Gépészet | Felsőoktatás » Csapágyak II

Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Csapágyak-2 - Hidrodinamikai kenéselmélet 1 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Folyadéksúrlódási állapot Előnyei Nagyin kicsi a forgatással szembeni súrlódási ellenállás. Csekély melegedés és kopás. Hosszú élettartam. Kétféle módon érhető el Hidrodinamikai elven (a csap forgó mozgása tartja fenn a teherbíró olajréteget. A továbbiakban ezzel foglalkozunk. Hidrosztatikus elven (külön szivattyú szállítja az olajat a csapágyhoz). 2 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Teherbíró olajréteg kialakulásának feltételei hidrodinamikus csapágyakban Viszkózus folyadék a kenőrésben (pl. olaj) A kenőanyag jól tapadjon a fémfelületekhez. Legyen elegendően nagy relatív sebesség a siklófelületek között. Legyen szűkülő rés a siklófelületek között. 3 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek

Géptan Tanszék A következő kérdésekre keressük a választ Mennyi a csapágy teherbírása? Ezt a kenőanyag nyomáseloszlásának ismeretében meghatározhatjuk. Mennyi a csapágy olajfogyasztása? Ezt a kenőanyag sebességének ismeretében meghatározhatjuk (a folyamatos olajutánpótlásról gondoskodni kell, mert a rés homlokfelületén az olaj kifolyik). Milyen felületi érdesség és illesztés szükséges? Ezt az olajréteg vastagságának ismeretében tudjuk megállapítani. Mennyire melegszik a csapágy? Ezt a súrlódási tényező ismeretében tudjuk meghatározni. 4 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A feladat jellege Áramlástani probléma, mert a csap és a persely közötti résben meg kell határozni az olajnyomás és olajsebesség függvényeket. Ezek a hely és idő függvényei A keresett függvényekre parciális differenciálegyenletet lehet levezetni, melyet az adott perem és kezdeti feltételek mellett kell

megoldani. A feladat megoldása bonyolult, ezért egyszerűsítő feltételeket fogadunk el. 5 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Az egyszerűsített modell Először nem a hengeres csapágyat vizsgáljuk, hanem egy szűkülő rést, ahol az alsó felület x irányban U sebességgel mozog. A folyadékelem sebességének koordinátái: u, v, w. 6 Veszprémi Egyetem 7 Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Veszprémi Egyetem 8 Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Egyszerűsítő feltevések Az áramlás satcionárius (egy adott helyen a fizikai mennyiségek időben állandók, állandósult állapotot vizsgálunk). Az áramlás lamináris, ezért alkalmazhatjuk a viszkózus folyadékokra érvényes Newton-féle törvényt. A rés alakja állandó és a felületek tökéletesen simák. A rés h vastagsága kicsi az l és b méretekhez képest. Az olaj y irányú

sebessége elhanyagolható (w=0). Emiatt y irányú nyomásváltozás sincs. A viszkózus erők mellett az olaj súlya és a tömegerők elhanyagolhatók (a folyadékelem tömege zérus). A dinamikai feladat így egyensúlyi feladattá egyszerűsödik. A külső terhelés és hőmérséklet állandó. 9 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A feladat megoldása Egyensúlyi egyenletek x irányban ( ) 0 ) 0 p ⋅( dy⋅dz) − ( p + dp) ⋅( dy⋅dz) + τ x⋅( dx⋅dz) − τ x + dτx ⋅( dx⋅dz) −dp ⋅( dy⋅dz) − dτx⋅( dx⋅dz) 0 ∂ ∂x − p ∂ ∂y τx z irányban ( p ⋅( dy⋅dx) − ( p + dp) ⋅( dy⋅dx) + τ z⋅( dz⋅dx) − τ z + dτz ⋅( dz⋅dx) −dp ⋅( dy⋅dx) − dτx⋅( dz⋅dx) 10 0 ∂ ∂z p − ∂ ∂y τz Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Anyagtörvény Newtoni folyadékok esetén a folyadékrétegek között ébredő csúsztató feszültség a

sebességgradienstől függ. η: dinamikai viszkozitás. τx −η ⋅ ∂ ∂y τz u −η ⋅ ∂ ∂y w Ezt beírva az egyensúlyi egyenletekbe. ∂ ∂x p η⋅ ∂2 ∂y 2 u ∂ ∂z p η⋅ ∂2 ∂y 2 w A fenti két egyenletből u(y) és w(y) sebességek jellegére tudunk következtetni, mert p és deriváltjai nem függnek y-tól, így az y szerinti integrálásnál konstansként viselkednek. Az x koordinátát rögzítettnek tekintjük. 11 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék u(y) sebesség számítása kétszeri integrálással ∂ ∂y u 1 ∂  ⋅ p  ⋅y + C1 η  ∂x  Peremfeltételek: u( y u( y h) 0 u 0) U 0 C1 u 1 ∂  2 ⋅ p  ⋅y + C1 ⋅y + C2 2 ⋅η  ∂x  C2 U 1 ∂  2 ⋅ p  ⋅h + C1 ⋅h + U 2 ⋅η  ∂x  1 ∂  U − ⋅ p  ⋅h − h 2 ⋅η  ∂x  1 ∂  2 y   ⋅ p  ⋅ y − h⋅y − U⋅

− 1  2 ⋅η  ∂x  h  ( ) Az y tengely mentén a sebességeloszlás parabolikus. A konkrét értékek számításához ismerni kell p deriváltját és h-t. 12 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék w(y) sebesség számítása kétszeri integrálással ∂ ∂y w 1 ∂  ⋅ p  ⋅y + C3 η  ∂z  Peremfeltételek: w( y w( y h) 0 w 0) 0 0 C3 w 1 ∂  2 ⋅ p  ⋅y + C3 ⋅y + C4 2 ⋅η  ∂z  C4 0 1 ∂  2 ⋅ p  ⋅h + C3 ⋅h 2 ⋅η  ∂z  1 ∂  − ⋅ p  ⋅h 2 ⋅η  ∂z  1 ∂  2 ⋅ p  ⋅ y − h⋅y 2 ⋅η  ∂z  ( ) Az y tengely mentén a sebességeloszlás parabolikus. A konkrét értékek számításához ismerni kell p deriváltját és h-t. 13 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A nyomásfüggvény számításához fel kell használni a kontinuitási egyenletet z A h

magasságú elemi hasábba időegység alatt annyi olaj lép be, mint amennyi kilép, mert az olaj összenyomhatatlan. Q z dx y x -(Q x+dQ x)dz Q x dz h -(Q z +dQ z )dx dz dx ( ( ) ) Qx⋅dz − Qx + dQx ⋅dz + Qz⋅dx − Qz + dQz ⋅dx −dQx⋅dz − dQz⋅dx 14 0 ∂ ∂x Qx + ∂ ∂z Qz 0 0 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Qx és Qy fajlagos térfogatáramok értelmezése Qx h y n z x 1 A h magasságú, egységnyi szélességű felületen, időegység alatt átáramlott folyadék mennyisége. (m3/s/m=m2/s) Qz értelmezése hasonlóan. Előjeles mennyiség. Előjele a felület normálisának (n) irányításától függ. Kifejezhető a sebességekkel: h Qx 15 ⌠  u dy ⌡0 h Qz ⌠  w dy ⌡0 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A fenti egyenletek felhasználásával levetethető a nyomáseloszlásra vonatkozó Reynolds-féle differenciálegyenlet dh ∂  3∂  ∂

 3∂   h ⋅ p  +  h ⋅ p  − 6 ⋅η ⋅ U ⋅ dx ∂x  ∂x  ∂z  ∂z  0 Adott résfüggvény esetén meghatározható a nyomáseloszlás (a peremfeltételeket is ismerni kell). Zárt alakú megoldás nincs. Numerikus módszerekkel megoldható. 16 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A nyomáseloszlás ismeretében számítható az F terhelőerő F p y z x x=x1+l ⌠ F=  ⌡x=x 1 17 z= b 2 ⌠  p ( x , z) dx dz  ⌡z= − b 2 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A súrlódási erő is számítható x y U z Fs x x=x1+l ⌠ Fs =   ⌡x=x 1 z= b 2 ⌠  − τ x dx dz  ⌡z= − b ( ) 2 (τx az y=0 helyen értendő) 18 µ = Fs F Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Hengeres, radiális siklócsapágy esete Az előző számítás eredményét fogjuk felhasználni. F F R Olaj be Op Oc r h0 1 h( ) P b/2

19 b/2 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Fontos jelölések Csapágyjáték: J = D−d Relatív játék: ψ = Excentricitás: e Relatív excentricitás: ε = Csapágyrés: h ∆r R−r D−d J = = = r r d d e ∆r Legkisebb csapágyrés : ho Relatív résméret: 20 δ = (D: persely átmérõje d: csap átmérõje) h ∆r Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A h(ϕ) résfüggvény meghatározása. Azt keressük, hogyan függ a résméret az „e” excentricitástól és az átmérőktől. Cosinus-tételt írunk fel az OcOPP háromszögre. ( r + h) = e + R − 2 ⋅e ⋅R⋅cos( f 2 2 2 ) r + 2 ⋅r ⋅h + h = e + R − 2 ⋅e ⋅R⋅cos( f 2 2 ( 2 2 h + 2 ⋅r ⋅h − R − r + e − 2 ⋅e ⋅R⋅cos( f 2 h = −r + h= 2 ( 2 )) = 0 r + R − r + e − 2 ⋅e ⋅R⋅cos( f 2 2 R − 2 ⋅e ⋅R⋅cos( f 2 h = ( R − e ⋅cos( f 21 2 ) 2 2 )+e 2 ⋅cos( f ) 2 −r ) ) − r

= ∆r − e ⋅cos( f ) )) Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek A dimenziótlan menyiségekre térünk át, felhas ználva: h = ψ ⋅r − ε ⋅ψ ⋅r ⋅cos( f ) h = r ⋅ψ ⋅( 1 − ε ⋅cos( f )) ∆r = ψ ⋅r e = ε ⋅∆r = ε ⋅ψ ⋅r a keresett résfüggvény. Ha f =0, akkor: ho = r ⋅ψ ⋅( 1 − ε ) δo = 22 ho ∆r Géptan Tanszék = 1−ε legkisebb rés. legkisebb relatív rés. Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék A korábban levezetett Reynolds féle egyenletbe behelyettesítünk: x r ⋅f h r ⋅ψ ⋅( 1 − ε ⋅cos( f U −r ⋅ω )) A p=p(f ,z) függvény meghatározható. E függvényben a csapágy egyéb adatai η, ω, ψ paraméterként szerepelnek. ε, f 1, b/d 23 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Hidrodinamikus siklócsapágy tervezése a gyakorlatban Terhelhetőség számítása: Integrálás után adódó kifejezés: ⌠ ⌠ F =  

p ( f , z) df dz ⌡f ⌡z b  F = b ⋅d ⋅ ⋅Φ  ε , f 1 ,  2 d  ψ η ⋅ω Φ csapágyjellemzõ szám, vagy terhelési szám. Szakirodalomban diagrammokkal megadott F p= b ⋅d átlagos felületi nyomás. b  ⋅Φ  ε , f 1 ,  p= 2 d  ψ η ⋅ω 24 tervezéshez használt összefüggés . F= F Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Felvesszük e-ont és ebből számoljuk a teherbírást. Felvesszük p-t és ebből számoljuk e-ont. A többi adat ismert paraméter. ε nem lehet tetszõleges, mert ettõl függ a legkisebb résméret és ez nagyobb kell legyen, mint a felületi érdességek összege. ho = r ⋅ψ ⋅( 1 − ε ) > δ 1 + δ 2 ε = 1− 25 ho r ⋅ψ ü homin = 3.5⋅µm 0.5 < ε < 095 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Súrlódási tényező számítása: ⌠ ⌠ Fs =   τ df dz ⌡f ⌡z b  µ = ψ ⋅C  ε , f 1 ,  d  µ

= Fs F C a súrlódási szám, diagrammokkal adott. További számításokkal a csapágy hõmérséklete meghatározható. 26 Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Terhelési szám 27 Súrlódási szám Géptan Tanszék Veszprémi Egyetem Gépészeti alapismeretek Géptan Tanszék Olajfogyasztás számítása 28 A fajlagos olajfogyasztásra levezethető: b  qA = ω ⋅ψ ⋅J  ε , f 1 ,  d  Olajfogyasztás (m3/óra): q = qA⋅( b ⋅d)