Matematika | Analízis » Szabó Szilárd - Differenciál-hányados, elemi függvények deriváltja

9. előadás: Differenciál-hányados, elemi függvények deriváltja Szabó Szilárd Differencia-hányados Legyenek a < b ∈ R és rögzı́tsünk egy x0 ∈]a, b[ számot. Legyen f :]a, b[ R valós függvény. Ekkor az f függvény x0 -beli differencia-hányadosa vagy különbségi hányadosa: g :]a, b[{x0 } R f (x) − f (x0 ) . x 7 x − x0 Differenciál-hányados Azt mondjuk, hogy f -nek az x0 -beli differenciál-hányadosa létezik és egyenlő A-val, ha teljesül lim xx0 f (x) − f (x0 ) = A. x − x0 Ha f -nek létezik az x0 -beli differenciál-hányadosa, akkor azt is mondjuk hogy f differenciálható x0 -ban. Azt mondjuk, hogy f differenciálható ]a, b[-on, ha minden x0 ∈]a, b[ pontjában differenciálható. Jelölés df |x = A; dx 0 amennyiben a változó valamely t idő-paraméter, akkor szokásos még: f˙(t0 ). f 0 (x0 ) = A, Derivált függvény Legyen f :]a, b[ R differenciálható valós

függvény. Ekkor f derivált (származtatott) függvénye: f 0 :]a, b[ R x 7 f 0 (x). Féloldali differenciál-hányados Azt mondjuk, hogy f -nek az x0 -beli bal-, illetve jobboldali differenciál-hányadosa létezik és egyenlő A-val, ha teljesül f (x) − f (x0 ) = A, xx0 −0 x − x0 lim illetve f (x) − f (x0 ) = A, xx0 +0 x − x0 lim Ezekben az esetekben f -et balról, illetve jobbról differenciálhatónak nevezzük. Állı́tás Az f függvény akkor és csak akkor differenciálható x0 -ban, ha az x0 -beli féloldali differenciál-hányadosai léteznek és megegyeznek. A differenciál-hányados mértani jelentése Az f (x) − f (x0 ) x − x0 különbségi hányados az f gráfján elhelyezkedő (x0 , f (x0 )) és (x, f (x)) pontokat összekötő szelő meredeksége. Mivel a differenciál-hányados ezen értékek határértéke, amint x x0 , és a megfelelő szelők ekkor az x0 pontbeli

értintőhöz tartanak, azért f 0 (x0 ) egyenlő az x0 pontbeli értintő meredekségével (amennyiben utóbbi létezik). Az abszolút-érték függvény Példa Legyen f (x) = |x| és x0 = 0. Ekkor minden x < 0 esetén |x| f (x) − f (x0 ) = = −1 x − x0 x és minden x > 0 esetén f (x) − f (x0 ) |x| = = 1. x − x0 x A féloldali differenciál-hányadosok léteznek 0-ban, mégpedig a baloldali egyenlő (−1)-gyel, a jobboldali pedig 1-gyel. Az abszolút-érték függvény tehát nem differenciálható x0 = 0-ban. A differenciálhatóságból következik a folytonosság Állı́tás Ha f differenciálható x0 -ban, akkor f folytonos is x0 -ban. Bizonyı́tás Amennyiben lim f (x) 6= f (x0 ), xx0 akkor az x0 -beli differenciál-hányados 6= 0 0 alakú, és emiatt nem lehet konvergens. Állandó és összegfüggvény differenciál-hányadosa I Ha minden x-re f (x) = c akkor minden x0 -ra f 0 (x0 )

= 0: lim xx0 I c −c = lim 0 = 0. x − x0 xx0 Ha f és g differenciálhatók x0 -ban, akkor f + g is, és (f + g )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ): lim xx0 (f + g )(x) − (f + g )(x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim + xx0 x − x0 x − x0 g (x) − g (x0 ) + lim . xx0 x − x0 Szorzatfüggvény differenciál-hányadosa Állı́tás Ha f és g differenciálhatók x0 -ban, akkor fg is, és (fg )0 (x0 ) = f 0 (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ). Többek között, minden c ∈ R esetén (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ). Bizonyı́tás (fg )(x) − (fg )(x0 ) f (x)g (x) − f (x0 )g (x0 ) = x − x0 x − x0 [f (x)g (x) − f (x0 )g (x)] + [f (x0 )g (x) − f (x0 )g (x0 )] = x − x0 f (x) − f (x0 ) g (x) − g (x0 ) = g (x) + f (x0 ) x − x0 x − x0 0 0 g (x0 )f (x0 ) + f (x0 )g (x0 ), ahol az utolsó sorban használtuk g folytonosságát. Hányados-függvény differenciál-hányadosa Állı́tás Ha f és g differenciálhatók x0 -ban, továbbá g

(x0 ) 6= 0, akkor és  0 f f 0 (x0 )g (x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ) (x0 ) = . g g 2 (x0 ) Többek között,  0 1 g 0 (x0 ) (x0 ) = − 2 . g g (x0 ) Bizonyı́tás Mivel f 1 =f · , g g és a szorzatfüggvény differenciál-hányadosát már kifejeztük a tényezők differenciál-hányadosából, azért elegendő belátni az f (x) = 1 esetet. f g is, Hányados-függvény differenciál-hányadosa, bizonyı́tás Bizonyı́tás (vége) Vegyük észre, hogy 1 g (x) − 1 g (x0 ) x − x0 1 g (x0 ) − g (x) · g (x)g (x0 ) (x − x0 ) 0 g (x0 ) − 2 , g (x0 ) = mert g folytonos x0 -ban és g (x0 ) 6= 0. Összetett függvények differenciál-hányadosa (lánc-szabály) Állı́tás Ha g differenciálható x0 -ban és f differenciálható g (x0 )-ban, akkor f ◦ g is differenciálható x0 -ban, és (f ◦ g )0 (x0 ) = f 0 (g (x0 ))g 0 (x0 ). Bizonyı́tás Vezessük be az y = g (x), y0 = g (x0 ) jelöléseket.

Ezekkel: (f ◦ g )(x) − (f ◦ g )(x0 ) f (y ) − f (y0 ) = x − x0 x − x0 f (y ) − f (y0 ) y − y0 = · y − y0 x − x0 f (y ) − f (y0 ) g (x) − g (x0 ) = · y − y0 x − x0 f 0 (y0 )g 0 (x0 ) = f 0 (g (x0 ))g 0 (x0 ). Inverz-függvény differenciál-hányadosa Állı́tás Ha g differenciálható x0 -ban és g 0 (x0 ) 6= 0, továbbá g -nek létezik g −1 inverze x0 körül, akkor g −1 is differenciálható g (x0 )-ban és
0 g −1 (g (x0 )) = 1 g 0 (x 0) . Bizonyı́tás Alkalmazzuk a lánc-szabályt f = g −1 választással: ekkor (g −1 ◦ g )(x) = x és
0 x 0 (x0 ) = g −1 (g (x0 ))g 0 (x0 ). A bal oldal könnyen meghatározható: lim xx0 x − x0 = lim 1 = 1. x − x0 xx0 Paraméterrel kifejezett függvény differenciál-hányadosa Tegyük fel, hogy mind x mind y valamely t paraméter differenciálható függvénye, ahol t ∈]α, β[. Legyen t0 ∈]α, β[ tetszőleges, és x0 = x(t0 ), y0 = y (t0

). Tegyük fel hogy y0 valamely környezetében y egyértelműen kifejezhető t-nek az x(t) függvényében. Példa Ha x(t) = cos(t), y (t) = sin(t) és t0 = π/4, akkor mivel√minden t-re x(t)2 + y (t)2 = 1, valamint y (t0 ) > 0, azért y = + 1 − x 2 . Állı́tás A fenti feltételek mellett tegyük fel, hogy ẋ(t0 ) 6= 0. Ekkor y 0 (x0 ) = ẏ (t0 ) . ẋ(t0 ) Paraméterrel kifejezett függvény differenciál-hányadosa, bizonyı́tás Bizonyı́tás Vegyük észre, hogy y − y0 y − y0 = x − x0 t − t0 y − y0 = t − t0 ẏ (t0 ) ẋ(t0 ) t − t0 x − x0   x − x0 −1 · t − t0 · amint t t0 (és emiatt egyúttal x(t) folytonossága miatt x x0 ). Polinomfüggvény differenciál-hányadosa Állı́tás Az f (x) = x n függvény minden n ∈ N esetén differenciálható R-en, és f 0 (x0 ) = nx0n−1 . Bizonyı́tás Vegyük észre, hogy lim xx0 x n − x0n = lim (x n−1 + x n−2 x0 + · · · +

x0n−1 ) xx0 x − x0 = (x0n−1 + · · · + x0n−1 ) = nx0n−1 . Hatvány-függvény differenciál-hányadosa Állı́tás Az f (x) = x α függvény minden α ∈ R esetén differenciálható R+ -on, és f 0 (x0 ) = αx0α−1 . Bizonyı́tás Először megmutatjuk α = inverz-függvénye, azért f 0 (x0 ) = 1 n esetében: mivel ez a g (x) = x n 1 1 n1 −1 1 = = x . √ g 0 (f (x0 )) n 0 n n x0 n−1 Ezután megmutatjuk α = m n esetében, használva a lánc-szabályt:  1  √ m m −1 m−1 1 n −1 0 n f (x0 ) = m x0 x0 = x0n . n n Irracionális α esetén egy folytonossági érvelés adja az összefüggést. Exponenciális függvények deriváltja Állı́tás Az e x függvény deriváltja saját maga: (e x )0 = e x . Bizonyı́tás Láttuk, hogy e x = limk∞ sk (x), ahol sk (x) = k X xn n=0 n! . Vegyük észre, hogy sk0 (x) = sk−1 (x). Mivel a sor egyenletesen konvergens, azért (egy, a

későbbiekben sorra kerülő tétel miatt) (e x )0 = lim (sk )0 (x) = lim sk−1 (x) = e x . k∞ k∞ Exponenciális függvények deriváltja, folyt. Legyen most a ∈ R+ {1}. Állı́tás Ekkor (ax )0 = ln(a)ax . Bizonyı́tás Alkalmazzuk a lánc-szabályt: 0  (ax )0 = e x ln(a) = ln(a)e x ln(a) = ln(a)ax . Logaritmus-függvények deriváltja Állı́tás Minden pozitı́v x esetén (ln(x))0 = 1 . x Bizonyı́tás Alkalmazzuk az inverz-függvényre vonatkozó differenciálási szabályt: 1 (e y )0 |y =ln(x) 1 = y e |y =ln(x) 1 1 = ln(x) = . x e (ln(x))0 = Logaritmus-függvények deriváltja, folyt. Legyen most a ∈ R+ {1}. Állı́tás Minden pozitı́v x esetén (loga (x))0 = 1 . ln(a)x Bizonyı́tás Alkalmazzuk a lánc-szabályt: 1 (ln(x))0 ln(a) 1 = . ln(a)x (loga (x))0 = Szögfüggvények deriváltja, I. Először vizsgáljuk a következő határértéket: Állı́tás sin(x) = 1. x0 x lim

Bizonyı́tás Elemi geometriából láthatjuk, hogy minden x ∈] − π/2, π/2[ esetén sin(x) < x < tan(x) = sin(x) . cos(x) Innen átrendezéssel: cos(x) < sin(x) < 1. x A rendőr-elvből nyerjük az állı́tást. Szögfüggvények deriváltja, II. Állı́tás sin0 (x) = cos(x). Bizonyı́tás Felhasználva egy ismert addı́ciós képletet és a sin(x)/x határértéket:

x+x0 0 cos 2 sin x−x sin(x) − sin(x0 ) 2 2 = lim lim xx0 xx0 x − x0 x − x0
  0 sin x−x x + x0 2 = lim lim cos x−x0 xx0 xx0 2 2 = 1 · cos(x0 ), mert x + x0 x0 2 (x x0 ). Szögfüggvények deriváltja, III. Állı́tás cos0 (x) = − sin(x). Bizonyı́tás Ismét egy addı́ciós képletből:

0 0 sin x+x −2 sin x−x cos(x) − cos(x0 ) 2 2 lim = lim xx0 xx0 x − x0 x − x0
  x−x0 sin 2 x + x0 = − lim lim sin x−x0 xx0 xx0 2 2 = −1 · sin(x0 ). Szögfüggvények deriváltja, IV. Állı́tás tan0

(x) = 1 = 1 + tan(x)2 . cos(x)2 Bizonyı́tás Felhasználva a hányados-függvény deriváltjára vonatkozó szabályt valamint a sin0 = cos és cos0 = − sin képleteket:   sin(x) 0 0 tan (x) = cos(x) sin0 (x) cos(x) − sin(x) cos0 (x) = cos(x)2 2 cos(x) + sin(x)2 = cos(x)2 1 sin(x)2 = = 1 + . cos(x)2 cos(x)2 Szögfüggvények deriváltja, V. Állı́tás cot0 (x) = − 1 = −(1 + cot(x)2 ). sin(x)2 Bizonyı́tás Hasonlóan tan0 -hoz:  cos(x) 0 cot (x) = sin(x) cos0 (x) sin(x) − cos(x) sin0 (x) = sin(x)2 sin(x)2 + cos(x)2 =− sin(x)2 1 cos(x)2 =− = −1 − . sin(x)2 sin(x)2 0  Inverz szögfüggvények deriváltja, I. Állı́tás Minden |x| < 1 esetén (arcsin(x))0 = √ 1 . 1 − x2 Bizonyı́tás Az inverz-függvényre vonatkozó differenciálási szabályból: (arcsin(x))0 = 1 0 sin (y )|y =arcsin(x) 1 = cos(y )|y =arcsin(x) 1 1 =q =√ . 1 − x2 1 − sin2 (y )|y =arcsin(x) Inverz szögfüggvények

deriváltja, II. Állı́tás Minden |x| < 1 esetén (arccos(x))0 = − √ 1 . 1 − x2 Bizonyı́tás Ismét az inverz-függvény differenciálási szabályát használjuk: 1 cos0 (y )|y =arccos(x) 1 =− sin(y )|y =arccos(x) 1 1 = −p = −√ . 2 1 − x2 1 − cos (y )|y =arccos(x) (arccos(x))0 = Inverz szögfüggvények deriváltja, III. Állı́tás Minden x ∈ R esetén (arctan(x))0 = 1 . 1 + x2 Bizonyı́tás Hasonlóan arcsin0 -hoz és arccos0 -hoz: (arctan(x))0 = 1 tan0 (y )|y =arctan(x) 1 1 + tan(y )2 |y =arctan(x) 1 = . 1 + x2 = Inverz szögfüggvények deriváltja, IV. Állı́tás Minden x ∈ R esetén (arccot(x))0 = − 1 . 1 + x2 Bizonyı́tás Hasonlóan arctan0 -hoz: (arccot(x))0 = 1 cot0 (y )|y =arccot(x) 1 1 + cot(y )2 |y =arccot(x) 1 =− . 1 + x2 =− Hiperbolikus szögfüggvények deriváltja, I. Állı́tás Minden x ∈ R esetén sinh0 (x) = cosh(x) cosh0 (x) = sinh(x). Bizonyı́tás 0

sinh (x) =  e x − e −x 2 0 1 = (e x + e −x ) = cosh(x), 2 e x + e −x 2 0 1 = (e x − e −x ) = sinh(x). 2 és 0 cosh (x) =  Hiperbolikus szögfüggvények deriváltja, II. Állı́tás Minden x ∈ R esetén 1 = 1 − tanh(x)2 cosh(x)2 1 coth0 (x) = − = 1 − coth(x)2 . sinh(x)2 tanh0 (x) = Bizonyı́tás Csak az első összefüggést látjuk be, a második hasonlóan megy. Az eddigiek alapján: sinh0 (x) cosh(x) − sinh(x) cosh0 (x) cosh(x)2 cosh(x)2 − sinh(x)2 1 = = . cosh(x)2 cosh(x)2 tanh0 (x) = Az inverz hiperbolikus szögfüggvények deriváltja, I. Állı́tás arsinh0 (x) = √ arcosh0 (x) = √ 1 x2 +1 1 x2 − 1 , ahol utóbbi képlet minden x > 1 esetén áll. Bizonyı́tás Ismét csak az első összefüggést látjuk be. Az inverz-függvény differenciálási szabálya alapján: 1 1 = cosh(y )|y =arsinh(x) sinh0 (y )|y =arsinh(x) 1 1 =q =√ . 1 + x2 1 + sinh2 (y )|y =arsinh(x)

(arsinh(x))0 = Az inverz hiperbolikus szögfüggvények deriváltja, II. Állı́tás 1 1 − x2 1 arcoth0 (x) = 1 − x2 artanh0 (x) = ahol előbbi képlet minden |x| < 1, mı́g utóbbi minden |x| > 1 esetén áll. Bizonyı́tás Az első képletet bizonyı́tjuk az inverz-függvény differenciálási szabálya alapján: 1 1 = 1 − tanh(y )2 |y =artanh(x) tanh (y )|y =artanh(x) 1 = . 1 − x2 (artanh(x))0 = 0