Matematika | Középiskola » Harmath Zsolt - Thalész tétele

Thalész tétele Készítette: Harmath Zsolt Thalész tétele, mint középiskolai és érettségi anyag, többnyire széles körben ismert a középiskolások között. Az emelt szintű érettségi azonban bizonyítást is kér Négy bizonyítás is ismeretes Thalész tételére. Érdemes többet megmutatni a diákoknak, hiszen nem tudhatjuk, kinek melyik bizonyítást könnyebb értelmezni. Felvezető történet Az öreg aranyásó halála előtt elárulja fiának, hová rejtette az aranyát. Sajnos csak annyit tudott mondani, hogy a két nyárfa közelébe, oda, ahonnan a két nyárfa derékszögben látszik. A fiúnak egy olyan kör mentén kell ásnia, melynek egyik átmérőjét a két nyárfa jelöli ki. A fák gyökerei között nem kell ásnia. Thalész tétele Ha egy kör átmérőjének A és B végpontját összekötjük a körív A-tól és B-től különböző tetszőleges C pontjával, akkor az ABC háromszög C-nél lévő szöge derékszög lesz. 1.

bizonyítás: a háromszögek szögösszegtétele alapján Legyen O a kör középpontja. Ekkor az AOC és a COB háromszögek egyenlő szárúak, azaz = és = . Az OC szakasz α és β részekre osztja γ-t, így =  = Az ABC háromszög belső szögeinek az összege – ami a szögösszegtétel szerint 180o – épp e négy szög összege, tehát =  ==180 o , vagyis: 2 2 =180 o 2 =180o =90o , így ==90o . 2. bizonyítás: Euklidesz bizonyítása Hosszabbítsuk meg az AC szakaszt C-n túl egy tetszőleges F pontig. Legyen O a kör középpontja Mivel AO és OC a kör sugara, ezért az AOC háromszög egyenlő szárú, így α=α. Mivel OB a kör sugara, ezért az OBC háromszög is egyenlő szárú, így β=β. Mivel γ=α+β, ezért az előbbiek miatt γ=α+β teljesül. A külsőszög tétel miatt az ABC háromszög γ külső

szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével, azaz γ=α+β, vagyis γ=γ. Tehát γ fele az egyenesszögnek, azaz Cnél derékszög van 3. bizonyítás: elemi geometria Rajzoljuk be az O középpontot és hosszabbítsuk meg a CO szakaszt O-n túl a kör ívéig, amit messen a D pontban. Azt kell belátnunk, hogy a C-nél lévő szög derékszög Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az ADBC négyszög átlói egyenlők (, mert mindkettő a kör átmérője), és felezik egymást (az O pontban), így az ADBC négyszög téglalap. Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög. 4. bizonyítás: Pitagorasz-tétellel Legyen a k kör egy átmérője d, középpontja O. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától különböző C pontot és bocsássunk merőlegest C-ből d-re. Legyen a merőleges talppontja T.

Jelölések: r=OC a kör sugara, m=TC az ABC háromszög C-ből kiinduló magassága, x=OT, a=BC, b=AC. Írjuk fel az OTC, ATC és CTB derékszögű háromszögekre a Pitagorasz-tételt: x 2m2=r 2 r x 2m2=b2 r −x 2 m2=a 2 Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével ( a 2b2=d 2 ). A Pitagorasz tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor ABC derékszögű háromszög, és a derékszög a d-vel szemközt van. a2+b2=(r–x)2+m2+(r+x)2+m2=r2-2rx+x2+m2+r2+2rx+x2+m2=2r2+2x2+2m2=2r2+2(x2+m2)=2r2+2r2=4r2=(2r)2=d2 Tehát a C-nél lévő szög derékszög. Miután sikeresen bebizonyítottuk Thalész tételét, továbblépésként nézhetjük a következőket: Thalész tételének megfordítása Legyen egy kör átmérője AB. Ha egy C pontból AB derékszögben látszik, akkor C a körön van Thalész tételének általánosítása Középponti és kerületi szögek tétele: Egy körben

bármely középponti szög kétszer akkora, mint az azonos ívhez tartozó kerületi szög. Tétel: Azon pontok síkbeli helye, melyekből egy szakasz mindig ugyanakkora szögben látszik, egy körív, melynek két végpontját a szakasz köti össze