Fizika | Felsőoktatás » Dr. Gausz Tamás - Autogíró és helikopter rotorok előzetes aerodinamikai és dinamikai számítása

Dr. Gausz Tamás Autogíró és helikopter rotorok előzetes aërodinamikai és dinamikai számítása Budapest, 2017 7E1.67 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 I. Elméleti alapok I.1 Deriválás a forgó rendszerekben I.2 Abszolút = relatív + szállító I.3 Néhány szó az erőkről I.4 Mozgásegyenletek 3 6 12 15 17 II. Bevezető példa II.1 A szimulációs modell – a számítógépi program ismertetése II.2 A szimulációs modell – a számítógépi program eredményei II.3 A szimulációs modell – további eredmények 24 31 38 46 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok III.1 A rotorlapátok mozgásegyenletei III.11 A szögsebesség és a szöggyorsulás III.12 A sebesség és a gyorsulás III.13 A csuklós bekötésű rotorlapát mozgásegyenletei III.14 A csapkodó mozgás mozgásegyenlete III.15 A matató mozgás mozgásegyenlete III.2 Fejezetzáró megjegyzések IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.1 A repülési sebesség IV.2

További sebességek IV.21 A főtengely forgásából származó sebesség IV.22 A csapkodó mozgásból származó sebesség IV.23 Az indukált sebesség IV.24 Az eredő sebesség IV.3 Sebességi sokszög – lapelem elmélet IV.31 A lapelem elmélet IV.32 Az eredő légerő támadáspontjának koordinátái IV.33 A csapkodó és a matató nyomaték IV.34 Az emelőerőből származó megoszló terhelés IV.4 Az impulzus elmélet IV.41 Geometriai viszonyok IV.42 Az impulzus tétel alkalmazása IV.5 Az aërodinamikai és dinamikai számítás IV.6 A rotor forgatásához szükséges teljesítmény, illetve nyomaték IV.7 Erők a rotoron IV.71 Befejező példa i 48 49 49 52 55 58 60 62 66 66 70 70 71 72 73 74 75 77 79 80 82 83 86 92 98 99 103 I. Melléklet: A NACA 0012 profil jellemzői – saját modell 108 II. Melléklet: A NACA 0012 profil jellemzői – szakirodalmi modell M.II1 A felhajtóerő tényező M.II2 Az ellenállás tényező III. Melléklet: Egyensúlyi helyzet

számítása M.III1 Számítási példa M.III2 Záró megjegyzések IV. Melléklet: Fontosabb jelölések jegyzéke 111 112 118 121 127 129 131 Irodalomjegyzék 138 ii Bevezetés Ebben a munkában az autogírók és helikopterek rotorjainak (forgószárnyainak) aërodinamikájának és dinamikájának a Szerző által fontosnak és hozzáférhetőnek ítélt kérdéseivel foglalkozunk. Ez a munka tehát a [G2] egyes részeinek kibővítése, illetve folytatása Hasonlóképpen fontos, hogy az alkalmazott koordináta rendszerekkel részletesen [G8]ban foglalkoztunk. Ebből következően, illetve mert hivatkozni fogunk rájuk, e munka tanulmányozása előtt, első lépésben a két, említett munka ([G2] és [G8]) áttekintése szükséges. A jegyzet megírása meglehetősen sok munkát igényelt, ennek megfelelően az alkotó feldolgozásához is jelentős energia befektetése szükséges (remélhetőleg azért nem annyi, mint amennyi a megíráshoz kellett). Egy jegyzet

különböző alapokra kell épüljön. A számunkra elérhető, legfontosabb alap a tárgyban megjelent szakirodalom. Ez egyrészt bőséges ugyan, másrészt azonban – tekintettel a tárgyalt terület rendkívül széles voltára – szükségképpen nagyvonalú is. Rendkívül fontos lenne az ipari és kutatási háttér; ez azonban hazánkban, sajnos alig-alig létezik. Hasonlóképpen nagyon nagy szükség lenne legalább egy hazai kutató csoportra, azaz megfelelő számú szakemberre, akikkel a kérdéses problémákat meg lehetne vitatni. Ez a jegyzet tehát egy, kezdő (és minden bizonnyal korrigálandó) lépésnek tekinthető a vonatkozó szakterület magyar nyelvű szakirodalmának létrehozásában. Ez a jegyzet – jelentős részben – a rotorlapátok mozgásának vizsgálatával foglalkozik. A merevnek tekintett rotorlapátok együtt haladnak és fordulnak a forgószárnyas repülőgéppel, a főtengely forgása következtében keringő mozgást végeznek, a

csapkodó csukló körül elfordulva csapkodó mozgást és a matató csukló körül elfordulva matató mozgást végeznek. Végül pedig a hossztengelyük körül elfordulnak, azaz a vezérlés hatására (is) változtatják a beállítási szögüket A rotorlapátok mozgásának vizsgálatában legalább ezeket a mozgásokat figyelembe kell venni. A rugalmas rotorlapátok további szabadságfokokkal rendelkeznek – elsősorban a „csapkodás” irányú hajlító és a hossztengely körüli csavaró lengés, illetve ezek esetleges kapcsolódása (flatter) vizsgálandó. A rugalmasság hatásainak vizsgáltában fontos [G1] és a további, ide vágó szakirodalom tanulmányozása, hiszen ez rendkívül összetett terület. Csak példaként említjük: a rotorlapátok körül kialakuló áramlások általában instacionáriusak, az ilyen áramlások vizsgálatában, napjainkban is számos nyitott kérdést találunk. 1 Annak vizsgálatát, hogy a rotorlapátok adott vezérlés

hatására hogyan viselkednek, a repülésmechanika első főfeladatának nevezzük, ebben a jegyzetben lényegében ezzel a feladattal foglalkozunk. A második főfeladat – melyben azt vizsgáljuk, hogy adott pálya milyen vezérlés esetén jön létre – a rotorlapátok esetében alapvetően indirekt módon jön csak szóba. A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy a merev és a rugalmas test mellett létezhetnek még a hajlékony testek is. Ezeknek – bizonyos korlátok között – nincsen határozott alakjuk. Ilyen hajlékonyság a rotorlapátokra nem jellemző – példaként mondjuk, egy ejtőernyő kupoláját tekinthetjük, amelynél a kupola alakját a szabásmintán túl a rá ható (zsinór) erők és megoszló légerő terhelés együtt határozza meg. Hálás köszönetemet fejezem ki dr. Gáti Balázs egyetemi docensnek, aki e munka elkészültéhez értékes tanácsokkal, illetve megjegyzésekkel járult hozzá Nagyon ajánlatos, hogy – mivel ebben a munkában

több, a korábbi hazai szakirodalomban nem olvasható állítás is található és „errare humanum est” – a Tisztelt Olvasó minden állítást, levezetést, stb. ellenőrizzen, és csak akkor fogadjon el, ha saját maga is meggyőződött a kérdéses részlet helyességéről. Az estleges megjegyzések, javaslatok a gausz.tamas@gmailhu címre küldhetők – ezeket köszönettel fogadom, megfontolom és adott esetben, ha módomban áll, akkor a szükséges korrekciót megteszem. 2 I. Elméleti alapok Ebben a fejezetben azokat a bevezető ismereteket foglaljuk össze, amelyeket a tárgyalt ismertanyag szempontjából lényegesnek gondolunk. Az összefoglalás egyúttal azt is jelenti, hogy a legtöbb esetben az ismereteket nem levezetjük, hanem csak bevezetjük A tényleges levezetések megismerése érdekében a vonatkozó szakirodalmat kell tanulmányozni! Hagyományosan skalár és vektor mennyiségekről szokás beszélni, de ez a két kategória a fizikai

mennyiségek osztályba sorolására nem elegendő. Ezért vezették be tenzor fogalmát – ezekkel már egy teljes rendszer építhető fel. A tenzor szigorúan véve egy matematikai objektum, a skalár és a vektor fogalom általánosításának tekinthető Eredete a műszaki tudományok területére vezet: a feszültség elnevezése a tenzió, és ebből származott a tenzor elnevezés. Ennek megfelelően a tenzorok rendkívül széles fizikai – műszaki alkalmazási területtel rendelkeznek. Mi itt a fizikai, a mérnöki oldal néhány vonatkozását emeljük, emelhetjük csak ki Tekintsük először a skalár mennyiségeket (például a tömeg, térfogat stb.) – ezek egyúttal nulladrendű vagy nullaindexes tenzorok is, mivel nincs indexük abban az értelemben, mint a vektor mennyiségeknek (például a sebesség, erő, nyomaték stb.), melyeknek egy indexük van Ezért a vektorok elsőrendű vagy egyindexes tenzorok A műszaki tudományokban jól ismert példa a

feszültség tenzor Ezt egy mátrixszal adhatjuk meg – így ez másodrendű vagy kétindexes tenzor, melynek elemei a húzó-nyomó és a csúsztató feszültségek. Az itt tárgyalt ismeretek szempontjából különösen fontos a tehetetlenségi tenzor, melynek főátlójában a tehetetlenségi nyomatékok, a többi helyen pedig, negatív előjellel a deviációs nyomatékok állnak A tenzorok indexek szerinti besorolása folytatható (nulla index – skalár, egy index – vektor, két index – mátrix), három, négy és még több indexes tenzorok is léteznek – ezeket azonban már alapvetően indexes alakkal írjuk le, illetve így is számolunk velük. Ebben a jegyzetben legfeljebb kétindexes tenzorok fordulnak elő. Ebben a munkában igen nagy szerepet játszanak a vektorok – ezért, ebben a bevezető részben néhány, a vektoroknak, a mi szempontunkból fontosnak ítélt jellemzőjét, illetve relációját mutatjuk be. Természetesen ezek a vektorokra vonatkozó

ismereteknek csak nagyon kicsi részét teszik ki – a kérdés iránt mélyebben érdeklődő Olvasónak a vonatkozó szakirodalmat (pl. [R2], [R6]) kell tanulmányoznia! A vektorokat alapvetően két osztályba sorolhatjuk: egy vektor lehet kötött vagy szabad. Vizsgáljuk először a szabad vektorok osztályát Szabad vektor például a szögsebesség – egy merev test minden egyes pontja pontosan ugyanakkora szögsebességgel forog, ez rögtön következik a test merev voltából – hiszen ha különböző pontoknak különböző lenne a szögsebessége, akkor ezek a pontok egymáshoz képest is elfordulnának, ez pedig, merev test esetében, lehetetlen. 3 I. Elméleti alapok A szabad vektor kezdőpontja nem rögzített (vagyis a vektor kezdőpontját bármely térponthoz, illetve egy konkrét merev test esetén a merev test bármely pontjához hozzárendelhetjük). A szabad vektorok tehát a térben önmagukkal párhuzamosan eltolhatók Másik fontos példa a szabad

vektorra a tiszta nyomaték (erőpár nyomatéka). A vektorok másik osztályába a kötött vektorok tartoznak. Ezeket a vektorokat például a kezdő és végpontjuk határozza meg – erre legszemléletesebb példaként egy, az „A” pontból a „B” pontba mutató helyvektort tekinthetünk ( AB ). A kezdő és a végpont megadásával, egyúttal a vektor irányát, irányítását és nagyságát is meghatároztuk Másik, hasonlóan szemléletes példa a kötött vektorra az erő-vektor. Az erőnek általában jól meghatározható támadáspontja van – ez a támadáspont általában a műszaki-szerkezeti kialakításból következik. Ilyen támadáspont lehet például a rotorlapátok valamely csuklójánál adódó forgáspont Ebben az esetben az adott vektort a kezdőpont (vagy támadáspont), illetve az irány (hatásvonal), az irányítás és a nagyság megadásával határozhatjuk meg (Ez nyilvánvalóan ekvivalens a kezdő és a végpont megadásával) Egyes esetekben

hasznos lehet a félig kötött vektorok fogalmának a bevezetése. Ezek a hatásvonalukon elcsúsztatható vektorok, ezeknél tehát az irányt kijelölő hatásvonalat, az irányítást és a nagyságot kell megadni – a támadáspont a hatásvonalon szabadon vehető fel, adott esetben nem is veszünk fel támadáspontot. Erre – véleményünk szerint – a legszemléletesebb példa a szárnyprofilokon keletkező aërodinamikai felhajtóerő (I1 ábra) Az ezzel kapcsolatos számolásokban, nagyon sok esetben megelégszünk a hatásvonal rögzítésével, és nem is törekszünk a támadáspont meghatározására. I.1 ábra: Szárnyprofilon keletkező felhajtóerő A negatív előjel a vektoroknál (is) nagyon fontos, alapvetően fizikai tartalmat hordoz: adott vektor ellentettjének tekintjük az adott vektorral azonos nagyságú, mértékegységű, irányú, de vele ellentétes irányítású vektort. Ezt jelöli, illetve jelenti a negatív előjel Példaként említhető

valamely erő, illetve ennek az erőnek a hatására keletkező reakció erő Ebben a konkrét példa-esetben a negatív előjel fizikai mondandója, hogy ez a reakció erő. A zérusvektor kezdő és végpontja egybeesik. Iránya határozatlan – bármely más vektorral egyező irányúnak vehető 4 I. Elméleti alapok A vektorokat, ebben a jegyzetben, sok esetben egy, kitűzött koordinátarendszerben értelmezett, koordinátás alakjukban használjuk. Egy, az origóból induló vektort az (I1) szerinti alakban írhatunk fel:  x T r =  y  , illetve r = [ x  z  y z] ; (I.1) A vektorok alapesetben oszlopvektorok (az (I.1) kifejezés bal oldala), sorvektort transzponálással kapunk (az (I.1) kifejezés jobb oldala) A transzponálást a jobb, felső indexbe írt „T ” betűvel jelöljük A vektorok összege a megfelelő koordinátáik összegzésével állítható elő  x1   x2   x1 + x2  r 1 =  y1  , r 2 =

 y2  , r1 + r 2 =  y1 + y2  ;  z1   z2   z1 + z2  (I.2) A vektorok esetében háromféle szorzást értelmezünk. Tekintsük elsőként a skalár vagy belső szorzatot – ez a sor-oszlop kombináció szabálya szerint számolható:  x1   x2  T   r 1 =  y1  , r 2 =  y2  , ⇒ r 1 r 2 = [ x1  z1   z2  y1  x2  z1 ]  y2  = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ;  z2  (I.3) A skalár vagy belső szorzat eredménye tehát egy, skalár szám (skalár mennyiség) – innen ered a szorzat nevének első verziója (skalár szorzat) is. Nyilvánvaló, hogy ez a T T szorzat kommutatív ( r1 r 2 = r 2 r1 ). Fontos észrevenni, hogy a skalár szorzás eredményeképpen elsőrendű (egyindexes) tenzorokból nullaindexes tenzort kapunk Tekintsük másodszorra a vektori szorzatot – ezt az általunk használt, derékszögű, Descartes féle (ortonormált)

koordinátarendszerben értelmezzük: i  x1   x2   r 1 =  y1  , r 2 =  y2  , ⇒ r 1 × r 2 =  x1  x2  z1   z2   j y1 y2 k   y1 z2 − y2 z1   z1  =  x2 z1 − x1 z2  ; z2   x1 y2 − x2 y1  (I.4) A vektori szorzatot tehát – az általunk tekintett esetben – egy determináns kifejtésével állíthatjuk elő. A determináns első sora rendre az „x”, az „y” és a „z” tengely irányába mutató egység vektor, a második sor az első szorzó tényező, a harmadik sor pedig a második szorzó tényező elemeit tartalmazza. Ez a szorzat az indexek számát változatlanul hagyja, vagyis az eredménye vektor (elsőrendű tenzor) – innen származik az elnevezése is. A vektori szorzat nem kommutatív, de fontos, hogy: r1 × r 2 = −r 2 × r1 5 I. Elméleti alapok Vektori szorzattal kell kiszámolni például egy „ r ” karon ható, „ F ”

erő (kötött vektor) nyomatékát. Hasson az erő a „P” pontban, illetve az origóra vonatkozó nyomatékát (kötött vektor) határozzuk meg; számoljunk a „TEST ” koordinátarendszerben: (I.5) M = r HR , P × F ; B B B A harmadik a diadikus vagy külső szorzat. Ezt, a belső szorzathoz hasonlóan soroszlop kombinációval állítjuk elő: r1  x1   r 2 = r r =  y1  [ x2  z1  T 1 2 y2  x1 x2 z2 ] =  y1 x2  z1 x2 x1 y2 y1 y2 z1 y2 x1 z2  y1 z2  ; z1 z2  (I.6) A diadikus szorzat nagyon fontos szerepet játszik például az áramlástanban. Ezen a módon számoljuk ki a derivált tenzort ([G3], 4. fejezet) Ezzel a szorzással elsőrendű tenzorokból eredményül másodrendű tenzort kapunk. A vektoroknál alkalmazott jelölések rendje, illetve rendszere a „Jelölésjegyzék” bevezető részében olvasható. Itt csak egy példát mutatunk be: a „TEST ” koordinátarendszerB beli koordinátáival

megadott, a „HR” és a „P” pontot összekötő HRP vektort: B r HR , P  xPB    B ,T =  yPB  , illetve r HR , P =  xPB  z PB    yPB z PB  ; (I.7) I.1 Deriválás a forgó rendszerekben Tekintsünk egy (I.1) szerinti vektort, tetszőleges koordinátarendszerben – vagyis az r vektor komponensei a szóban forgó rendszerben legyenek adottak. Ezek a komponensek lehetnek az idő függvényei ( x = x ( t ) , y = y ( t ) és z = z ( t ) ). Amennyiben ezek a függvények az idő szerint differenciálhatók, akkor az r vektor idő szerinti differenciálhányadosán a következőt értjük:  xɺ  d dx dy dz r = rɺ =  yɺ  , itt: xɺ = , yɺ = és zɺ = ; dt dt dt dt  zɺ  (I.8) Nyilvánvaló, hogy egy vektornak a komponensei (összetevői) más-más koordinátarendszerben mások lesznek – az idő szerinti deriválás eredménye tehát függ a kiválasztott koordinátarendszertől. A helyvektor első

deriváltja a kiválasztott koordinátarendszerbeli, a rendszer kezdőpontjához viszonyított sebességet, a második derivált pedig ugyanebben a rendszerben, a rendszer kezdőpontjához viszonyított gyorsulást adja. Ez 6 I. Elméleti alapok matematikailag nem okoz problémát. Fizikai szempontból azonban, a megmaradási elvek alkalmazásához az inercia rendszerbeli (I5 ábra: „FÖLD” koordinátarendszer) sebességre, illetve gyorsulásra valamint perdültet-változásra van szükség Az egyes vektorokat ugyanakkor a leggyakrabban a „TEST ” vagy a „LAPÁT” (I5 illetve [G8]-ban a III.6 ábra) koordinátarendszerben adjuk meg – ezek nem inercia rendszerek Szükség lesz tehát egy eljárásra, amellyel az így megadott vektorok „FÖLD” rendszerbeli, idő szerinti deriváltját számítani tudjuk. Tekintsünk egy, tetszőleges („EEEG G Y K GY YIIIK K”) koordinátarendszerben adott r vektort. Legyen ennek a rendszernek egy másik („M M Á K MÁ ÁSSSIIIK

K”) rendszerhez viszonyított szögsebessége ω . A „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerbeli, idő szerinti deriváltat (I.8 baloldala) Coriolis tétele szerint számítjuk: dr dt = δ r δ t + ω × r ; (I.9) Hangsúlyozzuk, hogy az (I.9)-ben szereplő r és ω vektor egyaránt az „EEEG G Y K GY YIIIK K” rendszerben értelmezett összetevőkkel van felírva. Azért fontos ez, mert vektorok közötti relációkat, illetve műveleteket azonos koordinátarendszerben kell és lehet értelmezni Az (I.9) kifejezésben, a baloldalon tehát a „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerbeli, idő szerinti derivált ( d r dt ) áll, rögtön az egyenlőségjel után pedig az „EEEG G Y K GY YIIIK K” rendszerbeli, idő szerinti derivált ( δ r δ t ) látható. A jobboldal második tagja a forgás miatti megváltozást határozza meg Ez eddig matematikai értelmezés – a fizikai, mechanikai értelmezésre hamarosan egy példa keretében térünk ki. Az (I.9) kifejezés

általánosítása az (I10) operátor, ez rendkívül fontos összefüggés, amellyel egy „EEEG Y K G K” rendszerben adott vektor – például a helyvektor, a sebesség vektor GY YIIIK vagy a perdület vektor – „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerbeli, idő szerinti deriváltja számolható ki: d ( dt )= δ ( δt ) +ω ×( ); (I.10) A fizikai szempontok szerint számunkra az „EEEG G Y K GY YIIIK K” koordinátarendszer gyakran a „TEST ” (vagy a „LAPÁT”) koordinátarendszer, a „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” pedig a „FÖLD” koordinátarendszer (I.5 illetve [G8]-ban III6 ábra) lesz Mint már leírtuk: a fizikai megmaradási elveket inercia rendszerben kell vizsgálni – ilyen, inercia rendszernek tekintjük mi a „FÖLD” koordinátarendszert. Ugyanakkor dolgozni például a „TEST ” (vagy a „LAPÁT”) koordinátarendszerben fogunk, ezek ugyan nem inercia rendszerek, de ezekben a rendszerekben jelentősen egyszerűbb tárgyalás lehetséges. Az

inercia rendszerben érvényes, idő szerinti derivált kiszámítását pedig (I.10) teszi lehetővé Az inercia rendszerekben a magára hagyott test megtartja az eredeti mozgásállapotát (nyugalmi állapotát vagy egyenletes sebességét) – a nem inercia rendszerekben ez nem teljesül. Ebben a munkában, nem inercia rendszerként forgó és gyorsuló rendszer fordul elő. Az idő szerinti differenciálás szempontjából a forgó rendszerekkel kell külön foglakoznunk A gyorsuló rendszerek sebessége, illetve gyorsulása szállító sebességként, illetve szállító gyorsulásként vehető figyelembe (I2 pont) 7 I. Elméleti alapok Az (I.10) operátor alkalmazására egy, egyszerű példát mutatunk be Ez csak egy példa, de, reményeink szerint jól szolgálja az értelmezést Tekintsük az I2 illetve I3 ábrán látható, igen egyszerű helyzetet. Legyen az ( x0 ; y0 ; z0 ) a „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” (az inercia) koordinátarendszer. Az ( x1; y1 ; z1 ) pedig

legyen az „EEEG G Y K GY YIIIK K” rendszer. Az I2 ábráról látható, hogy az T 0,T 1,T „EEEG = ω szögsebességgel forog a „M G Y K M Á K GY YIIIK K” rendszer ω = [ 0,ψɺ , 0 ] = ω MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerhez képest. Az egyszerűség kedvéért legyen a szögsebesség állandó ( ω = állandó )! Illetve az is látható, hogy ez a szögsebesség vektor – itt speciálisan – mindkét rendszerben azonos összetevőkkel bír, hiszen éppen a forgástengelyt jelöli ki. A szögsebesség vektor tehát a forgatási mátrix (I.12 összefüggés) +1 sajátértékéhez tartozó sajátvektora! Az I.2 vagy I3 ábrán látható elforgatás (pl [G8] szerint): r = A1,0 r 1 0 és r = A1,0 r ; 0 T 1 (I.11) ahol a forgatás mátrixa:  cosψ A1,0 =  − sinψ  0 sinψ cosψ 0 0 0  ; 1  (I.12) Az egyszerűség kedvéért rögzítsük a „P” pontot az y1 tengelyen. Ekkor a HRP helyvektor az „EEEG G Y K M Á K GY YIIIK K” (1-es

indexű), illetve a „M MÁ ÁSSSIIIK K” (0-ás indexű) rendszerben (I.2 és I3 ábra): r 1 HR , P 0 =  y1P  ,    0  r HR , P = A0,1 r HR , P 0 T 1 cosψ =  sinψ   0 − sinψ 0   0   − y1P sinψ    0   y1P  =  y1P cosψ  ;    1   0   0  cosψ 0 (I.13) A példában az egyik célunk a „P” pont inerciarendszerbeli („M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszer) sebességének kiszámolása. Tegyük ezt az (I10) alkalmazásával: VP = 1 i j 0 0 y1P δ 1 1 1 r HR , P + ω × r HR , P = 0 + 0 δt k  − y1Pψɺ    ψɺ =  0  ; 0  0  (I.14) Az (I.14) eredményének helyessége az I2 vagy az I3 ábrára pillantva könnyen belátható: az inercia rendszerbeli megfigyelő látja az 1-es rendszerben mozdulatlan „P” pont forgás következtében létrejövő kerületi sebességét (koordinátarendszer megadása nél1 0

kül: V P , az „EEEG G Y K M Á K GY YIIIK K” rendszerben: V P és a „M MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerben: V P ). Abból, hogy a „P” pont az 1-es rendszerben mozdulatlan, a δ r HR , P δ t = 0 értékű derivált következik. 1 8 I. Elméleti alapok 0 Számoljuk ki, az r HR , P idő szerinti deriválásával a „P” pont sebességét a „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” (az inercia) rendszerben: VP = 0 d 0 r HR , P dt  − y1P sinψ   − y1P ψɺ cosψ  d     =  y1P cosψ  =  − y1P ψɺ sinψ  ; dt     0 0     (I.15) I.2 ábra: Példa elforgatás – koordinátarendszerek Az (I.15) eredménye is könnyen ellenőrizhető: az y1P ψɺ (sugár „szor” szögsebesség) pontosan a kerületi sebesség abszolút értéke – ez (negatív előjellel) már látható volt az (I.14)-ben Az I3 ábrán egyébként az I2 ábrán vázolt kép x − y síkba eső vetületét tüntettük fel ( a z0 = z1 tengely az ábra

síkjára merőleges, ezért nem látható) Az I3 ábrán látható a „HR” pontból a „P” pontba mutató helyvektor (koordinátarendszer megadása 1 0 nélkül: r HR , P , az „EEEG G Y K M Á K GY YIIIK K” rendszerben: r HR , P és a „M MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerben: r HR , P ), a „P” pont sebessége és a gyorsulása (koordinátarendszer megadása nélkül: a P , az „EEEG G Y K GY YIIIK K” rend1 0 szerben: a P és a „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerben: a P ). I.3 ábra: Példa elforgatás – hely-, sebesség- és gyorsulás-vektor 9 I. Elméleti alapok 0 Zárjuk be a „kört” – számoljuk át V P vektort az (I.11) segítségével az „EEEG G Y K GY YIIIK K” (1-es indexű) rendszerbe:  cosψ 1 0  V P = A0,1V P =  − sinψ  0 sinψ 0   − y1P ψɺ cosψ   − y1P ψɺ      0   − y1P ψɺ sinψ  =  0  ;   0  1   0    cosψ 0 (I.16) Vagyis

visszakaptuk az (I.14) szerinti eredményt Az (I10) alkalmazása tehát pontosan a fizikailag elvárt eredményre vezetett (illetve, természetesen a megfelelő forgatással egy-egy vektort át tudunk számolni az „EEEG G Y K M Á K GY YIIIK K” rendszerből a „M MÁ ÁSSSIIIK K” rendszerbe és viszont). Második célként határozzuk meg a példánkban adott „P” pont inerciarendszerbeli („M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszer) gyorsulását is. Ezt formálisan az alábbi módon írhatjuk fel: aP = d δ V P = V P + ω ×V P ; δt dt (I.17) Megjegyezzük, hogy a repülésmechanikában a repülőgépek haladó mozgását leíró vektor-egyenletben a gyorsulást igen gyakran (I.17) jobboldala szerint írják fel Végezzük el a konkrét számolást az „EEEG G Y K GY YIIIK K” (első, azaz 1-es indexű) rendszerben: δ 1 1 1 a = V P + ω ×V P = 0 + δt 1 P i k  0  0 ψɺ =  − y1Pψɺ 2  ; 0 0  0  j 0 − y1Pψɺ (I.18) 0 Ugyanezt a

gyorsulást kiszámolhatjuk az r HR , P idő szerinti deriválásával az álló (inercia, 0-ás indexű – ez a „M M Á K MÁ ÁSSSIIIK K” rendszer) rendszerben is:  − y1P ψɺ cosψ   y1P ψɺ 2 sinψ  d 0 d     0 a P = V P =  − y1P ψɺ sinψ  =  − y1P ψɺ 2 cosψ  ; dt dt     0 0     (I.19) Az (I.18) és az (I19) egyaránt a centripetális gyorsulást szolgáltatja – a megfelelő komponensek konkrét felírásában látható különbség nyilvánvalóan csak a különböző koordinátarendszerek miatt adódik. Ahogyan a sebességnél is tettük, az (I11) segítségével könnyen ellenőrizhetjük, hogy ugyanarról a gyorsulásvektorról beszélünk:  cosψ 1 0 a P = A0,1 a P =  − sinψ  0 sinψ cosψ 0 0   y1P ψɺ 2 sinψ   0    0   − y1P ψɺ 2 cosψ  =  − y1P ψɺ 2  ;   0  1   0  (I.20) A mi, egyszerű

példánkban a „P” pont egyenletes kerületi sebességű körmozgást végez. Ennek során a kerületi sebesség mindig érintőleges a körpályára – vagyis a mozgás folyamán biztosan megváltozik az iránya: mindig a középpont irányába törik. Innen 10 I. Elméleti alapok ered a középpont felé mutató, a sebesség irányváltozásából adódó, centripetális gyorsulás. Ahhoz, hogy a körmozgás fennmaradhasson, centripetális erőre van szükség A forgószárnyaknál a centripetális erőt általában valamely szerkezet – kényszer – hozza létre, ezt tehát kényszer-erőnek is nevezzük. E pont lezárásaként tekintsünk ismét egy, (I.1) szerinti vektort, tetszőleges koordinátarendszerben – vagyis az r vektor komponensei a szóban forgó rendszerben legyenek adottak. (A tetszőleges koordinátarendszert illetően, a választott témakörnek megfelelően, célszerűen konkrétan például a „TEST ” koordinátarendszerre gondolhatunk) Tegyük

fel, hogy a komponensek az idő szerint kétszer differenciálhatók Számítsuk ki a gyorsulást (I.10) kétszeri alkalmazásával Első lépésben az (I9) szerinti eredményt kapjuk: V= d δ r = r +ω ×r ; δt dt (I.9’) Alkalmazzuk (I.9’)-re az (I10) operátort még egyszer: a= δ δ  δ   r +ω ×r  +ω × r +ω ×r ; δt  δt  δt  (I.21) Végezzük el a kijelölt műveleteket, illetve vonjunk össze: a= δ2 δω δr r+ × r + 2ω × + ω × (ω × r ) ; 2 δt δt δt (I.22) Az (I.22) összefüggésben a jobboldal első tagja a választott koordinátarendszerben, az origóhoz viszonyított gyorsulás. A jobboldal második tagja a szöggyorsulásból (szöggyorsulás = a szögsebesség idő szerinti deriváltja) származó gyorsulás A jobboldal harmadik tagja a Coriolis gyorsulás A jobboldal negyedik tagja pedig a centripetális gyorsulás Megjegezzük, hogy Coriolis gyorsulás csak akkor lép fel, ha van az origóhoz

viszonyított sebesség ( δ r δ t ≠ 0 ), illetve, ha ez a sebesség nem párhuzamos a szögsebességgel. A repülésmechanikában gyakran vizsgálunk merevnek feltételezett testeket, a hozzájuk mereven rögzített koordinátarendszerekben (pl. „TEST ” vagy „LAPÁT” rendszer) Ebben az esetben, a merev testek pontjainak a koordinátarendszer origójához viszonyított sebessége azonosan nulla, ezért itt Coriolis gyorsulás nem léphet fel! Számítsuk ki a példa szerinti centripetális gyorsulást az (I.22) utolsó tagja szerint Válasszuk a példában „EEEG G Y K GY YIIIK K”-nek nevezett rendszert: i j ω × r HR , P = 0 0 y1P 1 1 0 k  − y1Pψɺ    ψɺ =  0  , ⇒ 0  0  11 I. Elméleti alapok ( a =ω × ω ×r 1 P 1 1 1 HR , P )= i 0 − y1Pψɺ k  0  0 ψɺ =  − y1Pψɺ 2  ; 0 0  0  j Ez pedig pontosan az (I.18)-ban kapott eredmény! I.2 Abszolút = szállító + relatív

Tekintsük az I.4 ábrán feltüntetett három – elvileg – tetszőleges pontot és az ezek által kijelölt három vektort. Nyomatékosan felhívjuk a figyelmet, hogy az I4 ábrán nincs koordinátarendszer: az ábra alapján kimondott állítások tehát koordinátarendszertől függetlenül lesznek igazak! A későbbiekben egyébként látható lesz, hogy az „O” és a „HR” pont koordinátarendszerek kezdőpontja (I.5 ábra), vagyis a pontok választása elvileg tetszőleges, gyakorlatilag viszont célszerű módon történt I.4 ábra: Abszolút, szállító és relatív elmozdulás (helyvektor) Az „O” pontból egy, tetszőleges „P” pontba – az I.4 ábra szerint – két úton juthatunk el. Az egyik lehetőséget az r O , P , közvetlen, a két pontot összekötő egyenes alkotta vektor jelenti. Nevezzük ezt abszolút helyvektornak Másik lehetséges útnak válasszuk az „O” pontból a „HR” pontba történő, majd innen a „P” pontba történő

elmozdulást: r O , HR + r HR , P ; (I.23) Nevezzük az (I.23) kifejezés első tagját szállító, a második tagot pedig relatív helyvektornak Az elnevezést később indokoljuk meg 12 I. Elméleti alapok Az I.4 ábra alapján nyilvánvaló, hogy: r O , P = r O , HR + r HR , P ; (I.24) Az (I.24) kifejezés, illetve a fentiek alapján kimondhatjuk tehát, hogy az abszolút helyvektor egyenlő a szállító és a relatív helyvektor összegével, de ismét nyomatékosan hangsúlyozzuk, hogy az állítás koordinátarendszerektől függetlenül igaz. I.5 ábra: Abszolút, szállító és relatív elmozdulás (helyvektor) Az I.5 ábrán a [G8]-ban bevezetett, három koordinátarendszert tüntettünk fel A „FÖLD” koordinátarendszer kezdőpontja (origója – „O ” pont) számunkra nyugalomban van – ezt a koordinátarendszert mi inercia rendszernek tekintjük. Szerepel még az ábrán az „ELTOLT-FÖLD” és a „TEST ” koordinátarendszer, ezek kezdőpontja

a közös „HR” pont – az „ELTOLT-FÖLD” segéd koordinátarendszer segítségével értelmezzük a „TEST” koordinátarendszer, illetve ezzel az egész (forgószárnyas) repülőgép álló (inercia) rendszerhez viszonyított elfordulásait. A korábban bevezetett, „szállító” elnevezés arra utal, hogy a mozgó (itt a „TEST ”) koordinátarendszert a forgószárnyas repülőgéphez (pl. a törzsének valamely pontjához „HR” pont) rögzítjük; ezért ez a rendszer magával viszi a forgószárnyas repülőgép pontjait („szállítja azokat”). A „relatív” elnevezés pedig azt jelzi, hogy a kiválasztott pont a „HR” ponthoz viszonyítva hol helyezkedik el. Differenciáljuk az idő szerint az (I.24) tagjait – a differenciálás alatt az inercia rendszerbeli deriválást értünk: d d d r O , P ) = ( r O , HR ) + ( r HR , P ) ⇒ V P ,abszolút = V HR , szállító + V P ,relatív ; ( dt dt dt (I.25) Az (I.25) alapján kimondható, hogy az

abszolút sebesség a szállító és a relatív sebesség összegével egyenlő Ez az állítás koordinátarendszertől függetlenül igaz 13 I. Elméleti alapok Az (I.25)-ben kijelölt differenciálást tehát (I10) szerint kell elvégezni Legyen az ω B a „TEST ” koordinátarendszernek a „FÖLD” vagy az „ELTOLT-FÖLD” koordinátarendszerhez viszonyított szögsebessége (ez lesz a továbbiakban a forgószárnyas repülőgép törzsének a szögsebessége). Ekkor az abszolút sebességet a szállító és a relatív helyvektor (I.26)-ban bemutatott differenciálásával, illetve a szállító és a relatív sebesség összegzésével kapjuk: d r O , HR δ r O , HR = + ω B × r O , HR ; dt δt dr δr = HR , P = HR , P + ω B × r HR , P ; dt δt V HR , szállító = V P ,relatív (I.26) Differenciáljuk az idő szerint az (I.25) tagjait (ismét az inercia rendszerben érvényes, idő szerinti differenciálást alkalmazva): d d d V P ,abszolút ) = (V HR ,

szállító ) + (V P , relatív ) ; ( dt dt dt ⇒ a P ,abszolút = a HR , szállító + a P , relatív ; (I.27) Az (I.27) alapján kimondható, hogy az abszolút gyorsulás a szállító és a relatív gyorsulás összegével egyenlő Az (I27) bevezetésekor – a későbbi céljainknak megfelelően – konkrét koordinátarendszereket használtunk fel, de az állítás koordinátarendszertől függetlenül igaz. Részletezzük a szállító gyorsulást; számoljunk először a szállító sebesség első deriváltjával, másodszor pedig a szállító helyvektor második deriváltjával: δ V HR , szállító + ω B × V HR , szállító , vagy dt δt δr δ2 δωB = 2 r O , HR + × r O , HR + 2ω B × O , HR + ω B × (ω B × r O , HR ) ; δt δt δt a HR , szállító = a HR , szállító dV HR , szállító = (I.28) Az (I.28)-ban szereplő két kifejezés egyenértékű, attól függően választhatunk közülük, hogy a szállító sebességet vagy a szállító

helyvektort alkalmazzuk-e? A repülésmechanikában, merev repülőgép esetében gyakran alkalmazzák az (I.28) első sorának jobboldalán adott kifejezést Részletezzük a relatív gyorsulást; számoljunk először a relatív sebesség első deriváltjával, másodszor pedig a relatív helyvektor második deriváltjával: δ V P ,relatív + ω B × V P ,relatív , vagy dt δt δr δ2 δωB = 2 r HR , P + × r HR , P + 2ω B × HR , P + ω B × (ω B × r HR , P ) ; δt δt δt a P , relatív = a P , relatív dV P ,relatív = 14 (I.29) I. Elméleti alapok A fent kimondott állítások általánosan igazak ugyan, a konkrét számításokhoz azonban – a céljainknak megfelelően – konkrét koordinátarendszert, koordinátarendszereket választottunk. Fontos megjegyzés, hogy a különböző vektorokkal kapcsolatos műveletek (például az összeadás, szorzás, stb.) elvégzéséhez minden szóban forgó vektor összetevőit ugyanabban a koordinátarendszerben kell

megadni A vektorokkal kapcsolatban valóban csak a számunkra fontos ismereteket emeltük ki, a további, hatalmas ismeretanyag tekintetében a vonatkozó szakirodalom tanulmányozását ajánljuk! I.3 Néhány szó az erőkről Az általunk vizsgált területen az erőket legalább két test kölcsönhatásaként határozzuk meg – vagyis egy testre ható erő esetében mindig megtalálható legalább még egy, további test, amely testtel (vagy testekkel) való kölcsönhatás eredménye a vizsgált erő. Az erő lehet közelhatás eredménye: ebben az esetben a közvetlen fizikai érintkezés az a kölcsönhatás, ami az erőt kiváltja. A közvetlen kölcsönhatás eredménye lehet úgynevezett koncentrált, tehát elméletileg egy pontban – gyakorlatilag kicsi helyen – ható erő, illetve lehet megoszló erő. Példaként a koncentrált erőre, tekinthetünk egy rotorlapát csuklót (gépszerkezeti elemet), amely csukló (vagy egyéb kapcsolódó elem) a lapátot

„megfogja”, biztosítja a rotorlapát és a rotoragy közötti erőátadást. Közelható, megoszló erő lehet például valamely aërodinamikai erő – ebben az esetben ezt a megoszló erőhatást a rotorlapát körül áramló levegőrészecskék által keltett nyomó és csúsztató feszültségből származó erő jelenti. Megjegyzendő, hogy a további számításokban, ezeket a megoszló erőket sok esetben már összegzett (integrált) formában – így kapunk koncentrált erőket – használjuk fel. A távolható erő keletkezésekor a kölcsönható testek egymástól távolabb is elhelyezkedhetnek (de a közvetlen érintkezés sem kizárt, mindössze ez nem feltétele az erő keletkezésének). Számunkra a leglényegesebb távolható erő a súlyerő (másképpen gravitációs erő vagy a tömegvonzás ereje) Ez az erő mindig megoszló erő, jóllehet az esetek döntő hányadában a súlypontba (a súlypont számunkra azonos a tehetetlen tömegek alapján

meghatározott tömegközépponttal) koncentráljuk. Sok, fontos esetben azonban kiterjesztjük az erő fogalmát és a fenti erőfogalom mellett bevezetjük a fiktív tehetetlenségi erőket is. Ezzel – adott esetben – a vizsgálataink sokkal egyszerűbben végezhetők el. Ilyen fiktív tehetetlenségi erő lehet a gyorsulásból származó erő, az Euler erő, a Coriolis erő és a centrifugális erő Ezeket a fiktív tehetetlenségi erőket nem-inercia rendszerekben definiálhatjuk, illetve használhatjuk. 15 I. Elméleti alapok Csak bevezető jelleggel, egyetlen m tömegű tömegpontot tekintve határozzuk meg a fent felsorolt erőket. A gyorsulásból származó, fiktív tehetetlenségi erőt a F a = − m δ 2 r δ t 2 kifejezéssel definiáljuk. ( ) Az Euler erő a szöggyorsulás segítségével definiálható: F e = − m (δ ω δ t × r ) , változó szögsebességgel forgó rendszerben definiálható, illetve használható. A Coriolis erő F c = − m ( 2ω ×

δ r δ t ) akkor definiálható és használható, ha a neminercia rendszerben van a szögsebességgel nem párhuzamos sebesség. A sort a centrifugális erő kifejezésével zárjuk: F cf = − m ω × (ω × r )  . Érdemes végiggondolni egy egyszerű példát: tekintsünk egy vízszintes síkban, egyenletes szögsebességgel, madzagon forgatott tömeget. Álló, inercia rendszerből vizsgálva a kérdést azt mondhatjuk, hogy a tömeget a madzag által a tömegre gyakorolt centripetális erő kényszeríti körpályára. Illetve a tömeg a körpálya középpontja felé mutató, centripetális gyorsulással mozog Van tehát erőhatás, aminek eredményeképpen gyorsuló mozgást tapasztalunk A tömeghez kötött, vele együttmozgó, tehát forgó és gyorsuló, azaz nem inercia rendszerben viszont a tömeg nyugalomban van, a rá ható erők – ide kell érteni a fiktív tehetetlenségi erőket is – eredője nulla. Ez az erőegyensúly pedig úgy érhető el, ha a

centrifugális erőt is befoglaljuk a megfontolásainkba Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy ha elvágjuk a madzagot (tehát megszüntetjük a ténylegesen fellépő kényszer erőt), akkor a vizsgált tömeg a pillanatnyi helyzetének megfelelően, érintő irányban halad tovább, nem kezd el sugárirányban kifelé gyorsulni – vagyis, ezek szerint a centrifugális erő valóban fiktív erő! Mindezzel együtt, a fiktív erőket, illetve az adott esetben hozzájuk rendelt erőteret – például a potenciálos centrifugális erőteret – nagyon elterjedten használja az áramlástan, illetve az aërodinamika. Ezen az úton számos probléma megoldása lehetséges, amely problémákat inercia rendszerből vizsgálva, fiktív erők nélkül esetleg egyáltalán nem is tudnánk megoldani. Csak példaként említjük, hogy együttmozgó, nem inercia rendszer választással hidrostatikai problémára vezethető vissza sok, egyébként hidrodinamikai feladat. A fentiekben kifejtett,

kétféle szemlélet – a helyes utat követve – azonos eredményre vezet, azonban nyilvánvalóan egyértelműen rögzíteni kell, hogy mikor melyik szemléletet követjük, alkalmazzuk. Mi a merev testekre vonatkozó megfontolásainkban a mozgások leírását inercia rendszerre vezetjük vissza, ezért ezekbe a számításokba (pl I36, illetve I46 kifejezés), a külső erők és nyomatékaik közé a fiktív tehetetlenségi erőket és ezek nyomatékait bevenni tilos! 16 I. Elméleti alapok I.4 Mozgásegyenletek A merev testeknek legfeljebb hat szabadságfoka van. Három szabadságfokot jelent a három koordináta tengely irányába történő elmozdulás, és további három szabadságfokot jelent a három koordináta tengely körüli elfordulás. Az esetleges kényszerek ezen szabadságfokok számát csökkentik Például egy merevnek tekintett rotorlapát csapkodó mozgásának vizsgálatakor egyetlen, elfordulást tekintünk csak. Foglalkozzunk először a

mozgásmennyiség megmaradásának elvével. Tekintsük az m , véges nagyságú, de pontszerű tömeget és engedjük meg, hogy ez a tömeg – esetleg – az időben változzon, vagyis beszélhessünk az mɺ idő szerinti deriváltról. (Természetesen az mɺ értéke lehet nulla is – ez az állandó tömeg esete.) Valamely inercia rendszerhez képest legyen ennek a tömegpontnak a sebessége V . Akkor az mV – t a tömegpont mozgásmennyiségének (esetleg eleven erejének vagy lendületének) nevezzük. Tekintsük másrészről a szóban forgó tömegpontra ható külső eredő erőt ( F ), illetve hasson ez az erő ∆t ideig. Az F ∆t mennyiséget mi impulzusnak nevezzük Azt mondjuk, hogy a mozgásmennyiség megváltozásának forrása az impulzus, erre az alábbi, mérleg-egyenletet írhatjuk fel: ∆ ( mV ) = F ∆t ; (I.30) Az (I.30) vektor egyenlet, ez fizikai szempontból azt jelenti, hogy az impulzus – mint vektor – a mozgásmennyiség megváltozásának

nagyságát, irányát és irányítását is meghatározza! Osszuk el (I.30) mindkét oldalát ∆t – vel és végezzük el a lim ∆t 0 határátmenetet A szorzat-függvényekre vonatkozó differenciálási szabály szerint kapjuk, hogy: ɺ + ma = F ; mV (I.31) Az (I.31) egyenlet alapvető fontossággal bír például a rakétatechnikában, ahol a tömeg az időben nagyon jelentős mértékben változik. Ebből az egyenletből származtatható a nevezetes Ciolkovszkij képlet, amellyel a tömeg fogyásának függvényében határozható meg a vizsgált rakéta által elérhető sebesség. ɺ ) szerepe igen fontos például az aërodinamika „impulA baloldal első tagjának ( mV zus tétel”-nek nevezett integrál-egyenletében ([G3] 7. fejezet) Amennyiben a tömeg az időben nem változik ( mɺ = 0 ), akkor, eredményül Newton II. törvényét kapjuk. Megjegyezzük, hogy a tömeg ( m ), illetve a tömegváltozás sebessége ( mɺ ) koordinátarendszertől független

mennyiség! 17 I. Elméleti alapok A következőkben tekintsünk egy, sajátos merev testet. Engedjük meg ugyanis, hogy a tekintett test tömege az időben változhasson ( mɺ ≠ 0 ), illetve a súlypont (az általunk vizsgált területen a súlypont azonos a tömegközépponttal) helye ( r HR , SP ) is (a testhez rögzített koordinátarendszer origójához képest) változhasson ( rɺ HR , SP ≠ 0 ). Ebből következik, hogy a tehetetlenségi tenzor ( θ – 143 kifejezés) is változhat, azaz δθ δ t ≠ 0 Egy, kiterjedt merev test haladó mozgását a súlypontjának haladó mozgásának vizsgálatával végezhetjük. Írjuk fel a súlypont helyvektorát – ezt az I4 ábra szem előtt tartásával tehetjük meg, úgy, hogy a „P” tetszőleges pont helyett az „SP” súlypontot tekintjük (az abszolút helyvektor – baloldal – egyenlő a szállító és a relatív helyvektor összegével – jobboldal): r O , SP = r O , HR + r HR , SP ; (I.32) A súlypont

inerciarendszerbeli sebességének meghatározása érdekében deriváljuk (I.32)-t az idő szerint, alkalmazzuk az inerciarendszerbeli differenciálást ( d dt ): V SP ,abszolút = d r O ,SP d r O , HR d r HR , SP = + = V HR + V SP ; dt dt dt (I.33) Ezek szerint a súlypont inerciarendszerbeli, abszolút sebessége ( V SP ,abszolút ) a szállító sebesség ( V HR – a „TEST ” rendszer origójának, a – forgószárnyas – repülőgéphez kötött pont sebessége) és a relatív sebesség ( V SP – a súlypontnak a „TEST ” koordinátarendszer origójához viszonyított sebessége) összege. Az (I33)-ban alkalmazott indexben már – a rövidség kedvéért, illetve mert egyértelmű a felírás – nem szerepel a „relatív” szó. Legyen továbbra is a „TEST ” koordinátarendszernek a „FÖLD” vagy „ELTOLTFÖLD” koordinátarendszerhez viszonyított szögsebessége ω B . (Ebből a szempontból a „FÖLD” és az „ELTOLT-FÖLD” koordinátarendszer

ekvivalens, hiszen e két koordinátarendszer egymáshoz képest nem forog.) Az (I33)-beli relatív sebesség – a súlypont relatív helyvektorának és az (I10) összefüggés felhasználásával – részletesen is felírható Az (I.34) azért is fontos, mert lehetőséget ad a súlypont helyváltozási sebességének, azaz a ( δ r HR , SP δ t ) tagnak a figyelembe vételére: V SP ,abszolút = V HR + δ r HR , SP + ω B × r HR , SP ; δt (I.34) Számoljuk ki a súlypont abszolút gyorsulását is – vegyük figyelembe, hogy (I.27) szerint az abszolút gyorsulás a szállító és a relatív gyorsulás összege A szállító gyorsulást számoljuk (I.28) első sora, a szállító sebesség felhasználásával – így kapjuk (I35) első sorának jobboldalát A relatív gyorsulást számoljuk ki (I22) szerint – így kapjuk (I35) második sorát: δ V HR + ω B × V HR + δt δ 2 r HR , SP δ ω B δr + + × r HR , SP + 2ω B × HR , SP + ω B × (ω B × r HR , SP ) ; 2

δt δt δt a SP ,abszolút = 18 (I.35) I. Elméleti alapok A haladó mozgásokra vonatkozó, igen általános vektor differenciálegyenletet az eddig meghatározott mennyiségek (I.31)-be történő behelyettesítésével kapjuk: δr   mɺ  V HR + HR , SP + ω B × r HR , SP  + δt   2 δ V  δ r HR , SP δ ω B δ r HR , SP ω ω ω r 2 r + m  HR + ω B × V HR + + × + × + × × ( ) = HR , SP HR , SP B B B δ t2 δt δt  δt  =F; (I.36) Az (I.36)-ban, az első sorban, a tömeg idő szerinti deriváltja mellett ( mɺ ) szerepel a súlypont abszolút sebességének (I.34) szerinti kifejezése A második sorban a tömeget ( m ) a súlypont (I.35) szerinti abszolút gyorsulásával szorozzuk A harmadik sorban a testre ható, külső, eredő erő ( F ) áll. A repülésmechanikában leggyakrabban a „TEST ” koordinátarendszerben dolgozunk, ennek megfelelően, az (I.36) az alábbi módon írható fel:  B δ rB  B B mɺ  V HR +

HR , SP + ω B × r HR , SP  +   δt   B B B B  δ V HR  δ 2 r HR δ r HR δωB B B B B B B , SP , SP r 2 r +m  + ω B × V HR + + × + × + × × ω ω ω HR , SP HR , SP  = B B B δ t2 δt δt   δ t ( ) (I.37) =F ; B Az (I.36) vagy (I37) egyenlet megtalálható például [R1]-ben (ott az 5 számú kifejezés) Az (I.36) vagy (I37) vektor differenciálegyenlet, tehát három skalár differenciálegyenletből áll A (forgószárnyas) repülőgép haladó mozgását meghatározó szállító sebesség B ( V HR ) három komponensének számítása az idő szerinti integrálással lehetséges, de a B számításhoz meg kell adni a súlypont helyzetét jellemző vektor ( r HR , SP ) konkrét változásának módját (az idő függvényében). A (forgószárnyas) repülőgép forgó mozgását jelB lemző szögsebességet ( ω B ) később, a perdület megmaradás elve alapján felírt, mérleg B egyenletből számoljuk. A (forgószárnyas)

repülőgépre ható F – külső eredő erő – szintén meghatározandó; ide számítandó például a súlyerő és az aërodinamikai erő Az (I.37) egyenletet több esetben is egyszerűbb alakban alkalmazzuk Bár a (forgószárnyas) repülőgép tömege valamilyen mértékben mindig változik, (egy, korszerű utasszállító repülőgép felszálló tömegének például akár 35%-a is lehet üzemanyag, amit a repülő a repülése során elfogyaszt) mégis, nagyon sok esetben eltekintünk ennek a változásnak a figyelembe vételétől. Tegyük fel tehát, hogy mɺ = 0 , akkor: δ V B δ 2 r BHR , SP δ ω BB δ r BHR , SP B B B B B B ω + × + × + ω B × ω B × r HR , SP 2 m  HR + ω B × V HR + r HR , SP B 2 δt δt δt  δ t ( =F ; B 19  ) =  (I.38) I. Elméleti alapok A következő egyszerűsítésként tegyük fel, hogy az mɺ = 0 feltétel mellett a súlypont B 2, B helye sem változik ( δ r HR , SP δ t = 0 és δ r HR , SP δ t 2

= 0 ), akkor: B δ V B  δωB B B B B B B × r HR , SP + ω B × ω B × r HR , SP  = F ; m  HR + ω B × V HR + δ δ t t   ( ) (I.39) Ez utóbbi esetben (állandó tömeg és rögzített súlypont helyzet) igen gyakran helyezzük a „TEST ” koordinátarendszer origóját a súlypontba, emiatt pedig r HR , SP = 0 – ezzel B a repülésmechanikában, a haladó mozgások leírására leggyakrabban használatos egyenlethez jutunk:  δ V BHR B B  B + ω B × V HR  = F ; m  δt  (I.40) Foglalkozzunk másodszor a perdület megmaradásának elvével. Tekintsük I6 ábrán vázolt merev testet, illetve tekintsük e test „P” pontjait. A pontokban dm tömeg helyezkedik el I.6 ábra: Merev test – (forgószárnyas) repülőgép Határozzuk meg a „T ” merev test tehetetlenségi nyomatékait. Legyenek a dm tömegpont „TEST ” koordinátarendszerben elfoglalt helyét meghatározó koordinátái rendre xPB , yPB és z PB Az egyes

tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat a teljes „T” testre kiterjesztett integrálással számoljuk ki: 2 2 2 2 θ xB = ∫ ( yPB ) + ( z PB )  dm ≅ ∑ ( yPB,i ) + ( z PB,i )  ∆mi ;    i  T 2 2 2 2 θ yB = ∫ ( xPB ) + ( zPB )  dm ≅ ∑ ( xPB,i ) + ( z PB,i )  ∆mi ;    i  T 2 2 2 2 θ zB = ∫ ( xPB ) + ( yPB )  dm ≅ ∑ ( xPB,i ) + ( yPB,i )  ∆mi ;    i  T 20 (I.41) I. Elméleti alapok A tehetetlenségi nyomatékokat a gyakorlatban résztömegekre bontással szokás meghatározni. Legyen egy-egy, célszerűen megválasztott résztömeg ( ∆mi ) súlypontjának (tömegközéppontjának) helyét meghatározó koordináta hármas: (x B P ,i , yPB,i , z PB,i ) . Az (I41) kifejezésben az elméleti meghatározási mód mellett, a jobboldalakon megadtuk a gyakorlati számításra szolgáló képleteket is. Az összegzést –

nyilvánvalóan – a testet alkotó összes résztömegre ki kell terjeszteni. Határozzuk meg a „T ” merev test deviációs nyomatékait is. Az egyes tengely-párokra vonatkozó deviációs nyomatékokat a teljes „T ” testre kiterjesztett integrálással számoljuk ki: DxyB = ∫ ( xPB yPB ) dm = DyxB ⇒ DxyB = DyxB ≅ ∑ xPB,i yPB,i ∆mi ; i T DxzB = ∫ ( xPB z PB ) dm = DzxB ⇒ DxzB = DzxB ≅ ∑ xPB,i z PB,i ∆mi ; DyzB = ∫ ( yPB z PB ) dm = DzyB (I.42) i T ⇒ DyzB = DzyB ≅ ∑ yPB,i z PB,i ∆mi ; i T Az (I.42) kifejezésben, az (I41)-hez hasonlóan, a jobboldalakon a deviációs nyomatékok gyakorlati számolási módját adtuk meg A tehetetlenségi és deviációs nyomatékokat összegyűjtve felírható a „T ” merev test tehetetlenségi tenzora (mátrixos alakban):  θ xB  B θ =  − DyxB  − DzxB  − DxyB θ yB −D B zy − DxzB   − DyzB  ; θ zB  (I.43) A tehetetlenségi tenzor mátrixa – az

(I.42) egyenletből következően – szimmetrikus Ezért van három, valós sajátértéke és ehhez tartozik három sajátvektor. Ezek a sajátvektorok jelölik ki a tehetetlenségi főirányokat: amennyiben az így választott (új) koordinátarendszer tengelyeit ezekben az irányokban vesszük fel, akkor, ebben az (új) rendszerben a deviációs nyomatékok értéke nulla lesz Ezzel a tehetetlenségi tenzor mátrixa diagonális mátrix lesz (csak a főátlójában lesznek nullától különböző elemek) Amennyiben valamely tengely-pár ( xy, yz , xz ) a „T ” test szimmetria síkja, akkor a szimmetria síkra merőleges tengelyt tartalmazó tengely-párokra számolt deviációs nyomaték eleve nulla. (Legyen például az I6 ábra szerinti, yB z B szimmetria sík – ekkor a Dxy = Dyx = 0 és a Dxz = Dzx = 0 , mert minden + xB koordinátájú tömegpontnak van − xB koordinátájú párja.) Ezért, ha csak mód van rá, a „TEST ” koordinátarendszer yB z B síkját

szimmetria síkként vesszük fel – ekkor, az xB megfelelő választásával elérhető, hogy a „TEST ” koordinátarendszer tengelyei egyúttal főtehetetlenségi tengelyek is legyenek. Definiáljuk a perdületet a „TEST ” koordinátarendszerben – ez vektor (egyindexes tenzor) mennyiség – a tehetetlenségi nyomaték másodrendű (kétindexes) tenzorának és a szögsebesség vektorának (egyindexes tenzor) szorzata: 21 I. Elméleti alapok π = θ ωB ; B B (I.44) B A perdület – definíciója szerint – hasonló a mozgásmennyiséghez (lendület, eleven erő), a tömeggel a tehetetlenségi tenzor, a sebességgel a szögsebesség állítható párba. Fontos különbség viszont, hogy amíg a tömeg a koordinátarendszerektől független, addig a tehetetlenségi tenzor csak valamely, kiválasztott koordinátarendszerben értelmezhető. Számítsuk ki az általában gyorsuló és forgó „TEST ” koordinátarendszerben a fiktív tehetetlenségi erőt, (I.31)

szerint (itt, m és mɺ mellett, természetesen, csak a koordinátarendszer jellemzői, azaz a „szállító” mennyiségek szerepelnek) Azt, hogy ez fiktív tehetetlenségi erő, a negatív előjel mutatja: F B tehetelenségi  δ V BHR B B  B = − + ω B × V HR  m − V HR mɺ ;  δt  (I.45) A perdület megmaradási elv értelmében a perdületváltozás forrása az (I.45) szerinti, fiktív tehetetlenségi erő súlypontra vonatkozó nyomatékával korrigált, az origóra vonatkozó, eredő külső nyomaték (I.46 kifejezés jobb oldala) Deriváljuk tehát a perdületet (I.10) szerint, illetve írjuk fel a perdületváltozásra vonatkozó mérleg egyenletet, a „TEST” koordinátarendszerben: B δθ B B B δωB B B B ωB +θ + ωB × θ ωB = δt δt ( =M B HR −r B HR , SP )  δ V BHR  B B  B ×  + ω B × V HR  m + V HR mɺ    δ t  (I.46) Az (I.46) első sora tehát az (I44) kifejezés [(I10)

felhasználásával] idő szerinti deriváltja, figyelembe véve, hogy a tehetetlenségi tenzor az időben változhat A második sor első helyén a „HR” pontra (ez a pont az origó) ható, eredő külső nyomaték áll, ezt követi a koordinátarendszerben fellépő fiktív tehetetlenségi erő (I.45 kifejezés) súlypontra vonatkozó nyomatéka – ezzel térünk vissza az inercia rendszerhez Ez az egyenlet megtalálható [R1]-ben, ahol a 6-os számot viseli Az (I.46) egyenlet, együtt az (I37) egyenlettel – mindkét egyenlet három-három skalár differenciálegyenletből álló vektor differenciálegyenlet – alkalmas az általunk tekintett, sajátos merev test általános, tehát hat szabadságfokú, térbeli mozgásának leírására. Az (I.37) egyenletrendszerből közvetlenül a sebesség komponensek, közvetve az elmozdulások, az (I46) egyenletrendszerből pedig közvetlenül a szögsebesség komponensek, közvetve pedig az elfordulások határozhatók meg Léteznek

repülő eszközök, melyeket súlypont áthelyezéssel kormányoznak (például a sárkányrepülők). Ezek mozgásának vizsgálatát teszi lehetővé az (I37) és (I46), jóllehet a konkrét vizsgálat meglehetősen munkaigényes! Konkrétan a sárkányrepülők esetében az 22 I. Elméleti alapok [R3] mutat be egy, igen érdekes utat – ebben a munkában a mű Szerzője két, összekapcsolt, együttmozgó testet vizsgál. Ez a munka rámutat egy olyan továbblépési lehetőségre, ami szerint a sajátos merev test helyett (kényszerekkel) összekapcsolt, együttmozgó résztömegek rendszere vizsgálható, amely módon a repülőgép tényleges működése, adott esetben pontosabban modellezhető. A repülésmechanikában vizsgált problémák esetében igen gyakran tesszük fel, hogy a tömeg és ezzel valamint megfelelően választott koordinátarendszerrel (pl. „TEST ”) a tehetetlenségi tenzor is, az időben változatlan, tehát a megfelelő deriváltak értéke

nulla Ekkor: θ  δ V HR δωB B B B B B B B  + ω B × θ ω B = M HR − r HR , SP ×  + ω B × V HR  m ; δt  δt  B B ( ) B (I.47) Az (I.47) vektor differenciálegyenlet alapján például a merevnek feltételezett rotorlapátok csapkodó és matató mozgását leíró egyenleteit írjuk majd fel. A rotorlapátok mozgásegyenleteit nem a „TEST”, hanem a „LAPÁT” koordinátarendszerben (ez a koordinátarendszer a III. pont elején, a [G8] – III6 megismételt ábráján látható) írjuk fel, ekkor figyelni kell arra, hogy az egész egyenletet az aktuális koordinátarendszerben kell felírni, illetve az (I.47) kifejezés jobboldalán, a zárójelbe az aktuális koordinátarendszer origójának gyorsulását kell beírni! Állandó tömeg és rögzített súlypont helyzet esetében igen gyakran helyezzük a B „TEST” koordinátarendszer origóját a súlypontba, emiatt pedig r HRSP = 0 – ezzel a repülésmechanikában, a forgó mozgások

leírására leggyakrabban használatos egyenlethez jutunk: δ ω BB B B B B θ + ω B × θ ω B = M HR ; δt B ( ) (I.48) Az eddig tárgyalt mozgásegyenletekkel kapcsolatban rengeteg probléma, elvégzendő munka merül fel – ezek leküzdése, megoldása igen komoly feladat. Nem szabad azonban megfeledkezni arról a további, igen érdekes és összetett problémakörről, ami szerint az általunk vizsgált testek (repülőgép, helikopter, rotorlapát stb.) a legkevésbé sem merevek, hanem többnyire rugalmasak, esetleg hajlékonyak Ezzel kapcsolatban itt [G1]-re, illetőleg az ottani irodalomjegyzékben található szakirodalmi művekre hívjuk fel a figyelmet! 23 II. Bevezető példa Nyomatékosan felhívjuk a figyelmet arra, hogy a következők megértéséhez szükségesek a [G2]-ben és [G8]-ban foglalt ismeretek. Ebben, a bevezető fejezetben a [G2] III1 pontjában vizsgált, hintás rotoragy ([G2] - III1 illetve III2 ábra) működéséről – pontosan a

csapkodó mozgásról – mutatunk be egy, jelentősen leegyszerűsített példát. A példában konkrétan a [G2] - III.2 ábra szerinti elrendezést vizsgájuk, mert ebben az esetben mód van a beállítási szög kollektív és ciklikus szabályozására is. Illetve ez az elrendezés szokásos a helikoptereknél – ezek képesek a példában vizsgált lebegésre – a [G2] - III1 ábra szerinti hintás rotoragy típust az autogíróknál alkalmazzák, ezek pedig nem képesek lebegni. A [G2] - III2 ábrát – fontossága miatt – ide illesztettük: [G2] – III.2 ábra: Hintás rotoraggyal ellátott forgószárny szerkezeti vázlata A bevezető példában a [G2]-beli III.2 ábra szerinti elrendezést vizsgáljuk, de az egyszerűség kedvéért a merevnek feltételezett két rotorlapát egy-egy rövid ( ∆ xL = 01[ m] hosszúságú) szeletét tekintjük csak (II.1 ábra) Legyen a lapát hossztengelye maga az xL tengely, azaz legyen az alapkúp-szög értéke nulla (a

valóságban, legtöbbször van valamekkora alapkúp-szög). Helyezkedjenek el ezek a szeletek a jellemző sugárnál ( RJ = 2.8 [ m] ) A számítás elvileg tetszőleges további sugárra is kiterjeszthető, de, különösen a lapátvég felé figyelembe kellene venni a lapát körüli áramlás térbelisége miatti hatásokat! Itt, a példában, az egyszerűség kedvéért csak egyetlen sugárnál lévő rövid lapát-darab működését vizsgáljuk. 24 II. Bevezető példa A példában a „FŐROTOR”, a „FORGÓ” és a „LAPÁT” ([G8], III.5 ábra, [G8], III6 ábra, illetve II.1 ábra) koordinátarendszert alkalmazzuk Feltételezzük, hogy a szerkezet merev, ezért a matatási szög azonosan nulla ( δ L ≡ 0 ). A vizsgált kialakítás esetében a csapkodó csukló széthelyezésének az értéke nulla ( e = 0 ). Ezért az „MR” és az „LT ” pont (a két koordinátarendszer origója) egybeesik. Ez (is) látható a II1 ábrán: II.1 ábra: Bevezető példa –

elrendezés A II.1 ábrán látható „Főrotor-tengely”-re (ez a zMR tengely, amely a [G8]-beli definíció szerint azonos a z F tengellyel) merőleges síkban van az xMR − yMR és ugyanabban a merőleges síkban van az xF − yF tengely-pár is. A „FORGÓ” rendszer xF és yF tengelyének az xMR , illetve yMR tengelyhez viszonyított helyzetét jellemzi a ψ MR azimút szög MR ,T F ,T Ennek idő szerinti deriváltja a főrotor szögsebessége: Ω MR = Ω MR = [ 0 0 ψɺ MR ] = = [ 0 0 Ω MR ] – a bevezető példában ezt állandónak vesszük (értékét 50 [ r s ] -ra vá- lasztjuk). A [G2] - III.2 ábra szerinti elrendezést követve, legyen a bevezető példa rotormodellje a II1 ábrán látható két, rövid lapát-darab ( h = 02 [ m ] , profilja NACA 0012) A lapát-darabok a jellemző sugárnál ( RJ , ez általában a rotor sugarának 70%-a, értékét itt 2.8 [m]-re választjuk) helyezkednek el A lapát-darabokat – a II1 ábra szerint – az xL tengelyre

fűzzük fel. Ezzel, az egyszerűsített választással elérjük, hogy a lapátmodellünk súlypontja is az „MR=LT ” pontba essen Azt a lapát-darabot, amelyik a pozitív xL tengelyre illeszkedik, „1”-esnek, a vele átellenes lapát-darabot pedig „2”-esnek nevezzük. Mivel a modellünket tökéletesen merevnek választottuk, ezért a két lapátdarab csapkodási szöge csak az előjelében különbözik Illetve a csapkodási szög – a II1 ábra, illetve [G8], III.6 ábrája alapján a lecsapó „1”-es lapát-darab estén pozitív! Ez felel meg a tekintett koordinátarendszerekben érvényes, pozitív elfordulási iránynak. Ezek szerint a felcsapó lapát csapkodási szöge negatív! 25 II. Bevezető példa Legyen tehát a lapát-darab profilja a NACA0012-es, szimmetrikus profil. Régen, az első helikopterek építésekor igen gyakran alkalmazták ezt a profilt. A légerők számításához szükséges felhajtóerő és ellenállás tényezőt az MI

mellékletben foglaltak szerint határozzuk meg. A [G8]-beli definíció szerint, ha a matatási szög azonosan nulla ( δ L ≡ 0 ), akkor az yL tengely és az yF tengely egybe esik, illetve ez lesz a csapkodó csukló és ezzel a csapkodó mozgás tengelye is (II.1 ábra) A csapkodó mozgás tehát e két tengely körüli le-fel mozF ,T L ,T gás, forgás lesz. Így a csapkodó mozgás szögsebessége: ω csapkodás = ω csapkodás = 0 βɺL 0  A bevezető példában egyhelyben álló, azaz lebegő helikoptert tekintünk – ezért a fenti koordinátarendszerek origójának a sebessége és gyorsulása is – a szállító sebesség és a szállító gyorsulás – azonosan nulla. Ennek megfelelően a csapkodó mozgást az (I48) egyenlet, „LAPÁT” koordinátarendszer yL tengelyére vonatkozó komponens egyenlete alapján vizsgáljuk. Számoljuk át a főtengely szögsebességét [G8] (III27)-es összefüggése felhasználásával a „FORGÓ”-ból a „LAPÁT”

koordinátarendszerbe. A lapát eredő szögsebessége a főtengely és a csapkodás szögsebességének („LAPÁT” koordinátarendszerL ,T beli) összege: ω BL =  −Ω MR sin β L βɺL Ω MR cos β L  . Tekintsük továbbá a deviációs nyomatékokat nullának – azaz legyen a tehetetlenségi tenzor mátrixa diagonális: θ L = θ xL θ yL θ zL . Ezzel felírható (I48) példánkra vonatkozó alakja: L i j k   M LT  −Ω MR βɺL cos β L    ,x       L ɺɺ L Ω MR cos β L  =  M LT , y  ; θ y βL βɺL   +  −Ω MR sin β L L ɺ L ɺ   L     L  −Ω MR β L sin β L   −θ x Ω MR sin β L θ y β L θ z Ω MR cos β L   M LT , z  (II.1) A (II.1) jobboldalán az „LT ” pontra ható, eredő, külső nyomaték áll Ez a mi példánkban a légerő nyomatéka lesz Fejtsük ki a (II1) baloldalának második tagjában felírt vektori szorzatot, illetve tekintsük

csak a már említett, yL tengelyre vonatkozó komponens egyenletet: L θ yL βɺɺL + (θ zL − θ xL ) Ω 2MR sin β L cos β L = M LT ,y ; (II.2) L A (II.2) kifejezés jobb oldalán az origóra vonatkozó, eredő külső nyomaték ( M LT , y ) áll. Ez a légerők és a súlyerő MR = LT pontra (az origó) vonatkozó, eredő nyomatéka. Mivel az (I.48) mérleg egyenlet inercia rendszerre vonatkozik, ezért a külső nyomatékok közé – az I. fejezetben leírtak szerint – a fiktív centrifugális erő nyomatékát felvenni tilos! Vizsgáljuk meg ugyanakkor (II2) baloldalának második tagját Tegyük fel, hogy θ zL − θ xL ≅ θ yL és tekintsük a teljes lapátot (minkét lapát-darabot), akkor a csapkodás (csapkodó csukló) tengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: θ yL = 2mL xL2 (itt: xL = R j ). (Megjegyzés: a választott, egy – rövid! – lapát-darab tömege konkrétan, a számpéldában legyen mL = 0.25 [ kg ] ) Ezzel a baloldal második tagja, és

annak megfelelően átcsoportosított alakja: 26 II. Bevezető példa 2mL xL2 Ω 2MR sin β L cos β L =  mL ( xL cos β L ) Ω 2MR  ( 2 xL sin β L ) ; (II.3) A (II.3) jobboldalán, a szögletes zárójelben a nem inercia rendszerben értelmezhető, egy lapát-darabra ható, fiktív centrifugális erő áll. Egészen a jobboldalon, a kerek zárójelben pedig a fiktív centrifugális erők (erőpár) karja található Ez a szorzat tehát felfogható a fiktív centrifugális erők nyomatékának is A (II2) jobb oldalára képzelve ezt a tagot – a pozitivitás miatt szükséges negatív előjellel együtt – éppen a kérdéses nyomatékot kapnánk Innen már nyilvánvaló, hogy az általunk választott tárgyalásmódban (mozgásegyenletek inercia rendszerre visszavezetve) a fiktív centrifugális erő nyomatékával külön számolni valóban tilos! Az idő szerinti deriválást [G2]-ben visszavezettük az azimút szög (ψ MR ) szerinti deri- ( ) válásra

([G2] - III.11 és III12 összefüggés) Vezessük be továbbá a KθL = θ zL − θ xL / θ yL viszonyszámot (ennek értékét a szakirodalomban igen gyakran 1-nek veszik és ezért, mint szorzótényezőt fel sem tüntetik. Ezzel (II2) az alábbi formában írható: L L 2 β L′′ + KθL sin β L cos β L = M LT , y (θ y Ω MR ) ; (II.4) itt: 2 β L′′ = d 2 β L dψ MR és βɺɺL = Ω 2MR β L′′ ; A (II.4) egyenlet közönséges, másodrendű, nemlineáris differenciálegyenlet, melyből a csapkodási szög idő szerinti vagy az Ω MR = áll. esetben az ezzel ekvivalens azimút szög szerinti lefutása – az aërodinamikai nyomaték ismeretében – meghatározható. (A súlyerő nyomatékával nem számolunk, mivel az a szimmetria miatt eleve zérus lesz.) Megjegyzendő, hogy – amint azt később látni is fogjuk – az aërodinamikai nyomaték függvénye a csapkodási szögnek, a számítást ennek megfelelően kell felépíteni! A szakirodalomban (II.4)-et

általában tovább egyszerűsítik Feltéve, hogy a csapkodási szög értéke (viszonylag) kicsi, mondhatjuk, hogy sin β L ≈ β L , és cos β L ≈ 1 – ezzel: L L 2 β L′′ + KθL β L = M LT , y (θ y Ω MR ) ; (II.5) A (II.5), egyszerűsített alak közönséges, másodrendű, inhomogén, lineáris differenciálegyenlet – ez főként a zárt alakú megoldások meghatározására szolgál, jóllehet napjainkban a zárt alakú megoldások jelentősége csökken A bevezető példánkban összehasonlítjuk majd a nemlineáris és a lineáris differenciálegyenlet numerikus megoldását Ha feltesszük, hogy KθL ≅ 1 , akkor – „megfelelően” változó aërodinamikai nyomaték esetében – (II.5) rezonancia problémára vezet (a gerjesztés frekvenciája megegyezik a lapát-mozgás sajátfrekvenciájával). Ezért rendkívül fontos a megfelelő csillapítás – ez feltétlenül szükséges a lapátmozgás korlátosságához, azaz a rotor elfogadható

működéséhez 27 II. Bevezető példa A következő lépésben tisztázzuk az aërodinamikai számítás menetét. A számítást az áramlástan (aërodinamika) impulzus tételén, illetve a lapelem elméletén, illetve ezen elméletek egyesítésén alapuló összefüggésekkel végezzük. E témakörhöz, amennyiben erre a Tisztelt Olvasónak szüksége van, a [G1], a [G3], a [G4] és a [G5] tanulmányozását javasoljuk. Mindenekelőtt feltesszük, hogy a II1 ábrán látható lapátok körül kialakuló áramlást síkáramlásként (profil körüli áramlásként) vizsgálhatjuk. Az általunk feltételezett, közelítő áramlási viszonyokat a II2 ábrán tüntettük fel Feltesszük továbbá, hogy az e profilok körül kialakuló, időben változó áramlás kvázi-stacionáriusnak tekinthető. (A [G1] 13. oldalán található, dimenziótlan körfrekvencia „k ” számértéke a példában kisebb, mint 004, ezért jogos a kvázi-stacionáriusság feltételezése) Nem

vesszük figyelembe a kerületi indukált sebesség összetevőt, és a centrifugális erőtér áramlásra gyakorolt hatását sem Feltesszük, hogy a II2 ábrán feltüntetett minden „merőlegesség” és „párhuzamosság” teljesül – ezek között vannak a definíciójuk alapján teljesülő relációk, de például a csapkodási sebesség csak elég kis csapkodási szög esetén lesz merőleges a kerületi sebességre. A számításban alkalmazott, további feltételekről a későbbiek során szólunk. II.2 ábra: A lapátmetszetek működési viszonyai A II.2 ábra megfelel a II1 ábrán vázolt helyzetnek – ott az „1”-es lapát-darab éppen lecsap, ekkor – a definíció szerint – a csapkodási szög pozitív. Ezért itt a csapkodási sebesség ( v cs ), a tengelyirányú, változó indukált sebesség összetevővel ( viV ) ellentétesen, lefele mutat. Ebben az esetben (a lecsapó lapát) viszonylag nagy állásszög alakul ki A „2”-es lapát-darabnál a

csapkodási szög éppen −1 szerese az „1”-es lapát-darab csapkodási szögének, ezért itt a csapkodási sebesség ( v cs ), a tengelyirányú indukált sebesség összetevővel ( viV ) azonos irányban, felfele mutat. Ennek eredményeként – ahogyan az a II2 ábrán látható is – viszonylag kis állásszög alakul ki A lecsapó lapáton előálló viszonylag nagyobb állásszög és ezzel viszonylag nagyobb felhajtóerő fékezi a lecsapást, illetve a felcsapó lapáton előálló viszonylag kisebb állásszög és ezzel viszonylag kisebb felhajtóerő csökkenti a felcsapást. Így együtt a két olda- 28 II. Bevezető példa lon létrejövő légerő változás eredményezi azt az aërodinamikai csillapítást, amely csillapítás nélkül a lapátok csapkodó mozgása nem lenne korlátos. Tekintsük először a lapelem elmélet alapján felírható összefüggéseket. A felhajtóerő kifejezése: Lj = ρ W j2 cL , j ∆A, ahol: j = 1 vagy 2 és: ∆A = h

∆xL ; 2 továbbá (az „arctan2” a kétargumentumú árkusz tangens függvény!): (II.6) W j = U 2j + ( viV , j − v cs , j ) és ϕ j = arctan 2 ( viV , j − v cs , j ) , U j  ; 2 A felhajtóerő – természetesen – az azimút szög és az állásszög függvénye; a felhajtóerő és légellenállás tényezőt az M.I melléklet szerint határozzuk meg A légellenállás kifejezése: Dj = ρ 2 W j2 cD , j ∆A, ahol: j = 1 vagy 2 és: ∆A = h ∆xL ; (II.7) A számításban a Q j , forgást akadályozó erő összetevőt nem vesszük figyelembe (elhanyagoljuk), mivel ez közvetlenül nem befolyásolja a vizsgálni kívánt csapkodó mozgást. A T j emelő erőre viszont szükség van, ezt a II2 ábra alapján, a következő módon határozzuk meg: T j = L j cos ϕ j − D j sin ϕ j , ahol: j = 1 vagy 2 ; (II.8) II.3 ábra: Az impulzus tétel alkalmazása Az impulzus tétel szerinti számításban, a kvázi-stacioneritásnak megfelelően az impulzus

tétel gyorsulásos tagját ([G3], (7.7) kifejezés első egyenlőségjel után következő tagja) figyelmen kívül hagyjuk. Emiatt a következő számítások átmeneti állapotokra vo29 II. Bevezető példa natkozó része pontatlan lesz – például a beállítási szög változást késedelem nélkül követi az indukált sebesség és ezzel az emelő erő változása, a valóságban ez nyilván bizonyos késéssel következik csak be. A számításból tehát a valamilyen értelemben állandósult állapotokra vonatkozó eredményeket vizsgáljuk csak. Az állandósult állapotok közé soroljuk a későbbiekben bemutatandó, általánosított egyensúlyi helyzeteket is Az impulzus tétel szerinti számításban feltételezzük, hogy egy lapát-darab egy fél körszelet darabra (II.3 ábra) hat: A1 2 = π RJ ∆xL ; (II.9) Ezzel felírható az egy lapát-darabra ható erő, mint az indukált sebesség függvénye: 2 T j = mɺ 2viV , j = ( ρ π RJ ∆xL viV , j ) 2vi , j

= ρ A1 2 2viV ahol: j = 1 vagy 2 ; ,j, (II.10) A csapkodás tengelyére vonatkozó aërodinamikai nyomaték számítása a példában a két lapát-darab nyomatékának összegzésével állítható elő. A nyomatékot az " M = r × F " konvenció alapján számoljuk. Az „1”-es lapát-darabra ható nyomaték: L M LT 1, y = − xLT1 = − RJ T1 ; illetve a „2”-es lapát-darabra ható nyomaték: L M LT 2, y = − ( − xL ) T2 = RJ T2 ; végeredményben az eredő aërodinamikai nyomaték: L M LT , y = RJ ( T2 − T1 ) ; (II.11) Szükséges még a kormányzás hatását leíró összefüggés. A [G2] 48 oldalán írottak szerint: vizsgáljuk meg a [G2] - (III3) kifejezés által leírt vezérlést a [G2] - III2 ábrán vázolt, hintás rotoragy esetére. Itt ψ MK = 1800 és ψ CS = 2700 Továbbá, a korábban már leírtaknak megfelelően ψ S = 900 , δ = 00 , σ = 900 és e = 0 Ebben az esetben a rotorlapát beállítási szögét a lapát ψ MR azimút

szögénél (részben) meghatározó, kormányzásból származó kitérés ( p ), a [G2] - (III3) kifejezés kifejtésével, az alábbi alakot ölti: p (ψ MR ) = p0 + p1 cos (ψ MR + 900 − 1800 ) + p2 cos (ψ MR + 900 − 2700 ) = = p0 + p1 cos (ψ MR − 900 ) + p2 cos (ψ MR − 1800 ) = [G2] (III.4) = p0 + p1 sin (ψ MR ) − p2 cos (ψ MR ) ; Válasszuk a [G2] (III.7) összefüggésében szereplő, az elcsavarást jellemző szöget ( ϑ0 ( xL ) ) azonosan nullának, akkor a választott rotor-elrendezésre kapjuk, hogy: ϑ j (ψ MR , j ) = p0 f + p1 sin (ψ MR , j ) f − p2 cos (ψ MR , j ) f , j = 1 vagy 2 (II.12) Ezzel a példa numerikus vizsgálatához szükséges összefüggések rendelkezésre állnak. A következőkben a számolás menetét ismertetjük. 30 II. Bevezető példa II.1 A szimulációs modell – a számítógépi program ismertetése A [G2]-beli III.2 ábra szerinti rotor elrendezés vizsgálatára alkalmas matematikai modellt felépítettük

Mint már említettük, a szimulációban szereplő modell lapát-profiljának felhajtóerő és ellenállás tényezőjét az M.I mellékletben foglaltak szerint határozzuk meg A szimulációra egy, BASIC nyelven írott programot fejlesztettünk. A program a lehető legegyszerűbb, ezért az olyan esetekben, ahol különleges helyzetek fordulnak elő, nem alkalmazható! Nyilván lehetett volna tágabb körben alkalmazható programot is fejleszteni – de a jelen munkában kifejezetten a könnyen követhető számolás megvalósítása volt a célunk. A program részét képezik a fordító opciói (pl „#COMPILE EXE” stb), valamint a változók (és állandók) deklarációi (pl „LOCAL hwin AS DWORD” stb) – ezeket nem ismertetjük, mivel ez az általunk használt fejlesztő környezet sajátja Valójában a Tisztelt Érdeklődő számára a leghasznosabb, a követendő út az lenne, hogy az ismertetendő szimulációt saját maga is – az itt leírtak nyomán – kidogozza.

Ebben az esetben pedig ezeket a formai elemeket a kiválasztott, konkrét fejlesztő környezet határozza meg, amit tehát a fejlesztőnek kell megválasztani, meghatározni. Az általunk alkalmazott fejlesztő környezetben a számok pontosságának az alaptípusa az „EXTENDED” – ez 18 értékes jeggyel történő számolást jelent. A programban három szám-konstanst használtunk, ezek, rendre a π , és az ftr (fok-to-rad) illetve az rtf (rad-to-fok) váltó-számok: Pi = 3.141592653589793 : ftr=00174532925199433 : rtf=5729577951308232 A korábbiakban már ismertettük, itt összefoglaljuk a programban használt paraméterek elnevezését és számértékét: Megnevezés RJ .a programban ro=1.225 Rjell=2.8 .megjegyzés a levegő sűrűsége; a jellemző sugár; A1 2 Afel=Pi*Rjelldelta xL fél körív-darab felület; h ∆ xL hur=0.2 delta xL=0.1 a lapát-darab húrja; a lapát-darab szélessége Aegylpt Alpt=hur*delta xL egy lapát-darab vetületi felülete; mL

m egylpt=0.25 egy lapát-darab tömege; θ yL / 2 teta egylpt=1.96 KθL K teta=1 vagy 0.99 Ω MR Omega=50 a csapkodás tengelyére vonatkozó, egy lapát-darab tehetetlenségi nyomatéka; tehetetlenségi nyomatékok viszonyszáma (a változtatás hatását vizsgáljuk); a főtengely szögsebessége; U U=Rjell*Omega lapát-darab kerületi sebessége; ρ 31 II. Bevezető példa sw sw=2*teta egylptOmega *Omega (II.4) kifejezés jobb oldalán álló tört nevezője, számítási segédváltozó A számolás elindításához meg kell adni a kezdeti feltételeket: Megnevezés ψ MR ,1 .a programban psziMR 1=0 ψ MR ,2 psziMR 2=psziMR 1 + Pi ∆ψ MR pszilep=2*Pi/5000 βL betaL=0 β L′ betaLv=0 .megjegyzés az „1”-es lapát-darab induló helyzetét megadó azimút szög; a „2”-es lapát-darab induló helyzetét megadó azimút szög; az azimút szög szerinti lépésköz (0.072 [fok]; időben tekintve ~0.000025132 [s]); a csapkodási szög az

indulás pillanatában; a csapkodási szög azimút szög szerinti első deriváltja, az indulás pillanatában. A kezdeti feltételek azt az indulási helyzetet jellemzik, amikor – az indulás pillanatában – a csapkodási szög és annak azimút szög szerinti első deriváltja nulla. Megjegyzendő, hogy a csapkodási szög azimút szög szerinti első deriváltja, szorozva a szögsebességgel éppen a csapkodási szög idő szerinti deriváltját adja ([G2] - III11 és III12 összefüggés) Természetesen, adott esetben más kezdeti feltételek is választhatók A szimuláció kezdeti feltételeihez tartozik a kormánykitérést meghatározó három paraméter megadása. A programban – a rövidség kedvéért – a p0 / f paramétert „p0”-val, a p1 / f paramétert „p1”-gyel és a p2 / f paramétert „p2”-vel jelöltük: Megnevezés p0 / f .a programban p0=0.1 .megjegyzés a kollektív kormányzás paramétere; p1 / f p1=0 vagy 0.04 a magassági kormányzás

paramétere; p2 / f p2=0 vagy 0.04 a csűrőkormányzás paramétere; Válasszuk az elcsavarást jellemző szöget ( ϑ0 ( xL ) ) azonosan nullának. Akkor a vizsgált rotorelrendezés szerint, illetve a [G2] (III4) és (III7) összefüggésének megfelelően a „teta 1 = p0 + p1 * sin(pszi MR 1) – p2 cos(psziMR 1)” kifejezés az „1”-es lapátdarabra érvényes beállítási szöget adja – ez, nyilvánvalóan az azimút szög függvénye. Illetve a „teta 2 = p0 + p1 * sin(pszi MR 2) – p2 cos(psziMR 2)” kifejezés az „2”-es lapát-darabra) érvényes beállítási szöget adja – ez is az azimút szög függvénye. Csak a példa kedvéért legyen az f méret mondjuk 15 [cm]. Akkor 1 [fok] kollektív szög változást kb. 26 [mm]-es kormány-elmozdulással ( p0 ) érhetünk el 32 II. Bevezető példa A fenti táblázatba foglalt kormányzási paraméterek vagylagos értéke azt jelenti, hogy a konkrét számolásokban, a vizsgálni kíván helyzetnek

megfelelő értékek csoportját választjuk (csak például: a „p0=0.1, p1=0, p2=004” hármast a csűrőkormány kitérésének hatására bekövetkező lapátmozgás vizsgálatakor használjuk). Vezessünk be még egy, a fordulatok számát mutató változót (fordulat, 0 kezdeti értékkel) – ez azért hasznos, mert segíti a számolás vezérlését, illetve a kívánt eredmények kiíratását. II.1 Táblázat – a számítógépi program fő része DO IF i>5000 THEN p2=0.04 IF i>30000 THEN p2=0.0 vcs 1=Omega*betaLvRjell : vcs 2=-vcs 1 eps=10000 kezd: teta 1=p0+p1*SIN(psziMR 1)-p2COS(psziMR 1) fi 1=atn2(vi 1-vcs 1,U) : alfa PR1=teta 1-fi 1 CALL cfce(alfa PR1,cF,cE) : W 1=SQR(U*U+(vi 1-vcs 1)(vi 1-vcs 1)) Tero 1=ro*W 1W 1(cFCOS(fi 1)-cESIN(fi 1))Alpt/2 viu 1=SQR(Tero 1/(2*roAfel)) teta 2=p0+p1*SIN(psziMR 2)-p2COS(psziMR 2) fi 2=atn2(vi 2-vcs 2,U) : alfa PR2=teta 2-fi 2 CALL cfce(alfa PR2,cF,cE) : W 2=SQR(U*U+(vi 2-vcs 2)(vi 2-vcs 2)) Tero 2=ro*W 2W 2(cFCOS(fi

2)-cESIN(fi 2))Alpt/2 viu 2=SQR(Tero 2/(2*roAfel)) eps=ABS(vi 1-viu 1)+ABS(vi 2-viu 2) vi 1=(viu 1+vi 1)/2 : vi 2=(viu 2+vi 2)/2 IF eps>0.0001 THEN GOTO kezd MLTy=Rjell*(Tero 2-Tero 1) betaLvv=(MLTy/sw)-K teta*SIN(betaL)COS(betaL) REM betaLvv=(MLTy/sw)-K teta*betaL betaLv=betaLv+betaLvv*pszilep betaL=betaL+betaLv*pszilep psziMR 1=psziMR 1+pszilep : psziMR 2=psziMR 2+pszilep IF psziMR 1>(2*Pi) THEN psziMR 1=psziMR 1-(2Pi) : fordulat=fordulat+1 IF psziMR 2>(2*Pi) THEN psziMR 2=psziMR 2-(2Pi) IF (i MOD 5)=0 THEN PRINT #1, a teljes számolás eredményei IF fordulat>12 THEN PRINT #2, a 13. fordulat eredményei i=i+1 LOOP UNTIL fordulat>13 33 II. Bevezető példa Az előkészítő lépések megtétele után a tényleges számítást végző programot ismertetjük. A programlistát a II1 Táblázat tartalmazza Ezen a táblázaton belül látható egy, folytonos vonallal jelölt rész-táblázat, ebben az indukált sebesség számítását végző, belső ciklus

található. Ez, minden azimút szög szerinti lépésben – iterációval – mindkét lapátdarabra kiszámítja az aktuális indukált sebességet Az alkalmazott iterációs eljárás rendkívül egyszerű, éppen ezért megadhatók olyan bemenő paraméterek, amikor az eljárás nem lesz konvergens. A bemutató számolásokban ilyen, természetesen nem fordul elő, de önálló program fejlesztése esetén erre gondolni kell! A II.1 Táblázatban látható még egy, szaggatott vonallal jelölt rész-táblázat is: itt a szaggatott vonallal arra kívánjuk felhívni a figyelmet, hogy a sor elején álló „REM” cseréjével választhatunk a nemlineáris, illetve a lineáris eset numerikus szimulációja között. A számolás elve igen egyszerű: az azimút szöget léptetjük, és eközben a vizsgált folyamat kifejlődik. Az azimút szög növekedése egyértelmű kapcsolatban van az idő előrehaladásával: a számításban tehát a jól ismert, időlépés

(„time-marching”) technikát alkalmazzuk Állandósult eseteket elegendően sok azimút szög szerinti lépéssel, azaz elegendő számú körülfordulással, vagyis aszimptotikusan érhetünk el A következőkben soronkénti magyarázattal látjuk el a II.1 Táblázatban bemutatott, „program fő részét” DO Ez a fő ciklus kezdősora, illetve kezdő utasítása. IF i>5000 THEN p2=0.04 IF i>30000 THEN p2=0.0 Az üzemállapot beállítása. Ha program elején a p2=0 áll, akkor a csűrőkormány a 4999.-ik lépésig nincs kitérítve, és a 30001-ik lépéstől megint nincs kitérítve, azaz az 5000.-ik és a 30000-ik lépés között van kitérítés Ez a két sor tehát egy lépcső-függvény szerinti gerjesztést valósít meg. Ez a két sor a konkrét futtatások során, a vizsgált esetnek megfelelően változni fog – itt csak az egyik, lehetséges eset szerepel! vcs 1=Omega*betaLvRjell : vcs 2=-vcs 1 Itt történik a csapkodási sebesség számítása: v = Ω β

′ R = βɺ R és v = − v ; cs ,1 MR L j ( L j ) cs ,2 cs ,1 eps=10000 Innen kezdődik a belső ciklus, ez az iterációs korlát ( ε ) kezdeti értékének a beállítása. kezd: Ez a belső ciklus kezdetét megadó címke, ide lép vissza a számolás, ha a hiba nagyobb, mint a korlátérték. teta 1=p0+p1*SIN(psziMR 1)-p2COS(psziMR 1) Ez az „1”-es lapát-darab beállítási szögének meghatározása, a kormányzási paraméterek szerint, az azimút szög függvényében. fi 1=atn2(vi 1-vcs 1,U) Ez az „1”-es lapát-darabhoz rendelt sebességi sokszög jellemző szögének ( ϕ 1 ) meghatározása, a kétargumentumú árkusz tangens függvény segítségével (II.2 ábra, illetve a II.6 kifejezéshez tartozó, magyarázó összefüggés programbeli megfelelője) 34 II. Bevezető példa alfa PR1=teta 1-fi 1 Ez az „1”-es lapát-darab profil állásszögének ( α 1 ) meghatározása (II.2 ábra) CALL cfce(alfa PR1,cF,cE) Itt történik az I.

Mellékletben leírt, felhajtóerő és ellenállás tényező meghatározása W 1=SQR(U*U+(vi 1-vcs 1)(vi 1-vcs 1)) Itt az „1”-es lapát-darab abszolút sebességének meghatározása kerül sorra ( W1 , a II.2 ábra, illetve a II.6 kifejezéshez tartozó, magyarázó összefüggés szerint) Tero 1=ro*W 1W 1(cFCOS(fi 1)-cESIN(fi 1))Alpt/2 Ez az „1”-es lapát-darabon keletkező, T1 emelő erő meghatározása, a II.8 kifejezés szerint viu 1=SQR(Tero 1/(2*roAfel)) Ez az „1”-es lapát-darabon keletkező, a II.10 képletből kifejezett, „új” indukált sebesség ( vúj ,i ,1 ) meghatározása Ennek az eredménynek a kiszámításához szükség volt valamilyen (kezdeti, illetve korábbi) indukált sebesség értékre ( vi , j ), hiszen e táblázat 7 és 10. sorában ezt, a (kezdeti, illetve korábbi) értéket már felhasználtuk Az „1”-es lapát-darab jellemzőinek számolása itt (az azimút szög kivételével) befejeződik A következő sorban a „2”-es

lapát-darab jellemzőinek a számolása kezdődik teta 2=p0+p1*SIN(psziMR 2)-p2COS(psziMR 2) Ez a „2”-es lapát-darab beállítási szögének meghatározása, a kormányzási paraméterek szerint, az azimút szög függvényében. fi 2=atn2(vi 2-vcs 2,U) Ez a „2”-es lapát-darabhoz rendelt sebességi sokszög jellemző szögének ( ϕ 2 ) meghatározása, a kétargumentumú árkusz tangens függvény segítségével (II.2 ábra, illetve a II.6 kifejezéshez tartozó, magyarázó összefüggés) alfa PR2=teta 2-fi 2 Ez a „2”-es lapát-darab profil állásszögének ( α 2 ) meghatározása (II.2 ábra) CALL cfce(alfa PR2,cF,cE) Itt történik az I. Mellékletben leírt, felhajtóerő és ellenállás tényező meghatározása W 2=SQR(U*U+(vi 2-vcs 2)(vi 2-vcs 2)) Itt a „2”-es lapát-darab abszolút sebességének meghatározása kerül sorra ( W2 , a II.2 ábra, illetve a II.6 kifejezéshez tartozó, magyarázó összefüggés szerint) Tero 2=ro*W 2W 2(cFCOS(fi

2)-cESIN(fi 2))Alpt/2 Ez a „2”-es lapát-darabon keletkező, T2 emelő erő meghatározása, a II.8 kifejezés szerint viu 2=SQR(Tero 2/(2*roAfel)) Ez a „2”-es lapát-darabon keletkező, a II.10 képletből kifejezett, „új” indukált sebesség ( vúj ,i ,1 ) meghatározása. Ennek az eredménynek a kiszámításához szükség volt valamilyen (kezdeti, illetve korábbi) indukált sebesség értékre ( vi , j ), hiszen e táblázat 14 és 17. sorában ezt, a (kezdeti, illetve korábbi) értéket már felhasználtuk Itt a „2”-es lapátdarab jellemzőinek számolása is (az azimút szög kivételével) befejeződik 35 II. Bevezető példa eps=ABS(vi 1-viu 1)+ABS(vi 2-viu 2) Itt történik a hiba-kritérium számítása: összeadjuk a kezdeti és az új indukált sebességek mindkét lapát-darabra számolt különbségének abszolút értékét. vi 1=(viu 1+vi 1)/2 : vi 2=(viu 2+vi 2)/2 Ebben a lépésben beállítjuk, hogy a kezdeti indukált sebességek értéke

legyen egyenlő az újonnan számított és a kezdeti indukált sebességek számtani közepének értékével. Ez az általunk alkalmazott – igen egyszerű – iteráció kulcs lépése. Ez sok esetben működik és sok esetben nem működik Az itt ismertetett program, ha nincs konvergencia, akkor elméletileg végtelen ideig fut (nem áll le). Erre ügyelni kell, adott esetben szélesebb körben alkalmazható (általában összetettebb) iterációs módszert kell választani IF eps>0.0001 THEN GOTO kezd Ez a sor zárja a belső iterációs ciklust. Amennyiben a hiba-kritérium értéke nagyobb, mint az általunk (önkényesen) megadott küszöb érték, akkor a számolás az 5. sorban lévő, „kezd:” címkére ugrik vissza. A példaszámolásban a Cauchy konvergenciát, azaz a hiba-kritérium teljesülését általában igen gyorsan (néhány visszalépés után) elérjük. MLTy=Rjell*(Tero 2-Tero 1) Ez a sor a fő ciklushoz tartozik, végrehajtására akkor kerül sor,

amikor az aërodinamikai (belső) ciklus eredményesen lefutott. A II11 kifejezéssel meghatározott, a csapkodó csuklóra vonatkozó, aërodinamikai nyomatékot (az „1”-es és „2”-es lapát-darabon keletkező emelő erők nyomatékát) számoljuk itt. betaLvv=(MLTy/sw)-K teta*SIN(betaL)COS(betaL) Ez a II.4 másodrendű, közönséges, nemlineáris differenciálegyenlet, átrendezve úgy, hogy a csapkodási szög azimút szög szerinti második deriváltja áll a baloldalon – vagyis kifejeztük ezt a deriváltat. A szóban forgó differenciálegyenlet megoldását numerikus integrálással határozzuk meg REM betaLvv=(MLTy/sw)-K teta*betaL Ez a II.4 másodrendű, közönséges, de linearizált differenciálegyenlet, átrendezve úgy, hogy a csapkodási szög azimút szög szerinti második deriváltja áll a baloldalon – vagyis kifejeztük ezt a deriváltat. A számolásban a nemlineárisról a linearizált modell használatára a „REM” előző sor elejére történő

áthelyezésével válthatunk. betaLv=betaLv+betaLvv*pszilep A numerikus integrálást az Euler módszer szerint hajtjuk végre, azaz: β L′ (ψ MR + ∆ψ MR ) = β L′ (ψ MR ) + β L′′ (ψ MR ) ∆ψ MR . betaL=betaL+betaLv*pszilep A csapkodási szöget ismét az Euler módszer szerint határozzuk meg: β L (ψ MR + ∆ψ MR ) = β L (ψ MR ) + β L′ (ψ MR ) ∆ψ MR . 36 II. Bevezető példa psziMR 1=psziMR 1+pszilep : psziMR 2=psziMR 2+pszilep Ebben a lépésben az „1”-es és „2”-es lapát-darab helyzetét jellemző azimút szög értékét növeljük meg a választott azimút szög-lépéssel („pszilep”). Megjegyzendő, hogy az általunk választott lépés (0.072 fok) ∆t ≈ 0000025132 [ s ] időlépésnek felel meg Az Euler módszer igen egyszerű, de – adott esetben, a konvergencia érdekében – elegendően rövid időlépést kell választani. Ez a lépéshossz a példánkban elegendően rövidnek bizonyult Ezzel a számolás lényegi

részét megvalósítottuk Ezután néhány, kiegészítő lépés következik IF psziMR 1>(2*Pi) THEN psziMR 1=psziMR 1-(2Pi) : fordulat=fordulat+1 Az azimút szög értékét, egy, teljes fordulat megtétele után nyilvánvalóan célszerű 2π vel csökkenteni – az „1”-es lapát-darabra vonatkozóan ez történik meg itt, illetve egyúttal a fordulatok számát is megnöveljük eggyel. IF psziMR 2>(2*Pi) THEN psziMR 2=psziMR 2-(2Pi) Itt a „2”-es lapát-darab azimút szögét csökkentjük egy, teljes fordulat megtétele után 2π -vel. IF (i MOD 3)=0 THEN PRINT #1, a teljes számolás eredményei A programban a megtett lépések számlálására az „i” egész típusú változót használjuk. Mivel a választott feltételek mellett ez nagyon sok (70000) lépést jelent, azért a teljes számolás eredményeit csak minden 3. lépésben íratjuk ki egy eredmény-fájlba Ezt teszi lehetővé a „MOD” (moduló függvény; a feltétel igaz, ha „i” maradék

nélkül osztható hárommal) alkalmazása IF fordulat>12 THEN PRINT #2, a 13. fordulat eredményei Ez az utasítás írja ki a tizenharmadik fordulat számítási eredményeit. A rotor-modell működése az előzetes vizsgálataink szerint három-négy fordulat után állandósul – ezért megfelelő (illetve elegendően biztonságos), hogy egy-egy állandósult (kialakult) állapotot tizenkét fordulat megtétele után, a tizenharmadik fordulat eredményeinek felhasználásával vizsgáljunk. i=i+1 Itt a programban megtett lépések számát állítjuk be, azaz növeljük meg. LOOP UNTIL fordulat>13 Ez a fő ciklus vége: a tizennegyedik fordulat megkezdéséig a program visszatér a „DO” utasításhoz és végrehajtja a megfelelő lépéseket. A „13” önkényes választás, nyilvánvalóan ettől eltérő választás is lehetséges. Ezzel a program lényegében véget ért. Itt nem részletezzük a szabályos program lezárás lépéseit, mivel az a választott

fejlesztési környezettől függ A fenti program kidolgozásakor az érthetőséget, áttekinthetőséget tartottuk szem előtt. Ezért ez a program – számítástechnikai szempontból – nem a leghatékonyabb Nem oktatási céllal nyilván sokkal elegánsabb, illetve hatékonyabb program is felépíthető! Nem beszélve arról, hogy például egy, valóságos rotor vizsgálatához nem lapátdarabokkal, hanem két, egész lapáttal kellene számolni. 37 II. Bevezető példa II.2 A szimulációs modell – a számítógépi program eredményei Az elkészült programmal végzett vizsgálatokból csak a véleményünk szerint legfontosabb eredményeket mutatjuk be. A számításokban általában a K teta=099 értéket választjuk, mivel ez jellemzi például az MD500-E helikopter rotorlapátját Első lépésben a kollektív kormány kitérítésének a hatását vizsgáljuk (a csűrő és a magassági kormány kitérítetlen). A p0 / f paraméter értéke 5000 lépésig (kb

012656 [s], valamivel több, mint egy fordulat) zérus. Az 5001-ik lépéstől kollektív kormány kitérését jellemző paramétert ugrásszerűen 0.05-re növeljük Ebben az állapotban működik a modell egészen a 30000-ik lépésig (kb 0754 [s], kb hat fordulatig) Végül, a 30001-ik lépéstől ismét ugrásszerűen tovább növeljük a kollektív kormány kitérését jellemző paramétert 01-re A számítás eredményei a II4 ábrán láthatók – kivéve a csapkodási szöget, melyet az ábrán nem tüntettünk fel, mivel számértéke – a lapát tökéletesen merev volta miatt – mindvégig azonosan nulla. II.4 ábra: A kollektív kormányzás hatása Korábban már hangsúlyoztuk, hogy a dinamikai modell magában foglalja az átmeneti állapotok számítását is, de az alkalmazott aërodinamikai modell az instacionárius hatásokat nem tartalmazza, ezért az átmeneti állapotokat részletesen nem vizsgáljuk! A II.4 ábrán három állapot számítása látható Az

első fordulat alatt – ez az első szakasz – mindhárom vizsgált jellemző ( p0 / f , viV ,1 és T1 ) értéke azonosan nulla Ezután következik a kormányvezérléssel történő beavatkozás, vagyis a szimulációt a p0 / f = 0.05 értékkel folytatjuk – ez a második szakasz A II4 ábráról látható, hogy mind az indukált sebesség, mind az emelő erő értéke – a vezérlésnek megfelelően – 38 II. Bevezető példa azonnal megnövekedett és ezt, az állandó értéket ( viV ,1 ≅ 4.11 [ m s ] és T1 ≅ 365 [ N ] ) tartja a teljes szakaszon keresztül Az ugrásszerű növekedés az aërodinamikai modell egyszerűsége miatt következett be Nagyjából a hetedik fordulattól kezdődik a harmadik szakasz, melynél a második szakaszra tett megállapítások ismételhetők meg – mindössze a jobban kitérített kollektív kormánynak megfelelően, az állandósult értékek magasabbak ( viV ,1 ≅ 6.48 [ m s ] és T1 ≅ 90.4 [ N ] ) Megállapítható, hogy

az emelő erő nagyjából az indukált sebességek négyzetének arányában növekszik. Azért csak nagyjából, mert – az I Melléklet szerint – a légerő tényezők az állásszöggel nemlineárisan változnak. A legfontosabb megállapítás tehát, hogy kialakulnak az állandósult állapotok, és ezek megfelelően, a fizikai elvárásaink szerint követik a kormányzást. Fontos külön hangsúlyozni, hogy tehát állandósult állapotok jönnek létre, azaz a szimulált modell – ebben a vonatkozásban – stabilan működik. Megjegyezzük, hogy a II.4 ábrán a viV ,2 és a T2 értékeket nem tüntettük fel, ezek az értékek ugyanis azonosak a viV ,1 és a T1 értékekkel (ennek elvileg is így kell lennie!). A következő lépésben a magassági kormány kitérítésének a hatását vizsgáljuk. Ekkor a p0=0.1 és a p2=0 állandó érték mellett az 5000-ik lépésig a p1=0, ettől kezdve a p1=004 és végül a 30000.-ik lépéstől ismét a p1=0 értéket

választjuk (II5 ábra, a megfelelő felirattal megjelölt, piros színű görbe) Ezzel egy lépcső függvény szerinti vezérlést valósítunk meg, illetve ennek a hatását vizsgáljuk. II.5 ábra: A magassági kormányzás hatása – áttekintés 39 II. Bevezető példa A II.5 ábrán – az előző ábrához hasonlóan – az emelő erőt (T1 – fekete színű görbe), az indukált sebességet ( viV ,1 – kék színű görbe) és a magassági kormányvezérlés (p1/f - piros színű görbe) értékét tüntettük fel, az idő függvényében. Az emelő erő értéke az első (kezdő) szakaszban természetesen azonos a kollektív kormány vizsgálatánál adódó, ottani harmadik szakaszbeli értékkel ( T1 ≅ 90.4 [ N ] ) A második szakaszban, a kitérített magassági kormány esetében egy átmeneti szakasz után az emelő erő periodikus változása állandósul. Ezen, az állandósult szakaszon az emelő erő középértéke – közelítőleg – egyenlő az

első szakaszbeli állandó értékkel, a legkisebb számított érték ~89.61 [N], a legnagyobb pedig ~9112 [N] A harmadik szakaszban visszaállítjuk a magassági kormányt a kitérítetlen helyzetébe. Ekkor, egy átmeneti szakasz után visszaáll az induláskori, az első szakaszbeli, állandó emelő erő érték. A magassági kormány – ebből a szempontból tehát – megfelelően működik Érdekes az a sajátos, ferde szimmetria, ami a kitérítés, illetve visszatérítés folyamatában figyelhető meg Az „1”-es lapát-darabnál kialakuló indukált sebességgel kapcsolatban az emelő erőről leírtakhoz analóg megállapítások tehetők – korábban is látható volt már, hogy az indukált sebesség az emelő erővel együtt változik. A változás mértéke azonban még kisebb, mint az emelő erőnél: az átlagos érték ~6.475 [m/s], a periodikus változás állandósulása után a minimális indukált sebesség ~6.45 [m/s], a maximum pedig ~65 [m/s] A

„2”-es lapát-darabnál kialakuló indukált sebességgel kapcsolatos megállapításokat a későbbiekben részletezzük. II.6 ábra: Csapkodó mozgás – határciklus 40 II. Bevezető példa Vizsgáljuk meg részletesebben az állandósult állapotot. Ennek érdekében újabb program futtatást végzünk: ebben az esetben a p0=01 és a p2=0 állandó érték mellett az 5000ik lépésig a p1=0, illetve ettől kezdve, végig a számítás során a p1=004 Az állandósult állapottal kapcsolatban vegyük szemügyre elsőnek a II.6 ábrán látható, fázis-sík diagramot Ezen a csapkodási szög deriváltja ( β L′ ) látható, a csapkodási szög ( β L ) függvényében. A görbe a kezdeti feltételnek megfelelően a (0,0) pontból indul és a folyamat kifejlődésével ráhurkolódik a határciklusnak nevezett, zárt görbére. Ez a zárt görbe jellemzi a periodikus folyamatként állandósult csapkodó mozgást. Ezt a görbét általánosított egyensúlyi helyzetnek

nevezzük, és a csapkodó mozgás Poincaré féle stabilitását ennek alapján vizsgáljuk Ami azt jelenti, hogy ha valamely megzavarás után, annak megszűnte után a fázis-sík görbe visszahurkolódik a határciklusra, akkor a folyamat Poincaré féle értelemben stabil. Egy esetre ez a stabilitás látható a II6 ábrán Csak kijelentjük: ezt a stabilitást tapasztaljuk más esetekben is – hacsak nem alkalmazunk megengedhetetlenül nagy megzavarást Ezek alapján állítható, hogy a lapátmozgás stabilitását tekintve, ez a rotor-elrendezés alkalmazható a gyakorlatban; és valóban, ezt az állítást számos gyakorlati példa erősíti meg. Megjegyezzük, hogy a csapkodási szög változása kb. ±230 II.7 ábra: Csapkodási szög – a magassági kormány kitérítés hatása A tizenharmadik fordulat folyamán létrejövő, periodikus folyamatként állandósult csapkodási szög, az azimút szög függvényében látható a II.7 ábrán Nyomatékosan felhívjuk a

figyelmet arra, hogy a [G8] – III6 ábráján bemutatott (és itt is használt – II1 ábra) rotorlapáthoz rögzített koordinátarendszerben értelmezett pozitív elfordulási irányoknak megfelelően – mint már korábban is rámutattunk – a felcsapó lapát csapkodási szöge negatív. Ez ugyan a hagyományos értelmezéssel ellentétes, de a koordinátarendszerek következetes alkalmazásából ez következik! 41 II. Bevezető példa A II.7 ábrán tehát azt látjuk, hogy a ψ MR ,1 = 1800 -os azimút szögnél lesz a felcsapás maximuma és a ψ MR ,1 = 00 = 3600 -os azimút szögnél lesz a lecsapás maximuma. Ezek szerint, ha pozitív p1 értéket választunk, azaz a [G8], III2 ábra szerint az elöl (ψ MR = 1800 nál) elhelyezkedő magassági kormányt vezérlő rudat zMR tengely irányításának megfelelően pozitív irányba, azaz felfele mozdítjuk el, akkor a rotor-lapátvég-sík (RLVS) hátrafele billen Ez, természetesen fordítva is igaz – a lefele

mozdítás előre billenést okoz Vagyis a magassági kormány valóban szabályszerűen működik! Ez a példánk alapján tehető, igen fontos megállapítás A magassági kormány „szabályszerű” működése a gyakorlatból jól ismert. Az eredményünk azért jelentős, mert az általunk felépített, a megmaradási elveken alapuló mechanikai – aërodinamikai – matematikai modell pontosan elvezet ehhez az eredményhez, tehát a modellünk megbízhatóan alkalmazható. II.8 ábra: Az indukált sebesség A teljesség kedvéért bemutatjuk az indukált sebességet (II.8 ábra) és az emelő erőt (II.9 ábra) ábrázoló függvényt is E két görbe-pár – az aërodinamikai modellnél leírtak szerint – egymáshoz nagyon hasonló, így a megállapítások is hasonlóak lesznek. A „2”-es lapát-darab indukált sebessége (és az emelő ereje is) a ψ MR ,1 felett, az „1”-es lapát-darab megfelelő értékeihez képest 180 fokkal eltolva jelenik meg. Ennek

nyilvánvalóan így is kell lennie! Minkét görbe-pár esetén megállapítható, hogy a repülési irány szerint elöl, ahol a lapát felcsap, (viszonylag) kicsi az indukált sebesség és ennek megfelelően az emelő erő is az. Hátul, ahol a lecsapás jön létre, (viszonylag) magasak ezek az értékek 42 II. Bevezető példa II.9 ábra: Az emelő-erő az azimút szög függvényében Látható az is, hogy a görbe-párok pontjai (nagyjából) a korábban megállapított középértékek körül ingadozó értékekkel bírnak. Jóllehet az amplitúdó meglehetősen kicsi, az indukált sebesség esetében a középérték kb. 03%-a, az emelő-erő esetében pedig a középértéknek kb 09%-a Tekintsük végül a csűrőkormány kitérítésének a hatását. Ekkor a p0=01 és a p1=0 állandó érték mellett az 5000-ik lépésig a p2=0, ettől kezdve a p2=004 értéket választjuk II.10 ábra: Csapkodási szög – a csűrőkormány kitérítésének hatása 43 II.

Bevezető példa Az emelő erő és az indukált sebesség görbe a II.5 ábrán bemutatotthoz eléggé hasonló módon alakul – ezért ezekről ábrát nem mutatunk be. A csűrőkormány kitérítésének hatására bekövetkező lapátmozgás fázis-sík diagramjának „határciklus” görbéje nem igazán különböztethető meg a II6 ábrán feltüntetett, magassági kormány kitérítéshez tartozó fázis-sík diagramon látható határciklus görbétől Mindössze a (0,0) indulási pontból történő elindulás és az azt követő ráhurkolódás módja más. Ezért ezt a görbét sem tüntetjük itt fel Bemutatjuk viszont a csapkodási szög azimút szög szerinti változását a kialakult csapkodó mozgásnak megfelelő esetben (II.10 ábra) Itt ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a koordinátarendszerek definiálásakor megállapított pozitivitásoknak megfelelően a lecsapó lapát csapkodási szöge a pozitív! Így tehát, a [G2] – III.2 ábráján

látható, ψ MR = 2700 -nál, tehát a repülési irány szerinti baloldalon elhelyezkedő csűrőkormány vezérlő rúd felfele történő elmozdításának hatására a rotor-lapátvég-sík a repülési irány szerint jobbra billen. Azaz a rotor-lapátvég-sík haladási irány szerinti baloldala emelkedik meg, a jobboldala pedig lesüllyed Ellenkező értelmű kormánykitérítésnél a billenés értelme ellentétes. A csűrőkormány tehát úgy működik, ahogyan azt a valóságban is tapasztalhatjuk! Vizsgáljuk meg az együttes kormánykitérítés esetét is. Ekkor a számítást a p0=01, p1=0 és a p2=0 állandó értékkel indítjuk, majd az 5000.-ik lépéstől a p1=004 és a p2=004 értéket választjuk. II.11 ábra: Csapkodási szög – az együttes kormánykitérítések hatása A rotor-lapátvég-sík billenését jellemző, a kialakult állapotban adódó csapkodási szög azimút szög szerinti lefutását a II.11 ábrán tüntettük fel Ez azt mutatja, hogy –

ahogyan annak lennie is kell – a lapát a legmagasabban a ψ MR = 2250 -nál, a leglejjebb pedig a ψ MR = 450 -nál van. 44 II. Bevezető példa Ezek szerint a lapátvég sík a magassági kormánykitérésnek megfelelően hátrafele, a csűrőkormány kitérésének megfelelően pedig a repülési irány szerint jobbra billen – az együttes kitérés következtében pedig jobbra-hátra billen. Érdemes megállapítani még azt is, hogy az együttes kitérés következtében létrejövő (legnagyobb) billenés mértéke nagyobb, mint ha csak az egyik vagy csak a másik kormányt térítettünk volna ki. Illetve fontos még, hogy a II11 ábrán a β L ≈ 004 [ rad ] értéket a 00 , 900 , 1800 és a 2700 -os azimút szögnél is megtaláljuk A 00 és a 1800 -os azimút szög a kitérített magassági kormány esetét, a 900 és a 2700 -os azimút szög pedig a kitérített csűrőkormány esetét jellemzi. Ez jelzi, hogy a magassági- és a csűrő-kormány ezeknél az

azimút szögeknél, ebben az értelemben egymástól függetlenül hat A II.2 pont lezárásaként megállapításokat fogalmazzuk meg A számításaink szerint – miközben az aërodinamikai késést elhanyagoljuk – a mechanikai modell szerinti állandósult állapotok eléréséhez akár másodperces nagyságrendű időtartam is szükséges lehet. Ez felhívja arra a figyelmet, hogy az autogírók és helikopterek vezetésében késés tapasztalható, a kormányzás hatásának kifejlődéséhez idő szükséges Ezzel feltétlenül számolni kell! Az ebben a példában eddig elvégzett számítások eredményei alapján kijelenthetjük, hogy mind a kollektív-, mind a magassági-, mind a csűrő-kormány működése (és a kormányok együttes működése is) követi a valóságban tapasztalható működést; miközben a lapátmozgás Poincaré értelemben vett stabilitását tapasztaljuk. Ezek szerint a megmaradási elveken alapuló mechanikai – aërodinamikai – matematikai

modell a valóságosnak megfelelő eredményekre vezet, ez a modell, illetve ennek a modellnek teljes lapátra kiterjesztett változata az elméleti vizsgálatok alkalmas eszköze lehet. 45 II. Bevezető példa II.3 A szimulációs modell – további eredmények A klasszikus helikopteres szakirodalomban, a lapátok csapkodó mozgásának vizsgálatára szinte kizárólag a linearizált mozgásegyenletet alkalmazzák (a KθL = 1 feltétel mellett). Ebben a pontban vizsgáljuk, hogy az előző pontokban bemutatott példa számolás eredményeit hogyan befolyásolja a linearizálás és a KθL értékének választása. II.12 ábra: Lineáris és nemlineáris modell eredményeinek összehasonlítása A II.12 ábrán a kitérített magassági kormány esetében adódó, állandósult állapotbeli, az „1”-es lapát-darabra vonatkozó indukált sebesség azimút szög szerinti változását ábrázoltuk lineáris, illetve a nemlineáris esetben. Megállapítható, hogy

valamennyi eltérés van, illetve az eltérés – természetesen – a nagyobb abszolút értékű csapkodási szögek esetén a nagyobb. Az eltérés azonban nem igazán nagy – az igazsághoz tartozik, hogy a csapkodási szögek esetében szinte teljesen egymáson fut a két görbe – ezért is mutatjuk be inkább az indukált sebességek görbéit, ahol az eltérés jobban látható. Megállapítható, hogy a nemlineáris modell alkalmazása [(II.4) kifejezés] nem feltétlenül szükséges Ugyanakkor az is rögzíthető, hogy numerikus szimuláció esetén nincs komoly ok a linearizálásra, ezért számoltunk az előző pontban mindenütt a nemlineáris modellel. A linearizálás akkor lehet szükséges, amikor zárt alakú megoldásra törekszünk. A (II.5) egyenlet közönséges, másodrendű, inhomogén, lineáris differenciálegyenlet, melynek általános megoldásához szükséges az inhomogén rész egy, partikuláris megoldása is. Ez pedig – lineáris modell esetén

– az aërodinamikai nyomaték kifejezésének további egyszerűsítését teszi szükségessé, ami miatt a linearizált esetre vonatkozó, zárt alakú megoldás már jelentősebben is eltérhet a nemlineáris esetre érvényes megoldástól. 46 II. Bevezető példa Számos szakirodalmi levezetésben – az ott választott egyszerű út miatt – fel sem merül a KθL = θ zL − θ xL / θ yL viszonyszám alkalmazása, így ez a mennyiség nem túl széles ( ) körben ismert. A lapátmozgást leíró egyenletekben általában egy – ki nem írt – 1-es szorzótényező szerepel A tehetetlenségi nyomatékok definíciójából következik viszont, hogy ez a viszonyszám (rotorlapátra jellemző alak és a II.1 ábra szerinti koordináta tengely választás esetén) mindig (ugyan általában nem sokkal) kisebb, mint egy. Az 1-es érték választása tehát közelítés – a példánk kapcsán ennek a hatását vizsgáljuk. II.13 ábra: összehasonlítása A csapkodási

szög azimút szög szerinti változását bemutató két görbe majdnem teljesen egymáson fut és mindkét görbe meglehetősen hasonlít a II.7 ábrán látható görbére Ezért a két görbét csak a 180 fokos azimút szög szűkebb környezetében ábrázoljuk, azért, hogy a legfontosabb eltérést láttassuk. A KθL = 1 értéhez tartozó (piros) göbének a minimuma pontosan a 1800 -os azimút szögnél van (ezt jelzi az ábrán a piros nyíl), a KθL = 0.99 értéhez tartozó (kék) göbének a minimuma viszont nagyjából a 1810 -os azimút szögnél található. A KθL = 1 érték pontosan a rezonancia helyzetet jelenti, a KθL = 0.99 érték választása pedig csak közel rezonancia helyzetet jelent. Emiatt, a közel rezonancia helyzet miatt „csúszik el” (kissé) a csapkodási szög görbéje. Ez, a kis elcsúszás a korábban bemutatott ábrákon (II.7, II8, II9, II10, II11 és a II12 ábra) is megfigyelhető, de itt adunk rá magyarázatot Megjegyzendő, hogy ha

KθL = 101 (mechanikailag irreális) értéket választanánk, akkor a csapkodási szög görbéjének minimum pontja balra, a kisebb azimút szögek felé csúszna el 47 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Ebben a fejezetben a csuklós bekötésű, merevnek feltételezett rotorlapátok mozgásegyenleteivel foglalkozunk. Az ismereteink szerinti, fontosabb rotoragy, illetve rotor típusokat a [G2] – III.9 ábráján tüntettük fel Ezeknél a csapkodó és matató valamint a beállítási szög változását lehetővé tévő csuklók vagy tényleges csuklóként léteznek, vagy úgynevezett „látszólagos” csuklót, csuklókat definiálnak. Végeredményben tehát a csuklós bekötés elég általánosan használható kiindulást jelent [G8] – III.6 ábra: A FORGÓ (F) és a LAPÁT (L) koordinátarendszer A munkában – mint már többször említettük – erősen támaszkodunk a korábbi, e tárgyhoz csatlakozó munkáinkra: itt a [G8] fontosságát

hangsúlyozzuk! A mozgásegyenletek megfogalmazásához a „FŐROTOR”, a „FORGÓ” és a „LAPÁT” ([G8], III.5 ábra, [G8] – III.6 ábra, illetve II1 ábra) koordinátarendszert alkalmazzuk A [G8] – III6 ábráját meg is ismételjük Ezzel kapcsolatban ugyanis arra hívjuk fel a figyelmet, hogy feltesszük: a csuklók az „LT ” pontban helyezkednek el (Amennyiben ez a feltétel nem lenne megengedhető, akkor, a kívánt mozgásegyenletek a már rendelkezésre álló eszközökkel, de bonyolultabb számolással vezethetők le: pl. [R11] szerint) A mozgásegyenletek levezetésében az I. fejezetben írottakat tartjuk szem előtt A haladó mozgásokkal itt nem foglalkozunk, ezek alapvetően az (I38) értelemszerű – „LAPÁT” koordinátarendszerre átírt alakkal – alkalmazásával tárgyalhatók. 48 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok A forgó mozgásokat az (I.47) közönséges, nemlineáris differenciálegyenlet rendszer „LAPÁT”

koordinátarendszerben értelmezett alakja alapján vizsgáljuk – de tekintetbe veendő, hogy az (I.47) jobboldalának utolsó tagjában, a zárójelben az aktuális koordinátarendszer origójának gyorsulását kell szerepeltetni! Ennek megfelelően, a következőkben az „LT ” pont abszolút gyorsulását is meg kell határoznunk III.1 A rotorlapátok mozgásegyenletei A forgószárnyas repülőgépek repülése során a rotorlapátok bekötési pontja(i) a repülőgép törzséhez viszonyítva előírt pályán mozog(nak) – az „LT ” pont, a főtengely forgásának következtében, a törzshöz viszonyítva keringő mozgást végez. Ezért, ha a törzs mozgásállapotát ismerjük, akkor a rotorlapátok haladó mozgásának gyorsulásai is ismertek. Így a haladó mozgásokra felírt, közönséges, nemlineáris differenciálegyenlet rendszerből például a bekötési pontokon ébredő erők meghatározása lehetséges, ezzel pedig az ezekben a pontokban ébredő erők

és ezzel az igénybevételek számítására nyílik lehetőség. Ezzel a területtel részletesen a IV fejezetben foglalkozunk Ebben a fejezetben a merev rotorlapátok forgó – a csapkodó, a matató és a lapát hossztengelye körüli elfordulásból adódó – mozgásait vizsgáljuk. Nagyon fontos leszögezni, hogy, merev rotorlapát esetén a csapkodó, a matató és a lapát hossztengelye körüli elfordulás – a lapátvezérlés kialakítása miatt – egymástól nem független. A rotorlapátok tehetetlenségi nyomatékait tekintve megállapítható, hogy az általunk választott „LAPÁT” koordinátarendszerben a θ zL > θ yL >> θ xL reláció teljesül. Ezért a csapkodó és a matató mozgással ellentétben (ezek ugyanis nem kényszerített mozgások) a lapát hossztengelye körüli elfordulást tekintjük kényszerített mozgásnak. Az elfordulást a beállítási szög szabályozó rúd elmozdulása és a csapkodó valamint a matató mozgás

egyértelműen meghatározza. Merev rotorlapátot tekintve tehát, a megfelelő komponens egyenletből például az igénybevételek számítására nyílhat lehetőség. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a [G8] – III.6 ábráján látható, „LAPÁT” koordinátarendszer a „FORGÓ” koordinátarendszerből két elforgatással származtatható, ez két szabadságfokot jelent. Az egyik szabadságfok a csapkodáshoz, a másik a matatáshoz tartozik A rotorlapát hossztengelye körüli elfordulás – ami, elvileg a harmadik forgási szabadságfok lenne – a mi tárgyalásunkban nem jelenik meg (csak a szakirodalom nyomán közlünk néhány megfontolást). Ennek megfelelően mozgásjellemzőkre nézve megoldandó mozgásegyenletet a csapkodó és a matató mozgásra vezetünk le III.11 A szögsebesség és a szöggyorsulás Az (I.47) közönséges, nemlineáris differenciálegyenlet rendszer részletes felírásához szükség van a különböző szögsebességek, illetve

szöggyorsulások kifejezésére. Tekintsük először az (I10) differenciálásra vonatkozó operátort, a szöggyorsulást ennek fel49 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok használásával számoljuk. Ha olyan koordinátarendszert használunk, amely valamely testhez (pl. rotorlapáthoz) mereven kötött, akkor a szóban forgó test és a koordinátarendszer szögsebessége azonos Ebben az esetben: dω δ ω δω = + ω × (ω ) = δt d t δt mert: ω × (ω ) ≡ 0 ; (III.1) A szöggyorsulás (ugyanúgy szabad vektor, mint a szögsebesség), a szögsebesség idő szerinti deriváltja, tehát a (III.1) szerint számolható Természetesen a szöggyorsulás vektort, az összes többi vektorhoz hasonlóan, az egyik koordinátarendszerből a másikba transzformálni kell. A rotorlapátok eredő szögsebessége illetve szöggyorsulása három rész szögsebesség illetve szöggyorsulás összegzésével (szuperponálásával) állítható elő. Legyen az első rész a

törzs szögsebessége és szöggyorsulása ( ω B és ε B ). Ezek, általában a törzs mozgásegyenleteiből határozhatók meg, itt ismertnek tételezzük fel őket Valójában a törzs mozgásállapotára a rotorlapátokon keletkező erők igen jelentős hatást gyakorolnak, miközben ezeknek az erőknek a meghatározásához ismerni kellene a törzs mozgásállapotát. Ez tehát – adott esetben – igen komoly iterációs feladatot jelent! L L A szögsebesség és a szöggyorsulás második része a főtengely forgásából adódik ( Ω MR L és ε MR ). A harmadik rész pedig a csapkodó és a matató mozgásból adódik ( ω CSM és L L ε CSM ). Az eredő szögsebesség és szöggyorsulás tehát: L ω BL = ω B + Ω MR + ω CSM L L L L ε BL = ε B + ε MR + ε CSM ; L és L L (III.2) L Legyen – formálisan – a forgószárnyas repülőgép törzsének szögsebessége a „TEST” B koordinátarendszerben ω B . Ezt, a [G8]-ban kifejtett

transzformációk segítségével a „LAPÁT” koordinátarendszerbe transzformáljuk. A szöggyorsulás számításánál figyelembe kell venni, hogy a transzformációs mátrixok elemei az idő függvényében szintén változnak – ezt be kell foglalni a deriválásba: ω B = AL , F AF , MR AMR , B ω B L B ε LB = és ( ) ( ) d d B A L , F AF ,MR AMR , B ω B = ω LB ; dt dt (III.3) A második rész a főtengely szögsebessége és szöggyorsulása. Ezt a „FORGÓ” koordinátarendszerben célszerű megadni, illetve innen kell a „LAPÁT” koordinátarendszerbe átszámítani: Ω MR = AL, F Ω MR L F és L ε MR = ( ) ( ) d d F L AL , F Ω MR = Ω MR ; dt dt (III.4) Írjuk fel harmadszorra – formálisan – a lapát csuklói körüli elfordulásokból származó szögsebességét és szöggyorsulását: ω CSM L és L ε CSM = ( ) (III.5) d L ω CSM ; dt 50 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Ebben a munkában, a kitűzött

(szerény) célnak megfelelően, a törzs szögsebességét és szöggyorsulását is azonosan nullának vesszük – nem számolunk velük. Hasonlóképpen feltesszük, hogy a főtengely szögsebessége állandó, ezért a főtengely szöggyorsulását is azonosan nullának vesszük. Ezek szerint a következőkben a rotorlapát eredő szögsebessége és szöggyorsulása az alábbi lesz: ω BL = Ω MR + ω CSM L L L és L ε LBL = ε CSM = ( ) d L ω CSM ; dt (III.6) Korábban már leírtuk, hogy a lapát hossztengelye körüli elfordulás kényszerített mozgás, ezért csak a matató és a csapkodó mozgással foglalkozunk. Ennek felel meg a megismételt [G8] – III.6 ábrája, ahol tehát a csapkodási ( β L ) és a matatási szög ( δ L ) szerepel Ezen szögek idő szerinti első deriváltját (a szögsebességet), a szokásos módon, ponttal jelöljük; az idő szerinti második derivált (a szöggyorsulás) pedig két pont jelölést kap. Itt is felhívjuk a

figyelmet arra, hogy a szögelfordulásoknak, szögsebességeknek és a szöggyorsulásoknak is van pozitív iránya (pozitivitása) – ezt erre az esetre a [G8] – III.6 ábrája alapján állapíthatjuk meg. Fontos hangsúlyozni, hogy az említett ábra alapján a csapkodási szög pozitív, ha a rotorlapát lefele csap! Ez eltér a szakirodalomtól, ahol általában a felcsapó lapát csapkodási szögét tekintik pozitívnak. A felcsapó helyzet nyilván az általános helyzet, mi a koordinátarendszerek következetes alkalmazása miatt ragaszkodunk ehhez, az általánostól eltérő előjelhez. (A „szakirodalmi” értelmezés elfogadása egyébként az előjelekkel történő „bűvészkedést” tesz szükségessé!) A főtengely szögsebességéből származó szögsebesség rész (a transzformációs mátrixot [G8] – (III.26) összefüggés definiálja): Ω L MR = AL, F Ω F MR  cos δ L cos β L =  − sin δ L cos β L   sin β L sin δ L cos δ

L 0 − cos δ L sin β L   0  sin δ L sin β L   0  =    Ω MR  cos β L  −Ω MR cos δ L sin β L  =  Ω MR sin δ L sin β L  ;   Ω MR cos β L (III.7) A [G8]-ban leírtak szerint, a rotorlapát csuklók körüli elfordulásokból származó szögsebessége a „LAPÁT ” koordinátarendszerben értelmezett összetevőkkel (a [G8] – III.6 ábra szerint a csapkodó mozgás szögsebességét „be kell forgatni” a „LAPÁT” koordinátarendszerbe, mivel az az „(1)”-es, szaggatott vonallal jelölt tengelyre illeszkedik): ω L CSM  cos δ L =  − sin δ L  0 sin δ L cos δ L 0 0   0   0   βɺL sin δ L    0   βɺL  +  0  =  βɺL cos δ L  ; 1   0  δɺL   δɺL  51 (III.8) III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Az eredő szögsebesség tehát, a

(III.6) figyelembe vételével: ω BL L L ωBL   −Ω MR cos δ L sin β L + βɺL sin δ L  ,x   L   ɺ = ω BL , y  =  Ω MR sin δ L sin β L + β L cos δ L  ; L ɺ  ωBL    , z   Ω MR cos β L + δ L  (III.9) A szöggyorsulás pedig (III.6) és (III9) alapján – figyelembe véve, hogy a kikötésünk ɺ ≡0: szerint Ω MR L ε BL  ,x  L  L ε BL = ε BL , y  = L ε BL   ,z  Ω MRδɺL sin δ L sin β L − Ω MR βɺL cos δ L cos β L + βɺɺL sin δ L + βɺLδɺL cos δ L    = Ω MRδɺL cos δ L sin β L + Ω MR βɺL sin δ L cos β L + βɺɺL cos δ L − βɺLδɺL sin δ L  ;   −Ω MR βɺL sin β L + δɺɺL   (III.10) A (III.10) kifejezésben jól látható, hogy bár a főtengely szögsebessége állandó, az AL , F transzformációs mátrix elemeinek időfüggése miatt a rotorlapát eredő szöggyorsulásában a főtengely

szögsebessége mégis megjelenik. Amennyiben nincs matató mozgás (pl. hintás rotoragy, [G2] – III2 ábra) azaz δ L ≡ 0 , vagy a matató mozgást elhanyagoljuk, eltekintünk tőle, azaz δ L ≈ 0 (és ezzel természetesen δɺL ≡ 0 ), akkor a csapkodó mozgás vizsgálatában figyelembe veendő szögsebességre és a szöggyorsulásra visszakapjuk a II. fejezetben használt βɺ -ot, illetve βɺɺ -ot L L III.12 A sebesség és a gyorsulás A rotorlapát mozgásának vizsgálatában fontos szerepet játszik a lapát pontjainak a sebessége és a gyorsulása. Feltesszük, hogy adott esetben a forgószárnyas repülőgép mozgását a „TEST ” koordinátarendszerben (pl I5 ábra) vizsgáljuk és ezért, illetve a rövid jelölés miatt vezessük be az alábbi jelölést: V := V HR , szálító ; (III.11) Ezek szerint tehát az egész forgószárnyas repülőgép sebességét V -vel jelöljük, illetve a szóban forgó mozgást e tekintetben a „HR” pont

mozgásával jellemezzük. Ez tehát azt jelenti, hogy az I.5 ábrán látható „P” pont éppen a „HR” pont, vagyis ez a sebesség egyúttal szállító és abszolút sebesség is (mivel a relatív sebesség a szóban forgó pontok egybeesése miatt nulla). A forgószárnyas repülőgép további pontjainak a sebessége – az I. fejezetben foglaltak szerint – az (I25) és (I26) kifejezés értelmében számolható Mi itt 52 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok az „MR” pont abszolút sebességét határozzuk meg (ez a szállító és a relatív sebesség öszszege): V MR = V + ω B × r HR , MR ; (III.12) Amennyiben a (III.12)-et konkrétan a „TEST ” koordinátarendszerben írjuk fel, akkor az a következőképpen alakul: V MR = V + ω B × r HR , MR ; B B B B (III.13) A következő lépésben számítsuk ki az „LT ” pont abszolút sebességét, a „FORGÓ” koordinátarendszerben értelmezve. Ebben az esetben az „MR” pontnak (ez a

pont a „FORGÓ” rendszer origója) a (III.13) szerinti abszolút sebessége szállító sebesség lesz, illetve ezt a sebességet a „TEST” koordinátarendszerből a „FORGÓ” koordinátarendszerbe transzformálni kell. Az „LT ” pont abszolút sebessége tehát ennek, a transzformált szállító sebességnek (III14 kifejezés első szögletes zárójelbeli része) és az „LT ” pont relatív sebességének (III.14 kifejezés második szögletes zárójelbeli része) az összege: ( ) F B F F F V LT =  AF , MR AMR , B V MR  +  ω B + Ω MR × r MR , LT  ;     (III.14) Legyen a lapát egy, tetszőleges „P” pontjának helyvektora az r P = [ xL L ,T 0 0] (ezt transzponált alakban írtuk fel). Ezzel a „P” pont abszolút sebessége a „LAPÁT” koordinátarendszer origójának sebessége (ez itt szállító sebesség) és a relatív sebesség összegeL ként számolható (itt ω BL általánosan, tehát a (III.2) kifejezés szerint

értendő): V P = AL, F V LT + ω BL × r P ; L F L L (III.15) Az eddig elvégzett számítások lehetővé teszik a lapát egyes pontjaiban kialakuló sebesség korrekt meghatározását. Az út azonban meglehetősen fáradtságos, a gyakorlatban és általában számos egyszerűsítést alkalmaznak – ezeket később mutatjuk majd be Foglalkozzunk most a gyorsulások meghatározásával. Kezdjük ismét a „HR” pont gyorsulásával – differenciáljuk (III.11)-et az idő szerint; dolgozzunk a „TEST” koordinátarendszerben: a HR = B d B δ B B B V = V + ω B ×V ; δt dt (III.16) A (III.16) kifejezés az egész forgószárnyas repülőgép gyorsulását jelenti, tehát a gép egészére vonatkozó mozgásegyenletekben ez a gyorsulás szerepel. Másrészt ez – a (III.11)-hez hasonlóan – egyben szállító és abszolút gyorsulás is Az „MR” pont abszolút gyorsulása, a „TEST” koordinátarendszerben a (III.13) idő szerinti differenciálásával, (I.10),

(I22) valamint (III1) figyelembe vételével számítható, B azonban tekintetbe kell venni, hogy az r HR , MR vektor (a „TEST” koordinátarendszerben, mint szerkezeti méret) állandó: 53 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok a MR = B ( ) ( d B B B B B B B B B V + ω B × r HR , MR = a HR + ε B × r HR , MR + ω B × ω B × r HR , MR dt ) δ B B B B B B B B =  V + ω B × V  + ε B × r HR , MR + ω B × ω B × r HR , MR  ;  δ t   ( ) (III.17) A (III.17) második sorában, az első szögletes zárójelben a szállító, a másodikban a relatív gyorsulás olvasható A (III17) kifejezés tehát az „MR” pont abszolút gyorsulása, a „TEST ” koordinátarendszerben felírva. Határozzuk meg ezután az „LT ” pont gyorsuláF sát a „FORGÓ” rendszerben (azért itt, mert ebben a koordinátarendszerben az r MR , LT vektor állandó): ( ) F B F F F a LT =  AF , MR AMR , B a MR  + ε B + ε MR × r MR ,

LT +   ( ) ( ) F F F F F + ω B + Ω MR ×  ω B + Ω MR × r MR , LT  ;   (III.18) ahol: ω B = AF , MR AMR , B ω B F B és ε FB = ( ) ( ) d d B AF , MR AMR , B ω B = ω FB ; dt dt A (III.18) kifejezés első sor, jobboldalának első tagja (szögletes zárójelben) az „MR” pontnak a „LAPÁT” koordinátarendszer felől tekintve a szállító gyorsulása, a „FORGÓ” koordinátarendszerbe átszámítva. A jobboldal további része, illetve a második sor pedig az „LT ” pont relatív gyorsulása a „FORGÓ” koordinátarendszerben értelmezve. A két tag összege az „LT ” pont abszolút gyorsulása, a „FORGÓ” koordinátarendszerben értelmezve. Transzformáljuk ezt a „LAPÁT” koordinátarendszerbe: L F L ,T L a LT = AL , F a LT , összefoglaló jelöléssel: a LT =  aLT ,x L aLT ,y L  aLT ,z  ; (III.19) A (III.19) kifejezésben szereplő gyorsulás az, amit a korábbiak értelmében az (I47) egyenlet

jobb oldali utolsó tagjában lévő zárójelbe be kell írni. A sebességek számításánál már megemlítettük, hogy a fenti számolások meglehetősen bonyolultak, illetve a vonatkozó szakirodalom a rotorlapátok mozgásegyenleteit legtöbbször egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülésre vezeti le, illetve erre az esetre vizsgálja. A fenti, általános megfontolások után tehát mi is áttérünk az egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés esetére. Ekkor, a korábbi számolásainkban szereplő számos mennyiség értéke azonosan nulla lesz – ezzel a kifejezéseink jelentősen egyszerűsödnek. Erre az esetre, a gyorsulást a (III.32) kifejezés szerint határozhatjuk meg Hangsúlyozzuk azonban, hogy – adott esetben, ha erre szükség van – az egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés feltételének bevezetése nem kötelező, a fenti megfontolások megengedik az általános vizsgálatot is. 54 III. Csuklós bekötésű, merev

rotorlapátok III.13 A csuklós bekötésű, merev rotorlapát mozgásegyenletei Ebben a pontban – a korábban már rögzített feltételek mellett – egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés esetére vezetjük le a csuklós bekötésű, merev rotorlapát mozgásegyenleteit – ezek az „LT ” pont (mint origó) körüli forgómozgásokat leíró, közönséges differenciálegyenletek lesznek. A „LAPÁT” koordinátarendszerben értelmezett mozgásegyenletek levezetéséhez írjuk át az (I.47) egyenletet, úgy, hogy benne értelemszerűen a rotorlapát jellemzői szerepeljenek: ( ) ( ) L L L L L L L L θ BL ε BL + ω BL × θ BL ω BL = M BL − r LT , SP × a LT mBL ; (III.20) Vizsgáljuk meg tagonként a (III.20) közönséges vektor-differenciálegyenletet Tekintsük először a rotorlapát tehetetlenségi tenzorát, legyen ez a (II1) kifejezés levezetésénél használt alakkal azonos. A deviációs nyomatékokat tehát általában is elhanyagoljuk,

vagyis csak a főátlóban lesznek nullától különböző elemek: θ BL L θ xL 0 0    =  0 θ yL 0  = θ xL θ yL θ zL ;  0 0 θ zL    (III.21) A (III.20) baloldalán, az első szorzat második tagja a szöggyorsulás Ez, általános esetben a (III6) összefüggés második részében olvasható szöggyorsulás Amennyiben erre szükség lenne – pl. változó törzs szögsebesség vagy változó főtengely szögsebesség hatásának a vizsgálata – akkor a (III6) tagjaival kellene számolni Ebben az esetben persze a vizsgálatot további részekkel (pl. a törzs mozgásának vizsgálata, pl a főrotor-hajtómű együttműködése stb.) bővíteni szükséges Mi itt – a korábbiakban már kimondott feltétel szerint egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés és állandó főtengely szögsebesség (fordulatszám) esetére korlátozzuk a vizsgálatainkat. Ezért (III20)-ba a szöggyorsulás (III.10) szerinti kifejezését írjuk be; ezzel

(III20) baloldalának első szorzata: L θ BL ε LBL ( ( θ xL Ω MRδɺL sin δ L sin β L − Ω MR βɺL cos δ L cos β L + βɺɺL sin δ L + βɺLδɺL cos δ L  = θ yL Ω MRδɺL cos δ L sin β L + Ω MR βɺL sin δ L cos β L + βɺɺL cos δ L − βɺLδɺL sin δ L   θ zL −Ω MR βɺL sin β L + δɺɺL  ( ) ) ) ; (III.22)   Csak megjegyezzük, hogy azonosan nulla matatási szög ( δ L ≡ 0 ) esetén a (III.22) jobboldalán álló vektor „ yL ” szerinti összetevőjéből a (II2) egyenlet baloldalán álló, első szorzatot kapjuk. 55 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Tekintsük a következőkben a (III.20) kifejezés baloldalán álló, második szorzatot Az ebben szereplő szögsebesség a (III.9)-ben található (Általános esetben (III2) baloldali összefüggésével és megfelelően bővített modellel kell számolni.) Mi itt – az egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés és az

állandó főtengely szögsebesség (fordulatszám) esetét vizsgálva – a (III.9) kifejezéssel adott szögsebességgel számolunk Mint már rögzítettük, a (III9) felírásánál feltettük, hogy az ω B szögsebesség és az ε B szöggyorsulás valamint az ε MR szöggyorsulás is azonosan nulla – ezért ezekkel nem számoltunk A szögsebességre vezessünk be rövid (összefoglaló) jelölést: ω BL L L  −Ω MR cos δ L sin β L + βɺL sin δ L  ωBL  ,x     L =  Ω MR sin δ L sin β L + βɺL cos δ L  = ωBL , y  ; L  Ω MR cos β L + δɺL  ωBL     ,z  (III.23) A (III.23) kifejezés jobb szélén a rotorlapát szögsebesség összetevőire összefoglaló jelölést vezettünk be – ezekkel áttekinthetőbb összefüggéseket írhatunk fel Végeredményben tehát a (III20) kifejezés baloldalán álló, második szorzat: ( ω BL × θ BL ω BL L L L ) L L L  L   i j k  (θ z −

θ y ) ωBL , yωBL , z   L   L L L L L L  =  ωBL ωBL ωBL ,x ,y , z  = (θ x − θ z ) ω BL , xω BL , z ;   L L L θ xLωBL   L L L L θ yLωBL θ zLωBL ,x ,y ,z    − θ θ ω ω x ) BL , x BL , y  ( y (III.24) Írjuk fel – a teljesség kedvéért – az egyes szögsebesség összetevők szorzatát (ezeket, ebben, a meglehetősen összetett alakban nem használjuk majd, általában egyszerűsítéseket vezetünk be, jóllehet numerikus számolásokban nincs elvi akadálya annak, hogy minden taggal számoljunk): L L ɺ ɺ ωBL , yω BL , z = ( Ω MR sin δ L sin β L + β L cos δ L )( Ω MR cos β L + δ L ) ; (III.25) L L ɺ ɺ ωBL , xω BL , z = ( −Ω MR cos δ L sin β L + β L sin δ L )( Ω MR cos β L + δ L ) ; (III.26) L L ɺ ɺ ωBL (III.27) , xω BL , y = ( −Ω MR cos δ L sin β L + β L sin δ L )( Ω MR sin δ L sin β L + β L cos δ L ) ; A δ L ≡ 0 esetben, tehát amikor nincs matató

mozgás (vagy csak mondjuk azt, hogy nincs matató mozgás), akkor a (III.24) kifejezés jobboldali vektorának „ yL ” szerinti öszszetevője, (III26) figyelembe vételével pontosan a (II2) egyenlet baloldalán álló, második szorzatot adja. Ezután áttérünk a (III.20) kifejezés jobboldalára A jobboldali első tag a választott, „LAPÁT” koordinátarendszer origójára ható, eredő külső nyomaték. Az eredő külső nyomatékba beleszámít a súlyerő és az aërodinamikai erő „LT” pontra vett nyomatéka. Ide számít még az esetleges csillapításból valamint a rugalmas deformációból származó, „LT” pontra vett nyomaték is. A II pontban, a (II2) kifejezés magyarázatánál kitértünk 56 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok arra, hogy a (fiktív) centrifugális erő nyomatékát, a többi fiktív erő nyomatékával együtt, ide számolni tilos. A vizsgált nyomatékra vezessünk be rövid (összefoglaló) jelölést: L M BL L

 M BL  ,x  L  =  M BL , y  ; L  M BL  ,z   (III.28) A későbbiekben a lapát súlyerejének nyomatékát, annak viszonylag kis értéke miatt, elhanyagoljuk. A légerő nyomatékának számolásával külön, a IV pontban foglalkozunk A rugóerő nyomatéka a rugalmas bekötésű lapátok esetén keletkezik, ekkor kell vele számolni. A legegyszerűbb esetben az alaphelyzethez képesti szögeltéréssel arányos, visszatérítő nyomatékkal számolhatunk: ( L M BL ,yR = − K β β L − β L0 ) ( ) L M BL ,z R = − K δ δ L − δ L 0 ; és (III.29) ahol: L M BL , y R - rugalmas visszatérítő nyomaték a csapkodásban; L M BL , z R - rugalmas visszatérítő nyomaték a matatásban; K β - rugóállandó a csapkodásban; Kδ - rugóállandó a matatásban; β L 0 - a csapkodás alaphelyzete; δ L 0 - a matatás alaphelyzete. A szögkitérést (III.29) mindkét egyenletében az úgynevezett alaphelyzettől mérjük A β L 0 és δ L 0

alaphelyzet számértéke a szerkezeti kialakításból következik. A matató mozgást általában külön csillapítóval kell csillapítani. Az első fogószárnyas repülőgépeknél súrlódásos csillapítót alkalmaztak, ezek csillapító hatása azonban, az üzemetetési körülmények változásának hatására erősen változhatott, ezért mostanában egyre ritkábban találkozhatunk ilyen megoldással. Napjainkban sokkal elterjedtebb a hidraulikus csillapítás, ahol a csillapító nyomatékot egy, megfelelően kialakított munkahenger hozza létre. Ebben az esetben a csillapító nyomaték a szögsebességgel tekinthető L ɺ arányosnak ( M BL , zCS ∼ δ L ). Egyes, modern forgószárny agyaknál az anyagszerkezeti csillapítás (hiszterézis) révén érik el a kívánt csillapítást Ezt, egyes szerzők komplex rugalmassági modulus ( E + iG ) bevezetésével modellezik Vizsgáljuk meg végül (III.20) utolsó tagját A rotorlapát súlypontjának helyvektora legyen:

r SP = [ xSP L ,T 0 0] , illetve a lapát tömege legyen mBL . Vegyük figyelembe továb- bá a (III.19) jobboldalán bevezetett, tömör jelölést: ( − r ×a L SP L LT )m BL  i  = −  xSP L  aLT  ,x j 0 L aLT ,y   k  0    L 0  mBL = −  − xSP aLT , z  mBL ; L L   xSP aLT  aLT ,z  ,y   57 (III.30) III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Ezzel elvileg rendelkezésre áll a csapkodó mozgás mozgásegyenlete – ez a (III.20) második sorában adódó, másodrendű, nemlineáris, közönséges differenciálegyenlet Illetve rendelkezésre áll a matató mozgás egyenlete is – ezt (III.20) harmadik sora tartalmazza (III.20) első sora a hossztengely körüli elfordulásra vonatkozik, de mivel ez kényszermozgásnak tekinthető, ezzel a III2 pontban foglalkozunk Ezek a mozgásegyenletek – jóllehet eleve egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülésre vezettük be őket – igen összetettek.

A tényleges vizsgálatokra használt mozgásegyenletek esetében – a vonatkozó szakirodalom nyomán – számos további egyszerűsítést vezetünk be III.14 A csapkodó mozgás mozgásegyenlete A csapkodó mozgás igen fontos mozgásforma, ezt a forgószárnyak aërodinamikai vizsgálatában a lebegés kivételével mindig figyelembe kell venni. A csapkodó mozgás mozgásegyenletét a (III20) közönséges, nemlineáris vektor-differenciálegyenlet második sorában találjuk A következőkben ezt az egyenletet fejtük ki, egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés esetére. A baloldal felírásához vegyük figyelembe (III22)-t és (III24)et A jobboldalt pedig (III30) felhasználásával írjuk fel: θ yL ( Ω MRδɺL cos δ L sin β L + Ω MR βɺL sin δ L cos β L + βɺɺL cos δ L − βɺLδɺL sin δ L ) + ( )( ) + (θ xL − θ zL ) −Ω MR cos δ L sin β L + βɺL sin δ L Ω MR cos β L + δɺL = L L = M BL , y + xSP aLT , z mBL ; (III.31) ahol:

(III.18) illetve (III19) alapján, egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülésre, állandó rotor szögsebesség esetén: ( ) L F F F a LT = AL, F Ω MR × Ω MR × r MR , LT  ;   itt: Ω MR F  −e Ω 2MR   0  e    F F F F =  0  , r MR , LT = 0  , Ω MR × Ω MR × r MR , LT =  0  ;  0  Ω MR  0    ( ) végül: a LT = AL, F L  −e Ω 2MR   −e Ω 2MR cos δ L cos β L      2 L 2  0  =  e Ω MR sin δ L cos β L  ⇒ aLT , z = −e Ω MR sin β L ;  0   −e Ω 2MR sin β L      (III.32) A vonatkozó szakirodalom döntő többsége (például [G2] irodalomjegyzékében az 55től a 75-ig) felteszi, hogy a csapkodási és a matatási szög, és ebből következően a megfelelő szögsebesség is egyaránt kicsi. Ezért a sin δ L ≅ δ L és a cos δ L ≅ 1 , valamint a 58 III. Csuklós

bekötésű, merev rotorlapátok sin β L ≅ β L és a cos β L ≅ 1 közelítés alkalmazható. Ennek megfelelően (III31)-ből a következő egyenletet kapjuk: θ yL ( βɺɺL + Ω MRδɺL β L + Ω MR βɺLδ L − βɺLδɺLδ L ) + ( )( ) + (θ xL − θ zL ) −Ω MR β L + βɺLδ L Ω MR + δɺL = L 2 = M LT , y − xSP e Ω MR β L mBL ; (III.33) A (III.33)-at tovább egyszerűsítjük Feltesszük, hogy a főrotor szögsebessége jelentősen nagyobb, mint a matató mozgás szögsebessége, azaz : Ω MR + δɺL ≈ Ω MR Illetve azoktól a tagoktól, amiben δ vagy δɺ szorzótényezőként szerepel – mivel a matatási szög értéL L ke kicsi – eltekintünk. Ezzel: L 2 θ yL βɺɺL + Ω 2MR β L (θ zL − θ xL ) = M BL , y − xSP e Ω MR β L mBL ; (III.34) Ennyi egyszerűsítés után jutottunk el a (III.34) kifejezéshez, amelyben már nem szerepel a matatási szög Innentől kezdve szokás állítani (a szakirodalomban), hogy a csapkodó

mozgás független a matató mozgástól A [G2]-ben (III9) sorszámú kifejezéssel azonban megmutattuk, hogy a matató mozgás befolyásolja a rotorlapát metszetek beállítási szögét – ezért a matató mozgás légerőkre gyakorolt hatását – a pontosabb vizsgálatokban – figyelembe kell venni, vagyis a két mozgás aërodinamikai úton mégiscsak kapcsolódik. Természetesen, adott esetben, kevésbé igényes vizsgálatok során el lehet tekinteni ettől a kapcsolódástól is – így lehet igaz a szakirodalomban olvasható „függetlenség”. A (III.34) kifejezés jobboldalának utolsó tagját átvíve a baloldalra, illetve a (II4) kifejezés kapcsán bevezetett KθL állandó beírásával kapjuk:    θ yL βɺɺL + θ yL Ω 2MR β L  KθL + xSP e mBL  L  = M BL , y ; θ yL  (III.35) Térjük át – ahogyan azt a (II.4) differenciálegyenlet felírásánál is tettük – az idő helyett az azimút szög szerinti deriválásra: 

  θ yL Ω 2MR β L′′ + θ yL Ω 2MR β L  KθL + xSP e mBL  L  = M BL , y ; θ yL  (III.36) Ezzel eljutunk a csapkodó mozgást leíró, másodrendű, közönséges, linearizált differenciálegyenlet legtöbbször használt alakjához (azzal a megjegyzéssel, hogy a szakirodalomba általában a KθL = 1 feltételezéssel élnek): β L′′ + β L ( KθL + ε CS ) = ahol: L M BL ,y θ yL Ω 2MR (III.37) ; ε CS = ( xSP e mBL ) θ yL ; 59 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Az „ ε CS ” lapátjellemző szám közelítő számítására szolgál [G2] irodalomjegyzékéből az [58] mű 8. oldalán, az (12) összefüggéssel kapcsolatban felírt, állandó megoszló tömegű lapátra vonatkozó kifejezés: ε CS ≅ 3 ( e RMR ) 2 1 − ( e RMR )  ( pl. ( e R ) = 004 ; MR ⇒ ε CS = 0.0625) ; (III.38) A csapkodó mozgás egyenletét [G2] irodalomjegyzékéből az [58] mű az 1.3 pontjában vezeti be. Itt

olvasható egy érdekes közelítés arra az esetre, amikor a törzs szögsebessége nullától különbözik [a [G2] irodalomjegyzékéből az [58] mű – (1.3) egyenlete] III.15 A matató mozgás mozgásegyenlete A matató mozgás mozgásegyenletét a (III.20) közönséges, nemlineáris vektordifferenciálegyenlet harmadik sorában találjuk A következőkben ezt az egyenletet fejtük ki, egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés esetére. A baloldal felírásához vegyük figyelembe (III.22)-t és (III24)-et A jobboldalt pedig (III30) felhasználásával írjuk fel: θ zL ( −Ω MR βɺL sin β L + δɺɺL ) + ( )( ) + (θ yL − θ xL ) −Ω MR cos δ L sin β L + βɺL sin δ L Ω MR sin δ L sin β L + βɺL cos δ L = L L = M BL , z − xSP aLT , y mBL ; (III.39) ahol az origó gyorsulása, (III.18) illetve (III19) alapján, egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülésre, állandó rotor szögsebesség esetén (III32)-ből: a LT = AL, F L  −e

Ω 2MR    2  0  ⇒ aLT , y = e Ω MR sin δ L cos β L ;  0    (III.40) A korábbiakhoz hasonlóan, a vonatkozó szakirodalom alapján feltesszük, hogy a csapkodási és a matatási szög, és ebből következően a megfelelő szögsebesség is egyaránt kicsi. Ezért a sin δ L ≅ δ L és a cos δ L ≅ 1 , valamint a sin β L ≅ β L és a cos β L ≅ 1 közelítést alkalmazzuk Ennek megfelelően (III42)-ből a következő egyenletet kapjuk: θ zL ( −Ω MR βɺL β L + δɺɺL ) + ( )( ) + (θ yL − θ xL ) −Ω MR β L + βɺLδ L Ω MRδ L β L + βɺL = L 2 = M BL , z − xSP e Ω MRδ L mBL ; (III.41) Ez a matató mozgást leíró, közönséges, másodrendű, nemlineáris differenciálegyenlet. Végezzük el a második sorban kijelölt szorzásokat és egyszerűsítsünk tovább úgy, hogy a szorzás elvégzése után adódó négy tagból (ezekben háromban több, kis mennyiség szorzata fordul elő) csak a „ − θ L −

θ L Ω βɺ β ”-t tartjuk meg: ( y x ) MR L 60 L III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok θ zLδɺɺL + θ zL ( −Ω MR βɺL β L ) + (θ yL − θ xL ) ( −Ω MR βɺL β L ) = L 2 = M BL , z − xSP e Ω MRδ L mBL ; ( Vezessük be a KTL = θ yL − θ xL ) (III.41) θ zL jelölést, ezzel: L 2 θ zLδɺɺL + θ zL ( −1 − KTL ) ( Ω MR βɺL β L ) = M BL , z − xSP e Ω MRδ L mBL ; Nyomatékosan felhívjuk a figyelmet arra, hogy az M L LT , z (III.42) nyomatékba a matató moz- gást csillapító nyomatékot – ha van ilyen csillapító – akkor bele kell foglalni! Ha (III.42) jobboldalának második tagját átvisszük a baloldalra és áttérünk az azimút szög szerinti deriválásra, akkor az alábbi egyenletet kapjuk: ( ) L Ω 2MRθ zLδ L′′ − θ zL (1 + KTL ) Ω 2MR β L′ β L + xSP e Ω 2MRδ L mBL = M BL ,z ; (III.43) végül: δ L′′ − (1 + KT ) β L′ β L + ε M δ L = L M BL ,z Ω θ 2 L MR z

, ahol: ε M = xSP emBL θ zL ; (III.44) Tegyük fel, hogy θ zL ≈ θ yL − θ xL , azaz legyen a KTL = 1 . Ez meglehetősen durva közelítés, de ha elfogadjuk, akkor a következő, a szakirodalomban a leggyakrabban előforduló, matató mozgásra vonatkozó mozgásegyenletet kapjuk: δ L′′ − 2β L′ β L + ε M δ L = L M BL ,z Ω 2MRθ zL (III.45) ; Eléggé sok szakirodalmi műben, ahol a matató mozgás egyenletét a közvetlen szemlélet (belátás) alapján vezetik le, a fenti kifejezés baloldalának második tagja a Coriolis gyorsulásból adódó részként szerepel (a Coriolis gyorsulás definíciója az I. pont, (I22) kifejezésben olvasható). Az általuk alkalmazott levezetés viszont megmutatja, hogy a kérdéses tag két részből, jelentős közelítéssel állt elő – tehát a közelítőleg „2”-es együttható nem igazán azonos a Coriolis gyorsulásnál alkalmazandó, egzakt „2”-es együtthatóval. Illetve, természetesen, a

lapáthoz mereven rögzített koordinátarendszerben a lapát mozdulatlan, tehát nincs sebessége és így Coriolis gyorsulás sem jöhet létre. Azt is leszögezhetjük továbbá, hogy az általunk választott – akár körülményesnek is nevezhető – úton kapott, (III.39) általános mozgásegyenlet számos olyan tagot tartalmaz, melyeket közvetlen belátás alapján felírni igen nehéz lenne. Azt állítottuk ugyan, hogy – a szakirodalom szerint – ezekből a tagokból nagyon sok elhagyható, de hogy ez valóban megtehető-e, azt leginkább konkrét vizsgálattal lehet és kell eldönteni! A (III.45) például megfelel a [G2] irodalomjegyzékéből az [58] mű 14 pontjában szereplő, (16) egyenletnek – de figyelembe kell venni, hogy a fenti [58]-ban a matató csukló széthelyezésének távolságát és a súlypont helyét egyaránt dimenziótlan jellemzőkkel adták meg – ezért szerepel ott szorzótényezőként még a főrotor sugarának a négyzete. 61 III.

Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok A (III.44) vagy (III45) egyenlet alapján tehát a matató mozgás formálisan is függ a csapkodó mozgástól. Egyes esetekben a csapkodó mozgástól való függéstől is eltekintenek (pl az [58] mű 14 pontjában szereplő, (15) egyenlet) Az eddig tárgyaltak alapján, természetesen, adott esetben a (III.37)-nél (sokkal-sokkal) általánosabb feltételek esetén érvényes csapkodó mozgásegyenlet és (III.44)-nél általánosabb feltételek esetén érvényes matató mozgásegyenlet is megfogalmazható Illetve ezzel kapcsolatban számos kérdés vizsgálható (pl. a matató és csapkodó mozgás kapcsolódásának elhanyagolása mekkora hibát okoz, stb) Mi itt megállunk, innen – ha erre szükség, illetve lehetőség van – a Tisztelt Érdeklődőnek önállóan kell továbblépnie III.2 Fejezetzáró megjegyzések Amint azt már leszögeztük, a merev rotorlapát hossztengelye körüli elcsavarodását a csapkodó, a matató

mozgás állapotjelzői, valamint a kormányrendszer pillanatnyi beállítása, a [G2] – (III.9) kifejezés szerint egyértelműen meghatározza Ennek megfelelően be sem vezettük a hossztengely körüli elfordulásnak megfelelő szabadságfokot. A lapát beállítási szöge, [G2] szerint, de kis csapkodási és matatási szögre: ϑ ( xL ,ψ MR ) = ϑ0 ( xL ) + ( p f ) − ctgσ ⋅ β L + β Lδ L ; (III.46) ahol: p ( t ) = p0 ( t ) + p1 ( t ) cos (ψ MR + ψ S −ψ MK ) + p2 ( t ) cos (ψ MR + ψ S −ψ CS ) ; illetve: p ( t ) = p0 ( t ) + p1 ( t ) cos ( Ω MR t + ψ S −ψ MK ) + p2 ( t ) cos ( Ω MR t + ψ S −ψ CS ) ; A (III.46) kifejezésből, amennyiben ismerjük (például előírjuk) a p = p ( t ) kormányzás-függvényt, akkor a beállítási szög idő szerinti második deriváltja kiszámolható: ϑɺɺ( t ) = ( ɺɺp f ) − ctgσ ⋅ βɺɺL + βɺɺLδ L + 2βɺLδɺL + β LδɺɺL ; III.1 ábra: Rotorlapát hossztengely körüli elfordulása 62

(III.47) III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok A (III.47)-ben a p = p ( t ) kormányzás-függvény deriváltját csak formálisan írtuk fel, ennek a deriváltnak a tényleges számításához mindenképpen szükséges a tényleges kormányzás-függvény megadása. A teljesség kedvéért, a [G2] irodalomjegyzékében szereplő [58] mű nyomán bemutatunk egy, a rotorlapát hossztengely körüli elfordulására vonatkozó mozgásegyenletet. Tegyük fel, hogy a csapkodási és a matatási szög egyaránt azonosan nulla. Ezt a helyzetet mutatja a III1 ábra Az ábrán látható, hogy az azonosan nulla csapkodási és matatási szög miatt az xL és az xF tengely azonos Illetve, ezért a rotorlapátnak csak egy, a hossztengelye körüli elfordulása lehetséges. Ebben az igencsak speciális esetben, egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülést feltételezve, a rotorlapát szögsebessége a „LAPÁT” koordinátarendszerben: L ωBL   ϑɺ   =  Ω MR

sin ϑ  ; Ω MR cos ϑ    (III.48) A szöggyorsulás pedig, (III.48) alapján (állandó főtengely szögsebesség esetén):   ϑɺɺ   L ε BL =  Ω MRϑɺ cos ϑ  ;  −Ω MRϑɺ sin ϑ    (III.49) Tekintsük a (III.20) vektor-differenciálegyenletet A vizsgált, speciális esetben a jobbL L oldal utolsó tagjában szereplő r SP × a LT vektori szorzat értéke zérus-vektor, mivel a súlypont és a gyorsulás vektor egy egyenesre esik. Így tehát, (III20)-ból a következő eredményt kapjuk: ( ) L L  2  L   Ω MR θ z − θ y sin ϑ cos ϑ   M LT  θ xLϑɺɺ ,x  L    L L L ɺ ɺ    θ y Ω MRϑ cos ϑ  +  Ω MRϑ θ x − θ z cos ϑ  =  M LT , y  ; ɺ  L   L   −θ z Ω MRϑ sin ϑ   Ω MRϑɺ θ yL − θ xL sin ϑ   M LT , z    ( ( ) ) (III.50) A [G2] irodalomjegyzékében szereplő [58] mű nyomán feltételezzük,

hogy: θ zL − θ yL ≈ θ xL , θ xL − θ zL ≈ −θ yL és − θ zL + θ yL − θ xL ≈ −2θ xL ; (III.51) A (III.50) első komponens egyenlete, (III51) első relációjának figyelembe vételével (ez [58] (1.7) számú egyenlete – bár a rendelkezésünkre álló [58]-ban ez a képlet sajtóhibás, benne a beállítási szög második helyett első deriváltja szerepel; az (1.8) összefüggés már helyesen, a második deriváltat tartalmazza): L θ xLϑɺɺ + Ω 2MRθ xL sin ϑ cos ϑ = M BL ,x ; (III.52) 63 III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Amennyiben a beállítási szög kicsi, akkor a (III.52) egyszerűbben is írható Véleményünk szerint azonban a (III52) egyenletbe a (III46) és (III47) szerinti beállítási szög, illetve annak második deriváltja helyettesítendő be és számítani az ehhez rendelt nyomaL tékot ( M LT , x ) lehet. Ennek a nyomatéknak – kiegészítve az aërodinamikai nyomatékkal – a kormányrendszer

terhelésinek számításában lehet szerepe. Az aërodinamikai nyomatékkal kapcsolatban elmondható, hogy a rotorlapátok profiljait általában úgy választják, hogy legyen olyan pontjuk (pl. a húrjuk első negyedpontja), amelyre az aërodinamikai nyomatékuk, széles állásszög tartományban zérus, vagy legalábbis kicsi. Illetve igyekeznek, hogy a rotorlapát hossztengelyét ezek, a „~ nulla nyomaték” pontok alkossák (A rotorlapátot úgy építik fel, hogy a profilokat a lapát hossztengelyének nevezett egyenesre fűzik fel és a felfűzés pontja a „nulla nyomaték” pont.) Ezért, a (III52)-ból számítható nyomaték elég jól közelítheti azt a nyomatékot, ami a lapát elfordításához szükséges, illetve amit a kormányrendszernek – extrém esetektől eltekintve – létre kell hoznia. Pontosabb vizsgálatokban természetesen figyelembe kell venni, hogy például az időben változó (instacionárius) áramlásban a profilok működése akár nagyon

nagymértékben is különbözhet, eltérhet a stacionárius működéstől. Ezért, egyes üzemállapotokban akár nagyon jelentős aërodinamikai nyomaték is keletkezhet, amit nyilván számításba kell venni. Ilyenformán itt is megjelenik a gyakorlat: az eddigi, elméleti fejtegetések értékét a ténylegesen fellépő (mért) nyomatékok értékének tükrében lehet és kell tekinteni! A [G2] irodalomjegyzékében szereplő [58] mű nyomán megállapítjuk még, hogy a L (III.50) második sora szerint a 0 ≈ M BL , y (közelítő) állítás tehető, vagyis azt mondhatjuk, hogy a hossztengely körüli elcsavarodás nem kelt csapkodó nyomatékot – a hossztengely körüli elcsavarodás tehát, ezen a módon jó közelítéssel nem befolyásolja a csapkodó mozgást. Nem szabad megfeledkezni azonban arról hogy aërodinamikai úton, természetesen igen jelentős a kapcsolódás! L A (III.50) harmadik sora szerint írható, hogy −2θ xL Ω MRϑɺ sin ϑ ≈ M BL , z ,

vagyis a hossz- tengely körüli elfordulás befolyást gyakorol a matató mozgásra. Ez azonban – [58]szerint – a többi nyomatékkal összevetve igen kis nyomaték, amit a további számításokban el lehet hanyagolni Eddig a merev rotorlapátok vizsgálatával foglalkoztunk. A valóságban azonban a rotorlapátok rugalmasak – amikor rájuk igénybevételek hatnak, akkor jelentős hajlító és csavaró deformáció keletkezik rajtuk. Csak megjegyezzük, hogy a rotorlapátok kapcsolt hajító – csavaró lengése, a rotorlapát flatter rendkívül fontos, sokat vizsgált jelenség illetve folyamat. Ezen a helyen [G1]-re utalunk: az ott szereplő (IV2) és (IV4) kifejezések alapján lehet egy, megfelelő számítási modellt felépíteni. A rugalmasság és a dinamikai terhelés rendkívül fontos, azonban egyúttal meglehetősen bonyolult kérdéskör is – a tanulmányozására itt nem kerítünk sort. Azonban e kérdéskör néhány gondolata olvasható [G9]-ben 64

III. Csuklós bekötésű, merev rotorlapátok Csak megemlítjük, hogy a rotorlapátok mozgásának tanulmányozása után következhet az egész forgószárny és forgószárnyas repülőgép működésének a vizsgálata – ezzel a kérdéskörrel ebben a munkában nem foglalkozunk. Az autogírók, de különösen a helikopterek rotorjainak kialakítása igen bonyolult is lehet Ráadásul sok esetben szerelnek a rotorokra külön lengéscsillapítókat vagy lengésfojtókat, ezeknek a vizsgálata is összetett feladat. Néhány, modern rotortípuson pedig adaptív rezgéscsökkentő rendszert is alkalmaznak Ezekkel a területekkel a hivatásszerűen ezzel foglalkozó szakemberek, megfelelő elméleti és gyakorlati tapasztalattal a hátuk mögött, egy, alkotó kollektíva tagjaként foglalkozhatnak eredményesen 65 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Ebben a fejezetben az impulzus és lapelem elmélet összekapcsolásán alapuló, előrehaladó repülésre

vonatkozó, helikopter vagy autogíró rotor aërodinamikai és dinamikai számítására szolgáló eljárást mutatunk be. Az „aërodinamikai és dinamikai” azt jelenti, hogy előírt kormányzás mellett, az indukált sebességmezőt és a csapkodó mozgást a kölcsönhatásuk figyelembe vételével számoljuk. Az eljárás főbb lépései, nagyvonalúan leírva [G9]-ben (angol nyelven) olvashatók – megjegyzendő, hogy itt továbbra is csak merev rotorlapáttal foglalkozunk, jóllehet [G9]-ben rugalmas lapát szerepel. Az itt ismertetendő eljárás egyes szempontok szerint túl bonyolult, mivel például az úgynevezett, a szakirodalomból ismert „háromszög indukált sebesség eloszlás”-on alapuló számítást messze meghaladja. Másrészt túlságosan egyszerű, mert sok hatást – mondjuk például a lapátvég-örvény kölcsönhatást (BVI) vagy a törzsnek rotor alatti áramlásra gyakorolt hatását nem képes vizsgálni. Véleményünk szerint a

következőkben ismertetendő eljárás egy, a leglényegesebb fizikai hatások közül sokat magába foglaló, megvalósítható módszerre vezet, mely módszer a későbbi, pontosabb (pl. CFD, kísérleti stb.) vizsgálatok kiindulása lehet Ezért tehát az itt ismertetendő eljárás előzetes számítási módszernek tekinthető IV.1 A repülési sebesség A III.12 pontban ugyan már foglalkoztunk a sebességekkel és a gyorsulásokkal, de az ott általánosságban történt – ebben a fejezetben a sebességeket a konkrét számítási eljárás szempontjából vizsgáljuk. Rögtön az elején leszögezzük, hogy a célunk egyenes vonalú, egyenletes sebességű repülés vizsgálata és a további lépéseket ennek megfelelően alakítjuk. Ennél bonyolultabb repülési állapotok vizsgálatának ugyan elvi akadálya nincs, azonban a levezetések összetettsége miatt ezekre nem térünk ki. A repülési sebességet a legegyszerűbben a [G8] szerinti „SZÉL”

koordinátarendszerben adhatjuk meg. Ezt és a „TEST” koordinátarendszert tüntettük fel a IV1 ábrán A „SZÉL” koordinátarendszer „ xA ” tengelyét a V repülési sebesség jelöli ki, azaz (a transzponáltja): V A,T = [V 0 0] . Forgassuk el először a „ z A ” tengely körül az „ x A − y A ” tengely-párt a β AH csúszási szöggel, úgy, hogy az „ x′ − yB ” tengely párhoz érkezzünk. Ezután, másodszorra forgassuk el az „ yB ” tengely körül az α AH állásszöggel az „ x′ − z A ” tengely-párt, úgy, hogy az „ xB − z B ” tengely párhoz érkezzünk. Ez a két elforgatás definiálja a „SZÉL” koordinátarendszert (a „TEST” koordinátarendszerhez viszonyítva) A csúszási- és az állásszöggel bővebben [G8] foglalkozik. 66 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.1 ábra: A TEST (B) és a SZÉL (A) koordinátarendszer Transzformáljuk a repülési sebességet a „SZÉL”

koordinátarendszerből a „TEST” koordinátarendszerbe. A transzformációt, illetve a két koordinátarendszer közötti kapcsolatot ([G8] nyomán) az alábbiakban adjuk meg: V  V =  0  ;  0  A AB , A és: V = AB , A V ; B cos α AH cos β AH =  − sin β AH  sin α AH cos β AH A (IV.1) ahol: cos α AH sin β AH cos β AH sin α AH sin β AH − sin α AH  ; 0  cos α AH  A (IV.1) összefüggés alapján felírhatjuk a repülési sebességet a „TEST” koordinátarendszerben: VxB   V cos α AH cos β AH    B ; V = VyB  =  − V sin β AH  VzB   V sin α AH cos β AH    (IV.2) A továbbiakban az egyszerűség kedvéért a csúszástól is eltekintünk, azaz kikötjük, hogy a csúszási szög legyen nulla. Ennek megfelelően a repülési sebesség a „TEST” koordinátarendszerben az alábbi formában írható: V B ( β AH VxB   V

cos α AH   ≡ 0 ) = VyB  =  0 B Vz   V sin α AH    ;   67 (IV.3) IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A következő lépésben átszámítjuk a repülési sebességet a „TEST” koordinátarendszerből a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe. (A két koordinátarendszert [G8] III fejezetének első pontjában definiáltuk, illetve a [G8] III2 ábráján tüntettük fel) Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a főrotor tengelyének előre-hátra billentési szöge ( ϕ EH ) és az oldaltbillentési szöge ( ϕ BJ ) egyaránt nulla. (Számolni természetesen az esetleges tényleges szögekkel is lehetne – csak akkor jelentősen bonyolultabbak lennének a kifejezéseink) A leegyszerűsített helyzetnek megfelelően tehát a „TEST” koordinátarendszerből a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe a [G8]-ban (III.9) számot viselő összefüggéssel (ezt [G8]-ban „fejtetőre fordítás”-nak

neveztük) juthatunk el: V =V * MR = A*, B V ; B ahol: A*, B = AMR , B ( ha ϕ EH = ϕ BJ végeredményben: V  −1 0 0  = 0 ) =  0 1 0  ;  0 0 −1 MR  −V cos α AH =  0  −V sin α AH  ;   (IV.4) Az egyenesvonalú, egyenletes repülés azt jelenti, hogy a repülési sebesség állandó elemekből felépülő sebesség-mezőként tekinthető (mintha szabad vektor lenne). Ezért, bár a két koordinátarendszer origója különböző, az eltolással nem kell törődni. A „FŐROTOR” koordinátarendszer egyébként a II. fejezet II1 illetve II3 ábráján is szemügyre vehető A következőkben ismertetendő aërodinamikai és dinamikai számítást egyedülálló főrotorra dolgozzuk ki – azaz a törzs és a rotor kölcsönhatását nem vesszük tekintetbe. Vezessük be ezért a főrotor állásszögét: α MR -t. Ez a repülési sebesség egyenesétől a forgószárny főtengelyének gépszerkezeti

tengelyére merőleges egyeneséig mért szög (IV2 ábra). Ezt a szöget korábban a [G2]-ben vezettük be és a [G2] I2 és I3 ábráján is látható Csúszásmentes repülés esetén és ha ϕ EH = ϕ BJ = 0 , azaz a rotortengely sem előrehátra, sem jobbra-balra nincs billentve, akkor lehet, illetve legyen α MR = α AH – ennek megfelelően a (IV.4) kifejezés harmadik sorába, a forgószárnyas repülőgép állásszögének a helyére beírható a főrotor állásszöge: V MR  −V cos α MR   VT     =  0 = 0   −V sin α MR  VM  ( ha ϕ EH = ϕ BJ = 0 és β AH = 0 ) ; (IV.5) A (IV.5) összefüggésben, a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe transzformált repülési sebesség látható, részletesen kiírva. A vektor első komponense a repülési sebesség forgássíkba eső összetevője ( VT ), a harmadik komponens ( VM ) pedig a repülési sebesség forgássíkra merőleges összetevője. 68 IV.

Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Számítsuk át a (IV.5) kifejezéssel meghatározott repülési sebesség vektort a „FŐROTOR” koordinátarendszerből a „FORGÓ” koordinátarendszerbe Ezt a [G8]-beli (III.23) számú összefüggés felhasználásával tehetjük meg: V = AF , MR V F azaz: MR  cosψ MR =  − sinψ MR  0 sinψ MR cosψ MR 0 0   −V cos α MR 0   0 1   −V sin α MR  ;    −V cos α MR cosψ MR   VT cosψ MR  V =  V cos α MR sinψ MR  =  −VT sinψ MR  ;     −V sin α MR VM F (IV.6) Megjegyezzük, hogy a transzformált repülési sebesség vektor harmadik összetevője (a forgássíkra merőleges összetevő) természetesen nem változott. Transzformáljuk tovább a repülési sebességet a „FORGÓ” koordinátarendszerből a „LAPÁT” koordinátarendszerbe (az eltolással itt sem kell törődni). Ezt [G8]

(III26)-os számú összefüggése alapján tehetjük:  cos δ L cos β L V = AL, F V =  − sin δ L cos β L  sin β L L F sin δ L cos δ L 0 − cos δ L sin β L   −V cos α MR cosψ MR sin δ L sin β L   V cos α MR sinψ MR   cos β L −V sin α MR     (IV.7) A teljesség kedvéért részletesen kiírjuk a (IV.7) kifejezéssel meghatározott, repülési sebesség összetevőket: VxL = −V cos α MR cosψ MR cos δ L cos β L + + V cos α MR sinψ MR sin δ L + V sin α MR cos δ L sin β L ; V = V cos α MR cosψ MR sin δ L cos β L + L y + V cos α MR sinψ MR cos δ L − V sin α MR sin δ L sin β L ; (IV.8) (IV.9) (IV.10) V = −V cos α MR cosψ MR sin β L − V sin α MR cos β L ; L z Bár a (IV.8), (IV9) és (IV10) kifejezéssel meghatározott repülési sebesség összetevők eléggé sok tagból állnak, numerikus számolásban ez nem okoz lényeges gondot. Ha a matató mozgással nem

számolnunk, akkor a δ L = 0 feltételt kell tekinteni: VxL,cs   − V cos α MR cosψ MR cos β L + V sin α MR sin β L    L ; V = VyL,cs  =  V cos α MR sinψ MR  VzL,cs   − V cos α MR cosψ MR sin β L − V sin α MR cos β L    (IV.11) (IV.12) (IV.13) Nagyon fontos, hogy a (IV.8), illetve a (IV11) a lapát hossza mentén kialakuló sebesség összetevőt jelenti – ezzel a sebességgel, direkt módon csak a legkorszerűbb, nagyon igényes, numerikus eljárásokban számolnak. Mi itt ezzel a sebesség összetevővel, illetve az általa okozott hatásokkal csak indirekt módon, a (változó) nyilazási szög figyelembe vételekor foglalkozunk. 69 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Ezzel rendelkezésünkre áll a „LAPÁT” koordinátarendszerben értelmezett repülési sebesség; és egyúttal ez lesz egy-egy lapát-metszet haladó repülésből származó sebessége! Csak megjegyezzük,

hogy közvetlen belátás alapján, a sebesség kiszámításában alkalmazott rengeteg egyszerűsítés ellenére sem lenne túl egyszerű akár a (IV.11), (IV12) és (IV.13) felírása sem Ehhez – véleményünk szerint – feltétlenül szükséges a [G8]-ban definiált koordinátarendszerek és transzformációk következetes alkalmazása. Még inkább igaz ez az általuk szándékosan elkerült, bonyolultabb esetekre! IV.2 ábra: A helikopter rotorja – sebességek, erők, mozgásmennyiség-változások Ebben a munkában – korábban már rögzítettük – a külső, vagy álló megfigyelő szerinti szemléletmódot választjuk. Az „álló megfigyelő” tulajdonképpen az inercia rendszert jelenti, ahonnan a repülésmechanikai vizsgálatainkat eredeztetjük. A választott szemléletmódunknak megfelelő jellemzőket tüntettük fel a IV2 ábrán Ezt az ábrát érdemes összevetni a [G2]-beli I.2 ábrával Ezek az ábrák lényegében ugyanazt a jelenségkört

foglalják össze, mindössze a [G2]-beli I2 ábra az „együttmozgó megfigyelő” (vagy szélcsatorna) szerinti szemlelet alapján készült Az „együttmozgó megfigyelő” szemléletmód leginkább az aërodinamikában szokásos; a jelen szemléletmód a repülésmechanikai vizsgálatokra jellemző. A két szemléletmód összevethető [G2] I3 ábrája alapján is IV.2 További sebességek IV.21 A főtengely forgásából származó sebesség A rotorlapát metszetek külső szemlélő szempontja szerint értelmezett eredő sebességének következő elemeként a főtengely forgásából származó sebességet tekintjük. Vizsgáljuk a III fejezetben látható, [G8]-beli III6 ábra szerinti „MR” pontot Itt a szállító sebesség a repülési sebesség – ennek „LAPÁT” koordinátarendszerben értelmezett kifejezése 70 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása a (IV.8), a (IV9) és a (IV10) (esetleg a (IV11), (IV12) és a (IV13)) összefüggés E pont

körül végez járulékos keringő mozgást az „LT ” pont Az „LT ” pont szállító sebessége a repülési sebességből (ez azonos „MR” pontnál említett repülési sebességgel), illetve a főtengely forgásából származó szállító sebességből áll. A főtengely forgásából származó szállító sebesség-részt a „FORGÓ” koordinátarendszerben célszerű kiszámolni: k   0  i j   F F V F = Ω MR × MR, LT = 0 0 Ω MR  = Ω MR e  ;   e 0   0  0   (IV.14) Transzformáljuk ezt a sebességet a „LAPÁT” koordinátarendszerbe:  cos δ L cos β L V = AL , F V =  − sin δ L cos β L   sin β L L F F F sin δ L cos δ L 0 − cos δ L sin β L   0  sin δ L sin β L  Ω MR e  =     0  cos β L  Ω MR e sin δ L  = Ω MR e cos δ L  ⇒ ha δ L = 0, 0    0  akkor : V = Ω MR e

 ;  0  L F (IV.15) A (IV.15) szerint belátható tehát, hogy, ha a matató mozgástól eltekintünk ( δ L = 0 ), akkor az „LT ” pont főtengely forgásából származó szállító sebesség-része a „FORGÓ” és a „LAPÁT” rendszerben azonos. Számoljuk ki a rotorlapát egy, „ xL ” koordinátájú pontjának a főtengely forgásából származó sebességét, a „LAPÁT” koordinátarendszerben. Ezt a következőképpen határozhatjuk meg (a főtengely forgásából származó, eredő sebességet (IV15) és (IV16) öszszegeként számoljuk majd): i j k   xL     L L V FM = Ω MR ×  0  =  −Ω MR cos δ L sin β L Ω MR sin δ L sin β L Ω MR cos β L  =   0   xL 0 0  0 0     L     =  Ω MR xL cos β L  ⇒ ha δ L = 0, akkor : V FM = Ω MR xL cos β L  ;  −Ω MR xL sin δ L sin β L    0 (IV.16) IV.22 A csapkodó

és matató mozgásból származó sebesség Határozzuk meg a rotorlapát egy, „ xL ” koordinátájú pontjának a csapkodó és a matató mozgásból származó sebességét. Ezt a „LAPÁT” koordinátarendszerben értelmezett, csapkodó és matató mozgásból származó szögsebesség (III. fejezet, (III8) összefüggés) és a megfelelő helyvektor vektori szorzatával számíthatjuk ki: 71 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása i j  xL    v =ω ×  0  =  βɺL sin δ L βɺL cos δ L  0   xL 0 0     ⇒ ha δ = 0, akkor : v L = δɺL xL cs L  ɺ  − β L xL cos δ L  L cs , m L CSM k  δɺL  = 0   0 =  0  − βɺL xL  ;   (IV.17) Ügyelni kell arra, hogy az általunk választott koordinátarendszerekben értelmezett pozitivitásoknak megfelelően a lecsapás a pozitív. Ezt mutatja a (IV17) második sorában látható két vektor

harmadik komponensében található negatív előjel. Ez az előjel (ami a számolásunkból automatikusan következik!) biztosítja, hogy például a felcsapó lapát esetén ( βɺL < 0 ) a csapkodási sebesség (a harmadik komponensek) pozitív legyen – vagyis a felcsapás sebessége tényleg felfele, a pozitív z L tengely irányába mutasson. Erre a számolásnál külön ügyelni nem kell (csak a számolási szabályokat kell következetesen alkalmazni), az eredmények értelmezésénél viszont feltétlenül figyelembe kell venni! IV.23 Az indukált sebesség A rotoron keletkező eredő légerő a IV.2 ábra jobboldalán látható Az eredő indukált sebesség ezzel, az eredő erővel párhuzamos és az általunk választott, „külső megfigyelő” szerinti szemléletmódban a két vektor értelme azonos. (A II fejezet II2 ábráján látható például, hogy a „ viV ” tengelyirányú, változó indukált sebesség párhuzamos és azonos értelmű a forgószárnyon

keletkező, tengelyirányú „ T ”, erővel.) Az indukált sebesség számolásában igen komoly egyszerűsítéssel élünk: a következőkben az eredő indukált sebesség helyett csak a „ viV ” tengelyirányú, közeli, változó indukált sebesség összetevővel számolunk. Azért tesszük ezt, mert az impulzus tétel, az általunk alkalmazott formában erre alkalmas. Az indukált sebesség tehát, a „FORGÓ” koordinátarendszerből indulva a „LAPÁT” koordinátarendszerben:  cos δ L cos β L sin δ L − cos δ L sin β L   0  v = AL , F v =  − sin δ L cos β L cos δ L sin δ L sin β L   0  =    viV  sin β L 0 cos β L  viV , x   − viV cos δ L sin β L   − viV sin β L    L  =  viV , y  =  viV sin δ L sin β L ⇒ ha δ L = 0, akkor : viV =  0    viV , z     viV cos β L viV cos β L L iV F iV 72  ;  

(IV.18) IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.24 Az eredő sebesség Az eddigiek alapján, a (IV.8), (IV9), a (IV10), (IV15), (IV16), (IV17) és a (IV18) felhasználásával összeállítjuk a merev rotorlapát egy metszetének eredő sebességét: VRVL , x = −V cos α MR cosψ MR cos δ L cos β L + + V cos α MR sinψ MR sin δ L + V sin α MR cos δ L sin β L + + Ω MR e sin δ L − viV cos δ L sin β L ; (IV.19) VRVL , y = V cos α MR cosψ MR sin δ L cos β L + + V cos α MR sinψ MR cos δ L − V sin α MR sin δ L sin β L + Ω MR e cos δ L + Ω MR xL cos β L + δɺL xL +viV sin δ L sin β L ; (IV.20) = −V cos α MR cosψ MR sin β L − V sin α MR cos β L − Ω x sin δ sin β − βɺ x cos δ + v cos β ; (IV.21) L RV , z V MR L L L L L L iV L IV.3 ábra: Rotorlapát metszet működési viszonyai A IV.3 ábra segítségével egy, kiválasztott rotorlapát metszet működési viszonyai vehetők szemügyre A lapátot

felcsapó helyzetben ábrázoltuk, a csapkodási szög ( β L ) tehát negatív. A kiválasztott metszet sebességeit például a (IV19), (IV20) és (IV21) kifejezésekből számíthatjuk 73 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása L A VRV , x lapát hossztengely irányú sebesség összetevőt közvetett módon (a változó nyilazás hatásán keresztül, ami a felhajtóerő tényező étékére gyakorolt hatást) vesszük csak figyelembe. Ha eltekintünk a matató mozgástól ( δ L = 0 ), akkor a (IV19), a (IV20) és a (IV.21) kifejezés jelentősen egyszerűsödik: VRVL , x ,cs = −V cos α MR cosψ MR cos β L + V sin α MR sin β L − viV sin β L ; (IV.22) VRVL , y ,cs = V cos α MR sinψ MR + Ω MR ( e + xL cos β L ) ; (IV.23) VRVL , z ,cs = −V cos α MR cosψ MR sin β L − V sin α MR cos β L − βɺL xL + viV cos β L ; (IV.24) A (IV.24) kifejezésben, sok esetben a viV cos β L tag helyett egyszerűen a viV -t alkalmazzák, illetve a

(IV22)-ből a viV sin β L tagot kihagyják Ez, kis csapkodási szögek esetén elfogadható közelítés IV.3 Sebességi sokszög – lapelem elmélet A forgószárnyak aërodinamikájában – ahogyan ez a vonatkozó szakirodalomból is megállapítható – a vizsgálatok részét képezi az úgynevezett „lapelem elmélet” is. Ezzel az elmélettel a szárnyelmélet számos területén találkozunk – eszerint a vizsgált szárnyat szárny-metszetekből építjük fel és a szárny (pl. forgószárny) körüli áramlást az egyes lapelemek körül kialakuló, síkáramlásnak tekintett áramképek megfelelő összetételével írjuk le. A megfelelő összetétel jelenthet például valamely örvény-elméletet; az örvényelmélet alkalmas lehet a térbeli (háromdimenziós) hatások vizsgálatára is Bár számos munka foglalkozik az örvény-elmélet forgószárnyakra történő alkalmazásával, azonban – a tapasztalataink szerint – ez egy veszélyes terület: jó

esetben kiváló eredmények érhetők el; nem megfelelően felépített megoldó séma (pl. a leúszó örvények helyének pontatlan meghatározása esetén) az eredmény egészen rossz, teljesen használhatatlan is lehet Ebben a jegyzetben ezért a hagyományosnak tekinthető utat követjük, vagyis a vizsgálatainkat a lapelem és az impulzus elmélet összevetéséből származtatott összefüggésekre alapozzuk. (Az elnevezés rövidítése: BEMT, az angol Blade Element Momentum Theory megnevezésből származik.) A IV.3 ábrán látható sebességeket érdemes összevetni a [G2] – III10 ábráján vázolt képpel, illetve sebesség-eloszlással. Azt látjuk, hogy a rotorlapát metszetek csak egészen speciális esetben kapják a megfúvást pont elölről (adott esetben, a [G2] – III.10 ábrán berajzolt „Hátsó megfúvású zóna” hátrahaladó lapátja pont hátulról), általában ferde a megfúvásuk. Méghozzá, az „ xL ” tengely irányába mutató sebesség

összetevő – a másik két összetevőhöz képest – változó nagyságú, esetenként igen nagy értéket is elérhet. Ezért a rotorlapát-metszetek körül általában térbeli áramlás alakul ki. Erről a tényről nem megfeledkezve, mégiscsak a lapát metszetek körül kialakuló síkáramlásból indulunk ki és a térbeli hatások figyelembe vételére korrekciókat javasolunk. 74 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.31 A lapelem elmélet Tekintsük tehát először a lapelem elméletet – egy, vizsgálandó lapelemet a IV.4 ábrán tüntettünk fel. A IV4 ábra valójában a IV3 ábra jobb, felső részének – a lapátmetszet sebességeinek – részletesebb vizsgálatát teszi lehetővé. A IV4 ábrán a IV3 ábrán térben ábrázolt sebességeket két nézetben vázoltuk. IV.4 ábra: Rotorlapát metszet sebességei Az ábráról és a sebesség-komponensek kifejezéseiből megállapítható, hogy a lapátmetszetek (a nulla felhajtóerő

iránytól mért – NFI) állásszöge ( α n ) igen jelentős mértékben változik. Az állásszög például egy-egy metszetnél 0 és 3600 (vagy −1800 és 1800 ) közötti értékeket vehet fel. A repülésben hagyományosan és általában ettől jóval kisebb állásszög tartomány jön szóba, ezért is a legtöbb profil légerő és nyomatéki tényezőit csak ez utóbbi, jelentősen szűkebb állásszög tartományban mérték ki. A teljes állásszög tartományra vonatkozó mérések ritkák, sok esetben csak valamely extrapolációs módszer áll a rendelkezésünkre, hogy ezeket a jellemzőket megbecsülhessük. Az állásszög egy (rögzített) metszetnél az idő (illetve az ezzel ekvivalensnek tekintett azimút szög) függvényében változik, azaz a profilok körül időben változó, instacionárius áramlás alakul ki. Erre a kérdéskörre igazán jó megoldás – a nagyon igényes numerikus módszerek kivételével – véleményünk szerint, jelenleg nem

áll rendelkezésre. Mi itt megelégszünk a figyelem felhívásával, az instacioneritás hatásának számítására szolgáló, konkrét megoldást nem mutatunk be. 75 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A IV.3 vagy IV4 ábra alapján megállapított, ferde megfúvást (ami a nem nulla lapáthossz menti sebességet jelenti) nyilazásként is felfoghatjuk A nyilazás szöge ( λn ) is igen jelentős mértékben változik. A kialakítandó aërodinamikai modellbe ezt a hatást is bele kell foglaljuk. Tegyük fel, hogy a rotorlapát metszeteknek van olyan pontja, amelyre a nyomatéki tényező, széles állásszög tartományban közel nulla. Ez olyan követelmény, aminek a legtöbb rotorlapát profil meg kell feleljen, illetve meg is felel Ezért mi a következőkben a profilok nyomatékának vizsgálatával nem foglalkozunk. Tekintsük ismertnek a stacionárius áramlásra érvényes felhajtóerő tényezőt, illetve ellenállás tényezőt (a rend kedvéért

meg kell jegyezni, hogy ezek a Reynolds szám, a Mach szám és a megfúvás ferdeségének [nyilazás] függvényében (is) változnak): cL = cL (α n , Re, M , λn ) és cD = cD (α n , Re, M , λn ) ; (IV.25) A felhajtóerő- és az ellenállás tényezőre használható, a szakirodalomból származó, ott elfogadott, konkrét függvény-kapcsolat található az M.II mellékletben Ebben egyáltalán nem szerepel a Reynolds szám és az ellenállás tényezőnél a megfúvás ferdesége sem jelenik meg. A rotorlapátok véges szárnyként működnek, ezt lapátvég veszteség bevezetésével vesszük figyelembe. Ezt – tekintettel az általunk ajánlott teljes rotorlapát-számítási eljárás bonyolultságára – az alábbi, igen egyszerű összefüggéssel számoljuk: cL 3 D  x  = cL  1 − L   LL  0.05 (IV.26) ; A lapátvég veszteséget természetesen fizikailag jobban megalapozott eljárással, például valamely örvény elmélet

felhasználásával számolhatnánk – de mi itt az örvény elméletekkel egyáltalán nem foglalkozunk, a rotorlapátok aërodinamikai és dinamikai vizsgálatát az impulzus és a lapelem elmélet egyesítésével adódó módszerrel végezzük. A IV.4 ábra alapján a sebességi sokszög jellemző szöge, szintén a kétargumentumú árkusz tangens függvényből számolható: ϕ = arctan (VRVL , z ,VRVL , y ) ; (IV.27) Ezzel a lapát metszet állásszöge a beállítási szög és a sebességi sokszög jellemző szögének különbségeként határozható meg: αn = ϑ −ϕ ; (IV.28) A IV.4 ábra alapján a nyilazási szög, a kétargumentumú árkusz tangens függvényből számolható: λn = arctan (VRVL , x , VRVL , y ) ; (IV.29) 76 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A Mach számot a környezeti levegőállapot alapján meghatározott hangsebesség ( a = 20.05 Tkörny ) felhasználásával számolhatjuk Ezzel - a fentiek figyelembe vételével a

(IV25)-ben (illetve a II Mellékletben) szereplő függvények felhasználásával egy-egy lapátmetszeten keletkező a felhajtóerő- és az ellenállás tényező meghatározható. Tekintsük egy, kiválasztott lapátmetszet eredő sebességének (beleértve a csapkodási és matatási sebességet, valamint a közeli indukált sebességet is) lapát-hossztengelyre merőleges összetevőjét, illetve annak a négyzetét. Ezt a (IV20) és (IV21) - vagy ezek egyszerűsített kifejezése - szerint számítjuk Ezzel tehát a kiválasztott lapátmetszet eredő sebessége, normális komponensének a négyzete: ( WP2 = VRVL , y ) + (V ) ; 2 L RV , z 2 (IV.30) A IV.4 ábra alapján, (IV30) felhasználásával számolhatók a lapátmetszeten keletkező (hosszegységre eső) erők (itt vesszük figyelembe a (IV.26)-tal definiált lapátvég veszteséget): dLL = ( ρ 2 ) WP2 cL 3 D h dxL és dD L = ( ρ 2 ) WP2 cD h dxL ; (IV.31) A megoszló felhajtóerő és légellenállás,

valamint a ϕ szög ismeretében – ismét csak a IV.4 ábra alapján – meghatározható a lapátmetszetre ható (megoszló) eredő légerő lapát koordináta rendszerben értelmezett yL és z L irányú összetevője: dN L = dLL cos ϕ − dD L sin ϕ és dQ L = − dLL sin ϕ − dD L cos ϕ ; (IV.32) Tekintsünk el a lapátmetszeten keletkező eredő légerő hossztengely irányú összetevőjétől, akkor az elemi eredő légerő vektor a lapáthoz rögzített koordinátarendszerben az alábbi alakot ölti: (IV.33) dR =  0   dQ L  ;    dN L  L IV.32 Az eredő légerő támadáspontjának koordinátái A lapátra ható (elemi) légerőket a (IV.33) kifejezéssel tetszőleges helyen (tetszőleges lapátmetszetnél, illetve tetszőleges azimút szögnél) ki lehet számítani. Ezzel egy, a rotorsík feletti, megoszló légerő-rendszert számolunk – a lapelem elmélet alapján A későbbiekben ennek a megoszló légerő-rendszernek (megoszló

terhelésnek) a zMR (főrotor forgástengely) irányú összetevőjét az impulzus elmélet alapján is meghatározzuk A számítási eljárásunkat – többek között – e két eredmény összevetésére alapozzuk Ehhez az összekacsoláshoz szükséges az elemi eredő légerő támadáspontjának „FŐROTOR” koordinátarendszerbe történő átszámítása. 77 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a (IV.33) kifejezésben szereplő (elemi) eredő légerő támadáspontja a lapát hossztengelyén helyezkedik el – úgy, ahogyan azt a IV.4 ábrán ábrázoltuk is Ezt a feltételt adott esetben ki kell egészíteni az eredő légerőnek a kiválasztott pontra gyakorolt nyomatékával Ez fontos lehet például a lapát-flatter számításánál. (A flatter számításával ebben a jegyzetben nem foglalkozunk) Illetve feltesszük a rotorlapát profilokról, hogy a korábban leírtak értelmében, ezeken a profilokon

keletkező légerő nyomatéka a profil egy pontjára, széles állásszög tartományban nagyon kicsi (nulla) és ez a pont éppen a lapát hossztengelyére esik. Ezért a profilon keletkező légerők esetleges nyomatékával itt nem foglalkozunk. Határozzuk meg a ψ MR azimút szögnél lévő lapáton, az xL hosszmenti koordinátával meghatározott metszeten keletkező elemi eredő légerő támadáspontjának ( xMR , yMR , zMR ) koordinátáit. Ezzel a szóban forgó lapátmetszeten keletkező eredő légerő főrotor rendszerbeli, az összekapcsoláshoz szükséges támadáspontját határozzuk meg Lépjünk vissza először a lapát rendszerből a forgó rendszerbe, és vegyük figyelembe a csapkodó csukló széthelyezését is:  xF   y  = AT L ,F  F  z F   xL   e  cos δ L cos β L xL + e   0  + 0 =  ; sin δ L xL        0  0   − cos δ L sin β L xL 

(IV.34) Innen a főrotor koordinátarendszerbe az alábbi módon jutunk:  xMR   xF  cosψ MR − sinψ MR 0  cos δ L cos β L xL + e   y  = AT  y  =  sinψ = cosψ MR 0   sin δ L xL MR F , MR  F   MR     zMR   z F   0 0 1   − cos δ L sin β L xL   cosψ MR ( cos δ L cos β L xL + e ) − sinψ MR sin δ L xL    = sinψ MR ( cos δ L cos β L xL + e ) + cosψ MR sin δ L xL  ;   − cos δ L sin β L xL (IV.35) Ha a matatási szögről feltesszük, hogy az értéke kicsi, akkor választható a sin δ L ≈ 0 és a cos δ L ≈ 1 közelítés. Ekkor az átszámítás sokkal egyszerűbb lesz:  xMR  cosψ MR ( cos β L xL + e )    y  ≅  sinψ MR ( cos β L xL + e )  ;  MR    zMR   − cos δ L sin β L xL  (IV.36) Az impulzus tétel szerinti vizsgálatnál úgy

tekintjük, hogy a rotor az ( xMR , yMR ) síkban működik, ezért a (IV.35) vagy (IV36) kifejezésből a zMR értéket általában nem használjuk Ha esetleg a kis csapkodási szög miatt a cos β L ≈ 1 közelítéssel élnénk, akkor az xMR = cosψ MR ( xL + e ) és a yMR = sinψ MR ( xL + e ) , a közvetlen szemlélet alapján is belátha- tó kifejezés-párhoz jutnánk. 78 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.33 A csapkodó- és a matató nyomaték A III. pontban meghatároztuk a csapkodó és a matató mozgás mozgásegyenletét A csapkodást a legáltalánosabban a (III.31), közönséges, másodrendű, nemlineáris differenciálegyenlet írja le Ebből származtattuk az igen gyakran használt, (III37) közönséges, másodrendű, lineáris differenciálegyenletet. Ezekben az egyenletekben szerepel az L M BL , y nyomaték, ezt a nyomatékot a (III.28) kifejezéssel vezettük be E nyomaték egy, megválasztott azimút szöghöz tartozó értékének

légerőkből származó részét számolhatjuk a IV.4 ábrán feltüntetett normálerő lapáthossz menti integrálásával: LL L M BL , y AE (ψ MR ) = − ∫ xL 0 dN L dxL ; dxL (IV.37) A (IV.37) kifejezésbeli negatív előjel a nyomaték definíciójából ( M = r × F ), illetve annak esetünkre történő alkalmazásából következik De következhet fizikai alapon is: pozitív dN L erő felcsapást indukál, a felcsapáshoz pedig mi negatív forgásirányt rendeltünk A magyarázatban hivatkozott vektori szorzat részletesen kiírva az alábbi alakot ölti: M L BL , AE i  = " r × F " =  xL 0  j 0 dQ L k   0   0  =  − xL dN L  ; dN L   xL dQ L  A matató mozgás mozgásegyenletével a III.15 pontban foglalkoztunk Ennek különböző, konkrét alakjai, a csapkodó mozgás mozgásegyenleteihez hasonlóan közönséges, másodrendű, nemlineáris (vagy lineáris, linearizált: pl. a (III45)

egyenlet) differenciálegyenletek Az ezekbe beírandó aërodinamikai nyomatékot szintén a IV4 ábra segítségével, az ott értelmezett kerületi erő felhasználásával, a fenti vektori szorzat felhasználásával számolhatjuk: LL M L BL , z AE (ψ MR ) = ∫ xL 0 dQ L dxL ; dxL (IV.38) A (IV.37)-ben és a (IV38)-ban ugyanazzal az xL lapáthossz menti koordinátával számoltunk, ez akkor igaz, ha a csapkodó és a matató csukló egy helyen van (Ilyen eset például a szférikus csapággyal kialakított rotoragy, ahol a szférikus csapágy teszi lehetővé mind a csapkodó, mind a matató mozgást.) Ha a két csukló között lényeges, el nem hanyagolható a távolság, akkor (IV.38)-ban az xL helyett az aktuális, a matató csuklótól mért távolságot kell beírni. A csapkodó és a matató mozgás is befolyásolja a légerőket, miközben a légerők megfelelő összetevői gerjesztik ezeket a mozgásokat. A számolás nyilván csak fokozatos közelítéssel

lehetséges, az erre vonatkozó konkrétan javasolt eljárást a IV5 pontban ismertetjük majd 79 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.34 Az emelő erőből származó megoszló terhelés A IV.4 pontban részletezett impulzus elmélet segítségével az indukált sebesség z F ≡ zMR tengely irányába eső összetevőjét határozzuk majd meg. Ezt az indukált sebesség összetevőt a T emelő erő (a forgószárny eredő erejének forgástengely irányú összetevője) hozza létre, illetve ez az indukált sebesség összetevő az emelő erő keletkezésének szükséges feltétele. (E két, fizikai jelenség együtt és csak együtt létezik) A teljes rotor emelő ereje és a hozzá kölcsönösen egyértelműen kapcsolt átlagos indukált sebesség [G2] – I.2, I3 vagy I5 ábráján vehető szemügyre Az indukált sebesség többi, lehetséges összetevőjével itt egyáltalán nem foglalkozunk. Csak a rend kedvéért említjük, hogy az indukált

sebesség tengelyirányú és kerületi összetevőjével például [R10], [G4] vagy [G5] foglalkozik. Ebben a jegyzetben tehát az indukált sebesség tengelyirányú összetevőjéről lesz csak szó, ez azonban a rotoron pontról pontra változik – vagyis valójában az egész rotor feletti indukált sebesség-eloszlással foglalkozunk. Ez az indukált sebesség eloszlás a részemelő erők ( ∆T - IV5 ábra) hatására áll elő, illetve a rész-emelő erőkből számítjuk a rotor feletti megoszló terhelést IV.5 ábra: Megoszló terhelés az emelő erőből A lapelem és az impulzus elmélet kapcsolódási pontja tehát a rész-emelő erő ( ∆T ), illetve az ebből számítható megoszló terhelés, aminek értelmezéséhez tekintsük a IV.5 ábrát. Az ábra jobb oldalán egy rotorlapát látható, amelyen egy, kiválasztott lapát darabon keletkező, a (IV33) kifejezéssel értelmezett rész-eredő légerő ( ∆ R ) forgástengely irá- 80 IV. Rotor

aërodinamikai és dinamikai számítása nyú összetevőjét ( ∆T ) is feltüntettük. A rotorlapát kiválasztott kis darabján keletkező emelő erő helyzetét az xMR − yMR síkon a K ip , jp -ponttal adhatjuk meg – ezt a pontot az ábra bal oldalán is feltüntettük, a pont helyét az aktuális azimút szöggel (ψ MR , jp ) és futó koordinátával ( xL ,ip , illetve xF ,ip ) adjuk meg. A szóban forgó pont főrotor koordinátarendszerbeli („MR”) koordinátáit a (IV35), egyszerűbb esetben a (IV36) kifejezéssel, az xL ,ip xL és a ψ MR , jp ψ MR behelyettesítésével számíthatjuk. A IV.5 ábra bal oldalán, a K ip , jp pontot színezett terület veszi körül, ennek méretét a numerikus lehetőségek függvényében mi választhatjuk, választjuk meg! A ∆ xL megadásával egy lapáthossz menti felosztást, a ∆ψ MR megadásával pedig egy, körülfordulás szerinti felosztást határozunk meg. Mi itt, az egyszerűség kedvéért mindkét lépésközt

állandónak vesszük. Ez, ilyen értelemben egy, polár koordinátarendszer alkalmazását jelenti. A lapáthossz menti, diszkrét koordinátákat az 1 ≤ ip ≤ mp indexszel, a diszkrét azimút szög értékeket az 1 ≤ jp ≤ np indexszel jelöljük. Az mp és az np megválasztandó (pozitív) egész számok határozzák meg tehát a felosztás finomságát. Ezek szerint a K ip , jp pont az xF ,ip és a ψ MR , jp koordináták által meghatározott helyen található. Tekintsük most a K ip , jp pontot. Felette időről időre áthaladnak a rotor-lapátok, de viszonylag hosszú időszakokra nincs felette rotorlapát Ezért a következőkben (önkényesen!) egyfajta átlagos erő-csökkenést definiálunk Az összes rotorlapát aktuális darabjának „szilárd” felülete a lapátszám ( N MR ) és a (kék színnel) színezett terület ( h ∆xL ) szorzataként számolható Úgy tekintjük, mintha a keletkező erő a vizsgált pontban a teljes körgyűrű (közelítő)

területének ( 2 π xF ,ip ∆xF ) arányában lecsökkent értékkel hatna. Ezt fejezzük ki a (IV.39) kifejezésben, rögtön az egyenlőségjel után következő törttel Ebből megoszló terhelést pedig nyilvánvalóan az aktuális felülettel ( ∆ xF ∆ψ MR xF ,T ) történő osztás után kapunk. A lapelem elmélet szerinti megoszló terhelést ( pLE ) tehát, valamely kiválasztott helyen, az alábbi módon számoljuk: pLE ( xF ,ip ,ψ MR , jp ) = N MR h ∆xL ∆T ; 2π xF ,ip ∆ xF ∆ xF ∆ψ MR xF ,ip (IV.39) A fenti számolás alapvetően közelítő jellegű, ezért megengedhetjük még a ∆xF ≈ ∆xL közelítést is. Ezzel bekerül a kifejezésbe – a forgószárnyaknál gyakran használt, a lapáthossz mentén változó – főrotor befedési tényező ( σ MR ) is: pLE ( xF ,ip ,ψ MR , jp ) = N MR h ∆T ∆T = σ MR ; 2π xF ,ip ∆ xF ∆ψ MR xF ,ip ∆ xF ∆ψ MR xF ,ip (IV.40) Meg kell még határozni a szóban forgó rész-emelő erő ( ∆T

) „FORGÓ” koordinátarendszerbeli kifejezését. A [G8] – (III26) összefüggés adja meg az alkalmazandó AL , F 81 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása transzformációs mátrixot, melynek itt a transzponáltjával kell számolnunk. Induljunk ki az eredő erő (IV.33)-mal jelzett kifejezéséből: ∆ R = AL, F F T  cos δ L cos β L − sin δ L cos β L sin β L   0  sin δ L cos δ L 0   ∆Q L  = ∆R =      − cos δ L sin β L sin δ L sin β L cos β L   ∆N L   − sin δ L cos β L ∆Q L + sin β L ∆N L    = cos δ L ∆Q L ; L L    sin δ L sin β L ∆Q + cos β L ∆N  L (IV.41) A keresett rész-emelő erő meghatározásához elegendő a „LAPÁT” rendszerből a „FORGÓ” rendszerbe lépni, a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe már nem kell transzformálni, hiszen a z F ≡ zMR . Elegendő tehát a (IV41) kifejezéssel számolt

rész-eredő erő harmadik komponensét meghatározni: ∆T = sin δ L sin β L ∆Q L + cos β L ∆N L ≅ cos β L ∆N L ; (IV.42) Az itt látható erő összetevőket pedig a IV.31 pontbeli összefüggésekkel számolhatjuk A (IV42) kifejezésben, egészen a jobboldalon, megadtuk azt a közelítő esetet is, amikor a matatási szöggel, annak kicsi volta miatt nem számolunk ( sin δ L ≈ 0 ) A fentiekben tehát – a (IV.40) kifejezéssel – egy, az ( xMR , yMR ) ( xF ,ψ MR ) vagy másképpen rotorsíknak nevezett sík felett értelmezett, pontról pontra változó. megoszló terhelést számolunk. (A megoszló terhelést a numerikus számolás miatt, diszkrét pontokban értelmeztük) A lapelem elmélet feltételei indokolják az ( xF ,ψ MR ) polár koordinátarendszer választását Az impulzus tétel esetében viszont az ( xMR , yMR ) derékszögű, Descartes féle koordinátarendszer választása a célszerű. Az impulzus és lapelem elmélet

összekapcsolásakor meg kell oldani a két rendszer különbözőségéből adódó problémákat (alapvetően az átszámítást). IV.4 Az impulzus elmélet Az impulzus tételt általánosságban például a [G3] ismerteti. Ennek a forgószárnyas repülőgépekre történő alkalmazásával – alapfokon – a [G2] foglalkozik A tengelyirányú átáramlás számítására konkrét módszerek a [G4]-ben találhatók. Itt az általános átáramlással (ferde megfúvás) foglalkozunk Az impulzus tétel alkalmazásához ellenőrző felület kijelölésére van szükség. Az egész rotort illetve forgószárnyas repülőgépet illetőn ilyen ellenőrző felületet definiáltunk [G2]-ben, ez látható például [G2] I.1, I2 valamint I4 és I5 ábráján is Jelen esetben, a részletes indukált sebesség eloszlás közelítő számítása érdekében a korábbinak megfele82 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása lő áramcsövet szeletekre bontjuk, áramcső-szeleteket

definiálunk – ilyen, áramcső-szelet látható a IV.7, IV8, IV9 és a IV10 ábrán is IV.41 Geometriai viszonyok Már a 4.1 pontban kikötöttük, hogy ebben a jegyzetben csak a csúszásmentes repülés vizsgálatával foglalkozunk. Ez nyilvánvalóan elhanyagolást jelent, hiszen a helikopterek igen gyakran repülnek csúszással. Kikötöttük azt is, hogy csak a zMR irányú indukált sebesség összetevővel foglalkozunk A kikötött egyszerűsítési feltételek mellett a rotoron történő átáramlás az ( ( xMR , zMR ) yMR = áll. ) síkokban megy végbe Az általunk tekintett, jelentősen egyszerűsített esetben tehát az áramlási sebességnek nincsen erre a síkra merőleges összetevője. Ilyenformán az ( xMR , yMR ) síkba vetített rotor-kör az áramlási viszonyoknak megfelelően, célszerűen az xMR és az yMR tengellyel párhuzamos vonalakkal osztható fel, illetve – a javasolt ekvidisztáns ( ∆xMR = ∆yMR ) felosztás esetén – négyzethálóval

fedhető le. A IV6 ábra egy, lehetséges lefedést mutat IV.6 ábra: A rotor-kör felosztása Descartes féle koordinátarendszerben 83 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Nyilvánvalóan külön kezelendő számítástechnikai probléma adódik majd ott, ahol a rotort határoló körvonal belemetsz a négyzetekbe és ezzel „torz” terület-elemek alakulnak ki. Ezzel részletesebben nem foglalkozunk, nyíljon itt tere az egyéni megoldásoknak Az impulzus tétel segítségével, a rotor-körön belüli Pid , jd , diszkrét pontokban az indukált sebességet számoljuk majd. Ezek a pontok a megfelelő, ∆ Aid , jd terület-elemnek az yMR , jd = áll. ( jd = áll) egyenes vonalon fekvő (valamilyen értelemben vett) középpontjai A felosztás finomságát az nd megválasztásával állítjuk be. A javasolt, egyszerű felosztási rendszer ( 1 ≤ id ≤ 2 ⋅ nd és 1 ≤ jd ≤ 2 ⋅ nd ) esetén a lépésközök értéke, a IV6 ábrának megfelelően:

∆xMR = ∆yMR = RMR nd ; ( Ezzel a Pid , jd xMR ,id , yMR , jd ) (IV.43) pont koordinátái az alábbi módon számolhatók (a zMR , jd koordinátát a (IV.49) összefüggéssel számolhatjuk): RMR 1 − 2nd   xMR ,id =  RMR , ahol :1 ≤ id ≤ 2 ⋅ nd , és  + ( id − 1) 2nd  nd  1 − 2nd  RMR  yMR , jd =  RMR , ahol :1 ≤ jd ≤ 2 ⋅ nd ;  + ( jd − 1) 2nd  nd  (IV.44) Mint már rögzítettük, a IV.6 ábrán látható yMR , jd = áll ( jd = áll) (kékszínű) vonalak egy-egy áramsík vetületei, ezért ezek a vonalak a teljes rotor körüli áramlást áramcső szeletekre osztják. Az egyes, rögzített jd -hez rendelt áramcső szeletek belépő pontjának ( az xE , jd , kilépő pontjának pedig az xK , jd = − xE , jd ) pontot választjuk. Ezeket a pontokat az áramcső szelet középvonala ( yMR , jd koordinátával meghatározott, pontozott vonal) és a rotorkör vetületvonalának (vastag, fekete kör) metszéspontja

jelölik ki. Legyen a IV.6 ábrán látható rotor-kör vetületvonalának az egyenlete: 2 2 2 xMR + yMR = RMR ; (IV.45) és a IV.7 ábrán látható, áramlással szembefordított rotor-kör egyenlete pedig: 2 2 2 yMR + zMR = RMR ; (IV.46) Az impulzus tételt – [G2] szerint – az áramlással szembefordított rotor-körön átáramló levegő tömegáramra alkalmazzuk, mivel azt tételeztük fel, hogy a rotor az így körülhatárolt levegő tömegáramra fejt ki hatást. Ezt, az áramlással szembefordított rotor-kört tüntettük fel a IV.7 ábrán A rotor-kört pedig, a korábban már leírtak szerint áramcső szeletekre bontottuk. A IV7 ábrán feltüntettünk egy P, jd pontot: ez több, a lehetséges id index szerinti, a IV.6 ábrán látható Pid , jd pont közös (egybeeső) képe 84 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.7 ábra: Az áramlással szembefordított rotor-kör A (IV.45) és (IV46), illetve a IV7 ábra alapján felírható, hogy: 2

2 xMR , A = z MR , A = RMR − yMR ,A ; (IV.47) 2 2 xMR , B = z MR , B = RMR − yMR ,B ; (IV.48) 2 2 zMR , jd = RMR − yMR , jd ; (IV.49) Egy-egy áramcső szeletet a jd index rögzítésével azonosíthatunk. A IV7 ábra baloldalán meg is adtuk az első, három, konkrét számértéket A szimmetria miatt a jobb szélső áramcső szeletet azonosító száma a „ 2 ⋅ nd ” lesz (A IV7 ábrán bemutatott példa felosztás esetében nd = 4 , de ez csak példa!) A jd rögzítése után meghatározható az aktuális yMR , A és yMR , B koordináta értéke: yMR , A = yMR , jd − ( ∆yMR 2 ) ; (IV.50) yMR , B = yMR , jd + ( ∆yMR 2 ) ; (IV.51) 85 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Ezzel, az áramcső szeletek keresztmetszetét – a határoló körív darabnak megfelelően – zárt alakban határozhatjuk meg (a gyökjel alatti kifejezést mindig pozitív előjelűnek tekintjük):   yMR 2 2 2 Ajd =  yMR RMR arctan  − yMR + RMR 2 

R − y2  MR MR   yMR ,B   ;    yMR , A (IV.52) A rész-felületek számítására, rövid ellenőrzésként tekintsük az RMR = 4 [ m ] és az nd = 4 esetet. Ez, a felosztás tekintetében a IV6, illetve a IV7 ábrán vázolt helyzetnek felel meg. A (IV52) alkalmazásakor ügyelni kell arra, hogy az „arctan” függvény nevezőjébe ne kerüljön nulla érték Ez a jd = 1 , illetve a jd = 2 ⋅ nd esetben állhatna elő – ilyenkor a gyökjel alatti kifejezés (pozitív) értékére alsó korlátot írunk elő. A számítás eredményét az alábbi táblázatban tüntettük fel: jd A jd 1 3.62649 2 6.20046 3 7.38992 4 7.91582 5 7.91582 6 7.38992 7 6.20046 8 3.62649 Megállapítható, hogy a rész-felületek ( A jd = A2 nd +1− jd , jd = 1, 2 nd ) eloszlása valóban szimmetrikus illetve a rész-felületek összege éppen a teljes kör területét ( 50.2655  m 2  ) adja. A rotorok aërodinamikai számításában az nd

értéke, általában természetesen nem 4, hanem ettől jóval magasabb szám lehet, lesz – ezt az eljárás kidolgozója, a technikai lehetőségeinek korlátai között, saját maga választhatja meg. A (IV.52) kifejezéssel meghatározott terület képlet alkalmazható a IV6 (valamint a IV.8 és IV9) ábrán látható, „torz” felület-elemeknek nevezett elemek területének kiszámítására is Ennek részleteibe azonban itt nem mélyedünk el, ezt szintén az esetleges program-fejlesztő dolgozhatja ki. IV.42 Az impulzus tétel alkalmazása Ebben a jegyzetben – mint azt már korábban rögzítettük – a külső, vagy álló megfigyelő szerinti szemléletmódot választjuk, ennek felel meg például a IV.2 ábra is Itt, az impulzus tétel kifejtéséhez kivételesen és csak röviden visszatérünk az együttmozgó megfigyelő szerinti szemlélthez (szélcsatorna-szemlélet – IV.8 ábra), mivel ez a nézőpont – megítélésünk szerint – a fizikai szemlélet

alapján könnyebben értelmezhető áramképet mutat. Illetve azért is, mert például [G2], [G4] és [G5] is általában ezt, az együttmozgó megfigyelő szerinti szemléletet alkalmazza. 86 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.8 ábra: Rotor körüli áramlás – szélcsatorna szemlélet szerinti értelmezés A IV.8 ábrán térben ábrázoltunk egy, kiválasztott áramcső-szeletet Figyelem: a IV8 és a IV.9 ábrán (valamint a továbbiakban is) csak értelemszerűen folytatjuk a korábban megkezdett okfejtéseket – például az említett ábrákon a rotor-kör vetületének felosztása más, mint a IV.6 vagy a IV7 ábrán látható felosztás Ennek azonban így is kell lennie, mert az ábrákon vázoltak (például a felosztás is) a konkrét esetekben konkrétan megválasztandók – ebben a munkában ezeket a kérdéseket alapvetően elvi szinten vizsgáljuk! Mint már említettük, a forgószárnyak aërodinamikájában elterjedten alkalmazzák a

IV.8 ábrán látható, együttmozgó megfigyelő vagy szélcsatorna szemléletet – példa erre [G4] vagy [G5]. Ebben a szemléletmódban az indukált sebesség értelme az őt létrehozó erő értelmével ellentétes. Ez tehát azt jelenti, hogy a IV8 ábrán látható módon, a példaként feltüntetett ∆Tid , jd rész emelő erő a saját értelmével ellentétes értelmű indukált sebesség változást hoz létre A példában konkrétan a felfele irányuló rész emelő erő lefelé „löki” a közeget. A IV8 ábrán példaként egy, állandó yMR , jd vonalhoz rendelt, a Pid , jd pontokban számolt ∆Tid , jd rész emelő erők hatására létrejövő, sárga színnel megjelölt indukált sebesség eloszlást tüntettünk fel. Térjünk vissza most a külső (álló) megfigyelő szerinti szemléletmódra, hiszen ez felel meg például a IV.2 ábra kapcsán írottaknak, illetve a kifejezéseinkben általánosan alkalmazott előjel konvenciónak A visszatérést a IV8

ábráról a IV9 ábrára történő áttérés jelenti. 87 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.9 ábra: Rotor körüli áramlás – külső megfigyelő szerinti értelmezés Ezek szerint a fő, álló megfigyelő szerinti szemlélethez visszatérni IV.8 ábrán látható sebességek értelmének (előjelének) megfordításával lehet, ezt a IV.9 ábrán tüntettük fel Evvel az indukált sebességek értelme azonos lesz az őket előidéző emelő erők értelmével (a IV.9 ábrán például felfele irányulnak) Jelöljük a kiválasztott áramcső-szeletben haladó tömegáramot ∆mɺ -tal. Ez előjeles szám lesz, illetve a sebességek előjelének megváltozásával megfordul az előjele. Ezt jelzi, hogy a IV.9 ábrán a ∆mɺ tömegáramot szimbolizáló nyilat a IV8 ábrához képest megfordítottuk (A ∆mɺ tehát nem vektor mennyiség, csak előjeles szám, az ábrán csak a szemléltetés kedvéért rajzoltunk nyilat.) A IV.8, illetve a IV9

ábrán tehát egy (kiemelt) áramcső-szelet térbeli vázlata látható – az egész rotor körüli áramlást ilyen, egymás melletti, egymással érintkező áramcsőszeletek összetételével építhetjük fel. Feltételezzük, hogy a szomszédos áramcső-szeletek egymás áramképét nem befolyásolják; azaz az esetleges, csatlakozó felület menti sebességkülönbségből adódó nyírófeszültség hatása elhanyagolható. Egy-egy áramcső-szeletet tehát oldalról két, yMR = áll. koordinátájú fal (esetlegesen csatlakozó felület) határol. Illetve az xE , jd koordinátánál lesz egy, a repülési irány szerinti első, az xK , jd koordinátánál pedig egy, a repülési irány szerinti hátsó keresztmetszete A teljes rész-térfogatot egy alsó, illetve egy felső görbe felület zárja be. Ez a rész-térfogat (is) látható a IV.8 vagy a IV9 ábrán Fontos leszögezni, hogy egy-egy áramcső szeletet magában foglaló rész-térfogatot tehát egyszeresen

összefüggő, zárt felület határol. 88 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Egy-egy áramcső-szeletre tehát a [G3] szerinti, stacionárius áramlásra vonatkozó impulzus tétel írható fel. Tömegáram az előző bekezdésben definiált első és hátsó keresztmetszeten lép át, vagyis itt lesz olyan mozgásmennyiség-változás vektor, amellyel nekünk számolnunk kell Nagyon fontos leszögezni, hogy az e két felületen értelmezett mozgásmennyiség-változás vektor iránya és értelme nem függ a sebességek értelmének megválasztásától – ezek a vektorok mindig a szóban forgó felületnél értelmezett sebesség egyenesén fekszenek és az ellenőrző felület (a korábban definiált, áramcső-szeletet jelentő rész-térfogatot burkoló felület) belsejéből kifelé mutatnak. Ezek alapján leszögezzük, hogy az emelő erő értelme nem függ a szemléletmód választástól! IV.10 ábra: Áramlás egy áramcső-szeletben – külső

megfigyelő szerinti értelmezés A IV.10 ábrán egy, rögzített jd értékhez tartozó, áramcső-szeletet tüntettünk fel, oldalnézetben Legyen a rész áramcsőben kialakuló, változó, közeli, zMR irányú indukált sebesség eloszlást leíró függvény: viV = viV ( xMR , yMR , jd ) , jd = áll., xE , jd ≤ xMR ≤ xK , jd ; (IV.53) A tömegáram számítására válasszuk a középen ( xMR = 0 ) helyen kialakuló, közeli indukált sebességet. A (IV5) kifejezés és a közeli indukált sebesség felhasználásával az eredő sebesség pozitívnak tekintendő értéke (ez tulajdonképpen a IV.2 ábrán, a rotoragynál feltüntetett sebességi sokszögnek felel meg): 2 =  −V sin α MR + viV ( 0, yMR , jd )  + ( −V cos α MR ) ; 2 VR xMR = 0 89 (IV.54) IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A (IV.54) kifejezéssel meghatározott sebesség számításához ismerni kell a rotor állásszögét Ezt vagy felvesszük, vagy a

későbbiekben bemutatandó egyensúlyi repülés számításából (III Melléklet) határozzuk meg Ez az állásszög helikoptereknél, egyenletes sebességű, előrehaladó repülésben általában negatív – ezért a szögletes zárójelben lévő két tag, a tekintett esetekben valóban összeadódik. Az áramcső-szeletek felületét a (IV.52) kifejezéssel határoztuk meg Ezzel a rögzített jd értékhez tartozó, áramcső-szeletben létrejövő, szintén pozitívnak tekintendő tömegáram: ∆mɺ ( jd ) = ρ Ajd VR xMR = 0 (IV.55) ; A vizsgált áramcső-szeletben kialakuló indukált sebesség eloszlást elölről (az xE , jd koordinátától indulva) hátrafelé haladva (az xK , jd koordinátáig), lépésenként építjük fel. Véges lépésközzel számolunk és minden ( id , jd ) helyhez ∆Tid , jd rész emelő erőt rendelünk. (Ezt egyébként a lapelem elméletből határozzuk meg) Lépjünk az ( id − 1, jd ) helyről az ( id , jd ) helyre Az indukált

sebesség változást az impulzus tétel alapján írhatjuk fel (innentől külön nem hangsúlyozzuk, hogy a közeli indukált sebességről beszélünk): ∆Tid , jd = ∆mɺ ( jd ) 2 ∆viV ⇒ ∆viV ( id , jd ) = ∆Tid , jd ; 2 ∆mɺ ( jd ) (IV.56) Fontos kiemelni, hogy az indukált sebesség változás előjele követi a rész emelő erő előjelét. Ezek szerint, ha a rész emelő erő pozitív, akkor az indukált sebesség növekszik, ellenkező esetben csökken. Ha nulla, akkor nem változik Jelölje a vizsgált áramcső-szelet (ez a jd index rögzítését jelenti) haladási irány szerinti első (torz) felület elemének középpontját az id E index. Akkor, a fentiek értelmében, ( ) ebben, az első pontban Pid E , jd az indukált sebesség értéke: viV ( id E , jd ) = ∆Tid E , jd 2 ∆mɺ ( jd ) (IV.57) ; Az id E + 1 indextől kezdve, egészen a kilépést jelölő id K indexszel bezárólag az indukált sebességet (IV.56) és (IV57) alapján, a

következő módon számoljuk: viV ( id , jd ) = viV ( id − 1, jd ) + ∆Tid , jd , id E + 1 ≤ id ≤ id K , jd = rögzített ; 2 ∆mɺ ( jd ) (IV.58) A (IV.58) kifejezéssel tehát – sorra véve az áramcső-szelteket – a rész emelő erők ismeretében meghatározható egy, a rotorkör vetületén belüli Pid , jd pontokban értelmezett indukált sebesség eloszlás Ezt az indukált sebesség eloszlást kell beilleszteni a lapelem elmélet szerinti számolásba, ahonnan egyébként a rész emelő erőket kapjuk. 90 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.11 ábra: Rotorkör vetület felosztása (csak példa!) Az eddigi fejtegetések megértését megkönnyítendő, rövid példát mutatunk be. A IV6 ábrán példaként bemutatott rotorkör vetület felosztását láttatja a IV.11 ábra A példaként kijelölt áramcső-szelet indexe az ábrán a jd = 7 érték Az áramcső-szelet kezdő indexe az id E = 2 , illetve az áramcső-szelet pontjai az id

K = 7 értékig tartanak Ennek megfelelően indukált sebességet először a (IV.57) szerint, a viV ( 2, 7 ) pontban számolunk és az áramcső-szelet mentén kialakuló indukált sebesség eloszlást a (IV.58) ∆Tid ,7 szerint, a viV ( id , 7 ) = viV ( id − 1, 7 ) + , 3 ≤ id ≤ 7, jd = 7 kifejezéssel számoljuk. 2 ∆mɺ ( 7 ) Nyomatékosan hangsúlyozzuk: a IV.11 ábra és a kapcsolódó megjegyzések csak egy lehetséges példát mutatnak be! Érdemes észrevenni, hogy az áramcső-szeletek be- és kilépő pontjainak rendszere a feladat geometriai viszonyaiból következik, a feladat kitűzésekor (egyszer és mindenkorra) meghatározható. 91 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása IV.5 Az aërodinamikai és dinamikai számítás Az eddigi okfejtések felhasználásával összeállítható egy, az egyedülálló rotorok (tehát rotor, törzs stb. nélkül) aërodinamikai és dinamikai számítására szolgáló eljárás Az eljárást részben az

impulzus és a lapelem elmélet egyesítésére (ezt angolul a BEMT – betűszóval [Blade Element Mommentum Theory] nevezik meg), részben a lapátmozgásokat leíró közönséges differenciálegyenletek megoldására épül. Rendkívül fontos megállapítás, hogy ez az eljárás egy közelítő módszer, amely tehát leginkább előzetes vizsgálatra alkalmas. Illetve, éppen ezért az eljárásból származó eredményeket valamilyen módon (más, pontosabb számítással vagy leginkább méréssel) feltétlenül ellenőrizni kell! A következőkben modulokat rakunk össze (definiálunk), a teljes számítás ezekből, az egymáshoz kapcsolódó modulokból építhető fel. A modulok kialakítása természetesen nem fedi le egy valóságos számítógépi program teljes egészét, például nem foglalkozunk a változók deklarálásával, vagy más hasonló részletkérdésekkel – hiszen ezek függenek az esetleges, konkrétan kiválasztandó programozási környezettől. Az

alábbi összeállítás csak javaslat, elképzelhető másféle összeállítás is. A javasolt modulokban a modul elemeket csak vázlatosan ismertetjük – egy-egy, konkrét program-részlet kidolgozásához sok, további aprólékos munkára van szükség! Elsőként a „Rotor adatok” modult állítjuk össze: Rotor adatok modul Rotor geometriai adatai (lapátszám, rotor-átmérő); Rotor működési adatai (szögsebesség, állásszög, repülési sebesség, átlagos közeli indukált sebesség); Kormány-paraméterek ( p0 , p1 , p2 értékek); Rotor-agy geometriai adatai ( r0 , e, f , k méretek, illetve esetleg δ , σ szögek); (Egy) rotorlapát geometriai adatai (lapáthossz, h = h ( xL ) , ϑ0 = ϑ0 ( xL ) , profilok a lapáthossz mentén); (Egy) rotorlapát dinamikai adatai ( mBL , xSP , θ xL , θ yL , θ zL , K yL , K zL , K β , Kδ , β L 0 , δ L 0 ) Profil adatok [ cL = cL (α , M , Re,) , cD = cD (α , M , Re,) , esetleg cM = cM (α , M , Re,) ] Az

elkészítendő program a „Rotor adatok” modulbeli adatokat több helyen is használja, ezért azok például globális változóként (esetleg globális konstansként) deklarálhatók. Ezen a modulon belül például a légerő tényezők számolására érdemes egy almodult is létrehozni; és általában is sok, további al-modul kidolgozására lehet szükség Tekintsük másodszorra a környezeti levegő állapotát tartalmazó, igen egyszerű „Légállapot” modult: Légállapot modul A környezeti levegő sűrűsége és hőmérséklete. 92 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A hőmérséklet ismeretében számolható az aktuális hangsebesség is, ami a Mach-szám meghatározásához szükséges. Egyébiránt ez a fajta légállapot megadás némiképpen szokatlan: gyakrabban a repülési magasságot szokták megadni és a többi állapotjelzőt ennek alapján, a „Nemzetközi Egyezményes Légkör” táblázataiból állapítják meg. Az

általunk javasolt két jellemző megadása általánosabb, a NEL-től eltérő esetek vizsgálatát is lehetővé teszi. Tekintsük másodszorra a rotorlapátok csapkodó mozgását számoló, „Csapkodó mozgás” modult: Csapkodó mozgás modul β L′′ -t számoljunk a (III.37) differenciálegyenlet alapján, itt az aërodinamikai nyomatékot (IV.37) szerint határozzuk meg; β L′ -t az azimút szög (ψ MR ) szerinti, numerikus integrálással számoljuk; β L -et az azimút szög (ψ MR ) szerinti, numerikus integrálással számoljuk; A modul – javaslatunk szerint – egy körülfordulást ( 0 ≤ ψ MR ≤ 2π ) számol, a IV.5 ábrán látható, ∆ψ MR lépésközzel. A modulból az egy körülfordulásra vonatkozó csapkodási szöget és csapkodási sebességet [(III.15) kifejezés megfelelő része] számoljuk Tekintsük harmadszorra a rotorlapátok matató mozgását számoló, „Matató mozgás” modult: Matató mozgás modul δ L′′ -t számoljunk a

(III.45) differenciálegyenlet alapján, itt az aërodinamikai nyomatékot (IV.38) szerint határozzuk meg; δ L′ -t az azimút szög (ψ MR ) szerinti, numerikus integrálással számoljuk; δ L -et az azimút szög (ψ MR ) szerinti, numerikus integrálással számoljuk; A modul – javaslatunk szerint – egy körülfordulást ( 0 ≤ ψ MR ≤ 2π ) számol, a IV.5 ábrán látható, ∆ψ MR lépésközzel. A modulból az egy körülfordulásra vonatkozó matatási szöget és matatási sebességet [(III15) kifejezés megfelelő része] számoljuk Negyediknek a „Lapátmetszet szögsebesség és sebesség” modult definiáljuk: Lapátmetszet szögsebesség és sebesség modul L A modul bemenete: a lapátmetszet helyvektora ( r P ), a csapkodó csukló széthelyezés távolsága ( e ), a repülési sebesség ( V ), a főrotor állásszöge ( α MR ), a főrotor szögsebessége ( Ω MR ) , a csapkodási szög ( β L ), a csapkodási szögsebesség ( βɺL ), a matatási

szög ( δ L ), a matatási szögsebesség ( δɺL ), az aktuális indukált sebesség ( viV az ( ip, jp ) helyen) és az aktuális azimút szög (ψ MR ψ MR , jp ); A metszet eredő szögsebességét (III.9) szerint számoljuk; A metszet eredő sebességét (IV.19), (IV20) és (IV21) szerint számoljuk 93 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Ötödikként foglalkozzunk a „Lapelem” modullal: Lapelem modul A modul bemenete: a környezeti levegő állapota, a lapátszám ( N BL ), a kormányhelyzet ( p0 , p1 , p2 ), az egyes lapátmetszetek sebessége, a lapát geometriai és profil adatai, a lapát felosztása ( ∆ xL illetve ∆ xF ), a csapkodási szög ( β L ), és a matatási szög ( δ L ); A lapát menti rész eredő légerőket (IV.42) szerint számoljuk; A modul kimenete a légerőkből származó, megoszló terhelés ( pLE ), (IV.39) illetve (IV40) szerint, a IV.5 ábra szerinti, polár koordinátarendszerben (az ( ip, jp ) helyen) Hatodszorra az

„Impulzus” modult definiáljuk: Impulzus modul A modul bemenete: a környezeti levegő állapota, a IV.41 pontban megadott, geometriai (felosztási) adatok, a repülési sebesség ( V ), a főrotor állásszöge ( α MR ); Az indukált sebesség számítása (IV.57) és (IV58) szerint; A modul kimenete a közeli indukált sebesség eloszlás ( viV ), a IV.9 ábra szerinti, Descartes féle, derékszögű koordinátarendszerben (az ( id , jd ) helyen) Hetediknek a „PD átszámoló” modult definiáljuk: PD átszámoló modul A modul bemenete: a légerőkből származó, megoszló terhelés ( pLE ), a IV.5 ábra szerinti, polár koordinátarendszerben (minden ( ip, jp ) helyen); A modul kimenete: a légerőkből származó, megoszló terhelés ( pLE ), Descartes féle, derékszögű koordinátarendszerben (konkrét értékeket pl. a IV6 ábra szerinti, rotorkörvetületre eső Pid , jd pontokban szolgáltat) Legyen a nyolcadik a „DP átszámoló” modult: DP átszámoló modul

A modul bemenete: az indukált sebesség eloszlás, Descartes féle koordinátarendszerben (minden lehetséges ( id , jd ) helyen); A modul kimenete: az indukált sebesség eloszlás, a IV.5 ábra szerinti, polár koordinátarendszerbeli K ip , jp pontokban A hetediknek, illetve nyolcadiknak definiált modul a számításban alkalmazott polár, illetve Descartes féle koordinátarendszer közötti átszámolásra szolgál. Erre azért van szükség, mert a megoszló terhelést a polár koordinátarendszerben számoljuk, de az impulzus tétel szerinti számolásban a Descartes féle koordinátarendszerbe kell átszámolni. Ugyanakkor az indukált sebességet éppen a Descartes féle koordinátarendszerben számoljuk, de a további lépésekben a polár koordinátarendszerben használjuk fel. E két 94 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása modul valamilyen módszer szerinti interpolációra (néhány esetben extrapolációra) kell épüljön. Erre számos, lehetséges

módszer létezik, ezért ezt a két modult részleteiben nem dolgoztuk ki. Az esetleges, Tisztelt Érdeklődő e két modult a saját elképzelése alapján építheti fel. Tekintsük végül az „Eredmények” modult: Eredmények modul A modulban összegyűjtjük a számítási eredményeket, elsősorban a további felhasználás céljából. Ezek: az indukált sebesség eloszlás, Descartes féle koordinátarendszerben (minden lehetséges ( id , jd ) helyen); a rész eredő légerő értékei, (IV.33) szerint; az általánosított egyensúlynak megfelelő csapkodási szög ( β L = β L (ψ MR ) ) és a matatási szög ( δ L = δ L (ψ MR ) ) az azimút szög függvényében, egy körülfordulás- ra! IV.12 ábra: Vázlatos blokkséma 95 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A kitűzött feladatunk legyen most egy, meghatározott légállapotban működő, adataival adott rotor, rögzített repülési sebesség és állásszög valamint szintén rögzített

kormány-paraméterek esetére vonatkozó számítása – ennek a vázlatos blokksémáját a IV.12 ábrán tüntettük fel. Rögtön az elején leszögezzük, hogy ez a séma csak egy, a több lehetséges séma közül! A blokkséma elejére célszerűen a bemenő adatokat tartalmazó modulokat illesztettük. Ezek értékét egy futásra rögzítjük, más érték-halmazra másik futtatás szükséges. A blokkséma végére pedig az eredményeket tartalmazó modul került. Azt, hogy ebbe a modulba mi kerüljön, az határozza meg, hogy ezekkel, mint adatokkal milyen további számításokat kívánunk végezni. Az „A” pontban kezdődő számolást egy hurokkal valósítjuk meg: a döntési kritériumtól mindaddig ide (ti. az „A” pontba) térünk vissza, amíg a rotorlapát mozgások (csapkodás és matatás) el nem érik az általánosított egyensúlyi helyzetüket (egy példa a csapkodó mozgás általánosított egyensúlyi helyzetére a IV13 ábra) Az általánosított

egyensúlyi helyzet forgószárnyak lapátjainak csapkodó mozgásának esetére érvényes értelmezéséről a [G2] V fejezetében szóltunk A matató mozgás a csapkodó mozgáshoz hasonlóan vizsgálandó A döntési kritérium tehát ennek megfelelően rakható össze Előfordulhat néha az az eset is, hogy a számolási folyamat során a program eredményei nem tartanak általánosított egyensúlyi helyzethez Ezt az esetet programozás-technikailag kezelni kell, és elemezni kell azokat az adatokat, feltételeket és körülményeket, amelyek ilyen esetre vezettek. Ez repülésbiztonsági szempontból akár különösen fontos is lehet! IV.13 ábra: Csapkodó mozgás – általánosított egyensúlyi helyzet A számítás tehát körben halad, egy-egy körülfordulás jellemzőinek meghatározása után megvizsgálandó a döntési kritérium, és ha ez nem teljesül, akkor új fordulat számítása következik. Erre, a fokozatosan vagy lépésenként közelítő számolási

módra azért van szükség, mert a hurokbeli, belső modulok bemenetként kölcsönösen egymás kimenetét igénylik, tehát „körben” kell haladni, fokozatosan (körülfordulásonként) közelíthető a végeredmény. A megoldó módszert tekinthetjük az azimút szög (tulajdonképpen az idő) szerinti „masírozó” módszernek – a végeredménynek tekinthető eredményt a gyakorlati számolásokban általában 8 – 10 körülfordulás után érjük el! Az eddigi eszmefuttatás rendkívül lényeges feltételezése, hogy – többlapátos rotorok esetében – minden lapát tökéletesen egyforma! Ez annyiban el is fogadható, hogy a lapátgyártók igen komolyan törekednek a lapátok lehetőség szerinti egyformaságára. Az 96 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása egyforma lapátok esetében tehát elegendő egyetlen lapát viselkedésének nyomon követése, hiszen különböző azimút szögeknél járnak ugyan, de végeredményben minden lapát

ugyanazt a pályát futja be. Itt nem foglalkozunk ezzel, de megfelelően nagy energia ráfordítással az egymástól különböző laptokból álló rotor működése is vizsgálható. Itt is, de a későbbiekben is fontos lesz néhány mennyiség középértékének kiszámítása. Tekintsük az f = f ( xF ,ψ MR ) függvényt (például az indukált sebesség eloszlást stb.) Ennek középértéke a lapáthossz mentén, egy, rögzített azimút szögnél: 1 fɶ (ψ MR rögzített ) = RMR RMR ∫ f (x F ,ψ MR ) dxF ; (IV.59) 0 Tekintsük ismét az f = f ( xF ,ψ MR ) függvényt. Ennek középértéke az azimút szög szerint, egy, rögzített sugárnál (kb. rögzített lapáthossz menti koordinátánál): 1 fɶ ( xF rögzített ) = 2π 2π ∫ f (x F ,ψ MR ) dψ MR ; (IV.60) 0 Az „Eredmények” modulban található a kiszámított közeli indukált sebesség eloszlás, Descartes féle koordinátarendszerben, minden lehetséges ( id , jd ) helyen. A „DP

átszámoló” modul segítségével ez az indukált sebesség érték halmaz áttehető az általunk alkalmazott polár koordinátarendszerbe Határozzunk meg ennek alapján egy viV = viV ( xF ,ψ MR ) függvényt. Ennek az indukált sebesség eloszlásnak kiszámolható egy lapáthossz és azimút szög szerinti (kétszeres) középértéke: 1 vɶ iV = RMR  RMR  1 ∫   0  2π 2π ∫ v (x iV 0 F   ,ψ MR ) dψ MR  dxF  ;   (IV.61) [G2]-ben maghatároztuk az átlagos indukált sebességet (pl. [G2], (13) kifejezés vagy [G2], 1.6 ábra) Az ebben a fejezetben leírt számítás nagyon fontos ellenőrzési pontja az, hogy megvizsgáljuk az átlagos közeli indukált sebesség és a közepes közeli indukált sebesség számértékének a számítási pontosságon belüli azonosságát! Tekintsük rövid példaként a vonatkozó szakirodalomban széleskörűen alkalmazott „háromszög” indukált sebesség eloszlásnak nevezett

függvényt:    x  viV = vi 1 + K  F  cosψ MR   RMR    ( itt K egy -körüli értékel bír ) ; (IV.62) A (IV.62)-vel adott függvény egyrészt nagyon jó tulajdonságokkal bír, könnyű vele számolni, másrészt azonban csak nagyon közvetetten kapcsolódik a konkrét rotorlapát kialakításhoz és a tényleges működési paraméterekhez. A (IV62)-beli vi megfelel a [G2] I.1 pontjában tárgyalt, közeli átlagos indukált sebességnek – mindössze a szemléletmód különbözik (mi itt a külső megfigyelő nézőpontja szerint dolgozunk). 97 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Határozzuk meg a „háromszög” indukált sebesség eloszlás (kétszeres) középértékét: R 1  MR  1   vɶ iV = RMR  ∫0  2π  2π ∫ 0      x  v i 1 + K  F  cosψ MR  dψ MR  dxF  = vi ;    RMR     (IV.63) Vagyis azt kaptuk, hogy a fenti

esetben a közepes indukált sebesség egyenlő az átlagos indukált sebességgel. Ez a megállapítás, hogy ti. a közepes közeli indukált sebesség legyen egyenlő az átlagos közeli indukált sebességgel, általánosságban is igaz kell legyen: ez biztosítja, hogy az impulzus tételből, illetve a lapelem elméletből ugyanazt az emelő erőt számoljuk ki. Éppen ezért a IV12 ábrán látható blokkséma szerinti számításban e feltétel teljesülését is vizsgálni kell. A Szerző az oktatási munkája során kidolgozott egy, nagyjából a fentieknek megfelelő programot – ez a program, oktatási céllal készült és mintegy 10 éven át szolgáltatott eredményeket sokféle helikopter típusra. Ezeknek az eredmények a mérnöki elvárásnak ugyan megfeleltek, de a szigorú ellenőrzésük nem történt meg, így a programot nem adjuk közre. IV.6 A rotor forgatásához szükséges nyomaték, illetve teljesítmény Ebben a pontban a rotor forgatásához szükséges

nyomaték, illetve teljesítmény közelítő értékét határozzuk meg. A számítást a „FORGÓ” koordinátarendszerben végezzük Feltesszük, hogy a rotort forgatni az eredő légerő forgást akadályozó összetevője ellenében kell, bárha ez az állítás forgószárnyas repülőgépek csuklós rotorjainak az esetében csak áttételesen, illetve közelítőleg igaz. Transzformáljuk tehát a (IV.33) kifejezésben adott (elemi) eredő légerőt a „LAPÁT” koordinátarendszerből a „FORGÓ” rendszerbe:  − dQ L sin δ L cos β L + dN L sin β L   dX F     F F T L dR = AL , F dR =  dQ L cos δ L  =  dQ  ;  dQ L sin δ L sin β L + dN L cos β L   dT F      (IV.64) A (IV.64)-gyel meghatározott transzformáció (elemi) eredő erő vektorának az első és harmadik összetevőjét itt nem használjuk fel. A második komponens az az erő összetevő, amit a forgatáshoz szükséges nyomaték

számításában figyelembe kell venni. Az (elemi) eredő légerőt a „LAPÁT” koordinátarendszerben, a lapáthossz menti xL koordináta, valamint a ψ MR azimút szög függvényében határoztuk meg. 98 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Rendeljük hozzá a lapáthossz menti xL koordinátához a forgó rendszerbeli xF koordinátát (feltesszük, hogy a korábbiaknak megfelelően az yL = zl ≡ 0 ): xF = e + xL cos δ L cos β L ≈ e + xL ; (IV.65) Egy lapát forgatásához – (IV.64) és (IV65) szerint – szükséges nyomatékot az elemi nyomatékok lapáthossz menti integrálásával kapjuk: RMR M F zF (ψ MR ) = ∫ xF dQ = F RMR ∫ e e  dQ F xF   dxF   dxF ;  (IV.66) A (IV.66) kifejezésben a (IV31)-ben megjelenő dxL – et dxF – fel közelítettük Fontos leszögezni még, hogy a (IV.66) egy, rögzített azimút szögre vonatkozik, vagyis ez a nyomaték a lapáthelyzettől (azimút szögtől) függően változik.

Éppen ezért (IV59) szerint ki kell számítani az egy körülfordulásra vonatkozó középértékét Illetve a teljes rotor forgatásához szükséges nyomaték meghatározásához a lapátszámmal szorozni kell még (ez a jobboldali összefüggés): 1 Mɶ zFF = 2π 2π ∫ F M zF (ψ MR ) dψ MR ⇒ M MR = N MR Mɶ zFF ; (IV.67) 0 Fontos hangsúlyozni, hogy a forgatáshoz szükséges nyomaték középértéke körül ingadozások lehetnek – ezt (IV.66) és (IV67) baloldalának összevetésével lehet vizsgálni Helikopter rotoroknál a rotor és az őt forgató hajtómű együttműködése, azaz az erőátviteli lánc működésének vizsgálata rendkívül fontos kérdés. Ebben az erőátviteli láncban sok, fontos, kritikus elem is (pl. főreduktor, tengelykapcsoló, szabadonfutó, tengelyek, csapágyak stb.) található A rotor forgatásához szükséges (közelítő) teljesítmény egyszerűen számolható: Pindukált + Pprofil = M MR Ω MR ; (IV.68) A

(IV.68)-ból számított teljesítményeket ki kell még egészíteni a rotoragy forgatásához szükséges teljesítménnyel. Ezt számolni nem túl egyszerű feladat, leginkább a korábbi tapasztalatokra épülő becslés a járható út. Ezzel a [G2] 17 ábráján bemutatott négyféle részteljesítmény (egyébiránt ezek együtt adják a helikopter repüléséhez szükséges teljesítményt) két eleme határozható meg. IV.7 Erők a rotoron A rotorlapátokat leggyakrabban csuklókkal kapcsolják a rotoragyhoz – emiatt a rotorlapátokról alapvetően nyíróerők adódnak át a rotoragyra, az esetleges nyomatékok figyelembe vételétől ebben a fejezetben – azok feltehetően kis értéke miatt – eltekintünk. 99 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A rotorlapátokra ható erők – véleményünk szerint – két csoportba sorolhatók. Alkossák az egyik csoportot az aërodinamikai erők, a másik csoportba a szerkezet (pl rotoragy) rotorlapátra

gyakorolt hatásából származó erőket soroljuk A légerőket a rotorlapát – a bekötési pontokon keresztül – átadja a szerkezetnek. A szerkezet rotorlapátra gyakorolt hatásából származó erőknek viszont a reakció-ereje jelenik meg a szerkezeten A későbbiekben vizsgáljuk az e fejezetben tanulmányozott erők közepes értékét és a középérték körüli tényleges lefutást. A középérték alkalmazandó a repülésmechanikai számításokban; a középérték körüli ingadozás, változás pedig rezgéskeltő hatásként veendő figyelembe. A szerkezet rotorlapátra gyakorolt hatására végzi a rotorlapát a rotoragy körüli keringő mozgását (és további, más mozgásokat is – például együtt halad a forgószárnyas repülővel, stb.) A számoláshoz kikötjük, hogy a rotorlapát mozgásállapota ismert – vagyis a következő lépések végrehajtására a rotorlapát mozgásállapotának meghatározása (például a IV.5 pontban foglaltak

szerint) után kerülhet sor Ebben a munkában, a célkitűzésünk szerint a rotorlapátokkal foglalkozunk, az egész forgószárnyas repülőgépre vonatkozóan csak néhány megfontolást ismertetünk. Rögzítsünk tehát egy, kiválasztott lapát helyzetet (adjuk meg az azimút szöget – ψ MR ) és válasszunk egy lapát-metszetet (adjuk meg a hosszmenti koordinátát – xL ) Határozzuk meg ennél a helynél az abszolút gyorsulást. Feltételezzük, hogy a forgószárnyas repülőgép egyenletes sebességgel, egyenes pálya mentén repül és a főtengely szögsebessége is legyen állandó. (A korábbiak szerint ettől összetettebb eset is vizsgálható lenne, de az egyszerűség és jobb áttekinthetőség miatt fogadjuk el ezeket a korlátozásokat.) Az abszolút gyorsulás az „LT” pont szállító gyorsulásának és a kiválasztott lapát-pont relatív gyorsulásának összegeként számítható. Célszerűen a lapát koordinátarendszerben dolgozunk Általános

esetben ez a szállító gyorsulás a (III18) szerint számolható A fent rögzített, speciális esetben, az „LT” pont szállító gyorsulása a „FORGÓ” koordinátarendszerben: ( F F a LT = Ω MR × Ω MR × r MR , LT F F )  − e Ω 2MR    = 0  ;  0    (IV.69) Ezt, a korábbiak szerint az alábbi módon számolhatjuk át a „LAPÁT” koordinátarendszerbe – használjuk a (III.19)-ben bevezetett, rövid jelöléseket is: a LT = AL, F a LT L F L  − cos δ L cos β L e Ω 2MR   aLT  ,x     2 L =  sin δ L cos β L e Ω MR  =  aLT , y  ; 2    L   − sin β L e Ω MR   aLT , z  (IV.70) Határozzuk meg ezután a kiválasztott pont relatív gyorsulását. Ez (I29) értelemszerű alkalmazásával, az egyszerűsítéseink figyelembe vételével, az alábbi módon számolható: 100 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása ( a L = ε BL × r + ω BL × ω

BL × r L L L L L L )= − x  ω L 2 + ω L 2    0   L ( BL, y ) ( BL , z )    aLL, x  ;      L  L L L xL ωBL, x ωBL , y =  xLε BL, z  +   =  aL , y  L L L  − xLε BL, y     aLL, z  xL ωBL, x ωBL , z      (IV.71) A (IV.71) kifejezés felírásakor felhasználtuk a lapát-pont szöggyorsulására, a (III10) szerinti és a lapát pont szögsebességére a (III.9) szerinti, tömör jelöléseket Ezek részletes beírása elvileg problémamentes lenne – végrehajtva azonban nagyon hosszú összefüggéseket kapnánk, amelyek áttekintése nehézkes lenne. Ezzel felírható a kiválasztott lapát pont abszolút gyorsulása: L L  aLT  , x + aL , x  L L L  a P =  aLT , y + aL , y  ; L L   aLT  , z + aL , z  (IV.72) Ebben a pontban a „LAPÁT” koordinátarendszerben dolgozunk. Tekintsünk egy, kiválasztott lapát helyzetet

(adott ψ MR azimút szög): itt egy rotorlapát elemnek a rotoragyra gyakorolt erőhatása: L L  aLT  , x + aL , x  L L L  dR sz = −  aLT , y + aL, y  dmBL ; L L   aLT  , z + aL , z  (IV.73) A rotoragyra gyakorolt erőhatásokkal kapcsolatban a következő lépéseket már csak elvileg tesszük meg, ehhez ugyanis szükség van a konkrétan vizsgálni kívánt rotor lapátszámára. Legyen „ ℓ ” a lapátszámot jelző index: ℓ = 1, 2, N MR ; (IV.74) Az első lapáthoz ( ℓ = 1 ) viszonyítva, a többi lapát nulla matatási szög esetére érvényes azimút helyzete: ψ ℓ = ψ 1 + ( ℓ − 1) 2π , ℓ = 2, 3, N MR ; N MR (IV.75) Tekintsük rövid, konkrét példaként egy, háromlapátos rotort ( N MR = 3 ). Legyen az első lapát konkrét azimút szöge ψ 1 . Akkor, (IV75) szerint a második lapát azimút szöge 2π 2π , és a harmadiké ψ 3 = ψ 1 + 2 . Ezek szerint, a példaként tekintett esetben 3 3 az egyes lapátok 120

fokos szög-közzel követik egymást (a matató mozgást figyelmen kívül hagyva). ψ 2 =ψ1 + 101 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Egy, teljes lapátnak (legyen ez az ℓ -edik lapát) a rotoragyra gyakorolt erőhatása: L R sz ,ℓ L L L L   aLT    aLT    , x + aL , x , x + aL , x LL dm  L       BL , ℓ L L = − ∫   aLT , y + aLL, y  dmBL ,ℓ  = − ∫   aLT dxL  ; , y + aL , y  L  L  dxL mBL   L 0  L   a + a a + a LT , z L , z LT , z L ,z       (IV.76) A rotoragyra ható, az összes rotorlapát által kifejtett erőt az egyes lapátoktól származó rész erők értelemszerű (az ℓ -edik lapát esetében a hozzá rendelt ψ ℓ azimút szöggel számolva) összegzésével állíjuk elő: N MR R SZ = ∑ R sz ,ℓ ; L L (IV.77) ℓ =1 A (IV.77) a „LAPÁT” koordinátarendszerbeli erőt jelent Más

koordinátarendszerekbe átszámolni a transzformációs mátrixokkal lehet – a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe például az alábbi módon jutunk: (IV.78) R SZ = AF , MR AL , F R SZ ; MR T T L A fentiekben vizsgált erők értéke adott esetben igen nagy lehet, és többnyire periodikusan változik. A szerepük részben a lapátok igénybevételében, részben az egész forgószárnyas repülőgép rázásában jelentős. Az eredő aërodinamikai erő számításához a (IV.33)-ból indulunk ki Tekintsük az ℓ edik lapátot, amely lapát a ψ ℓ azimút szögnél helyezkedik el Az ezen a lapáton keletkező aërodinamikai erő:   0   L = dR = ∫ ( dQ L dxL )  dxL ; ∫  ℓ − edik lapátra 0  ( dN L dxL )    LL L R aero ,ℓ (IV.79) A teljes rotorra ható aërodinamikai erőt az egyes lapátokra ható rész erők értelemszerű (az ℓ -edik lapát esetében a hozzá rendelt ψ ℓ azimút szöggel számolva) összegzésével

állíjuk elő: N MR R AE = ∑ R aero ,ℓ ; L L (IV.80) ℓ =1 A „LAPÁT” koordinátarendszerből a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe az alábbi módon jutunk: (IV.81) R AE = AF , MR AL, F R AE ; MR T T L 102 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A teljes eredő erőt a (IV.78) és a (IV81)-beli erők összegzésével állítjuk elő – tegyük ezt a „FŐROTOR” koordinátarendszerben: (IV.82) RTS = R AE + R SZ ; MR MR MR A repülésmechanikai számításokban az eredő erő egy körülfordulásra számított középértékét kell figyelembe venni – ezt (IV.60) értelemszerű alkalmazásával határozhatjuk meg: (R ) MR TS 1 = 2π 2π ∫R MR TS 0 dψ MR H  =  S  ;  T  (IV.83) A (IV.83)-mal kapcsolatban fontos megjegyzés, hogy a tényleges erőlefutás és a középérték különbségeként adódó, periodikusan változó erő-rész rezgéskeltő hatással bír A forgószárnyaknál ez a

rezgéskeltés, ennek kezelése rendkívül fontos, sokan sok energiát fordítanak a passzív vagy aktív rezgéscsökkentő megoldások kidolgozására és alkalmazására. Nagyon fontos kérdés a rotorlapátok dinamikus kiegyensúlyozása – ezzel például [R12] foglalkozik. A (IV.83) jobboldalán szerepel a többfelé megtalálható (például a IV8 vagy a IV9 ábrán) H - horizontálisnak nevezett, S - oldalerőnek nevezett és a T - emelő erőnek nevezett erő összetevő. A vonatkozó szakirodalom lényegében egybehangzóan nevezi így ezeket, a repülésmechanikai számításokban alapvető erőket. A közepes erők egyszerűbb számítására nyílik mód, ha feltehető, hogy minden lapát tökéletesen egyforma. Ekkor a lapátokra ható erők egyedi számolása helyett elegendő egyetlen lapátra számolni és az eredményt a lapátszámmal szorozni. Az impulzus elmélet esetében alkalmaztuk is ezt a feltételt A „tökéletesen egyforma” nyilván soha nem teljesül,

de mégis, nagyon sok esetben jelent elfogadható közelítést! A közepes erőértékek és ezek periodikus változásának meghatározása jelentik a forgószárnyak aërodinamikai és dinamikai számításának a legfőbb célját. IV.71 Befejező példa Tekintsünk befejezésként egy, a rotoragyra ható erőkre vonatkozó példát. Vizsgáljunk a 2. fejezetbelihez hasonló kétlapátos rotort – de legyen ezen a rotoron matató csukló Legyen a rotor szögsebessége Ω MR = 50 [ r s ] , legyen a csapkodó csukló széthelyezésének távolsága e = 0.16 [ m] (ez megfelel a (III18) összefüggésnek, ha feltesszük, hogy RMR = 4 [ m ] ). Koncentráljuk a lapátok tömegét ( mBL = 10 [ kg ] ) a jellemző sugárhoz, RJ = 2.8 [ m ] ← 07 RMR Ezek szerint a koncentrált tömeg lapát menti koordinátájának ér- téke: xL J = RJ − e = 2.64 [ m] 103 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A példában két alesetet vizsgálunk. Legyen először csak egy

lapát és legyen a csapkodási és a matatási szög azonosan nulla ( β L = δ L ≡ 0 ) Ebben az esetben a lapát (III9) szerint számolt szögsebessége: L ωBL   0  ,x  L    ωBL , y  =  0  ; L ωBL   , z  Ω MR  (III.9/a) Az „LT” pont gyorsulása, a példában, (IV.70) szerint: L  aLT   − e Ω 2MR  ,x  L     aLT , y  =  0  ; L  aLT     ,z   0  (IV.70/a) Határozzuk meg a kiválasztott pont relatív gyorsulását a „LAPÁT” koordinátarendszerben, (IV.71) alapján:  aLL, x   − xL J Ω 2MR   L    0  aL , y  =   ;  aLL, z    0     (IV.71/a) Alkalmazzuk (IV.73)-at a példában választott, koncentrált tömeg esetére: L R SZ 2  − ( e + xL J ) Ω MR    = − 0  mBL ;   0   (IV.73/a) Végeredményként kaptuk a vizsgált esetben a

kiválasztott lapát rotoragyra gyakorolt erőhatását. Egyébiránt a „LAPÁT” koordinátarendszer nem inercia rendszer, ezért itt szó eshet az I. fejezetben bevezetett fiktív erőkről: itt a fiktív erők közül a centrifugális erőnek nevezett fiktív erőről beszélhetünk Legyen a lapát tömege mBL = 10 [ kg ] A konkrét számadatokkal meghatározható a (IV.73/a)-beli erő számértéke: FCF = 2.8 ⋅ 502 ⋅10 = 70000 [ N ] ≃ 7136 [ kp ] ; Ez igen tekintélyes erő, főleg, ha feltesszük, hogy a példa estében mintaként tekintett, eredeti helikopternél egy rotorlapáton kb. 5000 [N] emelő-erőt kell létrehozni (A centrifugális erő a példában tehát 14-szer nagyobb, mint az emelő-erő) Ekkora erők esetében a rotorlapátok alapkúp-szöge kb. β 0 ≅ − 410 Csak megjegyezzük, hogy az általunk alkalmazott koordinátarendszerek előjel szabályai szerint a negatív csapkodási szög jelenti a felcsapást. 104 IV. Rotor aërodinamikai és

dinamikai számítása Tegyük fel, hogy az egy lapát forgását akadályozó légerő az emelő erő huszada, azaz Q ≈ 250 [ N ] . Ekkor a rotor forgatásához szükséges teljesítmény (IV68)-nak megfelelő része: Pindukált + Pprofil = N MR Q RJ Ω MR = 70 [ kW ] ; Ezeknek, a hangsúlyozottan becsült értékeknek az alapján a matató mozgás közepes lemaradási (lapát-vonszolási) szöge mintegy δ 0 ≅ −3.60 -ra tehető Vizsgáljuk másodszor – a példa számadataival – egy földön álló, de forgó rotorú helikopter rotorja által a szerkezetnek átadott erőket. Legyen a csapkodási szög azonosan nulla és legyen a matatási szög δ 0 ≅ −3.60 , állandó Tegyük fel, hogy a lapátok tömege (kicsit) különbözik, azaz: mBL ,1 = 10 [ kg ] , mBL ,2 = 10.01[ kg ] mBL ,1 ≠ mBL ,2 A második lapát 1800 -os szöggel lemaradva követi az első lapátot. Az „LT” pont gyorsulása, a példában, (IV.70) szerint, a „LAPÁT” koordinátarendszerben:

L a LT L  aLT   − cos δ 0 e Ω 2MR  ,x  L    2 =  aLT , y  =  sin δ 0 e Ω MR  ; L  aLT    0   ,z   (IV.70/b) Az eredő szögsebesség, a (III.9) figyelembe vételével: ω BL L L ω BL   0  ,x  L   = ωBL, y  =  0  ; L ωBL   , z  Ω MR  (III.9/b) Határozzuk meg a kiválasztott pont relatív gyorsulását a „LAPÁT” koordinátarendszerben, (IV.71) alapján:  aLL, x   − xL J Ω 2MR   L    0  aL , y  =   ; L  aL , z    0     (IV.71/b) Alkalmazzuk (IV.73)-at a példában választott, koncentrált tömeg esetére (úgy lehet elképzelni, hogy minden lapáthoz egy, saját „LAPÁT” koordinátarendszert rendelünk – ezeket pedig később, a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe illesztjük majd): L R sz ,ℓ  − ( cos δ 0 e + xL J ) Ω 2MR    sin δ 0 e Ω 2MR =

−  mBL,ℓ , ℓ = 1, 2 ;   0   105 (IV.73/b) IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása Transzformáljuk ezt a két erőt első lépésben a „FORGÓ” koordinátarendszerbe: R sz ,ℓ = AL , F R sz ,ℓ F T L cos δ 0  =  sin δ 0  0 − sin δ 0 cos δ 0 0 2 0  ( cos δ 0 e + xL J ) Ω MR    0   − sin δ 0 e Ω 2MR  mBL ,ℓ =   1   0   ( e + cos δ 0 xL J ) Ω 2MR   6987     2 =  sin δ 0 xL J Ω MR  mBL ,ℓ ≅  −414, 4  mBL ,ℓ , ℓ = 1, 2 ;    0  0   (IV.78/b) A (IV.78/b) összefüggésbe – a felvett, illetve becsült adatokalapján – a lapátok tömegének kivételével behelyettesítettük a konkrét számértékeket is Elsősorban azért tettük ezt, hogy világosan látsszon: ezek konkrét, állandó számok, vagyis a tekintett erők a „FORGÓ” koordinátarendszerben

állandók. Illetve az állandó lemaradás miatt a (fiktív) centrifugális erőnek a fő, xF irányú összetevője mellett van (egy kicsi) yF irányú komponense is. Ezeket a két lapátra, értelemszerűen összegezve azt kapjuk, hogy: R F SZ =R F sz ,1 −R F sz ,2  −69,87  ≅  4,144  [ N ] ,  0  (IV.84) A (IV.84) szerinti erő forog körbe a rotorral és okozhatja például a [G2] V fejezetében röviden bemutatott talaj rezonanciát. Transzformáljuk a (IV78/b) szerinti két erőt a „FŐROTOR” koordinátarendszerbe: 2 0  ( e + cos δ 0 xL J ) Ω MR    MR T F R sz ,ℓ = AF , MR R sz ,ℓ 0   sin δ 0 xL J Ω 2MR  mBL ,ℓ ⇒  1   0   ( 6987 cosψ 1 + 414, 4 sinψ 1 ) mBL,1 + ( 6987 cosψ 2 + 414, 4sinψ 2 ) mBL ,2    MR R SZ = ( 6987 sinψ 1 − 414, 4 cosψ 1 ) mBL,1 + ( 6987 sinψ 2 − 414, 4 cosψ 2 ) mBL,2    0 cosψ ℓ =  sinψ ℓ

 0 − sinψ ℓ cosψ ℓ 0 (IV.85) ahol : ψ 2 = ψ 1 + π ; A számolás végeredményét a (IV.85) kifejezés mutatja Az eredő erő zMR irányú összetevője – ahogyan annak lennie is kell – azonosan nulla Az xMR és yMR irányú összetevő, amint az a (IV.85) kifejezésből leolvasható, vagy a IV14 ábrán látható, periodikusan változik A IV14 ábráról látható, hogy ahol az egyik összetevő maximális, ott nulla a másik összetevő. (Például nagyjából 340 -os azimút szögnél, ami nagyjából megfelel a vonszolási szögnek Az eltérés oka az, hogy a matató csuklónak van széthelyezési távolsága ( e ≠ 0 )). Ez a helyzet a IV14 ábrán – és a modell működésében is – négyszer fordul elő: a ψ MR (:= ψ 1 ) = 3, 40 ,93, 40 ,183, 40 és 273, 40 -os azimút szögnél. 106 IV. Rotor aërodinamikai és dinamikai számítása A IV.14 ábrán feltüntettük az eredő erő abszolút értékét is: ez állandó, illetve megfelel a

(IV.84) kifejezés szerint számítható abszolút értéknek IV.14 ábra: Az eredő erő és összetevői, az azimút szög függvényében A rotorok kiegyensúlyozottságával ez az erő nyilván csökkenthető, illetve a lehetőségek szerint csökkentendő hogy az ebből eredő vibráció is csökkenjen. A gyakorlatban a rezgést vagy vibrációt egy, az előírásokban rögzített szint alá csökkenteni is kell! Megjegyzendő, hogy a lapátok tömegeinek eltérése mellett lapátonként különböző lehet a súlypont helyzet is, továbbá nem szabad megfeledkezni az aërodinamikai kiegyenlítésről sem (pl. [R12]) A példabeli számítások egy része jelentősen egyszerűbben is elvégezhető lett volna. Ez a tény lehetőséget biztosít az eredmények megfelelő részének az ellenőrzésére. Másrészt azonban a példabeli lépések értelemszerűen bonyolultabb esetekre is továbbvihetők, amely esetek a közvetlen belátás alapján már nem lennének tárgyalhatók

107 I. Melléklet: A NACA0012 profil jellemzői – saját modell A NACA 0012 nagyon gyakran alkalmazott, szimmetrikus szárnymetszet – az első helikopterek rotorlapátjainál szinte kizárólag ezt a profilt alkalmazták (mivel a húrnegyedre vonatkozó nyomatéki tényezője széles állásszög tartományban zérusnak vehető). A II pontbeli példánkban e profil felhajtóerő- és az ellenállás tényezőjét használjuk. A Reynolds szám értékét kb. 17 millióra, a Mach szám értékét pedig 043-ra választjuk Ennek felvétele után, a profil felhajtóerő tényezője és ellenállás tényezője – a szakirodalmon alapuló saját vizsgálatok szerint – közelítőleg az M.I1 ábrán látható módon változik: M.I1 ábra: NACA 0012 profil – felhajtóerő- és légellenállás tényező A felhajtóerő tényező a NACA 0012 profil esetében – mivel ez szimmetrikus profil – páratlan függvény, tehát cL ( −α ) = −cL (α ) . Az ellenállás tényező

pedig páros függvény, azaz cD ( −α ) = cD (α ) . A konkrét számolásban ezt kihasználjuk! A légerő tényezők értéke a mérsékelt állásszögek esetén fontos igazán, az ezen kívül eső tartományban nagyvonalú közelítéssel is megelégedhetünk – hiszen a lényeges számítási eredmények a vizsgált esetek döntő többségében éppen a mérsékelt állásszög tartományba esnek. Ezért, erre az állásszög tartományra, a felhajtóerő tényezőre az alábbi közelítést javasoljuk: cL ≅ 0.132α − 0000564α 2 − 000312α 3 + + 0.00101α 4 − 0000105α 5 + 000000333α 6 ; 00 ≤ α ≤ 130 (M.I1) Az (M.I1) kifejezésből a felhajtóerő tényező – a páratlan tulajdonságot figyelembe véve – a −130 ≤ α ≤ 00 állásszög tartományban is számítható A további felhajtóerő tényező értékek például az M.I1 ábráról olvashatók le, vagy az MI1 táblázatban leírtak szerint számolhatók. 108 I. Melléklet Az

ellenállás tényezőt – szintén a 0 ≤ α ≤ 130 intervallumon – az alábbi polinommal közelítettük: cD ≅ 0.00565 − 00000381α − 0000124α 2 + 0000129α 3 − − 0.0000218α 4 + 000000117α 5 ; 0 ≤ α ≤ 130 (M.I2) A további ellenállás tényező értékek – hasonlóan a felhajtóerő tényezőhöz – például szintén az M.I1 ábráról olvashatók le vagy az MI1 táblázatban leírtak szerint számolhatók Az ellenállás tényező egyébként – mint már említettük – páros függvény Természetesen más közelítés is alkalmazható, illetve általában más profilok jellemzői szükségesek lehetnek, nevezetesen azé (azoké) a profilé (profiloké), amelyiket (vagy amelyeket) a vizsgált forgószárny lapát esetében alkalmaztak – ezeket nyilván az adott, konkrét esetben kell meghatározni. Hangsúlyozzuk, hogy a fenti jellemzők stacionárius áramlásban lévő profilra vonatkoznak; az instacioneritást, a 3 dimenziós hatásokat nem

tartalmazzák, ezekkel a teljes lapát méretezésekor kell számolni. A példaszámításban a NACA 0012 profil jellemzőit az alábbi alprogram számolja {a megjegyzéseket kapcsos zárójelbe írtuk}: M.I1 Táblázat (első rész) SUB cfce(alpha AS DOUBLE, cF AS DOUBLE, cE AS DOUBLE) REM alpha radianban jon be LOCAL alfok AS DOUBLE, aq AS DOUBLE, elojel AS LONG alfok=rtf*alpha : elojel=SGN(alfok) {az „rtf” globális konstans, radiánt fokra vált, értéke: rtf = 180 π } REM ======================================================== IF alfok<0 THEN alfok=-alfok IF (alfok>=0 AND alfok<=13) THEN cF=0.1323096*alfok-0.00056449452*alfok^20.0031246518*alfok^3+0.001014955*alfok^4-0.0001045504*alfok^5+3.3347842e-006*alfok^6 IF (alfok>13 AND alfok<=22.5) THEN cF=10229-02729*(alfok-13)/9.5 IF (alfok>22.5 AND alfok<=34) THEN cF=075+01*(alfok-22.5)/115 IF (alfok>34 AND alfok<=40) THEN cF=0.85+01*(alfok-34)/6 IF (alfok>40 AND alfok<=45) THEN cF=0.95 IF

(alfok>45 AND alfok<=135) THEN cF=0.95-19*(alfok-45)/90 IF (alfok>135 AND alfok<=147) THEN cF=-0.95+005*(alfok-135)/11.75 IF (alfok>147 AND alfok<=158) THEN cF=-0.9+015*(alfok-147)/11 IF (alfok>158 AND alfok<=168) THEN cF=-0.75-003*(alfok-158)/10 IF (alfok>168) THEN cF=-0.78+078*(alfok-168)/12 cF=elojel*cF REM ======================================================== IF alfok<=13 THEN cE=0.0056484398-38050804e-005*alfok-0.00012448531*alfok^2 +0.00012906808*alfok^3-2.1803082e-005*alfok^4+1.1775873e-006*alfok^5 IF (alfok>13 AND alfok<=167) THEN cE=-0.656664+00612592*alfok-0.00034033*alfok^2 {vége a táblázat első részének} 109 I. Melléklet M.I1 Táblázat (második rész) IF alfok>=167 THEN aq=180-alfok cE=0.0056484398-38050804e-005*aq-0.00012448531*aq^2+0.00012906808*aq^32.1803082e-005*aq^4+1.1775873e-006*aq^5 END IF END SUB Az M.I1 táblázatbeli alprogram (szubrutin) eredményei alapján rajzolt felhajtóerő és ellenállás tényező

görbe az M.I1 ábrán látható 110 II. Melléklet: A NACA0012 profil jellemzői – szakirodalmi modell A NACA 0012 szárnymetszet felhajtóerő- és ellenállás-tényezőjét az I. Mellékletben egy működési állapotra határoztuk meg – a II. pontban vizsgált lebegés esetében ez megfelelőnek tekinthető A IV pontban azonban az előrehaladó repüléssel foglalkozunk, ekkor a rotorlapát működési viszonyai igen nagymértékben változnak. Változik a levegőáram sebessége, ezzel változik a Reynolds és a Mach szám. Illetve változik a levegőáram lapáthoz viszonyított iránya (ferde, valamint hátulról történő megfúvás) is Ezért, ehhez a vizsgálathoz egy, a szakirodalomból átvett, kis mértékben módosított, összetettebb modellt ismertetünk. A szakirodalomból (kis módosítással) történő átvétel egyfajta garancia arra, hogy ezt a modellt általában elfogadhatónak tartják, illetve tartották a kidolgozásakor. Ez a modell tehát egy,

lehetséges példa – az út átfogóbb, pontosabb modell kidolgozására bárki számára nyitva áll Azt azért megjegyezzük, hogy egy ilyenfajta aërodinamikai modell mögött igen sok háttérinformáció – pl mérések, előző modellek – áll, egy újabb modell kifejlesztése nem tehát kis feladat. Az előrehaladó repülésre alkalmazandó lapátmetszet aërodinamikai modelljét a [G2] irodalomjegyzékében, a [66]-os számmal jelzett könyvből (Prouty, R.W: Helicopter Performance, Stability, and Control, Krieger PC. INC, Malabar, Florida, 1986) választottuk A modellt kismértékben kiegészítettük, hogy számítógépi futtatásra alkalmas legyen, azaz minden lehetséges esetet kezeljen. Ez a kiegészítés veszélyekkel is járhat: a program fizikailag megalapozatlan számolásokat is elvégezhet, evvel esetleg hamis végeredményt adhat. Egy „éles” számítás esetén ezt a lehetőséget megfelelő módon kezelni kell – mi itt csak „oktatási” célú

számításokat végzünk – ebben az esetben az egyszerűbb program felépítés – véleményünk szerint – megengedhető. Az eredeti modell az instacionárius áramlás hatását is figyelembe veszi. Ezt mi kihagyjuk, mert a hivatkozott modellben alkalmazott koncepció – véleményünk szerint – nem illeszthető az általunk kidolgozott eljárásba. Az itt ismertetendő, szakirodalmi modellben nem szerepel a Reynolds szám, jóllehet ennek igen lényeges hatása van. Feltehetőleg azért nem foglalkoznak vele, mert a modell – feltehetőleg – a leggyakoribb Reynolds szám tartományra megfelelő és a többi, nem túl gyakori állapot pedig nem fordul elő túl gyakran, tehát az ezzel elkövetett hiba vélelmezhetően nem túl jelentős, illetve a Reynolds szám figyelembe vétele igazán bonyolult modellhez vezetne. Bármilyen számítási modellt alkalmazzunk is azonban, a végső minősítést a számított eredmények gyakorlati ellenőrzése jelenti.

Végeredményben tehát törekedni kell ugyan a minél tökéletesebb modellek megalkotására – de, mindig szem előtt kell tartani a gyakorlati próbát. Ha ez megfelelő eredménnyel abszolválható, akkor az elméleti modellt tovább tökéletesíteni nem szükséges 111 II. Melléklet M.II1 A felhajtóerő tényező Első lépésben a felhajtóerő tényező számítására kidolgozott modellt mutatjuk be. A modellnél figyelembe vesszük, hogy a választott profil (NACA 0012) felhajtóerő tényezője az állásszögnek páratlan függvénye (ezt már az M.I mellékletben is leszögeztük), azaz: cL ( −α ) = −cL (α ) ; (M.II1) Ezért a modellt elegendő csak a 00 ≤ α ≤ 1800 állásszög tartományra kidolgozni, a negatív állásszögekkel az (M.II1) kifejezés szerint lehet dolgozni Jelöljük ki először a mérsékeltebb sebesség tartományra ( M < 0.725 ) érvényes, az úgynevezett lineáris tartományt megadó állásszöget: α L = (15 − 16M )

1 + WT2 WP2 ha M < 0.725 ; (M.II2) Az (M.II2) kifejezés szerint, nulla Mach szám ( M = 0 ) és merőleges megfúvás ( WT = 0 ) esetén a felhajtóerő tényező lineáris változásának felső határaként a 150 -os állásszöget jelöli ki. Továbbra is maradva a merőleges megfúvásnál, ez az állásszög az M = 0.725 -ös Mach számnál 340 -ra csökken le Az úgynevezett „ferde megfúvás” (amikor WT ≠ 0 ) ezt, a lineáris tartományt kijelölő határ-állásszöget az (M.II2) kifejezésben adott módon megnöveli Ezzel vesszük figyelembe, hogy a ferde megfúvás (számunkra) legfontosabb hatása a kritikus állásszög növelése Figyelembe kell azonban venni, hogy ha a merőleges sebesség összetevő abszolút értéke ( WP ) túl kicsi, akkor az α L értéke irreálisan nagy lesz, illetve gondoskodni kell arról, hogy WP értéke nulla soha ne lehessen. Ez ugyan mindenképpen hibát jelent, de kis sebességnél kis légerők keletkeznek – ezért a

szóban forgó hiba eltűrhető. A lineáris állásszög tartományra ( 0 ≤ α < α L ) és a mérsékeltebb sebesség tartományra ( M < 0.725 ) érvényes felhajtóerő tényező kifejezése:  0.1  cL =  − 0.1M  α 2  1− M  ha 00 ≤ α < α L és M < 0.725 ; (M.II3) Ez, nulla Mach számnál a cL = 0.1α kifejezésre vezet Illetve az −α L < α ≤ 00 tartományon az (MII1) szerint számolhatunk Amennyiben a 200 > α ≥ α L és M < 0.725 akkor a:   1 ( 2.05−095 M ) cL =  ; − 0.1M  α − 00233 + 0342 M 715 (α − 15 + 16M ) 2 M 1 −   ( ) 112 (M.II4) II. Melléklet kifejezéssel számoljuk a felhajtóerő tényezőt. Ha 00 ≤ α ≤ 3.40 és M ≥ 0725 , akkor a: cL = ( 0.677 − 0744M ) α ; (M.II5) kifejezéssel számoljuk a felhajtóerő tényezőt. Ha 3.40 < α < 200 és M ≥ 0725 , akkor a: cL = ( 0.677 − 0744M ) α −  00575 − 0144 ( M − 0725)  kifejezéssel

számoljuk a felhajtóerő tényezőt. 0.44  [α − 3.4] ( 205−095 M ) ;  (M.II6) Ha 200 ≤ α < 1610 (a Mach számtól függetlenül!), akkor a: cL = 1.15sin ( 2α ) ; (M.II7) kifejezéssel számoljuk a felhajtóerő tényezőt. Ha 1610 ≤ α < 1730 (a Mach számtól függetlenül!), akkor a: cL = −0.73 ; (M.II8) kifejezéssel számoljuk a felhajtóerő tényezőt. Ha 1730 ≤ α ≤ 1800 (a Mach számtól függetlenül!), akkor a: cL = 0.1(α − 180 ) ; (M.II9) kifejezéssel számoljuk a felhajtóerő tényezőt. Ezzel rendelkezésre áll a 00 ≤ α ≤ 1800 állásszög tartományra kidolgozott modell. A negatív állásszögekkel ( −1800 ≤ α ≤ 00 ) a korábban leírt módon lehet számolni. Érdemes kiemelni, hogy az (M.II7) kifejezéstől kezdve elég egyszerű összefüggéseket találhatunk – ezek azok az állásszögek, amelyek csak ritkán fordulnak elő és ezért a hivatkozott szakirodalom nem tartotta érdemesnek a velük való

részletesebb munkát. A fenti számítások alapján – egyes esetekben – igen nagy abszolút értékű felhajtóerőtényező maximum adódhat ki. Ezért a hivatkozott szakirodalom a −900 ≤ α ≤ 900 állásszög intervallumra korlát értéket vezet be: cL ≥ −6.2 cL ≥ 6.2 cL ≤ 6.2 α + 90 α 45 α 45 45 , ha − 900 ≤ α < −450 ; , ha − 450 ≤ α < 00 ; , ha 0 ≤ α < 45 ; ; cL ≥ 6.2 − 62 0 α − 45 45 0 , ha 450 ≤ α ≤ 900 ; 113 (M.II10) II. Melléklet Az (M.II10) szerint tehát, például, ha a felhajtóerő tényező értéke −450 -os állásszögnél −62 -nél kisebbre adódna, akkor −62 -es értékkel kell számolni Illetve (másikpéldaként), ha a felhajtóerő tényező értéke 450 -os állásszögnél 62 -nél nagyobbra adódna, akkor 62 -es értékkel kell számolni Ezek a számadatok csak példák: általában az (MII10) szerint kell számolni! A fenti példák azért rámutatnak arra, hogy ezekben a

számításokban, a gyakorlati tapasztalatok alapján a „szokásosnál” sokkal nagyobb - abszolút értékű – felhajtóerő tényezők is előfordulhatnak. Az M.II1 táblázatban az a konkrét (BASIC nyelven írt) szubrutin látható, amely szubrutin a felhajtóerő tényezőt számolja Az itt leírt program részlet kidolgozásakor a fő szempontunk a jó áttekinthetőség volt. M.II1 Táblázat (első rész) SUB Pcf(alpha AS DOUBLE, cF AS DOUBLE, Mach AS DOUBLE, Wp AS DOUBLE, Wt AS DOUBLE) REM alpha radianban jon be, -pi és +pi kozott valtozik LOCAL alfok AS DOUBLE, cFek AS DOUBLE, cKor AS DOUBLE, alfaL AS DOUBLE alfok=rtf*alpha {az „rtf” globális konstans, radiánt fokra vált, értéke: rtf = 180 π } IF ABS(Wp)<0.1 THEN Wp=01 {a „Wp” értéknek mindig nullánál nagyobbnak kell lennie – saját kiegészítés} alfaL=(15-16*Mach)SQR(1+((WtWt)/(WpWp))) IF alfok >=0 THEN IF 0<=alfok AND alfok<alfaL AND Mach<0.725 THEN

cFek=(01/SQR(1-Mach^2)001*Mach)alfok IF alfaL<=alfok AND alfok<20 AND Mach<0.725 THEN cFek=(0.1/SQR(1-Mach^2)-001*Mach)alfok-(0.0233+0342*Mach^7.15)*(alfokalfaL)^(2.05-095*Mach) END IF IF alfok<=3.4 AND Mach>=0725 THEN cFek=(0677-0744*Mach)alfok IF alfok>3.4 AND alfok<20 AND Mach>=0725 THEN cFek=(0.677-0744*Mach)alfok-(0.0575-0144*(Mach-0.725)^044)*(alfok-3.4)^(205095*Mach) END IF IF 20<=alfok AND alfok<161 THEN cFek=1.15*SIN(2alfokftr) IF 161<=alfok AND alfok<173 THEN cFek=-0.7 IF 173<=alfok AND alfok=<180 THEN cFek=0.1*(alfok-180) END IF cF=cFek {vége a táblázat első részének} 114 II. Melléklet M.II1 Táblázat (második rész) IF alfok<0 THEN alfok=-alfok IF 0<=alfok AND alfok<alfaL AND Mach<0.725 THEN cFek=(01/SQR(1-Mach^2)001*Mach)alfok IF alfaL<=alfok AND alfok<20 AND Mach<0.725 THEN cFek=(0.1/SQR(1-Mach^2)-001*Mach)alfok-(0.0233+0342*Mach^7.15)*(alfokalfaL)^(2.05-095*Mach) END IF IF alfok<=3.4 AND

Mach>=0725 THEN cFek=(0677-0744*Mach)alfok IF alfok>3.4 AND alfok<20 AND Mach>0725 THEN cFek=(0.677-0744*Mach)alfok-(0.0575-0144*(Mach-0.725)^044)*(alfok-3.4)^(205095*Mach) END IF IF 20<=alfok AND alfok<161 THEN cFek=1.15*SIN(2alfokftr) IF 161<=alfok AND alfok<173 THEN cFek=-0.7 IF 173<=alfok AND alfok=<180 THEN cFek=0.1*(alfok-180) cF=-cFek END IF REM Eloirt maximum alfok=rtf*alpha IF -90.01<=alfok AND alfok<-45 THEN cKor=-6.2*(alfok+90)/45 IF cF<cKor THEN cF=cKor END IF IF -45<=alfok AND alfok<0 THEN cKor=6.2*alfok/45 IF cF<cKor THEN cF=cKor END IF IF 0<=alfok AND alfok<45 THEN cKor=6.2*alfok/45 IF cF>cKor THEN cF=cKor END IF IF 45<=alfok AND alfok<90.01 THEN cKor=6.2-62*(alfok-45)/45 IF cF>cKor THEN cF=cKor END IF END SUB A felhajtóerő tényezőt számoló szubrutin működésének illusztrálására néhány példaszámítást mutatunk be. Tekintsük először az M = 043 és merőleges megfúvás esetén ( WT = 0 )

számolt felhajtóerő tényezőt. Az MII1 ábrán a fenti szubrutinnal, illetve az M.I-es mellékletbeli szubrutinnal számolt felhajtóerő tényező értékét tüntettük fel Lát- 115 II. Melléklet ható, hogy a két számítás eredménye ugyan nem azonos, de általában elég közel esik egymáshoz. A legfontosabb, lineáris tartományban pedig az eredmények gyakorlatilag azonosnak vehetők. M.II1 ábra: Felhajtóerő tényező az állásszög függvényében, M=043 és merőleges megfúvás esetére M.II2 ábra: Felhajtóerő tényező az állásszög függvényében, változó Mach szám esetén Az M.II2 ábrán a −200 ≤ α ≤ 200 állásszög tartományon, merőleges megfúvással, de különböző Mach számokkal számított felhajtóerő tényezőt tüntettük fel. A fentitől különböző állásszögek esetén a modell szerint számolt felhajtóerő tényező nem függ a Mach számtól – ez nyilván jelentős egyszerűsítés, valószínűleg azért

engedhető meg, 116 II. Melléklet mert az árán láthatótól különböző állásszögek ritkán fordulnak elő, az így elkövetett hiba nem jelentős. Az M.II2 ábrán megfigyelhető, hogy a növekvő Mach számmal (hacsak M < 0725 ) a felhajtóerő tényező lineáris tartománybeli egyenesének meredeksége nő. Illetve a lineáris tartomány szűkül és csökken a maximális felhajtóerő tényező értéke. A 08-es Mach számnál viszont már csökkent meredekséget látunk. Érdemes megjegyezni, hogy a Mach szám nagyobb értékei általában – egészen rendkívüli esetektől eltekintve – kis állásszögeknél jönnek létre. M.II3 ábra: Ferde megfúvás hatása a felhajtóerő tényezőre E pontot lezáró példaként az M.II3 ábrán látható görbéket mutatjuk be: ezen az ábrán a ferde (itt éppen 450 -os) megfúvás hatására megnövekedett kritikus állásszög, illetve legnagyobb felhajtóerő tényező növekedés látható. Természetesen még

sok, további példát számolhatnánk végig – ezt azonban a Tisztelt Olvasóra bízzuk; tényleges számolás esetén úgyis fel kell építeni ezt a modellt és a programot, azzal pedig a modell keretin belül, tetszőleges számolás végezhető. 117 II. Melléklet M.II2 Az ellenállás tényező Második lépésben az ellenállás tényező számítására kidolgozott modellt mutatjuk be. Ez jóval egyszerűbb, mint a felhajtóerő tényezőre kidolgozott modell. Tekintsük először az összenyomhatatlan (inkompresszibilis) közeg (levegő) esetén alkalmazandó kifejezéseket. A következők kifejezésekbe az állásszög ( α ) fokban helyettesítendő be, illetve szem előtt tartjuk, hogy az ellenállás tényező – speciálisan erre a profilra! – páros függvénnyel írható le. Ha 200 < α ≤ 3400 akkor az ellenállás tényezőt a: cD = 1.03 − 102 cos 2α ; (M.II11) kifejezéssel számoljuk. Ennél a kifejezésnél az inkompresszibilitást külön nem

jelöltük, mivel eme állásszög tartomány felett a hivatkozott modell nem veszi figyelembe a kompresszibilitást, mindig a fenti kifejezéssel számol. Ha α ≤ 200 illetve α > 3400 , akkor az inkompresszibilis esetre érvényes ellenállás tényezőt a: ( ) cDincomp = 0.0081 + 685α 2 − 0266α 4 + 00046α 6 10−6 ; (M.II12) kifejezéssel számoljuk. Megjegyzendő, hogy az α ≥ 340 esetben az α ′ = 360 − α , értelemszerűen eltolt (transzformált) állásszöggel számolunk 0 0 A hivatkozott szakirodalom nem a kritikus, hanem az ellenállás növekedéséhez rendelt Mach számmal („ M DD - drag divergence Mach number”) számol. Illetve azt tételezi fel, hogy az összenyomhatóság hatása csak egy, meghatározott állásszög felett jelenik meg. Ez az állásszög: α D = 17 − 23.4M ; (M.II13) Abban az esetben tehát, ha az állásszög az α ≤ 200 illetve α > 3400 tartományba esik, akkor a 0.1 < M < M DD ( M DD = 0725 ) Mach szám

tartományon a cD = cDincomp + 0.00066 (α − α D ) 2.54 ; (M.II14) kifejezéssel számolunk. Amennyiben pedig a M ≥ M DD eset következik be, akkor a: cD = cDincomp + 0.00035α 254 + 21( M − 0725 ) ; 3.2 (M.II15) kifejezést alkalmazzunk. A következőkben, az M.II2 táblázatban az ellenállás tényező számítására kidolgozott szubrutint ismertetjük. Ennél a szubrutinnál is az egyszerűséget tartottuk szem előtt A megjegyzéseket itt is a vonatkozó program sorba vagy a sor alá, kapcsos zárójelek közé írtuk (fekete színnel). 118 II. Melléklet M.II2 Táblázat SUB Pce(alpha AS DOUBLE, cE AS DOUBLE, Mach AS DOUBLE) REM alpha radianban jon be, -pi és +pi kozott valtozik LOCAL alfok AS DOUBLE, cDink AS DOUBLE, alfaD AS DOUBLE alfok=rtf*alpha IF alfok<=0 THEN alfok=360+alfok {a negatív állásszögek átszámítása} IF 20<alfok AND alfok=<340 THEN {először az (M.II11) képlet szerinti számolás következik} cDink=1.03-102*COS(2alfokftr)

ELSE {ezután számolunk az (M.II12) szerint} IF alfok>=340 THEN alfok=360-alfok {az α ≥ 3400 esetben alkalmazzuk a korábban már említett eltolást} {emiatt eltolás miatt az összenyomhatóságnál a 3400 -nál nagyobb szögekkel} {már nem kell külön számolni!} cDink=0.0081+(685*alfok^2-0.266*alfok^4+0.0046*alfok^6)0.000001 END IF cE=cDink {innentől jön az összenyomhatóság hatásának számolása} IF alfok<20 THEN alfaD=17-23.4*Mach IF (alfok>alfaD AND Mach>0.1 AND Mach<0725) THEN cE=cE+000066*(alfokalfaD)^2.54 IF (alfok>alfaD AND Mach>=0.725) THEN cE=cE+0.00035*ABS(alfok)^2.54+21*(Mach-0.725)^32 END IF END SUB A fenti szubrutinnal példaszámolást végeztünk, először az M.I, illetve az MII melléklet szerint számított ellenállás tényezőt hasonlítjuk össze (MII4 ábra) Az ábrán látható két görbénél a Mach szám egyaránt M = 043 Ezen az ábrán a két görbe lefutása látható, a teljes állásszög tartomány felett. A

görbék, helyi eltérésektől eltekintve hasonlóak A két görbe a −150 < α < 150 állásszög intervallum felett gyakorlatilag azonos – egyébiránt ez a legfontosabb állásszög tartomány. Az MII szerint számított görbén az α = ±200 -nál szakadás van (ez a szakadás az M.II5 ábrán is látható) A −200 < α < −150 és 150 < α < 200 állásszög intervallum felett az M.II szerinti görbe az MI szerinti görbe felett jár, ezen kívül az M.I szerinti görbe jár magasabban Megjegyzendő, hogy az MI szerinti görbe viszont folytonos. Összefoglalva megállapítható, hogy a valóságos működés szempontjából leglényegesebb állásszög tartomány felett a két görbe egymáshoz nagyon közeli értékeket ad. 119 II. Melléklet M.II4 ábra: Ellenállás tényező az MI illetve MII szerint Az M.II5 ábrán a Mach szám hatására bekövetkező ellenállás tényező változás vehető szemügyre M.II5 ábra: A Mach szám választott

modell szerinti hatása az ellenállás tényezőre Már korábban megállapítottuk, hogy az itt bemutatott, szakirodalmi modell az összenyomhatóság hatását a −200 < α < 200 állásszög tartomány felett veszi figyelembe, más állásszögeknél nem számol vele. Ez látható tehát az MII5 ábrán 120 III. Melléklet: Egyensúlyi helyzet számítása A IV. fejezetben tárgyalt, összetett számítási eljárás bemenete a rotor működési állapota Ebben a mellékletben egy, nagyon leegyszerűsített eljárást mutatunk be, melynek segítségével a keresett paraméterek közelítőleg meghatározhatók. A (forgószárnyas) repülőgépek egyensúlyi állapota alatt azt értjük, hogy a forgószárnyas repülőgépekre ható külső erők és nyomatékok eredője nulla. Ez, a hagyományos egyensúly fogalom az, aminek a segítségével a számunkra fontos, egyensúlyinak nevezett repülési állapotok fő jellemzői meghatározhatók. A forgószárnyas

repülőgépekre ható erők és nyomatékok igényes számítása bonyolult, esetenként csak elméleti számítással meg sem oldható feladat. Ebben, az oktatási céllal készült anyagban jelentős egyszerűsítéseket vezetünk be – az itt tárgyalnál jobb, több hatást figyelembe vevő megoldást az érdeklődő Olvasó egyéni munkával kaphat. A számításban csak az xB − z B , vagy ami ezzel azonos az xMR − z MR síkban ható erőket tekintjük, a többi erőhatást elhanyagoljuk. Illetve kihagyjuk a vízszintes vezérsíkon (csillapítón) keletkező erőt és a farokrotor reakciónyomatékát is Ezért az eredményeink leginkább jellegre lesznek helyesek – konkrét forgószárnyas repülőgép vizsgálatára ez a számítási módszer nem igazán alkalmas! Ebben az előzetes számításban azt feltételezzük, hogy a rotoron keletkező eredő légerő (és így a komponenseinek is) a támadáspontja a rotor főtengelyén, az agy magasságában (vagy, a csapkodó

csukló széthelyezésének hatását véve figyelembe valamivel e felett) található. Vagyis, egyszerűen fogalmazva az eredő aërodinamikai erő a rotorlapátvég-síkra (RLVS – TPP) merőlegesen ébred és a támadáspontja a rotor középpontja (vagy valamennyivel felette lévő pont). Legyen ez a támadáspont a mi esetünkben az M.III1 ábrán látható „MR” pont Ismételten hangsúlyozzuk, hogy csak az xB − z B síkot vizsgáljuk, illetve csak az M.III1 ábrán látható részt tekintjük Az ábrán egy egyensúlyi repülési helyzetet látunk: a rotoron keletkező R eredő légerő (ez a T emelő erő és a H vízszintes erő vektori öszszege, az S oldalerővel nem foglalkozunk) azonos hatásvonalon van a G súlyerő és a D B törzs légellenállásának összegeként előálló, − R nagyságú (ellen) erővel. Ebből rögtön következik, hogy erő és nyomatéki egyensúly van, azaz ez egy egyensúlyi repülési állapot. Az egyszerűség kedvéért tekintsünk

el a rotortengely esetleges döntött beépítésétől, azaz legyen a ϕ EH = ϕ BJ = 0 . Ezért a „FŐROTOR” és a „TEST” koordinátarendszer megfelelő tengelyei – vízszintes repülésben – párhuzamosak, vagyis: xB xMR és z B zMR Ebből következik, hogy a bólintási szög egyenlő a főrotor állásszögével, azaz: ϑ = α MR ! 121 III. Melléklet Vizsgáljunk vízszintes repülést, ezért a repülési sebesség ( V ) az x0 tengellyel párhuzamos, vagyis az x0 és az xB tengely– valamint, értelemszerűen a z0 és a z B tengely is – egymással α MR szöget zár be. Egy, esetleges tengelydöntés a [G8] III fejezetében megtalálható összefüggések felhasználásával vehető figyelembe A példában feltesszük, hogy a „TEST” koordinátarendszer origója (HR pont) a súlypontban van. Ezért a G súlyerő a „HR” pontban hat Feltesszük továbbá (az egyszerűség kedvéért), hogy a törzs légellenállásának eredője ( D B ) is ugyanebben a

pontban ébred. M.III1 ábra: Egyensúlyi repülési állapot Határozzuk meg a közeli eredő sebességet a „FŐROTOR” és a „TEST” koordinátarendszerben. Ez, a IV2 és az MIII1 ábra szerint (vegyük figyelembe, hogy ϑ = α MR , ezért a következőkben számoljunk α MR − rel): V MR R  −V cos α MR   V cos α MR  B     ; = 0 0 , V R =    −V sin α MR + v i  V sin α MR − vi  (M.III1) Illetve a közeli eredő sebesség nagysága: VR = + (V cos α MR ) + (V sin α MR − vi ) 2 2 ; (M.III2) A törzs légellenállásának számítására használjunk a [G2]-ben vázolthoz hasonló elgondolást. Legyen az „EF” (Ellenállás Felület) elnevezésű mennyiség az a felület, amelynek légellenállása (egységnyi légellenállás tényezőt választva) a törzs ellenállásával 122 III. Melléklet egyenlő. Az ellenállás felületet igen durva közelítés (számos hatást hagy figyelmen

kívül), ennek ellenére, az egyszerűsége miatt a szakirodalomban mégis gyakran alkalmazzák, mi is főként ezért alkalmazzuk Határozzuk meg a törzs légellenállás-erejének nagyságát: ρ D B = ( DB = ) VR2 EF ; 2 (M.III3) Az ellenállás felület dimenziója  m 2  , a vonatkozó statisztikai adatok szerint egy, lehetséges közelítése (a G súlyerő Newton-ban helyettesítendő): (M.III4) EF = 0.0112 G ; Az (M.III4) az ellenállás felületnek csak egy lehetséges közelítése; természetesen sok más közelítés is létezik! A következő számítást a „TEST” koordinátarendszerben végezzük. Határozzuk meg ezért a törzs légellenállását ebben a rendszerben:  − (V cos α MR ) VR    D = DB  0 ;  − (V sin α MR − vi ) VR    (M.III5) B B Az M.III1 ábra alapján két erő-egyensúlyi egyenlet írható fel: H − DB T − DB V cos α MR − G sin ϑ = 0 VR ( megj. : V sin α MR − vi + G cos ϑ = 0

VR a példánkban α MR = ϑ ) ; ( megj. : α MR = ϑ itt is ) ; (M.III6) (M.III7) Fontos megjegyzés: az (M.III6) és az (MIII7) egyenletből T és H előjelét megkapjuk (kiszámoljuk). Nyilvánvaló, hogy egyensúlyi repülésben csak a negatív T emelő erő fogadható el Így, az MIII1 ábra szerinti elrendezésben (amikor a súlypont elől van) szintén csak a negatív H „vízszintes” erő lesz elfogadható Az egyensúlyi helyzet számításához a súlypontra vonatkozó nyomatéki egyenlet írható fel. A választott koordinátarendszerben a faroknehéz nyomaték a pozitív, ezért, az M.III2 ábrán látható koordináták segítségével írható, hogy (emlékeztetünk rá, hogy a vízszintes csillapító és farokrotor nyomatékával nem foglalkozunk): B B zMR H − xMR T = 0; (M.III8) B Az „MR” pont magassága ( zMR ) a forgószárnyas repülőgép építési adata, értéke nyilB ) szélső értékei szintén vánvalóan a konkrét géptípus mérete. A

súlyponthelyzet ( xMR géptípushoz rendelt adatok – ezeken a korlátokon belül azonban szabadon megválasztható. 123 III. Melléklet M.III2 ábra: Az „MR” pont koordinátái a „TEST” rendszerben A számítás elméleti részének lezárásaként határozzuk meg a közeli átlagos indukált sebességet ([G2] (I.2) összefüggésének értelemszerű átírásával): 2 T = − ρ RMR π VR 2vi (M.III9) A számításban, a mi értelmezésünkben a közeli átlagos indukált sebesség számértéke pozitív, miközben az emelő erő ( T ) negatív számértékkel bír. Ezért kell az (MIII9) képlet jobboldalára a negatív előjel Ezzel eljutottunk a kitűzött célunkhoz, vázolhatjuk a rögzített feltételeink melletti egyensúly számítás lépéseit. Legyen adott a forgószárnyas repülőgép súlya ( G ), a B B főrotor sugara ( RMR ), az „MR” pont súlyponthoz viszonyított helykoordinátái ( xMR ) , z MR és a környező levegő sűrűsége ( ρ ). Az

egyensúlyi állapotot meghatározó paraméterek: α MR , V , VR , vi , T , H és DB (rendre a főrotor állásszöge, a repülési sebesség, a közeli eredő sebesség, a közeli átlagos indukált sebesség, az emelő erő és a törzs légellenállása). Ez 7 paraméter, a számolásra 6 független egyenletünk áll rendelkezésre, ezért egy paramétert megválaszthatunk Legyen ez, a felveendő paraméter a főrotor állásszöge. A maradék 6 paraméter meghatározására az alábbi számolási sémát javasoljuk: 1. lépés B B konkrét adatok ( G, ρ , RMR , xMR ) számszerű megadása, és , z MR 2. lépés EF = 0.0112 G számolása, ε számolási hibahatár megadása; α MR megválasztása (a sémában ϑ helyett mindenütt α MR -t írunk!); 3. lépés 4. lépés V kezdőértékének felvétele 2 vi = G ( 2 ρ RMR π V ) kezdőérték kiszámítása; 124 III. Melléklet visszatérési pont kitűzése (pl. címke); 5. lépés VR = + 6. lépés D B = ( DB = )

VR2 EF számítása; 2 V sin α MR − v i T = −G cos α MR + DB számolása; VR (V cos α MR ) + (V sin α MR − vi ) 2 2 számítása; ρ 7. lépés 8. lépés 9. lépés 10. lépés B xMR H = T B számolása; zMR T vi = − 2 2 ρ RMR π VR V 1 Vúj = ( H − G sin α MR ) R új repülési sebesség érték számolása; DB cos α MR 11. lépés V változtatása úgy, hogy V Vúj ( V tartson Vúj − hoz); 12. lépés ha V − Vúj > ε , akkor visszatérés a címké-hez; 13. lépés ha V − Vúj ≤ ε , akkor az eredmény ( α MR , V , VR , vi , T , H és DB ) kiíratása. A függeszkedés vagy lebegés Tekintsük csak a helikoptereket és vizsgáljuk ezek lebegését szélcsendben. Ebben az esetben az MIII3 ábrán látható erő- és nyomatéki egyensúly állítandó be Ez azt jelenti, hogy az eredő légerő ( R = T + H ) egy egyenesen kell legyen a súlyerő és a törzs légellenállásának eredőjével ( − R = G + D B ), de ez utóbbi erő az eredő

erő mínusz egyszerese. Az (M.III8) egyenlet szerint a kormányzási szög ( δ EH ) nagysága 05730 ; és ez a szögérték, az általunk választott modellben, a repülési sebességtől függetlenül állandó (ugyanekkora érték). A függeszkedési vagy lebegési jellemzők számításakor az (M.III6), az (MIII7) és az (M.III8) egyenlet nulla repülési sebességre vonatkozó alakjából indulunk ki: H − G sin α MR = 0 ( megj.: a példánkban α MR = ϑ ) ; (M.III10) T + DB + G cos α MR = 0 ; (M.III11) B B zMR H − xMR T = 0; (M.III12) DB = ρ EF v / 2 ; 2 i (M.III13) 2 T = − ρ RMR π 2vi2 (M.III14) 125 III. Melléklet M.III3 ábra: Függeszkedés vagy lebegés Az (M.III10 – MIII14) egyenlet felírásakor figyelembe vettük, hogy függeszkedésben VR = vi . A fenti öt egyenletből meghatározható a lebegésbeli α MR , vi , T , H és DB érték A későbbi számpélda eredményeiből látható lesz majd, hogy az emelőerő és a súlyerő

viszonyszámának legnagyobb értéke −1.006 , a legkisebb számított érték pedig −10388 (ez a legnagyobb számított sebességnél adódik). Illetve az MIII3 ábráról megállapítható, hogy a kormányzási szög ( δ EH ) abszolút értéke elég közel van a főrotor állásszög ( α MR ) abszolút értékéhez (a számértéke valamivel kisseb). Ezeket a számszerűségre vonatkozó megállapításokat a konkrét számolásban érdemes kihasználni Az M.III3 és az MIII4 ábra baloldali rész ábrájáról megállapítható, hogy az ugynevezett első súlypont helyzetben (amikor a súlypont a rotortengely ( zMR ) és az xB tengely metszéspontja előtt helyezkedik el) a botkormányt húzott helyzetben kell tartani. Ebben az esetben a rotorlapátvég-sík megközelíti a faroktartót, ami, adott esetben veszélyes is lehet. Ha a súlypont rajta van a rotortengelyen (M.III4 ábra, középső rész ábrája), akkor a lebegéshez a botkormányt semleges helyzetben kell

tartani. Abban az esetben pedig, ha a súlypont hátul helyezkedik el (M.III4 ábra jobboldali rész ábrája), a függeszkedéshez a botkormánynak előremozdított helyzetben kell lennie. 126 III. Melléklet M.III4 ábra: Függeszkedés és súlypont-helyzet (közelítő kép) M.III1 Számítási példa A fentiekben leír eljárás teljesebb bemutatása érdekében egy számpéldát dolgoztunk ki. Legyen a környezeti levegő sűrűsége: ρ = 1.225  kg m3  A példában egy kishelikoptert tekintünk, melynek adatai: G = 12000 [ N ] RMR = 4 [ m ] B = −20 [ mm] xMR B = −2000 [ mm] zMR EF = 0.0112 G = 1227  m 2  Tekintsük először a függeszkedést (lebegést). Ekkor a korábban leírtak szerint, az (M.III10 - (MIII14) egyenletek alkalmazásával kiszámolható, hogy α MR = ϑ = −0577 0 , vi = 9.901[ m / s ] és −T / G = 100609 (a számértékek közelítőek!) Ez azt jelenti, hogy a példa-helikopter, a felvett súlypont helyzetben az

„orrát lógatva” lebeg. A kormányzási szög értéke: δ EH = 0.5730 , valóban közel esik a főrotor állásszög (abszolút) értékéhez Mivel a számolásban az ϑ = α MR feltételt vezettük be, azért a javasolt számítási eljárásban (a 2. lépésben) az α MR ≤ −05770 feltételt figyelembe kell venni A példaszámításban a 3 lépésben választandó repülési sebesség növekedésével a 10 lépésben adódó Vúj érték (erősen) csökken. Ezért a számolást elegendően kis V -vel érdemes indítani, és ezt az értéket úgy célszerű növelni, hogy a Vúj csökkenésével a 12., illetve 13 lépében olvasható feltétel teljesüljön 127 III. Melléklet A számítás eredményeit ábrákon tüntetjük fel – a konkrét számértékek, adott esetben, az ábrákról olvashatók le. Az ábrák segítségével a folyamatok követhetők nyomon M.III5 ábra: A főrotor állásszög a repülési sebesség függvényében Az M.III5 ábrán a

bólintási szög = főrotor állásszög változása látható, a repülési sebesség függvényében Az ábráról az a közismert viselkedés olvasható le, ami szerint a repülési sebesség növekedésével a bólintási szög és a főrotor állásszög is egyaránt csökken (az abszolút értékük növekszik). M.III6 ábra: Az átlagos közeli indukált sebesség a repülési sebességfüggvényében 128 III. Melléklet Az M.III6 ábrán a közeli átlagos indukált sebesség változása látható, a repülési sebesség függvényében Ugyanezt a kapcsolatot mutatja be [G2] 16 ábrája is – a két ábrán látható görbék lefutása hasonló. Ez az ábra egy konkrét helikopter típusra vonatkozik, és a pontjainak számolása pontosabb elvi alapokon történt, mint a [G2]-beli számolás. A [G2]-ben tett megjegyzések itt is érvényesek. M.III7 ábra: Az emelő-erő súlyerő viszony a repülési sebességfüggvényében Az M.III7 ábrán az emelő erő és a

súlyerő viszonyszámának mínusz egyszeresét ábrázoltuk, a repülési sebesség függvényében Látható, hogy a viszonyszám abszolút értéke alig különbözik egytől – ez megerősíti a [G2] (I3) összefüggésének kapcsán tett feltételezésünket (ott a két erő abszolút értékét azonosnak tekintettük) Természetesen, mint az M.III7 ábra mutatja is, lehet pontosabban is számolni Megállapítható az is, hogy a viszonyszám abszolút értéke a repülési sebesség növekedésével egyre erőteljesebben nő, nyilvánvalóan a törzs légellenállásának a közeli eredő sebesség négyzetével arányos növekedése miatt. Nagyon fontos, hogy, bár az ábráról nem igazán látszik, de a görbének, a közeli eredő sebesség változásának jellege miatt kb. 6 m/s repülési sebességnél minimuma van. M.III2 Záró megjegyzések Az M.III1 ábrán látható a kormányzási szög ( δ EH ), melynek nagysága az (MIII8) egyenlet szerint 0.5730 Ez a

szögérték, az általunk választott modellben, a repülési sebességtől függetlenül állandó (ugyanekkora érték) Ez tehát azt jelenti, hogy a rotorlapátvég-sík a helikopter törzséhez képest – a repülési sebességtől függetlenül - változatlan pozícióval bír. 129 III. Melléklet Ebből következik, hogy ha a rotor főtengelyt például ezzel a szöggel döntve (a példa szerint hátra, de ez a súlyponthelyzettől függ) a rotorlapátvég-sík a főtengelyre merőleges lesz. Vagyis: ha kiválasztunk egy (pl leggyakoribb vagy más miatt legfontosabb) súlypont helyzetet, akkor ezzel megállapíthatunk egy főtengely előre-hátra döntési szöget, a főtengelyt ezzel a szöggel döntve építhetjük be a törzsbe. Másodikként emlékeztetünk arra, hogy [G2] V.2 ábráján láthatóan a főrotor-kúp – azaz a rotorlapátvég-sík – a sebesség növekedésével hátrafele (és oldalt, de erre itt nem térünk ki) billen Az egyensúlyi repüléshez

azonban a rotorlapátvég síkot a korábban meghatározott helyzetbe, előre kell billenteni. Ezt a magassági kormány előrenyomásával érjük el Természetesen, minél nagyobb a sebesség, annál inkább előre kell nyomni a magassági kormányt. A forgószárnyas repülőgépeknél tehát, a magassági kormány, a repülőgépvezető szempontjából tekintve a merevszárnyú repülőgépeknél megszokotthoz hasonlóan viselkedik – de a kormánymozgás mögötti fizikai folyamat tökéletesen más! Illetve nagyon lényeges, hogy a forgószárnyas repülőgépek kormányai általában erős kapcsolatban vannak egymással, vagyis, ha valamit megváltoztatunk, akkor általában az össze többi kormányhelyzetet is változtatni kell. Ezeknek a kapcsolódásoknak a csökkentése, esetleges megszüntetése érdekében komoly kutatások folynak 130 IV. Melléklet: Fontosabb jelölések jegyzéke Ebben a mellékletben csak a legfontosabb jelöléseket foglaljuk össze, a

jelöléseket általában az első előfordulásuk helyén vezetjük be. A vektoroknál a jobb, felső indexszel jelöljük azt, hogy a szóban forgó vektor összetevői melyik koordináta rendszerben adottak. Ugyancsak a jobb felső indexbe kerülhet egy, adott esetben vesszővel elválasztott „T ” betű, ez jelenti a vektor transzponáltját. A vektorok jobb, alsó indexében – kötött vektor esetében – gyakran a kiinduló és a végpont B megnevezését tüntetjük fel. (Például az r HR , P vektort – 12 ábra – a test koordináta rendszerben adjuk meg, ez a vektor a koordináta rendszer origójából (HR pont) indul, a végpontja pedig a P pont A leképezési, elforgatási mátrixnak a kételemű, jobb alsó indexének első eleme a cél koordináta rendszert, a második pedig a kiinduló koordináta rendszert jelzi. Például: az ELTOLT-FÖLD-ből a TEST koordináta rendszerbe történő transzformációt az AB ,0 mátrix írja le – a példa szerint tehát a

jobb alsó index jelöli, hogy a mátrix a „0” rendszerből a „B” rendszerbe transzformál. A jobb felső indexbe kerülő „T ” betű jelenti a mátrix transzponáltját. Koordináta rendszerek ( xE ; y E ; z E ) a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordinátarendszer ([G8]:III.1 ábra); ( x0 ; y0 ; z0 ) az ELTOLT-FÖLD koordinátarendszer ([G8]:I.1 és III1 ábra); ( xB ; y B ; z B ) a TEST koordinátarendszer ([G8]:I.1 és III2 ábra); ( xA ; yA ; z A ) a SZÉL koordinátarendszer ([G8]:III.3 és III4 ábra); a STABILITÁSI koordinátarendszer; ( xS ; yS ; zS ) ( xMR ; yMR ; zMR ) a FŐROTOR koordinátarendszer ([G8]:III.2 és III5 ábra); ( xF ; y F ; z F ) a főrotorral együtt FORGÓ koordinátarendszer ([G8]:III.5 ábra); ( xL ; y L ; z L ) a főrotor LAPÁThoz rögzített koordinátarendszer ([G8]:III.6 ábra); (x ; y ;z ) * * * a FEJTETŐRE fordított (segéd) koordinátarendszer ([G8]:III.2 ábra); Figyelem: a koordinátarendszerek tengelyeinek jelölésénél – a

korábban (pl. [G8]-ban) használt jelöléseknek megfelelően – magát a koordinátarendszert a jobb, alsó index jelöli. Ez eltér a vektoroknál alkalmazott rendszertől, ahol ezt a jobb, felső index mutatja. A koordinátarendszerek leginkább az ábrákon fordulnak elő, a tényleges számításokban a vektorok jelölésére a második bekezdésében írottak vonatkoznak! 131 IV. Melléklet Az egyes mennyiségeket sokszor index nélküli alakban adjuk meg, ezek a konkrét összefüggésben, a tárgyalt esetnek megfelelő indexet is kaphatnak, kapnak. A ∆A A X ,Y felület; rész-felület, felület-darab; mátrix; a vagy a gyorsulás (adott esetben indexszel kiegészítve); a hangsebesség; cL = cL (α ,) felhajtóerő tényező; cL 3 D 3-dimenziós áramlásbeli felhajtóerő tényező; c D = c D (α , ) ellenállás tényező; cM = cM (α ,) nyomatéki tényező; D vagy D D B vagy DB ellenállás erő; a törzs légellenállása; Dxy , Dxz , Dyx , Dyz

, Dzx , Dzy az indexekben feltüntetett tengelyekre vonatkozó deviációs nyomatékok; e csapkodó csukló széthelyezési távolsága; F vagy F erő (pl. az áramló levegőre ható erő); f dinamikus rúd bekötési távolsága (beállítási szög szabályozásnál); G vagy G súly(erő); h húrhossz; a forgószárny eredő erejének „vízszintes” ( xMR H vagy H Iɺ0 vagy Iɺ0 Iɺ3 vagy Iɺ3 j irányú) összetevője; időegységre eső, belépő mozgásmennyiség változás; időegységre eső, kilépő mozgásmennyiség változás; (futó) index; 132 IV. Melléklet k ( ) ( ) KθL = θ zL − θ xL / θ yL KTL = θ yL − θ xL θ zL dinamikus rúd bekötési távolsága (beállítási szög szabályozásnál); tehetetlenségi nyomatékok viszonyszáma, csapkodó mozgás; tehetetlenségi nyomatékok viszonyszáma, matató mozgás; Kβ rugóállandó a csapkodásban; Kδ rugóállandó a matatásban; L vagy L felhajtóerő; LL ( R = e +

LL ) lapáthossz; m mBL tömeg (adott esetben indexszel kiegészítve); egy rotorlapát tömege; mɺ MR M M vagy M a tömeg idő szerinti deriváltja; indexben, főrotor; Mach szám; nyomaték (adott esetben indexszel kiegészítve); a rotorlapátra ható, eredő, külső, az „LT” pontra vonatkozó nyomaték; rugalmas visszatérítő nyomaték a csapkodásban; M BL L M BL ,yR L M BL , zR rugalmas visszatérítő nyomaték a matatásban; L M BL , zCS csillapító nyomaték a matatásban; N MR lapátszám a főrotoron; NFI N vagy nulla felhajtóerő irány normál ( z L irányú) erő; N P p p0 , p1 , p2 és p12 pLE a rotorlapát vezérlési pontja; ciklikus és kollektív kormányzást jellemző méret; kollektív és ciklikus kormányzást jellemző együtthatók; rotorsík feletti megoszló terhelés a lapelem elmélet szerint; 133 IV. Melléklet Q vagy Q kerületi (tangenciális) erő; q a csapkodásra jellemző méret; r helyvektor; a

rotorlapát-metszet forgástengelytől mért távolsága, adott esetben indexszel kiegészítve; rotor-lapátvég-sík (Tip Path Plane – TPP ); a forgószárny sugara, ill. átmérője; a forgószárny jellemző sugara; vagy r RLVS R ill. D RJ ( = 0.7 R ) a főrotor sugara, ill. átmérője; ill. DMR RMR eredő erő (pl. a főrotoron, esetenként indexszel kiegészítve); Reynolds szám a dinamikus rúd forgástengelytől mért távolsága; Re r0 S a forgószárny eredő erejének oldalirányú összetevője; vagy S idő; a forgószárny eredő erejének forgástengely irányú összetevője (emelő erő); a rotort körüláramló levegő (statikus) hőmérséklete; t T vagy T Tkörny lapáthossz-menti koordináta, illetve annak egy (rövid) szakasza; a rotorlapát súlypontjának helye, a „LAPÁT” koordinátarendszerben; xL , ∆ xL xSP U vagy U V (V = − V 0 ) V0 (V 0 = − V ) kerületi sebesség; vagy V vagy V0 VM és VT VRsz és VRTsz sz sz

vagy V R és V RT sebesség általában; repülési sebesség (haladási sebesség – „külső megfigyelő”), adott esetben indexszel kiegészítve; a zavartalan légáram forgószárnyhoz viszonyított haladási sebessége („szélcsatorna szemlélet” = „együttmozgó megfigyelő”); a repülési sebesség rotor-lapátvég-síkra merőleges és azzal párhuzamos összetevője; eredő és távoli eredő sebesség (átlagos, „szélcsatorna szemlélet”); 134 IV. Melléklet V RV VR és VRT vagy V R és V RT VF V FM sz vi sz viV (v viV sz viV = − vi = − vi sz i (v sz iV = − viV vagy v cs WT ) vagy viVsz a csapkodó mozgás sebessége (matatás nincs); a (forgószárnyas) repülőgép súlypontjának sebessége a „TEST” koordinátarendszerben; B WP vagy v i vagy viV V HR W vagy visz ) v cs , m v cs ) vagy viVsz (v vi sz i a rotorlapát meszetek eredő sebessége, „külső megfigyelő” szerint; eredő és távoli eredő

sebesség (átlagos, „külső megfigyelő”); a főtengely forgásából származó, szállító sebesség; lapátmetszet főtengely forgásából származó sebessége; tengelyirányú (axiális), közeli, átlagos indukált sebesség („szélcsatorna szemlélet” szerint); tengelyirányú (axiális), közeli, változó indukált sebesség („szélcsatorna szemlélet” szerint); tengelyirányú (axiális), közeli, átlagos indukált sebesség („külső megfigyelő” szerint); tengelyirányú (axiális), közeli, változó indukált sebesség („külső megfigyelő” szerint); tengelyirányú (axiális), közeli, változó indukált sebesség („szélcsatorna szemlélet” szerint); a csapkodó és matató mozgás sebessége; vagy W a lapátmetszet közeli eredő sebessége („külső megfigyelő szempontjából szemlélve”); a lapátmetszet közeli eredő sebességének a lapát hossztengelyére merőleges összetevője; a lapátmetszet közeli eredő sebességének

a lapát hossztengely-irányú összetevője; 135 IV. Melléklet α α PR αn α AH α MR αTP βL β AH β MR állásszög; lapátmetszet állásszöge (általános esetben, a húrvonalhoz viszonyítva); lapátmetszet állásszöge (nulla felhajtóerő irányhoz viszonyítva); a forgószárnyas repülőgép állásszöge; a rotor állásszöge a forgástengelyre merőleges (megfelelő!) egyenes és a repülési sebesség közötti szög; a rotor-lapátvég-sík állásszöge; rotorlapát csapkodási szöge; a forgószárnyas repülőgép csúszási szöge; csúszási szög; γ = arctan ( cD cL ) lapátmetszet siklószöge; δ δL δV 0 kormánymechanizmust jellemző szög; matatási szög; ∆δ ∆ (pl. ∆t ) kormányvezérlés eltolását jellemző szög; megváltozás (pl. az idő megváltozása); εB ε MR ε BL a forgószárnyas repülőgép törzsének szöggyorsulása; ε CSM a rotorlapát csuklók körüli elfordulásából származó szöggyorsulása;

lapátjellemző szám a csapkodó mozgásban; ε CS εM ϑ ϑ0 ϑ0 ( xL ) ∆ϑ ∆ϑM θ θx , θ y , θz λn π ρ σ σ MR csapkodó csukló beépítési szöge; a főtengely szöggyorsulása; a rotorlapát eredő szöggyorsulása; lapátjellemző szám a matató mozgásban; lapátmetszet beállítási szöge; a lapát alap beállítási szöge (~elcsavarás); kormányzás és csapkodás csillapítás miatti beállítási szög változás; matató mozgás miatti beállítási szög változás; tehetetlenségi tenzor (adott esetben indexszel kiegészítve); az indexekben feltüntetett tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték; nyilazási szög perdület-vektor; a levegő sűrűsége; kormánymechanizmust jellemző szög; a főrotor befedési tényezője; 136 IV. Melléklet σ TR a farokrotor befedési tényezője; ϕ sebességi sokszög jellemző szöge, a közeli indukált sebességek figyelembe vételével; a főrotor tengelyének előre-hátra billentési

szöge; ϕ EH ϕ BJ ψ ψ MR ψ CS ψ MK ψK a főrotor tengelyének oldaltbillentési szöge; azimút szög; (főrotor) lapát azimút szöge; csűrőkormányzás bekötési szöge; magassági kormányzás bekötési szöge; a dinamikus rúd azimút szöge; a kormányzás sietési szöge (a rotorlapát késési szöge); ψS ω ωB ω BL ω CSM Ω MR szögsebesség; a forgószárnyas repülőgép törzsének szögsebessége; a rotorlapát eredő szögsebessége; vagy Ω MR a rotorlapát csapkodásból és matatásból származó szögsebessége; a főrotor szögsebessége; 137 Irodalomjegyzék Az általánosabb művek tekintetében [G2] irodalomjegyzékére támaszkodunk, azt külön nem ismételjük meg. [G1] [G2] [G3] [G4] [G5] [G6] [G7] [G8] [G9] GAUSZ, T.: Aeroelasztikus jelenségek és dinamikai terhelés, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Autogírók és helikopterek, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Áramlástan, wwwdoksihu, 2012 GAUSZ, T.: Bevezetés a forgószárnyak

aërodinamikájába, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Légcsavarok, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Légerő vándorlás, stabilitás és kormányzás, wwwdoksihu, 2006 GAUSZ, T.: Örvénykönyv, wwwdoksihu, 2013 GAUSZ, T.: Koordináta rendszerek és elforgatások, wwwdoksihu, 2016 GAUSZ, T.: Aerodynamical and Dynamical Investigation of Helicopter Rotors, Ica182, ICAS Congress, Harrogate, 2000 Jelen munka anyagához ajánlott irodalom [R1] [R2] [R3] [R4] [R5] [R6] [R7] [R8] [R9] [R10] [R11] [R12] BAUER P.: Repülőgép nemlineáris mozgás-szimulációjának felépítése és tesztelése Matlab felhasználásával, Repüléstudományi Közlemények elektronikus különszám, Szolnok, Magyarország, 2005.0415 CEBE, L.: Vektor-tenzor számítás, lineáris algebra, SZOTAKRE Könyvtár, M11, Budapest, 1999. GÁTI, B.: Tömegközéppont áthelyezéssel kormányzott légijárművek repülésmechanikai vizsgálata, PhD értekezés, Budapest, 2001 KESZTHELYI, T: Mechanika előadásjegyzet, 2012.

NAGY, K.: Elméleti mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993 PACH, ZS. PÁLNÉ – FREY, T: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970 RAO, A.V: Dynamics of Particles and Rigid Bodies, Cambridge University Press, 2006. SAILER, K.: Bevezetés a mechanikába II Elméleti Fizikai Tanszék, Debreceni Egyetem 2007 SZEIDL, GY.: Műszaki mechanika – A vektor- és tenzorszámítás alapismeretei mérnököknek, Alkalmazott Mechanikai Intézet, Miskolci Egyetem, 2014. SZILÁGYI, D.: Rotorlapátok terheléseinek dinamikai és aerodinamikai vizsgálata, PhD értekezés, Budapest, 2003. CHEN, R.TN: Flap-Lag Equations of Motion of Rigid, Articulated Rotor Blades with Three Hinge Sequences, NASA TM 100023, Moffett Field, California, 1987. JAKAB, T.: Helikopter rotorok dinamikus kiegyenlítésének vizsgálata, Diplomaterv, BME Repülőgépek és Hajók Tanszék, Budapest 2011 138