Gépészet | Géprajz » Szabó Ferdinánd - Műszaki ábázolás II.

Szabó Ferdinánd MŰSZAKI ÁBRÁZOLÁS II. Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: Szabó Ferdinánd tanszéki mérnök Lektor: Patonai Dénes DLA egyetemi tanár Szabó Ferdinánd, 2006 Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék A dokumentum használata Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa

található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 3 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 1.1 A jegyzet célja 5 1.2 A geometria ma 5 2. Görbe vonalak 7 2.1 Síkgörbék 7 2.2 A térgörbék 19 3. Görbe felületek 22 3.1 A gömb 26 3.2 A henger 35 3.3 A kúp 48 3.4 A

tórusz 65 3.5 Forgástestek áthatása72 4. Árnyékszerkesztés 96 4.1 Térelemek árnyéka 96 4.2 Sokszögek, szögletes testek árnyéka101 4.3 Henger, kúp és gömb árnyéka106 4.4 Görbe felületekre vetett árnyék 109 5. Perspektíva 115 5.1 A centrális kollineáció 115 5.2 Ábrázolás a centrális kollineáció rendszerében 124 5.3 Perspektivikus ábrázolás 143 5.4 Árnyékszerkesztés perspektivikus képen159 Irodalomjegyzék .167 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Bevezetés Vissza ◄ 5 ► 1. Bevezetés 1.1 A jegyzet célja A Műszaki ábrázolás II. jegyzet elsősorban építészmérnök hallgatóknak szól. Célja az első féléves ismeretek kibővítése olyan ismeretanyaggal, melyek az építészmérnöki gyakorlat mindennapjaiban hasznos segítséget nyújthatnak. A jegyzet továbbra is a térgeometria

ismeretanyagát tárgyalja Először az első félév törzsét adó Monge-féle ábrázolási rendszer kibővítése következik a forgástestek leírásával, tulajdonságaival. Megvizsgáljuk a már ismert térelemek és a forgástestek kapcsolatait, a forgástestek áthatásait, és e téma bevezetéseként a görbe vonalak és felületek általános tulajdonságait. A második nagy rész az árnyékszerkesztés bemutatása, mely az építészeti rajzok – elsősorban a homlokzatok – plasztikusabbá, esztétikusabbá tételéhez mutat módszert. Megismerkedünk a fénysugár és az árnyék geometriai értelmezésével, és ezeket illesztjük az eddigi tudásanyagunkhoz. A félév és a jegyzet harmadik és utolsó nagy része a perspektivikus ábrázolás bemutatása. Ebben a fejezetben egy új – egy képsíkos – ábrázolási módszert vizsgálunk meg, általános felépítésétől kezdve a síklapú és forgástestek ábrázolásán át az árnyék perspektív

leképezéséig. A perspektivikus ábrázolás, mint az emberi látásmódot leginkább megközelítő képeket adó módszer a látványtervezés fontos eszköze, és az építész és nem építész közötti előadás és kommunikáció fontos eleme. 1.2 A geometria ma Mint az első féléves jegyzetben olvashattuk a geometria gyökerei egészen az ókorig nyúlnak vissza. Gaspard Monge az összefoglaló munkáját 1798ban hozta létre, de már Euklidesz i e III századi Stoicheiája is tartalmazza a mai ábrázoló geometria rendszerének alapjait A kérdés tehát felmerül: merre tovább, hol találkozhatunk a geometriával ma, a modern tudományokon belül A válasz két részre osztható. Egyrészt, mint arról már szó esett, minden mérnök, mielőtt szakmájának tanulmányozásába kezd, megismerkedik a geometria alapjaival. Ez a jegyzet is e célból jött létre Másrészt a geometria, mint a tudományok kiszolgálója jelen van minden nap a tervezési-kivitelezési

folyamatokban is. Gondolok itt a napjainkban használt CAD (Computer Aided Design, Számítógéppel segített A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Bevezetés Vissza ◄ 6 ► tervezés) és CAM (Computer Aided Manufactoring, Számítógéppel segített gyártás) rendszerekre, mely szoftverek magja mindig egy geometriai függvényeket tartalmazó és a megjelenítést biztosító grafikus szoftverinterfész. Kitűnő konkrét példa a geometria és a modern informatika találkozására az ArchiCAD program 3D tervezési lehetőségei, és a tervezés alatt álló épületben egy virtuális séta készítésének lehetőségei. Így a fejletlenebb térlátással rendelkező és ábrázoló geometriát, és ezzel együtt rajzolvasást sem ismerő megrendelők számára is bemutathatók az elképzelt építészeti terek, helyiségkapcsolatok. Az

élet egészen más területét is megemlíthetjük, már csak azért is, mert azt mindenki ismeri. A legfejlettebb geometriai leképező szoftverekkel és modellezési eljárásokkal találkozhatunk a filmgyártásban, és a számítógépes játékok fejlesztésében, ahol természetesen mérnökök, informatikusok és matematikusok közreműködése szükséges a készítés folyamatában. Sok-sok példát lehetne még említeni, de ehelyett egy másik fontos tényezőre hívnám fel a figyelmet. Ez pedig a létrehozott rajzok szépsége Ebben a félévben már nem egy sík és egy egyenes – négy vonallal megszerkeszthető – döféspontjáról van szó, hanem forgástestek – térgöbéket adó – áthatásáról, épületeken szerkesztett árnyékokról és testek, alakzatok látszati képeinek létrehozásáról. Kívánom tehát mindenkinek, hogy találjon örömöt a térgeometria tanulmányozásában, és hozzon létre segítségével a későbbiekben szép,

nagyszabású tervrajzokat és épületeket, élvezze választott hivatását. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe vonalak Vissza ◄ 7 ► 2. Görbe vonalak A mozgó pont pályája a vonal, amely a pályát leíró pont helyeinek összessége. Ha a pont a mozgási irányát nem változtatja, akkor egyenest ír le Amennyiben mozgási iránya változik, akkor a pálya görbe vonal, röviden görbe. Ha a görbe minden pontja ugyan abban a síkban van, akkor síkgörbének hívjuk Ha a vonal nem síkbeli, akkor térgörbéről beszélünk 2.1 Síkgörbék A görbe lehet törvényszerű, ha pontjainak helyzete egy adott összefüggésnek vagy szerkesztési előírásnak megfelelően állapítható meg. Ilyen például a parabola. Ellenkező esetben tapasztalati görbéről, esetleg „tetszőlegesen” rajzolt görbéről beszélünk Erre

példa a terep szintvonala A g görbe egy tetszőleges pontja legyen P. A görbe további, pl Q1 pontja P-vel az s szelőt határozza meg. A szelőn a PQ1 a húr, és a görbén a PQ1 az ív. 2.1 ábra Síkgörbék érintője és töréspontja Ha a Q1 pont a Q2, Q3, pontokon keresztül (balról) közeledik P-hez, majd P-be jut, akkor s szelő határhelyzetbe kerül. Ha a Q2 pont a Q4, Q6, pontokon keresztül (jobbról)közeledik P-hez, majd P-be jut, és a P körül ezalatt vele forgó szelő az előbbi határhelyzetbe kerül, akkor ezt a közös határhelyzetet a görbe P-beli érintőjének nevezzük. Az ilyen P érin- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 7 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 8 ► tési pontot, amelyben a görbének egy meghatározott érintője van, a görbe rendes pontjának hívjuk. A g görbének kivételes, ún töréspontja

T, melyben balról e1 és jobbról e2, két különböző érintője van. Az érintési pontban az érintőre merőleges n egyenes a görbe normálisa. Síkgörbe érintője és normálisa a görbe síkjában van Törvényszerű síkgörbe koordinátarendszerében a görbe pontjaihoz tartozó koordinátapárok számára összefüggést írhatunk fel. Az így nyert analitikus kifejezés után a görbét analitikus görbének nevezzük. Ha a felirt függvény a koordinátaváltozók racionális egész függvénye valós együtthatókkal (ún. polinom), akkor a görbe algebrai (pl ellipszis), ellenkező esetben transzcendens (pl sinusgörbe) Ha a polinom legmagasabb kitevőjű tagjának kitevője n, akkor a görbét n-edrendű görbének mondjuk. Algebrai síkgörbe rendszáma megegyezik a görbe és a vele egy síkban fekvő egyenes közös pontjainak számával. Ha a görbe és a végtelen távoli egyenes metszéspontja a görbe rendes pontja, akkor benne az érintőt végérintőnek

(aszimptotának) nevezzük. A 2.2 ábrán a g görbe P∞ pontjában v a végérintő A végérintőhöz mindkét oldalról a görbe egy-egy ága mindinkább közeledik. Úgy gondoljuk, hogy a görbe két ága P∞-ben „zárul össze” (pl. a hiperbola) Az n-edrendű görbének n végtelen távoli pontja és mindegyikben végérintője van Páros rendű görbének nincs szükségképpen végérintője, de páratlan rendűnek mindig van legalább egy. A végtelen távoli egyenes érintheti a görbét (pl parabola), ebben az esetben az érintési pont egy iránnyal adható meg 2.2 ábra Végérintő értelmezése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 8 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 9 ► A 2.3 ábra g görbéje mentén megrajzolt érintők közül i az I érintési pontban átmetszi a görbét Ekkor I-ben a görbét kísérő érintők forgási

iránya megváltozik. Az olyan pontot, amelyben a görbe érintője a forgási irányát átváltja, a görbe inflexiós pontjának és benne az érintőt inflexiós érintőnek nevezzük. Az ábrán az I∞*-ben az i ún. inflexiós végérintő 2.3 ábra Inflexiós pont 2.4 ábra Síkgörbék nevezetes pontjai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 9 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe vonalak Vissza ◄ 10 ► A 2.4 ábrán csúcspontnak (C), és benne az érintőt csúcsérintőnek nevezzük akkor, ha a két görbeág az érintő félegyenesének ellenkező oldalára esik. A csúcspont a végtelenben is lehet Ha a két görbeág, a közös érintő félegyenesének ugyanazon oldalán van, akkor a D érintési pontot csőrpontnak nevezzük. Kettőspontnak az olyan K pontot nevezzük, ahol a görbe önmagát metszi. Ha a K kettőspontban a görbe érintői egybeesnek,

akkor ezt a pontot a görbe önérintkezési pontjának nevezzük. Ha egy ponton a görbének kettőnél több ága megy át, akkor ezt a pontot többszörös pontnak nevezzük A többszörös pontban minden ágnak általában külön érintője van Remetepontnak (izolált pontnak) nevezzük a görbétől különeső pontot. Kettős érintőnek nevezzük az olyan |MN| egyenest, amely a görbét két különböző – M és N – pontokban érinti. Simulókörnek vagy görbületi körnek nevezzük, a görbét egy tetszőleges pontjában érintő körök azon határhelyzetét, amelynek a görbén, az érintési ponton kívül, a pont környezetében, más közös pontja nincs. A görbének egy tetszőleges pontjában a görbület mértékén a ponthoz tartozó simulókör (görbületi kör) görbületi sugarának a reciprokát értjük, tehát a görbület mértéke fordított arányban van a görbületi sugárral. Görbék hajlásszögén, a két görbe (vagy egy görbe két ága)

közös metszéspontjához tartozó érintők által bezárt szöget értjük. 2.11 A kör és vetületei Általában síkgörbe vetülete ugyancsak síkgörbe. A g síkgörbe 1, F, 2 és N pontjainak sorrendjével (2.5 ábra) a g’ vetületi görbe 1’, P’, 2’ és N’ pontjainak sorrendje megegyezik A síkgörbe P pontjához tartozó e érintő vetülete a vetületi görbe P’ pontjához tartozó e’ érintő Könnyen belátható, hogy algebrai görbe rendszáma vetítéssel általában a vetületi görbére öröklődik. A síkgörbe különleges pontjai általában jellegüknek megfelelően a vetületi görbének is különleges pontjai. Zárt síkgörbe párhuzamos vetülete ugyancsak zárt síkgörbe. Mivel párhuzamos vetítésnél a felezés a vetületben is felezés marad, azért a síkgörbe középpontjának és átmérőinek vetületei a vetületi görbének is középpontja, illetve átmérői lesznek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Vissza ◄ 10 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 11 ► 2.5 ábra Síkgörbe és vetülete A kör másodrendű algebrai görbe. A kör minden pontjában a görbületi mérték ugyanaz, ezért a kör önmagában elforgatható. Körzővel a legpontosabban megrajzolható vonal Érintői az érintési ponthoz tartozó sugárra merőlegesek. A kör párhuzamos húrjainak felezési pontjai a húrokra merőleges körátmérőn vannak Az egymásra merőleges körátmérőket társátmérőknek (kapcsolt átmérőpár vagy konjugált átmérőpár) nevezzük Egy átmérő végpontjaiban az érintők egymással és a társátmérővel párhuzamosak. A kör kerületének a hosszát π irracionális értéke folytán csak közelítő pontossággal szerkeszthetjük meg. Kochánsky után a fél kerület közelítő hosszát a Műszaki ábrázolás I jegyzet 2.10 ábrája mutatja Képsíkkal párhuzamos

síkban fekvő kör paralel vetülete a körrel egyenlő sugarú kör. A képsíkra merőleges síkban fekvő kör merőleges vetülete egy szakasz, melynek hossza egyenlő a kör átmérőjével, és felezőpontja a kör középpontjának vetülete. Képsíkkal hegyesszöget bezáró síkban fekvő kör vetülete ellipszis, melynek középpontja a kör középpontjának vetülete, fél nagytengelyének hossza egyenlő a kör sugarával, kistengelyét pedig a 2.6 ábrán látható módon kapjuk, azaz a nagy- és kistengelyben, mint vetületi képben megjelenő körátmérők társátmérőpárok. Vetítéssel a kör rendszáma az ellipszisre öröklődik, azaz az ellipszis másodrendű görbe. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 11 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe vonalak Vissza ◄ 12 ► A kör egyik társátmérőpárjának paralel vetülete az ellipszis egyik

társátmérőpárja. Egy átmérő társátmérője párhuzamos az átmérő végpontjaihoz tartozó érintőkkel. Az ellipszis társátmérőpárjai – a tengelypárt kivéve – nem merőlegesek egymásra. 2.6 ábra Második vetítősíkban fekvő kör vetülete Vizsgáljuk meg általános síkban fekvő kör vetületeit! Adott a körlap t tengelye és kerületének egy P pontja a 2.7 ábrán Ábrázoljuk a körlapot tengelyével együtt A kör tengelyének nevezzük a középpontjára illeszkedő és a síkjára merőleges egyenest, mely körül a kör önmagában elforgatható. A kör síkja P-n megy keresztül, és t-re merőleges általános helyzetű sík. A Pn átmenő két fővonala h és v A kör O középpontját a kör síkjából t metszi ki. A szerkesztést az f első fedőegyenessel, az 1 és 2 pontok segítségével végezzük el. OP valódi nagysága a kör a sugara A kör mindkét képe ellipszis A képek nagytengelyei, A’B’, ill E”F” azok a körátmérők,

amelyek vetületén nincsen rövidülés, tehát fővonalképekre esnek. A kistengelyek tvel vannak fedésben Az első képen a C’D’ kistengelyt transzformáció segítségével a 2.6 ábra szerint szerkesztjük Az új, negyedik képsík t-vel párhuzamos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 12 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe vonalak Vissza ◄ 13 ► ◄ 13 ► 2.7 ábra Általános síkban fekvő kör ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe vonalak Vissza ◄ 14 ► A t tetszőleges T pontjának új képe TIV, és Δ-val kapjuk OIV-et. A kör negyedik képe a tIV-re merőleges CIVDIV átmérőre esik Rendezővel kapjuk C’-t és D’-t. A második képen az ellipszis E”F” nagytengelyéhez a G”H”

kistengely felének, b-nek hosszát síkmértani módszerrel (pl. 213 ábrán tárgyalt Rytzszerkesztés felhasználásával) kapjuk P”-ből a fél nagytengellyel, a-val t”-t bemetsszük, és kapjuk Y-t. Majd az YP” egyenesen P” és a nagytengely között találjuk a P”X = b fél kistengelyt. (Eljárhattunk volna itt pl kétkörös módszerrel vagy affinitással is) Megjegyezzük, hogy a nagytengelyek hiányzó képei a fővonalak vízszintes képeire esnek, és a kistengelyek meg nem rajzolt képeinek végpontjában az érintők vízszintesek. A körnek a második képsíkhoz G a legközelebbi, H a legtávolabbi, az első képsíkhoz pedig C a legmagasabb, D a legalacsonyabb pontja. A láthatóság feltüntetésénél a második képen egymást látszólag metsző t és h viszonylagos helyzetét vesszük figyelembe E szerint a h-n levő 3 megelőzi a t-n levő 4-et. A sík itt t előtt van, s így O”től balra a körlap eltakarja t”-t 2.12 A kör és az ellipszis affin

kapcsolata A 2.8 ábrán a (k) kör a k ellipszissel merőleges affinitásban van Az affinitás tengelye, AB a közös átmérő Az AB-re merőleges megfelelő húrok aránya b:a, ahol a a fél kistengely hossza és b a fél nagytengely hossza. A kör pontjait ez az affinitás a ,,b:a” aránnyal az ellipszis pontjaiba ,,tolja öszsze”. Ez esetben az ellipszis a nagytengelye fölé írt körrel van affinitásban 2.8 ábra Ellipszis és nagytengelye fölé írt kör affin kapcsolata A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 14 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► A 2.9 ábrán forgassuk a V sík e ellipszisét CD kistengelye körül addig, amíg az (A), ill. (B) tengelypontjainak merőleges vetülete a kistengelye fölé írt kör A1, ill. B1 pontjába esik Ekkor (e)-t a V síkra egyenes körhenger vetíti, mely V-t a CD fölé írt e1 körben

metszi. Mivel (e)-nek mind e1, mind e’ paralel vetülete, ezért e1 merőleges affinitásban van e’-vel. Az affinitás tengelye, a közös átmérő az ellipszis CD kistengelye. A kör pontjait az affinitás az „a:b” aránnyal az ellipszis pontjaiba ,,húzza ki”. Az ellipszis tehát a kistengelye fölé írt körrel is affinitásban van. 2.9 ábra Ellipszis és kistengelye fölé írt kör affin kapcsolata Most vizsgáljuk meg a következőt: az ellipszis O középpontján átmenő tetszőleges sugár (2.10 ábra) a nagy-, ill kistengely fölé írt köröket a P1, ill P2 pontokban metszi. P1, ill P2 affin megfelelői a P1Q, ill P2R affin sugarakon vannak Hasonló háromszögek alapján e sugarak P metszéspontjára felírható: P1Q : PQ = b:a, és P2R : PR =a:b A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe vonalak Vissza ◄ 16 ►

Ezért P mind az egyik, mind a másik affinitás alapján az ellipszis pontja. Továbbá a P-beli e érintő ugyancsak affin megfelelője a P1-beli e1-nek és a P2-beli e2-nek. Az érintők egymást a megfelelő affinitási tengelyen T1-ben, ill T2-ben metszik. P-t és e-t itt ún kétkörös módszerrel szerkesztettük meg 2.10 ábra Ellipszis szerkesztése kétkörös módszerrel Szerkesszünk érintőt a K külső pontból (2.11 ábra) a nagytengely fölé írt affin kör segítségével! A KD egyenes T-ben metszi az affinitás tengelyét. Megfelelőjét T-n és D1-en keresztül rajzolhatjuk. Ezt a K-n átmenő affin sugár K1-ben metszi. Innen húzzuk a körhöz az e1 és f1 érintőket Ezeknek affin megfelelői az e és f érintők az E és F érintési ponttal. 2.11 ábra Érintő szerkesztése ellipszishez A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 16 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 17 ► 2.13 Tengelyszerkesztés társátmérőpárból, a Rytz-módszer Az AB és CD tengelyével megadott ellipszishez (2.12 ábra) a tengelyek fölé írt a és b sugarú körrel szerkesszünk társátmérőpárt. Az a sugarú körben vegyük fel az U1V1 és W1Z1 társátmérőpárt A végpontok ellipszisrendszerbeli megfelelőit a kétkörös módszerrel határozzuk meg Így UV és WZ az ellipszis egyik társátmérőpárja. 2.12 ábra Társátmérőpár szerkesztése Forgassuk az OWW1 háromszöget O körül 90°-kal jobbra. Ekkor W1 a V1be és W a W*-ba jut. A VV1 W*V2 téglalap, amelynek középpontja K. A VW* átló egyenese e, mely a tengelyeket az X és Y pontban metszi. Az OK közös szárú két egyenlő szárú háromszögből következik, hogy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 17 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► KX = KY = KO. Ezért K középpontja annak a körnek, amely az O, X és Y ponton megy keresztül. Az ábra alapján könnyen belátható, hogy VY = OV1 = a, és VX = OV2 = b. Kapcsolt átmérőpárból az előbbi összefüggésekkel most már Rytz nyomán (2.13 ábra) a következőképpen szerkeszthetjük az ellipszis tengelyeit: a társátmérők egyikére, pl WZ-re, a középpontban merőleges egyenest állítunk, és arra O-tól felmérjük a kérdéses átmérő felét Az így kapott W* pontot összekötjük V-vel, és a két pont távolságát felezzük. A K felezési pont körül KO sugárral kört rajzolunk, amely a VW* egyenesből a nagytengely X és a kistengely Y pontját metszi ki. (A nagytengely az átmérők hegyesszögébe esik!) A pontokat O-val összekötve, kapjuk a tengelyek egyeneseit. A fél nagytengely az YV és a fél kistengely az XV szakasz 2.13 ábra Rytz-módszer A 2.12 ábrán az a + b sugárral harmadik koncentrikus

kört rajzolunk Az s sugár ezt a kört a V3 pontban metszi. Könnyen belátható, hogy VV3~ az OW*-gal párhuzamos, s így merőleges a WZ átmérőre, tehát az átmérővel párhuzamos V-beli v érintőre is. Ezért VV3 a V-beli n normálissal esik egybe. Ha a b, a és a + b sugárral rajzolt koncentrikus köröket metsző s sugárra tekintünk, akkor az ún. háromkörös módszerrel a V1, V2 és V3 pontok segítségével az ellipszishez egy általános V pontot, benne az n normálist és a v érintőt szerkeszthetjük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► 2.2 A térgörbék Ha egy pont úgy végez mozgást, hogy egyes helyzeteiben nem egy síkra illeszkedik, akkor a pont pályája térgörbét határoz meg. A térgörbe törvényszerű, ha a pont mozgását előírt szabály határozza meg (pl.

csavarvonal) A térgörbe ábrázolása pontjainak képeivel történik, tehát minél több pontját határozzuk meg, annál jobban tudjuk a leképezést végrehajtani. A térgörbe két tetszőleges pontját összekötő egyenes a térgörbe szelője (2.14 ábra), Ha a két pontot közelítjük egymáshoz, a szelő határhelyzetében, mint két végtelen közeli pont szelője, kapjuk a térgörbe adott pontbeli érintőjét Az érintő vetülete a térgörbe megfelelő vetületét érinti Az érintőre illeszkedő síkok az érintősíkok, amelyek a térgörbét további pontban vagy pontokban átmetszik. Ha ezen metszéspont(ok)at közelítjük az érintési ponthoz, akkor a pont(ok) végtelen közeli határhelyzetét tekintve az érintősíkot simulósíknak nevezzük. 2.14 ábra Térgörbe jellemzői A simuló síkban fekvő és az érintőre az érintési pontban merőleges egyenes a főnormális. A főnormálisra illeszkedő és az érintőre merőleges sík a normálsík. A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► 2.21 A csavarvonal A törvényszerű térgörbék közül a műszaki gyakorlat szempontjából fontos csavarvonal tulajdonságaival ismerkedjünk meg. Ha az ún leírópontot olyan törvényszerűség szerint mozgatjuk el a térben, hogy: • egyrészt egyenletes körmozgást (ω = állandó) • másrészt ezzel együtt a körpálya síkjára merőleges irányban egyenletes sebességű (v = állandó) haladó mozgást is végez. akkor a leírópont pályája csavarvonal lesz. A két feltételnek megfelelően a 2.15 ábrán szerkesszük meg egy csavarvonal két vetületi képét A felülnézeti képhez az állandó szögelfordulást, az elölnézeti képhez az állandó sebességű mozgást rendeljük Ennek megfelelően felülnézeti képen a leírópont pályájának

vetületi képe kör, míg az elölnézeti képen sinus (cosinus) vonalat kapunk. A leírópont egy teljes körülfordulásához tartozó tengelyirányú elmozdulást menetemelkedésnek nevezzük és h-val jelöljük. 2.15 ábra Csavarvonal szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe vonalak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► A leírópont forgásértelmétől függően jobbmenetűnek nevezzük a csavarvonalat, ha elölnézetben az emelkedés jobbirányú (az ábrán is jobbirányú). Ritkábban találkozunk az ún. balmenetű csavarvonallal Ha a csavarvonalat tartalmazó hengerfelületet síkba terítjük, akkor törvényszerű, hogy azon a csavarvonal képe emelkedő egyenes lesz (2.16 ábra) Az egyenes α emelkedési szögét a henger kerülete és a menetemelkedés a tg α = h/Dπ összefüggés szerint meghatározza. Az α szög a

csavarvonal menetemelkedési szöge. Ez a szög egyúttal a csavarvonal tetszőleges pontjához rajzolható érintőnek az alapkör síkjával bezárt szöge is A csavarvonal tehát a henger minden alkotóját azonos szögben metszi A csavarvonal további menetei az első menettel teljesen azonosak, a görbe tehát önmagában eltolható. Ezen tulajdonság az alapja a csavarvonal elvén képzett csavarfelületek egymásban való elmozdíthatóságának és ez ad lehetőséget a csavarorsó és csavaranya alkalmazására. Természetes feltétel ebben az esetben a csavarvonalak azonos emelkedési szöge és forgásiránya. 2.16 ábra Csavarvonal kiterítése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 22 ► 3. Görbe felületek Ha vonalat mozgatunk a térben, akkor az felületet ír le. A felületet tehát a vonal –

leírógörbe – és a mozgás törvényszerűsége határozza meg. Feladatunk, hogy a lehetséges felületek közül csak a műszaki gyakorlatunk számára legfontosabbakkal megismerkedjünk A felületek egy nagy csoportját, az egyenes vonalú felületeket az egyenesnek, mint leírógörbének a mozgatásával származtatjuk. Ilyen a síkfelület, amely egyenesnek egyenes mentén, önmagával párhuzamos elmozgatásával keletkezik A síkfelületekkel már megismerkedtünk Ebbe a csoportba tartozik a kúpfelület, amely az egyenes egyik pontját rögzítve a másik pontját tetszőleges görbe mentén mozgatva keletkezik. A kúpfelület két irányban végtelen kiterjedésű. 3.1 ábra Kúpfelület Egyenes vonalú felület a hengerfelület, amely egyenesnek tetszőleges görbe mentén önmagával párhuzamosan elmozgatva keletkezik. A hengerfelület két irányban végtelen kiterjedésű A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 22 ►

Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► 3.2 ábra Hengerfelület Ezeken kívül ide sorolható még: • a csavarfelület, amely vonal vagy felület csavarvonal mentén történő elmozgatásával keletkezik. • egyéb egyenes vonalú felületek (hiperboloid felület) Az egyenes vonalú felületek lehetnek síkba teríthetők, amikor a felületi egyenes alkotó minden pontjában azonos az érintősík (pl. kúp- és hengerfelületek) Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a felület nem teríthető síkba Ezek az ún. torzfelületek (pl csavarfelület) A nem egyenes vonalú felületeket összefoglaló néven görbe felületnek nevezzük. A görbe felületek nem teríthetők síkba A görbe felületek egy, a műszaki gyakorlatban igen gyakori csoportját az ún. forgásfelületek képezik A forgásfelületeket úgy származtatjuk, hogy egy tengely körül, hozzá rögzített helyzetű vonalat a

térben megforgatunk. A forgásfelületeket leggyakrabban a tengellyel és a meridiángörbével határozzuk meg Az így kialakult forgásfelületek lehetnek egyenes vonalú vagy görbelapú felületek. Néhány, számunkra fontos forgásfelület és meridiángörbéje: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 24 ► 24 ► • forgáskúp, meridiángörbéje a tengelyt metsző egyenes, 3.3 ábra Forgáskúp • forgáshenger, meridiángörbéje a tengellyel párhuzamos egyenes, 3.4 ábra Forgáshenger A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► • gömb, meridiángörbéje a tengelyhez, mint átmérőhöz kapcsolt félkörív, 3.5 ábra Gömb

• körgyűrű vagy tóruszfelület, meridiángörbéje kör, tengelye illeszkedik a kör síkjára, de nem illeszkedik a kör középpontjára. 3.6 ábra Körgyűrű (tórusz) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 26 ► Ha meridiángörbeként egyéb kúpszeleteket választunk, akkor kapjuk az ellipszoidot, paraboloidot, az egy- vagy kétköpenyű hiperboloidot. A görbe felületek ábrázolása előtt ismerkedjünk meg a körrajz vagy kontúr fogalmával. Körrajz alatt azt a görbét értjük, amely mentén a vizsgált képsíkra merőleges érintősíkok a felületet érintik A körrajz lehet térgörbe is, amelynek vetülete a képsíkokon a képkörrajz vagy képkontúr A körrajz és képkörrajz képsíkokhoz kötött, tehát az elöl- és felülnézeti képkörrajz nem ugyanazon görbének elöl- és

felülnézeti képe. A görbe felületekkel kapcsolatosan az egyértelmű ábrázoláson túlmenően az alábbi szerkesztéseket kell megismernünk: • • • • • • a felületen fekvő vonal és pont felvétele a felület adott pontjához vagy vonalához érintősík szerkesztése a felület adott pontjához tartozó normálisának szerkesztése a felület metszése egyenessel a felület metszése síkkal a felületek egymással történő metszése az ún. áthatások szerkesztése 3.1 A gömb Ha a k félkört átmérőjének t egyenese körül teljesszöggel elforgatjuk, akkor a félkör gömbfelületet, röviden gömböt ír le. A származásból következik, hogy: • a forgó félkör minden pontja (pl. P, Q) a forgástengelyre merőleges síkban kört (p, q) ír le; • a gömb minden pontja a középponttól (O) sugárnyi (r) távolságra van; • a középponton átmenő bármely (pl. y) egyenes (gömbátmérő) a gömb forgástengelye; A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 26 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 27 ► 3.7 ábra Gömb tulajdonságai • a gömb minden síkmetszete kör, mert bármely metszősíkra merőleges átmérő a gömbnek forgástengelye; • a középponton átmenő sík (pl. F) a gömböt főkörben (legnagyobb gömbi kör), más sík (pl. K) kiskörben metszi; • a középponttól sugártávolságra levő síkok (pl. E) a gömböt felületi pontjukban érintik (zérussugarú körben metszik), csak egyetlen pontjuk közös a gömbbel (Y), ezek a gömb érintősíkjai; • a gömb normálisai a gömb középpontján mennek keresztül (pl. y), és merőlegesek a gömbi pontjukhoz tartozó érintősíkra (E); • egy főkör (pl. p) pontjaihoz tartozó érintősíkok (pl E) forgáshengert érintenek (H), melynek vezérköre a főkör, és tengelye a főkör síkjára merőleges

gömbátmérő egyenese (t); ez a gömb körülírt érintőhengere; • adott iránnyal párhuzamos körülírt érintőhenger a gömböt az irányra merőleges síkban fekvő főkörben érinti (pl. t, p); • egy kiskör pontjaihoz tartozó érintősíkok egy forgáskúp érintősíkjai, melynek vezérköre a gömbi kiskör, és tengelye a kör síkjára merőleges gömbátmerő egyenese; ez a gömb körülírt érintőkúpja. A gömböt O középpontja és r sugara meghatározza. Az első kontúr, k1 az a főkör (3.8 ábra), amely mentén a gömb köré írt érintőhenger első vetí- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 27 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► tőhenger. Az első kontúrkör síkja az első képsíkkal párhuzamos A k1-nek első képe O’ körül az r sugárral rajzolt k1’ első képhatár, második képe vízszintes

átmérőben jelenik meg. A második, k2, ill, a harmadik k3 kontúrok képeit értelemszerűen rajzoljuk, amelyek a második, ill, a harmadik képhatárt adják. A gömb rendezett merőleges vetületei tehát a gömbsugárral rajzolt körök, így rajzoljuk meg pl a gömb negyedik képét, k4IV-et 3.8 ábra Gömb vetületei A gömböt egy-egy kontúrkör két félgömbre, két kontúrkör négy negyed gömbre osztja. Egy-egy képen a gömbnek csak egyik felét látjuk, a másikat ez a fél eltakarja. Az első és második képen a négy gömbnegyed a következő: felső és elülső (mindkét képen látszik), felső és hátsó (a második képen nem látszik), alsó és elülső (az első képen nem látszik), alsó és hátsó (egyik képen sem látszik). 3.11 A gömb felületi pontja, érintője, érintősíkja és normálisa Felületen pontot a ponton átmenő felületi vonal segítségével ábrázolunk. Olyan vonalat választunk, amelynek képei könnyen rajzolhatók. Gömb

esetén ilyen a képsíkkal párhuzamos síkban fekvő kör. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 29 ► 3.9 ábra Gömb felületi pontja, érintője, normálisa A gömböt két képével adjuk meg a 3.9 ábrán A P pontnak pl a második képét, P”-t a második képhatáron belül tetszőlegesen vesszük fel. Azután P”-n keresztül az első képsíkkal párhuzamos p kör p” képét ábrázoljuk. A kör második képe, p” a második képhatár húrja, és p’ az O’ körül rajzolt ρ sugarú kör. A körből a P’-t a P”-n átmenő rendezővonal metszi ki P’-t és P*’-t kapjuk, mivel a P-n átmenő második vetítősugár a gömböt a P és P második fedőpontpárban metszi. P-ben a p kör e érintője a gömbnek is érintője. A 3.10 ábrán a gömb P pontjában érintősíkot szerkesztünk

Az érintősíkot a P-n átmenő h és v egyenesek (a sík fővonalai) határozzák meg Az OP egyenes az n normális. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 29 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 30 ► 3.10 ábra Gömb érintősíkja és normálisa Néhány alapvető feladat: • adott egyenesen keresztül felvett érintősík, • adott külső pontra illeszkedő érintősík és • adott iránnyal párhuzamos érintősík szerkesztése. Ez utóbbihoz megjegyezzük, hogy az ún. körülírt érintő kúp csúcspontja a végtelenbe kerül, akkor a gömböt főköre mentén érintő körülírt hengerhez jutunk. Ennek alkotói egy adott iránnyal párhuzamos érintői a gömbnek 3.12 Gömb metszése síkkal és egyenessel A gömböt metsző sík lehet a képsíkkal párhuzamos, a képsíkra merőleges és általános helyzetű. Képsíkkal párhuzamos

körmetszeteket a 3.9 és a 310 ábrán rajzoltunk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 30 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 31 ► Metsszük el a gömböt második vetítősíkkal (3.11 ábra)! A sík a második képen M”-ben, a metszet pedig az A”B” átmérőben jelenik meg A kör K középpontját a síkból az O-n átmenő és a síkra merőleges m egyenes metszi ki. A második kontúrsík előtti ρ sugarú félkört főállásba forgatva megrajzolhatjuk. Mivel A-ban és B-ben a gömb érintősíkja második vetítősík, ezért bennük a kört második vetítősugár érinti A velük párhuzamos CD társátmérő így az első képen A’B’-re merőleges, és 2ρ hosszúságú. A kör első képe ellipszis, amelynek nagytengelye C’D’, és kistengelye A’B’. 3.11 ábra Gömb metszése második vetítősíkkal A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 31 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 32 ► A metszetnek a k1 első kontúrra eső 1 és 2 kontúrpontjait k1-ből M és a kontúrsík s metszésvonala metszi ki. Mivel A az alsó félgömb pontja, ezért az 1A2 ív az első képen nem látszik. A síkmetszet egyik ún általános pontját egy tetszőlegesen felvett V vízszintes síkban keressük meg. V a gömböt a p körben, M-et pedig az u egyenesben metszi. A p és u metszéspontjai, P és P* a síkmetszet pontjai. A síkmetszet P-beli e érintője a P-beli érintősíkban van, és e” az M”-re esik. Az e’ első képet a W pont, továbbá az érintősík h és v fővonalával, valamint a w segédegyenessel rajzoljuk meg. Általános helyzetű metszősík esetén célszerű külön az első és külön a második képhez olyan új képet rendezni, amelyre nézve a

metszősík vetítősík. A gömböt metsző egyenes főegyenes, vetítőegyenes és általános egyenes lehet. Második képsíkkal párhuzamos egyenessel metsszük a gömböt a 3.12 ábrán. A metsző v egyenesen átmenő segédsík legyen a K2-vel párhuzamos A sík a gömbből az első képen kört metsz ki. A metszéspontok második képeit, D1”-t és D2”-t v” metszi ki a kiskörből. Rendezővel kapjuk D1’-t és D2’-t. D1 is, D2 is a második képsíkra nézve látható félgömbön van, s így v” a D1”-ig, majd D2”-től látható. Az első képsíkra nézve D1 látható, D2 pedig nem látható félgömbön van. Ezért v’ a D1’-ig látható, D2’-től a kontúrkörig pedig nem. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 32 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 33 ► 3.12 ábra Vertikális főegyenes döféspontja gömbön Második

képsíkra merőleges egyenessel a 3.11 ábrán metszettük a gömböt (pl. s) Általános helyzetű egyenessel metsszük a gömböt a 3.13 ábrán A metsző e egyenessel a gömbön második fedésben egy vetítő helyzetű kört találunk. A kör második képe átmérőben jelenik meg, első képe ellipszis, melyet a 3.11 ábra szerint szerkeszthetnénk Az ellipszisből e’ metszené ki a metszéspontok első képeit. Ezekhez a pontokhoz egyszerűbben jutunk, ha a vetítősíkot a sík v fővonala körül, az általa kimetszett kiskörrel és e-vel együtt második főállásba forgatjuk. Tehát K” körül megrajzoljuk a kör leforgatott képét. A v első képe O’-n megy keresztül Ezt metszi e’ a helyben maradó E pontjának első képében Az e° egyrészt E”-n, másrészt e tetszőleges S pontjának leforgatottján, S°-n megy keresztül. A leforgatásban e° metszi ki az D1° és D2° metszéspontokat Visszaállítással jutunk D1 és D2 képeihez. A láthatóság

feltüntetésénél figyelembe vesszük, hogy D1 a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 33 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 34 ► második, D2 pedig az első képen látható, továbbá, hogy D1 az első, D2 pedig a második képen nem látható. 3.13 ábra Egyenes döféspontszerkesztése gömbön vetítő helyzetű segédsíkkal Megjegyezzük, hogy ha az egyenesnek a gömb középpontjától mért távolsága a sugárnál nagyobb, akkor nem metszi a gömböt, ha egyenlő a sugárral, akkor az egyenes a gömböt érinti. Másik lehetőségünk a döféspont szerkesztésére, hogy olyan segédsíkot választunk, amelyet a gömb középpontja és a döfő egyenes feszít ki (3.14 ábra). Ekkor a segédsík egy gömbi főkörben metszi a gömböt, mely a leforgatás után kontúrkörrel kerül fedő helyzetbe Az egyenest egy segédpont

segítségével leforgatjuk, majd a kontúrkör és a leforgatott egyenes A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 35 ► metszéspontjainál kapjuk a döféspontok leforgatott képeit. A szerkesztés fő lépéseinek sorrendjét az ábrán a kék színű számok jelölik. 3.14 ábra Egyenes döféspontszerkesztése gömbön gömbközéppontra illeszkedő segédsíkkal Harmadik megoldási lehetőség, hogy az általános egyenest negyedik főhelyzetbe transzformáljuk a gömbbel együtt, így a feladatot a 3.12 ábrán bemutatott módszerre vezettük vissza. 3.2 A henger Ha a t tengellyel párhuzamos a alkotót t körül forgatjuk (3.15 ábra), az forgáshenger-felületet, és minden pontja kört ír le. Az A pont körének síkja t-re merőleges, középpontja O. A kör sugara r, amely egyben a hen- A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 35 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► gernek is sugara. A t-n átmenő sík a hengert két átellenes alkotóban metszi, és két félhengerre osztja, ezért szimmetriasík 3.15 ábra Forgáshenger Ha a végtelenbe nyúló felületet tengelyére merőleges síkpárral határoljuk, a szokásosan forgáshengernek nevezett alakzathoz jutunk. A felület térbeli görbével is határolható. A forgáshengert – mert alkotói a vezérkör síkjára merőlegesek – egyenes körhengernek is nevezzük. A henger két jelentős vonalserege: az alkotók és az azokat merőlegesen metsző körök. A forgáshenger másodrendű kiteríthető felület A forgáshengert tengelye és sugara meghatározza. A forgáshenger fontos tulajdonságai: • tengelye irányában önmagában eltolható, • tengelye körül önmagában

elforgatható, • tengelye mentén önmagában elcsavarható, ezért nagy a gyakorlati jelentősége. Legyen a forgáshenger t tengelye első vetítősugár (3.16 ábra), akkor a k vezérköre vízszintes síkban van. A henger első vetítőhenger, melynek első képe kör és első képhatáralkotói nincsenek. Az érintő második vetítősíkok a hengert az u és v második kontúralkotók mentén érintik. Az u” és v” második képhatáralkotó. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► 3.16 ábra Első vetítőhenger Közös második kontúralkotója mentén érintkező t1 és t2 tengelyű, r1 és r2 sugarú két forgáshenger palástrészeit ábrázoljuk a 3.17 ábrán A második képsíkkal párhuzamos tengelyekre merőleges vezérköröket a 2.6 ábra szerint rajzoljuk meg. A fedőkörök a

közös a alkotó A pontjában érintik egymást. A közös második kontúralkotónak, a-nak az első képe a tengelyek közös első képével, az u és v első kontúralkotók második képei pedig egy-egy tengely második képével vannak fedésben. Két ilyen helyzetű henger egymáson gördülhet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 38 ► 3.17 ábra Alkotó mentén érintkező hengerfelületek Általános helyzetű forgáshengert a 2.7 ábra nyomán ábrázolunk Az ábrázolt kör a vezérkör és t a henger tengelye A képhatáralkotók pedig a körképellipsziseknek a t megfelelő képével párhuzamos érintői lesznek Figyeljük meg, hogy pl a második képhatáralkotóknak nem az első képhatáralkotók az első képei! Második vetítőhengeren P pontot ábrázolunk a 3.18 ábrán P”

szükségképpen a vezérkörre esik, és P’-t az a alkotón bárhol felvehetjük A P-n átmenő p hengerkör első képe átmérőben jelenik meg. P-ben az E érintősíkot az a alkotó és a p kör e érintője határozza meg Az érintősík második vetítősík, és a második képen e”-ben jelenik meg. Az n normális E-re merőleges, és t-t a p kör K középpontjában metszi Az E sík tetszőleges b A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 38 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 39 ► egyenese a henger egyik érintője. P-vel első fedésben az alsó félhengerre eső P* pont van. 3.18 ábra Vetítőhenger felületi pontja, normálisa és érintősíkja 3.21 Forgáshenger metszése egyenessel és síkkal, síkba terítés Harmadik vetítőhenger és az e egyenes metszéspontjait határozzuk meg a 3.19 ábrán Az e-n átmenő segédsík

célszerűen legyen harmadik vetítősík A sík a harmadik képen e”-ben jelenik meg, és a hengerből az a és b alkotókat metszi ki. Az alkotók e-t az 1 és 2 pontokban metszik A második képen 1 látható, 2 pedig nem látható félhengeren van, tehát e” az 1”-ig és lent csak a képhatártól látható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 40 ► 3.19 ábra Egyenes döféspontja vetítőhengeren A forgáshenger tengelyére merőleges sík kört, a tengellyel párhuzamos sík két alkotót, a tengellyel ferdeszöget bezáró sík pedig ellipszist metsz ki a henger palástjából. A henger tengelyén keresztülmenő és a metszősíkra merőleges sík a hengernek is és a metszetnek is szimmetriasíkja. Ezért ebben van az ellipszis nagytengelye. A középponton (a metszősík és tengely

döféspontja) keresztülmenő kistengely hengerátmérőre esik Metsszük az első vetítőhengert az M második vetítősíkkal (3.20 ábra) A sík a második képen az M” egyenesben jelenik meg és t-vel ϕ szöget alkot. Az e ellipszismetszet első képe a vezérkörre esik A második képen e a nagytengely valódi nagyságában, kettős vetületben, A”B”-ben látszik. A C”D” kistengely pedig K”-ben pontként jelenik meg. Az ellipszis harmadik képének tengelyei A’’’B’’’ és C’’’D’’’. Majd AB körül e-t főállásba forgatva, valódi alakját rajzoljuk meg. A síkba terítésnél a palástot az a alkotó mentén gondoljuk felvágva. A palástot belső oldalával fektetjük a rajz síkjára. A kiterítés téglalap, amelynek egyik párhuzamos oldalpárja a henger magasságával, a másik az alapkör kerületével egyenlő Az alapkör fél kerületét Kochánsky után a Műszaki ábrázolás I jegyzet 210 ábrája alapján szerkeszthetjük meg Az

e ellipszis kiterítése a paláston az e° görbe, melyet pontonként szerkesztünk meg. Osszuk fel a henger alapkörét pl 12 egyenlő részre A pontokon átmenő 12 egyenlő eloszlású alkotót rajzoljuk meg a kiterítésen. Az alapkör és a metszet közötti alkotószakaszokat a második képen valódi nagyságban körzőbe vesszük, és felmérjük a kiterítés megfelelő alkotójára Az így kapott A°, 1°, 2°, . pontok folytonos vonallal való összekötését elősegíti, ha a lényeges pontokban az érintőt és a simulókört is megrajzoljuk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 41 ► ◄ 41 ► 3.20 ábra Henger ellipszismetszete és palástkiterítése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► Mivel egy alkotó az őt metsző érintővel ugyanabban az érintősíkban van, ezért az általuk bezárt szög a kiterítésben változatlan. Az érintők A°-ban és B°-ban az alkotókra merőlegesek, C°-ban és D°-ban velük ϕ szöget zárnak be. Egy általános pontban, pl 1°-ban az érintőt vagy az alkotóval bezárt ε szög valódi nagyságának meghatározásával, vagy az érintő és az alapsík N metszéspontjának felhasználásával rajzoljuk meg. Az 11*N háromszög leforgatásában találjuk ε-t. Innen vehetjük körzőbe a bejelölt 1*N szakaszt, amelyet a kiterítésen 1°-tól balra felmérve, kapjuk N°-t. 1° és N° összekötése az érintő. Végül e°-nak az A°-beli és B°-beli simulókörét rajzoljuk meg. A henger tengelye az első képen pontként jelenik meg. Az e ellipszis középpontja K A második képen az ellipszis a nagytengelyének A”B” szakaszában jelenik meg. A

kistengely a henger átmérőjével egyenlő Az O középpontú, OB sugarú érintőgomb érintőköre B-n megy keresztül. Az ellipszis síkja a gömbből az átmérőben látszó E középpontú és ρ sugarú simulókört metszi ki. A K”O”B” és O”E”B” hasonló derékszögű háromszögekből a nagytengely B pontjában a simulókör ρ sugara a következőképpen írható fel: ρ= b2 a ahol b az OB szakasz hossza, azaz a gömb sugara, az a pedig az ellipszis fél nagytengelyének hossza. Amit az adott ellipszisre fentebb megállapítottunk, az nyilván a hengernek minden, a B-n átmenő és egyenesszakaszban megjelenő ellipszismetszetére értelemszerűen igaz. Minden ilyen ellipszisnek B-beli simulókörét az ellipszis síkja ugyanabból a gömbből metszi ki Ez a Meusnier-féle gömb. Az ellipszis A és B pontjához tartozó simulókör ρ sugara a kiterítés A° és B° pontjában megváltozik. Ez a változás olyan, mintha e-t az A, ill B ponthoz tartozó

érintővel párhuzamos síkra (rajta átmenő érintősíkra) vetítettük volna. Ez az alábbi tételből következik: Ha egy síkgörbét egyik kiválasztott pontjának érintőjével párhuzamos síkra merőlegesen vetítünk, akkor a kiválasztott görbe vetületi pontjának képéhez tartozó simulókör sugara egyenlő a görbe simulóköre sugarának és síkja képsíkszöge koszinuszának hányadosával. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 43 ► A tételt nem bizonyítjuk. Mivel e síkja mind az A-beli, mind a B-beli érintősíkkal ϕ szöget zár be, ezért a kiterítésen az A-beli és B-beli simulókör sugara: ρ* = ρ cos ϕ Az ábrán az O középpontú gömbbel (Meusnier-gömbbel) kapcsolatban szerkesztett B”EF derékszögű háromszög átfogója tehát ρ*. Ezzel rajzoljuk a

kiterítésen A°-ban is, B°-ban is a simulókört. Megjegyezzük, hogy C-ben és D-ben a hengerérintő sík merőleges a metszősíkra. Ezekben a pontokban a síkok szöge ϕ = 90°, és így ρ* végtelen nagy. Ezért a kiterítés C° és D° pontjában a simulókör végtelen sugarú, tehát egyenes, és egybeesik az érintővel. Mivel a simulókör a görbét átmetszi, ezért itt e°-nak inflexiós érintője van A henger síkmetszetének kiterítésén abban a pontban van inflexiós érintő, ahol az érintősík a metszősíkra merőleges, kivéve, ha az érintési alkotó is merőleges a metszősíkra. Ha a metszősík általános helyzetű, célszerűen olyan új képet rendezünk, amelyen a sík egyenesben jelenik meg. Ezzel a szerkesztést a 320 ábrán bemutatottra vezetjük vissza. Azon a képsíkon, amelyre a metszősík nem merőleges, a síkmetszet tengelyeinek képei a metszet képének kapcsolt átmérőpárja. A metszet kontúrpontjait a kontúralkotókból a

kontúralkotók síkjának és a metszősíknak a metszésvonala metszi ki 3.22 Főegyenes tengelyű henger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése A 3.21 ábrán adott egy forgáshenger t főegyenes tengelye két képével, egy felületi pontjának második vetületi képe (P”). A henger érintőgömbjének sugara 35 mm. Szerkesszük meg a tetszőleges hosszúságú henger két vetületi képét, felületi pontjához tartozó normálisát, valamint érintősíkját! Az érintősík szélessége 40 mm legyen! Első lépésként meghatározzuk a hengerbe rajzolható érintőgömb középpontját. A G középpont második vetületi képét a P”-ből a t”-re rajzolt merőleges metszi ki. Ez az egyenes adja a P pontbeli normális egyenesének második képét, így n” azonnal megrajzolható. Az érintőgömb középpontjának első képét rendezéssel kapjuk meg Az érintőgömböt középpontjának és sugarának ismeretében megrajzolhatjuk, majd a vetületi

képein megrajzolt érintői a henger képhatáralkotói lesznek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 43 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 44 ► A hengert két végén lezáró körlapok második vetítősíkok, így második képen élben látszanak, míg első képen ellipszis képeket adnak. 3.21 ábra Főegyenes tengelyű henger normálisának és érintősíkjának megszerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 44 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 45 ► A megrajzolt érintőgömb második képét egyben a henger meridián metszetének forgatott képeként használhatjuk fel. A P”-n keresztül megrajzolt és t”-vel párhuzamos egyenes a P ponthoz tartozó hengeralkotó második képe. Az

alkotó második vetületi képe a henger meridiánkörének forgatott képén kimetszi a P° pontot, mely pontban egyrészt megrajzolható az érintősík 40 mm széles forgatott képe, másrészt a P”P° szakasz megegyezik az alkotó és tengely első vetületi képeinek távolságával. Így az alkotó első vetületi képe megrajzolható. Az alkotó vetületi képeinek ismeretében megrajzolhatjuk a felületi pont képét is, valamint az alkotó végpontjainak első vetületi képeit: R’ és T’. A felületi pont első vetületi képéhez tartozó normálist a G’ és P’ pontok összekötésével kapjuk. Az érintősík alkotóval párhuzamos oldalait második képen a forgatott képből azonnal megkapjuk. Az első képeinek megszerkesztéséhez az érintősík főegyeneseit használjuk fel A főegyenesek a felületi P pontban metsződnek. A horizontális főegyenes második képe vízszintes, míg első képe merőleges, a normális első képére. A vertikális főegyenes

azonos a P pontbeli alkotóval A horizontális főegyenes és az érintősík alkotóval párhuzamos oldalegyenese az S pontban metsződik, így az oldalegyenes első képe megrajzolható. A horizontális főegyenes és a henger T pontbeli érintője a H pontban metsződik, a H pont első vetületi képének megkeresése után a T-pontbeli érintő első képe is megrajzolható. Az T és E pontbeli érintők párhuzamosak és érintői a henger véglapok jelzett pontjaiban a képellipsziseknek is. Elkészült ábránkat láthatóság szerint húzzuk ki, az érintősíkot vonalkázással, míg a normálist megvastagítva hangsúlyozzuk. 3.23 Főegyenes tengelyű henger metszése első vetítősíkkal A 3.22 ábrán vetületi képeivel adott a forgáshenger t tengelye, amely második főegyenes, a henger képhatáralkotói, valamint P felületi pontjának első vetületi képe. Első vetületi képen élben látszik a hengert metsző első vetítősík. A metszősík a P pontra

illeszkedik Szerkesszük meg a vetítősík és henger metszésvonalát és a P ponthoz tartozó 40 mm széles érintősíkot! Húzzuk ki úgy, hogy a metszősíktól „balra” első hengerrészt távolítsuk el. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 45 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 46 ► 3.22 ábra Főegyenes tengelyű henger metszése első vetítősíkkal A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 46 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 47 ► Első lépésként határoljuk le a hengert az O1 és O2 pontokra illesztett második vetítősíkokkal. Az O1 pontra illeszkedő vetítősíkkal kimetszett körlap első képe ellipszis lesz, amelyet majd megszerkesztünk Az O2 középpontú körlapot képsíkba forgatjuk,

így azon az első vetületi képről vett x távolsággal bejelölhetjük a felületi pont és hengeralkotó forgatott P° illetve a° képét. A forgatott képen megrajzolhatjuk a 40 mm széles érintősík forgatott képét is. Az alkotó második képén rendezéssel kapjuk a felületi pont második képét. A felületi ponthoz tartozó érintő első képe azonos a metszősíkot jelző egyenessel, míg második vetületi képét 1 és 2 jelű pontjainak segítségével határozzuk meg. Az érintő egyben az érintő síklap egyik határoló oldala is Ezzel szemben fekvő R pontra illeszkedő határoló oldal a henger O1 középpontú körlapjának érintője, melynek első vetületi képét az előző feladatban megismert módon rajzolhatjuk meg. E két érintő csak kivételes esetben lehet párhuzamos egymással. Az érintősík alkotóval párhuzamos oldalainak második vetületi képeit a forgatott képről az első vetületi képeket a forgatott képről, illetve a második

kép felhasználásával, rendezéssel állítjuk elő. A metszés után megmaradó hengert láthatóság szerint az érintősíkot vonalkázással hangsúlyozzuk ki. 3.24 Főegyenes tengelyű henger metszése első fősíkkal A 3.23 ábrán vetületi képeivel adott a forgáshenger második főhelyzetű tengelye, a körhenger második képe és felületi P pontjának második képe. Első vetületi képen csak a képhatáralkotókat adjuk meg. A hengert metsző horizontális sík illeszkedik a P pontra. Szerkesszük meg a síkkal metszett henger két képét, ha a metszősík feletti hengerrészt eltávolítva képzeljük! Szerkesszük meg továbbá a felületi pontra illeszkedő érintősíknak a megmaradó hengerrészre eső részét! A második képen O középponttal megrajzolt főhelyzetű meridiánkör segítségével megrajzolhatjuk a felületi pont első képét, a felületi pontra illeszkedő alkotó első vetületi képét, valamint az R pont első képét. A 60 mm széles

érintősík második vetületi képe a forgatott képből rendezéssel azonnal adódik, míg annak első képét a már megismert módon határozzuk meg. A metszetgörbe ellipszis lesz, amelynek középpontja K pont. Az érintősíkot úgy vonalkázásánál ügyeljünk arra, hogy a megmaradó hengerrész első képen takarja az érintősíkot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 47 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 48 ► 3.23 ábra Főegyenes tengelyű henger metszése első fősíkkal 3.3 A kúp Ha a t tengelyt M pontban metsző a egyenest t körül forgatjuk (3.24 ábra), akkor az forgáskúpfelületet ír le, melynek M két oldalán egy-egy végtelenbe nyúló palástja van. Az a alkotó minden pontja kört ír le Az A pont körének síkja t-re merőleges, középpontja O, sugara r. A felső palástot A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 48 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 49 ► elhagyva, és az alsó palástot a vezérkörrel határolva jutunk el a szokásosan forgáskúpnak vagy egyenes körkúpnak nevezett alakzathoz. A felület térbeli görbével is határolható A t-n átmenő minden sík szimmetriasík, mert a kúpot t-re szimmetrikus két alkotóban metszi, és két félkúpra osztja. A tengely és az alkotó β szöge a kúp félnyílása. Az α pedig a kúpnak a vezérkör síkjához a dőlésszöge A forgáskúpot csúcspontja, tengelye és félnyílása határozza meg. A forgáskúp önmagában elforgatható, egyenes vonalú, kiteríthető másodrendű felület. A kúp két jelentős vonalserege: az alkotók és az azokat merőlegesen metsző körök. 3.24 ábra Forgáskúp Legyen a forgáskúp t tengelye második vetítősugár, és vezérköre k (3.25

ábra). A kúpot egy-egy első vetítősík az u, ill v kontúralkotó mentén érinti A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 49 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 50 ► Az u’ és v’ az első képhatár. Második képhatár nincsen A k” csupán a második kép széle, és nem tekinthetjük képhatárnak! 3.25 ábra Második vetítőegyenes tengelyű kúp Közös első kontúralkotója mentén érintkező t1 és t2 tengelyű r1 és r2 sugarú, valamint ϕ1 és ϕ2 félnyílású két forgáskúpot ábrázolunk a 3.26 ábrán Az alapkörök a közös a alkotó A pontjában érintik egymást. A jobb oldali kúp második képhatáralkotói M”-ből a vezérkör második képéhez húzott érintők. Két ilyen helyzetű kúp egymáson gördül A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 50 ► Műszaki

ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 51 ► 3.26 ábra Alkotó mentén érintkező kúpok Általános helyzetű forgáskúpot a 2.7 ábra nyomán ábrázolunk Az ábrázolt kör a kúp vezérköre, t a tengelye, és annak tetszőleges M pontja a kúp csúcspontja. A képhatáralkotókat úgy kapjuk, ha M képeiből a megfelelő körképellipszishez érintőket húzunk. Vegyük észre, hogy pl az első képhatáralkotóknak nem a második képhatáralkotók a második képei Legyen a forgáskúp t tengelye első vetítősugár (3.27 ábra) A kúp P pontjának P” képét a képhatáron belül tetszőlegesen vesszük fel. Első képét P’-t vagy a rajta keresztülmenő a alkotó, vagy a p paralel kör segítségével keressük meg. Az a”-ben megjelenő második vetítősík a kúpból két alkotót metsz ki. Az a-val fedésben levő a* a második képen nem látható félkúpon van. P-vel tehát P* van

második fedésben, és e szerint rajzoljuk meg P’-t és P*’-t. A p paralel körnek második képe 2ρ hosszúságú szakasz, első képe pedig ρ sugarú kör. Az e érintő P-ben nemcsak p-t, hanem a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 51 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 52 ► kúpot is érinti. P-ben az E érintősíkot a és e határozza meg Az a menti E sík a vezérkör síkját az A talpponthoz tartozó m érintőben metszi. 3.27 ábra Kúp felületi pontja, érintősíkja és normálisa A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 53 ► A kúp P-beli normálisának n’ képe a sík e fővonalának első képére, e’-re, n” pedig a sík egyik második

fővonalának a második képére merőleges. Az n”-t most más meggondolással rajzoljuk meg. Forgassuk P-t t körül a képhatár R pontjába Az R-beli normális második képét a képhatáralkotóra közvetlenül merőlegesen rajzolhatjuk meg. Ez metszi ki t”-ből azt az N” pontot, amelyen keresztülmegy a p kör valamennyi pontjához tartozó normálisnak a második képe, tehát n” is. A p menti normálisok az eredeti kúp ún. normálkúpjának alkotói 3.31 Forgáskúp metszése egyenessel Adott a 3.28 ábra szerint egy harmadik vetítősugár tengelyű kúp Szerkesszük meg az alapkörének síkjával párhuzamos e egyenes és a kúp metszéspontjait! Az e-n átmenő és az alapsíkkal párhuzamos segédsík a kúpból az e-vel második fedésben levő f kört metszi ki. A kör f ’’’ képét e’’’ a 1’’’ és 2’’’ pontokban metszi. Mivel a második képre nézve 1 a látható, 2 pedig az eltakart félkúpon van, ezért e” az 1”-ig, lent pedig

a képhatártól látható. 3.28 ábra Kúp döfése alapkörének síkjával párhuzamos egyenessel Vizsgáljuk meg általános egyenes és első vetítőegyenes tengelyű kúp metszését (3.29 ábra)! A kúp M csúcsára és az e egyenesre illesztünk egy segédsíkot Ebben felvesszük az s egyenest, amely M-et és e tetszőleges T pontját köti össze. Az [es] segédsík a vezérkör síkját az m egyenesben metszi, mely e-nek N és s-nek S döféspontját köti össze A segédsík által kimetszett alkotók talppontjai I és II Az alkotókon találjuk az 1 és 2 met- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 53 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 54 ► széspontokat. Mivel a második képen 1 is, 2 is a látható félkúpon van, ezért e” az 1”-ig és 2”-től látható. Az első kép láthatóságának feltüntetésénél úgy tekintjük,

hogy a kúp belül üres héjalakzat és nincs alaplapja így e’ az alapkörtől kétoldalt és az 1’ és 2’ között látszik. 3.29 ábra Kúp döfése általános egyenessel 3.32 Kúp metszése síkkal Ellipszismetszet és síkba terítés. Adott az első vetítőegyenes tengelyű kúp, és az azt metsző második vetítősík. Mivel az M metszősík a kúp tengelyével nagyobb szöget zár be, mint a kúp alkotója, ϕ > β, ezért M a kúpot ellipszisben metszi (3.30 ábra) A t tengelyen átmenő második kontúrsík merőleges M-re, s így a kúpnak is és a metszetnek is szimmetriasíkja. AB az ellipszis nagytengelye Ez a metszősíknak arra az egyenesére esik, amelyik a kúp tengelyének a merőleges vetülete. AB felezési pontja, K a középpont, amely nincs a kúp tengelyén! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe

felületek Vissza ◄ 55 ► 3.30 ábra Kúp ellipszismetszete és palástkiterítése K-n megy keresztül és AB-re merőleges az a második vetítősugár, amelyre a CD kistengely esik. C és D első képét a rajtuk keresztülmenő kúpkörrel szerkesztjük meg. A metszet második képe az A”B” kettős vetület, első képe ellipszis, amelynek tengelyei: A’B’ és C’D’. A tengelyek harmadik A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 55 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 56 ► képei a harmadik kép tengelyei. A harmadik kontúrsík a t-n átmenő profilsík, amely a metszősíkot az s egyenesben metszi Ezen találjuk a harmadik kontúralkotókra eső E és F pontokat. A harmadik képen az FAE ellipszisív látszik A metszet valódi nagyságát a második képhez rendezett negyedik képen tüntetjük fel A síkmetszet tetszőleges P

pontját a rajta átmenő p kúpkör segítségével szerkesztjük. A P”-höz tartozó rendezőből az O’ körül r sugárral rajzolt p’ kör metszi ki P’-t és P*’-t. P-ben az e érintő a metszősík és a P-beli érintősík metszésvonala Az alapsíkot e abban az S pontban metszi, mely az alapsík és M sík n1, továbbá az alapsík és P-beli érintősík e1 metszésvonalának közös pontja. Az e’’’ szerkesztését jelöltük A vezérkör bármelyik érintője az őt metsző kúpalkotóra merőleges, ami a palást kiterítésén öröklődik. Ezért az alapkör kiterítése körív, amelynek sugara az alkotó hossza, és íve az alapkör kerületével egyenlő A palástot az A ponton átmenő a alkotó mentén vágjuk fel, és a belső oldalával helyezzük a rajz síkjára. Mind a palástot, mind a metszetet az a-n átmenő szimmetriasík két szimmetrikus félre vágja. A kiterítésen a metszetnek az alkotókra eső pontjait tüntetjük fel. Az M°-tól

felmérésre kerülő alkotószakaszokat az elforgatott kúpalkotók második képéről vehetjük körzőbe. Ezt a felmérést az M° alkotóra feltüntetjük A metszet pontjainak folytonos vonallal való összekötését egyrészt az érintők, másrészt A°-ban és B°-ban a simulókör megrajzolása segíti. A°ban, ill B°-ban az érintő az alkotóra merőleges Miként a forgáshengernél találtuk, a kiterítésen az inflexiós pont itt is arra az alkotóra esik, amely mentén az érintősík a metszősíkra merőleges. Az ilyen érintősík tartalmazza az M-en átmenő és M-re merőleges m egyenest Az m az alapkör síkját Q-ban döfi. Az innen rajzolt egyik érintő az I1 pontban érinti a vezérkört (a másik érintővel nem foglalkozunk), és az ehhez tartozó alkotón találjuk I-t, a kiterítés egyik inflexiós pontját. A kiterítésen először a 3° és 4° között megkeressük I1-et, majd alkotójára az I1I szakasz valódi nagyságát mérjük fel. I°-ban az

i° érintőt az IRI1 háromszög valódi nagyságának a kiterítésen való megrajzolásával nyerjük. Ezt az ábrán vonalkázás jelöli Végül P1° segítségével feltüntetjük P°-t, és az S-en át megrajzoljuk e°-t. A metszet A, ill. B pontjához tartozó ρA ill ρB simulókörsugár az Aban, ill B-ben érintő Meusnier-gömb megrajzolásával (l 321 fejezet) nyerhető. A sugarak a kiterítésen úgy változnak meg, mintha a metszetet az A, ill. B ponthoz tartozó érintővel párhuzamos síkra (rajta átmenő érintősíkra) vetítettük volna Tehát: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék ρA* = ρA cos α ρB* = ρB cos ε Vissza ◄ 57 ► Eszerint a simulókörök sugarai a második képen bevonalkázott háromszögek átfogói. Hiperbolametszet Mivel ϕ < β, ezért M a kúpot hiperbolában metszi

(3.31 ábra) A kúp alsó palástján a hiperbola egyik, a felső palástján a másik ágát találjuk. A második képen a hiperbola kettős vetülete jelenik meg AB a valós tengely, amelynek első képe az első képhiperbola valós tengelye. A K középponton megy keresztül, és második vetítősugár a képzetes tengely, amelynek első képe az első képhiperbola képzetes tengelye. A hiperbola u, ill. v végérintője a kúp csúcspontján átmenő és az Mmel párhuzamos M* sík által kimetszett p, ill. q alkotó végtelen távoli pontjában érint. A p, ill q menti érintősík a vezérkör síkját a P-ben, ill Qban rajzolt körérintőben metszi Egy-egy végérintő a metszősík és a p ill a q alkotó menti érintősík metszésvonala. Az u végérintő az U ponton megy át, és p-vel párhuzamos, a v végérintő a V-n megy át, és q-val párhuzamos. A végérintők egymást K-ban metszik. A hiperbolának az alap-, ill fedőkörre eső pontjai 1 és 2, ill 3 és 4 A

metszet egy általános E pontját a tetszőleges a alkotóval szerkesztjük. M”-ből a” kimetszi E”-t Rendezővel a’-n kapjuk E’-t Ebben a pontban az e’ érintőt e-nek a vezérkör síkjával való N döféspontján keresztül rajzoljuk meg. Az a menti érintősík a vezérkör síkját e1-ben metszi Az e1 metszi n1-et N-ben. Végül |AB| körül a hiperbola felső ágát főállásba forgatjuk, és ott valódi nagyságban rajzoljuk meg. A palást síkba terítésénél értelemszerűen úgy járunk el, amint azt az ellipszismetszetnél tettük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 57 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 58 ► Vissza ◄ 58 ► 3.31 ábra Kúp hiperbolametszete A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► Parabolametszet Mivel ϕ = β, ezért M a kúpot parabolában metszi (3.32 ábra) A második képen a parabola kettős vetülete jelenik meg. A a parabola csúcspontja, s pedig a tengelye, melynek első képe a képparabolának is tengelye. A bal oldali b kontúralkotó menti érintősík M-mel párhuzamos. A parabola egyetlen végtelen távoli pontját M-ből b metszi ki. A parabolának a vezérkörre eső 1 és 2 pontját a metszősík és alapsík n metszésvonalán találjuk A parabola egy általános P pontját a V”-ben megjelenő és a p kört metsző segédsíkkal szerkesztjük. A p kör első képét, p’-t a t’ körül r sugárral rajzoljuk meg Ebből metszi ki a két metszősík m metszésvonalának m’ képe a P’ és P*’ pontot. A P-beli e érintőt a vezérkör síkján levő N nyompontján keresztül rajzoljuk meg Ezután az első kép és első leforgatás közötti affinitás felhasználásával a

parabolát n körül a vezérkör síkjába forgatjuk, és ott valódi nagyságban rajzoljuk meg A parabola A-beli simulókörének K középpontja a Meusnier-gömb O középpontjából a metszősíkra merőlegesen rajzolt egyenes talppontja. A simulókör sugara: ρ = K”A”. Mivel a kúpot és M-et érintő gömb középpontja az LA szakaszt felező O*, ezért az F fókusz felezi az AK szakaszt. Az első képparabola simulókörének sugarát az A-beli érintővel párhuzamos vezérkör síkjára való vetítéssel kapjuk. Mivel M a vezérkör síkjával ε szöget zár be, az első kép A’-beli simulókörének sugara: ρ* = ρ cos ε Az A”L”K” derékszögű háromszögben: cos ε = A" K " A" L" ezért a vízszintes A”L” = A’L’ = ρ*. M’ felezi az A’L’ szakaszt, tehát fókusz. A kúpon fekvő parabolák vezérkörsíkjára eső vetületeinek fókuszai a kúp csúcspontjának vetületére esnek Az előzőek alapján tehát

megjegyezzük, hogy: olyan esetben, amikor a kúpot metsző sík általános helyzetben van, olyan új képsíkot célszerű alkalmazni, melyre nézve a metszősík vetítősík, és az új képrendszerben a szerkesztést a fentebb tárgyalt módon végezzük el. Az alapkör és a kúpszelet első képe között centrális kollineáció áll fenn (l az 5 fejezetet) A centrum M’, a tengely n, és egy megfelelő pontpár: P1’ és P’. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 60 ► Vissza ◄ 60 ► 3.32 ábra Kúp parabolametszete A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 61 ► A kúp síkmetszéseit vizsgálva, mondhatjuk, ha a metszősíkkal párhuzamos és

a kúp csúcspontján átmenő sík a kúpot egy pontban metszi, két alkotóban metszi, egy alkotója mentén érinti, akkor rendre ellipszist (a tengelyre merőleges sík esetében kört), hiperbolát, parabolát kapunk. Ha tehát adott kúpot előírt kúpszeletfajtában akarunk metszeni, a metszősíkot a fentiek figyelembevételével kell felvennünk. 3.33 Főegyenes tengelyű kúp felületi pontjához tartozó normálisának és érintősíkjának megszerkesztése A 3.33 ábrán vetületi képeivel adott az egyenes körkúp második főhelyzetű tengelye (t), csúcspontja (M) és félnyílásszöge α/2 Adott a kúp egy felületi P pontjának második képe. Szerkesszük meg a felületi pont hiányzó első vetületi képét, a felületi ponthoz tartozó normálisát és érintősíkját! A második képen az α/2-t ismerve, megrajzolhatjuk a kúp képhatáralkotóit. A képhatáralkotók segítségével megszerkesztjük a P ponthoz tartozó érintőgomb G középpontját,

melyet rendezéssel viszünk a tengely első vetületi képére. Így első képen is megrajzolhatjuk az érintőgömb képét, majd a kúp első képhatáralkotóit. A kúpfelületet O középpontú körlappal zárjuk le, amely az első képen ellipszisként látszik. A felületi P pont a K középpontú gömbi körön helyezkedik el, mely gömbi kört az első vetületi képen megrajzolva rendezéssel kapjuk a pont első képét Az a = |MP| alkotó a kúpfelületet lezáró körlapot annak R pontjában metszi. A körlap forgatott képét a második képen megrajzoljuk, és az R pont forgatott képéhez megszerkesztjük a 60 mm széles érintősík e jelű egyenesét. A második vetületi képen megrajzolhatjuk a teljes érintősíkot – paralelogrammát. A P pont normálisa illeszkedik az érintőgömb középpontjára. A P pontra illeszkedő első főegyenes (h) két vetületi képét megrajzoljuk, majd az e* egyenessel alkotott H pontot keressük meg előbb a második, majd az

első képen. Az e* egyenes első képének és az S segédpont segítségével megszerkesztett érintősík-egyenesek első képének ismeretében az érintősík első képe is megrajzolható. Az érintősík vetületi képeit vonalkázással emeljük ki. Az érintősík részben takarja a körkúpot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 62 ► ◄ 62 ► 3.33 ábra Főegyenes tengelyű kúp tulajdonságai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 63 ► 3.34 Főegyenes tengelyű kúp metszése általános helyzetű síkkal A 3.34 ábrán vetületi képeivel adott egy első főegyenes tengelyű forgáskúp csúcspontja (M), érintőgömbjének

középpontja (G) és csak első képével alapkörének egy pontja (E) Az érintőgömb az alapkör síkját is érinti Szerkesszük meg a kúp mindkét vetületi képét, majd az E-pontbeli e érintőre és G pontra illesztett síkkal metsszük el a kúpot! Szerkesszük meg a metszetgörbe vetületi képeit, metszés után a kúp csúcspont felé eső részét eltávolítva képzeljük. Első részfeladatként a kúp vetületi képeit szerkesztjük meg. Az alapkör síkja az első képen élben látszik, illeszkedik az E pont első képére és merőleges a t tengely első vetületi képére. A kúp képhatáralkotóit az érintőgömb segítségével kapjuk meg Az érintőgömb sugara egyenlő az alapkör O pontjának és a G pontnak első vetületi képen mérhető távolságával. Az érintőgömb megrajzolása után a kúp első képe megrajzolható, második képe a körlap ellipszis képének megszerkesztése után rajzolható meg. Az alapkör E pontjának második képe az

alapkör első- és második forgatott képének segítségével szerkeszthető meg. Az E pontbeli e érintő első képe egybeesik az alapkör síkjának vetületi képével, míg második vetületi képét az alapkör forgatott képét felhasználva, affinitással határozhatjuk meg. Az E pontbeli érintő (e) és a G pont által megbatározott metszősík ellipszist metsz ki a forgáskúpból. Az ellipszis nagytengelyének egyenese az EG egyenes, míg kistengelyének egyenese a K pontra illeszkedő és E pontbeli e érintővel párhuzamos eX jelű egyenes. A nagytengely egyik végpontja E, míg másik végpontja az EX ponthoz tartozó kúpalkotóra illeszkedő F pont. Az EX pont az E pont szimmetriapontja az alapkörön Az F pontot az EG egyenes metszi ki az alkotóból A K pontot az EF szakasz felezőpontjában találjuk. A kistengely végpontjait, P és R pontokat a K pontra illesztett első vetítősík által a kúpból kimetszett körön találjuk. A metszet kört első

vetületi képen O középpont körül főhelyzetbe forgatjuk. A forgatott képen megrajzolt P és R forgatott képeket rendezéssel visszük az eX egyenes első vetületi képére, majd innen tovább a második képre Feladatunkat tulajdonképpen megoldottuk, hiszen az ellipszis metszetgörbe konjugált átmérőpárjának végpontjai – E, F, P, R pontok – rendelkezésünkre állnak, tehát az ellipszis már megszerkeszthető. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 63 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 64 ► ◄ 64 ► 3.34 ábra Főegyenes tengelyű kúp síkmetszése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 65 ► Szerkesztésünk pontosságát fokozhatjuk, ha megszerkesztjük a

képhatáralkotók és a metszősík metszéspontjait, melyek szintén az ellipszismetszet pontjai lesznek. Az első képhatáralkotók második vetületi képen a tengellyel fedő helyzetű középső alkotók lesznek. Így az ezeken megjelenő S és T pontok könnyen meghatározhatók. A második képhatáralkotók első vetületi képei nem lesznek középső alkotók, az N és NX pontra illeszkedő alkotók első képeinek megkeresése után, azonban a V és Z pontok már könnyen meghatározhatók. 3.4 A tórusz Ha egy kúpszeletet a síkjának valamelyik egyenese körül forgatunk, forgásgyűrű keletkezik. A forgásgyűrű negyedrendű algebrai felület A gyakorlatban ezek közül a legjelentősebb a tórusz Ez körnek a kör síkjában levő egyenes körüli forgatásával keletkezik. 3.35 ábra Tórusz meridiánkörének és tengelyének lehetséges helyzetei A tórusz háromféle lehet. Ha a forgástengely (335 ábra) a meridiánkört nem metszi, akkor nyitott, ha érinti,

akkor zárt, és ha metszi, akkor csonka a tórusz. A tórusszal kapcsolatban a következő feladatokat végezzük el: • • • • • ábrázoljuk egy felületi pontját, érintősíkját és normálisát, síkkal metszük, egyenessel metszük, különleges metszeteit rajzoljuk meg, kivételes körmetszeteit szerkesztjük meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 65 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 66 ► 66 ► 3.36 ábra Első vetítőegyenes tengelyű tórusz felületi pontja, normálisa és érintősíkja A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 67 ► A nyitott tórusz t tengelye első vetítősugár a 3.36 ábrán Az m bal oldali második főmeridiánkör középpontja K1,

a jobb oldalié K2, sugaruk r. A kör forgásakor K1 a tórusz k középkörét írja le, melynek O középpontja a gyűrű középpontja. A középkör síkjában van az ún torok- és ekvátorkör Ezek első képe az első képhatár. A második képhatár egyrészt a két második főmeridiánkör második képe, másrészt a tórusz legalsó és legfelső körének átmérőben megjelenő második képe A tengelyen átmenő síkok a tóruszt meridiánkörökben metszik. A körök középpontjai a középkörön vannak. A középkör egy-egy pontjában az érintőre merőleges sík a tóruszt meridiánkörben metszi. Mivel a tórusz negyedrendű felület, ezért a második képhatáron belül felvett P” általában négy felületi pont második képe. A P második vetítősugarán átmenő t-re merőleges sík p1 és p2 paralel köreiből a pontokat a vetítősugár metszi ki. A p1-nek a sugara r1, a p2-nek r2 P1-ben e a p1-nek is és a felületnek is érintője. A P1-en átmenő

meridiánkör érintője a, mely a p1 mentén érintő kúp alkotója. A kúp jobb oldali kontúralkotója Q-ban érinti a főmeridiánkört. A kúp M csúcspontján megy keresztül a P1-ben az E érintősíkot e és a határozza meg. Az n normális E-re merőleges Az n a t-t is és a k-t is metszi. Első képe ezért P’1-n és t’-n keresztül megrajzolható Az n’ és k’ metszéspontját, K’-t a második képre rendezzük. K”-n és P”-n megy keresztül n”. Az n a P1 menti normálkúp N csúcspontján is keresztülmegy N”-t Q”-ben az érintőkúp alkotójára rajzolt merőleges egyenes metszi ki t”-ből. A 3.37 ábrán a tóruszt egyszerű helyzetben ábrázoljuk A jobb oldali főmeridiánkörön felvesszük a felület H pontját (H a belső felületen van, ún. hiperbolikus pont), és a H-beli érintősíkkal metszük a tóruszt A sík az M”-ben és rajta a g metszet második képe egyenesben jelenik meg. A metszet pontjait szeletelő eljárással kapjuk A

szeletelősíkok t-re merőlegesek A metszősík és egy szeletelősík második vetítősugárban metszi egymást. Az I sík a g metszet legfelső 1 és 2 pontját adja. Mivel 1-ben és 2-ben I érintősík, ezért 1’-ben és 2’-ben az érintő rendezőirányú. II a középkör síkja. Ebben a torokkörön a 3, 4 és az ekvátorkörön az 5, 6 pontot kapjuk A pontok első képeiben g’ érintői a paralelkörök érintőivel esnek egybe. III érintősík, ezért 7’-ben és 8’-ben az érintő rendezőirányú. Egy általános pontot IV-gyel szerkesztünk. A sík a tóruszból az r1 és r2 sugarú köröket, a metszősíkból az m egyenest metszi ki. Az m’-n találjuk a 9’, 10’, 11’ és 12’ pontokat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 68 ► 68 ► 3.37 ábra Egyenes és tórusz

döféspontja és tórusz síkmetszése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 69 ► A 9-es pontban szerkesszük meg az e érintőt! A tórusz 9-beli érintősíkja a legalsó kör síkját az e1 egyenesben metszi. A szerkesztést 9-nek a Q-ba való elforgatásával végezzük a jelölés szerint. Az e1 az M és az alapkör síkjának n metszésvonalából e-nek E pontját metszi ki. A láthatóság feltüntetésénél a síkot eltávolítva gondoljuk. Az M-re merőleges meridiánsík a metszet szimmetriasíkja A metszésgörbe g’ képe tehát a sík t’-n átmenő esésvonalára szimmetrikus. A g’-t a felső-külső (elliptikus) tóruszövön 1’-től 5’-ig láthatóan, az alsó eltakart elliptikus övön 5’-től 9’-n keresztül 7’-ig szaggatottan ábrázoljuk. Az alsó-belső (hiperbolikus) eltakart övön

7’-től 10’-n keresztül 3’-ig szaggatottan, majd a felső hiperbolikus övön 3’-től a H’-n keresztül 2’-ig láthatóan rajzoljuk meg. Meridiánsíkban fekvő egyenes a tóruszt a sík meridiánkörein metszi. A tengelyre merőleges egyenes a tóruszt az egyenesen átmenő és a tengelyre merőleges sík paralel körein metszi. A tengelyhez általános helyzetű egyenes és tórusz metszéspontjait az egyenesen átmenő (legkedvezőbb helyzetű) segédsík által kimetszett görbe és egyenes közös pontjai adják Ez a feladat általában euklideszi szerkesztéssel nem oldható meg. Tegyük fel, hogy a metsző egyenes a (3.37 ábra) Az a-n átmenő második vetítősík g-ben metszi a tóruszt Az a’ a g’-t a közös pontok első képeiben (A’, B’, C’, D’) metszi E pontok várható helyének környezetében g’-t igen pontosan kell megrajzolnunk. A 3.38 ábrán a tórusz t tengelyével párhuzamos I, II, , VII vízszintes síkok a tóruszból kettős

szimmetriát mutató negyedrendű görbéket metszenek ki, melyeket egymás alá rajzoltunk. Ezek közül két részből áll az I-ben (két meridiánkör), a II-ben (két ,,csepp” alak) létrejövő metszet, és egy részből áll a többi. Részletezve a III-ban lemniszkáta, ,,piskóta”-alak a IV-ben, ,,ovál”-alak az M és N ,,laposponttal” az V-ben, ,,ovál”-alak a VI-ban és az E pont a VII érintősíkban. Megjegyezzük, hogy ha a sík t-től a meridiánkör sugarával megegyező távolságra van, akkor a metszet az ún. Cassini-féle görbe Ábránkon ilyen a IV síkban fekvő görbe. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 69 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 70 ► ◄ 70 ► 3.38 ábra Tórusz különleges síkmetszetei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. Görbe

felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► 3.39 ábra Tórusz síkmetszése Az M második vetítősík a tóruszt mind a K1, mind a K2 pontban érinti a 3.39 ábrán A negyedrendű síkmetszetnek az érintési pontok kettős pontjai, és ez esetben a görbe két másodrendű részre esik szét Bebizonyítható, hogy egy ilyen másodrendű görbének van egymásra merőleges két egyenlő hosszú társátmérője, ezért a másodrendű görbe kör. Ugyanis mind A’B’, mind C”D” a közép- vagy felső kör (jelöljük EF-fel) átmérőjével egyenlő. A’B’ azért, mert a bejelölés szerint mindegyik 2R + 2r hosszúságú. Az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 72 ► egyenlő hosszú körérintők és a szimmetria folytán pedig D”F = K1”C”,

és így C”D” = EF. Tehát AB = CD A tóruszhoz az O középpontból szerkesztett körülírt érintő forgáskúp minden érintősíkja a gyűrűből két kört metsz ki. A köröket Villarceau-féle köröknek nevezzük. A tórusz egy tetszőleges felületi pontján négy kör megy keresztül: paralel, meridián- és két Villarceau-féle kör. 3.5 Forgástestek áthatása Az áthatási feladatokat az áthatásban résztvevő testek tengelyeinek kölcsönös térbeli elhelyezkedése alapján csoportosíthatjuk. Ezek alapján megkülönböztetjük: • • • • közös párhuzamos metsző és kitérő tengelyű forgástestek áthatását. Két felület áthatásán (bemetszésén és teljes áthatásán) a közös pontjaiknak az összességét értjük. Az áthatási görbe általában térgörbe, mely mindkét felületen rajta van, de állhat pl. egyenesekből és körökből is Az áthatási görbe pontjait általában segédsíkokkal vagy segédgömbökkel

szerkeszthetjük meg. Ezeket a segédfelületeket úgy választjuk, hogy mindkét felületet egyenesekben, vagy körökben metssze, s ezek közös pontjai az áthatás pontjai. Valamely áthatási pontban vett felületi érintősíkok metszésvonala adja az áthatási görbe pontbeli érintőjét. Ezt a módszert különösen (nem forgási) kúpok és hengerek áthatásánál alkalmazzuk Más módon is megkaphatjuk az áthatás érintőjét A ponton át megszerkesztjük a felületek normálisát, ezek síkjára merőleges – a ponton átmenő – egyenes az érintő (a normálisok kifeszített síkjának normálisa). Forgásfelületek áthatásánál általában ezt a módszert követjük. Lényeges pontok és ezekben az érintők típusai: • Kettős- vagy duplapontja lesz az áthatásnak az a pontja, melyben közös a két felület érintősíkja. Az érintőket itt általában nem tudjuk egyszerű úton szerkeszteni • Közös szimmetriasíkban levő pontok. A közös

szimmetriasíkra mindkét felület, így az áthatás is tükrös E síkkal, mint segédsíkkal szerkeszt- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 72 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 73 ► jük a benne fekvő áthatási pontokat, melyekben az érintő (hacsak nem duplapont is) merőleges a közös szimmetriasíkra. • Az áthatási görbe képkörrajzi pontjai azok a pontok, melyek valamelyik felület kontúrgörbéjén vannak. Általában a kontúrgörbéken át felvett segédfelületekkel szerkesztjük e pontokat Az áthatás képkörrajzi pontjai nem mindig szerkeszthetők. Ilyenkor az áthatási görbét kellő pontosan szerkesztve és megrajzolva kell kijelölni e pontokat a kontúrgörbén, majd rendezővel a képkörrajzon. Megkeresésük nem nélkülözhető, mert a láthatóság ezekben megváltozhat Képkörrajzi pontokban az érintő a

képkörrajzi görbe érintőjével azonos, a másik képen pedig az általános elv szerint szerkeszthető. • Összetett és lehatárolt felületeknél a csatlakozó- és a lezáró párhuzamos körökön levő áthatási pontok, melyeket a körökön át felvett segédfelületekkel, bennük az érintőt az általános elv szerint kaphatjuk. Szimmetria szempontjából mindig a teljes felületet kell tekinteni, nemcsak a határolt, vagy megrajzolt részét. Tórusznál figyelembe kell venni a torok- és ekvátorkört, a főmeridiánt, a legfelső- és a legalsó párhuzamos kört. A szerkesztés lépéseinek sorrendje: • lényeges pontok és ezekben az érintő, • ahol szükséges, néhány általános pont szerkesztése az érintővel, • a görbe képei és az esetleg nem szerkeszthető képkörrajzi pontok kijelölése, bennük az érintő megrajzolása, • a láthatóság feltüntetése. 3.51 Közös tengelyű forgásfelületek áthatása Közös tengelyű

forgásfelületek áthatása párhuzamos körökből áll, és bármely meridián sík egyúttal közös szimmetriasík is. Itt újra megjegyezzük, hogy gömbnek bármely átmérő egyenese lehet forgástengelye, és mindig azt választjuk, amelyik a szerkesztés szempontjából előnyösebb. Ha tehát egy gömb középpontja rajta van egy forgásfelület tengelyén, áthatásuk párhuzamos körökből áll, mert közös tengelyűeknek tekinthetők. A 3.40 ábrán a közös első vetítő egyenes tengelyű kúp, henger és gömb áthatását szerkesztettük meg. A felületeket meghatározó főmeridián görbék 1, 2 és 3 közös pontjai által a forgás során leírt p1, p2 és p3 párhuzamos körök adják a (teljes-) áthatásukat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 73 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 74 ► 3.40 ábra Közös tengelyű

kúp, gömb és henger áthatása 3.52 Párhuzamos tengelyű forgásfelületek áthatása Ha két forgásfelület tengelye párhuzamos, mindig lehet tengelyekre merőleges segédsíkokat választani a pontok szerkesztéséhez (mert ezek a felületeket párhuzamos körökben metszik). Mindig van legalább egy közös szimmetriasík, a tengelyek síkja. A 3.41 ábrán gömb és tórusz áthatását szerkesztettük meg A gömb tengelyének a tórusz at tengelyével párhuzamos ag első vetítőegyenest választottuk. A tengelyekre merőleges π1 sík a tóruszt a p1 és p2, a gömböt a p párhuzamos körben metszi, melyek metszéspontjai az áthatás pontjai. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 74 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► Vissza ◄ 75 ► 3.41 ábra Gömb és tórusz áthatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 76 ► Az áthatási görbe érintőjét a P pontban úgy kaptuk, hogy a tórusz és a gömb P-hez tartozó normálisai által meghatározott síkra (a sík első (h) és második (v) fővonalainak segítségével) merőleges egyenest szerkesztettünk a ponton át. Mint említettük, a tengelyek síkja (Σ) közös szimmetriasík Ha ezt választjuk segédsíknak, ez a tóruszt az l, a gömböt az m meridiánkörben metszi. A két kört a tórusz tengelye körül annak főmeridiánsíkjába forgattuk. l° és m° közös pontjai a Σ közös szimmetriasíkban levő pontok forgatottjai. Ezeken át felvesszük a tórusz párhuzamos köreit, melyeknek a Σ’-vel való metszéspontjai adják a közös szimmetriasíkbeli pontok első képét, majd rendezővel kijelöljük a második képeket. Az érintőket ezekben a Σ első vetítősíkra

merőlegesen, tehát első képsíkkal párhuzamos egyeneseknek kaptuk. Az áthatási görbének az első képkörrajz pontjait a gömbön az α, a tóruszon a β segédsíkkal nyertük (1, ill. 2) Ezekben az érintők első képe a megfelelő körrajzi kör érintője. A görbe második képkörrajzi pontjait (3) a γ segédsíkkal kaptuk Az érintő második képe mellett (mely a γ”vel egybeesik), mivel egyszerűen adódott, megkerestük az első képet is A tórusz érintősíkja a 3-ban a γ, s ennek a gömb érintősíkjával való metszésvonala éppen az általa kimetszett gömbi kör érintője. Az áthatási görbe második képkörrajzi pontjai a gömbön nem szerkeszthetők, ezért a görbe kellő számú pontját és érintőjét megszerkesztve, az áthatási görbét pontosan megrajzoltuk az első képen. Ezután a megrajzolt görbének és a gömb k2 kontúrkörének 4-gyel jelölt metszéspontjait rendezőkkel kijelöltük a gömb második képén, majd

megszerkesztettük ezekben, mint második képkörrajzi pontokban az érintőket. A görbe második képének megrajzolása után feltüntettük a láthatóságot Az első képen – mivel a gömb első kontúrja magasabban van – a gömbön levő képkörrajzi pontokban változik meg a láthatóság. A második képen, jobb oldalon a k2 előtti, a tórusz képkörrajzán levő 3 pontban, baloldalon a legfelső tóruszkör előtti, a gömb képkörrajzán levő 4 pontban ment át a görbe látható része az eltakartba. A 3.42 ábrán párhuzamos tengelyű tórusz és henger áthatását szerkesztettük meg A D pont az áthatás kettős pontja, mert ebben a két felület érintősíkja közös D egyúttal két közös szimmetriasíkban (Σ1 és Σ2) levő pont, valamint a tórusz második képkörrajzán levő pont. Első képét rendezővel az ekvátorkörön kaptuk. A közös szimmetriasíkban levő (S) pontok szerkesztésére felhasználhatjuk az előző példán látott módszert.

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 77 ► 77 ► 3.42 ábra Párhuzamos tengelyű henger és tórusz áthatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 78 ► Másképpen, a henger alkotói második vetítőegyenesek, a henger második vetítőhenger, tehát az S pont második képe közvetlenül látszik, első képét a rajta átmenő felületi párhuzamos körrel, mint felületi pont képét is szerkeszthetjük. Benne az érintő Σ1-re merőleges Így kaptuk az áthatási görbének a hengeren levő első képkörrajzi pontjait (1 és 2) is, míg a tóruszon levőket (3) egyszerűen rendezővel kijelöltük. Általános pont szerkesztéséhez

választhatunk a tengelyekre merőleges π2 segédsíkot, de ilyen esetben is célszerű lehet az előzőkhöz hasonlóan a tóruszon felvett párhuzamos köröknek a hengerrel adódó, s a második képen látható metszéspontjait keresni. Érintőt továbbra is a normálisok síkjára merőleges egyenesként szerkesztettünk. Megrajzoltuk az áthatási görbét és feltüntettük a láthatóságot A 3.43 ábrán párhuzamos tengelyű tórusz és csonka kúp áthatását szerkesztettük meg. A tengelyek által meghatározott Σ a közös szimmetriasík A benne fekvő pontokat a Σ-val, mint segédsíkkal való metszetnek a tórusz főmeridián síkjába való forgatásával, majd az itt nyert pontok visszaforgatásával kaptuk először az első, azután rendezővel a második képet. A kúpalkotóknak elegendő az alapkörön levő X, ill Y pontjait forgatni, mivel az alkotók forgatottja párhuzamos lesz a főmeridián alkotókkal Az S1 és S2-ben az érintő a Σ-ra merőleges

Megszerkesztettük – megfelelő segédsíkokat választva – az első képkörrajzi pontokat (1) az áthatási görbéből, majd a második képkörrajzi pontokat a tóruszon (2 és 3), általános pontokat és ezek egyikében (P) az érintőt. Ezután megrajzoltuk a görbe első képét A megrajzolt görbének és a kúp második kontúralkotóinak metszéspontjait (4, 5, 6 és 7) rendezővel megkeresve a második képen adódtak az áthatási görbének a kúpon levő második képkörrajzi pontjai, melyek különben nem szerkeszthetők. A görbe második képének megrajzolása után feltüntettük a láthatóságot úgy, hogy a kúpot és a közös részt eltávolítottuk, a tóruszt pedig lemezből készültnek tekintettük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 78 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 79 ► 79 ► 3.43 ábra Párhuzamos

tengelyű tórusz és csonka kúp áthatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 80 ► Vissza ◄ 80 ► 3.44 ábra Kúp és gömb áthatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 81 ► A 3.44 ábrán kúp és gömb áthatását szerkesztettük meg A közös szimmetriasík a második képsíkkal párhuzamos, így a rá való tükrösség miatt második képen két-két pont (a közös szimmetriasíkban fekvő pontok kivételével) egybeesik, fedőpontpárt ad. Az így létrejövő képet kettős vetületnek nevezzük, mely tehát akkor jön létre, ha a közös szimmetriasík képsíkkal párhuzamos Az áthatási görbe (mindkét felület másodrendű és mivel

az áthatási görbe rendszáma a felületek rendszámainak szorzataként adódik) negyedrendű görbe, melynek a rendszáma a kettős vetületben felére csökken. Tehát az áthatási görbe második képe kúpszelet (másodrendű görbe), aminek ismeretében a görbe képét könnyebben rajzolhatjuk meg. A görbe lényeges és általános pontjait, ezekben az érintőt a már ismert módon kaphatjuk A görbe képeinek megrajzolása után feltüntettük a láthatóságot, eltávolítva a gömböt és a közös részt. 3.53 Metsző tengelyű forgásfelületek áthatása Ha a két forgásfelület tengelye metsző helyzetű és mindkét tengely ugyanazzal a képsíkkal párhuzamos (amit transzformációval mindig elérhetünk), akkor mindig használhatunk áthatási pontok szerkesztéséhez olyan segédgömböket (sorológömb), amelyek középpontja a két tengely metszéspontja. Ugyanis ezek a gömbök mindkét felülettel közös tengelyűek, tehát mindkettőből párhuzamos

köröket metszenek ki, melyek vetítősíkban vannak és képük egyenesszakasz. A kimetszett körök közös pontjai az áthatás pontjai. Ez esetben mindig van az áthatásnak legalább egy közös szimmetriasíkja, a tengelyek síkja. A 3.45 ábrán két kúp áthatását szerkesztettük meg második képen A hiányzó első képet pótolja az a feltevés, hogy az f és g tengelyek a második képsíkkal párhuzamos egyenesek, melyek metszik egymást az O pontban. A tengelyek síkja tehát második képsíkkal párhuzamos, s mivel közös szimmetriasík is, a negyedrendű áthatási görbe második képe kúpszelet a kettős vetület miatt. A tengelyek O metszéspontja körül felvett bármely gömb (pl. amelyiknek második képkorrajza a k1” kör) mindkét felületet egyenesben látszó párhuzamos körben (p1” ill. p2”) metszi Ezek metszéspontjai (P”) az áthatás pontjai A P pontban felvett két normális (n1 ill n2) metszi a tengelyeket egy-egy pontban (f-et az O1-ben,

g-t az O2-ben). Tekintve, hogy a tengelyek síkja a második képsíkkal párhuzamos, azoknak a normálisokkal való O1 és O2 metszéspontjait összekötő egyenes is második fővonal (v), melynek második képére merőleges az érintő második képe. A pontok első képét felületi pontokként nyerhetnénk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 81 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 82 ► 3.45 ábra Két metsző tengelyű kúp áthatása A tengelyek síkjában fekvő második főmeridián alkotók metszéspontjai a közös szimmetriasíkban fekvő pontok. Segédgömbös szerkesztéseknél fel kell venni a még áthatási pontot adó legkisebb (vagy legnagyobb) sugarú gömböt is (amelyik az egyik felületet érinti és a másikat metszi), melynek az ábrán a k2” adja a második képkörrajzát. Az ezzel adódó A pontban az érintő (tA)

képe merőleges annak a tengelynek (f) a képére, amelyhez tartozó felületet a gömb (körben) metszi (Ellenőrizzük szerkesztéssel!). A segédgömbös módszer hátránya, hogy a lényeges pontok így nem mindig szerkeszthetők meg (pl. az áthatási görbének az f tengelyű kúpon levő első képkörrajzi pontjai). Ezért, ha lehet, metsző tengelyek esetén is segéd sí- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 82 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 83 ► kokkal szerkesztünk. Az ábrán az áthatási görbe megrajzolása után feltüntettük a láthatóságot A 3.46 ábrán az O pontban egymást metsző (t1 és t2) tengelyű tórusz és henger áthatását szerkesztettük meg. A henger tengelye és második kontúralkotói a tórusz főmeridiánsíkjába eső második fővonalak. A második képkörrajzi alkotóknak a főmeridiánkörrel

való érintési pontjai (D1 és D2) az áthatás kettős pontjai, melyeket az első képen a főmeridiánon rendezővel kaptunk. Felvettük a második képen k1”-ben látszó segédgömböt az O pont körül Ez a tóruszt az ekvátor körben metszi, amelyiken a hengerből kimetszett párhuzamos kör első kontúrpontokat jelöl ki (1). Az áthatási görbe második képkörrajzi pontjait (2) a tórusz legfelső párhuzamos körét tartalmazó segédgömbbel kaptuk, majd a legnagyobb sugarú, áthatási pontot adó gömböt (második képe k3”) vettük fel, melyen adódó (3) pontban az érintő második képe a henger tengelyének képére merőleges. A k” második képű segédgömbbel szerkesztettük a P pontot Az első képét a tórusz p párhuzamos körén kaphatjuk rendezővel is, de a metszés pontatlansága miatt célszerű, ha a párhuzamos körön a hengeralkotó képével jelöljük ki Megszerkesztettük a P pontban az érintőt is. A görbe második képének

megrajzolása után kijelöltük a henger első kontúralkotóin levő (nem szerkeszthető) áthatási pontokat (4) Megrajzoltuk a görbe első képét és feltüntettük a láthatóságot, mindkét felületet üres csőnek tekintve. Megjegyezzük, hogy az áthatás még folytatódnék a henger meghosszabbításán, mi azonban az áthatási görbét csak a hengeres csőnek a tórusz alakú csőbe való bemeneti részén kerestük meg, továbbá, hogy a második kép kettős vetület, mivel a közös szimmetriasík a második képsíkkal párhuzamos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 83 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 84 ► ◄ 84 ► 3.46 ábra Metsző tengelyű henger és tórusz áthatása I A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 85 ► ◄ 85 ► 3.47 ábra Metsző tengelyű forgáskúp és henger áthatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 86 ► A 3.47 ábrán az egymást metsző tengelyű forgáskúp és henger áthatását szerkesztettük meg. A kúp tengelye első, a hengeré pedig harmadik vetítőegyenes. A tengelyek metszéspontja körül mindkét felületet érintő segédgömb vehető fel, amelynek segítségével adódó két áthatási pontban közös a két felület érintősíkja, tehát dupla pontok. A két felület áthatási görbéje negyedrendű. A negyedrendű görbe, ha legalább két kettőspontja (itt D1 és D2) van, általában két másodrendűre, két kúpszeletre (itt két ellipszisre) esik szét. Az ellipszisek második képen – mivel a tengelyek által

meghatározott Σ1 közös szimmetriasík a második képsíkkal párhuzamos – a kettős vetület miatt egyenes szakaszokban látszanak. Mivel ilyen esetben az áthatás bármelyik felületnek két síkkal való metszeteként is felfogható és nyerhető, a kettőspontokban is szerkeszthetjük az érintőket, mint a metszetek érintőit. Pl a kúp D1-hez tartozó érintősíkjának (melyet az alkotó és alapkörérintő határoz meg) a két vetítősíkkal való metszésvonalai (az alapkörérintő és a síkok metszéspontjait D1-gyel összekötő egyenesek) adták a D1-ben az érintőket. (Pl M1D1) A D1, D2 pontok egyúttal a Σ2 közös szimmetriasíkban fekvő pontok is A Σ1-ben fekvő (S1, S2, S3, S4) pontok második képen közvetlenül adódtak, innen kaptuk érintővel együtt az első képüket. A hengeren az áthatás első képkörrajzi pontjai rendezőkkel kijelölhetők. Általános pontok szerkesztése történhet a tengelyek metszéspontja körüli segédgömbökkel,

vagy valamelyik felület síkmetszeteként illetve áthatási görbeként az első képsíkkal párhuzamos segédsíkokkal. A P1, P2 pontokra a szerkesztést mindhárom lehetőség szerint bemutattuk. Az érintő szerkesztését a P1 pontban áthatási pontként – a normálisok síkjának normálisaként szerkesztettük meg, a P2 pontban pedig – a kúp síkmetszeteként – az érintősík és a metszősík metszésvonalaként kaptuk. A görbék megrajzolása után feltüntettük a láthatóságot. A 3.48 ábrán gömb és henger áthatását szerkesztettük meg A felvétel szerint e felületek tekinthetők párhuzamos, metsző és kitérő tengelyűeknek egyaránt. A szerkesztéshez azonban sem a tengelyekre merőleges segédsíkok, sem pedig a segédgömbök választása nem célszerű Első képsíkkal párhuzamos segédsíkokat vettünk fel, melyek (pl π1) a gömböt k körben, a hengert (a1, a2) alkotókban metszik Az alkotók első képét a jelölés szerint, az alapkör

pontjainak forgatásával nyertük. Ezek közös pontjaiként kaptuk az áthatás pontjait Az érintőt az ismert módon, a normálisok felhasználásával szerkesztettük. Az áthatási görbét megrajzoltuk és feltüntettük a láthatóságot Megjegyezzük, hogy itt két közös szimmetriasík is van (Σ1 és Σ2), és a D pont az áthatás kettős pontja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 86 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 87 ► Vissza ◄ 87 ► 3.48 ábra Gömb és henger áthatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 88 ► ◄ 88 ► 3.49 ábra Metsző tengelyű henger és tórusz áthatása II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 89 ► A 3.49 ábrán tórusz és henger áthatását szerkesztettük meg Tengelyeik metszik egymást, mégis célszerűbb itt is a szerkesztést a második képsíkkal párhuzamos segédsíkokkal végezni. Ha ui segédgömbökkel akarnánk a feladatot megoldani, a tengelyek síkját először a második képére merőlegesen, harmadik képsíkkal párhuzamossá kellene transzformálni. A lényeges pontok, és ezekben az érintő, valamint az általános pontok és érintő szerkesztése után megrajzoltuk az áthatási görbét (csak a „bemeneti” részen) és feltüntettük a láthatóságot. A 3.50 ábrán forgáskúp és forgáshenger áthatását szerkesztettük meg A kúp alapkörének síkja π1 az első képsíkkal párhuzamos sík, a hengeré az α, második vetítősík, ezek metszésvonalán levő X pontokban kell, hogy a segédsíkoknak az α és π1

síkokkal alkotott metszésvonalai metsszék egymást. Megkerestük az M csúcson átmenő és a henger alkotóival párhuzamos f segédegyenesnek α és π1 síkokkal való és D1 és D2 döféspontját A henger alapkörének síkját az m forgástengely körül a π1-be forgattuk. Az m1m2f segédsíkkal általános pontokat szerkesztettünk. Megkerestük azokat a pontokat, ahol a kúpalkotó az áthatási görbe érintője, továbbá a henger első kontúrján levő pontokat (melyeket egyébként a metsző tengelyek esetében itt is alkalmazható segédgömbös eljárással nem lehet megszerkeszteni). A közös szimmetriasíkban levő pontok közvetlenül adódtak Megrajzoltuk az áthatási görbe képeit (a második kép kettős vetület, tehát kúpszelet lesz), feltüntettük a láthatóságot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 89 ► Műszaki ábrázolás II. Görbe felületek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 90 ► 3.50 ábra Kúp és henger áthatása 3.54 Kitérő tengelyű forgásfelületek áthatása A 3.51 ábrán tórusz és forgáshenger áthatását szerkesztettük meg A tórusz tengelye a tt első vetítőegyenes, a hengeré pedig a hozzá képest kitérő helyzetű th első képsíkkal párhuzamos egyenes. Pontokat az első képsíkkal párhuzamos segédsíkokkal szerkesztettünk Egy P általános pontban megszerkesztettük az áthatási görbe e érintőjét is, a normálisok síkjára merőlegesen. A tt tengelyen átmenő és a th-ra merőleges Σ közös szimmetriasíkban fekvő pontokat a tórusz főmeridiánsíkjába való forgatással kaptuk, bennük az érintő a Σ -ra merőleges Az áthatási görbe tóruszon levő (6 db) első képkörrajzi pontjait a tórusz középkörének síkjával, a hengeren levőket (6 db) a henger tengelyén átmenő, első képsíkkal párhuzamos síkkal, a tórusz legfelső párhuzamos körén levő második

képkörrajzi pontokat (4 db) e kör síkjával, végül a henger legalsó alkotóján levőket (4 db) az alkotón átmenő első képsíkkal párhuzamos síkkal, mint segédsíkkal nyertük. Megkerestük e pontokban az érintőket a megfelelő képeken, majd megrajzoltuk az áthatási görbe első képét. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 90 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 91 ► 3.51 ábra Kitérő tengelyű tórusz és henger áthatása A pontosan rajzolt görbének a tórusz főmeridiánjával adódó két metszéspontjának rendezővel kijelölt második képe további (nem szerkeszthető) második képkörrajzi pontokat ad, melyekben az érintőt ugyancsak megraj- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 91 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 92 ► zoltuk. Ezután az első kép összekötési sorrendjében összekötve a pontok második képét, adódott az áthatási görbe második kepe. Végül a hengert és a közös részt eltávolítottuk és feltüntettük a megmaradó, lemezből készült körgyűrű felületrész láthatóságát. Mint látható e feladatnál is, a két közös szimmetriasíkban levő pont, a huszonkét képkörrajzi pont és az ezekben vett érintők segítségével a görbe menete elég pontosan adódik és felesleges sok általános pontot és érintőt szerkeszteni. Érdemes megfigyelni és szerkesztéssel ellenőrizni, hogy a 3 és 4 második képkörrajzi pontokban az áthatási görbe érintője első képen is könnyen adódik, ha az érintőt az érintősíkok metszésvonalaként keressük A 3 pontban a kimetszett hengeralkotót, a 4-ben pedig a tórusz párhuzamos körének az érintőjét kapjuk az áthatási görbe érintőjeként. A

3.52 ábrán két kitérő, első főegyenes tengelyű henger áthatását szerkesztettük meg A segédsíkokat első képsíkkal (és mindkét tengellyel) párhuzamosan választottuk, s a kimetszett alkotókat az alapkörök forgatottjának segítségével kerestük meg az első képen Ezek közös pontjai az áthatás pontjai Megszerkesztettük a lényeges pontokat, azokban az érintőket, általános pontokat, s egyikben az érintőt. A második kontúrpontokban (3 és 4) mindkét képen, s így a térben is egy-egy megfelelő hengeralkotó az áthatási görbe érintője, a két érintősík metszésvonala. Megrajzoltuk a görbe képeit és feltüntettük a láthatóságot A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 92 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 93 ► 93 ► 3.52 ábra Két kitérő, első főegyenes tengelyű henger áthatása A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 94 ► 3.53 ábra Kitérő tengelyű kúp és tórusz áthatása A 3.53 ábrán egy tt második vetítőegyenes tengelyű tórusz és egy olyan forgáskúp áthatását szerkesztettük meg, melynek tk tengelye a tórusz középkörének síkjában van, s a két tengely kitérő helyzetű. Az áthatási pontok szerkesztéséhez itt megfelelő segédsíkokat általában nem találunk, ezért más segédfelületet kell keresni. Változó középpontú segédgömböket alkalmazhatunk, ha tórusznak olyan forgási felülettel (pl. kúp, henger, másik tórusz) való áthatását szerkesztjük, melynek tengelye a tórusz középkö- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 94 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Görbe felületek Vissza ◄ 95 ► rének síkjában van. Kiválasztjuk a tórusz egy m meridiánkörét E körhöz számtalan olyan gömb található, melynek ez felületi köre (s a tórusszal való áthatásnak egy része). A gömbközéppontok a k középkörnek az m meridiánkör középpontjában vett érintőjén vannak. Ez az érintő metszi a kúp (a másik forgásfelület) tengelyét egy O pontban, mert egy síkban vannak. Ha az O körül az m kört tartalmazó gömböt veszünk fel, ez a kúpot a p párhuzamos körben metszi, melynek m-mel való közös pontja az áthatás pontja lesz. Az áthatási görbe lényeges pontjainak és ezekben a görbe érintőinek megszerkesztése után megrajzoltuk a görbét és feltüntettük a láthatóságot Általános pontban érintőt az ismert módon szerkeszthetünk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 95 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 96 ► 4. Árnyékszerkesztés Ha a tárgyakat, alakzatokat megvilágítjuk, akkor a fényforrás felé forduló lapjaik, felületeik megvilágított lapok, felületek és az ellenkező irányba fordulók az önárnyékos lapok, felületek. A tárgyak, alakzatok árnyéka más lapokon, felületeken az ún. vetett árnyék Az árnyékok feltüntetése fokozza a rajz képiességét Különösen építészeti rajzokon előnyös az árnyékok megszerkesztése, mert a felületek tagoltsága, az árnyék alapján jól elképzelhető. Az árnyékok keletkezéséhez a fentiek szerint szükséges: • fényforrás • az árnyékot vető tárgy vagy alakzat • az árnyékfelfogó felületek. Fényforrásként a napot választjuk és a napból kiinduló fénysugarakat párhuzamosnak tekintjük, így paralel világításról beszélünk. A paralel világítás tulajdonképpen a már megismert párhuzamos vetítési

eljárás, azzal a különbséggel, hogy ezúttal csak a kontúrok, képkörrajzok jelennek meg az árnyékfelfogó felületeken, mert az árnyékkép „belsejében” nem tudunk részleteket megkülönböztetni. Árnyékot vető tárgy vagy alakzat a megismert elvek szerint visszavezethető az alapvető térelemek rendezett halmazára. Így elsősorban a térelemek lesznek az árnyékot vető tárgyak, alakzatok Árnyékfelfogó felületnek mindig azt a tárgyat, alakzatot, síkot, stb. tekintjük, amelyre az árnyék éppen ráesik Elvi kérdés csupán, mégis meg kell jegyeznünk, hogy a tárgyba, felületbe ütköző fénysugár a tárgy mögött árnyéksugárként folytatódik és így az árnyékot tulajdonképpen az árnyéksugarak és az árnyékfelfogó felületek metszéspontjai alkotják. 4.1 Térelemek árnyéka A korábbiakban megismert térelemek árnyékát tetszőleges síkon, az egyszerűség kedvéért a képsíkokon keressük meg. A paralel világítás irányát

|f| iránnyal adjuk meg. Ha képsíkokkal dolgozunk, akkor szükséges bejelölnünk a képsíkok vetületi képeit is A képsíkok vetületi képei élben látszódnak, egybeesnek a képsíktengellyel, x12-vel Az |f| fénysugár irányt is két vetületi képével adjuk meg egyértelműen. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 96 ► Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 97 ► 4.11 Pont árnyéka a képsíkon A P pont árnyékának jele az első képsíkokon P1, a második képsíkon P2. Az árnyékot tulajdonképpen úgy határozzuk meg, hogy keressük a P pontra illesztett és az |f|-fel párhuzamos f X egyenes nyompontjait. A szerkesztés képies képét mutatja a 41 ábra 4.1 ábra Pont árnyéka A szerkesztést vetületi képeken a 4.2 ábrán láthatjuk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 97 ►

Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 98 ► 4.2 ábra Pont árnyékának szerkesztése 4.12 Egyenes és sík árnyéka a képsíkon A 4.3 ábrán adott három pont vetületi képeivel és a fénysugár irányának vetületi képei. Szerkesszük meg a pontok árnyékképeit a képsíkokon! Az azonos képsíkokon megjelenő árnyékpontokat összekötjük, így kapjuk az A, B, C pontok által meghatározott háromszög árnyékát a két képsíkon. Az így kapott vetületi képek (árnyékháromszögek) azon pontjai „érvényesek”, amelyek a megfelelő képsíkon vannak, (A2 és B2 a K2 képsíkon, míg C1 a K1 képsíkon). Figyeljük meg, hogy a B1C1 és B2C2, illetve az A1C1 és A2C2 oldalak az x12 tengelyen metsződnek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 98 ► Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 99 ► 4.3 ábra Háromszög árnyéka A 4.4 ábrán egy falhoz támasztott létra vetett árnyékait keressük meg a padló- és falsíkokon. A padló a K1, a fal a K2 képsík, a létra fokai 3 vetítőegyenesek, míg a létra oszlopai profilegyenesek A létra párhuzamos elemei miatt elég az egyik oszlop és az azon lévő fok osztáspontok árnyékát megszerkeszteni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 99 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 100 ► 4.4 ábra Az első és második képsíknak támaszkodó alakzat árnyéka Az AB egyenes A végpontjának árnyékát a már ismert módon szerkesztjük meg. Az AB egyenes végpontjai a megfelelő képsíkra illeszkednek, azonosak az árnyékpontokkal, (A” = A2, B’ = B1). Az A1B1 egyenes az oszlop árnyéka, mely az x12 tengelyig érvényes,

onnan az A2B2 egyenes az érvényes. A fokokat az f ”-vel párhuzamosan visszük az oszlop árnyékképére A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy síkok, sokszögek vetett árnyékát úgy nyerjük, hogy megszerkesztjük csúcspontjainak az árnyékát és az árnyékpontokat a megfelelő sorrendben összekötjük. Síkok, sokszögek önárnyéka a fénysugár irányából nézve az ellenkező teljes síkoldal. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 100 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 101 ► 4.2 Sokszögek, szögletes testek árnyéka A 4.5 ábrán egy háromszög alapú hasábot ábrázolunk két vetületi kepével A hasáb lapjai közül melyek lesznek önárnyékban, ha adott a fénysugár iránya? 4.5 ábra Önárnyékos oldalak szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 101 ►

Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 102 ► Könnyen belátható, hogy • az ABC és ABEF síklapok nem lesznek önárnyékosak • a DEF lap biztos, hogy önárnyékos Kérdés, hogy az ADFC és BCFE lapok önárnyékosak-e. Illesszünk 1 vetítősíkot az f ’-re (vagy azzal párhuzamosan valamely csúcspontra), amely a testből az 123 szelvényt metszi ki. A szelvény második képén látható, hogy az f ’-vel párhuzamos sugarak metszik az 12 és 13 egyeneseket és így takart helyzetben van a 23 egyenes. A takart helyzetben levő egyenest tartó sík önárnyékos Tehát nem önárnyékos az ADFC, míg önárnyékos a BCFE síklap Az önárnyékos síkoknak laza vonalkázással tónust adhatunk. A hasáb megvilágított lapjait a BEDFCB térbeli sokszög választja el az önárnyékos lapoktól. Ez a sokszög a test önárnyékhatára Az önárnyékhatár a testen, alakzaton van, míg

ennek vetülete a vetett árnyék határa az árnyékfelfogó síkon keletkezik. Ezért általában először az önárnyékhatárt keressük meg, mert így megtakaríthatjuk azoknak az árnyékpontoknak a megszerkesztését, amelyek az árnyék „belsejébe” esnének. A 4.6 ábrán egy, az alapsíkon álló hasáb önárnyékát és vetett árnyékát határozzuk meg, ha adott még egy függőleges sík is. A felülnézeti képen azonnal megállapítható, hogy önárnyékos lapok az ABFE és ADHE. Az ABCD alaplap szintén önárnyékos, de egyúttal a vetett árnyék határa is. Így az önárnyékhatár az ADCBFEHD sokszög. A BCD pontok árnyékpontjai megegyeznek az első, illetve második vetületi képekkel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 102 ► Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 103 ► 4.6 ábra Alapsíkon álló hasáb árnyéka A

4.7 ábra egy épülethomlokzatot mutat elöl- és felülnézeti képen Felülnézeti képen megszerkeszthető a kémény vetett árnyéka a tetőn, valamint az épület vetett árnyéka az alapsíkon. Az elölnézeti képen megszerkeszthető vetett árnyékok: • tető árnyéka kéményen, falsikon, és beugró síkjában (I., II, III síkok) • a kémény árnyéka a falsíkon (II. síkon) • a falsík árnyéka a beugró síkján (III. síkon) Az ábrán az önárnyékhatárok megvastagítva szerepelnek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 103 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 104 ► ◄ 104 ► 4.7 ábra Épülethomlokzat tagoltságának szemléltetése árnyékszerkesztéssel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 105 ► A 4.8 ábrán oszlopokon nyugvó héjszerkezet (perontető) elöl- és felülnézeti képe adott A sugárral képezett árnyékok: • a héjszerkezet árnyéka az oszlopon (elölnézeti képen) • a héjszerkezet és oszlop vetett árnyéka az alapsíkon, ha a födémet áttetszőnek tekintjük (így ritkábban vonalkázva látszik a födém alatti árnyékkép is). 4.8 ábra Építmény árnyéka A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 105 ► Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 106 ► 4.3 Henger, kúp és gömb árnyéka A síklapú testekhez hasonlóan görbe felületek esetében is igaz, hogy az önárnyékhatár vonalának adott |f| irányú vetülete a vetett árnyék határvonala. Görbe felületek önárnyékhatára lehet egyenes, de lehet másfajta vonal is. Általában igaz, hogy

egyenes és nem egyenes vonalak együttese adja az önárnyékhatár vonalát és a vetett árnyék határvonalát. 4.31 Körhenger árnyéka A hengert érintő fénysugarak általában két párhuzamos fénysíkot alkotnak. A henger önárnyékhatár-alkotói a fénysíkok érintési alkotói. A 49 ábrán első vetítőhengert látunk két vetületi képével és az |f| sugárral. 4.9 ábra Henger árnyéka A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 106 ► Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 107 ► A henger felső körlapjának K, A, B, C és D pontjainak árnyékát a megismert módon kereshetjük meg a képsíkokon. Az első képsíkon fekvő árnyékpontok a fedlap körrel egybevágó kört adnak, míg a második képsíkon fekvő árnyékpontok a fedlap ellipszis képének konjugált átmérőpárját adják. 4.32 Körkúp árnyéka Körkúpnak

vetett árnyékát úgy nyerjük, hogy a csúcspont árnyékpontjából érintőket rajzolunk az alapkörhöz (alapkör árnyékához). Így kapjuk meg az érintő fénysíkokat. Ezt mutatja a 410 ábra 4.10 ábra Kúp árnyéka A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 107 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 108 ► Fontos megjegyezni, hogy a kúp félnyílásszögénél meredekebb fénysugár esetén az egész kúpfelület megvilágított, tehát nincs a kúppalástnak önárnyéka. 4.33 Gömb árnyéka A gömböt érintő fénysugarak alkotják a gömb fényhengerét. A fényhenger érintési görbéje – a gömb fénysugár irányra merőleges főköre – a gömb önárnyékhatára. A 4.11 ábrán látjuk a gömb ön- és vetett árnyékát A gömb önárnyéka a főkör mögötti félgömbfelület, míg a képsíkokra vetett árnyéka

ellipszis. Az ábrán az f ’-re merőlegesen megrajzolhatjuk a főkör-ellipszis nagytengelyét és annak A és B végpontjait. Az A” és B” az O”-ön felvett vízszintesen van. A D’ és C’ meghatározásához az O és F pontok segítségével képsíkba forgatjuk f-t Az f °-ra merőleges főkör síkja így élben látszik. A rajta levő C° és D° pontok az első és második képre visszaállíthatók. Ismert tehát az önárnyékhatár görbéje, a gömb főköre O középpontjával és A, B, C, D pontjaival A pontok árnyékát meghatározzuk a képsíkon, majd megrajzolhatjuk a főkör két vetett árnyékot határoló ellipszisét. Az ellipszisek érvényes íveinek hangsúlyozásával kapjuk a vetett árnyék határát A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 108 ► Műszaki ábrázolás II. Árnyékszerkesztés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 109 ► 4.11 ábra Gömb

árnyéka 4.4 Görbe felületekre vetett árnyék Görbe felületre vetett árnyék határát az árnyékot vető test vagy felület önárnyékhatárát súroló fénysugarak (fénysíkok, fényhengerek) metszik ki az árnyékfelfogó görbe felületből. Így a vetett árnyék határa a fénysíkok, fényhengerek és a felület áthatási görbéje. Az áthatási görbe önárnyékos részre eső szakaszát figyelmen kívül kell hagyni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 109 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 110 ► 4.41 Síklapú test görbe felületre vetett árnyéka A síklapú testet surló fénysíkoknak és a görbe felületnek áthatási vonalát keressük. A 412 ábrán négyzetes hasáb ön- és hengerre vetett árnyékát, a henger és az összetett alakzat képsíkra vetett árnyékát keressük meg. 4.12 ábra Síklapú test

hengerre vetett árnyéka A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 110 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 111 ► A négyzetlap AB és BC éle vet árnyékot a hengerfelületre. Az AB élre illesztett fénysík 2. vetítősík, így hengermetszetének képe a második vetületi képen az 12 egyenes A BC élre illeszkedő fénysík 3. vetítősík, így hengermetszetének képe a második vetületi képen ellipszis. Az ellipszis nagytengelyének pontjait a 3 jelű pont jelöli ki. Az ellipszis kistengelyének „felső” végpontja a 4 jelű pont. Az 5 jelű pont az önárnyékhatár alkotóját jelöli ki A kapott pontokat értelemszerűen összekötve látjuk a síklapú test vetett, és a henger önárnyékhatárát. Az összetett alakzat együttes, képsíkra vetett árnyékát a már megismert módon határozzuk meg. 4.42 Hengernek hengerre

vetett árnyéka Bemutató ábraként az előző ábrához hasonló alakzatot válasszunk a 4.13 ábrán. Keressük a korong ön- és a hengerre vetett árnyékát, a henger önárnyékát és az összetett alakzat képsíkra vetett árnyékát. Először a korong önárnyékhatárát keressük meg az 1 jelű pont segítségével. Tekintettel arra, hogy a korong önárnyékhatárára illesztett fényhenger nem síkgörbét metsz ki a hengerből, célszerű a jellemző pontok megkeresése. Jellemző pontok: • 2 és 3 jelű pontok a henger önárnyékhatár-alkotóit meghatározó pontok (egyben a vetett árnyék pontjai is) • 4 jelű pont a hengerre vetett árnyék legmagasabb pontja • 5 jelű pont a henger szimmetriavonalában van • 6 jelű pont a henger második képhatár-alkotóján levő vetett árnyékhatár pont A megszerkesztett pontokat értelemszerűen összekötve kapjuk a korongnak hengerre vetett árnyékhatárát. Az összetett alakzat együttes, képsíkra

vetett árnyékát a már megismert módon határozzuk meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 111 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 112 ► 4.13 ábra Hengernek hengerre vetett árnyéka 4.43 Gömb árnyéka hengerfelületen A 4.14 ábrán gömbnek ön- és hengerre vetett árnyékát keressük Első lépésként a 4.11 ábra szerint meghatározzuk a gömb önárnyékhatárát, mely mindkét képen ellipszisgörbe. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 112 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 113 ► ◄ 113 ► 4.14 ábra Gömb hengerre vetett árnyéka A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Árnyékszerkesztés Vissza ◄ 114 ► Második lépésként a gömb árnyékhatár görbéjének hengerre vetett árnyékát keressük meg a 4.13 ábra szerint Az összetett alakzat együttes, képsíkra vetett árnyékát határozzuk meg végül. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 114 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 115 ► 5. Perspektíva 5.1 A centrális kollineáció 5.11 A centrális kollineáció modellezése, értelmezése Általános ötszög alapú, M csúcsú gúlát két különböző állású T és KS síkkal elmetszünk (5.1 ábra) A gúla valamennyi éle döfi e síkokat A szomszédos gúlaélekként kifeszített oldallapok metszik a két síkot az élek döféspontjaira illeszkedő metszésvonalakban, melyek |T × KS| = t egyenesen találkoznak, mert T, KS és például [1, 2] = Γ síkok általános

elhelyezkedésűek egymáshoz képest, így metszésvonalaik egyetlen közös P pontba futnak. 5.1 ábra A centrális kollineáció modellezése Felveszünk további I síkot, mely párhuzamos T-vel és illeszkedik M-re. T, KS, Γ, I síkok kölcsönös helyzetéből a következő összefüggések adódnak: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 115 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 116 ► |I×KS| = i i||t |I×Γ| = MI MI szakasz || 12 szakasz |1C2C|−•−I és P pontokra. Ha az oldaléleket centrális vetítősugaraknak tekintjük, melyek közös pontja M gúlacsúcs, úgy is felfoghatjuk modellünket, hogy a gúla 12345 síkmetszetének, mint tárgynak e vetítés által megfeleltetjük 1C2C3C4C5C síkmetszetét, mint képet. A vetítősugarak egymásnak megfelelő pontpárokat kötnek össze, az egymásnak megfeleltetett egyenesek a tárgysík

és képsík metszésvonalán találkoznak. Minden egyes tárgyegyenesnek vele párhuzamos irányegyenese van, mely illeszkedik a centrumra, M-re. Tárgyegyenes és irányegyenes képsíkon való döféspontjait az egyenes centrális képe köti össze. Képzeljük el, hogy a vetítősugarak rugalmasak, s az 52 ábra szerint egyesítsük a T és I síkot KS-kal, t illetve i körül elforgatva, azonos forgatási irány szerint. Az előző térbeli összefüggés síkbeli megfelelőjét kapjuk, ahol ahhoz hasonlóan, a vetítősugarak rögzítőpontjaik között feszülnek ki, illeszkednek a centrumra. Tárgyegyenes és M-re illeszkedő irányegyenese egymással párhuzamos. P és I pontokra a tárgyegyenesnek megfelelő képegyenes illeszkedik. Ha két egyesített síkbeli rendszer között fennáll az előző összefüggés, akkor a kettő síkmértani rokonságáról, centrális kollineációról beszélünk. Ez a megfeleltetés az affinitás általános esete. A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 116 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 117 ► 5.2 ábra A síkban értelmezett centrális kollineáció Egyértelműen ismert a centrális kollineáció, ha a két rendszert meghatározó elemekből annyinak birtokában vagyunk, melyek elegendőek ahhoz, hogy bármelyik rendszer tetszőlegesen kitűzött elemének a másik rendszerbeli megfelelőjét meghatározhassuk. A 53 ábrán ismerve P, PC egy- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 117 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 118 ► másnak megfeleltetett pontpárt és azok összekötésére, mint vetítősugárra illeszkedő Sz centrumot, valamint a megfeleltetés t tengelyét, további tetszőlegesen felvett R pont RC rokonát tűzhetjük ki. 5.3

ábra Egyértelműen megadott centrális kollineáció I Az 5.4 ábrán hasonlóan egyértelmű a megadás, ha két megfeleltetett pontpárt ismerünk, melyek összekötése illeszkedik a megadott centrumra, és egy T tengelypontot, mely nem illeszkedik az előbbi pontokra húzott vetítősugarak egyikére sem. Bármely tetszőleges QC rokonát, Q-t kitűzhetjük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 118 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 119 ► 5.4 ábra Egyértelműen megadott centrális kollineáció II 5.12 A centrális kollineáció rendszerének felvétele, végtelen távoli elemek értelmezése Kitűzve a vetítés Sz középpontját – más néven szempont, centrum – és a centrális projekció KS képsíkját, a vetítés rendszerét meghatároztuk. A szempont képsíkon való merőleges vetülete F, a rendszer főpontja. SzF = d a szempont

képsíktól való távolsága, a megadott rendszer distanca. A rendszert az 55 ábrán láthatjuk, és az 56 ábra mutatja be Mongeféle két képsíkos ábrázolás segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 119 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 120 ► 5.5 ábra A centrális kollineáció rendszere 5.6 ábra A centrális kollineáció rendszerének bemutatása két képsíkon A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 120 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 121 ► A rendszer fölvételét a szerkesztéshez a következőképpen tesszük egyértelművé: KS2-re merőleges tengelyű derékszögkúpot ábrázolunk két képével. Ekkor a képekről leolvasható a következő összefüggés: d = Sz’F’ = F’A’ =

F”A” = r ahol d a vetületeivel ábrázolt centrális projekció distanca, Sz a centruma, F a főpontja, KS2 a vetítés képsíkja, d” a distanckör, melynek sugara az előzőekből r = d. Csupán a második képet véve figyelembe: tetszőleges középpontú és sugarú kör megadásával egyértelműen meghatároztuk egy centrális projekció rendszerét. E kör középpontja F, a rendszer főpontja lesz, a kör íve d a distancköre, melynek sugara Sz vetítési középpontnak a képsíktól való távolságát adja egy F-be, arra merőlegesen emelt egyenesen. A képsíkot konvencionálisan függőlegesnek tekintjük s a szempontot a képsík előtt elhelyezkedőnek. A megadott rendszer segítségével térbeli egyenest és síkot két pontjával, illetve két párhuzamos egyenesével ábrázolunk. Az ábrázolt térelemek egyik tartója a képsíkkal alkotott metszése, másik tartója pedig végtelen távoli eleme lesz. Így beszélhetünk egyenes N nyom- és I

iránypontjáról, sík n nyom- és i irányegyeneséről. Egyenes ábrázolását látjuk az 57 ábrán 5.7 ábra Egyenes ábrázolása és nevezetes pontjai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 121 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 122 ► A nyomelemek a képsíkkal való közös elemek, az irányelemek – végtelen távoli elemek – értelmezése és meghatározása a következő: térbeli projektivitás esetében találunk az egyik síkon olyan pontokat, melyek megfelelőjét a másikon nem tűzhetjük ki (és viszont). Vegyük fel α és β egymást tben metsző síkokat, Sz vetítési középpontot e síkokon kívül, és húzzunk β síkkal párhuzamos vetítősugarat. Ez α síkot I pontban döfi, melyhez nem tartozik β-nak egyetlen pontja sem. Most β sík egy tetszőleges A’ pontját SzI iránnyal párhuzamosan mozgassuk minden határon

túl, így egyes helyzeteihez SzA1’, SzA2’, SzA3’, , SzAN’ húzható vetítősugarak mind jobban közelítenek a β-val párhuzamos SzI irányhoz. A végtelenbe került A’∞-hez éppen SzI irány fog tartozni. SzI-t az e = |A1’AN’| egyenes irányának, képsíkon levő I döféspontját az egyenes iránypontjának nevezzük Amennyiben α = KS, úgy az egyenesnek α-n levő döféspontja az egyenes N nyompontja. IN összekötése az egyenes eC centrális képe Könnyen belátható, hogy egymással párhuzamos egyenesek végtelen távoli pontjának α síkon ugyanaz a pont felel meg (5.8 ábra) 5.8 ábra Párhuzamos egyenesek Megfogalmazásunkat az 5.9 ábrán látható módon kiterjesztjük a síkra is: β-val párhuzamos állású Sz-re illeszkedő I sík α-ból i||t vonalat metsz ki, β sík végtelen távoli egyenesének centrális képét: [it] = βC A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 122 ► Műszaki ábrázolás II.

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 123 ► 5.9 ábra Sík a centrális kollineáció rendszerében Egymással párhuzamos β, B, A síkok végtelen távoli egyenesének α síkon ugyanaz az I egyenes felel meg. Ez a szóban forgó síkok irányvonala természetesen illeszkedik a vele párhuzamos egyenessereg iránypontjaira és párhuzamos |a × b| = t egyenessel, mutatja a síkok állását. A sík pontjainak és egyeneseinek összességét kibővítettük végtelen távoli pontokkal és egyenesekkel, és így kiküszöböltük két sík projektív megfeleltetéséből a kivételes elemeket. Ezzel a tér perspektivikus szemléletéhez jutottunk, mely szemléletmód köztudottan legjobb megközelítését adja a tapasztalati látásmódnak. Az ábrázolás e leképezésénél a legszemléletesebb, de a legkevésbé mérettartó, ami érthető is, hiszen a végtelent véges felületen jeleníti meg. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 123 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 124 ► 5.10 ábra Párhuzamos síkok 5.2 Ábrázolás a centrális kollineáció rendszerében 5.21 Ábrázolás irányelemek segítségével, illeszkedés, rekonstrukció Elöljáróban megjegyezzük, hogy a térelemek ábrázolására, illeszkedésére, metszésére és párhuzamosságára vonatkozó feladatok a vetítés rendszerének kitűzése nélkül is elvégezhetők. A merőlegességi és méretfeladatoknál, valamint a testábrázolásnál azt ki kell tűznünk. Az 5.11 ábrán tetszőleges IN pontok összekötése adja eC-t, az e egyenes képét, mely centrális vetítősíkjának összemetsződése a képsíkkal Pont képét csak valamely tartóegyenesével adhatjuk meg PC −•− eC. Az e egyenesre illeszkedő Σ sík i és n vonalai az egyenes I és N pontján mennek át és egymással

párhuzamosak. Természetesen számtalan felvétel lehetséges A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 124 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 125 ► 5.11 ábra Pont, egyenes és sík képe Vizsgáljuk meg a rekonstrukció lehetőségét. Az előbb ábrázolt elemeket visszaállítjuk a térbe az 5.12 ábrán F-be merőlegest állítunk a képsíkra, s azon F-től d távolságra kapjuk Sz térbeli helyét. SzI összekötés irányával párhuzamosan fut N-re illeszkedve a térbeli e egyenes. [SzI] = I iránysíkkal szintén párhuzamos állású és n nyomvonalra illeszkedik a térbeli Σ sík. Végül ha SzPC vetítősugarat meghosszabbítjuk, s elmetsszük vele a térbeli egyenest, a rá illeszkedő P pontot rekonstruáltuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 125 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 126 ► 5.12 ábra Pont, egyenes és sík rekonstrukciója 5.22 Metszés és párhuzamosság Két egyenes metszi egymást, ha I1I2 és N1N2 pontjaikat összekötő i||n, azaz síkot határoznak meg. Metszéspontjuk MC, tehát mindkét egyenesnek pontja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 126 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 127 ► 5.13 ábra Metsző egyenesek Amennyiben az egyenesek I, illetve N pontjait összekötő i × n, ekkor az egyeneseknek nincs közös síkja, tehát azok kitérők és AC valamint BC két különböző, fedő helyzetű pont. 5.14 ábra Kitérő egyenesek Két egyenes párhuzamos, ha közös az iránypontjuk, ekkor kifeszített síkjuk nyomvonala n = |N1N2|, irányvonala i||n és illeszkedik a közös I pontra. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 127 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 128 ► 5.15 ábra Párhuzamos egyenesek Két sík Σ1 és Σ2 metszésvonala egyetlen közös egyenesük, ezt pedig a síkok két közös pontjának összekötésével nyerjük: (i1 × i2) = I és (n1 × n2) = N, a síkok közös irány- és nyompontja, melyekre illeszkedik mC = |IN| 5.16 ábra Síkok metszésvonala Egymással párhuzamos Σ1 és Σ2 síknak közös az irányvonaluk I, nyomvonalaik n1, n2 pedig a közös irányvonallal és egymással is párhuzamosak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 128 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 129 ► 5.17 ábra Párhuzamos síkok Nyom- és irányelemeivel adott e egyenes és Σ sík metszéspontja az egyenesre

tetszőleges Γ segédsíkot illesztünk, s keressük |Σ × Γ| = mC metszésvonalat. (mC × eC) = DC az adott egyenes és sík döféspontja 5.18 ábra Egyenes döféspontja síkon 5.23 Méret- és szögmeghatározások Távolságot vagy szöget csak akkor látjuk valódi nagyságúnak centrális vetítés esetén, ha az illeszkedik a képsíkra. Általános helyzetű térelemek méreteinek meghatározására a következő eljáráshoz folyamodunk: térelemre mindig illeszthetünk síkot. Ha például két pontról, vagy egyenes vonalról van szó, akkor tetszés szerinti illeszkedő síkokat tűzhetünk ki, metsződő egyenesek esetében csak egyet, közös kifeszített síkjukat. Az így felvett síkot nyomvonala, tehát a képsíkkal kö- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 129 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 130 ► zös egyenese mentén a

képsíkba forgatjuk, előállítva azt az esetet, amikor képsíkra illeszkedő és így valódi nagyságot mutató helyzetről van szó. 5.19 ábra Egyenes képsíkba forgatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 130 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 131 ► A forgatást a sík nyomvonala mentén, de iránysíkja segítségével végezzük. Ebből következik, hogy egy sík képsíkba forgatásakor a sík iránysíkjával együtt a rendszer centrumát is képsíkba forgatjuk, méghozzá az adott sík forgásával megegyezően, a sík irányvonala körül. 5.20 ábra Egyenes képsíkba forgatásának vetülete Az 5.19 és 520 ábrán Ie, Ne pontjaival ismert eC egyenest forgatunk képsíkba i−•−Ie, és n−•−Ne vonalaival megadunk egy az egyenesre illeszkedő Γ síkot, így az e egyenes képsíkba forgatottját a segédsík forgatásával

nyerjük. Vegyük fel a rendszer Γ síkra vonatkoztatott Σ középsíkját, a következők szerint: i = |Γ1×KS|, Σ⊥i és Σ−•−Sz Ebben a Σ síkban mozdul el Sz a képsík felé. Az SzIF forgatási háromszög három oldala: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 131 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 132 ► |Σ×KS| = IF, |Σ×Γ1| = SzI (a felvett Γ segédsík lejtővonalának iránya) és végül SzF szakaszok. Ezt IF−•−KS vonala körül először képsíkba forgatjuk, majd az itt valódi nagyságban nyert I[Sz] = ISz távolságot I középpont körül IF meghosszabbítására fölmérjük Így megkaptuk Sz°-t, a szempont képsíkba forgatott képét. Sz°Ie adja az egyenes térbeli irányának képsíkba forgatottját, és mivel a térben e||SzIe, így forgatás után a képsíkon is Sz°Ie||e°, valamint tudjuk, hogy e is és e°

is illeszkedik Ne-re. Ha eCn tetszőlegesen kitűzött PCRC szakasz valódi nagyságát kívánjuk meghatározni, akkor SzPC és SzRC vetítősugarakkal elmetszük az e° egyenest, (SzPC×e°) = P° és (SzRC×e°) = R°, tehát PCRC szakasz valódi hossza P°R° szakaszban látszik. Adott egyenest metsző és rá merőleges egyenest a következőképpen határozunk meg: miután a két egyenestől azt kívánjuk, hogy merőlegesek legyenek egymásra, így irányaiknak és azok képsíkba forgatottjának is merőlegesnek kell lenni egymásra. A szerkesztést az 521 ábra mutatja 5.21 ábra Adott egyenesre merőleges egyenesek szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 132 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 133 ► Ie, Ne pontjaival adott eC egyenes. Előző ismereteink szerint meghatározzuk forgatottját IeSz°, majd erre merőleges egyenest

állítunk Sz°-ba, mely metszi az e egyenesre felvett segédsík i vonalát I2 iránypontban. Ha I2-ből húzunk tetszőlegesen aC, bC, cC egyeneseket, melyeknek nyompontjai Na, Nb, Nc illeszkednek n nyomvonalra, az adott eC-re merőleges és azt metsző egyenesekhez jutunk (melyek természetesen párhuzamosak egymással, így centrális képeik közös iránypontba futnak). Adott síkra merőleges egyenesek egymással párhuzamosak, közös tehát Im iránypontjuk, ahonnan, mint iránypontból, ha tetszőleges egyeneseket húzunk, azok merőlegesek lesznek az adott síkra. Meghatározzuk az [in] =Γ síkra merőleges egyenesek Im iránypontját. 5.22 ábra Adott síkra merőleges egyenesek szerkesztése A sík l lejtővonalának l° forgatottjára, [Sz]-be merőleges egyenest állítva – mely benne van Σ középsíkban – döfjük IF = |Σ×KS| meghosszabbítását, kapjuk Im-et, az adott síkra merőlegesen húzható valamennyi egyenes iránypontját. Tehát mC = |Im, N| és

mC⊥Γ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 133 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 134 ► Előző ismereteink szerint meghatározzuk DC döféspontját Γ -án. Végül, ha e merőlegesre D-től pl nyompontja felé megadott t szakaszt kívánunk kitűzni centrális képével, m°||[Sz]Im és m°−•−N, melyen [Sz]DC vetítősugárral kapjuk D°-t; ezután felmérjük t-t D°-tól N felé és E°[Sz] vetítősugárral mC-t elmetszve kapjuk EC-t. DCEC a t szakasz centrális képe Végül, ha ismerjük egy síkra merőleges egyenesek iránypontját, s a szóban forgó sík valamelyik normálisára tetszőleges síkot illesztünk, ez merőleges lesz az eredeti síkra. Határozzuk meg tartóegyeneseivel adott 1C, 2C pontok távolságának valódi nagyságát! Az 5.23 ábrán látható pontok és tartóegyeneseik: 1C−•−aC, 2C−•−bC, aC=|I1N1|

és bC=|I2N2|. |1,2| valódi nagyságának meghatározásához kell keresni egy síkot, melyre e szakasz illeszkedik, hogy forgatottját előállíthassuk. Vegyük fel a* és b egyeneseket a következők szerint: a*||a, b||b, a−•−2C, b−•−1C. Az [ab*]||[ab] síkok irányvonala |I1I2|, nyomvonaluk pedig nab−•−N1 és nab−•−N2 pontokra. E nyomvonalak metszik a*, majd b egyeneseket, s kapjuk azok Na, illetve Nb pontjait. 5.23 ábra Szakasz valódi hosszának szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 134 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 135 ► Most már pl. a [bb*] síkra illeszkedő |1,2| szakaszt olyan síkba foglaltuk, melynek ismerjük nyomvonalát nbb*−•−N2Nb és irányvonalát ibb||nbb és illeszkedik I2-re. E sík iránt képsíkba forgatjuk a szempontot – kapjuk Sz°t –, az 1C, 2C pontokat tartalmazó és

egymással párhuzamos b és b* egyeneseket – kapjuk b°-t és b°-t –, és rajtuk vetítősugárral kitűzzük 1°, 2° pontokat, melyek összekötése távolságuk valódi nagysága. Ha a kitérő egyenesek hajlásszögét keressük, azt megkaphatjuk akár [ab*], akár [ab] sík képsíkba forgatásával. Ennek elemzését már nem részletezzünk 5.24 Test építése megadott feltételek szerint Határozzuk meg annak az [in] vonalával megadott síkon álló a oldalhoszszúságú kockának a centrális képét, melynek egyik, a síkon fekvő oldala I1N-re illeszkedik, és a síkon levő lapjának N a hozzánk legközelebb eső csúcsa. Meghatározzuk Sz°-t, majd I2-t, az adott I1N egyenesre merőleges és azt metsző egyenesek iránypontját. Ezután a síkra illeszkedő, a oldalhoszszúságú és az ismert irányok forgatottjával párhuzamos oldalú négyzet forgatottját szerkesztjük meg, így kapjuk 1°N°3°4° négyzetet. Ebből a síkra illeszkedő négyzet centrális

1CNC3C4C képét. Kitűzzük az adott síkra merőleges egyenesek iránypontját Im, és például ImN összekötését képsíkba forgatva, azon meghatározzuk a síkra merőleges él valódi nagyságát. Ezt vetítősugárral visszük a centrális képre, majd I1, I2 és Im pontok segítségével jutunk a kocka centrális képéhez, melynek láthatóságát könnyen megállapíthatjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 135 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 136 ► 5.24 ábra Kocka vetülete centrális projekcióban 5.25 A rendszer kibővítése Kiegészítjük a centrális projekció rendszerét. Az egymásnak megfeleltetett síkokat alapsíknak vagy tárgysíknak és képsíknak nevezzük (jele: A és KS). Ezek összemetsződése n a kollineáció tengelye. Rajtuk kívül fölvett Sz pont a kollineáció centruma. Ha az alapsíkkal párhuzamos

síkot illesztünk a centrumra, ez a képsíkot i irányvonalban metszi, mely vonalon kitűzhetők az alapsík egyeneseinek iránypontjai. E sík a megadott rendszer I iránysíkja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 136 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 137 ► 5.25 ábra A centrális projekció fősíkjai Ugyanezt az eljárást megismételve, de most a képsíkkal párhuzamos síkot illesztve a centrumra, ez az alapsíkot egy u egyenesben metszi. A leírt fősíkokat láthatjuk az 525 ábrán Ezt a síkot a rendszer eltűnési síkjának nevezzük (U), a következő összefüggések alapján: meghúzzuk az alapsík tetszőleges a egyenesét. Ez a KS-ot Na pontban döfi, SzIa||a iránnyal kitűzhetjük i-n az egyenes iránypontját, tehát megkapjuk aC−•−NaIa képét Az a egyenes az U síkot U pontban metszi. Ha az U pont centrális képét

keressük, U||KS felvétel következtében SzU is párhuzamos a képsíkkal, azt tehát a végtelenben döfi, ami azt jelenti, hogy bármely egyenes képsíktól distanc távolságra és képsík előtt levő pontja, „eltűnik” rajzlapunkról, nem szerkeszthető. Innen az elnevezés Az 526 ábra szerint kihasználhatjuk az eltűnési síkot, azaz az u egyenest az n körül a képsíkba fordítjuk, és rajta megkapjuk az egyenes U eltűnési pontját. Az egyenes eltűnési pontja éppúgy alkalmas centrális képének megszerkesztésére, mint iránypontja, csak míg az SzI vetítősugár a tárgyegyenessel volt párhuzamos, most az SzU vetítősugárral az egyenes képe párhuzamos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 137 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 138 ► 5.26 ábra Az iránysík és az eltűnési sík képsíkba forgatása Tehát ha

ismerjük egy egyenes N és U pontját, annak centrális képe SzU||eC−•−N. Az, hogy ugyanazt az egyenesképet kapjuk, mintha irányponttal szerkesztettük volna, könnyen belátható a rendszer négy fősíkjának szemben levő, páronként párhuzamos felvétele miatt Vizsgáljuk meg pl. a Σ = [a||SzIa] síkot E sík az előző négyet paralelogrammában metszi, ahonnan SZIa#UNa és SzU#IaNa. Ebből az összefüggésből továbbá következik még, hogy ha a centrális kollineáció Sz, i, u, n elemei közül bármelyik hármat ismerjük, a negyedik megszerkeszthető Visszatérve az 5.25 ábrára, felvesszük az alapsík további két tetszőleges b, c egyenesét, melyekre csak egy kikötésünk van, egymást és a-t is mindhármuk közös U pontjában metsszék. Így mindhárom egyeneshez ugyanaz az SzU irány fog tartozni, mellyel párhuzamos lesz a három egyenes centrális képe: SzU||aC||bC||cC. Egyenesek iránypontos kitűzésének az inverzéhez jutottunk, ti. míg az

egymással párhuzamos tárgyegyenesek képe közös iránypontban találkozik, addig az egymással párhuzamos képegyeneseknek eltűnési pontja közös. Ha KS és A szerepét felcseréljük, aC||bC||cC egyenesek lesznek a tárgyegyenesek s a, b, c azok közös pontba futó képei. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 138 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 139 ► Az 5.27 ábrán közös U1 pontú a, b, c, d, e sugársorral azt centrális képében derékszög alatt metsző egyenest szerkesztünk Ha valamely egyenes képe párhuzamos a hozzá tartozó SzU iránnyal, akkor SzU1⊥SzU2 egymásra merőeges irányokhoz tartozó egyenesek képei is merőlegesek lesznek. U2-re illeszkedő tetszőleges x egyenest húzunk, (x×n) = Nx, mely pontból húzott xC||SzU2 az aC||bC||cC||dC||eC sugársort derékszög alatt fogja metszeni a centrális képben. 5.27

ábra Egymásra merőleges centrális vetületű egyenesek 5.26 Kör és ellipszis perspektív megfeleltetése Adott a centrális kollineáció rendszere Sz, A, KS elemeivel, valamint az 5.28 ábra szerint egy Sz csúcsú ferde kúp, melynek k alapköre az A síkra illeszkedik a képsík mögött. Ekkor ezt a kúpot a képsík valamennyi alkotójában metszi, a metszéspontok a kC ellipszisen helyezkednek el k és kC egymásnak projektív megfeleltetettjei. A kollineáció centruma Sz, a megfeleltetett pontokat összekötő egyenesek kúpalkotók, PPC−•−Sz, a megfeleltetett egyenesek metszik egymást T-ben, a kollineáció n tengelyén, mely a két, szóban forgó sík metszésvonala. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 139 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 140 ► 5.28 ábra Kör és ellipszis perspektív megfeleltetése Megadjuk az 5.29 ábrán

a centrális projekció rendszerét: Sz, i, n Határozzuk meg k kör kC ellipszisképét! A kör valamely érintőnégyzetét vesszük fel, és meghatározzuk centrális képét, mely általános négyszög lesz. Az A°, B°, C°, D° körpontok AC, BC, CC, DC képe ellipszispontok, az érintőleges négyzetoldalak szintén érintői lesznek a képellipszis megfelelő pontjainak. De OC, a körközéppont képe nem lesz középpontja az ellipszisnek, amiből következik, hogy AB és CD egymásra merőleges körátmérők a képellipszisnek csupán húrjai. Az érintőnégyszög szerkesztése a következő: Sz°I||A°N1||B°N2||O°N3, mely egyenesek képei N1I, N2I és N3I. Sz°IA||O°N2, és kimetszi az előző egyeneseken az érintőnégyzet vízszintes oldalainak és oldalfelező merőlegesének magasságát. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 140 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 141 ► 5.29 ábra Kör képének szerkesztése A most megbeszélt iránypontos eljárás segítségével, több-kevesebb pontossággal megszerkesztett kellő számú ellipszispont birtokában már megrajzolhatjuk a görbét. Ez viszont pontatlansága mellett hosszadalmas is Hogy biztosabb támpontot nyerjünk az ellipszisről, annak, mint síkgörbének legalább középpontjára és egy konjugált átmérőpárjára volna szükségünk. Ehhez a kitűzött rendszer u eltűnési síkját használjuk fel Gondolatmenetünk az 5.30 ábrán a következő: ha a kört olyan általános négyszögbe foglaljuk, melynek szemben levő oldalpárjai s a másik oldalpár érintési pontjait összekötő körhúr meghosszabbítása közös eltűnési ponttal bír, sugársorok egyeneseinek centrális képei egymással párhuzamosak lesznek, s az összemetsződésük által meghatározott befoglaló négyzetkép paralelogramma. Ellipszis befoglaló paralelogrammáját

viszont A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 141 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 142 ► konjugált átmérőpárjának végpontjaiba húzott érintők adják, s az átmérők metszéspontja lesz az ellipszis középpontja. 5.30 ábra Kör ellipszisképének szerkesztése eltűnési sík segítségével Függőleges körátmérő meghosszabbításával U1 pontot tűzünk ki, ahonnan érintőket húzunk a körhöz U1A° és U1B°, majd A°B°-lal párhuzamos érintőket rajzolunk, melyeknek közös pontja a körrel C° és D°. Ezek végtelenbe kerülő U2 pontban metszik egymást (A°B°×C°D°)=O° az ellipszis középpontja a körrendszerben Meghatározzuk U1-hez tartozó sugársor egyeneseinek képeit Sz°U1||N1AC||N2BC||N2OC, melyeken OC, DC pontok magasságát az ellenkező sugársor metszi ki, amit az SzUA||NAOC átló képével tűzünk ki.

Egy végpontjaival ismert konjugált átmérőpár birtokában már megszerkeszthetjük síkmértanilag vagy affinitás segítségével az ellipszis fő- és A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 142 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 143 ► mellékátmérőjét is, de van a szerkesztésnek centrális kollineációs megoldása is. 5.3 Perspektivikus ábrázolás A centrális projekció különleges eseteként tárgyaljuk. A függőlegesen megadott képsíkra merőleges tárgysíkot, alapsíkot veszünk fel, melyet a föld felszínének is tekinthetünk, és az ezen elhelyezkedő tárgyakat ábrázoljuk. A tárgysík és képsík összemetsződése az alapvonal A szempontra illeszkedő iránysíkot horizontsíknak nevezzük, H-val jelöljük, melynek képsíkkal való közös egyenese a h horizontvonal, a szemmagasság vonala. Mivel az alapsík

merőleges a képsíkra, így a horizontvonal átmegy a rendszer F főpontján, és a szempont forgatottja a horizontvonalra emelt és Fre illeszkedő merőleges és a distanckör metszésében lesz. A perspektíva itt leírt rendszerét mutatja az 5.31 ábra 5.31 ábra A perspektíva rendszere Az ábrázolás, a rekonstrukció és a térmértani műveletek a centrális kollineáció ismeretében oldhatók meg. A tájékozódás szempontjából könnyítést jelent, hogy minden esetben vízszintes irány- (horizont-) és nyom- (alap-) vonallal dolgozunk. Nézzük meg a perspektív rendszer kialakítását Monge-rendszerből! Ismeretes az 5.32 ábra szerint az 1234 négyzet első, második képe Új A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 143 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 144 ► képsíkot (V1) veszünk fel, rnelyet x14 tengely jellemez, továbbá a

vetítési centrumot megadjuk két képével. Meghatározzuk a KS1-re illeszkedő négyzet új képét, de nem párhuzamos vetítéssel, hanem a megadott Sz pontra illeszkedő vetítősugarak segítségével. 5.32 ábra A perspektíva és a Monge-féle ábrázolás összefüggései Mielőtt a szerkesztést elvégeznénk, a következőkben állapodunk meg: a kitűzött Sz pontot tekintjük egy perspektivikus vetítési rendszer centrumának, melyre a vetítősugarak illeszkednek. V1 új képsík a perspektíva képsíkja, melyen a centrum merőleges vetülete F közvetlenül kitűzhető, és az egyes tárgypontokra illesztett vetítősugarak döféspontja is megállapítható. |V1×KS1| = a’, a képsík és az alapsík összemetsződése és a szempontra illesztett H első fősík, H−•−Sz, |H×V1| = h’, a képsík és az iránysík (perspektívában horizontsík) közös egyenese, a horizontvonal lesz. Sz’F’ = d, a felvett perspektív rendszer distanca. A rendszer elemeit

a második képen is kitűzhetjük: a” = x12, h” −•−Sz” és F”−•−h” A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 144 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 145 ► Mivel a perspektíva képsíkja első vetítő helyzetű, ezen a képen bármely tárgy vetülete egyenessé degradálódik, mely egyenesen illeszkedik a sík szintén egyenes képére. A képsík második képén már szemléletes lesz az ábrázolás, azzal az egy hibával, hogy míg e centrális leképzésben a tárgyat Sz-ból néztük, addig a második képet a rendezés iránya felöl a végtelenből, így a tárgy képén a távlattani elváltozásokon kívül e nézőpontváltás torzítása is mutatkozni fog. Ezt tehát ki kell küszöbölnünk De előbb szerkesszük meg a négyzet centrális képének első és második vetületét a Monge-féle rendszerben. 1’, 2’,

3’, 4’ pontokra és Sz’-re illesztett vetítősugarak rendre döfik V1-et, a perspektíva képsíkját 1C’, 2C’, 3C’, 4C’ pontokban. Miután a centrális képpontok első képei a megfelelő tárgypontok első vetületeihez húzott vetítősugarakon vannak, így azok második képei illeszkedni fognak 1”Sz”, 2”Sz”, 3”Sz”, 4”Sz” vetítősugarakra, melyeken 1C’-, 2C’-, 3C’-, 4C’-ből húzott rendezővel jelölhetjük ki 1C”, 2C”, 3C”, 4C” pontokat. 5.33 ábra Az előző ábra első vetítőhelyzetű képsíkjában látható kép E két új négyzetképből szerkeszthetjük V1-re merőleges transzformációval a négyzetnek valóban Sz-ból szemlélt perspektivikus képét. A megszerkesztendő pontok egymáshoz viszonyított távolsági különbségére nézve az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 145 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Perspektíva Vissza ◄ 146 ► első kép ad felvilágosítást, magasságkülönbségeiket pedig a második képről olvashatjuk le. Azért, hogy ne zavarjon előző ábránk, attól függetlenül alakítjuk ki a végleges képet az 5.33 ábra szerint Tetszőlegesen kijelölt h egyenesen felvesszük F főpontot, és abból, mint körközéppontból Sz’F’ = d távolsággal kört húzunk (ezt megtehetjük, mert Sz’F’ első főegyenes első képen a rámért szakaszhossz valódi nagyságú). A körön hra merőleges és F-re illeszkedő egyenessel kitűzhetjük a perspektíva rendszerének Sz° pontját Ismét csak az első képből lemérhetjük 1C’, 2C’, 3C’, 4C’ pontok F’-től való vízszintes távolságát, és ezeket átvisszük az új horizontvonalunkra. Most a kapott pontokból függőleges rendezőt rajzolva, azokon kijelöljük az 1C”, 2C”, 3C”, 4C” pontok h”-től mért magasságát. Így minden egyes ponthoz két értéket rendeltünk, melyhez

viszonyítjuk elhelyezkedését. Így kapjuk a szóban forgó pontok centrális képét Az 1C, 2C, 3C, 4C, pontok sorrend szerinti összekötése pedig a négyzet perspektivikus képét adja. Az iránypontokat már a vetületi ábrán is kitűzhetjük: Sz’I1’||1’2’ és Sz’I2’||2’3’ egyenesekkel döfve a perspektíva képsíkját. Ezt célszerű végrehajtani, mert ismeretükben a perspektivikus kép szerkesztésénél csupán egyetlen pont pl. 1-es F-től való távolságára és h-tól mért magasságára lesz szükségünk, a többihez (2, 3, 4) elegendő egyetlen adat átvitele az új képre. Felvéve h, F elemeket az előző szerkesztés értelmében kitűzzük I1, I2, 1C pontokat. Mivel I1, I2, illeszkedik h-ra, e pontoknak csak F-től mérhető távolságuk van. Most 2, 3, 4 F-től való távolságát másoljuk új ábránkra, és 1CI1 összekötését 2 h-ra merőleges rendezőjével metsszük, és kapjuk 2C-t. 1CI2 egyenest 3 rendezőjével metsszük, és 3C

ponthoz jutunk. (2CI2×3CI1) = 4C, és ebbe a pontba mutat a 4-es pont rendezője is. Ez a szerkesztés gyorsabb és pontosabb volt. Végül még felhívjuk a figyelmet arra, ha I1I2Sz° háromszöget összekötjük, az Sz°-nál derékszögű, hiszen a két szögszár a térben egymásra merőleges egyenesek irányának forgatottja. A most bemutatott eljárással perspektivikus képet szerkesztettünk megőrzött merőleges vetületek alapján. A szerkesztést az 534 ábrán láthatjuk Az elemzést az előzőek alapján az olvasóra bízzuk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 146 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 147 ► 5.34 ábra Test perspektív képe Monge-féle vetületek alapján Az 5.34 ábra nagyobb méretben, 90 fokkal elfordítva a jegyzet végén megtalálható. 5.31 Az osztópont Ismert az 5.35 ábra szerint a perspektíva rendszere (Sz,

h, a) és az alapsíkra illeszkedő eC egyenes Feladatunk, hogy az egyenesre N-től i pontja felé adott a hosszúságú szakaszt mérjünk fel. Mivel a szakaszhossz a centrális képen rövidül, oda közvetlenül nem mérhető fel. Meghatározzuk az egyenes forgatottját e°||ISz° és e°−•−N, melyre felmérjük a kívánt szakaszt (N1° = a), ezután 1°Sz° egyenessel elmetsszük az eC egyenest, és kapjuk 1C pontot. Az egyenes osztását tovább is folytathatjuk, ha e°-on kitűzzük 2°, 3°, 4° pontokat s rendre összekötve Sz°-lal, a vetítősugarak eC-n megadják 2C, 3C, 4C további szakaszvégpontokat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 147 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 148 ► 5.35 ábra Az osztópont, egyenes egyenlő szakaszokra osztása Előfordulhat, hogy az egyenes forgatottján már nem áll módunkban további

szakaszokat kitűzni, de a centrális képben meg folytatnunk kell az osztást. Ekkor a következőképpen járunk el: e°-t N körül forgatva illesztjük a alapvonalra, mely az egyenes képsíkon való merőleges vetülete (e0) Természetesen az egyenesen kitűzött osztási pontok is az alapvonalra kerülnek: 10, 20, 30, 40, és a köztük levő távolság is a marad. Most már e0-n tovább folytathatjuk az osztást 50, 60. A kérdés csupán az, hogyan szerkesztjük meg eme újabb pontok centrális képeit? A következőképpen gondolkodhatunk: Egyenest megadott (egyenlő) közökre párhuzamos egyenesek segítségével oszthatunk. E párhuzamos osztóegyeneseknek centrális képben közös az iránypontjuk, amit az előző osztások mar ismert ortogonális és A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 148 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 149 ►

centrális pontképeit összekötő egyenesek metszenek ki h-n. O = (101C×h) = (202C×h) = (303C×h) a szóban forgó e egyenes osztópontját kapjuk. (O50×eC) = 5C, (O60×eC) = 6C O-ból valamennyi e-vel közös iránypontú egyenesre felvihetünk bármilyen megadott osztást, illetve segítségével a centrális képben megadott szakaszhosszt kiosztva a-ra, annak valódi nagyságát határozhatjuk meg. Ezt a következőképpen látjuk be: ha e°-t N körül a-ra illesztetjük, irányának forgatottja I-ben rögzítve forog h-ra ISz° sugárral, és kitűzi O-t, az előbb már indirekt módszerrel megszerkesztett osztási pontját az I iránypontú egyeneseknek. Mivel h||a, ISz°||e°, Sz°IO∢ = 1N10∢-gel, ISz° = IO, N1° = N10, tehát ISz°O∢ = N1°10∢ = N2°20∢ stb., e pontból valóban elvégezhető az egyenes osztása. Továbbá I iránypontú, de egyébként tetszőleges fC egyeneshez – párhuzamos lévén a valóságban e-vel – ugyanez az O osztópont fog

tartozni. 5.36 ábra Négyzetháló perspektív képe A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 149 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 150 ► Az előzőekben megbeszéltük már, hogy képsíkra merőleges egyenesek iránypontja F, vele párhuzamosoké a végtelenben van, és képük párhuzamos az egyenessel, illetve annak forgatottjával. Az 536 ábrán képsíkra merőleges és azzal párhuzamos oldalirányú négyzetháló képét szerkesztjük meg. Az F iránypontú egyenesek képét minden további nélkül kitűzhetjük Meg kell továbbá határoznunk, hogy a képsíkkal párhuzamos egyenesek milyen magasságban helyezkednek el. Ezeknek sem irány-, sem nyompontjával nem dolgozhatunk, hiszen azok a végtelenbe kerülnek Alkalmasnak mutatkozik viszont a szerkesztésre valamely metszéspontjuk a képsíkra merőleges egyenesekkel, s munkánk

egyszerűsítése érdekében itt is azokat választjuk ki, melyek egy közös átlón fekszenek. Az átló N és IA pontját meghatározhatjuk, melyek összekötése az átló képét adja, és ez az F iránypontú egyeneseket metszi 1C, 2C, 3C, 4C pontokban, melyekre immár illeszthetjük a négyzetháló képsíkkal párhuzamos egyeneseit. 5.32 Alapsíkra merőleges egyenesek Valamely síkra merőleges m egyenesek egymással párhuzamosak, így közös az iránypontjuk (Im). Ennek kitűzéséhez megszerkesztjük a szóban forgó sík lejtővonalát, |F[Sz]| = l°, l°−•−h-ra, és ebben az esetben (m°×Σ) = Im a végtelenben van. 5.37 ábra Alapsíkra merőleges egyenes A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 150 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 151 ► Perspektívában tehát az alapsíkra merőleges egyenesek egyúttal a képsíkkal is

párhuzamosak, s képükben megőrzik párhuzamosságukat. Alapsíkra merőleges egyenesszakaszt PC és RC pontjával adunk meg az 5.37 ábrán P pont tulajdonképpen az R pont merőleges vetülete az alapsíkon (PC = R0). Ha az RCPC szakasz valódi nagyságát kívánjuk meghatározni, azt önmagával párhuzamosan és eC tetszőleges, de az alapsíkra illeszkedő egyenes mentén csúsztatjuk a képsíkig (eC−•−PC), tehát az egyenes Ne pontjáig. RC az fC||eC mentén jut a képsíkba, és az NfNe pontok adják a szakasz valódi hosszúságát. E művelet megfordításával vihetünk alapsíkra merőleges egyenesekre megadott hosszúságú szakaszt. 5.33 Alapsíkra merőleges sík képsíkba forgatása Ha előző ábránkat az 5.38 ábrán látható módon kibővítjük PCP2CR2CRC alapsíkra merőleges téglalappá, a téglalap eC oldalának N, illetve I pontján fut keresztül a téglalap síkjának n és i vonala, méghozzá n⊥a, hiszen a két sík merőleges egymásra,

így irányaik bezárt szöge valódi nagyságot mutat. A szempontot most I iránt forgatva képsíkba Sz*° segítségével meghatározzuk P°P2°R2°R°-t, a téglalap forgatottját, tehát eredeti nagyságát. 5.38 ábra Alapsíkra merőleges sík képsíkba forgatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 151 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 152 ► Végül eddigi ismereteink birtokában az 5.39 ábrán megszerkeszthetjük egy a*2a3a oldalhosszúságú hasáb perspektivikus képét iránypontos eljárással. 5.39 ábra Hasáb perspektivikus képe 5.34 Általános helyzetű egyenes irány- és nyompontja Az 5.40 ábrán a rendszer ismeretében (F, d, h, a) megadjuk az általános helyzetű e egyenes centrális képét eC-t, DC és PC pontjával. DC az e egyenes alapsíkon való döféspontjának képe, illetve megadjuk a P ponthoz tartozó P0-t,

ami a P merőleges vetülete (talppontja) az alapsíkon. DCP0 összekötése egy alapsíkra illeszkedő egyenes, ennek kitűzzük I és N pontjait (I−•−h és N−•−a), majd meghatározzuk [DCP0PC] sík irány- és nyomvonalát, melyek – mivel e sík merőleges az alapsíkra –merőlegesek lesznek h-ra, illetve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 152 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 153 ► a-ra. Így kapjuk i és n egyeneseket (i×eC) = Ie és (n×eC) = Ne, így kapjuk a keresett pontokat. 5.40 ábra Általános helyzetű egyenes irány- és nyompontja Meghatározzuk e képsíkkal bezárt szögét: az egyenesre illesztett és képsíkra merőleges sík irányvonala ie−•−IeF, mely iránt a szempontot képsíkba forgatva, jutunk SZ°IeF∢ = α-hoz az egyenes képsíkszögéhez. Ha a két egyenes bezárt szögét keressük, közös

síkjuk i irányvonala iránt végezzük el a szempont képsíkba forgatását: Sz*°, és ISZ°Ie∢=β, a két egyenes hajlásszöge. 5.35 Test ábrázolása szétválasztott merőleges vetületek alapján Az 5.41 ábrán rendezett vetületeivel megadjuk egy alakzat két képét, s kitűzzük a perspektíva rendszerét: KS’, Sz’, Sz”. Ismét külön ábrán hajtjuk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 153 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 154 ► végre a szerkesztést. h-t és a-t egymással párhuzamosan felvéve – távolságuk a második képről közvetlenül leolvasható –, az alakzat második képét ,,ráültetjük” az alapvonalra. Ezek után az alakzat és a vetítési rendszer első képét – egymáshoz képest változatlanul hagyva – úgy helyezzük el az előbb felvett elemek alatt, hogy a||a’ legyen, és e két egyenes

között kényelmesen elférjen a test első képe. így biztosítjuk, hogy merőleges és centrális vetület nem kerül egymásra a szerkesztésnél. 5.41 ábra A perspektív rendszer és az ábrázolandó test kijelölése Mongeféle rendszerben A szerkesztési eljárás lényegében megegyezik azzal a művelettel, melyet megőrzött merőleges vetületekből szerkesztett perspektivikus kép elkészítésénél alkalmaztunk. A szerkesztést az 542 ábra mutatja A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 154 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 155 ► 5.42 ábra Szerkesztés szétválasztott vetületek alapján 1’2’||Sz’I1’ és 2’3’||Sz’I2’ egyenesekkel kitűzzük az iránypontokat, majd merőlegesen rendezzük h-ra, tudva, hogy ezek ott helyezkednek el. Meghatározva 1’2’ egyenes nyompontját (1’2’×KS) = N1’ azt a-ra rendezzük A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 155 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 156 ► (N). (Sz’1’×KS) = 1C’ és (Sz’2’×KS) = 2C’ pontok helye I1N egyenesen lesz (1C, 2C). Hasonlóképpen nyerjük az alapnégyzet további pontjait is (3C, 4C), majd ismerve az alakzat függőleges éleinek valódi nagyságát, azt a négyzet már ismert pontjaira csúsztatva 5C, 6C, 7C, 8C pontokhoz jutunk. A vízszinteshez α, illetve β szög alatt hajló élek hiányoznak még. Megkeressük ezek iránypontját Ezek az élek 59 és 69, valamint párhuzamos párjuk benne vannak az [1’2’6’], alapsíkra merőleges síkban, tehát iránypontjuk e sík irányvonalára esik, mely illeszkedik I1-re, és merőleges h-ra. Irányuk vetítő helyzetben ismert I1’≡Ia’≡Ib’. Ha e közös irányvonal körül képsíkba forgatjuk a szempontot Sz*’, és

rendezzük e forgatottat h-ra Sz*°, e pontba a horizontvonalra mért α és β szög száraival elmetsszük i-t, és kapjuk a ferde élek keresett iránypontjait: Ia’, Ib’. Most már (Ia5C×Ib6C) = 9C és (Ia8C×Ib7C) = 10C összekötések kimetszik a ferde élek találkozási pontjait is. 5.36 Kör perspektív képe Kör ellipszisképének szerkesztésével már megismerkedtünk a kör és ellipszis perspektív megfeleltetése című fejezetben. Ez az ismeretünk pedig alapját képezi forgástestek perspektivikus ábrázolásának. Rövid emlékeztetőül megjegyezzük: • Kör ellipszisképét befoglaló négyzete segítségével szerkesztjük. Ekkor a négyzet érintési pontjaira húzott merőleges körátmérők a képellipszisnek csupán húrjai lesznek, sem a merőlegességet, sem a felezést nem őrzi meg a kép. Természetesen így O körközéppont nem középpontja ellipszisképének • Az U eltűnési sík segítségével tudjuk kitűzni az ellipszis konjugált

átmérőpárját, melyek viszont a körnek lesznek húrjai (esetleg az egyik átmérő), s metszéspontjuk már az ellipszis középpontját adja. Ezen átmérők egyikének végpontjaiba húzott érintők párhuzamosak a másik átmérővel és viszont. Egy konjugált átmérőpár ismeretében már síkmértanilag – Rytz-féle szerkesztéssel – tűzhetjük ki az ellipszis fő- és mellékátmérőjét. • Utalva az alapsíkra merőleges sík képsíkba forgatására, meg tudjuk szerkeszteni függőleges körlap centrális képét is. Ezt az 543 ábra mutatja A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 156 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 157 ► 5.43 ábra Függőleges síkra illeszkedő körlap perspektivikus képe 5.37 Henger és kúp perspektív képe Vizsgáljuk meg az alapsíkon álló henger perspektív képét! A szerkesztést az 5.44 ábra

mutatja A szerkesztést szétválasztott merőleges vetületek alapján végezzük el. Felvesszük a henger felülnézetét, és a perspektív rendszer első vetületét. Az alapkört négyzetekbe foglaljuk, így ismerjük nyolc érintőjét az érintési pontokkal. Az alapkör rajzolása ez esetben közelítő eljárással, az adott pontokra illesztve és az érintőkre figyelve lehetséges A perspektív képen a már ismert módon felvesszük az alapvonalat, horizontvonalat és a főpontot, majd az alapkör képét. A következő probléma az érintők szerkesztése Az eljárást az ábrán piros színnel jelöltük A merőleges vetületi képen érintőt rajzolunk a hengerhez (alapkörhöz), ahol az érintő elmetszi a képsík első képét, ott lesz a képhatáralkotó a perspektivikus vetületen. Az alapkörön a képhatáralkotó talppontját ki tudjuk külön szerkeszteni, és a láthatóságot is ez alapján állapíthatjuk meg A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 157 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 158 ► 5.44 ábra Henger perspektív képe Megőrzött merőleges vetületek alapján szerkesztett kúphoz kívánjuk kitűzni a képhatáralkotót a perspektivikus képen az 5.45 ábra szerint A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 158 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 159 ► Már a vetületben elvégezhetjük a keresett alkotók kijelölését, ha Sz’-re körérintőket illesztünk, melyek talppontjai E1’, E2’. E1’M’ és E2’M’ kúpalkotók képe adja a centrális kép határát 5.45 ábra Kúp perspektív képe megőrzött merőleges vetületek mellett 5.4 Árnyékszerkesztés perspektivikus képen Az árnyékszerkesztést paralel világítás mellett vizsgáljuk. A

megvilágításnak ezzel a módjával már foglalkoztunk az előző fejezetben Ha a fényforrást végtelen távolinak tekintjük – gyakorlatilag így kezelhetjük a Napot –, a fénysugarak egymással párhuzamosak lesznek. Perspektívában ez azt jelenti, hogy közös az iránypontjuk (If), ami az előző értelmezés szerint egyben a fényforrás is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 159 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 160 ► If-re illeszkednek tehát a fénysugarak, míg azok alapsíkon levő merőleges vetületei If horizontvonalon levő ortogonális vetületére If0-ra. Ha valamely tárgypontra fénysugarat, e pontra állított függőleges talppontjára a fénysugár vetületét illesztjük, e két egyenes összemetsződése adja a tárgypont árnyékát (|If1C×If010) = 1*. 5.46 ábra Árnyékszerkesztés horizontvonal feletti

fénysugár-irányponttal Ha If-et a horizontvonal fölött adjuk meg (5.46 ábra), a világító test a szemlélő előtt helyezkedik el, a Nap ,,szembesüt”, a megvilágított test ellenfényben van. A horizontvonal alatt elhelyezkedő If esetében (547 ábra) a fényforrás, a Nap a szemlélő mögött van, a vetett árnyék hátrafelé vetül. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 160 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 161 ► 5.47 ábra Árnyékszerkesztés horizontvonal alatti fénysugár-irányponttal E két változat határesete, mikor a fényforrás, tehát a fénysugarak iránypontja változatlanul a végtelenben helyezkedik el (5.48 ábra), de a fénysugarak a képsíkkal párhuzamosak Ekkor centrális képeik is, ortogonális vetületeik is párhuzamosak lesznek az ábrázolásban. Árnyékpont szerkesztésének elve megegyezik az

előzőekkel 5.48 ábra Árnyékszerkesztés képsíkkal párhuzamos fénysugarakkal A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 161 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 162 ► Paralel megvilágításnál ez utóbbi felvétel adja a legszemléletesebb árnyékképet, így ennek segítségével oldunk meg néhány feladatot. A fénysugarat a vízszinteshez tetszőleges szög alatt hajló egyenessel adhatjuk meg, s a szokás szerint balról jövő megvilágítást veszünk fel. Építészeti rajzokon elterjedten alkalmazzák a vízszinteshez 45° alatt hajló fénysugarat, ami jó árnyékvetést szolgáltat és gyorsan szerkeszthető, hiszen egy függőleges szakasz árnyéka egyenlő hosszúságú lesz az árnyékvető szakasszal. A fénysugár vetülete f0 mindig vízszintes Az árnyékszerkesztés pontosabbá tételére, egyszerűsítésére tetszünk néhány

megjegyzést: • Párhuzamos egyenesek árnyéka párhuzamos. • Árnyékfelfogó síkkal párhuzamos egyenes árnyéka párhuzamos magával az egyenessel, az első esetben az egymással párhuzamos árnyékoknak, a második esetben az árnyékvető egyenesnek és árnyékának közös az iránypontja. • Árnyékfelfogó felületet döfő egyenes árnyéka a döfésponttól, az egyenes talppontjától indul. 5.49 ábra Árnyékfelfogó síkot döfő él árnyéka • Ha egyenes két különböző síkra vet árnyékot, az árnyék a síkok metszésvonalán törik, de önmaga folytatása marad. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 162 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 163 ► 5.50 ábra Árnyék törése síkok metszésvonalán • Valamely árnyékpontból az árnyékvető pontot úgy keressük vissza, hogy az árnyékpontra illesztett

fénysugárral visszametsszük az árnyékvető egyenest. 5.51 ábra Árnyékvető pont visszakeresése Vizsgáljuk meg az 5.52 ábrán látható lépcsőfeljáró árnyékát! A teljes árnyékkép a következő részárnyékokból tevődik össze: a tárgy alapsíkra, önmagára vetett árnyéka és önárnyéka. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 163 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 164 ► Az alapsíkra vetett árnyék határát a lépcsőfokok megvilágítással ellenkező oldalon levő zárósíkja képezi. Az 1C, 2C, 3C, 4C csúcsokból futó függőleges élek árnyéka vízszintes, tehát f0-val párhuzamos lesz, e pontokból húzott vízszintes szakaszok árnyéka I2 iránypontba fut. Elegendő tudnunk tehát a lépcsőfokok csúcsainak árnyékát. A lépcső egyenletes emelkedésű, így a kitűzött pontokra egyenest illeszthetünk, a

lépcső lejtését (l), mely benne van az árnyékvető zárósíkban. l az alapsíkot az LC pontban döfi, Az LCI2 egyenes a lépcső zárósíkjának alapsíkkal alkotott metszésvonala. Az l egyenes l* árnyéka tartalmazni fogja 1, 2, 3, 4 árnyékpontokat. l* az L* pontból indul, és még egy pontjára szükségünk van. Ezt pl az ábrán sárga színnel jelölt módon kaphatjuk, A 4C pontra illesztjük az f fénysugárirányt, és 4C talppontjára (mely LCI2 egyenesen van) f0 irányt. E két egyenes metszése 4* árnyékpont. l* = |L4|. 5.52 ábra Lépcső árnyéka A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 164 ► Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Perspektíva Vissza ◄ 165 ► l*-on metsszük ki 1C, 3C, 4C-re illeszkedő fénysugárral 1, 2, 3 árnyékpontot, melyekből egyrészt vízszintes egyeneseket másrészt I2-be futókat húzva kialakítjuk a vetett árnyék

határát. Majd 5*-ot megszerkesztve, az alakzat hátsó vízszintes élének I1-be futó árnyékát is megrajzoljuk. Következik az alakzat önmagára vetett árnyéka. Ennek határát a 6C pontba futó vízszintes és függőleges él árnyéka szolgáltatja. A 6C-ből induló függőleges él vízszintes és függőleges síkokra veti árnyékát, mely a vízszintes síkokon f0-val párhuzamos, tehát vízszintes lesz, a függőleges síkokon – mivel ezek párhuzamosak az árnyékvető éllel – függőlegesen halad Ennek az élnek az árnyéka a második lépcsőfok vízszintes síkján végződik, ahol 6*-t a következőképpen tűzzük ki: meghatározzuk 6C merőleges vetületét e síkon, melyből vízszintes fénysugárvetületet és 6C-ből fénysugarat húzva, azok összemetsződése adja 6*-ot. Ezt piros színnel jelöltük Innen a 6C-ből induló vízszintes él veszi át az árnyékvető szerepét, méghozzá 6*I2 irányba a következő lépcsőfok függőleges

síkjáig. Annak meghatározásához, hogy innen milyen irányban törik az árnyék, szükségünk van az árnyékvető él és a függőleges felület döféspontjára (DC), melynek szerkesztését kék szín jelöli az ábrán. A következő vízszintes síkot elérve az árnyék I2 felé folytatódik tovább, végül a függőleges felületen a 6C-ből induló vízszintes árnyékvető él végpontjába fut. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 165 ► Műszaki ábrázolás II. Perspektíva A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 166 ► Vissza ◄ 166 ► Az 5.34 ábra nagyobb méretben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék Vissza ◄ 167 ► Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Ábrázoló Geometria II. (kézirat) Székesfehérvár, 1997 Bándy Alajos:

Műszaki ábrázolás. Műegyetemi Kiadó, 1997 Báthory Sándor – Jakab János: Építőipai Szakrajz. Műszaki Könyvkiadó, 2005. Hável György: Ábrázoló geometriai útmutató I–II. Tankönyvkiadó, 1987 Katona Zoltán: Ábrázoló geometria. Tankönyvkiadó, 1973 Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat. Műszaki Könyvkiadó, 1966 Petrich Géza: Ábrázoló geometria. Tankönyvkiadó, 1969 Petrich Géza: Mérőszámos ábrázolás. Tankönyvkiadó, 1960 Szente Béla: Műszaki rajz. Nemzeti tankönyvkiadó, 1998 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 167 ►