Matematika | Analízis » Függvények, differenciálszámítás, integrálás

1 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 1. HATÁRÉRTÉKEK 1.1 Függvény véges helyen vett határértéke Tekintsük az f ( x ) = 2 x + 1 lineáris függvényt. Mi történik, az f ( x ) függvényértékekkel, ha az x független változó az x tengely mentén, bármelyik oldalról közelít az x = 1 ponthoz, anélkül, hogy azt elérné? Olyan eseteket fogunk vizsgálni, amikor az x független változó értékei tetszőleges módon minden határon túl közelítenek 1-hez. Azt fogjuk vizsgálni, hogy milyen tendencia érvényesül a függvényérték esetén, ha az x ≠ 1 de tetszőleges módon bármilyen kis távolságra megközelíti az 1-et. Azt, hogy az x független változó milyen közel van az 1-hez az x −1 -kel mérjük, ami megadja a koordinátarendszer vízszintes tengelyén az x pontnak és az 1-nek a távolságát. Azon, hogy a független változó értékei minden határon túl közelítenek az 1-hez azt értjük, hogy ezek az értékek soha nem egyenlők 1-gyel, de az

1-hez akármilyen közel kerülnek. A továbbiakban ezt röviden úgy fogjuk mondani, hogy x tart az 1-hez, és úgy jelöljük, hogy x 1 . Nézzük meg az 1.1 Táblázatban feltüntetett eredményeket Az x balról(jobbról) tart 1-hez azt jelenti, hogy x ≠ 1, de az értékei tetszőlegesen közel kerülnek 1-hez miközben mindig kisebbek(nagyobbak), mint 1. A szóhasználat arra utal, hogy az ilyen értékek a vízszintes tengelyen az 1-től balra(jobbra) helyezkednek el. Ha megnézzük a táblázatban szereplő függvényértékeket, akkor azt tapasztaljuk, hogy amint x bármely oldalról egyre közelebb és közelebb kerül 1-hez az f ( x ) függvényértékek annál közelebb kerülnek a 3 számhoz. Azt, hogy a függvényértékek milyen közel vannak a 3-hoz, az f ( x ) − 3 -kel mérjük. Az olvasó könnyen meggyőződhet róla, hogy ugyanezt a tendenciát tapasztaljuk, ha a független változónak más-más 1-hez minden határon túl közelítő sorozatait vesszük: amint

a független változó értékei egyre közelebb és közelebb kerülnek az 1-hez, akkor a függvényértékek egyre közelebb kerülnek a 3-hoz. A függvényértékeknek a 3-hoz való közelítésére az érvényes, hogy a felvett függvényértékek a 3-hoz tetszőlegesen közel kerülnek, hacsak az x független változó az 1-hez már elegendően közel került. x balról közelít 1-hez f (x ) x −1 x f (x ) − 3 f (x ) x −1 x f (x ) − 3 0.8 0.85 0.88 0.9 0.96 0.99 0.992 0.998 0.9994 0.99993 0.2 0.15 0.12 0.1 0.04 0.01 0.008 0.002 0.0006 0.00007 2.6 2.7 2.76 2.8 2.92 2.98 2.984 2.996 2.9988 2.99986 0.4 0.3 0.24 0.2 0.08 0.02 0.016 0.004 0.0012 0.00014 0.84 0.904 0.93 0.96 0.9906 0.9915 0.99937 0.99989 0.99991 0.99999 0.16 0.096 0.07 0.04 0.0094 0.0085 0.00063 0.00011 0.00009 0.00001 2.68 2.808 2.86 2.92 2.9812 2.983 2.99874 2.99978 2.9982 2.99998 0.32 0.192 0.14 0.08 0.0188 0.017 0.00126 0.00022 0.00018 0.00002 M M M M M M M M 2 1. FEJEZET x

jobbról közelít 1-hez f (x ) x −1 x f (x ) − 3 f (x ) x −1 x f (x ) − 3 1.2 1.18 1.175 1.025 1.002 1.0011 1.0001 1.00005 1.00003 1.00001 0.2 0.18 0.175 0.025 0.002 0.0011 0.0001 0.00005 0.00003 0.00001 3.4 3.36 3.35 3.05 3.004 3.0022 3.0002 3.0001 3.00006 3.00002 0.4 0.36 0.35 0.05 0.004 0.0022 0.0002 0.0001 0.00006 0.00002 1.182 1.164 1.1132 1.1002 1.0235 1.01745 1.00325 1.00102 1.00058 1.0001 0.182 0.164 0.1132 0.1002 0.0235 0.01745 1.00325 0.00102 0.00058 0.0001 3.364 3.328 3.2264 3.2004 3.047 3.0349 3.0065 3.00204 3.00116 3.0002 0.364 0.328 0.2264 0.2004 0.047 0.0349 0.0065 0.00204 0.00116 0.0002 M M M M M M M M −6 Például nézzük meg, hogy elérhető-e az, hogy a függvényérték a 3-hoz 10 -nál közelebb kerüljön, azaz, hogy 2 x + 1 − 3 < 10-6 teljesüljön. A fenti egyenlőtlenség azzal ekvivalens, hogy −10 −6 < 2x - 2 < 10 -6 , ( −6 mivel a 10 ,10 kisebb. 6 ) intervallumba esnek azok a valós számok,

amelyeknek az abszolút értéke 10 −6 -nál A fenti egyenlőtlenségeket az olyan x valós számok elégítik ki, amelyekre 1 1 − 10 −6 < x − 1 < 10 6 2 2 teljesül, vagyis amelyekre 1 x − 1 < 10 −6 . 2 −6 Tehát elérhető az, hogy a függvényérték a 3-hoz 10 -nál közelebb kerüljön, ehhez csak az kell, hogy az x független változó az 1-hez 1 −6 10 -nál közelebb (elegendően közel) kerüljön. 2 A tekintett függvénynek az x = 1 pont körüli tapasztalt viselkedésére azt mondjuk, hogy az f ( x ) = 2 x + 1 függvénynek az x = 1 helyen létezik a határértéke és az 3-mal egyenlő, és ezt így jelöljük: lim(2 x + 1) = 3 , x 1 vagy Az előbb mondottakat szemlélteti az 1.1 Ábra is 2 x + 1 3, ha x 1 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 3 1.1 Ábra Az előzőekben tapasztalt tulajdonságot általában is megfogalmazhatjuk. 1.1 Definíció Ha a egy tetszőleges valós szám, akkor azon, hogy x tart a-hoz ( x a ) azt értjük, hogy

noha x ≠ a de az a-hoz tetszőleges módon minden határon túl közelít, ahhoz bármelyik oldalról tetszőlegesen közel kerülhet. 1.2 Definíció Ha a egy tetszőleges valós szám, akkor azon, hogy x balról tart a-hoz ( x a − 0) azt értjük, hogy noha x ≠ a de az a-hoz tetszőleges módon minden határon túl közelít, ahhoz tetszőlegesn közel kerül és eközben x < a mindig teljesül. 1.3 Definíció Ha a egy tetszőleges valós szám, akkor azon, hogy x jobbról tart a-hoz ( x a + 0) azt értjük, hogy noha x ≠ a de az a-hoz tetszőleges módon minden határon túl közelít, ahhoz tetszőlegesen közel kerül és eközben x > a mindig teljesül. 1.4 Definíció Azon, hogy valamely f ( x ) függvény értékei egy L számhoz tartanak, ahhoz minden határon túl közelítenek ( f ( x ) L ) azt értjük, hogy a függvényértékek az L-hez tetszőlegesen közel kerülhetnek. Függvény határértéke Legyen a ∈ R olyan, hogy az f függvény az x = a pont

valamely környezetében (esetleg az a pontot kivéve) értelmezve van. Az f függvénynek az x = a helyen létezik a határértéke, ha van egyetlen olyan L szám, amelyhez a függvényértékek minden határon túl közelítenek (tartanak), miközben az x független változó értékei tetszőleges módon tartanak az a -hoz. Ezt a L számot nevezzük az f függvény határértékének az x = a helyen A határérték jelölése: lim f ( x ) = L . xa 4 1. FEJEZET Ha nem létezik egyetlen ilyen L szám, akkor azt mondjuk, hogy az függvénynek az x = a helyen nem létezik a határértéke. f ( x) Más szavakkal a határérték létezése azt jelenti, hogy az f ( x ) függvényértékek az L számhoz tetszőlegesen közel kerülhetnek, ha az x független változó értéke elegendően közel van az a -hoz. Különösen fontos ez a fogalom olyan függvények esetén, amelyek esetleg nincsenek mindenütt értelmezve. κ 1.1 Példa Tekintsük az f ( x) = 2 x2 − 7 x + 3 x−3

függvényt, amelyik az x = 3 értéket kivéve mindenütt értelmezve van. Nézzük meg, hogy az x = 3 helyen létezik-e a határértéke. Ehhez azt kell megvizsgálnunk, hogy létezik-e olyan valós szám, amelyhez a függvényértékek minden határon túl közelítenek, miközben x tart a 3-hoz. x jobbról közelít 3-hoz x 3.5 2 x2 − 7 x + 3 f ( x) = x−3 6 3.1 5.2 3.01 3.001 3.0000001 5.02 5.0002 5.0000002 x balról közelít 3 - hoz x f ( x) = 2 x2 − 7 x + 3 x−3 2.5 2.9 2.99 2.9999 2.999999 4 4.8 4.98 4.9998 4.999998 A fenti számítások azt mutatják, hogy a kapott függvényértékek minden határon túl közelítenek az 5-höz. Ugyanezt tapasztalnánk, ha más 3-hoz minden határon túl közelítő x értékeket vennénk. Ez azt mutatja, hogy ennek a függvénynek létezik az x = 3 helyen a határértéke, noha a függvény nincs értelmezve ezen a helyen. Nyilván a határértéke 5-tel egyenlő Ez a létező határérték arról ad

információt, hogy az adott függvény hogyan viselkedik annak a helynek a környezetében, ahol nincsen értelmezve. Másként is rájöhetünk arra, hogy a szóban forgó függvénynek az x = 3 helyen 5 a határértéke. A függvény valamely a helyen vett határértékének definíciója szerint az, hogy egy függvénynek létezik-e az a helyen a határértéke, az csak az a hely környezetében felvett függvényértékektől függ, és nem attól, hogy mi az a helyen felvett függvényérték, ha egyáltalán értelmezve van ott a függvény. Vegyük észre, hogy a számlálóban lévő másodfokú kifejezés szorzattá alakítható: 2 x 2 − 7 x + 3 = ( 2 x − 1)( x − 3) azaz FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 2x − 1 ⎧ 2x 2 − 7x + 3 ⎪ =⎨ f (x ) = x−3 ⎪nincs értelmezve ⎩ 5 ha x ≠ 3 ha x = 3 f (x ) függvényünk az x = 3 helyet kivéve azonosan egyenlő a 2 x − 1 függvénnyel, vagyis az x = 3 helyhez tetszőlegesen közel is az f ( x ) függvény

értékei ugyanazok, mint a 2 x − 1 függvényé. Azaz Ebből látható, hogy az 2x 2 − 7x + 3 lim = lim(2 x − 1) = 5 , x 3 x 3 x−3 vagy más jelöléssel 2x2 − 7x + 3 5 , ha x −3 x3 λ κ 1.2 Példa Ha az f ( x ) függvény a következőképpen van definiálva ⎧ x − 1 ha x ≤ 3 f ( x) = ⎨ ⎩ x + 1 ha x > 3 akkor az f ( x ) függvénynek az x = 3 helyen nem létezik a határértéke. Az x=3 hely bármely U környezete esetén érvényes, hogy más a hozzárendelés, ha x ∈ U és x ≤ 3 , és más, ha x ∈U és x >3, mivel a környezet bal oldali felén ( x ≤ 3) a függvényértékeket mindig az x −1 képlettel határozhatjuk meg, míg a jobb oldali felén x >3) az x +1 képlettel. Ennek megfelelően két esetet kell megkülönböztetni. ( a) Először nézzük meg, hogy mi jellemző a függvényértékekre, ha x tetszőleges módon úgy tart 3-hoz, hogy közben mindig kisebb, mint 3. Ezt úgy mondjuk röviden, hogy x balról tart 3-hoz

Jelölése: x 3 − 0 . Ha ilyen helyeken kell vennünk az f x függvény értékeit, akkor azok mindig egyenlők ( ) x −1-gyel, és ezek minden határon túl a 2-höz közelítenek. b) Második lépésben gondoljuk végig, hogy hogyan viselkednek a függvényértékek, ha x tetszőleges módon tart 3-hoz de úgy, hogy eközben mindig nagyobb, mint 3. Ezt a továbbiakban úgy fogjuk mondani, hogy x jobbról tart 3-hoz. Jelölése: x 3 + 0 Mivel most a 3-nál nagyobb helyeken felvett függvényértékekről van szó, ezeket az x +1 hozzárendeléssel kell meghatároznunk. Ezek az értékek pedig a 4-hez közelítenek minden határon túl, ha x 3 + 0 . Az elmondottakat szemlélteti az 1.2 Ábra 6 1. FEJEZET Tehát nem létezik egyetlen olyan L szám, amelyhez a függvényértékek minden határon túl közelítenének, miközben x tetszőleges módon tart a 3-hoz. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy az adott helyen nem létezik a függvény határértéke. λ Függvény

határértékének tulajdonságai Konkrét függvények határértékének meghatározásánál hasznosak lesznek a határérték következő tulajdonságai. 1. Ha az x = a valamely környezetében f ( x ) = g ( x ) esetleg az x = a helyet kivéve, akkor az lim f ( x ) létezik, akkor lim g( x ) is létezik, és xa xa lim f ( x ) = lim g ( x ) . x a x a Ez a tulajdonság az 1.2 példában látottakat fogalmazza meg általánosan 2. Ha f ( x ) ≡ c ahol c valós szám, akkor lim f ( x ) = c tetszőleges a valós szám esetén x a 3. Ha lim f ( x ) létezik, és c tetszőleges valós szám, akkor lim cf ( x ) is létezik, és xa xa lim cf ( x ) = c lim f ( x ) . xa xa 4. Ha a lim f (x ) és a lim g ( x ) határértékek léteznek, akkor lim[ f ( x ) + g ( x )] is létezik, x a xa x a és lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x ) xa xa xa 5. Ha a lim f (x ) és a lim g ( x ) határértékek léteznek, akkor lim f ( x ) g( x ) is létezik, x a és x a x a 7

FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE lim f ( x ) g ( x ) = [lim f ( x )][lim g ( x )] . xa 6. Ha lim f ( x ) ≠ 0 , akkor lim x a x a x a xa 1 is létezik, és f (x) lim xa 1 1 = f ( x ) lim f ( x ) xa 7. Ha a lim f (x ) és a lim g ( x ) határértékek léteznek, és lim g ( x ) ≠ 0 , akkor lim xa x a xa x a f (x) g( x ) is létezik, és f ( x) f ( x ) lim = xa g ( x ) lim g ( x ) lim x a x a 8. Ha f ( x ) = x akkor tetszőleges a ∈ R esetén lim f ( x ) létezik, és x a lim f ( x ) = lim x = a xa xa 9. Összetett függvények határértéke Először is nézzük meg, hogy mit értünk összetett függvényen. Tekintsük a h( x ) = 2 x + 1 függvényt Ennek a függvénynek, ha ki akarjuk számítani az x=4 helyen az értékét, akkor azt két lépésben tudjuk megtenni. Először ki kell számítanunk a g x = 2 x + 1 függvénynek az x=4 helyen az értékét () g (4) = 2 ⋅ 4 + 1 = 9 , majd az f ( x ) = x függvénynek az értékét az x=9 helyen: f (9 ) = 9 =

3 . g ( x ) -et, aminek értékét először kell kiszámítanunk belső függvénynek, az f ( x ) -et pedig külső függvénynek nevezzük. Ha a fenti h( x ) Az ilyen függvényt összetett függvénynek nevezzük. A függvénynél hangsúlyozni akarjuk, hogy összetett függvényről van szó, akkor a h( x ) = f ( g ( x )) jelölést használjuk, ami arra utal, hogy a h függvény értékét valamely x helyen úgy határozhatjuk meg, hogy először kiszámítjuk a g x -et, a belső függvény x = 3 helyen felvett értékét, majd megnézzük, () () ( (x )) értéket úgy is hogy ezen a g x helyen milyen értéket vesz fel az f külső függvény. Ezt az f g szoktuk mondani, hogy a külső függvény értéke a belső függvény által felvett helyen. Ha lim g ( x ) = L és lim f ( x ) xa x L léteznek, akkor az f ( g (x )) összetett függvénynek is létezik az a helyen a határértéke, és 8 1. FEJEZET lim f ( g ( x )) = lim f ( x ) x a x L Következmények.

A 4 és 5 tulajdonságok több függvény összegére, illetve szorzatára is érvényesek. lim[ f1 ( x ) + K + f n ( x )] = lim f 1 ( x ) + K lim f n ( x ) , 10. xa xa xa feltéve, hogy a jobboldalon szereplő határértékek léteznek. lim[ f1 ( x) K f n ( x)] = lim 11. xa xa f 1 ( x) K lim xa f n ( x) , feltéve, hogy a jobboldalon szereplő határértékek léteznek. A fenti szabályok segítségével bonyolultabb függvények határértékének meghatározását egyszerűbb, már ismert esetekre lehet visszavezetni. κ 1.3Példa Vizsgáljuk meg, hogy az f (x ) = 7 x + 2 függvénynek létezik-e a határértéke az x=5 helyen. 1) Két függvény, a g1 (x ) = 7 x és a g 2 (x ) ≡ 2 konstans függvény összegéről van szó. 2) A 4. tulajdonság miatt ha a fenti függvényeknek létezik a határértékük az x=5 helyen, akkor az összegüknek is létezik, és megegyezik a két határérték összegével. 3) A g 2 ( x ) konstans függvény, tehát a 2.

tulajdonság miatt lim g 2 ( x ) = lim(2 ) = 2 . x 5 4) A x 5 g1 (x ) = 7 x függvény egy másik függvény konstanssorosa. 5) A 3. és a 8 tulajdonságokat alkalmazva kapjuk, hogy az x függvény 7-szeresének is létezik a határértéke, és lim g1 ( x ) = lim(7 x ) = lim(7 ) lim( x ) = 7.5 = 35 x 5 x 5 x 5 x 5 6) Mivel az összeadandóknak létezik az x=5 helyen a határértékük, ezért a 4. tulajdonság miatt az összegüknél is létezik, és lim(7 x + 2 ) = lim(7 x ) + lim(2 ) = 35 + 2 = 37 . x 5 x 5 x 5 A következőkben már nem fogjuk ilyen részletesen leírni a gondolatmenetet, de hasonló módon kell érteni az egymás utáni lépéseket. 9 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE κ x3 + x függvényt. Ez a függvény egyedül az x=0 pontban nincs 1.4 Példa Tekintsük a g ( x ) = x értelmezve. Nézzük meg, hogy ezen a helyen létezik-e a határértéke Mivel lim( x ) = 0 , vagyis a tört x0 nevezőjének a 0 helyen a határértéke 0, a

hányadosfüggvényre vonatkozó 7. tulajdonság nem alkalmazható. Vegyük észre azonban, hogy g (x ) = x3 + x ≡ x 2 + 1, x ha x ≠ 0 , g ( x ) és az f ( x ) = x 2 + 1 függvények az x=0 helyet kivéve azonosan egyenlők. Az 2 1. tulajdonságból következik, hogy ha az x + 1 függvénynek létezik az x=0 helyen a határértéke, akkor a g ( x ) -nek is létezik, és a két határérték egyenlő. Viszont vagyis a kérdése ( ) ( ) lim x 2 + 1 = lim x 2 + lim(1) = lim( x ) lim( x ) + 1 = 0 ⋅ 0 + 1 = 1 , x 0 tehát a x 0 x 0 x 0 x 0 g ( x ) -nek is létezik a határértéke, és lim( g ( x )) = lim x 0 x 0 x3 + x = 1. x λ κ 1.5Példa Vizsgáljuk meg, hogy az f (x ) = x2 + 2 függvénynek létezik-e a határértéke az x=1 2x + 3 helyen. Mivel ( ) ( ) lim x 2 + 2 = lim x 2 + lim(2) = 1 + 2 = 3 x 1 x 1 x 1 és lim(2 x + 3) = lim(2 x ) + lim(3) = 2 + 3 = 5 , x 1 x 1 x 1 ezért x 2 + 2) 3 x 2 + 2 lim( x 1 = = . lim x 1 2 x + 3 lim( 2 x + 3) 5 x 1

λ 1.2 Függvény végtelenben vett határértéke Sokszor szükségünk lehet annak ismeretére, hogy valamely f (x ) függvény hogyan viselkedik, ha x minden határon túl növekszik illetve csökken. 10 1. FEJEZET Azon, hogy x minden határon túl nő azt értjük, hogy tetszőlegesen nagy valós számnál nagyobb értékeket is felvesz. Jelölése: x ∞ Azon, hogy x minden határon túl csökken azt értjük, hogy tetszőlegesen kicsi valós számnál kisebb értékeket is felvesz. Jelölése: x − ∞ Tekintsük az 1.3 Ábrán látható függvényt 1.3 Ábra Látható, hogy ez a függvény úgy viselkedik, hogy az f (x ) függvényértékek minden határon túl közelítenek 4-hez, ha x minden határon túl nő. Az f (x ) függvényértékek a 4-hez tetszőlegesen közel kerülnek, ha az x elegendően nagy. Az f ( x ) függvénynek ezt a viselkedését úgy mondjuk, hogy a (plusz) végtelenben 4 a határértéke, és úgy jelöljük, hogy lim f ( x ) = 4 . x∞

Hasonlóan az f (x ) függvényértékek az 1-hez tetszőlegesen közel kerülnek, ha az x elegendően kicsi, azaz az f (x ) függvényértékek minden határon túl közelítenek 1-hez, ha az x minden határon túl csökken. Ha valamely függvény így viselkedik, akkor azt mondjuk, hogy a függvénynek a mínusz végtelenben 1 a határértéke: lim f (x ) = 1 . x−∞ Függvény végtelenben vett határértéke Az f (x ) függvénynek a végtelenben a A szám a határértéke, ha az f(x) függvényértékek minden határon túl közelítenek A - hoz miközben x tetszőleges módon minden határon túl növekszik: lim f ( x ) = A x ∞ Ha nem létezik egyetlen ilyen A szám, akkor az f(x) függvénynek nem létezik a végtelenben a határértéke. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 11 Az f ( x ) függvénynek a mínusz végtelenben a a szám a határértéke, ha az f (x ) függvényértékek minden határon túl közelítenek a - hoz miközben az x tetszőleges módon minden

határon túl csökken : lim f ( x ) = a . x −∞ Ha nem létezik egyetlen ilyen a szám, akkor az f(x) függvénynek nem létezik mínusz végtelenben a határértéke. κ 1.6Példa Vizsgáljuk meg, hogy az f ( x ) = 1 függvény értékei hogyan viselkednek minden x határon túl növekvő, illetve minden határon túl csökkenő x-ek esetén. Ha x ∞ esetén tekintjük a függvényértékek viselkedését, akkor feltehetjük, hogy x>0 már teljesül. Tehát 1 1 − 0 = <1 , x x ha x>1 , 1 1 − 0 = <0.1 , x x ha x>10 , 1 1 − 0 = <0.001 , ha x x Látható, hogy x>1000, stb. 1 a 0-hoz tetszőlegesen közel kerül, ha x elegendően nagy, azaz x 1 = 0. x ∞ x lim Ha pedig x − ∞ , akkor feltehető, hogy x<0 már teljesül. Ekkor 1 1 1 −0 = < , x −x 2 ha már x < -2 , 1 1 1 −0 = < , −x 4 x ha x < -4 , 1 1 1 −0 = < 10 , −x 2 x 10 ha x < - 2 , stb. Látható, hogy a függvény értékei akkor is

minden határon túl közelítenek a 0-hoz, hogy ha x minden határon túl csökken. Tehát 1 = 0. x − ∞ x lim 12 1. FEJEZET λ Függvény nem véges helyen vett határértékének tulajdonságai 1. Ha f ( x ) ≡ c ahol c valós szám, akkor lim f ( x ) = c Ezt a tulajdonságot, ami a x ∞ végtelenben vett határérték definíciója alapján nyilvánvaló, úgy szoktuk mondani, hogy a konstans függvénynek létezik a végtelenben a határértéke, és a függvény konstans értékével egyenlő. Ha f ( x ) ≡ c ahol c valós szám, akkor lim f ( x ) = c . x − ∞ Ezt a tulajdonságot, ami a mínusz végtelenben vett határérték definíciója alapján nyilvánvaló, úgy szoktuk mondani, hogy a konstans függvénynek létezik a mínusz végtelenben a határértéke, és a függvény konstans értékével egyenlő. A fenti két állítást együtt így szoktuk írni: lim f ( x ) = c , ami tehát azt jelenti, hogy, x ± ∞ lim f ( x ) = c , és lim f ( x ) = c

. x∞ x −∞ 2. Ha lim f ( x ) létezik, és c tetszőleges valós szám, akkor lim cf ( x ) is létezik, és x ±∞ x ±∞ lim cf ( x ) = c lim f ( x ) . x ±∞ x ±∞ Ami az előző megjegyzés értelmében a következő két állítást jelenti: a) ha lim f ( x ) létezik, és c tetszőleges valós szám, akkor lim cf ( x ) is létezik, és x ∞ x ∞ lim cf ( x ) = c lim f ( x ) . x ∞ x ∞ b) ha lim f ( x ) létezik, és c tetszőleges valós szám, akkor lim cf ( x ) is létezik, és x −∞ x −∞ lim cf ( x ) = c lim f ( x ) . x −∞ 3. Ha a lim f ( x ) és a x ±∞ x −∞ lim g ( x ) határértékek léteznek, akkor lim [ f ( x ) + g ( x )] is x ±∞ x ±∞ létezik, és lim [ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x ) . x ±∞ 4. Ha a lim f ( x ) és a x ±∞ x ±∞ lim g ( x ) határértékek léteznek, akkor lim f ( x ) g( x ) is x ±∞ x ±∞ x ±∞ létezik, és lim f ( x ) g ( x ) = [ lim f ( x )][ lim g

( x )] . x ±∞ 5. Ha lim f ( x ) ≠ 0 akkor lim x ±∞ x ±∞ x ±∞ 1 is létezik, és f (x) x ±∞ 13 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE lim x ±∞ 1 1 = f ( x ) lim f ( x ) x ±∞ 6. Ha lim x ±∞ a lim f (x ) és a x ±∞ lim g (x ) határértékek léteznek, és lim g( x ) ≠ 0 , akkor x ±∞ x ±∞ f (x) is létezik, és g( x ) lim x ±∞ f (x) f ( x ) xlim = ±∞ g ( x ) lim g ( x ) x ±∞ 7. Ha lim g( x ) = L és lim f ( x ) léteznek, akkor az f ( g ( x )) összetett függvénynek is x ±∞ x L létezik a ±∞ -ben a határértéke, és lim f ( g( x )) = lim f ( x ) x ±∞ x L Következmények. A 3 és 4 tulajdonságok több függvény összegére, illetve szorzatára is érvényesek. 8. lim f1 ( x )+K + f n ( x ) = lim f1 ( x )+K + lim f n ( x ) , x ±∞ x ±∞ x ±∞ feltéve, hogy a jobboldalon szereplő határértékek léteznek. 9. lim f1 ( x )L f n ( x ) = lim f1 ( x )L lim f n ( x ) , x ±∞ x ±∞ x ±∞

feltéve, hogy a jobboldalon szereplő határértékek léteznek. κ 2 ⎛1 ⎞ + 2 ⎟ határértékek létezik-e. x ±∞ x ⎠ ⎝ 1.8Példa Vizsgáljuk meg, hogy a lim ⎜ a) Az első megoldásnál abból indulunk ki, hogy a tekintett függvény tulajdonképpen szorzatfüggvény. 2 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ lim⎜ + 2 ⎟ = lim⎜ + 2 ⎟ lim⎜ + 2 ⎟ . x ∞ x x ∞ x x ∞ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛1 ⎞ lim⎜ + 2 ⎟ = lim + lim (2 ) = 0 + 2 = 2 , x ∞ x ⎝ ⎠ x ∞ x x ∞ tehát 2 ⎛1 ⎞ lim⎜ + 2 ⎟ = 2 ⋅ 2 = 4 . x ∞ x ⎝ ⎠ 14 1. FEJEZET b) Ugyanerre az eredményre juthatunk más úton is. Most a függvényünket függvényként kezeljük, ahol a belső függvény g ( x ) = f ( g (x )) alakú 1 + 2 , és a külső függvény az f (x ) = x 2 x függvény, és az összetett függvényre vonatkozó szabályunkat fogjuk alkalmazni. Mivel ⎛1 ⎞ lim⎜ + 2 ⎟ = 2 , x ∞ x ⎝ ⎠ és lim x 2 = 4 , x 2 adódik, hogy ⎛1 ⎞ lim⎜ + 2

⎟ = lim x 2 = 4. x ∞ x ⎝ ⎠ x2 ⎛1 ⎞ + 2 ⎟ = 4 . is igaz x−∞ x ⎝ ⎠ Az olvasóra bízzuk, hogy hasonló módon igazolja, hogy lim ⎜ λ 1.3 Nem véges határértékek Vannak olyan függvények, amelyeknek esetleg valamely x0 helyen nem létezik a (véges) határértékük, mégis az x0 hely közelében bizonyos értelemben szabályosan 1 viselkednek. Egy ilyen esetet szemléltet az 14 Ábra, amelyen az f ( x ) = 2 függvényt x ábrázoltuk. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 15 1.4 Ábra Az ábrából látható, hogy ennek a függvénynek az x = 0 helyen nem létezik a (véges) határértéke abban az értelemben, ahogy azt az előzőekben definiáltuk, mivel nem létezik olyan szám, amelyhez a függvényértékek minden határon túl közelítenének miközben x minden határon túl közelít a 0 - hoz. Ugyanis a 0 - hoz minden határon túl közelítő x-ek esetén a függvényértékek minden határon túl növekszenek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a

függvénynek az x = 0 helyen végtelen a határértéke. Megállapodunk abban, ha csak annyit mondunk, hogy egy függvénynek valamely helyen létezik a határértéke, akkor az mindig véges határérték létezését jelenti . Az előbbi példában szereplő függvény esetén tehát azt nem mondhatjuk, hogy az origóban létezik a határértéke, hanem csak annyit mondhatunk a függvény viselkedésének jellemzésére, hogy végtelen a határértéke. Véges helyen vett nem véges határértékek f ( x) függvénynek az a helyen végtelen a határértéke, ha az f ( x ) Az függvényértékek minden határon túl növekszenek, ha x tetszőleges módon tart a - hoz: lim f ( x ) = ∞ . xa Az f ( x ) függvénynek az a helyen mínusz végtelen a határértéke, ha az f ( x ) függvényértékek minden határon túl csökkennek, ha x tetszőleges módon tart a - hoz: lim f ( x ) = −∞ x a A szakasz elején tett megállapításunkat tehát a következőképpen írhatjuk: lim x

0 1 = ∞. x2 16 1. FEJEZET κ 1.9 Példa Tekintsük az f ( x ) = 1 / x függvényt A függvény az x = 0 helyen nincs értelmezve Nézzük meg, hogy miként viselkednek a függvény értékei, ha minden határon túl közelítünk a 0-hoz. Mivel 2 lim x 2 = 0 és eközben x 2 > 0 , x 0 ezért ha tetszőleges módon x 0 , akkor a függvényértékek minden határon túl növekszenek: lim x0 1 =∞ . x2 λ κ 3 1.10 Példa Nézzük meg most az f ( x ) = 1 / x függvényt is Jóllehet lim x 3 = 0 most is igaz, de az x0 3 1 / x függvényértékek előjele most függ attól, hogy a független változóval melyik oldalról közelítünk minden határon túl a nullához. lim x 3 = 0 és x 3 > 0, ezért lim (1 / x 3 ) = ∞ , x 0+ 0 x 0+ 0 ami azt jelöli, hogy ha jobbról közelítünk minden határon túl a 0-hoz, akkor a függvényértékek minden határon túl növekszenek, mivel ilyenkor az 1-et osztjuk egy olyan számmal, amelyik mindig pozitív, és egyre

közelebb kerül a 0-hoz. Hasonló meggondolással adódik, hogy ha balról közelítünk minden határon túl a 0-hoz, akkor lim x 3 = 0 és x 3 < 0, ezért lim (1 / x 3 ) = −∞ , x 0− 0 x 0− 0 mert most a hányados értéke egyre nagyobb és nagyobb abszolút értékű negatív szám lesz, ahogy a független változóval balról egyre közelebb kerülünk a 0-hoz. Tehát ennek a függvénynek még általánosított értelemben véve sem létezik a nulla helyen a határértéke, mivel a függvényértékek a nulla pont két oldalán másként viselkednek. λ Hasonlóan értelmezhetjük valamely f ( x ) függvény végtelenben vett nem véges határértékének fogalmát is. Tekintsük például az f ( x ) = x függvényt Ez egy olyan függvény, amelynek a végtelenben nem létezik a határértéke, mivel nincsen olyan valós szám, amelyhez a függvényértékek minden határon túl közelítenének, ha a független változó értékei tetszőleges módon minden

határon túl növekszenek. Ilyen esetekben maguk a függvényértékek is minden határon túl növekedni fognak. A függvénynek ezt a tulajdonságát röviden úgy mondjuk, hogy a végtelenben végtelen a határértéke. Jelölése lim(x ) = ∞ x ∞ Könnyen látható, hogy ennek a függvénynek a mínusz végtelenben sem létezik határértéke, mivel ha a független változó értékei tetszőleges módon minden határon túl csökkenek, akkor a függvényértékek is ezt teszik, vagyis a függvénynek a mínusz végtelenben mínusz végtelen a határértéke. Jelölése: lim ( x ) = −∞ x −∞ FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 17 Végtelenben vett nem véges határértékek Az f ( x ) függvénynek a végtelenben végtelen a határértéke, ha az f(x) függvényértékek minden határon túl növekszenek, ha x tetszőleges módon minden határon túl növekszik: lim f ( x ) = ∞ . x ∞ Az f ( x ) függvénynek a végtelenben mínusz végtelen a határértéke, ha az

f ( x ) függvényértékek minden határon túl csökkennek, ha x tetszőleges módon minden határon túl növekszik: lim f ( x ) = −∞ . x ∞ Mínusz végtelenben vett nem véges határértékek Az f ( x ) függvénynek a mínusz végtelenben végtelen a határértéke, ha az f ( x ) függvényértékek minden határon túl növekszenek, ha x tetszőleges módon minden határon túl csökken: lim f ( x ) = ∞ x −∞ Az f ( x ) függvénynek a mínusz végtelenben mínusz végtelen a határértéke, ha az f ( x ) függvényértékek minden határon túl csökkennek, ha x tetszőleges módon minden határon túl csökken: lim f ( x ) = −∞ . x −∞ Függvények nem véges határértékének tulajdonságai 1. Ha lim f ( x ) = ±∞ és lim g ( x ) = ±∞ , akkor lim f ( x ) + g ( x ) = ±∞ xa x a x a Ha lim f ( x ) = ±∞ és lim g( x ) = L , akkor lim f ( x ) + g ( x ) = ±∞ . xa x a x a 2. Ha c > 0 és lim f ( x ) = ±∞, akkor lim cf ( x ) =

±∞ xa x a Ha c < 0 és lim f ( x ) = ±∞, akkor lim cf ( x ) = m∞ . xa x a 3. Ha lim f ( x ) = ±∞ és lim g ( x ) = ±∞ , akkor lim f ( x ) g ( x ) = ∞ xa xa x a 4. Ha lim f ( x) = ±∞ és lim g ( x) = m ∞ , akkor lim f ( x ) g ( x ) = −∞ xa xa x a 18 1. FEJEZET 5. Ha lim f ( x) = 0 és eközben ⎡ 1 ⎤ f ( x) > 0, akkor lim ⎢ ⎥ = ∞. x a ⎣ f ( x) ⎦ 6. Ha lim f ( x) = 0 és eközben ⎡ 1 ⎤ f ( x) < 0, akkor lim ⎢ ⎥ = −∞ . x a ⎣ f ( x) ⎦ xa xa 7. Ha lim f ( x ) = A > 0 és lim g ( x ) = 0 miközben g ( x ) > 0, xa xa ⎡ f ( x) ⎤ akkor lim⎢ = ∞. x a g ( x) ⎥ ⎣ ⎦ Ha lim f ( x ) = A > 0 és lim g ( x ) = 0 miközben g ( x ) < 0, xa ⎡ f (x )⎤ akkor lim ⎢ = −∞ . xa g ( x ) ⎥ ⎣ ⎦ xa 8. Ha lim f ( x ) = ±∞ , akkor lim xa xa 1 =0. f (x ) 9. Ha lim g ( x ) = A , és a A valós, vagy ±∞ , és lim f ( x ) = L , L valós, vagy ±∞ , xa x A akkor lim f ( g (

x )) = L . xa Ezek a tulajdonságok érvényben maradnak akkor is, ha végtelenben vett nem véges határértékekről van szó. Például az 1 tulajdonság ekkor a következőképpen értendő: Ha c > 0 és lim f ( x ) = ±∞, akkor lim cf ( x ) = ±∞ , illetve x ∞ x ∞ ha c > 0 és lim f ( x ) = ±∞, akkor lim cf ( x ) = ±∞ . x −∞ x −∞ Javasoljuk, hogy hasonló módon fogalmazza meg az olvasó a többi tulajdonság megfelelőjét is. 1.4 Elemi függvények határértékei Hatványfüggvények határértéke 1) Pozitív egész kitevő esete. f (x ) = x k és k pozitív egész szám. Ezek a függvények a számegyenesen mindenütt értelmezve vannak és mindenütt létezik a határértékük: FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 19 lim x k = x0 tetszőleges x0 valós szám esetén. k x x0 A függvény végtelenben vett határértékei pedig lim x k = ∞ , x ∞ és ha k páros ⎧∞ lim x k = ⎨ x −∞ ⎩− ∞ ha k páratlan 2) Negatív egész

kitevő esete: f ( x ) = x − k és k pozitív egész szám. Ezek a függvények az x = 0 helyet kivéve a számegyenesen mindenütt értelmezve vannak. Ha x0 ∈ R és x0 ≠ 0 , akkor 1 1 1 -k = = k = x0 k k x x0 x lim x x0 lim x − k = lim x x0 x x0 lim x − k = ∞ , ha k páros, lim x − k = ∞ ⎫⎪ ⎬ lim x − k = −∞ ⎪ x 0 − 0 ⎭ ha k páratlan , x0 x 0 + 0 lim x − k = 0 . x±∞ 3) Törtkitevőjű hatványfüggvények. 1 a) f ( x ) = x k = k x és k pozitív egész . Legyen x0 ∈ R olyan, amelynek van olyan U környezete, hogy a tekintett függvény az egész környezetben értelmezve van. Ekkor 1 1 lim x k = lim k x = k x0 = x0 k . x x0 x x0 Például az f ( x ) = x függvény esetén, ha x = 4 , akkor 4-nek van olyan környezete (például a (3,5) intervallum), hogy a x függvény az egész környezetben értelmezve van, tehát 20 1. FEJEZET lim x = 4 = 2 . x4 x függvény esetén egyedül az x = 0 hely olyan, amelynek nincs

egyetlen olyan A környezete sem, ahol a függvény értelmezve van. Tudniillik a 0-nak bármely r >0 sugarú (− r, r ) környezetét véve a (− r ,0) nyitott intervallumon nincs értelmezve a függvény. Ilyenkor a függvényértékek viselkedését csak x 0 + 0 esetén tudjuk vizsgálni. Ekkor viszont, mint ahogyan arról a függvény grafikonja alapján is meggyőződhetünk lim x 0+ 0 x = 0. 1 Az f ( x ) = x k = k x függvény végtelenben vett határértékére érvényes, hogy lim x1/ k = ∞ . x ∞ Hogy valamely törtkitevős hatványfüggvény esetén a mínusz végtelenben vizsgálhatjuk-e a határértékét az attól függ, hogy a függvény értelmezési tartománya ezt lehetővé teszi-e. b) f ( x ) = x − 1 k = 1 x1/ k és k pozitív egész . lim x x x0 − 1 k 1 1 1 = = 1/ k , ha x0 ≠ 0 . / k / k 1 1 x x0 x lim x x0 = lim x x0 Továbbá − lim x 1 k x ∞ c) f ( x) = x p q = 1 lim x1 / k = 0. x ∞ p és k egész . p ⎛ 1⎞

⎟ ⎜ Mivel f ( x) = x = ⎜ x q ⎟ , a függvény határértékének vizsgálata az a) vagy b) ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ alattiak és az összetett függvényre vonatkozó szabály alapján mindig elvégezhető. p q 1.11 Példa h( x ) = és 5 1 x 2 . Ez nem más, mint egy összetett függvény, ahol g (x ) = x 2 a belső függvény 1 2 f ( x ) = x a külső függvény. Mivel az x függvénynek minden pozitív helyen létezik a határértéke 5 21 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ⎛ 12 ⎞ és az x külső függvénynek mindenütt létezik a határértéke, ezért a h( x) = x = f ( g ( x )) = ⎜ x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ függvénynek is minden pozitív helyen létezik a határértéke. Például legyen x = 9 5 2 5 5 lim g ( x ) = lim x = 9 = 3 , x 9 és az x 9 f (x ) = x 5 függvénynek létezik az x = 3 helyen a határértéke, lim x 5 = 35 = 243, x 3 ezért 5 2 ( ) lim x = lim x x 9 x 9 Nyilván hasonló érvényes tetszőleges pozitív lim x x0 Az ( x) 5 5 = lim x

5 = 243 . x 3 x0 hely esetén is: = lim x 5 = x x0 (x) 5 0 5 = x0 2 . x = 0 helyet tekintve csak a következőt mondhatjuk: ( x) 5 lim x 0 + 0 = lim x 5 = (0) = 0 . 5 x 0 λ Polinomok határértéke Tekintsük a P3 ( x ) = 4 x 3 − 7 x 2 + 2 harmadfokú polinomot. Legyen x0 ∈ R tetszőleges. ( ) ( ) ( ) lim P3 ( x ) = lim 4 x 3 − 7 x 2 + 2 = lim 4 x 3 − lim 7 x 2 + lim (2 ) = 4 x 0 − 7 x 0 + 2 . x x0 x x0 x x0 x x0 3 2 x x0 Nézzük meg ezek után, hogy a polinomnak a ±∞ -ben létezik-e a határértéke. Tulajdonképpen három függvény összegéről van szó. ( ) lim 4 x 3 = 4 lim x 3 = ∞ , x ∞ ( ) x ∞ lim − 7 x 2 = −7 lim x 2 = −∞ . x ∞ x ∞ 22 1. FEJEZET Már az első két tag összegét tekintve is problémánk van, mert nincs olyan a nem véges határértékekre vonatkozó szabály, amelyet közvetlenül alkalmazva meg tudnánk mondani, hogy a hogyan fog viselkedni ha x tetszőleges módon minden

határon túl növekszik. Viszont 4 x 3 + (− 7 x 2 ) 7 2 ⎞ ⎛ P3 ( x ) = 4 x 3 − 7 x 2 + 2 ≡ x 3 ⎜ 4 − + 2 ⎟ , ha x ≠ 0 . x x ⎠ ⎝ x ∞(x −∞) esetén érdekel a függvény viselkedése nyugodtan 7⎞ 2 3⎛ feltehetjük, hogy x ≠ 0 . Ha ez teljesül, akkor a P3 ( x ) polinom értékei azonosak az x ⎜ 4 − ⎟ + 2 x⎠ x ⎝ Mivel most bennünket az függvény értékeivel. Tehát 7 2 ⎞ ⎛ lim P3 ( x ) = lim x 3 ⎜ 4 − + 2 ⎟ . x ∞ x ∞ x x ⎠ ⎝ Ez utóbbi függvény viselkedését viszont már meg tudjuk állapítani. lim x 3 = ∞ , x ∞ és 7 2 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 7⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ lim⎜ 4 − + 2 ⎟ = lim 4 + lim⎜ − ⎟ + lim⎜ 2 ⎟ = 4 − 7 lim + 2 lim⎜ 2 ⎟ = 4 − 7 ⋅ 0 + 2⋅ 0 = 4 x ∞ x ∞ x ∞ x ∞ x ∞ x ∞ x x ⎠ x ⎝ ⎝ x⎠ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ Tehát 7 2 ⎞ ⎛ lim P3 (x ) = lim x 3 ⎜ 4 − + 2 ⎟ = ∞ . x ∞ x ∞ x x ⎠ ⎝ Ugyanígy lehet megnézni a függvény viselkedését

minden határon túl csökkenő x-ek esetén. lim x 3 = −∞ , x −∞ 7 2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ lim ⎜ 4 − + 2 ⎟ = lim 4 + lim ⎜ − ⎟ + lim⎜ 2 ⎟ = 4 − 7 lim + 2 lim ⎜ 2 ⎟ = 4 − 7 ⋅ 0 + 2⋅ 0 = 4 x −∞ x −∞ x ∞ x −∞ x −∞ x x ⎠ x ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x −∞ Tehát 7 2 ⎞ ⎛ lim P3 ( x ) = lim x 3 ⎜ 4 − + 2 ⎟ = −∞ . x −∞ x x ⎠ ⎝ x −∞ Hasonló átalakítást végrehajtva - nevezetesen a független változó legmagasabb hatványát kiemelve lehet megállapítani bármely polinom esetén a fenti határértékeket. Legyen Pn ( x ) n - ed fokú polinom, azaz n Pn ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + K + a n x n = ∑ a i x i , ahol an ≠ 0 . i =0 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 23 A fenti polinomnak bármely x0 helyen létezik a határértéke, és n lim Pn ( x ) = ∑ a i x 0 i = P( x 0 ) x x0 i =0 A végtelenben vett határérték: ⎧ ∞ ha a n > 0 lim Pn ( x) = ⎨ .

x ∞ ⎩− ∞ ha a n < 0 A mínusz végtelenben vett határérték: ⎧ ∞ ⎪ ⎪ lim Pn ( x) = ⎨ x −∞ ⎪− ∞ ⎪⎩ ha ha ha ha n páros és a n > 0 , vagy n páratlan és a n < 0 n páros és a n < 0, vagy n páratlan és a n > 0. Racionális törtfüggvények határértéke Racionális törtfüggvénynek nevezzük az R( x ) = Pn ( x) / Qm ( x) alakú függvényeket, ahol Pn ( x ) és Qm ( x ) polinomok. A racionális törtfüggvénynek az értelmezési tartományán mindenütt létezik a határértéke. Legyen ugyanis x0 olyan ahol a fenti függvény értelmezve van, azaz ahol Qm ( x0 ) ≠ 0 . Ekkor mivel lim Qm (x ) = Qm ( x0 ) ≠ 0 , ezért x x0 lim R ( x) = x x0 lim Pn ( x ) x x0 lim Qm ( x ) x x0 = Pn ( x 0 ) = R(x0 ) Qm ( x 0 ) A racionális törtfüggvények nem véges helyen vett határértékének vizsgálatakor három esetet kell megkülönböztetnünk attól függően, hogy a számláló és a nevező fokszáma egymáshoz

viszonyítva milyen. a) A számláló és nevező fokszáma megegyezik (n=m). 24 1. FEJEZET n ∑ ai x i Pn ( x) = lim i =0 ( ) Q x x±∞ n x±∞ n a = n bn i b x ∑ i lim i =0 κ 1.12 Példa Tekintsük az 5x 2 − 7 x racionális törtfüggvényt. Mivel x ±∞ esetén sem a 2x2 + 2 számlálónak, sem a nevezőnek nem létezik a határértéke, a hányados szabály nem alkalmazható. Viszont figyelembe véve, hogy 7⎞ ⎛ 7 x2 ⎜5 − ⎟ 5− 5x − 7 x x⎠ ⎝ x ≡ = 2 2 2 2x + 2 ⎛ ⎞ x2 ⎜2 + 2 ⎟ 2 + 2 x x ⎠ ⎝ 2 ha x ≠ 0, adódik, hogy 7⎞ ⎛ 7 lim⎜ 5 − ⎟ 5x − 7 x 5 x⎠ x = x ∞⎝ lim = . = lim 2 x ∞ 2 x + 2 x ∞ 2 2 2 2 + 2 lim⎛⎜ 2 + 2 ⎞⎟ x ∞ x x ⎠ ⎝ 5− 2 Hasonlóan kapjuk a mínusz végtelenben vett határértéket is: 7⎞ ⎛ 7 lim ⎜ 5 − ⎟ 5x − 7 x 5 x⎠ x = x −∞⎝ lim = . = lim 2 x −∞ 2 x + 2 x −∞ 2 2 ⎞ 2 ⎛ 2+ 2 lim ⎜ 2 + 2 ⎟ x −∞ x x ⎠ ⎝ 5− 2 λ Ezt az

eljárást kell követnünk általában is, amikor két azonos fokszámú polinom hányadosát vizsgáljuk. b) A számláló alacsonyabb fokszámú, mint a nevező (n<m) : Pn ( x) =0 x±∞ Qm ( x) lim κ 1.13 Példa Legyen eredményre vezet. 5x 2 − 7 x a tekintett függvény. Az előbbi példában elvégzett átalakítás most is 2x4 + 2 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 25 7 ⎞ ⎛ 5 5 7 x4⎜ 2 − 3 ⎟ − 3 2 5x − 7 x x x ⎠ x x , ha x ≠ 0 . ≡ = ⎝ 4 2 2 2x + 2 ⎛ ⎞ 2+ 2 x4⎜2 + 4 ⎟ x x ⎠ ⎝ 2 Tehát 7 ⎞ ⎛ 5 5 7 − 3⎟ ⎜ − 3 lim 2 2 5x − 7 x x ⎠ 0 x = x ∞⎝ x lim = = 0, = lim x 4 x ∞ 2 x + 2 x ∞ 2 2 ⎞ 2 ⎛ 2+ 2 lim⎜ 2 + 2 ⎟ x ∞ x x ⎠ ⎝ 2 és 7 ⎞ ⎛ 5 5 7 − 3⎟ ⎜ − 3 xlim 2 2 5x − 7 x x ⎠ 0 x = −∞⎝ x lim = = 0. = lim x 4 x −∞ 2 x + 2 x −∞ 2 2 ⎞ 2 ⎛ 2+ 2 lim ⎜ 2 + 2 ⎟ x −∞ x x ⎠ ⎝ 2 λ . c) A számláló magasabb fokszámú, mint a nevező (n>m) Pn ( x) ⎧ ∞ ha a

n / bm > 0 =⎨ x ∞ Q ( x ) ⎩− ∞ ha a n / bm < 0 m lim ⎧ ∞ ⎪ P ( x) ⎪ ∞ =⎨ lim n x −∞ Q ( x ) m ⎪− ∞ ⎪⎩− ∞ ha ha ha ha n−m n−m n−m n−m páros és a n / bm > 0, páratlan és a n / bm < 0, páros és a n /bm < 0, páratlan és a n / bm > 0. κ 1.14 Példa Legyen a vizsgált függvény függvényről x −∞ esetén. 5x 5 − 7 x . És nézzük meg, hogy mit mondhatunk a 2x4 + 2 Mivel 7⎞ ⎛ x 4 ⎜ 5x − 3 ⎟ 5x − 7 5x − 7 x x ⎠ ⎝ x 3 , ha x ≠ 0 , ≡ = 2 2⎞ 2x4 + 2 ⎛ 2+ 4 x4 ⎜ 2 + 4 ⎟ x x ⎠ ⎝ 5 26 1. FEJEZET 7 ⎞ ⎛ 7 lim ⎜ 5 x − 3 ⎟ 5x − 7 x x ⎠ x 3 = x −∞⎝ lim lim = . x −∞ 2 x 4 + 2 x −∞ 2 2 ⎞ ⎛ 2+ 4 lim ⎜ 2 + 4 ⎟ x −∞ x x ⎠ ⎝ 5x − 5 Nézzük meg külön a számlálóban és a nevezőben szereplő határértékeket. 7 ⎞ 7 ⎛ lim ⎜ 5 x − 3 ⎟ = lim (5 x ) − lim 3 = −∞ , x −∞ x −∞ x x ⎠ x −∞ ⎝

mivel lim (5 x ) = −∞ x −∞ és lim 7 x −∞ x 3 =0 A nevezőben szereplő határérték pedig létezik: 2 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ lim ⎜ 2 + 4 ⎟ = lim 2 + lim ⎜ 4 ⎟ = 2 + 0 = 2 . x −∞ x −∞ x x ⎠ x −∞ ⎝ ⎝ ⎠ A fentiek alapján 7 ⎞ ⎛ lim ⎜ 5 x − 3 ⎟ 5 x − 7 x x −∞⎝ x ⎠ lim = −∞ . = 4 x −∞ 2 x + 2 2 ⎞ ⎛ lim ⎜ 2 + 4 ⎟ x −∞ x ⎠ ⎝ 5 λ A fenti módszer általában is célravezető a törtfüggvény határértékének meghatározására. κ 1.15 Példa Nézzük a következő törtfüggvényt: 3 2 ⎞ 2 ⎞ ⎛ 3 3 ⎛ x2 ⎜ x3 − 2 + 5 ⎟ ⎜x − 2 + 5 ⎟ x − 3x + 2 x x ⎠ x x ⎠ lim = lim ⎝ = lim ⎝ . 2 x −∞ − 3 x + 7 x + 1 x −∞ 7 1 ⎞ x−∞ ⎛ 7 1 ⎞ 2⎛ x ⎜− 3 + + 2 ⎟ ⎜− 3 + + 2 ⎟ x x ⎠ x x ⎠ ⎝ ⎝ 5 2 Mivel 3 2 ⎞ ⎛ lim ⎜ x 3 − 2 + 5 ⎟ = −∞ , x −∞ x x ⎠ ⎝ és FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 27 7 1 ⎞ ⎛ lim ⎜ − 3 + +

2 ⎟ = −3 , x x ⎠ ⎝ x −∞ következik, hogy x 5 − 3x 2 + 2 =∞ . x −∞ −3x 2 + 7 x + 1 lim λ 1.5 Függvény folytonossága Az f függvényt az x0 helyen folytonosnak nevezzük, ha az x0 helyen értelmezve van, és az x0 helyen létezik a határértéke, és lim f (x ) = f ( x0 ) x x0 Ha a fenti három feltétel közül valamelyik nem teljesül, akkor az f függvény az adott helyen nem folytonos. Ilyenkor azt szoktuk mondani, hogy a függvénynek szakadása van. Az f függvényt az A ⊆ R halmazon folytonosnak nevezzük, ha az A halmaz minden pontjában folytonos. Hatványfüggvények folytonossága Az f ( x ) = x a hatványfüggvény minden olyan x0 helyen, ahol értelmezve van ott folytonos, mivel minden ilyen helyen létezik a határértéke, és ez egyenlő az x0 helyen felvett függvényértékkel. Polinomok folytonossága n Bármely Pn ( x ) = ∑ ai x i polinom az egész számegyenesen folytonos. Ugyanis i =0 1) Az egész számegyenesen

értelmezve van, és 28 1. FEJEZET 2) mindenütt létezik a határértéke, és n 3) tetszőleges x0 valós szám esetén lim Pn ( x ) = ∑ ai x 0 = Pn ( x0 ) x x0 i i =0 Racionális törtfüggvények folytonossága Bármely R( x) = Pn ( x ) / Qm ( x ) racionális törtfüggvény nevező zérushelyeit kivéve x0 olyan, hogy Qm ( x0 ) ≠ 0 . Ekkor mindenütt folytonos. Legyen ugyanis 1) R( x ) az x 0 helyen értelmezve van, és 2) lim R( x ) létezik, és x x0 3) lim R( x ) = R( x0 ) . x x0 Ha viszont x 0 olyan, hogy Qm ( x0 ) = 0 , akkor R( x ) az x 0 helyen nem folytonos, mert például itt nincs értelmezve. 29 DIFFERENCIÁLHÁNYADOS 2. DIFFERENCIÁLHÁNYADOS 2.1 A differenciálhányados fogalma A differenciálhányados fogalma a pillanatnyi sebesség fogalmával kapcsolatos. Tekintsünk ugyanis egy mozgó testet és jelöljük s (t ) -vel az általa t idő alatt megtett utat. Felmerül a kérdés, hogy ennek a mozgó testnek valamely alatt megtett út t 0

időpillanatban mekkora a sebessége. A t 0 , t 0 + ∆t időpontok közötti ∆t idő s (t 0 + ∆t ) − s(t ) tehát ezen idő alatt az időegységre jutó megtett út, az u.n átlagsebesség s(t 0 + ∆t ) − s(t ) . ∆t Vegyük észre, hogy ez az átlagsebesség azonban nem csak a mozgás t 0 időpontbeli milyenségére jellemző, hanem függ a tekintett időintervallum ∆t hosszától is. Minél kisebb azonban ennek az intervallumnak a hossza, az átlagsebesség annál inkább a t 0 időpillanatra lesz jellemző. Ha a lim ∆t 0 s(t 0 + ∆t ) − s(t 0 ) ∆t határérték létezik, akkor ez az adott mozgáson (az s(t ) függvényen) kívül már csak a t 0 időpillanattól függ és ezt nevezzük a t 0 -beli pillanatnyi sebességnek. Hasonló kérdés felvethető bármely más változást leíró függvénnyel kapcsolatban is, ezért a kérdést teljesen általánosan fogjuk vizsgálni. Tekintsünk egy y = f ( x ) függvényt, és az x0 legyen egy

tetszőleges, de rögzített hely, amelynek van olyan környezete, ahol f (x ) értelmezve van. Az f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h hányadost az f függvény x0 pontbeli, h növekményhez differenciahányadosának nevezzük, és röviden d f (h; x 0 ) -lal jelöljük tartozó Adott függvény és x0 hely esetén a differenciahányados mint a h növekmény függvénye érdekel bennünket. 30 2. FEJEZET Az f függvényt az x0 pontban differenciálhatónak nevezzük ha a lim h 0 f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h határérték létezik, és ekkor ezt a határértéket nevezzük az f ( x ) függvény x0 helyen vett differenciálhányadosának és az f ′(x0 ) szimbólummal jelöljük. f ( x ) függvény az x0 pontban akkor differenciálható, ha az x0 -beli Tehát az differenciahányadosnak, mint a h növekmény függvényének (amely függvény a h = 0 ban nincs értelmezve!) a h = 0 helyen létezik a határértéke. A differenciálhatóság definíciójából következik, hogy ha egy

függvény valamely x0 helyen nincs értelmezve, akkor ott nem lehet differenciálható. A differenciálhányados geometriai jelentése A 2.1 Ábrából látható, hogy az f (x ) függvény x0 pontbeli, h növekményhez tartozó differenciahányadosa megegyezik az ( x0 , f ( x0 )) és az ( x0 + h, f ( x0 + h )) pontokon átmenő iránytangensével. 2.1 Ábra szelő egyenes Ha a függvény az x0 helyen differenciálható, akkor h 0 esetén a szelő egyenesek közelítenek egy határhelyzetű egyeneshez. Ez a határhelyzetű egyenes a függvény görbéjéhez az ( x 0 , f ( x0 )) pontban húzott érintő, amelynek iránytangense nem más, mint az érték, amihez a szelők iránytangensei minden határon túl közelítenek, miközben a h növekmény minden határon túl közelít nullához (ld. 22 Ábra) 31 DIFFERENCIÁLHÁNYADOS 2.2 Ábra Ha az f ( x ) függvény az x0 pontban differenciálható, akkor ez geometriailag azt jelenti, hogy a függvény görbéjéhez az (x0 ,

f ( x0 )) pontban érintő húzható, és az érintő egyenes iránytangense (más szóval meredeksége) a függvény x0 helyen vett differenciálhányadosa. Annak eldöntése, hogy egy f (x ) függvény valamely x0 helyen differenciálható-e, és ha igen a differenciálhányadosa mivel egyenlő, a definíció alapján az ú.n "három lépés" szabállyal történhet: Három lépés szabály 1. Felírjuk az f ( x ) függvény x0 helyhez tartozó differenciahányadosát 2. Mivel a differenciahányados olyan törtfüggvény, amely esetén a lim d f (h; x 0 ) h 0 határérték meghatározására a hányadosszabály nem alkalmazható, ezért olyan átalakításokat kell végrehajtanunk, amelyek után a függvény határértékének létezése már eldönthető. 3. Meghatározzuk a határértéket 2.1 Példa Vizsgáljuk meg, hogy az y = x differenciálható-e. Alkalmazzuk a fenti eljárást a) x = 1 1. (1 + h )2 − 12 h 2 függvény az x = 1 , illetve az x = 2 helyen

32 2. 2. FEJEZET (1 + h )2 − 12 h = 1 + 2h + h 2 − 1 = = h 2 + h, h≠0 2h + h 2 ⎧ =⎨ . h ⎩nincs értelmezve, h = 0 3. lim (1 + h )2 − 12 h 0 = lim(2 + h ) = 2 h 0 h Vagyis az y = x függvény az x = 1 helyen differenciálható és a differenciálhányadosa 2-vel egyenlő. 2 Ez geometriailag azt jelenti, hogy a normál parabolához az meredeksége 2. b) 1. 2. (1,1) pontban érintő rajzolható, és ennek x=2 (2 + h )2 − 2 2 h (2 + h )2 − 2 2 h = 4 + 4h + h 2 − 4 = h 4+h h≠0 4h + h 2 ⎧ = =⎨ h ⎩nincs értelmezve h = 0 3. 2 ( 2 + h) − 2 2 lim h 0 h = lim(4 + h ) = 4 h 0 x = 2 helyen differenciálható és a differenciálhányadosa 4-gyel egyenlő. Ez geometriailag azt jelenti, hogy a normál parabolához a (2,4 ) pontban érintő rajzolható, és ennek Vagyis az y = x függvény az 2 meredeksége 4. λ Az előzőek azt mutatják, hogy a tekintett függvény differenciálhányadosának az értéke függ attól, hogy melyik helyen vett

differenciálhányadosról van szó. Ez általában is igaz. Az f ( x ) függvény valamely helyen vett differenciálhányadosa függ attól, hogy milyen helyen vettük a differenciálhányadosát. Azt a függvényt, amelyik megadja, hogy az f függvény x pontbeli differenciálhányadosa hogyan függ az x-től az f függvény differenciálhányados-függvényének vagy derivált függvényének (röviden deriváltjának) nevezzük, és ezt a függvényt f ′(x ) -szel jelöljük. κ 2 2.2 Példa Megmutatjuk, hogy az y = x függvény mindenütt differenciálható és a derivált-függvénye y = 2 x . Legyen x ∈ R tetszőleges 1. ( x + h )2 − x 2 h DIFFERENCIÁLHÁNYADOS 2. ( x + h )2 − x 2 h = 33 x 2 + 2hx + h 2 − x 2 = = h 2x + h h≠0 2hx + h 2 ⎧ =⎨ h ⎩nincs értelmezve h = 0 3. lim h 0 ( x + h )2 − x 2 h = lim(2 x + h ) = 2 x h0 λ A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata Ha az f ( x ) függvény az x0 helyen differenciálható, akkor

az f ( x ) függvény az x0 helyen folytonos. Az állítás megfordítása nem igaz, ugyanis a folytonosságból nem következik a differenciálhatóság. Erre példa az y = x függvény, amely az x = 0 helyen folytonos, de nem differenciálható. 2.2 Differenciálási szabályok 1) Konstans függvény differenciálása Ha c tetszőleges valós szám és az f ( x ) = c , akkor az f ( x ) függvény mindenütt differenciálható és ′ f ′( x ) = (c ) = 0 . Ezt röviden úgy mondjuk, hogy a konstans deriváltja mindenütt nulla. 2) Hatványfüggvény differenciálása Minden olyan helyen, ahol az f ( x ) = x r hatványfüggvény differenciálható ( )′ = rx f ′( x ) = x r r −1 . 34 2. FEJEZET 3) Függvény konstansszorosának differenciálása Ha f (x ) = cg ( x ) f ′( x ) is létezik és ahol c tetszőleges valós szám és g ′(x ) létezik, akkor ′ f ′(x ) = (cg (x )) = cg ′(x ) . 4) Függvények összegének differenciálása Ha g ′( x )

és k ′(x ) léteznek és f ( x ) = g ( x ) + k (x ) , akkor f ′(x ) is létezik és ′ f ′( x ) = ( g ( x ) + k (x )) = g ′( x ) + k ′(x ) . 5) Szorzatfüggvény differenciálása Ha f (x ) = g ( x )k ( x ) és g ′( x ), k ′( x ) léteznek, akkor f ′(x ) is létezik és f ′( x ) = g ′( x )k ( x ) + g ( x )k ′( x ) . 6) Hányadosfüggvény differenciálása g (x ) és g ′( x ), k ′(x ) léteznek, és k ( x ) ≠ 0 , akkor az f ( x ) függvény is k (x ) differenciálható az x helyen , és Ha f (x ) = f ′( x ) = g ′( x )k ( x ) − g ( x )k ′( x) k 2 (x ) 7) Összetett függvény differenciálása 35 DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Ha f (x ) = g (k (x )) és g ′(k ( x )) és k ′( x ) léteznek, akkor az f függvény is differenciálható az x helyen és f ′( x ) = ( g (k ( x )))′ = g ′(k ( x ))k ′( x ) . 2.3 Magasabb rendű deriváltak Ha az f függvény olyan, hogy az f ′(x ) derivált függvénye is differenciálható, akkor ennek

a deriváltját, az f ′′( x ) = ( f ′( x ))′ az f függvény második deriváltjának nevezzük, és azt mondjuk, hogy az f függvény kétszer differenciálható. Hasonló módon értelmezhetjük valamely f függvény magasabb rendű deriváltjait is. Valamely f függvény n-edik deriváltján az f differenciálhányadosának a differenciálhányadosát értjük: függvény n-1-edik ′ f (n ) (x ) = f (n −1) ( x ) . ( κ 2.3 Példa Ha ) f ( x ) = 5 x 3 − x + 1 , akkor f ′(x ) = 15 x 2 − 1 , ′ f ′′( x ) = 15 x 2 − 1 = 30 x , ′ f ′′′( x ) = (30 x ) = 30, ′ f (4 ) (x ) = (30 ) = 0 ( és általában f (n ) (x ) = 0 ) (n ≥ 4) . λ 36 2. FEJEZET 2.4 Közelítő számítások Tekintsünk egy f függvényt, amelynek ismerjük az értékét és a differenciálhányadosát valamely x helyen. Kérdés, hogy ezen információk alapján hogyan lehet közelítőleg meghatározni az x + ∆x ( ∆x ≠ 0 ) helyen felvett f ( x + ∆x )

függvényértéke. Vezessük be a ∆f = f (x + ∆x ) − f (x ) jelölést. 2.3 Ábra A 2.3 Ábráról látható, hogy ha ∆x kicsi, akkor ∆f közelítőleg megegyezik az (x, f (x )) pontban húzott érintő egyenesen vett változással. Ez utóbbi pedig a megfelelő derékszögű háromszög alapján (figyelembe véve, hogy az érintő egyenes iránytangense f ′( x ) ) pontosan f ′( x )∆x . Kaptuk tehát, hogy ∆f ≈ f ′(x )∆x , és ez a közelítés annál pontosabb, minél kisebb a ∆x abszolút értéke, azaz x + ∆x minél közelebb van x-hez. Figyelembe véve, hogy ∆f = f (x + ∆x ) − f (x ) , adódik, hogy f (x + ∆x ) ≈ f (x ) + f ′( x )∆x DIFFERENCIÁLHÁNYADOS 37 κ 2.4 Példa Differenciálok segítségével számítsuk ki 4 16.5 közelítő értékét 1 f (x ) = 4 x = x 4 , Legyen x = 16 . Ekkor f (16) = 2 , és ∆x = 0.5 3 1 − Mivel f ′( x ) = x 4 , 4 f ′(16 ) = 3 1 (16 )− 4 = 1 4 4 1 ( 16 ) 3 4 = 1 1 1 . =

3 42 32 Így 4 16.5 = f (165) ≈ f (16 ) + f ′(16 )(05) = 2 + 1 (0.5) = 2015625 32 λ κ 2 2.5 Példa Valamely termék kínálatfüggvénye p = 3q 3 Differenciálok segítségével határozzuk meg azt a közelítő egységárat, amely esetén 990 egység a kínált mennyiség. 2 Legyen p = s(q ) = 3q 3 . Tudjuk, hogy s(q + ∆q ) ≈ s(q ) + s ′(q )∆q . q + ∆q = 990 esetén. q-t úgy célszerű megválasztani, hogy egyrészt s (q ) könnyen kiszámítható legyen, másrészt ∆q viszonylag kicsi legyen. Például Most ezt a közelítést szeretnénk alkalmazni q = 1000 és ∆q = −10 esetén s(1000) = 3(1000) 3 = 3(10) = 3 ⋅ 100 , 2 2 −1 s ′(1000 ) = 2(1000 ) 3 = 2 = 0 .2 10 Tehát s(990) = s(1000 + (− 10)) ≈ s(1000) + s ′(1000)(− 10) = = 3(10 ) + 0.2(− 10 ) = 300 − 2 = 298 2 λ 38 3. FEJEZET 3. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 3.1 Függvény növekedése, csökkenése 3.1 Definíció Az y = f ( x ) függvény az I intervallumon növekvő,

ha az I intervallum tetszőleges x1 < x2 pontjai esetén f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) teljesül. A függvényt szigorúan növekvőnek nevezzük, ha valahányszor x1 , x2 ∈ I , és x1 < x2 mindannyiszor f ( x1 ) < f ( x 2 ) . 3.2 Definíció Az y = f ( x ) függvény az I intervallumon csökkenő, ha az I intervallum tetszőleges x1 < x2 pontjai esetén f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) teljesül. A függvényt szigorúan csökkenőnek nevezzük, ha valahányszor x1 , x2 ∈ I , és x1 < x2 mindannyiszor f ( x1 ) > f ( x 2 ) . Az I intervallumon növekvő, vagy csökkenő függvényeket intervallumon monoton függvényeknek nevezzük. közös néven az I 3.3 Definíció Ha az y = f ( x ) függvény az x0 pontban növekvő, ha az x0 pontnak van olyan környezete, ahol a függvény szigorúan növekvő. 3.4 Definíció Ha az y = f ( x ) függvény az x0 pontban csökkenő, ha az x0 pontnak van olyan környezete, ahol a függvény szigorúan csökkenő. Az nyilvánvaló, hogy ha az

y = f ( x ) függvény az I intervallum minden pontjában növekvő a 3.3 definíció értelmében, akkor az y = f ( x ) függvény szigorúan növekvő az I intervallumon a 3.1definíció szerint is A következőkben meg fogjuk vizsgálni, hogy differenciálható függvények esetén a differenciálhányados milyen információt szolgáltat a függvény monotonitásáról. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 39 3.1 Ábra A fenti 3.1 Ábrán látható, hogy ha egy függvény görbéjéhez olyan x abszcisszájú pontjaiban rajzolunk érintőket, ahol monoton növekvő, akkor ezek az érintők a pozitív x-tengellyel hegyes szöget zárnak be, tehát az iránytangenseik, azaz a függvény differenciálhányadosai a tekintett pontokban pozitívok. Ha viszont a függvény valamely x helyen csökkenő, akkor az x abszcisszájú pontban a grafikonjához rajzolható érintő a pozitív x-tengellyel tompa szöget zár be, tehát az iránytangense, azaz a függvény differenciálhányadosa az adott

helyen negatív. Bebizonyítható, hogy ez fordítva is igaz, vagyis, hogy ha f ′(x ) > 0 ( f ′(x ) < 0 ), akkor az x helyen a függvény növekvő (csökkenő). Monotonitás és a derivált közötti kapcsolat 1) Ha f ′(x ) > 0 , akkor az f függvény az x helyen növekvő. Ha f ′( x ) > 0 x ∈ I esetén, akkor az f függvény az I intervallumon szigorúan növekvő. 2) Ha f ′(x) < 0 , akkor az f függvény az x helyen csökkenő. Ha f ′(x ) < 0 x ∈ I esetén, akkor az f függvény az I intervallumon szigorúan csökkenő. Tehát az első derivált előjele alapján meg tudjuk határozni, hogy a függvény hol növekvő, illetve, hogy hol csökkenő. κ 3.1 Példa Határozzuk meg, hogy az csökken. f ( x ) = 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x + 1 függvény hol növekszik és hol Az előzőek szerint ezt a derivált függvény vizsgálatával tudjuk megtenni: f ′( x ) = 6 x 2 − 24 x + 18 = 6( x − 1)( x − 3). 40 3. FEJEZET Ezért f ′( x )

> 0 , ha x < 1 vagy, ha x > 3 , és f ′( x ) < 0, ha 1 < x < 3 . Azaz az az f ( x ) = 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x + 1 növekvő a (− ∞,1) és a (3, ∞ ) intervallumokon és csökkenő (1,3) intervallumon. Ezen a ponton természetesen felmerül az a kérdés, hogy f ′( x ) = 0 esetén az x helyen a függvény milyen tulajdonságú. Ezt a kérdést fogjuk megvizsgálni a következő szakaszban. 3.2 Helyi szélsőértékek 3.5 Definíció Az y = f ( x ) függvénynek az x0 helyen helyi (lokális) maximuma van, ha az x0 -nak van olyan U ( x 0 ) környezete, hogy ha x ∈ U ( x0 ) és x ≠ x0 , akkor f ( x ) < f ( x0 ) . Ebben az esetben az x0 -at a függvény (lokális) maximum helyének nevezzük, az f (x0 ) függvényértéket pedig (lokális) maximumnak. 3.6 Definíció Az y = f ( x ) függvénynek az x0 helyen helyi (lokális) minimuma van, ha az x0 -nak van olyan U ( x 0 ) környezete, hogy ha x ∈ U ( x0 ) és x ≠ x0 , akkor f ( x ) > f ( x0 )

. Ebben az esetben az x0 -at a függvény (lokális) minimum helyének nevezzük, az f (x0 ) függvényértéket pedig (lokális) minimumnak. A lokális maximumot és a lokális minimumot közös néven lokális szélsőértéknek nevezzük. 3.2 Ábra FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 41 A 3.2 Ábrán látható függvénynek az x1 helyen lokális maximuma van ( U ( x1 ) = ( x1 − d1 , x1 + d1 ) ), és az x2 helyen lokális minimuma van ( U ( x 2 ) = ( x 2 − d 2 , x 2 + d 2 ) ). A függvény görbéjéhez az (x1 , f ( x1 )) és (x 2 , f ( x 2 )) pontokban húzott érintők ugyanakkor párhuzamosak az x tengellyel, vagyis f ′( x1 ) = 0 és f ′( x 2 ) = 0 . Az x1 és x2 helyek ebben az esetben olyanok, hogy létezik olyan környezetük - például U ( x1 ) és U ( x2 ) - amelyekre teljesül, hogy ⎧> 0 ha x ∈ U ( x1 ) és x < x1 f ′( x )⎨ ⎩< 0 ha x ∈ U ( x1 ) és x > x1 és ⎧< 0 ha x ∈ U ( x 2 ) és x < x 2 f ′( x )⎨ , ⎩> 0 ha x ∈ U ( x 2 )

és x > x 2 azaz az y = f ′( x) deriváltfüggvény az x1 és x2 helyeken úgy vesz fel zérus értéket, hogy közben egyúttal előjelet is vált. Tekintsük viszont az y = x 3 függvényt. 3.3 Ábra Ebben az esetben f ′( x ) = 3x 2 , tehát f ′(0) = 0 , de mint ahogy az a 3.3Ábrán látható, a függvénynek az x = 0 helyen nincs lokális szélsőértéke. Ugyanakkor azt is rögtön észrevehetjük, hogy a derivált függvényt illetően mi a különbség az előző esetekhez képest. Most az x = 0 helynek nincsen a fenti tulajdonságokkal rendelkező környezete, ugyanis az origónak bármelyik U (0) = (− d , d ) környezetét tekintjük is mindig f ′(x ) = 3x 2 > 0, ha x ∈ U (0) és x ≠ 0 függetlenül attól, hogy x a tekintett környezet melyik felébe esik. Ez azt jelenti, hogy a most vizsgált függvény deriváltja az origóban úgy zérus, hogy közben egyúttal nem vált előjelet. 42 3. FEJEZET A fentieket összefoglalva azt mondhatjuk, hogy

valamely differenciálható függvénynek ott lehet helyi szélsőértéke, ahol a deriváltja zéró. Kritikus helyek Az x = x0 az y = f ( x ) függvény kritikus helye, ha vagy f ′(x 0 ) , vagy f ′( x0 ) = 0 nem létezik A fentiek szerint az y = f ( x ) függvény lokális szélsőértékhelyei csak a kritikus helyei közül kerülhetnek ki. Hogy a kritikus helyek közül melyek azok, amelyek egyúttal lokális szélsőértékhelyek is a következő módon dönthető el: Első derivált teszt 1. Határozzuk meg az f függvény kritikus helyeit 2. Tüntessük fel egy számegyenesen a kritikus helyeket Ezek a pontok a számegyenest diszjunkt intervallumokra bontják. 3. A 2 lépésben keletkező intervallumok mindegyikén vizsgáljuk meg az f ′ derivált függvény előjelét: a. Ha f ′( x ) > 0 egy intervallumon, akkor azon az intervallumon a függvény monoton növekvő és ezt az ábránkon egy, az intervallum alá rajzolt felfelé mutató nyíllal jelezzük. b. Ha f

′( x ) < 0 egy intervallumon, akkor azon az intervallumon a függvény monoton csökkenő és ezt az ábránkon egy, az intervallum alá rajzolt lefelé mutató nyíllal jelezzük. 4. Az így kapott ábráról leolvasható, hogy a kritikus helyek közül melyek a lokális szélsőérték helyek, és hogy ezek lokális maximum helyek vagy lokális minimum helyek. κ 3.2 Példa Határozzuk meg az f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 16 függvény lokális szélsőértékeit. 1. Mivel ez a függvény mindenütt differenciálható a kritikus helyei csak az megoldásai: 3 x 2 − 18 x + 24 = 0 ha x = 2 vagy 4 . 2. A függvény mindenütt értelmezve van tehát a következő ábrát kapjuk: f ′(x ) = 0 egyenlet 43 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 3. Mivel a derivált függvény egy felfelé nyitott parabola: ⎧> 0 ha x < 2 vagy x > 4 f ′( x )⎨ ⎩< 0 ha 2 < x < 4 a függvény a csökkenő: (− ∞,2) Žs (4, ∞ ) halmazokon monoton növekvő, és a (2,4)

intervallumon monoton 4. A 3 lépésben kapott ábráról leolvasható, hogy a két kritikus hely mindegyike lokális szélsőérték hely, mégpedig az x = 2 helyen lokális maximuma és az x = 4 helyen lokális minimuma van a függvénynek: λ 3.3 Konvexség, konkávság 3.7 Definíció Az f függvényt az (a, b ) intervallumon konvexnek nevezzük, ha tetszőleges x1 , x 2 ∈ (a, b ) és x1 < x 2 esetén a függvény görbéje az ( x1 , x2 ) intervallumon az (x1 , f ( x1 )) és (x 2 , f ( x 2 )) pontokat összekötő húr alatt halad. 3.8 Definíció Az f függvényt az (a, b ) intervallumon konkávnak nevezzük, ha tetszőleges x1 , x 2 ∈ (a, b ) és x1 < x 2 esetén a függvény görbéje az ( x1 , x2 ) intervallumon az (x1 , f ( x1 )) és (x 2 , f ( x 2 )) pontokat összekötő húr fölött halad. konvex függvény konkáv függvény 3.4Ábra Azt, hogy valamely függvény hol konvex, illetve hol konkáv a fenti definíciók alapján sokszor elég nehéz eldönteni.

Szerencsére azonban differenciálható függvények esetén a második derivált segítségével ezt egyszerűen el tudjuk dönteni. 44 3. FEJEZET Konvexség, konkávság 1. Ha x ∈ (a, b ) esetén f ′′( x ) > 0 , akkor az f függvény konvex az (a, b ) intervallumon 2. Ha x ∈ (a, b ) esetén f ′′( x ) < 0 , akkor az f függvény konkáv az (a, b ) intervallumon A függvény grafikojának az olyan a pontját, amelyben a görbének egy konvex és egy konkáv íve kapcsolódik egymáshoz (vagy fordítva) inflexiós pontnak nevezzük. Ha f ′′( x0 ) = 0 , és az f ′′( x ) függvény az x0 -ban előjelet vált, akkor az (x0 , f ( x0 )) pont inflexiós pont. κ ( ) = 2. 3.3 Példa Ha f ( x ) = x , akkor f ′′ x függvény az egész számegyenesen konvex. 2 Mivel f ′′(x ) > 0 minden x esetén, ezért az x 2 λ κ 3.4 Példa Ha f ( x ) = 1 3 x − x 2 − 3 x , akkor f ′′(x ) = 2 x − 2 = 2( x − 1) . Vegyük észre, hogy 3 f ′′( x )

< 0, f ′′( x ) > 0, ha x < 1 ha x > 1 f ′′( x ) = 0, ha x = 1 ezért az f függvény a (− ∞,1) intervallumon konkáv, és az helyen inflexiós pontja van , (1, ∞ ) intervallumon konvex, és az x = 1 λ A következőkben megnézzük, hogy a második deriváltat hogyan lehet használni annak eldöntésére, hogy az első derivált zérushelyei közül melyek a lokális maximum, illetve minimum helyek. Második derivált teszt 1. Ha f ′( x0 ) = 0 és f ′′(x0 ) > 0, akkor az x0 helyen a függvénynek lokális minimuma van. 2.Ha f ′( x0 ) = 0 és f ′′(x0 ) < 0, akkor az x0 helyen a függvénynek lokális maximuma van. 3.Ha f ′( x0 ) = 0 és f ′′(x0 ) = 0 , akkor csak az első derivált teszttel lehet megállapítani, hogy az adott helyen van-e lokális szélsőértéke a függvények, és ha van, akkor az milyen. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 45 3.4 Függvények ábrázolása Az előzőekben megvizsgáltuk, hogy egy differenciálható

függvény első illetve második differenciálhányadosa milyen információt szolgáltat magáról a függvényről. Ezeket felhasználva ábrázolhatjuk az illető függvény grafikonját. 1) Meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát. 2) Megállapítjuk a kritikus értékeket. 3) Első derivált teszt: növekedés, fogyás szempontjából vizsgáljuk a függvényt, és megvizsgáljuk, hogy léteznek-e és ha igen hol vannak lokális szélsőértékek. 4) Második derivált teszt: konvexség, konkávság szempontjából vizsgáljuk a függvényt és meghatározzuk az esetleges inflexiós pontokat. 5) Megvizsgáljuk a függvény határértékét a ±∞ -ben. ( Ez a lépés függ a függvény értelmezési tartományától.) 6) Megvizsgáljuk a függvény határértékét azokon a helyeken, ahol a függvény esetleg nincs értelmezve. 7) Bizonyos "nevezetes" helyeken (szélsőérték helyek, inflexiós pont, x = 0 ) meghatározzuk a függvényértékeket, vagy

legalább megállapítjuk az előjelüket. κ x2 +1 függvényt. x 3.5 Példa Ábrázoljuk az f (x ) = 1) Értelmezési tartománya: {x : x ∈ R 0} . 2) f ′( x ) = ( ) 2 x 2 − x 2 + 1 x 2 − 1 (x − 1)(x + 1) = = x2 x2 x2 f ′( x ) = 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 , tehát ha x =1 vagy x = −1 . 3) Mivel x 2 > 0, ha x ≠ 0 , f ′ előjelét a számláló előjele határozza meg: x < −1 ⇒ x − 1 < 0 és x + 1 < 0 ⇒ f ′(x ) > 0 , − 1 < x < 0 ⇒ x − 1 < 0 és x + 1 > 0 ⇒ f ′( x ) < 0 . 46 3. FEJEZET 0 < x < 1 ⇒ x − 1 < 0 és x + 1 > 0 ⇒ f ′( x ) < 0 , 1 < x ⇒ x − 1 > 0 Žóés x + 1 > 0 ⇒ f ′( x ) > 0 . Az x = −1 helyen lokális maximuma van, és az x = 1 helyen lokális minimuma van a függvénynek. 4) f ′′( x ) = ( ) 2 x.x 2 − x 2 − 1 ⋅ 2 x 2 = 3 . x2 x f ′′(x ) < 0, ha x < 0 f ′′( x ) > 0, ha x > 0 5) 1⎞ x2 +1 ⎛ =

lim⎜ x + ⎟ = ∞ , x ∞ x ∞ x x⎠ ⎝ lim 1⎞ x2 +1 ⎛ = lim ⎜ x + ⎟ = −∞ . x −∞ x −∞ x x⎠ ⎝ lim 6) x2 + 1 = ∞, x 0+ 0 x lim x2 + 1 = −∞ . x 0− 0 x lim 7) f (1) = 2 , f (− 1) = −2 . Ezek alapján felrajzolhatjuk a függvény grafikonját: FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 47 λ 3.5 Abszolút szélsőértékek Tekintsünk valamely D ⊆ R halmazon értelmezett f (x ) függvényt. 3.9 Definíció Ha x1 ∈ D olyan, hogy f (x1 ) ≤ f ( x ) minden x ∈ D esetén teljesül, akkor f ( x1 ) -et a függvény D halmazon vett abszolút minimumának nevezzük. Az x1 helyet, tehát ahol ezt az abszolút minimális értéket felveszi a függvény abszolút minimumhelynek nevezzük. 3.10 Definíció Ha x2 ∈ D olyan, hogy f ( x 2 ) ≥ f ( x ) minden x ∈ D esetén teljesül, akkor f (x 2 ) -et a függvény D halmazon vett abszolút maximumának nevezzük. Az x2 helyet, tehát ahol ezt az abszolút maximális értéket felveszi a függvény

abszolút maximumhelynek nevezzük. Az abszolút maximumot, illetve minimumot közös néven abszolút szélsőértékeknek nevezzük. A fenti definíciókból látható, hogy az abszolút szélsőértékek létezése, illetve értékük nem csupán az f függvénytől, hanem a D ⊆ R halmaztól is függ. A következőkben azt fogjuk megvizsgálni, hogy folytonos függvények esetén hogyan határozhatók meg az abszolút szélsőértékek. 48 3. FEJEZET Tekintsük a 3.5 ábrán látható függvényt, amelyik az egész számegyenesen értelmezve van és lim f (x ) = 0,lim f (x ) = ∞. x −∞ x ∞ 3.5 Ábra Az ábráról leolvashatók a következő eredmények: D abszolút minimum abszolút maximum (− ∞, ∞ ) -4, amelyet az x = 4 helyen vesz fel, ugyanis a − 4, ∞ függvényértékek halmazának ez a legkisebb eleme. ) Nincs, mivel a függvény-értékek − 4, ∞ halmazának nincs legnagyobb eleme. Szintén az x = 4 helyen felvett -4 , mivel az adott

intervallumon felvett függvényértékek −4 , 4 hal- 4, amelyet az x = 0 helyen vesz fel a függvény, mivel az adott intervallumon felvett −4 , 4 függvényértékek mazának ez a legkisebb eleme. halmazának eleme. Nincs, mivel az adott intervallumon felvett függvényértékek (− 4,4 halmazának nincs legkisebb eleme. 4, amelyet az x = 0 helyen vesz fel a függvény, mivel az adott intervallumon felvett halfüggvényértékek (− 4,4 mazának ez a legnagyobb eleme. [ −2 , 4 [− 2,4) ] [ ) ez a legnagyobb ] FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT D −2, 5 (− ∞,−2) abszolút minimum abszolút maximum Az x = 4 helyen felvett -4, mivel a függvényértékek −4 , 4 halmazának ez a 4, amelyet az x = 0 helyen vesz fel a függvény, mivel a −4 , 4 halfüggvényértékek legkisebb eleme. mazának ez a legnagyobb eleme. Nincs, ugyanis ezen a halmazon felvett függvényértékek halmaza a 0,2 , és ennek a hal-maznak nincs legkisebb eleme. Nincs, mert a

lehetséges 0,2 halfüggvényértékek mazának nincs legnagyobb eleme. ( ) 49 ( ) A fentiekből könnyen láthatók az alábbi általános eredmény: Folytonos függvények abszolút szélsőértékei A véges a , b intervallumon folytonos f függvénynek a) van abszolút minimuma, amelyik az intervallum végpontjaiban felvett függvényértékek és az (a, b ) -be eső lokális minimumok közül a legkisebbel egyenlő; b) van abszolút maximuma, amelyik az intervallum végpontjaiban felvett függvényértékek és az (a, b ) -be eső lokális maximumok közül a legnagyobbal egyenlő. Ha a tekintett intervallum nem véges, vagy nem zárt, illetve, ha a függvény nem folytonos az adott intervallumon, akkor nem biztos, hogy léteznek az abszolút szélsőértékek. TARTALOMJEGYZÉK 51 4. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 4.1 Fedezeti pont, haszonmaximalizálás Tekintsünk valamely vállalatot, amelyik egy bizonyos termék előállításával foglalkozik.

Jelöljük q-val az előállított termék mennyiségét valamilyen egységben kifejezve q-t termelési szintnek, vagy a termelés volumenének, vagy kibocsátásnak nevezzük. Ezen termelési tevékenységből származó haszon legyen Π(q ) annak megfelelően, hogy ez nyilván függ az előállított termék mennyiségétől. Π (q ) = R(q ) − C (q ) , ahol C (q ) felmerülő költséget és R(q ) az előállított termék értékesítéséből származó bevételt jelöli. Általában a termelési költségek két részből tevődnek össze: C (q ) = F + V (q ) , ahol F a fix költség és V a változó költség. Költségek Fix költség: Változó költség: volumenétől. olyan költség, amelyik független a termelési volumentől. a termelési költségnek az a része, amelyik függ a termelés Fedezeti pont: Az a q f a termelési volumen, amely esetén Π (q f ) = 0 . Legegyszerűbb esetben V (q ) = v ⋅ q , ahol v az egy egységnyi termék

előállításának effektív költsége, az u.n fajlagos változó költség. 52 TARTALOMJEGYZÉK Ilyen esetekben a költségfüggvény lineáris: C (q ) = F + V (q ) = F + v ⋅ q . A bevételfüggvény, ha p-vel jelöljük e termék egységárát: R(q ) = p ⋅ q . Tehát a haszonfüggvény Π (q ) = pq − ( F + vq) = ( p − v)q − F . Ebből következik, hogy a fedezeti pont (vagy fedezeti ponti mennyiség) qf = F . p−v Nyilván csak pozitív fedezeti pontnak van értelme, tehát fedezeti pont csak akkor létezik, ha p > v , azaz ha az egységár nagyobb, mint a fajlagos változó költség. Ebben az esetben p − v azt adja meg, hogy mekkora az egy termékegység előállításából származó haszon. A fedezeti pont elnevezés onnan adódik, hogy ekkora termékmennyiség előállításából származó haszon éppen fedezi a fix költségeket. 4.1 Ábra A 4.1Ábráról látható, hogy a fedezeti pont nem más, mint a költségfüggvény és a

bevételfüggvény metszéspontjának abszcisszája, vagy ahol a haszonfüggvény metszi a q tengelyt. A fenti ábráról az is leolvasható, hogy q < qf esetén a termelés veszteséges, és q > qf esetén a termelés nyereséges. TARTALOMJEGYZÉK 53 Ha semmilyen kapacitáskorláttal nem kell számolnunk, akkor nem beszélhetünk maximális hasznot biztosító termelési volumenről, mivel a lineáris haszonfüggvény a (q f , ∞ ) halmazon növekvő, tehát nincs abszolút maximuma. Másodfokú haszonfüggvény esetén, ha létezik egyáltalán nyereséget biztosító termelési volumen a helyzet a következő: 4.2 Ábra Ekkor két olyan, q1 és q2 termelési volumen létezik, amelyek esetén Π ( q1 ) = Π ( q2 ) = 0 . A q1 az a termelési volumen, amelyet legalább el kell érnünk ahhoz, hogy ne legyen veszteséges a termelés, és q2 pedig azt a termelési volument jelenti amelynél többet viszont nem szabad termelnünk, mert e fölött ismét veszteségessé

válik a termelés. Ezen határok között a termelés volumenét úgy kell megválasztani, hogy a haszon maximális legyen. Ha a korlátozott mértékben rendelkezésre álló erőforrások miatt kapacitáskorláttal kell számolnunk, azaz ha a tekintett időszak alatt legfeljebb Q mennyiség előállítására vagyunk képesek és q1 < Q ≤ q2 , akkor a haszonmaximalizálás azt jelenti, hogy a Π( q ) függvénynek meg kell határozni a q1 , Q intervallumon az abszolút maximumát. Ha ilyen kapacitáskorláttal nem kell számolnunk, akkor viszont a haszonfüggvénynek a q1 , q2 intervallumon kell megkeresni az abszolút maximumát, amelyik ebben az esetben nem más, mint a Π( q ) függvény lokális maximuma. 4.2 Keresletfüggvény, kínálatfüggvény Tapasztalati tény, hogy valamely termék ára és az iránta megnyilvánuló kereslet között összefüggés van. Hogy milyen ez a kapcsolat, az függ a tekintett piactól és terméktől 54 TARTALOMJEGYZÉK Azt a

függvényt, amelyik megadja, hogy egy adott piacon hogyan függ valamely termék kereslete az árától, az illető termék keresletfüggvényének nevezzük. Kersletfüggvény Valamely termék D ( p ) keresletfüggvénye megadja, hogy p piaci ár esetén mekkora az a maximális q termékmennyiség, amelyet a fogyasztók képesek és hajlandók megvásárolni. Ez a függvény nyilván csökkenő függvény. Tekintsünk két egységárat és legyen p1 < p2 . Ekkor D( p1 ) ≥ D( p 2 ) , mivel azon fogyasztók, akik a magasabb p2 áron megveszik a D( p 2 ) mennyiséget az alacsonyabb p1 áron legalább ugyanennyit vásárolnak, illetve olyan fogyasztók is megjelenhetnek keresletükkel ezen az alacsonyabb áron, akik a magasabb p2 árat nem hajlandók, vagy nem tudják a termékért megfizetni. A keresletfüggvény görbéjét keresleti görbének szokás nevezni Különböző lehetséges keresleti görbéket láthatunk a 4.3 Ábrán 4.3 Ábra Az, hogy a keresletfüggvény konvex

vagy konkáv, hogy a lim D( p ) és lim D ( p ) p 0 p ∞ határértékek mivel egyenlők, a piactól és a vizsgált terméktől függ. Ha a D keresletfüggvény szigorúan monoton csökkenő, akkor értelmezhető a D −1 inverz függvénye, amit szintén szokás keresletfüggvénynek nevezni. Ekkor p = D −1 (q ) jelenti azt a legmagasabb egységárat, amelyen még a q mennyiség mind értékesíthető a piacon, ennél magasabb áron a piac csak q-nál kisebb mennyiséget vesz fel. Valamely termék ára és a piacon megjelenő termék mennyisége között is kapcsolat van. Azt a függvényt, amelyik megadja, hogy milyen összefüggés van a piacon kínált mennyiség és az ár között kínálatfüggvénynek nevezzük. Kínálatfüggvény A S ( p ) függvényt valamely termék kínálatfüggvényének nevezzük, ha S ( p ) megadja azt a maximális mennyiséget, amelyik p egységár esetén megjelenik a piacon. TARTALOMJEGYZÉK 55 A kínálatfüggvény növekvő

függvény. Tekintsünk ugyanis két egységárat, és legyen p1 < p2 . Ha p1 az eladási egységár, akkor azok a termelők tudnak a piacon megjelenni az adott termékkel, amelyeknél a termék fajlagos változóköltsége kisebb mint p1 , és az általuk előállított termék összmennyisége S ( p1 ) . A magasabb p2 ár esetén az előbbi termelők továbbra is a piacon maradnak, de megjelenhetnek a piacon olyan termelők is, akiknél a termék előállításának fajlagos változó költsége p1 -nél magasabb, de p2 -t nem haladja meg. Azaz S ( p 2 ) ≥ S ( p1 ) Lehetséges kínálatfüggvényeket szemléltetünk a 44 Ábrán. 4.4 Ábra Piaci egyensúly Piaci egyensúlyról beszélünk, ha S ( p ) = D( p ) teljesül, azaz ha az adott áron a fogyasztók által keresett mennyiség egyenlő a termelők által kínált mennyiséggel. Azt a pe árat, amelyre ez teljesül egyensúlyi árnak, a hozzá tartozó q e = S ( pe ) = D( pe ) mennyiséget egyensúlyi mennyiségnek

nevezzük. Tiszta piacgazdasági körülmények között, amikor a gazdasági folyamatokba semmilyen adminisztratív beavatkozás nem történik, az idő folyamán automatikusan beáll ez az egyensúlyi állapot. A folyamatot a 44 Ábrán szemléltetjük 56 TARTALOMJEGYZÉK 4.5 Ábra Tegyük fel, hogy a kiindulási ár p1 > pe . Ekkor a fogyasztok által keresett mennyiség D1 = D( p1 ) kisebb, mint a termelők által kínált S1 = S ( p1 ) mennyiség, azaz az illető termékből felesleg, az adott áron el nem adható mennyiség jelentkezik a piacon. Ekkor a termelők intenzív versenybe kezdenek a fogyasztókért, ami az ár csökkenését eredményezi. Ez mindaddig tart, amíg a kínálati piac meg nem szűnik, azaz amíg ki nem alakul egy p2 < pe ár. Ebben az esetben viszont D2 > S2 , azaz az adott áron a termék iránt megnyilvánuló kereslet nagyobb, mint a kínálat, hiány alakul ki a piacon. Ez pedig az ár emelkedését eredményezi mindaddig, amíg ez az

állapot meg nem szűnik. Kialakul egy p3 > pe és p3 < p1 ár, ami ismét kínálati piacot eredményez, de a jelentkező túlkínálat már kisebb lesz, mint ami a p1 ár esetén kialakult. A folyamat a fentieknek megfelelően alakul mindaddig, amíg a pe egyensúlyi ár ki nem alakul. Ebben az esetben a keresett mennyiség pontosan egyenlő a kínált mennyiséggel. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy semmilyen olyan hatás nem érvényesül, amely az ár bármely irányú megváltozását eredményezné, azaz kialakult az egyensúlyi állapot. Haszonmaximalizálás a kínálati viszonyok figyelembevételével Az előzőekben a vizsgált haszonfüggvényekben az eladási árat az értékesített q mennyiségtől független konstansnak tekintettük, vagyis a keresleti viszonyokra nem voltunk tekintettel. Az ilyen modellek érvényességi köre korlátozott, mert csak olyan volumenek esetén érvényesek, amelyek még mind értékesíthetők az adott áron. Ha a

haszonfüggvényben a keresleti viszonyokat is figyelembe vesszük, akkor az értékesítési ár az értékesítendő mennyiség függvénye lesz A keresletfüggvényt most abban az alakjában célszerű használni, amelyikben a termék mennyisége a független változó, és a függvényérték megadja az azon az áron értékesíthető mennyiséget: p = D −1 (q ) . Ekkor a haszonfüggvény Π (q ) = R(q ) − C (q ) = qD −1 (q ) − C (q ) TARTALOMJEGYZÉK 57 ahol C (q ) jelenti a teljes termelési költséget q termelési volumen esetén. A hoszonmaximalizálás ilyen esetekben a fenti alakú függvény maximalizálását jelenti. κ 4.1 Példa Egy cég valamely termékét 1500 Ft-os egységáron értékesíti A termeléssel kapcsolatos költségfüggvény C (q ) = q 2 + 500000 Határozzuk meg, hogy milyen termelési volumen esetén lesz a hasznuk maximális, és hogy mekkora ez a maximális haszon. A haszonfüggvény Π (q ) = 1500q − q 2 − 500000 . Π ′(q ) =

1500 − 2q = 0 , ha q = 750 . Tehát a haszonfüggvénynek ezen a helyen lehet lokális szélsőértéke. Mivel esetünkben a haszonfüggvény lefelé nyitott parabola, ezért ez lokális maximumhely, ami egyúttal a függvény abszolút maximumhelye is. Tehát 750 egység termelése esetén lesz a haszon maximális és ez a maximális haszon Π (750) = 62500 Ft lesz. Természetesen mindez csak abban az esetben igaz, ha mind a 750 egységnyi terméket eltudják adni 1500 Ft-os egységáron. Vizsgáljuk meg ezek után a kérdést úgy is, hogy figyelembe vesszük a termék keresletfüggvényét. Tegyük fel, hogy a keresletfüggvény p = 2100 − 0. 5q Ekkor a haszonfüggvény Π (q ) = q(2100 − 0.5q ) − q 2 − 500000 Vagyis Π ′(q ) = 2100 − 3q = 0 akkor teljesül, ha q = 700 . Hasonló okokból, mint az előbb a haszonfüggvénynek ezen a helyen abszolút maximuma van. Tehát, ha a keresleti viszonyokat is figyelembe vesszük a legnagyobb haszonra akkor tesznek szert,

ha 700 egységnyit termelnek. Ekkor az eladási ár p = 2100 − 0.5(700) = 1750 Ft 58 TARTALOMJEGYZÉK és a haszon Π(700) = 1750(700) − 700 2 − 500000 = 235000 Ft . Vagyis, ha tekintettel vagyunk a keresletre, akkor az elérhető maximális hasznunk, alkalmasint nagyobb lehet, mint ha az eladási árat nem a keresleti viszonyoknak megfelelően választom meg. Ha 1500 Ft-os egységárat alkalmazunk, akkor a maximális lehetséges hasznunk csak 62500 Ft. Ez el is érhető, mert 1500 Ft-os egységáron q = 4200 − 2(1500) = 1200 egységnyi terméket vásárolnának meg a fogyasztók. Tehát, ha a cég csak 700 egységnyit termel, akkor marad ki nem elégített kereslet a piacon, de a cég költségviszonyai mellett nem éri meg többet termelni. Az 1500-as egységár az adott keresleti viszonyok mellett egy nem jól megválasztott ár. Más keresletfüggvény esetén az ellenkező eset is előfordulhat, azaz, hogy akkor jár jobban a cég, ha többet termel és azt

alacsonyabb áron értékesíti. λ Haszonmaximalizálás árdiszkrimináció esetén Ha valamely termelő két vagy több piacon, az ottani keresleti viszonyoknak megfelelő különböző árakon értékesít valamely terméket, akkor árdiszkriminációról, vagy a piacok megkülönböztetéséről beszélünk. κ 4.2 Példa Tegyük fel, hogy egy termelő valamely termékét a hazai és a külpiacon is értékesíteni óhajtja. A termék kereslete a két piacon különböző: hazai q p = 100 − , 5 külpiac p = 200 − q 15 A költségfüggvény: C (q ) = 25q + 500 Határozzuk meg, hogy mikor lesz a haszon maximális, ha a) nem különböztetjük meg a két piacot; b)ha megkülönböztetjük a két piacot a) Mindkét piacon ugyanazt a p árat fogjuk alkalmazni. mennyiségeket tudjuk értékesíteni: hazain qh = 500 − 5 p , külpiacon q k = 3000 − 15 p . Ekkor az egyes piacokon a következő Tehát a teljes kereslet q = qh + qk = 3500 − 20 p .

TARTALOMJEGYZÉK 59 A haszonfüggvény: Π( p ) = p(3500 − 20 p ) − 25(3500 − 20 p ) − 500 . Π ′( p ) = 3500 − 40 p + 500 = 4000 − 40 p = 0 , ha p = 100 . Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy ezen a helyen a haszonfüggvénynek abszolút maximuma van. Tehát az eladási árat 100-nak kell választani. Ekkor az egyes piacokon értékesíthető mennyiségek: hazain: q h = 500 − 5(100) = 0 , külpiacon: q k = 3000 − 15(100) = 1500. Vagyis a maximális hasznot akkor érjük el, ha 1500 egységnyi terméket állítunk elő, ezt mind a külpiacon értékesítjük 100-as áron. A maximális haszon: Π max = Π (100) = 100(1500) − 25(1500) − 500 = 112000 . b) Most a két piacon különböző árakat, ph következő mennyiségeket tudjuk értékesíteni: hazain qh = 500 − 5 ph , külpiacon qk = 3000 − 15 ph . és pk fogunk alkalmazni. Ekkor az egyes piacokon a Ekkor a haszonfüggvény két változótól, a két különböző ártól függ: Π ( p h ,

p k ) = p h (500 − 5 p h ) − 25(500 − 5 p h ) + + p k (3000 − 15 p k ) − 25(3000 − 15 p k ) − 500 Vegyük észre, hogy Π ( p h , p k ) = Π 1 ( p h ) + Π 2 ( p k ) − 500. Mivel Π 1 ( p h ) ≥ 0 és Π 2 ( p k ) ≥ 0 a fenti haszonfüggvény akkor lesz maximális, ha Π 1 ( p h ) Žé Π 2 ( p k ) egyenként maximálisak. Π 1′ ( p h ) = 500 − 10 p h + 125 = 0, ha p h = 62.5 , és Π ′2 ( p k ) = 3000 − 30 p k + 375 = 0, ha p k = 112.5 Ekkor 60 TARTALOMJEGYZÉK q h = 500 − 5(62.5) = 1875 , és q k = 3000 − 15(112.5) = 13125 Végül Π max = 62.5(1875) + 1125(13125) − 25(1500) − 500 = 121375 Összefoglalva: ha megkülönböztetjük a két piacot, akkor is 1500 egységnyit kell termelnünk, de ebből 187.5 egységet 625-es áron a hazai piacon értékesítünk, 13125 egységet pedig 1125-es áron a külpiacon és az ebben az esetben elért maximális hasznunk 12375 lesz, ami nagyobb, mint az árdiszkrimináció nélkül elérhető

maximális haszon. λ 4.3 Kereslet rugalmassága A keresletnek azt a tulajdonságát, amit a 4.1 példában tapasztaltunk nevezzük a kereslet rugalmasságának. Általában igaz, hogy az ár növekedésével a kereslet csökken. Ha q = D( p ) a keresletfüggvény, akkor keresletcsökkenés D ′( p ) sebessége általában függ p-től, a kiindulási ártól. Ezt szemlélteti a 46 Ábra tipikus keresletfüggvények esetén. 4.6 Ábra Ha D ′( p ) nagy, akkor a kereslet nagyon változik az árral: kis árváltozás is nagy keresletváltozást eredményez. Míg ha D ′( p ) kicsi, akkor ha kicsit változik az ár a kereslet is csak kicsit fog változni. κ 4.2 Példa Tegyük fel, hogy Ekkor D( p ) = 4000 − p 2 . TARTALOMJEGYZÉK 61 D ′( p ) = −2 p . Így D(20) = 4000 − 20 2 = 3600 és D(40) = 4000 − 40 2 = 2400 , és D ′(20 ) = −40 Žs D ′(40 ) = −80. Tehát ha 20 Ft az ár, akkor egy 25%-os (azaz 5 Ft-nyi) árnövekedés közelítőleg ∆p D ′( p )

= 5 ⋅ − 40 = 200 egységnyi , tehát 5.56%-os keresletcsökkenést eredményez Viszont, ha a 40 Ft-os árat növelem meg 25%-kal, akkor ez már közelítőleg ∆p D ′( p ) = 10 ⋅ − 80 = 800 egységnyi, azaz 33.3%-os keresletcsökkenést fog eredményezni λ Ha kis árváltozás nagy keresletváltozást eredményez, akkor a kiindulási árhoz tartozó keresletet rugalmasnak nevezzük. Ellenkező esetben, tehát amikor egy kis árváltozás nem befolyásolja lényegesen a keresletet, rugalmatlan keresletről beszélünk. Hogy a fenti fogalmakat pontosan tudjuk értelmezni, bevezetjük a keresletrugalmasság fogalmát. Legyen p a kiindulási ár. Tekintsük azt az esetet, amikor ezt megnöveljük ∆p -vel Ez ∆p 100 %-os árnövekedést jelent. Ha q = D( p ) a termék keresletfüggvénye, akkor az p árnövekedés hatására a kiindulási D( p ) kereslet D( p + ∆p ) - re csökken, azaz a kereslet D( p + ∆p ) − D( p ) -vel változik meg. (Ez a különbség negatív, ez

jelzi, hogy a D( p + ∆p ) − D( p ) ⋅ 100% . változás csökkenés.) Tehát a százalékos keresletváltozás D( p ) Tekintsük ezek után a százalékos keresletváltozásnak és a százalékos árváltozásnak a hányadosát: D( p + ∆p ) − D( p ) D( p ) . ∆p p Ez a viszonyszám a kiindulási áron kívül függ még a tekintett árnövekedés ∆p nagyságától is. Keresletrugalmasságként viszont olyan jellemzőt szeretnénk értelmezni, amelyik csak a p árhoz tartozó keresletre jellemző. Ennek érdekében a p árhoz tartozó 62 TARTALOMJEGYZÉK E ( p ) keresletrugalmasságot a fenti viszonyszám határértékeként fogjuk értelmezni ∆p 0 esetén. D ( p + ∆p ) − D ( p ) p D ( p + ∆p ) − D ( p ) D( p ) E ( p ) = lim = lim = ∆p 0 ∆p 0 D ( p ) ∆p ∆( p ) p = p D( p + ∆p ) − D( p ) pD ′( p ) lim = . D( p ) ∆p 0 D( p ) ∆( p ) Keresletrugalmasság q = D( p ) , Ha valamely termék keresletfüggvénye keresletrugalmassága p ár

esetén E( p) = Ha E ( p ) < 1 akkor a kereslet akkor a termék pD ′( p ) . D( p ) rugalmatlan ha E ( p ) > 1 akkor a kereslet rugalmas. Ha E ( p ) = 1 akkor egységnyi rugalmasságú keresletről beszélünk Valamely termék esetén lehetséges, hogy bizonyos árak esetén a kereslet rugalmas, míg más árak esetén rugalmatlan. κ 4.3 Példa Ha valamely termék keresletfüggvénye q = −1000 p + 10000 (0 ≤ p ≤ 10) akkor keresletrugalmassága E( p) = p(− 1000) p = − 1000 p + 10000 p − 10 Tegyük fel, hogy p = 2 . Ekkor E (2 ) = 2 = 0.25 < 1 , 2 − 10 azaz ilyen ár esetén a termék kereslete rugalmatlan. p = 2 ár esetén a kereset mennyiség 8000 egység Ha 10 %-kal megnöveljük az árat, akkor p = 2. 20 ár mellett a kereslet 7800 egység lesz - 200 egységgel csökken - ami 2.5 %-os keresletcsökkenést jelent, ami kisebb mint 10% Viszont ha p = 8 az ár akkor TARTALOMJEGYZÉK E (8) = 63 8 = 4 > 1, 8 − 10 azaz ilyen ár

esetén a kereslet rugalmas. Ezen az áron 2000 egység a keresett mennyiség Ha most is végrehajtunk egy 10 %-os áremelést, akkor az új p = 8. 80 -as áron a kereslet 1200 egységre esik vissza. Ez a 800 egységnyi keresletcsökkenés most 10 %-nál nagyobb, 40 %-os keresletcsökkenést jelent. Példánkban p = 5 esetén lesz egységnyi rugalmasságú a kereslet Ha most tekintünk egy 10%-os árnövekedést, akkor az eredeti 5000 egységnyi kereslet 4500 egységnyire csökken, és ez az 500 egységnyi csökkenés 10 %-os keresletcsökkenést jelent. Tehát, ha egységnyi rugalmasságú a kereslet, akkor egy kismértékű árváltozás körülbelül ugyanolyan százalékos keresletváltozást eredményez. λ 4.4 Határköltség, határbevétel, határhaszon Ebben a szakaszban a költség-, bevétel- és a haszonfüggvényeket csak a termelési volumen, azaz a kibocsátás függvényeként tekintjük. Minden egyéb befolyásoló tényezőt a meggondolásainkban adottnak veszünk,

azaz ezek a modelljeink paraméterei. Határköltség Legyen C (q ) = F + V (q ) a vizsgált költségfüggvény, ahol q a termelési volumen, vagy kibocsátás. A határköltség-függvény nem más, mint a költségfüggvény deriváltja: c(q ) = C ′(q ) Ezek szerint a határköltség a kibocsátás megváltozásához tartozó költségváltozást méri. A ∆C = C (q + ∆q ) − C (q ) ≈ C ′(q )∆q = c(q )∆q . közelítő összefüggésből adódik a határköltség szemléletes jelentése: c(q )∆q közelítőleg megadja, hogy mennyivel változik meg a költségünk, ha a q kibocsátást kis ∆q -val megnövelem. A q termelési volumenhez tartozó c(q ) határköltség pedig közelítőleg megadja, hogy mennyivel változik a költségünk, ha a termelés volumenét egységnyi mennyiséggel, q-ról q + 1 -re növeljük ( ∆q = 1 ). ′ Mivel C ′(q ) = (V (q ) + F ) = V ′(q ) , a határköltséget a változó költségek határozzák meg. Tehát az összes olyan

költség-függvénynek, amelyek csak a fix költségben különböznek ugyanaz a határköltségük. 64 TARTALOMJEGYZÉK Határbevétel Határbevétel-függvénynek a bevételfüggvény deriváltját nevezzük: r (q ) = R ′(q ) . Attól az esettől eltekintve, amikor igen nagy tartományban az ár független a kibocsátástól - amikor R(q ) = pq , és p az említett tartományban konstans - a q = D( p ) bevételfüggvény meghatározásánál figyelembe kell venni a keresletfüggvényt. R(q ) = qD −1 (q ) , ahol D −1 a D keresletfüggvény inverze. A ∆R = R(q + ∆q ) − R(q ) ≈ R ′(q )∆q = r (q )∆q . közelítő összefüggésből adódik a határbevétel szemléletes jelentése: r (q )∆q közelítőleg megadja, hogy mennyivel változik meg a bevételünk, ha a q kibocsátást kis ∆q -val megnövelem. A q termelési volumenhez tartozó r (q ) határbevétel pedig közelítőleg megadja, hogy mennyivel változik a bevételünk, ha a termelés volumenét

egységnyi mennyiséggel, q-ról q + 1 -re növeljük ( ∆q = 1 ). Ez a változás növekedés, ha r (q ) > 0 , és csökkenés, ha r (q ) < 0 . Határhaszon A határhaszon-függvény a haszonfüggvény deriváltja: π (q ) = Π ′(q ) = (R(q ) − C (q ))′ = r (q ) − c(q ) . A ∆Π = Π(q + ∆q ) − Π(q ) ≈ Π ′(q )∆q = π (q )∆q közelítő összefüggésből adódik a határhaszon szemléletes jelentése: π (q )∆q közelítőleg megadja, hogy mennyivel változik meg a haszon, ha a q kibocsátást kis ∆q -val megnövelem. Azt, hogy a változás növekedés, vagy csökkenés nyilván a határhaszon előjele dönti el. A q termelési volumenhez tartozó π (q ) határhaszon pedig közelítőleg TARTALOMJEGYZÉK 65 megadja, hogy mennyivel változik a hasznunk, ha a termelés volumenét egységnyi mennyiséggel, q-ról q + 1 -re növeljük ( ∆q = 1 ). 66 TARTALOMJEGYZÉK 5. EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNY Ebben a fejezetben

összefoglaljuk az exponenciális és a logaritmus függvénnyel kapcsolatos ismereteinket. Ezek a függvény fontosak az alkalmazások szempontjából, mert sok gyakorlati példában szereplő növekedés illetve csökkenés írható le segítségükkel. A fejezet végén külön részletesen ismertetetünk néhány alapvető gazdasági alkalmazást. 5.1 Az exponenciális függvény Legyen b > 0 valós szám. Az y = b x függvényt (b-alapú ) exponenciális függvénynek nevezzük. Ez a függvény azt adja meg, hogy az adott b szám különböző kitevőjű hatványai hogyan függnek a kitevőtől. A b = 1 eset nem különösen érdekes az exponenciális függvények között, mivel ebben az esetben az y = 1 konstans függvényről van szó, ezért a továbbiakban mindig feltesszük, hogy b ≠ 1. Az exponenciális függvény tulajdonságai. 1) Az exponenciális függvény az egész számegyenesen értelmezve van és értékkészlete a pozitív valós számok halmaza . 2)

Bebizonyítható, hogy az exponenciális függvény mindenütt folytonos. 3) Ha b > 1, akkor a függvény monoton növekvő, ha b < 1 akkor monoton csökkenő. 4) Ha b > 1, akkor lim b x = ∞, x ∞ és lim b x = 0. x −∞ 5) Ha b < 1, akkor lim b x = lim x ∞ x ∞ 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠ x = 0, x =∞. és lim b x = lim x −∞ x −∞ 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠ TARTALOMJEGYZÉK 67 A megfelelő függvények grafikonjai az 5.1 Ábrán láthatók 5.1 Ábra 5.2 Az ex függvény A matematikában az e egy meghatározott valós szám jelölésére szolgál. Ezt a számot a következőképpen értelmezzük. Tekintsük az ⎛ 1⎞ ⎛ n +1⎞ e n = ⎜1 + ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ n n n = 1,2,3,K számsorozatot. A matematikusok bebizonyították, hogy létezik egyetlen olyan valós szám, amelyhez a fenti sorozat tagjai minden határon túl közelítenek, miközben az n minden határon túl növekszik. Ezt a számot jelöljük e-vel: ⎛

1⎞ e = lim e n = lim⎜1 + ⎟ n ∞ n ∞ n⎠ ⎝ n Ennek a sorozatnak néhány elemét tüntetjük fel az alábbi táblázatban négy tizedes pontossággal: n en 1 2,0000 10 2,5937 30 2,6743 100 2,7048 200 2,7115 300 2,7138 68 TARTALOMJEGYZÉK Erről az e számról az is bebizonyítható, hogy irracionális szám. 8 tizedes pontossággal e = 2. 7182818 Még általánosabb eredmény a következő. Legyen a egy tetszőleges valós szám Ekkor n ⎛ a⎞ lim⎜1 + ⎟ = e a , n∞ ⎝ n⎠ n ⎛ a⎞ vagyis ha n minden határon túl növekvő egész szám, akkor az ⎜1 + ⎟ értékek minden ⎝ n⎠ a határon túl közelítenek e -hoz. Az e alapú , f ( x ) = e x exponenciális függvény fontos szerepet játszik, mert különböző alkalmazásokban igen gyakori. a Az f ( x ) = e x függvény mindenütt differenciálható és ′ ex = ex , ( ) amiből következik, hogy bármely exponenciális függvény is mindenütt differenciálható, mivel a x = e

(ln a )x , és az összetett függvényre vonatkozó differenciálási szabály szerint (a x )′ = (e(ln a )x )′ = e (ln a )x ⋅ ((ln a )x)′ = a x ⋅ ln a. 5.3 A logaritmus függvény Mivel tetszőleges 0 < b ≠ 1 esetén az f ( x ) = b x exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért értelmezhető az inverz függvénye, amit b-alapú logaritmus függvénynek nevezünk. Mivel bármely exponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, ezért a logaritmus függvények értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza. Tetszőleges 0 < b ≠ 1 és x > 0 esetén log b x jelenti azt az egyetlen számot, amelyre b log b x = x teljesül. b > 1 esetben a logaritmus függvény grafikonja az 5.5 Ábrán látható TARTALOMJEGYZÉK 69 5.5 Ábra A logaritmus függvény tulajdonságai ( b > 1 ) : 1) Értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. 2) Az egész

értelmezési tartományán szigorúan növekvő függvény. 3) Mindenütt folytonos. 4) lim logb x = −∞ és lim logb x = ∞ . x 0+ 0 x ∞ Hasonlóan, mint az exponenciális függvények esetében, a logaritmus függvények között is fontos szerepet játszik az e alapú logaritmus függvény, amelynek jelölése: ln x . Természetes alapú logaritmus: Ha x > 0 , akkor y = ln x az az egyetlen szám, amelyre ey = x. Az f ( x ) = ln x függvény mindenütt differenciálható és (ln x )′ = 1 . x 5.4 Az exponenciális függvény alkalmazásai Kamatos kamat Amikor pénzünket bizonyos időre egy bank rendelkezésére bocsátjuk, akkor a bank fizet nekünk azért, hogy a pénzünket használhatja., és ezt a pénzünk után járó 70 TARTALOMJEGYZÉK kamatnak nevezzük. A kamat nagysága arányos a befektetett tőkével és függ az időtartam hosszától. Azt, hogy az egy évre járó kamat az elhelyezett összeg hány százaléka (éves) kamatlábnak nevezzük

Kamatos kamatozás: minden kifizetett (jóváírt) kamat újra befektetésre kerül és a következő időszakokban többletkamatot eredményez. Vizsgáljuk meg, hogy C pénzösszeg hogyan változik kamatos kamatozás esetén. Az éves kamatláb legyen p100 %. (Ekkor p egy 0 és 1 közé eső egész számot jelent A matematikai formulákban ez fog szerepet játszani és nem a százalékban megadott kamatláb.) i Az i. évben kamatozó összeg Kamat az i. évben Az i. év végén rendelkezésre álló összeg 1 C pC C (1 + p ) 2 C (1 + p ) pC (1 + p ) C (1 + p ) 3 C (1 + p ) 2 pC (1 + p ) C (1 + p ) C (1 + p ) n −1 pC (1 + p ) 2 2 3 M n n −1 C (1 + p ) n Az n év múlva rendelkezésre álló összeget, a kamatos kamatokkal növelt összeget a befektetett tőke jövőértékének (future value) is szokás nevezni. A továbbiakban ezt FVn -vel fogjuk jelölni. Jövőérték évenkénti kamatjóváírás esetén p100 %-os éves kamatláb és évenkénti

kamatjóváírás esetén a C tőke jövőértéke n év múlva FVn = C(1 + p ) n Nézzük meg, hogy milyen hatással van a jövőértékre, ha a kamatjóváírás gyakrabban történik. Tegyük fel, hogy évente m-szer történik a kamatjóváírás Ekkor az egy kamatjóváírási periódusra vonatkozó kamatláb az éves kamatláb m-ed része. Legyen p r = . Mekkora lesz most a C tőke jövőértéke n évet tekintve? Az n év most m ⋅ n m kamatjóváírási periódust jelent. A fentiekhez teljesen hasonló meggondolással kapjuk, hogy TARTALOMJEGYZÉK 71 Jövőérték évi m-szeri kamatjóváírás esetén p100%-os éves kamatláb és évi m-szeri kamatjóváírás esetén a C tőke jövőértéke n évet tekintve: FVn = C (1 + r ) m⋅n p⎞ ⎛ = C⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ m⋅n . κ 5.1 Példa Tegyük fel, hogy 1000 Ft-ot elhelyezünk a bankban Az éves kamatláb 21% és a kamatjóváírás évente történik. Ekkor 5 év múlva a rendelkezésünkre álló összeg FV5

= 1000(1 + 0.21) = 259374 5 Mekkora lenne ennek az összegnek a jövőértéke, ha a kamatjóváírás félévente történne? r= 0. 21 = 0.105 2 és FV5 = 1000(1 + 0.105) = 271408, 10 ami nagyobb, mint ami évenkénti kamatjóváírás esetén adódott. λ Amit az előző példában tapasztaltunk, az általában is érvényes: adott nagyságú befektetett tőke és éves kamatláb esetén t évet tekintve a tőke jövőértéke annál nagyobb, minél gyakrabban történik a kamatjóváírás. Tőke jelenértéke A könnyebb érthetőség kedvéért az alábbi példán keresztül először intuitíve közelítjük meg a fogalmat. κ 5.2 Példa Tegyük fel, hogy leégett egy bérházunk és csak egy 50000 dollárt érő üres telek és egy 200000 dollárra szóló biztosítási csekk marad utána. Fontolgatjuk az újjáépítést, de befektetési tanácsadónk azt javasolja, hogy inkább irodaépületet építtessünk. Az építési költség most 300000 dollár, ehhez jön az

50000 dollár, amit a telek eladásakor kaphatnánk. Tanácsadónk szerint a jövőben igen nagy lesz az irodaházak iránti kereslet és így az irodaházat egy év múlva 400000 dollárért el lehetne adni. Tehát most 350000 -et kellene befektetnünk ahhoz, hogy egy év múlva 400000 dollár bevételre tehessünk szert. Nyilván az egy év múlva kapott 400000 dollár kevesebbet ér, mintha most állna a rendelkezésünkre. Az, hogy az egy év múlva esedékes 400000 dollár most mennyit ér , 72 TARTALOMJEGYZÉK az illető összeg jelenértékének (present value) nevezzük. Hogyan lehetne ezt a jelenértéket meghatározni? Tegyük fel, hogy az éves banki kamatláb p100%, vagy olyan tevékenységbe is tudnánk fektetni a pénzünket, amelynek éves hozama p100%. Ilyenkor röviden azt mondjuk, hogy olyanok a gazdasági körülmények, amelyek p100%-os kamatlábnak és évente történő kamatjóváírásnak felelnek meg. A példa kedvéért vegyünk egy 7%-os kamatlábat és

évenkénti kamatjóváírást. Ilyen körülmények mellett mekkora PV összeget kell elhelyezünk egy évre a bankba ahhoz, hogy egy év múlva 400000 dollár álljon a rendelkezésünkre? Nyilván 400000 = PV (1 + 0.07 ) = 107 PV , 1 amiből PV = 400000 = 373832 , 1.07 és ezt nevezzük az adott gazdasági körülmények esetén az egy év múlva esedékes 400.000 dollár jelenértékének Mivel ez a jelenérték nagyobb, mint 350 000 dollár, bele kell vágnunk az irodaház építésébe, mert az egyéb befektetési lehetőségek olyanok, hogy egy év alatt csak 350 000 dollárnál nagyobb összeg befektetésével tudnánk 400 000 dollár bevételre szert tenni. Tegyük fel, hogy ha az épület azonnal felépül, akkor 373832 dollárért el tudnánk adni, mert egy év múlva 400 000 dollárt fog érni. Tehát az azonnal felépült ingatlannak ez az értéke a jelenben, mert ennyit hajlandók érte adni a befektetők. Az ingatlan jelenértéke 373832 dollár, de ez nem jelenti

azt, hogy ez a tiszta nyereségünk, mivel ezzel szemben áll egy 350000 dolláros befektetés, így a nettó jelenérték a kettő különbsége, azaz 23 832 dollár. λ Tőke jelenértéke Tegyük fel, hogy a gazdasági körülmények olyanok, amelyek p100%-os éves kamatlábnak és évi m-szeri kamatjóváírásnak felelnek meg. Ekkor az n év múlva esedékes C összeg jelenértéke p⎞ ⎛ PVn = C ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ −m n . Ez pontosan azt az összeget jelenti, amit az adott körülmények között el kellene helyeznünk a bankban, ahhoz, hogy n év múlva C összeg álljon a rendelkezésünkre. Nettó jelenérték: PVn − a szükséges befektetés, 73 TARTALOMJEGYZÉK ahol PVn a befektetés folytán n év múlva esedékes C összeg jelenértéke. Azok a befektetések értéknövelő hatásúak, amelyek nettó jelenértéke pozitív. −m n p⎞ ⎛ A jelenérték kiszámításában szereplő, egynél kisebb ⎜1 + ⎟ tényezőt ⎝ m⎠ diszkonttényezőnek

nevezzük. Magát a jelenértékszámítást szokás diszkontálásnak is nevezni. Gyűjtőrészletek, annuitások jövőértéke Tegyük fel, hogy a gazdasági körülmények évi p100%-os kamatlábnak és évenkénti kamatjóváírásnak felelnek meg. Minden év végén elhelyezünk a bankban egy C összeget. Az ilyen befizetéseket (szokásos)annuitásoknak vagy gyűjtőrészleteknek nevezzük. (Ha az év elején történik a behelyezés, akkor esedékes annuitásokról beszélünk.) Kérdés: az n. év végén mekkora összeg fölött rendelkezünk, azaz mekkora az annuitások jövőértéke. i 1 i. befizetés kamatozási ideje (év) n −1 2 n−2 n. év végén a kamatos kamatokkal növelt érték C (1 + p ) n −1 C (1 + p ) n−2 M n-1 1 n 0 FVAn = az összes befizetések értéke az n. év végén= C (1 + p ) C a fentiek összege Azaz FVAn = C + C (1 + p ) + C (1 + p ) + L + C (1 + p ) 2 = C [1 + (1 + p ) + (1 + p ) 2 n −1 + L (1 + p ) ] = n −1 = n ( 1+

p) −1 . C p Nyilván teljesen hasonlóan határozhatjuk meg a gyűjtőrészletek jövőértékét abban az esetben is, amikor évente m-szer történik befizetés és kamatjóváírás, csak akkor azt kell 74 TARTALOMJEGYZÉK figyelembe venni, hogy az egy periódusra eső kamatláb p 100 %, és az n év mn m kamatjóváírási periódusnak felel meg. Annuitások jövőértéke Tegyük fel, hogy a gazdasági körülmények éves p100 %-os kamatlábnak és évi m-szeri kamatjóváírásnak felelnek meg. Ekkor a t éven át képzett A nagyságú annuitások (gyűjtőrészletek) jövőértéke: FVAn = C (1 + r )m n − 1 , r p ahol r = az egy kamatjóváírási periódusra eső kamatlábat meghatározó tényező. m κ 5.3 Példa 200 Ft-ot helyezünk el minden hónap végén bankba Az éves kamatláb 21% és a kamatjóváírás minden hónap végén történik. Mekkora az ily módon képzett 5 éves annuitás jövőértéke? C = 200 , m = 12 és r= 0. 21 = 0,0175, 12

tehát FVA5 = 200 (1 + 0.0175)60 − 1 = 20935,04 Ft 0.0175 λ Törlesztőrészletek, annuitások jelenértéke A jelenérték fogalma az annuitásokkal kapcsolatosan is felvethető. Tegyük fel, hogy n éven keresztül, minden év végén kapunk egy C összeget. Az így képződő annuitásokat törlesztő részleteknek is nevezzük. (Képzeljük el, hogy nekünk így adják vissza részletekben a kölcsönkapott pénzt, vagy mi ily módon törlesztjük a felvett kölcsönünket.) Legyen p100% az éves kamatláb és évente történik a kamatjóváírás Kérdés, hogy az n év alatt kapott pénznek mekkora a jelenértéke, mennyit érne, ha most állna rendelkezésemre? Nyilván figyelembe kell vennünk, hogy nem az n. év végén esedékes az egész összeg, hanem folyamatosan évenként . TARTALOMJEGYZÉK jelenértéke 1 i. részlet hány év múlva esedékes 1 2 2 3 3 C (1 + p ) M n n C (1 + p ) i 75 C (1 + p ) −1 C (1 + p ) −2 −3 −n PVAn = az

n-éves annuitások jelenértéke= a fentiek összege Kaptuk tehát, hogy 2 n ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎟ = ⎟⎟ + L + C ⎜⎜ PVAn = C + C ⎜⎜ 1+ p ⎝1+ p ⎠ ⎝1+ p ⎠ 2 n −1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ 1 ⎡ 1 ⎟ + L + ⎜⎜ ⎟ ⎥= =C +⎜ ⎢1 + 1 + p ⎢ 1 + p ⎜⎝ 1 + p ⎟⎠ 1 + p ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦ 1 −1 −n n 1 (1 + p ) 1 (1 + p ) − 1 = =C =C 1 1+ p 1 + p 1 − (1 + p ) −1 1+ p 1+ p 1 − (1 + p ) =C p −n . Hasonló meggondolásokkal adódik az annuitások jelenértéke abban az esetben is, ha a kamatjóváírás évente m-szer történik, és a C összeg a kamatjóváírási periódusok végén esedékes. 76 TARTALOMJEGYZÉK Törlesztőrészletek jelenértéke Ha az éves kamatláb p100% és a kamatjóváírás évente m-szer történik, akkor a n éven keresztül , minden kamatjóváírási periódus végén esedékes C törlesztőrészletek jelenértéke 1 − (1 + r ) PVAn = C r −mn ahol r = p / m . , 77 TARTALOMJEGYZÉK

6. HATÁROZATLAN INTEGRÁL A 2. fejezetben azzal a problémával foglalkoztunk, hogy mit értsünk a nem-egyenletes változások sebességén és hogyan lehet ezt meghatározni. Láttuk, hogy a megfelelő matematikai fogalom, illetve eszköz a differenciálhányados és a differenciálás művelete. Sok esetben viszont a megoldandó probléma éppen fordított: nem maga a változást leíró függvény, hanem a változás sebességének alakulása ismert és meg kellene határozni magát a változást leíró függvényt. Például, ha valamely termeléssel kapcsolatosan ismerjük a határköltség-függvényt és ennek alapján meg akarjuk határozni a költségfüggvényt. Az ilyen és ehhez hasonló esetekben ahelyett, hogy egy adott f függvénynek kellene meghatározni az f ′ deriváltfüggvényét, valamely adott f függvényhez kell meghatároznunk, olyan F függvényt, amelyre F ′ = f teljesül. 6.1 Primitív függvény, határozatlan integrál Primitív függvény Ha a

f és F függvények olyanok, hogy F ′( x ) = f (x ) f egész értelmezési tartományán teljesül, akkor függvényének nevezzük. κ 6.1 Példa Legyen az F függvényt a f primitív f ( x ) = 2 x + 2 és F ( x ) = x 2 + 2 x . Ekkor F primitív függvénye f-nek, mert ′ F ′( x ) = x 2 + 2 x = 2 x + 2 ( ) minden x ∈ R esetén. Vegyük észre azonban, hogy nem csak ez az egyetlen F függvény van ilyen kapcsolatban az adott f függvénnyel, mert például (x 2 ′ + 2x + 7 = 2x + 2 ) is teljesül. λ 78 TARTALOMJEGYZÉK A primitív függvény tulajdonságai Ha F (x ) a f ( x ) primtív függvénye, akkor 1. C ∈ R esetén F (x ) + C is primtív függvénye f ( x ) - nek, 2. f ( x ) bármely primtív függvénye előáll F (x ) + C alakban alkalmasan választott C valós számmal. Határozatlan integrál Valamely f függvény határozatlan integrálján a primtív függvényeinek összességét értjük. A határozatlan integrál jelölése ∫ f (x )dx

. Vagyis ∫ f (x )dx = F (x ) + C , ahol F ( x ) a f egy primtív függvénye és C tetszőleges valós szám. A fenti jelölésben ∫ az integráljel, a mögötte álló f ( x ) az integrandusz, és dx - ben x jelöli, hogy az x az integrációs változó. Magát a műveletet, amellyel egy adott függvény határozatlan integrálját kiszámítjuk röviden integrálásnak szoktuk nevezni. κ 6.2 Példa Határozzuk meg ∫ (2 x −1)dx -et. A határozatlan integrál megismert tulajdonságai szerint ehhez találnunk kell egyetlen olyan függvényt, amelynek deriváltja az egész számegyenesen 2 x − 1. Mivel (x 2 ′ − x = 2x − 1 ) x ∈ R esetén, ezért ∫ (2 x − 1)dx = x 2 − x+C. λ Mivel az integrálás a differenciálás fordított művelete a differenciálási szabályokból következnek az integrálásra vonatkozó szabályok. TARTALOMJEGYZÉK 79 Integrálási szabályok 1. Ha a ∈ R , akkor ∫ adx = ax + C . 2. Ha α ≠ −1, akkor α ∫

x dx = 3. x α +1 +C. α +1 1 ∫ x dx = ln x + C . 4. ∫ e x dx = e x + C 5. Ha a ∈ R , akkor ∫ af (x )dx = a ∫ f (x )dx . 6. Tetszőleges f és g függvények esetén ∫ ( f (x ) ± g (x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx 7. Ha α ≠ −1, akkor 1 α α ∫ f (x ) f ′(x )dx = α + 1 f (x ) + C +1 8. . f ′( x ) ∫ f (x ) dx = ln f (x ) + C . Az 5. tulajdonság akkor is érvényben marad, ha több függvény összegéről vagy különbségéről van szó. κ 6.3 Példa ∫ (5 x 2 − 7 x + 12 )dx = ∫ 5 x 2 dx − ∫ 7 xdx + ∫ 12dx = = 5∫ x 2 dx − 7 ∫ xdx + 12 x + C = =5 x3 x2 − 7 + 12 x + C . 3 2 λ 80 TARTALOMJEGYZÉK κ 6.4 Példa Tegyük fel, hogy egy cég határköltsége c(q ) = 2q + 5 , ahol q a termelés volumene valamely egységben kifejezve. ∫ c(q )dq = ∫ (2q + 5)dq = q 2 + 5q + C miatt a határköltség ismerete nem határozza meg egyértelműen a költségfüggvényt, mivel végtelen sok olyan költségfüggvény

van, amelynek ugyanaz a határköltsége (deriváltja), és ezek a költségfüggvények éppen a fixköltségben térnek el egymástól. Tehát cégünk esetén a határköltség alapján csak annyit mondhatunk, hogy a költsége C (q ) = q 2 + 5q + C , ahol C valamilyen valós szám. Ennek a valós számnak a meghatározásához a határköltségen kívül ismernünk kell például, hogy egy adott termelési volumen esetén mekkora a költség. Ha például azt is tudjuk, hogy a cégünk állandó költsége 10000, akkor 10000 = C (0) = C miatt C (q ) = q 2 + 5q + 10000 . λ 6.2 Parciális integrálás A parciális integrálás egy olyan módszer, amely bizonyos típusú szorzatfüggvények integrálásánál alkalmazható, és segítségével a kiindulási feladat egy egyszerűbb határozatlan integrál kiszámítására vezethető vissza. Parciális integrálás Ha f (x ) és g ( x ) differenciálható függvények, akkor ∫ f ′(x )g (x )dx = f (x )g (x ) − ∫ f (x )g

′(x )dx . A parciális integrálás módszerének alkalmazása olyan esetekben célszerű, ha az integrandusz olyan szorzatfüggvény, amelynek nem tudjuk közvetlenül megadni egy primtív függvényét, de az egyik tényezőnek igen ( f ′(x ) primtív függvénye f (x ) ), és a másik tényező differenciálása után kapott f ( x )g ′( x ) új integrandusz már könnyebben kezelhető, mint az eredeti. A parciális (részleges) jelző arra utal, hogy a módszer TARTALOMJEGYZÉK 81 alkalmazása nem a végeredményt szolgáltatja, hanem csak közbülső, részleges eredményt. κ 6.5 Példa Határozzuk meg az ln x függvény határozatlan integrálját Ha visszagondolunk a differenciálási szabályainkra nem találunk közöttük olyat, amely segítségével meg tudnánk adni egy primtív függvényt. Viszont, a parciális integrálás módszere alkalmazható ∫ ln xdx = ∫ 1 ⋅ ln xdx . Mivel ′ 1 = (x ) és (ln x )′ = 1 x , a parciális integrálás

módszerével adódik, hogy 1 ∫ ln xdx = ∫ 1 ⋅ ln xdx = x ln x − ∫ x x dx = x ln x − ∫ 1dx . Vagyis az eredeti integrálási feladatot egy lényegesen egyszerűbbre vezettük vissza, ugyanis az 1-nek már meg tudjuk adni egy primtív függvényét, azaz ∫ ln xdx = x ln x − x + C . λ 6.2 Helyettesítéssel való integrálás Helyettesítéssel való integrálás Tekintsünk egy olyan f (g (x ))g ′( x ) alakú szorzatfüggvényt, , ahol az f ( x ) külsõ függvénynek ismerjük egy F (x ) primitív függvényét, azaz egy olyan függvényt, amelyre F ′(x ) = f (x ) teljesül. Ekkor a határozatlan integrál kiszámítására alkalmazható a helyettesítéssel való integrálás módszere: ∫ f (g (x ))g ′(x )dx = ∫ f (u )du u = g (x ) = F (g (x )) + C A fenti módszert azért nevezik helyettesítéssel való integrálásnak, mert a módszer alkalmazása formálisan a következőt jelenti: első lépésben az ∫ f (g ( x ))g ′(x )dx határozatlan

integrálban a g ( x ) belső függvényt helyettesítjük valamilyen új integrációs változóval, például a fenti képletben u-val , és a g ′( x )dx helyébe pedig du -t írunk ( g ′( x )dx du ). Ha az ∫ f (u )du -t meghatároztuk, vagyis megkerestük a f függvény egy F (u ) primitív függvényét, akkor utána az u változó helyébe g ( x ) -et kell visszaírnunk, és így kapjuk meg az eredeti f (g (x ))g ′( x ) szorzatfüggvény határozatlan integrálját. 82 TARTALOMJEGYZÉK κ 6.6 Példa Számítsuk ki az ∫ 2e 2x ∫ 2e 2x ′ dx határozatlan integrált. Vegyük észre, hogy (2 x ) = 2 miatt ′ dx = ∫ e 2 x (2 x ) dx . A helyettesítéssel való integrálás módszere alkalmazható. 1) Az először kiszámítandó integrált úgy kapjuk , hogy a 2x belső függvényt egy új változóval helyettesítjük, 2x = u , ′ és (2 x ) dx -et pedig du -val : (2 x )′ dxdu . Viszont ∫e u du = e u + C . u 2. A külső függvény e

primtív függvényében az u változó helyébe visszaírva az eredeti 2 x belső 2x függvényt, kapjuk a 2 e függvény egy primtív függvényét: ∫ 2e 2x dx = e u u =2 x + C = e2x + C . Vegyük észre hogy a 6.1 szakaszban említett 7 és 8 integrálási szabály közvetlen alkalmazása helyett az adott esetekben integrálhatunk helyettesítéssel is. Az α ∫ f (x ) f ′(x )dx (α ≠ −1) alakú integrálok kiszámításához alkalmazzuk az f (x ) = u f ′( x )dxdu helyettesítést: α α ∫ f (x ) f ′(x )dx = ∫ u du u= f (x ) = Ugyanez a helyettesítés alkalmazható az f ′( x ) 1 ∫ f (x ) dx = ∫ u du u= f (x ) 1 α +1 u α +1 u= f (x ) +C = 1 f α +1 (x ) + C . α +1 f ′( x ) ∫ f (x ) dx integrál esetén is: = ln u u= f (x ) + C = ln f (x ) + C 83 TARTALOMJEGYZÉK 7. HATÁROZOTT INTEGRÁL 7.1 A határozott integrál értelmezése Ha az f ( x ) függvény folytonos az a , b intervallumon és F (x ) az f ( x ) egy primitív

függvénye, akkor az f függvény határozott integrálján az a , b intervallumon a F (x ) b primitív függvény a , b intervallumon vett változását értjük, és ∫ f (x )dx. – szel jelöljük a b ∫ f (x )dx = F (x ) b a = F (b ) − F (a ). a Az F (b ) − F (a ). változás értéke független attól, hogy melyik primitív függvényt vettük Ha ugyanis G ( x ) a f ( x ) függvény egy másik primitív függvénye, akkor van olyan C valós szám, hogy G (x ) = F (x ) + C , és így G (b ) − G (a ) = (F (b ) + C ) − (F (a ) + C ) = F (b ) − F (a ) . κ 2 7.1 Példa Számítsuk ki az ∫ (4 x − 5)dx határozott integrált. 1 Mivel F ( x ) = 2 x 2 − 5 x primitív függvénye az integrandusznak, ezért ∫ (4 x − 5)dx = (2 x 2 2 − 5x ) = (2(2) 2 2 1 ) ( ) − 5(2 ) − 2(1) − 5(1) = 1 . 2 1 λ κ 7.2 Példa Egy cég határköltsége c( x ) = 2 x − 8 x + 30 Mennyivel változik meg a költsége, ha 6 egységnyi termék helyett 10

egységnyi terméket állítanak elő? 2 Ha C ( x ) jelöli a költségfüggvényt, akkor C ′( x ) = c( x ) miatt 10 10 6 6 ( ) C (10) − C (6) = ∫ c( x )dx = ∫ 2 x 2 − 8 x + 30 dx = 84 TARTALOMJEGYZÉK 10 ⎛2 ⎞ = ⎜ x 3 − 4 x 2 + 30 x ⎟ = 386.67 ⎝3 ⎠6 λ 7.2 A határozott integrál tulajdonságai 1. Függvény konstansszorosának integrálja Tetszőleges c ∈ R esetén b b a a ∫ cf (x )dx = c ∫ f (x )dx . 2. Összegfüggvény integrálása b b b ∫ ( f (x ) + g (x ))dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx a a . a 3. A határozott integrál intervallum szerinti additivitása Ha a < c < b , akkor c b b a c a ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx . 7.3 A határozott integrál geometriai jelentése Ha f ( x ) ≥ 0 az a , b intervallumon, akkor b T = ∫ f (x )dx , a ahol T annak a síkidomnak a területe, amelyet az f (x ) függvény görbéjének az a , b intervallumhoz tarozó íve, az x = a és x = b egyenesek és

az x tengely határolnak.(Röviden az f ( x ) függvény görbéje alatti terület az a , b intervallumon) Nézzük meg, hogy mi a határozott integrál geometriai jelentése negatív függvények esetén. TARTALOMJEGYZÉK 85 7.3Ábra Ha f ( x ) ≤ 0x ∈ [a, b] esetén, akkor − f ( x ) ≥ 0 x ∈ [a, b] . Tehát b T = ∫ (− f ( x ))dx . a A határozott integrál megfelelő tulajdonsága miatt b b a a ∫ (− f (x ))dx = −∫ f (x )dx Azaz b T = − ∫ f ( x )dx , a amiből b ∫ f (x )dx = −T . a A fentieket összegezve: az a , b intervallumon jeltartó f ( x ) függvények esetén a határozott integrál a függvény görbéjének a , b intervallumhoz tartozó íve, az x=a és az x=b egyenesek, valamint az x tengely által határolt síkidom előjeles területét adja meg a következő értelemben: b ∫ f (x )dx megadja az illető síkidom területét, és a b ∫ f (x )dx > 0 a b ∫ f (x )dx < 0 a ha f (x ) > 0 x ∈ [a, b], a

síkidom az x tengely fölött van ha f (x ) < 0 x ∈ [a, b], a síkidom az x tengely alatt van. 86 TARTALOMJEGYZÉK Végül vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az f ( x ) függvény előjelet is válthat a tekintett intervallumon. Az egyszerűség kedvéért a 74 Ábrán olyan függvényt tüntettünk fel, amelyik csak egyszer vált előjelet az a , b intervallumon. Viszont könnyen meggyőződhetünk róla, hogy a kapott eredmények az általános esetre is érvényesek. Legyen c ∈ a , b az a pont ,ahol a függvény előjelet vált. A határozott integrál additív tulajdonsága miatt b ∫ a c b a c f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ( x )dx . f ( x ) már jeltartó, tehát Ekkor az a , c illetve c, b intervallumokon viszont alkalmazhatjuk az előzőekben kapottakat: 7.4 Ábra c ∫ f (x)dx = T 1 a b és ∫ f (x)dx = −T , 2 c tehát b ∫ f (x )dx = T 1 − T2 . a A vizsgált esetben a függvény görbéje, az x tengely valamint az x = a és x =

b egyenesek által határolt síkidom két részre bontható: az egyik az x tengely fölött helyezkedik el (területe T1 ), a másik pedig az x tengely alatt (területe T2 ). Vagyis az f ( x ) függvény a , b -n vett határozott integrálja nem más, mint ezen síkidomok előjeles területeinek összege. 87 TARTALOMJEGYZÉK A határozott integrál geometriai jelentése b Az ∫ f (x )dx határozott integrál az f (x ) függvény görbéjének az a , b intervallumhoz a tarozó íve, az x = a és x = b egyenesek és az x tengely által határolt síkidomok előjeles területeinek az összegét adja meg. 7.4 Improprius integrálok Az előzőekben a véges intervallumon folytonos függvények határozott integrálját értelmeztük, és láttuk, hogy a határozott integrálnak igen szemléletes geometriai jelentése van. Ebben a szakaszban azzal a kérdéssel fogunk foglalkozni, hogy hogyan lehet ezt a fogalmat általánosítani olyan esetekre, amikor a tekintett intervallum

nem véges (például szükségünk lehet valamely függvény grafikonja és az egész pozitív x tengely közötti síkidom területére), vagy amikor a függvény nem folytonos az egész intervallumon. A határozott integrálnak ilyen esetekre való általánosítását improprius integráloknak nevezzük. A határozott integrál fogalménak az általánosítása úgy fog történni, hogy érvényben maradjon a határozott integrál geometriai jelentése, és a határozott integrál intervallum szerinti additivitása. Először tekintsük példaként az f (x ) = e − x függvényt. Bármely véges intervallumon esetén az f ( x ) = e − x függvény görbéje alatti területet az b ∫e −x a,b dx integrál a adja. Felmerülhet az a kérdés, hogy mi annak a síkidomnak a területe, amelyet az x = 0 egyenes, f ( x ) = e − x függvény görbéje és a pozitív x -tengely határol. A 77 Ábrán láthatjuk, hogy ha R ∞ , akkor a függvény görbéje és a 0, R

intervallum, az x = 0 egyenes és az x = R egyenes által határolt síkidom egyre inkább közeli a kérdéses nem korlátos síkidomhoz. 88 TARTALOMJEGYZÉK 7.7ÁBRA Ennek megfelelően R ∞ esetén a baloldali ábrán látható síkidom területe minden határon túl közelít a jobboldali ábrán szemléltetett szóban forgó nem-korlátos síkidom területéhez, vagyis T = lim ∫ e − x dx = lim (− e − x ) = lim (− e − R − (− 1)) = 1 − lim e − R = 1. R R ∞ 0 R R ∞ 0 R ∞ R ∞ R A kérdése síkidomnak tehát véges, 1 területegységnyi területe van. A lim ∫ e − x dx R ∞ ∞ határértéket ∫e −x 0 dx -szel szokás jelölni, és az f (x ) = e − x függvény [0, ∞ ) -en vett 0 improprius integráljának nevezzük. ∞ Az ∫ f (x )dx a b és ∫ f (x )dx típusú improprius integrálok értelmezése −∞ Ha az f (x ) függvény minden véges a , R intervallumon folytonos, akkor ∞ R ∫ f (x )dx = lim ∫

f (x )dx. a R ∞ a Ha az f (x ) függvény minden véges r , b intervallumon folytonos, akkor b ∫ −∞ f (x )dx = lim r −∞ b ∫ f (x )dx. r Ha valamely improprius integrál értelmezésében szereplő határérték létezik, akkor az improprius integrált konvergensnek nevezzük. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy divergens. 89 TARTALOMJEGYZÉK A következőkben vizsgáljuk meg, hogy miként tudnánk értelmezni az f ( x ) = 1 / x függvénynek a 0,1 -en vett integrálját. A függvény az x = 0 pontban(az intervallum 1 = ∞ , tehát egyik végpontjában) nem folytonos, mert ott nincs értelmezve és lim x 0+ 0 x a függvény a tekintett intervallumon nem is korlátos. Viszont minden 0 < δ < 1 estén a [δ ,1] intervallumon már folytonos. Az előzőek mintájára kézenfekvő a 0,1 -en vett improprius integrált a következőképpen értelmezni: 1 ∫ 0 1 x 1 dx = lim δ 0 + 0 ∫ δ 1 x ( ) dx = lim 2 x δ 0+ 0 1 δ ( ) = lim 2 1 −

2 δ = 2 − 0 = 2. δ 0+ 0 A 7.8 Ábrán látható, hogy az így definiált improprius integrál megadja az f ( x ) = 1 / x függvény görbéje, az x = 1 egyenes, a pozitív x tengely és az x = 0 egyenes által határolt nem korlátos síkidom területét. 7.8 ÁBRA Nem korlátos függvények improprius integrálja 1) Ha a f ( x ) függvény az (a, b] intervallumon folytonos és lim f ( x ) = ±∞ , akkor xa +0 b ∫ a f (x )dx = lim δ 0 + 0 b ∫δ f (x )dx. a+ 2) Ha a f ( x ) függvény az [a, b ) intervallumon folytonos és akkor b ∫ a f ( x )dx = lim δ 0 + 0 b −δ ∫ f (x )dx. a 90 TARTALOMJEGYZÉK 8. AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 8.1 Síkidomok területének kiszámítása A határozott integrál geometriai jelentését felhasználva határozzuk meg a 8.1 ábrán látható síkidom területét. 8.1 ÁBRA 8.2 ÁBRA A 8.2 Ábrát figyelembe véve b b b a a a T = T1 − T2 = ∫ g ( x )dx − ∫ f ( x )dx = ∫ [g (x ) − f ( x

)]dx. Tekintsük a 8.3 Ábrán láthatósíkidomot, amelyet határoló zárt görbe felbontható két olyan részre, amelyek két függvény f ( x ) és g ( x ) a , b intervallumon tekintett görbéi. Vizsgáljuk meg, hogy miként lehet ennek a síkidomnak a T területét kiszámítani. 8.3 ÁBRA TARTALOMJEGYZÉK 91 8.4 ÁBRA A 8.4 Ábrát tekintve geometriai okokból nyilvánvaló, hogy T = T1 − T2 . A határozott integrál geometriai jelentéséből viszont következik, hogy b T1 = ∫ f ( x )dx a b és T2 = ∫ g ( x )dx , a azaz b b b a a a T = ∫ f ( x )dx − ∫ g ( x )dx = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx A fenti példában a tekintett függvények az a , b intervallumon pozitívok voltak. Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy a kapott eredményünk nem csak ebben a speciális esetben igaz. 92 TARTALOMJEGYZÉK 8.5 ÁBRA A 8.5 Ábráról leolvasható, hogy T = T1 − T2 − T4 + T3 = T1 − (T2 + T4 − T3 ) = b b b a a a = ∫ g ( x )dx − ∫

f ( x )dx = ∫ [g ( x ) − f ( x )]dx. Zárt görbe által határolt síkidom területe Legyenek az f és g függvények olyanok, hogy f ( x ) < g ( x ), x ∈ (a, b ) esetén, és f (a ) = g (a ), f (b ) = g (b ). Ekkor a két függvény a , b intervallumon tekintett görbéje által határolt síkidom területe b T = ∫ [g ( x ) − f ( x )]dx a κ 8.1 Példa Határozzuk meg annak a korlátos síkidomnak a területét, amelyet az f (x ) = 8 x − x 2 és a g ( x ) = x 2 − 4 x + 10 93 TARTALOMJEGYZÉK függvények grafikonjai határolnak. Először is ábrázolnunk kell a függvényeket. 8 x − x 2 = x 2 − 4 x + 10 egyenlet megoldásával kapjuk, hogy a függvények grafikonjai az (1,7 ) és (5,15) pontokban metszik egymást. Az 1, 5 intervallumon a két függvény között az A f (x ) ≥ g ( x ) reláció érvényes, tehát 5 5 1 1 [( )] ) ( T = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx = ∫ 8 x − x 2 − x 2 − 4 x + 10 dx = 5 =∫ 1 ( 5 ) 64 ⎛ 2

⎞ − 2 x + 12 x − 10 dx = ⎜ − x 3 + 6 x 2 − 10 x ⎟ = . 3 ⎝ 3 ⎠1 2 λ b T =∫ a b 1 f ( x )dx = (b − a ) f ( x )dx = (b − a )M . b − a ∫a λ 94 TARTALOMJEGYZÉK 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 9.1 Többváltozós függvények értelmezése Tekintsük az f ( x, y ) = x 2 + 2 xy + 5 y hozzárendelési szabállyal definiált függvényt. Itt x és y a független változók, ha ezeknek értékeket adunk, és azokat a fenti formulába behelyettesítjük, akkor megkapjuk a függvényértéket. Ennek megfelelően ezt a függvényt kétváltozós függvénynek nevezzük. A függvényértéket úgy számoljuk ki valamely (a, b ) helyen, hogy a-t helyettesítjük az x , b-t pedig az y változó helyébe a fenti formulába. Tehát f (3,4 ) = 3 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 = 53 , f (4,3) = 4 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 = 55 , stb. A függvény értelmezési tartománya nyilván azon {a, b} rendezett számpárok halmaza, amelyek esetén a fenti módon a

függvényérték kiszámítható. Az, hogy az {a, b} rendezett számpár azt jelenti, hogy az {a, b} -t és {b, a} -t különbözőnek tekintjük, ha a ≠ b . A tekintett függvénynél a függvényértéket minden rendezett {a, b} számpár esetén ki tudjuk számítani. Valamely f (x, y ) hozzárendelési utasítással definiált kétváltozós függvény esetén a függvényértéket szokás z-vel is jelölni, és ekkor z = f ( x, y ) . Hasonlóan az f ( x, y , z ) = x− y y−z hozzárendeléssel adott függvény egy három változós függvény. Ennek a függvénynek az értelmezési tartománya az olyan rendezett számhármasok halmaza, amelyeket az adott sorrendeben az x, y és z változók helyébe helyettesítve a fenti hányados értéke kiszámítható. f (1,1,0 ) = 1−1 = 0, 1− 0 TARTALOMJEGYZÉK f (2,−1,3) = 95 2 − (− 1) 3 = . −1− 3 4 De például f (1,2,2) nincsen értelmezve, mert a hozzárendelési utasítás szerint ilyenkor 0-val kellene

osztanunk. Általánosan azt mondhatjuk, hogy ez a függvény olyan {x, y, z} szám hármasok esetén nincs értelmezve, ahol y = z . Vagyis, ha D-vel jelöljük a függvény értelmezési tartományát, akkor D = ({x, y, z}:x, y, z ∈ R, y ≠ z ) Általában azokat a függvényeket, amelyeknek kettő vagy több független változójuk van többváltozós függvényeknek nevezzük. 9.2 Kétváltozós függvények ábrázolása Ebben a szakaszban azzal ismerkedünk meg, hogy miként ábrázolhatjuk a kétváltozós függvényeket a három dimenziós Descartes-féle koordinátarendszerben. Ennek a koordinátarendszernek három egymásra merőleges koordináta tengelye van. Ezeket x, y és z tengelyeknek nevezzük. (91 Ábra) 9.1 Ábra 9.2 Ábra Ugyanúgy, mint ahogy egy {a, b} rendezett számpárnak megfeleltetjük a síknak egy pontját, az {a, b, c} rendezett számhármasnak pedig a három dimenziós tér egy pontját feleltetjük meg, ahogyan ezt a 9.2 Ábra mutatja Az a, b, c

számokat a térbeli pont koordinátáinak nevezzük. A három dimenziós tér azon pontjait, amelyek koordinátái ( x, y,0) alakúak xy(koordináta)síknak nevezzük, hasonlóan az (x,0, z ) koordinátájú pontok halmazát xzsíknak, és végül az (0, y, z ) koordinátájú pontok halmazát pedig yz-síknak nevezzük. Ezeket együttesen koordinátasíkoknak nevezzük. A három dimenziós koordinátarendszert használjuk a kétváltozós függvények ábrázolásához. A módszer a következő Legyen adott a z = f ( x, y ) kétváltozós függvény, amelynek D az értelmezési tartománya. D nyilván az xy-sík, vagy annak 96 TARTALOMJEGYZÉK valamely részhalmaza. Tekintsük az (x, y, z ),( x, y ) ∈ D pontokat, és ezeket ábrázoljuk a három dimenziós koordinátarendszerben. Az így kapott pontok összessége alkotja a z = f (x, y ) kétváltozós függvény grafikonját. Ezek a pontok egy térbeli felületet alkotnak. κ 9.1 Példa Tekintsük a z = 1− x2 − y2

függvényt. Ennek a függvénynek az értelmezési tartománya ( ) D = ( x, y ) :x, y ∈ R, x 2 + y 2 ≤ 1 , ami nem más mint egy olyan egységnyi sugarú körlap az xy-síkban, amelynek az origó a középpontja. A függvény grafikonja, pedig a három dimenziós térben egy origó középpontú, egységnyi sugarú gömbfelület "felső" fele. Ez a felület látható a 93 Ábrán 9.3 Ábra Szokásos még a kétváltozós függvényeknek az ú.n szintvonalakkal történő ábrázolása is. A szintvonalakat úgy kapjuk, hogy vesszük a függvény grafikonjának az xy-síkkal párhuzamos síkokkal való metszésvonalait, és ezeket levetítjük az xy-síkra. Az előző példában vizsgált függvény esetén például tekintsük azt az xy-síkkal párhuzamos síkot, amelyik fölötte és tőle 1/2 távolságra van. Ezt a síkot az (x, y,1 / 2) koordinátájú pontok alkotják. Mi lesz ennek a síknak és a függvény grafikonját képező gömbfelületnek a

metszésvonala? Nyilván a metszet minden pontjának 3. koordinátája 1/2 lesz, mivel ezek a pontok egyrészt a tekintett síkban fekszenek, másrészt 1 = 1− x2 − y2 2 egyenletnek is teljesülnie kell, mivel a metszésvonal pontjai rajta vannak a függvény grafikonját alkotó felületen is. Azaz az 3 x2 + y2 = . 4 TARTALOMJEGYZÉK 97 1⎞ ⎛ Tehát a metszésvonalat olyan ⎜ x, y, ⎟ koordinátájú pontok alkotják, amelyeknek x és 2⎠ ⎝ 3 y koordinátái kielégítik az x 2 + y 2 = egyenletet. Ezek a pontok nyilván az adott 4 1⎞ ⎛ síkban egy 3 / 2 sugarú, ⎜ 0,0, ⎟ középpontú körön fognak elhelyezkedni. Ha ezt a 2⎠ ⎝ kört vetítjük az xy-síkra, akkor egy origó középpontú, 3 / 2 sugarú kört kapunk, amit az adott kétváltozós függvény z = 1/ 2 -hez tartozó szintvonalának nevezünk. A 94 Ábrán látható a háromdimenziós térben a metszet, és az xy-síkban ábrázolt szintvonal. 9.4 Ábra Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ha

felületnek képezzük az ( x, y, c ) , 0 ≤ c ≤ 1 síkokkal a metszeteit, akkor a x 2 + y 2 = 1 − c2 körök lesznek a szintvonalak. Ha c = 0 , akkor a felületnek magával az xy-síkkal való metszetéről van szó, ami az origó középpontú egység sugarú kört jelenti, mint szintvonalat. A másik szélső eset, amikor c = 1, ilyenkor a metsző síknak és a felületnek a (0,0,1) az egyetlen közös pontja, amit ha vetítünk az xy-síkra, akkor az origót kapjuk. A függvény különböző c értékekhez tartozó szintvonalait láthatjuk a 9.5 Ábrán 9.5 Ábra 98 TARTALOMJEGYZÉK 9.3 Parciális deriváltak Hasonlóan, mint ahogyan egy egyváltozós függvény esetén értelmeztük a független változó szerinti deriváltat, többváltozós függvényeknek is értelmezhetjük minden változójuk szerinti deriváltjukat. Többváltozós függvények esetén ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük. A parciális deriváltakat kétváltozós

függvények esetén tárgyaljuk részletesen, de az olvasó könnyen általánosíthatja ezek után a fogalmat tetszőleges többváltozós függvények esetére is. Vegyük először példaként az f ( x, y ) = x 2 y 2 + 2 xy függvényt. Ez az xy-sík minden pontjában értelmezve van. Rögzítsük most az y változó értékét, legyen y = y0 Azaz a függvényünket most csak az xy-sík (x, y 0 ) , x ∈ R pontjaiban tekintjük. Az értelmezési tartománynak ezen a részhalmazán a függvényértékek már csak az x változótól függnek, mégpedig f ( x, y 0 ) = x 2 y 0 + 2 xy 0 . 2 Ez a most már egyváltozós függvény bármely x0 helyen differenciálható, és a deriváltja 2 2 x0 y0 + 2 y0 . Ezt az értéket nevezzük az x 2 y 2 + 2 xy függvény (x 0 , y 0 ) helyen vett xszerinti (első) parciális differenciálhányadosának Láthatjuk, hogy ennek a parciális differenciálhányadosnak az értéke x0 -tól és y0 -tól is függ. Magát a 2 xy 2 + 2 y függvényt,

amelyik általában megadja, hogy a x-szerinti parciális differenciálhányados hogyan függ attól az ( x, y ) helytől, amely helyen ezt a differenciálhányadost vesszük, x-szerinti parciális derivált függvénynek, vagy rövidebben x-szerinti parciális deriváltnak nevezzük. Hasonlóan értelmezzük a másik változó szerinti parciális deriváltat is. Rögzítsük most az x változó értékét, legyen x = x0 . Azaz a függvényünket most csak az xy-sík (x0 , y ) , y ∈ R pontjaiban tekintjük. Az értelmezési tartománynak ezen a részhalmazán a függvényértékek már csak az y változótól függnek, mégpedig f ( x0 , y ) = x0 y 2 + 2 x0 y . 2 Ez a most már egyváltozós függvény bármely y0 helyen differenciálható, és a deriváltja 2 2 x0 y0 + 2 x0 . Ezt az értéket nevezzük az x 2 y 2 + 2 xy függvény (x 0 , y 0 ) helyen vett yszerinti (első) parciális differenciálhányadosának nevezzük Láthatjuk, hogy ennek a parciális

differenciálhányadosnak az értéke x0 -tól és y0 -tól is függ. Magát a 2 x 2 y + 2 x függvényt, amelyik általában megadja, hogy az y-szerinti parciális differenciálhányados hogyan függ attól az ( x, y ) helytől, amely helyen ezt a differenciálhányadost vesszük, y-szerinti parciális derivált függvénynek, vagy rövidebben y-szerinti parciális deriváltnak nevezzük. TARTALOMJEGYZÉK 99 Elsőrendű parciális deriváltak Legyen f ( x, y ) egy tetszőleges kétváltozós függvény. 1. Ha valamely rögzített y esetén az f függvény, mint az x változó függvénye a közönséges értelemben differenciálható, akkor ezt a deriváltat az f (x, y ) függvény xszerinti elsőrendű parciális deriváltjának nevezzük. Jelölése ∂f . ∂x f x , vagy 2. Ha valamely rögzített x esetén az f függvény, mint az y változó függvénye a közönséges értelemben differenciálható, akkor ezt a deriváltat az f (x, y ) függvény yszerinti elsőrendű

parciális deriváltjának nevezzük. Jelölése f y , vagy κ 9.2 Példa Határozzuk meg az parciális deriváltjait. ∂f . ∂y f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2 x + 3 y függvény x-szerinti, illetve y-szerinti A parciális deriváltak értelmezése szerint, amikor az x változó szerinti parciális deriváltat akarjuk meghatározni, akkor az y-t konstansként kell kezelnünk, és venni kell a most már egyváltozós (és ez a változó most az x) függvény deriváltját, amelyet a már jól ismert differenciálási szabályok szerint számítunk ki: ′ ′ ′ ′ ′ f x ( x, y ) = (x 2 + y 2 + 2 x + 3 y ) = (x 2 ) + ( y 2 ) + (2 x ) + (3 y ) = = 2x + 0 + 2 + 0 = 2x + 2. Ha pedig az y változó szerinti parciális deriváltat akarjuk meghatározni, akkor az x-et kell konstansként kezelnünk, és venni kell a most már egyváltozós (és ez a változó most az y) függvény deriváltját: ′ ′ ′ ′ ′ f y (x, y ) = (x 2 + y 2 + 2 x + 3 y ) = (x 2 ) + ( y 2 ) + (2 x ) +

(3 y ) = = 0 + 2 y + 0 + 3 = 2 y + 3. λ 9.4 Magasabb rendű parciális deriváltak Emlékezzünk rá, hogy egy egyváltozós függvény esetén a második deriváltat úgy értelmeztük, mint az első deriváltfüggvénynek a deriváltját, a harmadik dreiváltat úgy kaptuk meg, hogy a második deriváltat újra differenciáltuk, stb. Ugyanígy értelmezzük a kétváltozós függvények magasabb rendű parciális deriváltjait is. 100 TARTALOMJEGYZÉK Másodrendű parciális deriváltak Legyen f ( x, y ) egy tetszőleges kétváltozós függvény, és tegyük fel, hogy az f x (x, y ) és f y ( x, y ) elsőrendű parciális derivált függvényeik léteznek, továbbá, hogy az f x (x, y ) függvénynek és az f y ( x, y ) függvénynek is létezik mind az x-szerinti, mind az y-szerinti parciális deriváltjai. Ekkor az deriváltjai: f ( x, y ) függvény második parciális 1. f xx = ∂ 2 f ∂ fx = , vagyis az f x ( x, y ) függvény x-szerinti parciális deriváltja,

∂ x2 ∂ x 2. f xy = ∂2f ∂f = x , vagyis az f x ( x, y ) függvény y-szerinti parciális deriváltja, ∂ x∂ y ∂ y ∂ fy ∂2 f 3. f yx = = , vagyis az f y (x, y ) függvény x-szerinti parciális deriváltja, ∂ y∂ x ∂ x 4. f yy = ∂2 f ∂ fy = , vagyis az f y (x, y ) függvény y-szerinti parciális deriváltja. ∂x2 ∂ y κ 9.3 Példa Határozzuk meg az f ( x, y ) = 5 x + y + 2 x y függvény összes másodrendű parciális deriváltjait. A fentiek szerint, ehhez első lépésben fel kell írnunk az x és y változó szerinti elsőrendű parciális deriváltakat. 2 3 4 f x ( x, y ) = 5 + 6 x 2 y 4 , f y ( x, y ) = 2 y + 8 x 3 y 3 . Tehát f xx ( x, y ) = f xy ( x, y ) = f yx ( x, y ) = f yy ( x, y ) = ∂ ∂ (5 + 6 x x 2 y 4 ) = 12 xy 4 , ∂ (5 + 6 x y ∂ (2 y + 8x y ) = 24 x x ∂ ∂ ∂ ∂ y 2 ) y 4 = 24 x 2 y 3 , 3 3 2 y3 , (2 y + 8 x y ) = 2 + 24 x 3 3 3 y2 . Az f xy és f yx másodrendű parciális deriváltak vegyes

másodrendű parciális deriváltaknak is szokás nevezni. TARTALOMJEGYZÉK 101 9.5 Kétváltozós függvények szélsőértékei Ebben a szakaszban azt fogjuk tárgyalni, hogy hogyan lehet meghatározni a lokális szélsőértékeit az olyan kétváltozós függvényeknek, amelyeknek léteznek a másodrendű parciális deriváltjaik. 9.1 Definícó Az f ( x, y ) függvénynek az (a, b ) helyen lokális maximuma van, ha van az xy-síkon olyan (a, b ) középpontú K kör, hogy a K minden (a, b ) -től különböző ( x, y ) pontja esetén f (a, b ) > f (x, y ) teljesül. Magát az f (a, b ) függvényértéket lokális maximumnak nevezzük. 9.2 Definícó Az f ( x, y ) függvénynek az (a, b ) helyen lokális minimuma van, ha van az xy-síkon olyan (a, b ) középpontú K kör, hogy a K minden (a, b ) -től különböző ( x, y ) pontja esetén f (a, b ) < f (x, y ) teljesül. Magát az f (a, b ) függvényértéket lokális minimumnak nevezzük. A lokális maximum,

illetve minimum helyeket közös néven lokális szélsőérték helyeknek nevezzük. Bebizonyítható, hogy valamely f ( x, y ) függvénynek csak olyan (a, b ) helyen lehet lokális szélsőértéke, amely helyen az elsőrendű parciális deriváltjai 0-val egyenlő. Hogy az f x ( x, y ) = 0 f y ( x, y ) = 0 egyenletrendszer megoldásai közül melyek a tényleges lokális szélsőérték helyek, az további vizsgálódást igényel. κ 9.4 Példa Nézzük meg, hogy lokális szélsőértékei. az f ( x, y ) = x 2 − 2 x + y 2 − 4 y + 6 függvénynek hol lehetnek Mivel f x ( x, y ) = 2 x − 2 , és f y ( x, y ) = 2 y − 4 , a 2x − 2 = 0 2y − 4 = 0 egyenletrendszert kell megoldanunk. Ennek egyetlen megoldása az x = 1, egyetlen olyan hely, ahol a tekintett függvénynek lokális szélsőértéke lehet. y = 2 , tehát az (1,2) az 102 TARTALOMJEGYZÉK Pusztán az elsőrendű parciális deriváltak alapján azt nem tudjuk eldönteni, hogy tényleg van-e lokális

szélsőérték ezen a helyen, és ha van, akkor az lokális maximum, vagy lokális minimum-e. Ebben az esetben a függvénynek a 96 Ábrán látható grafikonja alapján nyilvánvaló, hogy az adott helyen lokális minimuma van a függvénynek. 9.6 Ábra λ A hátramaradt kérdésre a második deriváltak alapján tudunk választ adni. Másodi derivált teszt Legyen x=a, y=b az f x = 0, f y = 0 egyenletrendszer egy megoldása. ( ) Legyen D( x, y ) = f xx ( x, y ) f yy ( x, y ) − f xy ( x, y ) 2 . 1. Ha D(a, b ) >0, akkor f-nek lokális szélsőértéke van az (a, b ) helyen, és a. ha f xx (a, b ) <0, akkor lokális maximuma van, b. ha f xx (a, b ) >0, akkor lokális minimuma van 2. Ha D(a, b ) <0, akkor f-nek nincs lokális szélsőértéke az (a, b ) helyen 3. Ha D(a, b ) =0, akkor a második parciális deriváltak segítségével nem tudjuk eldönteni, hogy van- e lokális szélsőértéke az (a, b ) helyen. κ 9.5 Példa Alkalmazzuk a fentieket az f ( x, y )

= − x 2 + 2 xy + 2 y 2 − 4 x − 14 y + 1 függvény vizsgálatára. 1. Meghatározzuk a függvény első és másodrendű parciális deriváltjait TARTALOMJEGYZÉK 103 f y = 2 x + 4 y − 14 f x = −2 x + 2 y − 4 , f xx = −2 f xy = +2 , f yx = 2 , f yy = 4 . 2. Megoldjuk a −2 x + 2 y − 4 = 0 , 2 x + 4 y − 14 = 0 egyenletrendszert. Adódik, hogy x=1 és y=3 3. Meg kell nézni, hogy az (1,3) helyen van-e szélsőértéke a függvénynek. D( x, y ) = f xx f yy − ( f xy ) = −8 − 2 2 = −12. 2 Az (1,3) helyen -12 az értéke, tehát szélsőértéke az (1,3) pontban. D(1,3) <0, ami azt jelenti, hogy a függvénynek nincs lokális λ 104 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 1. HATÁRÉRTÉKEK 1 1.1 FÜGGVÉNY VÉGES HELYEN VETT HATÁRÉRTÉKE 1 Függvény határértékének tulajdonságai . 6 1.2 FÜGGVÉNY VÉGTELENBEN VETT HATÁRÉRTÉKE 9 Függvény nem véges helyen vett határértékének tulajdonságai. 12 1.3 NEM VÉGES

HATÁRÉRTÉKEK 14 Függvények nem véges határértékének tulajdonságai . 17 1.4 ELEMI FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKEI 18 Hatványfüggvények határértéke . 18 Polinomok határértéke . 21 Racionális törtfüggvények határértéke. 23 1.5 FÜGGVÉNY FOLYTONOSSÁGA 27 Hatványfüggvények folytonossága . 27 Polinomok folytonossága . 27 Racionális törtfüggvények folytonossága . 28 2. DIFFERENCIÁLHÁNYADOS 29 2.1 A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS FOGALMA 29 A differenciálhányados geometriai jelentése. 30 A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata. 33 2.2 DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK 33 2.3 MAGASABB RENDŰ DERIVÁLTAK 35 2.4 KÖZELÍTŐ SZÁMÍTÁSOK 36 3. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 38 3.1 FÜGGVÉNY NÖVEKEDÉSE, CSÖKKENÉSE 38 3.2 HELYI SZÉLSŐÉRTÉKEK 40 3.3 KONVEXSÉG, KONKÁVSÁG 43 3.4 FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 45 3.5 ABSZOLÚT SZÉLSŐÉRTÉKEK 47 4. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 51 4.1 FEDEZETI PONT, HASZONMAXIMALIZÁLÁS 51 4.2

KERESLETFÜGGVÉNY, KÍNÁLATFÜGGVÉNY 53 Piaci egyensúly. 55 Haszonmaximalizálás a kínálati viszonyok figyelembevételével . 56 Haszonmaximalizálás árdiszkrimináció esetén . 58 4.3 KERESLET RUGALMASSÁGA 60 4.4 HATÁRKÖLTSÉG, HATÁRBEVÉTEL, HATÁRHASZON 63 Határköltség . 63 Határbevétel . 64 Határhaszon . 64 5. EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNY 66 5.1 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 66 5.2 AZ EX FÜGGVÉNY 67 5.3 A LOGARITMUS FÜGGVÉNY 68 5.4 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY ALKALMAZÁSAI 69 Kamatos kamat . 69 Tőke jelenértéke. 71 Gyűjtőrészletek, annuitások jövőértéke . 73 Törlesztőrészletek, annuitások jelenértéke . 74 6. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 77 TARTALOMJEGYZÉK 105 6.1 PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 77 Integrálási szabályok . 79 6.2 PARCIÁLIS INTEGRÁLÁS 80 6.2 HELYETTESÍTÉSSEL VALÓ INTEGRÁLÁS 81 7. HATÁROZOTT INTEGRÁL 83 7.1 A HATÁROZOTT INTEGRÁL ÉRTELMEZÉSE 83 7.2 A HATÁROZOTT INTEGRÁL

TULAJDONSÁGAI 84 7.3 A HATÁROZOTT INTEGRÁL GEOMETRIAI JELENTÉSE 84 7.4 IMPROPRIUS INTEGRÁLOK 87 8. AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 90 8.1 SÍKIDOMOK TERÜLETÉNEK KISZÁMÍTÁSA 90 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 94 9.1 TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ÉRTELMEZÉSE 94 9.2 KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 95 9.3 PARCIÁLIS DERIVÁLTAK 98 9.4 MAGASABB RENDŰ PARCIÁLIS DERIVÁLTAK 99 9.5 KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK SZÉLSŐÉRTÉKEI 101