Matematika | Felsőoktatás » Nevezetes függvény-határértékek

Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határérték(ek)re az FHk rövidı́téssel, a kompozı́ció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL2 rövidı́téssel, mı́g a ,,Nevezetes sorozat-határértékek” cı́mű jegyzetrészletben található k sorszámú sorozat-határérték(ek)re az SHk rövidı́téssel fogunk hivatkozni. 1. Minden negatı́v α szám esetén az α kitevőjű hatványfüggvény (id ) határértéke a +∞-ben nulla. Ha r olyan negatı́v racionális szám, amelyre idr a negatı́v számok halmazán is értelmezett, akkor e függvénynek a −∞-beli határértéke is nulla. Bizonyı́tás. g := idα |(0,+∞) monoton fogyó, emiatt van határértéke a +∞-ben (és ez a határérték egyenlő a g értékkészletének alsó határával). Ezek után a határértékre vonatkozó átviteli elv

szerint elég megadnunk egyetlen olyan +∞-hez tartó (pozitı́v tagú) xn sorozatot, amelyre lim(g(xn )) = 0. E célból rögzı́tsünk egy olyan m pozitı́v egészt, amelynek reciproka 0 és −α közé esik és legyen xn := 2mn . Az e sorozathoz tartozó függvényérték-sorozat pozitı́v tagú és amint az a 2 alapú exponenciális függvény monoton növő voltából következik felülről becsülhető a 2−n sorozattal, tehát valóban 0-sorozat (SH7). A második állı́tás páros vagy páratlan függvényről szól, tehát következik az elsőből. 2. Minden pozitı́v kitevőjű hatványfüggvény határértéke a +∞-ben +∞; minden pozitı́v egész m és n esetén 2m lim x 2n x! 1 1 = +∞ és 2m lim x 2n x! 1 1 1 = −∞ . Bizonyı́tás. Egy u ∈ R pontnak valamely pontozott környezetében pozitı́v [negatı́v] értékeket felvevő, és az u helyen 0-hoz tartó függvény

reciprokának határértéke +∞ [−∞], tehát az előző pontban bizonyı́tott állı́tások következményeiről van szó. 3. Bármely negatı́v kitevőjű hatványfüggvény jobb oldali határértéke a 0 helyen +∞; minden pozitı́v egész m és n esetén lim x x! 0 2m 2n 1 = +∞ és lim x x! 0 2m 1 2n 1 = −∞ . Bizonyı́tás. A pozitı́v számok, illetve a negatı́v számok H halmazán értelmezett (vagy oda leszűkı́tett) −p kitevőjű hatványfüggvény egyenlő azzal a kompozı́cióval, amelynek belső függvénye a H halmazon értelmezett x 7 1/x függvény, külső függvénye pedig az ugyancsak a H halmazon értelmezett (vagy oda leszűkı́tett) p kitevőjű hatványfüggvény. Így az itteni állı́tások a KL2 tételből és az előző pontban szereplő állı́tásokból következnek. 4. Minden pozitı́v kitevőjű hatványfüggvény határértéke a 0 helyen 0

Bizonyı́tás. Az előző bizonyı́tásban követett módszerrel a jobb oldali határérték kérdését vissza lehet vezetni a negatı́v kitevőjű hatványfüggvények +∞-beli határértékének kérdésére, sőt, ha a kitevő olyan, hogy a függvény a negatı́v számok halmazán is értelmezett, akkor a bal oldali határérték vizsgálatát ugyanı́gy lehet visszavezetni a negatı́v kitevőjű hatványfüggvények −∞-beli határértékének vizsgálatára (KL2, FH1). 1 5. Legyen r tetszőleges pozitı́v egész, b0 , , br 1 tetszőleges valós számok, br tetszőleges nullától különböző valós szám, végül minden valós x-re legyen f (x) := br xr + br Ekkor r 1x ½ 1 + . + b1 x + b0 +∞, ha br > 0, −∞, ha br < 0, lim f (x) = x!+1 továbbá lim 1 f = lim+1 f illetve lim hogy r páros, vagy páratlan. 1f = (−1) · lim+1 f attól függően, Bizonyı́tás.

Mind a négy állı́tás következik a szorzat határértékéről szóló tételekből, FH2ből, valamint abból, hogy minden valós x-re ¶ µ b0 br−1 b1 r + . + r−1 + r f (x) = x br + x x x 6. Legyenek k és m tetszőleges nemnegatı́v egészek, c0 , , ck 1 és d0 , dm 1 tetszőleges valós számok, ck és dm tetszőleges nullától különböző valós számok, végül minden olyan valós x-re, amelyre az alábbi nevező nem nulla, legyen f (x) := ck xk + ck 1x dm xm + dm Ekkor      lim f (x) = x!+1     k 1x 0, ck , dm +∞, −∞, m 1 + . + c1 x + c0 1 + . + d1 x + d0 . ha k < m, ha k = m, ha k > m és ck dm > 0, ha k > m és ck dm < 0. Ha k ≤ m vagy k − m páros pozitı́v egész, akkor lim 1 f = lim+1 f , ha k − m páratlan pozitı́v egész, akkor lim 1 f = (−1) · lim+1 f . Bizonyı́tás. Az f (x) definı́ciójában szereplő törtet

mindegyik esetben egyszerűsı́teni fogjuk xm -nel. A k < m esetben célszerű bevezetni a ci := 0 jelölést minden k-nál nagyobb és m-nél nem nagyobb i-re, ennek köszönhetően ugyanis a k < m és a k = m eset egyszerre vizsgálható. Mindkét esetben azt kapjuk, hogy az emlı́tett egyszerűsı́tés után mind a számláló, mind a nevező egy konstans és m darab nullához tartó függvény összege: f (x) = cm + dm + cm−1 x dm−1 x + . + + . + c1 xm−1 d1 xm−1 + + c0 xm d0 xm , ı́gy az új számláló határértéke a +∞-ben és a −∞-ben egyaránt cm , az új nevezőé dm (lásd FH1-t). Tegyük fel most, hogy k > m, a már előre jelzett egyszerűsı́tés után emeljük ki a számlálóból az xk−m tényezőt: c1 + xc0k + . + xk−1 ck + ck−1 x · xk−m . f (x) = dm−1 d0 d1 dm + x + . + xm−1 + xm Itt az első tényező határértéke mind a −∞-ben, mind a +∞-ben ck

/dm (FH1), a második tényezőé pedig FH2 alapján tisztázható, tehát az összes hiányzó eredményt megkapjuk a szorzat határértékéről szóló tételekből. 2 7. Az 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvények határértéke a −∞-ben 0, a +∞ben +∞, mı́g az 1-nél kisebb alapúaké a −∞-ben +∞ és a +∞-ben 0 Bizonyı́tás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes pozitı́v számok halmazával egyenlő, ı́gy mind a négy állı́tás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből. 8. Az 1-nél nagyobb alapú logaritmusfüggvények határértéke a 0 helyen −∞, a +∞ helyen +∞, mı́g az 1-nél kisebb alapúaké a 0 helyen +∞, a +∞ helyen pedig −∞. Bizonyı́tás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az

értékkészlete az összes valós számok halmazával egyenlő, ı́gy mind a négy állı́tás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből. 9. Minden egyes u valós szám esetén limu cos = cos u és limu sin = sin u Bizonyı́tás. Az (addı́ciós képletekből levezethető) ismert trigonometriai azonosságok felhasználásával a | cos x − cos u|, | sin x − sin u| eltéréseket a ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x − u¯ ¯ x + u¯ ¯ x − u¯ ¯ x + u ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin , illetve 2 ¯sin cos 2 ¯sin 2 ¯¯ 2 ¯ 2 ¯¯ 2 ¯ alakra lehet hozni, s ha figyelembe vesszük a minden valós t számra érvényes | sin t| ≤ |t|, | cos t| ≤ 1, | sin t| ≤ 1 egyenlőtlenségeket is, akkor innen látható, hogy minden ε > 0 hibakorláthoz megfelel a δ := ε választás. 10. limx!0 (sin x)/x = 1 Bizonyı́tás. Legyen ε tetszőleges pozitı́v szám Az előző pontban

bizonyı́tottak szerint lim0 cos = 1, ezért (és cos 0 = 1 miatt) van olyan δ, melyre minden x ∈ (−δ, δ) esetén 1 − ε < cos x. Az általánosság megszorı́tása nélkül feltehető, hogy ugyanerre a δ-ra minden x ∈ (0, δ) esetén sin x < x < sin x/ cos x, ı́gy minden x ∈ (0, δ) esetén 1 − ε < cos x < sin x < 1, x és minthogy a sin /id függvény páros (lévén két páratlan függvény hányadosa), az (−δ, 0) intervallumban felvett értékei szintén az (1 − ε, 1) intervallumban vannak. 11. Minden egyes u valós szám esetén lim x!u cos x − cos u x−u = − sin u és lim x!u sin x − sin u x−u = cos u. Bizonyı́tás. Az FH9 bizonyı́tása közben egyszer már alkalmazott trigonometriai formulákat ismét felhasználva, a bizonyı́tandó állı́tások ı́gy fogalmazhatók át: x−u µ ¶ x+u 2 − sin = − sin u, x−u 2 2 lim xu x−u 2 cos x + u = cos u. x−u 2

2 sin sin és lim xu Az FH10 állı́tás és a KL2 tétel szerint a közös első tényező határértéke 1, mı́g az első tényező elhagyásával adódó állı́tások az FH9-ben bizonyı́tottakból és a KL1 tételből következnek. 3 12. limx!+1 x1=x = 1 Bizonyı́tás. Legyen ε tetszőleges pozitı́v szám; bizonyı́tjuk egy olyan K pozitı́v szám létezését, melyre minden x ∈ (K, +∞) esetén x1/x ∈ (1 − ε, 1 +√ε). Lévén x ≥ 1 esetén x1/x ≥ 1, ehhez elég a következő két állı́tást igazolni: a) lim( n n + 1) = 1, s ı́gy van √ olyan K pozitı́v egész, amelytől kezdve minden n-re n n + 1 < 1 + ε, b) ha x > K, akkor x1/x ≤ ([x] + 1)1/[x] (ekkor ugyanis a vizsgált függvényünknek a K-nál nagyobb helyeken √ n felvett értékei felülről becsülhetők az ( n + 1) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint √ n 1 + ε). Az a) állı́tás bizonyı́tása

céljából induljunk ki abból, ´ lim( 2) = 1, ezért az ³ q hogy √ n n n+1 sorozat határértéke is 1, azonosan 1 sorozat és az ( 2) sorozat által közrefogott n √ tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén 1-hez tartó ( n n) sorozattal, akkor ismét 1-hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyı́tása céljából előbb az 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvények monoton növő voltát, majd a pozitı́v kitevőjű hatványfüggvények monoton növő voltát használhatjuk: x1/x ≤ x1/[x] ≤ ([x] + 1)1/[x] . 13. Ha p > 0 és 1 6= c > 0, akkor lim s!+1 logc s sp = 0. Bizonyı́tás. A logc függvény folytonos az 1 helyen, ı́gy a KL1 tétel és az imént bizonyı́tott 12. állı́tás szerint limx+∞ logc x1/x = limx+∞ (1/x) logc x = logc 1 = 0 Ebből, a KL2 tételből, és abból a tényből, hogy lim+∞ idp = +∞, következik, hogy lim +∞ logc ◦ idp = 0, id ezért ez

utóbbi függvény 1/p-szeresének a határértéke a +∞ helyen szintén nulla (márpedig a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság szerint éppen ezt a függvényt kellett vizsgálnunk). q 14. Ha q > 0 és a > 1, akkor limt!+1 at t = 0 Bizonyı́tás. Alkalmazzuk az előző állı́tást a p := 1/q, c := a szereposztással, majd újra a KL2 tételt, ezúttal arra a kompozı́cióra, amelyet az s 7 (loga s)/(s1/q ) külső, és az expa belső függvényből képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy lim t t+∞ (at )1/q = 0, ha most ez utóbbi függvényből mint belső függvényből, és az x 7 xq külső függvényből képezünk újabb kompozı́ciót, akkor 0q = 0 és FH4 miatt alkalmazhatjuk a KL1 tételt, s ebből éppen a kı́vánt eredményt kapjuk. 15. Ha p pozitı́v szám, akkor µ ¶ 1 exp − 2 = 0. lim x!0 xp x 1 4 Bizonyı́tás. A vizsgált függvény olyan kompozı́ció, amelynek

külső függvénye a pozitı́v számok halmazán értelmezett t 7 tp/2 e−t , belső függvénye pedig a 0-tól különböző valós számok halmazán értelmezett x 7 1/(x2 ) függvény. Az utóbbi határértéke a 0 helyen +∞ (FH3), az előbbié a +∞ helyen 0 (FH14), ı́gy a kompozı́cióé a 0 helyen a KL2 tétel szerint 0. 16. Ha p > 0 és 1 6= c > 0, akkor limt!0+ tp logc t = 0 Bizonyı́tás. Elég a vizsgált függvény (−1)-szereséről bizonyı́tani, hogy a határértéke a 0 helyen (jobbról) 0-val egyenlő; de ez a függvény a FH13 állı́tásban szerepelt függvénynek, mint külső függvénynek, és a pozitı́v számok halmazán értelmezett t 7 1/t függvénynek, mint belső függvénynek a kompozı́ciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +∞, ezért ismét a KL2 tételre támaszkodhatunk. 17. limt!0+ tt = 1 Bizonyı́tás. A pozitı́v számok halmazán értelmezett t

7 1/t függvénynek, mint belső függvénynek ezúttal az x 7 x1/x külső függvénnyel képezve a kompozı́cióját, ismét a KL2 tételből (és FH12-ből) kapjuk, hogy µ ¶t 1 1 = lim t = 1, lim t0+ t0+ t t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is 1. 18. limx!+1 (1 + 1/x)x = e Bizonyı́tás. Minden 1-nél nagyobb x szám teljesı́ti az µ 1 1+ [x] + 1 ¶[x] A) ≤ µ 1 1+ x ¶[x] B) ≤ µ 1 1+ x ¶x C) ≤ µ 1 1+ x ¶[x]+1 D) µ ≤ 1 1+ [x] ¶[x]+1 feltételeket: a B) és C) egyenlőtlenségeket az 1 + 1/x alapú exponenciális függvény monoton növő volta miatt, A)-t az [x] kitevőjű, D)-t pedig az [x] + 1 kitevőjű hatványfüggvény monoton növő volta miatt. Legyen ε tetszőleges pozitı́v szám; nyilván elég olyan M pozitı́v egész létezését igazolni, amelytől kezdve minden n-re ¶n+1 µ ¶n µ 1 1 < e + ε, e−ε< 1+ < 1+ n+1 n ami következik

abból, hogy limn∞ (1 + 1/(n + 1))n = limn∞ (1 + 1/n)n+1 = e, hiszen ekkor x > M esetén az [x] szám M -nél nem kisebb pozitı́v egész. Az közismert (SH13), hogy limn∞ (1 + 1/n)n+1 = e, ebből kapjuk, hogy limn∞ (1 + 1/(n + 1))n+2 = e, ez utóbbi sorozatot beszorozva az 1-hez tartó n 7 ((n + 1)/(n + 2))2 sorozattal (SH3), kapjuk az n 7 (1 + 1/(n + 1))n sorozatot, tehát ennek a határértéke is e. 19. limx! 1 (1 + 1/x)x = e. Bizonyı́tás. Az imént bizonyı́tott FH18 állı́tásból következik, hogy az ¶x+1 µ µ ¶x µ ¶¶ µ x+1 x+1 x+1 + = ; R 3 x 7 x x x 5 függvény +∞-ben vett határértéke e-vel egyenlő, ezért ugyanez mondható az ¶t µ ¶−t µ ¶−t µ t−1 t 1 = = 1+ , (1, +∞) 3 t 7 t−1 t −t függvényről is, ı́gy az utóbbiból, mint külső függvényből, és a (−∞, −1) 3 x 7 −x belső függvényből képezett kompozı́ció határértéke a −∞ helyen szintén e

(KL2). 20. limt!0 (1 + t)1=t = e Bizonyı́tás. Elég a (−1, 0) intervallumon, illetve a pozitı́v számok halmazán értelmezett t 7 (1 + t)1/t függvényekről külön-külön bizonyı́tani, hogy határértékük a 0 helyen e-vel egyenlő. Ez a két állı́tás az FH19, illetve az FH18 határérték felhasználásával a KL2 tételből következik: az előbbi esetben az FH19-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek a (−1, 0) 3 t 7 1/t belső függvénnyel, az utóbbi esetben pedig az FH18-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek az R+ 3 t 7 1/t belső függvénnyel kell képezni a kompozı́cióját. 21. Ha 1 6= c > 0, akkor limt!0 (1/t) logc (1 + t) = logc e = 1/ ln c Bizonyı́tás. A vizsgált függvény a(z e helyen folytonos) logc külső függvényből és az FH20 állı́tásban szerepelt függvényből mint belső függvényből képezett kompozı́ció, ezért

(KL1 szerint) határértéke a 0 helyen valóban logc e. 22. Ha 1 6= c > 0 és a > 0, akkor limx!a logc x logc a 1 = a
ln c. Bizonyı́tás. Ez az állı́tás a KL2 tételből következik: képezzük az FH21 állı́tásban szereplő (külső) függvénynek a kompozı́cióját az (injektı́v) x 7 x/a − 1 belső függvénnyel, majd szorozzuk meg ezt a kompozı́ciót 1/a-val! x a x 23. Ha c > 0, akkor limx!0 c x 1 = ln c Bizonyı́tás. c = 1 esetén az állı́tás nyilvánvaló Ha c 6= 1, akkor FH21-ből következik, hogy limt0 (t/ logc (t+1)) = ln c, ha ebből a (külső) függvényből és az x 7 cx −1 belső függvényből képezünk kompozı́ciót, akkor éppen a vizsgált függvényt kapjuk, a belső függvény injektı́v, és határértéke a 0 helyen 0, ı́gy ismét alkalmazható a KL2 tétel. x u 24. Ha c pozitı́v és u valós szám, akkor limx!u cx cu = cu · ln c Bizonyı́tás.

Ismét a KL2 tételt alkalmazzuk: ezúttal az előző állı́tásban szereplő függvény legyen a külső függvény és az x 7 x − u függvény a belső függvény, végül szorozzuk meg a kompozı́ciót a cu számmal. 25. limu (xc −uc )/(x−u) = c·uc 1 , ha A) c = 0, vagy B) u > 0, vagy C) u = 0 és c ≥ 1, vagy D) u < 0 és c előáll egy egész és egy páratlan pozitı́v egész hányadosaként. Bizonyı́tás. A) Az azonosan nulla függvény határértéke nulla B) Most már feltehető, hogy c 6= 0, ekkor minden u-tól különböző pozitı́v x esetén ec ln x − ec ln u ln x − ln u x c − uc =c· · . x−u c ln x − c ln u x−u A második tört határértéke FH22 szerint 1/u, az elsőé pedig FH24 és KL2 szerint ec ln u = uc . C) c = 1: konstans függvény, c > 1: lásd FH4-t D) A c és a c − 1 kitevőjű hatványfüggvények közül az egyik páros, a másik páratlan, ez

alapján az állı́tás visszavezethető az u > 0 esetre. 6 26. Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H R+ , g : H R, és tegyük fel, hogy létezik a limu f =: A és a limu g =: K határérték. Ekkor a H halmazon értelmezett x 7 (f (x))g(x) függvény határértéke az u helyen egyenlő AK -val, ha (A, K) ∈ R+ × R, egyenlő 0-val, ha az (A, K) pár a ([0, 1) × {+∞}) ∪ ({0} × R+ ) ∪ ((1, +∞] × {−∞}) ∪ ({+∞} × (−∞, 0)) halmazban van, és egyenlő +∞-nel, ha az (A, K) pár az ((1, +∞] × {+∞}) ∪ ({+∞} × R+ ) ∪ ([0, 1) × {−∞}) ∪ ({0} × (−∞, 0)) halmazban van. Bizonyı́tás. Minden x ∈ H esetén (f (x))g(x) = eg(x)·ln(f (x)) . Ha A pozitı́v szám és K valós szám, akkor a KL1 tételt alkalmazhatjuk, éspedig kétszer: először az ln ◦f kompozı́cióra, másodszor az exp külső és a g · (ln ◦f ) belső függvény kompozı́ciójára. A további állı́tások olyan

esetekre vonatkoznak, amikor a kitevő határértéke −∞, illetve +∞, ekkor a KL2 tétel alkalmazható. A részletek végiggondolását a Kedves Olvasóra bı́zzuk. 27. Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H R+ , g : H R, limu f = 1, végül tegyük fel, hogy létezik a limx!u (f (x) − 1)g(x) =: β határérték. Ekkor  0, ha β = −∞,  g (x) e , ha β ∈ R, lim (f (x)) = lim exp = x!u  +∞, ha β = +∞. Bizonyı́tás. Az FH21 állı́tással egyenértékű az, hogy limt1 (ln t)/(t − 1) = 1, az utóbbival pedig az, hogy (lásd a határérték és folytonosság kapcsolatairól szóló egyik tételt) az   ln t , ha t ∈ R+ {1}, F (t) := t−1  1, ha t = 1 utası́tással értelmezett F : R+ R függvény folytonos az 1 helyen. F definı́ciójából következik, hogy minden x ∈ H esetén ln f (x) = (f (x) − 1) F (f (x)), ezért (f (x))g(x) = e[g(x)(f (x)−1)]·F (f (x)) . A tétel egyik feltétele

szerint a szögletes zárójelek között lévő első tényező határértéke β, a KL1 tétel szerint a második tényező határértéke 1, ı́gy a kitevő határértéke β. Innen β ∈ R esetén a KL1, β ∈ / R esetén KL2 tétel alapján állı́thatjuk, hogy a vizsgált függvény határértéke megegyezik az exponenciális függvénynek a β helyen vett határértékével. 28. Legyenek a1 , a2 ,,am pozitı́v számok (m > 1 egész), ekkor à lim x!0 !1 m x X 1 √ axk = m a1 · a2 · . · am m k=1 Bizonyı́tás. Az előző állı́tás alkalmazható (lásd az FH23 határértéket) 7