Fizika | Tanulmányok, esszék » Németh Csaba - Hullámok

HULLÁMOK MECHANIKAI HULLÁMOK Mechanikai hullám: ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben. A zavart a hullámforrás váltja ki. A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus. Ezért a hullámokban nincs anyagáramlás, egy rezgésállapot terjed, csak impulzus- és energiaáramlás van. MECHANIKAI HULLÁMOK Ha a közeg részecskéi a terjedési irányra merőleges mozogást végeznek: transzverzális hullám. A transzverzális hullámoknál hullámhegyek és hullámvölgyek terjednek. Transzverzális hullám MECHANIKAI HULLÁMOK Transzverzális hullám Transzverzális hullámok csak szilárd közegben illetve folyadékok határfelületén terjedhetnek. MECHANIKAI HULLÁMOK Ha a közeg részecskéi a terjedés irányában rezegnek: longitudinális hullám. A longitudinális hullámoknál sűrűsödések és ritkulások

terjednek. Longitudinális hullámok mindhárom közegben előfordulhatnak. Longitudinális hullám MECHANIKAI HULLÁMOK Hullámterjedés egy dimenzióban A zavar jobbra halad t idő elteltével: c sebességgel. Ekkor: y = f (x) y = f ( x − ct ) y –t gyakran hullámfüggvénynek hívják c ct c MECHANIKAI HULLÁMOK Hullámterjedés egy dimenzióban y = f ( x − ct ) Tehát y függ x-től és t–től. A hullámfüggvény minden pont y koordinátáját megadja, minden időben. Ha az időt állandónak vesszük, akkor a függvény (y = f(x)) a görbe alakját adja meg. A hullámterjedés sebességét (c) szokás fázissebességnek is nevezni. A hullám terjedési sebessége függ a közeg sűrűségétől. pl. a szilárd anyagban terjedő transzverzális hullámoknál: σ c= ρ a szilárd anyagban terjedő longitudinális hullámoknál: E c= ρ σ : húzófeszültség ρ : sűrűség E : Young modulus, ρ : sűrűség MECHANIKAI HULLÁMOK

Hullámterjedés egy dimenzióban Folyadékban: c= K ρ K a kompresszió modulus, ρ a sűrűség A különféle mechanikai hullámok terjedési sebessége általában így írható fel: rugalmassági tényező c= tehetetlenségi tényező Hullámterjedés egy dimenzióban Hullámok szuperpozíciója Ha kettő v. több hullám halad a közegben, akkor az eredő hullámfüggvény minden pontban az egyedi hullámok hullámfüggvényeinek algebrai összege lesz. (Ez csak az ún. lineáris hullámokra igaz.) (A hullámtalálkozást interferenciának is nevezik.) Pl. két hullám keresztülhaladhat egymáson, anélkül, hogy megváltoztatnák egymást. Hullámterjedés egy dimenzióban Hullámok szuperpozíciója Ellentétes irányba haladó, azonos alakú hullámok egy adott pontban ki is olthatják egymást. (Az eredő 0 lesz.) Hullámterjedés egy dimenzióban Hullámok a közeghatáron Ha egy hullám a közeghatárhoz ér, részben visszaverődik, részben

behatol a másik közegbe. Visszaverődés rögzített végről: 180°-os fázisugrás lép fel Hullámterjedés egy dimenzióban Hullámok a közeghatáron Visszaverődés szabad végről: itt nincs fázisugrás Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A sűrűbb közegben a hullámterjedés sebessége kisebb. A visszavert ill. átbocsátott hullám fázisait az ábrák mutatják Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron Mechanikai hullámok A diffrakció (elhajlás) λ << d Hullámok a közeghatáron Elhajlás résen (a) Elhajlás résen (a) λ << d Mechanikai hullámok A diffrakció λ≈d Hullámok a közeghatáron Elhajlás résen (b) Elhajlás résen (b) λ ≈ d Mechanikai hullámok A diffrakció λ >> d Hullámok a közeghatáron Elhajlás résen (c) Elhajlás résen (c) λ >> d Elhajlás rácson (d) λ >> d Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A Huygens-Fresnel

elv Egy tetszőleges időpontban a hullámfelület minden egyes pontja elemi hullámok kiindulópontja, és egy későbbi időpontban kialakuló hullámfelület ezen elemi hullámok burkolófelülete lesz. (Huygens) az elemi hullámok egymással interferálva együttesen alakítják ki a későbbi hullámfelületet. (Fresnel) Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A visszaverődés (reflekció) A beeső-, a visszavert sugár és a beesési merőleges egy síkban vannak, és a beesési szög (θ1) egyenlő a visszaverődési szöggel (θ’1). θ1 = θ 1 Mechanikai hullámok A visszaverődés és a törés A beeső-, a visszavert- és a megtört sugár egy síkban vannak, és a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel. Hullámok a közeghatáron Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A törés (refrakció) Ha a hullám terjedési sebessége megváltozik az új közegben, akkor a terjedés iránya is megváltozik. Ekkor az (1) (1)-es

közegbeli hullámterjedési sebesség, c1, és a (2)-es közegbeli hullámterjedési (2) sebesség, c2, aránya egy a két közegre jellemző állandóval, a törésmutatóval jellemezhető: n21 a (2) -es közeg (1)-esre vonatkozó 1 1 törésmutatója, θ1 és θ2 a beeső és a 21 megtört sugár beesési merőlegessel 2 2 bezárt szöge. c sin θ n = = c sin θ Ez a Snellius-Descartes törvény Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A törés (refrakció) Ha az (1)-es közegbeli hullámterjedési sebesség (c1) kisebb, mint a (2)-es közegbeli (c2), akkor a megtört sugár normálishoz viszonyított szöge a nagyobb: θ 2 > θ1 (1) (2) Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A törés (refrakció) A teljes visszaverődés határszöge. A 4-es sugár már nem lép ki. Az ennél nagyobb szög alatt érkező sugarak teljes visszaverődést szenvednek. n2 < n1 és c1 < c2 Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A törés

(refrakció) A teljes visszaverődés határszöge: c1 n2 sin θ c = = = n21 c2 n1 ha n2 < n1 Az ennél nagyobb szög alatt érkező sugarak teljes visszaverődést szenvednek. Mechanikai hullámok Hullámok a közeghatáron A mechanikai hullámok terjedésére, szóródására ill. elhajlására, közeghatárokon való visszaverődésére és törésére megfogalmazható törvények lényegileg azonosak a fény (ill. általánosabban az elektromágneses hullámok) esetében érvényes törvényszerűségekkel. Fizika labor! Mechanikai hullámok Hullámok polarizációja Poláros hullám (csak transzverzális hullámoknál!): a rezgések iránya meghatározott. Pl. ha a rezgések tartósan, egy a haladási irányon átfektetett síkban történnek, akkor síkban (lineárisan) poláros hullámokról beszélünk. Ha rendszertelenül változtatjuk egy kötél végének mozgásirányát, az így keltett hullám nem poláros. E hullám útjába keskeny rést állítva, a

rezgésnek csak a réssel párhuzamos komponensei haladnak át, így a réssel mint polarizátorral, síkban poláros hullámot állíthatunk elő. Ha egy kötél végét egy kör vagy ellipszis mentén mozgatjuk, akkor cirkulárisan illetve elliptikusan poláros hullámok alakulnak ki a kötélen. A harmonikus hullámok Egy harmonikus rezgést végző hullámforrás szinuszos (harmonikus) hullámokat kelt. A t = 0 pillanatban:  2π  y = A sin x  λ  Egy t pillanatban:  2π  y = A sin ( x − ct )   λ  A : amplitudó λ : hullámhossz c : a hullám terjedési sebessége Mechanikai hullámok A harmonikus hullámok A hullám amplitúdója (A): a közegrészecskék maximális kitérése; hullámhossza (λ): a hullám azonos fázisban rezgő szomszédos pontjainak távolsága. Ha a részecskék rezgésideje távolságot tesz meg. λ = cT ill. A c = λf 1 f = T y T, akkor a hullám T idő alatt λ [Hz] Mechanikai hullámok A

harmonikus hullámok Mechanikai hullámok Harmonikus hullámok Mechanikai hullámok  2π  y = A sin ( x − ct )   λ  A harmonikus hullámok A c = λ/T felhasználásával:   x t  y = A sin 2π −    λ T  Az egyenletből látható, hogy a szinuszhullám időben és térben periodikus jelenséget ír le, amelynek időbeli periódusa a rezgésidő, térbeli periódusa pedig a Vagy: y = A sin (kx − ωt ) ahol: k= λ hullámhossz. 2π λ hullámszám 2π ω= T körfrekvencia T Mechanikai hullámok Ha az Harmonikus hullámok y kitérés nem 0, x = 0 és t = 0 –nál, akkor általánosan: y = A sin (kx − ωt + ϕ 0 ) Ez az x irányban c sebességgel haladó szinuszhullám egyenlete, amely egy időben és térben végtelen hullámvonulatnak felel meg. Harmonikus hullámok Az A hullámterjedés energiája ω körfrekvenciával rezgő kötéldarab energiája: 1 1 1 2 2 2 2 2 ∆E = (∆m)v =

(∆m)ω A = ( µ∆x)ω A 2 2 2 Ahol µ : tömeg /egységnyi kötélhossz: µ = ∆m/∆x A teljesítmény, ha ∆x tart nullához: dE 1 dx 2 2 1 2 2 P= = ( µ )ω A = µcω A dt 2 dt 2 minden harmonikus hullámra igaz Harmonikus hullámok A hullámterjedés energiája Vagy: tekintsük a hullám terjedési irányára merőlegesen elhelyezkedő F nagyságú felületet! Tételezzük fel, hogy a közegben t időpillanatig éppen a kiszemelt felületig jutott el. ∆t idő alatt a hullám c∆t távolságot tesz meg. Az F felületen ezen idő alatt éppen annyi energiának kell átáramolnia, amennyi a V = Fc∆t térfogatú hasáb belsejében található – mö = Vρ tömegű – terjedő hullám a közegrészecskék mozgásba hozatalához szükséges, azaz 1 1 2 2 2 2 E = Vρω A = Fc∆tρω A V = Fc∆t F 2 2 ∆s = c∆t A hullámterjedés irányára merőleges egységnyi felületen, egységnyi idő alatt átáramló energia mennyisége adja meg az ún.

energiaáramsűrűséget, vagy más néven a hullám intenzitását: E 1 2 2 2 2 2 I= = cρω A = 2π cρ f A F∆t 2 Harmonikus hullámok Hullámok interferenciája, állóhullámok Szűkebb értelemben akkor beszélünk interferenciáról, ha a két hullám összegződése időben állandó hullámképet (intenzitáseloszlást) hoz létre. Ilyet csak azonos frekvenciájú és állandó fáziskülönbséggel találkozó hullámok adhatnak, ezeket nevezzük koherens hullámoknak. Amint a rezgéseknél már láttuk, a hullámok esetén is 0, 2π, 4π, , stb. fáziskülönbségnél maximális erősítés, ±π, ±3π, stb. esetén maximális gyengítés, egyenlő amplitúdóknál pedig kioltás jön létre. Harmonikus hullámok Hullámok interferenciája rácson: Mechanikai hullámok a) y1 = y2 Φ = 0˚ b) y1 = y2 Φ = 180˚ c) y1 = y2 Φ = 60˚ Hullámok interferenciája, állóhullámok Mechanikai hullámok Hullámok interferenciája, állóhullámok

Tekintsük két egymással szemben haladó, egyébként teljesen azonos hullám interferenciáját! (Az egyszerűség kedvéért legyen ϕ0 = 0 ): y = y1 + y2 = A0 sin (kx − ωt ) + A0 sin (kx + ωt ) A sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β felhasználásával: y = 2 A0 sin kx ⋅ cos ωt Olyan eredő hullámot kaptunk, amelyben a hely- és időkoordinátától való függést két különálló harmonikus tényező tartalmazza. Ez a formai különbség lényeges változásra utal az eddig megszokott hullámterjedési mechanizmusban. Hullámok interferenciája, állóhullámok A közeg részecskéi egymással megegyező fázisban, ω körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végeznek, a rezgés amplitúdója azonban a helytől függően más és más. 2A0sinkx tényező adja meg. Azokon a helyeken, ahol sinkx = 0, azaz x = n λ/2 , a rezgés amplitúdója A kitérés értékét a zérus, tehát a közegrészecskék nyugalomban vannak. Ezek az ún.

csomópontok vagy nyugvóhelyek Távolságuk: λ/2. sinkx = 1 relációt kielégítő pontokban a részecskék maximális amplitúdóval (2A0) rezegnek. Ezek az ún Másrészt a duzzadóhelyek a csomópontok közti felezőhelyeken lesznek. Ezt a különleges hullámformát állóhullámnak nevezzük. 2A0 λ/2 Mechanikai hullámok Hullámok interferenciája, állóhullámok Az állóhullámok nem szállítanak energiát, hiszen a csomópontok mindig nyugalomban vannak, rajtuk keresztül energiaterjedés nem történhet. Másképpen azt is mondhatjuk, hogy az állóhullámot eredményező hullámok egymással szemben ugyanannyi energiát szállítanak, ezért nincs eredő energiaáramlás. csomópont duzzadóhely Mechanikai hullámok Közeghatáron a hullámok visszaverődnek. A bejövő és a visszavert hullámok interferenciája állóhullámok kialakulásához vezethet. Hullámok interferenciája, állóhullámok Mechanikai hullámok Hullámok

interferenciája, állóhullámok Pl. a kifeszített húron jobbra haladó harmonikus hullám a húr rögzített végein visszaverődik. Az eredeti és a visszavert hullámok interferenciája állóhullámok megjelenéséhez vezet. A húr hosszától függően azonban csak meghatározott hullámhosszú (v. frekvenciájú) állóhullámok maradhatnak fenn a húrban, egyébként a végeken való többszörös visszaverődés következtében kioltó interferencia jön létre. Mechanikai hullámok A húr egyik vége az Hullámok interferenciája, állóhullámok x=0 pontban, másik vége pedig az x = L pontban van. A húr végeinek rögzítettsége miatt tetszőleges időpillanatban nyilván teljesülniük kell az alábbi határfeltételeknek: y (x = 0) = 0 y (x = L ) = 0 Hullámok interferenciája, állóhullámok Az első feltétel a húr baloldali végén (x = 0) alapján automa- tikusan teljesül. A másik végen csak úgy teljesülhet, ha: sin kL = 0 kL = x=0 L

λ 2π L = nπ L = n ; n = 1, 2, 2 λ λ L= n=1 2 λ L=2 n=2 2 λ n=3 L=3 2 λ n=4 L=4 2 x=L Hullámok interferenciája, állóhullámok A húrban csak olyan állóhullámok alakulhatnak ki, amelyeknél a húr hossza a fél hullámhossz egész számú többszöröse: c fn = n = nf1 2L ill. c f1 = 2L f1-et alapfrekvenciának, ennek egész számú többszöröseként előállítható többi lehetséges frekvenciát pedig felharmonikusoknak nevezzük. n=1 x=0 L L= λ 2 n=2 L=2 n=3 L=3 n=4 L=4 x=L λ 2 λ 2 λ 2 Hullámok interferenciája, állóhullámok λ L = n ; n = 1, 2, 3. 2 Hullámok interferenciája, állóhullámok Egy kifeszített húron a keltés módjától függően általában olyan komplex rezgés alakul ki, amelyben az alap- és felharmonikusoknak megfelelő állóhullámok különböző amplitúdóval egyidejűleg vannak jelen. Hullámok interferenciája, állóhullámok Látható, hogy n egyenlő a duzzadóhelyek számával, míg

a húr belsejében lévő csomópontok száma ennél eggyel kevesebb. A folytonos görbék az adott helyhez tartozó maximális kitérések értékeit mutatják. Az egész húr végig azonos fázisban rezeg, azaz a húr minden pontja egyszerre éri el a helyének megfelelő maximális kitérést, annak felét, stb. n=1 n=2 n=3 n=4 x=0 L x=L L= λ 2 L=2 L=3 L=4 λ 2 λ 2 λ 2 Mechanikai hullámok Hullámok interferenciája, állóhullámok Állóhullámok alakulnak ki egy mindkét végén zárt gázoszlopban is. Kimutatására használatos az ún. Kundt-féle cső, amelynek egyik végét egy hangforrásul szolgáló, beépített hangszóró zárja le. A csőben egy visszaverő lemezt (dugattyút) mozgatva, annak bizonyos helyzeteinél rezonancia lép fel, mivel a végeken visszaverődő longitudinális hullámok interferenciája folytán a gázoszlopban állóhullámok alakulnak ki. Két szomszédos rezonanciánál a dugattyú =λ/2. Ennek mérésével, az f

gerjesztőfrekvencia ismeretében a hang terjedési sebessége a c = λf alapján két helyzetének különbsége: meghatározható. Ez megegyezik két szomszédos duzzadóhely (vagy két csomópont) távolságával. λ/2 Mechanikai hullámok Kundt cső Hullámok interferenciája, állóhullámok Labor Mechanikai hullámok Kundt cső Hullámok interferenciája, állóhullámok Labor Hullámok interferenciája, állóhullámok Amennyiben a húr egyik vége (x = L) szabadon mozoghat, vagy egy gázoszlop egyik vége nyitott, ott a közegrészecskék rezgési amplitúdója maximális értékű lesz, s így abban a pontban: π λ λ sin kL = ± 1 kL = + nπ L = + n 2 4 2 n = 0,1, 2, . illetve a lehetséges frekvenciákra kapjuk: c c fn = +n 4L 2L n = 0,1, 2, . Csak meghatározott hullámhosszú ill. frekvenciájú állóhullámok alakulhatnak ki egy mindkét végén szabad rezgést végző rendszer esetén is. Összefoglalásképpen elmondhatjuk, hogy egy

korlátos tértartományban a határfelületeken való többszörös visszaverődések következtében állóhullámok alakulnak ki, amelyek a tértartomány mérete által meghatározott diszkrét frekvenciákkal ill. hullámhosszakkal jellemezhetők Mechanikai hullámok Hullámok interferenciája, állóhullámok