Matematika | Valószínűségszámítás » Kornyik Miklós - Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Kornyik Miklós koma@cs.eltehu 2017/2018. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekből, felmérésekből származó (zajjal terhelt) adatok elemzése; ismeretlen mennyiségek becslése a mérések alapján; hipotézisek ellenőrzése vagy cáfolata; múltbeli adatok alapján a jövőbeli folyamatok előrejelzése. Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekből, felmérésekből származó (zajjal terhelt) adatok elemzése; ismeretlen mennyiségek becslése a mérések alapján; hipotézisek ellenőrzése vagy cáfolata; múltbeli adatok alapján a jövőbeli folyamatok előrejelzése. Alkalmazási területek: informatika: adatok feldolgozása, előrejelzés, sorbanállás elmélete élő és élettelen természettudományok, társadalomtudományok: kísérleti eredmények értelmezése; gazdasági folyamatok elemzése, biztosítás–

és pénzügyi matematika. Ajánlott irodalom Csiszár Villő: Valószínűségszámítás, jegyzet. http://csvillo.webeltehu/esti/valszampdf Csiszár Villő: Statisztika, jegyzet. http://csvillo.webeltehu/esti/statpdf Fazekas István: Valószínűségszámítás és statisztika. Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Michael Baron: Probability and statistics for computer scientists, CRC Press, 2014. Példa: két szabályos kockadobás Két szabályos dobókockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7? Példa: két szabályos kockadobás Két szabályos dobókockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7? Mindkét dobás hatféle lehet: 6 · 6 = 36, vagyis 36 darab dobássorozat van. A dobássorozatok egyformán valószínűek: mindegyiknek

1/36 a valószínűsége. A kedvező dobássorozatok száma: 6. 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 Tehát P(az összeg 7) = 6/36 = 1/6. 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 Példa: két hatos Négy szabályos dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két hatos lesz? Példa: két hatos Négy szabályos dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két hatos lesz? Mind a négy dobás hatféle lehet: 6 · 6 · 6 · 6 = 64 = 1296 dobássorozat van. A dobássorozatok egyformán valószínűek.
A kedvező dobássorozatok száma: 42 · 5 · 5 = 150. 6611 6612 6621 . 6655 25 6161 6162 6261 . 6565 25 . . . . . . 1166 1266 2166 . 5566 25 Példa: két hatos Négy szabályos dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két hatos lesz? Mind a négy dobás hatféle lehet: 6 · 6 · 6 · 6 = 64 = 1296 dobássorozat van. A dobássorozatok egyformán valószínűek.
A

kedvező dobássorozatok száma: 42 · 5 · 5 = 150. 6611 6612 6621 . 6655 25 6161 6162 6261 . 6565 25 . . . . . . 1166 1266 2166 . 5566 25
A hatosokat 42 = 6-féleképpen helyezhetjük el, a maradék két dobás pedig 5 · 5 = 25-féle lehet. A válasz 150/1296 = 0, 116 Példa: véletlen bitsorozat Tekintsünk egy 8 bit hosszú véletlen bitsorozatot (feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Példa: véletlen bitsorozat Tekintsünk egy 8 bit hosszú véletlen bitsorozatot (feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Mind a 8 bit kétféle lehet: 28 = 256 lehetséges bitsorozat van. A sorozatok egyformán valószínűek. Példa: véletlen

bitsorozat Tekintsünk egy 8 bit hosszú véletlen bitsorozatot (feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Mind a 8 bit kétféle lehet: 28 = 256 lehetséges bitsorozat van. A sorozatok egyformán valószínűek.
A kedvező bitsorozatok száma: 83 = 8·7·6 = 56, hiszen ennyiféleképpen 3! választhatjuk ki a három darab egyes helyét a 8 lehetőségből. Tehát:   8 1 56 P(pontosan 3 darab egyes lesz benne) = = = 0, 219. 3 28 256 Példa: véletlen bitsorozat Tekintsünk egy n bit hosszú véletlen bitsorozatot (feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan k darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Példa: véletlen bitsorozat Tekintsünk egy n bit hosszú véletlen bitsorozatot

(feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan k darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Mind az n bit kétféle lehet: 2n lehetséges bitsorozat van. A sorozatok egyformán valószínűek. Példa: véletlen bitsorozat Tekintsünk egy n bit hosszú véletlen bitsorozatot (feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan k darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Mind az n bit kétféle lehet: 2n lehetséges bitsorozat van. A sorozatok egyformán valószínűek.
n! A kedvező bitsorozatok száma: kn = k!(n−k)! , hiszen ennyiféleképpen választhatjuk ki a k darab egyes helyét az n lehetőségből. Tehát: P(pontosan k darab egyes lesz benne) =   n 1 . k 2n Példa: véletlen bitsorozat Tekintsünk egy n bit hosszú véletlen

bitsorozatot (feltételezve, hogy az összes 0 − 1 sorozat egyformán valószínű). Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan k darab 1-es lesz benne? 11100000, 11010000, 11001000, . , 10100100, 10100010, , 00000111 Mind az n bit kétféle lehet: 2n lehetséges bitsorozat van. A sorozatok egyformán valószínűek.
n! A kedvező bitsorozatok száma: kn = k!(n−k)! , hiszen ennyiféleképpen választhatjuk ki a k darab egyes helyét az n lehetőségből. Tehát: P(pontosan k darab egyes lesz benne) =   n 1 . k 2n Példa: 16 hosszú véletlen bitsorozat P(pontosan k darab egyes lesz benne) =   16 1 . k 216 ábra: Az egyesek számának eloszlása Visszatevéses mintavétel Egy dobozban N golyó van, köztük M fekete és a többi fehér. Visszatevéssel kihúzunk n darabot (felírjuk a kihúzott golyó színét, majd visszatesszük a dobozva és újra húzunk). Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott n golyó közül k darab fekete volt? Jelölje p = M N .

Ekkor   n k P(pontosan k darab fekete) = p (1 − p)n−k . k Ennek neve Binomiális eloszlás. Megjegyzés: Ezt az esetet úgy is felfoghatjuk, hogy egy kísérletet egymás után, egymástól függetlenül, n-szer végrehajtunk. Visszatevés nélküli mintavétel Egy osztályban 8 balkezes és 25 jobbkezes gyerek van. Tornaórán véletlenszerűen kiválasztanak egy hatfős csapatot (minden hatfős csoportot azonos valószínűséggel választanak). Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott csapatban pontosan két balkezes gyerek van? Visszatevés nélküli mintavétel Egy osztályban 8 balkezes és 25 jobbkezes gyerek van. Tornaórán véletlenszerűen kiválasztanak egy hatfős csapatot (minden hatfős csoportot azonos valószínűséggel választanak). Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott csapatban pontosan két balkezes gyerek van?
25
8 2 · 4
= 0, 319. P(pontosan két balkezes) = 33 6 Visszatevés nélküli mintavétel Egy osztályban 8

balkezes és 25 jobbkezes gyerek van. Tornaórán véletlenszerűen kiválasztanak egy hatfős csapatot (minden hatfős csoportot azonos valószínűséggel választanak). Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott csapatban pontosan két balkezes gyerek van?
25
8 2 · 4
= 0, 319. P(pontosan két balkezes) = 33 6 Egy dobozban N golyó van, közülük M fekete, a többi fehér. Visszatevés nélkül kihúznak n darabot (minden húzásnál minden, még a dobozban lévő golyót azonos valószínűséggel választva). Tegyük fel, hogy n ≤ M és n ≤ N − M Annak valószínűsége, hogy pontosan k darab fekete golyót húznak ki:
N−M
M k · n−k P(pontosan k fekete) = .
N n A kihúzott fekete golyók száma hipergeometrikus eloszlású. Példa: visszatevés nélküli mintavétel 8 balkezes, 25 jobbkezes, hatfős csapatot választanak.

8 25 k · 6−k
. P(pontosan k balkezes) = 33 6 ábra: A balkezes csapattagok számának eloszlása Példa:

geometriai valószínűség Egy R = 30 cm sugarú céltáblára lövünk. Feltételezzük, hogy a lövedék biztosan eltalálja a céltáblát, és a lövés helye véletlenszerűen, egyenletesen helyezkedik el. A céltábla középső r = 5 cm sugarú körlemeze 10 pontot ér. Mennyi a valószínűsége, hogy sikerül 10 pontot elérni? Példa: geometriai valószínűség Egy R = 30 cm sugarú céltáblára lövünk. Feltételezzük, hogy a lövedék biztosan eltalálja a céltáblát, és a lövés helye véletlenszerűen, egyenletesen helyezkedik el. A céltábla középső r = 5 cm sugarú körlemeze 10 pontot ér. Mennyi a valószínűsége, hogy sikerül 10 pontot elérni? P(A) = A területe r 2π 1 = 2 = . Ω területe R π 36 A Kolmogorov-féle valószínűségi mező Definíció Az (Ω, A, P) hármas Kolmogorov-féle valószínűségi mező, ha Ω nem üres halmaz; A ⊆ P(Ω), azaz minden A ∈ A-ra A ⊆ Ω úgy, hogy (i) Ω ∈ A; S∞ (ii) ha A1 , A2 , .

∈ A, akkor n=1 An ∈ A (azaz megszámlálható sok A-beli elem uniója is A-beli); (iii) ha A ∈ A, akkor Ω A ∈ A (azaz A-beli halmazok komplementere is A-beli. P : A [0, 1] függvény, melyre (i) P(Ω) = 1; (ii) ha A1 , A2 , . ∈ A és minden 1 ≤ i < j-re Ai ∩ Aj = ∅, akkor ! ∞ ∞ [ X P An = P(An ). n=1 n=1 A Kolmogorov-féle valószínűségi mező Ω: eseménytér vagy elemi események halmaza. Ω elemei (ω ∈ Ω): elemi események. A: események halmaza (vagy események σ-algebrája). A elemei (A ∈ A): események. P: valószínűség (probability) illetve valószínűségi mérték (probability measure). Ω esemény neve: biztos esemény. ∅ (üres halmaz) esemény neve: lehetetlen esemény. A ∈ A és B ∈ A kizáró események, ha A ∩ B = ∅, azaz nincs olyan ω ∈ A, melyre ω ∈ B is teljesül. (Ω, A, P) olyan mértéktér, ahol P(Ω) = 1 teljesül, P pedig egy mérték. Példa: Kolmogorov-féle valószínűségi mező p

Ω = {(x, y ) ∈ R2p: x 2 + y 2 ≤ 30}, A az Ω megfelelő részhalmazai, 2 2 A = {(x, y ) ∈ R : x + y 2 ≤ 5}, és P(A) = 1/36. Ω = {8 hosszú bitsorozatok}, A = Ω összes részhalmaza, P(ω) = 1/256 minden ω ∈ Ω elemi eseményre/bitsorozatra. A esemény: pontosan 3 egyest kapunk, ekkor P(A) = 56/256 = 0, 219. Ω = {hatfős csapatok}, A = Ω összes részhalmaza, P(ω) = 1 (336) minden ω ∈ Ω elemi eseményre. A esemény: pontosan két balkezes kerül a csapatba; P(A) = (82)·(254) = 0, 319. (336) Példa: Kolmogorov-féle valószínűségi mező p Ω = {(x, y ) ∈ R2p: x 2 + y 2 ≤ 30}, A az Ω megfelelő részhalmazai, 2 2 A = {(x, y ) ∈ R : x + y 2 ≤ 5}, és P(A) = 1/36. Ω = {8 hosszú bitsorozatok}, A = Ω összes részhalmaza, P(ω) = 1/256 minden ω ∈ Ω elemi eseményre/bitsorozatra. A esemény: pontosan 3 egyest kapunk, ekkor P(A) = 56/256 = 0, 219. Ω = {hatfős csapatok}, A = Ω összes részhalmaza, P(ω) = 1 (336) minden

ω ∈ Ω elemi eseményre. A esemény: pontosan két balkezes kerül a csapatba; P(A) = (82)·(254) = 0, 319. (336) Az utóbbi két eset klasszikus valószínűségi mező: minden elemi esemény egyformán valószínű. A valószínűségek kombinatorikai kiszámítási módja Tegyük fel, hogy az (Ω, A, P) Kolmogorov-féle valószínűségi mezőre az alábbiak teljesülnek (klasszikus valószínűségi mező): Ω véges sok elemből áll: Ω = {ω1 , . , ωn } A az Ω összes részhalmazából áll. P(ω) = 1 n minden ω ∈ Ω-ra, azaz az elemi események valószínűsége egyenlő. A valószínűségek kombinatorikai kiszámítási módja Tegyük fel, hogy az (Ω, A, P) Kolmogorov-féle valószínűségi mezőre az alábbiak teljesülnek (klasszikus valószínűségi mező): Ω véges sok elemből áll: Ω = {ω1 , . , ωn } A az Ω összes részhalmazából áll. P(ω) = 1 n minden ω ∈ Ω-ra, azaz az elemi események valószínűsége egyenlő.

Ilyenkor tetszőleges A ∈ A eseményre P(A) = A elemeinek száma |A| = . Ω elemeinek száma |Ω| Példa: két kockadobás, véletlen bitsorozat, visszatevés nélküli mintavétel. A valószínűség elemi tulajdonságai Legyen (Ω, A, P) Kolmogorov-féle valószínűségi mező. Definíció Legyenek A, B ∈ A események. Unió: A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A vagy ω ∈ B}. Metszet: A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A és ω ∈ B}. Komplementer/ellentett esemény: A = {ω ∈ Ω : ω ∈ / A}. Különbség: B A = {ω ∈ Ω : ω ∈ B és ω ∈ / A}. A maga után vonja B-t, ha minden ω ∈ A-ra ω ∈ B is teljesül. Jelölés: A ⊆ B. A valószínűség elemi tulajdonságai Állítás (Komplementer valószínűsége) Ha A ∈ A esemény, akkor P(A) = 1 − P(A). Állítás (Különbség valószínűsége) Tetszőleges A, B ∈ A eseményekre P(B) = P(A ∩ B) + P(B A). A valószínűség elemi tulajdonságai Állítás (Komplementer valószínűsége)

Ha A ∈ A esemény, akkor P(A) = 1 − P(A). Állítás (Különbség valószínűsége) Tetszőleges A, B ∈ A eseményekre P(B) = P(A ∩ B) + P(B A). Állítás (Tartalmazás) Ha az A, B ∈ A eseményekre A ⊆ B, akkor P(A) ≤ P(B). A valószínűség elemi tulajdonságai Állítás (Komplementer valószínűsége) Ha A ∈ A esemény, akkor P(A) = 1 − P(A). Állítás (Különbség valószínűsége) Tetszőleges A, B ∈ A eseményekre P(B) = P(A ∩ B) + P(B A). Állítás (Tartalmazás) Ha az A, B ∈ A eseményekre A ⊆ B, akkor P(A) ≤ P(B). Állítás (Szitaformula) Tetszőleges A, B ∈ A eseményekre teljesül, hogy P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Szitaformulák Állítás Tetszőleges A, B, C ∈ A eseményekre teljesül, hogy P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)− − P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C ). Szitaformulák Állítás Tetszőleges A, B, C ∈ A eseményekre teljesül, hogy P(A ∪ B ∪ C ) =

P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)− − P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C ). Legyenek A1 , . , Ak tetszőleges események Ekkor az események uniójának valószínűségét a következőképpen számíthatjuk ki: k k [  X P Ai = P(Ai ) − i=1 X X + P(Ai1 ∩ Ai2 )+ 1≤i1 <i2 ≤k i=1 P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 )− 1≤i1 <i2 <i3 ≤k − . + (−1)k+1 P(A1 ∩ ∩ Ak ) = = k X (−1)t+1 t=1 X 1≤i1 <i2 <.<it ≤k P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . ∩ Aik ) Valószínűségi változó Definíció (Valószínűségi változó) Egy X : Ω R függvény valószínűségi változó, ha tetszőleges a < b valós számokra {ω ∈ Ω : a < X (ω) ≤ b} ∈ A. Valószínűségi változó Definíció (Valószínűségi változó) Egy X : Ω R függvény valószínűségi változó, ha tetszőleges a < b valós számokra {ω ∈ Ω : a < X (ω) ≤ b} ∈ A. Példa. Valakinek három gyereke születik Legyen X a fiúk száma Ekkor

Ω = {FFF , FFL, FLF , FLL, LFF , LFL, LLF , LLL}; X (LLL) = 0; X (LLF ) = X (LFL) = X (FLL) = 1; X (FFL) = X (FLF ) = X (LFF ) = 2; X (FFF ) = 3. Ekkor P(X = 0) = 1/8, P(X = 1) = 3/8, P(X = 2) = 3/8, P(X = 3) = 1/8. Példa: a dobott számok összege Két szabályos dobókockával dobunk. Ekkor Ω: 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 Legyen Y : Ω R a dobott számok összege: Y (11) = 2, Y (12) = Y (21) = 3, . , Y (61) = Y (52) = . = Y (16) = 7, , Y (66) = 12 Példa: a dobott számok összege Két szabályos dobókockával dobunk. Ekkor Ω: 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 Legyen Y : Ω R a dobott számok összege: Y (11) = 2, Y (12) = Y (21) = 3, . , Y (61) = Y (52) = . = Y (16) = 7, , Y (66) = 12 Ekkor P(Y = 2) = 1/36, P(Y = 3) = 2/36, . , P(Y = 7) = 1/6, , P(Y = 12) = 1/36 Példa: a

dobott számok összege Két szabályos dobókockával dobunk. A dobott számok összegének eloszlása: ábra: Két kockadobás összegének eloszlása Diszkrét valószínűségi változó eloszlása Definíció (Diszkrét valószínűségi változó) Az X : Ω R valószínűségi változó diszkrét, ha véges sok vagy megszámlálható sok értéket vesz fel. Definíció (Eloszlás) Legyenek az X valószínűségi változó lehetséges értékei x1 , x2 , . ∈ R, és legyen pi = P(X = xi ) (i = 1, 2, . ) Ekkor az (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . sorozat az X valószínűségi változó eloszlása Diszkrét valószínűségi változó eloszlása Példa: három gyerek. Az előző példában: háromszor gyerek születik, X a fiúk száma, mind a 23 = 8 lehetőség egyformán valószínű. Ekkor X lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. P(X = 0) = 1/8; P(X = 1) = 3/8; P(X = 2) = 3/8; P(X = 3) = 1/8. Mindezek alapján X eloszlása az alábbi sorozat: (0, 1/8), (1, 3/8),

(2, 3/8), (3, 1/8). Példa: szabályos kockadobás. Egyszer dobunk szabályos dobókockával, jelölje Y a dobott számot. Ekkor Y eloszlása: (1, 1/6), (2, 1/6), (3, 1/6), (4, 1/6), (5, 1/6), (6, 1/6). Példa: a gyerekek számának eloszlása. ábra: A fiúk számának lehetséges értékei a három gyerek közül és a hozzájuk tartozó valószínűségek Diszkrét valószínűségi változó várható értéke Definíció (Várható érték, diszkrét eset) Legyen X : Ω R olyan diszkrét valószínűségi változó, melynek eloszlása (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . Ekkor X várható értéke: E(X ) = ∞ X i=1 xi pi , ha E(X ) = ∞ X i=1 |xi |pi < ∞. Diszkrét valószínűségi változó várható értéke Definíció (Várható érték, diszkrét eset) Legyen X : Ω R olyan diszkrét valószínűségi változó, melynek eloszlása (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . Ekkor X várható értéke: E(X ) = ∞ X i=1 xi pi , ha E(X ) = ∞ X |xi |pi <

∞. i=1 Példa: három gyerek. Legyen X a fiúk száma a három gyerek közül Ekkor E(X ) = 0 · 1 3 3 1 12 3 +1· +2· +3· = = = 1, 5. 8 8 8 8 8 2 Példa: szabályos kockadobás. Legyen Y egy szabályos dobókockával dobott szám. Ekkor E(Y ) = 1 · 1 1 1 1 1 1 21 7 +2· +3· +4· +5· +6· = = = 3, 5. 6 6 6 6 6 6 6 2 Diszkrét valószínűségi változó szórása Definíció (Szórásnégyzet) Legyen X : Ω R diszkrét valószínűségi változó, melyre E(X 2 ) létezik. Ekkor X szórásnégyzete: 
2  D 2 (X ) = E (X − EX . Definíció (Szórás) Legyen X : Ω R diszkrét valószínűségi változó, melyre E(X 2 ) létezik. Ekkor X szórásnégyzete: r 
2  . D(X ) = E (X − EX Állítás Legyen X olyan diszkrét valószínűségi változó, melyre E(X 2 ) létezik. Ekkor  2 D 2 (X ) = E(X 2 ) − E(X ) . Diszkrét valószínűségi változó szórása Definíció (Szórásnégyzet) Legyen X : Ω R diszkrét valószínűségi változó, melyre

E(X 2 ) létezik. Ekkor X szórásnégyzete: 
2  D 2 (X ) = E (X − EX . Definíció (Szórás) Legyen X : Ω R diszkrét valószínűségi változó, melyre E(X 2 ) létezik. Ekkor X szórásnégyzete: r 
2  . D(X ) = E (X − EX Állítás (A szórás kiszámítása egész értékek esetén) Legyen X olyan diszkrét valószínűségi változó, melyre E(X 2 ) létezik, és melynek lehetséges értékei nemnegatív egészek. Ekkor D 2 (X ) = ∞ X k=0 k 2 P(X = k) − E(X )2 = ∞ X k=0 k 2 P(X = k) − X ∞ k=0 2 kP(X = k) . Diszkrét valószínűségi változó szórása Legyen továbbra is X a fiúk száma három gyerek közül: P(X = 0) = 1/8; P(X = 1) = 3/8; P(X = 2) = 3/8; P(X = 3) = 1/8. Diszkrét esetben így számolhatunk: E(X 2 ) = 3 X k 2 P(X = k) = 0 · k=0 1 3 3 1 24 +1· +4· +9· = = 3. 8 8 8 8 8 Ebből és a korábbi számolásból  2 3 D 2 (X ) = E(X 2 ) − E(X ) = 3 − 1, 52 = 3 − 2, 25 = 0, 75 = . 4 Végül pedig a fiúk

számának szórása: r D(X ) = A kockadobás szórása: D(Y ) = 1, 7078. 3 = 0, 866. 4 Feltételes valószínűség Definíció (Feltételes valószínűség) Legyenek A, B ∈ A események, és tegyük fel, hogy P(B) > 0. Az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűsége: P(A|B) = P(A ∩ B) . P(B) Feltételes valószínűség Definíció (Feltételes valószínűség) Legyenek A, B ∈ A események, és tegyük fel, hogy P(B) > 0. Az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűsége: P(A|B) = P(A ∩ B) . P(B) Példa: Gábornak három gyereke van. Feltéve, hogy pontosan egy fia van, mennyi a valószínűsége, hogy a középső gyermeke fiú? Feltételes valószínűség Definíció (Feltételes valószínűség) Legyenek A, B ∈ A események, és tegyük fel, hogy P(B) > 0. Az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűsége: P(A|B) = P(A ∩ B) . P(B) Példa: Gábornak három gyereke van. Feltéve, hogy pontosan egy fia van,

mennyi a valószínűsége, hogy a középső gyermeke fiú? A: a középső gyerek fiú; B: pontosan egy fiú van. P(A) = P(a középső fiú) = 1 . 2 A P(A|B) feltételes valószínűséget így számolhatjuk ki: P(a középső fiú|egy fiú van) = P(A ∩ B) P(LFL) = = P(B) P(FLL, LFL, LLF ) 1 8 3 8 = 1/3. Teljes eseményrendszer Definíció (Teljes eseményrendszer) A B1 , B2 , . ∈ A (véges vagy megszámlálható sok) esemény együttesét teljes eseményrendszernek nevezzük, ha S∞ (i) i=1 Bi = Ω; (ii) Bi ∩ Bj = ∅ teljesül minden 1 ≤ i < j-re; (iii) P(Bi ) > 0 minden i = 1, 2, . -re Teljes eseményrendszer Definíció (Teljes eseményrendszer) A B1 , B2 , . ∈ A (véges vagy megszámlálható sok) esemény együttesét teljes eseményrendszernek nevezzük, ha S∞ (i) i=1 Bi = Ω; (ii) Bi ∩ Bj = ∅ teljesül minden 1 ≤ i < j-re; (iii) P(Bi ) > 0 minden i = 1, 2, . -re Tétel (Teljes valószínűség tétele) Legyen A ∈ A

tetszőleges esemény, B1 , B2 , . pedig teljes eseményrendszer Ekkor P(A) = ∞ X i=1 P(A|Bi )P(Bi ). Bayes-tétel Tétel (Teljes valószínűség tétele) Legyen A ∈ A tetszőleges esemény, B1 , B2 , . pedig teljes eseményrendszer Ekkor P(A) = ∞ X P(A|Bi )P(Bi ). i=1 Tétel (Bayes-tétel) Legyen A ∈ A olyan esemény, melyre P(A) > 0, B1 , B2 , . pedig teljes eseményrendszer Ekkor minden k = 1, 2, -ra teljesül, hogy P(A|Bk )P(Bk ) P(Bk |A) = P∞ . i=1 P(A|Bi )P(Bi ) Függetlenség Definíció Az A, B ∈ A események függetlenek, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ha A, B ∈ A események, és P(B) > 0: A és B pontosan akkor függetlenek, ha P(A|B) = P(A). Függetlenség Definíció Az A, B ∈ A események függetlenek, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ha A, B ∈ A események, és P(B) > 0: A és B pontosan akkor függetlenek, ha P(A|B) = P(A). Példa. Két szabályos dobókockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel A: a piros kockával

hármat dobunk. B: a kék kockával ötöt dobunk. C : a dobott számok összege 6. Függetlenség Definíció Az A, B ∈ A események függetlenek, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ha A, B ∈ A események, és P(B) > 0: A és B pontosan akkor függetlenek, ha P(A|B) = P(A). Példa. Két szabályos dobókockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel A: a piros kockával hármat dobunk. B: a kék kockával ötöt dobunk. C : a dobott számok összege 6. A és B függetlenek. A és C nem függetlenek, illetve B és C sem függetlenek. Függetlenség Definíció (Függetlenség) Az A1 , A2 , . , An ∈ A véges sok esemény (teljesen) függetlenek, ha minden 1 ≤ k ≤ n-re és 1 ≤ i1 < i2 < . < ik ≤ n-re P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik ) Az A1 , A2 , . ∈ A megszámlálhatóan végtelen sok esemény (teljesen) független, ha minden k ∈ N-re és 1 ≤ i1 < i2 < . < ik -ra P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2

) P(Aik ) Definíció (Páronkénti függetlenség) Az A1 , A2 , . ∈ A események páronként függetlenek, ha minden 1 ≤ i < j esetén Ai és Aj függetlenek, azaz P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ). Páronkénti függetlenség Ha az A1 , A2 , . , An események függetlenek, akkor páronként függetlenek De: a páronkénti függetlenségből nem következik a függetlenség. Példa. Szabályos dobókockával kétszer dobunk Legyen A: az első dobás páros. B: a második dobás páros C : a két dobás összege páros P(A) = P(B) = P(C ) = 1/2. P(A ∩ B) = P(A ∩ C ) = P(B ∩ C ) = 1/4. Ugyanakkor, ha az első és a második dobás páros, akkor a két dobás összege is biztosan páros, így P(A ∩ B ∩ C ) = 1/4 6= 1/2 · 1/2 · 1/2 = P(A) · P(B) · P(C ). Tehát: A, B, C páronként függetlenek, de nem függetlenek. Függetlenség Definíció (Véges eset) Azt mondjuk, hogy az X1 , . , Xn : Ω R valószínűségi változók függetlenek, ha P(X1 ≤ t1

, X2 ≤ t2 , . , Xn ≤ tn ) = P(X1 ≤ t1 ) · P(X2 ≤ t2 ) P(Xn ≤ tn ) teljesül tetszőleges t1 , t2 , . , tn valós számokra Definíció (Végtelen eset) Az X1 , X2 , X3 . valószínűségi változók függetlenek, ha közülük bármely véges sokat kiválasztva független valószínűségi változókat kapunk Állítás (Egész értékű eset) Az X1 , . , Xn : Ω Z valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha P(X1 = k1 , X2 = k2 , . , Xn = kn ) = P(X1 = k1 ) · P(X2 = k2 ) P(Xn = kn ) teljesül tetszőleges k1 , k2 , . , kn egész számokra Függetlenség Független valószínűségi változókra példa: Két kockadobásnál az elsőként (X1 ) és másodikként dobott szám (X2 ). A holnapi csapadékmennyiség Budapesten és Torontóban. Két találomra választott ember testmagassága. Nem független valószínűségi változókra példa: Két kockadobásnál az első szám és a két dobott szám összege. A holnapi

csapadékmennyiség Budapesten és Budaörsön. Két testvér testmagassága. Binomiális eloszlás n független kísérletet végzünk; mindegyik p valószínűséggel sikerül; X a sikeres kísérletek száma. Binomiális eloszlás n független kísérletet végzünk; mindegyik p valószínűséggel sikerül; X a sikeres kísérletek száma. Definíció Az X valószínűségi változó binomiális eloszlású n renddel és p paraméterrel, ha lehetséges értékei: 0, 1, 2, . , n, és minden 0 ≤ k ≤ n egészre P(X = k) =   n k p (1 − p)n−k . k (n ≥ 1 egész, 0 < p < 1.) Jelölés: Bin(n, p) Példa: binomiális eloszlás ábra: Binomiális eloszlás, n = 20, p = 0, 75. Példa: binomiális eloszlás Egy 8 hosszú véletlen bitsorozatban az egyesek száma binomiális eloszlású n = 8 renddel és p = 1/2 paraméterrel (függetlenséget feltételezve). P(pontosan k egyes van) = P(X = k) =     8 8 1 0, 5k 0, 58−k = . k k 28 Például

P(pontosan 3 egyes van) = P(X = 3) =   8 56 0, 53 0, 55 = = 0, 219. 3 256 Visszatevéses mintavételnél a húzott fekete golyók száma (N golyó, ebből M fekete, n-szer húzunk visszatevéssel) binomiális eloszlású n renddel és p = M/N paraméterrel:   k n M (N − M)n−k P(pontosan k fekete) = . k Nn A binomiális eloszlás tulajdonságai Állítás Legyen X binomiális eloszlású valószínűségi változó n renddel és p paraméterrel. (a) Az X ∼ Bin(n, p) binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke: E(X ) = np. (b) Az X ∼ Bin(n, p) binomiális eloszlású valószínűségi változó szórása: p D(X ) = np(1 − p). (c) Az a k érték, melyre pk = P(X = k) maximális (vagyis X módusza): [(n+1)p], ahol [·] az egész részt jelöli. Ha (n + 1)p egész, akkor az eggyel kisebb k is maximális értéket ad. Példa: X ∼ Bin(8, 1/2) az egyesek száma. Ekkor p √ E(X ) = 8 · 1/2 = 4; D(X ) = 8 · 1/2 · 1/2 = 2 = 1, 414.

Poisson-eloszlás Definíció Legyen λ > 0. Azt mondjuk, hogy az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei k = 0, 1, 2, . , a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig: P(X = k) = λk −λ e k! (k = 0, 1, . ) Állítás (A Poisson-eloszlás tulajdonságai) Legyen X Poisson-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel. (a) Ekkor X várható értéke, szórása és szórásnégyzete: √ D 2 (X ) = λ. E(X ) = λ; D(X ) = λ; (b) A P(X = k) valószínűség k = [λ] esetén maximális. Ha λ egész, az eggyel kisebb k is a legnagyobb értéket adja. Példa: Poisson-eloszlás ábra: Poisson-eloszlás, λ = 3, 61, k = 12-ig. A Poisson-eloszlás és a binomiális eloszlás kapcsolata A Poisson-eloszlást általában akkor használják, ha sok független, kis valószínűséggel bekövetkező eseménynél a bekövetkező események számát kell tekinteni. Például: a sajtóhibák száma egy könyvben; egy

biztosító 15000 ügyfele által összesen okozott balesetek száma; nagyobb tűzesetek száma egy adott időszakban. Legyen λ > 0 pozitív szám, és pn = λ/n minden n = 1, 2, . egészre Legyen X Poisson-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, Yn eloszlása pedig Bin(n, pn ). Ekkor tetszőleges k = 0, 1, 2, esetén lim P(Yn = k) = P(X = k), n∞ azaz   λk −λ n k pn (1 − pn )n−k = e n∞ k k! lim (k = 0, 1, 2, . ) A Poisson-eloszlás és a binomiális eloszlás kapcsolata Legyen λ > 0 pozitív szám, és pn = λ/n minden n = 1, 2, . egészre Legyen X Poisson-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, Yn eloszlása pedig Bin(n, pn ). Ekkor tetszőleges k = 0, 1, 2, esetén lim P(Yn = k) = P(X = k), n∞ azaz   n k λk −λ e pn (1 − pn )n−k = n∞ k k! (k = 0, 1, 2, . ) lim X Poisson-eloszlású λ = 3, 61 paraméterrel; Y binomiális eloszlás n = 92 renddel és p = 0, 0392 paraméterrel; vegyük

észre, hogy E(X ) = λ = 3, 61 = n · p = E(Y ). k P(X = k) P(Y = k) 0 0,027 0,025 1 0,098 0,094 2 0,176 0,176 3 0,212 0,215 4 0,191 0,195 5 0,138 0,14 6 0,083 0,083 7 0,042 0,043 Geometriai eloszlás független kísérleteket végzünk; mindegyik p valószínűséggel sikerül; Y : hányadik kísérlet az első sikeres. Geometriai eloszlás független kísérleteket végzünk; mindegyik p valószínűséggel sikerül; Y : hányadik kísérlet az első sikeres. Definíció Az Y valószínűségi változó geometriai eloszlású p paraméterrel, ha lehetséges értékei: 1, 2, 3 . és minden 1 ≤ k egészre P(Y = k) = (1 − p)k−1 p. (0 < p < 1.) Jelölés: Geo(p) Másik elnevezés: Pascal-eloszlás A geometriai eloszlás tulajdonságai Példa: egy szabályos dobókockával dobunk sokszor egymás után. Jelölje Y , hogy hányadik dobásnál kapjuk az első hatost. Ekkor Y geometriai eloszlású p = 1/6 paraméterrel. Y lehetséges értékei k = 1, 2,

, és  k−1 1 5 . P(Y = k) = 6 6 A geometriai eloszlás tulajdonságai Példa: egy szabályos dobókockával dobunk sokszor egymás után. Jelölje Y , hogy hányadik dobásnál kapjuk az első hatost. Ekkor Y geometriai eloszlású p = 1/6 paraméterrel. Y lehetséges értékei k = 1, 2, , és  k−1 1 5 . P(Y = k) = 6 6 Állítás Legyen Y geometriai eloszlású valószínűségi változó p paraméterrel. (a) 1 E(Y ) = ; p s D(Y ) = (b) A P(Y = k) valószínűség k = 1-re maximális. 1−p . p2 A geometriai eloszlás tulajdonságai Példa: egy szabályos dobókockával dobunk sokszor egymás után. Jelölje Y , hogy hányadik dobásnál kapjuk az első hatost. Ekkor Y geometriai eloszlású p = 1/6 paraméterrel. Y lehetséges értékei k = 1, 2, , és  k−1 1 5 . P(Y = k) = 6 6 Állítás Legyen Y geometriai eloszlású valószínűségi változó p paraméterrel. (a) 1 E(Y ) = ; p s D(Y ) = 1−p . p2 (b) A P(Y = k) valószínűség k = 1-re

maximális. A példában szereplő Y várható értéke és szórása: s √ 5/6 E(Y ) = 6; D(Y ) = = 30 = 5, 477. 1/36 Példa: geometriai eloszlás ábra: Az első hatos eloszlása: geometriai eloszlás, p = 1/6, k = 10-ig. Negatív binomiális eloszlás Definíció A Z valószínűségi változó negatív binomiális eloszlású p paraméterrel, ha   k −1 P(Z = k) = (1 − p)k−r p r (k = r , r + 1, . ) r −1 Példa: független p valószínűségű kísérletek esetén hányadik kísérlet lesz az r . sikeres (r ≥ 1 egész, 0 < p < 1) Állítás (A negatív binomiális eloszlás tulajdonságai) Legyen Z negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó p paraméterrel. Ekkor s r 1−p E(Z ) = ; D(Z ) = r 2 . p p r = 1-re a geometriai eloszlást kapjuk. Hipergeometrikus eloszlás Definíció Legyenek N, M, n pozitív egészek úgy, hogy 1 ≤ n ≤ M ≤ N. Az X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ha

M N−M P(X = k) =

k n−k
N n (k = 0, 1, . , n) Hipergeometrikus eloszlás Definíció Legyenek N, M, n pozitív egészek úgy, hogy 1 ≤ n ≤ M ≤ N. Az X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ha

M N−M P(X = k) = k n−k
N n (k = 0, 1, . , n) Példa: visszatevés nélküli mintavételnél a húzott fekete golyók száma. Lottósorsolásnál a találatok száma (X ) hipergeometrikus eloszlású N = 90, M = 5, n = 5 paraméterekkel:
85
5 P(X = k) = k 5−k
90 5 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. A hipergeometrikus eloszlás tulajdonságai Állítás Legyen az X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású N, M és n paraméterekkel. (a) Az X valószínűségi változó várható értéke: E(X ) = n · M . N (b) Az X valószínűségi változó szórása: s D(X ) =   M M N −n n· 1− . N N N −1 Példa. Az ötöslottón a találatok számának várható értéke és szórása: E(X ) = 25 = 0, 2778; 90 D(X ) = 0, 5006. Példa: a

hipergeometrikus eloszlás ábra: Hipergeometrikus eloszlás, N = 20, M = 9, n = 7. Eloszlásfüggvény Definíció (Eloszlásfüggvény) Legyen X : Ω R valószínűségi változó. Ekkor X eloszlásfüggvénye az alábbi F : R [0, 1] függvény: F (t) = P(X ≤ t) = P({ω ∈ Ω : X (ω) ≤ t}) minden t ∈ R valós számra. Állítás Ha a, b ∈ R, és F az X eloszlásfüggvénye, akkor P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Eloszlásfüggvény Definíció (Eloszlásfüggvény) Legyen X : Ω R valószínűségi változó. Ekkor X eloszlásfüggvénye az alábbi F : R [0, 1] függvény: F (t) = P(X ≤ t) = P({ω ∈ Ω : X (ω) ≤ t}) minden t ∈ R valós számra. Állítás Ha a, b ∈ R, és F az X eloszlásfüggvénye, akkor P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Állítás (Az eloszlásfüggvény tulajdonságai) Legyen X valószínűségi változó, F pedig az eloszlásfüggvénye. Ekkor (i) F monoton növő: a < b esetén F (a) ≤ F (b). (ii)

limt−∞ F (t) = 0; limt∞ F (t) = 1. (iii) F jobbról folytonos, azaz minden t ∈ R valós számra limst− F (s) = F (t). Példa: eloszlásfüggvény ábra: Szabályos dobókockával dobott szám eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos valószínűségi változó Definíció (Abszolút folytonosság és sűrűségfüggvény) Az X valószínűségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre Z t P(X ≤ t) = f (s)ds −∞ teljesül minden t ∈ R számra. Ilyenkor az f függvényt az X valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Abszolút folytonos valószínűségi változó Definíció (Abszolút folytonosság és sűrűségfüggvény) Az X valószínűségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre Z t P(X ≤ t) = f (s)ds −∞ teljesül minden t ∈ R számra. Ilyenkor az f függvényt az X valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Állítás Legyen az X

abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f . Ekkor tetszőleges a < b számokra teljesül, hogy Z P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = b f (s)ds. a A sűrűségfüggvény tulajdonságai Állítás (Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény kapcsolata) Legyen X abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek F az eloszlásfüggvénye. (a) Ha f az X sűrűségfüggvénye, akkor minden t ∈ R számra Z t F (t) = f (s)ds. −∞ (b) Az f (t) = F 0 (t) függvény (azokra a t-kre, ahol F differenciálható) az X sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény tulajdonságai Állítás (Az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény kapcsolata) Legyen X abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek F az eloszlásfüggvénye. (a) Ha f az X sűrűségfüggvénye, akkor minden t ∈ R számra Z t F (t) = f (s)ds. −∞ (b) Az f (t) = F 0 (t) függvény (azokra a t-kre, ahol F differenciálható) az X

sűrűségfüggvénye. Állítás (A sűrűségfüggvény jellemzése) Egy f : R R függvény pontosan akkor sűrűségfüggvénye valamilyen valószínűségi változónak, ha (i) f (s) ≥ 0 teljesül „majdnem minden” s ∈ R-re (például véges vagy megszámlálható sok kivétel lehetséges). R∞ (ii) −∞ f (s)ds = 1. Várható érték és szórás Definíció (Várható érték, abszolút folytonos eset) Legyen X abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f . Ekkor X várható értéke: Z ∞ E(X ) = s · f (s)ds, −∞ ha ez az integrál létezik és véges. Várható érték és szórás Definíció (Várható érték, abszolút folytonos eset) Legyen X abszolút folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f . Ekkor X várható értéke: Z ∞ E(X ) = s · f (s)ds, −∞ ha ez az integrál létezik és véges. Definíció (Szórásnégyzet és szórás) Tegyük fel, hogy az X valószínűségi

változó abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye f . Ekkor X szórásnégyzete:   D 2 (X ) = E (X − E(X ))2 , szórása pedig D(X ) = ha ezek a várható értékek léteznek. q   E (X − E(X ))2 , Szórásnégyzet és szórás Definíció (Szórásnégyzet és szórás) Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye f . Ekkor X szórásnégyzete:   D 2 (X ) = E (X − E(X ))2 , szórása pedig D(X ) = q   E (X − E(X ))2 , ha ezek a várható értékek léteznek. Állítás (A szórásnégyzet kiszámítása) A szórásnégyzetet a következőképpen számíthatjuk ki abszolút folytonos X valószínűségi változó esetén:  2 D 2 (X ) = E(X 2 ) − E(X ) = Z ∞ −∞ ahol f az X sűrűségfüggvénye. s 2 f (s)ds − Z 2 ∞ s · f (s)ds −∞ , Egyenletes eloszlás Definíció (Egyenletes eloszlás) Legyenek a < b valós számok. Azt mondjuk, hogy az X valószínűségi változó

egyenletes eloszlású az [a, b] intervallumon, ha sűrűségfüggvénye ( 1 , ha a ≤ s ≤ b; f (s) = b−a 0, különben. ábra: U(10, 12) sűrűségfüggvény és 500 elemű minta hisztogramja. Egyenletes eloszlás Állítás (Az egyenletes eloszlás tulajdonságai) Legyen az X valószínűségi változó egyenletes eloszlású az [a, b] intervallumon. Ekkor a következők teljesülnek (i) X eloszlásfüggvénye: F (t) = P(X ≤ t) =   0, ha t ≤ a; ha a < t < b; ha t ≥ b. t−a ,  b−a  1, (ii) Ha a ≤ c ≤ d ≤ b, akkor Z P(c ≤ X ≤ d) = d Z f (s)ds = c c d 1 d −c ds = . b−a b−a (iii) Az X valószínűségi változó várható értéke és szórása: E(X ) = a+b ; 2 b−a D(X ) = √ . 12 Példa: egyenletes eloszlás Példa. Csomagot várunk, a futár 10 és 12 óra között érkezik Feltesszük, hogy érkezésének időpontja egyenletes eloszlású a [10, 12] intervallumon. Ekkor az előző állítás alapján az

alábbiak igazak (a = 10, b = 12). Annak valószínűsége, hogy 10 és 11 óra között érkezik: (11 − 10)/(12 − 10) = 1/2. Annak valószínűsége, hogy 10:15 és 10:30 között érkezik, 1/8 = 0, 125. Érkezési időpontjának várható értéke: (10 + 12)/2 = 11 óra. √ √ Érkezési időpontjának szórása: (12 − 10)/ 12 = 1/ 3 = 0, 5774. Normális eloszlás Definíció (Normális eloszlás) Legyen m valós, σ pedig pozitív szám. Azt mondjuk, hogy az Y valószínűségi változó normális eloszlású m várható értékkel és σ 2 szórásnégyzettel, ha sűrűségfüggvénye   1 (x − m)2 f (x) = √ exp − (x ∈ R). 2σ 2 2πσ Jelölése: Y ∼ N(m, σ 2 ). Normális eloszlás Definíció (Normális eloszlás) Legyen m valós, σ pedig pozitív szám. Azt mondjuk, hogy az Y valószínűségi változó normális eloszlású m várható értékkel és σ 2 szórásnégyzettel, ha sűrűségfüggvénye   1 (x − m)2 f (x) = √ exp − (x ∈ R).

2σ 2 2πσ Jelölése: Y ∼ N(m, σ 2 ). Ha Y ∼ N(m, σ 2 ), akkor E(Y ) = m, D(Y ) = σ. Standard normális eloszlás: m = 0 várható értékű és σ = 1 szórású normális eloszlás. Eloszlásfüggvénye: Φ, sűrűségfüggvénye:   1 x2 ϕ(x) = √ exp − . 2 2π Normális eloszlás ábra: A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye és 500 elemű minta hisztogramja A normális eloszlás tulajdonságai Tegyük fel, hogy Y normális eloszlású m várható értékkel és σ 2 szórásnégyzettel. Ekkor tetszőleges a ≤ b valós számokra Rb 2
1 exp − (s−m) ds. P(a < Y < b) = P(a ≤ Y ≤ b) = √2πσ 2σ 2 a

P(a < Y < b) = Φ b−m − Φ a−m . σ σ  
Rb (s−m)2 1 exp − P(Y < b) = P(Y ≤ b) = √2πσ ds = Φ b−m . 2 2σ σ −∞  
R∞ 2 1 P(a < Y ) = P(a ≤ Y ) = √2πσ exp − (s−m) ds = 1 − Φ a−m . 2σ 2 σ a A normális eloszlás tulajdonságai Tegyük fel, hogy Y normális eloszlású m

várható értékkel és σ 2 szórásnégyzettel. Ekkor tetszőleges a ≤ b valós számokra Rb 2
1 exp − (s−m) ds. P(a < Y < b) = P(a ≤ Y ≤ b) = √2πσ 2σ 2 a

P(a < Y < b) = Φ b−m − Φ a−m . σ σ  
Rb (s−m)2 1 exp − P(Y < b) = P(Y ≤ b) = √2πσ ds = Φ b−m . 2 2σ σ −∞  
R∞ 2 1 P(a < Y ) = P(a ≤ Y ) = √2πσ exp − (s−m) ds = 1 − Φ a−m . 2σ 2 σ a Az aY + b valószínűségi változó normális eloszlású am + b várható értékkel és a2 σ 2 szórásnégyzettel. Ha Y1 , Y2 független normális eloszlású valószínűségi változók, akkor Y1 + Y2 is normális eloszlású, várható értéke m1 + m2 , szórásnégyzete σ12 + σ22 (ahol Yj ∼ N(mj , σj2 ). Példa: normális eloszlás Példa. Tegyük fel, hogy az Y valószínűségi változó normális eloszlású m = 4 várható értékkel és σ = 3 szórással. Ekkor     7−m 7−4 =Φ = Φ(1) = 0, 84. P(Y ≤ 7) = Φ σ 3 Példa:

normális eloszlás Példa. Tegyük fel, hogy az Y valószínűségi változó normális eloszlású m = 4 várható értékkel és σ = 3 szórással. Ekkor     7−m 7−4 =Φ = Φ(1) = 0, 84. P(Y ≤ 7) = Φ σ 3     7−m 1−m −Φ P(1 < Y ≤ 7) = P(Y ≤ 7) − P(Y ≤ 1) = Φ σ σ     7−4 1−4 =Φ −Φ = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 = 0, 68. 3 3 Példa: normális eloszlás Példa. Tegyük fel, hogy az Y valószínűségi változó normális eloszlású m = 4 várható értékkel és σ = 3 szórással. Ekkor     7−m 7−4 =Φ = Φ(1) = 0, 84. P(Y ≤ 7) = Φ σ 3     7−m 1−m −Φ P(1 < Y ≤ 7) = P(Y ≤ 7) − P(Y ≤ 1) = Φ σ σ     7−4 1−4 =Φ −Φ = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1 = 0, 68. 3 3 Példa. Ha Y és Z függetlenek, normális eloszlásúak, Y ∼ N(2, 32 ) és Z ∼ N(1, 42 ), akkor Y + Z ∼ N(3, 52 ); Y − Z ∼ N(1, 52 ); Y + 3Z ∼ N(5, 57). Exponenciális eloszlás Definíció

(Exponenciális eloszlás) Legyen λ > 0 valós szám. Azt mondjuk, hogy az X valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ paraméterrel, ha sűrűségfüggvénye ( λe −λs , ha s > 0; f (s) = 0, különben. ábra: Exp(1) sűrűségfüggvénye és 500 elemű minta hisztogramja. Az exponenciális eloszlás tulajdonságai Állítás Legyen X exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel. Ekkor a következők teljesülnek (i) X eloszlásfüggvénye: ( 1 − e −λs , F (t) = P(X ≤ t) = P(X < t) = f (s)ds = 0 −∞ Z t ha s > 0; különben. (ii) X várható értéke: E(X ) = 1/λ, szórása: D(X ) = 1/λ. (iii) Örökifjú tulajdonság. Legyenek s, t pozitív számok Ekkor P(X ≥ s + t|X ≥ s) = P(X ≥ t). Példa. Radioaktív részecske bomlási ideje, kiszolgálási vagy feldolgozási idő