Matematika | Tanulmányok, esszék » Ellipszis, hiperbola, parabola

ELLIPSZIS, HIPERBOLA, ÉS PARABOLA 1. Az ellipszis Adottak a síkon az F1 és az F2 pontok (fókuszok) valamint a 2a távolság úgy, hogy 2c = P = |F1F2| < 2a teljesüljön. Ellipszisnek nevezzük a sík azon P pontjainak halmazát, v1 v2 amelyekre fennáll a |PF1| + |PF2| = 2a c O C1 F1 F2 C2egyenlőség (a v1 = PF1 és v2 = PF2 szakaszok a P pont vezérsugarai). b a a Szimmetriák: az F1F2 egyenesre (a nagytengely egyenesére) és az F1F2 szakasz feleB2 ző merőlegesére (a kistengely egyenesére) 2a vonatkozó tengelyes szimmetriák, és e két 2 2 2 egyenes O metszéspontjára (a középpontra) b +c =a vonatkozó centrális szimmetria. A szimmetriatengelyekre illeszkedő pontok a C1 és C2 csúcspontok vagy nagytengely végpontok (|OC1| = |OC2| = a), továbbá a B1 és B2 kistengely végpontok (|OB1| = |OB2| = b, |F1Bi| = |F2Bi| = a, i = 1, 2). A tengelyvégpontokhoz tartozó érintő merőleges a tengely egyenesére. Állítás: Az ellipszis egy P pontjához tartozó

érintője felezi a ponthoz tartozó v1 és v2 vezérsugarak külső szögét. B1 N v1 C1 F1 v1 N+ a Ellipszispontok és érintők szerkesztése B1 B1 2 1 v 2 1 2 O v2 b a B2 2a F2 C2 C1 F1 1 2 O F2 C2 1 1 2 B2 2 Legyenek adottak az ellipszis F1 és F2 fókuszai, valamint a 2a > |F1F2| távolság. · Az F1F2 egyenesen O-tól a távolságra kijelöljük a C1 és C2 csúcspontokat. · Az F1F2 szakasz felező merőlegesén a fókuszoktól a távolságra adódnak a kistengely B1 és B2 végpontjai. · Ha a 2a hosszúságú C1C2 szakaszt egy F1 és O közé eső N+ ponttal két részre osztjuk, akkor a létrejövő, rendre v1 és v2 hosszúságú N+C1 és N+C2 szakaszok (v1 + v2 = 2a miatt) egy, az ellipszisre illeszkedő (megfelelő) N pont vezérsugarai. · N+-hez hasonlóan további osztópontok is felvehetők F1-től O felé haladva növekvő közökkel. Mindegyikhez megszerkeszthetjük a megfelelő ellipszispontokat, amelyek a szimmetriák miatt négyesével

adódnak A szimmetriákat az érintők szerkesztése során is kihasználhatjuk. y B1 P Az ellipszis egyenlete 2 2 2 |C1C2| = 2a; |F1F2| = 2c; b = a – c F1(–c, 0); F2(c, 0); P(x, y) F2 C2 x O C1 F1 |F1P| = Ö(x + c)2 + y2 2 2 |F2P| = Ö(x – c) + y F1P + F2P = 2a B2 2 Ö(x + c)2 + y2 + Ö(x – c)2 + y2 = 2a 2 2 2 Ö(x + c) + y = 2a – Ö(x – c) + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x + 2xc + c ) + y = 4a – 4aÖ(x – c) + y + (x – 2xc + c ) + y aÖ(x – c)2 + y2 = a2 – xc 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a (x – 2xc + c ) + a y = a – 2a xc + x c (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) (x – u) (y – v) x2 y2 = 1, illetve K(u, v) középponttal: =1 + + 2 2 2 2 a b a b 2 K Az ellipszográf elve, papírcsík szerkesztés y a B x P(x, y) y b O Az a + b hosszúságú KL egyenes szakasz úgy mozog a koordinátarendszerben, hogy mozgása közben K és L végpontjai rendre az x ill. y tengelyen maradnak Vizsgáljuk, milyen pályán mozog eközben a szakaszt

a és b hosszúságú darabokra osztó P pont. A megjelölt hasonló derékszögű háromszögekből: 2 2 x Öb2 – y2 , majd négyzetre emelve: x y + =1 L C x a= b a2 b2 Láthatjuk tehát, hogy a P pont egy origó középpontú a, b féltengelyű ellipszis pályán mozog (a = |OC|, b = |OB|). Ez az ellipszográf elve (ill az ún papírcsík szerkesztés). Feladat: Adott egy ellipszis C1C2 nagytengelye és azon kívül egy P pontja. Állítsuk elő a B1B2 kistengelyt Megoldás a papírcsík szerkesztés megfordítása alapján: B1B2 egyenese a C1C2 szakasz felező merőlegese. P köré körívet rajzolunk a = |C1C2| / 2 sugárral Ez a kör a B1B2 egyenesből (P oldalán) kimetszi a K pontot, a KP egyenes pedig C1C2ből az L pontot. A fél kistengely hossza a PL távolság: b = |B1B2| / 2 = PL Ezt kell felmérni a középponttól (a tengelyek metszéspontjától) B1 és B2 kijelöléséhez. A kör affin képe ellipszis y B1 P(x, y) r C1 O C1 K(u, v) C2 B2 T x=t B2 K(u, v)

a C2 b P(x, y) B1 Adott a t tengelyű l arányú merőleges affinitás, és a K középpontú r sugarú kör. Keressük a kör képét. Koordinátarendszert rögzítünk a síkon úgy, hogy annak x tengelye egybeessen t-vel. Tekintjük a kör egy P pontját. Ennek koordinátáira az alábbi egyenlet teljesül: (x – u)2 + (y – v)2 = r2 Az affinitás definíciója szerint |PT| = l|PT|, így P koordinátai az x = x és y = ly kifejezésekkel adódnak. Fordítva, P koordinátái is kifejezhetők P-éből: x = x, y = y/l Ezt a kör egyenletébe helyettesítve: (x – u)2 (y – lv)2 + =1 (x – u) + (y/l – v) = r , amiből az r2 (lr)2 2 2 2 egyenlet adódik. Ez pedig a K középpontú (u = u, v = lv) ellipszis egyenlete, amelynek x-szel párhuzamos féltengelye (|l| < 1 esetén fél nagytengelye) a = r, míg y tengellyel párhuzamos féltengelye (fél kistengelye) b = |l|r. P S S t P X1 B1 b O Y2 R Konjugált átmérőpár Az ellipszis (spec. a kör) két

átmérőjét konjugált átmérőpárnak nevezzük, ha az egyik átmérő végpontjaihoz tartozó érintők párhuzamosak a másik átmérővel, és a második átmérő végpontjaihoz tartozó érintők párhuzamosak az első átmérővel. Q A kör konjugált átmérőpárjai a merőleges átmérőpárok. A párhuzamosságtartás miatt a kör (vagy egy ellipQ szis) konjugált átmérőpárjának affin képe a képellipszis egy konjugált átmérőpárja. Rytz-szerkesztés. Adott egy ellipszis X1X2, Y1Y2 R konjugált átmérőpárja. Keressük a C1C2, B1B2 tenV gelyeit. Az OX1 átmérőt O körül 90°-kal elforgatva OX1 adódik. Az X1Y1 szakasz F felezőpontja körül X1 O-n áthaladó kört rajzolunk, amely az X1Y1 egyea F nest az U és V pontokban metszi (U az X1X2, Y1Y2 Y1 átmérők hegyesszögű tartományába esik). Ekkor b U OU a nagytengely egyenese, és a = |OC1| = |VY1|; a a C1 kistengely egyenese pedig OV, és b = |OB1| = = |UY1|. X2 Kétkörös szerkesztés P B P P

b O T a C P Q Q P Ha adottak az ellipszis tengelyei, megrajzoljuk a főkört – a nagytengely Thalész-körét (sugara a) – és a mellékkört – a kistengely Thalész-körét (sugara b). P a főkör egy tetszőleges pontja Az OP sugár P-ban metszi a mellékkört. P-ben merőlegest állítunk az OC nagytengelyre, P-ban pedig az OB kistengelyre. Ekkor e két egyenes P metszéspontja illeszkedik az ellipszisre. Ugyanis OT és PP az OPT szög szárainak párhuzamos szelői, így |PT| / |PT| = |PO| / |PO| = = b/a = l állandó, vagyis P a P pont OC tengelyre vonatkozó l arányú affin képe. A főkör további pontjaiból kiindulva tetszőlegesen sok ellipszispont megszerkeszthető. Célszerű a főkör egymásra merőleges (konjugált) OP és OQ átmérőpárjaiból kiindulni. Ekkor a kapott átmérők konjugáltságából egyszerűen adódnak az érintők is. a1 a2 2. A hiperbola 2a < |F1F2|; {P : ||PF1| – |PF2|| = 2a}. 2 F , F : fókuszok, |F F | = 2c

fókusztáv.; 1 2 1 2 B1 C1, C2: csúcsok, |C1C2| = 2a valós tengely; P 1 B1, B2: képzetes tengely, |B1B2| = 2b; C1C2, B1B2 szimmetriatengelyek; c b v2 v1 x O szimmetriacentrum, középpont. a C1 O C2 F2 v1 = PF1 és v2 = PF2 szakaszok P vezérsu1 F1 2 garai. P-ben az érintő belülről felezi v1, és v2 szögét. Az a1, a2 aszimptotáknak a 1 1 csúcsérintőkkel alkotott metszéspontja ilB2 leszkedik az F1F2 szakasz Thalész-körére. 2 2 a2 + b2 = c2 (x2 / a2) – (y2 / b2) = 1 a görbe, y = ± bx/a az aszimptoták egyenlete. Hiperbola pontok szerkesztéséhez a valós tengelyen a fókusztól kifelé haladva növekvő közökkel veszünk föl osztópontokat (1, 2, Ľ). Az ezekhez tartozó görbepontok vezérsugarainak hossza az osztópont és a csúcspontok távolsága. Például v1 = 1C1 és v2 = 1C2; a görbe megfelelő pontjai négyesével adódnak. 2a 2 y P v 1 3. A parabola 2 {P : |PF| = |Pd|}. F a fókusz, d a direktrix, |Fd| = |FD| = p a paraméter A C csúcspont

felezi az FD szakaszt; FD egyenes a szimmetriatengely, a d-re merőleges egyenesek az átmérők. P-ben az érintő felezi a v = FP vezérsugár és a direktrixre bocsátott PT merőleges szögét. 2 F 1 C T y D 1 x p d y = x2 / 2p Parabola pontok szerkesztéséhez a tengelyen a csúcsponttól indulva a tengely irányában haladva növekvő közökkel veszünk föl osztópontokat (1, 2, Ľ). Az ezekhez tartozó görbepontok vezérsugarainak hossza D és az osztópont távolsága lesz (pl. v = D2) F körül ezzel a sugárral körívezve metszhetjük ki az osztóponton áthaladó d-vel párhuzamos szelő egyeneséből a görbe megfelelő pontjait