Matematika | Diszkrét Matematika » Hiperbolikus függvények

Hiperbolikus függvények ü A szinusz hiperbolikusz függvény ‰x -‰-x 2 Definíció: sh x := Tulajdonságok: értelmezési tartomány:
; értékkészlet:
szig. mon növő, folytonos, páratlan függvény határértékek: limx Ø -¶ sh x = -¶, limx Ø +¶ sh x = +¶ ü A koszinusz hiperbolikusz függvény ‰x +‰-x 2 Definíció: ch x := Tulajdonságok: értelmezési tartomány:
; értékkészlet: @1, +¶L szig. mon fogyó a H-¶, 0D intervallumon, szig mon növő a @0, +¶L intervallumon; folytonos, páros függvény határértékek: limx Ø -¶ ch x = +¶, limx Ø +¶ ch x = +¶ ü A tangens hiperbolikusz függvény sh x ch x ‰x -‰-x ‰x +‰-x Definíció: th x := Tulajdonságok: értelmezési tartomány:
; értékkészlet: H-1, 1L szig. mon növő, folytonos, páratlan függvény határértékek: limx Ø -¶ th x = -1, limx Ø +¶ th x = 1 = ü A kotangens hiperbolikusz függvény ch x sh x ‰x +‰-x ‰x -‰-x Definíció: cth x :=

Tulajdonságok: értelmezési tartomány:
80<; értékkészlet:
@- 1, 1D szig. mon fogyó a H-¶, 0L és a H0, +¶L intervallumokon; folytonos, páratlan függvény határértékek: limx Ø -¶ cth x = - 1, limx Ø +¶ cth x = 1 limx Ø 0-0 cth x = -¶, limx Ø 0+0 cth x = +¶ = 4 6 ch cth 4 2 2 -2 1 -1 2 -2 1 -1 th -2 -2 sh -4 -6 -4 2 2 hiperbolikus.nb ü Nevezetes azonosságok 1. ch2 x - sh2 x = 1 5. ch 2 x = ch2 x + sh2 x 2. shH x ≤ yL = sh x ch y ≤ ch x sh y 6. ch2 x = ch 2 x+1 2 ch 2 x-1 2 7. sh x = 2 3. sh 2 x = 2 sh x ch x 4. chH x ≤ yL = ch x ch y ≤ sh x sh y Area függvények Az area függvények a hiperbolikus függvények inverzei. ü Az area szinusz hiperbolikusz függvény ar sh := sh-1 értelmezési tartomány:
; értékkészlet:
szig. mon növő, folytonos, páratlan Definíció: Tulajdonságok: ü Az area koszinusz hiperbolikusz függvény -1 Definíció: ar ch := Hch§@0,+•L M (A ch függvény @0, +¶L

intervallumra vett leszűkítésének Tulajdonságok: az inverze.) értelmezési tartomány: @1, +¶L; értékkészlet: @0, +¶L szig. mon növő, folytonos ü Az area tangens hiperbolikusz függvény ar th := th-1 értelmezési tartomány: H-1, 1L; értékkészlet:
szig. mon növő, folytonos, páratlan Definíció: Tulajdonságok: ü Az area kotangens hiperbolikusz függvény ar cth := cth-1 értelmezési tartomány:
@- 1, 1D; értékkészlet:
80< szig. mon fogyó a H-¶, - 1L és H1, ¶L intervallumokon, folytonos, páratlan Definíció: Tulajdonságok: ü Tétel Az area függvények az ln és egyéb elemi függvények felhasználásával is kifejezhetők: 1. " x œ
ar sh x = ln x + x2 + 1 3. " x œ H-1, 1L ar th x = 2. " x œ @1, +¶L ar ch x = ln x + x2 - 1 4. " x œ
@-1, 1D ar cth x = 3 2 2 1 - - ar ar ar 2 4 6 - - - ar 1 1 2 3 1 1+ x ln 2 1-x 1 x+1 ln 2 x-1 hiperbolikus.nb 3 2 2 1 -4 2 -2 ar th ar ch

4 6 -3 ar sh -2 1 -1 -1 -1 -2 -2 -3 ü Differenciálhatóság 1. Hsh xL = ch x 5. Har sh xL = 2. Hch xL = sh x 6. Har ch xL = 3. Hth xL = 1 ch2 x 4. Hcth xL = - 1 sh2 x 1 x2 +1 1 , Hx > 1L x2 -1 1 7. Har th xL = , H§x† < 1L 1-x2 1 8. Har cth xL = , H§x† > 1L 1-x2 ar cth 1 2 3 3