Matematika | Tanulmányok, esszék » Fegyveres György - A hozamgörbe modellezésének módszertani bemutatása a spline és a Nelson-Siegel típusú modellek összehasonlításán keresztül

Szakdolgozat Fegyveres György 2014 Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A hozamgörbe modellezésének módszertani bemutatása a spline és a Nelson-Siegel típusú modellek összehasonlításán keresztül Készítette: Fegyveres György Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Kvantitatív pénzügyek szakirány 2014 Témavezet®: Dr. Száz János, Vidovics-Dancs Ágnes Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni Dr. Száz Jánosnak és Vidovics-Dancs Ágnesnek, hogy észrevételeikkel és tanácsaikkal segítették munkámat. Továbbá hálás vagyok munkatársaimnak, Mohai Ádámnak, Reguly Ágostonnak és Bebes Andrásnak segít® észrevételeikért. Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. A hozamgörbe és a kötvényárazás 5 2.1 A kamatlábak lejárati szerkezete . 5 2.2 Kötvényárfolyam . 8 2.3

Benchmark kötvények . 11 2.4 Az átlagid® és a módosított átlagid® 12 . 3. Az kötvényárazás hibája 15 3.1 Az árazó függvény . 15 3.2 A hiba mérése . 16 3.3 A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok 20 . 4. A hozamgörbe közelítése 21 4.1 Interpoláció . 21 4.2 Spline illesztés . 22 4.3 Függvény alapú módszerek . 27 4.4 A Nelson-Siegel modellcsalád . 29 4.41 A Nelson-Siegel modell . 29 4.42 A Nelson-Siegel modell kiterjesztései . 32 A paraméterek becslése . 36 4.5 5. Empirikus vizsgálat 5.1 5.2 38 Statikus vizsgálat . 39 5.11 Spline alapú modellek . 39 5.12 Nelson-Siegel alapú

modellek . 45 Dinamikus vizsgálat . 49 6. Befejezés 53 A. Programkódok 56 ii Táblázatok jegyzéke 2.1 A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései 3.1 A benchmark kötvények szórása . 4.1 A harmadfokú spline bázisfüggvényei 4.2 A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend® paraméterei 5.1 A vizsgált hibafüggvények 5.2 A bázisfüggvény súlyok szórása . 41 5.3 A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meggyelésekt®l . 42 5.4 Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén . 44 5.5 Hibák különböz® lambdák mellett a NS modell esetén . 46 5.6 A Nelson-Siegel típusú modellek hibája . 47 5.7 A kapott faktorok és lambdák különböz® modellek esetén . 48 6.1 A külföldi jegybankok gyakorlata 53 τ = kt,m+1 + τ = kt,m+1 18 esetén . 25

. 37 . 39 iii és 6 . Ábrák jegyzéke 2.1 A 2014.0331-ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe 7 2.2 A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása . 8 2.3 A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása . 8 2.4 A benchmark hozamok alakulása . 11 2.5 A benchmark hozamok korrelációja 2.6 Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid®vel 2.7 Az árfolyamváltozás közelítésének hibája 4.1 A harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei 4.2 Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén . 28 4.3 Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján . 28 4.4 A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén . 30 4.5 A Nelson-Siegel modellel kapható különböz® hozamgörbe alakok . 32 5.1 A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett

. 40 5.2 A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén . 40 5.3 A bázisfüggvények súlyainak kezd®pont függése . 41 5.4 A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén . 43 5.5 A spline közelítés relatív hibája különböz® értékpapírok esetén . 43 5.6 Hozamgörbék spline módszerek esetén . 44 5.7 A zérókupon hozamok és a f®komponensek korrelációja . 45 5.8 Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén 46 5.9 Faktorok különböz® lambdák mellett a NS modell esetén . 12 . 13 . 14 . . . 25 46 5.10 A faktorok és a lambda kezd®pont függése a Nelson-Siegel modell esetén 47 5.11 Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén . 48 . 49 5.13 Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén 50 5.14 Faktorsúlyok a

Nelson-Siegel modell esetén 50 5.15 Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén 51 5.12 Súlyok a harmadfokú spline modell esetén . 5.16 Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén iv . 51 5.17 Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén 52 1. fejezet Bevezetés Egy pénzáramlás jöv®beli és mai értéke nem egyezik meg, a kapcsolatot közöttük a hozamgörbe jelenti. E görbe ismerete, vagy legalábbis becslése, a piaci szerep- l®k számára létszükséglet különböz® derivatívák árazásához és fedezéséhez, míg az adósságkezel®k, mint szuverén piaci szerepl®k esetén az adósságportfólió menedzselése szempontjából lényeges. Így dolgozatomban különböz® módszereket mutatok be, amellyel keresztmetszeti kötvényárfolyamokra tudunk hozamgörbét illeszteni, illetve utóbbi id®beli fejl®dését lehet meghatározni. A magyar adatok vizsgálatával pedig

rávilágítok a bemutatott modellek gyakorlati nehézségeire. A magyar adósságkezel®, az Államadósság Kezel® Központ Zrt. (ÁKK) adós- ságkezelési stratégiája alapján az ÁKK feladata az, hogy a központi költségvetés nanszírozási szükségletét hosszú távon minimális költséggel, elfogadható kockázatok vállalása mellett, egységes szemléletben nanszírozza (ÁKK Zrt., 2012) A legnagyobb költség és kockázati tényez®k, azaz a kamatkiadások és a kamatláb kockázat a hozamgörbéhez kapcsolódnak, ezért kockázatkezelési szempontból fontos a hozamgörbe vizsgálata és becslése egyaránt. A hozamgörbe vizsgálata történhet statikusan vagy dinamikusan. El®bbi keresztmetszeti becslést jelent, azaz egy adott id®pontra határozzák meg a hozamgörbét Legegyszer¶bb eljárás a bootstrap módszer, melyet Fama és Bliss (Fama és Bliss, 1987) publikált el®ször. Az összetettebb görbeillesztési technikákon belül két fontos

módszercsalád különíthet® el, a spline és a függvény alapú modellek. El®bbiek a hozamgörbét szakaszonként építik fel, a szakirodalomban a f®bb módszerek az alkotó függvényekben térnek el. Ezek többek között lehetnek harmadfokú (McCulloch, 1975), exponenciális (Vasicek és Fong, 1981), simító (Fischer, Nychka és Zervos, 1995) vagy B-spline-ok (Bolder és Gusba, 2002). A függvény alapú modellek esetén a teljes intervallumra illesztenek, a legnagyobb hatású a Nelson-Siegel (Nelson és Siegel, 1987) és a Svensson modell (Svensson, 1994). A megfelel® statikus módszertan 1 1. FEJEZET BEVEZETÉS 2 kiválasztásához nyújtanak segítséget Bliss (1996) és Bolder és Gusba (2002) összehasonlító tanulmányai. A dinamikus becslés a hozamok id®soros jellegét ragadja meg a görbe fejl®désének leírásával. Az alkalmazandó hozammodell kiválasztásakor különböz® elvárások képzelhet®k el (Bolder, 2001). A hozamgörbe alakjából

következtetni lehet a piaci szerepl®k várakozására és annak bekövetkezésének sebességére Így például emelked® hozamgörbe a gazdaság és az ináció növekedését, míg meredeksége a változás gyorsaságát jelzi. A magyar adatok alapján elvárható, hogy a modell képes legyen reprodukálni különböz® hozamgörbe alakokat is. Ezenkívül a historikus adatok alapján meggyelhet® további jellemz®kkel, stilizált tényekkel is összhangban kell lennie a kapott eredményeknek. További elvárt követelmények a modell matematikai alakjával, valamint a paraméterek megszorításával érhet®k el. Ilyen az arbitrázsmentesség, a negatív és nem korlátos hozamok tiltása, illetve, hogy a modell az egész görbét modellezze, ne csak egy pontjának dinamikájából vezesse le a többi alakulását. A modell ellen®rzése során szükséges a paramétereit többször újrabecsülni, ugyanis els®dleges vizsgálati elem a modell eredményeinek paraméterekt®l

való függése, érzékenységvizsgálata. Minél könnyebben végezhet® eló a becslés, akár a paraméterek száma, akár az alkalmazott módszertan miatt, annál könnyebben ellen®rizhet® a hozamgörbe stabilitása. A könny¶ becsülhet®ség mellett a paraméterek közgazdasági értelmezése és ezáltal egyes értékek kizárása is lehetséges szempont az empirikus vizsgálat során. Végül a görbe id®beli fejl®désének pontos modellezése és a függvényszer¶ kapcsolat egyes faktorok és a hozamok között a szimuláció helyességének és sebességének lehetséges elemi kritériumai. Szimulációs szempontból további követelmény, hogy a különböz® lejáratra kapott kamatlábak közti korrelációk a meggyelt mintát tükrözzék (Danmarks Nationalbank, 2010). Természetesen nem teljesíthet® egyidej¶leg az összes lehetséges elvárás, így szükséges jellemz®ik alapján csoportosítani a szakirodalomban fellelhet® modelleket. Kopányi (2009)

alapján a rendszerezés a modell id®belisége (diszkrét vagy folytonos), célja (árazás vagy kockázatkezelés), faktorainak száma (egy vagy több) és az azok közti függvénykapcsolat alapján végezhet® el. Az id®beliség alapján megkülönböztethet®ek diszkrét és folytonos idej¶ modellek. Utóbbiak el®nye a jóval b®vebb szakirodalom és elméleti háttér, továbbá az egyszer¶bb modellek esetén zárt képlettel számolhatók a kötvényárfolyamok, illetve meghatározható a kamatlábak eloszlása. Hátrányuk, hogy ezzel szemben a valós kereskedés diszkrét idej¶ és az árfolyamok mozgása is diszkrét nagyságú, így gyakorlati szemszögb®l a folytonos folyamatokat diszkretizálni kell. A nagyfrekvenciájú kereskedés (HFT, High Frequency Trading) megjelenésével azonban a diszkrét lépésközök 1. FEJEZET BEVEZETÉS 3 egyre kisebbek, így a folyamatok egyre jobban közelítenek a folytonoshoz. A diszkrét modellek hátránya, hogy az

id®közök megválasztása önkényes, ami befolyásolhatja a modell eredményeit, el®nye viszont a könny¶ interpretálhatóság és érthet®ség. Jelen dolgozatban a komplexebb, folytonos modellekkel foglalkozom els®dlegesen. A hozamgörbe felhasználásának két területét említi Bolder (Bolder, 2006): a kamatláb derivatívák árazását és a kockázatkezelést. Az el®bbi esetén a görbe dinamikájának leírása a rizikósemleges, vagy martingál mérték szerint történik, így arra nincsenek hatással a befektet®k kockázati preferenciái. Kockázatkezelésnél ez nem lenne járható út, így ott a dinamika felírása a valós mérték szerint történik. A két lehetséges cél szerint megkülönböztethet®k arbitrázsmentes és egyensúlyi hozamgörbe modellek. Az arbitrázsmentes családba tartozó módszerek az egy adott id®pontra való tökéletes illeszkedésre összpontosítanak, ezáltal kizárva az arbitrázs lehet®ségét, ami elengedhetetlen

árazási szempontból. Ebbe a csoportba tartozik többek között a diszkrét Ho-Lee (Ho és Lee, 1986), a Heath-Jarrow-Morton (Heath, Jarrow és Morton, 1992) és a Hull-White (Hull és White 1994a, illetve Hull és White 1994b) modell. Az egyensúlyi modellek a pillanatnyi kamatláb dinamikája alapján a hozamgörbe többi pontját a kockázati prémiumra vonatkozó feltételezések alapján határozzák meg. Idetartozik például a Merton (Merton, 1973) és a két legismertebb an modell, a Vasicek (Vasicek, 1977) és a CIR (Cox, Ingersoll és Ross, 1985). Az arbitrázsmentes és az egyensúlyi modellek el®nye az analitikus számolhatóság és az elméleti megalapozottság, az el®rejelzésben azonban gyengén teljesítenek (Duee, 2002). Az eddig említett elméleti modellekr®l Yu (Yu, 2012) ad részletes összefoglalót Kockázatkezelési szempontból a jöv®beli hozamok becslése kiemelt jelent®ség¶, ezért a dolgozatban els®dlegesen az emprikus modelleket mutatom be

részletesen. Egyszer¶sége és értelmezhet®sége miatt alapvet® a dinamikus Nelson-Siegel modell (Diebold és Li, 2006), mely a korábban említett Nelson-Siegel modell id®függ® változata. De Pooter (De Pooter, 2007) összefoglalja a Nelson-Siegel modellcsalád egyes tagjait, míg Bolder (Bolder, 2006) elméleti és empirikus modelleket hasonlít össze egy általa választott szempontrendszer alapján, például egy egyszer¶ portfólió optimalizálási feladat alapján. A Nelson-Siegel modell közvetlenül nem illeszthet® be a korábban említett, Dai és Singleton (2000) által rendszerezett an modellek közé (Diebold, Ji és Li, 2006a), az eredeti modell módosításával azonban megtehet® (Christensen, Diebold és Rudebusch, 2011). Az így kapott an arbitrázsmentes NelsonSiegel modellt általánosítja Yu (2012) két deviza esetére. A hozamgörbe volatilitását három látens faktor szinte teljesen magyarázza (Litterman és Scheinkman, 1991), így a három

faktoros modellek a leggyakrabban el- 1. FEJEZET BEVEZETÉS 4 terjedtek, ráadásul a faktoroknak közgazdasági értelmet is lehet adni (szint, meredekség, görbület). Eltérés, hogy míg az an modellek esetén a faktorok a rövid kamatot határozzák meg, addig a Nelson-Siegel típusú modelleknél a teljes hozamgörbét. Empirikus tapasztalatok azt mutatják, hogy az el®bb említett nem meggyelhet® változók mellett meggyelhet® makrováltozók (például ináció, alapkamat) használata javítja a modell eredményeit. Ezért a 2000-es években mind az elméleti modellek (Ang és Piazzesi, 2003), mind az empirikus modellek esetén (Diebold, Rudebusch és Aruoba, 2006b) születtek a makrogazdaság alakulását gyelembe vev® modellek. Bolder és Liu (2007) összehasonlító elemzésében elméleti és empirikus makro-hozam modellek teljesítményét hasonlítja össze. Dolgozatomban áttekintem a külföldi adósságkezel®k és nemzeti bankok gyakorlatát (Bank

for International Settlements (BIS), 2005) és a szakirodalomban korábban megjelent hazai (Reppa, 2009, illetve Kopányi, 2009) és regionális (’opov és Seidler, 2011) empirikus eredményeket is. Dolgozatom felépítése a következ®. A második fejezetben összefoglalom a kötvényekkel és azok árazásával kapcsolatos elemi ismereteket A következ® két fejezetben bemutatom a becsült és elméleti árfolyamok eltérését számszer¶sít® mutatószámokat, illetve különböz® görbeillesztési technikákat. Két csoporttal foglalkozom, a spline illesztésekkel és a Nelson-Siegel típusú modellekkel. Az ötödik fejezetben a magyar adatok alapján 2014.0331-ére illesztek hozamgörbét Excel segítségével, illetve az R statisztikai programmal dinamikusan a 20030101 és 20131231 közti id®szakra. Dolgozatom ábráit az ÁKK honlapján elérhet® adatokra támaszkodva, saját számítások alapján, Matlabbal készítettem. 2. fejezet A hozamgörbe és a

kötvényárazás A kamatlábmodellek egy adott id®pontra a különböz® lejáratokhoz tartozó hozamokat ábrázolják, valamint azok id®beni fejl®dését írják le. Egy id®pillanatra többféle görbe is meghatározható, melyek ugyanazt az információt hordozzák, a következ®kben röviden a diszkontfüggvényt, a hozamgörbét és a forwardgörbét tekintem át. 2.1 A kamatlábak lejárati szerkezete A kötvénypiacok legegyszer¶bb épít®elemei a kockázatmentes diszkontpapírok, vagy elemi kötvények. Ezek árfolyama a jöv®beli kockázatmentes 1 egység¶ kizetés jelenlegi értékét mutatják Jelölje kötvény árfolyamát diszkontfüggvény. t-ben, a p(t, T ) T a id®pillanatban d(t, ·) : s 7 p(t, t + s) 1 egységet zet® elemi hozzárendelés az árfolyam- vagy Az arbitrázsmentességhez szükségesek a függvényre vonatkozó kikötések (Makara, 1998), azaz  d(t, 0) = 1  d(t, ·)  d(t, ·) > 0. monoton csökken® p(T, T ) = 1,

Az elemi kötvény deníciója alapján számolva, a T −t futamidej¶ elemi kötvény r(t, T ) így folytonos kamatozással azonnali hozamára t-ben: p(t, T )er(t,T )(T −t) = 1, log p(t, T ) . T −t A magyar terminológiában használatos az Y (t, T ) kamattömeg fogalma (Medver(t, T ) = − gyev és Száz, 2010), mely az Y (t, T ) = r(t, T )(T − t) 5 mennyiséggel egyezik meg, és 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 6 ezzel a kötvény p(t, T ) = e−Y (t,T ) árfolyama könnyebben értelmezhet®vé válik. A kés®bbi egységes jelölés miatt azonban a kamattömeg tényez®it a dolgozatban mindig kiírom A továbbiakban hozam alatt, ha külön nem említem, loghozamot értek. R(t, ·) : s 7 r(t, t + s) Az függvényt nevezzük hozamgörbének, ez a piacon közvetlenül nem gyelhet® meg. Ha a T −t hátralév® lejárat 0-hoz tart, akkor az r(t) pillanatnyi kamatot kapjuk, mely egy t-ben megkötött, azonnal megtérül® befektetés

hozama. Ez matematikailag a kötvényárfolyam logaritmusának lejárat szerinti deriváltjának értéke t-ben, így a LHospital szabály felhasználásával (Bolder, 2001): log p(t, T ) 1 ∂p(t, T ) ∂ log p(t, t) = − lim =− . T t T t p(t, T ) T −t ∂T ∂t r(t) = lim r(t, T ) = − lim T t Jelölje f (t, S, T ) azt az [S, T ] id®szaki határid®s kamatlábat, ban kötnek, majd tegyük fel, hogy t-ben befektetünk míg T -ben ef (t,S,T )(T −S) -et t-beli, T -ben darab fog érni. A T -beli melyet a p(t, S) egységet. Ez pénzáramlás megegyezik lejáró elemi kötvény pénzáramlásával, így a t t id®pont- S -ben 1-et, ef (t,S,T )(T −S) id®pontra vonat- kozóan: p(t, S) = ef (t,S,T )(T −S) p(t, T ), (T − t)r(t, T ) − (S − t)r(t, S) log p(t, T ) − log p(t, S) = . T −S T −S S T határátmenettel kapott mennyiséget f (t, T ) pillanatnyi határid®s f (t, S, T ) = − Az kamatlábnak nevezzük, és a következ® alapján

kapható az F (t, ·) : s 7 f (t, t + s) forwardgörbe: f (t, T ) = lim f (t, S, T ) = − ST A deníciók alapján látható, hogy A ∂ log p(t, T ) . ∂T r(t) = f (t, t). d(t, ·) diszkontfüggvény, az R(t, ·) hozamgörbe és az F (t, ·) forwardgörbe közti ekvivalenciát a 2.1 táblázat tartalmazza, becslési szempontból azonban nem mindegy a választás Ránézve az összefüggésekre látható, hogy a határid®s kamatláb és az azonnali hozam mikroökonomiai megfeleltetése a termelés marginális- és átlagköltsége (Svensson, 1994). ) r(t, T ) = − logTp(t,T −t p(t, T ) = e −r(t,T )(T −t) p(t,T ) f (t, T ) = − ∂ log∂T r(t, T ) = − T 1−t − p(t, T ) = e RT t RT t f (t, u) du f (t,u) du ) f (t, T ) = r(t, T ) + (T − t) ∂r(t,T ∂T 2.1 táblázat A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 7 A 2.1 ábrán látható az Államadósság Kezel®

Központ által közölt, 1 2014.0331- ei hozamgörbe és az ebb®l számított diszkontfüggvény, illetve forward görbe. Az adósságkezel® eektív hozamokkal számol, így szükséges az adatokat az rlog (t, T ) = log(1 + ref f (t, T )) T1 , . Tn képlet alapján átszámítani. Az adatok a így a diszkontfüggvény a diszkrét id®pontokban adottak, p(t, Ti ) = e−r(t,Ti )(Ti −t) képlettel számolható, míg a forward- görbét numerikus deriválással határoztam meg. A kezd®pontban haladó, a közbens® pontokban központi, a végpontban retrogád dierenciával, sorrendben: f (t, T1 ) ≈ r(t, T1 ) + (T1 − t) f (t, Ti ) ≈ r(t, Ti ) + (Ti − t) r(t,Ti+1 )−r(t,Ti ) Ti+1 −Ti + r(t, T2 ) − r(t, T1 ) , T2 − T1 r(t,Ti )−r(t,Ti−1 ) Ti −Ti−1 2 f (t, Tn ) ≈ r(t, Tn ) + (Tn − t) , ahol i = 2, . n − 1 és r(t, Tn ) − r(t, Tn−1 ) . Tn − Tn−1 20 100 75 15 50 10 25 5 0 0.02 3.65 7.29 10.93 Hozam− és

forwardgörbe (%) Diszkontfüggvény (%) Diszkontfüggvény Hozamgörbe Forwardgörbe 0 14.57 Lejárat (év) 2.1 ábra A 20140331-ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe A 2.1 ábra alapján a március végi hozamgörbe emelked® volt, illetve a diszkontfüggvény megfelel az arbitrázsmentességhez szükséges függvényalaknak Ha minden lejáratra van elemi kötvény, akkor azok árfolyamaiból megkapható a diszkontfüggvény és így a hozamgörbe. A feltevés azonban nem igaz, egyrészt az elemi kötvények futamideje általában éven belüli, másrészt a lejárat összessége diszkrét halmaz. A magyar kötvénypiacon kockázatmentes elemi kötvénynek a diszkont kincstárjegy tekinthet® Ezek a Magyar Állam által kibocsátott névre szóló, dematerializált, nem kamatozó értékpapírok, melyek alapvet®en 3 és 12 hónapos futamid®vel, névérték alatt kerülnek kibocsátásra. Ahogy a 2.2 ábra mutatja, az 1

http://akk.hu/zerokuponivy?publiccat-sys-B23DDCB1-22B0-40E0-A088-991F3409C08E- ltergroup=user3 (letöltve 2014.0411-én) 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 8 12 11 10 Lejárat (hónap) 9 8 7 6 5 4 3 2013.0101 2013.0701 2013.1221 Dátum (nap) 2.2 ábra A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása Els®dleges forgalmazók árjegyzése alapján jellemz®en naponta 5 diszkont kincstárjegy árfolyama áll rendelkezése, a legrövidebb futamid® 3 hónapos. Az elemi kötvények alacsony száma miatt ezért numerikus módszereket alkalmaznak a zérókupon hozamok meghatározására, ezt nevezik összefoglalóan a hozamgörbe becslésének. Ezen eljárások a kockázatmentesnek tekinthet® állampapírok diszkontkincstárjegy és államkötvény árfolyamaiból határozzák meg a hozamgörbét. Jelenleg 3, 5, 10 és 15 éves futamidej¶ államkötvények kerülnek kibocsátásra. A 23 ábra alapján egy adott napon jelenleg általában 15 x kamatozású

kötvényre jegyeznek árfolyamot. 16 14 12 Lejárat (év) 10 8 6 4 2 0 2013.0101 2013.0701 2013.1221 Dátum (nap) 2.3 ábra A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása A következ®kben áttekintem a kamatozó kötvényekkell kapcsolatos elemi számításokat. 2.2 Kötvényárfolyam A kamatozó kötvényeket megkülönböztethetjük a kamatzetés típusa, gyakorisága és konvenciója szerint. Típusa lehet x vagy változó kamatozású, el®bbi esetben 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 9 minden kizetéskor a névérték egy el®re meghatározott százaléka (kuponráta) kerül kizetésre. A magyar államkötvények esetén a változó kamatot a három hónapos diszkontkincstárjegy hozamából, a fogyasztói árindex változásából, vagy a BUBORból származtatják. A kamatzetés jellemz®en félévente vagy évente történhet, Magyaroszágon 2003 óta csak éves kamatperiódusú államkötvényeket bocsátanak ki A

kamatkonvenció a két kizetés között eltelt id® számításának módszertanát határozza meg. A következ® jelölésekkel  ACT: tényleges napok száma  360: az évet 360 naposnak tekinti  365: az évet 365 naposnak tekinti a magyar diszkontkincstárjegyek esetén a konvenció ACT/360, míg az államkötvényeknél ACT/ACT (a lakossági állampapírok, például a kamatozó kincstárjegy esetén jellemz® az ACT/365 is). A kamatkonvenció mind a kötvények felhalmozott kamatára, mind árfolyamára hatással van. A kamatozó kötvények esetén a rendszeres kuponzetés miatt az árfolyam az egyes diszkontált pénzáramlások összege. Tegyük fel, hogy az lásait (kamat és t®kezetés) a id®pontok és a i. kötvény pénzáram- t = {ti,1 , ti,2 , . ti,ni } (t ≤ ti,1 ≤ · · · ≤ ti,ni = T ) c = {ci,1 , ci,2 , . ci,ni } kizetés nagyságok írják le. Ekkor ezen pénz- áramlásokat tekinthetjük elemi kötvények portfóliójának, ahol a kizetés

nagysága a darabszám. Így az i. kötvény árfolyamára: Pi (t, r) = Pi (t, T, t, c, r(t, ·)) = ni X ci,j p(t, ti,j ) = j=1 ni X ci,j e−r(t,ti,j )(ti,j −t) . (2.1) j=1 Természetesen diszkont kincstárjegyek esetén is igaz a képlet, ott egy pénzáramlás van, a lejáratkori t®ke visszazetés. Adott napra vonatkozóan az Els®dleges forgalmazók árjegyzése alapján az Államadósság Kezel® Központ két árfolyamot közöl, egy Pibid (t, r) zük az si = vételi és egy Piask (t, r) eladási árfolyamot, a kett® közti sávot nevezz- Piask (t, r) − Pibid (t, r) bid-ask spreadnek. Az elméleti kötvényárfolyamra teljesülnie kell, hogy Pibid (t, r) ≤ Pi (t, r) ≤ Piask (t, r), ezt több hozamgörbe is kielégítheti. Pimid (t, r) = (Pibid (t, r) + Piask (t, r))/2 Tegyük fel, hogy ezek árfolyamát N t-ben. A továbbiakban egy kötvény árfolyamán a középárfolyamot értem. kötvényünk van és fel szeretnénk írni mátrixos

formában Ehhez létre kell hozni egy mátrixot, melynek sorai az összes lehetséges {Ci,j }i=(1,.,K),j=(1,,N ) t1 , t2 , . tK kizetés id®pont és az oszlopai az 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS értékpapírok. Azaz a mátrix i sorának mekkora pénzáramlás tartozik a ( Ci,j = A C ti j. 10 eleme megmutatja, hogy a j. kötvényhez id®pontban: ci,k ha ti = tj,k 0 különben. k -ra, valamilyen mátrix ritka, ugyanis az oszlopokban körülbelül a kötvény hátralév® fu- tamidejével (évben) egyez® elem nem nulla (éves kamatzetés esetén), míg a kamatzetések idejének nem kell egybeesni, így a sorok száma nagy is lehet. Például 2014.0331-ére vonatkozóan a cash-ow mátrix 69 sorból és 19 oszlopból állt 2 , az 1311 eleméb®l pedig csupán 89 nem volt nulla. Legyen továbbá vektora, és p = (P1 , P2 , . PN )T T d = (d1 , d2 , . dK ) az egyes kötvények árfolyamának oszlop- a diszkonttényez®k

oszlopvektora, azaz di = p(t, ti ). Ezekkel a jelölésekkel  P1   C1,1 C1,2 ··· C1,N T       P2   C2,1 C2,2 · · · C1,N       . = . .  . . .  .   . . .      PN CK,1 CK,2 · · · CK,N d1     d2     . ,  .    dK p = C T d. (2.2) A kés®bbi fejezetekben az R statisztikai program termstrc csomagját is hasz- nálom (Ferstl és Hayden, 2010), így megemlítem, hogy ott hogyan számítják a vektort. Meghatároznak egy Ĉ p cash-ow mátrixot, mely oszlopaiban az egyes kötvé- nyek pénzáramlásai szerepelnek egymás után, és az ezekhez tartozó diszkontfaktorok D̂ mátrixát. Így legyen L = max1≤i≤N ni , azaz a legtöbb kamat- és t®kezetéssel rendelkez® kötvény cash ow-inak száma, továbbá ( Ĉi,j = i ≤ ni , cj,i ha 0 különben. Ekkor  p1 T    p2     .   . 

  pN  T 1   1   = .  .    1  Ĉ1,1 Ĉ1,2 · · · Ĉ1,N   d1,2 · · · d1,N       Ĉ2,1 Ĉ2,2 · · · Ĉ2,N   d2,1 d2,2 · · · d2,N       . . . · . . , . . . . .   . . .   . . . . .    .  ĈL,1 ĈL,2 · · · ĈL,N dL,1 dL,2 · · · dL,N pT = 1T Ĉ · D̂, 2 Csak d1,1 (2.3) a diszkont kincstárjegy és a x kamatozású államkötvény adatokat gyelembe véve. 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS ahol tekintve · elemenkénti szorzást jelent és Ĉ és D̂ di,j = p(t, tj,i , ha 11 i ≤ ni . 2014.0331-ét mérete így 15-ször 19-es, és az 585 elemb®l 89 nem nulla. Összefoglalva, a p kiszámításához a 2.2 képlet használatával m¶veletre (szorzás és összeadás) van szükség, míg a 2.3 esetén (K · K + K) · N L · N + (L · L + L) · N - re. Egy tipikus napra (20140331)

vonatkozóan ez azt jelenti, hogy az els® esetben (69 · 69 + 69) · 19 = 91770, míg a második esetben 15 · 19 + (15 · 15 + 15) · 19 = 4845 m¶veletre van szükség, így a második módszer gyorsíthatja a becslést. 2.3 Benchmark kötvények A kötvények árfolyamával ekvivalens módon megadható az yi (t) lejáratig számított hozama, vagy másnéven bels® megtérülési rátája. Ez az a konstans kamatláb, amely mellett a pénzáramlások jelenértéke éppen az árfolyammal egyezik meg. Pi (t, yi ) = Pi (t, T, t, c, yi (t)) = ni X ci,j e−yi (t)(ti,j −t) . (2.4) j=1 A legtöbb esetben a lejáratig számított hozamot analitikusan nem lehet meghatározni, csak numerikusan, például a NewtonRaphson módszerrel. A lejáratig számított hozamok a kötvények közti összehasonlítást segítik, a hozamgörbét azonban nem határozzák meg. Egyrészt a 2.1 és a 24 egyenletekb®l látszik, hogy a lejáratig számított hozam az azonnali hozamok

súlyozott átlaga, másrészt az értéke a kuponráta függvénye. Ez utóbbit nevezik kuponhatásnak, azaz az azonos lejáratú kamatozó kötvények bels® megtérülési rátája a kuponráta nemlineáris függvénye. 3 hónap 6 hónap 12 hónap 3 év 5 év 10 év 15 év Effektív hozam (százalékpont) 14 12 10 8 6 4 2 2003.0102 2005.1017 2008.0812 2011.0531 2014.0331 Dátum (nap) 2.4 ábra A benchmark hozamok alakulása A referencia hozamgörbe, melyet az Államadósság Kezel® Központ minden napra közöl, kitüntetett lejáratokhoz tartozó kötvények lejáratig számított hozamát 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS szemlélteti. 12 Így a 3, 6, 12 hónapos és a 3, 5, 10, 15 éves benchmark kötvények árfolyamának alakulását láthatjuk a 2.4 ábrán 20030102 és 2014.0331 között. Meggyelhet®ek hozamemelkedéssel járó állampapírpiaci zavarok, melyek a forint gyengülésének és a külföldiek állampapír eladásának

(2003), a likviditás kiapadásának (2008), illetve a hitelmin®sít®k általi bóvli kategóriába sorolás (2011) következményei voltak. Látható a különböz® lejáratú benchmark hozamok együttmozgása, különösen a diszkont kincstárjegyek esetén. Az összes hozam szétválása (2004 eleje és 2013 végét®l) emelked®, míg a rövid és hosszú lejáratok kettéválása meredek hozamgörbére utal. 2.5 ábra A benchmark hozamok korrelációja A rövid hozamok közti er®s, pozitív kapcsolatot jelzi számszer¶leg a 2.5 ábra, melyen az egyes lejáratok benchmark hozamai közti korrelációk szerepelnek. Habár itt külön nem szerepel, de a zérókupon hozamok vizsgálatával is hasonló eredményeketre juthatunk. A korrelációk magas szintje mutatja, hogy a benchmark, illetve zérókupon hozamokat kevesebb faktorral is le lehet írni, a hozamgörbét leíró faktorokról a 4.4 részben lesz szó 2.4 Az átlagid® és a módosított átlagid® Az árfolyam és a

lejáratig számított hozam megváltozása közti kapcsolat számszer¶sítéséhez határozzuk meg el®ször Pi (t, yi ) yi (t) szerinti félrugalmasságát loghoza- mokra: ni ni X X ∂Pi (t, yi ) ci,j e−yi (t)(ti,j −t) P V (ci,j ) /Pi (t, yi ) = − (ti,j − t) =− (ti,j − t) , ∂yi (t) Pi (t, yi ) Pi (t, yi ) j=1 j=1 ahol P V (·) a jelenértéket jelöli. (2.5) Eektív hozamok esetén a következ®képpen módosul az összefüggés: ∂Pi (t, yi ) /Pi (t, yi ) = ∂yi (t) ni ni ci,j P V (ci,j ) 1 X 1 1 X =− (ti,j − t) = − (t − t) . i,j t −t 1 + yi j=1 (1 + yi ) i,j Pi (t, yi ) 1 + yi j=1 Pi (t, yi ) 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS A Pni j=1 (ti,j P V (c ) − t) Pi (t,yi,ji ) rugalmasság ellentettjét összeget nevezzük Macaulay-féle Di∗ Di 13 átlagid®nek és a fél- módosított átlagid®nek. Az átlagid® a két esetben meg- egyezik, a módosított átlagid® loghozamok esetén Di∗ = Di , míg eektív

hozamokra Di∗ = 1 Di . 1 + yi 2 1.5 Változás (százalékpont) 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 Árváltozás Becsült árváltozás −3 2014.0102 2014.0123 2014.0214 2014.0307 2014.0331 Dátum (nap) 2.6 ábra Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid®vel A deníció alapján az átlagid® a jöv®beli pénzáramlások hátralév® idejének súlyozott átlaga, ahol a súlyozás a pénzáramlások jelenértékének árfolyamhoz viszonyított aránya alapján történik. A félrugalmasság, és így a módosítot átlagid® azt mutatja meg, hogy mekkora a kötvény árfolyamában történ® változás (százalékban) a lejáratig számított hozam egységnyi változása esetén. Ez alapján a módosított átlagid® az árfolyam hozamérzékenységét mutatja, minél nagyobb, annál nagyobb a kötvény kamatlábkockázata. Az el®bbi jelölésekkel így az els®rend¶ Taylor-sorfejtés alapján ∂Pi (t, yi ) ≈ −Di∗ Pi (t, yi )∂yi . A

2.6 ábrán a 2028/A államkötvény 2014 márciusi bruttó vételi árváltozásai szerepelnek az el®z® közelítéssel. Látható, hogy az approximáció viszonylag közeli eredményeket ad, de a hibák természetér®l még nem árul el sokat. A 2.7 pontdi- agramon már meggyelhet®, hogy az árfolyamváltozás nagyságával n® a hiba abszolútértéke is (igazából minden esetben alulbecsüljük az árfolyam változását). Az árfolyamváltozás és a hibák között másodrend¶ kapcsolat van, ami legalább másodrend¶ Taylor-sor használatának (a második deriváltat konvexitásnak nevezzük) szükségességét jelzi. A magasabb hibanagyságok csütörtöki napokhoz tartoznak, a 2. FEJEZET A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 14 két munkanappal kés®bbi elszámolás miatt így igazából a többivel ellentétben nem egynapos, hanem háromnapos az árfolyamváltozás. Az ábrán azért maradtak mégis rajta, mert az el®bbi meggyelések ezekre is igazak. 0.08

0.07 Hiba (százalékpont) 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 −2.80 −0.38 0.02 0.59 2.28 Az árváltozás nagysága (százalékpont) 2.7 ábra Az árfolyamváltozás közelítésének hibája Az el®bbiek alapján az átlagid® a vízszintes hozamgörbe kismérték¶, párhuzamos eltolódása esetén méri jól a kockázatot. Ha a zérókupon hozamgörbét használjuk a diszkontáláshoz, akkor a Fischer-Weil átlagid®t kapjuk, melyre loghozamok esetén Di,F W = ni X j=1 (ti,j − t) 1 ci,j e−r(t,ti,j )(ti,j −t) . Pi (t, yi ) Ebben a fejezetben áttekintettem a kötvények árazásához kapcsolodó alapfogalmakat, úgymint az árfolyam, a hozam- és forwardgörbe. Bemutattam a magyar államkötvények referencia hozamgörbéjéhez kapcsolódóan a benchmark kötvényeket és a lejáratig számított hozamot, majd a kamatlábkockázathoz tartozó legegyszer¶bb mutatószámot, az átlagid®t. Ezek ismeretében a következ® fejezetben már választ adhatok

arra a kérdésre, hogy egy adott nap kötvényárfolyam adataiból hogyan lehet meghatározni a hozamgörbét. 3. fejezet Az kötvényárazás hibája A görbeillesztés során diszkrét id®pontok meggyeléseihez keressük a pontokat minél jobban leíró folytonos függvényt. Adott napra vonatkozó illesztés esetén azonban több probléma is adódik. A korábban említettek alapján egyrészt kamatozó kötvény adatokat is fel kell használni a görbe meghatározásához, de a 2.2 és a 23 ábrák alapján csupán közel 20 futamid®re tudunk valós adatot meggyelni. A másik, hogy két, egymást kiszorító cél van, a minél pontosabb illeszkedés és a simaság. Utóbbi a hozamgörbénél lényeges szempont, ugyanis nem kívánatosak az ugrások a görbében, két közeli lejárat között nem változik szignikánsan a hozam. Túl sima függvény esetén azonban nem elég pontos a kötvényárfolyamok becslése, míg túl jó illeszkedés mellett, empirikus

tapasztalatok alapján romlik a mintán kívüli becslés. A hozamgörbe becslésénél el®zetesen három kérdésben kell dönteni (Bliss, 1996):  az árazó függvény alakja,  a közelít® függvény típusa,  a paraméterek becslésének módszertana. A választás a végs® eredményeket is befolyásolja, ezért a következ®kben ezeket részletesen is bemutatom, a fejezet további részében kalappal jelzem a becsült, elméleti mennyiségeket, míg a valós, meggyelt árfolyamok kalap nélküliek. 3.1 Az árazó függvény A meggyelt árfolyamok a becsült árfolyamok és egy hibatag összegei, azaz Pi (t, r) = P̂i (t, r) + it Ha nem vesszük gyelembe az adókat és az esetleges beágyazott opciókat (például visszaváltható és visszahívható kötvények), akkor a 15 P̂i (t, r) meghatározására a 3. FEJEZET AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 16 legegyszer¶bb árazó függvény a 2.1 képlettel adható meg A piacok tökéletlensége miatt azonban a

gyakorlatban ez nem teljesül, általánosan a meggyelt árfolyamokat a Pi (t, r) = g(ci,j , r(t, tj )) + it összefüggéssel írhatjuk le. Ebben feltesszük, hogy g(·)-n (3.1) keresztül a kötvény árfo- lyama az összes lényeges információt tartalmazza, így az elméleti és valós ár eltérése csupán zaj. Az r(·) illesztése úgy történik, hogy az it véletlen zaj valamilyen, el®re meghatározott függvénye minimális legyen. A dolgozatban felteszem, hogy a kötvények árfolyamát az egyes pénzáramlások jelenértéke határozza meg (2.1 képlet), azaz P̂i (t, r) = ni X ci,j e−r(t,ti,j )(ti,j −t) + it . (3.2) j=1 Ez egyrészr®l megtehet®, ugyanis az állampapírok nem tartalmaznak semmilyen bels® opciót. Másrészr®l viszont így nem veszünk gyelembe olyan, az árfolyamra ható faktorokat, mint a likviditási prémium vagy akár az adatok min®sége. El®bbit a hibák likviditás szerinti súlyozásán keresztül beépíthetjük a

modellbe, err®l kés®bb még lesz szó. Lényegesen egyszer¶sítjük továbbá az állampapírpiacot az adózási hatások kihagyásával. Meggyelhet® ugyanis, hogy a befektet®k adózási szempontokhoz igazíthatják tranzakcióik idejét (tax-timing option) vagy a keresett termékek körét (tax-clientele). Érdemes lehet ugyanis az árfolyamnyereség elha- lasztásával és a veszteségek el®rehozatalával csökkenteni a zetened® adó mértékét (Makara, 2013). Magyarországon a kamatjövedelmeket terhel® egészségügyi hozzájárulás (EHO) 2013 augusztusi bevezetése 1 megváltoztatta a befektet®k szokásait, ugyanis az az állampapírokat nem terheli, míg a bankbetéteket és a befektetési jegyeket igen. Az emiatti kereslet növekedés az állampapír piacon befolyásolta azok árfolyamát is. A külföldi szakirodalomban kiemelt szereppel bír McCulloch (1975) cikke, melyben a kötvény árfolyamokat korrigálta az adózással. Vizsgálatai során azt

kapta, hogy az adózás gyelembe vétele csökkenti az illesztés által nem megmagyarázott varianciát, illetve meghatározta azt az adókulcsot, ami a modell keretei között legjobban magyarázza a meggyeléseket (ebb®l kapva az adózás el®tti hozamgörbét). 3.2 A hiba mérése A hozamgörbe illesztésekor, ahogy el®bb említettem, minimalizálnak egy el®re deniált h(·) hibafüggvényt. Ez lehet például az árfolyamok vagy az azokból számított 1 http://www.kozlonyokhu/nkonline/MKPDF/hiteles/MK13111pdf 3. FEJEZET AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 17 bels® megtérülési ráták különbségének függvénye, azaz a feladat a következ®: min r(t,·) ahol N P̂i (t, r), N X h(Pi (t, r) − P̂i (t, r)) i=1 az árfolyamadatok száma a míg az vagy yi − ŷi t min N X r(t,·) id®pillanatban. h(yi − ŷi ), i=1 3.1 alapján it = Pi (t, r) − már ennek függvénye. A következ®kben említett mér®számok analóg módon átvihet®k a

lejáratig számított hozamok különbségére is, így külön nem írom le. Az egyik legegyszer¶bb függvényalak az abszolútérték függvény, ezzel az N 1 X |Pi (t, r) − P̂i (t, r)| M AEt = M AE(t, P, r) = N i=1 átlagos abszolút eltérést kapjuk. Ahogy a neve is mutatja, ez átlagolja a meggyelt és becsült értékek közti abszolút távolságokat. Ha a valós adatok között nagy volt az eltérés, akkor nehezen értelmezhet® az értéke. Az illeszkedés leggyakrabban használt mér®száma az átlagos négyzetes eltérés, melyre v u N u1 X t (Pi (t, r) − P̂i (t, r))2 . RM SEt = RM SE(t, P, r) = N i=1 Tehát az RM SEt négyzetre emeli a valós és elméleti árak közti távolságot, így nagyobb hatással vannak rá az extrém meggyelések. A kett® közti relációra teljesül a következ® egyenl®tlenség (Bolder és Gusba, 2002): A magyar adatok száma 1 √ RM SEt ≤ M AEt . N √ alapján így RM SEt . 20M AEt , ezáltal valamelyest

összehasonlíthatóvá válik a két mér®szám. Egy hiba lehet abszolút értelemben nagy, de relatíve kicsi a kötvény árfolyamához képest. Ezért jobban értelmezhet® és stabilabb eredményeket ad, ha normalizáljuk a hibákat (Bolder és Rubin, 2007). Természetesen adódik normalizáló tényez®nek a kötvények meggyelt árfolyama, azaz N 1 X |Pi (t, r) − P̂i (t, r)| sM AEt = N i=1 Pi (t, r) v u N u1 X (Pi (t, r) − P̂i (t, r))2 sRM SEt = t . N i=1 Pi (t, r) Ezzel az sMAE már értelmezhet® százalékos formában, minél kisebb ez az érték annál jobb az illeszkedés a meggyelt és becsült árfolyamadatok között. Azaz, ha 3. FEJEZET AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 18 3 hónap 6 hónap 12 hónap 3 év 5 év 10 év 15 év Szórás (árfolyam) 6,66 6,37 6,34 7,51 8,38 10,77 12,17 Szórás (YTM) 2,12 2,09 2,04 1,79 1,52 1,12 0,97 3.1 táblázat A benchmark kötvények árfolyamának és lejáratig számított hozamának (YTM)

szórása százalékpontban az sMAE értéke 1%, akkor átlagosan a becsült kötvényárfolyamok 1%-kal térnek el a piaci árfolyamoktól. Az M AEt és az RM SEt egyenl®en súlyozza az egyes hibákat, azonban a becsl® preferenciái alapján elképzelhet®ek más súlyozások is. Rövid távon sokkal több meggyelés áll rendelkezésre (ahogy a 2.3 ábrán is látható), mint hosszú távon Másrészt, ahogy a 3.1 táblázat mutatja, a 20030102 és 20131231 közötti adatok alapján a hosszú lejáratú benchmark kötvények árfolyama jobban szóródik, mint a rövid lejáratúaké. Ezek miatt a termék lejáratát tükröz® mér®számmal szükséges az egyes hibák közti fontosságot meghatározni. Legegyszer¶bb ilyen a hátralév® futamid® reciproka, ezzel nagyobb súlyt helyezve az éven belüli meggyelésekre, míg kisebbet az 5 éven túli, ritkább, volatilisebb adatokra. használva, azaz ti,ni jelöli az utolsó kizetést (így az A korábbi

jelöléseket i. kötvény lejáratát), a súlyozott átlagos abszolút és négyzetes eltérés a következ®képpen kapható: W M AEttn = PN N X |Pi (t, r) − P̂i (t, r)| 1 1 i=1 ti,ni i=1 v u u 1 = tP W RM SEttn ti,ni , N X (Pi (t, r) − P̂i (t, r))2 N 1 i=1 ti,ni i=1 ti,ni . Az illesztési hibák heteroszkedaszticitását, illetve az árfolyamok és lejáratig számított hozamok közti elméleti kapcsolatot azonban a Di∗ Macaulay-féle módosított átlagid®vel való súlyozás ragadja meg a legjobban (Bliss, 1996). Ekkor ∗ W M AEtD W RM SEtD ∗ 1 = PN N X |Pi (t, r) − P̂i (t, r)| 1 i=1 Di∗ i=1 v u u 1 = tP Di∗ , N X (Pi (t, r) − P̂i (t, r))2 N 1 i=1 Di∗ i=1 Di∗ . Szükséges lehet, hogy a likvid papírok árfolyamát jobban közelítsük, mint a nem likvidekét. A piaci likvidást méri a bid-ask spread, minél sz¶kebb a sáv, annál pontosabb becslés szükséges. Ezért a hibákat súlyozhatjuk az si bid-ask spread

3. FEJEZET AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 19 reciprokával is, azaz N X |Pi (t, r) − P̂i (t, r)| 1 W M AEts = PN 1 i=1 si i=1 v u u 1 W RM SEts = t PN si , N X (Pi (t, r) − P̂i (t, r))2 1 i=1 si i=1 si . A benchmark kötvények tekinthet®k az állampapírpiacon a leglikvidebb termékeknek, így azok meggyelt árfolyamáról feltételezhet®, hogy legpontosabban jelzik az elméleti árfolyamot. Ahhoz, hogy az ezekhez tartozó hibatagok minél kisebbek legyenek, beszorozhatjuk ezek súlyait egy olyan K konstanssal, amely mellett a benchmark kötvények közelítése már megfelel® pontosságú (Bolder és Gusba, 2002). A négyzetes hibákat felírhatjuk mátrixos formában is, mellyel jobban értelmezhet®vé válik. Például a módosított átlagid®vel súlyozott négyzetes átlagos eltérésre ∗ W RM SEtD =   P1 (t, r) − P̂2 (t, r) T      .  . = .      PN (t, r) − P̂N (t, r) 1 D∗ PN 1 1 i=1 D ∗ i

 ··· 0 . . . . . . . 0 ··· . 1 D∗ N PN 1 i=1 D ∗ i    P1 (t, r) − P̂2 (t, r)    . . .  .    P (t, r) − P̂ (t, r) N N Eddig mindig olyan hozamgörbét kerestünk, mellyel a legjobban közelítjük a meggyelt középárfolyamokat. Egyfel®l a középárfolyam használatával elveszítjük a felhasználható adatok egy részét, a vételi és eladási árfolyamokat (bid-ask spread súlyozás esetén egy részét meg®rizzük viszont). Másfel®l félreárazást csak akkor lehet kihasználni, ha a számított árra P̂i (t, r) ≤ Pibid (t, r) vagy Piask (t, r) ≤ P̂i (t, r). Tehát becslés esetén lényegében tekinthetjük csupán azt is hibának, ha nem esik a vételi és eladási árfolyam közé (Bliss, 1996), így nem a (vagy yi − ŷi ) maga is it P̂i (t, r) Pi (t, r) − P̂i (t, r) függvényét minimalizáljuk, hanem a következ® kifejezését (ami már függvénye): ∗it  ask

   Pi (t, r) − P̂i (t, r) Pibid (t, r) − P̂i (t, r)    0 ha Piask (t, r) ≤ P̂i (t, r), ha P̂i (t, r) ≤ Pibid (t, r), (3.3) különben. Egy illesztés sikerességét mérhetjük azzal is, hogy a meggyelések hanyadrészénél 0 a hiba az el®z® denícióval, Bliss (Bliss, 1996) ezt nevezi találati aránynak. Lehetséges további mér®szám az olcsó arány (felülbecsüljük az eladási árat) és a drága arány (alulbecsüljük a vételi árfolyamot). 3. FEJEZET AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 20 3.3 A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok Ha élünk az árazófüggvényre vonatkozó egyszer¶sít® feltételezéssel, akkor szükséges megvizsgálni, hogy a reziduálisok valóban véletlen zajok-e és korrelálatlanok-e más faktorokkal. Ehhez kapcsolódóan Bliss (Bliss, 1996) három lehet®séget javasol, ezeket mutatom be röviden a következ®kben. Ha az árazó egyenletet helyesen határoztuk meg és az árazási hibák valóban

véletlen zajok, akkor egy kötvény egymást követ® id®szaki becslése során kapott hibák között nincs kapcsolat. Az it illeszkedési hibákat három kategóriába sorolhatjuk el®jelük szerint. Ha véletlenek voltak, akkor ezeknek a kategorizált változóknak is annak kell lenniük. Az els® módszer szerint megnézzük az egymást követ® id®szakok kategorizált hibáinak átmenetmátrixát, melynek sorai a t. t − 1., míg oszlopai a id®szaki hibák el®jelei. A mátrix egyes elemei pedig a feltételes valószín¶ségek, azaz például, hogyha a t − 1. a következ®ben negatív. id®szakban pozitív volt a hiba, mekkora eséllyel lesz Ha a mátrix oszlopösszegei nem egyeznek meg annak a feltétel nélküli valószín¶ségével, hogy a hiba negatív, nulla, vagy pozitív, akkor azok nem véletlenek. Ez pedig azt jelenti, hogy vannak olyan tartósan fennálló faktorok, melyeket az árazó egyenlet nem ragad meg. Ha több módszerrel is elvégezzük a

becslést, akkor az árazó egyenlet helyessége esetén a hibák el®jelének a módszert®l függetlennek kell lenniük. A vizsgálatot az el®z® módszerhez hasonlóan egy feltételes valószín¶ségeket tartalmazó mátrix alapján végezhetjük. Ha a módszerek hibáinak el®jele között nincs kapcsolat, akkor arra következtethetünk, hogy a meggyelt eltérések más okból származnak az egyes módszerek esetén, például a következ® részben említend® közelít® függvény helytelen megválasztásából. Ha magas az egyik módszer magyarázó hatása, akkor a hibák adat-, és nem módszerspecikus faktorokból származnak. A harmadik módszer a hibák regressziójára épül, azaz különböz® faktorokkal próbáljuk azokat magyarázni. Magyarázó változó lehet péládul a kibocsátás óta eltelt vagy lejáratig hátralév® id® (lejárati prémium), a fennálló állomány vagy a bid-ask spread (likviditási prémium). A regresszió R-négyzet értéke

alapján következtethetünk a faktor szükségességére, azonban nem várható el nagy magyarázó er®, ugyanis ezen faktorok általában nem lineárisan hatnak a kötvény árfolyamára. 4. fejezet A hozamgörbe közelítése A következ®kben a közelít® függvény lehetséges alakjait tekintem át. El®ször felteszem, hogy adottak egyes lejáratokra a diszkontfaktorok (és így hozamok) és ezekre szeretnénk diszkontfüggvényt illeszteni. Ha ez sikerül, akkor abból már rögtön adódik a hozamgörbe is A korábbi jelöléssel ellentétesen a továbbiakban legyen egy adott id®pont becsült diszkontfüggvénye d(t, τ ). 4.1 Interpoláció A görbeillesztés matematikailag egy interpoláció, tegyük fel, hogy ismerjük a diszkontfüggvény (de lehet a forward- vagy hozamgörbe is) {Dt,0 , Dt,1 , . , Dt,N } értékeit a különböz® {τt,0 , τt,1 , . , τt,N } lejáratokra. Általánosan a feladat ekkor lehet például a többi pontbeli érték, a

függvény deriváltjának vagy integráljának meghatározása, így biztosítva átjárást a hozamgörbe különböz® alakjai között (Faragó és Horváth, 2013). Ezek megoldásához általában olyan, a melyekre [τt,0 , τt,N ] d(t, τt,i ) = Dt,i , intervallumon folytonos d függvényeket keresünk, és ezekre végezzük el a kívánt m¶veletet. Ilyen lehet pél- dául a lépcs®s, a szakaszonként lineáris, a polinomiális, a szakaszonként polinomiális (spline) és az exponenciális függvény. Lineáris illesztés esetén egyszer¶en d(t, τ ) = Dt,i + Dt,i+1 − Dt,i (τ − τt,i ), τt,i+1 − τt,i ha τt,i ≤ τ < τt,i+1 . τt,i pontokban általában nem is deriválható, ami a forward görbe meghatározásához Az így kapott diszkontfüggvény azonban nem sima, az adott szükséges volna. 21 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE Jobb megoldás, ha a keresett d(t, τ ) 22 függvény formája polinom, azaz d(t, τ ) = N X at,k τ k .

k=0 Ekkor minden i-re teljesülnie kell, hogy d(t, τt,i ) = Dt,i , azaz mátrixos      2 N 1 τt,0 τt,0 · · · τt,0 a D    t,0   t,0  1 τt,1 τ 2 · · · τ N   at,1   Dt,1  t,1   t,1     . . . .   =   . . . . .    .  .  . . .   .    2 N 1 τt,N τt,N · · · τt,N at,N Dt,N formában (4.1) Az egyenlet könnyen megoldható az együttható mátrix invertálásával. Mivel a 1 mátrix Vandermonde-mátrix , illetve az id®pontok különböz®ek, így az invertálás mindig elvégezhet®. fokú polinom. Ez alapján N +1 meggyelésre mindig illeszthet® egy N -ed A gyakorlatban az együtthatók ilyen módon való meghatározása a Vandermonde-mátrix gyenge kondícionáltságából következ® nagy approximációs hiba miatt nem javasolt (Bolder és Gusba, 2002). Az N +1 dimenziós polinomok terében természetes bázis az el®bbi 1, τ, .

, τ N Ennek használatával jutottunk a mátrix invertálási problémához, ami a gyakorlatban nem használható. következ® N +1 Jobb választás a Lagrange-polinomokból álló bázis, melyet a függvény alkot (k lk (t, τ ) = ∈ {0, . N }): (τ − τt,0 ) . (τ − τt,k−1 )(τ − τt,k+1 ) (t − τt,N ) . (τt,k − τt,0 ) . (τt,k − τt,k−1 )(τt,k − τt,k+1 ) (τt,k − τt,N ) Ezek lineáris kombinációjaként adódik az interpolációs polinom, azaz a becsült diszkontfüggvény: d(t, τ ) = N X Dt,k lk (t, τ ) k=0 Ezen módszerek hátránya, hogy a meggyelések számával közel azonos fokú polinommal közelítjük a diszkontfüggvényt, ami 20 pont esetén már a görbe ingadozását is eredményezheti. Ennek következménye egymáshoz közeli lokális széls®értékek, ami irreális forwardgörbéhez vezet (Makara, 2013). Természetes ötlet, hogy szakaszonként kisebb fokú polinommal közelítsünk, például spline

módszerrel 4.2 Spline illesztés Legyenek a szakaszhatárok (csomópontok) esnek egybe a 1 Azaz τt,i {kt,0 , kt,1 , . , kt,l }, ezek nem feltétlenül id®pontokkal, s®t a számuknak sem kell megegyezniük. Legyen determinánsára det(V ) = Q 1≤i<j≤N (τj − τi ). 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE S(t, τ ) 23 szakaszonként harmadfokú polinomokból álló függvény, azaz S1 (t, τ ) = at,1 + bt,1 (τ − kt,0 ) + · · · + dt,1 (τ − kt,0 )3 ha kt,0 ≤ τ ≤ kt,1 , S2 (t, τ ) = at,2 + bt,2 (τ − kt,1 ) + · · · + dt,2 (τ − kt,1 )3 ha kt,1 ≤ τ ≤ kt,2 , ha kt,l−1 ≤ τ ≤ kt,l . . . . Sl (t, τ ) = at,l + bt,l (τ − kt,l−1 ) + · · · + dt,l (τ − kt,l−1 )3 (4.2) S(t, τ )-t akkor nevezzük spline függvénynek, ha az egyes szakaszok illeszked- nek a csomópontokban (folytonosság) és kell®en simák (els® és második deriváltja folytonos). Továbbá, mivel interpolációról van szó, így a

értékeknek Dt,i -vel τt,i id®pontokban felvett kell megegyezniük. Formálisan, ha kielégíti a következ® feltéte- leket: - S(t, τt,i ) = Dt,i , i ∈ {0, . N }  Si (t, kt,i ) = Si+1 (t, kt,i ), i ∈ {1, . l − 1}  Si (t, kt,i ) = Si+1 (t, kt,i ) 0 0 és Látható 4.2 alapján, hogy alapján N +1 00 00 Si (t, kt,i ) = Si+1 (t, kt,i ), i ∈ {1, . l − 1} 4l paramétert kell meghatározni. Az els® feltétel egyenletet írhatunk fel a következ®képpen at,j + bt,j (τt,0 − kt,j−1 ) + · · · + dt,j (τt,0 − kt,j−1 )3 = Dt,0 kt,j−1 ≤ τt,0 ≤ kt,j ahol . . . at,j + bt,j (τt,N − kt,j−1 ) + · · · + dt,j (τt,N − kt,j−1 )3 = Dt,N A folytonossági követelmény a következ® l−1 ahol kt,j−1 ≤ τt,N ≤ kt,j . egyenletet határozza meg: at,1 + bt,1 (kt,1 − kt,0 ) + ct,1 (kt,1 − kt,0 )2 + dt,1 (kt,1 − kt,0 )3 = at,2 . . . at,l−1 + bt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 ) + · · · + dt,l−1 (kt,l−1 −

kt,l−2 )3 = at,l . Végül a simaságra vonatkozó feltételek alapján az els® deriváltakra bt,1 + 2ct,1 (kt,1 − kt,0 ) + 3dt,1 (kt,1 − kt,0 )2 = bt,2 , . . . bt,l−1 + 2ct,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 ) + 3dt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 )2 = bt,l , míg a második deriváltakra 2ct,1 + 6dt,1 (kt,1 − kt,0 ) = 2ct,2 , . . . 2ct,l−1 + 6dt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 ) = 2ct,l . 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE Az el®bbiek alapján így 24 4l változó és (N +1)+(l−1)+(l−1)+(l−1) = N +3l−2 egyenlet van, így az osztópontok számától is függ, hogy megoldható-e az egyenlet rendszer. Ha az osztópontok megegyeznek az alappontokkal, akkor a rendszer alulhatározott (4N változó és 4N −2 egyenlet). Ezért két további feltételt is meg kell határozni, általános választás (Bolder és Gusba, 2002), hogy a kezd®, illetve végpontban 0 le- 2 gyen a második derivált , azaz 2ct,1 = 0, 2ct,l + 6dt,l (kt,l − kt,l−1 ) = 0). Így

már általában megoldható a lineáris egyenletrendszer, az alappontok és így a csomópontok növekedésével ezt a megközelítést nehéz implementálni és numerikusan instabil (Bolder és Gusba, 2002). Az el®z® részhez hasonlóan most is egy alkalmas bázis felírása jelent megoldást. Makara (2013) a következ® bázisfüggvényeket említi a {kt,0 , kt,1 , . , kt,l } csomó- pontok által meghatározott harmadfokó spline-ok terében: fj (τ ) =     0    (τ −kt,j )3 6(kt,j+1 −kt,j ) (kt,j+1 −kt,j )2 6 + (τ −kt,j )(τ −kt,j+1 ) 2 ha τ ≤ kt,j , ha kt,j < τ ≤ kt,j+1 , ha kt,j+1 < τ ≤ kt,l−1 , fl−1 (τ ) = τ, (4.3) fl (τ ) = τ 2 , fl+1 (τ ) = 1. A 4.1 ábrán 5 csomópont ({0; 2, 5; 5; 7, 5; 10}) mellett ábrázoltam a bázisfüggvényeket, ez és a deníció alapján látható, hogy nagyobb lejáratok esetén rugalmasabb lesz a kapott diszkontfüggvény, ugyanis több bázisfüggvény vesz fel

nullától különböz® értéket. Az empirikus vizsgálatok során a szükséges csomópontok számának megtalálása id®igényes feladat. Fontossága viszont megkérd®jelezhetetlen, ugyanis ha túl kicsi, akkor nem biztos, hogy megfelel®en illeszkedik a görbe. Túl sok szakasz esetén a túlzott pontosság a probléma, ugyanis ekkor a kiugró meggyelések elhúzzák a görbét. McCulloch (1971) ezért azt a hüvelykujj szabályt javasolta, hogy a csomópontok száma a meggyelések négyzetgyökéhez legközelebb es® egész szám legyen. A keresett diszkontfüggvény ezután ezen bázisfüggvények súlyozott összegeként adódik, a becslés ezen wt,i súlyok megtalálását jelenti. d(t, τ ) = l+1 X j=0 2 Ezeket nevezzük a természetes spline-nak. wt,j fj (τ ). (4.4) 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 25 40 100 f0(t) f1(t) f2(t) f3(t) 30 75 f4(t) Érték f5(t) 20 50 10 25 0 Érték (f5) f6(t) 0 0 2.5 5 7.5 10 Idõ (t) 4.1 ábra A

harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei Ellen®rizzük, hogy a 4.3 deníció valóban spline függvényt ad-e Mivel a bázisfüggvények folytonos függvények voltak (ezért szükséges a (kt,j+1 −kt,j )2 konstans), így 6 összegük is az lesz. A 4.1 táblázatban egyes bázisfüggvények szerepelnek abban az esetben, ha kt,m+1 (els® sor), illetve m ∈ {0, 1, . l − 1} dik sor), tam a t τ= + kt,m+1 (azaz τ = kt,m+1 -nél innitezimálisan nagyobb, máso- Helytakarékossági szempontból a táblázatban lehagy- indexeket. Látható, hogy csak fm és fm+1 esetén térnek el, így elég csak ezekre megnézni az els® két derivált különbségét. fm−1 )2 (km −km−1 6 (km −km−1 )2 6 + + fm (τ −km−1 )(τ −km ) 2 (τ −km−1 )(τ −km ) 2 fm+1 fm+2 0 0 (τ −km+1 )3 6(km+2 −km+1 ) 0 )3 (τ −km 6(km+1 −km ) (km+1 −km )2 + (τ −km )(τ2 −km+1 ) 6 4.1 táblázat A harmadfokú spline

bázisfüggvényei τ = kt,m+1 és + τ = kt,m+1 esetén Az els® deriváltak különbségére 0 0 + d (t, kt,m+1 ) − d (t, kt,m+1 ) =   0   0 0 0 + + = wt,m fm (t, kt,m+1 ) − fm (t, kt,m+1 ) +wt,m+1 fm+1 (t, kt,m+1 ) − fm+1 (t, kt,m+1 ) =   +   + (kt,m+1 − kt,m+1 )2 kt,m+1 − kt,m 2kt,m+1 − kt,m − kt,m+1 = wt,m − +wt,m+1 . 2 2 2(kt,m+2 − kt,m+1 ) Mivel + kt,m+1 kt,m+1 , így mindkét tag tart a 0-hoz, így az összeg is. Tehát lim τ kt,m+1 0 0 d (t, τ ) = d (kt,m+1 ) minden bels® osztópontra, így azokban folytonos az els® derivált, márcsak a második 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 26 deriváltakra kell ellen®rizni. 00 00 + d (t, kt,m+1 ) − d (t, kt,m+1 ) =    00  00 00 00 + + ) − fm+1 (t, kt,m+1 ) = ) − fm (t, kt,m+1 ) +wt,m+1 fm+1 (t, kt,m+1 = wt,m fm (t, kt,m+1  +  kt,m+1 − kt,m+1 0. = wt,m (1 − 1) + wt,m+1 kt,m+2 − kt,m+1 Így a második derivált is folytonos a bels® pontokban, továbbá a

kezd®- és végpontban nulla, így harmadfokú, természetes spline-t kapunk. Természetesen nem csak egy bázis adható meg, a harmadfokú spline-ok terében numerikusan stabil eredményeket ad a B-spline bázis használata (Fischer, Nychka és Zervos, 1995). Ezeket rekurzióval deniálják, részletes elméleti összefoglaló található Bolder és Gusba (2002) tanulmányában. Az eddig elmondottak során végig feltettem, hogy adottak az illesztend® görbe egyes pontjai. A piacon azonban éven túl nem lehet zérókupon hozamokat meggyelni, így az eddig említett spline módszerek nem alkalmazhatók közvetlenül Egyik lehet®ség, hogy valamilyen egyszer¶ módszerrel meghatározunk egyes lejáratokra zérókupon hozamokat. Ilyen módszer a bootstrap módszer (Bliss, 1996). Ez egy iterációs eljárás a forward hozamok kinyerésére a kötvényárfolyam meggyelésekb®l. Az algoritmus minden lépésben b®víti a diszkontfüggvényt, úgy, hogy kiszámítja a

legközelebbi lejáratú, addig még nem használt kötvény árazásához szükséges forward hozamot, a köztes lejáratokra pedig lineáris függvényt illeszt. A simítatlan Fama-Bliss módszer annyival több a bootstrap módszernél, hogy kisz¶ri az extrém meggyeléseket. A simított Fama-Bliss módszernél a kapott diszkont rátákhoz approximáló függvényt illesztenek (Bliss, 1996). A módszerek el®nye, hogy a kapott diszkontfüggvény pontosan árazza a piacon lév® kötvényeket, szükséges feltétel azonban, hogy megegyezzen a meggyelések és a pénzáramlások száma (Kopányi, 2009). Ez a magyar adatokra nem teljesül, így nem célszer¶ ezt a módszert használni. Fontos megemlíteni, hogy Diebold és Li (2006) ezt az eljárást használják a zérókupon hozamok meghatározására, amikb®l kiindulva aztán elvégzik a hozamgörbeillesztést a kés®bb említend® Nelson-Siegel módszerrel. Ha nem adottak zérókupon hozamok, akkor az el®z® fejezetben

említettek alapján úgy becsüljük a bázisfüggvények súlyait, hogy minimális legyen a becsült és valós árfolyamok (vagy lejáratig számított hozamok) eltérésének valamilyen függvénye (általában a súlyozott átlagos négyzetes eltérés). Ez utóbbi azonban csak az illeszkedést méri, annak túlzott jósága pedig a diszkontfüggvény ingadozását eredményezi. Ezért Fischer, Nychka és Zervos (1995) bevezetett egy büntet®függvényt, 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 27 mely a diszkontfüggvény simaságát méri a második derivált segítségével. Z τt,N λ 00 d (t, u) du, τt,0 ahol λ a simaság relatív fontosságát határozza meg az illeszkedéshez képest. A korábbi jelölésekkel így a diszkontfüggvény optimalizálási feladata min d(t,·) N +1 X Z   h Pi (t, r) − P̂i (t, r) + λ τt,N 00 d (t, u) du taut,0 i=1 célfüggvény minimalizálást jelenti. Az így kapott függvényeket nevezzük simított

spline-oknak. 4.3 Függvény alapú módszerek Az el®z® részben az approximáló függvény alakja szakaszonként polinom volt. Ilyen típusú függvényekkel azonban nehéz leírni az alapvet®en exponenciális lecsengés¶ d(t, τ ) diszkontfüggvényt. Ezért Vasicek és Fong (1981) exponenciális spline-okat használ a diszkontfüggvény közelítésére. Mivel a diszkontfüggvény logaritmizálásával egy nem lineáris becslési problémához jutnánk, ezért a függvény argumentumának transzformálását javasolták, azaz 1 τ = − log (1 − τ 0 ), α ahol α konstans. Végül az így kapott függvényt közelítették spline-okkal Vasicek és Fong (1981) módszere rámutatott, hogy az exponenciális függvények használata célravezet® lehet. Továbbá ne szakaszonként, hanem az egész intervallumon közelítsünk (ez olyan, mintha két csomópont lenne, az intervallum kezd®és a végpontja) El®ször Bolder és Gusba (2002) alapján a Merrill Lynch (ML)

exponenciális spline módszert mutatom be. A ML exponenciális spline modellben a diszkontfüggvény exponenciális függvények lineáris kombinációjaként adódik, azaz d(t, τ ) = K X wt,j e−jατ , j=1 ahol α paraméter. A 4.2 ábrán ábrázoltam az Látható, hogy az α e−jατ bázisfüggvényeket α = 0, 1 és α = 0, 14 mellett. paraméter a lecsengés gyorsaságát határozza meg. Míg ennél a rövid távra van hatással több bázisfüggvény, addig a 4.1 ábra alapján harmadfokú spline módszer esetén a hosszú távra volt. 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 28 1 k=1, α=0,1 k=2, α=0,1 k=3, α=0,1 k=4, α=0,1 k=1, α=0,14 k=2, α=0,14 k=3, α=0,14 k=4, α=0,14 0.9 0.8 0.7 Érték 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 Idõ (év) 4.2 ábra Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén Az ismeretlen paraméterek száma is becsülni kell, de a τ =0 K + 1 − 1 = K, ugyanis a pillanatban a

diszkontfüggvény d(t, 0) = K X 1, wt,j súlyokat és α-t azaz wt,j . j=1 Utóbbi feltétel miatt az egyik súly kötött, így azt nem kell becsülni. A modell egyik er®ssége, hogy az ebb®l kapott elméleti árak az ismeretlen paraméterek lineáris függvénye lesz (Bolder és Gusba, 2002), ami egyszer¶síti a becslést. 3 A Taylor- és Fourier-sorfejtés 4 két további bázist motiválnak (Bolder és Gusba, 2002). Az els® a 41 részben is szerepl® másik a 1, τ, . , τ N , így azt nem ismétlem meg. A n  n  τ , cos τ a a adott, ahol n = 1, 2, . , K 1, sin trigonometrikus függvényekkel és a paraméter. 1 0.8 0.6 0.4 Érték 0.2 0 −0.2 1 sin(1/5*t) sin(2/5*t) sin(3/5*t) sin(4/5*t) cos(1/5*t) cos(2/5*t) cos(3/5*t) cos(4/5*t) −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 5 10 Idõ (év) 4.3 ábra Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján 3 d(t, τ 0) 4 d(t, τ ) = = P∞ d(t,τ )(j) (τ0 ) (τ − τ0 )j j! P∞  2πjτ j=1 aj cos(

p ) + j=0 a0 2 +  aj sin( 2πjτ ) p 15 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE Ha ábrázoljuk ezen bázisfüggvényeket N =4 29 és a=5 esetén, akkor a 4.3 ábrán láthatjuk, hogy ezzel az egész intervallumon egyformán rugalmasan illeszthet® a diszkontfüggvény. Bolder és Gusba (2002) empirikus tapasztalatai alapján az ezzel a módszerrel kapott forward görbék jobban ingadoznak, mint az ML exponenciális spline esetén, de stabil eredményeket ad. 4.4 A Nelson-Siegel modellcsalád Az el®z® rész exponenciális függvényformájából kiindulva, a következ®kben a legelterjedtebb modellcsaláddal, a Nelson-Siegel típusú modellekkel foglalkozom. 4.41 A Nelson-Siegel modell Nelson és Siegel felteszik, hogy a forwardgörbe egy másodrend¶ dierenciálegyenlet megoldása (Nelson és Siegel, 1987). Ha az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet megoldásai valósak és megegyeznek, akkor a megoldás a következ® alakban írható fel: F (t, τ ) = βt,1 +

βt,2 e−λt τ + βt,3 λt τ e−λt τ . Két különböz® gyök esetére 5 (4.5) Nelson és Siegel azt tapasztalták, hogy ekkor a modell túlparaméterezett, így az el®z® feltevésnél maradtak (Nelson és Siegel, 1987). A forward görbe 4.5 egyenletéb®l a 21 táblázat alapján integrálással kaphatjuk a hozamgörbét, azaz 1 R(t, τ ) = τ −0 Z τ  −λt u −λt u  βt,1 + βt,2 e + βt,3 λt ue du = Z Z τ 1 1 τ −λt u e du + βt,3 λt ue−λt u du = = βt,1 + βt,2 τ 0 τ    0 Z τ −λt u −λt u τ −λt u τ 1 e 1 e 1 e = βt,1 + βt,2 − + βt,3 λt − u + βt,3 λt du = τ λt 0 τ λt 0 τ λt 0    τ 1 − e−λt τ 1 e−λt u −λt τ = βt,1 + βt,2 − βt,3 e + βt,3 − . λt τ τ λt 0 0 Ebb®l már adódik a Nelson-Siegel modell hozamgörbére vonatkozó egyenletének jól ismert alakja:  R(t, τ ) = βt,1 + βt,2 1 − e−λt τ λt τ   + βt,3  1 − e−λt τ −λt τ −e . λt τ (4.6) Nelson

és Siegel (Nelson és Siegel, 1987) a kövektez® faktorizációval írta fel az egyenletet, azonban a két alak βt,· paraméterei egyszer¶en kifejezhet®k egymásból. 0 0 R(t, τ ) = βt,1 + βt,2 5 F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−τ λt,1 + βt,3 e−τ λt,2  1 − e−λt τ λt τ  0 − βt,3 e−λt τ (4.7) 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE A βt,· 30 paraméterekre tekinthetünk úgy, mint faktorokra a hozzájuk tartozó fak- torsúlyokkal. A λt paramétert nevezik exponenciális késleltetésnek, kis értékei lassú lecsengést eredményeznek, így a görbe jobban illeszkedik a hosszú lejáratokon, míg nagy értékek mellett a rövid távon. A λt paraméter határozza meg továbbá, hogy mikor éri el a második faktor a maximumát. Az eddigi megállapításokat foglal- ja össze a 4.4 ábra, ahol az egyes faktorsúlyokat ábrázoltam különböz® λt értékek mellett. 1 β1 súlya Faktorsúly 0.9 β2 súlya, λ=0,7308 0.8

β2 súlya, λ=1,4616 0.7 β3 súlya, λ=0,7308 β2 súlya, λ=2,1924 β3 súlya, λ=1,4616 0.6 β3 súlya, λ=2,1924 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 Idõ (év) 4.4 ábra A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén Ezen látható, hogy az els® faktor konstans 1 súlyú, így ez tekinthet® egy hosszú 1−e−λt τ távú faktornak. A második faktor súlya is az λt τ exponenciális sebességgel, monoton tart a sabban), tehát ez rövid távú faktor. A 0-hoz 1-b®l indul, azonban ezután (minél nagyobb a β3 -hoz tartozó 1−e−λt τ λt τ −e−λt τ λt , annál gyor- súly 0-ból indul és ugyanoda tér vissza, így se nem rövid, se nem hosszú távú faktor. λt értékét®l függ®en éri el közben maximumát, ez alapján ez a faktor középtávon hat. ábra alapján annál hamarabb veszi fel maximumát, minél nagyobb a Egyrészt βt,1 A 4.4 λt . egyformán változtatja az összes lejáratú hozamot, másrészt R(t, ∞) = lim

R(t, τ ) = βt,1 , τ ∞ így βt,1 azonosítható a hozamgörbe szintjével. A görbe meredekségének deníciójára természetes gondolat egy hosszú és egy rövid távú hozam különbsége (Diebold és Li, 2006). Elméletileg ez az R(t, ∞) − R(t, 0) mennyiséget jelenti. Erre a LHospital szabály felhasználásával    1 − e−λt τ 1 − e−λt τ lim R(t, τ )−lim R(t, τ ) = βt,1 −βt,1 −βt,2 lim −βt,3 lim − τ 0 τ ∞ τ 0 τ 0 λt τ λt τ  −λt τ   −λt τ 
λe λe −λt τ − βt,3 lim − e = −βt,2 lim + βt,3 lim − βt,3 = −βt,2 . τ 0 τ 0 τ 0 λ λ  4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 31 Tehát látható, hogy a meredekség szorosan kapcsolódik a második faktorhoz és annak súlyfüggvénye alapján az is elmondható, hogy a faktor növekedése jobban növeli a rövid oldali kamatokat, mint a hosszúakét. látható továbbá, hogy az R(t, 0) Az el®z® számolás alapján pillanatnyi kamat a

szintt®l és a meredekeségt®l is függ, ugyanis R(t, 0) = βt,1 + βt,2 . A piacon értelemszer¶en nem lehet a végtelen és pillanatnyi lejáratra hozamokat meggyelni, ezért Diebold és Li (2006) a meredekséget a tizenkét éves és a három hónapos hozam különbségeként deniálja, azaz R(t, 12) − R(t, 0, 25). A harmadik faktor azonosítható a hozamgörbe görbületével, ugyanis középtávú faktorként ez felel®s a hozamgörbe púpos alakjáért. Ez a 2R(t, 2) − R(t, 0, 25) − R(t, 12) különb- ségként deniálható (Diebold és Li, 2006). Eddig az id® szerinti határátmeneteket említettem, fontos azonban megvizsgálni a késleltetési paraméter extrém értékeit is, ugyanis ez a paraméter adja a modell nemlineáris természetét. A λt széls®séges értékei esetén multikollinearitás lép fel, ami azt eredményezheti, hogy egyes faktorok nem azonosíthatók. Mivel  lim λt ∞ 1 − e−λt τ λt τ   =0 és lim λt ∞ 1

− e−λt τ − e−λt τ λt τ  = 0, így az exponenciális késleltetés túl nagy értékei esetén a meredekség és görbület faktorok nem értelmezhet®k, ami extrém becsléseket eredményez (De Pooter, 2007). Túl kicsi λt paraméter esetén a korábbihoz hasonló számítás alapján (a súlyfüggvé- λt -ra)   1 − e−λt τ lim =1 λt 0 λt τ nyek szimmetrikusak τ -ra és  és lim λt 0 1 − e−λt τ − e−λt τ λt τ  = 0, azaz ekkor a görbület nem azonosítható, míg a szint és meredekség is csupán együttesen, egyedileg nem. Egy adott napra vonatkozó hozamgörbeillesztés esetén nem jelent problémát, ha nem azonosíthatók a faktorok, a modell ugyanúgy helyes becslést ad. Ha azonban több napra is elvégezzük a becslést, és így lényeges a faktorok dinamikája, akkor a λt miatti széls®séges faktorbecslések torzíthatják az eredménye- ket (De Pooter, 2007). A nemzetközi szakirodalomban többek között

Litterman és Scheinkman (1991) megmutatták, hogy a hozamok varianciájának nagy része magyarázható viszonylag kis számú faktor segítségével, tipikusan az els® három f®komponenssel. A harmadik f®komponens magyarázó hatása már jóval kisebb az els® kett®nél, így egyszer¶síthet® az eddig felvázolt modell, ha csak az els® két faktort, a szintet és a meredekséget tekintjük. Ez a két faktor azonban lehetséges, hogy nem elegend® a kell®en pontos 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 32 el®rejelzéshez, vagy pedig a teljes hozamgörbe pontos illesztéséhez (Diebold, Piazessi és Rudebusch, 2005). β3=−6 5 β3=−3 β3=0 β3=3 Hozam (százalékpont) 4 β3=6 β3=9 β3=12 3 2 1 0 0 5 10 15 Idõ (év) 4.5 ábra A Nelson-Siegel modellel kapható különböz® hozamgörbe alakok A három faktoros modellel amellett, hogy könnyen kezelhet® és értelmezhet® (a szint, meredekség és görbület azonosítás miatt), sokféle hozamgörbe

alakot is el® tudunk állítani. Ezt látjuk a 45 ábrán is, ahol feltettem, hogy βt,3 βt,1 = βt,2 = λt = 1, és 6 különböz® értékei mellett ábrázoltam a hozamgörbét . Az eltér® alakok mellett meggyelhet®, ahogy mindegyik görbe tart a βt,1 -hez, illetve hogy az egyez® λt miatt mindegyik görbének ugyanott van lokális széls®értéke. Fontos megjegyezni, hogy az ábra alapján is szükséges megkötésekkel élnünk a paraméterekre és a faktorokra vonatkozólag, hogy elkerüljük a negatív hozamokat. 4.42 A Nelson-Siegel modell kiterjesztései A még rugalmasabb illesztéshez azonban több faktorra is szükség lehet. Els® lehet®ség egy újabb rövid távon ható komponens használata, így De Pooter összefoglaló írásában (De Pooter, 2007) a négyfaktoros Björk és Christensen modellt említi els®ként (Björk és Christensen, 1999). Ebben a forwardgörbe az F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−λt τ + βt,3 λt τ e−λt τ + βt,4 e−2λt

τ egyenlettel írható le, amib®l a hozamgörbe  R(t, τ ) = βt,1 + βt,2 1 − e−λt τ λt τ   + βt,3 1 − e−λt τ − e−λt τ λt τ   + βt,4  1 − e−2λt τ . 2λt τ A negyedik faktor súlya hasonló a másodikéhoz, a különbség csupán annyi, hogy gyorsabban tart a nullához. Így ez tekinthet® egy második meredekség faktornak, a 6 R(t, τ ) =1+ 1−e−τ τ
+a 1−e−τ τ − e−τ
4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE modell a hozamgörbe meredekségét βt,2 és βt,4 33 súlyozott összegén keresztül ragadja meg (De Pooter, 2007). Változik a pillanatnyi kamat is, azaz R(t, 0) = βt,1 + βt,2 + βt,4 . Másik lehet®ség, hogy nem követeljük meg, hogy a késleltetési paraméter meg- 7 egyezzen a meredekség és a görbület esetén . Az így kapott három faktoros Bliss modell (Bliss, 1996), amit a szerz® b®vített Nelson-Siegel modellnek nevezett el, az F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−τ λt,1 +

βt,3 τ λt,2 e−τ λt,2 forwardgörbéb®l indul ki. A korábbiak szerint ennek második változó szerinti integrálásával adódik az  R(t, τ ) = βt,1 + βt,2 hozamgörbe. Természetesen modellt. 1 − e−τ λt,1 τ λt,1 λt,1 = λt,2   + βt,3 1 − e−τ λt,2 − e−τ λt,2 τ λt,2  esetén visszakapjuk az eredeti Nelson-Siegel Ebben az esetben 5 paramétert kell megbecsülni nemlineáris, korlátos optimalizálással. Bliss (Bliss, 1996) célfüggvényként az átlagid®vel súlyozott négyzetes hibaösszeget választotta, míg a korlátok a következ®k, ha a meggyelések a {τ1 , τ2 , . , τN } lejáratokra esnek:  0 ≤ R(t, τ1 ),  0 ≤ R(t, τN ),  e−R(t,τi )τi ≥ e−R(t,τi+1 )τi+1 , i ∈ {1, . , N − 1} azaz lényegében azaz lényegében 0 ≤ βt,1 + βt,2 , 0 ≤ βt,1 , . Látható, hogy ezek azért szükségesek, hogy a diszkontfüggvény a rövid és hosszú oldalon pozitív legyen, míg a harmadik korlát

biztosítja a monoton csökkenést, azaz, hogy ne legyenek negatív forward hozamok. Svensson (1994) nem újabb meredekség, hanem új görbület faktort épített be a modelljébe. Eszerint a forward görbe egyenlete az F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−τ λt,1 + βt,3 τ λt,1 e−τ λt,1 + βt,4 τ λt,2 e−τ λt,2 alakra módosul (λt,2 > 0), melyb®l a hozamgörbe R(t, τ ) =  = βt,1 +βt,2 7 Hasonlóról voltak.      1 − e−τ λt,1 1 − e−τ λt,1 −τ λt,1 1 − e−τ λt,2 −τ λt,2 +βt,3 −e +βt,4 −e . τ λt,1 τ λt,1 τ λt,2 már volt szó a szakasz elején, amikor a dierenciálegyenletnek különböz® gyökei 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 34 Svensson a modellt bemutató tanulmányában (Svensson, 1994) a hozamgörbe alapján adott diszkontfüggvény kiszámításhoz a hibák (számított kötvényárfolyam vagy lejáratig számított hozamok eltérése) négyzetösszegét minimalizálta. Azt tapasztalta, hogy az

árfolyamhibák minimalizálásakor a rövid oldalon a kötvények hozamai jelent®s eltérést mutatnak, ezt azzal magyarázta, hogy az árfolyamok kevésbé érzékenyek közeli lejáratok esetén a hozamokra. A becsléseket a kés®bb említend® maximum likelihood módszerrel végezte és azt az eredményt kapta, hogy az általa vizsgált, 1992 és 1994 közti svéd adatokra a hozameltérések minimalizálásra jobb eredményre vezet. A több faktor használata néhány esetben pontosabb eredményre vezetett, mint az eredeti Nelson-Siegel modell (Svensson, 1994). De Pooter (2007) két problémáját is említi a Svensson-modellnek. Egyrészt a két nem lineáris λt,· paraméter miatt a modell még nehezebben becsülhet®, másrészt a paraméterek között felléphet multikollinearitás. Ez akkor jelentkezik, amikor λt,2 λt,1 és becslésére közel azonos érték adódik, és ezáltal a modell a három faktoros alap- modellre redukálódik. A görbületi faktor ekkor a

hatékonyan becsülhet®, egyedileg azonban nem. βt,3 és βt,4 összege, ami együttesen Erre megoldást jelent a De Poo- ter által javasolt módosított Svensson-modell, melyben biztosítja, hogy esetén a középtávú faktorok eltérjenek. λt,1 ≈ λt,2 A forward görbe egyenlete a módosított Svensson modell esetén a következ® (De Pooter, 2007). −τ λt,1 F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e −τ λt,1 + βt,3 τ λt,1 e  
−2τ λt,2 −τ λt,2 + βt,4 e + 2τ λt,2 − 1 e . Látható, hogy ezzel a második görbületi faktor súlya gyorsabban emelkedik, majd cseng le a nullához, mint az els® görbületi faktoré. Az el®z® egyenletb®l a hozamgörbe egyenletére a következ®t kaphatjuk R(t, τ ) =  = βt,1 +βt,2      1 − e−τ λt,1 1 − e−τ λt,1 −τ λt,1 1 − e−τ λt,2 −2τ λt,2 −e −e +βt,3 +βt,4 . τ λt,1 τ λt,1 τ λt,2 Hurn, Lindsay és Pavlov (2005) általánosította a faktorsúlyokon keresztül a három

faktoros Nelson-Siegel modellt. A K faktoros forward görbét (illetve a hozam- görbét is) az −τ λt F (t, τ ) = βt,1 + e K−2 X βt,k+2 Lk (τ λt ) k=0 alakban írták fel, ahol Lk (τ λt ) a k -ad fokú Laguerre-polinom. Utóbbi a Rodrigues formula alapján számítható (Hurn, Lindsay és Pavlov, 2005) az Lk (x) = ex dk k −x
x e k! dxk 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE képlettel. Egyszer¶ számítással adódik, hogy 35 L0 (τ λt ) = 1 és L1 (τ λt ) = 1 − τ λt . Ezt behelyettesítve a forward görbe egyenletébe
F (t, τ ) = βt,1 + e−τ λt βt,2 + βt,3 (1 − τ λt ) = βt,1 + (βt,2 + βt,3 )e−λt τ + βt,3 λt τ e−λt τ , ami formailag megegyezik a Nelson-Siegel modellel. Hurn, Lindsay és Pavlov (2005) a brit kötvényadatokon végeztek empirikus vizsgálatot. Azt tapasztalták, hogy az újabb faktorokkal csökken® mértékben, de javul az illeszkedés és az eredmények kevésbé érzékenyek az exponenciális

késleltetésre, azonban négynél több faktor esetén λt magasabb hatványai is megjelennek. A hozamok faktorokkal történ® felírása lehet®séget biztosít a 2.4 részben de- niált Fischer-Weil féle átlagid® általánosítsására (Diebold, Ji és Li, 2006a), mely a kockázatkezelésben játszik fontos szerepet . Ha Bt,· (τ )-val jelöljük a faktorsúlyokat, i. kötvényárfolyam
ni X ∂Pi τ, R(t, ·) ci,j e−R(t,τi )τj
=
∂R(t, ·) = − τj Pi τ, R(t, ·) P τ, R(t, ·) i j=1 akkor három faktoros modell esetén az = ni 3 X X k=1 százalékos változására 3 n i XX ci,j e−R(t,τj )τi
τj τj wj Bt,k (τj )∂βt,k . Bt,k (τj )∂βt,k = Pi τ, R(t, ·) j=1 k=1 j=1 Ezzel az árfolyamváltozást felbontottuk kockázati tényez®k szerint, így az egyes tényez®kre való érzékenység Dj := ni X τj wj Bt,k (τi ). j=1 Speciálisan az alap Nelson-Siegel modell esetére !  ni 1 − e−λt τj X 1 − e−λt τj τj wj , wj . ,

wj − τi e−λt τj λ λ t t j=1 j=1 j=1 ni X (D1 , D2 , D3 ) = D1 ni X az eredeti Fischer-Weil átlagid®t adja (vízszintes hozamgörbe esetén Macaulay), D1 , D2 , D3 azonos irányba változnak, mivel mindegyik növekv® τ szerint. Továb- bá mindhárom tényez® csökken® a szelvényhozam és a lejáratig számított hozam függvényében (Diebold, Ji és Li, 2006a). Az összes eddigi modell hasonlóan épült fel, azaz faktorok lineáris kombinációja, ahol a faktorok id®ben változó folyamatok. Az ilyen modellek leírására alkalmasak az állapottér modellek. A Nelson-Siegel típusú modellek állapottér reprezentációja során De Pooter tanulmányára támaszkodom (De Pooter, 2007), de a szakirodalom többsége foglalkozik ezzel. Legyen N különböz® lejárat, ekkor a állapottér modell meggyelési egyenlete a következ®képpen írható fel.     R(t, τ1 ) . . .   Xt,1,1 · · · Xt,1,K  βt,1   t,1 

  .  .    . .  =  .   .  +   , . . .       R(t, τN ) Xt,N,1 · · · Xt,N,K βt,K t,N K faktoros 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 36 R t = X t β t + t . (4.8) Xt,i,j Az el®z® egyenletben t id®pontban. A βt jelöli a j. faktorhoz tartozó súlyt a τi lejárat esetén a vektor minden id®pillanatban leírja a rendszer állapotát, így a βt,· faktorokat nevezzük állapotváltozóknak. Látható, hogy a meggyelési egyenlettel illesztjük a hozamgörbét, feltevés szerint a különböz® lejáratokhoz tartozó hibatagok függetlenek, és szórásuk egy id®ben állandó, a lejárattól függ® σ 2 (τi ) konstans. Az el®rejelzéshez azonban szükséges meghatároznunk a faktorok dinamikáját is. Ezt a fejl®dést Diebold és Li (2006) 1 késleltetés¶ AR(1) autoregresszív, vagy VAR(1) vektorautoregresszív folyamattal modellezi.  βt,1 . . .      

 =   βt,K µt,1 . . .     +   µt,K Φt,1,1 ··· Φt,1,K . . . . . . . . Φt,K,1 · · ·     Φt,K,K βt−1,1   Φt mátrix diagonális, akkor K  . . .   .   +  .  ,    βt−1,K νt,K R t = µt + Φ t β t + ν t . Ha a νt,1 (4.9) darab különálló AR(1) folyamatot kapunk, ahol az egyes faktorok nem hatnak egymásra. Szükséges még feltételezéssel élni a mérési és állapot egyenlet hibatagjaira vonatkozóan. Ezekre De Pooter (2007) azt teszi fel, hogy t νt ! " ∼N 0N×1 0K×1 ! , H 0N ×N 0K×K Q !# , (4.10) tehát a meggyelési és állapot egyenlet hibavektorai normális eloszlásúak és ortogonálisak (korrelálatlanok). Az el®z® egyenletben szerepl® H kovaraiancia mátrix diagonális, mivel feltettük, hogy a különböz® lejáratokhoz tartozó hozamok hibája független egymástól. A Q mátrix a becslési

módszert®l függ®en lehet diagonális vagy teljes mátrix egyaránt. A következ® részben f®képp az állapottér modellek becslésér®l lesz szó. 4.5 A paraméterek becslése A korábban bemutatott spline alapú módszerek többek között becsülhet®k általánosított (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerével (Bolder és Gusba, 2002). Habár ebben a részben a Nelson-Siegel típusú hozamgörbék becslésével foglalkozom, de a lenti megállapítások ugyanúgy igazak a spline alapú módszerekre is. Az állapottér modellek becslésére több megközelítés is létezik (De Pooter, 2007). Egyrészt a becslés történhet két lépésben, az els®ben a meggyelési egyenletet különállóan kezeljük, és minden id®pontra megbecsüljük a paramétereket legkisebb 4. FEJEZET A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 37 négyzetek módszerével (keresztmetszeti vizsgálat). A második lépésben az így kapott faktorok id®sorára illesztünk általában autoregresszív

folyamatot az állapot egyenlet alapján (id®soros vizsgálat). A másik szemléletmód esetén egy lépésben, párhuzamosan történik az állapottér modell paramétereinek becslése. Kétfaktoros Nelson-Siegel βt,1 , βt,2 , λt,1 Három faktoros Nelson-Siegel βt,1 , βt,2 , βt,3 , λt,1 Björk és Christensen βt,1 , βt,2 , βt,3 , βt,4 , λt,1 Bliss βt,1 , βt,2 , βt,3 , λt,1 , λt,1 Svensson βt,1 , βt,2 , βt,3 , βt,4 , λt,1 , λt,2 Módosított Svensson βt,1 , βt,2 , βt,3 , βt,4 , λt,1 , λt,2 4.2 táblázat A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend® paraméterei A két lépéses módszer els® lépésében becsülend® paramétereket foglalja össze a 4.2 táblázat A három faktoros Nelson-Siegel módszer esetén, ha a három fak- tort és az exponenciális késleltetés paramétert is becsüljük, akkor az egy nemlineáris (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerét igényl® probléma. Az exponenciális késleltetés becslése esetén

továbbá a korábban említett multikollinaritás miatt szükséges korlátokat állítani (De Pooter, 2007). Diebold és Li (2006) az egyszer¶ség és a numerikus megbízhatóság miatt, ami tökéletesen látszik az 5.14 és az 516 eltéréséb®l, felteszi, hogy λt értéke el®re adott konstans. Rögzített λt esetén ugyanis a becslés (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerére redukálódik, ugyanis ekkor a meggyelési egyenlet az állapotvektorban lineáris. Ennek hátránya, hogy ekkor ezt a paramétert megfelel®en kell megválasztanunk. Az egy lépéses becslés esetén Kálmán-sz¶r®vel határozhatjuk meg az Rt+1 |Rt feltételes átmenet-s¶r¶ségfüggvényének logaritmusát, amit aztán maximum likelihood (ML) módszerrel maximalizálhatunk. A Kálmán-sz¶r® a priori becslést ad a meggyelési egyenlet alapján az állapotváltozókból kiindulva, majd a meggyelt hozamok alapján a posteriori frissíti az állapot egyenletre vonatkozó becslését

és el®rejelzi az állapotváltozókat. Ezen lépéseket iterálva végül meghatározható a loglikehood függvény Err®l részletesen Bolder (2001) tanulmányában lehet olvasni. Az ML becsléssel kapcsolatosan Kopányi (2009) megemlíti továbbá a kvázi-ML és a szimulált ML-becsléseket is, illetve bemutat momentum becslési technikákat is (általánosított momentumok és hatékony momentumok módszerei), ezeket azonban nem fejtem ki részletesen. A következ® fejezetben két program (Excel, R) segítségével vizsgálom a hozamgörbe illesztését magyar állampapírpiaci meggyelésekre. 5. fejezet Empirikus vizsgálat Az adatok min®sége miatt Diebold és Li (2006) nem használ opcióval rendelkez®, változó kamatozású vagy éven belül lejáró kötvényeket, illetve egy hónapon belüli kincstárjegyeket. Bolder és Gusba (Bolder és Gusba, 2002) továbbá szintén a likviditás miatt korlátokat állít a fennálló mennyiségre, illetve adózási

szempontból a piaciés a kuponráta túlzott eltérésére El®ször 20140331-ére vonatkozóan végeztem el a hozamgörbe illesztését harmadfokú spline és Nelson-Siegel típusú módszerek esetén a magyar adatok alapján. Egy adott nap legjobb vételi és eladási árfolyamai az ÁKK honlapjáról 1 tölthe- t®k le. Ez alapján a vizsgált napra 23 állampapír adata állt rendelkezésre Ebb®l négy volt a három hónapos diszkont kincstárjegy hozamaihoz kötött változó kamatozású papír (2015/B, 2018/N, 2019/B és 2020/N), ezeket az adatokat kisz¶rtem. Két kötvény volt éven belüli lejáratú (2014/D, 2015/A), az adatok kevés száma miatt ezeket viszont benthagytam az elemzésben, annak ellenére, hogy ezen kötvények esetén jóval nagyobb a bid-ask spread (20, illetve 30 bázispont), mint a diszkont kincstárjegyek esetén (10 és 15 bázispont közöttiek). Így összesen 6 zérókuponnak tekinthet® adat (a két éven belüli kötvény mellett a D140606,

D141015, D150121), illetve 4 három éven belüli (2015/C, 2016/C, 2016/D, 2017/B), 3 öt év belüli (2017/A, 2018/B, 2018/A), 4 tíz éven belüli (2019/A, 2020/A, 2022/A, 2023/A) és 2 tizenöt éven belüli (2025/A, 2028A) meggyelés állt rendelkezésre. Ezt a statikus vizsgálatot Excellel végeztem 1 http://akk.hu/bestpdfullivy?publiccat-sys-B8869B77-407E-4608-A3F7-6A132CF162B3- ltergroup=user3, Letöltve: 2013.0421 38 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 39 5.1 Statikus vizsgálat El®ször a Makara Tamás által a Budapesti Corvinus Egytemen, az Empirikus pénzügyek nev¶ tárgy keretében tartott el®adásán elhangzott módszertan alapján végeztem az illesztést. A spline módszerek során eektív hozamokkal számoltam az ÁKK módszertanához igazodva. A diszkontáláshoz gyelembe vettem, hogy a teljesítés értéknapja 2014.0402, így 2 nappal kevesebbel kell számolni A valóságtól eltér®en a kamatkonvencióra feltettem, hogy ACT/365 ezzel egyszer¶sítve

a vizsgálatot Végül az egyes papírok módosított Macaulay-féle átlagidejének kiszámításhoz, és az árfolyamok becsléséhez elkészítettem a 2.2 képletben is szerepl® cash-ow mátrixot, ennek tulajodnságair®l ott már esett szó. 5.11 Spline alapú modellek A spline illesztést 12 különböz® hibafüggvénnyel végeztem el, ezeket foglalja össze az 5.1 táblázat Ebben félkövérrel szerepelnek, ahol négyzetes eltéréseket számítottam A hiba a becsült és valós árfolyam tényleges eltérése (Alap sor), vagy a 33-ban deniált mennyiség (Bid-ask sor) volt. A Benchmark sor arra utal, hogy azok esetében a cél a benchmark állampapírok (D140806, D141015, D150121, 2018/B, 2019/A, 2025/B és 2028/A) minél jobb közelítése volt. Itt érdemes megjegyezni, hogy például a három éves benchmark kötvény lejárata több, mint négy év. A súlyozást tekintve három eset volt: a súlyozatlan, a bid-ask spreaddel és a módosított átlagid®vel súlyozott

hibatagok. Súlyozatlan Bid-ask spread Módosított átlagid® Alap Spline 1 és Spline 2 Spline 3 Spline 4 Bid-ask Spline 5 és Spline 6 Spline 7 Spline 8 és Spline 10 Spline 11 Spline 12 Benchmark Spline 9 5.1 táblázat A vizsgált hibafüggvények Ahogy említettem, az adatok sz¶rése után 19 meggyelés állt rendelkezésre, így 4 csomópontot határoztam meg úgy, hogy mindegyik intervallumba közel azonos számú állampapír essen. Csomópontoknak a {0; 0, 8658; 4, 7205; 14, 5671} adódtak, az így kialakuló három intervallumba pedig 6, 7, illetve 6 meggyelés esett. Az illesztés során olyan diszkontfüggvény kerestem, ami minimalizálja a korábban említett hibafüggvényeit az árfolyamok eltérésének (a benchmark esetben csak a benchmark kötvényekét). Az optimalizálást a beépített Solver-rel végeztem, a 4.3 bázisfügg- vények súlyaival, mint módosuló cellákkal, és amellett a korlátozó feltétel mellett, 5. FEJEZET

EMPIRIKUS VIZSGÁLAT hogy a lyok a 0 40 id®pillanatban a diszkontfüggvény értéke {0, 0, 0, 0, 0, 1} 1 legyen. A kiinduló, kezd® sú- voltak, ugyanis ekkor minden diszkontfaktor 1. Az így kapott eredményekb®l határoztam meg a hozamgörbét, melyet az 5.1 ábra mutat be 6.5 6 Effektív hozam (százalékpont) 5.5 5 4.5 4 D141126 3.5 3 Spline 1 Spline 9 Spline 10 Spline 11 Spline 12 ÁKK 2.5 2 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 Lejárat (év) 5.1 ábra A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett Ezen tizenkét módszerrel kapott hozamgörbe látható az egyes kötvények lejáratig számított hozama mellett. Meggyelhet®, hogy a benchmark módszerek esetén a kilógó D141126 mennyire elhúzza a hozamgörbét, ami után csak 4 év körül térnek vissza a többi módszer általi görbékhez. Látványos a súlyozatlan, négyzetes hibák esetén kialakuló görbe rossz illeszkedése, illetve hogy az általam kapott hozamok középtávon az ÁKK

honlapján közzétett 2 zérókupon hozamok alatt vannak. 0.04 Spline 1 Spline 9 Spline 10 Spline 11 Spline 12 0.03 0.02 Súly 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 Elsõ Második Harmadik Negyedik Ötödik Bázisfüggvény 5.2 ábra A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén A hozamgörbe eltérések okára mutat rá az 5.2 ábra Ezen az els® öt bázisfüggvényhez tartozó súlyokat láthatjuk a különböz® módszerek esetén Azért csupán az 2 http://akk.hu/zerokuponivy?publiccat-sys-B23DDCB1-22B0-40E0-A088-991F3409C08E- ltergroup=user3 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 41 els® ötét, mivel a diszkontfüggvényre vonatkozó egyenl®ségi feltétel miatt a hatodik bázisfüggvény súlya minden esetben 1. A súlyok els®sorban a rövid lejáraton is ható bázisfüggvények esetén térnek el, ezek az els®, a negyedik és az ötödik. Látható, hogy a benchmark módszerek esetén (Spline 9, 10, 11, 12) ellentétes el®jel¶ súly kerül az

els® bázisfüggvényre a D141126 miatt. Ennek a kilengésnek a kompenzálása az egész intervallumra ható t t2 és bázisfüggvények súlyain keresztül történik. A súlyozatlan, négyzetes hibák minimalizálása esetén kapott súlyok is jelent®s eltérést mutatnak a többi esethez képest. 0.08 0.06 Elsõ Második Harmadik Negyedik Ötödik Hiba Súlyok 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 0 50 100 150 200 Futtatás 5.3 ábra A bázisfüggvények súlyainak kezd®pont függése A Solver a nemlineáris programozási feladatok esetén általánosított redukált gradiens módszert alkalmaz. Mint minden optimalizálási algoritmus esetén, itt is meg kell vizsgálni a kiindulási súlyoktól való függést. Ehhez létrehoztam 243 kiindulási állapotot, ahol az els® öt bázisfüggvény súlya 0; 0,5 vagy 1 lehet és a tól haladtam az {1, 1, 1, 1, 1, 1} felé. {0, 0, 0, 0, 0, 1}- A négyzetes, módosított átlagid® súlyozású hibafüggvény

minimalizálásával kapott bázisfüggvény súlyokat kapjuk az 5.3 ábrán Ezen látható, hogy a súlyok az els® bázisfüggvényét leszámítva stabilak. Az els® esetén pedig az ingadozás az els® intervallumba es® meggyelések volatilitása miatt tapasztalható. Els® Második Harmadik Negyedik Ötödik Spline 1 16,10 1,56 0,88 4,75 7,50 Spline 4 3,17 0,53 0,43 0,76 1,41 −3 5.2 táblázat A bázisfüggvény súlyok szórása (·10 ) Az 5.2 táblázat alapján a Spline 1 módszer (alap, súlyozatlan, négyzetes hibák) esetén a bázisfüggvény súlyok jóval nagyobb ingadozást mutatnak, mint a Spline 4 (alap, módosított átlagid®vel súlyozott, négyzetes). Az 53 táblázat alapján azonban 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 42 nem azért tér el jelent®sen a hozamgörbe, mert rossz volt a kezd®pont megválasztása és egy lokális optimumot találtunk csupán. Ebben az egyes módszerek esetén láthatjuk a középárfolyamt®l vett

távolságok négyzetösszegét. Ez alapján, ha a hibát a becsült és meggyelt középárfolyam eltéréseként deniáljuk, akkor a súlyozott megoldások jobb eredményt adnak, mint a súlyozatlanok. Meggyelhet®, hogy ha a hibát a bid-ask sávtól való eltérésnek vesszük, akkor az azt eredményezi, hogy az optimális megoldás esetén a számított árfolyamok jobban eltérnek a középárfolyamtól, mint az el®z® esetben. Itt a súlyozatlan, abszolút hibák esetén lényegesen jobb eredményt kapunk. Abban az esetben a legmagasabb az eltérések összege, ha a benchmark kötvényekre fókuszálunk. Ez annak a következménye, hogy a benchmark papírok hibáinak csökkentése mellett nem gyelünk a többi kötvény esetleges félreárazására. Spline 1 0,2729 Spline 5 0,3005 Spline 9 0,3562 Spline 2 0,2320 Spline 6 0,2164 Spline 10 0,3312 Spline 3 0,2093 Spline 7 0,3298 Spline 11 0,3486 Spline 4 0,2063 Spline 8 0,3621 Spline 12 0,3506 5.3

táblázat A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meggyelésekt®l Az eltérések négyzetösszege helyett szemléletesebb a P̂i (t, r) − Pi (t, r) Pi (t, r) relatív hibák ábrázolása az egyes kötvények esetén. Ezért az 5.4 ábra a módosí- tott átlagid®vel súlyozott négyzetes hibák minimalizálásaikor kapott relatív hibákat szemlélteti (Spline 4, 8, 12) a vizsgált állampapírok esetén, a piros pontok a vételi és eladási árfolyamok relatív eltérését mutatják a középárfolyamtól. Ezzel már látható, hogy mely kötvények adják az eltérés nagy részét. Látható, hogy a benchmark módszer a nem benchmark papírok esetén a vételi árfolyamnál is alacsonyabb árfolyamokat határoz meg, így a korábbiakat is gyelembe véve elmondható, hogy nem célszer¶ a minimalizálást a benchmark kötvényekre végezni csupán. Célravezet®bb lehet a korábban említett módszer, miszerint a benchmark kötvények súlyait egy adott K

konstanssal szorozzuk, azonban akkor szükséges megtalálni a helyes átváltást a benchmark és nem benchmark kötvények hibái között. A másik két esetben (zöld és kék oszlopok) láthatjuk, hogy a hibák el®jele két papírt leszámítva (2019/A, 2028/A) megegyezik, így arra lehet következtetni, hogy az árfolyamok számításánál nem vettünk gyelembe valamilyen faktort (persze azzal, hogy csak máshogy deniáljuk a hibákat, még nem változtatunk lényegesen a 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 43 1 0.8 Relatív hiba (százalékpont) 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 Becsült árfolyam (alap) Becsült árfolyam (bid−ask) Becsült árfolyam (benchmark) 2014/A 2015/A 2015/C 2016/C 2016/D 2018/B 2017/A 2018/B 2018/A 2019/A 2020/A 2022/A 2023/A 2025/B 2028/A D140806 D141015 D141126 D150121 Állampapír 5.4 ábra A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén módszertanon). Meggyelhet® továbbá,

hogy a hosszú lejáratú kötvények (f®leg a 2022/A) esetén jelent®s a relatív hiba, azok esetleges kihagyásával javítnai lehetne a becslést. A meggyelések, f®leg a hosszú lejáratúaké, kis száma miatt ez azonban nem javasolt. A spline közelítés relatív hibája különbözõ értékpapírok esetén 1 Relatív hiba (százalékpont) 0.8 2016/C 2018/B 2022/A D141126 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 Spline 1 Spline 2 Spline 3 Spline 4 Spline 5 Spline 6 Spline 7 Spline 8 Spline 9 Spline 10 Spline 11 Spline 12 Módszer 5.5 ábra A spline közelítés relatív hibája különböz® értékpapírok esetén További következtetések tehet®k, ha néhány kiemelt állampapír esetén ábrázoljuk a relatív hibát az optimalizáláshoz használt hibafüggvényenként, ahogy az 5.5 ábrán is látható. A választásnál gyelembe vettem, hogy szerepeljen az a papír, ami elhúzza a hozamgörbét (D141126) és a legnagyobb relatív hibával rendelkez®

(2022/A) is. Látható, hogy az els® módszer, ahogy a rövid távon eltér® hozam- görbe alapján várható is, félreárazza a majdnem féléves lejáratú diszkontpapírt. A korábbiak alapján pedig az sem meglepetés, hogy a nem benchmark kötvényeket a többihez vizsonyítva is mennyire félreárazza az utolsó négy módszer. A legfontosabb 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 44 azonban, hogy lényegében az összes módszer azonos el®jel¶ relatív hibát eredményez. Eddig csak a harmadfokú spline-okat vizsgáltam (Harmadfokú spline 1), így elvégeztem a görbeillesztést további módszerekkel is (a hibát a módosított átlagid®vel súlyoztam). Ilyen volt például, amikor a csomópontokat is változóknak tekintet- tem (Harmadfokú spline 2). Az így kapott, optimális csomópontokat tartalmazza az 5.4 táblázat Látható, hogy a csomópontok változtatásával már nem oszlanak el egyenletesen a meggyelések az intervallumok között, az els®be

kevesebb, míg a másodikba több kerül. Harmadfokú spline 1 0 0,8658 4,7205 14,5671 Harmadfokú spline 2 0,1077 0,60594 5,2237 14,5374 5.4 táblázat Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén További két módszert is elemeztem, a ML exponenciális spline-t (3 bázisfüggvény) és ennek a trigonometrikus változatát (7 bázisfüggvény). A négy megközelítés által kapott hozamgörbét szemlélteti az 5.6 ábra Ezen látható, hogy a két harmadfokú spline-nal kapott görbék a rövid távot leszámítva közel megegyeznek (az eltérés a csomópontoknak köszönhet®), míg az exponenciális spline modellel adódó hozamgörbe alakja eltér a többi módszerét®l. A hibák alapján (0,0533;0,055;0,1237;0,0490) elmondható, hogy a grakus vizsgálattal összhangban az ML exponenciális spline modell teljesít a legrosszabbul 2014.0331-ére vonatkozóan (több bázisfüggvény esetén még rosszabb volt az illeszkedes) 6.5 Effektív hozam (százalékpont)

6 5.5 Harmadfokú spline 1 Harmadfokú spline 2 ML exponenciális spline MLES−Fourier ÁKK 5 4.5 4 3.5 3 2.5 0 2 4 6 8 10 Lejárat (év) 5.6 ábra Hozamgörbék spline módszerek esetén 12 14 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 45 5.12 Nelson-Siegel alapú modellek A szükséges faktorok számának meghatározására f®komponens elemzést végeztem a 3 nyilvános magyar zérókupon adatokon a 2002.0101 és 20140228 közti id®szakra A f®komponens elemzéssel egymással korrelált változókból állítunk el® korrelálatlanokat (Kovács, 2011). Az SPSS statisztikai programmal kapott komponens mátrix eredményeit láthatjuk az 5.7 ábrán, ami azt mutatja meg, hogy az egyes hozamok mennyire korrelálnak a kapott f®komponensekkel. Látható, hogy minden hozam er®sen, ugyanolyan mértékben korrelál az els® f®komponenssel, így az valóban tekinthet® a szintnek. A második f®komponens a rövid lejáratok esetén er®s pozitív kapcsolatot mutat, míg

hosszú lejáratok esetén már negatívat. Ez alapján ezt meredekségként értelmezhetjük Két f®komponens elegend® a magyar adatok alapján, ugyanis ezek a hozamok varianciájának 99,062%-át magyarázzák. 1 Korreláció 0.5 0 −0.5 1. fõkomponens 2. fõkomponens 0,25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Lejárat (év) 5.7 ábra A zérókupon hozamok és a f®komponensek korrelációja Tehát abban az esetben, ha rendelkezésünkre áll már egy zérókupon hozamgörbe, akkor két faktorral (szint és meredekség) leírhatjuk a hozamokat. A piacon ez azonban nem gyelhet® meg, így a rugalmasabb, három faktoros Nelson-Siegel modellt vizsgáltam el®ször. El®ször x lambdák (0, 25; 0, 5; 0, 75; 1; 1, 25; 1, 5; 1, 75; 2; 2, 25; 2, 5) mellett határoztam meg a három faktoros Nelson-Siegel modellel kapható hozamgörbéket. Az 58 ábra alapján a következ®ket gyelhetjük meg. Az els® és második faktor összege a lambdával n®. A szint független

az exponenciális késleltetést®l, illetve a hosszú lejáratú hozamok megegyeznek, így azt várom, hogy az els® faktor közel azonos a különböz® lambdák mellett, míg a második faktor emelked®. A harmadik faktor pedig a hozamgörbe púpossága alapján el®jelet vált és egyre jobban csökken. Az ÁKK által számított görbéhez képest hosszabb lejáratokon a görbe rugalmatlanabb, de középtávon nem tapasztalható eltérés. Látható, hogy a kapott hozamgörbék rövid távú illeszkedése mennyire érzékeny az exponenciális késleltetésre, így dinamikus 3 Az adatokért köszönettel tartozom az Államadósság Kezel® Központ Zrt. elemzési osztályának 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 46 7.5 7 Loghozam (százalékpont) 6.5 6 5.5 5 4.5 4 NS 1 NS 3 NS 5 NS 7 NS 10 ÁKK 3.5 3 2.5 0 2 4 6 8 10 12 14 Lejárat (év) 5.8 ábra Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén vizsgálat esetén különösen fontos ennek helyes megválasztása

(Diebold és Li, 2006). Az ábra alapján nem meglep®, hogy nagyobb lambda magasabb hibát eredményez, ez látható az 5.5 táblázatban Habár nem ábrázoltam külön, de érdemes megemlíteni, hogy a Nelson-Siegel modell a 2028/A papírt árazza szignikánsan félre (a spline módszereknél ez a papír a a 2022/A volt). λ = 0, 25 0,0969 λ = 0, 5 0,0971 λ = 0, 75 0,1008 λ=1 0,1107 λ = 1, 25 0,1283 λ = 1, 5 0,1510 λ = 1, 75 0,1758 λ=2 0,2007 λ = 2, 25 0,2246 λ = 2, 5 0,2469 5.5 táblázat Hibák különböz® lambdák mellett a NS modell esetén A becsléssel kapott béta értékek láthatóak az 5.9 ábrán Ezen meggyelhet®ek az el®z® várakozások a faktorok alakulására. 0.05 A faktor értéke 0 −0.05 −0.1 β1 β2 −0.15 β3 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 A λ értéke 1.75 2 2.25 2.5 5.9 ábra Faktorok különböz® lambdák mellett a NS modell esetén A spline módszerekhez hasonlóan szükséges megvizsgálni a kialakuló

optimális faktorok kezd®pont függését. Adott lambda mellett a korábban említettek alapján az optimalizálás legkisebb négyzetek módszerével megoldható a linearitás miatt, és 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT az optimalizálás stabil eredményeket ad. 47 Ha a faktorokon kívül a lambdát is be- csüljük, akkor már a nemlinearitás miatt érdekes lehet a kezd®pont függés. Ezért 162-szer elvégeztem az optimalizálást, ahol az egyes faktorok és a lambda a következ® lehetett: β1 = {0, 05; 0, 08; 0, 11}, β2 = {−0, 1; 0; 0, 1}, β3 = {−0, 1; 0; 0, 1} λ = {0, 25; 0, 75; 1, 25; 1, 75; 2, 25; 2, 75}. és A különböz® kezd®pontokból elvégezve az optimalizálást az 5.10 ábrán szerepl® paraméterek adódnak Ezen látható, hogy az egyes faktorok stabilak, míg a lambdában tapasztalható kisebb ingadozás, de közel sem akkora, mint ami a harmadfokú spline módszer súlyainál volt jellemz®. 0.4 0.35 0.3 A β és λ érték 0.25 β1 β2

0.2 β3 λ Hiba 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Futtatás 5.10 ábra A faktorok és a lambda kezd®pont függése a Nelson-Siegel modell esetén A 4.42 részben bemutatott Nelson-Siegel típusú modellek esetén is elvégeztem a görbeillesztést a 2014.0331-ei adatokra, módosított átlagid®vel súlyozott hibatagok esetén Minden módszernél a 42 táblázat összes paraméterét módosulónak tekintettem a Solverben. WRMSE RMSE Kétfaktoros Nelson-Siegel 0,0958 0,4316 Három faktoros Nelson-Siegel 0,0958 0,4317 Björk és Christensen 0,0959 0,4333 Bliss 0,0788 0,2967 Svensson 0,0957 0,4262 Módosított Svensson 0,0851 0,3755 5.6 táblázat A Nelson-Siegel típusú modellek hibája A kapott W RM SE D ∗ hibák alapján, melyet az 5.6 táblázat tartalmaz, a Bliss módszer t¶nik a legjobbnak, az RM SEt oszlop is ezt támasztja alá. Utóbbiakat összehasonlítva a különböz® hibafüggvény¶ spline

illesztésekkel (5.3 táblázat) elmondható, hogy a Nelson-Siegel modellek erre a napra gyengébben teljesítenek az 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 48 illeszkedésben. De ett®l függetlenül más preferenciák miatt, például a görbe alakja, választhatjuk ezeket. A hozamgörbék 5.11 ábráját vizsgálva látható, hogy a Nelson-Siegel típusú modellek az Államadósság Kezel® Központ görbéjénél rugalmatlanabb illeszkedést eredményeznek Nagyon rövid távon a módosított Svensson-modell ad irreális eredményeket, ez a faktorokra és a lambdákra kapott eredményekb®l is látszik (57 táblázat) Ezenkívül a Bliss modell tér el a többit®l mind az ábrát, mind a táblázatot tekintve. 6.5 6 Loghozam (százalékpont) 5.5 5 4.5 4 3.5 Kétfaktoros NS Háromfaktoros NS Björk és Christensen Bliss Svensson Módosított Svensson ÁKK 3 2.5 0 2 4 6 8 10 12 14 Lejárat (év) 5.11 ábra Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén A

kapott faktorok alapján látható, hogy a két- és három faktoros Nelson-Siegel nem tér el jelent®sen, ez azt jelenti, hogy a görbében kicsi a görbület. Hasonló eredményeket ad a Björk és Christensen, illetve a Svensson modell is, így a 20140331-ei hozamgörbét els®dlegesen csupán a szint és a meredekség határozza meg. βt,1 βt,2 βt,3 2F NS 0,0693 -0,046 3F NS 0,0693 -0,046 -0,0002 Björk és Christ. 0,0692 -0,0456 -0,0059 Bliss 0,2884 -0,2662 -0,5381 Svensson 0,0698 -0,0466 -0,0056 Mód. Svensson 0,0713 -0,0294 0,0222 βt,4 λt,1 λt,2 0,3318 0,3333 -0,0002 0,3777 0,0763 0,2204 0,5987 0,0027 0,3513 1,3533 -0,032 0,0959 5.7 táblázat A kapott faktorok és lambdák különböz® modellek esetén Eddig egy adott napra, statikusan vizsgáltam a hozamgörbe illesztését. A következ® részben a dinamikus illesztést mutatom be az R statisztikai programcsomag segítségével. 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 49 5.2

Dinamikus vizsgálat A dinamikus elemzés során a 2003.0102 és 2013.1231 közti árfolyam adatokat használtam fel. Az el®z® elemzéshez hasonlóan kisz¶rtem a változó kötvények meggyeléseit, ezenkívül azonban mindent felhasználtam Excelben elég nehézkes volna egy ilyen hosszú id®szakra illeszteni hozamgörbéket, ezért az R termstrc csomagját használtam, ezt Ferstl és Hayden (2010) mutatja be részletesen. A csomag felhasználásval egy adott napra illeszthet® hozamgörbe a harmadfokú spline módszerrel, ahol a csomópontok számának meghatározása McCulloch (1971) történik. A NelsonSiegel típusú modellek közül pedig a három faktoros Nelson-Siegel modellt, illetve a Svensson és a módosított Svensson modellt használhatjuk, ezeknél minden paramétert becsül. Rögzített lambda esetén Diebold és Li (2006) módszertanával is elvégezhet® az elemzés. Eredményként megkapható a diszkontfüggvény, a hozam- és forwardgörbe, a becsült

súlyok, illetve a faktorok az exponenciális késleltési paraméterekkel. Megkaphatjuk továbbá a korábban említett cash-ow mátrixot is, az átlagid®ket, a becsült kötvényárfolyamokat és lejératig számított hozamokat, illetve azok hibáját egyaránt. A következ®kben a kapott eredményeket mutatom be, a használt R kódok az A. függelékben találhatóak (a kapott eredmények kinyerésére csak egy reprezentatív példát másoltam be). 0.1 Faktor 0 −0.1 w1 w2 w3 w4 w5 −0.2 2003.0102 2004.1018 2006.0726 2008.0516 2010.0521 Dátum 5.12 ábra Súlyok a harmadfokú spline modell esetén A harmadfokú spilne módszer esetén Ferstl és Hayden (2010) az általam bemutatottól picit eltér® bázisfüggvényeket használ, ez megtalálható tanulmányukban. Minden egyes napra külön-külön megbecsültem a hozamgörbét, majd a súlyok alakulását tekintettem. Az 512 ábra alapján a rövid távon ható bázisfüggvény súlya a legvolatilisebb, egyik

napról a másikra is jelent®sen meg tud változni. A többi bázisfüggvény súlyának alakulása viszonylag stabilnak mondható A vizsgált id®szak elején 4 csomópont volt a meggyelések száma alapján, míg 2010 második felét®l már csak három, ezért ábrázoltam a kapott súlyokat csak addig. 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 50 1 Diszkontfaktor 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0,01 2013.1231 3,6 2011.0504 7,2 2008.0724 10,8 2005.1010 14,58 2003.0102 5.13 ábra Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén A diszkontfaktorokon nem látszik a súlyoknál tapasztalható ingadozás, az 5.13 ábra alapján a diszkontfüggvények teljesítik az elvárható feltételeket. Azaz 0-ból indulnak, pozitívak és monoton csökkennek. Az illesztés viszonylag gyorsan, fél óra alatt lefutott, illetve a kapott eredmények alapján ez a módszer használhatónak bizonyult. 20 15 10 Faktor 5 0 −5 −10 β1 β2 −15 β3 τ −20 2003.0102 2005.1010

2008.0708 2011.0719 2013.1231 Dátum 5.14 ábra Faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén Ezután megvizsgáltam a háromfaktoros Nelson-Siegel illesztést is minden napra. Ekkor a 2758 nap közül utólag kisz¶rtem azokat, ahol irreális eredményeket kaptam, azaz ahol a második és harmadik faktor nem esik faktor kisebb, mint és a τ 1%. −20 és 20 közé, vagy az els® Így 225 napot töröltem az elemzésb®l. A kapott faktorok (ez az exponenciális késleltetés reciproka) id®soros alakulásából (5.14 ábra) nagyfokú volatilitást gyelhetünk meg. Ez els®sorban a nemlineáris optimalizálás instabilitásából fakad, különösen nagy volatilitás gyelhet® meg a görbület és a esetében. τ 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 51 12 Loghozam (százalékpont) 11 10 9 8 7 6 5 4 14,58 10,8 3 7,2 2 2003.0102 2005.1010 2008.0708 2011.0719 2013.1231 3,6 0,01 5.15 ábra Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén A kapott hozamgörbék 5.15

ábráján továbbra is láthatóak extrém görbék, ezek el®sorban a rövid oldalon adnak rossz közelítést. Ezen látszanak a benchmark hozamoknál említett állampapírpiaci zavarok, ezek a legmagasabb szakaszok Meggyelhet® továbbá, hogy a 11 év során mennyire változatos a magyar hozamgörbék alakja, illetve a meredekség változása is. A faktorok és a hozamgörbe pontok magas volatilitása, illetve a lassabb futásid® (fél nap) miatt így e módszer használata kell® körültekintést igényel. β1 15 β2 β3 Faktor 10 5 0 −5 2003.0102 2005.1010 2008.0724 2011.0504 2013.1231 Dátum 5.16 ábra Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén A harmadik módszer esetén rögzítettem a alapján ennek 0, 7308-at λ értéket, és Diebold és Li (2006) választottam. A faktorok 516 ábrája alapján a görbület faktor mutat nagyobb ingadozást, els®sorban a pénzügyi válság idején. Az opti- malizálás egyszer¶södésével a faktorok

volatilitása is lényegesen csökken (korábban a τ paraméter változékonysága átragadt a faktorokra is). Az 5.17 ábrán látható hozamok is ezt a stabilitást támasztják alá, a hozamgörbe dinamikája megegyezik 5. FEJEZET EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 52 az el®z® ábrán tapasztaltéval. A futásid® a három módszer közül a legalacsonyabb, így további vizsgálatokra és el®rejelzésre ez a módszer javasolt a lambda körültekint® megválasztása mellett. A Svensson- és módosított Svensson módszerekkel a rendkívül hosszú futásid® (körülbelül 1 hét) miatt nem végeztem el a görbeillesztést. 12 Loghozam (százalékpont) 11 10 9 8 7 6 5 4 14,58 10,8 3 7,2 2 2003.0102 2005.1010 2008.0724 2011.0504 2013.1231 3,6 0,01 5.17 ábra Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén Ebben a fejezetben egy 11 éves periódus minden napjára megbecsültem a piaci adatok alapján a hozamgörbéket. Ez még a 4.5 részben említett két lépéses

módszer els® lépése, szükséges volna még a faktorok id®sora alapján az AR(1) vagy VAR(1) folyamatokat is megbecsülni. Jelen dolgozatban azonban erre nem térek ki részletesen. 6. fejezet Befejezés A külföldi jegybankok gyakorlatában 1 a legelterjedtebb a simított spline és Svensson modellek használata, ahogy a 6.1 táblázatban is látható (Bank for International Settlements (BIS), 2005) Megoszlik azonban, hogy miknek a hibáját minimalizálják, az árakét súlyozva, vagy a hozamokét. Központi Bank Becslési módszer Minimalizált hiba Belgium Svensson vagy Nelson-Siegel súlyozott ár Egyesült Királyság VRP hozam Finnország Nelson-Siegel súlyozott ár Franciaország Svensson vagy Nelson-Siegel súlyozott ár Japán simított spline árak Kanada ML exponenciális spline súlyozott ár Németország Svensson hozam Norvégia Svensson hozam Olaszország Nelson-Siegel súlyozott ár Spanyolország (-1995) Nelson-Siegel

árak Spanyolország (1995-) Svensson súlyozott ár Svájc Svensson hozam Svédország simított spline vagy Svensson hozam USA (kincstárjegy) simított spline súlyozott ár USA (kötvény) simított spline árak 6.1 táblázat A külföldi jegybankok gyakorlata (Bank for International Settlements (BIS), 2005) 1 Habár külön nem esett szó róla, de a britek által használt VRP (Variable Roughness Penalty) modell a simított spline módszerek egyik változata (Anderson és Sleath, 2001). 53 6. FEJEZET BEFEJEZÉS 54 Dolgozatomban áttekintettem a hozamgörbe modellezésének különböz® lehet®ségeit. Az an modellek osztályát jelen tanulmányban nem vizsgáltam részletesen, pedig azok is a hozamgörbe modellezésének alapkövei. Ugyanakkor azért helyeztem nagyobb hangsúlyt az empirikus modellekre, mert Kopányi (2009) a hozamgörbe dinamikus becslése során els®sorban az an modelleket vizsgálja, így azokról már született átfogó magyar

elemzés. Tanulmányában arra az eredményre jut, hogy a három faktoros Vasicek modell jó választás a magyar adatok alapján. A rendszerez® bemutatás során említett modellek közül részletesen csak a spline és a Nelson-Siegel típusúakkal foglalkoztam, ezek elengedhetetlenek a téma módszertani megalapozásához. Így aprólékosan felépítettem a spline modellek módszertanát, a lineáris illesztéseken keresztül a harmadfokú spline-okig. Természetesen a vizsgálat tovább folytatható a B-spline bázisfüggvények vagy a simított spline-ok irányába. A Nelson-Siegel típusú modellek kapcsán a két-, három- és négyfaktoros modellek elméletével egyaránt foglalkoztam. Így megemlítettem a két- és három faktoros Nelson-Siegel, a Björk és Christensen, a Bliss, a Svensson és a módosított Svensson modelleket. Egyik továbblépési irány az empirikus modellek kapcsán makrováltozók bevezetése a faktorok közé. A Magyar Nemzeti Bank

m¶helytanulmányában Reppa (2009) két látens (szint, meredekség) és négy meggyelhet® faktor (ináció, kibocsátás, alapkamat, devizaárfolyam) mellett elemzi a magyar adatokat. Eredményül azt kapta a szerz®, hogy a látens faktorok varianciájánák közel 60%-a magyarázható makrogazdasági sokkokkal. Vizsgálhatók továbbá a faktorok értékét meghatározó regionális és globális hatások. ’opov és Seidler (2011) a magyar, lengyel, cseh és szlovák hozamgörbéket meghatározó faktorokban szerepl® regionális hatásokat vizsgálták dinamikus Nelson-Siegel modell segítségével. A szerz®k azt találták, hogy a magyar hozamgörbére hatnak leginkább a regionális faktorok a négy ország közül. A magyar adatok alapján statikus és dinamikus elemzést is végeztem 2014.0331ére, illetve a 20030102 és 2013.1231 közti id®szakra. Az egy adott napra vonatkozó illesztést Excellel készítettem el, el®ször harmadfokú spline módszerrel,

különböz® hibafüggvények esetére. A legjobb illeszkedést a súlyozott hibák mini- malizálása eredményezte, így a vizsgálat további részében módosított átlagid®vel súlyozott hibatagokat használtam. A Nelson-Siegel esetben, a Bliss modellt leszámítva rosszabb illeszkedéseket kaptam Túlzott következtetést azonban nem vontam le egy nap alapján, szükséges az eredmények további elemzése is. Ilyen lehet például a vizsgálat megismétlése egy hosszabb id®távon keresztül, az esetlegesen félreárazott értékpapírok kisz¶rése a meggyelések közül vagy pedig az el®zetesen rögzített preferenciának (például alak, simaság) megfelel® hozamgörbe kiválasztása. Mivel a hozamgörbéket optimalizálással kaptam, így érzékenységvizsgálatot is készítettem a 6. FEJEZET BEFEJEZÉS 55 kezd®pontra vonatkozóan. Az eredmények alapján a harmadfokú spline módszerek esetén jobban függ a kapott eredmény a kezd®pont

megválasztásától, mint a három faktoros Nelson-Siegel modellnél. A dinamikus elemzés során egy hosszabb id®szakra végeztem el minden napra vonatkozóan a hozamgörbe illesztését az R statisztikai programcsomag segítségével. Három módszert tekintettem, a harmadfokú spline-t, valamint a három faktoros Nelson-Siegel modellt rögzített és becsült exponenciális késleltetés paraméter mellett. A kapott bázisfüggvény súlyok és faktorok grakus elemzése során arra jutottam, hogy a rögzített λ paraméter¶ dinamikus Nelson-Siegel modell esetén kapunk további elemzésre alkalmas faktor id®sorokat. minden napra külön becsültem a dozást mutattak. λ A másik két esetben, f®leg, amikor paramétert, az id®sorok sokkal nagyobb inga- Ez alapján kijelenthetem, hogy a hozamgörbe el®rejelzéséhez a dinamikus Nelson-Siegel modell (Diebold és Li, 2006) használható. A dinamikus vizsgálat soron következ® lépéseként szükséges meghatározni

a megfelel® λ paramé- tert, illetve a három faktor id®soros alakulását leíró (vektor) autoregresszív folyamatot. Az elemzés további folytatására másik lehet®ség a faktorok dinamikájának és a hozamgörbe illesztésének együttes becslése is. A dolgozat megírása során célom volt a hozamgörbe modellezésének rendkívül széles módszertanának bemutatása. Ebb®l fakadóan nem volt lehetséges mindent teljes részletességében vizsgálni, azonban hiszem, hogy legalább egy kezdeti képet sikerült adnom. Reményeim szerint kell®képp felhívtam a gyelmet a módszertani kihívásokra, illetve a további elemzések szükségességére és irányára. A. függelék Programkódok 56 beolvasas papir=read.csv("dynDataCSVcsv", sep=";", dec=",", header=TRUE) beolvasas cf=read.csv("cfDataCSVcsv", sep=";", dec=",", header=TRUE) data <-list() class(data) <- "dyncouponbonds"

adatbazis elem <- function(date, pos){ data[[pos]] <<- list(HUNGARY=list(ISIN=as.vector(beolvasas papir$ISIN[beolvasas papir$TODAY==date]), MATURITYDATE=as.Date(beolvasas papir$MATURITYDATE[beolvasas papir$TODAY==date], format="%Y%m%d"), ISSUEDATE=as.Date(beolvasas papir$ISSUEDATE[beolvasas papir$TODAY==date], format="%Y%m%d"), COUPONRATE=as.vector(beolvasas papir$COUPONRATE[beolvasas papir$TODAY==date]), PRICE=as.vector(beolvasas papir$PRICE[beolvasas papir$TODAY==date]), ACCRUED=as.vector(beolvasas papir$ACCRUED[beolvasas papir$TODAY==date]), CASHFLOWS=list(), cf index<-logical(length(beolvasas cf$CFISIN)) for (i in c(1:length(data[[pos]]$HUNGARY$ISIN))) { cf index=cf index | (beolvasas cf$CFISIN==data[[pos]]$HUNGARY$ISIN[i] & as.vector(beolvasas cf$DATE)>=date)} data[[pos]]$HUNGARY$CASHFLOWS <<-list(ISIN=as.vector(beolvasas cf$CFISIN[cf index]), CF=as.vector(beolvasas cf$CF[cf index]), DATE=as.Date(beolvasas cf$DATE[cf index],

format="%Y%m%d")) class(data[[pos]]) <<- "couponbonds"} adatbazis <- function(date1,date2) { data <-list() A. FÜGGELÉK PROGRAMKÓDOK TODAY=as.Date(date, format="%Y%m%d"))) class(data) <- "dyncouponbonds" dates=vector() dates<-as.vector(unique(beolvasas papir$TODAY)[asvector(unique(beolvasas papir$TODAY))>=date1 & as.vector(unique(beolvasas papir$TODAY))<=date2]) for (i in 1:length(dates)) { adatbazis elem(dates[i],i)} return(data)} becsles<-function(type="cs", data=data input, bound=c(0,15)) { res<-list() group est<-"HUNGARY" matrange est<-c(bound[1],bound[2]) 57 if(type =="cs") { res[[i]]<-estim cs(data[[i]], group=group est, matrange=matrange est, rse = TRUE)}} else { for (i in 1:length(data)) { res[[i]]<-estim nss(data[[i]],group=group est, matrange=matrange est, method=type)}} return(res)} idosor beta ns<- function(result) { lambda ts<-data.frame()

row.names<-c() for (i in 1:length(data)) { row.names<-c(rownames,ascharacter(data[[i]]$HUNGARY$TODAY)) A. FÜGGELÉK PROGRAMKÓDOK for (i in 1:length(data)) { for (j in 1:4) { lambda ts[i,j]<- result[[i]]$opt result$HUNGARY$par[j]}} rownames(lambda ts)<-c(row.names) colnames(lambda ts)<-c("Beta1","Beta2","Beta3","Tau1") write.table(lambda ts, file="beta ns tstxt", sep=";", dec=",")} 58 Irodalomjegyzék ÁKK Zrt. Éves jelentés az államadósság kezelésér®l. http://akk.hu//kepek/ upload/2013/%C3%89VES%20JELENT%C3%89S%20-%20magyar-48.pdf, 2012. Le- töltve: 2014-04-21. N. Anderson és J Sleath New estimates of the uk real and nominal yield curves 2001. A. Ang és M Piazzesi A no-arbitrage vector autoregression of term structure dynamics with macroeconomic and latent variables Journal of Monetary economics, 50(4):745787, 2003. Bank for International Settlements (BIS). Zero-coupon

yield curves: Technical documentation BIS Papers, 25, 2005. Tomas Björk és Bent Jesper Christensen. forward rate curves. R. R Bliss Interest rate dynamics and consistent Mathematical Finance, 9(4):323348, 1999. Testing term structure estimation methods. Working Paper Series (Federal Reserve Bank of Atlanta), 96(12):142, 1996. D. J Bolder Ane term-structure models: Theory and implementation Working Paper 2001-15  Bank of Canada, 2001. D. J Bolder Modelling term-structure dynamics for risk management: A practitioners perspective Working Paper 2006-48  Bank of Canada, 2006 D. J Bolder és S Gusba Exponentials, polynomials, and fourier series: More yield curve modelling at the bank of canada. Working Paper 2002-29  Bank of Canada, 2002. D. J Bolder és S Liu Examining simple joint macroeconomic and term-structure models: A practitioners perspective. Working Paper 2007-49  Bank of Canada, 2007. 59 IRODALOMJEGYZÉK 60 D. J Bolder és T Rubin Optimization in a simulation

setting: Use of function approximation in debt strategy analysis Working Paper 2007-13  Bank of Canada, 2007. J. H E Christensen, F X Diebold és G D Rudebusch The ane arbitrage-free class of nelsonsiegel term structure models. Journal of Econometrics, 164(1): 420, 2011. J. C Cox, J E Ingersoll és S A Ross A theory of the term structure of interest rates. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 53(2):385407, 1985. Q. Dai és K J Singleton Specication analysis of ane term structure models. The Journal of Finance, 55(5):19431978, 2000. Danmarks Nationalbank. debt. Danish government borrowing and http://www.nationalbankendk/C1256BE9004F6416/side/ B91B80668274D0A6C125783F00379DA7/$file/SLOG-2010-UK-web.pdf, 2010. Letöltve: 2014-04-21. M. De Pooter Examining the nelson-siegel class of term structure models Tinbergen Institute Discussion Papers. Tinbergen Institute, 2007 F. X Diebold és C Li Forecasting the term structure of government bond yields

Journal of Econometrics, 130:337364, 2006. F. X Diebold, M Piazessi és G D Rudebusch Modeling bond yields in nance and macroeconomics. The American Economic Review, 95:415420, 2005. F. X Diebold, L Ji és C Li A three-factor yield curve model: non-ane structure, systematic risk sources and generalized duration. Long-run Growth and Short-run Stabilization: Essays in Memory of Albert Ando, pages 240274, 2006a. F. X Diebold, G D Rudebusch és S B Aruoba yield curve: a dynamic latent factor approach. The macroeconomy and the Journal of econometrics, 131(1): 309338, 2006b. G. R Duee Term premia and interest rate forecasts in ane models The Journal of Finance, 57(1):405443, 2002. E. F Fama és R R Bliss The information in long-maturity forward rates The American Economic Review, 77(4):680692, 1987. András,. Faragó és Róbert, Horváth 2013. Numerikus módszerek. Typotex, Budapest, IRODALOMJEGYZÉK 61 R. Ferstl és J Hayden Zero-coupon yield curve estimation

with the package termstrc Journal of Statistical Software, 36(1), 2010. M. Fischer, D Nychka és D Zervos Fitting the term structure of interest rates with smoothing splines. Federal Reserve System Working Paper No 95-1, 1995 D. Heath, R Jarrow és A Morton Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 60(1):77105, 1992. T. S Y Ho és S B Lee contingent claims. Term structure movements and pricing interest rate The Journal of Finance, 41(5):10111029, 1986. J. C Hull és A D White Numerical procedures for implementing term structure models i: Single-factor models. The Journal of Derivatives, 2(1):716, 1994a. J. C Hull és A D White Numerical procedures for implementing term structure models ii: Two-factor models. The Journal of Derivatives, 2(2):3748, 1994b. S. Hurn, Kh Lindsay és V Pavlov Smooth estimation of yield curves by laguerre functions. 2005 Szabolcs

András, Kopányi. A hozamgörbe dinamikus becslése. Ph.d értekezés, Budapesti Corvinus Egyetem, 2009. Erzsébet, Kovács. Pénzügyi adatok statisztikai elemzése. Tanszék Kft., Budapest, 2011. R. B Litterman és J Scheinkman Common factors aecting bond returns The Journal of Fixed Income, 1(1):5461, 1991. Tamás, Makara. A hozamgörbe becslése spline módszerrel. Nemzetközi Bankárképz® Központ, Budapest, 1998. Tamás, Makara. A hozamgörbe mérése Egyetemi Tanulmány (BCE), 2013 J. H McCulloch The tax-adjusted yield curve. The Journal of Finance, 30(3): 811830, 1975. J.H McCulloch Measuring the term structure of interest rates Journal of Business, 44(1):19, 1971. Péter, Medvegyev és János, Száz. A meglepetések jellege a pénzügyi piacokon. zetközi Bankárképz® Központ, Budapest, 2010. Nem- IRODALOMJEGYZÉK 62 R. C Merton Theory of rational option pricing Bell Journal of Economics, 4(1): 141183, 1973. C. R Nelson és A F Siegel

Parsimonious modeling of yield curves The Journal of Business, 60(4):473489, 1987. Zoltán, Reppa. A joint macroeconomic-yield curve model for hungary MNB Working Papers 2009/1, 2009 B. ’opov és J Seidler Yield curve dynamics: Regional common factor modell. Prague Economic Papers, 2:141, 2011. L. E O Svensson Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden 19921994. NBER Working Paper Series No 4871, 1994 O. A Vasicek An equilibrium characterization of the term structure Journal of nancial economics, 5(2):177188, 1977. O. A Vasicek és H G Fong Term structure modeling using exponential splines The Journal of Finance, 37(2):339348, 1981. Y. Yu Modeling a two-currency ane arbitrage-free nelson-siegel tem structure model. Masters thesis, National University of Ireland, 05 2012