Betekintés: A prímszámok, oldal #1

Figyelem! Ez a doksi automatizáltan exportált szöveges tartalma.
Kérlek kattints ide, ha kulturált formában szeretnéd megnézni!



A prímszámok
A prímszámok azok a számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Az 1 nem
prímszám.
Összetett számok azok a számok, amelyeknek van valódi osztójuk. (Nem csak 1-gyel és
önmagukkal oszthatók–kettőnél több osztójuk van.)
A prímtényezős felbontás:
60 2
30 2
15 5
3 3
1
60  2235
A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve), csak
egyféleképpen bontható fel prímszámok szorzatára.
A prímszámokat meghatározhatjuk pl. az Eratosztenészi-szitával:

Tétel: A 2 irracionális szám.

Bizonyítás

Vizsgáljuk meg, hogy mi a kapcsolat az osztók és a prímtényezők között!
Határozzuk meg a 120 összes osztóját!
A régi módszer:

1
2
3
4
5
6
120 60 40 30 24 20

8
15

10
12

3
3
40
235

22
4
30
235

Vizsgáljuk meg a prímtényezőket!
120
60
30
15
3
1

2
2
2
5
3

1
1
120
2335

2
2
60
2235

5
5
24
233

2∙3
6
20
225

23
8
15
35

2∙5
10
12
223

1202335
Pl.:
30|120 mert 304

= 120

( 2  3  5 )  22 = 23  3  5
 30

=4

120

24|120  245  120  (2 3)5
3

Az „a” akkor és csak akkor osztója „b”-nek, ha az „a” össze
prímtényezője szerepel a „b” prímtényezős felbontásában.
304 = 120  30|120
235 = 30
4 = 22
Azt az egész számot, amivel a-t szorozva b-t kapok pont az
a-ban nem szereplő prímtényezők szorzata adja!



Határozzuk meg a 120 összes osztóját, máshogy!
Használjuk fel az új tudást! Az „a” csak akkor osztója „b”-nek, ha az „a” összes prímtényezője
szerepel a „b” prímtényezős felbontásában, méghozzá legfeljebb akkora kitevőn, mint amekkorán
a „b” felbontásában szerepel.
Valahogy az összes lehetséges módon össze kéne kombinálni a prímosztóit. 1202335
Próbálkozzunk egy táblázattal:

1
2
22
23
3
5

1

2

3

5

1
2
22=4
23=8
3
5

2
22=4
23
223=16
23=6
25=10

3
23=6
223=12
233=24
32
35=15

5
25=10
225=20
235=40
53=15
52

53
53=15
235=30
2235=60
2353=120
532
523

Nagyobb számok esetén a táblázattal könnyebb.
Jó lenne, ha ki tudnánk sakkozni, hogy hány osztója van, mert akkor észrevehetnénk, ha
valamelyik hiányzik, vagy ha valamelyiket kétszer vettük!
Milyen kitevőn szerepelhet a prímtényező?
20;1;2;3

30;1

50;1

20;1;2;3  30;1  50;1

4 lehetőség

2 lehetőség

2 lehetőség

Összesen 4∙2∙2=16 lehetőség

Tehát a 120-nak 16 osztója van.

(pl.: 20∙30∙50 = 1;

21∙31∙50 = 6)

Vedd észre! Egy szám osztóinak a számát megkapjuk, ha a prímtényezőinek a kitevőihez
hozzáadunk egyet és a kapott számokat összeszorozzuk.