Matematika | Felsőoktatás » Vajda István - Integrálási módszerek

Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 2013. február 9 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 1 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (ax + b ) alakú függvények integrálása Tétel: Ha F az f valós-valós függvény primitív függvénye, a , b ∈ R és a , 0, akkor R f (ax + b ) dx = F (ax + b ) +C a Bizonyítás: Az összetett függvény differenciálási szabály alapján F (ax + b ) +C a !0 Vajda István (Óbudai Egyetem) = F 0 (ax + b ) · (ax + b )0 + C0 = a f (ax + b ) · a = + 0 = f (ax + b ) a Analízis előadások 2013. február 9 2 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (ax + b ) alakú függvények integrálása Tétel: Ha F az f valós-valós függvény primitív függvénye, a , b ∈ R és a , 0, akkor R f (ax + b ) dx = F (ax + b ) +C a Bizonyítás: Az összetett függvény

differenciálási szabály alapján F (ax + b ) +C a !0 Vajda István (Óbudai Egyetem) = F 0 (ax + b ) · (ax + b )0 + C0 = a f (ax + b ) · a = + 0 = f (ax + b ) a Analízis előadások 2013. február 9 2 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (ax + b ) alakú függvények integrálása R f (ax + b ) dx = F (ax + b ) +C a Példák: R R Z Z cos(2x ) dx = sin(2x ) +C 2 5 (3x + 2) dx = 1 dx = 1 + 4x 2 1 7x − 5 dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) (3x +2)6 6 3 Z +C = (3x + 2)6 +C 18 arctg(2x ) 1 d x = +C 2 1 + (2x )2 ln |7x − 5| +C 7 Analízis előadások 2013. február 9 3 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (ax + b ) alakú függvények integrálása R f (ax + b ) dx = F (ax + b ) +C a Példák: R R Z Z cos(2x ) dx = sin(2x ) +C 2 5 (3x + 2) dx = 1 dx = 1 + 4x 2 1 7x − 5 dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) (3x +2)6 6 3 Z +C = (3x + 2)6 +C 18 arctg(2x ) 1

d x = +C 2 1 + (2x )2 ln |7x − 5| +C 7 Analízis előadások 2013. február 9 3 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (ax + b ) alakú függvények integrálása R f (ax + b ) dx = F (ax + b ) +C a Példák: R R Z Z cos(2x ) dx = sin(2x ) +C 2 5 (3x + 2) dx = 1 dx = 1 + 4x 2 1 7x − 5 dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) (3x +2)6 6 3 Z +C = (3x + 2)6 +C 18 arctg(2x ) 1 d x = +C 2 1 + (2x )2 ln |7x − 5| +C 7 Analízis előadások 2013. február 9 3 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (ax + b ) alakú függvények integrálása R f (ax + b ) dx = F (ax + b ) +C a Példák: R R Z Z cos(2x ) dx = sin(2x ) +C 2 5 (3x + 2) dx = 1 dx = 1 + 4x 2 1 7x − 5 dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) (3x +2)6 6 3 Z +C = (3x + 2)6 +C 18 arctg(2x ) 1 d x = +C 2 1 + (2x )2 ln |7x − 5| +C 7 Analízis előadások 2013. február 9 3 / 18 Integrálási módszerek

Néhány fontos integráltípus Az x 7 f α (x ) · f 0 (x ) alakú függvények integrálása Tétel: Ha az f valós-valós függvény differenciálható és α ∈ R {−1}, akkor R f α (x ) · f 0 (x ) dx = f α+1 (x ) +C α+1 Bizonyítás: Az összetett függvény differenciálási szabály alapján f α+1 (x ) +C α+1 Vajda István (Óbudai Egyetem) !0 = (α + 1)f α (x ) · f 0 (x ) + C 0 = f α (x ) · f 0 (x ) α+1 Analízis előadások 2013. február 9 4 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f α (x ) · f 0 (x ) alakú függvények integrálása Tétel: Ha az f valós-valós függvény differenciálható és α ∈ R {−1}, akkor R f α (x ) · f 0 (x ) dx = f α+1 (x ) +C α+1 Bizonyítás: Az összetett függvény differenciálási szabály alapján f α+1 (x ) +C α+1 Vajda István (Óbudai Egyetem) !0 = (α + 1)f α (x ) · f 0 (x ) + C 0 = f α (x ) · f 0 (x ) α+1 Analízis előadások 2013. február 9 4

/ 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f α (x ) · f 0 (x ) alakú függvények integrálása R f α (x ) · f 0 (x ) dx = f α+1 (x ) +C α+1 Példák: 1R 1 (x 2 + 1)7 2x (x 2 + 1)6 dx = · +C = 2 2 7 (x 2 + 1)7 = +C 14 4 R sin ( x ) sin3 (x ) cos(x ) dx = +C 4 R Z Z x (x 2 + 1)6 dx = ln2 (x ) dx = x arctg(x ) 1 + x2 Z ln2 (x ) · ln3 (x ) 1 dx = +C x 3 Z dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) arctg(x ) · 1 1 + x2 Analízis előadások dx = arctg2 (x ) +C 2 2013. február 9 5 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f α (x ) · f 0 (x ) alakú függvények integrálása R f α (x ) · f 0 (x ) dx = f α+1 (x ) +C α+1 Példák: 1R 1 (x 2 + 1)7 2x (x 2 + 1)6 dx = · +C = 2 2 7 (x 2 + 1)7 = +C 14 4 R sin ( x ) sin3 (x ) cos(x ) dx = +C 4 R Z Z x (x 2 + 1)6 dx = ln2 (x ) dx = x arctg(x ) 1 + x2 Z ln2 (x ) · ln3 (x ) 1 dx = +C x 3 Z dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) arctg(x ) · 1 1

+ x2 Analízis előadások dx = arctg2 (x ) +C 2 2013. február 9 5 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f α (x ) · f 0 (x ) alakú függvények integrálása R f α (x ) · f 0 (x ) dx = f α+1 (x ) +C α+1 Példák: 1R 1 (x 2 + 1)7 2x (x 2 + 1)6 dx = · +C = 2 2 7 (x 2 + 1)7 = +C 14 4 R sin ( x ) sin3 (x ) cos(x ) dx = +C 4 R Z Z x (x 2 + 1)6 dx = ln2 (x ) dx = x arctg(x ) 1 + x2 Z ln2 (x ) · ln3 (x ) 1 dx = +C x 3 Z dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) arctg(x ) · 1 1 + x2 Analízis előadások dx = arctg2 (x ) +C 2 2013. február 9 5 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f α (x ) · f 0 (x ) alakú függvények integrálása R f α (x ) · f 0 (x ) dx = f α+1 (x ) +C α+1 Példák: 1R 1 (x 2 + 1)7 2x (x 2 + 1)6 dx = · +C = 2 2 7 (x 2 + 1)7 = +C 14 4 R sin ( x ) sin3 (x ) cos(x ) dx = +C 4 R Z Z x (x 2 + 1)6 dx = ln2 (x ) dx = x arctg(x ) 1 + x2 Z ln2 (x ) · ln3 (x )

1 dx = +C x 3 Z dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) arctg(x ) · 1 1 + x2 Analízis előadások dx = arctg2 (x ) +C 2 2013. február 9 5 / 18 Az x 7 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus f 0 (x ) alakú függvények integrálása f (x ) Tétel: Ha az f valós-valós függvény differenciálható, akkor Z f 0 (x ) dx = ln (|f (x )|) + C f (x ) Bizonyítás: Az összetett függvény differenciálási szabály alapján (ln (|f (x )|) + C )0 = Vajda István (Óbudai Egyetem) f 0 (x ) 1 · f 0 (x ) + C 0 = f (x ) f (x ) Analízis előadások 2013. február 9 6 / 18 Az x 7 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus f 0 (x ) alakú függvények integrálása f (x ) Tétel: Ha az f valós-valós függvény differenciálható, akkor Z f 0 (x ) dx = ln (|f (x )|) + C f (x ) Bizonyítás: Az összetett függvény differenciálási szabály alapján (ln (|f (x )|) + C )0 = Vajda István (Óbudai Egyetem) f 0 (x ) 1 · f 0

(x ) + C 0 = f (x ) f (x ) Analízis előadások 2013. február 9 6 / 18 Integrálási módszerek Az x 7 f 0 (x ) alakú függvények integrálása f (x ) Z Példák: Z Z Néhány fontos integráltípus x 1 dx = 2 2 x +1 Z x2 + 1 1 dx = 3 3 x + 3x Z R tg(x ) dx = Z 1 f 0 (x ) dx = ln (|f (x )|) + C f (x ) 2x x2 Z +1 1 1 · ln(|x 2 + 1|) + · ln(x 2 + 1) + C 2 2 3x 2 + 3 1 dx = ln(|x 3 + 3x |) + C 3 3 x + 3x sin(x ) dx = − cos(x ) dx = √ 1 − x 2 arcsin(x ) Vajda István (Óbudai Egyetem) dx = Z Z − sin(x ) dx = − ln(| cos(x )|) + C cos(x ) √1 1−x 2 arcsin(x ) Analízis előadások dx = ln(| arcsin(x )|) + C 2013. február 9 7 / 18 Integrálási módszerek Az x 7 f 0 (x ) alakú függvények integrálása f (x ) Z Példák: Z Z Néhány fontos integráltípus x 1 dx = 2 2 x +1 Z x2 + 1 1 dx = 3 3 x + 3x Z R tg(x ) dx = Z 1 f 0 (x ) dx = ln (|f (x )|) + C f (x ) 2x x2 Z +1 1 1 · ln(|x 2 + 1|) + · ln(x 2 + 1) + C 2

2 3x 2 + 3 1 dx = ln(|x 3 + 3x |) + C 3 3 x + 3x sin(x ) dx = − cos(x ) dx = √ 1 − x 2 arcsin(x ) Vajda István (Óbudai Egyetem) dx = Z Z − sin(x ) dx = − ln(| cos(x )|) + C cos(x ) √1 1−x 2 arcsin(x ) Analízis előadások dx = ln(| arcsin(x )|) + C 2013. február 9 7 / 18 Integrálási módszerek Az x 7 f 0 (x ) alakú függvények integrálása f (x ) Z Példák: Z Z Néhány fontos integráltípus x 1 dx = 2 2 x +1 Z x2 + 1 1 dx = 3 3 x + 3x Z R tg(x ) dx = Z 1 f 0 (x ) dx = ln (|f (x )|) + C f (x ) 2x x2 Z +1 1 1 · ln(|x 2 + 1|) + · ln(x 2 + 1) + C 2 2 3x 2 + 3 1 dx = ln(|x 3 + 3x |) + C 3 3 x + 3x sin(x ) dx = − cos(x ) dx = √ 1 − x 2 arcsin(x ) Vajda István (Óbudai Egyetem) dx = Z Z − sin(x ) dx = − ln(| cos(x )|) + C cos(x ) √1 1−x 2 arcsin(x ) Analízis előadások dx = ln(| arcsin(x )|) + C 2013. február 9 7 / 18 Integrálási módszerek Az x 7 f 0 (x ) alakú függvények integrálása f (x

) Z Példák: Z Z Néhány fontos integráltípus x 1 dx = 2 2 x +1 Z x2 + 1 1 dx = 3 3 x + 3x Z R tg(x ) dx = Z 1 f 0 (x ) dx = ln (|f (x )|) + C f (x ) 2x x2 Z +1 1 1 · ln(|x 2 + 1|) + · ln(x 2 + 1) + C 2 2 3x 2 + 3 1 dx = ln(|x 3 + 3x |) + C 3 3 x + 3x sin(x ) dx = − cos(x ) dx = √ 1 − x 2 arcsin(x ) Vajda István (Óbudai Egyetem) dx = Z Z − sin(x ) dx = − ln(| cos(x )|) + C cos(x ) √1 1−x 2 arcsin(x ) Analízis előadások dx = ln(| arcsin(x )|) + C 2013. február 9 7 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (g (x )) · g 0 (x ) alakú függvények integrálása Tétel: Ha a g valós-valós függvény differenciálható az I intervallumon, az f valós-valós függvény értelmezett a J = g (I) intervallumon és létezik (F-fel jelölt) primitív függvénye J-n, akkor az (f ◦ g ) · g 0 függvénynek is létezik primitív függvénye I-n és Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C Bizonyítás: Az

összetett függvény differenciálási szabály alapján (F (g (x )) + C )0 = F 0 (g (x ))g 0 (x ) + C 0 = f (g (x ))g 0 (x ) Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 8 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (g (x )) · g 0 (x ) alakú függvények integrálása Tétel: Ha a g valós-valós függvény differenciálható az I intervallumon, az f valós-valós függvény értelmezett a J = g (I) intervallumon és létezik (F-fel jelölt) primitív függvénye J-n, akkor az (f ◦ g ) · g 0 függvénynek is létezik primitív függvénye I-n és Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C Bizonyítás: Az összetett függvény differenciálási szabály alapján (F (g (x )) + C )0 = F 0 (g (x ))g 0 (x ) + C 0 = f (g (x ))g 0 (x ) Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 8 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (g (x )) · g 0 (x ) alakú

függvények integrálása Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C Példák:  1R 1 2x sin(x 2 ) dx = − cos(x 2 ) + C = 2 2 1 = − · cos(x 2 ) + C 2 R x sin(x 2 ) dx = R ex R e x cos(e x + 1) dx = sin(e x + 1) + C Z 2 +4x (x + 2) dx = 1 √ √ dx = x +x x Vajda István (Óbudai Egyetem) Z 1 R x 2 +4x 1 2 e (2x + 4) dx = e x +4x + C 2 2 1 1 · √ dx = 2 1+x x Analízis előadások Z 1 1  √ 2 · √ dx = 2 x 1+ x √  = 2 arctg x + C 2013. február 9 9 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (g (x )) · g 0 (x ) alakú függvények integrálása Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C Példák:  1R 1 2x sin(x 2 ) dx = − cos(x 2 ) + C = 2 2 1 = − · cos(x 2 ) + C 2 R x sin(x 2 ) dx = R ex R e x cos(e x + 1) dx = sin(e x + 1) + C Z 2 +4x (x + 2) dx = 1 √ √ dx = x +x x Vajda István (Óbudai Egyetem) Z 1 R x 2 +4x 1 2 e (2x + 4) dx = e x +4x + C 2 2 1 1 · √ dx = 2 1+x x Analízis

előadások Z 1 1  √ 2 · √ dx = 2 x 1+ x √  = 2 arctg x + C 2013. február 9 9 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (g (x )) · g 0 (x ) alakú függvények integrálása Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C Példák:  1R 1 2x sin(x 2 ) dx = − cos(x 2 ) + C = 2 2 1 = − · cos(x 2 ) + C 2 R x sin(x 2 ) dx = R ex R e x cos(e x + 1) dx = sin(e x + 1) + C Z 2 +4x (x + 2) dx = 1 √ √ dx = x +x x Vajda István (Óbudai Egyetem) Z 1 R x 2 +4x 1 2 e (2x + 4) dx = e x +4x + C 2 2 1 1 · √ dx = 2 1+x x Analízis előadások Z 1 1  √ 2 · √ dx = 2 x 1+ x √  = 2 arctg x + C 2013. február 9 9 / 18 Integrálási módszerek Néhány fontos integráltípus Az x 7 f (g (x )) · g 0 (x ) alakú függvények integrálása Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C Példák:  1R 1 2x sin(x 2 ) dx = − cos(x 2 ) + C = 2 2 1 = − · cos(x 2 ) + C 2 R x sin(x 2 ) dx = R ex R e x cos(e x + 1)

dx = sin(e x + 1) + C Z 2 +4x (x + 2) dx = 1 √ √ dx = x +x x Vajda István (Óbudai Egyetem) Z 1 R x 2 +4x 1 2 e (2x + 4) dx = e x +4x + C 2 2 1 1 · √ dx = 2 1+x x Analízis előadások Z 1 1  √ 2 · √ dx = 2 x 1+ x √  = 2 arctg x + C 2013. február 9 9 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás Tétel: Ha az u és v valós-valós függvények differenciálhatók az I intervallumon és az u0 v szorzatfüggvénynek létezik primitív függvénye I-n, akkor az uv 0 szorzatfüggvénynek is létezik primitív függvénye I-n és R uv 0 = uv − R u0 v Bizonyítás: A szorzatfüggvény differenciálási szabály alapján (uv )0 = u0 v + uv 0 Rendezve és mindkét oldalt integrálva: uv 0 = (uv )0 − u0 v Z Z 0 uv = uv − Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások u0 v 2013. február 9 10 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális

integrálás Tétel: Ha az u és v valós-valós függvények differenciálhatók az I intervallumon és az u0 v szorzatfüggvénynek létezik primitív függvénye I-n, akkor az uv 0 szorzatfüggvénynek is létezik primitív függvénye I-n és R uv 0 = uv − R u0 v Bizonyítás: A szorzatfüggvény differenciálási szabály alapján (uv )0 = u0 v + uv 0 Rendezve és mindkét oldalt integrálva: uv 0 = (uv )0 − u0 v Z Z 0 uv = uv − Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások u0 v 2013. február 9 10 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás R uv 0 = uv − R u0 v Példák: R x e x dx = xe x − R 1 · e x dx = xe x − R e x dx = xe x − e x + C u v0 R (2x + 1)cos(x )dx = (2x + 1) sin(x ) − R 2 sin(x ) dx = v0 = (2x + 1) sin(x ) + 2 cos(x ) + C Z 3 Z 2 R x 3 ln(x ) x3 x 1 x x 2 ln(x ) dx = · ln(x ) − · dx = − dx = 3 3 x 3 3 v0 u x 3 ln(x ) x 3 = − +C 3 9 u Vajda István

(Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 11 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás R uv 0 = uv − R u0 v Példák: R x e x dx = xe x − R 1 · e x dx = xe x − R e x dx = xe x − e x + C u v0 R (2x + 1)cos(x )dx = (2x + 1) sin(x ) − R 2 sin(x ) dx = v0 = (2x + 1) sin(x ) + 2 cos(x ) + C Z 3 Z 2 R x 3 ln(x ) x3 x 1 x x 2 ln(x ) dx = · ln(x ) − · dx = − dx = 3 3 x 3 3 v0 u x 3 ln(x ) x 3 = − +C 3 9 u Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 11 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás R uv 0 = uv − R u0 v Példák: R x e x dx = xe x − R 1 · e x dx = xe x − R e x dx = xe x − e x + C u v0 R (2x + 1)cos(x )dx = (2x + 1) sin(x ) − R 2 sin(x ) dx = v0 = (2x + 1) sin(x ) + 2 cos(x ) + C Z 3 Z 2 R x 3 ln(x ) x3 x 1 x x 2 ln(x ) dx = · ln(x ) − · dx = − dx = 3 3 x 3 3

v0 u x 3 ln(x ) x 3 = − +C 3 9 u Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 11 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás R uv 0 = uv − R u0 v Példa: R x2 x arctg(x ) dx = · arctg(x ) − 2 v0 u Z x2 1 · dx = 2 1 + x2 x 2 arctg(x ) 1 = − 2 2 Z x2 dx = 1 + x2 x 2 arctg(x ) 1 1 + x2 − 1 − dx = 2 2 1 + x2 ! Z x 2 arctg(x ) 1 1 = − 1− dx = 2 2 1 + x2 Z = = Vajda István (Óbudai Egyetem) x 2 arctg(x ) x 1 − + arctg(x ) + C 2 2 2 Analízis előadások 2013. február 9 12 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás R uv 0 = uv − R u0 v Példa: R R e x sin(x ) dx = e x sin(x ) − e x cos(x ) dx = v0 v0 u u = e x sin(x ) − e x cos(x ) + R e x · (− sin(x )) dx = = e x sin(x ) − e x cos(x ) − R e x sin(x ) dx A kapott egyenletet rendezve: Z 2 e x sin(x ) dx = e x sin(x ) − e x cos(x ) Z e x

sin(x ) dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) 1 · (e x sin(x ) − e x cos(x )) + C 2 Analízis előadások 2013. február 9 13 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás R uv 0 = uv − R u0 v Példa: R R e x sin(x ) dx = e x sin(x ) − e x cos(x ) dx = v0 v0 u u = e x sin(x ) − e x cos(x ) + R e x · (− sin(x )) dx = = e x sin(x ) − e x cos(x ) − R e x sin(x ) dx A kapott egyenletet rendezve: Z 2 e x sin(x ) dx = e x sin(x ) − e x cos(x ) Z e x sin(x ) dx = Vajda István (Óbudai Egyetem) 1 · (e x sin(x ) − e x cos(x )) + C 2 Analízis előadások 2013. február 9 13 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás Határozott integrál kiszámítása parciális integrálás módszerével: Rb uv 0 = [uv ]ba − a Rb u0 v a Példa: Z1 (x + 3)e 2x dx = 2 " (x + 3)e 2x 0 Z1 #1 − 0 e 2x dx = 2 0 (2x + 5)e 2x = 4 " Vajda

István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások #1 = 0 7e 2 − 5 4 2013. február 9 14 / 18 Integrálási módszerek A parciális integrálás módszere Parciális integrálás Határozott integrál kiszámítása parciális integrálás módszerével: Rb uv 0 = [uv ]ba − a Rb u0 v a Példa: Z1 (x + 3)e 2x dx = 2 " (x + 3)e 2x 0 Z1 #1 − 0 e 2x dx = 2 0 (2x + 5)e 2x = 4 " Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások #1 = 0 7e 2 − 5 4 2013. február 9 14 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel Induljunk ki a korábban megismert R f (g (t )) · g 0 (t ) dt = F (g (t )) + C integrálási szabályból. Tegyük fel, hogy a g : I J függvény bijektív. Ekkor az x = g (t ) helyettesítéssel és a két oldalt megcserélve kapjuk, hogy R hiszen R f (x ) dx = R f (g (t )) · g 0 (t ) dt  t =ḡ (x ) f (x ) dx = F (x ) + C. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis előadások 2013. február 9 15 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel R f (x ) dx = Z Példa: Végezzük el az R 1 x+ f (g (t )) · g 0 (t ) dt  t =ḡ (x ) √ dx integrálást! x Mivel az integrandus valós-valós függvény, x > 0. Az x = g (t ) = t 2 helyettesítést alkalmazva g 0 (t ) = 2t és t = Z 1 √ dx = x+ x Z 1 t2 + t ! · 2t dt Z √ t= x = 2 t +1 Analízis előadások x. ! dt = (2 ln |t + 1| + C ) t = √x = 2 ln Vajda István (Óbudai Egyetem) √ √ = t= x √ x +1 +C 2013. február 9 16 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel R f (x ) dx = Z Példa: Végezzük el az R 1 x+ f (g (t )) · g 0 (t ) dt  t =ḡ (x ) √ dx integrálást! x Mivel az integrandus valós-valós függvény, x > 0. Az x = g (t ) = t 2 helyettesítést alkalmazva g 0 (t ) = 2t és t = Z 1 √ dx = x+ x Z 1 t2

+ t ! · 2t dt Z √ t= x = 2 t +1 Analízis előadások x. ! dt = (2 ln |t + 1| + C ) t = √x = 2 ln Vajda István (Óbudai Egyetem) √ √ = t= x √ x +1 +C 2013. február 9 16 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel R f (x ) dx = Z Példa: Végezzük el az e 2x R f (g (t )) · g 0 (t ) dt  t =ḡ (x ) ex dx integrálást! + 4e x + 5 Az x = g (t ) = ln(t ) helyettesítést alkalmazva g 0 (t ) = Z e 2x ex dx = + 4e x + 5 Z = Z 1 dt t 2 + 4t + 5 t 1 · dt 2 t + 4t + 5 t ! Z = t =e x 1 és t = e x . t ! = t =e x 1 dt 1 + (t + 2)2 ! = t =e x = (arctg (t + 2) + C ) t =e x = arctg (e x + 2) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 17 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel R f (x ) dx = Z Példa: Végezzük el az e 2x R f (g (t )) · g 0 (t ) dt  t =ḡ (x ) ex dx integrálást! +

4e x + 5 Az x = g (t ) = ln(t ) helyettesítést alkalmazva g 0 (t ) = Z e 2x ex dx = + 4e x + 5 Z = Z 1 dt t 2 + 4t + 5 t 1 · dt 2 t + 4t + 5 t ! Z = t =e x 1 és t = e x . t ! = t =e x 1 dt 1 + (t + 2)2 ! = t =e x = (arctg (t + 2) + C ) t =e x = arctg (e x + 2) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 2013. február 9 17 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel Határozott integrálok kiszámítása: Rb f (x ) dx = a ḡR(b ) f (g (t )) · g 0 (t ) dt ḡ (a ) R1 √ Példa: Végezzük el az 1 − x 2 dx integrálást! −1 Az x = g (t ) = sin(t ) helyettesítést alkalmazva g 0 (t ) = cos(t ) és t = arcsin(x ). i h π π (Feltesszük, hogy t ∈ − 2 ; 2 .) arcsin Z (1) Z1 √ 1− −1 x2 π Z2 q dx = 2 − 2π arcsin(−1) π 2 Z = − 2π cos2 (t ) dt = 1 − sin (t ) cos(t ) dt = 1 + cos(2t ) dt = 2 Vajda István (Óbudai Egyetem) π 2 Z − 2π cos(2t )

1 + 2 2 ! " sin(2t ) t dt = + 2 4 Analízis előadások # 2π = − 2π π  π π − − = 4 4 2 2013. február 9 18 / 18 Integrálási módszerek Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel Határozott integrálok kiszámítása: Rb f (x ) dx = a ḡR(b ) f (g (t )) · g 0 (t ) dt ḡ (a ) R1 √ Példa: Végezzük el az 1 − x 2 dx integrálást! −1 Az x = g (t ) = sin(t ) helyettesítést alkalmazva g 0 (t ) = cos(t ) és t = arcsin(x ). i h π π (Feltesszük, hogy t ∈ − 2 ; 2 .) arcsin Z (1) Z1 √ 1− −1 x2 π Z2 q dx = 2 − 2π arcsin(−1) π 2 Z = − 2π cos2 (t ) dt = 1 − sin (t ) cos(t ) dt = 1 + cos(2t ) dt = 2 Vajda István (Óbudai Egyetem) π 2 Z − 2π cos(2t ) 1 + 2 2 ! " sin(2t ) t dt = + 2 4 Analízis előadások # 2π = − 2π π  π π − − = 4 4 2 2013. február 9 18 / 18