Matematika | Tanulmányok, esszék » Gajdics Orsolya - A 17-18. század matematikája

http://www.doksihu A 17-18. SZÁZAD MATEMATIKÁJA EGY KORABELI GEOMETRIA TÉTEL RÉSZLETES VIZSGÁLATA SZAKDOLGOZAT Készítette: GAJDICS ORSOLYA Témavezetı: WINTSCHE GERGELY, adjunktus Matematikatanítási és Módszertani Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Tanári Szakirány 2010 http://www.doksihu TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS . 1 1. Fejezet: TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS 2 1.1 A 17 SZÁZAD MATEMATIKAI ÚJÍTÁSAI 2 1.2 A 18 SZÁZAD JELENTİSEBB EREDMÉNYEI 6 2. Fejezet: A 17-18 SZÁZAD MATEMATIKÁJA MAGYARORSZÁGON 11 2.1 A NYOMTATOTT MATEMATIKA 12 2.2 AZ ÖNÁLLÓSÁGRA VALÓ TÖREKVÉS 13 3. Fejezet: EGY 18 SZÁZADI TÉTEL RÉSZLETES VIZSGÁLATA 16 3.1 PROJEKTÍV GEOMETRIA 16 3.2 DUALITÁS ELVE 19 3.3 KÚPSZELETEK 20 3.4 PASCAL TÉTELE 23 3.41 Pascal tételének bizonyítása 24 3.42 A Pascal-tétel felhasználási módjai 26 3.5 PAPPOSZ TÉTELE 28 3.51 Projektivitás alkalmazásával 29 3.53 A perspektivitás

felismerésével 29 3.54 A meghatározó vektorok segítségével 30 3.6 PAPPOSZ TÉTELÉNEK ALKALMAZHATÓSÁGA 31 3.7 VÉGES GEOMETRIA 33 http://www.doksihu Bevezetés A matematika tudományának számomra legérdekesebb két századát választottam szakdolgozatom tárgyaként. A legjelentısebb matematikusok is ekkor éltek, például Newton és Leibniz, akiknek számos matematikai újítás köszönhetı. Ezeket a fizika tudományában is kamatoztatták, melyeket fizika minoros létemre mélyebben is megismerhettem. Gimnáziumi tanulmányaim során matematika tanáraim többször szorgalmiként adták fel egy-egy matematikus munkásságának feldolgozását. Fermat után kutatva tetszett meg a matematikatörténet és határoztam el, amint módom adódik részletesebben is foglalkozok ezzel a témával. Az elsı két fejezet a kor külföldi és magyar matematikai eredményeirıl számol be. Kiderül a tudósok sokoldalúsága, jelentıset alkottak a szakterület több

ágában. Egyetemi éveim alatt a geometria tantárgya került hozzám legközelebb. Korábban még nehézségeket okozott például a hasonló alakzatok észrevétele, vagy a térgeometriai látásmód elsajátítása. Leginkább a projektív geometria nyerte el tetszésem, mert ekkorra már megfelelı alapokkal rendelkeztem és így a megszokottól eltérı fogalmakkal is könnyen megbirkóztam. A harmadik fejezetben az újfajta szemlélet és a kúpszeletek jellemzése után Pascal tételének néhány alkalmazási területe kerül bemutatásra. Az ebbıl származtatható Papposz-tétel bizonyítja, hogy az egyetemen tanultak sokszor már a középiskolában is segítenék a feladatok könnyebb megoldását. A véges geometria túlmutat eddigi tanulmányaimon. Zárásként ismertetem ennek egy modelljét és rávilágítok a projektív geometriával való kapcsolatára. Megemlítése fontos, az ideális térben bizonyított tételek egy másfajta megközelítéséhez. Végül

szeretnék köszönetet mondani témavezetımnek: Wintsche Gergelynek, aki tárgyi tudásán kívül, szakirodalommal és technikai tanáccsal is ellátott. Az ábrák és a képletek létrehozásához nélkülözhetetlen MathType és Geogebra programokkal két évfolyamtársam ismertetett meg. 1 http://www.doksihu 1. Fejezet: Történeti áttekintés A kor tudományos életét néhány jelentıs matematikus bemutatásával és elért eredményeik segítségével tekintjük át. 1.1 A 17 század matematikai újításai A reneszánsz korában indult a matematika rohamos fejlıdésnek. Ennek legfıbb oka, a tudomány más területeken való alkalmazása, melyek közül kiemelkedik a termelés és az ehhez szükséges gépek tökéletesítése. A csillagászat forradalma is erre a századra tehetı, mely szintén elırelépést eredményezett a matematika világában. Az ember világegyetemben elfoglalt helyérıl alkotott új elképzelések számos olyan problémát vetettek fel,

melyek sok számolást és infinitezimális megfontolást igényeltek. Galileo Galilei (1564 - 1642) alkotta meg a szabadon esı testek mechanikáját. Fizikai vizsgálódásai közepette matematikailag tanulmányozta a mozgást, valamint a távolság, a sebesség és a gyorsulás közti viszonyt. Johannes Kepler (1571 - 1630) nemcsak a bolygók mozgását vizsgálta, hanem a geometria területén is alkalmazott néhány újítást. Kiszámította például bizonyos testek térfogatát, melyeket kúpszeletek egy síkjukban fekvı tengely körüli forgatásával kapott. A kör területét végtelen sok háromszög területének összegeként határozta meg, melyeknek közös csúcsa a kör középpontja. Ezzel analóg módon a gömböt végtelen sok gúla egyesítéseként kapta. René Descartes (1596 - 1650) matematikai újítása az algebra és a geometria sikeres egységesítésében rejlett. Az ún analitikus geometria megteremtésekor a század elejének fejlett algebráját

alkalmazta az ókor geometriai analízisére, meglehetısen kibıvítetve annak alkalmazhatóságát. Az algebrai egyenletek segítségével a számok közti viszonyokat fejezték ki, ami késıbb az algebrai görbék általános tárgyalásakor kapott jelentıséget. 2 http://www.doksihu Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) lefektette a differenciálszámítás egy egyszerő formáját, mely szerint az egyenest egy mozgó pont, a síkot pedig egy mozgó egyenes állít elı. A hozzá főzıdı Cavalieri-elv kimondja, hogy két egyenlı magasságú testnek megegyezik a térfogata, ha síkmetszeteik azonos magasságban egyenlı területőek. Pierre de Fermat (1601 - 1665) már használt egyeneseket és kúpszeleteket kifejezı 2 2 2 egyenleteket is, például: 2 xy = k , y = mx , 2 2 2 x +y =a , 2 x + a y = b . Híres széljegyzetei között akadtak rá több tételére, melyeket n n n késıbb fia tett közzé. „Nagy tétele” szerint, ha x + y = z és n > 2 ,

akkor x, y, z és n nem lehet pozitív egész szám. Egy másik tétele kimondja, hogy a 4 n + 1 alakú prímszámok egyértelmően elıállíthatók két 1négyzetszám összegeként. A „Fermat-tétel” arra vonatkozik, hogy a p –1 – 1 osztható p-vel, ha p 2törzsszám és a és p 3relatív prímek. 2 2 Elsıként állította azt is, hogy az x – Ay = 1 egyenletnek végtelen sok egész megoldása található (ha A nem négyzetszám). John Wallis (1616 - 1703) elsıként fejlesztette igazi analízissé az algebrát. Új eredményei közé tartozik a végtelen sorok és szorzatok bevezetése, valamint használt 4imaginárius, negatív és törtkitevıket is. és azt állította, hogy π 2 1 = 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 8. 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 9. –1 > ∞ . A következı 5 1 0 -t ∞-nek vette, sorfejtést is gyakran használta: . A négyzetszámok olyan nemnegatív egész számok, melyek felírhatóak valamely más egész

szám 2 négyzeteként, vagyis egész számok önmagával vett szorzata: n ⋅ n = n . 2 Törzsszámok, vagy prímszámok azok a számok, melyeknek nincsenek valódi osztóik. Azaz csak 1-vel és önmagukkal oszthatók. 3 Relatív prímek azok a számpárok, melyek legnagyobb közös osztója az 1. 2 4 Komplex számok azok a z számok, melyekre: z = a + bi /a és b valós szám, i-re pedig teljesül: i = –1 /. Imaginárius, vagy képzetes számokat kapunk akkor, ha a = 0, azaz ha önmagukkal vett szorzatuk negatív. 3 http://www.doksihu Szintén erre az idıszakra jellemzı, hogy klasszikus témákat új eredményekkel gazdagítottak. Teljesen új ágakat is teremtettek a matematikán belül Például Desargues geometriája, valamint Fermat és Pascal is ekkor fektette le a valószínőség-számítás alapjait. Blaise Pascal (1623 - 1662) 16 éves korában fedezte fel a kúpszeletekbe írt hatszögre vonatkozó tételét. A róla elnevezett háromszög tartalmazza a 6

binomiális együtthatókat. A korszak jellemzıje, hogy minden kiváló matematikus egyben filozófus is volt. Ez annak köszönhetı, hogy sok nagy elme „általános módszereket” keresett, melyet csak a tudomány és a természet egészének pontos megismerése tett lehetıvé. Híres példája ennek Christiaan Huygens (1629 - 1695), aki a pontosabb óraszerkezet keresése közben társaival nem csak az ingaórát, de egy síkgörbe 7 evolvenseit és 8evolutáit is tanulmányozta. Ezeken kívül vizsgálta még például a 9traktrixot, a és a 11 10 logaritmikus görbét láncgörbét. Wallis és Huygens levelezésének köszönhetı például az 12ívhosszak, 13burkológörbék és területek kiszámításában elért eredményeik. 5 Sorfejtés: F(p)-bıl az f(t) primitív függvényt úgy is megkaphatjuk, hogy F(p) függvényt () ∞ () F p = ∑ Fn p alakú sorba fejtjük, ahol az F n=0 n ( p) tagok ismert képfüggvények. n Binomiális együtthatók

a binomiális tételben elıforduló   értékek. k  7 Egy görbe evolvensét megkapjuk, ha a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd végig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája írja le a görbe evolvensét 8 Egy görbe evolutája a simulókörei görbületi középpontjainak mértani helye. Minél kisebb a simulókör r sugara, annál nagyobb az (1/r) görbület. Így adódik, hogy ahol a görbe „közel egyenes”, a görbület közel zéró lesz és ahol hirtelen irányt vált, ott a görbület értéke nagy. 1 9 A traktrix néven ismertté vált evolvens paraméteres egyenletrendszere: x = a (u – th (u )) , y = a . ch (u ) 6 10 A logaritmikus görbe paraméteres egyenletrendszerrel felírva: x (t ) = rcos (t ) = ae cos (t ) , bt y (t ) = rsin (t ) = ae sin (t ) . 11 Láncgörbe (katenoid) a két végénél fogva felfüggesztett lánc vagy kötél saját súlya alatt felvett alakja. Ez a görbe a felfüggesztési pontok

közelében a legmeredekebb, mivel a legtöbb súly ezt a részt terheli, majd közép felé haladva csökken a meredekség, hisz egyre kevesebb terhelés esik rá. 12 Ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Egy térbeli összefüggı ponthalmaz bt differenciálható, ha minden pontjának létezik olyan környezete, ahol egyszerő görbe. Az r : [ a , b ] R differenciálható függvény képhalmazát akkor nevezzük egyszerő görbének, ha teljesülnek rá az alábbi tulajdonságok: 3 4 http://www.doksihu A differenciálás és integrálás általános módszerét Newton és Leibniz egymástól függetlenül dolgozta ki. Ezzel számos újabb feladatot és természetbeli problémát tudtak megoldani. Isaac Newton (1642 - 1727) már 1665 - 66-ban alkalmazta eljárását, melyben a differenciálhányadosokat sebességeknek tekintette. Ennek segítségével késıbb görbe alatti területet is tudott számítani. Fı mővében, a „Principia”-ban szigorú

matematikai kiterjesztette a 16 15 14 axiomatikusan megalapozta a mechanikát, melyhez levezetéseket használt. munkásságát tanulmányozva binomiális tételt tört és negatív kitevıkre is, valamint felfedezte a binomiális sorokat. Elsıként fejtette ki a 2 Wallis 3 17 limesz, azaz a határérték fogalmát. Elmélete 2 szerint az y = ax + bx + cx + d „divergens parabola” egyik síkról a másik síkra történı középpontos vetítésével minden harmadfokú görbe származtatható (ezeket 72 osztályba sorolta). • r egy-egy értelmő, azaz t ≠ t • • r inverze folytonos rɺ = 0 1 2 () ( ) -re r t1 ≠ r t 2 Az F ( x , y ,α ) = 0 egyenlettel megadott görbesereg burkolója a sereg minden görbéjét érinti. Axiomatikus felépítés során megkérdıjelezhetetlen kiindulási feltételeket használunk. Ezeket a késıbbi érvelések során adottnak vesszük, vagyis alapfogalomként tekintjük. 13 14 15 16 n  n n–k k n

Binomiális tétel: (a + b) = ∑   ⋅ a ⋅ b , ahol n természetes, a és b pedig lehet komplex szám is. k  k =0 n  n k n A binomiális tételt a = 1-re alkalmazva a következıt kapjuk: (1 + b) = ∑   ⋅ b , ahol n ∈ R és k  k =0 b < 1 . Binomiális sornak az egyenlet jobb oldalon álló kifejezést hívjuk 17 Egy x1, x2, valós számokból álló sorozat határértéke az az A valós szám, melyre igaz, hogy ∀ε > 0 esetén ∃N (ε) (ε-tól függı) természetes szám, melyre ∀n > N (ε) esetén xn – A < ε . 5 http://www.doksihu 18 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a keresése közben eljutott a 21 19 „characteristica generalis” 20 permutációkhoz, a kombinációkhoz és a szimbolikus logikához. Számos újítást, szimbólumot vezetett be a matematikai jelölésben. Az „Acta Euditorum” egy általa 1682-ben megalapított matematikai folyóirat volt. Ebben ismertette

elıször a „jellegzetes háromszög” (dx, dy, ds) fogalmát. Leibniz a differenciál- és integrálszámításhoz geometriai módszert használt, Newton kinematikus módszerével szemben. Ismertette a differenciálási és integrálási szabályokat is /pl.: d (uv) = udv + vdu /, valamint a dy = 0 feltételt 22 2 23 szélsıérték számításra és a d y = 0 feltételt az sorok: π 4 = 1 1 – 1 3 + 1 5 – 1 7 . és arctgx = x – x 3 3 + x inflexiós pontokra. A róla elnevezett 5 5 – . 1.2 A 18 század jelentısebb eredményei A század tudományos fellegvárai az akadémiák, melyek közül kiemelkedı a párizsi, a berlini és a szentpétervári. A kor matematikai tevékenységei a differenciál- és integrálszámítás, valamint ezek mechanikára történı alkalmazása köré összpontosult. Fontos ösztönzı maradt a csillagászat, mely királyi támogatást élvezett. A baseli Bernoulli testvérek nevéhez főzıdik az elemi differenciál- és

integrálszámítás tankönyvekben fellelhetı anyagának megalkotása, valamint sok 24 közönséges differenciálegyenlet integrálása is. 18 A „characteristica generalis” kidolgozásával tervezte egyesíteni az algebra, a zene és a logika jelrendszerét, mellyel képes lehetett volna a teljes emberi tudást enciklopédikusan leírni. 19 Permutáció alatt a kombinatorikában n elem egy meghatározott sorrendjét értjük. 20 Egy halmaz elemeinek kombinációja a halmaz egy részhalmaza. Elıállítási módja a következı: vegyünk az n elemő halmaz egymástól különbözı elemei közül k ≤ n darabot az összes lehetséges módon, miközben a kiválasztott elemek sorrendjétıl eltekintünk. 21 Szimbolikus logika a formális logikának ma is mővelt ága, melyben a formák leírására szimbólumnyelvet alkalmaznak. A formális logika a kijelentések közötti kapcsolatokat vizsgálja, hogy eldönthetı legyen, egy mondat következik-e egy mondathalmazból

vagy sem. 22 Szélsıérték egy folytonos függvény maximum-, vagy minimumértéke. A valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: A R függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, ha ∀ε > 0 -hoz ∃δ > 0 , hogy ∀x ∈ A -ra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f (u)-tól. 23 Egy függvénynek ott van inflexiós pontja, ahol görbületet vált. 24 Közönségesnek nevezzük azokat a differenciálegyenleteket, melyekben szereplı függvény egyváltozós, és ennek a független változó szerinti, ún. közönséges deriváltjai lépnek fel 6 http://www.doksihu 25 Jakob Bernoulli (1654 - 1705) használta már a tanulmányozta a láncgörbét és az a 29 27 26 polárkoordinátákat, izoperimetrikus idomokat. İ alkotta meg 28 binomiális eloszlásra vonatkozó „Bernoulli-tételt”, valamint a „Bernoulli-számokat”, mellyel

megalapította valószínőségelméletét. Öccsét, Johann Bernoullit (1667 - 1748) gyakran a variációszámítás felfedezıjének tartják, amiért gyarapította a 30 brachistochron problémakört. Fiai, Nicolaus és Daniel szintén sokat hozzátettek a matematika fejlıdéséhez. Nicolaus Bernoullinak köszönhetjük a 31 szentpétervári „paradoxont”, Daniel pedig a 32parciális differenciálegyenletek terén alkotott újat. 25 A kétdimenziós polárkoordinátarendszerben a sík minden P(x;y) pontját egy szög (φ) és egy távolság (r) segítségével adjuk meg. A leginkább használt Descartes-féle koordinátarendszerrel való kapcsolatára az x = rcos (φ) és az y = rsin (φ) egyenletek utalnak. 26 Izoperimetrikus idomnak nevezünk két síkbeli alakzatot, ha kerületük megegyezik. 27 ( ) Az X valószínőségi változó binomiális eloszlást követ, ha P X = k = () n k k ( p ⋅ 1− p n−k ) , ahol k = 0,1,, n és 0 < p < 1 . 28

Bernoulli-tétele kimondja, hogy ha egy p valószínőségő eseményre vonatkozó n kísérlet során az esemény  ηn  p( p−1)  bekövetkeztének gyakorisága ηn és ε > 0 tetszıleges, akkor P  ≥ε ≤ .  n− p  nε 2 A Bernoulli-számok a következı rekurzióval definiálhatók: ha B = 1 , akkor: B + 2B = 0 ; 29 0 0 1 B + 3B + 3B = 0 ; B + 4B + 6B + 4B = 0 ; B + 5B + 10B + 10B + 5B = 0 . 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 30 A tudománytörténet egyik leghíresebb variációs problémája a brachistochron problémája. Ebben egy olyan lejtı vezérgörbéjét keresték, melyen egy súrlódás nélkül mozgó test egy adott P1 pontból a legrövidebb idı alatt jut el P2-be. Ez a görbe Newton szerint a ciklois 31 A szentpétervári paradoxon lényege, hogy egy pénzérmét addig dobálunk, míg fej nem lesz. Ha elsıként k k-adikra lett fej, akkor 2 összeget nyerünk. A kérdés, hogy egy ilyen játékért mennyit lennénk

hajlandóak befizetni. Feltételeznénk a méltányos várható értéket, ez azonban nem néhány száz, vagy ezer forint, hanem végtelen. 32 Parciális differenciálegyenletekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és ez az egyenlet a függvény és a deriváltja között teremt kapcsolatot. 7 http://www.doksihu Abraham De Moivre (1667 - 1754) neve összefügg a trigonometria egyik (cos (φ) + isin (φ)) n tételével, miszerint = cos (nφ) + isin (nφ) . A 33 normális eloszlásfüggvényt a binomiális eloszlás megközelítéseként származtatta, és az erre megadott képlete megfelel 34Stirling képletének. Colin Maclaurin (1698 - 1746) számos tétele bekerült a síkgörbe-elméletbe és ábrázoló geometriába. Elsıként tette közzé a 35 Cramer-paradoxont, valamint a híres 36„Maclaurin-sor”-t. Leonhard Euler (1705 - 1783) életében a matematika minden ágában maradandót alkotott. Tıle származik a trigonometriai

függvények hányadosként való felfogása és szokásos jelölésük. Ismertette az e , sin ( x) x és cos ( x) végtelen sorát és az e = cos ( x) + isin ( x) összefüggést. Kutatásai ix során sokféleképpen alkalmazta a 37 Taylor-tételt. A harmad- és negyedfokú egyenletek elméletét tárgyalja fı mővében, a „Vollstandige Anleitung zur Algebra”-ban, ami sok késıbbi algebrai kézikönyv alapjául szolgált. A róla elnevezett Euler-tétel az egyszerő zárt 33 Egy X 1 () valószínőségi 2 ( x−m) − változó normális eloszlást követ, ha sőrőségfüggvénye 2σ 2 alakú, ahol a két paraméter m és σ ∈ R ( σ > 0 ). Valószínőségi változókat σ 2π használunk olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére, melyek véletlentıl függı értéket vesznek fel. Az X valószínőségi változó sőrőségfüggvénye f(x), ha annak F(x)-szel jelölt f x = ⋅e x eloszlásfüggvényét () ∫ f t dt

-ként állíthatjuk elı. Az eloszlásfüggvény pedig minden X valós számhoz −∞ hozzárendeli annak valószínőségét, hogy a valószínőségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.  n  2πn   e  n 34 Stirling-formula: n! ∼ 35 A Cramer-paradoxon szerint egy n-ed fokú görbét nem mindig határoz meg egyértelmően . 1 2 ( ) n n+3 pont. MacLaurin-sor: ( ) () () környezetében, () n−1 f x = ∑ f f x + h = f x + hf ′ x + h 2 () f ′′ x + . Az x = 0 -ra vonatkozó sort Taylor 2! alkotta meg elıször, majd késıbb Lagrange meghatározta a sor maradéktagját is. 37 A Taylor-tétel szerint, ha egy f függvény legalább egyszer deriválható az a pont valamely ε 36 akkor (k ) (a) ebben ( x − a) k + f az (n) intervallumban 1 (ξ) ⋅ (x − a) n ∀x ≠ a -ra ∃ξ : 0< a−ξ < a− x és . Az utóbbi egyenlet jobb oldalán található k! n! (n–1)-ed fokú polinomot Taylor-, (a =

0 esetben MacLaurin-) polinomnak nevezzük; a második tag pedig a Lagrange-féle maradéktag. k =0 8 http://www.doksihu poliéderek csúcsai (C), élei (E) és lapjai (L) között teremt kapcsolatot: C + L - E = 2 . Szintén tıle származik a 38háromszög Euler-vonala, valamint az 39Euler-féle állandó is. Ebben az idıszakban vált egyre népszerőbbé a tudósok körében a valószínőség-számítás, melyet újabb és újabb területeken próbálták meg alkalmazni. Georges De Buffon gróf (1707 - 1788) elsıként vezette be a geometriai valószínőséget, az ún. 40tőprobléma révén Franciaországban a matematikát olyan tudománynak tekintették, amely még tökéletesebbé teszi Newton fizikai elméletét. Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765) kísérletet tett a térgörbék analitikai és differenciálgeometria Mdx + Ndy 41 segítségével való tárgyalására. Megalkotta az teljes differenciállá válásának feltételét. Az egyik fajta

differenciálegyenlet róla kapta a 42Clairaut-egyenlet nevet. Jean Le Rond D’Alembert (1717 - 1783) az 43 enciklopédisták vezetı matematikusa. Bevezette a határérték fogalmát, megkísérelte az „alaptételének” bizonyítását, valamint a 44 algebra valószínőség-számítás megalapozásáról is gondolkodott. 38 Egy háromszög magasság- és súlypontja, valamint a köré írható kör középpontja egy egyenesen van, ezt nevezzük Euler-vonalnak. 1 1  1 Az Euler-féle állandó a következı: lim n∞  1 + 2 + . + n – logn = 0, 577216 40 Buffon határozta meg, hogy mi a valószínősége annak, hogy a leesı tő metszi a padló (párhuzamosan lefektetett deszkalapok) vonalát. Ezt nevezzük tőproblémának 41 Ha f kétváltozós, differenciálható függvény, akkor a korábban már ismertetett Taylor-tétel szerint 39 megváltozásának fı része az x = 42 3 pontban (x,y). Ezt szokták teljes differenciálnak nevezni

() () ( ) Clairaut-egyenlet az a a p + b p p = 0 differenciálegyenlet, amely y = y ′x + f y ′ alakra hozható. 43 Enciklopédistáknak nevezzük a 18. században azokat a francia tudósokat, akik részt vettek Denis Diderot irányításával az „Encyclopedie” elkészítésében. 44 Az algebra alaptétele szerint az egyváltozós, komplex együtthatós, n-ed fokú polinomoknak multiplicitással számolva pontosan n darab gyökük van. Régies megfogalmazásban: minden (valós) polinom felírható elsı és másodfokú tényezık szorzataként. 9 http://www.doksihu Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) elsı munkáiban a variációszámítással foglalkozott, melyet végül tisztán analitikusan fogalmazott meg. Módszereket adott az algebrai egyenlet valós gyökeinek elkülönítésére és lánctörtekkel való megközelítésükre. Alapvetı kérdése volt, hogy a négynél alacsonyabb fokú egyenletek megoldása során használt módszereket miért nem alkalmazhatjuk

ennél magasabb fokúakra is. A számelmélet területén a 45 kvadratikus maradékokat vizsgálta. Kimutatta, hogy minden egész szám elıáll négy, vagy annál kevesebb négyzetszám összegeként. Nevéhez főzıdik, hogy bármely f ( x) függvény Taylor-sorba fejthetı tisztán algebrai úton. Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827) e század utolsó jelentıs matematikusa. Definiálta a valószínőség-számításban az „egyenlıen valószínő eseményeket”. A mechanikai materializmusról alkotott mővében szerepelt elıször a 46 legkisebb négyzetek módszerének Legendre-tıl származó elmélete. 45 p > 2 prím és (a , p) = 1 esetén az a számot kvadratikus maradéknak nevezzük modulo p, amennyiben az 2 ( ) x ≡ a mod p kongruencia megoldható. 46 Legkisebb négyzetek módszerét használva olyan Pn ∈ Pn (legfeljebb n-ed fokú) polinomot keresünk, ( i=1 N 2 ( )) melyre ∑ yi − Pn xi minimális, ahol xi alappontok, yi

függvényértékek. 10 http://www.doksihu 2. Fejezet: A 17-18 század matematikája Magyarországon A 17. században egyetlen, a mai értelemben vett, „matematikusnak” nevezhetı személy sem volt az országban. Önálló magyar matematikai eredményrıl sem számolhattunk be A megjelent munkák nagy része szorzótábla („pithagoraszi tábla”), de találhatók köztük egyszerő számtankönyvek is. Ezek az alapmőveleteket részletezik az egész számok, esetleg a 47közönséges törtek körében. Annak ellenére, hogy a tizedes törtek használata már Európa szerte elterjedt, mi mégsem ezek segítségével váltottunk át mérték- és pénznemeink között. Ehhez a régi aritmetikák a gyakorlati életbıl vett feladatokat és segédtáblázatokat tartalmaztak. A korban folyt matematikai szaknyelvünk kialakítása is, ezért az újonnan megalkotott magyar szavak mellett még feltüntették a megszokott latin kifejezéseket is. Így az elsı aritmetikák

megértéséhez elengedhetetlen ennek a nyelvnek az ismerete. A számok írása e könyvekben az indus-arab módon történt. A kisebb számok neve egységes, de 10 magasabb hatványainak megnevezése eltéréseket mutat /106 = cuentus, 109 = milliom, 1012 = summa, 1015 = draga/. Az 4 alapmővelet meghatározása is ekkor történt. György Mester (15 század) még 9 darab mőveletet használt: számlálás, összeadás, kivonás, duplázás, felezés, szorzás, osztás, számtani haladvány és négyzetgyökvonás. Ennek a szétaprózódásnak köszönhetı, hogy a régi aritmetikák temérdek regulát (szabályt) tartalmaztak. A „regula pigrorum” („lusták szabálya”) szerint egyszerősítették a szorzás elvégzését. Ennek egyik módja, például a 7 ⋅ 8 kiszámítására a következı:
mindkét kiegészítı tényezı mellé párját írták a 10-re való (komplementer szorzás)
a jobb oldali számok szorzata (6) adja a szorzat egyeseit,
a bal felsı és

a jobb alsó (vagy bal alsó és jobb felsı) különbsége (5) pedig a szorzat tízeseit határozza meg
Az eredmény: 56. 47 Közönséges törteknek a racionális számokat nevezzük, vagyis azokat, amelyek két egész szám hányadosaként írhatóak fel. 11 http://www.doksihu 2.1 A nyomtatott matematika Magyar nyelvő könyveinkben a geometriai anyag igen szegényes, általában csak aritmetikai feladatok bemutatására szolgál. Kiemelkedik Pühler Kristóf (16. század) munkája, melyben a földmérésben és az asztronómiában elıforduló problémákat tárgyalt. A geometriai tartalmú mőben az Európaszerte használt különféle mértékegységeket is pontosan megadta, valamint geodéziai és csillagászati eszközök leírása is fellelhetı benne. Apáczai Csere János (1625 - 1659) sem törekedett a „Magyar Encyclopaedia”-ban (1655) eredetiségre. Mőve külföldi könyvek fordításaiból, a matematika szélesebb területét vázlatszerően ölelte fel.

Fellelhetık benne aritmetikai és geometriai fejezetek is Elıbbi rész tartalmazza az alapmőveleteket, a törzs- és összetett számok fogalmát, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös megtalálási módját, a törtekkel való mőveletvégzést. A könyv foglalkozik az egyenessel és a szöggel; a háromszög, a négyszög és a szabályos sokszögek tárgyalásával; a kör és részei is megtalálhatók benne. Leírta a körbe és a köré írt háromszöget, a kör kerületét és területét, valamint a szögletes és görbealapú testekre is kiterjesztette a geometriai részt. Könyvében csak tételeket szerepeltetett, a részletes feldolgozáshoz a felsıoktatásbeli pedagógusok nyújtottak segítséget. Több, általa megalkotott szakszó még ma is használatban van, például: egyenlıség, hasonlóság, középpont, hegyes- és tompaszög, sík, görbe. A mőszavak többsége azonban módosított formában fordul elı a mai matematika

nyelvezetében: „metszı” = szelı, „sokasítás” = szorzás. A disszertációk csekély számának oka, hogy a „matematika” kifejezés eredetileg mindenféle tudományt jelentett. Késıbb matematikusnak tekintettek minden természettudományos érdeklıdéső polihisztort. Ennél fogva, a közzétett matematikai tanulmányok némelyike egyáltalán nem is ezzel a tudománnyal foglalkozott. 12 http://www.doksihu Köleséri Sámuel (1663 - 1732) munkája, a „Disputatio MathematicoPhysica de Lumine” (1681), a kor egyik fontos problémáját, a fény természetét tárgyalta. Eközben kimondta, például hogy az egység nem szám („Unitas non est Numerus”), valamint állította, hogy a 48 körnégyszögesítés kvadratúra problémájának megoldása nem lehetséges („Non datur quadratura Circuli”). Polgári György (17. század) „Pro Theoriae Geometricae Principia” címő mőve azonban már tekinthetı matematikainak. Ebben több geometriai

alakzatot értelmezett, és példákat adott más tudományban való alkalmazásukra (például a pontot egy idıpillanattal szemléltette). 2.2 Az önállóságra való törekvés A 18. században már születtek magyar matematikai eredmények is Ekkora divatossá vált foglalkozni ezzel a tudománnyal, így más területekrıl ismert személyek is helyet kaptak a kor matematikatörténetében. Révai Miklós (1750 - 1807), a magyar nyelvtudomány úttörıje, például foglalkozott a már korábban említett, kör négyszögesítésének problémájával is. Csokonai Vitéz Mihály (1773 - 1805) eredetileg földmérı szeretett volna lenni, és halálos betegen is matematikai alkotásokat olvasgatott. Ez idı tájt fejlıdött a hazai mérnökképzés is, mivel meg kellett emelni a folyók védıgátjait, malmokat építettek és katonai erıdítményeket is létrehoztak. Ezért egyre több nagy tudású matematikatanár volt, de csak vidéken. A 49 Magyar Tudós Társaság

megalapításának célja a tudomány fejlesztése az országban. Emellett a hazai tudósok emigrációját is ezzel kívánták megakadályozni, s a magyar matematikai életet szervezett formában kezdték irányítani. 48 A körnégyszögesítés megoldásának során adott kör területével megegyezı területő négyzetet kívántaK szerkeszteni. Ezzel áthatóbban a 19 században foglalkoztak, és akkor jöttek rá, hogy π oldalhosszúságú négyzet euklideszi módon (körzıvel és vonalzóval) nem szerkeszthetı. 49 Az 1825-ös országgyőlésen Széchenyi István rendelkezett a Magyar Tudós Társaság létrejöttérıl. Elnökölte például Eötvös József, valamint Eötvös Loránd is. 1858-tól Magyar Tudományos Akadémia néven mőködik. 13 http://www.doksihu A teljesség igénye nélkül kiemelt személyek fontos szerepet játszottak hazánk matematikatörténetében, munkásságukat néhány általuk elért eredménnyel tekintjük át. Segner János András

(1704 - 1777) volt az elsı magyar matematikus, aki az egyetemes történetben is helyet kapott. Múltbeli eredményeket széles körben érthetı módon dolgozott fel. Bizonyította például a elıjelfeltételt, pontosította a 51 π értékét és 52 50 Descartes-féle Pn értékét is kiszámította n = 3, 4,., 20 esetben Kerekgedei Makó Pál (1724 - 1793) „Compendiaria matheseos institutio” címő tankönyvében a mai középiskolai algebra és geometria tananyagot tárgyalta. A magyar matematikai mőveltség színvonalát emelve leleményes bizonyításokat használt és közérthetı módon, a fokozatosság elvét követve mutatta be az ismereteket. További mőveiben többek között ismertette a különbözı fokú algebrai egyenletek megoldási módszereit, alsó és felsı korlátot is adott a gyökökre, valamint foglalkozott szélsıérték-számítással is. Dugonics András (1740 - 1818) matematikai könyveiben számtalan magyar mőszót teremtett. Néhány

ezek közül: a háromszögek különféle típusainak elnevezései (egyenlı oldalú, egyenlı szárú, derékszögő, tompaszögő), körnegyed, maradék, osztandó és osztó, a szögek típusai (derék, mellék, külsı, belsı, váltó, tompa), végtelen. A korban rengeteg táblázat is megjelent. Ezeket igyekeztek számelméleti problémák igazolására, vagy éppen tagadására felhasználni. A legismertebb magyar táblázat Csernák László (1740 - 1816) nevéhez főzıdik, melyben a törzsszámokat foglalta össze. 1022 oldalon megtalálható 1 020 000-ig a 2-vel, 3-mal és 5-tel nem osztható szám összes törzstényezıje is. 50 A Descartes-féle elıjelfeltétel szerint egy valós együtthatójú algebrai egyenletnek legfeljebb annyi pozitív gyöke van, mint ahány elıjelváltás található az együtthatók sorozatában. 51 Π az egységsugarú kör területe. Értéke: 3,14159265 52 Egy n oldalú szabályos sokszög egymást nem metszı átlókkal történı

felbontása esetén a keletkezı 4 k −10 k = 3 k −1 n háromszögek száma: P = Π n 14 http://www.doksihu Sipos Pál (1759 - 1816) a trigonometrikus szögfüggvények 10-as alapú logaritmusait közönséges törtformában kezdte összegyőjteni. Egységnyinek vette a kör átmérıjét és a 90°-ot választotta egynek, majd azt osztotta tovább 100 részre. A magyarországi matematika az igazi reformkorát a két Bolyainak: Bolyai Farkasnak (1775 - 1856) és fiának, Jánosnak (1802 - 1860) köszönhette, a 19. században 15 http://www.doksihu 3. Fejezet: Egy 18 századi tétel részletes vizsgálata Pont az, melynek már részét felfogni se tudnád, Megnyújtod, s karcsú egyenes fut bármely irányban. Sík felület születik, ha meg is duplázza futását: Széltében terjed, nem nyílik meg soha mélye. Két-két sík a szilárd testet jellemzi, kiadja Hosszúságát és szélességét, meg a mélyét. Kockának, köbnek hívják s négyzetlapú testnek, Bárhogy

esik, mindig jól látni a részeit ennek; Ha síkot foglal be magába, a szöglete épp nyolc. Janus Pannonius A kor eredményeit a mai napig használják és oktatják. Ezek közül fıként az analízis és az algebra területén elért újításokkal ismerkednek meg azok, akik bármiféle matematikai tanulmányokat is folytatnak felsıfokú képzésük során. A következıkben a geometria területérıl választottam ki egy 18. századi tételt Ennek elıkészítéseként vizsgálom a projektív geometria témakörét, majd a kúpszeletekrıl ismerteket. Célom a korban bizonyított Pascal-tétel tárgyalásával eljutni az ismertebb Papposz tételig, majd ennek gyakorlati alkalmazhatóságának bemutatása. Végül a véges geometriákba történik rövid kitekintés (Fano-féle alakzat). 3.1 Projektív geometria A szokásos euklideszi szerkesztésekhez körzıt és vonalzót használunk, ezzel szemben az „egyszerőbb” projektív geometriához csak vonalzó szükséges.

Míg az elıbbinél mérésekkel, addig az utóbbinál vetítéssel hozzuk összefüggésbe egyik ponthalmazt a másikkal. Ennek a szemléletmódnak a sajátossága az is, hogy nincs párhuzamosság, itt minden egy síkban lévı egyenesnek van metszéspontja. Ezen felül nincsenek távolságok, és ezért körök és közrefogás sem, így szögekrıl sem beszélhetünk. Alapfogalmaink a pont, az egyenes és az illeszkedési reláció. 16 http://www.doksihu Az általánosan használt teret az egységes tárgyalásmód, avagy a könnyebb kezelhetıség érdekében ideális térelemekkel bıvítjük ki. Az ilyen e egyenes tartalmazza az eredeti e egyenes (közönséges) pontjait és az 53 ideális pontját is. Tudjuk, hogy két síkbeli egyenes ideális pontja akkor és csak akkor egyezik meg, ha a két egyenes 54(euklideszi értelemben) párhuzamos. A kibıvített sík a benne fekvı kibıvített egyenesekbıl áll Mindezekbıl adódik, hogy a kibıvített tér pontjai,

egyenesei és 55 síkjai lehetnek közönségesek és ideálisak is. A korábbi tanulmányainkból ismert euklideszi axiómák a kibıvített síkon, illetve térben is érvényesek. Az alábbiakban az 56illeszkedési tulajdonságokat tekintjük át • Bármely két különbözı ponthoz/egyeneshez egyetlen olyan egyenes/pont létezik, amely illeszkedik rájuk. 53 • Bármely három, nem 57kollineáris ponthoz létezik egy rájuk illeszkedı sík. • Bármely két, metszı egyeneshez létezik rájuk illeszkedı sík. • Bármely két különbözı sík közös része egyenes. • Bármely síknak és a nem benne fekvı egyenesnek egyetlen közös pontja van. Az ideális pont egy tetszıleges absztrakt objektum, nem pedig egy már meglévı pont, jele: ∞ . e 54 A továbbiakban is csak euklideszi értelemben vett párhuzamosságról beszélhetünk. 55 Ideális sík alatt a tér összes ideális pontjából álló halmazt értjük. 56 Az illeszkedésen kívül az

euklideszi geometriában találhatóak rendezési és párhuzamossági axiómák is. 57 A közös egyenesen fekvı pontokat kollineárisnak nevezzük. 17 http://www.doksihu Az egy egyenesen lévı pontok halmazát pontsornak, az egy síkban fekvı és pontot tartalmazó egyenesek halmazát sugársornak nevezzük. Az ilyen egydimenziós alakzatok között létesít kölcsönösen egyértelmő megfeleltetést a projektivitás. Legegyszerőbb fajtája, amikor a megfelelı tagok illeszkednek. A projektív geometria alaptétele szerint három kollineáris pont és három, nekik megfeleltetett kollineáris pont egyértelmően meghatároz egy projektivitást. A tétel következményei: • Bármely két 58harmonikus négyest pontosan egy projektivitás köt össze. • Két különbözı egyenes pontsorai közötti projektivitás akkor és csak akkor 59 perspektivitás, ha a két egyenes közös pontja 60invariáns. 1. ábra: Perspektivitás és a projektivitás tengelye A

projektivitás tengelyét meghatározza az összetartozó pontpárok „keresztegyeneseinek” metszéspontja, valamint az invariáns közös pont. 58 Harmonikus négyes alatt pontsorok olyan pontjait értjük, melyek kettısviszonya -1. Az A, B, C, D pontok ( ) kettısviszonyának értéke: ABCD = AC : AD , ahol a távolságokkal elıjelesen számolunk. CB DB 59 Két pontsor az O középpontra nézve perspektív, ha a rajta átmenı sugársornak két különbözı egyenessel vett metszetei, azaz ha az egymásnak megfeleltetett pontok egyenese átmegy a középponton. 60 Invariánsnak nevezünk minden olyan alakzatot, melyek geometriai transzformációk során megtartják képüket, de pontjaik nem fixek. Az olyan leképezéseket hívjuk geometriai transzformációknak, melyekkel minden ponthoz (ponthalmazhoz) hozzárendelhetünk egy másik pontot. 18 http://www.doksihu 3.2 Dualitás elve A sugárnyaláb-modellben nem különböztetünk meg közönséges és ideális

pontokat, hiszen illeszkedés szempontjából ugyanúgy viselkednek. Ennek oka a megalkotásában rejlik Rögzítve a térben egy közönséges O pontot, itt „pontnak” tekinthetünk minden O-n átmenı egyenest. Ennek mintájára „egyenesként” kezelhetünk minden O-t tartalmazó síkot Tehát az „illeszkedés” fogalma modellünkben tartalmazást jelent. „Sík” alatt az összes itteni „pontból” álló halmazt értjük. Amennyiben felveszünk egy tetszıleges S síkot, és egy rá nem illeszkedı O pontot, azonosíthatjuk S-t az O-ra illesztett sugárnyaláb-modellel. Választva egy A ∈ S pontot, A meghatározó vektorának az OA egyenes egy tetszıleges x irányvektorát tekintjük / A = [ x ] . A-t az x irányvektor O-tól különbözı Q(x1, x2, x3) pontjának koordinátáival is meghatározhatjuk, ezeket nevezzük homogén (pont)koordinátáknak. Mindebbıl következik, hogy egy pont homogén koordinátái nem mind 0-k, valamint a meghatározó vektor sem

lehet nullvektor. A közönséges P(x,y) pont homogén koordinátákkal történı meghatározásakor x1: x2 : x3 = x : y : 1. Innen adódnak az alábbi összefüggések a Descartes-koordinátákkal történı átírásra: x = x1 x3 és y = x2 x3 . A v(v1,v2) irányvektorú egyenesek közös ideális pontjának homogén koordinátáira igaz a következı: x1 : x2 : x3 = v1 : v2 : 0. A dualitás elve szerint, ha egy síkgeometriai tétel pontokról és egyenesekrıl szól, akkor a pontok homogén koordinátáit vonalkoordinátáknak, azokat pedig pontkoordinátáknak tekinthetjük. Így pontnak egyenest és egyenesnek pontot feleltetünk meg A két pontra illeszkedı egyeneshez két egyenes metszéspontját rendeljük hozzá. Egy pontsor duálisa pedig egy sugársor. A fentiekbıl adódik, hogy ha egy bizonyításban egyenesek és pontok szerepelnek, és illeszkedésükrıl beszélünk, akkor annak átírása is helyes gondolatmenethez vezet. Így egy tétel duálisa is

igaznak tekinthetı. 19 http://www.doksihu A meghatározó vektorok alábbi tulajdonságaival egyetemi geometria tanulmányaink során foglalkoztunk részletesen, itt csak felsorolás szinten említjük ıket:
[ x ] =  y  ⇔ ∃λ ≠ 0, hogy y = λx
A ∈ e ⇔ x és y merıleges (⇔ x ⋅ y = 0)
Ha A = [ x ] és B =  y  különbözı pontok (vagyis, ha x és y 61 lineáris független), akkor AB egyenes =  x × y  .
3 pont: A = [ x ] , B =  y  és C = [ z ] kollineáris ⇔ x, y és z 62 lineárisan összefüggık. (Ehhez hasonlóan beszélhetünk arról is, hogy 3 egyenes mikor megy át egy ponton.) 3.3 Kúpszeletek Az euklideszi síkon azon P pontok mértani helyeként határozhatók meg a kúpszeletek, melyek távolsága egy adott O ponttól (fókusz), egy rögzített egyenestıl (vezéregyenes) mért PK távolság ε-szorosa (ε > 0, excentricitás). Az összes 2 ilyen síkidom megadható egy közös,

másodfokú egyenlettel: 2 Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 , ahol A, B, C nem mind 0. A kapott kúpszeletek típusa az elsı esetben ε megválasztásától, a második esetben pedig az egyenlet együtthatói közti összefüggésbıl adódik. Ez utóbbit felhasználva a másodfokú egyenlet általános alakjából különbözı kanonikus alakokat kapunk. x2 y2 + = 1. a 2 b2 • Ellipszist ad, ha ε < 1, valamint ha B − 4 AC < 0 és ekkor • ε = 0, illetve A = C és B = 0 esetben kör keletkezik: x + y = a . • Amennyiben ε = 1, vagy B − 4 AC = 0 , akkor paraboláról beszélünk. Kanonikus 2 2 2 2 2 2 egyenlete: y = 4 ax . • Hiperbolának nevezzük az alakzatot, ha ε > 1, illetve Ekkor 2 B − 4 AC > 0 . x2 y2 − = 1 teljesül. a 2 b2 61 Két vektor lineárisan független, amennyiben lineáris kombinációjuk csak úgy ad nullvektort, ha minden együttható is 0. 62 A lineáris függetlenséggel ellentétben, itt nem minden együttható

0, de a vektorok lineáris kombinációja 0-t ad eredményül. 20 http://www.doksihu Szemléletesen egy egyenes körkúp különbözı síkmetszeteiként kapjuk a kúpszeleteket. Ellipszis keletkezik, ha a kúp és a sík metszete zárt görbét határoz meg. Ennek speciális esete, ha a metszı sík merıleges a kúp tengelyére, és ekkor kört kapunk. Parabola esetében a sík és a kúp alkotója párhuzamos. A létrejövı nyitott görbe a hiperbola 2. ábra: Kúpszeletek Elfajuló esetekrıl (pont, egyenes, vagy két metszı egyenes) akkor beszélünk, amikor a sík átmegy a kúp csúcsán. Ha a kúp tengelye és alkotója által bezárt szög 0°, valamint a tengellyel párhuzamos (de azt nem tartalmazó) síkot használunk, akkor nem lesz metszéspont. 90°-os alkotó és a tengellyel merıleges sík alkalmazásakor a kúpmetszet az egész sík. Egy egyenes kúp valamely síkkal való metszésekor minden 63 (nem elfajuló) kúpszelethez rendelhetı egy, vagy két

Dandelin-gömb. Ezek érintik a kúpot, és a síkot a másodfokú görbe fókuszpontjában. A parabolának csak egy Dandelin-gömbje van. Egy ellipszisnek két ilyen gömbje van, és ezek ugyanazt a félkúpot érintik. Hiperbola esetében azonban egy-egy gömb érinti mindkét félkúpot. 3. ábra: Az ellipszis Dandelin-gömbjei 63 Nem elfajuló (közönséges) kúpszeletnek tekintjük az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát. 21 http://www.doksihu A projektív síkban öt olyan pontra illeszthetı egy kúpszelet, melyek közül bármely négyet kiválasztva, azok nem alkotnak pontsort. Ennek duálisa is teljesül, vagyis pontosan egy kúpszeletet határoz meg öt olyan egyenes, melyek közül semelyik négy sem tartozik egy sugársorhoz. A projektív síkban csak egy végtelen távoli egyenes kitüntetésével lehet különbséget tenni a kúpszeletek között, így nem különböztetünk meg többfélét. Általánosan használt leképezés a polaritás, mely egy a

egyenest egy A pontba transzformál, a ponthoz pedig az a egyenest rendeli. A kapott egyenest polárisnak, a pontot pedig pólusnak nevezzük. Az egyenes pontjainak polárisai egy projektív sugársort határoznak meg. A másodfokú görbék általános egyenletét ∑ aik xi yk = 0 alakra hozva,  x1 , x2 , x3  pont a görbére vonatkozólag konjugáltja  y1 , y2 , y3  pontnak, ha ∑ aik xi xk = 0 . Két pont (A és B) akkor konjugáltja egymásnak, ha A illeszkedik b-re és B a-ra. Ugyanígy a két egyenest is konjugáltnak tekintjük. Minden hiperbolikus polaritás kúpszeletet határoz meg. Ez akkor teljesül, ha létezik önmagával konjugált pontja a leképezésnek, azaz amikor A és a egybeesik. Ennek határt szab az a tény, hogy bármely egyenesen csak (legfeljebb) két olyan pont található, ami önmagára konjugált. Egyetlen ilyen pont megtalálásából sok másik létezésében lehetünk biztosak Ezeknek a halmaza maga a kúpszelet, a polárisaik

pedig azok érintıit adják. Így ezek az alakzatok önmaguk duálisai: önmagukkal konjugált pontok halmazai, vagy az önmagukkal konjugált egyenesek burkolói. 4. ábra: Ellipszis elıállítása konjugált pontokból, illetve érintık burkolójaként 22 http://www.doksihu A kúpszelet külsı pontjai két érintıre illeszkednek és egy metszı egyenes pólusaként határozhatók meg, míg a belsı pontok a kitérı egyenesekhez rendelhetık. Az érintık egy P pontja rajta van a síkmetszeten. Az ehhez tartozó érintıt megkapjuk, ha egy rajta áthaladó szelı pólusával összekötjük P-t. 3.4 Pascal tétele Az általam részletesebben vizsgált, Pascal nevéhez főzıdı tétel szerint egy 64 közönséges kúpszeletbe írt hatszög átellenes oldalpárjai egymást egy egyenes három pontjában metszik. 5. ábra: Pascal tétele 1.) A kúpszelet pontjai: 1-6-ig számozott 2.) A pontok összekötése után az oldal egyenesek meghosszabbítása: a csúcsok alkotta

számpárokkal jelölve 3.) Két-két oldal egyenes közös metszéspontja: A, B, C 4.) A metszéspontok alkotta p egyenes (Pascal-féle egyenes) 64 Közönségesnek nevezünk minden olyan térelemet, mely nem tartalmaz ideális elemeket. 23 http://www.doksihu Pascal ezen tétele Brianchon tételének duális megfelelıje. Ez utóbbi szerint „egy közönséges kúpszelet köré írt hatszög átellenes szögpontpárjait összekötı egyenesek egymást egy közös pontban metszik.” Ezt a B pontot a hatszög Brianchon-féle pontjának is nevezik. 6. ábra: Brianchon tétele 3.41 Pascal tételének bizonyítása Pascal kúpszeletekre vonatkozó munkájából mindössze egy rövid „Essay pour les conique” (1640) maradt fenn, melyben tételének eredetije a következıképpen szól: 65 „Ha az MSQ síkban két, MK és MV egyenest húzunk M ponton át, és az S ponton át is két, SK és SV egyenest, és ha a K és V ponton átmenı kör a négy MV, MK, SV, SK egyenest az

O, P, Q és N pontban metszi, akkor a három MS, NO, PQ egyenes egy sugársorhoz tartozik.” 65 Pascal tétele franciául így hangzik: „Si dans le plan MSQ du point M partent les deux droites MK, MV, et du point S partent les deux droites SK, SV, et par les points K, V passe la circonférende d’un cercle coupante les droites MV, MK, SV, SK es pointes O, P, Q, N: je dis que les droites MS, NO, PQ sont de mesme ordre.” 24 http://www.doksihu Bizonyítása a 18. század során elveszett, de a korban használt módszerekkel rekonstruálható. 7. ábra: Pascal eredeti tétele, és rekonstruált bizonyítása A tétel állítása szerinti 3 egyenes közös pontja (A), valamint a körön fekvı pontok, két háromszöget határoznak meg. Az APO háromszög magasságvonalait megszerkesztve (x, y, z) M, mint a síkidom magasságpontja adódik. Hasonlóan az S pontból az AQN háromszög oldalaira bocsájtunk merıleges egyeneseket és kapjuk x’, y’, és z’-t. Így a

háromszögeket három-három 66 négyoldalra osztottuk, melyek közül kettı-kettı hasonló egymáshoz. Pxy ~ Ny’x’, valamint Oyz ~ Qz’y’, mivel szögeik páronként megegyeznek. Tehát a hasonlóság aránya: Mindezekbıl adódik, hogy x z = z x x y = y x és y z = z y , innen xx’ = yy’ = zz’. , ezért belátható, hogy az Axz és az Az’x’ négyoldal MA átlója egy egyenesbe esik az Az’x’ négyoldal AS átlójával. 66 Négyoldalnak nevezzük azt az egy síkban fekvı, 4 egyenesbıl álló alakzatot, melyek páronként 6 különbözı pontban metszik egymást (az egyenes adják az oldalait, a pontok pedig a csúcsait). 25 http://www.doksihu 3.42 A Pascal-tétel felhasználási módjai 3.421 Szerkesztési feladatok 3.4211 Egy kúpszelet megszerkesztése Adott a kúpszelet öt pontja, feladatunk egy lehetséges hatodik pontjának megszerkesztése. 8. ábra: Kúpszelet hiányzó pontjának meghatározása a Pascal-tétel segítségével

1.) A kúpszelet hatodik pontjának megtalálásához elsıként egy, az 5-ös ponton átmenı, de a másik négy pontot nem tartalmazó egyenest húzunk: 56 egyenes. 2.) Ezt követıen megszerkeszthetık az A és B pontok, valamint maga a Pascalegyenes is 3.) Az egyenes C pontját a 3-as és 4-es pont összekötésével kapjuk meg 4.) Tudjuk, hogy a keresett pontot az 56, valamint az 1-es és a C pontot összekötı egyenes is tartalmazza. Így ez utóbbi metszéspontjaként kapjuk a hiányzó 6-os pontot. 26 berajzolásával, a két egyenes http://www.doksihu 3.4212 Kúpszelet érintıjének meghatározása Adott öt pont, és az ıket tartalmazó kúpszelet egy érintıjét (az 5-ös ponton átmenıt) keressük. 9. ábra: Kúpszelet érintıjének szerkesztése a Pascal tétel felhasználásával Tekintsük a keresett érintı 5-ös pontját egyben a kúpszelet 6-os pontjának is. 1.) Ekkor megszerkeszthetı az A és C pont, valamint a rajtuk átmenı p egyenes 2.) A

Pascal-egyenes a 2-es és 3-as ponton átmenı oldal egyenesét a B pontban metszi 3.) Végül a kapott pontot az 5,6 ponttal összekötve a megszerkesztendı e érintıt kapjuk. 27 http://www.doksihu 3.422 Bizonyítási feladat Feladatunk az alábbi tétel bizonyítása. Tétel: Azon egyenesen, mely egy hiperbolát két pontban metsz, a kimetszett pontok szimmetrikusan helyezkednek el az 67aszimptoták által meghatározott pontokhoz képest. 10. ábra: Tétel bizonyítás Pascal tételének felhasználásával Az aszimptoták ideális pontjai 1-4-ig számozottak, valamint a két metszéspont az ábra 5-ös és 6-os pontjai. 1.) A két metszésponton átmenı, és valamelyik aszimptotával párhuzamos egyenesek metszik ki belılük az A és C pontokat. 2.) Mivel a kapott AC egyenes párhuzamos az 56 egyenessel, látható, hogy az AC szakasz egyenlı hosszú és párhuzamos az 5-ös metszéspont és a C-n átmenı aszimptota, valamint a 6-os pont és az A-n átmenı aszimptota

távolságával. 3.5 Papposz tétele Egyetemi tanulmányaim során kimondatlanul is találkoztam Pascal kúpszeletekre vonatkozó tételével. Egész pontosan a geometria kurzus 3 félévében ismerkedtem meg Pappos tételével (3-4. század), amely ennek egy elfajuló esete Ez az állítás a geometria számos területén bizonyításra került. Az alábbiakban összegyőjtöttem milyen sokféleképpen lehet megközelíteni. 67 Aszimptotának nevezzük azon (többnyire egyenes) görbéket, melyek egy adott görbét tetszılegesen megközelítenek (határértékük konvergál), de sosem érik el. 28 http://www.doksihu 3.51 Projektivitás alkalmazásával Tétel 1: „Ha egy hatszög hat csúcsa váltakozva két egyenesre illeszkedik, akkor a három szemben levı oldalpár kollineáris pontokban találkozik.” Bizonyítás 1: AB’CA’BC’ a vizsgált hatszögünk. Csúcsai két kollineáris ponthármasra oszthatóak, ezért ABC és A’B’C’ között található

projektivitás. Az egymással szemben lévı oldalpárokat keresztben összekötve kapjuk N, M és L pontokat. Ezek egy korábbi megállapítás szerint meghatározzák a projektivitás tengelyét, azaz szintén egy egyenesre esnek. 11. ábra: Papposz tétele 3.53 A perspektivitás felismerésével Bizonyítás 2: J és K pontok bevezetésével észrevehetjük, hogy A-ra vonatkozó projektivitás van ANJB’ és ABCE, valamint C középpontú az ABCE és KLCB’ pontsorok között. Innen adódik, hogy az ANJ és KLC közti projektivitásnak B’ az invariáns pontja, s ezért egy perspektivitást kaptunk ANJ és KLC pontok között. Ez utóbbi középpontja M, ami illeszkedik az L és N által meghatározott egyenesre. Ezzel szintén beláttuk, hogy a három pont: L, M és N kollineárisak. 29 http://www.doksihu 3.54 A meghatározó vektorok segítségével Tétel 2: „Ha A1, A2, A3 és B1, B2, B3 kollineáris ponthármasok, akkor A1B2 ∩ A2B1 = X3; A2B3 ∩ A3B2 = X1; A3B1 ∩

A1B3 = X2 pontok kollineárisak.” 12. ábra: Pappos tétel - a Pascal-tétel általánosítása M = [m ] , Bizonyítás 3: legyen felhasználásával választunk A1 = a1  vektort,     és B1 = b1  . A többi ponthoz ezek így A2 = a1 + α2m  és  A3 = a1 + α3m ,   B2 = b1 + β2m és B3 = b1 + β3m (alkalmas α 2 , α 3 és β 2 , β 3 együtthatók esetén).     A kollinearitás belátásához fejezzük ki a metszéspontokat is. Mivel X 3 ∈ A2 B1 , ezért x 3 = β 2 A 2 + α 2b1 = β 2 (a1 + α2m) + α 2b1 = β 2a1 + α 2b1 + α2β 2m . kifejezhetı Hasonló eredményre jutunk, ha abból indulunk ki, hogy X 3 ∈ A1B2 . x 2 is meghatározható az elıbbiekkel azonos módon: x 2 = β3a1 + α3b1 + α3β 3m . A két vektor különbségébıl a következı kifejezéshez jutunk: x 3 - x 2 = (β 2 − β 3 )a1 + (α 2 - α3 )b1 + (α2β 2 − α3β 3 )m . Ekkor felhasználva a

korábbi összefüggéseket eredményül kapjuk, hogy X 1 ∈ A2 B3 , hiszen x 3 - x 2 = (β 2 − β 3 )a 2 + (α 2 - α3 )b 3 . Amennyiben másképp használjuk a meghatározó 30 http://www.doksihu vektorainkat x 3 - x 2 = (β 2 − β 3 )a 3 + (α 2 - α3 )b 2 alakhoz jutunk, amibıl látható, hogy X 1 ∈ A3 B2 . A metszéspontok vektoraira teljesül, hogy x1 + x 2 - x 3 = 0 , ezért a három pont kollineáris. 3.6 Papposz tételének alkalmazhatósága A tétel alkalmazhatóságára két középiskolai feladatot mutatok be. Célom szemléltetni, hogy Papposz tételének felhasználásával ezek megoldása lényegesen leegyszerősödik. 1. feladat: Egy ABCD trapéz BC szárán vegyünk fel egy E, AD szárán pedig egy F pontot Bizonyítsuk be, hogy az AE egyenes akkor és csak akkor párhuzamos a CF egyenessel, ha a BF egyenes is párhuzamos DE-vel. 13. ábra: Papposz tétel alkalmazása 31 http://www.doksihu A megoldás alapja az indexek Papposz tétele szerinti

megfelelı kiosztásában rejlik. Jelöljük B, E és C pontokat ugyanilyen sorrendben A1, A3, A2-vel, valamint az A, F és D pontok rendre a következık legyenek: B1, B2, B3. Ekkor a tételnek megfelelıen AB és CD szakaszok egy pontban metszenék egymást. Azonban a trapéz tulajdonságát kihasználva ez a két oldala párhuzamos, így közös pontjuk (X2) ideális. Ehhez hasonlóan a feladat szerint AE és CF, valamint BF és DE szakaszok metszéspontjai (X3 és X1) is ideális pontok. Így X1, X2 és X3 pontok valóban kollineárisak, közös egyenesük pedig egy ıket tartalmazó ideális egyenes. A következı feladat már összetettebb geometriai tudást igényel. Megemlítése fontos, mivel megmutatja Papposz tételének gyakorlati hasznosságát. 2. feladat: Egy (szabályostól különbözı) háromszög egyik oldalának felezıpontját kössük össze egy másik oldalon levı magasságtalpponttal, valamint a másik oldal felezıpontját is kössük össze az elsı oldalon

levı magasságtalpponttal. Bizonyítsuk be, hogy a két összekötı egyenes metszéspontja illeszkedik a háromszög 68Euler-egyenesére. 14. ábra: Euler-egyenes 68 Euler-vonal: lásd 8.oldal 38-as lábjegyzet 32 http://www.doksihu Az adatok helyes ábrázolását követıen szintén a megfelelı indexelés teszi könnyebbé a feladat megoldását. Használjuk a következı jelöléseket: A=B1, T2 = B2, F2 = B3, valamint B = A1, T1 = A2, F1 = A3. Ekkor alkalmazva Papposz tételét, az ábrán látható módon X3 az M magasságpontnak, X2 pedig a háromszög S súlypontjának felel meg. M és S segítségével pedig már meghatározott az Euler-egyenes is. 3.7 Véges geometria Egyetemi tanulmányaim során eddig a véges geometria nem szerepelt a tananyagban, ezért a szakirodalomban talált leírásokra hagyatkozom az ismeretek teljes átlátása nélkül. A véges síkok egy speciális fajtájának (Galois-sík) megismeréséhez szükség van néhány algebrai fogalom

ismeretére (69csoport, 70 test). Algebrai tanulmányaimban már foglalkoztam ezekkel és a prímhatvány elemszámú 71 véges testekel, melyeket Fp -vel jelöltünk. Eddigi ismereteink szerint egy sík végtelen sok pontot tartalmaz. A következıkben azonban olyan geometriai rendszereket vizsgálunk a teljesség igénye nélkül, melyek csak véges sok pontot tartalmaznak. A projektív geometria axiómáit alapul véve találhatunk olyan véges rendszereket, melynek bármely pontja és egyenese között értelmezhetı „illeszkedés”. Csoportnak nevezzük azt az algebrai struktúrát, melyen értelmezett egy ∗ -val jelölt asszociatív mővelet. Létezik neutrális eleme, valamint minden elemének található inverze a csoporton belül. 70 Testek azok a kommutatív, egységelemes győrők, melyekben minden nem nulla elemmel elvégezhetı az osztás mővelete. 71 Véges testrıl, vagy Galois-testrıl akkor beszélünk, ha elemeinek száma véges. 69 33

http://www.doksihu Egy igen egyszerő példa erre a Fano-féle alakzat. Ennek szemléltetéséhez tekintsünk egy 7× 7-es sakktáblát, és azon 21 figurát az alábbi elrendezésben. 15. ábra: Fano-féle alakzat A tábla Pi oszlopait tekintjük „pontnak” és az Ij sorait „egyenesnek”. Pont és egyenes „illeszkedik”, ha a keresztezı mezıjükben figura található. Üres mezı jelöli, ha nem illeszkednek egymáshoz. A modellben létezik valódi négyszög, vagyis létezik négy olyan pont, melyek közül bármely kettıhöz illeszkedı egyenes a másik két pont egyikét sem tartalmazza. Ilyen a P1P2P3P4 négyszög, melynek csúcsait páronként az I1, I2, I3, I5, I6, I7 egyenesek kötik össze. Ezt a rendszert Fano-síknak nevezzük { } Tehát a sík egy ∑ = P1, P2 ,. ponthalmaz, melynek részhalmazai az egyenesek. A projektív síkot itt a következı axiómarendszerrel definiáljuk: I. Ha P és Q pontja Σ-nak, de P ≠ Q, akkor pontosan egy olyan l egyenes

van, melyre P ∈ l és Q ∈ l . II. Ha g ⊂ Σ és l ⊂ Σ, de g ≠ l, akkor van olyan P pont, amely g-nek is és l-nek is eleme. III. Található négy olyan pont, hogy azok páronként teljesítik az I axiómát és hat különbözı egyenest határoznak meg. 34 http://www.doksihu Ezekbıl adódnak az alábbi állítások, melyeket a projektív geometria részben már ismertettem: • Két egyenesnek egyetlen közös pontja van. • Található négy olyan egyenes, melyekbıl hármat tetszılegesen kiválasztva, azoknak nincs közös pontjuk (létezik valódi négyoldal). • Bármely egyenesnek legalább három pontja van és az is igaz, hogy bármely pontban legalább három egyenes találkozik. Jelenleg a klasszikus projektív sík, és a véges projektív síkok közül a másodrendő elıállítása ismert. A q > 1-ed rendő véges síkok létezésérıl is tudunk, de elıállításuk a matematika legnehezebb megoldatlan problémái közé tartozik mind a mai

napig. 35 http://www.doksihu Irodalomjegyzék
DIRK J. STRUIK: A MATEMATIKA RÖVID TÖRTÉNETE Gondolat Kiadó 1958.
SZÉNÁSSY BARNA: A MAGYARORSZÁGI MATEMATIKA TÖRTÉNETE (A legrégibb idıktıl a 20. század elejéig) Akadémiai Kiadó 1970.
KÁRTESZI FERENC: BEVEZETÉS A VÉGES GEOMETRIÁKBA Akadémia Kiadó 1972.
H.SM COXETER: A GEOMETRIÁK ALAPJAI Mőszaki Könyvkiadó 1973.
H. S M COXETER: PROJEKTÍV GEOMETRIA Gondolat Kiadó 1986.
HAJÓS GYÖRGY: BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA Nemzeti Tankönyvkiadó 1999.
MOUSSONG GÁBOR: GEOMETRIA 3. ELİADÁS és GYAKORLATI JEGYZETEK (2007/2008-as tanév tavaszi félév) 36