Matematika | Tanulmányok, esszék » Inverz függvények

Inverz függvények 2015.1014 Inverz függvények 2015.1014 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvény fogalma 2 Szig. monoton függvények inverze 3 Az inverz függvény tulajdonságai 4 Elemi függvények inverzei 5 Összefoglalás Inverz függvények 2015.1014 2 / 26 Az inverz függvény fogalma Deníció Az f valós függvény invertálható, ha injektív, azaz x , y ∈ D (f ), esetén f (x ) 6= f (y ). x 6= y f grakonját tekintve ez azt jelenti, hogy a grakon minden vízszintes egyenest legfeljebb 1 pontban metsz. Deníció Invertálható f függvény esetén g az f inverze, ha g értelmezési tartománya (D (g )) megegyezik f értékkészletével (R (f )), és f (x ) = y esetén g (y ) = x . x g f y A grakonok szempontjából ez azt jelenti, hogy f és egymás tükörképe az y = x egyenesre nézve. g pontosan akkor inverze f -nek, ha f inverze g -nek. Inverz függvények g grakonja 2015.1014 3 / 26 Az inverz függvény fogalma Tétel

Ha f és g valós függvények, akkor g pontosan akkor inverze f -nek, ha ∀x ∈ D (f ) g (f (x )) = x és ∀y ∈ D (g ) f (g (y )) = y . Példa √ √ √ f (x ) = x 3 inverze g (x ) = x , hisz x ∈ R esetén ( x )3 = x és x 3 = x . 3 3 y x3 √ 3 3 x x Inverz függvények 2015.1014 4 / 26 Az inverz függvény fogalma Példa √ f (x ) = x√2 -nek nem inverze g (x ) = x√, mert bár x ∈ D (g ) = [0, ∞) esetén ( x )2 = x , de ha x ∈ R akkor x 2 = |x |, és x < 0-ra ez nem egyezik meg x -szel. f (x ) = x 2 igazából nem is invertálható, hiszen nem injektív (x 2 = (−x )2 ). y x2 x Mi ilyenkor a teend®? =⇒ Szorítsuk meg a függvényt egy olyan halmazra, ahol invertálható! Inverz függvények 2015.1014 5 / 26 Az inverz függvény fogalma Deníció Legyen f egy valós függvény. H ⊆ D (f ) esetén f megszorítása H -ra (jel: f |H ) az a h függvény, amelyre D (h) = H és ∀x ∈ H h(x ) = f (x ). Példa √ f (x ) = x 2

|[0,∞) invertálható, és inverze g (x ) = x . y x 2 |[0,∞) √ x x Inverz függvények 2015.1014 6 / 26 Szig. monoton függvények inverze Szig. monoton függvények inverze Állítás Ha az f valós függvény szigorúan monoton növ® vagy szigorúan monoton csökken®, akkor invertálható. Megjegyzés Az állítás megfordítása nem igaz, pl. f (x ) = x1 invertálható, és inverze önmaga, de mégsem szogorúan monoton az értelmezési tartományán. y x Inverz függvények 2015.1014 7 / 26 Szig. monoton függvények inverze Tétel Ha az f valós függvény folytonos és invertálható az I intervallumon, akkor f szigorúan monoton növ® vagy szigorúan monoton csökken®. Bizonyítás (vázlat) Ha a, b ∈ I és a < c < b, akkor f (a) < f (c ) < f (b) vagy f (a) > f (c ) > f (b), ellenkez® esetben a Bolzano-Darboux-tétel miatt nem lehetne invertálható. f y a c b x Inverz függvények 2015.1014 8 / 26 Szig. monoton

függvények inverze Bizonyítás (folytatás) Ha a, b ∈ I és a < c < d < b, akkor f (a) < f (b) esetén f (c ) < f (d ) (és f (a) > f (b) esetén f (c ) > f (d )), ellenkez® esetben az el®z® pontot alkalmazva a-ra és d -re ellentmondásra jutnánk, hisz pl. az els® esetben f (a), f (d ) ≤ f (c ) lenne. Ez viszont azt jelenti, hogy minden I -beli zárt intervallumon a végpontoknak megfelel®en a függvény vagy szigorúan monoton növ®, vagy szigorúan monoton csökken®, és így a teljes I intervallumon is szigorúan monoton. Következmény Ha egy folytonos függvényt szeretnénk invertálni, akkor olyan maximális intervallumra kell megszorítani, ahol szigorúan monoton. Inverz függvények 2015.1014 9 / 26 Az inverz függvény tulajdonságai Az inverz függvény tulajdonságai Tétel Legyen 1 2 3 f egy invertálható valós függvény, melynek inverze g . Ekkor: D (g ) = R (f ), D (f ) = R (g ) Ha f szigorúan monoton növ®

(csökken®), akkor g is sszigorúan monoton növ® (csökken®). Ha f folytonos, akkor g is folytonos. Bizonyítás 1. Volt korábban 2. x1 g (y1 ) < < x2 g (y2 ) ⇐⇒ ⇐⇒ f (x1 ) y1 Inverz függvények < < f (x2 ) y2 2015.1014 10 / 26 Az inverz függvény tulajdonságai Bizonyítás (folytatás) 3. f invertálható és folytonos =⇒ szigorúan monoton Legyen pl szig monoton nov® és vegyünk egy tetsz®leges ε > 0-t. y f (x0 + ε) f (x0 ) + δ f (x0 ) f (x0 ) − δ f (x0 − ε) x0 − ε x0 x0 + ε x ∀ε > 0 ∃δ > 0 (f (x0 ) − δ, f (x0 ) + δ) ⊆ (f (x0 − ε), f (x0 + ε)) Inverz függvények 2015.1014 11 / 26 Elemi függvények inverzei Hatványfüggvények inverzei - gyökfüggvények √ f (x ) = x n , n pozitív páratlan egész =⇒ invertálható és inverze g (x ) = n x y y xn √ n x x x D (f ) = R (g ) = R D (g ) = R (f ) = R Inverz függvények 2015.1014 12 / 26 Elemi függvények inverzei f

(x ) = x√n , n pozitív páros egész =⇒ f g (x ) = n x y |[0,∞) invertálható és inverze y xn √ n x D (f |[0,∞) ) = R (g ) = [0, ∞) x x D (g ) = R (f Inverz függvények |[0,∞) ) = [0, ∞) 2015.1014 13 / 26 Elemi függvények inverzei Trigonometrikus függvények inverzei - arkusz függvények f (x ) = sin x =⇒ f |[− π , π ] invertálható és inverze g (x ) = arcsin x y 2 2 y sin x D (f π π |[− π , π ] ) = R (g ) = [− , ] 2 2 arcsin x x 2 2 x D (g ) = R (f Inverz függvények |[− π , π ] ) = [−1, 1] 2 2 2015.1014 14 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = cos x =⇒ f |[0,π] invertálható és inverze g (x ) = arccos x y y cos x D (f arccos x x |[0,π] ) = R (g ) = [0, π] x D (g ) = R (f Inverz függvények |[0,π] ) = [−1, 1] 2015.1014 15 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = tg x =⇒ f |[− π , π ] invertálható és inverze g (x ) = arctg x 2 2 y y tg x D (f x π

π |[− π , π ] ) = R (g ) = [− , ] 2 2 2 2 π lim arctg x = − , x −∞ 2 arctg x D (g ) = R (f x |[− π , π ] ) = R 2 2 π lim arctg x = x ∞ 2 Inverz függvények 2015.1014 16 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = ctg x =⇒ f |[0,π] invertálható és inverze g (x ) = arcctg x y y ctg x D (f arcctg x x |[0,π] ) = R (g ) = [0, π] lim arctg x = π, x −∞ x D (g ) = R (f |[0,π] ) = R lim arctg x = 0 x ∞ Inverz függvények 2015.1014 17 / 26 Elemi függvények inverzei Hiperbolikus függvények inverzei - area függvények f (x ) = sh x =⇒ f invertálható és inverze g (x ) = arsh x y y sh x arsh x x x D (f ) = R (g ) = R D (g ) = R (f ) = R Inverz függvények 2015.1014 18 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = ch x =⇒ f |[0,∞) invertálható és inverze g (x ) = arch x y y ch x D (f arch x x |[0,∞) ) = R (g ) = [0, ∞) D (g ) = R (f Inverz függvények x |[0,∞) ) = [1, ∞)

2015.1014 19 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = th x =⇒ f invertálható és inverze g (x ) = arth x y y arth x th x x x D (f ) = R (g ) = R D (g ) = R (f ) = (−1, 1) Inverz függvények 2015.1014 20 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = cth x =⇒ f |R{0} invertálható és inverze g (x ) = arcth x y y arcth x cth x x x D (f ) = R (g ) = R{0} D (g ) = R (f ) = R[−1, 1] Inverz függvények 2015.1014 21 / 26 Elemi függvények inverzei Exponenciális függvények inverzei - logaritmusfüggvények f (x ) = ax , 1 < a =⇒ f y invertálható és inverze g (x ) = loga x y ax x x loga x D (f ) = R (g ) = R D (g ) = R (f ) = (0, ∞) Inverz függvények 2015.1014 22 / 26 Elemi függvények inverzei f (x ) = ax , 0 < a < 1 =⇒ f invertálható és inverze g (x ) = loga x y y ax loga x x x D (f ) = R (g ) = R D (g ) = R (f ) = (0, ∞) Inverz függvények 2015.1014 23 / 26 Elemi függvények inverzei A

logaritmusfüggvények tulajdonságai Speciális eset a természetes alapú logaritmus: loge x = ln x Megjegyzés ax = e x ln a Ezt az azonosságot jól lehet használni f (x )g (x ) alakú függvények határértékének meghatározásakor: lim g (x ) ln f (x ) lim f (x )g (x ) = lim e g (x ) ln f (x ) = e x c , x c x c mivel az e x függvény folytonos. Inverz függvények 2015.1014 24 / 26 Elemi függvények inverzei Állítás (A logaritmusfüggvények azonosságai) Legyen 1 6= a > 0, b ∈ R és x , y > 0. Ekkor: loga xy = loga x + loga y loga x b = b loga x x loga x = ln ln a 1 2 3 Bizonyítás aloga x +loga y = aloga x aloga y = xy ab loga x = (aloga x )b = x b 1 2 3 a ln ln x a = e ln a ln ln x a = e ln x = x Inverz függvények 2015.1014 25 / 26 Összefoglalás Összefoglalás Az inverz függvény fogalma Szig. monoton függvények inverze Elemi függvények inverzei (gyök, arkusz és area függvények) A logaritmusfüggvény és

tulajdonságai Inverz függvények 2015.1014 26 / 26