Matematika | Középiskola » Szilágyi Tivadar - Végtelen sorok, hatványsorok

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR 1. VÉGTELEN SOROK 1.1 Alapfogalmak, a végtelen mértani sor, további példák Az analízisnek a végtelen sorok cím¶ fejezete abból a problémából fejl®dött ki, hogy mit értsünk végtelen sok tagú összegen. Ezzel a problémával az ember általában a végtelen tizedestörtekkel való ismerkedés közben találkozik el®ször. Azt például minden érettségiz®nek tudnia kell, hogy 0, 3̇ = 3 3 3 1 + + ··· + n + ··· = , 10 100 10 3 vagy azt, hogy 9 9 9 + + ··· + n + ··· = 1 10 100 10  anélkül, hogy a középen álló végtelen sok tagú összegek jelentésével pontosan tisztában lehetne. Általában, ha (xn ) tetsz®leges valós számsorozat, akkor kézenfekv® a következ® módon próbálni értelmet adni az x1 + x2 + x3 + · · · + xn + · · · Pn végtelen összegnek: képezzük azt az újabb sorozatot, amelynek n-edik tagja egyenl® a k=1 xk összeggel, és ha ennek van határértéke,

akkor a végtelen sok tagú összeg deníció szerint legyen egyenl® ezzel a határértékkel. Mint látni fogjuk, annak, hogy hogyan deniáljuk a végtelen sor fogalmát, semmi jelent®sége nem lesz, ugyanis külön-külön fogunk értelmet adni mindazoknak a kifejezéseknek, illetve mondatfajtáknak, amelyekben a végtelen sor szókapcsolat el®fordul. Ennek ellenére megadjuk a végtelen sor fogalmának egy lehetséges denícióját: 0, 9̇ = 1.1 Deníció Az (xn ) számsorozatból képezett végtelen soron azt a rendezett párt értjük, amelynek els® komponense P n Pn az (xn ) sorozat, második komponense pedig az az (sn ) sorozat, melyre minden esetén sn := k=1 xk . Az (xn ) sorozatból képezett végtelen sornak  melynek jelölésére a (xn ) szimbólumot használjuk  az n-edik tagja az xn szám, n-edik részletösszege az sn szám, részletösszegsorozata az (sn ) sorozat. 1.2 Deníció Egy végtelen sort attól függ®en nevezünk konvergensnek, illetve

divergensnek, hogy részletösszeg-sorozata konvergens vagy divergens. 1.3 Deníció Ha a P (xn ) végtelen sor részletösszeg-sorozatának van P (véges vagy végtelen) határértéke, akkor ezt a határértéket a végtelen sor összegének nevezzük, és a ∞ n=1 xn szimbólummal jelöljük. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 2 1.4 Megjegyzés Végtelen sort nem csak a Z + halmazon értelmezett sorozatokból képezhetünk: tetsz®leges M nemnegatív egész esetén az M -nél nem kisebb egészek halmazán értelmezett (xn ) sorozatokból is; ekkor persze a fenti szummák mindegyikében k = 1 helyett k = M -t®l indul az összegzés, és a részletösszeg-sorozat értelmezési tartománya ugyanaz, mint az (xn ) sorozaté. 1.5 Tétel A (q n ) sorozatból képezett végtelen sor pontosan akkor konvergens, ha a q valós szám abszolút értéke kisebb, mint 1; minden q ∈ (−1, +1) esetén ∞ X 1 . 1−q qn = n=0 Bizonyítás. A mértani sorozat els® n +

1 tagjának összegére vonatkozó képlet szerint minden nemnegatív egész n esetén az n-edik (n index¶) részletösszeg ( 1 − q n+1 1 − q , ha q 6= 1, sn = n + 1, ha q = 1. Innen a részletösszeg-sorozatra vonatkozóan leolvasható el®ször is az, hogy q = 1 esetén divergens (határértéke +∞), másodszor az, hogy q 6= 1 esetén pontosan akkor konvergens, amikor az (1 − q n+1 ) sorozat, vagyis ha |q| < 1, harmadszor az, hogy amikor konvergens, lévén ebben az esetben lim(q n+1 ) = 0, akkor 1 , lim sn = n∞ 1−q amivel a tétel bizonyítását befejeztük. 1.6 P Megjegyzés. Teljesen hasonlóan bizonyítható (vagy akár következménynek is tekinthet®), hogy a (a · q n ) végtelen sor pontosan akkor konvergens, ha a = 0 vagy |q| < 1; továbbá, hogy tetsz®leges a valós szám és q ∈ (−1, +1) esetén ∞ X n=0 aq n a , = 1−q és ∞ X n=1 aq n = a·q . 1−q A fejezet két bevezet® példájában éppen ez utóbbi állítás két speciális

esetével találkoztunk, q értéke mindkét példában 1/10, a értéke az els®ben 3, a másodikban 9 volt. 1.7 Deníció Ha a ∈ R és q ∈ R, akkor az (a · q n ) sorozatból képezett végtelen sort végtelen mértani sornak nevezzük. A következ® hat példában régi ismer®seinket láthatjuk viszont  új köntösben (lásd a Nevezetes sorozat-határértékek cím¶ jegyzetrészletben található utolsó határértéket, a Lagrange-maradéktagos Taylor-formula következményeit és a végtelen tizedestörtek tárgyalását): 1.8 Példa Az (1/n) sorozatból képezett végtelen sor (az úgynevezett harmonikus sor) divergens és összege +∞. 1.9 Példa Minden valós x esetén az (xn /n!) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, és ∞ X xn n=0 n! = ex . Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 3 1.10 Példa Minden valós x esetén a ((−1)n x2n /(2n)!) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, és ∞ X (−1)n n=0 (2n)! x2n = cos x .

1.11 Példa Minden valós x esetén a ((−1)n x2n+1 /(2n + 1)!) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, és ∞ X (−1)n 2n+1 x = sin x . (2n + 1)! n=0 1.12 Példa Minden [1/2, 2]-beli x esetén a ((−1)n+1 (x − 1)n /n) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, és ∞ X (−1)n+1 n=1 n (x − 1)n = ln x. 1.13 Példa Ha x0 nemnegatív egész és minden pozitív egész k -ra xk 10-nél kisebb nemnegatív egész, akkor az a kijelentés, hogy a nemnegatív y szám (egyik) végtelen tizedestört-el®állítása x0 , x 1 x2 . x n , egyenérték¶ azzal, hogy y= ∞ X xk 10−k . k=0 Az utolsó el®tti példához kapcsolódva jegyezzük meg, hogy nemsokára (2.20) igazoljuk a következ®ket: azoknak az x valós számoknak a halmaza, amelyekre ez a sor konvergens, egyenl® a (0, 2] intervallummal, és a sorösszeg értéke minden ilyen x esetén ln x. példához kapcsolódva pedig azt tisztázzuk, hogy melyek azok a valós r számok, amelyekre PAz els® r a

(1/n ) sor konvergens, majd az r = 2 esetben a sorösszeget is megadjuk. P 1.14 Példa (hiperharmonikus sorok) A (1/nr ) végtelen sor pontosan akkor konvergens, ha az r kitev® 1-nél nagyobb. Bizonyítás. Ha r ≤ 1, akkor a minden pozitív egész k esetén fennálló 1/k ≤ 1/kr egyenl®tlenségb®l és a +∞-hez tartó sorozatokra vonatkozó minoráns kritériumból következik, hogy a vizsgált sor részletösszeg-sorozata +∞-hez tart. Ha r > 1, akkor elég a  nyilván monoton növ®  (Sn ) részletösszeg-sorozat felülr®l korlátos voltát bizonyítani. Azt fogjuk megmutatni, hogy  a p := r − 1 jelöléssel  az 1 + 1/p szám fels® korlátja a részletösszeg-sorozatnak Legyen ugyanis k tetsz®leges 1-nél nagyobb egész, és alkalmazzuk a Lagrange-féle középértéktételt a −p kitev®j¶ hatványfüggvény −1/p-szeresére az [k − 1, k] intervallumon: ¤ 1 1£ −r (k − 1)−p − k −p = − [k −p − (k − 1)−p ] = c−r k > k , p p

Végezzünk k szerint összegzést k = 2-t®l k = n-ig (n > 1 egész): ¸ · n n ¤ X 1 1 1 X£ 1 1 −p −p > 1− p = (k − 1) − k > = Sn − 1, p p n p kr k=2 k=2 innen 1 Sn < 1 + . p Szilágyi T.: 1.15 Tétel Végtelen sorok, hatványsorok P∞ 1 n=1 n2 = π2 , 6 P∞ 1 n=1 (2n−1)2 = 4 π2 . 8 Bizonyítás. Elég a második állítást bizonyítani, ugyanis ha az els® sor összegét A-val, n-edik 1 részletösszegét sn -nel jelöljük, akkor a második sor részletösszeg-sorozatának n-edik tagja ( (2k) 2 = 1 1 1 3 miatt) s2n − 4 sn , következésképp a határértéke 4 A, másképpen mondva, az els® sor összege a 4 n2 4/3-szorosa a második sor összegének. A második állítás bizonyítása céljából el®ször azt igazoljuk, éspedig teljes indukcióval, hogy minden pozitív egész n-re n−1 2 1 2 X . 1= n (2k−1)π 2 4 k=1 sin 2n+1 n = 1-re ez azért igaz, mert sin2 π/4 = 1/2. Az indukciós lépés végrehajtása céljából

alkalmazzuk számokra a  például  minden (0, π/2)-beli x-re érvényes az x := (2k−1)π 2n+1 ¸ ¸ · · cos2 x2 + sin2 x2 1 1 1 1 1 1 1 = + + = = 4 sin2 x2 cos2 x2 4 sin2 x2 sin2 x 4 sin2 x2 cos2 x2 sin2 ( π2 − x2 ) azonosságot: # " 2n−1 2n−1 2 X 1 1 1 2 X = n+1 + = 1= n (2k−1)π 2 (2k−1)π 2 π 4 k=1 sin2 (2k−1)π 4 − ) sin sin ( n+1 n+2 n+2 k=1 2 2 2 2 # " 2n−1 1 1 2 X ¤ . £ π + = n+1 2 n+1 − (2k − 1)) 2 (2k−1)π 4 sin sin n+2 (2 n+2 2 k=1 2 Minthogy a 2 -nél nem nagyobb pozitív egészek halmazán értelmezett m 7 2n+1 − (2m − 1) véges sorozat értékkészlete éppen a 2n és 2n+1 közötti páratlan pozitív egészek halmaza, n−1 n−1 2X sin m=1 2 £ n 2 X 1 ¤= (2n+1 − (2m − 1)) sin2 2n+2 k=2n−1 +1 π 1 (2k−1)π 2n+2 , tehát az állítás n helyett n + 1-re is igaz. Abból, hogy minden π/2-nél kisebb pozitív t-re 0 < sin t < t < tg t, reciprokra való áttéréssel és négyzetre emeléssel a

következ® adódik: 1 1 − sin2 t 1 2 > , > ctg t = t2 sin2 t sin2 t ezért 1 1 1 < 2 < 2 + 1. 2 t t sin t Az utóbbit alkalmazva (t := (2k − 1)π/2n+1 ) µ ¶ 2 2 2 2 2 X 4n+1 1 4n+1 4n+1 2 X 1 2 X 2 X < < 1 + + , = 1 = 4n k=1 (2k − 1)2 π 2 4n k=1 sin2 (2k−1)π 4n k=1 (2k − 1)2 π 2 2n 4n k=1 (2k − 1)2 π 2 2n+1 n−1 következésképpen n−1 n−1 n−1 n−1 2 8 X 1 1 < 1. 1− n < 2 2 π k=1 (2k − 1)2 Alkalmazva a közrefogási elvet, majd a közrefogott sorozatot beszorozva a π 2 /8 konstanssal, azt kapjuk, hogy a részletösszeg-sorozat egy részsorozata tart π 2 /8-hoz, ennélfogva a részletösszegsorozat határértéke is csak π 2 /8 lehet. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 5 1.2 A konvergencia szükséges feltétele, a Cauchy-féle feltétel, abszolút konvergencia Az alábbi tétel szerint konvergens végtelen sort csak nullsorozatból lehet képezni. 1.16 Tétel Ha az (xn ) sorozatból képezett

végtelen sor konvergens, akkor lim(xn ) = 0 Bizonyítás. Az n-edik részletösszeget szokás szerint sn -nel jelölve, mind az (sn ), mind az (sn−1 ) sorozat tart a végtelen sor összegéhez, emiatt a különbségük  a (xn ) sorozat  tart a nullához. P Az imént említett P (1/n) sor példája mutatja, hogy a lim(xn ) = 0 feltétel csak szükséges, de nem elégséges feltétele a (xn ) végtelen sor konvergenciájának. Ezzel szemben a most bizonyítandó Cauchy-féle konvergenciafeltétel egyszerre szükséges is és elégséges is: P 1.17 Tétel A (xn ) végtelen sor pontosan akkor konvergens, haminden egyes ε pozitív számhoz található olyan M pozitív egész, hogy az M < m < n feltételeknek eleget tev® és egészekb®l álló (m, n) párokra ¯ ¯ n ¯ X ¯ ¯ ¯ xk ¯ < ε. ¯ ¯ ¯ k=m+1 Bizonyítás. Vegyük észre, hogy az utóbbi egyenl®tlenség bal oldalán |sn −sm | áll, és alkalmazzuk az (sn ) sorozatra a számsorozatok konvergenciájáról

szóló Cauchy-féle feltételt; ekkor éppen azt kapjuk, amit akartunk, hiszen ha az |sn − sm | < ε egyenl®tlenség teljesül az M < m < n feltételeknek eleget tev® párokra, akkor |sm − sn | = |sn − sm |, illetve |sm − sm | = 0 miatt teljesül az M < m, M < n feltételeknek eleget tev® összes Z + × Z + -beli (m, n) párra. P (xn ) végtelen sort akkor nevezzük abszolút konvergensnek, ha a (|xn |) végtelen sor konvergens, és akkor nevezzük feltételesen konvergensnek, ha konvergens, de nem abszolút konvergens. 1.18 Deníció A P 1.19 Tétel Minden abszolút konvergens végtelen sor konvergens P (|xn |) konvergens és ε tetsz®leges pozitív szám, akkor az el®z® tétel (mint szükséges feltétel) szerint van olyan M pozitív egész, hogy az M < m < n feltételeknek eleget tev® és egészekb®l álló (m, n) párokra ¯ ¯ n ¯ ¯ X ¯ ¯ |x | ¯ k ¯ < ε; ¯ ¯ Bizonyítás. Ha k=m+1 itt a bal oldal  ahol a küls®

abszolútértékjel elhagyható  a háromszög-egyenl®tlenség alapján alulról becsülhet® a ¯ ¯ n ¯ ¯ X ¯ ¯ x ¯ k¯ ¯ ¯ k=m+1 számmal, tehát a Cauchy-féle feltételb®l, mint a konvergencia elégséges feltételéb®l adódik, hogy a P (xn ) végtelen sor konvergens. 1.20 Megjegyzés A most bizonyított tétel nem fordítható meg: a hamarosan bizonyítandó Leibniz-tételb®l (1.47 Tétel) következik, hogy például a ((−1)n /n) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, de  mint már tudjuk  nem abszolút konvergens. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 6 Most megnézzük, hogy a megszámlálhatóan végtelen sok tagú összeg fogalmát sikerült-e úgy P értelmeznünk, hogy számértéke ne függjön a tagok sorrendjét®l. Nevezzük a (xn ) végtelen sor átrendezése inek az olyan (xpn ) alakú sorozatokból képezett végtelen sorokat, amelyekre a (pn ) sorozat a pozitív egész számok halmazának önmagára való injektív

leképezése. 1.21 Tétel (Riemann-féle átrendezési tétel) Minden feltételesen konvergens végtelen sorhoz és az α ≤ β feltételnek eleget tev® R̄-beli (α, β) rendezett párok mindegyikéhez található a sornak olyan átrendezése, melyre teljesül az, hogy az átrendezett sor részletösszeg-sorozatának alsó határértéke α, fels® határértéke β . Bizonyítás vázlata. A feltételes konvergencia egyszer¶ következménye, hogy egyrészt a sornak végtelen sok pozitív és végtelen sok negatív tagja van, másrészt, P Pha az n-edik negatív tagot xn -nel és az n-edik nemnegatív tagot yn -nel jelöljük, akkor a xn , yn végtelen sorok divergensek és összegük −∞, illetve +∞. Rögzítsünk egy α-hoz tartó (an ) és egy β -hoz tartó (bn ) sorozatot úgy, hogy minden pozitív egész n-re max{an , an+1 } ≤ bn legyen. Például: ha α = β = −∞, akkor an := bn := −n, ha α = β = +∞, akkor an := n, bn := n + 1, ha α = −∞ és β =

+∞, akkor an := −n és bn := n, ha α = −∞ és β valós, akkor an := β − n és bn := β , ha α valós és β = +∞, akkor an := α és bn := α + n, végül ha α és β egyaránt valós, akkor an := α, bn := β . Rekurzív módon deniáljuk a (qn ), (pn ) indexsorozatokat, pontosabban a (qn , pn ) párok sorozatát, majd az átrendezett sort abból a sorozatból képezzük, amelynek az értelmezése a következ®: a sorozat els® q1 tagja x1 , x2 , . , xq1 , a következ® p1 számú tag: y1 , y2 , , yp1 , a következ® q2 − q1 számú tag: xq1 +1 , . , xq2 , a következ® p2 − p1 tag: yp1 +1 , , yp2 , és így tovább A q0 := p0 := 0 megállapodás mellett minden pozitív egész n-re legyen qn a legkisebb olyan qn−1 -nél nagyobb i egész, amelyre pn−1 i X X xk + yk < an k=1 k=1 és pn a legkisebb olyan pn−1 -nél nagyobb j egész, amelyre qn X xk + k=1 j X y k > bn k=1 P∞ P (azért létezik ilyen i és j , mert k=1 xk = −∞ és

∞ k=1 yk = +∞). Ekkor tehát az átrendezett sor (sn ) részletösszeg-sorozatára a következ®k teljesülnek: sqn +pn−1 < an ≤ sqn −1+pn−1 és sqn +pn −1 ≤ bn < sqn +pn . 0 < an − sqn +pn−1 ≤ −xqn és 0 < sqn +pn − bn ≤ ypn , Az utóbbiakból következésképpen sqn +pn−1 α és sqn +pn β adódik, ugyanis az eredeti sor konvergenciája miatt mind az (xn ), mind az (yn ) sorozat nullsorozat, így ezek részsorozatai is nullsorozatok. Abból, hogy az (sn ) sorozatnak egy-egy részsorozata tart α-hoz, illetve β -hoz, következik, hogy nem lehet sem α-nál nagyobb lokális alsó, sem β -nál kisebb lokális fels® korlátja. Ezek után elég azt igazolni, hogy α 6= −∞ esetén minden α-nál kisebb A szám lokális alsó, és β 6= +∞ esetén minden β -nál nagyobb B szám lokális fels® korlátja az (sn ) sorozatnak. Rögzítsünk egy A1 ∈ (A, α) és egy B1 ∈ (β, B) számot. 0 > xn 0, 0 ≤ yn 0, an α és bn

β miatt van olyan m pozitív egész, melyre teljesül, hogy az (xn ) sorozatnak az m-nél nagyobb index¶ tagjai nagyobbak mint A − A1 , az (yn ) sorozatnak az m-nél nagyobb index¶ tagjai kisebbek mint B − B1 , az (an ) sorozatnak az m-nél Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 7 nagyobb index¶ tagjai nagyobbak, mint A1 , és a (bn ) sorozatnak az m-nél nagyobb index¶ tagjai kisebbek, mint B1 . Ekkor az (sn ) sorozatnak legfeljebb az els® qm + pm−1 tagja lehet kisebb mint A, és legfeljebb az els® qm + pm tagja lehet nagyobb mint B . A tétel nyilvánvaló következménye, hogy ha egy végtelen sor minden átrendezése konvergens, akkor ez a sor abszolút konvergens. Az alábbi tételb®l következik, hogy utóbbi állítás meg is fordítható. 1.22 Tétel Egy végtelen sor pontosan akkor abszolút konvergens, ha minden átrendezése konvergens, abszolút konvergens sor minden átrendezése abszolút konvergens, abszolút konvergens sor minden

átrendezésének ugyanannyi az összege. Bizonyítás. I El®ször P az abszolút konvergens sorok átrendezéseinek abszolút konvergenciáját iga- zoljuk. Tegyük fel, hogy (xn ) abszolút konvergens és (pn ) a pozitív egészek halmazának önmagára való injektív leképezése. Az n 7 |xpn | sorozatból képezett végtelen sor konvergens voltát a Cauchykritérium segítségével igazoljuk Legyen ε tetsz®leges pozitív szám, N olyan pozitív egész, amelyre az N < m < n feltételeknek eleget tev® (m, n) indexpárok mindegyikére n X |xk | < ε, k=m+1 Np pedig a legnagyobb olyan i pozitív egész, amelyre pi ≤ N . Ha az i, j egészekre Np < i < j , akkor az i, j -beli k egészek mindegyikére pk nagyobb, mint N , ezért |xpi | + |xpi+1 | + . + |xpj | < ε, hiszen m := min{p P k : k ∈ i, j} > N , és ez az összeg  az n := max{pk : k ∈ i, j} jelöléssel  felülr®l becsülhet® a nk=m+1 |xk | összeggel. II. Ha volna olyan nem abszolút

konvergens sor, melynek minden átrendezése konvergens, akkor, tekintve, hogy maga az eredeti sor is átrendezése saját magának, ez a végtelen sor feltételesen konvergens volna, P tehát az el®z® tétel szerint volnának divergens átrendezései (legyen α < β !). III. Legyen (xn ) abszolút konvergens, (pn ) a pozitív egészek halmazának önmagára való injektív leképezése, A az eredeti sor összege, továbbá minden n pozitív egészre sn := n X k=1 xk és Sn := n X xpi . i=1 Az (Sn ) sorozat A-hoz tartását kell igazolnunk. Vegyünk tetsz®leges ε pozitív számot; ehhez egy olyan N pozitív egészt, amelyre egyrészt |sN − A| < ε/2, másrészt az N < i < j feltételnek P eleget tev® i, j egészek párjaira |xi | + . + |xj | < Pε/2 (az A szám deníciója szerint sn A, a (xn ) sor abszolút konvergens volta miatt pedig a (|xn |) sor teljesíti a Cauchy-féle konvergenciafeltételt). Az N szám utóbbi tulajdonsága miatt bárhogy

vesszük az (xn ) sorozatnak véges számú N -nél nagyobb index¶ tagját, ezek összegének abszolút értéke (s®t még e tagok abszolút értékeinek összege is) kisebb, mint ε/2. A (pn ) sorozat értékkészlete a feltétel szerint egyenl® az összes pozitív egészek halmazával, így van N számú N -nél nem nagyobb tagja ennek a sorozatnak, jelöljük e tagok indexeinek legnagyobbikát M -mel, erre tehát teljesül az, hogy i > M esetén pi > N , és persze az is, hogy M ≥ N . Ezek szerint minden M -nél nagyobb n egészre az yn := Sn − sN szám el®áll az (xn ) sorozat véges számú olyan tagjának összegeként, amelyek indexe nagyobb, mint N , ezért az imént tett megjegyzésünk szerint az abszolút értéke kisebb, mint ε/2, következésképp a háromszögegyenl®tlenségb®l ezt kapjuk: |Sn − A| = |Sn − sN + sN − A| ≤ |yn | + |sN − A| < ε/2 + ε/2 = ε. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 8 1.3 Végtelen sor

konvergenciája és az alapm¶veletek 1.23 P Tétel. Ha az (xn ) sorozatból képezett végtelen sor konvergens és c tetsz®leges valós szám, akkor (cxn ) is konvergens és ∞ X cxn = c · n=1 ∞ X xn . n=1 P P (cxn ) végtelen sor részletösszeg-sorozata éppen a c-szerese a (xn ) végtelen sor részletösszeg-sorozatának, tehát alkalmazható a konvergens sorozat konstansszorosáról szóló tétel. Bizonyítás. A 1.24 Tétel Ha mindPaz (xn ), mind az (yn ) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, akkor ugyanez mondható az (xn + yn ) végtelen soról is, és ∞ ∞ ∞ X X X (xn + yn ) = xn + yn . n=1 Bizonyítás. A n=1 n=1 P (xn + yn ) végtelen sor részletösszeg-sorozata egyenl® az n 7 n X xk + n X yk k=1 k=1 sorozattal, tehát konvergens, és határértéke egyenl® a másik két részletösszeg-sorozat határértékének összegével. 1.25 Megjegyzés Egy (xn yn ) alakú sorozatból képezett végtelen sor konvergenciájához nem eleP

P gend® a (xn ) és (yn ) végtelen P sorok konvergenciája. Leibniz kés®bb bizonyítandó tételéb®l √ n n) konvergens, (1.47 Tétel) következik például, hogy ((−1) / ebb®l és az 1.8 Példából következik, √ n hogy xn := yn := (−1) / n jó ellenpélda. A Cauchy-féle kritérium kétszeri alkalmazásával  szükséges feltételként az (|yn |), elégséges feltételként az P (|xn yn |) sorozatból képezett végtelenP sorra alkalmazva  igazolható viszont, P hogy ha (xn ) korlátos és (yn ) abszolút konvergens, akkor (xn yn ) abszolút A (xn yn ) végtelen sor konP konvergens. P vergenciájához persze nem is szükséges az, hogy a (xn ) és (yn ) végtelen sorok közül akár csak az egyik konvergens legyen, amit jól mutat az xn := yn := 1/n példa. 1.4 Végtelen sorok szorzata A végtelen sor konvergenciája és szorzás témaköréhez kapcsolódik annak a kérdésnek a vizsgálata is, hogy mit lehet mondani a à m !à m ! X X X 2 xi yj (0, m := 0, m ×

0, m) yj = xi i=0 j=0 2 (i,j)∈0,m azonosságnak a végtelen sok tagú összegek esetére való általánosításáról. Ebben a szakaszban a végtelen sorokat mindig a nemnegatív egészek halmazán értelmezett sorozatokból képezzük, a nemnegatív egészek halmazát N -nel jelöljük, indexsorozaton nemnegatív egész tagú, szigorúan monoton növ® sorozatot értünk. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 1.26 Deníció A során) az 9 P (zn ) végtelen sor (mn ) indexsorozathoz tartozó zárójelezésén (vagy zárójelezett N 3 n 7 mn X zk (m−1 := −1) k=mn−1 +1 sorozatból képezett végtelen sort értjük. indexsorozathoz tartozó zárójelezése. P P (wn ) zárójelezése a (zn ) végtelen sornak, ha valamely Vegyük észre, hogy az (mn ) indexsorozathoz tartozó zárójelezés n-edik részletösszege az eredeti sor mn -edik részletösszege, tehát a zárójelezett sor részletösszeg-sorozata részsorozata az eredeti sor P

részletösszeg-sorozatának. Ebb®l következik, hogy ha a (zn ) végtelen sornak van összege, és ez A, akkor bármely zárójelezésének is van, és az is A. Divergens sornak is lehetnek konvergens zárójelezett sorai, például legyen zn := (−1)n , mn := 2n + 1: az eredeti sor nem nullsorozatból képezett sor, tehát divergens, a zárójelezett sor minden tagja nulla, tehát konvergens. P P P 1.27 Deníció A (xn ) és (yn ) végtelen sorok szorzatsorai azok a (xi(n) yj(n) ) alakú sorok, ahol az i : N N , j : N N függvényekre teljesül az, hogy az n 7 (i(n), j(n)) hozzárendelés bijekció N és N × N jözött. Arról van szó tehát, hogy a szorzatsorokat f ◦ ϕ alakú sorozatokból képezzük, ahol f az (i, j) 7 xi yj hozzárendeléssel értelmezett N × N R függvény, ϕ pedig tetsz®leges N N × N bijekció. Vagy kissé pongyolább módon fogalmazva: olyan sorozatokból, amelyeknek a tagjai az xi yj alakú szorzatok  valamilyen sorrendben. Most szorzatsorok

két nevezetes fajtájáról és ezek bizonyos zárójelezett sorairól lesz szó. A fogalmak megértését talán könnyebbé teszi, ha a precíz deníciók mindegyike el®tt egy kissé lazább fogalmazású változatot közlünk. P P A (xn ) és (yn ) végtelen sorok téglányszorzata az x0 y0 + (x0 y1 + x1 y1 + x1 y0 ) + (x0 y2 + x1 y2 + x2 y2 + x2 y1 + x2 y0 ) + . + +(x0 yn + x1 yn + . + xn−1 yn + xn yn + xn yn−1 + + xn y1 + xn y0 ) + , a Cauchy-szorzatuk pedig az x0 y0 + (x0 y1 + x1 y0 ) + (x0 y2 + x1 y1 + x2 y0 ) + . + (x0 yn + x1 yn−1 + + xn−1 y1 + xn y0 ) + végtelen sor. 1.28 Deníció A az P (xn ) és N 3 n 7 P (yn ) végtelen sorok téglányszorzatán , illetve Cauchy-féle szorzatán X X xi y j xi yj , illetve az N 3 n 7 i+j=n max{i,j}=n sorozatból képezett végtelen sort értjük. P P A (xn ), (yn ) végtelen sorok egy szorzatsorát akkor nevezzük négyzetes típusúnak, ha nulladik tagja x0 y0 , a következ® három tagból

álló sorozat vagy (x0 y1 , x1 y1 x1 y0 ), vagy (x1 y0 , x1 y1 , x0 y1 ), a következ® öt tagb®l álló sorozat vagy (x0 y2 , x1 y2 , x2 y2 , x2 y1 , x2 y0 ), vagy (x2 y0 , x2 y1 , x2 y2 , x1 y2 , x0 y2 ), és így tovább, és akkor nevezzük Cauchy-típusúnak, ha nulladik tagja x0 y0 , a következ® két tagja x0 y1 és x1 y0  akármilyen sorrendben, a következ® három tagja x0 y2 , x1 y1 és x2 y0  akármilyen sorrendben, és így tovább. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 10 P (xn ), (yn ) végtelen sorok egy szorzatsorát akkor nevezzük négyzetes típusúnak, ha nulladik tagja x0 y0 , és  az n 7 (n + 1)2 − 1 =: mn jelöléssel  minden pozitív egész n-re az mn−1 -nél nagyobb de mn -nél nem nagyobb index¶ tagjainak halmaza az max{i, j} = n feltételnek eleget tev® xi yj alakú szorzatok halmaza, és ezek a tagok vagy az 1.29 Deníció A P x0 yn , x1 yn , . , xn yn , xn yn−1 , , xn y0 , vagy az xn y0 , xn y1 , . , xn yn ,

xn−1 yn , , x0 yn sorrendben követik egymást. P P (xn ), (yn ) végtelen sorok egy szorzatsorát akkor nevezzük Cauchy-típusúnak, ha az n 7 (n + 1)(n + 2)/2 − 1 =: mn indexsorozathoz tartozó zárójelezése a Cauchy-szorzat, vagyis ha a nulladik tagja x0 y0 szorzat, és minden pozitív egész n-re az mn−1 -nél nagyobb de mn -nél nem nagyobb index¶ tagjainak halmaza az i + j = n feltételnek eleget tev® xi yj alakú szorzatok halmaza. 1.30 Deníció A Kezdjük két pozitív és egy negatív eredménnyel  az imént bevezetett speciális szorzatokkal, illetve szorzatsorokkal kapcsolatban. P P (xn ) és (yn ) konvergens, összegük A, illetve B , akkor a két sor téglányszorzata is, és mindegyik négyzetes típusú szorzatsora is konvergens, és mindezen sorok összege AB . 1.31 Tétel Ha Bizonyítás. Foglalkozzunk el®ször a téglányszorzattal Bevezetve az an := n X xk , bn := k=0 n X yk k=0 jelöléseket, a két sor téglányszorzatának n-edik

(azaz n index¶) részletösszege egyenl® an bn -nel, és konvergens sorozatok szorzata tart a határértékek szorzatához. Áttérve tetsz®leges négyzetes típusú szorzatsorra, legyen ε akármilyen pozitív szám, K olyan pozitív szám, amely minden nemnegatív egész n esetén nagyobb az |an |, |bn | számoknál (minden konvergens sorozat korlátos), N pedig olyan pozitív egész, amelynek a négyzetét®l kezdve minden k egészre |xk | < ε/(4K), |yk | < ε/(4K) (minden konvergens sor nullsorozatból képezett sor) és |ak bk − AB| < ε/4. Ha k ≥ (N + 1)2 és n az a pozitív egész, amelyre n2 ≤ k < (n + 1)2 , akkor n > N és a vizsgált sorunk n2 − 1 index¶ részletösszege an−1 bn−1 , ami benne van AB ε/4 sugarú környezetében, így elég azt igazolni, hogy a sor k index¶ és n2 −1 index¶ részletösszege különbségének abszolút értéke felülr®l becsülhet® a 3ε/4 számmal. Ha 0 ≤ k − n2 =: i ≤ n, akkor a négyzetes típusú

szorzatsor deníciója szerint a két részletösszeg különsége ai yn vagy bi xn alakú, ennek abszolút értéke < ε/4 (az els® tényez® abszolút értéke K -val, a másodiké ε/(4K)-val becsülhet® felülr®l). Ha n < i ≤ 2n, akkor a vizsgált különbség vagy an yn + xn (yn−1 + . + y2n−i ) = an yn + xn bn−1 − xn b2n−i−1 (b−1 := 0), vagy bn xn + yn an−1 − yn a2n−i−1 (a−1 := 0), ennek abszolút értékét mindkét esetben a háromszög-egyenl®tlenséggel lehet becsülni, mindhárom tag abszolút értéke kisebb, mint ε/4. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 1.32 Lemma Ha P 11 (xn ) abszolút konvergens végtelen sor és (zn ) nullsorozat, akkor lim n∞ n X xk zn−k = 0, k=0 s®t: minden pozitív ε-hoz található olyan N pozitív egész, melyt®l kezdve minden n-re a fenti összeg tetsz®leges számú tagjának abszolútérték-összege kisebb, mint ε. Bizonyítás. Legyen ε tetsz®leges pozitív P

szám, K pedig olyan pozitív szám, amely nagyobb a (|zn |) sorozat mindegyik tagjánál, továbbá a ∞ n=0 |xn | sorösszegnél is. A Cauchy-kritérium és (zn ) nullához tartása alapján válasszunk olyan m pozitív egészt, amelynél nagyobb n egészek mindegyikére ε ε és |xm+1 | + . + |xn | < . |zn | < 2K 2K Minden 2m-nél nagyobb n egészre n − m > m, így az alábbi els® összeg minden tagjában a második tényez® indexe nagyobb mint m, ezért ¯ m ¯ m n m n n ¯X ¯ X X X X ε ε ε X ¯ ¯ |xk |+K |xk | < + . |xk ||zn−k |+ |xk ||zn−k | < xk zn−k + xk zn−k ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ 2K 2 2 k=0 k=m+1 k=0 k=m+1 k=0 k=m+1 Nyilvánvaló, hogy ez a gondolatmenet a lemma kiegészít® állítását is bizonyítja: ha az abszolútértékösszeg néhány tagját elhagyjuk, azzal ezt az összeget nem növeljük. P P 1.33 Tétel (Mertens tétele) Ha (xn ) abszolút konvergens, összege A, (yn ) konvergens és összege B , akkor a két sor Cauchy-féle

szorzata is konvergens és összege AB , s®t, ugyanez érvényes a két sor akármelyik Cauchy-típusú szorzatsorára. Bizonyítás. Az els®, illetve a második sor részletösszeg-sorozatát jelölje (an ), illetve (bn ) A Cauchy-szorzat n-edik részletösszege x0 y0 + (x0 y1 + x1 y0 ) + (x0 y2 + x1 y1 + x2 y0 ) + . + (x0 yn + + xn y0 ) = x0 bn +x1 bn−1 +. +xn−1 b1 +xn b0 = an B +x0 (bn −B)+x1 (bn−1 −B)+ +xn−1 (b1 −B)+xn (b0 −B) Ezek szerint a részletösszeg-sorozat el®áll az AB -hez tartó (an B) sorozat, és egy a lemma szerint 0-hoz tartó sorozat összegeként (zn := bn − B ). Legyen a tetsz®leges Cauchy-típusú szorzatsor részletösszeg-sorozata (sn ), legyen ε > 0 és ehhez N olyan küszöbindex, amelyt®l kezdve minden k egészre |ak B − AB| < ε/3, ¯ ¯ k ¯X ¯ ε ¯ ¯ xi (bk−i − B)¯ < , ¯ ¯ ¯ 3 i=0 és az |x0 ||yk |, |x1 ||yk−1 |, . , |xk ||y0 | szorzatok közül tetsz®leges számúnak az összege kisebb, mint

ε/3. A második és a harmadik követelmény a lemma (zn := bn − B ), illetve a lemma kiegészít® állítása (zn := yn ) szerint érhet® el. Ha j ≥ (N + 1)(N + 2)/2, és n az a pozitív egész, amelyre (n + 1)(n + 2)/2 ≤ j < (n + 2)(n + 3)/2, akkor n ≥ N , az m := (n + 1)(n + 2)/2 − 1 jelöléssel sm éppen a Cauchy-szorzat n-edik részletösszege. Ezért, felhasználva a bizonyítás els® részében látható átalakítást, valamint azt, hogyan választottuk az N számot: az els® és a második követelményt az alábbi három tagú összeg harmadik, illetve második tagjának becsléséhez (k:=n), a harmadik követelményt az alábbi els® tag becsléséhez tudjuk használni (k:=n+1), ebb®l ε ε ε |sj − AB| ≤ |sj − sm | + |sm − an B| + |an B − AB| < + + 3 3 3 adódik. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 12 1.34 Megjegyzés El®fordulhat, hogy két konvergens végtelen sor Cauchy-szorzata még csak √ nem n is nullsorozatból

képezett végtelen sor, tehát divergens. Például, ha xn := yn := (−1) / n + 1, akkor a szorzatsor mindegyik tagjának abszolút értéke legalább 1, ugyanis a nevez®kben lév® mértani közepeket a számtani közepekkel felülr®l becsülve, 2k , illetve 2k + 1 index¶ tagok esetében 2k+1 X i=1 1 2k + 1 p ≥ ≥ 1, k+1 i(2k + 2 − i) illetve 2k+2 X i=1 2k + 2 1 p > 1. ≥ k + 23 i(2k + 3 − i) 1.35 Tétel Bármely két abszolút konvergens sor mindegyik szorzatsora abszolút konvergens, és mindegyik szorzatsorának összege egyenl® a két sorösszeg szorzatával. Bizonyítás. Az els® állítást elég nemnegatív tagú sorokra bizonyítani, hiszen ez a speciális eset aztán alkalmazható az abszolútérték-sorozatokból képezett sorokra. Az el®z® két tétel alapján tudjuk, hogy nemnegatív tagú konvergens soroknak vannak konvergens szorzatsorai, persze ezek is nemnegatív tagúak, tehát abszolút konvergensek is. P Két végtelen sor bármely két

szorzatsora P közül egyik a másiknak átrendezése, hiszen ha (xn ) és (yn ) a két végtelen sor, f : N × N R az (i, j) 7 xi yj hozzárendelés, a szorzatsorok pedig az f ◦ ϕ, illetve az f ◦ ψ sorozatból képezett sorok, ahol persze a szorzatsor deníciójának megfelel®en, ϕ és ψ bijekciók N és N × N között, akkor f ◦ ψ = (f ◦ ϕ) ◦ (ϕ−1 ◦ ψ), és ϕ−1 ◦ ψ bijekció N és N között. Ebb®l az 122 Tétel alapján következik, hogy mindegyik szorzatsor abszolút konvergens. Mertens tétele szerint a szorzatsor összegére vonatkozó állítás a Cauchy-típusú szorzatsorokra igaz, s ha újra felhasználjuk, hogy bármely szorzatsor átrendezése egy Cauchy-típusúnak, akkor ismét elég az 1.22 Tételre hivatkozni 1.5 A konvergencia és a divergencia elégséges feltételei Az alábbi tételt összehasonlító (konvergencia)kritériumnak, majoráns kritériumnak, vagy Weierstrass-kritériumnak szokták nevezni. 1.36 Tétel Ha az (xn ) és

(yn ) sorozatokra teljesül a következ® két feltétel: (a) valamely M1 küszöbindex fölötti minden egyes n egészre |xn | ≤ yn , P (b) aP (yn ) végtelen sor konvergens, akkor a (xn )végtelen sor abszolút konvergens. Bizonyítás. A Cauchy-féle feltételt, mint elégséges feltételt (117) fogjuk alkalmazni az (|xn |) sorozatra. Legyen tehát ε tetsz®leges pozitív szám; a (b) feltételb®l és a 117 Tételb®l, mint szükséges feltételb®l következik egy olyan M2 küszöbindex létezése, melyre az M2 < m < n feltételeknek eleget tev® minden egyes (m, n) indexpár teljesíti a ¯ ¯ n ¯ ¯ X ¯ ¯ yk ¯ < ε ¯ ¯ ¯ k=m+1 egyenl®tlenséget. Legyen max{M1 , M2 } =: M < m < n; ekkor ¯ ¯ ¯ ¯ n n n n ¯ ¯ X ¯ ¯ X X X ¯ ¯ ¯ ¯ yk ¯ < ε |xk | ≤ yk = ¯ |xk | ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=m+1 k=m+1 k=m+1 k=m+1  kihasználva, hogy az |xk |, valamint a náluk nem kisebb yk számok nemnegatívak. Szilágyi T.: Végtelen sorok,

hatványsorok 1.37 Következmény (hányados-majoráns kritérium) Ha 13 P (zn ) pozitív tagú konvergens végtelen sor, N pedig olyan pozitív egész, amelyt®l kezdve minden k egészre zk+1 |xk+1 | ≤ , |xk | zk akkor a P (xn ) végtelen sor abszolút konvergens. Bizonyítás. A feltételben szerepl® egyenl®tlenséget tetsz®leges N -nél nagyobb n mellett k = N -re, k = N + 1-re, . , k = n − 1-re felírva, majd összeszorozva ezeket, azt kapjuk, hogy minden N -nél nagyobb n-re zn |xn | ≤ , |xN | zN ezért alkalmazhatjuk az el®z® tételt az n 7 (|xN |/zN )zn (=: yn ) majoráns sorozattal. Az alábbi tételt összehasonlító (divergencia)kritériumnak, vagy minoráns kritériumnak nevezzük. 1.38 Tétel Ha az (xn ) és (yn ) sorozatokra teljesül a következ® két feltétel: (a) P valamely M küszöbindex fölött minden n egészre xn ≤ yn , (b)P ∞ n=1 xn = +∞, ∞ akkor n=1 yn = +∞ . Bizonyítás. Azt bizonyítjuk, hogy az (yn ) sorozat

részletösszeg-sorozatának tagjai (az M+1 kü- szöbindext®l kezdve) alulról becsülhet®k egy +∞-hez tartó sorozat ugyanolyan index¶ tagjaival, éspedig az (xn ) sorozat részletösszeg-sorozatának és egy konstans sorozatnak az összegével: ha n > M egész, akkor n M n M n X X X X X xk , (yk − xk ) + xk = yk + yk ≥ k=1 k=1 k=M +1 k=1 k=1 tehát az iménti állításunk valóban teljesül. 1.39 Következmény (hányados-minoráns kritérium) Ha P (zn ) pozitív tagú divergens sor, N pedig olyan pozitív egész, amelyt®l kezdve minden k egészre yk > 0 és zk+1 yk+1 ≥ , yk zk akkor a P (yn ) sor is divergens. Bizonyítás. A feltételben szerepl® egyenl®tlenséget tetsz®leges N -nél nagyobb n mellett k = N -re, k = N + 1-re, . , k = n − 1-re felírva, majd összeszorozva ezeket, azt kapjuk, hogy minden N -nél nagyobb n-re zn yn ≥ , yN zN ezért alkalmazhatjuk az el®z® tételt az n 7 (yN /zN )zn (=: xn ) minoráns sorozattal. 1.40 Tétel

(gyökkritérium) Legyen (xn ) valós számsorozat; p n P I. ha az ( |xn |) sorozatnak van 1-nél kisebb lokális fels® korlátja, akkor a (xn ) végtelen sor abszolút konvergens, p P II. ha végtelen sok n-re n |xn | ≥ 1, akkor a (xn ) végtelen sor divergens, s®t, (xn ) nem nullsorozat Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 14 Bizonyítás. I A tétel feltétele szerint van olyan q ∈ (0, 1) és M küszöbindex, melynél nagyobb n egészek mindegyikére |xn | ≤ q n , így a tétel els® állítása az összehasonlító kritériumból következik. II. A feltétel szerint minden pozitív egész M -hez található olyan M -nél nem kisebb n, melyre p n |xn | ≥ 1, azaz |xn | ≥ 1, ezért (xn ) nem lehet nullsorozat (ε = 1-hez nincs jó küszöbindex). Az alábbi tételben a vizsgált végtelen sor abszolút konvergenciája ismét egy konvergens mértani sorral való majorálhatóságból következik. 1.41 Tétel (hányadoskritérium) Ha az (xn ) sorozat minden

tagja nullától különböz®, és az (|xn+1 /xn |) sorozatnak P I. van 1-nél kisebb lokális fels® korlátja, akkor a (xn ) végtelen sor abszolút konvergens, P II. lokális alsó korlátja az 1 szám, akkor a (xn ) végtelen sor divergens, s®t, (xn ) nem nullsorozat Bizonyítás. I Legyen q ∈ (0, 1) és M ∈ Z + olyan, hogy minden M -nél nagyobb k egész esetén |xk+1 /xk | ≤ q , azaz |xk+1 | ≤ q · |xk |. Ha az így adódó egyenl®tlenséget valamely M -nél nagyobb n esetén felírjuk minden egyes k ∈ M, n − 1 egészre, majd az utóbbiakat összeszorozzuk, végül a közös tényez®ket mindkét oldalról elhagyjuk, akkor ezt kapjuk: |xn | ≤ q n−M · |xM | = |xM | n ·q . qM Tehát ha a jobb oldal els® tényez®jét c-vel jelöljük, akkor alkalmazható az összehasonlító kritérium az yn := c · q n szereposztással. II. A feltételb®l következik, hogy valamely M -t®l kezdve minden n-re |xn+1 | ≥ |xn |, így az (|xn |) sorozatnak az Z ∩ [M,

+∞) halmazra való lesz¶kítése (pozitív tagú és) monoton növ®, ezért nem lehet nullsorozat. A gyökkritériumnak, illetve a hányadoskritériumnak többnyire csak azt a speciális esetét alkalmazzuk, amelyben fel van téve, hogy a megfelel® segédsorozatnak van határértéke: p n |xn |) =: A határérték, akkor 1.42 Következmény I Ha valamely (x ) sorozatra létezik a lim( n P az A < 1 feltétel elegend® a (xn ) sor abszolút konvergenciájához, míg az A > 1 feltétel elegend® a P (xn ) végtelen sor divergenciájához. II. Ha valamely (xn ) sorozat tagjai P0-tól különböz®k és létezik a lim(|xn+1 |/|xn |) =: A határérték, akkor az AP < 1 feltétel elegend® a (xn ) sor abszolút konvergenciájához, míg az A > 1 feltétel elegend® a (xn ) végtelen sor divergenciájához. Bizonyítás. Ha A < 1, akkor a határérték denícióját célszer¶ egy (1−A)-nál kisebb ε hibakorlátra alkalmazni; egy ehhez választott M küszöbindexre

és a q := A+ε számra alkalmazható a 1.40, illetve a 1.41 Tétel I állítása Ha A ∈ (1, +∞), akkor annyiban módosul a helyzet, hogy a hibakorlátot (A − 1)-nek célszer¶ választani, s az el®z® két tétel egyikének persze nem az I., hanem a II állítását kell alkalmazni Végül az A = +∞ esetben a +∞-hez tartó sorozat denícióját alkalmazzuk a K := 1 korláttal, majd ismét az el®z® két tétel egyikének II. állítását p 1.43 Megjegyzés Mind a lim( n |xP feltételnek eleget tev® n |) = 1, mind a lim(|xn+1 /xn |) = 1 P sorozatok között van olyan is, melyre (xn ) konvergens, és olyan is, melyre (xn ) divergens (lásd P a (1/np ) alakú végtelen sorokat a 1.14 Példában) Az |xn+1 |/|xn | 1 esetben (is) el®fordulhat, hogy az alább tétel segítségével el lehet dönteni a végtelen sor abszolút konvergenciájának kérdését: Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 15 1.44 Tétel (Raabe-kritérium) Tegyük fel, hogy minden

pozitív egész n-re an > 0, és legyen µ Rn := n ¶ an −1 . an+1 P I) Ha az (Rn ) sorozatnak van 1-nél nagyobb lokális alsó korlátja, akkor a (an ) végtelen sor konvergens, P II) ha az 1 szám lokális fels® korlátja az (Rn ) sorozatnak, akkor a (an ) végtelen sor divergens. Bizonyítás. I) A feltétel szerint van olyan pozitív r és olyan pozitív egész N , amelynél nem kisebb k egészek mindegyikére µ k ¶ ak − 1 ≥ 1 + 2r. ak+1 Található olyan (N -nél nem kisebb) M küszöbindex is, amelyt®l kezdve minden k -ra ! ¡ õ ¢1+r ¶1+r 1 + k1 −1 1 −1 = 1 + 2r > k 1+ 1 k k (ugyanis az utóbbi egyenl®tlenség jobb oldalán álló sorozat határértéke 1 + r, ami az átviteli elvb®l, valamint abból a tényb®l következik, hogy az 1 + r kitev®j¶ hatványfüggvény deriváltja az 1 helyen 1 + r), ezért minden k ≥ N esetén ak ≥ ak+1 µ ¶1+r µ ¶1+r k+1 1 1+ = , k k azaz ak+1 ≤ ak 1 (k+1)1+r 1 k1+r . P Innen a (an ) végtelen

sor konvergenciája a hányados-majoráns kritérium (1.37) alapján adódik: a majoráns sor n-edik tagja 1/n1+r . II) Az Rk ≤ 1 egyenl®tlenség átrendezésével most azt kapjuk, hogy ak /ak+1 ≤ (k + 1)/k , azaz minden k ≥ N egészre k ak+1 ≥ = ak k+1 1 k+1 1 . k P 1 Innen, a ( n ) sor pozitív tagú divergens voltából, és a hányados-minoráns kritériumból (1.39) következik, hogy a végtelen sorunk divergens. 1.45 Következmény A tétel jelöléseit használva, tegyük fel, hogy létezik a lim(Rn ) =: A Ha A > 1,akkor a végtelen sor konvergens, ha A < 1, akkor a végtelen sor divergens. ¡ ¢ 1.46 Példa Az n 7 | αn | =: an sorozatból képezett végtelen sor pontosan akkor konvergens, ha α ≥ 0. Bizonyítás. Ha α nemnegatív egész, akkor az (an ) sorozatnak az α-nál nagyobb index¶ tagjai mind nullával egyenl®k, így a részletösszeg-sorozat azért konvergens, mert egy küszöb fölött konstans. Ha α mindegyik nemnegatív egészt®l

különböz® valós szám, akkor az (an ) pozitív tagú sorozat, s megmutatjuk, hogy a hozzá tartozó Raabe-féle (Rn ) segédsorozat konvergens: ha n > α, akkor n+1 n−α+α+1 α+1 an = = =1+ , an+1 |α − n| n−α n−α Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 16 ezért n α + 1, n−α tehát az el®z® Következmény szerint a bizonyítást befejeztük. Rn = (α + 1) A további elégséges feltételek már csak a konvergenciára adnak elégséges feltételt, az abszolút konvergencia vizsgálatára nem alkalmasak. 1.47 Tétel (Leibniz tétele) Ha (xn ) olyan számsorozat, amely teljesíti a következ® három feltételt: (a) (xn ) nullsorozat, (b) (|xn |) monoton, (c) minden pozitív egész n-re xn · xn+1 < 0, akkor P I. (xn ) konvergens, P P II. Minden n ∈ Z + esetén | nk=1 xk − ∞ k=1 xk | ≤ |xn+1 |. Bizonyítás. Legyen minden pozitív egész n-re sn := n X xk , an := s2n−1 , bn := s2n . k=1 A (c) feltételb®l következik, hogy az

(xn ) sorozatnak vagy minden páratlan index¶ tagja pozitív és minden páros index¶ tagja negatív, vagy minden páratlan index¶ tagja negatív és minden páros index¶ tagja pozitív. Foglalkozzunk egyel®re az utóbbi esettel I. Ekkor minden n-re an+1 − an = x2n+1 + x2n = −|x2n+1 | + |x2n | ≥ 0 (egy nemnegatív tagú monoton nullsorozat biztosan monoton fogyó), bn+1 − bn = x2n+2 + x2n+1 = |x2n+2 | − |x2n+1 | ≤ 0 és bn − an = x2n = |x2n | ≥ 0, tehát az (an ), (bn ) sorozatok teljesítik a Cantor-féle axióma feltételeit, s®t, lim(x2n ) = 0 miatt még a közösponttétel feltételeit is. E két sorozatnak van tehát egy közös c határértéke Ebb®l következik, hogy c = lim(sn ) (ha valamely ε hibakorlát esetén az (an ), (bn ) sorozatokhoz jó a közös M küszöbindex, akkor az (sn ) sorozathoz jó a 2M küszöbindex). II. Becsüljük meg el®bb a páratlan, majd a páros index¶ részletösszegeknek a c-t®l való eltérését: |s2n−1 − c| = c

− an ≤ bn − an = |x2n |, |s2n − c| = bn − c ≤ bn − an+1 = −x2n+1 = |x2n+1 |. Ha minden n-re xn = (−1)n+1 · |xn |, akkor a (−xn ) P sorozatra alkalmazhatjuk az eddig bizonyítottakat; ezek után  felhasználva azt a tényt, hogy a (−xn ) végtelen sor részletösszeg-sorozata a (−sn ) sorozat  abból, hogy lim(sn ) = − lim(−sn ), illetve |sn − lim(sn )| = | − sn − (− lim(sn ))| ≤ | − xn+1 | = |xn+1 |, következik az I., illetve a II állítás az (xn ) sorozatra vonatkozóan is 1.48 Megjegyzés A bizonyításból kiolvasható, hogy ha (|xn |) szigorúan monoton fogyó, akkor a II. egyenl®tlenségben a ≤ jelet kicserélhetjük <-re (ugyanis ha a Cantor-féle közösponttételben szerepl® (an ), (bn ) sorozatok szigorúan monoton sorozatok, akkor a zárt [an , bn ] intervallumok egyetlen közös pontja a nyílt (an , bn ) intervallumoknak is eleme). Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 1.49 Következmény Minden t ∈

(−1, 0) esetén az n 7 konvergens. ¡t¢ n 17 =: xn sorozatból képezett végtelen sor Bizonyítás. Minden nemnegatív egész n-re t−n xn+1 t+1 = = −1 + ∈ (−1, 0), xn n+1 n+1 tehát (xn ) teljesíti Leibniz tételének (b) és (c) feltételét. Annak bizonyítása céljából, hogy az (a) feltételt is teljesíti, vagyis azt, hogy (|xn |) nullsorozat, a(z 1-nél nagyobb számokból képezett) többtényez®s szorzatPesetére általánosított Bernoulli-egyenl®tlenséget alkalmazzuk, valamint azt a tényt, hogy az n 7 nk=1 k1 sorozat határértéke +∞, s így a reciproka nullsorozat: ¯µ ¶¯ ¯ t ¯ 1 ¯ ¯ = ¯ n ¯= n! |t| · |t − 1| · . · |t − n + 1| = 1 = [1 − (t + 1) + (t + 1)] · [2 − (t + 1) + (t + 1)] · . · [n − (t + 1) + (t + 1)] [1 − (t + 1)] · [2 − (t + 1)] · . · [n − (t + 1)] = n · Y 1 1+ k=1 t+1 k − (t + 1) ¸≤ 1 + (t + 1) · 1 n X k=1 1 k − (t + 1) ≤ 1 1 . · n X t+1 1 k k=1 A most bevezetend® fogalom

a következ® két tételben fog szerephez jutni. 1.50 Deníció (korlátos változású számsorozat) Az (xn ) számsorozatot akkor nevezzük kor- látos változásúnak, ha az n 7 (xn+1 − xn ) sorozatból képezett végtelen sor abszolút konvergens. P (|xn+1 − xn |) sor − xn ) sor konvergenciája, és az utóbbi az n 7 xn+1 − x1 1.51 Megjegyzés Ha (xn ) korlátos változású, akkor konvergens, hiszen a P konvergenciájából következik a sorozat konvergenciáját jelenti. (xn+1 1.52 Feladat Bizonyítandó, hogy egy számsorozat pontosan akkor korlátos változású, ha el®állítható két konvergens monoton növ® sorozat különbségeként PnA bizonyításhoz segítségként annyit jegyzünk meg, hogy ha (xn ) korlátos változású és an := k=1 |xk−1 − xk | (x0 := 0), akkor az n 7 an − xn sorozat monoton növ®. 1.53 Tétel (Dirichlet tétele) Ha az (yn )Psorozat (sn ) részletösszeg-sorozata korlátos, és (xn ) P korlátos változású nullsorozat,

akkor mind a (sn (xn − xn+1 )), mind a (xn yn ) végtelen sor konvergens, s a hozzájuk tartozó sorössszegek egyenl®k. Bizonyítás. A P sn (xn − xn+1 ) végtelen sor abszolút konvergens (1.25), tehát konvergens Bevezetve az s0 := 0 jelölést, minden pozitív egész k -ra yk = sk − sk−1 , ezért n X k=1 xk y k = n X k=1 xk (sk − sk−1 ) = n X k=1 xk sk − n X k=2 xk sk−1 = n X k=1 xk sk − n−1 X k=1 xk+1 sk = Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok = xn s n + n−1 X 18 sk (xk − xk−1 ), k=1 következésképp lim n∞ n X k=1 xk yk = lim xn sn + n∞ ∞ X sk (xk − xk+1 ) = k=1 ∞ X sk (xk − xk+1 ). k=1 1.54 Következmény Ha (xn ) korlátos változású nullsorozat (például monoton nullsorozat), és t ∈ R, akkor mind az (xn sin nt), mind az (xn cos nt) sorozatból képezett végtelen sor konvergens. Bizonyítás. A t 7 sin kt függvény minden pozitív egész k esetén 2π szerint periodikus, ezért

feltehet®, hogy 0 ≤ t < 2π , s®t, a t = 0 esetet is kizárhatjuk a továbbiakban, hiszen ekkor a sor konvergenciája triviális módon teljesül (a részletösszeg-sorozat azonosan nulla). Dirichlet tétele szerint elég azt igazolni, hogy mind a (sin nt), mind a (cos nt) sorozat részletösszeg-sorozata korlátos. Konkrétan azt lehet igazolni, hogy mindkét esetben mindegyik részletösszeg abszolút értéke felülr®l becsülhet® a sin t/2 szám reciprokával. Legyen például yn := sin nt, ekkor ¯ ¯ ¯ n ¯ ¯ µ ¶ µ ¶ ¸¯¯ n n · ¯ ¯ ¯X ¯ ¯ 1 X X 1 1 t¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 sin kt sin ¯ = ¯ cos k − t − cos k + t ¯= sin kt¯ = ¯ ¯ t t ¯ ¯ ¯ ¯ 2 sin 2 2 ¯ ¯ 2 sin 2 k=1 2 2 k=1 k=1 ¯ ¯ ¯ µ ·¯ µ ¶ ¯ ¶ ¯¸ ¯ t t ¯¯ ¯¯ 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ ¯ . − cos n + t¯ ≤ t¯ ≤ = t ¯cos t ¯cos ¯ + ¯cos n + 2 2 2 2 2 sin 2 2 sin 2 sin 2t Ha yn := cos nt, akkor a részletösszegek abszolút értékének becslése közben nem a sin kt

sin 2t szorzatot alakítjuk át a koszinuszfüggvényre vonatkozó addíciós képlet segítségével, hanem a cos kt sin 2t szorzatot a szinuszfüggvényre vonatkozó addíciós képlet segítségével. P 1.55 Tétel P (Abel tétele). Ha a (yn ) végtelen sor konvergens és (xn ) korlátos változású sorozat, akkor a (xn yn ) végtelen sor konvergens. Bizonyítás. Az el®z® tétel bizonyítását az utolsó lépésig másolhatjuk, majd P ott a lim(xn sn ) helyébe nem a 0 számot, hanem a tényez®k határértékeinek szorzatát, vagyis a lim(xn ) számnak a szorzatát írhatjuk. ∞ k=1 yk sorösszegnek és a 2. HATVÁNYSOROK Ebben a fejezetben az x paramétert tartalmazó (an (x − c)n ) alakú sorozatokból képezett végtelen sorokkal foglalkozunk, ezeket nevezzük hatványsoroknak. Itt sorozaton általában a nemnegatív egészek halmazán értelmezett függvényt értünk Vizsgálni fogjuk, hogy adott (an ) sorozat (együtthatósorozat) és c ∈ R (a hatványsor

középpontja) esetén mit lehet állítani azoknak az x valós számoknak a KHc (an ) halmazáról, amelyekre ez a végtelen sor konvergens (ezt a hatványsor konvergenciahalmazának nevezzük, innen a KH rövidítés), milyen tulajdonságai vannak a KHc (an ) 3 x 7 ∞ X ak (x − c)k =: S(x) k=0 függvénynek, melyet a hatványsor összegfüggvényének nevezünk, majd azt vizsgáljuk, hogy konkrétan adott f függvényhez és c számhoz lehet-e találni, s ha igen, hogyan lehet találni olyan (an ) sorozatot, amelyre a fenti S függvény éppen az f -et, vagy annak egy lesz¶kítését adja. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 19 2.1 Deníció Ha egy hatványsor együttható-sorozata (an ), akkor a hatványsor konvergenciasugarát így értelmezzük, illetve jelöljük: p  n |an |) felülr®l nem korlátos, 0, ha (   p  +∞, ha ( n |an |) nullsorozat, R(an ) := p 1  n  p , ha lim |an |) pozitív szám. sup(  n lim sup( |an |) 2.2 Tétel

(CauchyHadamard-tétel) Bármely (an ) valós számsorozat, c ∈ R és x ∈ R esetén P I. |x − c| < R(an ) ⇒ P(an (x − c)n ) abszolút konvergens, II. |x − c| > R(an ) ⇒ (an (x − c)n ) divergens Bizonyítás. Minthogy nyilván KHc (an ) = {c} + KH0 (an ), az általánosság csorbítása nélkül fel- tehet®, hogy c = 0. I. Legyen |x| < R(an ) és K ∈ (|x|, R(an )) A konvergenciasugár deníciójában szerepl® három eset p n közül az els® most nem állhat fenn (a nemnegatív |x| nem lehet kisebb, mint 0), de az ( |an |) sorozat fels® határértéke akár nulla, akár pozitív szám, 1/K lokális fels® korlátja ennek a sorozatnak, mert p n n |) = |a x nagyobb a fels® határértékénél, így az 1 -nél kisebb |x|/K szám lokális fels® korlátja az ( n p (|x| n |an |) sorozatnak, amib®l a gyökkritérium alapján adódik az állítás. II. Tegyük felp most, hogy |x| > R(an ). Ekkor |x| szükségképpen pozitív szám, és a reciproka kisebb,

p n |a mint lim sup( n |an |), ezért 1/|x| nem lehet p lokális fels® korlátja az n |) sorozatnak, azaz végtelen p n n |an |(⇔ 1 < |x| |an |) egyenl®tlenség. Innen ismét a sok n pozitív egészre teljesül az 1/|x| < gyökkritériumból  ezúttal mint divergenciakritériumból  következik az állítás. E tétel után elméletileg csak két nyitott kérdés maradhat a konvergenciahalmaz  melyet ett®l kezdve konvergenciaintervallumnak is nevezhetünk  meghatározását illet®en, az is csak akkor, ha R := R(an ) pozitív szám, nevezetesen az, hogy a c ± R számok benne vannak-e a konvergenciahalmazban. Minden egyes pozitív R esetén mind a négy variáció el®fordulhat, például: ¶ ¶ µ µ 1 1 = [−R, R], = [−R, R), KH0 KH0 n2 Rn nRn ¶ µ µ ¶ (−1)n 1 = (−R, R], = (−R, R), KH0 KH0 n nR Rn abban a három esetben, ahol a fenti formula nevez®je n = 0 esetén nullát adna, értelmezzük a nulladik tagot például nullának. Az összegfüggvény (egy

lesz¶kítésének) dierenciálhatóságáról szóló tétel el®készítéseképpen megmutatjuk, hogy bármely hatványsor konvergenciasugara megegyezik a bel®le tagonkénti k -szoros deriválással származtatható k -adik derivált sor konvergenciasugarával: 2.3 (an ) valós számsorozat és minden egyes k pozitív egész esetén R(an ) = Ã Lemma. Bármely ! R an+k k Y (n + i) . i=1 Bizonyítás. k szerinti teljes indukciót alkalmazunk k = 1 esetén, amikor azt kell igazolni, hogy R(an ) = R((n + 1)an+1 ), el®ször az R((n + 1)an+1 ) ≤ R(an ) egyenl®tlenséget bizonyítjuk, vagyis azt, hogy minden valós x-re |x| < R((n + 1)an+1 ) ⇒ |x| ≤ R(an ), amihez az P el®z® tétel szerint n elég azt igazolni, hogy Pha az xnhelyen a derivált sor abszolút konvergens, azaz ((n + 1)|an+1 ||x| ) konvergens, akkor a (|an ||x| ) sor is konvergens. Abból, hogy a derivált sor az x helyen abszolút Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 20 P konvergens,

következik, hogy a ((n + 1)|an+1 |x|n+1 sor is konvergens, ami egyenérték¶ azzal, hogy P n aP (n|an ||x| ) végtelen sor konvergens, innen a majoráns kritérium alapján következik, hogy a |an ||x|n végtelen sor is konvergens. Indirekt úton folytatjuk: tegyük fel, hogy R((n + 1)an+1 ) < R(an ), és rögzítsünk e két konvergenciasugár között egy p, és egy nála nagyobb r számot. Ekkor q := p/r ∈ (0, 1) miatt nq n 0, ezért van olyan N küszöbindex, amely fölött minden n egészre nq n ≤ 1, következésképpen ³ p ´n |an |rn ≤ |an |rn . n|an |pn = n r P Innen a majoráns kritérium segítségével következtethetünk arra, hogy a (n|an |pn ) sor konvergens, P P vagyis arra, hogy a ((n + 1)|an+1 |pn+1 ) sor konvergens, tehát a ((n + 1)|an+1 |pn ) sor konvergens, ami ellentmond az el®z® tételnek, hiszen p nagyobb a derivált sor konvergenciasugaránál. Ha egy k pozitív egészre az állítás igaz, akkor alkalmazhatjuk a k = 1 esetre bizonyítottakat az

n 7 akn := k Y an+k (n + i) sorozatra: az ehhez tartozó konvergenciasugár egyenl® az n 7 (n + 1)akn+1 = ak+1 n i=1 sorozathoz tartozóval, ami éppen azt jelenti, hogy az állítás k helyett k + 1-re is igaz. 2.4 Tétel Ha a P (an (x−c)n ) hatványsor konvergenciasugara nem nulla, akkor az összegfüggvénye végtelen sokszor dierenciálható a konvergenciaintervallumának belsejében, és a derivált függvényeket tagonkénti deriválással kaphatjuk, pontosabban: ha k pozitív egész és |u − c| < R(an ), akkor " k # ∞ ∞ X Y X n(n − 1) . (n − k + 1)an (u − c)n−k = (n + i) an+k (u − c)n . S (k) (u) = n=1 n=k i=1 Bizonyítás. I El®ször az egyszeres dierenciálhatóságot, és az els® deriváltra vonatkozó formulát igazoljuk. Most is feltehetjük, hogy c = 0, hiszen ha a c = 0-hoz tartozó összegfüggvényt S0 lal jelöljük, akkor az S(x) = S0 (x − c) azonosságból és S0 dierenciálhatóságából következik S

dierenciálhatósága, és az, hogy S 0 (x) = S00 (x − c). Legyen tehát u tetsz®leges bels® pontja a konvergenciaintervallumnak, azaz legyen |u| < R(an ), rögzítsünk egy olyan r pozitív számot is, amelyre |u| + r < R(an ), végül vezessük be az A := ∞ X nan un−1 n=1 jelölést. A tétel el®tt bizonyított lemma szerint ez egy jól deniált valós szám, azt kell igazolnunk, hogy S0 dierenciálható az u helyen és S00 (u) = A. Ha az eredeti sor együtthatósorozatára és k = 2re a lemmát, majd a (0 középpontú) második derivált sorra a CauchyHadamard-tételt alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy a második derivált sor abszolút konvergens az |u| + r helyen. Vagyis az ((n + 2)(n + 1)|an+2 |(|u| + r)n ) sorozatból képezett végtelen sor konvergens, ami akár úgy is kifejezhet®, hogy az ¢∞ ¡ n(n − 1)|an |(|u| + r)n−2 n=2 sorozatból képezett végtelen sor konvergens. Jelöljük az utóbbi sor összegét B -vel Minden 1nél nagyobb n

egész esetén alkalmazzuk a másodrend¶ maradéktagos Taylor-formulát az x 7 xn Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 21 függvényre: minden 0-tól különböz® és r-nél kisebb abszolút érték¶ h-hoz található olyan (0, 1)-beli tn (h) szám, amelyre 1 |(u + h)n − un − nun−1 h| = n(n − 1)|(u + tn (h)h)n−2 h2 | ≤ 2 n(n − 1)h2 n(n − 1)h2 (|u| + |tn (h)||h|)n−2 ≤ (|u| + r)n−2 , 2 2 emiatt az n 7 |an ||(u + h)n − un − nun−1 h| sorozatból képezett sor is konvergens, összege n = 2-t®l végtelenig (vagy ami ugyanannyi: n = 1-t®l végtelenig) nem nagyobb, mint h2 B/2. A 0 < |h| < r feltételeknek eleget tev® h számokra tehát #¯ ¯ ¯¯ "X ¯ ∞ ¯ X ¯ ¯1 ∞ ¯1 ¯ n n ¯ [S0 (u + h) − S0 (u) − Ah]¯ = ¯ a (u + h) − a u − Ah ¯= n n ¯ ¯h ¯h ¯ n=0 n=0 ¯ ¯ ∞ ∞ ¯ ¯1 X 1 X B ¯ n n n−1 ¯ a [(u + h) − u − nu h] ≤ |an ||(u + h)n − un − nun−1 h| ≤ |h|, ¯ ¯ n ¯ |h| ¯h 2 n=1 n=2 ≤

amib®l már következik, hogy 1 lim [S0 (u + h) − S0 (u) − Ah] = 0, h0 h vagyis S00 (u) = A. II. Ezek után a k -szoros dierenciálhatóság és a k -adik deriváltra vonatkozó formula k szerinti teljes indukcióval kapható. A k = 1 esetet az I részben elintéztük, s az indukciós lépés egyszer¶en abból áll, hogy alkalmazni kell az I. részben bizonyítottakat arra a c középpontú hatványsorra, amelynek együtthatósorozata a lemma bizonyításának végén értelmezett n 7 akn sorozat. 2.5 Következmény Ha valamely valós c és a c-t tartalmazó I nyílt intervallum mellett a végtelen sokszor dierenciálható f : I R függvény el®áll egy c középpontú hatványsor összegfüggvényeként, vagy egy ilyen összegfüggvény lesz¶kítéseként, akkor a hatványsor együtthatósorozata csakis az n 7 f (n) (c)/n! sorozat lehet. Bizonyítás. Ha tehát a c középpontú hatványsor együtthatósorozata (an ), összegfüggvénye S és S|I = f , akkor e

feltételb®l rögvest adódik, hogy f (c) = S(c) = a0 , és amiatt, hogy az el®z® tétel szerint minden pozitív egész n-re is S (n) (c) = n!an , és a függvény c pontbeli n-edik deriváltjának értéke nem függ a függvénynek a c egy környezetén kívül felvett értékeit®l, ugyanez állítható az f függvényr®l. 2.6 Megjegyzés Vegyük észre, hogy az el®z® következmény olyan szituációról szólt, amikor a hatványsor részletösszeg-sorozata az f függvény c pont körüli Taylor-polinomjainak sorozata, vagyis f polinomsorozat. az n 7 Tc,n 2.7 Deníció (Taylor-sor) Ha a valós f függvénynek mindegyik deriváltja létezik a c pontban, akkor az f függvény c körüli Taylor-során az a c körüli hatványsor értend®, amelynek együtthatóf fogja sorozata az (f (n) (c)/n!) sorozat. Az f függvény c körüli Taylor-sorának összegfüggvényét Tc,∞ jelölni. A  0 körüli Taylor-sor helyett használatos a Maclaurin-sor (ejtsd: mekloren) elnevezés

is 2.8 Megjegyzés A 25 Következmény ezek után így is fogalmazható: Ha valamely valós c és a c-t tartalmazó I nyílt intervallum mellett a végtelen sokszor dierenciálható f : I R függvény el®áll egy c középpontú hatványsor összegfüggvényeként, vagy egy ilyen összegfüggvény lesz¶kítéseként, akkor a hatványsor csakis az f függvény c körüli Taylor-sora lehet. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 22 2.9 Deníció Ha valamely valós c, a c-t tartalmazó J intervallum, és J ⊂ H ⊂ R mellett az f : H R függvény J -re való lesz¶kítése el®áll az f c középpontú Taylor-sorának összegfüggvényeként, vagy annak lesz¶kítéseként, akkor azt mondjuk, hogy f c középpontú Taylor-sorba fejthet® f a J intervallumon. Speciálisan az f = Tc,∞ esetben azt mondjuk, hogy f c középpontú Taylor-sorba fejthet®. 2.10 Megjegyzés Az el®z® megjegyzés szerint ebben a denícióban az el®áll az f c középpontú

Taylor-sorának összegfüggvényeként kifejezés helyettesíthet® azzal is, hogy el®áll c középpontú hatványsor összegfüggvényeként. Lássunk példát olyan végtelen sokszor dierenciálható függvényekre, amelyek 0 középpontú Taylor-sorba (azaz Maclaurin-sorba) fejthet®k. f 2.11 Megjegyzés Vegyük észre, hogy az f = T0,∞ egyenl®séget már igazoltuk az f = exp esetre (1.9), exp az exp = T0,∞ egyenl®ség felhasználásával könnyen lehet igazolni az f = ch, f = sh esetekre, az 1.5 Tétel felhasználásával könnyen lehet igazolni az f : (−1, 1) R, x 7 1/(1 − x) függvényre, a deníciók felhasználásával könnyen lehet igazolni tetsz®leges valós együtthatós polinomfüggvényre. 2.12 Megjegyzés (A (cos, sin, π) hármas értelmezésének befejezése) Mondhatná valaki, cos sin hogy már igazoltuk a T0,∞ = cos és a T0,∞ = sin egyenl®séget is (1.10, 111), azonban pontosabban a következ® a helyzet: A Dierenciálszámítás cím¶

fejezetben bizonyítottuk egyrészt azt, hogy legfeljebb egy olyan  az összes valós számok halmazát önmagába képez® függvényekb®l álló  (C, S) függvénypár létezik, amely teljesíti az alábbi feltételeket: 1) ∀ x ∈ R C 2 (x) + S 2 (x) = 1, 2) ∀ x, y ∈ R C(x + y) = C(x)C(y) − S(x)S(y), 3) ∀ x, y ∈ R S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y), S(x) , 4) ∃ r > 0 ∀ x ∈ (0, r) C(x) 6= 0 és 0 < S(x) < x < C(x) másrészt azt, hogy egy R R függvényekb®l álló (C, S) függvénypárra pontosan akkor teljesül ez a négy feltétel, ha C és S egyaránt dierenciálhatók, C 0 = −S , S 0 = C , C(0) = 1 és S(0) = 0. Ezekb®l a tulajdonságokból kiindulva mutattuk meg azt, hogy ha létezik ez a (C, S) függvénypár, akkor C és S szükségképpen egy-egy hatványsor összegfüggvénye: minden valós x-re C(x) = ∞ X (−1)n n=0 (2n)! x2n és S(x) = ∞ X (−1)n 2n+1 x . (2n + 1)! n=0 Az, hogy ezek a sorok minden valós x esetén

konvergensek, más úton is igazolható: például a hányados kritériumból következik, hogy mindkét sor minden nullától különböz® valós x-re abszolút konvergens. Ezután a fenti egyenl®ségeket  a bal oldalon a közismert cos x, illetve sin x jelöléseket használva  deniáló egyenl®ségeknek is tekinthetjük: a két összegfüggvény legyen deníció szerint a koszinusz-, illetve a szinuszfüggvény. Ezekb®l a deníciókból közvetlenül kiolvasható, hogy cos 0 = 1 és sin 0 = 0, míg a 2.4 Tételb®l következik, hogy mindkét összegfüggvény dierenciálható, továbbá hogy cos0 = − sin és sin0 = cos, vagyis ez valóban a keresett függvénypár. Ezzel közvetve a π szám értelmezését is befejeztük: láttuk, hogy ha létezik a koszinusz-szinusz függvénypár, akkor a koszinuszfüggvénynek van legkisebb pozitív gyöke, ennek a kétszeresét jelöltük π -vel. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 23 2.13 Tétel Tegyük fel, hogy a

J nyílt intervallum része az f függvény értelmezési tartományának, J vagy korlátos, ez esetben jelöljük a középpontját c-vel, vagy J = R, ez esetben c legyen tetsz®leges valós szám. Ha f dierenciálható a J minden pontjában, és van olyan (a0n ) sorozat, amelyre minden x ∈ J esetén ∞ X 0 f (x) = a0n (x − c)n , n=0 akkor f c középpontú Taylor-sorba fejthet® a J intervallumon, és minden pozitív egész n-re f (n) (c)/n! = an := a0n−1 /n. Bizonyítás. Legyen r := +∞, ha J = R és r := (sup J − inf J)/2P , ha J korlátos. A tétel feltétele, illetve a 2.3 Lemma szerint r ≤ R(a0n ) = R(an ), ezért J része a (an (x − c)n ) hatványsor konvergenciahalmazának, s a 2.4 Tétel szerint e hatványsor összegfüggvényének deriváltja a J intervallumon megegyezik az f 0 függvénnyel Ebb®l következik, hogy ha a0 := f (c), akkor ennek az összegfüggvénynek a J intervallumra való lesz¶kítése éppen f |J . arth 2.14 Tétel arth = T0,∞ ,

minden x ∈ (−1, 1) esetén arth x = ∞ X k=0 1 x2k+1 . 2k + 1 Bizonyítás. Az el®z® tételt fogjuk alkalmazni a c := 0, J := (−1, 1)(= D(arth)), f := arth szereposztással. Minden (−1, 1)-beli x-re ∞ ∞ X X 1 2k = = x a0n xn , arth (x) = 1 − x2 n=0 k=0 0 ahol a0n értéke páros n-re 1, páratlan n-re 0 (a harmadik egyenl®ség a deníciók egyszer¶ következménye, a második pedig a mértani sor összegképletéé), tehát az el®z® tétel utolsó feltétele is teljesül. Ezek szerint az arth függvény az (−1, 1) intervallumon Taylor-sorba fejthet®, a Taylor-sor mindegyik páros index¶ együtthatója nulla, és minden páratlan n pozitív egészre az n-edik együttható 1/n, P x2k+1 így ennek a Taylor-sornak a konvergenciája bármely valós x helyen egyenérték¶ a ( 2k+1 ) sor konvergenciájával, összege pedig egyenl® az utóbbi sor összegével. Egyszer¶en ellen®rizhet®, hogy sem a −1, sem az 1 szám nincs benne ennek a Taylor-sornak a

konvergenciaintervallumában (1/(2k + 1) ≥ (1/2)(1/(k + 1)), és a harmonikus sor összege +∞, ezért a hatványsor összege a −1 helyen −∞, az 1 helyen +∞), vagyis a Taylor-sor összegfüggvényének értelmezési tartománya is megegyezik az (−1, 1) intervallummal. 2.15 Tétel (Abel folytonossági tétele) Bármely hatványsor összegfüggvénye folytonos Bizonyítás. Jelölje a hatványsor együtthatósorozatát (an ), ennek részletösszeg-sorozatát (sn ), konvergenciasugarát R, és összegfüggvényét S . Ha R = 0, akkor S azért folytonos, mert értelmezési tartománya egyelem¶, tehát ez az egyetlen elem (a hatványsor középpontja) izolált pontja D(S)-nek. Ha R = +∞, akkor az el®z® tétel szerint S (végtelen sokszor) dierenciálható, ezért folytonos. A továbbiakban tehát feltehetjük, hogy R pozitív szám. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük ismét azt is, hogy a hatványsor középpontja a 0 szám (S(x) = S0 (x−c)).

Ugyancsak az el®z® tételb®l következik, hogy S folytonos a (−R, R) intervallum pontjaiban, tehát csak azt kell igazolnunk, hogy ha R vagy −R eleme a konvergenciaintervallumnak, akkor S ott (balról, illetve jobbról) folytonos. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 24 Ehhez viszont elég azt igazolnunk, hogy ha az 1 szám benne van a hatványsor konvegrenciaintervallumában, akkor az összegfüggvény ott balról folytonos. Valóban, ha ezt már bizonyítottuk, akkor ebb®l úgy következik az el®z® két állítás, hogy ezt az (an /Rn ), illetve az (an /(−R)n ) együtthatósorozatra alkalmazzuk: az ezekhez tartozó  továbbra is 0 középpontú  hatványsor összegfüggvénye nyilván az S ◦ (R · id), illetve az S ◦ (−R · id) függvény, s az utóbbiak közül akármelyiknek az 1 helyen való folytonosságából következik S -nek az R, illetve a −R helyen való folytonossága. Végül még egy redukciós lépés: az általánosság csorbítása

nélkül feltehet®, hogy S(1) = 0. Ha ugyanis ebben az esetben igaz az állítás, ebb®l úgy következik az általános eset, hogy ezt egy megváltoztatott együttható-sorozatra alkalmazzuk: a0 -t kicseréljük a0 − S(1)-re, ebb®l megkapjuk, hogy az x 7 S(x) − S(1) függvény folytonos az 1 helyen. Legyen tehát ε tetsz®leges pozitív P szám, N pedig olyan pozitív egész, amelynél nagyobb n egészek mindegyikére |sn | < ε/2, K := 1 + N k=0 |sk |, végül x tetsz®leges 1-nél kisebb és 1 − ε/(2K)-nál nagyobb pozitív szám. A Dirichlet-kritériumot (153) alkalmazzuk az (an xn ) sorozatból képezett végtelen sorra (azért lehet rá alkalmazni , mert (xn ) monoton fogyó nullsorozat és (sn ) konvergens, tehát korlátos): ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ ∞ ∞ ¯X ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ k¯ k k+1 ¯ k¯ |S(x) − S(1)| = |S(x)| = ¯ ak x ¯ = ¯ sk (x − x )¯ = ¯(1 − x) sk x ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=0 k=0 k=0 ∞ X ε ε ε ε k x ≤ (1 − x)K + xN +1

< + = ε , |sk ||x| + (1 − x) ≤ (1 − x) 2 2 2 2 k=N +1 k=0 N X k az els® egyenl®tlenséghez felhasználtuk azt a tényt, hogy minden N -nél nagyobb n egész esetén ¯ n ¯ n n n ¯ X ¯ X X X ε k ¯ k k¯ k x , |sk |x ≤ sk x ¯ ≤ |sk x | = ¯ ¯ ¯ 2 k=N +1 k=N +1 k=N +1 k=N +1 következésképp az egyenl®tlenségnek a határértékek között is, és így ezek (1 − x)-szeresei között is fenn kell állnia, míg a második egyenl®tlenséghez K denícióját és a mértani sor összegképletét (1.5) 2.16 Következmény Ha a nemelfajuló I intervallum egyenl® az f függvény c körüli Taylor- sorának konvergenciaintervallumával, f folytonos az I intervallum minden pontjában, és I minden f f egyes x bels® pontjában f (x) = Tc,∞ (x), akkor Tc,∞ = f |I . arctg 2.17 Tétel T0,∞ = arctg |[−1,1] , minden x ∈ [−1, 1] esetén ∞ X (−1)n 2n+1 x . arctg x = 2n + 1 n=0 Bizonyítás. Az arctg függvény dierenciálható, ezért az el®z®

következmény szerint (amelyet ter- mészetesen az f := arctg, c := 0, I := [−1, 1] szereposztással szeretnénk alkalmazni) a tétel els® állításának bizonyítása céljából elég a következ® két állítást igazolni: 1) az arctg függvény Taylorsorba fejthet® a (−1, 1) intervallumon, 2) az arctg függvény Taylor-sorának konvergenciaintervalluma a [−1, 1] intervallum. Az 1) állítás a 2.13 Tételb®l következik, hiszen ismét a mértani sor összegképlete alapján minden x ∈ (−1, 1)-re ∞ ∞ X X 1 n 2n 0 = (−1) x = a0n xn , arctg (x) = 1 + x2 n=0 n=0 Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 25 ahol az (a0n ) sorozat páratlan index¶ tagjai nullával egyenl®k és minden nemnegatív egész k -ra a2k = (−1)k . Az arctg függvény Taylor-sorának konvergenciasugara nem lehet 1-nél nagyobb, hiszen akkor az arctg0 függvényé is 1-nél nagyobb adódna, hogy létezne olyan P nlenne, amib®l az a képtelenség 2 (−1)-nél kisebb q szám,

amelyre (q ) konvergens lenne (q = −x , |x| > 1). Az el®bbiekb®l tehát megkaptuk egyrészt azt, hogy a két Taylor-sor közös konvergenciasugara 1, másrészt azt, hogy az arctg függvény 0 körüli Taylor-sorának (an ) együtthatósorozatára a2k = 0 és a2k+1 = (−1)k /(2k + 1), P (−1)k x2k+1 úgyhogy konvergencia és sorösszeg szempontjából ugyanúgy viselkedik, mint a ( 2k+1 ) sor (tehát a tétel második állításának bizonyításával nem kell külön foglalkoznunk). Végül Leibniz tételéb®l következik, hogy az utóbbi sor az x = ±1 helyeken konvergens. P (−1)k 1 1 1 2.18 Következmény (arctg 1 =) π4 = ∞ k=0 2k+1 = 1 − 3 + 5 − 7 + . Ez a formula π közelít® értékeinek számítására gyakorlatilag alkalmatlan: olyan racionális szám (részletösszeg) el®állításához, amely egy milliomod pontossággal közelíti a π/4 számot, körülbelül fél millió tagú összeget kellene kiszámítani. A következ® állítás azt mutatja,

hogy egy kis ötlet bevetésével a szükséges számolás mennyisége radikálisan csökkenthet®. 2.19 Állítás ∞ ∞ X 16(−1)k X 1 1 4(−1)k = π = 16 arctg − 4 arctg − , 5 239 k=0 (2k + 1)52k+1 k=0 (2k + 1)2392k+1 s ha itt az els®, illetve második sor n-edik részletösszegét sn -nel, illetve tn -nel jelöljük, akkor π benne van az s3 − t1 (racionális) szám 10−6 sugarú környezetében. Bizonyítás. Az els® állítás átfogalmazható úgy, hogy ha u := arctg 1/5, akkor v := 4u − π/4 = arctg(1/239), azaz v ∈ (0, π/2) és tg v = 1/239, de ehelyett nyilván elég annyit bizonyítani, hogy tg v = 1/239 és |v| < π/4. Minthogy tg u = 1/5, u ∈ (0, π/4), továbbá tg(2u) = 2 5 1− 1 25 = 5 , 12 és tg(4u) = 10 12 1− 25 144 = 120 , 119 4u olyan (0, π)-beli szám, amelynek tangense pozitív, így 4u ∈ (0, π/2), következésképp |v| < π/4, végül 1 1 tg(4u) − tg(π/4) 119 . tg v = = 239 = 1 + tg(4u) tg(π/4) 239 119 Az

el®z® tételb®l adódik, hogy π el®áll a két sorösszeg klönbségeként. Itt mindkét végtelen sor eleget tesz a Leibniz-tétel feltételeinek, ráadásul mindkét sort olyan sorozatból képeztük, amelynek abszolút értéke szigorúan monoton fogyó. A két sorösszeget s-sel, illetve t-vel jelölve, Leibniz tételének bizonyításából (abból, hogy a sorösszeget melyik intervallumsorozat közös pontjaként kaptuk meg), illetve a Leibniz tétele után tett megjegyzésb®l következnek az alábbi becslések: s2k+1 < s < s2k és t2k+1 < t < t2k , következésképp π − (s3 − t1 ) = (s − s3 ) − (t − t1 ) < (s4 − s3 ) − 0 < és (s3 − t1 ) − π = (s3 − s) − (t1 − t) < t − t1 < t2 − t1 = 16 < 10−6 9 · 59 4 3 4 < < 12 . 5 5 5 · 239 5 · 200 10 Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 26 ln 2.20 Tétel T1,∞ = ln |(0,2] , minden x ∈ (0, 2]-re ln x = ∞ X (−1)n−1 n n=1 n (x − 1)

, speciálisan ln 2 = ∞ X (−1)n−1 n=1 n . Bizonyítás. A módszer ugyanaz, mint az arctg függvény esetében: el®ször az ln0 függvényt fejtjük  ezúttal 1 középpontú  Taylor-sorba a (0, 2) intervallumon: minden x ∈ (0, 2)-re ∞ X 1 1 = (−1)n (x − 1)n . ln (x) = = x 1 − (1 − x) n=0 0 Ebb®l következik, hogy ln0 1 középpontú Taylor-sorának konvergenciasugara legalább 1  de nem lehet 1-nél nagyobb, mert abból megint az következne, hogy a geometriai soré is 1-nél nagyobb lenne. Következmény: az ln függvény 1 középpontú Taylor-sorának konvergenciasugara is 1, és minden x ∈ (0, 2)-re ∞ X (−1)n−1 (x − 1)n ln x = n n=1 (lásd a 2.13 Tételt) Az ln függvény 1 középpontú Taylor-sorának konvergenciahalmaza Leibniz tétele szerint tartalmazza a 2 számot, viszont nem tartalmazza a 0 számot (hiszen ebb®l ismét a harmonikus sor konvergenciájára lehetne következtetni), tehát ismét alkalmazható Abel tételének

következménye (2.16) ln 2.21 Következmény Minden pozitív c esetén Tc,∞ = ln |(0,2c] , ∀ t ∈ (0, 2c] ln t = ln c + ∞ X (−1)n−1 n=1 ncn (t − c)n . Bizonyítás. Minden t ∈ (0, 2c]-re x := t/c ∈ (0, 2], tehát az el®z® tételb®l ∞ t X (−1)n−1 ln = c n=1 n µ ¶n X ∞ t (−1)n−1 −1 = (t − c)n . n c nc n=1 Ha a sor b®vebb intervallumon is konvergálna, akkor konvergálnia kellene a t = 0 helyen is, amib®l megint következne a harmonikus sor konvergenciája. 2.22 Tétel A t kitev®j¶ ¡ ¢ hatványfüggvény 1 középpontú Taylor-sorának együtthatósorozata minden valós t esetén az n 7 nt sorozat, a Taylor-sor összegfüggvénye minden valós t esetén egyenl® a t kitev®j¶ hatványfüggvénynek e Taylor-sor KHt konvergenciaintervallumára való lesz¶kítésével, végül  R, ha t nemnegatív egész,    [0, 2], ha t pozitív, de nem egész, KHt = (0, 2], ha t ∈ (−1, 0),    (0, 2), ha t ∈ (−∞,

−1]. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 27 Bizonyítás. Az els® állítás a hatványfüggvény deriválási szabályának egyszer¶ következménye: a ¡ ¢ t kitev®j¶ hatványfüggvény 1-beli n-edik deriváltjának és n!-nak a hányadosa éppen nt . Legyen el®ször t nemnegatív egész. Tetsz®leges valós x és nemnegatív egész n esetén az x-beli n index¶ részletösszeget sn (x)-szel jelölve, a binomiális együttható deníciójából és binomiális tételb®l következik, hogy minden t-nél nagyobb n-re t µ ¶ X t sn (x) = st (x) = (x − 1)k 1t−k = [(x − 1) + 1]t = xt . k k=0 ¡ ¢ Legyen most t mindegyik nemnegatív egészt®l különböz® valós szám, ekkor az n 7 | nt | =: pn sorozat minden tagja nullától különböz® és pn+1 |t − n| n−t = lim = lim = 1, n∞ pn n∞ n + 1 n∞ n + 1 lim ezért a hányadoskritériumból következik, hogy (0 <)|x − 1| < 1 esetén a Taylor-sor abszolút konvergens, |x − 1| > 1

esetén pedig divergens, következésképp a konvergenciaintervallum végpontjai 0 és 2. Ami a sornak e két végpontban való konvergenciáját illeti, az 146 Példában bizonyítottakból következik egyrészt az, hogy ha t pozitív de nem egész, akkor a Taylor-sor mind a 0, mind a 2 helyen abszolút konvergens, másrészt az, hogy ¡t¢ ¡ t ¢ ha t < 0, akkor a sor a 0 helyen divergens (az utóbbi azért, n mert negatív t esetén n (−1) ¡ ¢ = | n |). Ha t ≤ −1, akkor a sor a 2 helyen is divergens, ugyanis ha t ≤ −1, akkor az n 7 nt sorozat nem nullsorozat (minden tagjának abszolút értéke legalább 1). Végül ha t ∈ (−1, 0), akkor a sor 2 helyen konvergens, amint azt Leibniz tétele után  példaként annak alkalmazására  bizonyítottuk. Rátérve annak bizonyítására, hogy a t kitev®j¶ hatványfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthet® a KHt intervallumon, a bizonyítás elején mondottak szerint feltehet®, hogy t mindegyik nemnegatív

egészt®l különböz®. Minthogy a t kitev®j¶ hatványfüggvény (értelmezett és) folytonos a KHt intervallumon, a Taylor-sorba fejthet®séget elég a nyílt (0, 2) intervallumon igazolni (lásd 216-t) Legyen az összegfüggvénynek a (0, 2) intervallumra való lesz¶kítése f , az x 7 xt függvényé g . Minthogy f (1) = g(1) = 1, elég azt bizonyítani, hogy (f /g)0 azonosan nulla. Minden x ∈ (0, 2) esetén µ ¶0 xf 0 (x) − tf (x) f xt f 0 (x) − txt−1 f (x) (x) = = , g x2t xt+1 igazoljuk, hogy minden x ∈ (0, 2) esetén 0 = xf 0 (x) + tf (x) = (x − 1)f 0 (x) + f 0 (x) − tf (x). Itt mindhárom tag el®állítható 1 középpontú hatványsor összegeként: f deníciója, illetve a 2.4 Tétel szerint µ ¶ µ ¶ ∞ µ ¶ ∞ ∞ X X X t t t n 0 n−1 f (x) = (x − 1) , és f (x) = n (x − 1) = (n + 1) (x − 1)n , n n n + 1 n=0 n=1 n=0 a fenti három tagú összeg els® tagjának sorösszegként való felírásához f 0 (x) els® el®állítását, a második

tagéhoz a másodikat használva, (x − 1)f 0 (x) + f 0 (x) − tf (x) olyan 1 középpontú hatványsor összegeként áll el®, amelyben az n-edik együttható minden nemnegatív egész n-re µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ t t t t n + (n + 1) +t = [n + (t − n) − t] = 0, n n+1 n n úgyhogy az összeg is nulla. Szilágyi T.: Végtelen sorok, hatványsorok 28 f 2.23 Tétel Az f = arcsin és az f = arccos esetben egyaránt fennáll a T0,∞ = f egyenl®ség, arsh T0,∞ = arsh |[−1,1] . Bizonyítás. Az el®z® tételt a −1/2 kitev®j¶ hatványfüggvényre alkalmazva állíthatjuk, hogy min- den y ∈ (0, 2] esetén ¶ ∞ µ ∞ X X −1/2 (2n − 1)!! 1 n = (y − 1) = (1 − y)n √ y n (2n)!! n=0 n=0 (itt a (−1)!! := 0!! := 1 megállapodáshoz csatlakozunk), következésképpen minden x ∈ (−1, 1) esetén ∞ arcsin0 (x) = √ X (2n − 1)!! 1 = x2n . 2 (2n)!! 1−x n=0 Innen a már többször alkalmazott gondolatmenetet követve  lásd például a 2.17 Tétel

bizonyítását  kapjuk, hogy minden x ∈ (−1, 1)-re arcsin x = ∞ X n=0 1 (2n − 1)!! 2n+1 x . 2n + 1 (2n)!! A majoráns kritérium segítségével megmutatjuk, hogy ez a sor az x = ±1 helyeken is (abszolút) konvergens: alkalmazva a szemifaktoriálisok hányadosára vonatkozó közismert fels® becslést, 1 1 (2n − 1)!! 1 ≤ ≤ 3/2 , 3/2 2n + 1 (2n)!! (2n + 1) n és a majoráns sorozatból képezett végtelen sor konvergens (hiperharmonikus sor). Innen Abel arcsin tételének következményéb®l (2.16) adódik, hogy T0,∞ = arcsin, továbbá hogy arcsin x fenti el®állítása x = ±1 esetén is érvényes  amib®l újabb érdekes formulát kaphatunk a π számra. Az arsh függvényre vonatkozó állítások hasonlóan igazolhatók, e függény 0 körüli Taylor-sorának együtthatósorozata úgy kapható az arcsin függvényéb®l, hogy azt meg kell szorozni az n 7 (−1)n sorozattal. Az arccos függvényre vonatkozó állítások akár következménynek is

tekinthet®k, felhasználandó az arccos + arcsin = π/2 azonosság Végül megemlítjük Abel folytonossági tételének még egy érdekes következményét. P P (an ) és (bn ) konvergens végtelen sorok, összegük A, illetve B , továbbá e sorok Cauchy-szorzata is konvergens, akkor az utóbbi sor összege egyenl® AB -vel. 2.24 Tétel Ha Bizonyítás. Vegyük hogy ha minden nemnegatív egész n-re cn := P észre, P P n n Pn k=0 ak bn−k , akkor min(cn xn ) végtelen sor. Az den valós x-re a (an x ), (bn x ) sorok Cauchy-szorzata éppen a el®bbi két hatványsor összegfüggvényét jelölje f , illetve g , az utóbbiét h. A tétel feltételei szerint 1 ∈ D(f ) ∩ D(g) ∩ D(h), ezért mindhárom hatványsor konvergenciasugara legalább 1 A CauchyHadamard-tétel szerint (2.2) az els® két hatványsor abszolút konvergens a (−1, 1) intervallum minden pontjában, így Mertens tételéb®l (133) azt kapjuk, hogy minden x ∈ (−1, 1) esetén f (x)g(x) = h(x),

végül Abel tételéb®l (2.15) és a szorzat határértékér®l szóló tételb®l azt, hogy h(1) = lim h(x) = lim f g = f (1)g(1) = AB. x1−0 1−0