be, hogy az y  x  sin 2 x függvény x 2  2x  2 y 2 kielégíti az y   4 y  4 x függvény kielégíti az 1   y   2 yy  differenciálegyenletet! 17. Legyen f ( x )   2 x  1 x 2  x  1 Határozza meg az f   1 -et és az f  0 -t! 6 2