Matematika | Tanulmányok, esszék » Kiss Eszter - Laplace-transzformáció és alkalmazása

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Laplace-transzformáció és alkalmazása Szakdolgozat Kiss Eszter Matematika BSc., Elemz® szakirány Témavezet®: Bátkai András, Egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2012 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Laplace-transzformáció 4 2.1 Deníció és alkalmazása 4 2.2 Fontosabb alkalmazási szabályok 10 3. Deriválhatóság és integrálhatóság 13 3.1 A generátor függvény deriválása 13 3.2 Laplace-transzformált deriválása 15 3.3 A generátor függvény primitív függvényének transzformáltja 16 3.4 Laplace transzformált integrálása 17 4. Inverz Laplace-transzformáció 19 4.1 Parciális törtekre bontás módszere 5. Közönséges dierenciálegyenletek és

egyenletrendszerek 21 23 5.1 Példák dierenciálegyenletekre 24 5.2 Dierenciálegyenletrendszerek 26 5.3 Integrálegyenletek 30 1 1. fejezet Bevezetés A dolgozat a Laplace-transzformációval és annak alkalmazásával foglalkozik. El®ször röviden ismertetném Laplace életét és munkásságát, majd a transzformáció deníciója és annak alkalmazása következik néhány függvényre. Ezek után a transzformáltra vonatkozó tulajdonságokat vesszük sorra A következ® fejezetben a Laplace-transzformált és a generátor függvény alakulását nézzük meg deriválásra és integrálásra vonatkozóan. Ezek után a transzformáció inverzét és a parciális törtekre bontás módszerét tárgyaljuk. A dolgozat transzformáció legfontosabb alkalmazásával, a közönséges dierenciálegyenletek és egyenletrendszerek valamint az integrálegyenletek tárgyalásával

zárul. Ahol láthatjuk hogy a transzformáció a dierenciálegyenletek és egyenletrendszerekb®l algebrailag könnyebben megoldhatót hoz létre • Laplace élete és munkássága Szülei szegényparasztok voltak. Beaumont-ban született A beaumont-i katonai iskolának bejáró növendéke volt, ahol felt¶nt kit¶n® emlékez®képességével. Tanulmányainak elvégzése után ugyanennek az iskolának lett tanára. Képességeinek azonban a kis vidéki iskola nem biztosított elég lehet®séget, és ezért Párizsba ment. Ajánlóleveleivel DAlembertnél jelentkezett A híres enciklopédista azonban nem fogadta Laplace-t. Ekkor Laplace sajátkez¶leg írt levélben kereste fel. A levél elolvasása után Laplace el®tt megnyílt DAlembert ajtaja, hiszen ez az írás a mechanikai elvekr®l szóló remek értekezés volt. Pár nap múlva Laplace-t az École Militaire matematika tanárává nevezték ki. Ett®l kezdve gyorsan haladt el®re 24 éves korában már az akadémia

levelez® tagja, majd a királyi tüzérség növendékeinek examinátora (vizsgáztatója) lett. 1810 után majdnem minden európai tudományos akadémia tagjául választotta 1794-ben az École Normale Supérieure analízis tanára lett, nem sokkal kés®bb pedig a Mértékügyi Hivatal tagja és elnöke. 1812-ben jelent meg a Théorie analitique des probalitités (A valószín¶ség analitikai elmélete) cím¶ m¶ve, amely a valószín¶ségszámítást a matematika önálló ágaként 2 tárgyalja. Ebben a m¶ben jelent meg a valószín¶ség klasszikus modellje, amely akkor alkalmazható, ha véges sok elemi esemény van, és azok bekövetkezése egyformán valószín¶ A newtoni mechanika alapjain az égi mechanika kifejl®dése L. Euler, J L DAlembert, J L. Lagrange és P S Laplace tevékenysége nyomán indult meg Különösen jelent®s Laplace munkássága, mely az égi mechanika valamennyi területére kiterjedt. Nagy összefoglaló m¶ve a "Traité de Mécanique

Céleste" (I.-IV kötet 1798-1805, V kötet 1825) az égi mechanika problémáinak els® rendszeres tárgyalását adja. Joggal tekintik Laplace-t az égi mechanika megalapítójának (az égi mechanika elnevezés is t®le származik). 3 2. fejezet Laplace-transzformáció Ebben a fejezetben a Laplace-transzformáltat fogom deniálni és ennek alapján néhány függvénynek kiszámolom a traszfolmáltját. 2.1 Deníció és alkalmazása 2.1 Deníció Az f : [0, ∞[ C, t f (t) függvény Laplace-transzformáltja az ∞ Z f (t) · e−st dt F (s) = 0 függvény, melynek értelmezési tartománya a ]0, ∞[ intervallum azon pontjaiból áll, ahol a fenti improprius integrál konvergens. Jelölés: L[f (t)] = F (s) Deníció alapján számítsuk ki néhány függvény Laplace-transzformáltját! Az értelmezési tartományt a továbbiakban nem jelöljük külön. 1. f (t) = 1 Alkalmazva a deníciót a következ®t kapjuk.  −st ∞ Z ∞ e 1 1 −st 1 · e dt = F

(s) = =0+ = . −s 0 s s 0 Tehát L[1] = 1 s és az integrál linearitása miatt tetsz®leges c ∈ R esetén L[c] = sc . 2. f (t) = t A parciális integrálást alkalmazom a következ® megoldásakor. Z ∞ −st t·e F (s) = 0 e−st dt = t · −s  ∞ Z ∞ − 0 0 4 e−st 1 dt = −s s Z ∞ e 0 −st   1 e−st 1 1 1 = · = · = 2 s −s s s s Tehát L[t] = 1 , s2 illetve bármely c ∈ R esetén L[c · t] = c . s2 3. f (t) = tn , n ∈ N+ , n > 2 Ennek meghatározásához teljes indukciót használok. Kiszámolom n = 2 és n = 3 esetet is a) El®ször legyen n = 2. Ekkor parciálisan integrálunk majd felhasználjuk a 2. feladatban kapott eredményt, így ∞ Z −st 2 t ·e F (s) = 0 2 =0+ s e−st dt = t · −s  ∞ Z 2 ∞ Z ∞ 2t · − 0 0 e−st dt = −s 2 1 2 2 · L[t] = · 2 = 3 = L[t2 ]. s s s s t · e−st dt = 0 b) Ha n = 3, akkor ∞ Z −st 3 t ·e F (s) = 0 Z 3 =0+ s ∞ 0   Z ∞ −st

∞ e−st 3 e dt = dt = t · − 3t2 · −s 0 −s 0 3 3·2 3! t2 · e−st dt = L[t2 ] = 4 = 4 = L[t3 ]. s s s c) Teljes indukcióval megkapható bármely n-re megkaphatjuk L[tn ] képletét. n ∞ Z n t ·e L[t ] = −st 0 ∞ Z =0− 0 n = s    Z ∞ −st ∞ e−st n e dt = t · n · tn−1 · − dt = s 0 −s 0 n n · tn−1 · e−st dt = · −s s n−1 t e−st · −s ∞ tn−1 · e−st dt = 0 ∞ Z n−2 − (n − 1)t 0 0 ∞ Z e−st · dt −s  =   Z ∞ Z ∞ n n−1 n n − 1 n−2 −st = 0− ·t · e dt = · · tn−2 · e−st dt = s −s s s 0 0 n n−1 = · s s  n−2 t e−st · −s ∞ Z − 0 5 ∞ (n − 2)t 0 n−3 e−st · dt −s  = n n−1 (0 − = · s s ∞ Z 0 n − 2 n−3 st n n−1 n−2 ·t · e dt) = · · · −s s s s n n−1 n−2 4 . = · · . s s s s = ∞ Z Z ∞ tn−3 e−st dt = 0 n n−1 n−2 4 · · · . · L[t3 ] = s s s s t3 · e−st dt = 0 n n−1

n−2 4 3! n! · · · . · · 4 = n+1 = L[tn ] s s s s s s A fontosabb exponenciális és trigonometrikus függvények traszformáltja közetkezik. 1. f (t) = eat Ekkor Z ∞ at e ·e F (s) = −st Z dt = 0  ∞ e(a−s)t dt = 0  (a−s)t ∞ e a−s =0− 0 Ez alapján L[e−at ] = 1 1 = . a−s s−a 1 . s+a 2. Legyen f(t)=t · eat , ahol a tetsz®leges valós vagy komplex állandó 0 Ismét a parciális integrálást alkalmazzuk az f = t és a g = eat · e−st kiosztással. Z ∞ Z ∞ at −st t · e · e dt = t · e−(s−a)t dt = F (s) = 0 0  ∞ Z ∞ −(s−a)t e−(s−a)t e = t· − dt = −(s − a) 0 −(s − a) 0  −(s−a)t ∞   e 1 1 =0− =− 0− = . 2 2 (−s + a) 0 (s − a) (s − a)2 3. f (t) = tn · eat n=1-re már láttuk L[t · eat ] = 6 1 . (s − a)2 n=2 esetben a következ® képpen alakul Z ∞ 2 at t ·e ·e F (s) = −st ∞ Z t2 · e−(s−a)t dt = dt = 0 0  ∞ Z ∞ e−(s−a)t

e−(s−a)t 2 2·t· t · − dt = −(s − a) 0 −(s − a) 0 Z ∞ 2 1 2 2 0+ · t · eat · e−st dt = = . 2 s−a 0 s − a (s − a) (s − a)3 Folytatható az eljárás n ≥ 3 esetén is. Teljes indukcióval pedig megkaphatjuk L[tn eat ] képletét. Az indukció során parciális integrálást hajtunk végre Tehát n ∞ Z at n at −st t ·e ·e L[t · e ] = ∞ n−1 n·t − 0 t e n−1 t ·e −(s−a)t 0 e−(s−a)t dt −(s − a) n−1 · · s−a Z  Z ∞ n−2 t 0 n−3 (n − 2)t 0 n−3 t ·e n dt = · s−a −(s−a)t  Z ∞ 0 n−1 t e−(s−a)t = t −(s − a)  n ∞ − 0 n n tn−1 · e(s−a)t dt = −(s − a) s−a e−(s−a)t · −(s − a) ∞ ∞ Z (n − 1) · tn−2 · − 0 0   Z ∞ n n−1 n n−2 −(s−a)t = · 0− ·t ·e dt = s−a −(s − a) s−a 0 ∞ − 0 e−(s−a)t dt = 0 − −(s − a) ∞ Z n −(s−a)t dt = 0 Z ∞ Z −(s−a)t ·e n n−1 dt = ·

· s−a s−a  n−2 t e−(s−a)t · −(s − a) ∞ 0   Z ∞ e−(s−a)t n n−1 n−2 · dt = · · 0− · −(s − a) s−a s−a −(s − a) 0  n n−1 n−2 dt = · · · s−a s−a s−a 7 Z 0 ∞ tn−3 · e−(s−a)t dt = . = n n−1 3 · · . · s−a s−a s−a . · Z ∞ t2 · e−(s−a)t dt = 0 n n−1 n−2 · · · s−a s−a s−a 3 n n−1 n−2 3 2! L[t2 eat ] = · · · . · · = s−a s−a s−a s−a s − a (s − a)3 n! = L[tn eat ]. (s − a)n+1 4. f (t) = cos(at) Ebben az esetben használjuk az Euler formulát (eiφ = cos φ+i sin φ, e−iφ = cos φ−i sin φ). A két egyenl®séget kivonva egymásból és rendezve kapjuk, hogy a cos(at) = eiat +e−iat .Ez 2 alapján a transzformált a következ® képpen alakul. Z ∞ Z ∞ iat e + e−iat −st −st F (s) = cos(at) · e dt = · e dt = 2 0 0 Z ∞ (ia−s)t Z ∞ (ia−s)t Z ∞ (−ia−s)t e + e(−ia−s)t e e = = + = 2 2 2 0 0 0   1 1 1 1 2s s 1

−(−ia − s) − (ia − s) = · − − = · = 2 . = · 2 2 2 2 2 ia − s −ia − s 2 −a − s 2 −a − s a + s2 • Végül a hiperbolikus függvényekre mutatunk néhány példát. 5. f (t) = cosh(at), a ∈ C tetsz®leges, z = at A cosh z = ez +e−z 2 Z F (s) = 0 ∞ a 4.példára hivatkozva, így kapjuk eat + e−at −st 1 · e dt = 2 2 Z ∞ eat · e−st + e−at · e−st dt = 0 1 · L[eat ] · L[e−at ]. 2 Az exponenciális függvényeknél már láttuk e±at transzformálját,ez alapján az eredmény   1 1 1 s · + = 2 . 2 s−a s+a s − a2 8 6. f (t) = sinh(at) Itt is felhasználjuk az Euler-formulát,így ez − e−z sinh z = , 2 tehát 1 F (s) = 2 Z ∞ −st at (e · e −at −e ·e −st 0   1 1 1 a )= · − = 2 . 2 s−s s+a s − a2 7. f (t) = t · sinh(at) Z ∞ −st t · sinh(at) · e F (s) = 1 2 0 t· dt = 0 0 Z ∞ Z ∞ t · eat · e−st − 1 2 ∞ Z te−at e−st = 0 eat − e−at −st ·

e dt = 2 1 1 1 1 2as − = 2 . 2 2 2 (s − a) 2 (s + a) (s − a2 )2 Az alábbi táblázatban összegy¶jtöttem a fontosabb függvények Laplace-transzformáltját. f(t) 1. 1 2. t 3. t2 4. tn L[t] 1 s 1 s2 2 s3 n! 5. e at sn+1 1 s−a 6. ln(t) − 1s · (C + ln(s)) 7. cos(at) 8. sin(at) 9. cos2 (at) 10. sin2 (at) 11. t · cos(at) 12. t · sin(at) 13. sin(at) t 14. cosh(at) 15. sinh(at) 16. cosh2 at 17. sinh2 at s s2 +a2 a s2 +a2 s2 +2a2 s(s2 +4a2 ) 2(a2 ) s(s2 +4a2 ) s2 −a2 (s2 +a2 )2 2as (s2 +a2 )2 arctan( as ) s s2 −a2 a s2 −a2 s2 −2a2 s(s2 −4a2 ) 2a2 s(s2 −4a2 ) 9 2.2 Fontosabb alkalmazási szabályok A következ® pontban 5 fontos alkalmazási tulajdonságát szemléltetem a transzformáltnak. 1. Linearitás • Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f (t)] = F (s) akkor L[K · f (t)] = K · L[f (t)] = K · F (s), valamely K valós vagy komplex számra. Ugyanis a konstans kiemelhet®sége miatt Z ∞ −st K

· f (t)e L[Kf (t)] = ∞ Z f (t)e−st = K · L[f (t)]. dt = K · 0 0 • Adott f1 (t), f2 (t), amelyeknek Laplace transzformáltja F1 (s), F2 (s), akkor L[f1 (t) + f2 (t)] = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] = F1 (s) + F2 (s). Ugyanis az integrál additivitása és disztributívitása miatt Z ∞ (f1 (t) + f2 (t))e−st dt = L[f1 (t) + f2 (t)] = 0 Z ∞ f1 (t)e−st dt = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] = F1 (s) + F2 (s). 0 Mindkét törvényszer¶ség azzal igazolható hogy a Laplace-transzformált tulajdonképpen határozott integrál. 2. Eltolási tétel Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f(t)]=F(s), ekkor f (t−τ ) esetén a Laplace transzformált eredménye a t − τ = z ,t = z + τ ,dt = dz helyettesítéssel Z L[f (t − τ )] = ∞ f (t − τ )e −st Z 0 Z ∞ dt = f (z)e−(z+τ )s dz = 0 ∞ f (z)e−zs e−τ s dz = e−τ s ∞ Z 0 f (z)e−zs dz = e−τ s F (s). 0 3. Csillapítási tétel Most megviszgáljuk az el®z® kérdés

fordítottját. Ha F az f függvény transzformáltja, akkor az s F (s + a) függvény mely generátorfüggvényhez tartozik? Mivel Z F (s) = 0 10 ∞ f (t)e−st dt ezért ∞ Z f (t)e F (s + a) = −(s+a)t ∞ Z f (t)e−at e−st = L[f (t)e−at ]. dt = 0 0 Tehát a Laplace-transzformált eltolása a generátorfüggvény e−at exponenciális tényez®vel való szorzásával egyenérték¶. A csillapítási tétel segítségével számítsuk ki a következ® függvény transzformáltját!  f (t) = e−at cosh(bt) Korábban már láttuk hogy L[cosh(bt)] = s2 s2 −b2 Ebb®l következ®en s s + a helyettesítésel adódik: L[e−at cosh(bt)] = (s + a)2 (s + a)2 − b2 4. Hasonlósági tétel Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f (t)] = F (s) ekkor f (at) esetén a Laplace transzformáció eredménye: Legyen at = z , ekkor t = Z L[f (at)] = z a ∞ −st f (at)e 0 és dt = a1 dz így, Z dt = ∞ f (z)e 0 −s· az 1 1 · dz = a a Z ∞

f (z)e − as z 0   1 s dz = F . a a • Hasonlósági tétellel számoljuk ki a L[ln(at)]-t! Laplace-transzformáltakat tartalmazó táblázatból tudjuk hogy: L[ln t] = − 1s (C + ln s), ahol C egy állandó. Innen a hasonlósági tétellel adódik:      1 1 s 1 s L[ln at] = − s C + ln = − C + ln . a a s a a • Számoljuk ki a L[(at)2 cosh(at)]-t! Szintén a táblázatból tudjuk, hogy 2s(s2 + 3) L[t cosh(t)] = 2 . (s − 1)3 2 11 Ahonnan a hasonlósági tétellel adódik 1 L[(at) cosh(bt)] = · a 2 s a  2 s a 2·  2  +3 3 −1 s a 2s a =   a· s2 a2 s2 a2  +3 2 2 2 2s · (s + 3a ) . = a · 3 (s2 − a2 )3 −1 5. Konvolúció Az f1 (t) és f2 (t) függvények konvolúcióját a t Z f1 (t)f2 (t − τ )dτ g(t) = 0 összefüggéssel értelmezzük. Most tekintsük a g(t) Laplace-transzformáltját Cseréljük meg az integrálás sorrendjét, és vezessük be a t0 = t − τ változót: ∞ Z −st e G(s) = f1 (t)f2 (t −

τ )dτ = dt 0 0 Z ∞ ∞ e = 0 −st e−st f2 (t − τ )dt = 0 0 Z t Z f1 (t)dτ = t Z ∞ Z e−st f2 (t0 )dt0 = F1 (s)F2 (s). f1 (τ )dτ 0 Így a konvolúció transzformáltja egyszer¶en az egyes transzformáltak szorzata. 12 3. fejezet Deriválhatóság és integrálhatóság 3.1 A generátor függvény deriválása Eddig a deníció alapján határoztuk meg egy függvény Laplace-transzformáltját. A most következ® részben a gyakorlati szempontból fontos eljárást fogalmazunk meg. Melynek segítségével könnyebben el®állítható a transzformált El®ször egy függvény deriváltjának Laplace-transzformáltjával foglalkozunk. A deníció alapján adódik 0 Z ∞ 0 L[f (t)] = −st f (t)e  ∞ Z −st dt = f (t) · e − 0 0 Z −f (0) + s · ∞ f (t)(−s)e−st dt = 0 ∞ f (t)e−st dt = s · L[f (t)] − f (0) = sF (s) − f (0), 0 ahol F az f függvény Laplace-transzformáltja. Tehát L[f 0 (t)] = sL[f (t)] −

f (0). Ennek a formulának az ismételt alkalmazásával el®állíthatjuk magasabb rend¶ deriváltak transzformáltját is L[f 00 (t)] = sL[f 0 (t)] − f 0 (0) = s · (sL[f (t)] − f (0)) − f 0 (0) = s2 L[f (t)] − sf (0) − f 0 (0). Így ha tovább folytatjuk adódik az n-edrend¶ deriváltakra vonatkozó formula L[f (n)(t) ] = sn L[f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 0 − . − f (n−1) (0) 13 A következ® példákon keresztül illusztrálnám ezt a szabályt. 1.f (t) = t Akkor L[f 0 (t)] = s · 1 1 − f (0) = . 2 s s 2.f (t) = cos(at) A táblázatból láthatjuk hogy L[cos(at)] = s2 s + a2 akkor L[f 0 (t)] = L[−a · sin(at)] = s · L[cos(at)] − f (0) = s · 3.f (t) = cos2 at s − f (0). s 2 + a2 f 0 (t) = 2 cos(at)(− sin(at))a = −a2 sin(at) cos(at) = −a sin 2(at) ekkor L[f 0 (t)] = −aL[sin 2at] = −a s2 2a = L[f (t)]s − f (0) = sL[f (t)] − 1, + 4a2 tehát   1 2a2 s2 + 2a2 1 s2 + 4a2 − 2a2 L[f (t)] = · 1 − 2 · = . = s s

+ 4a2 s s2 + 4a2 s(s2 + 4a2 ) 4.f (t) = sin2 at Mivel f 0 (t) = 2 sin(at) cos(at) · a = a2 sin(at) cos(at) = a sin 2a, ezért L[a sin 2a] = a · L[sin 2a] = a · 2a , s2 + 4a2 tehát L[f (t)] = a· 2a s2 +4a2 +0 s 14 2a2 = . s(s2 + 4a2 ) 3.2 Laplace-transzformált deriválása Az alábbi eredmény azt mondja, hogy a Laplace-transzformált s-szerinti deriváltját kiszámíthatjuk úgy,hogy a deriválás és az improprius integrál sorrendjét felcserélhetjük, azaz el®ször s szerint deriváljuk az e−st f (t) kifejezést, majd a kapott eredménynek besszük az improprius integrálját. Ezért: Z Z ∞ d d ∞ d −st F (s) = f (t) · e dt = f (t) · e−st dt = ds ds 0 ds 0 Z ∞ Z ∞ f (t)(−t) · e−st = − t · f (t) · e−st dt 0 0 így d F (s) = −L[t · f (t)]. ds Általánosan n-edrend¶ deriváltra a következ®t kapjuk Z ∞ Z ∞ dn dn −st F (s) = n f (t) · e = (−t)n · f (t) · e−st dt = dsn ds 0 0 Z ∞ (−1)n tn · f (t) · e−st dt =

(−1)n L[tn f (t)], 0 vagyis dn F (s) = (−1)n L[tn f (t)]. n ds A következ® részben az el®z®ekhez hasonlóan néhány feladaton keresztül mutatnám be az egyes függvények transzformáltjának deriválását. 1.Legyen f (t) = t · sin(at) Felhasználva L[sin(at)] = a s2 +a2 = F (s), valamint alkalmazva d ds · F (s) = −L[t · f (t)] formulát kapjuk, hogy   d a a · 2s 2as L[t · sin(at)] = − · 2 =− − 2 = 2 . 2 2 2 ds s + a (s + a ) (s + a2 )2 2. Legyen f (t) = t2 · cosh(at) Korábbról tudjuk a hiperbolikus függvény transzformáltját F (s) = L[cosh(at)] = 15 s2 s . − a2 Erre alkalmazzuk a d2 · F (s) = (−1)2 · L[t2 cosh(at)] ds2 képletet így,     d2 s d (s2 − a2 ) − s2s L[t cosh(at)] = 2 2 = = ds s − a2 ds (s2 − a2 )2   d −s2 − a2 2s(s2 + 3a2 ) = = . ds (s2 − a2 )2 (s2 − a2 )3 2 3. Legyen f (t) = tn eat . Induljunk ki az eat Laplace transzformáltjából 1 = F (s). s dn n n Alkalmazzuk erre az F-re a ds n

F (s) = (−1) L[t f (t)] formulát. L[eat ] = L[tn eat ] = 1 dn 1 1 dn−1 −1 · · = · · = n n n n−1 (−1) ds s − a (−1) ds (s − a)2 1 dn−2 (−1)(−2) 1 n! n! · · = . = (−1)n = , n n−2 3 n n+1 (−1) ds (s − a) (−1) (s − a) (s − a)n+1 ahol Re(s − a) > 0. 3.3 A generátor függvény primitív függvényének transzformáltja A deriváltra vonatkozó formula alkamazásával könnyen levezethetünk egy összefüggést,egy f függvény integrálfüggvényének Laplace transzformáltjára vonatkozóan. Legyen Z φ(t) = t f (t)dt 0 Ekkor d φ(t) dt = f (t) összefüggés miatt egyrészt   d φ(t) = L[f (t)]. L dt Másrészt a deriváltra vonatkozó szabály szerint   d L φ(t) = sL[φ(t)] − φ(0) = sL[φ(t)], dt 16 hiszen Z 0 f (t)dt = 0. φ(0) = 0 Átrendezve az egyenletet, kapjuk a keresett összefüggést Z L 0 t  1 F (s) f (t)dt = L[f (t)] = , s s ahol F szokás szerint f Laplace transzformáltja. Eszerint a

generátorfüggvény integrálása a Laplace transzformált s-sel való osztásával egyenérték¶. 1. Számítsuk ki a φ(t) = Rt 0 t sin(at)dt függvény Laplace transzformáltját! Az el®z® megállapítás alapján az integrandusnak a Laplace-transzformáltját kell osztani s-sel, így 1 1 2as 2a · L[t · sin(at)] = · 2 = . s s (s + a2 )2 (s2 + a2 )2 L[φ(t)] = 2. Számítsuk ki φ(t) = Rt 0 t2 e−t dt függvény transzformáltját. Induljunk ki abból hogy ismerjük a tn eat transzformáltját, most ezt az n = 2, a = −1 helyettesítéssel kapjuk: 1 1 2! s2 + 2a2 · L[t2 e−t ] = · = . s s (s − (−1))3 s2 (s2 + 4a2 ) L[φ(t)] = 3.4 Laplace transzformált integrálása A Laplace transzformáltnak az integrálfüggvényét ha megviszgáljuk hasznos összefüggést kaf (t) t punk. Ehhez állítsuk el® t Z L[f (t)] = Z függvény transzformáltját ∞ f (t) −st e dt = t 0 ∞ Z ∞ = s ahol felhasználtuk a 1. d e−st ( t ) ds Számítsuk ki

az f (t) = Z ∞ Z f (t)dt 0  f (t)e−st dt ds = 0 ∞ F (s)ds, s függvény transzformáltját! Az el®bb levezetett összefüggést alkalmazva 17 e−st dt = s Z = −e−st összefüggést. sin(at) t ∞  Z ∞ Z ∞ sin(at) a L = L[sin(at)]ds = ds = 2 t s + a2 s s   ∞   Z 1 s 1 ∞ 1 arctan a = ds = = s 2 a s (a) + 1 a a s       ∞ π s a s = − arctan = arctan . = arctan a s 2 a s  2. Számítsuk ki az f (t) = sin2 at t függvény transzformáltját. Itt felhasználjuk hogy L[sin2 at] = 2a2 , s(s2 +4a2 ) Z amit már kiszámoltunk korábban. Innen következik ∞ Z 2 ∞ L[sin at]ds = L[f (t)] = s s 2a2 ds. s(s2 + 4a2 ) Az integrál kiszámításához parciális törtekre bontunk 1 1 s 2a2 2 2 = − , 2 2 2 s(s + 4a ) s s + 4a2 ennek primitív függvénye Z   1 1 2s 1 1 1 s2 2 2 − 2 ds = ln |s| − ln |s + 4a | = ln 2s 4 s + 4a2 2 4 4 s2 + 4a2 ahonnan  2  Z ∞  ∞ sin at 1 2a2 s2 L ds = ln 2 = = t s(s2 +

4a2 ) 4 s + 4a2 s s = 1 4a2 ln 1 + 2 . 4 s 18 4. fejezet Inverz Laplace-transzformáció 4.1 Deníció Legyen az F egy, komplex szám független változójú függvény, és létezzen egy f (t) egyváltozós valós szám értek¶ függvény,amelyre teljesül,hogy L[f (t)] = F . Az f (t) füg- gvényt az F függvény inverz Laplace transzformáltjának nevezzük. Az inverz Laplace traszformált jelölése: L−1 [F ] = f (t) A gyakorlati alkalmazás szempontjából egyik legfontosabb tulajdonságot az alábbi állításban adjuk meg. Állítás: Ha létezik f1 (t)=L−1 [F1 ]; f2 (t) = L−1 [F2 ] ; . ; fk (t) = L−1 [Fk ] inverz Laplace transzformált függvények, és c1 ;c2 ; . ; ck tetsz®leges adott valós vagy komplex számok akkor L−1 [c1 F1 + c2 F2 + . + ck Fk ] = = c1 L−1 [F1 ] + c2 L−1 [F2 ] + . + ck L−1 [Fk ] = = c1 f1 (t) + c2 f2 (t) + . + ck fk (t) azaz az inverz Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú. Fontos még a

konvolúciós tételként ismert állítás Állítás: Egy ismeretlen f (t) függvény F Laplace transzformáltja legyen szorzat alakú: F = F1 F2 ,de legyenek ismertek az f1 (t) és f2 (t) függvények, mint a tényez®k inverz Laplace-transzformáltjai: f1 (t) = L−1 [F1 ] és f2 (t) = L−1 [F2 ] Ekkor −1 Z −1 0 f1 (x)f2 (t − x)dx. f (t) = L [F ] = L [F1 F2 ] = t Alkalmazom a fent megfogalmazottakat néhány függvényre. 1. Számítsuk ki az F (s) = s2 3s − 1 + 4s + 13 19 függvény inverz Laplace-transzformáltját! A tört nevez®jét teljes négyzetté alakítjuk F (s) = s2 3s − 1 3s − 1 3(s + 2) − 7 s+2 7 3 = = =3 − 2 2 2 + 4s + 13 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 3 (s + 2)2 + 9 ezért az inverz Laplace-transzormált linearitását,a csillapitási tételt és a koszinusz és szinusz függvényekre vonatkozó azonosságokat alkalmazva: −1 L [F (s)] = 3L 2. −1     s+2 3 7 −1 7 − L = 3e−2t cos(3t) − e−2t sin(3t). 2

2 2 2 (s + 2) + 3 3 (s + 2) + 3 3 Számítsuk ki az F (s) = 19 − 2s +s−6 s2 függvény inverz Laplace-transzformáltját! 19 − 2s A B 19 − 2s = = + +s−6 (s − 2)(s + 3) s−2 s+3 s2 19 − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) = As + 3A + Bs − 2B A + B = −2 A = −2 − B 3A − 2B = 19 3(−2 − B) − 2B = 19 −6 − 3B − 2B = 19 −6 − 5B = 19 −5B = 25 B = −5 A = −2 + 5 = 3 tehát 3 5 − . s−2 s+3 Inverz Laplace-transzformáció linearitását alkalmazva F (s) = −1 L [F (s)] = 3L −1     1 1 −1 − 5L = 3e2t − 5e−3t . s−2 s+3 20 4.1 Parciális törtekre bontás módszere Ez a módszer a kés®bbiekben is fontos lesz. Ebben a részben általánosan szeretném ismertetni majd egy egyszer¶ példán bemutatni. Legyen f (x) = p(x) q(x) alakú, ahol p(x) egy m-edfokú, q(x) pedig n-ed fokú polinom. A nevez®nek csak egyszeres, valós gyökei vannak. Ekkor q(x) felírható gyöktényez®s alakban Ekkor pedig p(x) q(x)

felírható: p(x) p(x) A1 A2 An = = + + . + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) . (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn alakban. Itt az A1 , A2 , , An számokat az egyenl® együtthatók módszerével kapjuk meg Tehát p(x) p(x) A1 A2 An = = + + . + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) . (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn azonosságban a jobb oldalt közös nevez®re hozzuk, majd az így kapott számláló együtthatóit összevetjük p(x) megfelel® együtthatóival, így egy egyenletrendszert kapunk Ai -kre, amelyet megoldva megkapjuk a kívánt együtthatókat. PÉLDA 1. Legyen F (s) = 19 − 2s . +s−6 s2 A nevez® szorzattá alakítása után kapjuk, F (s) = 19 − 2s A B = + (s − 2)(s + 3) s−2 s+3 ebb®l 19 − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) = As + 3A + Bs − 2B ahonnan A + B = −2 A = −2 − B 3A − 2B = 19 21 Behelyettesítem A-t a második egyenletbe 3(−2 − B) − 2B = 19 −6 − 3B − 2B = 19 −5B = 25 B = −5 B-t behelyettesítve az els® egyenletbe

A = −2 − (−5) = 3 így F (s) = 3 5 19 − 2s = − . +s−6 s−2 s+3 s2 22 5. fejezet Közönséges dierenciálegyenletek és egyenletrendszerek A Laplace transzformáció egyik legfontosabb alkalmazása az álladó együtthatós lineáris dierenciálegyenletek és dierenciálegyenletrendszerek megoldása. Ehhez tekintsünk egy másodrend¶ dierenciálegyenletet ax00 + bx0 + cx = f (t) ahol a, b, c adott konstansok, x = x(t) az ismeretlen függvény,f szintén adott függvény. A megoldási módszer lényege abban áll, hogy képezzük az egyenlet mindkét oldalának Laplacetranszformáltját. Ha bevezetjük az ismeretlen t x(t) függvény transzformáltjának jelölésére az s X(s) jelet, és felhasználjuk a korábban bizonyított L[x0 (t)] = sX(s) − x(0) L[x00 (t)] = s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) összefüggéseket,akkor a transzformáció eredménye az a(s2 X(s) − sx(0) − x0 (0)) + b(sX(s) − x(0)) + cX(0) = F (s) algebrai egyenlet. A

transzformáció elvégzése után tehát az ismeretlen x függvény transzformáltjára egy közönséges algebrai egyenletet kapunk. 23 5.1 Példák dierenciálegyenletekre 1. Tekintsük az x00 − 4x = 0, x0 (0) = 0 x(0) = 1, kezdeti érték feladatot. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját L[x00 ] − 4L[x] = 0. Használva az X(s) = L[x] jelölést valamint a második derivált Laplace-transzformáltjára vonatkozó azonosságot, kapjuk s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) − 4X(s) = 0 A kezdeti értéket használva (s2 − 4)X(s) = s azaz X(s) = s2 s . −4 Bontsuk parciális törtekre X(s)-t, s2 s s A B = = + −4 (s + 2)(s − 2) s+2 s−2 amib®l átszorozva kapjuk, hogy s = A(s − 2) + B(s + 2) A+B =1A=1−B −2A + 2B = 0 −(1 − B) + B = 0 2B = 1 B = A=1− 24 1 1 = 2 2 1 2 ezért s 1 1 1 1 = + . −4 2s+2 2s−2 Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldását s2 −1 x(t) =

L [X(s)] = L 2. −1     s 1 1 1 1 1 −1 1 =L + = e−2t + e2t . 2 s −4 2s+2 2s−2 2 2 Tekintsük az  00 0    x (t) + 4x (t) + 3x(t) = 1 x(0) = 0    x0 (0) = 0 Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) + 4sX(s) − x(0) + 3X(s) = 1 s ekkor 1 1 1 · = 3 . + 4s + 3 s s + 4s2 + 3s A nevez®t szozattá alakítjuk és használjuk a parciális törtekre bontás módszerét: X(s) = X(s) = s2 1 A B C = + + s(s + 1)(s + 3) s s+1 s+3 átszorozva kapjuk 1 = A(s2 + 4s) + 3) + Bs2 + 3Bs + Cs2 + Cs ebb®l     A+B+C =0 4A + 3B + C = 0    3A = 1 A = 1 3 A-t behelyettesítve a másik két egyenletbe ( 1 3 4 3 +B+C =0 + 3B + C = 0 25 Kivonjuk egymásból a két egyenletet 1 2 1 1 1 − +C =0C = 3 2 6 −1 − 2B = 0 B = − így 1 1 1 1 1 X(s) = s − + . 3 2s+1 6s+3 Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk az egyenlet megoldását: 1 1 1 1 1 1 1 1 x(t) =

L−1 [X(s)] = L−1 [ s − + ] = 1(t) − e−t + e−3t . 3 2s+1 6s+3 3 2 6 5.2 Dierenciálegyenletrendszerek Dierenciálegyenletek esetén felhasználva az az el®z®ekben megkapott összefüggéseket, algebrai lineáris egyenletrendszert kapunk az ismeretlenfüggvények transzformáltjára vonatkozólag. Az egyenletrendszer megoldása után ismét a visszatranszformálás a feladat. következ® egyenletrendszert!   x0 = 3x − 2y + et     y 0 = x + 6y − et  x(0) = 2     y(0) = −1 vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját: ( 1 s−1 1 s−1 sX(s) − x(0) = 3X(s) − 2Y (s) + sY (s) − y(0) = X(s) + 6Y (s) − a kezdeti feltételeket használva: 1 s−1 1 −X(s) + (s − 6)Y (s) = −1 − s−1 (s − 3)X(s) + 2Y (s) = 2 + az egyenletrendszert rendezve kapjuk: 26 1. Számítsuk ki a ( X(s) = Y (s) = 2s2 −11s+6 (s−4)(s−5)(s−1) s2 −5s+1 − (s−4)(s−5)(s−1) és így parciális

törtekre bontva X(s)-t: 2s2 − 11s + 6 A B C = + + (s − 4)(s − 5)(s − 1) s−4 s−5 s−1 2s2 − 11s + 6 = A(s2 − 6s + 5) + B(s2 − 5s + 4) + C(s2 − 9s + 20) 2s2 − 11s + 6 = As2 − A6s + 5A + Bs2 − 5Bs + 4B + Cs2 − 9Cs + 20C A+B+C =2A=2−B−C −6A − 5B − 9C = −11 −6(2 − B − C) − 5B − 9C = −11 B = 1 + 3C 5A + 4B + 20C = 6 5(1 − 4C) + 4(1 + 3C) + 20C = 6 9 + 12C = 6 1 C=− 4 1 1 B = 1 + 3(− ) = 4 4 1 1 A = 2 − − (− ) = 2 4 4   1 1 1 1 2 −1 x(t) = L + − s−4 4s−5 4s−1 1 1 x(t) = 2e4t + e5t − et 4 4 majd ismét a parciális törtekre bontás módszerével megkapjuk y(t) is: A + B + C = −1 A = −1 − B − C −6A − 5B − 9C = 5 −6(−1 − B − C) − 5B − 9C = 5 B = −1 + 3C 5A + 4B + 20C = −1 5(−4C) + 4(−1 + 3C) + 20C = −1 −4 + 12C = −1 1 C= 4 1 B = −1 + 3C = − 4   1 1 A = −1 − − − = −1 4 4 27 −1 y(t) = L 2.  1 1 1 1 1 − − + s−4 4s−5 4s−1  1 1 y(t) =

−e4t − e5t + et . 4 4 Legyen: x0 = −7x + y + 5 0 x(0) = 0 y = −2x − 5y − 37 y(0) = 0 Mindkét egyenletnek vesszük a Laplace-transzformáltját. Ekkor: ( sX(s) = −7X(s) + Y (s) + 5 s sY (s) = −2X(s) − 5Y (s) + 37 s2 Az els® egyenletet megszorozzuk s + 5-tel majd összeadjuk a két egyenletet így megkapjuk az X(s)-t: ( X(s)(s + 7) − Y (s) − 5 p Y (s)(s + 5) + 2X(s) − ( = 0 /(s + 5) 37 p2 =0 X(s)(s + 5)(s + 7) − Y (s)(s + 5) = 0 Y (s)(s + 5) + 2X(s) − 37 s2 =0 37 5s + 25 − =0 s2 s 37 + 5s2 + 25s X(s) = 2 2 s (s + 12s + 37) X(s)(s2 + 12s + 35 + 2) − Parciális törtekre bontjuk X(s)-t: X(s) = 37 + 5s2 + 25s A B Cs + D = + 2+ 2 2 2 s (s + 12s + 37) s s s + 12s + 37 37 + 5s2 + 25s = A(s(s2 + 12s + 37)) + B(s2 + 12s + 37) + Cs(s2 ) + Ds2 37 + 5s2 + 25s A + C = 0 − C = −1 12A + B + D = 5 − D = −6 37A + 12B = 25 − 37A − 12 = 25 A = 1 x(t) = L−1  37B = −37 − B = −1  1 1 s+6 + − = 1 − t − e−6t cos(t). s

s2 (s + 6)2 + 1 28 Majd az egyenletrendszerb®l megkapjuk az Y(s)-t ha az els® egyenletet megszorozzuk 2-vel a másodikat pedig s + 7-tel és kivonjuk egymásból: ( 2X(s)(s + 7) − 2Y (s) − 10 p =0 Y (s)(s + 5)(s + 7) + 2(s + 7)X(s) − 37s+259 s2 =0 37s − 259 10 =0 − s2 p −47s − 259 −10s − 37s − 259 = 2 . Y (s) = 2 2 s (s + 12s + 37) s + 12s + 37 Y (s)(s2 + 12s + 37) − Parciális törtekre bontjuk Y(s)-t: −47s − 259 A B Cs + D = + 2+ 2 2 s + 12s + 37 s s s + 12s + 37 −47s − 259 = A(s(s2 + 12s + 37)) + B(s2 + 12s + 37) + Cs(s2 ) + Ds2 −47s − 259 = As3 + A12s2 + A37s) + Bs2 + B12s + 37B + Cs(s2 ) + Ds2 A+C =0C =1 12A + B + D = 0 12 − 7 = −D D = 5 37A + 12B = −47 37A + 84 = −47 A = 1 37B = −259 B = −7. Megkaptuk hogy: 1 −7 s+5 + 2 + 2 . s s s + 12s + 37 Vesszük az el®z® egyenlet inverz Laplace-transzformáltját: −1 y(t) = L  1 7 s + 52 − 2− +1 s s s+6  y(t) = 1 − 7t + e−6t cos(t) + e−6t sin(t). 29

5.3 Integrálegyenletek Néhány esetben el®fordulnak olyan integrálegyenletek,amelyekben az ismeretlen függvény egy konvolúcióban szerepel. A b Z k(x − y)g(y)dy g(x) = f (x) + λ a egyenlet, ahol f (x) és k(x) megadott függvények és a λ adott állandó. Ha az el®z® egyenletben a x0 = x − a, y 0 = y − a változó cserével a következ®t kapjuk 0 x0 Z 0 k(x0 − y 0 )g(y 0 )dy 0 g(x ) = f (x ) + λ Az általános megoldási módszer: 0 alkalmazzuk a Laplace transzformációt az egyenletre, G(s) = F (s) + λK(s)G(s) algebrai egyenletre jutunk, amelyb®l következik, hogy G(s) = F (s) . 1 − λK(s) Az egyenlet átírható a λK(s) F (s) 1 − λK(s) G(s) = F (s) + alakra. 1. Tekintsük az Z s s= es−t g(t)dt 0 egyenletet. A Laplace transzformáltja a következ® 1 1 = G(s) 2 s s−1 innen s−1 1 1 = − 2, 2 s s s g(t) = 1 − t. G(s) = 30 2. Tekintsük a Z x (x − y)g(y)dy g(x) = 1 − 0 egyenletet. Ekkor G(s) = s−1 −

s−2 G(s), ami a következ® megoldást adja: s 1 + s2 g(x) = cosx. G(s) = 31 Irodalomjegyzék [1] Hanka László, Zalay Miklós [2] Brain Davies Komplex függvénytan M¶szaki könyvkiadó(2010) Integráltranszformációk és alkalmazásaik M¶szaki könyvkiadó(1983) [3] Simon L. Péter, Tóth János Dierenciálegyenletek, Typotex (2005) 32 Laplace transzformáció 2007. március 19 1. Bevezetés Definíció: Legyen f : [0, ∞[ R. Az F (s) = R∞ f (t) e−st dt függvényt az f függvény 0 Laplace-transzformáltjának nevezzük, ha a fenti improprius integrál valamilyen s ∈ R számokra konvergens. Megjegyzések: • A Laplace-transzformáció tehát egy olyan leképezés, amely függvényhez függvényt rendel: f F. • A Laplace-transzformáció definíciójában f általában komplex változós fügvény és s is komplex szám. Mi azonban a csak valós számokra szorítkozunk • A definícióban szereplő improprius integrált Laplace-integrálnak

nevezzük. • Az f függvényt generátorfüggvénynek nevezzük. Azt is szokás mondani, hogy az f függvény az F inverz Laplace-transzformáltja. • A generátorfüggvényt a definícióban csak nemnegatív számokra értelmeztük. Szokták negatív számokra is értelmezni, azonban ilyenkor f a negatív helyek mindegyikén 0-t vesz fel. Jelölések:     • A Laplace-transzformáltra: F (s) = f¯(s) = L f (t) = L f • Az inverz Laplace-transzformáltra: f (t) = L−1 [F] = L−1 [F (s)] • A kapcsolatukra: f  F, illetve F  f . Tétel: A Laplace-integrál konvergenciájával kapcsolatban csak az alábbi három eset valamelyike fordulhat elő: • Minden s ∈ R esetén konvergens. 1 • Egyetlen s ∈ R esetén sem konvergens. • Létezik olyan a ∈ R szám, hogy s < a esetén a Laplace-integrál divergens, s > a esetén pedig konvergens. R∞ + αt Tétel: Ha létezik olyan K ∈ R és α ∈ R, hogy f (t) ≤ Ke , akkor az f (t) e−st dt 0

Laplace-integrál s > α esetén konvergens. Tétel: Ha az f függvénynek létezik Laplace-transzformáltja és c ∈ R, akkor a c f függvénynek is létezik Laplace-transzformáltja és     L c f = cL f Tétel: Legyenek f1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik. Ekkor létezik f1 + f2 Laplace-transzformáltja is és:       L f1 + f2 = L f1 + L f2 Tétel: Legyenek f1 és f2 olyan függvények, amelyek Laplace-transzformáltja létezik. Ha c1 , c2 ∈ R, akkor létezik c1 f1 + c2 f2 Laplace-transzformáltja is és:       L c 1 f1 + c 2 f2 = c 1 L f1 + c 2 L f2 Megjegyzés: Az utóbbi tételnek az előző kettő speciális esete. A két speciális eset együttesen ekvivalens az utolsó tétellel, amely biztosan igaz, ha az előző kettő igaz. 2. Néhány konkrét függvény Laplace-transzformáltja 2.1 Az egységugrás függvény Laplace-transzformáltja Definíció: Az 11 : R R, 11 (t) = ( 0 ha t < 0 függvényt

egységugrás függvény1 ha t ≥ 0 nek nevezzük. L [11] = Z∞ 0 e −st " −st #∞  −sω  e e 1 1 dt = − = lim − = + ω∞ s 0 s s s ha s>0 2.2 Az exponenciális függvény Laplace-transzformáltja ∞ " (a−s)t #∞ ! Z∞ h i Z e e(a−s)ω 1 1 (a−s)t at at −st L e = e e dt = e dt = = lim − = ω∞ a − s a−s 0 a−s s−a 0 0 ha Példa: e3t  1 s−3 s>a 2.3 A hiperbolikus függvények Laplace-transzformáltja " #  h i 1  1 eat − e−at 1  h at i 1 a −at L [sh (at)] = L = = L e −L e − = 2 2 2 2 s−a s+a s − a2 ha s > |a| Példa: sh 2t  s2 2 −4 " #  h i 1  1 eat + e−at 1  h at i 1 s −at (at)] =L = L [ch = L e +L e + = 2 2 2 2 s−a s+a s − a2 ha Példa: ch 5t  s2 s > |a| s − 25 2.4 A trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltja L [sin (at)] = Z∞ 0 " # Z∞ −st ∞ (at) sin e a sin (at) e−st dt = − + cos (at) e−st dt = ′ −st s s v=sin(at), u

=e v=cos(at), u′ =e−st 0 0 ! " sin (aω) e−sω a cos (at) e = lim − +0 − · ω∞ s s s # −st ∞ 0 a2 − 2 s Z∞ sin (at) e−st dt = 0 2 =0− a a · lim (cos (aω) e−sω − 1) − 2 L [sin (at)] 2 s ω∞ s Tehát a következő egyenlethez jutottunk: L [sin (at)] = a a2 − L [sin (at)] s2 s2 ha Ebből rendezéssel adódik: L [sin (at)] = s2 a + a2 ha s>0 s>0 ha s > 0 Az előző gondolatmenethez hasonlóan: L [cos (at)] = Z∞ 0 #∞ " Z∞ a cos (at) e−st sin (at) e−st dt = − cos (at) e dt = − s s v=cos(at), u′ =e−st v=sin(at), u′ =e−st 0 −st 0 ! " a sin (at) e cos (aω) e−sω 1 + + · = lim − ω∞ s s s s # −st ∞ 0 a2 − 2 s Z∞ cos (at) e−st dt = 0 2 = a 1 + 0 − 2 L [cos (at)] s s ha s > 0 1 a2 − L [cos (at)] ha s > 0 s s2 s L [cos (at)] = 2 ha s > 0 s + a2 L [cos (at)] = Példa: 2 sin 3t − 3 cos 5t  2 · 3 6 s 3s = − 3 · − s2 + 9 s2 + 25 s2

+ 9 s2 + 25 2.5 A hatványfüggvény Laplace-transzformáltja Először vezessünk le egy a hatványfüggvény Laplace-transzformáltjára vonatkozó rekurzív összefüggést (n pozitív egész szám): L [tn ] = Z∞ " n −st #∞ Z∞ t e n tn e−st dt = − + tn−1 e−st dt = s 0 s 0 v=tn , u′ =e−st 0  i n h i ωn e−sω n h = lim − + 0 + L tn−1 = L tn−1 ω∞ s s s    1 1 1   2 2 Tudjuk, hogy L t0 = L [11] = , tehát L [t] = · L [11] = 2 , L t2 = · L [t] = 3 , s s s s s  3 3  2 6 h 4i 4  3  24 L t = · L t = 4 , L t = · L t = 5 , stb. s s s s n! n Ebből arra a sejtésre jutunk, hogy L [t ] = n+1 . s Ez teljes indukcióval könnyen igazolható is, hiszen: h i n+1 (n + 1)! n + 1 n! L tn+1 = , · L [tn ] = · n+1 = s s sn+2 s tehát ha egy n természetes számra helyes a megsejtett képlet, akkor helyes n + 1-re, azaz a következő természetes számra is. 3! 2! 1! 1 6 6 7 9 Példa: t3 − 3t2 + 7t + 9  4 − 3 · 3 + 7 · 2 + 9 · = 4

− 3 + 2 + t t s s t t s s 3. Néhány számítási szabály 3.1 Exponenciális függvénnyel szorzott függvény Laplace-transzformáltja Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény Laplace-transzformáltját: f (t)  F (s). Ekkor az f (t) eat szorzat Laplace-transzformáltja is könnyen felírható: f (t) eat  F (s − a) . Bizonyítás: h i L f (t) eat = Z∞ f (t) eat e−st dt = 0 Z∞ 0 Példák: 3 • e2t sin 3t  • et cos 4t  • e3t sh 2t  (s − 2)2 + 9 s−1 (s − 1)2 + 16 2 (s − 3)2 − 4 • e−2t ch 2t  • e5t t8  (s + 2)2 − 4 (s − 5)9 3 s2 − 4s + 13 = s−1 s2 − 2s + 17 = s+2 8! = 2 s2 − 6s + 5 = s+2 s2 + 4s f (t) e−(s−a)t dt = F (s − a) 3.2 Hatványfüggvénnyel szorzott függvény Laplace-transzfor máltja Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény Laplace-transzformáltját: f (t)  F (s). Ekkor az f (t) tn szorzat Laplace-transzformáltja is meghatározható: f (t) tn  (−1)n · dn F (s) . dsn

Bizonyítás: Először az n = 1 speciális esetre bizonyítjuk az összefüggést. Induljunk ki a Laplace-transzformáció definíciójából: Z∞ f (t) e−st dt = F (s) 0 Deriváljuk ennek mindkét oldalás az s változó szerint: Z∞ −t f (t) e−st dt = dF (s) ds 0 Ezt −1-gyel szorozva a bizonyítani kívánt összefüggéshez jutunk: Z∞ t f (t) e−st dt = − dF (s) ds 0 Az általános eset teljes indukcióval bizonyítható. Tegyük fel, hogy n-re már igazoltuk az állítást. Ekkor n + 1-re: h i    d  d dn F (s) (−1)n · L tn+1 f (t) = L t · tn f (t) = − L tn f (t) = − = ds ds dsn = (−1)n+1 Tehát ha az állítás n-re igaz, akkor n + 1-re is teljesül. Példa: t sin 2t  − d 2 0 − 2 · 2s 4s =− = 2 2 2 2 ds s + 4 (s + 4) (s + 4)2 dn+1 F (s) dsn+1 3.3 Függvény integráljának Laplace-transzformáltja Legyen f (t)  F (s). Ekkor a g (t) = Rt f (x) dx függvény laplace-transzformáltja 0 F (s) . s Bizonyítás:  ∞ !

 Rt    −st  f (x) dx e  Z∞ Zt Z∞    0      1  f (x) dx e−st dt = −  + L g (t) = f (t) e−st dt =     s s      0 0 0   t 0 R v= f (x) dx, u′ =e−st 0 !  Rω    −sω   f (x) dx e  0  F (s) F (s)   = lim − + 0 + =  ω∞  s s s     3.4 Függvény deriváltjainak Laplace-transzformáltja Ha f (t)  F (s) = f¯(s), akkor f ′ (t)  s f¯(s) − f (0). Bizonyítás: Ismét parciális integrálást alkalmazunk: Z∞ Z∞ h i∞  ′  f (t) e−st dt = − f (0) + s f¯(s) L f (t) = f ′ (t) e−st dt = f (t) e−st + s 0 u′ = f ′ (t), v=e−st 0 0 Az f függvény második deriváltjának Laplace-transzformáltja: f ′′ (t)  s2 f¯ (s) − s f (0) − f ′ (0) Bizonyítás:       L f ′′ (t) = sL f ′

(t) − f ′ (0) = s s f¯ (s) − f (0) − f ′ (0) = s2 f¯(s) − s f (0) − f ′ (0) Az f függvény n-edik deriváltjának Laplace-transzformáltja: f (n) (t)  sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . − f (n−1) (0) Bizonyítás: (Teljes indukcióval.) Az állítás n = 1-re és n = 2-re igaz Tegyük fel, hogy n-re is igaz. Ekkor n + 1-re: h i h i L f (n+1) (t) = sL f (n) (t) − f (n) (0) =   = s sn f¯(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − . − f (n−1) (0) − f (n) (0) = = sn+1 f¯(s) − sn f (0) − sn−1 f ′ (0) − . − s f (n−1) (0) − f (n) (0) Tehát ha az állítás igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz. 3.5 Eltolási tétel Legyen f (t)  F (s). Ekkor a g (t) =   transzformáltja L g (t) = e−as F (s) ( 0 ha x < a függvény Laplacef (t − a) ha x ≥ a Bizonyítás:   L g (t) = Z∞ g (t) e−st dt = 0 Za 0 dt + Z∞ f (t − a) e−st dt = a 0 Z∞ f (t − a) e−st dt a Alkalmazzunk u = t

− a helyettesítést:   L g (t) = Z∞ f (t − a) e −st a dt = Z∞ f (u) e −s(u+a) du = e 0 −as Z∞ f (u) e−su du = e−as F (s) 0 4. Inverz Laplace-transzformáció Hogyan állítsuk elő a generátorfüggvényt, ha adott a Laplace-transzformáltja? Ha a Laplace-transzformált valamilyen egyszerű racionális törtfüggvény, akkor gyakran a Laplace-transzformáció megfordításával (táblázat segítségével) célt érünk. Példák: • 1  e8t s−8 • s2 • 2 1 3! 1 = · 4  t3 4 3 s 3 s • s2 3 3 2 3 = · 2  sin 2t +4 2 s +4 2 s−1 s−1 s−3 2 = = +  2 2 − 6s + 13 (s − 3) + 4 (s − 3) + 4 (s − 3)2 + 4  e3t cos 2t + e3t sin 2t Ha a visszatranszformálandó kifejezés bonyolultabb racionális tört, akkor először résztörtekre bontást alkalmazunk és a tagokat egyenként transzformáljuk vissza