Matematika | Felsőoktatás » Szakdolgozat matematikából

2011/2012 SZAKDOLGOZAT MATEMATIKÁBÓL BEVEZETÉS Descartes az újkori filozófia egyik legnagyobb hatású gondolkodója. Neve teljesen eggyé vált a racionalista gondolkodás fogalmával. Az európai racionalista filozófiai alapjainak megteremtésében Descartes-ot szokták fő személyként ábrázolni. Szerepe elsősorban abban egyedülálló, ahogyan munkásságában összekapcsolódik a természetkutatás és a filozófia. Descartes túlságosan jó matematikus és éles elméjű filozófus volt ahhoz, hogy észre ne vegye, hogy még a matematikai megfontolásokban és bizonyításokban is akadnak olykor kirívó logikai hibák. A szkepticizmus cáfolásának első lépése Descartes elgondolása szerint az, hogy általánosságban és teljesen kételkedjünk mindenben. Ugyanakkor nem kételkedhetem abban, hogy kételkedem. Tehát megbízhatatlan minden gondolatom és minden ismeretem. A filozófus legalább egy megbízható igazságig jut el: kételkedésem mindenesetre

létezik. A kételkedés a gondolkodás tevékenysége. Ha megbízhatóan létezik a kételkedés, akkor az is biztos, hogy a gondolkodásom is létezik. Kételkedem, következésképpen gondolkodom Bizton létezem, mint gondolkodó lény. “GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK” 2 Életrajz Descartes La Haye-ban született 1596-ban. 8 éves korától egy kitünő jezsuita líceumban tanult, melyet IV. Henrik alapított, amely Európa egyik legkiválóbb iskolája volt. Húszévesen jogi diplomát szerzett, de ügyvédként sohasem dolgozott. 1616- tól 1628-ig Descartes sokfelé megfordult, többek közt Magyarországon, Ausztriában, Koppenhágában, Csehországban és Lengyelországban. 1625 - 1628 között Párizsban élt. Itt egy tudós társaság tagjaként tevékenykedett 32 éves korában elhatározta, hogy megkísérli módszerét egy általános világkép megalkotására alkalmazni. Ekkor Hollandiában telepedett le, ahol életének hátralevő éveit töltötte. Menekült a

párizsi társasági élettől ezért esett a választása Hollandiára, és még azért mert akkoriban nagyobb volt a gondolatszabadság. Sohasem nősült meg, ennek ellenére született egy lánya, aki tragikusan fiatalon halt meg. Descartes az 1630 - tól 1634 - ig terjededő időszakban a természettudományok tanulmányozására alkalmazta módszerét. Jelentős önálló kutatásokat folytatott még az optika, a meterológia, és a matematika területén. Az anatómiáról és az élettanról több ismereteket akart szerezni, igy hát boncolásokat is végzett. Az analitikus geometria felfedezője, ami jelentős előrelépés volt a matematikában és előkészítette Newton felfedezését is, az integrált - és differenciál számítást. 1641- ben Descartes egy híres könyvet adott ki „ Az elmélkedések ” címmel. Élete vége felé Svédországba utazott ahol veszélyes tüdőgyulladást kapott. Kilenc napi betegség után 1650 februárjában elhunyt. Hamvait 1666- ban

szállították Párizsba, ahol jelenleg a St. Germain - des - Prés templomban őrzik Főbb művei: - Értekezés a módszerről ( 1637 ) Elmélkedések az első filozófiáról ( 1641 ) A filozófia alapelvei ( 1644 ) Lélek szenvedélyeiről ( 1649 ) 3 Descartes ellenfelei és követői A „ Gondolkodom, tehát vagyok ” tétel kihívta a kor gondolkodóinak a bírálatát. Az egyházak, a teológusok nem fogadták el, mivel hiányzik belőle a teremtő isten fogalma. A kor materialistái is elutasították, mert ők már tudták, hogy a gondolkodás forrása a test, a lelket anyagi természetűnek tudták. Így Descartes tanítását mindenhol támadták. Műveit 1663-ban az egyházilag tiltott könyvek jegyzékére kerültek. 1672-ben filozófiájának oktatását a Sorbonne-on is betiltották. Ennek ellenére néhány neves kortársa kiállt mellette, mint pl. Bérulle, Bossuet, Fénelon és a Port Royal köre Kezdetben Blaise Pascal is követője volt, aki később a

legnagyobb ellenfele lett. Blaise Pascal Pierre de Bérulle Jacques Bossuet 4 Descartes természet törvényei Descartes dioptrikáját a meteorokról írt értekezése követ. A dolgozatnak a legfontosabb része a szivárvány elmélete, amelyet 1637-ben mutatott be elősször, amely a Descartes fizikai dolgozatai között a legszebb és a legértékesebb. Elősször is a szivárványok keletkezését magyarázza meg. A főszivárvány úgy keletkezik, hogy a fény először megtörik a vízcsepp felületén, majd annak belső felületén egyszer visszaverődik, és aztán ismételt fénytöréssel kilép belőle. Mellékszivárványnál a vízcseppen belül két visszaverődés történik Theodorich és Descartes megállapították, hogy a szemünkbe érkező különböző színű fénysugarak különböző vízcseppekből jönnek. 5 Matematika Descartes nevének maradandó dicsőségét a matematika terén alapította meg, számos érdemei közül most a

legnagyaobbikat,az elemző geometria megalapítását említjük. Descartes idejében a matematika már fejlett tudomány volt, Cardanus, Vieta és Kepler után Fermat, Pascal, Snellius és mások megteremtették az újkori matematikát. Descartes szerepe ebben nem volt jelentéktelen, mindmáig őt tekintik az analitikus geometraia megalapítójának. Legfőbb törekvése arra irányult, hogy a természettudományt matematizálja, sőt a matematikával azonosnak tekintse gyakorlatában mégis a legritkább esetben használt matematikai bizonyítást. Matematikai munkájának legjelentősebb része egy 1629-ből származó, de csak 1701- ben megjelent könyvében a Regulae ad Directionem Ingemiiben. Itt fekteti le annak az univerzális matematikának az alapját, amit korábban Vieta „algebra speciosa” néven kezdeményezett. SFermat-val egyidejűleg ajánlja a koordinátarendszert, a matematikai összefüggések geometrikus ábrázolásának módszerét. Célja a természeti

jelenségek deduktív matematikai levezetése volt, eredménye pedig az analitikus geometria megteremtése. Szorosan összefügg ez Descartes-nak azzal a metafizikai alapelvével, hogy az anyag: kiterjedés, és minden más fizikai kvalitása. Nem magának az anyagnak önnálló sajátja, hanem a mi reakciónk a térbeli kiterjedésre, tehát tudatállapot. A descartesi természetbölcselet alapelvei: a világ kiterjedése végtelen, mindenütt ugyan abból az anyagból áll, az anyag korlátlanul osztható, anyagtalan tér nincs. Descartes a geometria problémák megoldásához gyakran alkalmazott algebrai módszereket. Az 1637- ben megjelent „Értekezések a módszerről” című könyvének függeléke a Geometrie, amely lendületet adott az analitikus geometria fejlődésének. Műveiben azonban még nem szerepel a koordináta-rendszer, amely pedig ma az ő nevét viseli. Descartes Apollóniosz-hoz hasonlóan még csak egyetlen tengellyel dolgozott, és ezen sem vette figyelembe

a negativ számokat, bár már számolt is velük, „ hamis” számoknak nevezte őket. Descartesnek köszönhetjük az: ▪ ANALITIKUS GEOMETRIÁT ▪ A KOORDINÁTA-RENDSZERT Az analitikus geometriában a geometriai feladatokat algebrai eszközökkel oldott meg. Ehhez szükség van egy koordináta-rendszerre, amelynek segítségével a pontokhoz koordinátákat rendeltetett. 6 Geometrie Descartes első könyve egy meglehetősen merésznek tűnő állításnak indult: A geometria bármely problémája könnyen megfogalmazható oly módon, hogy bizonyos egyenes vonalak hosszainak ismerete elégséges legyen a megoldásához. A könyv első része: Azt mutatja meg, hogy azok a klasszikus geometriai problémák, amelyek megoldhatók csupán körző és vonalzó használatával. Konkrétabban az is kiderül, hogy minden probléma valójában egy maximum másodfokú egyenlet gyökeinek megtalálásával ekvivalens. Ahhoz, hogy megmutassa hogyan juthatunk ehhez az eredményhez

Descartes következőleg elmagyarázta, hogyan kapcsolódik az aritmetikai kalkulus a geometriai szerkeztésekhez. Aritmetikai kalkulus felállításához először definiálni kell a műveleteket: Az algebrában öt féle alapműveletet különböztetünk meg: ▪ összeadás ▪ kivonás ▪ szorzás ▪ osztás ▪ gyökvonás ( sokszor az osztás egy speciális esetének tekintik ) ALGEBRA ═ “ARITMETIKA” kifejezés ( Descartes elméje szerint) A szakaszok összeadása illetve kivonása nem jelent problémát: Azonban “ a – b ” kifejezést kizárólag olyan szakaszokra lehet értelmezni, ahol a > b. 7 Ahhoz, hogy a szakaszok közötti szorzást, osztást és gyökvonást megmagyarázza, Descartes először is bevezetett egy szakaszt, amelyet egységnek nevezett, majd pedig a szakaszok közötti arányosságokra támaszkodik. A könyv második része: Az általános megoldási módszer. Miután Descartes bevezette a műveleteket, egy általános megoldási

stratégiát kínál bármely geometriai problémára. A megoldásmenete nagyából három lépésre bontható: ▪ elnevezésre ▪ egyenlőségekre ▪ megoldásra Az elnevezés: megoldottnak tekintjük a problémát és elnevezzük a benne szereplő összes szakaszt, amelyre feltételezhetően szükségünk lesz a megoldás folyamán. Az egyenlőségek: miután elneveztünk minden megfelelő szakaszt, figyelmen kívül hagyva azt, hogy melyik hosszát ismerjük, és melyikét nem, elemezzük a problémát és megállapítjuk a különböző szakaszok közötti kapcsolatokat. A megoldás: végül meg kell találnunk az egyenlet gyökeit, méghozzá geometriai úton. Hogyha most csak azokat a problémákat tekintjük, amelyek körzővel és vonalzóval megoldhatók, akkor a második lépés Descartes szerint szükségképpel másodfokú egyenlethez fog vezetni, tehát csak meg kell szerkeztenünk ezen egyenlet gyökeit. Például: z2 = az + b 8 A koordinátageometria (Analitikus

geometria) Analitikus geometria alapvető jellemzője, hogy a geometriai problémákat, feladatokat algebrai módszerekkel, koordináta-rendszer segítségével oldja meg. A geometria szerkesztései algebrai műveleteknek tekinthetők a görbék pedig egyenletekkel írhatók le. Ahhoz, hogy alakzatokat a síkban vagy a térben mérni lehessen, kapcsolatot kell teremteni a geometria és a számok világa közöt, vagyis olyan rendszert kell létrehozni, amelyben számokkal lehet megjelölni az alakzatok egyes jellemző összefüggéseit. Ehhez a legegyszerűbb alakzatból, az egyenesből indulunk ki Ha a síkon két számegyenes derékszögben metszi egymást és közös pontjuk a nulla pont, akkor úgynevezett Descartes – féle koordináta- rendszerről beszélünk. A két egyenes által meghatározott sík minden pontja megadható egy számpárral. (4,2) például az a pont, melyet akkor kapunk, ha a két egyenes metszéspontjától az egyiken 4 egységet, a másikon 2 egységet

haladunk. A 4-et és 2-őt a (4,2) pont koordinátáinak nevezzük. A két számegyenes a koordinátarendszer tengelye A Descartes – féle koordináta-rendszerrel nemcsak a sík írható le, hanem a tér is. Ehhez egy további számegyenesre van szükség, amely másik kettőt szintén a O pontban metszi és mindkettővel ugyancsak derékszöget zár be. Mivel három tengelyt vettünk igénybe, így háromdimenziós térről beszélünk. A síkok ezzel szemben kétdimenziósak. 9 BEFEJEZÉS Descartes jelentősége egyrészt abban áll, hogy új eljárást, illetve nyelvet bocsátott az eljövendő matematikusok rendelkezésére, másrészt pedig egyensúlyt teremtett az algebrai és geometriai módszerek között. A természet mechanisztikus szemlélete, melynek megteremtésében Descartes kiemelkedő szerepet játszott, uralkodó szemléletté vált. Sajátos a filozófiai tanítása. A kételkedés, mint bevezetés a hiteles filozófia indoklásához; a térbeli és a

gondolkodó dualista elmélete; a módszer négy szabálya; az akarat és az értelem viszonyára vonatkozó tanítása – mindez Descartes filozófiai világnézetének eredeti sajátossága. Éppen ezért nemcsak a természettudományban és fizikában, hanem a filozófiában is külön iskola alakult ki. Hogy megértsük, milyen hatással volt tanítása a tudomány és a filozófia további fejlődésére, meg kell említenünk, hogy ez a hatás világszerte kettős és ellentmondásos jellegének megfelelően kettős volt. Idealizmusa, ismeretelméletének racionalizmusa, s különösen az a gondolata, hogy az idealizmus szükséges a tudomány hitelességének megmagyarázásához, óriási hatással volt az újkori filozófiai idealizmus fejlődésére – egészen napjainkig. Néhány Descartes utáni filozófus igyekezett kiterjeszteni a mechanikai materializmus által javasolt módszereit és elveit azokra a területekre is, amelyekre Descartes nem merte és nem is tudta

kiterjeszteni – társadalmi és állami élet területére. 10 IRODALOM Aszmusz : Descartes, Gondolat könyvkiadó, Budapest 1958 Boros Gábor: René Descartes, Áron kiadó, Budapest 1998 Nyíri Tamás: A filozófiai gondolkodás fejlődése René Descartes: Értekezés a módszerről, Kossuth könyvkiadó 1991 www.sulinethu 11 TARTALOM Bevezetés.2 Életrajz.3 Descartes ellenfelei és követői.4 Descartes természet törvényei.5 Matematika.6 Geometrie.7-8 A koordinátageometria9 Befejezés.10 Irodalom.11 12