Matematika | Logika » Nagy-Nagy - Logika a műszaki és a gazdasági életben

SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM SZEGEDI ÉLELMISZERIPARI FŐISKOLAI KAR LOGIKA A MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGI ÉLETBEN (E-tankönyv) Készült az Oktatási Minisztérium OM KFP 48/2002-2003 programfejlesztési pályázatának támogatásával. Írta: Nagy Elemér, Nagy Elemérné dr. 2003. 2 TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1. AZ EMBERI GONDOLKODÁS JELLEMZŐ FOLYAMATAI 1.1 Elemző és intuitív gondolkodás 1.2 Konstruktív és reproduktív gondolkodás 1.3 A "reál" és a "humán" gondolkodás 1.4 Összegzés 2. ARISZTOTELÉSZ "KLASSZIKUS" LOGIKÁJA 2.1 Ítéletek, logikai műveletek 2.2 Egyváltozós logikai műveletek 2.3 Kétváltozós logikai műveletek 2.4 A logikai kifejezés és az azonosság fogalma 2.5 A három alapművelet kiemelt azonosságai 2.6 További logikai műveletek és fontosabb azonosságaik 2.7 Diszjunktív normálformák 2.8 A logikai műveletek és a Venn-diagrammok kapcsolata 3. A KLASSZIKUS LOGIKA ALKALMAZÁSAI A MŰSZAKI ÉS A

GAZDASÁGI ÉLETBEN 3.1 A logikai műveletek áramköri megfelelői 3.2 A logikai műveletek nyelvi megfelelői 4. AZ ÍTÉLETKALKULUS "KÖVETKEZMÉNY" FOGALMA 4.1 Az alkalmazható módszerek 4.2 A "teljesség" 4.3 Az "ellentmondás-mentesség" 4.4 Az „automatikus” rendszerek 4.5 Logikai "bukfencek" (antinómiák) 3 5. A TULAJDONSÁGOK LOGIKÁJA 5.1 Egyváltozós predikátumok és a kvantorok 5.2 a kvantorok tagadási szabályai 5.3 a kvantorok „megfelelői” véges esetben 5.4 A „reláció-tulajdonságok” 6. A TÁRGYALÁSI LOGIKA 7. GYAKORLÓ FELADATOK 7.1 További gyakorló feladatok 4 Megtanulni valamit annyit jelent, hogy tudjuk alkalmazni a gyakorlatban (ismeretlen szerző) BEVEZETÉS A tárgy az emberi gondolkodás általános (közös) és speciális szabályaival foglalkozik, illetve ezek alkalmazásával, buktatóival a műszaki és gazdasági életben. Tekintettel arra, hogy a menedzselési és irányítási

feladatokban nagyon nagy szerepe van a kommunikációnak, ami mindenekelőtt egymás gondolkodásának követését és a közös megoldások keresését jelenti, fontosnak tartjuk, hogy a majdani vezetők kellő jártasságra tegyenek szert e területen is. Az emberi gondolkodás jellemzőivel, komponenseivel az 1. részben foglalkozunk A 2. és 4 rész az itéletkalkuls alapjait és a következmény fogalmat tartalmazza A 3 rész néhány alkalmazási területet tekint át. A 4 részben találjuk a tulajdonságok logikáját az 5 rész a tulajdonságok logikájával, vagy „reláció-tulajdonságokkal” foglalkozik. A 6 rész a tárgyalásokon követhető logikát elemezi, a 7. részben további gyakorló feladatokat találhatunk. A formális eszközök a "Logika" fegyvertárából származnak, amelyeket kiegészítünk azokkal az utalásokkal, hogy a "száraz formalizmus" hogyan kapcsolódik össze a gyakorlati feladatokkal. Egy Descartesnek tulajdonított

szállóige szerint: "A formális eszközök nem azért vannak, hogy napi 24 órában hasogassuk a szőrszálat, de azért tudnunk kell, hogy hogyan hasad a szőrszál." Ez a tárgy abban próbál segítséget nyújtani, hogy megfelelő gondolkodásmóddal a kihívások feltárhatók és elemezhetők. A segédlet terjedelme nem nagy, de tartalma tömény. A benne foglaltak elsajátítása feltételezi, hogy időnként végiggondoljuk az eddigieket, s egyes mondatoknál célszerű elgondolkodni a tartalmán. A gyakorló feladatok – lehetőleg önálló - megoldását mindenképp szükségesnek tartjuk. 5 1. AZ EMBERI GONDOLKODÁS JELLEMZŐ FOLYAMATAI Az emberi gondolkodás az ismert világ egyik legbonyolultabb rendszere. Két tényező még tovább nehezíti a helyzetet. 1) A későbbiekben említett ellentétes folyamatok párhuzamosan jelen vannak, de az egyes személyeknél eltérő mértékben. 2) Szinte mindenki meg van győződve arról, hogy az ő

gondolkodása a "normális és közös" s ha valakinél ezzel ellentétest tapasztal, akkor azt negatíve minősíti. 1.1 Elemző és intuitív gondolkodás Az elemző gondolkodás lényege a jelenségek és a részletek tanulmányozása, a részletek "összerakása" egy egységes egésszé. Az intuitív gondolkodás lényege a pillanatnyi - általában - "hirtelen" ötlet. Mindkettő lehet eredményes, de hibás is Az intuitívitásnak fontos szerepe van, illetve lehet a jó reklámok készítésében (amire "felkapják a fejüket"), míg pl. egy felmérő kérdőív vagy egy szerződés feltételeinek kidolgozásában az elemző gondolkodás kerül előtérbe. 1.2 Konstruktív és reproduktív gondolkodás A konstruktív gondolkodás mindig új megoldást keres, kétszer ugyanazt nem szívesen alkalmazza. A reproduktív szemlélet alapelve: "ha már eddig jó volt, akkor most is jó lesz" Itt is elmondhatjuk, hogy mindkettő lehet

eredményes, de hibás is. A konstruktív gondolkodásnak fontos szerepe van az újabb, változó (pl. technológiai, gazdasági) feltételekhez való alkalmazkodásban, míg a reproduktív abban segít, hogy "már ismert feladatokat minél kisebb ráfordítással oldjuk meg". Példaként az alábbiakat említjük: - a szerződésmintákat bevisszük a szövegszerkesztőbe és "csak aktualizáljuk", ha új szerződést kell kötni; Michelangelo széklábat farag. 1.3 "Reál" és "humán" gondolkodás A reál gondolkodás a természettudományos alapokat helyezi előtérbe, a humán az emberi szellemben, fantáziában és érzelmekben, "ráérzésekben" hisz. A reálisan gondolkodók élete általában szegényesebb, mert kevesebb az érzelem és a fantázia, ugyanakkor megvan az a "kárpótlás" a humán társakkal szemben, hogy: "emlékszel, hogy milyen büszke voltál arra, hogy mennyire nem tudod a fizikát

(matematikát)?" 6 1.4 Összegzés A fenti gondolkodási folyamatok egy személy számára részben adottságok, részben fejleszthetők. Mindazonáltal célszerűnek tartjuk, ha minden jövendő vezető tisztában van azzal, hogy ő személy szerint miben erős és miben gyenge. A gondolkodási folyamatok elemzésében a továbbiakban az arisztotelészi logika mint az emberi "kultúr"-gondolkodás közös, általános szabályai adják a vezérfonalat, utalva ennek aktualitására a gyakorlati feladatok eredményes ellátásában. A gazdasági életben a legfontosabb kommunikációs terület a "közös megoldások" avagy a "kölcsönösen előnyös lehetőségek" megtalálása. A két tárgyaló fél érdekei általában ellentétesek. (az egyik fél minél olcsóbban akar minél több "ellenértéket" kapni, a mások fél minél kevesebb ráfordítással minél több árbevételt szeretne nyerni - tehát "versenyhelyzet"

van). A kompromisszumhoz az érintett felek között "gondolati együttműködést" kell kialakítani, amelynek egyik alapja lehet a "tiszta" kommunikácó és a közös megoldások keresése (az a jó, ha mindkét fél "elégedetten áll fel az asztaltól" - még akkor is, ha "átdobták" egymást). Ennek egyik feltétele "egymás kölcsönös tisztelete" (pl ahogy Fortinbras tisztelte Hamlet-et). Fontosnak tartjuk megemlíteni még azt is, hogy a "kultúrált" gondolkodás, viselkedés, kommunikáció általános és speciális szabályrendszere (időben és "földrajzi kultúrákban”) eltérő lehet. 7 2. ARISZTOTELÉSZ LOGIKÁJA A "logika" szóhoz kétféle érzelmi kapcsolat fűzhet. Jelenthet pozitív értelemben egy "kiszámítható következetességet", de negatív értelemben egy "érzelemmentes ridegséget" is. A szót általában akkor értelmezzük pozitíve, ha erényként

említi tárgyaló partnerünk (pl. "hát, ez nagyon logikusan hangzik"). Nem tetszik viszont akkor, ha partnerünk visszaél vele (pl "ne ragaszkodj már ennyire a logikához"). A logika a nyelvi kommunikációban is megjelenik, de a nyelvi szabályok nem mindenhol felelnek meg a logikai szabályoknak. A magyar nyelv különösen érdekes ilyen szempontból Az arisztotelészi logikát nevezik klasszikus" logikának is. 2.1 Itéletek, logikai műveletek Az "ítélet" olyan állítás, amelyhez az igaz és a hamis értékek közül - minden időpillanatban pontosan az egyik tartozik. Az ítéletek csoportosítása. - Egyszerű ítélet: olyan ítélet, amelyben nem szerepelnek logikai műveletek - általában a nyelv egyszerű, kijelentő mondataiként jelennek meg (pl. "Ma csütörtök van") - Összetett ítélet: több ítélet kapcsolatára vonatkozó állítás - általában a nyelv összetett, kijelentő mondataiként jelennek meg (pl.

"Ha háromig megcsinálom a leckémet és elintézem a bevásárlást, akkor elmegyek a délutáni megbeszélésre.") Az összetett ítéletekben a logikai műveleteket a nyelvi kapcsolatok, kötőszavak (pl. és, vagy, ha akkor, nem stb.) képviselik Az ítéleteket az angol ábécé nagybetűivel jelöljük (A,B, . P,Q,R) Speciális ítéletek: - mindig (azonosan) igaz, mindig (azonosan) hamis; az egyszerű ítéletek körében nehéz ilyet találni, az összetett ítéletek körében könnyű konstruálni. A logikai műveletekkel az egyszerű ítéletekből összetett ítéleteket alkothatunk. Az összetett ítéletekben szereplő egyszerű ítéleteket (mivel igazságtartalmuk a feltételektől függően változhat) "logikai változó"-nak is nevezik. (Természetesen az összetett ítéletek között is alkalmazhatunk további logikai műveleteket.) A logikai műveletek fő jellemzői: - a változók (ítéletek) száma (egy-kettő) - a művelet

"értéktáblázata" 8 2.2 Egyváltozós műveletek Az egyváltozós logikai műveletekből 4 db van. Negáció H I Itélet (A) I H Idempotencia I H Azonosan I I I Azonosan H H H A fentiek szerint tehát a negáció olyan egyváltozós logikai müvelet, amelynek az értéktáblázata a fenti (hasonlóképp fogalmazható meg a másik három művelet esetére is). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a korrekt meghatározásoknak, definicióknak van egy szokásos szerkezetük. Amikor egy fogalmat akarunk meghatározni, általában a "fogalom olyan szuperfogalom amely .(specifikumok) szerkezetet követjük Az egyváltozós műveletek közül kiemelten fontos a negáció. Az "érdekes" műveleti tulajdonságok mellett azért is, mert az emberi kapcsolatok, kommunikáció általában a pozitív feltételezésekre épül. A negáció - mint logikai művelet - képviseli azt a lehetőséget, hogy azt is végiggondoljuk, hogy mi lesz, ha valami (vagy éppen

minden) másként alakul. A negáció "igazi tagadás", abban az értelemben hogy több alternatív lehetőség közül nem egy másik választása, hanem a többi kizárása. Például annak, hogy "a tábla fehér" nem az a negáltja, hogy "a tábla fekete", hanem az, hogy "a tábla nem fehér" (mert lehet például zöld is). 2.3 Kétváltozós logikai műveletek A kétváltozós logikai műveletekből - könnyű kiszámítani - elvileg 16 van, de ezek nem mind egyformán fontosak, illetve jelentősek a nyelvi kapcsolatok szemontjából. Két logikai változó (A,B) logikai érték-kombinációihoz megadott bármely igazságtáblázat egy-egy kétváltozós logikai műveletet definiál. A I I H H B I H I H Műveletek I I I . I I I . I I H. I H I . H H H H A "kitüntetett" kétváltozós logikai műveletek az alábbiak. A B Konjunkció Diszjunkció I I I I I H H I H I H I H H H H 9 A konjunkciónak a nyelvben a helyesen

használt "és" kötöszó felel meg, a műszaki életben a "soros kapcsolás". Jelölése: & esetleg ^ Nyelvi példaként említjük, hogy mikor igaz a kijelentés, hogy „megtanultam a leckét és elmosogattam”. A diszjunkciónak a nyelvben "megengedő vagy" kötöszó felel meg, a műszaki életben a "párhuzamos kapcsolás". Jelölése: v Nyelvi példaként említjük, hogy mikor igaz a kijelentés, hogy „megtanultam a leckét vagy elmosogattam”. A negáció, a konjunkció és a diszjunkció kapcsolatát a 2.5 részben részletezzük További fontos kétváltozós logikai műveletek, amelyeknek nyelvi kapcsolata van. A I I H H B I H I H Antivalencia H I I H Ekvivalencia I H H I Implikáció I H I I Shiffer H I I I Az antivalenciának a nyelvben "kizáró vagy" (vagy-vagy) felel meg, ami arra utal, hogy a kettő közül pontosan az egyik. Jelölése: ↔ Az ekvivalenciát és az implikációt a magyar köznyelv nem

különbözteti meg igazán, mindkettőre a "ha . akkor " alakot használja, a másik fél intellektusára bízva, hogy melyik logikai műveletre vonatkozott. Az ekvivalenciának megfelelő "akkor és csak akkor" alak főként a matematikában terjedt el. Ez részletesebben a 26 részben tekintjük át Az ekvivalencia jelölése: ≡, az implikációé: . Említést érdemel a Shiffer művelet, amely azt fejezi ki, hogy két dolgot együtt nem lehet művelni. Lehet az egyik (de akkor a másik nem) vagy lehet a másik (de akkor az egyik nem), vagy lehet, hogy egyik sem. Klasszikus példa az a szlogen, hogy "az ember vagy iszik, vagy vezet". 2.4 Azonosság, logikai kifejezés Az azonosság olyan kapcsolat (reláció) két logikai kifejezés között, amely akkor áll fenn, ha a két logikai kifejezés értéktáblázata megegyezik. (A kifejezésekben szereplő logikai változók azonos igazságértékei esetén a kifejezések igazságértéke megegyezik.)

Jelölése: = = A logikai kifejezés olyan formula, amely: - logikai konstansokból, (I,H), - logikai változókból (itéletekből), - logikai műveletekből, - zárójelpárokból , - és "kvantorok"-ból (lásd később) épül fel. 10 2.5 A három alapművelet azonosságai A logikai (alap)műveletek körében kiemeltük a negációt, konjunkciót és a diszjunkciót. Ebben a részben e három művelet azonosságaival foglalkozunk. Az itéleteket (logikai változókat) a P,Q,R betűk, a logikai alapértékeket (igaz, hamis) az I,H betűk jelölik. 1) P = = P Egy ítélet kétszeri tagadása (a tagadás tagadása) azonos önmagával. Temészetesen csak akkor hisszük el, ha elkészítjük az értéktáblázatot. P P I H H I = P I H 2) P & Q = = Q & P A konjunkció kommutativ (felcserélhetőség). P I I H H Q I H I H A többi értéktáblázat elkészítését a hallgatókra bízzuk. 3) (P&Q)&R = = P&(Q&R) A konjunkció zárójelezhető

("asszociativitás"): 4) P & P = = P "Elnyelési" tulajdonság. 5) P v Q = = Q v P A diszjunkció kommutativ (felcserélhetőség). 6) (P v Q) v R = = P v (Q v R) A diszjunkció zárójelezhető ("asszociativitás"): 7) P v P = = P P&Q I H H H Q&P I H H H 11 "Elnyelési" tulajdonság. 8) 9) P & (Q v R) = = (P & Q) v (P & R) P v (Q & R) = = (P v Q) & (P v R) A konjunkció és a diszjunkció kapcsolata: kétoldali kibonthatóság ("disztributivitás"): Kapcsolat a logikai konstansokkal (I,H): 10) P & I = = P 11) P & H = = H 12) P v H = = P 13) P v I = = I A negáció következményei: 14) P & P = = H 15) P v P = = I 16) P & (Q v Q ) = = P 17) P v (Q & Q ) = = P A konjunkció és a diszjunkció kapcsolata (elnyelés): 18) P & (P v Q) = = P 19) P v (P & Q) = = P A "de Morgan" azonosságok: 20) P& Q = = P v Q 21) PvQ = = P & Q A "de Morgan"

azonosságok általánosítása: 22) P1 & P2 & P3 == P1 v P2 v P3 23) P1 v P2 v P3 == P1 & P2 & P3 2.6 A további kiemelendő azonosságok Az implikáció a természetes nyelvi "ha . akkor " kapcsolathoz hasonló logikai művelet (I,H,I,I igazságtáblázattal), azaz egy P Q implikáció logikai értéke akkor és csak akkor hamis, ha az előtag (P) igaz, de az utótag (Q) hamis. Az igazságtáblázatok elkészítésével beláthatjuk, hogy a "P Q" azonos " P v Q"-val és P& Q -vel. 24) P Q = = P v Q 25) P Q = = P & Q 12 Az implikáció tehát az itéletkalkulusban "nélkülözhető" logikai művelet, mivel visszavezethető az alapműveletekre (negáció, konjunkció, diszjunkció). A nyelvi szerepe mégis "kritikus" lehet pl. "és ha nem" jellegű következtetések Megfordítva, a diszjunkció és a konjunkció is visszavezethető a negációra és az implikációra: 26) P v Q = = P Q 27) P

& Q = = P Q Az implikáció néhány további fontos azonossági szabálya. 28) ((P Q) & (Q R)) (P R) = = I (lánckövetkeztetés) 29) P (Q R) = = (P & Q) R 30) P Q = = Q P (kontrapozició) Az implikáció (következtetés) művelet nem keverendő a "logikai következmény" fogalommal (lásd 4. rész) !!! Az ekvivalencia természetes nyelvi "ez ugyanazt jelenti", "másszóval", "akkor és csak akkor". kapcsolathoz hasonló logikai művelet (I,H,H,I igazságtáblázattal). Azaz egy P=Q ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha P és Q logikai értékei megegyeznek, egyébként hamis. Az ekvivalencia néhány fontos azonossági szabálya. 31) P≡Q = = Q≡P (Ha két itélet ekvivalens, akkor a sorrendjük közömbös.) 32) P≡Q & Q≡R = = P≡R (Ha két itélethez találunk egy harmadik, mindkettővel ekvivalens itéletet, akkor az eredeti kettő is ekvivalens.) 33) P≡Q = = (P Q) & (Q P) (Ha két itélet

ekvivalens, akkor "kölcsönösen implikálják egymást".) Az ekvivalencia visszavezetése a logikai alapműveletekre. 34) P≡Q = = (P & Q) v ( P & Q ) 13 vagy: 35) P≡Q = = P& Q & Q & P 36) P≡Q = = PvQ v Q v P (Az utóbbi két esetben a jobboldalon a negáció mellett vagy csak a konjunkció, vagy csak a diszjunkció szerepel.) 2.7 Diszjunktív normálforma A fentiekből is látjuk, hogy a logikai kifejezések között olyanok is azonosak lehetnek, amelyeknek a megjelenési formája eléggé eltérő. Ez hasonló a matematikában ahhoz, hogy ugyanazt a számértéket több különböző módon tudjuk megadni, pl. 4, 2+2, 8/2 stb A logikai kifejezések között kitüntetett szerepe van a diszjunktív normálformának. Minden logikai kifejezéshez tartozik egy diszjunktív normálforma, s amennyiben két kifejezés diszjunktív normálformája megegyezik, akkor a két kifejezés azonos, ha pedig eltérő, akkor nem azonos. A diszjunktív

normálforma olyan logikai kifejezés, amelyben csak diszjunkció, konjunkció és negáció szerepel, továbbá: - a tagokat diszjunkció kapcsolja össze, - a tagok tényezőit a konjunkció kapcsolja össze, - egy tényező logikai konstans, egy ítélet vagy a negáltja lehet. Pl. a 34) azonosság az ekvivalencia diszjunktív normálformáját mutatja A diszjunktív normálforma meghatározható azonosságok ("azonos átalakítások") felhasználásával vagy értéktáblázat segítségével. Például : P ↔Q = P & Q V P & Q (formális átalakítás). Értéktáblázattal: P Q P ↔Q I I H I H I H I I H H H Itt két sorban szerepel igaz, ahol P igaz és Q hamis, valamint ha P hamis és Q igaz. P &Q v P &Q 2.8 A logikai műveletek és a Venn-diagrammok kapcsolata A halmazokkal kapcsolatban ismert Venn-diagrammok is segíthetnek a logikai kifejezések értelmezésében. Az alapvető kapcsolatok az alábbiak: - negáció komplementálás - konjunkció

metszet-képzés - diszjunkció egyesítés Természetesen a többi kétváltozós logikai művelet Venn-diagrammja is elkészíthető. Több változó esetén már "térbeli" Venn-diagrammra lenne szükség. 14 A Venn diagrammoknál a „teljes teret” téglalappal, a logikai változókat oválisokkal, igazságértékeiket satírozással ábrázoljuk. Ennek megfelelően egy változónál: A A 15 Kétváltozós alapműveleteknél Konjunkció Diszjunkció: 3. 3.1 A logikai műveletek áramköri megfelelői Az elektronikai kapcsolatokban is gyakran megjelennek a logikai alapműveletek. A fogyasztók soros kapcsolása a konjukció logikai műveletének felel meg. Bármely fogyasztó kiesése esetén az áramkör nem fog működni. Gyakori eset, hogy a transzformátor nélküli karácsonyfa-izzókészlet egyetlen fogyasztó kiesése (kiégés, kilazulás) esetén már nem működik. A műszaki életben gyakori, ogy az I-t 1-gyel, a H-t 0- val jelöljük.

Emlékeztetésképp az igazságtábla: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A&B 0 0 0 1 16 Áramkörökkel ábrázolva: - amikor a változó kapcsolót jelent: Pályázatoknál, ha valamelyik komponens (pl. B/5/3) hiányzik, az elbíráló jogosan dobja vissza. A párhuzamos kapcsolás a diszjunkciónak felel meg. Egy fogyasztó kiesése esetén a többiek üzemképesek maradnak, az áramkör többi része is működni fog. A párhuzamos kapcsolás „kapcsolókkal” is ábrázolhatók Emlékeztetésképp az igazságtábla: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AvB 0 1 1 1 17 Kapcsolók esetén: A többi logikai alapművelet is ábrázolható (nem könnyen) áramköri interpretációval. 3.2 A logikai műveletek nyelvi megfelelői Mint korábban említettük, a logika és a nyelv – mint kommunikációs eszköz – kapcsolata részben szoros, részben „laza”. A konjukciónak a helyesen használt „és” kötőszó felel meg, de más nyelvi formulákkal is helyettesíthetők. Például,

„Becsöngettek és elkezdődött az óra”, ugyanazt jelenti, mint „Becsöngettek, majd elkezdődött az óra”. A „vagy” kötőszó a természetes, köznapi nyelvben egyformán jelenthet diszjunkciót, anti antivalencia vagy Schiffer műveletet (mellesleg a létige egyik formája is lehet). Példák: Lecsót vagy műzlit vacsorázok. (Lecsót, műzlit vagy mindkettőt.) Vagy lecsót vagy műzlit vacsorázok. (A kettő közül az egyiket.) Lecsót vagy műzlit vacsorázok (ha addig ébren maradok) (A kettő közül egyiket, vagy egyiket sem) Az implikációt és az ekvivalanciát a köznyelv nem igazán különbözteti meg. Ha „Józsi bácsi” azt mondja az „asszonynak”, hogy „holnap kimegyek a földbe kapálni, ha jó, idő lesz” (implikáció) arra gondol „akkor és csak akkor megy ki a földbe kapálni, ha jó idő lesz (ekvivalencia). 18 4. AZ ÍTÉLETKALKULUS KÖVETKEZMÉNYFOGALMA Egy Y ítélet akkor és csak akkor következménye az X1,X2,.,Xn

ítéleteknek, ha (X1&X2&.&Xn) Y = = I (azaz az (X1&X2&.&Xn) Y összetett ítélet azonosan igaz) Az X1,X2,.,Xn-et premisszáknak (következménynek) nevezzük. (előrebocsátásoknak) az Y-t konklúziónak A következmény tehát egy kapcsolatot jelent a logikai kifejezések (egyszerű vagy összetett ítéletek) között, amely vagy fennál, vagy nem. A fenti meghatározás alapján adódik egy eljárás, amellyel a következmény jól kezelhető (ha nincs jobb ötletünk). Határozzuk meg az összes, X1,X2,.,Xn és Y-ban előforduló elemi ítéleteket (a bennük előforduló összes különböző logikai változókat), legyenek ezek P1,P2,.,Pm Ha elkészítjük X1,X2,.,Xn és Y együttes értéktáblázatát a P1,P2,,Pm összes igaz/hamis értékkombinációi szerint, akkor csak azok a sorok "érdekesek", ahol az X-ek mind igazak, de az Y hamis. Ha nincs ilyen sor az értéktáblázatban, akkor Y következménye az X-eknek, ha van ilyen sor,

akkor nem következménye. Megfordítva tehát az Y akkor (és csak akkor) nem következménye X1,X2,.,Xn -nek, ha van olyan sora az értéktáblázatnak, amelyben X1=X2=.=Xn=I de az Y=H Példa. X1 : Ha esik az eső, akkor vizes a járda. X2 : Esik az eső. Y : Vizes a járda. P1 : Esik az eső. P2: Vizes a járda. X1: P1 P2 X2 : P1 Y: P2 Az értéktáblázat: P1 I I H H P2 I H I H X1 I H I I X2 I I H H Y I H I H 19 Az X1 és X2 együtt csak az első sorban I, itt Y is I; azaz nincs olyan sor, ahol X1=I és X2=I de Y=H, tehát Y következménye az X1,X2-nek. A fenti példa látszólag "semmitmondó", mert mindenki tudja. 4.2 A „teljesség” Kalmár László példája érdekesebb. X1: x valós szám X2: x nem nulla X3: x nem negatív --------------------------Y: x pozitív P1: P2: P3: P4: x valós szám x nulla x negatív x pozitív X1: X2: X3: Y: P1 P2 P3 P4 H a elkészítjük az értéktáblázatot, akkor azt tapasztaljuk, hogy az Y nem következménye az

X1, X2, X3-nak. X2 X3 Y P1 P2 P3 P4 X1 I I I I I H H I I I I H I H H H I I H I I H I I I I H H I H I H I H I I I I H I I H I H I I H H I H H I I I I I I H H H I I I H H I I I H H H I H I I H H H H H H I H I H H I I H I H H H H I H H H I I H I H I H H I H H I H H H H H I H I I I H H H H H I I H Igaz, hogy van olyan sor, ahol mindhárom X igaz és Y is igaz, de van olyan sor is, ahol mindhárom X igaz, de Y hamis. Tehát nem következmény 20 Ez látszólag ellentmondás, de csak látszólag, mert implicite feltételeztük, hogy ha x valós szám, akkor x vagy negatív, vagy nulla, vagy pozitív, de ezt premisszaként nem fogalmaztuk meg. X4: P1 (P2↔P3↔P4) Ha az X4-et is figyelembe vesszük, akkor következmény lesz. 4.3 Az „ellentmondás-mentesség” Ha X1,X2,.,Xn a premisszák olyan halmaza, hogy nincs olyan értékkombinációja a P1,P2,.,Pm-nek, amelyre X1&X2&&Xn=I teljesülne, akkor minden lehetséges (Y) ítélet következménye az X1,X2,.,Xn

előrebocsátásoknak ("Ellentmondó premisszákból bármi következhet.") Pl. X1 : Ma kedd van X2 : Ma nem kedd van. Y : Esik az eső. 1 Y : Nem esik az eső P1 : Ma kedd van. P2 : Esik az eső. X1 : P1 X2 : P1 Y : P2 1: Y P2 Értéktáblázat: P1 I I H H P2 I H I H X1 I I H H X2 H H I I Y I H I H Y1 H I H I Az X1 és X2 együtt sehol sem I; azaz nincs olyan sor, ahol X1=I és X2=I de Y=H, tehát Y is és annak negáltja is következménye az X1,X2-nek. Megjegyzés: Az implikációnál tanult P (Q R) = = (P & Q) R összefüggés alapján az (X1&X2&.&Xn) Y = = I ugyanazt jelenti, mint az X1 (X2 ( (Xn Y))) = = I. 21 4.4 Az "axiomatikus" rendszerek Az axiómák a premisszák. Az axiómáknak ellentmondásmentes rendszert kell alkotni (különben bármi következhet belőlük). A rendszer "tételei" azok az "Y" itéletek, amelyek következményei a premisszáknak, azaz az axiomáknak. A gazdasági életben a

szerződések egy-egy axiomatikus rendszert alkotnak. A szerződés pontjai (feltételek és retorziók) alkotják az axiómákat, a később bekövetkező helyzetek a különböző Y-ok. Csak akkor lehet egyértelműen eldönteni, hogy adott Y helyzetben mi a teendő, ha az axiómák rendszere teljes és ellentmondásmentes. 4.5 Logikai „bukfencek” (antinómiák) Ezek olyan ítéletek, amelyek általában „látszólag” egyaránt lehetnek igazak és hamisak. A klasszikus példákat e téren is a görögök követték el, de az ilyen jellegű feladatok azóta is foglalkoztatják a logikát kedvelőket. Példakánt Zenon egyik gondolatvezetését említjük. A kérdés feltevés az, hogy: „lehetséges-e a mozgás”. A gyakorlatias válasz az, hogy „természetesen”, hiszen állandóan tapasztaljuk. Zenon ad egy „eleméleti megfontolást” arra, hogy nem lehetséges. Egy ”A” pontból el akarunk jutni a „B”-be. Ehhez meg kell tenni előbb az „A” és „B”

közötti távolság felét, ehhez viszont a fél távolság felét, majd annak a felét és így tovább, tehát végül is nem tudunk kimozdulni az „A” pontból. Természetesen itt az „elméleti megfontolásban” van a hiba. 22 5. A TULAJDONSÁGOK LOGIKÁJA A kiindulás az, hogy ha S nemüres "alap" halmaz, akkor a halmaz elemei rendelkezhetnek (vagy sem) egyes p,q,r . tulajdonságokkal (jellemzőkkel) A tulajdonságokat prédikátumoknak is nevezik. Ezt kétféleképp értelmezhetjük egy-egy p tulajdonságra: - van egy függvényünk, amely egy S - <I,H> leképezés; - az S két részhalmazra (S1, S2) osztható: = az S1-be tartozók rendelkeznek a p tulajdonsággal, = az S2-be tartozók nem rendelkeznek a p tulajdonsággal. és = S1 ∪ S2 egyenlő: S = S1 ∩ S2 egyenlő: üres. Tehát itt csak olyan tulajdonságokkal foglalkozunk, amelyek egyértelműek abban az értelemben, hogy minden elemről eldönthető, hogy vagy megvan ez a tulajdonsága, vagy

nincs. Pl "ez a villanykörte kiégett" Itt nem tekintjük "tulajdonság"-nak a nem egyértelműen eldönthető jellemzőket (pl. "ez a csavarhúzó drága") Fentiek szerint: - minden p tulajdonság esetén az S alap-halmaz két részre osztható: = az Sp-be tartoznak azok az elemek, amelyek rendelkeznek a p tulajdonsággal (p(s) = I ) = az S p -be tartoznak azok az elemek, amelyek nem rendelkeznek a p tulajdonsággal (p(s) = H) 5.1 Egyváltozós prédikátumok és a kvantorok Kétféle kvantort használunk, az általános (jele: ∀ ) és az egzisztenciális (jele: ∃ ) kvantort. Általános: egy csoport (halmaz, populáció) minden elemére érvényes, hogy . jelölés: ∀ s ∈ S : p(s) = I a nyelvi megfogalmazás: minden, bármely, tetszőleges. Például: „Minden reggel felkel a nap.” Itt: S: a reggelek halmaza, s: az ez egyes reggelek p(s) = I, ha s nap reggel felkel a nap p(s) = H, ha s napon nem kel fel a nap Egzisztenciális: egy

csoportnak (halmaz, populáció) van olyan eleme, amelyre érvényes, hogy: . 23 jelölés: ∃ s ∈ S : p(s) = I nyelvi megfogalmazás: van olyan, létezik, némelyikre érvényes. Páldául: „Vannak olyan téli napok, amikor havazik”. Itt: S: a téli napok halmaza s: az egyes téli napok p(s) = I, ha az s napon havazik p(s) = H, ha az s napon nem havazik. Egy prédikátum egy konkrét elemre alkalmazva tehát ítélet. Kvantorokkal további itéleteket képezhetünk. ∀ s ∈ S : p(s) = I Pl. vagy: ∃ s ∈ S : p(s) = I egy-egy itélet, ami vagy igaz, vagy hamis. 5.2 A kvantorok tagadási szabályai A kvantorok is tagadhatók, és a negáció fontos kapcsolatot létesít a két kvantor között. ∀s ∈ S : p( s) = I = = ∃s ∈ S : p(s)=H Nyelvi példa: „Ha nem igaz, hogy minden autó piros, akkor létezik olyan autó, amelyik nem piros.” ∀s ∈ S : p( s) = H = =∃s ∈ S : p(s)=I Nyelvi példa: „ Ha nem igaz, hogy minden autó nem piros, akkor létezik

olyan autó, amelyik piros.” ∃s ∈ S : p( s) = I = = ∀s ∈ S : p(s)=H Nyelvi példa: „Ha nem igaz, hogy létezik olyan autó, amely piros, akkor minden autó nem piros (egetlen autó sem piros).” ∃s ∈ S : p( s) = H = = ∀s ∈ S : p(s)=I Nyelvi példa: „Ha nem igaz, hogy létezik olyan autó, amely nem piros, akkor minden autó piros.” 24 5.3 A kvantorok "megfelelői" véges esetben Ha S véges (s1,s2,.,sn,) akkor az általános kvantor a konjunkciónak felel meg ∀ s ∈ S : p(s) = I = = p(s1) & p(s2) & . & p(sn) = I Ha S véges (s1,s2,.,sn,) akkor az egzisztenciális kvantor a diszjunkciónak felel meg ∃ s ∈ S : p(s) =I = = p(s1) v p(s2) v . v p(sn) = I 5.4 A "reláció-tulajdonságok" A reláció-tulajdonság azt jelenti, hogy az S alaphalmaz elemei nem önmagukban rendelkeznek egy tulajdonsággal, hanem a tulajdonság néhány (pl. 2 vagy 3) elem "kölcsönviszonyát" jellemzi (vagy igaz, vagy hamis

szinten). Ha s1,s2 két elem az alaphalmazból, akkor a p(s1,s2) egy itélet (ami vagy igaz, vagy hamis). Egy (p (s1, s2) reláció lehet szimmetrikus vagy nem szimmetrikus. Egy p reláció szimmetrikus, ha ∀ s1, s2 ∈ S (p (s1; s2) (p (s2, s1) Például p jelentse azt, hogy s1 és s2 autók egyforma színűek vagy, hogy s1 és s2 testvérek. Egy p reláció antiszimmetrikus, ha ∀ s1, s2 ∈ S p (s1, s2) p (s2, s1) Például p jeletnse azt, hogy s1 magasabb, mint s2. Természetesen vannak olyan relációk is, amelyek sem nem szimmetrikusak, sem nem antiszimmetrikusak. Például p jelentse azt, hogy s1 legyőzte s2-t valamilyen sportban. Állapítsuk meg az alábbi formulák jelentését és igazság-értékét, ha p (x, y) azt jelenti, hogy x fia y-nak. ∀ x ∃ y : p(x,y) ∀ x ∀ y : p(x,y) ∃ x ∃y : p(x,y) 5.5 Az itéletek formalizálásáról Ha elegendően sok különböző (főleg összetett) itélet között nem tudunk eligazodni, akkor a "helyzet

kielemzéséhez" felhasználhatjuk a megismert eszközöket és módszereket, illetve most már tudhatjuk, hogy milyen szakterületről keressünk konzulens partnert. 25 6. TÁRGYALÁSI LOGIKA Ebben a részben azokkal a tényezőkkel foglalkozunk, amelyeket célszerű figyelembe venni az üzleti tárgyalások kapcsán, ha mi képviseljük a „cégünket”, amely lehet kisebb vagy nagyobb vállalkozás, munkaszervezet stb. A tárgyaláson , tárgyalásokon a követhető logikát három alapvető tényező határozza meg: - felhatalmazottság - érdek egyezés/ütközés, - a tárgyaláson résztvevők létszáma. A különböző lehetőségek kombinációját az alábbi táblázatban foglalhatjuk össze. Sorszám 1 2 3 4 5 6 7 8 Felhatalmazottság Van Van Van Van Nincs Nincs Nincs Nincs Érdekegyezés Van Van Nincs Nincs Van Van Nincs Nincs Létszám 2-5 sok 2-5 sok 2-5 sok 2-5 sok ad 1) Ez az optimális helyzet, az esetleges „részletkérdések” tisztázásával,

írásbeli rögzítésével. ad 2) Figyelni kell, általában hallgatni, de az egyedi érdekeinket érintő „részletkérdések”-re koncentrálni és reagálni. ad 3 ) Kemény kiállás, de a kompromisszumok keresésével. ad 4) Lobbizás. ad 5) Lehetőleg folyamatos feltűnésmentes kapcsolattartás a „főnök”-kel (pl. időkérés + mobil), majd ennek alapján „emlékeztető” készítése. ad 6) Lobbizási kísérletek, a „főnök” folyamatos tájékoztatása. ad 7-8) „ Megesszük a pogácsát, megisszuk a kávét és hazamegyünk”. Természetesen ez a vezérfonal nem mindig működik garantáltan, de a három tényező figyelembe vételével, tudatosításával jobb esély van az eredményes tárgyalásra. 26 7. GYAKORLÓ FELADATOK ============================================================ Feladatok (Vencel Jánostól): igaz vagy hamis az állítás Ha néhány SMAUG egyben THOR is, néhány THOR pedig egyben THRAIN is, akkor néhány SMAUG-nak

feltétlenül THRAIN-nak kell lennie. Ha néhány BIFUR egyben BOFUR is és minden GLOIN egyben BOFUR is, akkor néhány BIFUR minden bizonnyal GLOIN. Ha minden WARG egyben TWERP is és egyetlen TWERP sem GOLLUM, akkor egyetlen GOLLUM sem lehet WARG. Ha minden FLEEP egyben SLOOP is és minden SLOOP egyben LOPPI is, akkor minden FLEEP-nek egyben LOPPI-nak is kell lennie. ============================================================ Feladat (Kalmár Lászlótól): A Nowherehasbeen városka lakói három szektába tartoznak. Az első szekta tagjai a feltétlen igazmondók, a második szektabeliek minden kijelentése hazugság, a harmadik szektához tartozók viszont váltakozva hamis és igaz kijelentéseket tesznek. Az első szekta tagjait igazaknak, a második szekta tagjait hazugoknak, a harmadik szekta tagjait felemásoknak nevezik. Egy alkalommal a helybeli tűzoltó-laktanyában cseng a telefon. Az ügyeletes felveszi a kagylót és a következő beszélgetés zajlik le.

Tűzoltóság, ügyeletes. Azonnal jöjjenek, ég az iskola! Melyik szektához tartozik? A felemáshoz. Kérdés: Kivonul-e a tűzoltóság? 27 Feladat 1) Egyszerűsítsük (nyelvtanilag az alábbi szöveg mondatait mindaddig maíg a szabályos (elemi ítételetekkel és logikai műveletekkel egyértelműen leírható) szerkezetüket meg nem kapjuk. Hasonlítsuk össze a „végterméket” a kiinduló szöveggel irodalmi stílus szempontjából. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gorcsev Iván soha nem ismerte volna meg Nobel nevét, ha nem nyeri el a fizikai Nobel díjat a „Trinidád & Tobago” hajó fedélzetén a makaó nevű kártyajátékon Swalm professzortól. Mivel Gorcsev Iván megtalálta a tettrekész, de nem túl okos Vanek urat, időnként helyettesíthette vele önmagát a légióban. Vanek úr sorsa egyszerűbb lett volna, ha Galamb és Troppauer Hümér - aki a rím kedvéért nem

rontja el a verset - is ebben a regényben szerepelt volna, de nem így történt, mert a szerző nekik nem ezt a szerepet szánta. Ha Rajtő Jenő nem volt az olimpiai bajnok Rejtő Ildikó nagyapja, akkor Rejtő Ildikó unokáinak nem Rejtő Jenő a keresztapja. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Folytassuk a töténetet, hasonlóképp elemezhető mondatokkal. 28 Feladat 1) Egyszerűsítsük (nyelvtanilag az alábbi szöveg mondatait mindaddig maíg a szabályos (elemi ítételetekkel és logikai műveletekkel egyértelműen leírható) szerkezetüket meg nem kapjuk. Hasonlítsuk össze a „végterméket” a kiinduló szöveggel irodalmi stílus szempontjából. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tímár Mihály soha nem tudhatta volna meg, hogy milyen nehéz a választás az érvényesülés és a boldogság között, ha

nem semmisül meg Ali Csorbadzsi hajója. A katasztrófa azonban bekövetkezett. Az egyszerű, de ügyes és elszánt hajós ekkor sarkallva - hozzáláthatott álmai megvalósításához. igazságérzetétől és hódoló imádatától Arra vágyott, hogy az előkelő rokonoknál lenézett Tímeának királynői trónust nyújtson. Ehhez versenybe kellett szállnia a komáromi polgári értékrend szerint oly fontos gazdagság, gazdasági hatalom és befolyás eléréséért, mert ha nem segíti méltó helyeztbe Tímeát, nincs reménye szívének elnyerésére. Céljai elérése érdekében nem csak becsületes eszközöket használt fel. Amikor elérte megálmodott társadalmi hatalmát, felismerte, hogy hiába segítette méltó helyzetbe Tímeát, mégsincs reménye szívének elnyerésére. Választania kellett irreális álmai és Noémi őszinte odaadása között. Noémit nem választhatta volna, ha nem segíti a véletlen szerencse.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Folytassuk a töténetet, hasonlóképp elemezhető mondatokkal. 29 7.1 további gyakorló feladatok 1. Definiáljuk az implikáció és az antivalencia műveletét! 2. Definiáljuk az =, az ≡, és az = = jelölést! Emeljük ki az eltéréseket! 3. Mire következtethetünk P-vel kapcsolatban, ha tudjuk, hogy: (P I) = = I 4. Mire következtethetünk P-vel és Q-val kapcsolatban, ha tudjuk, hogy: (P v Q) = = I 5. Az alábbi logikai kifejezések közül melyek azonosak? b) P ∨ R c) R & P d) P & R a) R P e) P ∨ R f) P ∨ R g) P R h) P ≡ R 6. Adjuk meg az (AB) & (A ↔ B) kifejezés diszjunktív normálformáját. 7. Adjuk meg az (A≡B) & (A ↔ B) kifejezés diszjunktív normálformáját. 8. Rajzoljuk fel az antivalencia Venn-diagrammját. 9. Rajzoljuk fel az implikáció Venn-diagrammját. 10. Írjuk fel az alábbi ítéletek

szerkezetét és fogalmazzuk át implikatív formába Vagy alszanak, vagy süketek. Vagy elmentek, vagy nincs zárva az ajtó. Vagy nincs nyitva az ablak, vagy itthon vannak. Vagy nem volt szőke a tettes, vagy Ödön volt. 11. Miben hasonlít és miben különbözik az azonosság és az ekvivalencia? 12. Az itéletek szerkezetének feltárásával mutassuk ki, hogy logikai szempontból azonosak-e az alábbi állítások. Ha nem, akkor mi a különbség köztük? Ha Karcsinak jó lett a bizonyítványa, megkapta a biciklit. Ha Karcsinak nem lett jó a bizonyítványa, nem kapta meg a biciklit. Ha Karcsi megkapta a biciklit, jó lett a bizonyítványa. Ha Karcsi nem kapta meg a biciklit, nem lett jó a bizonyítványa. 13. Az itéletek szerkezetének feltárásával mutassuk ki, hogy logikai szempontból azonosak-e az alábbi állítások. Ha nem, akkor mi a különbség köztük? Ha Karcsinak rossz lett a bizonyítványa, verést kapott. Ha Karcsinak nem lett rossz a bizonyítványa,

nem kapott verést. Ha Karcsi verést kapott, rossz lett a bizonyítványa. Ha Karcsi nem kapott verést, nem lett rossz a bizonyítványa. 14. Indokoljuk az alábbi állítások igazságát vagy hamisságát Tagadjuk az állításokat Egy itéletnek csak egy következménye lehet. Egy itélet csak egyetlen másik itéletnek lehet a következménye. 30 15. Logikailag következménye-e a negyedik ítélet az 1-3)-nak? (1) Ha vizes a járda, akkor esett az eső, vagy locsoltak. (2) Nem locsoltak. (3) Esett az eső. (4) Vizes a járda. 16. Logikailag következménye-e a negyedik ítélet az 1-3)-nak? (1) Ha Lajos matematikát tanít, akkor technikát vagy fizikát is tanít. (2) Lajos nem tanít technikát. (3) Lajos matematikát vagy technikát vagy fizikát tanít. (4) Lajos fizikát tanít. 17. Milyen gondolkodási hiba van logikailag az alábbi okoskodásban? - A kezesemnek két füle van. - A lábasomnak két füle van. -------------------------------------------- A kezesem a

lábasom. 18. Következménye-e az ötödik ítélet az 1-4)-nek? (1) Ma osztályfőnöki óra vagy iskolai ünnepély lesz. (2) Ha ma osztályfőnöki óra lesz, akkor a tornaóra elmarad. (3) Ha ma iskolai ünnepély lesz, akkor a tanításnak 12-kor vége lesz. (4) A tanítás nem fejeződik be 12-kor. (5) A tornaóra ma elmarad. 19. Írjuk fel az alábbi állítások szerkezetét a kvantorok segítségével, majd tagadjuk formálisan és annak alapján szövegesen is ezeket az állításokat. Minden helyzetben van jó megoldás. Van olyan helyzet, amelyben nincs jó megoldás. Bármely helyzetben lehet jó megoldást találni. Van olyan helyzet, amelyben van jó megoldás Van olyan helyzet, amelyben minden megoldás jó. 31 1. sz melléklet A három alapművelet azonosságainak összefoglalása 1) A == A 2) A & A == A 3) A & B == B & A 4) A & (B & C) == (A & B) & C 5) A ∨ A == A 6) A ∨ B == B ∨ A 7) A ∨ (B ∨ C) == (A ∨ B)

∨ C 8) A ∨ (B & C) == (A ∨ B) & (A ∨ C) 9) A & (B ∨ C) == (A & B) ∨ (A& C) 10) A & I == A 11) A & H == H 12) A ∨ I == I 13) A ∨ H == A 14) A & A == H 15) A ∨ A == I 16) A ∨ (B & B) == A 17) A & (B ∨ B) == A 18) A & (A ∨ B) == A 19) A ∨ (A & B) == A 20) A & B == A ∨ B 21) A ∨ B == A & B 22) A1 & A 2 & A 3 == A 1 ∨ A 2 ∨ A 3 23) A 1 ∨ A 2 ∨ A 3 == A1 & A 2 & A 3 32 FELHASZNÁLT ÉS JAVASOLT IRODALOM az SZTE Könyvtárából 1. Klamarik János : Logika vagyis gondolkodástan Budapest, Lauffer Vilmos, 1873. 2. Ruzsa Imre: Klasszikus, modális és intenzionális logika Budapest, Akadémiai Kiadó, 1984. 3. Logic Colloquium : Symposium on Logic held at Boston, 1972-73 / ed by R Parikh Berlin; Heidelberg ; New York : Springer Verlag, 1975. 4. Hawkins, E L: The Oxford handbook of logic : deductive and inductive / E L Hawkins. Oxford : Giles, 1913

5. Ruzsa Imre : Bevezetés a modern logikába Budapest, Osiris, 2001 6. Zinovev, A A : A logikai következményfogalom és a többértékű logikák Budapest, Akadémiai Kiadó, 1968. 7. Varga, T : Matematikai logika kezdőknek Budapest, Tankönyvkiadó, 1966 8. Ruzsa Imre :A logika elemei Budapest, ELTE ÁJK, 1981 9. Havas Katalin, G : Logika Egyetemi egységes jegyzet Budapest, Tankönyvkiadó, 1976. 10. Kalmár László: A matematika alapjai Budapest, Tankönyvkiadó, 1972 11. Világnézeti nevelésünk természettudományos alapjai Budapest, Tankönyvkiadó. 12. Havas Katalin, G : Arisztotelésztől napjainkig : logika vagy logikák? Budapest, Tárogató Kiadó, 1995. 13. Urbán János: Matematikai logika példatár Budapest, Műszaki Kiadó, 1983 14. Havas Katalin, G : Gondolkodás, nyelv, valóság a logikában Budapest, Akadémiai Kiadó, 1983. 15. Proceedings of the 87 Debrecen Symposium on Logic and Language / Eds Imre Ruzsa, Anna Szabolcsi. Akadémiai Kiadó, 1987 16. Ruzsa

Imre : A logika elemeiBudapest, 1979 17. Szendrei János: Halmazelmélet és matematikai logika Budapest, 1971 18. Logika a mindennapi életben : a gyakorlati érvelés technikája : oktatási segédanyag Összeáll. a BME Filozófia Tanszék Budapest, BME, 1992