Matematika | Középiskola » Függvényvizsgálat

Függvényvizsgálat Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát: 1. f H xL := x4 - 4 x3 2. f H xL := -x4 + 18 x2 3. f H xL := x5 + 5 x4 4. f H xL := 5. f H xL := 6. f H xL := 7. f H xL := 8. f H xL := 9. f H xL := 1 1- x2 2 x x+1 13. f H xL := e-x 2 x 1+ x2 10. f H xL := 3 x x2 -3 14. f H xL := x e-x 2 x 1- x2 11. f H xL := x ‰-x 1 1+x2 x H1-2 xL2 12. f H xL := H x + 2L2 ‰-x 15. f H xL := x2 ln x ü A függvényvizsgálat lépései 1. D f ; zérushelyek (ha megállapítható); paritás; periodicitás; határértékek +¶-ben, -¶-ben (ha van értelme), szakadási pontokban, határpontokban 2. f vizsgálata (monotonitás, lokális szélsőértékek) 3. f " vizsgálata (konvexitás, konkávitás, inflexiós pontok) 4. Lineáris aszimptoták 5. f ábrázolása, R f meghatározása ü Emlékeztető Tétel: Ha az f függvény deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli lokális

szélsőérték létezésének 1. szükséges feltétele: f H x0 L = 0 2. elégséges feltétele: aL f H x0 L = 0 és f előjelet vált x0 -ban bL Ha f kétszer deriválható x0 -ban: f H x0 L = 0 és f H x0 L ∫ 0 H f H x0 L > 0 : lok.min, f H x0 L < 0 : lok maxL Tétel: Ha az f függvény kétszer deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli inflexiós pont létezésének 1. szükséges feltétele: f H x0 L = 0 2. elégséges feltétele: aL f H x0 L = 0 és f előjelet vált x0 -ban bL Ha f háromszor deriválható x0 -ban: f H x0 L = 0 és f H x0 L ∫ 0 ü Aszimptoták Definíció (Függőleges aszimptota): Az x = a egyenes az f függvény függőleges aszimptotája, ha lim f H xL = ≤¶ vagy ha xØa+ lim f H xL = ≤¶. xØa- Definíció (Vízszintes aszimptota): Az y = b egyenes az f függvény vízszintes aszimptotája, ha lim f H xL = b vagy ha lim f H xL = b. xض xØ-¶ Definíció (Ferde

aszimptota (tartalmazza a vízszintest is)): Az lH xL = a x + b egyenes az f függvény ferde aszimptotája, ha lim @ f H xL - lH xLD = 0 vagy ha lim @ f H xL - lH xLD = 0. Ekkor a = lim xØ+¶ xØ-¶ xض f H xL x és b = lim @ f H xL - a xD. Minden olyan racionális törtfügxض gvénynek van ferde aszimptotája, ahol a számláló fokszáma eggyel nagyobb, mint a nevezőé (ld. 9 és 10 példa) Függvényvizsgálat.nb 2 Megoldások f H xL := x4 - 4 x3 ü 1. D f =
; zérushely : x = 0 és x = 4 f HxL = 4 x3 - 12 x2 = 4 x2 Hx - 3L = 0 ñ x = 0 vagy x = 3 f H xL = 12 x2 - 24 x = 12 xH x - 2L = 0 ñ x = 0 vagy x = 2 lim f H xL = lim f H xL = +¶; R f = @-27, +¶L xØ-¶ xØ+¶ 80 x x<0 0 0<x<2 2 2<x<3 3 3<x f − 0 − 0 + f ↓ 0 ↓ min:−27 ↑ f" + 0 − 0 + f ‹ infl:0 › infl:−16 ‹ 60 40 20 -2 1 -1 2 3 4 5 -20 f H xL := -x4 + 18 x2 ü 2. 50 -4 D f =
; zérushely : x = 0 és x = ≤

3 f H xL = -12 x2 + 36 = 0 ñ x = - 3 vagy x = 4 -50 f HxL = -4 x3 + 36 x = 4 xI-x2 + 9M = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 vagy x = 3 -100 3 lim f H xL = lim f H xL = -¶; R f = H-¶, 81D xØ-¶ 2 -2 2 ; f páros; -150 xØ+¶ x x<−3 −3 −3<x<− 3 − 3 − 3 <x<0 f + 0 − 0 f ↑ max:81 ↓ f" − f › 0 0<x< 3 3 3 <x<3 3 3<x + 0 − min:0 ↑ max:81 ↓ 0 + 0 − infl:45 ‹ infl:45 › f H xL := x5 + 5 x4 ü 3. D f =
; zérushely : x = 0 és x = -5 f HxL = 5 x4 + 20 x3 = 5 x3 Hx + 4L = 0 ñ x = -4 vagy x = 0 f H xL = 20 x3 + 60 x2 = 20 x2 H x + 3L = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 lim f H xL = -¶, lim f H xL = +¶; R f =
xØ-¶ xØ+¶ 300 x x<−4 −4 −4<x<−3 f + 0 f ↑ max:256 −3 −3<x<0 0 0<x 200 − 0 + 100 ↓ min:0 ↑ -4 2 -2 -100 f" − 0 + 0 + -200 f › infl:162 ‹ 0 ‹ -300 -400 f H xL := ü 4.

Függvényvizsgálat.nb 1 1+x2 lim f H xL = 0, lim f H xL = 0 D f =
; zérushely nincs; f páros f H xL = f H xL = xØ-¶ 2x =0ñx=0 2 I1+x2 M 2 I-1+3 x2 M 2 3 I1+x M 1 =0ñx=- vagy x = vízszintes aszimptota : y = 0 R f = H0, 1D 1 3 xØ+¶ 3 1.0 x 1 x<− 1 − 3 − 3 1 <x<0 0 0<x< 1 1 1 3 3 3 3 f + 0 − f ↑ max:1 ↓ <x 0.8 0.6 0.4 f + f" ‹ − 0 + 0 0.2 infl: 3 4 › infl: 3 4 ‹ -3 f H xL := ü 5. f H xL = f H xL = - x lim f H xL = 0, xØ-¶ lim xØ-1-0 3 I-1+x2 M f H xL = -¶, lim xØ-1+0 f H xL = +¶ lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0 xØ1-0 2 I1+3 x2 M 2 1 =0ñx=0 2 I-1+x2 M 1 -1 1-x2 D f =
8-1, 1<; zérushely nincs; f páros 2x -2 xØ+¶ xØ1-0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1 ∫0 R f = H-¶, 0L ‹ @1, +¶L x<−1 −1<x<0 0 3 0<x<1 1<x f − − 0 + + f ↓ ↓

min:1 ↑ ↑ f" − f › 2 1 + -4 − 2 -2 4 -1 ‹ › -2 -3 f H xL := ü 6. x 1+x2 0.4 0.2 D f =
; zérushely : x = 0; f páratlan f HxL = f H xL = -10 1-x2 2 I1+x2 M 2 I-3 x+x3 M 2 3 I1+x M 5 -5 = 0 ñ x = -1 vagy x = 1 10 -0.2 = 0 ñ x = - 3 vagy x = 0 vagy x = -0.4 3 lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; vízszintes aszimptota : y = 0; R f = A- 2 , 2 E 1 xØ-¶ x 1 xØ+¶ x<− 3 − 3 f − f ↓ f" − f" › − 3 <x<−1 −1<x<0 3 1 2 0<x<1 1 1<x< 3 3 <x 3 − 0 1 2 ↑ max: + 0 − 0 ‹ infl:0 › infl: min:− 4 0 + 0 0 infl:− −1 ↓ + 3 4 ‹ 3 3 Függvényvizsgálat.nb 4 x 1-x2 f H xL := 7. D f =
8-1, 1<; zérushely : x = 0; f páratlan f H xL = 1+x xØ1-0 2 I3 x+x3 M x<−1 −1<x<0 0 + + + f ↑ ↑ ↑ f" + − 0 + − f ‹ › infl:0 ‹ › 2 1 -4 -2 H1-2 xL2 lim f H xL = 0, lim f

H xL = 0, lim 1 f H xL = x =0ñx H-1+2 xL3 8 H1+xL H-1+2 xL4 xØ-¶ 1 = -2 −1<x<− − f ↓ 1 xØ- -0 f H xL = +¶, R f = A- 8 , +¶M 1 1 − 1 1 1 1 2 2 2 − <x< 2 0 <x 0.6 + − min:− 1 8 ↑ ↓ 0.2 − f › 0 infl:− f H xL := ü 9. 1 9 + − ‹ › -4 2 -2 4 x2 x+1 D f =
81<; zérushely : x = 0 f H xL = f H xL = 2 x+x2 H1+xL2 2 H1+xL3 = 0 ñ x = -2 vagy x = 0 ∫0 lim f H xL = +¶, lim f H xL = +¶, lim xØ-¶ xØ+¶ xØ-1-0 f H xL = -¶, lim xØ-1+0 f H xL = +¶ függőleges aszimptota : x = -1, ferde aszimptota : y = x - 1 Rf =
x x<−2 −2 f + 0 − f ↑ max:−4 ↓ 1 −2<x<−1 −1<x<0 0 0<x − 0 + ↓ min:0 ↑ 5 f" − + f" › ‹ -4 -3 -2 1 -1 -5 -10 f H xL = +¶ 2 0.4 f" lim xØ- +0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = 2 f xØ+¶ 2 = 0 ñ x = -1 −1 x<−1 4 -1

D f =
9 2 =; zérushely : x = 0 f H xL = 2 -2 x f H xL := -1-2 x f H xL = -¶ xØ+¶ xØ1+0 0<x<1 1<x f ü 8. lim xØ-1+0 vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1 Rf =
=0ñx=0 3 I-1+x2 M f H xL = +¶, lim xØ-1-0 lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0 ∫0 2 I-1+x2 M f H xL = - x lim f H xL = 0, xØ-¶ 2 2 3 1 2 Függvényvizsgálat.nb x3 f H xL := ü 10. x2 -3 15 10 D f =
:- 3 , f H xL = -9 x2 +x4 f H xL = 6 I9 x+x3 M 5 3 >; zérushely : x = 0; f páratlan -4 2 -2 = 0 ñ x = 0 vagy x = -3 vagy x = 3 2 I-3+x2 M -10 I-3+x M -15 =0ñx=0 2 3 lim f H xL = -¶, xØ-¶ lim xØ- 3 -0 f H xL = -¶, lim xØ- 3 +0 függőleges aszimptota : x = - 3 , x = f H xL = +¶, lim xØ 3 -0 f H xL = -¶, x<−3 −3 −3<x<− 3 − 3 <x<0 0 0<x< 3 f + 0 − − 0 − − f ↑ ↓ ↓ 0 ↓ ↓ max:− 9 2 lim xØ 3 +0 3 <x<3

xØ+¶ 3 3<x 0 + min: f" − + 0 − + f › ‹ infl:0 › ‹ 9 2 + f H xL := x „-x f H1L < 0 fl f H1L = D f =
; zérushely : x = 0 f H xL = -‰-x H-1 + xL = 0 ñ x = 1 f H xL = ‰-x H-2 + xL = 0 ñ x = 2 f H2L > 0 fl f H2L = 1 º 0.37 lokális maximum ‰ 2 ‰2 º 0.27 inflexiós pont lim f H xL = -¶, lim f H xL = 0; R f = J-¶, ‰ F f H xL = -‰-x H-3 + xL ü 12. f H xL = +¶, lim f H xL = +¶ 3 , ferde aszimptota : y = x; R f =
x ü 11. 4 -5 1 xØ-¶ xØ+¶ f H xL := H x + 2L2 „-x D f =
; zérushely : x = -2 f HxL = -‰-x x H2 + xL = 0 ñ x = -2 vagy x = 0 f HxL = ‰-x I-2 + x2 M = 0 ñ x = - 2 vagy x = f HxL = -‰ -x 2 I-2 - 2 x + x M 2 f H-2L > 0 fl f H-2L = 0 lokális minimum; f H0L < 0 fl f H0L = 4 lokális maximum f J- 2 N < 0 fl f J- 2 N º 1.41 inflexiós pont; f J 2 N > 0 fl f J 2 N º 283 inflexiós pont lim f H xL = +¶, lim f H xL = 0; R f = @0, +¶L xØ-¶ xØ+¶ f

H xL
H x + 2L2 ‰-x f H xL
x ‰-x 8 0.2 6 1 -1 2 3 4 4 5 2 -0.2 -0.4 -2 2 4 6 5 6 Függvényvizsgálat.nb f H xL := e-x ü 13. 2 f H0L < 0 fl f H0L = 1 lokális maximum D f =
; zérushely nincs; f páros f HxL = -2 ‰ -x2 f H xL = 2 ‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 1 2 f H xL = -4 ‰ f J- x=0ñx=0 2 -x 2 º ≤ 0.71 x I-3 + 2 x M 2 f J 1 2 1 2 N < 0 fl f J- N > 0 fl f J f H xL := x e-x 2 2 N= N= 1 1 º 0.61 inflexiós pont ‰ inflexiós pont ‰ lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; R f = H0, 1D xØ-¶ ü 14. 1 1 xØ+¶ 2 D f =
; zérushely : x = 0; f páratlan f HxL = -‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 2 1 º ≤ 0.71 2 f HxL = 2 ‰-x x I-3 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 3 2 2 º ≤ 1.22 f HxL = -2 ‰-x I3 - 12 x2 + 4 x4 M 2 f J- 1 2 N > 0 fl f J3 2 f - 1 2 N=3 2 > 0 fl f - º -0.43 lokális minimum; f J 1 2‰ lim f H xL = 0, lim f H xL = 0; R f = B- xØ-¶ 3 2 º -0.27

inlexiós pont; f xØ+¶ 1 2‰ 2 N < 0 fl f J 3 2 > 0 fl f 1 2 N= 1 º 0.43 lokális maximum; 2‰ º 0.27 inflexiós pont F 1 , 1 2‰ f H xL := x2 ln x ü 15. f H0L > 0 fl f K D f =
+ ; zérushely : x = 1 f HxL = x + 2 x lnHxL = 0 ñ x = f H xL = 3 + 2 lnH xL = 0 ñ x = f H xL = 1 º 0.61 ‰ 1 ‰3ë2 f J 1 ‰3ë2 ‰ N > 0 fl f J O = - 2 ‰ º -0.18 lokális minimum 1 1 ‰3ë2 N=- 3 2 ‰3 º -0.07 inflexiós pont lim f H xL = 0, lim f H xL = +¶; R f = B- 2 ‰ , +¶F º 0.22 1 xØ+¶ xØ0+0 2 x f H xL
‰-x 1 2 f H xL
x ‰-x 1.0 2 f H xL
x2 lnH xL 0.4 0.2 0.8 0.2 0.6 0.1 0.4 -3 -2 1 -1 2 3 0.2 -0.2 0.2 -3 -2 -1 -0.1 1 2 3 -0.4 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2