Matematika | Felsőoktatás » Markó Zoltán - Cardano-képlet

Cardano-képlet Szerkesztette: Markó Zoltán 2009. január 15 A harmadfokú egyenlet általános alakja: y 3 + ay 2 + by + c = 0 (1) a , 3 2 ekkor (1) a következő alakot ölti: Megoldóképletének levezetéséhez legyen y := x − 3 2 3 a xa a 2xa ab − ax2 + + ax2 + − + bx − +c=0 27 3 9 3 3 Ez a megfelelő összevonások után x3 − x3 + px + q = 0 (2) alakba ı́rható, jelölje x0 enneke egy gyökét C-ben. Tekintsük az u2 − x0 u − p3 = 0 másodfokú egyenletet, jelöljük gyökeit α, β-val. A másodfokú egyenlet gyökeire és együtthatóira vonatkozó összefüggések szerint ekkor α + β = x0 p αβ = − 3 (4) szerint 3αβ + p = 0. Helyettesı́tsük be (3) szerint x0 -ra kapott értéket (2)-be: (3) (4) α3 + β 3 + 3α2 β + 3αβ 2 + pα + pβ + q = 0 α3 + β 3 + (3αβ + p)α + (3αβ + p)β + q = 0 α3 + β 3 = −q 3 p . Ez éppen azt jelenti, hogy α3 és Tehát α3 + β 3 = −q, és (4)-t

köbre emelve α3 β 3 = − 27 3 p β 3 gyökei a z 2 + qz − 27 = 0 egyenletnek. A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint megoldásai: r q 2 p3 q z1,2 = − ± + , 2 4 27 ahol z1 = α3 , z2 = β 3 , ı́gy tehát (komplex) köbgyököt vonva: s s r r 2 3 3 3 q q 2 p3 q p q α= − + + ; β= − − + . 2 4 27 2 4 27 És ekkor s r s r 3 q q q 2 p3 x0 = α + β = − + + + − − + . (5) 2 4 27 2 4 27 (5) az ún. Cardano-képlet x0 ismeretében 1 gyökei már könnyen meghatározhatók 3 q2 p3 1