Fizika | Hőtan » Mechanikai Hőtan

Mechanikai Hőtan 2000.0906 1.EA Mechanika:A fizika az a része, amely az anyagi testek mozgásával (helyzetváltoztatásával) foglalkozik. Ide értve a mozgás határesetét, a nyugalmat is Feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvények és nyugalom feltételeinek megállapítása. A machanikát főleg Galilei alapján Newton kísérletei alapozták meg. A XX században nagy sebességű testeknél és kis méretű testeknél a Newton-féle törvények nem alkalmazhatóak. (Csak makroszkópikus testeknél). -Atomi méretű testekkel a kvantummechanika -Fénysebességhez közeli sebességű testekkel a relativisztikus mechanika foglalkozik. -Mechanika: A klasszikus mechanika a fizikának az az ága amely a m akroszkópikus anyagi testek nem túlságosan nagy sebességgel végbemenő (ill. arra visszavezethető) mozgásának és nyugalmi állapotának törvényeit kutatja. -Mozgás (Mechanikai): A vizsgált test egy másikhoz képest változtatja a helyét, vagy a

helyzetét. Bármely anyagi test helyzete és így helyzetváltozása, mozgása is csak más testekhez viszonyítva jellemezhető, más szóval minden mozgás viszonylagos, relatív. -A mechanika felosztása: Aszerint, hogy a mechanikai szempontból vizsgált test milyen modellel helyettesíthető. A mechanikát az anyagi pont, a pontrendszerek, a merev testek, a deformálható testek mechanikájára oszthatjuk fel. -Anyagi pont-tömegpont-részecske-pontszerű test: Ha a vizsgált test hosszméretei elhanyagolhatóan kicsinyek a mozgásban szereplő egyébb méretekhez képest, tehát mozgása egyetlen pontjának mozgásával írható le. Az anyagi pont idealizáció, melyben a testet egy vele megegyező tömegű, de kiterjedés nélkül ponttal azonosítható. -Pontrendszer: Olyan mechanikai rendszer, amely véges számú egymással kölcsönhatásban lévő anyagi pontból áll. -Merev test: Az olyan testet, amelynek pontjai egymástól való távolságukat minden körülmény

között, ill. a tárgyalt mozgásnál változatlanul megtartják, merev testnek hívjuk -Deformálható test: Olyan anyagi test, amelyben külső erők hatására deformáció alakul ki. -Vizsgálati módszer szerinti felosztás: Kinematika: A mechanikának a t estek mozgásának geometriai sajátosságaival foglalkozó ága, amely nem vizsgálja azt, hogy mi hozta létre a m ozgást, csupán a m ozgás matematikai leírására szorítkozik.Tárgyalásunkban a k lasszikus mechanikának arra a szemléletére támaszkodunk, amely szerint minden test mozgása három dimenziós Eukledeszi geometriájú térben és időben játszódik le. (Hosszúság: m, Idő: s) Dinamika:A mechanika az az ága, amely a testek mozgása és a kölcsönhatások közötti összefüggést (erők hatására a mozgásállapotban és a deformációs állapotban) tárja fel. Sztatika:A mechanikai rendszerek és a rájuk ható erők egyensúlyának feltételeit vizsgálja. Célkitűzése az egyensúlyi állapotra

vonatkozó olyan összefüggések feltárása, amelyek segítségével a rendszerre ható aktív erők ismeretében a kényszererők meghatározhatóak. A test mozgásának kinematikai leírása azt jelenti, hogy a test helyzetét egy másik testhez képest bármely időpillanatban meg tudjuk adni. -Vonatkoztató test: Azt a testet amelyet a fizikai problémában szereplő többi test helyzetét viszonyítjuk, vonatkoztató testne nevezzük, ez tárgyalásunkban mindíg merev test lesz. Az R vonatkoztató test pontjaihoz X 1 ,X 2 ,X 3 rendezett számhármasokat rendelünk, ezek a helykoordináták. Legyen R két pontja P és Q Kikötjük, hogy P 0 , akkor az X i (Q)-X i (P), i= 1,2,3 külömbségek is nullához tartanak. ( A test pontjainak megszámozása folytonos, és a közeli pontokhoz közeli számhármasok tartoznak. Mivel a mozgás időben zajlik le, gondoskodni kell az idő méréséről is. ( testhez rögzített szinkronizált órákról) A hely és az időmérés

módjának rögzítése után a vonatkoztató test vonatkoztatási rendszerré válik. -Vonatkoztatási pont: A mozgások leírásában az alapul vett vonatkoztatási rendszer egy (általában tetszőlegesen választható) pontja, rendszerint a vonatkoztató testhez rögzített koordinátarendszer kezdőpontja. -Helyzetvektor: (rádiusz), A vonatkoztatási rendszer kezdőpontjából (O) a mozgó  részecskékhez (P) húzott vektor r = O P A pont mozgása kinematikai szempontból meg van határozva, ha az r   r = r ( t ) helyvektort, mint a t idő függvényét ismerjük, azaz ismerjük az mozgástörvényt. ( r = O P ) P O Tapasztelat szerint az anyagi pont két időben egymáshoz minden határon túl közel eső helye a térben is minden határon túl közel van. X i = X i (t ), i = 1,2,3 r = r (t ) függvények folytonosak. -Pálya:( trojektória) : A vonatkoztatási rendszer azon pontjainak halmaza, amelyekhez a részecske a mozgása során áthaladt. A pálya

irányított görbe, azon pontok felé mutat, amelyeket a mozgó pont az időkoordináta (t) nagyobb értékeinél ér el. P(t)  r (t ) ∆r O P (t + ∆t ) ∆t〉0 r (t + ∆t ) A ∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) vektor a [t , t + ∆t ] időintervallumhoz tatozó elmozdulásvektor. Az elmozdulás iránya párhuzamos a pálya egy szelőjével. A ∆r / ∆t ányados az időegységre eső átlagos elmozdulás (A ∆t időtartamra vonatkozó átlagsebesség), a t időponton kívül még a választott ∆t időköztől is függ, és a mozgás jellemzésére csak akkor alkalmas, ha a ∆t időközt elegendően kicsinek vesszük. Így definiáljuk a v sebességvektort. r (t + ∆t ) − r (t ) ∆r = v (t ) = lim = lim ∆t ∆t 0 ∆t 0 ∆t -Sebesség: A sebesség az r helyvektor idő szerinti első deriváltja. v (t ) = lim ∆t 0 r (t + ∆t ) − r (t ) dr • = = ∆t dt r ( Az idő szerinti deriválást megfelelő mennyiség jele fölé tett ponttal is szoktuk

jelölni) A sebbességvektor a pályagörbe minden pontjában a pálya érintőjével egy egyenesbe esik, és iránya kijelöli a pálya befutási irányát. v t = a pálya érintő egységvektora v -Pályamenti sebesség: A sebesség abszolut értéke v = v , A sebesség dimenziója: hosszúság / idő egysége tehát 1 m/s Új paraméterként bevezetjük az ívkoordinátát vagyis a pálya tetszés szerint (de rögzített) O pontjától számított t t t t0 t0 t0 s = ∫ r dt = ∫ v dt = ∫ vdt előjeles ívhosszúságot (Itt t e az az időpont, amikor a részecske a nullán áthaladt) • ds =v= v dt A pályasebesség az ívkoordináta idő szerinti deriváltja. Egy mennyiség változási gyorsaságát adja, szemléletesen azt, hogy időegységre mekkora változás jut. A pályasebesség megadja az időegység alatt megtett utat. s= P0(t0) s1,2 = s2 − s1 = ∆s P1(t1) Az út ívkoordináta megváltozása. A pályagörbe minden pontjához tartozik érintő

egységvektor, tehát írható, hogy : t = t [ s( t ) ] P2(t2) A továbbiakban az ívkoordináta szerinti deriválást ′  vesszővel fogjuk jelölni. Tekintve, hogy t ⋅ t = 1, (t ⋅ t ) = 2 ⋅ t ⋅ t = 0 vagyis t ′ merőleges az érintőre.Ha a P érintési ponton át t ′ -vel párhuzamos egyenest rajzolunk, megkapjuk, a pályagörbe P-beli főnormálisát. Az érintőre és a főnormálisra illeszkedő sík a görbe simulósíkja. t′ n= pedig a főnormális egységvektor. t′ Állítsunk merőlegest P-ben a simulósíkra: ez a p álya binormálisa. Megállapodás szerint a binormális egységvektort b = t × n . A t , n , b vektorok lokális derékszögű jobbsodrású koordináta rendszert alkotnak P-ben. Az általuk meghatározott háromélt a görbe kísérő triéderének nevezzük. b n P Legyen A a P ponthoz kötött tetszőleges vektor, ekkor : vektor A = A ⋅ E , A = A ⋅ n , A =e A ⋅b t n b természetes koordinátái: A = At t + An n + Ab b

Természetes koordináta rendszer a görbe " saját magának készített" koordináta rendszere. t Az érintő egységvektor ívhossz szerinti deriváltjának abszulut értékének (azaz t ′ szemléletes geometriai jelentése: )a − nek Annál görbébb a görbe, minél nagyobb érintőelfordulás tartozik hozzá ugyanakkora ívhosszhoz. lim ∆s 0 ∆α = Κ görbület ∆s t = ( s + ∆s) ∆t = 2 sin ∆α ∆α / 2 t = ( s + ∆s) ∆α 2 ∆α ∆α   sin  2 sin  ∆ α 2 ⋅ 2 ⋅ lim ∆α = κ t ′ = lim = lim  = lim ∆ α ∆s ∆s ∆α  ∆s  ∆s 0 ∆s 0 ∆s 0  ∆α 0 2 ∆α 0 ∆t ∆t sin x =1 x 0 x 1, mert lim Mivel t ′ =κ, n = t′ t′ = = δ ⋅ t ′ ahol δ = 1 κ a görbületi sugá r t′ κ Gyorsulás: A sebesség idő szerinti első, vagyis a helyvektor idő szerinti második deriváltja. a (t ) = dv d 2r = , dt dt 2  a = v = r A gyorsulás dimenziója:

Hosszúság/idő2 1 m/s2. Láttuk, hogy Így ′  + vt a = (v ⋅ t ) = vt dt dt ds n Mivel t = = ⋅ = t ′⋅v = ⋅v dt ds dt δ v = v ⋅ t , azaz v t = v = s , v v = 0 , vb = 0 v2 v2  + ⋅ n tehát a t = v , a n = , ab = 0 a gyorsulás a = vt 2 δ A gyorsulásvektor tehát benne van a pálya simuló síkjában. a t =kerületi (tangenciális gyorsulás) a n =centripetális v. normális gyorsulás A pályamenti gyorsulás csak a s ebesség abszolut értékének a v áltozásától függ, irányváltozásától (tehát a pálya alakjától nem) függ. akkor a mozgás -gyorsuló -egyenletes -lassuló 2 v Minthogy a n = ≥ 0 és a normális egységvektor a simulókör középpontja (görbületi Ha δ középpont) felé mutat. A centripetális gyorsulókomponens mindíg a pálya görbületi középpontja felé mutat. Láttuk, hogy az anyagi pont mozgástörvényét, vagyis az r = r (t ) függvényét ismerjük, a sebességet és a gyorsulást az r ( t )

függvény első ill. második deriválásával kapjuk. a viszont ismerjük az anyagi pont gyorsulását mint az idő függvényét, és egy adott t 0 időpontban a sebességet, akkor tetszőleges t időpontban a sebességet integrálással kapjuk. t t  v (t ) = ∫ a (t )dt + v (t 0 ) Hasonlóan: r (t ) = t0 ∫ ( v (t)dt + r(t )) 0 t0 Területi sebesség: Határozzuk meg a rádiuszvektor területsúrolási sebességét. Első közelítésben a súrolt terület nagysága: ∆r ∆Α = ∆Α r = (t ) A ∆Α = r (t ) + ∆t O A területi sebesség: 1 r (t ) × ∆r 2 1 r × ∆r vektor merõleges r − re é s∆r − re is 2 r (t ) × [r (r (t + ∆t ) − r (t )] ∆A 1 = lim = ∆t 0 ∆t 2 ∆t 0 ∆t Λ = lim = 1 r (t + ∆t ) − r (t ) 1 r (t ) × lim = r (t ) × v (t ) ∆ t 0 ∆t 2 2 A területi sebesség abszolut értéke megadja a rádiuszvektor területsúrolási sebességét, iránya pedig merőleges a hely és a sebességvektor

által kifeszített síkra, azaz annak normálisával egyező irányú . z 1. δ = P * P ≥ 0 rádiusz P* δ eϕ ez 2. 0 ≤ ϕ ≤ 2π P k eδ i azimut P 3. −∞〈 z 〈∞ azimuttengely applikáta ϕ az a szög, amellyel az applikátatengely körül az azimuttengelyt el kell forgatni pozitív irányba, hogy az OP félegyenesbe essék. Az applikátatengellyel szembe nézve az óra járásával ellentétes irány a pozitív forgatási irány. Koordináta egységvektor: Irányában haladva a három koordináta közül csak egy változik és az növekszik. eδ : Radiális egységvektor eϕ :azimutális egységvektor ez Ezek rendre jobbsodrásúak :applikáta v. axiális egységvektor Lokális koordináta-rendszert alkotnak. Ebben a koordináta rendszerben bontjuk fel a P-hez kötött vektorokat. Legyen A egy P-hez kötött vektor. Ekkor: Aδ = A ⋅ eδ , Aϕ = A ⋅ eϕ , Az = A ⋅ ez rendre A radiális, azimutális, axiális koordinátája A = Aδ eδ +

Aϕ eϕ + Az ez r = δ ⋅ eδ + ze z eϕ = − sin ϕ i + cosϕ j eδ = cosϕ i + sin ϕ j Ha a P pont mozog, akkor nemcsak a henger koordinánák változnak az időben, hanem a tartózkodási helyéhez rendelt eδ é seϕ egységvektorok is. 2000. szeptember 8 2.EA A sebesség és a gyorsulás hengerkoordinátái: r = ρ ⋅ eρ + z ⋅ e v = r = ρ ⋅ eρ + ρ ⋅ eρ + z ⋅ ez + z ⋅ ez 0 deρ ⋅ ϕ = ϕ ( − sin ϕ i + cosϕ j ) = ϕ ⋅ eϕ dϕ  z , vρ = ρ , vϕ = ρϕ , vz = z v = ρ ⋅ eρ + ρϕ eϕ + ze eρ + ρ eρ + ρϕ   eϕ + ρϕ  eϕ + ρϕ eϕ +  a =v =ρ z ez eρ = deϕ ϕ = ϕ ( − cosϕ i − sin ϕ j ) = −ϕ eρ dϕ  − ρϕ  2 eρ + (2 ρϕ   + ρϕ  )eϕ +  a= ρ z ez eϕ = ( )  − ρϕ aρ = ρ   + ρϕ  aϕ = 2 ρϕ 2 a z =  z A tömegpont dinamikája A dinamika a testek mozgása és a

kölcsön hatások közötti összefüggéseket vizsgálja. Kölcsönhatás: Az anyag különböző megjelenési formáinak hatása egymásra, amelynek eredményeképp a mozgásállapotok megváltoznak. Kölcsönhatás nemcsak testek közvetlen érintkezése során (kontakt) jöhet létre, hanem egymástól távol lévő testek esetében is. Egymástól távol lévő testek esetében a kölcsönhatások közvetítője a fizikai erőtér. Az erőtér az anyag egyik megjelenési formája, amelynek ugyan hiányoznak a különböző részekből álló testekre jellemző egyes vonásai (PL.határfelület, keménység), de meg vannak benne az anyag összes lényeges fizikai tulajdonságai: az erőtér energiát, tömeget, impulzust hordoz, és ezeket képesek más anyagi egységeknek átadni. Mai felfogásunk szerint két nem érintkező anyagi test maga körül erőket hoz, alakít ki, és az az erőtér közvetlenül hat a másik testre. Magára hagyott test:Olyan test, amely semmivel

sincs kölcsönhatásban, azaz rá sem más test, sem erőtér hatást nem gyakorol. A testnek azt a tulajdonságát, hogy külső befolyás hiányában egyenes vonalú egyenletes mozgásukat, ill. nyugalmi állapotukat változatlanul megtartják, tehetetlenségnek, Newton fenti megállapítását pedig a tehetetlenség törvényének nevezzük. A tehetetlenség elve relatív, nem minden vonatkoztatási rendszerben állja meg a helyét (hiszen a test például a Földhöz rögzített rendszerben gyorsulása van), de van olyan VR, amelyben érvényes. Tehetetlenségi Axióma( Newton I axiómája) Van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben egy magára hagyott test nyugalomban van,vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez ( röviden: sebességvektora nem változik). Az ilyen VR-t inerciarendszernek tekinthető. Inerciarendszer: Olyan VR, amelyben érvényes a tehetetlenség törvénye. Az első axióma nem magától érthetődő, hanem számos tapasztalatnak egy ideális esetre

való extrapolálása. Hogy melyik VR inerciarendszer, arról csak a tapasztalat adhat felvilágosítást. Ha egy K vonatkoztatási rendszer IR, akkor egy hozzá képest állandó sebességgel haladó K VR is IR. Ha K K-hoz képest gyorsuló mozgást végez, akkor K már nem lehet IR Ebből következik, hogy a Földhöz rögzített VR nem egzakt IR, hisz a Föld gyorsuló mozgást végez az állócsillagokhoz képest. Párkölcsönhatás: Két részecske csak egymással van kölcsönhatásban. Két test közül azt nevezzük tehetetlenebbnek, amely párkölcsönhatásuk során kevésbé változtatja meg a sebességét. Mértékegység: Valamely fizikai mennyiség egységéül választott mennyiség. Etalon: A fizikai mennyiség egységét hordozó test. Mérőszám: Az a s zám, amely megadja, hogy egy adott mennyiség hányszorosa a mennyiség mértékegységének. A mérőszám a mértékegységgel kiegészítve, a mérendő mennyiség számadattal való jellemzését

biztosítja, a fizikai mennyiség mértéke: fizikai mennyiség mértéke = mérőszám * mértékegység x = {x} ⋅ [ x ] A tehetetlenség mértéke a tömeg. Két test közül annak nagyobb a tömege, amelynek párkölcsönhatásukban kevésbé változik meg a sebessége. Részecskék tömegének meghatározása: Inerciarendszerben párkölcsönhatási kisérleteket végzünk egy tömegpont halmaz elemeivel. Egy kisérlet abból áll, hogy két kiválasztott pontot párkölcsönhatásba viszünk, s mérjük a testek ütközés előtti és ütközés utáni sebességet ( strobi ). 0. Az egyik tömegpontot kiválasztjuk, az lesz az 1-es számot viselő etalon 1. Kiválasztunk a halmazból két tömegpontot az i-ediket és a k-adikat, és ezeket ötköztetjük Legyen ∆ vi az i-edik , ∆v k a k-adik test sebességváltozása. I. Tapasztalat: ∆vi = − cki ∆v k Ahol cki dimenzió nélküli szám ( ütközési szám) pozitív, és független az ütközési sebességektől. 2.

Ezután az i-edik és a k-adik testet külön-külön összeütköztetve az etalonnal meghatározzuk c i1 és c k1 ütközési számokat. ∆v1 = − ci1 ⋅ ∆v1 , ∆v1 = − ck 1 ⋅ ∆v k c cki = k 1 ci1 II. Tapasztalat: 3. Erősítsük most össze az i-edik és k-adik testet, és ezt az új tömegpontot ütköztessük az etalonnal. III. Tapasztalat: ci + k1 = ci1 + ck 1 ∆vi c − cki = k 1 ∆v k ci1 Az I-es és a II-es alapján: A sebességváltozások abszolút értékei az ütközési számokkal fordítottan Másképpen: a tehetetlenebb testenek lesz nagyobb az ütközési száma. Ezért választott egyes számú testhez egyet az i-edik ponthoz c i1 k-adik ponthoz c k1 -et tömeg mérőszámaként. A tömeget m-mel fogjuk jelölni. {m1 } = 1 , {mi } = ci1 , {mk } = ck 1 III. értelmében mi + k = mi + mk , azaz a tömeg additív (összeadódó mennyiség), m sebességtől. arányosak. az etalonul rendeljük a független a Impulzus: Az m tömegű és v sebességű

anyagi pont impulzusát p = m ⋅ v szorzattal definiáljuk, pontrendszer impulzusán pedig az egyes pontok impulzusának összegét értjük. Tehát az impulzus is additív. Az I.-ből és a II-ből eredő: ∆(mi ⋅ vi + mk ⋅ v k ) = o Az egyenlet szerint a pontpár impulzusa nem változott a párkölcsönhatás során. Impulzusmegmaradási axióma: Inerciarendszerben, párkölcsönhatás során a rendszer impulzusa nem szenved változást. p 1 + p 2 = 0 Párkölcsönhatásban az összimpulzus nem, de az egyes tömegpontok impulzusai megváltoznak. Felvetődik a kérdés: milyen kapcsolat van az impulzusváltozás és az azt okozó kölcsönhatás erőssége között? Kis erőhatásnál adott impulzusváltozásnak hosszabb, nagy intenzív erőhatásnál kevesebb idő kell. Erőaxióma:(A dinamika alaptörvénye) Inerciarendszerben a részecske impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a részecskére ható erővel, a kölcsönhatás erősségének mértéke: dF =F dt

Ebből az egyenletből a részecskére ható erő, a részecske tömegének és a kezdeti feltételek ismeretében meghatározható a r észecske sebessége, és mozgástörvénye is, ezért mozgásegyenletnek is nevezik.( Ugyanazon erő hatására nagyon eltérő mozgás jöhet létre, ha a kezdeti feltétélek nem azonosak). Nem inerciarendszerben ebben a formában az axióma nem áll fenn. Mértékegysége:1 kgm/s2=1N Erőtörvény: Az az összefüggés, amely megadja hogyan függ a részecskére ható erő a részecske helyétől, sebességétől és az időtől. F = F (r , v , t ) Tegyük fel, hogy ismerjük a pont tömegét meg az erőtörvényt és keressük a mozgástörvényt az P = F erőaxióma alapján. Descartes-féle koordináta rendszerben az alábbi egyenletrendszer írható fel: Ez egy három egyenletből álló közönséges másodrendű diff. mx = Fx ( x , y , z , x, y, z, t ) egyenlet-rendszer. A másodrendű diff egyenletekből két my = Fy

( x , y , z , x, y, z, t ) integrálással jutunk el a mozgástörvényhez, ezért az integrálások mz = Fz ( x , y , z , x, , y , z t) során 6 integrációs állandó lép fel. ( ) Ezeket a 6 kezdeti feltételből határozhatjuk meg. x (t = 0) = x 0 , x(t = 0) = v x 0 y (t = 0) = y 0 2000. szeptember 17 , y(t = 0) = v y 0 z (t = 0) = z 0 , z(t = 0) = v z 0 3.EA Az impulzusmegmaradás (P + P ≠ 0 ) : Rögtön mondhatjuk, hogy 1 2 F12 + F21 = 0 ⇒ F12 = − F21 . Ha az egyes test F21 -gyel hat a 2-es testre, akkor a kettes test is hat az egyesre ugyanakkora, de ellentétes irányú erővel. A kölcsönhatáskor a testek közötti erők párosával lépnek föl, de a pár tagjai mindíg különböző testekre hatnak. Szuperpozíciós axióma: (Az erőhatások függetlenségének axiómája), ha a test egyidejűleg több kölcsönhatásban vesz részt, akkor az erőaxiómában F helyébe az egyes kölcsönhatáshoz

külön-külön tartozó erők vektori összegét kell írni. A klasszikus mechanika alapfeltevései közé tartozik, hogy két egymáshoz képest mozgó VR órái szinkronizálhatók. Elérhető tehát, hogy ha a K rendszer valamely P pontja találkozik a K rendszer P pontjával, az egybeérés pillanatában a P-beli óra ugyanazt az időt mutatja mint a P-beli óra. Ekkor pedig t=t, ∆t = ∆t Tekintsük a K rendszer két pontját P-t és Q-t. A hagyományos mechanika feltevései alapján a PQ szakasz hosszát K-ban és K-ben is ugyanakkorának mérik, sőt a mechanika ezt a helyvektorra vonatkozó feltevést kiterjeszti K-beli vektor hosszára. Az az elképzelés, hogy az időtertem és a hosszúság invariáns, ( a VR megváltoztatásától független mennyiség,. A Galilei féle relativitás elv: Mozogjon a K IR állandó sebességgel a K rendszerhez képest. Z Z P  r K O O K  r ∆t X Y X Y Tegyük fel, hogy a(t)=0 időpillanatban a két rendszer egybeesett:

az O pont és az O pont.A tngelyek t=0 időpontban fedték egymást, továbbá a két VR órái szinkronizáltak. t=t A P pont helyzetét K-ban ill. K-ben megadó r vektor, ill r vektor között az alábbi kapcsolat van. r = Vt + r ′ Ezek az ún. Galilei-transzformáció képletei P sebessége K-ben: P sebessége K-ban: v′ = v= dr ′ dt dr dr ′ dr ′ =V +v′ =V + =V + dt dt dt ′ Az alábbi összefüggés a Galilei-féle sebességtranszformáció: A Galilei-transzformációt a mechanika törvényeire alkalmazva kitűnik, hogy bár ugyanannak atestnek a sebessége a két rendszerben különböző, a sebesség megváltozása mindkét esetben ugyanakkora. Ezek következtében a két rendszerben pl ütközéskor fellépő impulzusváltozások is egyenlőek, és azonos alakúak a dinamika newtoni-axiómái is, és az ebből bevezetett törvények is. Ilyen jellegű megfontolásból következik Galilei-féle relativitás elve Egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes

transzlációt végző IR-ek a mechanikai törvények szempontjából teljesen egyenértékűek, azaz a mechanikai jelenségekből különböző IR-ekből a megfigyelő azonosnak látja. Következésképp, a m echanikai kísérletekkel nem lehet különbségeket tenni ai IR-ek között, Tehát nincs abszolút tér.Ez azt jelenti, hogy a mechanika törvényei Galilei-transzformációjával szemben invariánsak. Teljesítmény: Az anyagi pontra ható F erőnek és v sebességének a skaláris szorzatát az F erő teljesítményének nevezzük. P = F ⋅ v 2 2 A teljasítmény mértékegysége: 1kg ⋅ m / s = 1Nm / s = 1W = 1J / s Mozgási energia: (Kinetikai energia) Az m tömegű , V sebességgel mozgó anyagi pont mozgási 1 T = mv 2 2 energiája: . A pontrendszer mozgási energiája a pontrendszerhez tartozó anyagi pontok mozgási energiájának összege. Teljesítménytétel: Az anyagi pont F = m ⋅ v mozgásegyenletének mindkét oldalát szorozzuk meg skalárisan a pont V

sebességével.: F ⋅ v = m ⋅ v ⋅ V dT • • p= a v 2 = (v ⋅ v ) = 2v ⋅ v dt adódik. A P = F ⋅ v és formulák segítségével A részecskére ható erő teljesítménye egyenlő a részecske mozgási energiájának idő szerinti deriváltjával.  Munka: Az anyagi pontra ható F erő a pálya 12 pontjára képzett vonalintegrálokat az F erő  ∆t idő alatt végzett munkájának nevezzük és W12 -vel jelöljük. ( )  = W12 ∫ F ⋅ dr  12 A munka mértékegysége az erő és a hosszúság mértékegységének a szorzata. 1 dr: ívelem vektor t: érintő egységvektor t1 dr ∫ W = F ⋅ dr t Kihasználva, hogy V = dr / dt F ∆t = t 2 − t1 2 elemi munka ( teljes differenciál) t2 t2 t2 t1 t1  = W12 ∫ F ⋅ vdt = ∫ Pdt összefüggést kapjuk, ami szerint a munka az erő teljesítményének a munkavégzés időtertemára vonatkozó idő integrálja.( A teljesítmény az időegységre eső munkavégzés)

Munkatétel: Integráljuk a dT/dt= P teljesítménytétel mindkét oldalát a mozgás ∆t = t 2 − t1 időtartamára. t2 t2 ∫ dT = ∫ Pdt Az eredmény jobb oldalán a tömegpontra ható F erő delta t idő alatt végzett  T − T1 = W12 munkája áll, ezér azt kapjuk, hogy 2 , ahol T2 = T (t 2 ) T1 = T (t1 ) jelőlést t1 t1 alkalmztuk. Eszerint a tömegpont mozgási energiájának megváltozása egyenlő a rá ható erő ugyanazon idő alatt végzett munkájával. Pontrendszer esetén a munkatétel szerint a pontrendszer mozgási energiájának megváltozása egyenlő a pontrendszerre ható összes belső és külső erők munkájával. Bizonyos, csak helytől függő erők esetén a munka a pálya ismerete nélkül kiszámítható, így a munkatétel mozgásegyenlet első integrálja lesz (bal oldalon csak a sebességkoordináták, jobb oldalon csak az időkoordináták fognak szerepelni) . Ekkor mindjárt ebből az első integrálból indulhatunk ki, probléma

megoldásakor és csak egy integrálás szükséges, hogy eljussunk a mozgástörvényhez. Az anyagi pontra ható F erőről eddig semmi közelebbit nem tételeztünk fel, az a pont helyének, sebességének és az időnek a függvénye lehetett F = F (r , v , t ) . Ebben az általános esetben a mozgásegyenletek integrálására vonatkozólag egy tételt sem ismerünk. Bizonyos fajta erőknél viszont ilyen tételt könnyen felállíthatunk. Fizikai mező (erőtér): Fizikai mezőről akkor beszélünk, ha a tér valamely tartományában és valamilyen időközben az ott és akkor jelenlévő részecskére erő hat, és ez az erő a helykoordináták és az idő folytonos és diff.-ható függvénye, azaz az F = F (r , t ) = F ( x , y , z , t ) erőtörvény x,y,z,t szerint deriválható. (A matematikában az olyan teret, amelyben a tér minden pontjához egy vektormennyiséget rendelünk, vektortérnek ( vektormrzőnek) nevezzük). Az erőterek tehát vektorterek Skaláris

térről akkor beszélünk, ha a tér minden pontjához skaláris mennyiséget rendelünk. ErővonalakAz erővonalak a fizikai mező szemléltetésére szolgálnak. Olyan irányított görbék, amelyek érintő egységvektora megadja, az erő irányát az érintési ponthoz. (Minthogy az erő iránya minden pontban egyértelmű kell, hogy legyen, két erővonal nem metszheti egymást). Az erővonalak diff egyenlete: F × dr = 0 F − erõvektor dr − ívelemvektor t − tan genciá lisegysé gvektor Stacionárius mező: (időben állandó) Az erő cak a helykoordináták függvénye : F = F (r ) ( ∂ F / ∂ t = 0 ) Homogén mező: (térben állandó) Az erő csak az idő függvénye: F = F (t ) ∂ F /∂ y = 0 (∂ F / ∂ x ) = 0 Az erővektor mindenütt azonos irányú, és nagyságú ∂ F /∂ z = 0 Tömegarányos erő: Az erő arányos az erőt elszenvedő részecske tömegével: F∞m ( gravitációs erő) Ilyen mezőben célszerű bevezetni a térerősséget: F f = m

Az f térerősség független az erő nagyságától, és az erőt elszenvedő részecske tömegétől, csak a mezőtől függ. Konzervatív erő: Konzervatív erőtérnek hívjuk azt a stacionárius mezőt, amelyben az elemi munka teljes differenciál. δ W = −dV Azt a ( kizárólag helykoordinátáktól függő) V = V (r ) = V ( x , y , z ) skaláris mennyiséget, amelyek linearizált megváltozása az elemi munka ellentettjével egyenlő, potenciális ( vagy helyzeti) energiának nevezzük. Felhaszhálva, hogy δ W = F ⋅ dr − Fx d x + Fy d y + Fz d z dV = ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂ y ∂z Fx dx + Fy dy + Fz dz = − ∂V ∂V ∂V dx − dy − dz ∂x ∂ y ∂z alakot ölti. a δ W = − dV egyenletet az Itt egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a növekmények együtthatói mindkét oldalon azonosak, azaz ha: ∂V ∂V ∂V Fx = − Fy = − Fz = − ∂x ∂ y ∂z Ez a három skaláregyenlet egy vektoregyenletbe foglalható: rotF = ∇ × F = 0 

∂ Fy ∂ Fx   ∂ F ∂ Fy   ∂ Fx ∂ Fz  − − sotF = ∇ × F =  −  ⋅k  ⋅i +  ⋅ j+ ∂z ∂x ∂ y  ∂z  ∂x ∂ y Az F = ∇ × F összefüggésből azt kapjuk, hogy ∇ × F = 0 , azaz konzervatív a konzervatív erő rotációja zérus.(Az erőtér örvénymentes) Vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a konzervatív mezőben a munkavégzés és a helyzeti energia között. A δ W = − dW összefüggés integrálásával azt kapjuk, hogy:  = W12 (2) ∫ F ⋅ dr = − ∫ dV = −[V ]  12 (1) (2) (1) = V1 − V2 = − (V2 − V1 ) = − ∆V Konzervatív erőtérben a munkavégzés a kezdőpontbeli és a végpontbeli helyzeti energia különbsége, azaz a helyzeti energia változásának az ellentettje. A konzervatív erő munkája független attól, hogy milyen pályán jut a részecske az (1) kezdőpontból a (2) végpontba. Zárt pályán a konzervatív erő munkája zérus. ∫ F ⋅ dr = V1

− V2 = 0 Nézzük meg a munkatételt, ha konzervatív erő is jelen van. Tegyük fel, hogy a részecskére ható F összes erő két összetevőre bontható. Fö = F + F ∗ ahol az F erő konzervatív, míg az F csillag erő nem. Ugyanis F erő előállítható F = −∇ ⋅ V módon de F csillag nem.Az F csillag erőt disszipatív erőnek is nevezzük ∗ ∗ A munkatétel szerint: W12 + W12 = T2 − T1 ahol W12 a konzervatív, W12 a nem konzervatív erő munkája. Minthogy az F erő konzervatív, munkája a hozzá tartozó V helyzeti energia (1) és (2) pontbeli értékének a különbségével egyenlő. W12 = V1 − V2 W12 = (T2 + V2 ) − (T1 + V1 ) ⇒⇒ E = T + V ∗ mechanikai energia ∗ W12 = E 2 − E1 bevezetésével a mechanikai energiatételt kapjuk A részecske mechanikai energiájának megváltozása egyenlő azzal a munkával, amelyet a megváltozás folyamán a részecskére ható konzervatív erő végzett. Ha munkavégző erő tisztán

konzervatív akkor a mechanikai energia megváltozása zérus, vagyis a konzervatív erő megőrzi (konzerválja) a részecske mechanikai energiáját. Megállapodásszerűen legyen a nulla pontban a helyzeti energia zérus: V (r0 ) = 0 . Képezzük a dV = − F ⋅ dr egyenlet vonalintegrálját a nulla és egy pontok közötti tetszőleges görbére. r1 r1 r0 r0 r0 , V (r1 ) − V (r0 ) = ∫ F ⋅ dr ∫ dV = − ∫ F ⋅ dr r0  , V1 = ∫ F ⋅ dr = W10 r1 r1 Az 1-es pontbeli helyzeti energia tehát az a munka, amelyet az erőtér végez miközben a részecske az 1-es pontból a 0-ás alappontba mozdul el. A konzervatív mező nemcsak erővonalaival, hanem un. ekvipotenciális felületeivel is szemléltethető Ekvipotenciális felület (nívófelület): Azon pontok mértani helye, amelyekben a helyzeti energia ugyanaz. Ha a részecske ekvipotenciális felület mentén mozdul el, helyzeti energiája nem változik, a munka zérus. δ W = F ⋅ dr = dV = 0 Ebből

következik, hogy az erővektor mindenütt az ekvipotenciális felület normálisával párhuzamos, az erővonalak az ekvipotenciális felületeket merőlegesen döfik át.(azok ortogonális trojektóriái) Elsőrendű nyomatékok pontra: Egy részecskéhez kötött fizikai mennyiségnek egy geometriai pontra vonatkozó elsőrendű nyomatékán a pontból a részecskéhez húzott rádiuszvektor és a fizikai mennyiség szorzatát értjük. Ha a mennyiség vektor, akkor a szorzás vektori Az elsőrendű nyomatékok additív mennyiségek. O (origó) ra r r − ra A (vonatkoztatási pont) Mennyiség Elsőrendű nyomaték m(tömeg) S a = (r − r ) ⋅ m statikai P (impulzus) La = (r − ra ) × P perdületi F (erő) M a = (r − ra ) × F forgató Perdülettétel (impulzusnyomatéki tétel): Az anyagi pont perdülete és a rá ható erő nyomatéka a következő kapcsolatban van egymással L A = M A − mv A × v L A = M A v = 0) Ha az A vonatkoztatási pont az

inerciarendszerben rögzített ( a , akkor ugyanis a r észecske A pontra vonatkozó perdületének idő szerinti első deriváltja (változási gyorsaság) egyenlő a részecskére ható erőnek az A pontra vonatkozó forgatónyomatékával. Igazolás: • L A = (r − rA ) × P + (r − rA ) × P , ahonann a P = m ⋅ v , P = F , r = v , rA = v A formulák ( segítségével azt kapjuk hogy : ) L A = v × mv − v A × mv + (r − rA ) × P L A = M A − mv A × v ⇒ v × v = 0 , (r − r A ) × F = M A írhatjuk, hogy 4.EA Centrális mező: Centrális mezőnek nevezzük az olyan erőteret, amelyben a részecskére ható erő hatásvonala mindig átmegy egy, a VR-ben rögzített ponton, az ún. erőcentrumon (Ilyen Pl a Nap körül kialakuló gravitációs erő). Válasszuk a továbbiakban az erőcentrumot a VR origójául Ekkor az r rádiuszvektor a ható erővel egy egyenesbe esik. Tehát M o = r × F = 0 Centrális mezőben a ható erőnek

az erőcentrumra vonatkoztatott nyomatéka zérus. F r erőcentrum (L = M A − mv A × v )  így az L0 = 0 alakra egyszerűsödik, amiből L0 = r × mv = const következik. Centrális mezőben a részecskének az erőcentrumra vonatkozó perdülete állandó. L0 a VR -ben rögzített és r pedig merőleges L0 -ra, ezért A perdülettétel A a részecske midig abban a síkban marad, amely átmegy az erőcentrumon, és amelynek normálisa párhuzamos L0 -val . (Röviden: centrális erőtérben mozgó részecske pályája síkgörbe.) Felületi tétel: Centrális mezőben a területi sebbesség állandó, azaz a pálya síkgörbe és a részecskéhez húzott rádiuszvektor egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. Igazolás: A területi sebesség: 1 1 1 Λ0 = r × v = (r × p ) = L0 2 2m 2m Mivel L0 állandó, ezért Λ 0 is. Az általános tömegvonzás (gravitáció): Newton (1687) A Nap által a Földre a Föld által a Holdra gyakorolt erő ugyanaz, mint a súly

aminek a Föld közelében eső testek gyorsulását tulajdonítjuk. Newton-féle gravitációs törvény: (Tömegpontokon érvényes, ezért általános, minden anyagi ponton hat) Minden pontszerű test centrális mezőt hoz létre maga körül, amelyben egy másik tömegpontra mindig vonzóerő hat. Az erő nagysága fordítottan arányos a két tömegpont távolságának négyzetével, egyenesen arányos mindkét részecske súlyos tömegével. F F =− Mm ⋅ γ er r2 M er m er ⋅ er = 1 radiális egységvektor (Két vagy több tömegpont gravitációs mezői már nem centrális) Súlyos tömeg: Megmutatja, hogy a test milyen mértékben vesz részt a g ravitációs kölcsönhatásban. A kétszer akkora súlyos tömegű részecske ugyanabban a gravitációs mezőbe ugyanazon a helyen kétszer akkora erőt szenved el. A súlyos tömeg mérése:(rugós erőmérő) Eötvös Lóránd (1848-1919) kimutatta, hogy a testek tehetetlen és súlyos tömegei arányosak egymással.

Ekvivalencia elve: Az SI mértékrendszerben a két tömeg etalonját azonosnak választjuk, így a két tömegmérőszám nemcsak azonos, hanem egyenlő is lesz egymással. A súlyos és a tehetetlen tömeg egyenlősége egyáltalán nem magától érthetődő, hanem kísérleti tapasztalat. A tömeg tehát jellemzi a testek tehetetlenségét, és súlyos voltát: ha két test tömege egyenlő, akkor a két test tehetetlensége is és--ugyanabban a gravitációs mezőben, ugyanazon a helyen-és a két test súlya is ugyanaz lesz. Coverdisk 1798-ban torziós ingájával igazolta Newton spekuláris törvényét, sőt a Nm 2 −11 γ = 6.67 ⋅ 10 kg 2 gravitációs állandót is kimérte: Ha a gravitációs mezőt több anyagi helyettesíti, akkor a szuperpozíció elvének és Newton gravitációs törvényének együttes alkalmazása vezet a megoldásra. − F ⋅ dr = dV r = r ⋅ er dr = drer + rder γ Mm Mm Mm dr = − F ⋅ dr = γ 2 er dr er ⋅ er = 1 der er + er ⋅ der

= 0 = γ 2 er (drer + der ) = r r r er ⋅ der = 0 γ Mm  γ Mm  = dy = y ′dx = d  − + const  ⇒⇒ dV ⇒⇒ dV = −  r  r V = γ Mm + const r A gravitációs erő konzervatív tömegpont mezőjében a potenciális energia: A const tetszőleges állandót jelent, amelyet úgy választunk meg, hogy a potenciális energia a γMm (r 0 , V 0 ⇒ const = 0) V = − r végtelenben zérus legyen. Akárhány tömegpont alkotja a gravitációs mezőt, a mező konzervatív és helyzeti energiája az egyes pontokhoz tartozó helyzeti energiák összege. F M f = = −γ 2 er m r A gravitációs erő tömegarányos: ---- gravitációs térerősség. V M U = = −γ m r a gravitációs potenciál. A Föld sugarához képest vékony sávban (ha a Föld felszínén választjuk a helyzeti energia zérus szintjét) a helyzeti energia: mgh. Mozgás gravitációs erőtérben: Korábban foglalkoztunk a gravitációs mező néhány fontosabb tulajdonságával. Láttuk, hogy az

M tömegű pontszerű test olyan centrális mezőt létesít, amelyben a tőle r távolságban lévő m Mm F =γ 2 r tömegű pontra: nagyságú vonzóerő hat. Azt is kiderítettük, hogy a gravitációs Mm U = −γ r erőtér konzervatív. A potenciális energia: Vizsgáljuk meg, hogyan mozog az m tömegű részecske a M tömegű pontszerű test gravitációs mezőjében. A bolygók mozgása: Írjuk le a bolygónak a Nap körüli mozgását. A bolygó tömegét m-mel, a Nap tömegét M-mel jelöljük, és mindkét égitestet pontszerűnek tekintjük. Mivel a Nap M tömege sokkal nagyobb a bolygó m tömegénél, a Napot az állócsillagok vonatkoztatási rendszerében rögzítettnek tekintjük, és a VR origójának vesszük. Ez természetesen közelítés, hiszen a Nap is gyorsuló mozgást végez az IR-ben. Mivel a gravitációs mező centrális, a m tömegű részecske pályája síkgörbe és a pálysík átmegy a M erőcentrumon. A mozgás leírásához célszerű síkbeli

polárkoordináta-rendszert felvenni eϕ m ez × er = eϕ er r = r ⋅ er  r + rer = re  r + rϕ eϕ v = re ez ϕ=0 M (erőcencentrum)  r + mrϕ eϕ p = mv = mre Az m tömegű részecske impulzusa: perdülete. 2 L = r × p = mr ϕ ez fajlagos (tömegegységre vonatkozó) perdülete l = L / m = r 2ϕ . Centrális mezőben a részecskének az erőcentrumra vonatkozó perdülete állandó l = r 2ϕ = const  Zárjuk ki a ϕ = 0 esetet ( amely egyenes pályának felel meg ), és válasszuk úgy ez irányítását, ( ) ε z , eϕ , er , ez  hogy ϕ 0 , azaz l nagyobb, mint nulla alkalmas megválasztásával mindíg elérhető. A területi sebesség nagysága: 1 1 1 L l Λ = r ×v = = r 2ϕ = = const r×p = 2 2m 2m 2 2 Eddigi eredményeinket a következő tétel foglalja össze: Kepler II. törvényeA bolygó úgy mozog, hogy Napra vonatkozó területi sebessége állandó, azaz a pálya síkgörbe, és a Naptól a bolygóhoz húzott

rádiuszvektor egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. A gravitációs mező konzervetív, azaz megőrzi a részecske mechanikai energiáját, tehát a bolygó kinetikus és potenciális energiájának összege állandó. 1 Mm T + V = mv 2 − γ = E = const 2 r Innen az e= E/m fajlagos ( tömegegységre számított ) mechanikai energia és az α = γ M rövidítés bevezetésével valamint kihasználva, hogy polárkoordinátákban v 2 = v 2 r + vϕ2 = r 2 + r 2ϕ 2 r 2 + r 2ϕ 2 − z α = ze egyenletet kapjuk r r = r (ϕ ) egyenletét a perdület megmaradást kifejező (1) és az energiamegmaradást A pálya megfogalmazó (2) egyenletből (Két elsőrendű diff. egyenletből vezetjük le) Ebből a célból a két egyenletből kiküszöböljük az idő szerinti deriváltakat (1) szerint. dr l dz l r = ϕ = 2 2 dϕ r dϕ r ezt is felhasználva írhatjuk, hogy: Ezeket (2)-be behelyettesítve a: ϕ = zα l 2 − 2 r r diffegyenletet kapjuk a

keresett r = r (ϕ ) függvényre. 2 2 A gyök alatti kifejezés β − u alakba írható, ahol dz r 2 = dϕ l ze + β = 2e + α2 l u= 2 l α − r l dϕ = 2 Béta állandó, dv=-l/r dz , így ϕ ≠ δ = arccos − du β 2 − u2 = − d ( βu ) 1 − ( βu ) 2 u β adódik, ahol δ integrációs állandó. Ebből az u = l / r − α / l Amit integrálva összefüggés segítségével. l α = + β cos(ϕ + δ ) r r ahonnan a keresett r (ϕ ) pályafüggvény: r (ϕ ) = r (ϕ ) = l2 α 1+ lβ α cos(ϕ + δ ) bevezetve a p= l2 α ,ε = lβ α p 1 + ε cos(ϕ ) Ez a kúpszelet egyenlete síkbeli polárkoordinátákban. Kiderült, tehát, hogy az m tömegű pont a M tömegű pont gravitációs mezejében egy olyan kúpszeletben mozog, amelynek egyik fókusza a polárkoordinátarendszer kezdőpontja, azaz az erőcentrum (az azimuttengely alkalmas megválasztásával delta értéke nulla lesz) . Tudjuk, hogy a k úpszelet jellegét az epszilon excentrális

értéke határozza meg. lβ α 2 ε= = 2l + αl 2 α α így ha : e  0 ε  1, a pálya ellipszis, vagy kör e = 0 ε = 1, a pálya parabola e  0 ε  1, a pálya hiperbolaág Zárt pálya (kötött állapot) csakis negatív összenergiáju jöhet létre. Ilyenkor az m tömegű test bolygó. Kepler I. törvénye: Az állócsillagok VR-ében a Naprendszer bolygói olyan ellipsziseken mozognak, amelyek egyik fókuszában a Nap foglal helyet. Legyen a mozgó tömegpont a t= 0 kezdeti pillanatban az erőcentrumtól r0 távolságban és legyen a kezdeti sebességének abszolut értéke v null. Nyilvánvaló, hogy: 1 2 M 1 M v − γ 2 = v 02 − γ 2 2 r0 amiből következik, hogy a pálya r 2γM v0  feltéve, ha a sebesség tartóegyenese nen megy át az r0 ellipszis, ha erőcentrumun (akkor ugyanis a kúpszelet egyenessé 2γ M degenerálódik). A bolygók T keringési ideje könnyen v0 = kiszámítható, ha a Λ = l / 2 területi sebességet r0 parabola, ha

megszorozzuk a T keringési idővel megkapjuk a rádiuszvektor által súrolt területet, vagyis az ellipszis területét. l T = a 3/ 2 p 1/ 2 π 2 e= hiperbola, ha v0  2γ M r0 Emeljük négyzetre az egyenlőségben álló mennyiségeket, és vegyük figyelembe, hogy p = l2 / α = l2 / γ M Azt kapjuk, hogy: τ 2 4π 2 = a3 γ M A jobb oldalon az univerzális állandókon kívül csak a gravitációs mezőt keltő test tömege szerepel. Kepler III. törvénye: A keringési idő négyzete és a pályaellipszis fél nagytengelyének a köbe a naprendszeren belül egymással egyenesen arányos. Megjegyezzük, hogy a probléma pontosabb tárgyalása, amely figyelembe veszi a Nap mozgását is, olyan összefüggéshez vezet, amelyben a jobb oldalon a bolygó tömege is megjelenik, így r 2 / a 3 már nem ugyanaz az érték minden bolygóra, hanem bolygónként más. Kepler törvénye tehát csak az itt használt közelítésben igaz. Izotróp rugalmaz mező: Olyan centrális

mező, amelyben az erőcentrumtól mért távolsággal arányos, és a centrum felé mutató erő lép fel. Ha VR-ünk origóját az erőcentrumba helyezzük, akkor az erő: F = − Dr F r Ahol D nagyobb mint nulla mennyiség az ún. direkciós állandó (az ilyen erőket amelyek gyakran, de nem mindíg rugalmas természetűek-kvázielasztikus erőknek nevezzük. Ez a mező konzervatív, hiszen  Dr 2  δ W = F ⋅ dr = − Dr ⋅ dr = − d    2  összefüggésből Dr 2 V = + const 2 adódik. Itt felhasználjuk, hogy  r2  r r  r ⋅r  d  = d  = dr ⋅ + ⋅ dr = r ⋅ dr  2  2 2  2 Ha az erőcentrumban vesszük a helyzeti energiát zérusnak, akkor az integrációs állandó eltünik. Rugalmas mezőben (a mező centrális volta miatt) a részecske csak síkgörbén mozoghat és a pályasík átmegy az erőcentrumon. A lineáris harmonikus oszcillátor: Egyenes vonalon történik a szinuszos mozgás x feszítettlen hossz

x-kitérés Fx = − Dx Dx 2 Fy = 0 Fz = 0 V = 2 A rugalmas mező konzervatív---a mechanikai energia megmarad x 2 x2 D 2 m W= c  0, const +D = const / ⋅ ⇒ x 2 + ω 2 x 2 = ω 2 c 2 m m 2 2 d ( cx ) dx x x = ω c 2 − x 2 ⇒ = ω dt , = ω dt ⇒ arcsin = ω t + δ 2 c c2 − x 2 1 − ( cx ) x(t ) = c ⋅ sin(ω t + δ ) a mozgástörvényig. A mozgás periodikus: periódusidő A sin fgv. 2pi szerint periodikus: 2π τ= ω körfrekvencia ω υ = ω 2π x (t ) = x (t + τ ) τ - (nű) frekvencia c amplitudó x = −ω 2 x A mozgásegyenlet: mx = − Dx ,  x(t ) = c sin(ω t + δ ) = ω t + δ fázis δ fázisállandó c cos δ c sin δ sin ω t + cos ω t = A sin ω t + B cos ω t A B Elliptikus harmonikus oszcillátor: Nézzük meg a mozgást izotróp rugalmag mezőben. Legyen a pályasík az xy-sík, és válasszuk a t=0 időpillanatot úgy, hogy a részecske akkor az x tengelyen legyen. A mozgásegyenlet mr = − Dr F = − Dr

mx = − Dx my = − Dy r kezdeti feltételek x(0) = x 0 x (0) = v x 0 y(0) = 0 y (0) = v y 0 v0 xo mx = − Dx x(t ) = A sin ω t + B cos ω t ⇒ ⇒ x (t ) = Aω cosω t − Bω sin ω t x(0) = x 0 ω= D m x0 = B x (0) = v x 0 v x 0 = Aω x= v x0 y= v y0 ω ω sin ω t + x 0 cos ω t (my = − Dy ) sin ω t = sin ω t 2 ωy v y0 , cosω t = ± 1 − ( ) ωy 2 vy0 2 2 2  ω y v x0 v y vx0  2 2 ω y  = x0 − x0 2  ⇒  x − x= ⋅ ± x 0 1 −  ω v y0 v y 0  v y0   v y0   v  2  x ω  2  v x 2 − 2 x 0 xy +  x 0  +  0   y 2 = x 02 v y0  v y 0   v y 0    v y0 y ω 2 v  c =  x 0  + x 02 ω  -c c − v y0 ω x A pályagörbe egyenlete másodfokú, tehát a pálya kúpszelet. A pálya a vázolt téglalapban van, ezért a pálya csak annak eltorzulása lehet(kör vagy

egyenes)--elliptikus harmonikus oszcillátor 5.EA Csillapított lineáris rezgés: Ha a tömegpont valamilyen közegben mozog, akkor rá a kvázielasztikus erőn kívül a sebességgel ellentétes irányú súrlódási erő hat. Ennek tulajdonítható a tömegpont mechanikai rezgései általában nem állandó amplitudójú rezgéseh, hanem a mozgás amplitudója kisebb, vagy nagyobb mértékben csökken az időben, a rezgés csillapodik. A tapasztalat szerint a súrlódási erő nagysága kis sebességek esetén a sebességgel, nagyobbaknál a sebesség négyzetével vehető arányosnak. Feltesszük, hogy mind a mozgalmas erő, mind a súrlódási erő az x tengely mentén hat, továbbá azt is, hogy a test kezdősebessége és kitérése az x tengelybe esik. Ekkor a mozgás egyenes vonalú marad A rugalmas erö: Fx( r ) = − Dx a sebességgel arányos, de vele ellentétes irányú pedig: Fx( c ) = −κ x ahol a D>0 direkciós állandó és κ >0 csillapítási tényező

állandó. A tömegpont mozgásegyenlete: mx = − Dx − κ x ω= D m , α= κ 2m osztva m-mel, és bevezetve az mennyiségeket (amelyek közül ω a kvázielasztikus erőre, α a súrlódásra jellemző) a mozgásegyenlet az :  x = 2α x + ω 2 x = 0 alakot ölti. Ez lineáris, állandó együtthatójú, másodrendű homogén diff. egyenlet Az egyenlet partikuláris rt rt megoldását ξ = e alakban keressük, ahol r állandó. Ennek megfelelően: ξ = e próbafüggvényt az egyenletbe helyettesítjük, és megköveteljük, hogy az így adódó : 2 2 r 2 + 2α r + ω 2 e rt = 0 egyenlet leljesűljön. Mivel ert nem zérus: r + 2α r + ω = 0 rt Ez az algebrai egyenlet határozza meg azokat az r értékeket, amelyekkel ξ = e megoldása a ( ) szóbanforgó diff. egyenletnek ( ez a diff egyenlet karakterisztikus egyenlete ) A karakterisztikus egyenletnek két gyöke van: r1,2 = −α ± α 2 − ω 2 r1t , ξ 2 = e r2 t A mozgásegyenletnek tehát két

partikuláris megoldása van: ξ 1 = e A mozgásegyenlet általános megoldása ezen lineárisan független partikuláris megoldások lineáris kombinációja.  − α + α 2 −ω 2  t  − α − α 2 −ω 2  t   x = C1ξ 1 + C2 ξ 2 = C1e r1t + C2 e r1t = C1e  + C2 e  A C1 , C2 állandók értéke a kezdeti feltételek segítségével határozhatok meg. Ez a függvény a csillapított rezgés mozgásegyenletének általános megoldása. A függvény jellege függ a négyzetgyök alatt álló mennyiség előjelétől, azaz attól, hogy az alfa súrlódási együttható hogyan viszonyul az omega körfrekvenciához. Három esetet különböztetünk meg: (1). Mikor α >0 akkor erős csillapításról beszélünk. Ebben az esetben bevezetésével az általános megoldás: β = α2 −ω2 α rövidítés ( x = C1e ( −α + β ) t + C2 e ( −α − β ) t = e −αt C1e β t + C2 e − β t ) −α + β  0 , − α − β  0 ,

ezért mindkét partikuláris megoldás zérushoz tart, midőn az idő tart a végtelenhez. A C1 , C2 állandók meghatározásához kezdeti feltételeket adunk meg Pl. x (0) = 0 x(0) = v 0  0 Ezekt a megoldásba, illetve annak idő szerinti deriváltjába helyettesítve a C1 C2 állandókra azt kapjuk hogy: C1 + C2 = 0 C1r 1 + C2 r 2 = 0 v0 2 ⋅ β adódik. Ahonnan: Az általános megoldás: v e β t − e − β t v 0 −α t x = 0 e −α t = e sinh β t β 2 β Látható, hogy x sohasem lesz negatív. A mozgás jellege a tövetkező: t=0-tól kezdve x a kezdeti x=0 értékéről növekszik, bizonyos t * -nál eléri maximumát majd t tart végtelenre zérushoz tart. A mozgás tehát nem rezgés: a pont kitér, majd a rugó hatására visszahúzódik.(aperiódikus mozgás) t * -nál nyilván x zérus. Mivel v x = 0 e −αt (−α sinh β t + β cosh β t ) C1 = − C2 = β α sinh β t * = β cosh β t ⇒ t = 1 β arth β α 2. Kritikus csillapításról

beszélünk (aperiódikus határeset) ha α = ω Ekkor r1 = r2 = −α , a karakterisztikus egyenletből egyetlen partikuláris megoldást kapunk: ξ 1 = e −α t Szükségünk van még egy partikuláris megoldásra. A diff egyenletek elméletéből ismert, hogy −α t kétszeres gyök esetén ξ 2 = te is partikuláris megoldás lesz, amiről behelyettesítéssel meggyőződhetünk. ( ξ 1 é sξ 2 lineárisan függetlenek, mert t nem állandó) Így az általános megoldás: x = C1ξ 1 + C2 ξ 2 = C1e −α t + C2 te −α t = e −α t (C1 + C2 t ) x = C1ξ 1 + C2 ξ 2 = C1e −α t + C2 te −α t = e −α t (C1 + C2 t ) Válasszuk most is az x(0)=0, x(0)=v 0 >0 kezdeti feltételeket. Ezekkel a konstansokra: C1 = 0 C2 = v 0 adódik, így a mozgástörvény: x = v 0 te −α t Ez is aperiodikus mozgást jelent, ami jellegében hasonlít az erős csillapítás esetén észlehető mozgásra: az x kitérés mindíg pozitív, egy bizonyos t c sillagnál maximuma van, és t ta

rt végtelenre zérushoz tart. −α t t* = 1 (1 − α t ) így maximuma helye α 3. Gyenge csillapításról beszélünk, ha α  ω Vagyis a csillapítás egy bizonyos értéknél kisebb. Ekkor az egyenlet gyökei komplexek x = v 0 e r1,2 = −α ± α 2 − ω 2 = −α ± i ω 2 − α 2 = −α ± iγ γ = ω2 −α2 x = C1e ( −α +iγ ) t mennyiség valós. Az általános megoldás : + C2 e ( −α −iγ ) t = e .−α t (C1e iγt + C2 e − iγt ) iϕ Ezt a függvényt a komplex számokra vonatkozó e = cosϕ + i sin ϕ Euler-féle összefüggés segítségével a következő alakba írható: x = e −α t (C1 + C2 ) cos γ t + i(C1 − C2 ) sin γ t = e −α t ( A cos γ t + B sin γ t ) [ Minthogy az x kitérés csak valós lehet, az A = C1 + C2 , B = i (C1 − C2 ) ] együtthatók valós mennyiségek. Ha az A,B állandóh helyett A = C sin δ B = C cos δ összefüggésekkel a C, δ konstansokat vezetjük be, akkor a mozgástörvény az: x = Ce −α

t sin(γ t + δ ) alakra hozható. Ez olyan harmonikus rezgésnek tekinthető, amelynek az amplitudója az idővel exponenciálisan csökken. Az ilyen mozgást csillapított rezgőmozgásnak nevezzük. Vizsgáljuk meg a mozgástörvényt. A kπ δ tk = − γ γ szinuszfüggvény zérushelye: k = 0,±1,±2. A zérushelyek π γ időközönként követik egymást. Nézzük meg a szélsőértékeket. A mozgástörvényt az idő szerint deriválva: x = Ce −α t γ cos(γ t + δ ) − α sin(γ t + δ ) adódik. Szélsőérték csak [ γ α 1 γ δ π t n = arctan − + n γ α γ γ tehát a ] ott lehet, ahol tan(γ t + δ ) = n = 0,±1,±2. értékeknél. A szélső értékek 2π π γ =τ γ időközönként követik egymást, két szomszédos maximum közötti időtartam tehát . 2π τ= γ , ennél az esetnél gamma a s aját Minthogy a szinusz függvény periodusa körfrekvencia, ami a csillapítatlan rezgés omega körfrekvenciájánál kisebb. (a rezgésidő

tehát a csillapítatlan harmonikus rezgésidejénél nagyobb). A mozgás azonban szigorú értelemben nem periodikus, minthogy tetsztőleges t-re x (t ) ≠ x (t + τ ) A súrlódás fellépte tehát a körfrekvencia csökkenését (vagyis a rezgésidő megnövekedését) és az amplitudó exponenciális csökkenését okozza a csillapítatlan rezgéshez viszonyítva. Két szomszédos maximum aránya állandó: xn Ce −α tn sin(γ t n + δ ) e −α tn = = = eα τ x n + 2 Ce −α ( tn +τ ) sin(γ t n + γ τ + δ ) e −α ( tn +τ ) Az egymást követő maximumok fogyó mértani sorozatot alkotnak, a csillapodás mértékét a : Λ = ln xn = α ⋅τ xn+2 ún. l ogaritmikus dekrementum jellemzi A gyakorlatban a csillapítási együtthatót úgy határozzák meg, hogy megnézik a rezgés két egymást követő maximumát (x n ,x n+2 ) és a köztük eltelt tau időt. Ezekből kiszámítható alfa, abból pedig a tömeg ismeretében κCα = κ / 2m A csillapított rezgést

leíró fúggvényben a C állandót és a delta kezdőfázist a kezdeti feltételek határozzák meg. Legyenek a kezdeti feltételek: x (0) = 0 , x(0) = v 0  0 Ekkor azt kapjuk,hogy: δ = 0 , C = v0 γ 0 = sin δ , v 0 = C (γ cos δ − α sin δ ) ahonnan adódik. v 0 −α t x = e sin γ t γ Így a mozgástörvény a zérushelyek: tk = k π τ =k γ 2 tn = 1 γ arctan k = 0,±1,±2,. γ π +n α γ n = 0,±1,±2,. a szélsőérték helyei: Véges mennyiség arkusz tangense kisebb mint pi/2 tn  π π τ τ +n = +n 2γ γ 4 2 n = 0,±1,±2,. A súrlódási erő teljesítménye:   = −κx 2  0 P* = F ( c ) ⋅ v = −κ xx Ez a teljesítmény adja a rendszer mechanikai energiájának időegység alatti változását. Az eddigiekben szabad rezgéseket tanulmányoztunk, amelyek során a rezgő rendszerre külső erő nem hatott. Az elkerülhetetlenül fellépő csillapítás miatt ilíenkor a rezgés hosszabbrövidebb idő alatt elül Ha periodikus

rezgést akarunk fenntartani, akkor a csillapítás miatt bekövetkező mechanikai energiaveszteséget folyamatosan pótolni kell, külső erő munkavégzésével, ezért a külső erőnek is periodikusan kell változni. Ezt a rugalmas és a ( néha elhanyagolhatóan kicsi) csillapító erőn kívül ható periodikus külső erőt gerjesztő erőnek, hatására bekövetkező rezgést kényszerrezgésnek nevezzük. Gerjesztett lineáris rezgés: Itt csak olyan rezgésekkel foglalkozunk, amelyeknél az m tömegű anyagi pont az x tengely mentén mozog és rá a: (r ) Fx = − Dx ( D  0) A rugalmas erőn és a csillapító erőn kívül olyan Fx( c ) = −κ x (κ  0) gerjesztő erő hat, amely az időnek harmonikus függvénye, azaz gerjesztő erő. Fx( y ) = F0 cos Ωt , ahol F >0 , a gerjesztő erő amplitudója, Ω a gerjesztő erő körfrekvenciája 0 ( y) Fx T = 2π Ω szerint periodikus. Ilyen feltevésekkel a tömegpont mozgásegyenlete: mx = − Dx − κ x

+ F0 cos Ωt ami az, ( ω2 = ) D m , α= κ 2m , f0 = F0 m jelölésekkel a következő formát ölti: x + 2α x + ω 2 x = f 0 cos Ωt Ez, a csillapított szabad rezgés egyenletétől csak a jobb oldalon álló tagban különbözik, amelyet zavarótagnak (vagy perturbációnak) nevezzük. Ez közönséges, másodrendű, állandó együtthatójú inhomogén diff-egyenlet. Az inhomogén lineáris diff-egyenlet általános megoldása a hozzá tartozó homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege. A fenti inhomogén egyenlethez tartozó homogén egyenlet. x + 2α x + ω 2 x = 0 Tehát (1) általános megoldása x = X + ξ , ahol X a (2) egyenlet általános megoldása pszi pedig az (1)-es egyenlet egy partikuláris megoldása. A (2) homogén egyenlet általános megoldása a korábbiakból ismerős. Keressük meg most az (1) inhomogén egyenlet egy pszi partikuláris megoldását, azaz

egy olyan ξ (t ) függvényt, amelyre ξ + 2α ξ + ω 2 ξ = f 0 cos Ωt Kényelmesebb a számolás, ha a zavarótag exponenciális függvény ezért vegyük hozzá ehhez az egyenlethez az η(t ) fizikai jelentés nélküli segédváltozóra használt:  + 2α η + ω 2 η = f 0 sin Ωt η egyenletet. Ha ezt megszorozzuk a képzetes egységgel, és hozzáadjuk a ξ − re felírt egyenlethez akkor a: z = ξ + iη komplex változóra a:  z + 2α z + ω 2 z = f 0 e iΩt diff.-egyenlet áll elő Keressük ennek egy partikuláris megoldását: z = Ae i ( Ωt −δ ) alakban, ahol A a valós amplitudó. Behelyettesítéssel azt kapjuk, hogy ez a kifejezés megoldás, ha: cos δ + i sin δ e iδ A = f0 2 = f0 2 2 ω − Ω + i 2α Ω ω − Ω 2 + i 2α Ω Mivel A-nak valósnak kell lennie, innen rögtön látszik, hogy : f0 2α ⋅ Ω tan δ = 2 , A= 2 2 ω −Ω ω 2 − Ω 2 + 4α 2 Ω 2 (3) ( ) A keresett ξ függvényt (2) valós része adja:

f0 ξ = Re z = A cos(Ωt − δ ) = cos(Ωt − δ ) 2 ω 2 − Ω 2 + 4α 2 Ω 2 ( ) (4) A partikuláris megoldás tehát egy olyan csillapítatlan rezgésnek felel meg, amelynek ferekvenciája a gerjesztő erő frekvenciája, de fázisa δ − val késik hozzá képest, és amplitudója erősen függ a gerjesztő frekvenciától. A szabad rezgések tárgyalásánál láttuk, hogy akár erős, akár kritikus, akár gyenge a csillapítás, a homogén egyenlet X általános megoldása mindenképpen zérushoz tart, midőn t tart a végtelenhez. Ez azt jelenti, hogy a rezgés megindulásától számított kellően hosszú idő után X már olyan kicsivé válik, hogy X ≈ ξ , azaz a pont a gerjesztő erő Ω körfrekvenciájával csillapítatlan rezgést végez. (Más szóval az erő rákényszeríti periodikus változását a tömegpontra) Ezért nevezzük ezt a mozgást kényszerrezgésnek is. Azt az időtartamot, amelyben X még nem henyagolható el tranziens (átmeneti),

azt pedig amiben X ≈ ξ , stacionárius (állandósult) szakasznak hívjuk. Vizsgáljuk meg kissé részletesebben a s tacionárius szakasz rögzített ω é s α mellett. A kényszerrezgés A amplitudója, valamint a gerjesztő erő és a rezgés között fellépő δ fáziskülönbség a gerjesztő erő Ω körfrekvenciájától függ. (3) szerint amint Ω -át nullától ω -ig, majd innen végtelenig növeljük, a δ fáziskülönbség nullától pi/2-ig, majd pi-ig nő, vagyis a kényszerrezgés fázisa mindíg késik a gerjesztő erőjéhez képest. Hogyan függ az amplitudó a gerjesztő körfrekvenciától. Látható, hogy: f lim A(Ω) = 02 , lim A(Ω) = 0 ω ω 0 Ω∞ Azaz az A(Ω) függvény nem zérus értékről indol, de nullához tart. Van-e szélső értéke a A(Ω) függvénynek (Ha van, akkor az csak maximum lehet). Az A(Ω) függvénynek maximuma van, 2 2 2 2 2 ha a nevezőben szereplő f (Ω) = (ω − Ω ) + 4α Ω függvénynek minimuma van. f

(Ω) első deriváltja. df = 4Ω(Ω 2 − ω 2 + 2α 2 ) dΩ adódik, ami két helyen tűnhet el. Az egyik Ω =0, ami nem lehet a f maximum helye (nincs periodikus gerjesztés), de itt ( ω -hez) az A(Ω) függvénynek 0 2 vízszintes érintője van. Ω * = ω 2 − 2α 2 lehet a szélső érték helye. Rögtön látszik, hogy sem erős, (α  ω ) , sem kritikus (α = ω ) csillapítás esetén szélsőérték nem lehet. Sőt még gyenge (α  ω ) esetén is monoton a függvény, ha ω ≤ 2α . Maximum csak akkor lehetsége, ha ω  2α , azaz csak akkor, ha a csillapítás elég gyenge. Azt a jelenséget, hogy a rezgés amplitudójának a gerjesztő frekvencia függvényében szélső értéke van, rezonanciának nevezzük. Ω * -ot pedig rezonancia-frekvenciának nevezzük. Ω * = ω 2 − 2α 2 = γ 2 − α 2 Tehát rezonanciakor a gerjesztő frekvencia kisebb, mint a saját frekvencia, de a kettő annál közelebb van egymáshoz, minél gyengébb a

csillapítás. Zérus csillapítás (α = 0) esetén Ω * = γ . Amax = A(Ω * ) = f0 = f0 2α γ 2α ω − α Az m aximális amplitudó annál nagyobb, másszóval a rezonancia annál élesebb, minél kisebb az alfa csillapítási tényező. Csillapítatlan rendszernél a Ω * = γ rezonancia helyen az amplitudó végtelen, vagy lenne, ez az úgynevezett rezonancia katasztrófa. 2 2 Megjegyezzük, hogy a rendszer mozgási energiája időátlagának, mint a gerjesztő körfrekvencia 2 2 függvényének a maximuma nem Ω * = ω − 2α -nél van. A tömegpont kinetikus energiája (4) felhasználásával. 1 1 T = mx 2 = mA 2 Ω 2 sin 2 (Ωt − δ ) 2 2 adódik. T-nek a rezgés folyamán felvett legnagyobb   1 2 2 2 sin Ω t =  1 − cos Ωt  / 2 = 1 / 2 mA Ω   2 értéke: , átlagos értéke ennek fele, mert Ω2 1 1 2 2 2 T = mA Ω = mf 0 4 4 ω 2 − Ω 2 + 4α 2 Ω 2 ( f (Ω ) = az df = dΩ [(ω (ω Ω 2

) − Ω 2 + 4α 2 Ω 2 ( 2Ω ω − Ω 2 − Ω2 ) 2 ) ) 4 4 2 + 4α 2 Ω 2 ] függvény első deriváltja. 2 adódik. T -nak tehát Ω = ω -nál azaz a csillapítás nélküli rendszer saját frekvenciájánál van maximuma. Ezt az esetet szokás sebességrezonanciának hívni az előbbi amplitudó.rezonanciával szemben 6.EA Az eddigiekben a gerjesztő erő az időnek egyszerű harmónikus függvénye volt. Ha a gerjesztő erő az időnek tetszés szerinti periodikus függvénye, akkor a mozgásegyenlet megoldását a következőképpen kereshetjük. A T szerint periodikus erőfüggvényt Furier-sorba fejtjük. ∞ a ( g) Fx (t ) = 0 + ∑ (a n cos Ωt + bn sin Ωt ) 2 n =1 ahol: Ω = 2π / T és 2 Fx( g ) (t ) cos nΩtdt ∫ T0 T an = n = 0,1,2,. 2 bn = ∫ Fx( g ) (t ) sin nΩt dt n = 1,2,3,. T0 A Furier-féle együtthatók. Így a megoldandó egyenlet: T ∞ ∞ n=0 n =1  x + 2α ⋅ x + ω 2 x = ∑ Cn cos nΩt + ∑ d n sin

nΩt ahol a0 a , cn = n 2m m Legyen most c0 = ∞ , dn = bn m (5) n = 1,2,3 ∞ x = ∑ x n + ∑ x ′n ekkor az egyes tagokra a következő diff. egyenlet írható fel xn + 2α xn + ω x = cn cos nΩt n = 0,1,2,. n=0 n =1 2 x, n + 2α xn′ = d n sin nΩt n = 1,2,3. Ezek ugyanolyan típusúak, mint (1), csak itt f 0 helyett megoldása tehát: ∞ ∞ n=0 n =1 cn ill. d r ,Ω helyett pedig nΩ szerepel (5) stacionárius x = ∑ An cos( nΩt − δ n) + ∑ Bn sin( nΩt − δn) ahol An = (ω tan δ n = cn 2 ) − n 2Ω 2 + 4α 2 n 2Ω 2 Bn = (ω dn 2 ) − n 2Ω 2 + 4α 2 n 2Ω 2 2α nΩ ω − n2Ω 2 2 Ebben az es etben tehát a s tacoinárius rezgés végtelen sok frekvenciát tartalmaz, de az egyes frekvenciák a nagy omega alapfrekvenciának egész számú tőbbszörösei. A rezonancia-frekvenciák száma is végtelen A tömegpontrendszerek dinamikája A legtöbb esetben nem szorítkozhatunk egyetlen tömegpont

mozgásának vizsgálatára, hanem több, egyenként anyagi pontnak tekinthető és egymással kölcsönhatásban álló test alkotta rendszer mozgását kell tanulmányoznunk. (égitestek ) A tömegpontrendszer fogalma: A tömegpontrendszer véges számú, egymással kölcsönhatásban lévő anyagi pontok halmaza, mindig ugyanazokat a részecskéket foglalja magába. Megkülönböztetünk szabad és kötött pontrendszereket. A rendszert szabad rendszernek nevezzük, ha pontjait mozgásukban semmi sem korlátozza. Szabad rendszert a makrofizika körében legtökéletesebben legtökéletesebben az égitestek valósítanak meg. Ha a r endszer elemeinek koordinátái vagy ezek változásai között előírt összefüggések (geometriai kényszerek) állnak fenn, akkor kötött rendszerről beszélünk. ri − rk = const A kényszerfeltételek bevezetésével lehet tárgyalni a m erev testeknek, mint speciális pontrendszernek a mechanikáját: azt követeljük meg, hogy ehhez

hasonló egyenletek a merev test bármely két pontjára teljesüljenek. Legyen az n tömegpontból álló rendszer i-edik pontjának helyvektora ri , tömege mi , sebessége n m = ∑ mi vi , impulzusa pi . A pontrendszer i =1 tömege állandó. Külső és belső erők A pontrendszer tagjai különféle kölcsönhatásokban vehetnek részt, amelyeket célszerű k csoportosítani. Kölcsönhatás léphet fel a pontrendszer két eleme között: Fi jelöli a k-adik által * az i-edikre kifejtett erőt. Kölcsönhatás lehet egy elem és egy másik elem mezője között: Fik jelöli a k-adik pont mezőjében az i-edik pontra ható erőt. E két erő alkotja a belső erőrendszert Bi k = Fik + Fik* Kölcsönhatás lehet egy elem és egy külső test vagy annak mezője között. Ki az i-edik elemre ható teljes erő (az az erő, amelyet az összes külső test és az összes külső mező az i-edik pontra kifejt). * Az akció-reakció törvénye miatt a kontakt erőkre fennáll, hogy:

Fik = − Fki Az viszont nem mindíg érvényes, hogy az i-edik pont mezőjében a k-adik pontra ható erő ellentette egyenlő a k-adik mezőjében az i-edikre ható erővel, de a mechanikában ez az egyenlőség általában fennáll. A továbbiakban feltételezzük: Fik* = − Fki így Bik = − Bki m1 Jelöléseinkel a pontrendszer i-edik tömegpontjának mozgásegyenlete: F1i* n dpi = ∑ Bik + Ki i = 1,2,. n dt k =1, k ≠ i mi Fi 2* ri O Fi1* m2 Ki F2*i ( A k nem = i feltétel azért szükséges, mert az egyes tömegpontok önmagukra nem fejtenek ki erőt) Ahhoz, hogy a fenti mozgásegyenletet minden tömegpontra megoldhassuk, ismernünk kell a Bik belső erőket, a külső erők eredőjét Ki és meg kell adnunk a k ezdeti feltételeket. A megoldás megtalálása igen nehéz feladat. Ezért fontosak azok a tételek, amelyek segítségével a pontrendszer mozgásának néhány általános tulajdonságát megállapíthatjuk anélkül, hogy a mozgásegyenleteket

megoldanánk. Impulzustétel pontrendszerre Összegezzük a pontrendszer elemeinek n darab mozgásegyenletét: n n n n dpi = + B Ki ∑ ∑ ∑ ik ∑ i = 1 dt i = 1 k = 1, k ≠ i i =1 Az impulzus additív mennyiség, a pontrendszer impulzusa egyenlő tagjai impulzusának n n dp dp p = ∑ pi =∑ i dt i =1 dt , Feltettük, hogy Bik = − Bki ezért: i =1 összegével, azaz n n ∑ ∑B ik =0 i = 1 k = 1, k ≠ i vagyis a belső erők eredője zérus. n K = ∑ Ki dp =K i =1 Így ha a külső erők összegét K-val jelöljük akkor a (2) egyenlet a dt alakot ölti. Ez a pontrendszer impulzustétele A pontrendszer impulzusának idő szerinti első deriváltja egyenlő a pontrendszer tagjaira ható külső erők összegével. (A belső erők az impulzust nem változtatják) Az olyan pontrendszert, amelyre külső erők nem hatnak, mechanikailag zárt rendszernek nevezzük. Az ilyen rendszer impulzusa időben állandó Ugyancsak állandó a rendszer impulzusa akkor, ha a

külső erők összege zérus. A tömegközéppont tétele Tömegközéppont: Pontrendszer tömegközéppontja az a geometriai pont, melyre a rendszer statikai nyomatéka eltűnik. Ha rc jelöli a C tömegközéppont helyvektorát , ri pedig a C-ből az mi tömegű ponthoz mutató vektor, akkor ri ′= ri − rc továbbá a tömegközéppont n ∑ m r ′= 0 i i definíciója szerint origó i =1 tömegközéppont n n n n n ∑ mi (ri − rc ) =∑ mi ri − ∑ mi rc = ∑ mi ri − mi rc = 0 rc = ∑mr i i i =1 = S0 m m i =1 i =1 i =1 Így i =1 Tehát a tömegközéppont helyvektora a pontrendszer origójára vett statikai nyomatékának és össztömegének a h ányadosa. A tömegközéppont helyvektorát az idő szerint deriválva a tömegközéppont vc sebességét kapjuk. n ∑ mi ri n ∑ mi vi n ∑p i p ⇒ p = mvc m m m m A pontrendszer impulzusát tehát úgy is kiszámíthatjuk, hogy össztömeget megszorozzuk a tömegközéppont sebességével.

Következésképpen a pontrendszer impulzustétele a p = mvc = mac = K alakban is felírható. Ez a tömegközéppont tétele A pontrendszer vc = rc = i =1 = i =1 = i =1 = tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege oda volna koncentrálva, és a pontrendszerre ható külső erők összege is ott hatna.(A rendszer belső erői a tömegközéppont mozgását nem befolyásolják). E tétel következménye a t ömegpont modell alkalmazhatósága kiterjedt testekre, melyeket tömegközéppontjukkal jellemezhetünk. Ha a mechanikai rendszer teljes impulzusa 0 egy VR-ben, akkor azt mondjuk, hogy nyugalomban van az adott VR-ben. Az impulzusmegmaradás törvénye: Ha a rendszer mechaniklailag zárt, vagy a rendszerre ható külső erők eredője zérus, akkor a rendszer tömegközéppontja IR-ben nem változtatja meg a sebességvektorát, azaz a tömegközéppont vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A tömegközéppont

különleges tulajdonsága miatt gyakran célszerű hozzá kötött VR-t használni. Tömegközépponti VR. Az IR-hez képest vc sebességgel haladó, de az IR-hez képest el nem forduló VR. Mechanikailag zárt rendszer tömegközépponti rendszere szintén IR. Deriváljuk a n ∑ m r ′= 0 i i i =1 egyenletet az idő szerint n n n i =1 i =1 i =1 ∑ mri = ∑ mi vi′ = ∑ pi = p ′ = 0 Az eredmény szerint a tömegközépponti VR-ben a pontrendszer összimpulzusa zérus. Az ri ′= ri − rc összefüggés idő szerinti deriválásával azt kapjuk, hogy vi′ = vi − v0 azaz vi = vc + vi′ A tömegközépponti vc sebességét rendezett mozgási sebességnek, vi′− t pedig rendezetlen mozgási sebességnek is nevezhetjük. Határozzuk meg, milyen összefüggés van az IR-beli és a tömegközépponti VR-beli mozgási energia között. Az IR-beli kinetikus energia: 1 n T = ∑ mi vi2 ké pleté bea vi2 = vi 2 + 2vi′⋅ vc + vc2 2 i =1 összefüggést

helyettesítve n 1 n 1 2 n 2 + ⋅ m v v m v vc ∑ mi ′ ′+ ∑ ii c ∑ i i 2 i =1 2 i =1 i =1 Figyelembe véve, hogy n n 1 n T ′ = ∑ mi vi′ 2 , ∑ mi vi′ = 0 , ∑ mi = m 2 i =1 i =1 i =1 azt kapjuk, hogy 1 T = T ′ + mvc2 2 Tehát az IR-beli mozgási energia a r endezett és a r endezetlen mozgási energiák összege. Minthogy a rendezett rész a tömegközépponti tétel szerint a külső erők hatásából származik, ezt a részt a külső, a másikat viszont belső kinetikus energiának is nevezzük. Perdülettétel pontrendszerre: Írjuk fel a perdülettételt a pontrendszer i-edik részecskéjére, vonatkoztatási pontként az A pontot választva. n L = r ′× B + r ′× K − m v × v (i = 1,2,3. n) T= Ai ∑ i k = 1, k ≠ i ik c i i A i O(origó) Ki ri rA Bik = Fik* A(vonatkoztatási pont) Adjuk össze ezt az n számú egyenletet n n n n n L = ∑ Ai ∑ ∑ ri ′× Bik + ∑ ri ′× Ki − v A × ∑ mi vi i = 1 i = 1, k = i i =1

i =1 i =1 A belső erők nyomatéka két részre bontható: n n n ∑ ∑ i = 1 k = 1, k ≠ i ri ′× Bik = ∑ n ∑ i = 1 k = 1, k ≠ i n n ri ′× Fik + ∑ ∑ r ′× F i i = 1 k = 1, k ≠ i * ik Mindkét összeg párokba rendezhető. Válasszuk ki mindkét összegben Pl az i-edikre és a k adikra vonatkozó két tagját Mivel Fik = − Fki ezért ri ′× Fik + rk′ × Fki = ( ri ′− rk′) × Fik Ha az i-edik és a k-adik részecske érintkezik, akkor ri ′= rk′ , ha nem érintkeznek, akkor Fik = 0 . Következésképpen az első összeg eltűnik, mert minden egyes pár külön-külön is zérus. A második összeg kiszámításakor tegyük fel, hogy a tömegpontok centrális mezőt létesítenek maguk körül. * mi Ekkor ( ri ′− rk′) × Fik = 0 ri ′ A * Fik Tehát a második összeg is eltűnik, így a belső erők nyomatéka zérus. n ri ′− rk′ rk′ LA = ∑ LAi i =1 Figyelembe véve, hogy A pontrendszer teljes perdülete: n

mk p = ∑ mi vi = mvc i =1 A pontrendszer impulzusa: n M AK = ∑ ri ′× Ki pedig az összes külső erő nyomatéka, azt kapjuk, hogy: L = M K − mv × v A A A c Ez a pontrendszer perdülettétele. Ha vonatkoztatási pontként a tömegközéppontot választjuk (A= C), va gy ha a vonatkoztatási pont az IR-ben nyugszik v A = 0 akkor a p erdülettétel az L = M AK alakra egyszerűsödik. Ez azt jelenti, hogy a pontrendszer teljes perdületének idő szerinti első deriváltja egyenlő a pontrendszer nyomatékainak összegével (ugyanazon pontra). Ha a rendszerre külső erők nem hatnak, vagy ha a külső erők nyomatékainak összege zérus, akkor a rendszer teljes perdülete állandó. Perdületmegmaradás törvénye Teljesítmény- és munkatétel pontrendszerre Szorozzuk meg a pontrendszer elemeinek i =1 mi = n dvi = ∑ Bik + Ki dt k =1, k ≠ i i = 1,2,. n mozgásegyenletét skalárisan vi − vel , és adjuk össze az így kapott n számú egyenletet. Az

eredmény a n dvi d n 1 dT dT = m v mi vi2 = = pB + pK ∑ ∑ i i dt dt i =1 2 dt összefüggést felhasználva a dt i =1 alakba írható, ahol n pB = ∑ n ∑B v ---a belső erők teljesítménye ik i i = 1 k = 1, k ≠ i n p K = ∑ Ki vi ---a külső erők teljesítménye i =1 Ez a pontrendszerre vonatkozó teljesítménytétel. Azt fejezi ki, hogy a pontrendszer mozgási energiájának idő szerenti első deriváltja egyenlő a rendszerre ható külső és belső erők teljesítményének összegével. Integráljuk a teljesítménytétel mindkét oldalát a mozgás ∆t = t1 − t2 időtartamára. Azt kapjuk, hogy: t2 T2 − T1 = W1B, 2 + W1K, 2 ahol T2 − T1 = T ( t2 ) − T ( t1 ) = ∫ dT t1 ∆t = t1 − t2 időtartam alatti megváltozása. t2 W = ∫ p dt B  12 , B a pontrendszer mozgási energiájának t2 W = ∫ p K dt K  12 pedig a belső, illetve a külső erők ugyanazon idő alatt végzett munkája. A pontrendszer

mozgási energiájának megváltozása tehát egyenlő a pontrendszerre ható összes erő munkájával. Ez a pontrendszerre vonatkozó munkatétel Az energiatétel, a belső energia t1 Fi = t1 n ∑B ik + Ki i = 1,2,. n erőkhöz található egy olyan a sebességtől és az erőtől független (csak a pontok helykoordinátáitól függő), egyértékű V = V ( r1. ri rn ) = V ( x1 , y1 , z1 , xi , yi , zi , xn , yn , zn ) skaláris függvény, amelynek az i-edik tömegpont koordinátái szerint képzett negatív gradiense az Fi erővel egyenlő, azaz Fi = −∇iV (i = 1,2,3. n) akkor a pontrendszerre ható erőket k = 1, k ≠ i konzervatívaknak nevezzük. A V skaláris függvényt pedig a rendszer potenciális energiájának nevezzük. Ebben az esetben a szabaderők munkája miközben a rendszer 1-es elrendeződésből a 2-es elredezésbe megy át. n n  ∂V ∂V ∂V  K B   = W  + W  = W12 F dr ⋅ = − ∑ ∑ 12 12 ∫  i =1 i i 12∫ i

=1  ∂ xi dxi + ∂ yi dyi + ∂ zi dzi  = −12∫ dV = −(V2 − V1 ) = − ∆V 12 azaz csak a kedszer kezdő és végállapotától függ, és a potenciális energia negatív megváltozásával egyenlő. Így a munkatétel szerint T2 − T1 = − (V2 − V1 ) Minthogy a kezdeti és a végső állapotra semmiféle kikötést nem tettünk, ez azt jelenti, hogy az E teljes mechanikai energia megmarad, azaz E= T+V= const. Ez a mevhanikai energia megmaradásának tétele, vagy röviden energiatétél. Kimondja, hogy a konzervatív szabad * rendszer kinetikus és potenciális energiájának összege állandó. Ha az Fik erők centrálisak, vagyis a k-adik pont mezőjében az i-edik pontra ható erő az rik = ri − rk irányába esik és nagysága csak a két pont rik = rik távolságától függ, akkor a belső erőknek van potenciáljuk. Ha ugyanis Fik* = f ( rik ) mert −∇iVKB = − rik B B rik akkor Fik* potenciálja : Vik = Vki = − ∫ f ( rik ) drik r ∂VB

∂ V B rik ∇i rik = − ⋅ = f ( rik ) ik = Fik* rik ∂ rik ∂ rik rik B A Vik kölcsönös, vagy részpotenciálokkal megadhatjuk a rendszer teljes belső potenciális energiáját. 1 n n B VB = ∑ ∑V jl 2 j =1, j ≠ k l =1 Az 1/2 szorzó azért szükséges, mert minden pontpár kölcsönhatását csak egyszer szabad figyelembe venni (ellenkező esetben a j-edik és az l-edik pont esetében a kölcsönhatást akkor is figyelembe vennénk, amikor az j-edik pont potenciális energiáját szamítjuk, és akkor is, amikor VB az l-edik pontét). Ha az i-edik pont koordinátái szerinti gradienst képzünk, akkor csak a jl -k VB jönnek tekintetbe, amelyeknél a j= i, vagy l= i mert a többi jl -ben az i-edik pont koordinátái V B = V jiB nem szerepelnek. Mivel ij azt kapjuk. n n n n  1 1 −∇iV B = −  ∑ ∇iVijB + ∑ ∇iV jiB  = − ⋅ 2∑ ∇iVijB = − ∑ Fij* 2  j =1 2 j =1  j =1 j =1 Ha az i-edik pontra ható Fi külső erőkhöz Vi K = V ( ri

) = Vi K ( xi , yi , zi ) potenciális energia tartozik, akkor a rendszer teljes külső potenciális külső energiája. n VK = ∑Vi K i =1 Az energiatételben szereplő teljes potenciális energia: n 1 n n V = V K + V B = ∑Vi K + ∑ ∑V jlB 2 j =1 l =1, l ≠ j i =1 A pontrendszer teljes mechanikai energiája: E = T +V = TK + TB +V K +V B A teljes belső energia pedig: 1 n 1 n n E B = T B + V B = ∑ mi vi′ 2 + ∑ ∑V jlB 2 i =1 2 j =1 l =1, l ≠ j 7.EA Az ütközés két, vagy több, egymáshoz képest mozgó test igen rövid időtartamú találkozása,amelynek során intenzív kölcsönhatásba kerülő testek sebességei nagy mértékben megváltoznak. Az ütközés két lényeges részfolyamatra bontható. Az első az érintkezési pillanatban t=0 , kezdődő összenyomási (kompressziós) szakasz, amelyben a testek deformálódnak, és a szakasz végét jelző tau csillag pillanatig közelednek egymáshoz. A második τ -tól számított visszaállítási

(restitúciós) szakasz, amikor a deformáció többé-kevésbé visszafejlődik, a testek fokozatosan távolodnak, majd a teljes ütközési folyamat végét jelző tau pillanatban elválnak egymástól. Az ütközést tökéletesen rugalmatlannak nevezzük, ha a deformáció egyáltalán nem * fejlődik vissza, azaz a τ időpillanat egybeesik egybeesik az ütközés végével. Teljesen rugalmas ütközésről beszélünk, ha a teljes deformáció visszafejlődik. A valóság a két idealizált határeset között van.:részben rugalmas ütközés * Az ütközést centrálisnak nevezzük, ha az ötközési normális egybeesik a két test tömegközéppontját összekötő egyenessel, míg más esetben az ütközés excentrikus. Ha a testek sebessége az ütközés előtt az ütközési normálissan párhuzamus, akkor egyenes ütközésről, míg más esetben ferde ütközésről beszélünk. Ütközési sík Ütközési normális 1. 2. n Ha az ütköző testek mechanikailag

zárt rendszert alkotnak, akkor érvényes az impulzusmegmaradás törvénye : ütközés utáni imp=ütközés előtti imp. Ugyancsak használható akkor is, ha az ütközéskor fellépő belső erőkhöz képest a külső erők elhanyagolhatóak. A továbbiakban mechanikailag zárt rendszer esetére szorítkozunk, és pontszerű testek ütközését vizsgáljuk. Tekintsünk most két pontszerű test ütközését: v2 v1 n Nyilván v1n (0)> v2 n (0) kell, hogy legyen, egyébbként a 2es test elfut az ütközés elöl. v2 n v1n A ( 0,τ ∗) időtartamban v1n - v2 n >0, azaz a testek összenyomódnak egészen addíg, míg a normális sebességek egyenlőek nem lesznek. v1n (τ ∗ ) = v2 n (τ ∗ ) Ezután a (τ ∗ ,τ ∗ ) időtartamban az alakváltuzás többé-kevésbé visszafejlődik, a relatív sebesség iránya megváltozik v1n - v2 n <0, és a folyamat végén a normális sebességek különbségének nagysága: v2 n (τ ) − v1n (τ ) ≤ v1n ( 0) − v2 n (

0) A tapasztalat szerint az ütközési együtthatónak nevezett: v2 n (τ ) − v1n (τ ) =ε v1n ( 0) − v2 n ( 0) hányados értéke (0-1) jó közelítéssel független az ütközés előtti sebességektől, csupán a két ütköző test anyagi minőségétől függ. Tökéletesen rugalmas ütközésnél ε = 1 , rugalmatlannál ε = 0. A továbbiakban egyenes ütközésekre szorítkozunk, és feltételezzük, hogy az ütköző testek felülete sima. Ekkor az ütközési erő is normális irányú és a sebességek az ütközés után is párhuzamosak lesznek az ütközési normálissal Jelölések: v1 = v1n ( 0) , v2 = v2 n ( 0) , u1 = v1n (τ ) , u2 = v2 n (τ ) Az ütközést a legegyszerűbben a TKVR-ben írhatjuk le. A fizikai mennyiségeknek ebben a rendszerben felvett értékét vesszővel jelöljük. Az impulzusmegmaradás értelmében az impulzus tömegközépponti VR-ben mindíg zérus. (1) p′ = m1v1, + m2 v2′ = 0 A rendszer alap inerciarendszerbeli impulzusa az

ütközés előtt: p = m1v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 ) vc ahonnan a tömegközépponti sebességre vc = µ 1v1 + µ 2 v2 adódik, ahol m1 µ 1= m1 + m2 , µ 2= m2 m1 + m2 , (µ 1+ µ 2 = 1) az ún. relatív tömegek Az ütközés előtti és utáni sebességek az alap IR-ben. v1 = vc + v1′ , v2 = vc + v2′ , u1 = vc + u1′ , u2 = vc + u2′ Az u2 − u1 = ε (v1 − v2 ) összefüggésből így ( 2) u2′ − u1′ = ε (v1 − v2 ) adódik. Az (1) , (2) egyenletrendszert megoldva megkapjuk a tömegközépponti VR-beli ütközés utáni sebességeket. u2′ = −ε µ ( v2 − v1 ) , ( 3) u1′ = −ε µ 2 ( v1 − v2 ) Tehát alapinerciarendszerben: u1 = vc + u1′ = v 1( µ 1− ε µ 2 ) + v2 (1 + ε ) µ 2 u2 = vc + u2′ = v2 ( µ 2 − ε µ 1) + v1 (1 + ε ) µ 1 Ezekből epszilon=1 esetén a tökéletesen rugalmas, epszilon=0 esetén a tökéletesen rugalmatlan ütközésre vonatkozó összefüggések adódnak. Teljesen rugalmatlan esetben a t este sebessége ütközés

után azonos lesz. u1 = u2 = µ 1v1 + µ 2 v2 Az ütközésekben a mechanikai energia többé-kevésbé belső energiává alakul át. A kinetikus energia megváltozásának nagysága: 1 1 1 1 ∆T = m1v1′ 2 + m2 v2′ 2 − m1u1′ 2 − m2 u2′ 2 2 2 2 2 Ez az energia jelenik meg a belső energia formájában az ütközés végén. v1′ = v1 − vc = v1 − ( µ 1v1 + µ 2 v2 ) = µ 2 ( v1 − v2 ) A v2′ = v2 − vc = v2 − ( µ 1v1 + µ 2 v2 ) = µ 1( v2 − v1 ) összefüggések és (3) felhasználásával kapjuk, hogy: mm 1 µ= 1 2 µ (1 − ε 2 )( v1 − v2 ) 2 m1 + m2 tömegdimenziójú mennyiséget a két 2 ahol a tömegpontból álló rendszer redukált tömegének nevezzük. Rugalmas ütközéskor tehát a ∆T = rendszer kinetikus energiája megmarad. A legnagyobb energiaveszteség rugalmatlan ütközéskor lép fel. Rakéták A rakétát a magával vitt tüzelőanyag elégetésével keletkező forró gázok nagy sebességű kiáramlásakor fellépő reakcióerő

hajtja előre. A tüzelőanyag elégetéséhez szükséges oxigént a rakéta magával viszi, ezért légüres térben is működik. A rakéta tehát sugárhajtású, meghajtásában a környező közegtől független repülőeszköz. Ha a rakétát és a gázsugár alakjában kiáramló tömeget pontrendszernek tekintjük, akkor tömegpontrendszerek impulzustétele alapján könnyen felírhatjuk a rakéta mozgásegyenletét. Ha a t v (t ) v ( t + ∆t ) időpillanatban a rakéta tömege az üzemanyaggal m(t) együtt m(t) sebessége az IR-ben v (t ) ,akkor a rakéta u′ m( t + ∆t ) κ -beli impulzusa: κ −∆m p ( t ) = m( t ) v ( t ) = ( mv ) t (1) Feltételezésünk szerint a gáz u ′ sebességgel áramlik ki a rakéta fúvókáiból. Tehát a gáz Kbeli sebessége: u = v + u′ A rakétából és a delta t időtartam alatt kilövellt −∆m tömegű gázból álló rendszer impulzusa a t + ∆t időpillanatban. p ( t + ∆t ) = m( t + ∆t ) v ( t + ∆t ) − ∆mu = ( mv

) t + ∆t − ∆mv1 ( 2) Ahol v a gáz sebességének a ∆t időtartamra számított átlagértéke. Képezzük (2) és az (1) egyenlet különbségét, osszuk el a kapott egyenlet mindkét oldalát ∆t -vel, majd vegyük e különbségi hányados határértékét. ( mv ) t + ∆t − ( mv ) t p ( t + ∆t ) − p ( t )  ∆m  lim = lim − lim  v ∆t 0 ∆ t 0 ∆ t 0  ∆t  ∆t ∆t Ez az egyenlet, figyelembe véve, hogy lim u = v ( t ) , u = v + v ′ ∆t 0 a dp dv dm = m − u′ dt dt dt alakba írható. Minthogy a pontrendszerre vonatkozó impulzustétel szerint a pontrendszer impulzusának idő szerinti első deriváltja=a pontrendszerre ható külső erők összegével, azaz: dv dm dp m = u′ +κ =κ dt dt a rakéta mozgásegyenlete: dt Itt a r akétára ható κ külső erő (rendszerint a gravitációs erő és a légellenállás eredője), az időegység alatt kilövellt µ = −dm / dt tömeg és az u ′ kiáramlási sebesség általában

adott u′ dm dt mennyiségeknek, ill. függvényeknek tekinthetők Az mennyiséget a rakétahajtómű tolóerejének nevezzük. A tolóerő tehát arányos a rakéta időegységre eső tömegveszteségével és a tömeg rakétához viszonyított kiáramlási sebességével. A következőkben egyenes vonalú mozgásra szorítkozunk, és feltesszük, hogy a kiáramló gáznak a rakétához viszonyított sebessége állandó. Foglakozzunk egyenlőre azzal az esettel, amikor a külső erőktől eltekintünk. Ha a κ a koordináta-rendszerünk x tengelye a r akéta sebességének irányába mutat, akkor a rakéta sebessége v = vi a gáz kiáramlási sebessége pedig u ′ = − u ′i . Így a rakétaegyenlet az dv dm m = − u′ dt dt alakot ölti. Ha feltesszük, hogy a rakéta az indulásnál (t=0) nyugalomban van v(0)=0, és m(0)=m 0 tömegű, akkor v(t ) m( t ) dm ∫0 dv = −u′ m∫ m 0 aza m v ( t ) = u′ ln 0 ( 4) m( t ) m vmax = u′ ln 0 mv , ahol az m a

rakéta A rakéta elméletileg elérhető legnagyobb sebessége v végpontbeli tömege. A rakéta végsebessége tehát lineárisan nő az u kiáramlási sebességgel, logarimikusan az m0 / mv tömegaránnyal és nem függ a tömegkidobás időbeli lefolyásától. A (4) egyenlet a rakétamozgás Ciolkovszkij-féle egyenletének nevezzük. Tanulmányozzuk most egy olyan rakéta mozgását, amely homogén nehézségi erőtérben függőlegesen felfelé mozog. Ha a koordináta-rendszer z tengelyét függőlegesen felfelé irányulónak választjuk, akkor κ = − mgk v = vk u ′ = − u′ k dv dm dv d (ln m) m = − mg − u ′ = − g − u′ dt ami a dt dt tehát a rakéta mozgásegyenlete: dt alakba írható. Innen integrálással azt kapjuk, hogy a rakéta sebessége: m v ( t ) = − gt + u′ ln 0 (5) mt Az elérhető maximális sebességet úgy kapjuk, hogy t helyére a t eljes üzemanyag t v elégetési idejét m(t) helyére pedig az üzemanyag nélküli m v rakétatömeget

helyettesítjük. m vmax = − gtv + u , ln o mv v max annál nagyobb, minél kisebb az elégetési idő, minél nagyobb au u sebesség és az m 0 /m v tömegarány. Ha feltételezzük, hogy µ = −dm / dt is állandó, és így m( t ) = mo − µ t , akkor (5) szerint a 0 ≤ t ≤ ( mo − mv ) / µ időtartamban. m0 v ( t ) = − gt + u′ ln m0 − µ t így az emelkedési magasság. 1 u′m0  µ   µ  µ  z ( t ) = − gt 2 + t  ln 1 − t + t  1 − 2 µ  m0   m0  m0  A tv = (m0 − mv ) / µ égési időnek megfelelő z(t v ) magasságtól a rakéta úgy viselkedik, mont a v max kezdősebességgel függőlegesen felfelé hajított test. Így könnyen kiszámolható az a maximális magasság, amelyet a rakéta elérhet. Mivel műszaki okok miatt a u relatív sebesség és az m 0 /m v tömegarány, növelése korlátozott, a rakéta maximális sebessége és az elérhető legnagyobb magasság is csak bizonyos határokig

növelhető. A nagyob sebességek és magasságok eléréséhez többlépcsős rakétákat alkalmaznak. Ezek több egymásra épített, felfelé lényegesen csökkenő tömegű rakétából állnak. Először a legnagyobb rakétát üzemeltetik, amikor annak üzemanyaga elfogyott, az első lépcső leválik, és működésbe lép a második rakéta. Ennek kezdeti sebessége az első fokozattal elért v 1max sebesség. Üzemanyagának elégése után ez is leválik, és beindul a harmadik rakéta v 2max kezdeti sebességgel, amely a k iégés után szintén leesik, és így tovább. Többlépcsős rakétával sikerült olyan sebességeket elérni, amelyek a m esterséges égitestek felbocsátásához szükségesek. Ha az egyes fokozatok tömegét az üzemanyaggal együtt m i -vel, a k iégés utáni tömeget m iv -vel jelöljük, továbbá, ha u minden lépcsőre ugyanakkora, akkor egy háromfokozatú rakétával erőmentes térbe elérhető legnagyobb sebesség.  m + m2 + m3 m2

+ m3 m3  v3 max = u′ ln 1 ⋅ ⋅   m1v + m2 + m3 m2 v + m3 m3v  A zárójelben álló mennyiséget a háromfokozatú rakéta effektív tömegarányának nevezzük. Merev test Az olyan testet, melynek pontjai egymáshoz való távolságukat minten körülmény között megtartják. Elemi mozgásai: forgó : haladó Haladó mozgás: (transzlációs) A merev test minden pontjának nagysága és iránya azonos a sebességgel. Forgó mozgás: (rotáció) -ról beszélünk, ha van a m erev testben egy egyenes (forgástengely), ami pillanatnyilag nyugalomban van. A test tetszőleges p pályasebessége v = ρ ω , ahol a ρ a pont tengelytől mért távolsága, ω pedig a szögsebesség. A sebesség iránya merőleges a ZP tengelyre. Csavarmozgás: A haladó és a forgó mozgás szuperpozíciója. ef Z v=ωρ v Merev test síkforgása: Olyan forgó mozgás, melynek során a forgástengely nem fordul el az e adott VR-ben, az ( f időben állandó). A test bármely

pontjának pályája síkgörbe, amely a tengelyre merőleges síkban fekszik. Pl kerék csúszás nélkül gördül le a lejtőn A forgástengely az az alkotó, amely a talajjal érintkezik, azaz a forgástengely a testben vándorol, és persze az IR-ben is. Az IR-ben egyetlen körpályán mozgó pont nincs, mind ciklois. Síkforgást végző test kinetikus energiája: Láttuk, hogy az IR-beli és a tömegponti VR-beli kinetikus energia (T) a következő kapcsolatban áll: 1 T = T ′ + mv02 2 c-tömegközépponti tengely Tömegközépponti tengely: A tömegközépponton átmenő, forgástengellyel egyirányú tengely. A tömegközépponti VR-ben C áll, f-forgástengely ρ′ d Cx merev test egy pontja A tömegközépponti VR-beli pályasebesség: v′ = ρ′ ω ω2 ω2 1 2 2 v dm ρ dm ρ ′ 2 ρ sdV = = ′ ′ 2∫ 2 ∫ 2 V∫ ρ s sűrűség T′ = Az integrálok a merev test teljes térfogatára terjed ki. Tengelyre vett (axiális) tehetetlenségi nyomaték: Az m

tömegű pontnak az a tengelyre vett tehetelenségi nyomatéka, a pont tömegének és a tengelytől mért távolság négyzetének szorzatát értjük. Additív mennyiség ρ ′ 2 dm = I c ∫ az egész merev test T nyomatéka a tömegközépponti tengelyre. Így 2 ω 1 1 1 T′ = ρ ′ 2 dm = I cω 2 , T = I cω 2 + mvc2 ∫ 2 2 2 2 Síkforgást végző merev test perdülete: dm-nek az O pontra számított perdülete eϕ dL0 = r × vdm A Z tengelyre számított perdület az ez v ρ eρ Z d O pontra számított perdület Z koordinátája (skalármennyiség) dLz = ez dL0 = ez ( r × v ) dm A vegyesszorzatot megadó determinánst hengerkoordinátákban írjuk fel. r O 0 ez ⋅ ( r × v ) = ρ vρ 0 0 vϕ 1 z = ρ vϕ ⇒ dLz = ρ vϕ dm vz A merev test forgástengelyére vett perdület. Ha Z forgástengely, akkor vρ = vz = 0 , vϕ = ρω L f = ∫ ρ vϕ dm = ∫ ρ 2ωdm = ω ∫ ρ 2 dm = I f ω I=J tehetetlenségi nyomaték Tömegközépponti tengelyre vett nyomaték:

ϕ C S Cx ρ′ d ρ ρ = Fs + ρ ′ Lc = ∫ ρ ′vϕ dm = ∫ ρ ′ ρω cosγ dm = ω ∫ ρ ′ ρdm = ω ∫ ρ ′ ρ ′dm + ω ∫ ρ ′Fsdm =ω ∫ ρ ′ 2 dm + ωFs ∫ ρ ′dm ⇒ Lc = J cω 0-a tömegközépponti rendszer definíciója miatt 8.EA A tömegközépponti tengelyre (c) vett és egy vele párhuzamos másik tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték közötti kapcsolat: Olyan koordináta c y a x rendszert veszünk fel, amelynek z tengelye párhuzamos a c és az a ρ′ tengellyel. y ρ l A C C A l x J c = ∫ ρ 12 dm = ∫ ( x 2 + y 2 )dm [ ] ( l2 m ) J a = ∫ ρ 2 dm = ∫ ( x − l ) + y 2 dm = ∫ − x 2 + y 2 dm − 2l ∫ xdm + ∫ l 2 dm 2 Jc 0,mert ∫ ρdm = 0 ∫ xdm = 0 / ⋅r J a = J c + ml 2 (Steiner tétel) Az összes párhutózamos tengely körül a tömegközépponti tengelyre a legkisebb a tehetetlenségi nyomaték. Perdülettétel síkforgást végző merev testre: A pontrendszerre vonatkozó

perdülettétel: L A = M A − mv A × vc L = M A / ⋅e f 1, Az A pont a forgástengelyen van: v = 0 . Ekkor A és vesszük az L f = LA ⋅ e f , M f = M A ⋅ e f jelöléseket. dL f dLA de f = ⋅ e f + LA ⋅ dt dt dt 0, mert síkforgásról van szó A dL f d = M f ⇒ ( J Aω ) = M f dt dt Rögzített tengely körüli forgás esetén J f állandó, mert a test merevsége miatt a pontok forgástengelytől mért távolsága nem változik. J Aω = M f , J f β = M f , β = ω a szöggyorsulás 2, Az A pont egybeesik a test tömegközéppontjával és v A = vc Ekkor: Lc = M c / ⋅e f és vezessük be az Lc = Lc ⋅ e f , M c = M c ⋅ e f jelöléseket dLc d = M c ⇒ ( J cω ) = M c dt dt Mivel a merev testben a tömegközéppont helye nem változhat és síkforgásról lévén szó, a tömegközépponti tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték állandó. Így : J c ⋅ ω = M c , Jcβ = Mc , β = ω a szöggyorsulás. Hőtan (A va der Waals

kölcsönhatás) Kohézió: Azonos alkotórészekből (molekulákból) felépülő testek alkotórészei között kölcsönhatás ( A kohéziós erők tartják össze a szilárd testeket és a folyadékokat). Addhézió: Különböző molekulák közötti kölcsönhatás. Pl: kapillárisban a víz " felmászik" A van der Waals erők: A lezárt elektronhéjakkal jellemzett molekulák között működő erők. Kis távolságokon taszító, nagyobb távolságokon vonzó jellegűek. (Pl rúd összenyomásakor egyre nagyobb erő kell, mert összenyomáskor a részecskék egyensúlyi távolságuknál közelebb kerülnek, és taszítják egymást. r er Fr F Húzásnál a részecskék egyensúlyi távolságuknál távolabb kerülnek, ezért vonzzák egymást. A van der Waals erők centrálisak. Ha Fr = F ⋅ er > 0 akkor az erőt taszítónak, molekula Fr = F ⋅ er < 0 akkor vonzónak nevezzük. r0 r Azt a távolságot amelyen belül a van der Waals -kölcsönhatás

még fellép, a VDW-kölcsönhatás hatótávolságának nevezzük. Nagyságrendje 10-8 mm két nagyságrenddel nagyobb a molekula méreténél. dV Fr = − . dV = − Fr dr dr , megállapodás szerint a V DW-energiát a v égtelenben vesszük zérusnak. ∞ r0 ; dr < 0 , Fr < 0 ⇒ dV < 0 r0 0 ; dr < 0 , Fr > 0 ⇒ dV > 0 Az egyensúlyi helyzetet a helyzeti energia minimuma jellemzi ( a VDW-energia akkor >0, ha a két részecske nagyon közel van egymáshoz, ami technikailag kivitelezhetetlen) . Láttuk, hogy egy pontrendszer kinetikus energiája 1 T = mvc2 + T ′ 2 azaz a r endezett mozgás kinetikus energiájának és a rendezetlen ( mozgás ) kinetikus energiájának összege. Pl Ha egy gázpalackot viszünk, akkor az első tag azzal kapcsolatos, hogy (gázpalack+gáz) mozog az IR-hez képest, míg a m ásodik tag azzal függ össze, hogy a gázmolekulák mozognak a tömegközépponti VR-hez (a gázpalackhoz) képest. Belső energia: A belső energia

magába foglalja a sokelemű anyaghalmaz rendezetlen mozgásához tartozó kinetikus energiát, és a molekulák közötti VDW-kölcsönhatáshoz tartozó potenciális energiát is. A rendezett mozgás kinetikus energiája és a külső mezőkkel való kölcsönhatásból származó energia nem tartozik a belső energiához. A kinetikus gázelmélet elemei: A kinetikus gázelmélet a gázok makroszkópikus termodinamikai tulajdonságait a molekulák mozgásából a nagy számú részecskére vonatkozó elemi statisztikai megoldásokkal vezeti le. A statisztikus módszer használatát az teszi lehetővé, hogy a makroszkópikus rendszer elemeinek folytonos kölcsönhatásai révén a folyamatosan váltózó mikrofizikai jellemzők statisztikus törvényeket követve kiátlagolódnak, és átlaguk meghatározza a makroszkópikus paraméterek mérhető értékét. Határozzuk meg először egy diszkrét ( nem folytonos ) értékkészletű fizikai mennyiség átlagértékét. Legyen az

X fizikai mennyiség megengedett diszkrét értéksorozata X i (i=1,2,n), és jelőlje N i (i= 1,2,.n) a rendszer azon részecskéinek a számát amelyekre a szóban forgó n N = ∑ Ni i =1 a rendszer összes részecskéinek a fizikai mennyiség értéke X i , továbbá legyen száma. Ekkor a X fizikai mennyiség <x> átlagértéke ( halmazátlaga) n < x >= ∑ X i Ni i =1 n ∑N n = ∑X N i i i =1 N i i =1 Ha X folytonos értékkészletű mennyiség, akkor úgy járhatunk el hogy X lehetséges értéktartományát felosztjuk elegendően kicsiny intervallumokra, amelyeken belül X értékét állandónak tekintjük. A fenti képlet mintájára így: n < x >= ∑ X ∆N i i =1 n ∑ ∆N i ∑ = n i =1 X i ∆N i N i i =1 Ahol ∆N i azon részecskék száma, amelyekre X értéke az X i , X i + ∆X i által meghatározott intervallumba esik. Ha az intervallumokra való osztást minden határon túl finomítjuk, akkor az átlagérték

nyílvánvalóan: ∫ xdN = ∫ xdN < x >= N ∫ dN A kinetikus gázelmélet alapfeltevései: 1, A gáz molekulái egyformák, és pontszerűek. ( a gáz tehát egynemű, és a molekulák saját térfogata jóval kisebb, mint az edény térfogatának egy molekulára jutó része. 2, A gáz elég ritka, így a r endszert alkotó tömegpontok kizárólag tökéletesen rugalmasnak tekinthető, ütközéseik során hatnak kölcsön egymásra és az edény falával, továbbá a molekulák egymással sokkal ritkábban ütköznek, mint az edény falával. A molekuláris kölcsönhatások rövid hatótávolságából következik, hogy elég kis sűrűségű gázban a molekulák közötti kölcsönhatás átlagos energiája a kinetikus energiákhoz képest elhanyagolható, így a gáz belső energiájához ne járul hozzá. Azt hogy a molekuláris ütközések rugalmasak, a molekulák haladó mozgásának átlagos kinetikus energiája nem csökken, az bizonyítja, hogy a Braun-mozgás

élénksége időben nem változik. 3, A részecskék mozgása egymástól független és véletlenszerű. Ha nincs külső erőtér, akkor mivel nincs kitüntetett irány, ebből a feltevésből következik, hogy a rendszert alkotó részecskék minden mozgási iránya egyformán valószínű. 4, A részecskék N száma a vizsgált V térfogatban elegendően nagy ahhoz, hogy statisztikus módszereket alkalmazzunk. Ezek a feltevések igen primitív gázmodellt körvonalaznak Ezért is meglepő, hogy a kinetikus gázelmélet keretében levezetett összefüggések jól egyeznek a statisztikus fizika eredményeivel. A gáz nyomásának mikrofizikai értelmezése: A nyomása a molekuláris ütközések eredménye. A nyomás a gázt alkotó részecskék összességének a fallal való ütközései során a falnak időegység alatt átadott impulzust ( ez a falra ható erő ) és a fal felületének hányadosa adja. A kinetikus gázelmélet alapfeltevéseit kihasználva megadhatjuk a mozgás

mikrofizikai jelentését. Tekintsük egy olyan hengeres gáztartályt, amelynek alapterülete A, hossza l, és vegyük fel KR-ünk x tengelyét a tartály alaplapjára merőlegesen v Az ábrán egy részecskének a fallal való ütközését is szemléltettük. Minthogy az ütközés teljesen rugalmas, (2) és a fal tömege vagy a -cx irányú sebességkoordinátáival érkező m0 tömegű molekula c x irányú sebességgel pattan vissza a falról, azaz egy molekula impulzusváltozása az ütközéskor: c c = vx v A c x m0 l ∆px = m0c − m0 ( − c) = 2m0c Feltettük, hogy a molekulák egymással történő ütközése elhanyagolhatóan ritka a fallal való ütközéshez képest (2), így az az idő, amely alatt a molekula x koordinátája és v x sebességkoordinátája is visszaáll az eredeti értékre. 2l ∆t = c E∆t időközben minden c sebességű molekula pontosan egyszer ütközik a bal oldali fallal. Legyen υ (c) azon molekulák száma a t artályban,

amelyek sebessége olyan, hogy vx ≤ c Nyílván, ha c ∞ , akkor ν N c c + dc vx <---- sebességcella A (c,c+dc) intervallumot sebességcellának nevezzük. A jelzett sebességcellába eső molekulák száma: ν ′ ( c) ν (c + dc) − ν ( c) = ν ( c) + ν ′ ( c) dc + ( dc) 2 +.−ν ( c) 2 Mivel a sebességcella kicsi: lineáris közelítéssel beérjük: dν = ν ′( c) dc A kijelölt sebességcellában lévő molekulák a ∆t időtartam alatt 2m0cdν impulzusváltozást szenvednek. Az arő axióma értelmében ezt az impulzusváltozást elosztva az idővel, amely alatt létrejött, megkapjuk azt az erőt, amelyet a sebességcellában lévő molekulák gyakorolnak a falra. 2m0cdν 2m0cdν m0c2 dν dF = = = ∆t 2l / c l Az A felületű falra ható teljes erőt úgy számítjuk ki, hogy az egyes sebességcellákhoz tartozó részerőket összegezzük, vagyis dF-et c szerint 0-tól végtelenig integráljuk. ∞ ∞ m0 2 m0 2 F= c dν = c ν ′ ( c) dc l ∫0 l

∫0 A falra kifejtett nyomás: F N p = = m0 < c2 > A V hiszen A*l=V és az x irányú sebesség négyzetének halmazátlaga. ∞ < c2 >= ∞ 1 2 1 c dν = ∫ c2ν ′ ( c) dc ∫ N 0 N 0 Figyelembe véve, hogy az x irányú mozgáshoz tartozó átlagos kinetikus energia, továbbá nem 1 < ε x >= m0 < c2 > 2 rendezetlensége miatt a részecskék minden feledve, hogy a mozgás teljes iránya egyformán valószínű (harmadik feltevés), tehát az x,y,z irányú mozgás energiája < ε x >=< ε y >=< ε z > átlagban egyenlő, azaz és így az egy molekulára jutó mozgási energia 2N p= <ε > < ε >=< ε x > + < ε y > + < ε z >= 3 < ε ∞ > 3V a nyomásra a képlet adódik. A nyomás tehát annál nagyobb, minél több részecske van az adott térfogatban és minél nagyobb az egy részecskére átlagosan jutó mozgási energia. A belső energia: A vizsgált V térfogatban N számú részecske van,

így a rendszer belső energiája ( 2. pont) 3 pV 3 E = N < ε >= N = pV 2 N 2 Állapotjelzők: A sokelemű anyaghalmaz állapotának leírására alkalmas, makrofizikai műszerekkel mérhető mennyiségek. Az állapotjelzők függvényei szintén állapotjelzők Azaz az állapotjelzők viselkedésük szerint két csoportra oszthatók. 1, extenzív mennyiségek (szubsztanciák) 2, intenzív mennyiségek (intenzitás paraméterek) Az osztályozás bevezetése céljából osszuk a sokelemű anyaghalmazt (rendszert) j makroszkópikus részre. Nyílvánvaló, hogy a rendszer teljes térfogata egyenlő az egyes V = ∑V ( j ) rendszerek V(j) térfogatainak összegével : . Azokat a m ennyiségeket, amelyek a rendszer részrendszerekre való felosztásakor a térfogathoz hasonlóan viselkednek, extenzív mennyiségeknek nevezzük. (Pl térfogat, tömeg, impulzus, belső energia, töltés) Az extenzív mennyiségek geometriai tartományon vannak értelmezve, tehát nem pontra, hanem

térfogatra additívak. Egy rendszer akkor homogén, ha bármely részekre osztás esetén bármely Y extenzív ( j) ( j) mennyiségre Y / V = Y / V . A homogén testeknek vannak olyan tulajdonságaik, amelyeknek értéke a r észre és az egészre ugyanaz. Ezek az intenzív mennyiségek Intenzív mennyiségek Pl. homogén rendszerekben az extenzív mennyiségek sűrűségei (~ y = Y / V ) a fajlagos extenzív mennyiségek (Y/M) és a moláris extenzív mennyiségek, (Y/n). Az Y extenzív mennyiség lokális sűrűsége az r pontban akkor létezik, ha az r pontot körülfogó, egyre csökkenő, de mindvégig elegendően sok mikrorészecskét tartalmaz V(j) ~ ( j) ( j) térfogatelemekre az Y / V hányados meghatározott y ( r , t ) határértékhez tart. Az intenzív mennyiségek pontról-pontra értelmezhetők (Pl. nyomás, sűrűség, hőmérséklet) Az intenzívek kiegyenlítődnek. Termikus egyensúly: Az intenzitásparaméterek nem homogén eloszlása megindítja az extenzív

mennyiségek áramlását (transzportját) és a t ranszport akkor áll le, ha az intenzív mennyiségek a testbe kiegyenlítődtek, vagyis homogénné vált az eloszlásuk. Ekkor beszélünk termikus egyensúlyról A hőtan I. főtétele: A sokelemű anyaghalmaz környezete a vi lágnak ezen anyaghalmazon kívüli része. Az energiamegmaradás elvénak értelmében a sokelemű anyaghalmaz energiaváltozásának ellentettje egyenlő környezetének energiaváltozásával. Energiaközlés lehetséges: - rendezett mozgás révén, azaz munkavégzéssel W, (makroszkópikus) Pl. a dugattyút lenyomjuk. - rendezettlen mozgás révén, azaz hőközléssel Pl. tartályt melegítjük A hőközlés útján átadott energiát hőnek nevezzük. Jele: Q Az első főtétel integrálos alakja: ∆E = Q + W A sokelemű anyaghalmaz (rendszer) energiájának megváltozása egyenlő a környezet által a halmazzal közölt hö és a környezet által a halmazon végzett munka összegével. (Q

pozitív, ha a rendszer nyer, a környezet veszít) A hőtanban többnyire az olyan folyamatokat vizsgáljuk, amelyben a halmaz energiái közül csak a belső energia változik. Ilyenkor tehát a ∆E − n a belső energia változását értjük Kvázisztatikus folyamat: Egymáshoz igen közeli egyensúlyi állapotokon át végbemenő állapotváltozás. Következésképp ezek a folyamatok igen lassúak. A kvázisztatikus térfogati munka. F=pA a dugattyú által kifejtett erő. A P A kicsiny kvázisztatikus állapotváltozás végén a környezet a gázon: δ W = Fds = pAds = − pdV munkát végez. F=pA Ads = − dV ds A gáz munkája a környezetre: δ W = −δ W = pdV ( az erők ellentétes irányúak). Mind a gáz, mind pedig a környezet munkát végez, de az egyik pozitívat, a másik negatívat. Integrálással: P b V2   = − p(V ) dV W12 ∫  = W12 ′ V1 V2 ∫ p(V )dV V1 1 2 a V   A munkavégzés és a hő nem pusztán W12′ (b) >

W12′ ( a ) a kezdő és a végállapottól függ, hanem a kezdeti állapotból a végállapotba vezető változás módjától is. Ezek a mennyiségek a folyamatjelzők. a folyamatjelzők nem tekinthetők valamilyen állapotjelző megváltozásának!!! A δ W elemi munka ( δ Q elemi közölt hő) nem teljes differenciál : nincs olyan csak a p nyomástól és a V térfogattól függő függvény, amelynek az elemi munka (elemi közölt hő) teljes differenciálja lesz. Az első főtétel elemi folyamatra: dE = δ Q + δ W Az energia linearizált megváltozása teljes diiff iál Elemi munka NEM munkaváltozás, NEM teljes differenciál Elemi közölt hő NEM HŐVÁLTOZÁS, NEM teljes differenciál 9.EA A Boltzmann statisztika: Amikor a sokelemű anyaghalmazt az állapotjelzőkkel írjuk le, akkor makroállapotot adunk meg. A sokelemű anyaghalmaz részletes, elemről elemre leírt, egyenlően valószínű állapotait mikroeloszlásnak nevezzük. Egy makroállapothoz nagyon sok

mikroeloszlás tartozik, és a makroállapot egyik fizikai jellemzője, hogy hány mikroeloszlás valósítható meg. Egy makroállapot statisztikus súlyán, vagy termodinamikai valószínűségén a hozzá tartozó mikroeloszlások számát értjük. Y A Boltzmann statisztika alapfeltevései: Térfogatcella: a geometriai térnek az alábbi képletekkel leírt intervalluma. (x , x+dx) (y , y+dy) dV=dxdydz dV: térfogat (z , z+dz) z Impulzuscella: a vázolt impulzuscella az impulzustér dy Pz geometriai tér dz ( px , px + dpx ) (p , p dpy y dpz dx y + dpy ) ( pz , pz + dpz ) dV = dpx dpy dpz dpx x y Px Py Az impulzuscella térfogata Egy halmazelem mechanikai állapotát úgy adjuk meg, hogy megadjuk melyik térfogat ill. melyik impulzuscellában foglal helyet. A leírás annál pontosabb, minél kisebbek a cellaméretek. Fázistér: Az a 6 dimenziós tér, amelyek koordinátái: x,y,z,Px,Py,Pz Fáziscella: A fázistér egy kicsiny intervalluma, amelyet az (x , x

+ dx) ( y , y + dy) (z, z + dz) Alapfeltevések: I. Az anyaghalmaz elemi egymástól A fáziscella térfogata megkülönböztethetők(minden egyes molekula más sorszámot visel) II. A fáziscella méretei tetszés szerinti kicsinyre választhatók. ( px , px + dpx ) III. Egy fáziscellába tetszőleges számú halmazelem lehet p y , p y + dp y ( dΩ = dVdU ) ( pz , pz + dpz ) Lássunk egy páldát: A halmazelem száma: N A fáziscellák száma: n n ∑N i =N A betöltési számok: N i (i=1,.n) A betöltési szám megadja, hogy az i-edik cellába hány halmazelem foglal helyet. A makroállapotot a betöltési számok egyértelműen meghatározzák. Példánkban legyen N=9 , n=3 , Valójában N,n óriási számok i =1 N1 ( 9 , N2 0 N3 , 0 ) ( 2 , 3 , 4 ) ( 3 3 , , két mikroeloszlás az adott makroállapotra. 3) A makroállapot statisztikus súlya a hozzá tartozó mikroeloszlások száma. Y (9,0,0)=1  9  6 9! 6! 9! Y(2,3,4) =     =

⋅ = = 1680  3  3 (9 − 3)! 3! (6 − 3)! 3! 3! 3! 3! N! Y( Ni ) = N 1 ! N 2 !. N n ! Szabály: az állapotok közül a legrendezettebb : 1. a legredezetlenebb: 3. A statisztikus súly a makroállapot rendezetlenségének mértéke. ( minél nagyobb a rendezetlenség, annál nagyobb a statisztikus súly) A statisztikus súly, bár tartományokban értelmezett, de nem additív, hanem multiplikatív (összeszorzódó) mennyiség, következésképp sem az extenzí, sem az intenzív állapotjelzők közé nem sorolható. Legyen A és B sokelemű anyaghalmaz egy bizonyos makroállapotban. Az A halmaz ezen állapotához tartozó statisztikus súly legyen Y A , a B halmazé pedig Y B . Az A+B egyesített halmaz statisztikus súlya Y A+B =Y A *Y B , mert az egyesített halmaz egy mikroeloszlását úgy kapjuk, hogy az A halmaz valamely mikroeloszlásához kiválasztjuk a B halmaz egy tetszőleges mikroeloszlását. Így k ln YA+ B = k ln YA + k ln YB A statisztikus súly

logaritmusával arányos mennyiség már extenzív állapotjelző, mert az követi az additivitás törvényét. Ezért a r endezettlenség mértékéül az S = k ln Y mennyiséget választjuk, és ezt entrópiának nevezzük. k csak pozitív állandó lehet (Egyenlőre határozatlan, neve a Boltzmann-álladó) Az első főtétel: (energiatétél) a t ermikus folyamatok leírásához nyilván kevés, szükséges egy olyan további elv, amely kijelöli a természeti folyamatok irányát. Tekintsük az alábbi kísérletet: légüres tér brómgőz hőszigetelt 1. állapot rendezettebb 2.állapot rendezettlenebb Br: szobahőmérsékleten folyékony, könnyen párolgó, vörösbarna, mérgező nemfémes halogén gáz. (kétatomos molekulákból áll) Ha most eltávolítjuk a hőszigetelést és a baloldali tartályt lehűtjük, a jobb oldalit pedig felmelegítjük, akkor a brómgőz a bal oldalon megsűrűsödik, jobb oldalon pedig megritkul, vagyis a halmaz rendezettebbé

válik, az entrópia csökken. Következésképp az entrópianövekedés törvénye, csak a hőszigetelt rendszerre mondható ki. II. A hőtan főtétele: Hőszigetelt sokelemű anyaghalmazban kizárólag olyan folyamat mehet végbe, amelynek során a halmaz rendezetlenebbé válik, vagyis entrópiája nő. Ha az entrópia elérte a maximumát, akkor a folyamat lezárul, beáll a termikus egyensúly. A hőmérséklet: Sokelemű anyaghalmazok termikus párkölcsönhatását vizsgáljuk. hőszigetelő merev fal dE R R Ahhoz aa halmazhoz akarjuk a magasabb hőmérséklet értéket rendelni amely a párkölcsönhatásban energiát ad le. T>T 1/T>1/T hővezető merev fal A hőtan két főtételét alkalmazzuk az energia átadási folyamatra. I. főtétel: dE+dE=0 (mert az egész rendszer a környezettől se munkát se hőt nem kap) II. főtétel: dS+dS>0 (mert a rendszer hőszigetelt) Az entrópiát E és V függvényében adjuk 0  ∂S  ∂S  S = S ( E ,V ) ⇒

dS =   dE +   dV  ∂ E V  ∂V  E meg mert a térfogat nem változhat. 0   ∂ S   ∂ S S = S ( E ,V ) ⇒ dS =   dE +  dV  ∂ E  V  ∂V  E ∂S  ∂ S    dE +   dE > 0  ∂ E V  ∂ E  V dE = −dE dE > 0 ∂S  ∂ S   >    ∂ E V  ∂ E  V ∂S    ∂ E V A mennyiséget fogjuk reciprok hőmérsékletnek tekinteni, mert ez arra a rendszerre nagyobb, amelyik energiát vesz fel a párkölcsönhatáskor. Hőmérséklet: megadja, hogy állandó térfogaton egységnyi entrópiaváltozáshoz mekkora energiaváltozás szükséges. ∂ E T =   ∂ S V Zárt halmaz egyensúlyi eloszlása (Boltzmann-eloszlás). Célunk, hogy a termidinamika főtételeiből kiindulva meghatározzuk a részecskék energiaeloszlását. A rendszer zárt, azaz vele a környezet sem hőt nem közöl, rajta munkát

nem végez, így az I. főtétel értelmében a belső energiája állandó E=állandó -------dE=0 Mivel a rendszer zárt, a II. főtétel szerint dS>0 Az egyensúlyt az entrópia maximuma jelöli ki, vagyis egyensúlyban: dS=0 A rendszer zárt, így a részecskék száma állandó: N=állandó-----dN=0 Legyen: n: a cellák száma N i : a betöltési számok (az i-edik fáziscellába eső halmazelemeinek száma) ε i : az i-edik fáziscellában egy halmazelem energiája Ekkor: n N = ∑ Ni i =1 n n i =1 i =1 , dN = ∑ dN i = 0 , E = ∑ ε i N i n dE = ∑ ε i N i = 0 i =1 Láttuk, hogy a makroállapot statisztikus súlya: N! N 1 !⋅ N 2 !. N i ! N n ! Az egyensúlyi munkaállapotot az jellemzi, hogy a hozzá tartozó mikroeloszlások száma maximális. n   S = k ln Y = k ln N !− ∑ ln( N i !) i =1   Nagy számok faktoriálisának kiszámítására használatos az un. Stirling közelítés Y= N 1 N ln( N !) = ln(1 ⋅ 2⋅. N ) = ln(1) + ln(2)

+ln( N ) = ∑ ln(i ) ≈ ∫ 1 ⋅ ln( x )dx = [ x ln( x )]1 − ∫ x ⋅ dx = N ln N − ( N − 1) = N ln N − N + 1 x i =1 1 1 N N a+1-et a végéről elhagyjuk, mert N>>1 Így: N  N = ln   e e A Stirling formula felhasználásával az entrópia képlete: N N ln N ! ≈ N (ln N − 1) = N (ln N − ln e) = N ln  N ⇒ N!≈    e n   S = k ln N !− ∑ ln N ! = i =1   n   ln = = − N N k N N N i ln N i  ∑ ∑ i  i =1 i =1   n   k  N ln N − N − ∑ ( N i ln N i − N i ) = i =1   n     n n 1 1  dS = k dN ln N + N dN − ∑ dN i ln N i − ∑ N i dN i N Ni n    i =1 i =1  ∑ dN i = dN = 0 i =1   n  n dS = − k ∑ dN i ln N i   ∑ ln( N i )dN i = 0 i =1 i =1 egyensúlyban dS = 0   Olyan N i (i = 1,2,3. n) eloszlást keresünk, amelynél S ( N1 , N 2 , N n ) függvénynek maximuma van, azaz n ∑ ln( Ni

)dNi = 0 n ∑ dNi = 0, n ε i dN i = 0 ⊗⊗ ∑ i =1 miközben a i =1 ún. mellékfeltételeknek is teljesülniük kell A feladat tehát többváltozós függvény feltételes szélsőérték keresése. A feladatokat az ún Lagrange-multiplikátoros módszerrel oldjuk meg úgy, hogy a szélsőérték számítása során két új változót vezetünk be, amelyek értékét szintén meghatározzuk. *-hoz adjuk hozzá később meghatározandó const-sal (alfával, bétéval) szorozva a k ét mellékfeltételt (*) ⊗ i =1 n ∑ (ln N i + α + β ⋅ ε i ) dN i = 0 i =1 m inthogy a dN i − k tetszőlegesek, ez az egyenlet csak akkor lehet igaz, ha ln N i + α + βε i = 0 (i = 1,2. n) innen n n e − βε i e − βε i , mivel ∑ N i = N ⇒ ∑ α = N Ni = α e i =1 i =1 e Bevezetve: n Z = ∑ e − βε i Z Z =N eα = α N i =1 az ún. állapotösszeget, a fenti egyenlet így szól: e azaz − βε i Ne Ni = Z Ezzel: Az összenergia: n n N N n N ∂z ∂ ln Z E = ∑

ε i N i = ∑ ε i e− βε i = ∑ ε i e− βε i = − = −N Z Z Z ∂β ∂β 1  i =1 i =1 i =  ∂z ez − ∂β Az entrópia: n   Ne− βε i S = k  N ln N − ∑ N i ln N i  Ni = i =1   képletébe behelyettesítve az Z − βε n   Ne i S = k  N ln N − ∑ (ln N − ln Z − βε i )  Z i =1   képlet: Figyelembe véva hogy: n Ne− βε i N = ln ln N N e − βε i = N ln N ∑ ∑ Z Z =1  i =1 i   n Z n ∑ i =1 − βε i Ne Z ln Z = n N ln Z ∑ e− βε i = N ln Z Z i =1    Z n ∑ i =1 − βε i Ne Z βε i = β n N ε i e− βε i = βE ∑ Z i =1 S = k ln Z + kβ E hogy : −E      ∂S ∂ ln Z ∂β ∂β ∂ ln Z  ∂ β  = kN +k = kβ E + kβ = kβ + k  E + N ∂E ∂β ∂E ∂E ∂β  ∂ E     viszont tudjuk, hogy 1 ∂S 1 =  β= T  ∂ E V kT Ezzel a betöltési számok: azt kapjuk, ε

Ni = Ne n − kTi ∑e Boltzmann eloszlás: annak a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott molekula i-edik fáziscellába esik. A rendszer entrópiája ebben az egyensúlyi esetben. A Maxwell-féle sebességeloszlás (az egyensúlyi állapotban érvényes sebességeloszlás.) ε − kTi i =1 ε N Wi = i = N e ∑ − kTi n ε e − kTi i =1 ε N e Wi = i = n N − kTi ∑e ε − kTi A fáziscellába dΩ = dV ⋅ dU = dxdydzdpx dpy dpz = m03dxdydzdvx dv y dvz dΩ dΩ ⋅ i =1 térfogatba tetszőlegesen kicsi lehet, határátmenetben folytonos eloszláshoz jutunk. Annak valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott molekula dΩ − ba esik. − ε dN e kT = −ε dw = dΩ kT N e d Ω ∫ Számítsuk ki az itt szereplő integrált. −ε −ε I o = ∫ e kT dΩ = ∫ e kT m03dVdvx dv y dvz van. 1 2 ε = m0 ( vx2 + v y2 + vz2 ) I 0 = m03V ∫ e +∞ I1 = ∫ e − m v2 − 0 x 2 kT m0 ( v x2 + v 2y + v z2 ) 2 kT dvx A

Így: ∞ I = ∫e 2 1 − ξ2 a −∞ ∞ I = ∫ ∞ dξ ⋅ ∫ e − η2 −∞ 2π ∫e dvx dv y dvz = m03V ∫ e − m0v x2 2 kT dvx ⋅ ∫ e m0v 2y 2 kT dv y ⋅ ∫ e 2 − ra a ξ = vx ∞ , a= dη = ∫ e − ξ 2 +η 2 a rdrdϕ = m0v z2 2 kT dvz = m03VI13 2 kT − I 1 = ∫ e a dξ m0 jelölésekkel: −∞ ξ2 dξdη 2π ∞ ∫ dϕ ∫ e 2 − ra rdr = aπ ϕ =0  r = 0 ∞ ∞ 2 2r − ra2 − e − ra  = aπ e dr a π = ∫ a  0  r=0 2π ⇓ I13 = (π a ) 2 ⇒ I 0 = m03V (π a ) 2 3  2π kT  I0 = m V    m0  Ezzel: − −∞ r=0ϕ =0 3 0 − ∞ −∞ 2 1 Egyatomos gáz esetén csak transzlációs mozgási energia 3 3 2 , a= 2 kT m0 , ahol dw = e − 3 0 m0 ( v x2 + v 2y + v z2 ) 2 kT mV ( ) 2πkT m0 3 2 m03dVdvx dv y dv z  dΩ Mivel a koordinátabeli eloszlás most nem érdekel bennünket, a helykoordináták szerint

integrálunk. dw = 3 / m / 0Ve − 3 m / 0V/ m0 ( v x2 + v 2y + v z2 ) 2 kT ( ) 2πkT m0 3 2 3 2 2 2 2  m  − m0 ( vx2+kTv y +vz ) dvx dv y dvz =  0  e dvx dv y dvz  2πkT 