Matematika | Felsőoktatás » Vektorgeometria 2

Vektorgeometria (2) ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit 1. Tekintsünk a térben egy � (�1, �2, �3) pontot és egy v = (�1, �2, �3) ∕= 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik, amelyik átmegy a � ponton és párhuzamos a v vektorral. Ennek az egyenesnek a paraméteres vektoregyenlete − r = �� + � ⋅ v, � ∈ ℝ, (1) ahol az r = (�, �, �) az egyenes futópontjának helyvektora, a � valós szám a paraméter, a v vektor az egyenes irányvektora. Ez azt jelenti, hogy ha megadjuk a � paraméter értékét, akkor a kapott r helyvektorú pont rajta van az egyenesen, és fordı́tva, az egyenes minden pontjának r helyvektora megkapható úgy, hogy a paraméter helyére alkalmas számot helyettesı́tünk. Az (1) vektoregyenletben az egyenlőség az jelenti, hogy a bal és a jobb oldalon álló vektorok megfelelő koordinátái egyenlők. Ha felı́rjuk ezeket a

koordinátákra vonatkozó egyenleteket, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. ⎧ ⎨ � = �1 + �1 � � = �2 + �2� , � ∈ ℝ. (2) ⎩ � = �3 + �3� Szinte minden esetben a paraméteres egyenletrendszert fogjuk használni. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 1 Írjuk fel a � (1, 2, 3) és �(2, 1, 1) pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Megoldás: A paraméteres egyenletrendszer felı́rásához kell egy pont, amin biztosan átmegy a szóban forgó egyenes, és kell egy vektor, amivel biztosan párhuzamos. A pontnak választhatjuk a � pontot, az irányvektornak − pedig a v = � � = (1, −1, −2) vektort. Ezekkel az egyenes paraméteres egyenletrendszere ⎧ ⎨� = 1+� � = 2 − � , � ∈ ℝ. ⎩ � = 3 − 2� Például, ha � paraméter helyére 0-t helyettesı́tünk, akkor megkapjuk az egyenes �

pontját, ha 1-et, akkor a � pontot, ha 3-at, akkor az egyenes egy további �(4, −1, −3) pontját. Az �(0, 3, 5) pont rajta van az egyenesünkön, mert a � = −1 válsztással ezt a pontot kapjuk a paraméteres egyenletrendszerből, de a �(−1, 3, 7) pont nincs az egyenesen, mert az első koordinátája miatt csak a � = −2 paraméterhez tartozhatna, de akkor a második koordinátának 4-nek kéne lenni. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Ha a paraméteres egyenletrendszer felı́rásához a � pontot és a w = −2v = (−2, 2, 4) irányvektort használtuk volna, akkor azt kapjuk, hogy ⎧ ⎨ � = 2 − 2� � = 1 + 2� , � ∈ ℝ. ⎩ � = 1 + 4� Ez a két paraméteres egyenletrendszer nyilván ugyanahhoz az egyeneshez tartozik. Ha egy vektor jó irányvektornak, akkor minden számszorosa is jó. Két különböző paraméteres egyenletrendszerről a következő

módon lehet eldönteni, hogy ugyanannak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerei. Először is a két irányvektornak, amelyek koordinátái rendre a paraméterek együtthatói, párhuzamosaknak, azaz egymás számszorosainak kell lenniük. Ezentúl bárhogy megválasztva ez egyik egyenletrendszer paraméterének értékét, a kapot pontot meg kell tudni kapni a másik egyenletrendszerből is egy alakalmas ottani paraméterértékkel. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 2 Határozzuk meg az alábbi egyenesek metszéspontját. ⎧ ⎧ ⎨� = 2+� ⎨� = 4+� � : � = −1 − � , � ∈ ℝ, � : � = 1 + 3� , � ∈ ℝ. ⎩ ⎩ � = 1 − 2� � = � Megoldás: A � metszéspont rajta van mindkét egyenesen, azaz van olyan �∗ és �∗ paraméterérték, hogy ⎧ ⎨ 2 + �∗ = 4 + �∗ −1 − �∗ = 1 + 3�∗ ⎩ 1 − 2�∗ = �∗ Ezt a

�∗ -ot és �∗ -ot úgy lehet megtalálni, hogy megoldjuk a ⎧ ⎨ 2+� = 4+� ⎩ −1 − � = 1 + 3� 1 − 2� = � kétismeretlenes, de három egyenletből álló lineáris egyenletrendszert. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Ezt úgy érdemes csinálni, hogy kiválasztjuk bármelyik két egyenletet, azokat megoldjuk, majd leellenőrizzük, hogy a kapott megoldás a harmadik egyenletet is kielégı́ti-e. Ha igen, akkor megvan a megoldás, ha nem, akkor nincs megoldás, és ı́gy nincs metszéspont sem. Ha az első két egyenletet összeadjuk, kapjuk, hogy 1 = 5 + 4�, amiből � = −1. Ezt az első egyenletbe beı́rva 2 + � = 3, amiből � = 1. Ezek az értékek a harmadik egyenleteket is kielégı́tik Tehát a metszéspont az első paraméteres egyenletrendszerből a � = 1 helyettesı́téssel � (3, −2, −1). Természetesen ugyanezt kapjuk, ha a második

paraméteres egyenletrendszerbe helyettesı́tünk � = −1-et. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit 2. Tekintsünk a térben egy � (�1, �2, �3) pontot és egy n = (�1, �2, �3) ∕= 0 vektort. Ekkor pontosan egy sı́k létezik, amelyik átmegy a � ponton és merőleges az n vektorra. Ennek a sı́knak a normálegyenlete − ⟨r − �� , n⟩ = 0, (3) ahol az r = (�, �, �) a sı́k futópontjának helyvektora. Ha ezt a skalárzorzatot felı́rjuk a benne szereplő vektorok koordinátáival, akkor a sı́k egyenletét kapjuk �1(� − �1) + �2(� − �2) + �3(� − �3) = 0. (4) Ez rendezés után �1� + �2� + �3� + � = 0 (5) alakú. Minden pontnak a koordinátái, amelyik illeszkedik a sı́kra, kielégı́tik ezt az egyenletet, és minden pont, amelynek a koordinátái kielégı́tik ezt az egyenletet a szóbanforgó sı́k egy pontja. Ha egy

sı́k egyenletét megszorozzuk egy tetszőleges, nullától különböző számmal, attól az még ugyanannak a sı́knak az egyenlete marad, a sı́k egyenlete csak egy konstans szorzó erejéig egyértelmű. Egy sı́k két egyenlete nem is különbözhet másban, csak abban, hogy egyik a másiknak számszorosa. Ha egy vektor jó normálvektornak, akkor minden számszorosa is jó. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 3 Írjuk fel a � (1, 2, 3) és �(2, 1, 1), �(−1, 1, −2) pontokon átmenő sı́k egyenletét. Megoldás: Egy sı́k egyenletének felı́rásához kell egy pont, ami biztosan a sı́kon van. Ez lehet most pl a � pont Ezenkı́vül szükségünk van egy olyan n normálvektorra, ami merőleges a sı́kra. Ilyen vektort a legtöbbször nekünk kell készı́teni. Ha egy vektor merőleges a sı́kra, akkor merőleges minden, a sı́kban benne fekvő vektorra is.

Ezért, ha találunk két nem párhuzamos vektort, amelyek biztosan a sı́kban fekszenek, akkor ezek vek− toriális szorzata jó lesz normálvektornak. Most a � � = (1, −1, −2) − és a � � = (−2, −1, −5) vektorok biztosan a sı́kban vannak és nem párhuzamosak, tehát a normálvektor lehet − − n = �� × �� = i j k 1 −1 −2 = (3, 9, −3). −2 −1 −5 Ezekkel a sı́k egyenlete 3(� − 1) + 9(� − 2) − 3(� − 3) = 0, 3� + 9� − 3� − 12 = 0. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 4 Tekintsük az alábbi � egyenest és � sı́kot. ⎧ ⎨� = 2−� � : � + � − 2� − 5 = 0. � : � = 1 + � , � ∈ ℝ, ⎩ � = 1 − 2� Igazoljuk, hogy az egyenes döfi a sı́kot és számoljuk ki a döféspont koordinátáit. Megoldás: Az egyenes akkor nem döfi a sı́kot, ha párhuzamos vele. Ez akkor következik be, ha az egyenes

irányvektora párhuzamos a sı́kkal, azaz merőleges a sı́k normálvektorára. Az egyenes paraméteres egyenletrendszeréből és a sı́k egyenletéből leolvasható a v irányvektor és az n normálvektor. Most v = (−1, 1, −2), n = (1, 1, −2). Ez a két vektor akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. Mivel ⟨v, n⟩ = 4 ∕= 0, az egyenes nem párhuzamos a sı́kkal, tehát van döféspont. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit A döféspont rajta van az egyenesen és a sı́kon is. Ezt a pontot úgy lehet meghatározni, hogy megkeressük azt a paraméterértéket, amelyhez tartozó pont az egyenesről kielégı́ti a sı́k egyenletét is. Ezt a paraméterértéket persze úgy lehet megtalálni, hogy az egyenes futópontjának a paraméterrel kifejezett �, � , � koordinátáját beı́rjuk a sı́k egyenletébe és megoldjuk a paraméterre kapott egyenletet. Azaz

most megoldjuk a (2 − �) + (1 + �) − 2(1 − 2�) − 5 = 0 egyismeretlenes lineáris egyenletet. Az adódik, hogy � = 1 Az � döféspont koordinátái tehát � (1, 2, −1). 3. Tudjuk, hogy a � (�1, �2, �3) és a �(�1, �2, �3) pontok távolsága �� � = √ (�1 − �1)2 + (�2 − �2)2 + (�3 − �3)2. A � pont és egy rá nem illeszkedő � egyenes �� � távolságát úgy kapjuk, hogy a � pontot merőlegesen levetı́tjük az � egyenesre, majd kiszámoljuk a � pont és a � vetületpont távolságát. Ha � az egyenes egy tetszőleges pontja, v az irányvektora, akkor �� � = − ∥�� × v∥ ∥v∥ . (6) ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit 4. A � pont és egy rá nem illeszkedő � sı́k �� � távolságát úgy kapjuk, hogy a � pontot merőlegesen levetı́tjük az � sı́kra, majd kiszámoljuk a � pont

és a � vetületpont távolságát. Ha � a sı́k egy tetszőleges pontja, n a normálvektora, akkor �� � = − ∣⟨�� , n⟩∣ ∥n∥ . (7) 5. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának és a másik egyenesnek a távolsága. Két párhuzamos sı́k távolsága az egyik sı́k egy tetszőleges pontjának és a másik sı́knak a távolsága. Egy egyenes és egy vele párhuzamos sı́k távolsága az egyenes egy tetszőleges pontjának és a sı́knak a távolsága. Két kitérő egyenes távolsága az egyeneseket tartalmazó párhuzamos sı́kok távolsága. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit 6. Tudjuk, hogy a v és a w vektorok � szöge a cos � = ⟨v, w⟩ ∥v∥ ⋅ ∥w∥ formulából határozható meg. Két egymást metsző egyenes szöge az irányvektoraik szöge, ha az hegyes szög, ha az tompaszög, akkor

180∘ -ból kivonva őt kapjuk az egyenesek szögét. 7. Két sı́k szöge a normálvektoraik szöge, ha az hegyes szög, ha az tompaszög, akkor 180∘ -ból kivonva őt kapjuk a sı́kok szögét 8. Egy egyenes és egy sı́k szögét úgy kapjuk, hogy 90∘-ból kivonjuk az egyenes irányvektorának és a sı́k normálvektorának a szögét, ha az hegyes szög. Ha az tompaszög, akkor belőle kivonva 90∘ -ot kapjuk az egyenes és a sı́k szögét. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 5 Az � − 2� + � − 10 = 0 sı́któl milyen messze van az origó és hány fokos szögben metszi őt az � tengely? Megoldás: A sı́k normálvektora n = (1, −2, 1). Választunk egy pontot a sı́król. Például az �(10, 0, 0) pont koordinátái kielégı́tik a sı́k egyenletét, ez a pont tehát a sı́kon van. Most az origó fogja játszani a (7) képletben a − �

szerepét. Ekkor �� = (−10, 0, 0), tehát ��� = − ∣⟨��, n⟩∣ ∥n∥ = ∣ − 10∣ 10 √ =√ . 6 6 Az � tengelynek, mint egyenesnek az irányvektora persze lehet v = (1, 0, 0). Jelöljük �-val a v és az n vektorok szögét Ekkor cos � = ⟨v, n⟩ ∥v∥ ⋅ ∥n∥ = 1 √ ⇒ � = 65.9∘ 1⋅ 6 Mivel � hegyesszög, az � tengely és a sı́k hajlásszöge 90∘ − � = 24.1∘ ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 6 Tekintsük az alábbi � egyenest és � sı́kot. ⎧ ⎨� = 2 � : � = 1 − 5� , � ∈ ℝ, � : � − � − � − 2 = 0. ⎩ � = −1 − � Határozzuk meg � � -re vett vetületének paraméteres egyenletrendszerét. Megoldás: Az � egyenes irányvektora v = (0, −5, −1), a sı́k normálvektora n = (1, −1, −1). Mivel ⟨v, n⟩ = 6 ∕= 0, az egyenes döfi a sı́kot. (Ha párhuzamos lenne vele, akkor

nem úgy kellene számolni, mint ahogy a következőkben tesszük. Minden feladatban érdemes először tisztázni a térelemek viszonyát. Speciális esetekben - párhuzamosság, merőlegesség megléte - nem mindig lehet úgy számolni, mint az általános esetben.) Egy egyenes a kérdés, a paraméteres egyenletrendszerének felı́rásához egy pontját biztosan meg kell határozni. Az � döféspont nyilván rajta van az eredeti egyenes vetületén is, célszerűnek tűnik őt kiszámolni. 2 − (1 − 5�) − (−1 − �) − 2 = 0 ⇒ � = 0 ⇒ � (2, 1, −1). A vetület irányvektorát kell még kiszámolnuk. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Ha az egyenes egy, a döfésponttól különböző � pontját levetı́tjük a sı́kra, akkor a kapott � vetületi pont és az � pont által meghatározott −− � � jó lesz irányvektornak. Például az egyenes

egy pontja a � = 1 paraméterérték mellett � (2, −4, −2). Ennek � vetületét az � sı́kon úgy kapjuk, hogy meghatározzuk a � -n átmenő, � -re merőleges � egyenest és vesszük ennek és � -nek a döféspontját. A � egyenes irányvektora lehet a w = n vektor. Tehát ⎧ ⎨� = 2+� � : � = −4 − � , � ∈ ℝ. ⎩ � = −2 − � (2+�)−(−4−�)−(−2−�)−2 = 0 ⇒ � = −2, ⇒ �(0, −2, 0). −− A keresett egyenes irányvektora tehát lehet az � � = (−2, −3, 1) vektor. Így a vetület paraméteres egyenletrendszere ⎧ ⎨ � = 2 − 2� ⎩ � = 1 − 3� , � ∈ ℝ. � = −1 + � ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Feladat 7 Számı́tsuk ki az alábbi egyenesek távolságát. ⎧ ⎧ ⎨ � = 3 + 2� ⎨ � = −2 − 3� � : � = −2� , � ∈ ℝ, � : � = 2 + � ,� ∈ ℝ ⎩ ⎩ � = −2 − �

� = 4+� Megoldás: Két egyenes távolságát két esetben értelmeztük: ha párhuzamosak, (ekkor egy sı́kban is vannak), vagy ha kitérők. Az � egyenes irányvektora v = (2, −2, −1), az � egyenes irányvektora w = (−3, 1, 1). Ezek a vektorok nem párhuzamosak Azt, hogy kitérők úgy tudjuk leellenőrizni, hogy megmutatjuk, hogy nem is metszik egymást. A ⎧ ⎨ 3 + 2� = −2 − 3� ⎩ −2� = 2 + � −2 − � = 4 + � egyenletrendszer harmadik egyenletéből kivonva a másodikat −2+� = 2, azaz � = 4, a második egyenletből � = −10. Ezek az értékek azonban nem elégı́tik ki az első egyenletet, tehát az egyenesek kitérők. ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit Van tehát két párhuzamos �1 és �2 sı́k, amelyek közül �1 -ben fekszik az � egyenes, és �2 -ben az � . Ennek a két sı́knak közös lehet az n normálvektora. Erre az n

vektorra egyedül annak kell teljesülni, hogy merőleges legyen v-re és w-re is. Tehát az n = v × w választás jó lesz i j k n = v × w = 2 −2 −1 = (−1, 1, −4). −3 1 1 Tudjuk, hogy ennek a két sı́knak a távolsága az egyenesek távolsága, ami az �1 sı́k egy pontjának és az �2 sı́knak a távolsága. Ahhoz, hogy alkalmazni tudjuk a (7) képletet legyen az �1 sı́k egy � pontja az � egyenesről a � = 0 választással kapott � (3, 0, −2), az �2 sı́k egy � pontja az � egyenesről az � = 0 választással kapott �(−2, 2, 4) pont. Ekkor − �� = (5, −2, −6) és a keresett távolság �� �2 = − ∣⟨�� , n⟩∣ ∥n∥ 17 =√ . 18 ∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit