Matematika | Tanulmányok, esszék » Filip Ferdinánd - Számsorozatok

Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Számsorozatok Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgkuni-obudahu siva.bankihu/jegyzetek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar 2016 szeptember 19. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 1 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Az előadás vázlata Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 2 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke

Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok megadása Számsorozatok Azokat a valós függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza valós számsorozatoknak nevezzük. Az f : N R jelölés helyett a {an }∞ n=1 jelölést fogjuk használni, ahol an = f (n). Az an -t a sorozat n-edik tagjának vagy a sorozat általános tagjának nevezzük. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 3 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok megadása Egy sorozatok megadhatunk: • Az általános tag képletének megadásával. Például ha az általános tagja an = 2n, akkor a sorozat tagjai rendre 2, 4, 6, . • Rekurzióval. Megadjuk a sorozat első néhány tagját, majd

a további tagokat az előttük levők segítségével definiáljuk. Például ha a1 = 2 és an+1 = an + 2, akkor szintén a 2, 4, 6, . sorozathoz jutunk. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 4 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok monotonitása • Az {an }∞ n=1 sorozatot monoton növekvőnek nevezzük, ha minden n természetes számra an ≤ an+1 . • Az {an }∞ n=1 sorozatot szigorúan monoton növekvőnek nevezzük nevezzük, ha minden n természetes számra an < an+1 . • Az {an }∞ n=1 sorozatot monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n természetes számra an ≥ an+1 . • Az {an }∞ n=1 sorozatot szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük nevezzük, ha minden n természetes számra an > an+1 . Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19.

Számsorozatok 5 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok korlátossága • Az {an }∞ n=1 sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan m ∈ R alsó korlátnak nevezett szám úgy, hogy minden n ∈ N-re an ≥ m. • Az {an }∞ n=1 sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan M ∈ R felső korlátnak nevezett szám úgy, hogy minden n ∈ N-re an ≤ M. • Azt mondjuk, hogy egy sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 6 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok korlátossága Példák 1 Az

2, 4, 6, . számok sorozata alulról korlátos, felülről viszont nem. 2 Az −2, −4, −6, . számok sorozata felülről korlátos, alulról viszont nem. 3 Az sin 1, sin 2, sin 3, . számok sorozata alulról és felülről is korlátos, tehát korlátos. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 7 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok határértéke Konvergencia Azt mondjuk, hogy az {an }∞ n=1 sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R, hogy minden ε > 0 valós számhoz található olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy, ha n > n0 akkor |an − A| < ε . Az A számot a sorozat határértékének nevezzük, és a következőképpen jelöljük: lim an = A vagy an A . n∞ A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük. Filip Ferdinánd 2016

szeptember 19. Számsorozatok 8 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok határértéke Konvergencia Cauchy-féle definíciója Azt mondjuk, hogy az {an }∞ n=1 sorozat konvergens, ha minden ε > 0 valós számhoz található olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy, ha m, n > n0 akkor |an − am | < ε . A konvergencia két definíciója ekvivalens egymással. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 9 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Végtelenbe tartó sorozatok A divergens sorozatok egy speciális osztályát alkotják azok a sorozatok melyek határértéke plusz vagy mínusz végtelen.

Azt mondjuk, hogy az {an }∞ n=1 sorozat határértéke +∞, ha minden K ∈ R számhoz található olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy ha n > n0 akkor an > K . Azt mondjuk, hogy az {an }∞ n=1 sorozat határértéke −∞, ha minden L ∈ R számhoz található olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy ha n > n0 akkor an < L. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 10 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Konvergens sorozatok tulajdonságai A sorozatok határértékére érvényesek a következők: • Minden sorozatnak legfeljebb egy (véges vagy végtelen) határértékeke van. • Minden konvergens sorozat korlátos. • Amennyiben egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 11 / 24 Sorozatok megadása

Sorozatok monotonitása és korlátossága Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Konvergens sorozatok tulajdonságai Részsorozat ∞ Azt mondjuk, hogy a {bn }∞ n=1 részsorozata az {an }n=1 sorozatnak, ∞ ha létezik a természetes számok olyan {in }n=1 szigorúan növekvő sorozata, hogy bn = ain minden n ∈ N-re. Egy sorozat részsorozataira érvényesek a következők: ∞ • Legyen {bn }∞ n=1 részsorozata az {an }n=1 sorozatnak. Ekkor, • ha lim an = A, akkor lim bn = A n∞ n∞ • ha lim an = ∞, akkor lim bn = ∞ n∞ n∞ • ha lim an = −∞, akkor lim bn = −∞ n∞ n∞ • Minden korlátos sorozatnak van monoton részsorozata. Mivel ez a részsorozat is korlátos, így konvergens is. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 12 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke

Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Sorozatok torlódási pontjaii Torlódási pont A p számot az {an }∞ n=1 sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha minden ε > 0 valós és n természetes számhoz található olyan m természetes szám, hogy m > n és |p − am | < ε. A sorozatok torlódási pontjait definiálhatjuk részsorozatok segítségével is. A p számot az {an }∞ n=1 sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha ∞ létezik olyan {ani }i=1 részsorozata, hogy lim ani = p. i∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 13 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Limesz szuperior és limesz inferior Érvényesek, a következők • Minden korlátos sorozatnak van torlódási

pontja. • Konvergens sorozatoknak pontosan egy torlódási pontjuk van, mégpedig a határértékük. Torlódási pont Legyen most {an }∞ n=1 korlátos sorozat. Jelöljük Tf -el a sorozat összes torlódási pontjának a halmazát. Az előzőek alapján Tf nem üres korlátos halmaz. • Ekkor a Tf halmaz legnagyobb alsó korlátját a sorozat limesz inferiorjának a legkisebb felső korlátját pedig a sorozat limesz szuperiorának nevezzük. Képlettel lim inf an = inf Tf , n∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 14 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Limesz szuperior és limesz inferior Nem korlátos sorozatok limesz inferiora és szuperiora • Amennyiben a {an }∞ n=1 sorozat felülről nem korlátos, akkor lim sup an = ∞. n∞ • Amennyiben a {an }∞ n=1 sorozat

alulról nem korlátos, akkor lim inf an = −∞. n∞ • Amennyiben lim an = ∞ , akkor lim inf an = lim sup an = ∞. n∞ n∞ n∞ • Amennyiben lim an = −∞ , akkor n∞ lim sup an = lim inf an = −∞. n∞ Filip Ferdinánd n∞ 2016 szeptember 19. Számsorozatok 15 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Műveletek konvergens sorozatokkal ∞ Legyen c ∈ R, továbbá {an }∞ n=1 és {bn }n=1 olyan konvergens sorozatok, hogy lim an = A és lim bn = B . Ekkor n∞ n∞ a) lim can = cA n∞ b) lim an + bn = A + B n∞ c) lim an bn = AB n∞ d) Amennyiben bn 6= 0 minden n ∈ N és B 6= 0, akkor lim bann = BA n∞ e) Amennyiben an > 0 és lim an = A > 0, akkor n∞ lim (an )bn = AB n∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 16 / 24 Sorozatok megadása

Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Műveletek végtelenbe tartó sorozatokkal a) Ha lim an = ∞ és {bn }∞ n=1 alulól korlátos sorozat, akkor n∞ lim an + bn = ∞ n∞ b) Ha lim an = −∞ és {bn }∞ n=1 felülről korlátos sorozat, akkor n∞ lim an + bn = −∞ n∞ c) Ha lim an = ∞ és c > 0, akkor lim can = ∞ n∞ n∞ d) Ha lim an = ∞ és c < 0, akkor lim can = −∞ n∞ n∞ e) Ha an 6= 0, lim an = ∞ és {bn }∞ n=1 korlátos sorozat, akkor n∞ bn n∞ an lim =0 e) Ha lim an = ∞ és lim bn = b, akkor n∞ n∞  ∞, ha b > 1 an lim bn = n∞ 0, ha 0 < b < 1 Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 17 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes

határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Határozatlan alakok Látható, hogy a határérték átmenet általában művelettartó. Vigyáznunk kel azonban, mivel akad néhány kivétel az úgynevezett határozatlan alakok, ekkor a megoldást nem szabad azonnal rávágni, a határérték meghatározása további számítást igényel. A leggyakoribb határozatlan alakok ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞ , ∞ 0 , 0 1∞ , ∞0 , 00 , ∞ ahol például a 1∞ , azt jelenti, hogy adott az {an }∞ n=1 és {bn }n=1 b n sorozatok, ahol lim an = 1 és lim bn = ∞. Ekkor a lim (an ) n n n∞ határértéket nem tudjuk azonnal meghatározni, az is előfordulhat, hogy a határérték nem is létezik. Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 18 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és

Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Rendőrszabály További hasznos eszköz sorozatok határértékének a meghatározására az úgynevezett rendőrszabály. ∞ ∞ • Legyenek {an }∞ n=1 , {bn }n=1 és {cn }n=1 olyan sorozatok, hogy 1 lim an = lim cn = A, n∞ 2 n∞ létezik olyan n0 ∈ N, hogy minden n > n0 természetes számra an ≤ bn ≤ cn . Akkor a {bn }∞ n=1 sorozat is konvergens és lim bn = A. n∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 19 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Rendőrszabály végtelenbe tartó sorozatokra Hasonlóan a végtelenhez tartó sorozatokra ∞ • Legyenek {an }∞ n=1 és {bn }n=1 olyan sorozatok, hogy 1 lim an = ∞, n∞ 2 létezik olyan n0 ∈ N, hogy minden n > n0 természetes számra an ≤ bn . Akkor lim bn = ∞. n∞

∞ • Legyenek {an }∞ n=1 és {bn }n=1 olyan sorozatok, hogy 1 lim an = −∞, n∞ 2 létezik olyan n0 ∈ N, hogy minden n > n0 természetes számra an ≥ bn . Akkor lim bn = −∞. n∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 20 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Nevezetes határértékek A leggyakrabban előforduló sorozatok és határértékeik a következők: Hatványsorozatok:   0, ha α < 0 α 1, ha α = 0 n  ∞, ha α > 0 Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 21 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Nevezetes határértékek Mértani sorozatok:

 0,    1, qn ∞,    nincs határértéke, |q| < 1 |q = 1 q>1 q ≤ −1 ha ha ha ha A q = −1 esetben a sorozatnak két torlódási pontja van, mégpedig az 1 és a −1, így lim inf (−1)n = −1 és lim sup(−1)n = 1. n∞ n∞ A q < −1 esetben a sorozatnak nincs véges torlódási pontja, sem alulról sem felülről nem korlátos, így lim inf q n = −∞ és n∞ lim sup q n = ∞. n∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 22 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Nevezetes határértékek Sorozatok gyorsasága ∞ Tetszőleges {an }∞ n=1 és {bn }n=1 pozitív tagú sorozatokra az an  bn azt jelenti, hogy lim n∞ bn = ∞, an ∞ tehát a {bn }∞ n=1 sorozat végtelen sokszor nagyobb az {an }n=1 sorozatnál. • Legyenek a, b, c,

tetszőleges pozitív valós számok, ahol a > 1, c > 1, akkor loga n  nb  c n  n!  nn . Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 23 / 24 Sorozatok megadása Sorozatok monotonitása és korlátossága Sorozatok határértéke Műveletek konvergens sorozatokkal Nevezetes határértékek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar Nevezetes határértékek Végül néhány fontos sorozat határértékét ismertetjük: √ • lim n a = 1, ahol a ∈ R+ , n∞ √ • lim n n = 1, n∞ √ • lim n n! = ∞, n∞
n • lim 1 + n1 = e, ahol e, az Euler-féle szám n∞ e ≈ 2, 718281828.
n • lim 1 + nt = e t , ahol t ∈ R. n∞ Filip Ferdinánd 2016 szeptember 19. Számsorozatok 24 / 24