Fizika | Mechanika, Kvantummechanika » Scharle Péter - Mechanika III, Dinamika

Scharle Péter MECHANIKA Dinamika Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: dr. Scharle Péter egyetemi tanár Lektor: GUMeskó András IŋLVNRODLDGMXQNWXV Scharle Péter, 2006 Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék A dokumentum használata Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek

bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék és a tárgymutató használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 3 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék Előszó. 6 1. A dinamika tárgya, a feladatok általános jellemzése 8 2. Az anyagi pont kinematikája 9 2.1 Vonatkoztatási rendszerek 9 2.2 Alapfogalmak 10 2.3 Egyenes vonalú mozgás 15 2.4 Síkmozgás ismert

pályán 16 2.5 Mozgás körpályán 18 3. A merev testek kinematikája 21 3.1 Eltolódás (haladó mozgás) 21 3.2 Rögzített tengely körüli forgó mozgás 22 3.3 Síkmozgás 24 4. Az anyagi pont kinetikája 26 4.1 A dinamika alaptörvényei 26 4.2 A dinamika alapfeladatai 27 4.3 A lendületváltozás tétele 28 4.4 A perdület, a perdületváltozás tétele 30 4.5 Az erő munkája és teljesítménye 31 4.6 Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele 33 4.7 Potenciálos erőtér, helyzeti energia A mechanikai energia megmaradása . 34 4.8 Járművek mozgását befolyásoló hatások egyenes pályán 38 5. Merev testek kinetikája 42 5.1 Tömegközéppont, tehetetlenségi nyomaték 42 5.2 Súlyponttétel 44 5.3 Lendülettétel 45 5.4 Perdületre vonatkozó összefüggések síkmozgás esetén 46 5.5 Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele síkmozgás esetén . 48 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Vissza ◄ 4 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 6. Ütközések 50 6.1 Ütközési jelenségek mechanikai modellezése 50 6.2 Haladó mozgást végző test centrikus ütközése mozdulatlan felülethez. 53 6.3 Két haladó mozgást végző test ütközése 55 7. Rezgések 58 7.1 Alapfogalmak 58 7.2 Egy szabadságfokú rendszer szabad rezgései 60 7.3 Gerjesztett rezgések Dinamikus tényező Rezonancia 68 8. Földrengés 73 8.1 Földrengések észlelése 73 8.2 A Föld belső szerkezete A Kárpát-medence szerkezete 76 8.3 A rengések jellemzése 80 8.4 Földrengések hatása épületekre, építményekre 82 8.5 Károk és védekezési lehetőségek 84 Irodalomjegyzék . 88 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Előszó Vissza ◄ 6 ► Előszó Vizsgakérdésekre

nem található válasz ebben az előszóban. Ezért az az Olvasó, akit nyomaszt az időzavar, azonnal és nyugodtan lapozzon tovább. Felkészülésre szánt idejét és figyelmét fordítsa azokra a fogalmakra és összefüggésekre, amelyek az építőmérnöki tevékenység körében legfontosabb dinamikai jelenségeket anyagi pontok, merev és szilárd testek mozgására vonatkozó mechanikai modellekkel közelítik, és a gyakorlat számára alkalmazható eljárásokhoz vezetnek. Sikeres vizsga után akár el is felejtheti a tanultakat, ha pedig munkája során később mégis felmerülnek az e jegyzetben taglalt kérdések, ráér akkor elolvasni ezt az előszót. Ha nem ennyire súlyos a helyzet, akkor – már a jegyzet anyagának tanulmányozása előtt – érdemes tudomást szereznie arról, hogy a dinamika egyike a mechanika (fogalmak és matematikai eszközök szempontjából egyaránt) nagyon igényes, elmélyült tanulást megkövetelő fejezeteinek. Az Olvasó kezébe

simuló, karcsú jegyzet a 2005-től kibontakozó alapképzés (BSc képzés) számára készült. Olyan építőmérnöki ismereteket tárgyal, amelyek korábban az egyetemi képzés részei voltak. A főiskolai tananyagban legfeljebb egy-egy részletkérdés erejéig jelentek meg a statikai és szilárdságtani fejezetek mellett, itteni feldolgozásuk alig jelentett többet a középiskolai szintű ismeretek felidézésénél. Az összefüggő és alaposabb tárgyalásnak több oka is van, közülük kettő érdemel említést. Egyfelől tágul, szélesedik a dinamika tárgyát képező egyszerűbb jelenségek, gyakorlati feladatok köre, és a tervezői vagy szakértői jogosultság megszerzésére törekvő, alapképzettséget szerzett építőmérnöknek tájékozottságra kell szert tennie felismerésük, megértésük, megoldási lehetőségeik tekintetében. Másfelől már az alapképzés keretei között el kell jutni addig a tudásszintig, amely alkalmassá tesz az

összetettebb dinamikai feladatok megoldásában történő részvételre, egyszersmind megbízható alapot ad a mester-szintű (MSc) továbbképzéshez. A dinamika építőmérnöki szemléletű oktatásának hazai hagyományai a BME mérnöki mechanikai iskolájában alakultak ki. A múlt század derekától Rosivall Ferenc, Cholnoky Tibor, Vértes György, Györgyi József egyetemi előadásaiban, jegyzeteiben, könyveiben kristályosodott ki a tárgyalandó kérdések köre, az alkalmazandó matematikai eszköztár jellege A tananyagba fokozatosan bekerültek azok a témák (például a különféle rezgésekkel összefüggő kérdések), amelyeket a műszaki fejlődés tett időszerűvé, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Előszó Vissza ◄ 7 ► és azok is, amelyeket az épített környezet megóvására irányuló, erősödő törekvések

indokoltak (például a földrengések hatására érzékenyebb építmények viselkedése). Emellett fejlődött a tananyag a feladatok modellezésének és gyakorlati megoldásának irányában is, mert a múlt század hetvenes éveiben még kutatási-fejlesztési céllal kidolgozott, nagy hatékonyságú, számítógépes eljárások mára széles körben elérhetővé váltak a mérnöki gyakorlat számára. A Széchenyi István Egyetemen folyó építőmérnöki BSc képzésnek van néhány sajátos, a közlekedés infrastruktúrájának fejlesztésére, fenntartására irányított figyelemből következő, több évtizedes hagyományként kialakult és őrzött vonása. A csarnokszerkezetek, a hidak, a geotechnikai feladatok feldolgozása az átlagosnál alaposabb és mélyebb. A jegyzet a budapesti iskola tárgyalásmódja, jelölései mellett ehhez a hagyományhoz is igazodik, tükröződik benne a dinamikát az egyetemi képzés keretében Győrött több éven át oktató

Brassai Kegyes Csaba által követett szemléletmód. A fogyatékosságainak gyomlálásához kapott segítségért Meskó András lektornak, a Pécsi Tudományegyetem tanárának tartozom hálás köszönettel. A kifejtett témakör terjedelme összhangban van a mechanika más fejezeteinek megismeréséhez alapképzés keretében szükséges időigénnyel. Mintegy 2 kreditnek megfelelő, heti négy órában 9-10 hét alatt feldolgozható, ezért a hagyományos szemeszteren belül a mechanika néhány más témakörével összevontan is tárgyalható a tananyag. Az elektronikus formában történő megjelenés miatt az esetleges hibák javítása könnyen megoldható. Az ilyen irányú észrevételeket és javaslatokat a scharle@szehu e-mail címen kéri, és köszönettel fogadja a Szerző A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 7 ► Mechanika A dinamika tárgya, a feladatok általános jellemzése A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 8 ► 1. A dinamika tárgya, a feladatok általános jellemzése A dinamika a mechanika tudományának egyik részterülete. Anyagi pontok, véges kiterjedésű, el nem hanyagolható tömegű merev testek mozgásának leírására alkalmas fogalmakat alkot, és ezekre vonatkozó összefüggéseket tárgyal. Egyik fejezete (a kinematika) a mozgásokat önmagukban vizsgálja, egy másik (a kinetika) kiterjeszti a figyelmet a mozgásokat okozó erőkre is. A mérnöki szempontból fontosabb mozgásfajtákat (ütközések, rezgések) részletesebben is feldolgozza a dinamika. Elnevezése ezt a szerteágazó tartalmat csak sejteti (a következetes szóhasználat szerint a mechanika alapképzésben oktatott részterületeit rendre erőtan, szilárdságtan, mozgástan néven említhetnénk), de a magyar építőmérnöki hagyományok követése ebben a vonatkozásban sem fog gondokat okozni. A dinamikai jelenségek és mechanizmusok

modelljeinek megalkotását megnehezíti az a körülmény, hogy a statikában és a szilárdságtanban bevezetett változók köre kiszélesedik: megjelenik az idő. Emellett olyan további, származtatott jellemzők jutnak szerephez, amelyek bevezetésével a mozgó testek tömegének hatását lehet figyelembe venni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 8 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Az anyagi pont kinematikája Vissza ◄ 9 ► 2. Az anyagi pont kinematikája 2.1 Vonatkoztatási rendszerek A testek, felületek, vonalak, pontok térbeli helyzetét vonatkoztatási rendszerekben adjuk meg. Ezek megválasztását a feladatok jellege, a matematikai összefüggések elérhető egyszerűsége, egy-egy szakterület hagyománya befolyásolja. A jelen jegyzet az utóbbihoz kapcsolódik, balkezes (balsodrású) vonatkoztatási rendszereket alkalmaz A nemzetközi szakirodalom, és az EU

tagországaiban teret hódító építőmérnöki szabványrendszer (az EUROCODE) jobbkezes (jobbsodrású) rendszert használ, ennek hazai átvétele immár időszerű. Két érv azonban egyelőre a hagyomány követése mellett szól. Egyfelől a dinamikai jelenségek objektívek, függetlenek vonatkoztatási rendszereink megválasztásától, legfeljebb matematikai kifejezésük eltérő. Ezért nem a (vonatkoztatási rendszertől esetleg függő alakú) formulákat, hanem az általuk kifejezett mechanikai tartalmat kell megérteni és megtanulni. Másfelől a magyar nyelven elérhető szakirodalom1, és a gyakorló mérnökök többsége egyelőre balsodrású rendszereket használ. A jegyzet fiatalabb olvasói azonban számolhatnak azzal, hogy tízévnyi távlatban ez a gyakorlat megváltozik, és 2.1 ábra Háromdimenziós derékszögű, egyenes tengelyű, balsodrású vonatkoztatási rendszer közöttük a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem irány- és

mértékadó egyetemi tankönyve (Györgyi József: Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2006) 1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 9 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 10 ► érdemes folyamatosan észben tartani az objektív összefüggések mechanikai tartalma és matematikai kifejezésük vonatkoztatási rendszertől függő alakja közötti megkülönböztetést. A vonatkoztatási rendszer megválasztásának számtalan lehetősége közül a legegyszerűbb és legfontosabb a derékszögű, egyenes tengelyű, Descartesféle koordinátarendszer (2.1 ábra) Ezt – és az éppen tárgyalt feladat kétvagy egydimenziós jellegének megfelelően redukált változatait – a dinamika széles körben használja A dinamikai feladatok körében is előfordulnak olyan mozgások, amelyek tárgyalásánál (akár a mozgás pályája, akár a mozgó test

geometriai jellemzői miatt) egyszerűbb fogalmak vezethetők be és könnyebben kezelhető összefüggések adódnak, ha derékszögű koordináták helyett poláris vonatkoztatási rendszert használunk. Görbült pályák esetében rendszerint érdemes a pontok helyzetét sugarak és azok tengelyekkel bezárt szögei megadásával meghatározni (2.2 ábra), annak tudatában, hogy a térbeli irányszögek nem vehetők fel egymástól függetlenül, fennáll közöttük a cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 (1) összefüggés. 2.2 ábra Síkbeli és térbeli polárkoordináták 2.2 Alapfogalmak A kinematika a dinamika ama fejezete, amelyben a pontok, testek mozgásának (helyük időbeli változásának) geometriai leírása a feladat. A mozgást valamilyen (a mozgó testhez képest rögzített) vonatkoztatási rendszerben értelmezzük, mert tudjuk, hogy minden mozgás relatív. Ha tehát kijelentjük, hogy egy test nyugalomban van, ez az állítás a választott vonatkoztatá- A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 10 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 11 ► si rendszerben megállapítható mozdulatlanságot jelenti, és semmit nem mond arról, hogy a test és a vonatkoztatási rendszer együtt (egy mindkettejüktől független másik vonatkoztatási rendszerben) egymáshoz képest változatlan helyzetben nem mozog-e. A helyzet (távolság) jellemzésére szolgáló távolság mértékegysége a méter [m], az idő mértékegysége a másodperc [s]. A dinamikai összefüggések egy részében el lehet tekinteni a testek kiterjedésétől és alakjától. Esetenként egy test anyagi ponttal helyettesíthető, geometriai méreteit el lehet hanyagolni. Kinetikai feladatokban az anyagi ponthoz rendelhető a test tömege. Természetesen minden feladat esetében tisztázni kell, hogy ezek a közelítések milyen és mekkora

pontatlanságokkal járnak Így előfordulhat, hogy ugyanazon testet bizonyos mozgásainak vizsgálata során anyagi pontként kezeljük, más esetekben viszont figyelembe vesszük alakját és kiterjedését (az „égi mechanika” ezért tárgyalhatja a bolygók mozgását az anyagi pontokra vonatkozó összefüggések körében, a Föld saját tengelye körüli forgásából következő hatásokat viszont már az égitest kiterjedésének elhanyagolása nélkül lehet csak megérteni és vizsgálni). Az anyagi pont mozgását jellemző elsődleges mennyiség a pont helyzetét megadó r helyzetvektor (2.3 ábra) Ennek a helyzetvektornak a nagysága és az iránya is időben változó mennyiség lehet Láttuk, hogy felírása (a vonatkoztatási rendszerekben felvett koordináták és egységvektorok függvényében) több módon lehetséges: a) x, y, z derékszögű koordináta-adatokkal r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , (2a) b) r , a, β, γ polárkoordináta-adatokkal r = r

(t )e r , (2b) ahol r = x 2 + y 2 + z 2 és e r = i cos α + j cos β + k cos γ . A pont térbeli mozgását általános esetben eszerint három független adattal lehet jellemezni, a mozgás szabadságfoka ilyen értelemben három. A helyzetvektor végpontja által leírt görbe a pálya, ennek egyenlete – akár a (2a), akár a (2b) alakban felírt módon – a mozgástörvény. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 11 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 12 ► 2.3 ábra Anyagi pont térbeli helyzetét jellemző koordináták A mozgásállapot jellemzésére sok esetben alkalmasabbak más, a helyzet időbeli változására vonatkozó, a mozgástörvényből levezethető mennyiségek. Ezek sorában első a sebesség, amelynek átlagos nagysága a helyzetvektor ∆ r megváltozásának ∆t időre vetített értéke (24 ábra) Mértékegysége ezzel

összhangban [ms-1] 2.4 ábra Helyzetváltozás, átlagos sebesség A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 12 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 13 ► A sebességvektor határátmenettel adódik, mint a helyzetvektor idő szerinti első differenciálhányadosa: ∆r d r = = r , ∆t 0 ∆t dt v = lim (3) A helyzetvektor megadásának lehetséges változataival összhangban a sebességvektort is több, egymással egyenértékű módon ki lehet fejezni. Így vagy v(t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t )k , (4a) v(t ) = v x (t )i + v y (t ) j + v z (t )k . (4b) v = v = v x2 + v y2 + v z2 (4c) és Az átlagos sebesség vektora határátmenetben a pont pályájának mindenkori érintőjére illeszkedik. Ennek megfelelően felírható az érintő irányú eτ egységvektorral is: v = v(t )eτ . (5) A sebességvektor (2.5 ábra) általános esetben

változó mennyiség, nagyságát és irányát tekintve is A változást a gyorsulásvektorral lehet jellemezni: 2.5 ábra A sebességvektor értelmezése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 13 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék a = lim ∆t 0 Vissza ◄ 14 ∆v d v = = v = r , ∆t dt ► (6) ahol ∆ v / ∆t = a átl az átlagos gyorsulás, ∆v = v(t + ∆t ) − v(t ) (2.6 ábra) A gyorsulás2 mértékegysége [ms−2]. A (2a) és (4a) egyenletekkel analóg módon írható fel a gyorsulásvektor a koordinátatengelyeknek megfelelő összetevőivel is: illetve a (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k , (7) a(t ) = a x (t )i + a y (t ) j + a z (t )k . (8) a = a = a x2 + a y2 + a z2 (9) és 2.6ábra Az átlagos gyorsulás értelmezése A mérnöki feladatok széles körében elegendő a pálya, a sebesség és a gyorsulás figyelembe vétele. A

mozgástörvény azonban tetszőleges függvénye lehet az időnek, így további, magasabb rendű deriváltak értelmezése is A köznyelvi szóhasználat némiképp félreérthető, mert a változás nem feltétlenül növekedés, adott esetben lassulásnak is nevezhető lenne, sőt, mint látni fogjuk, jelenthet egyszerűen irányváltozást is, v nagyságának változása nélkül. 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 14 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► indokolttá válhat. Az emberi szervezet például az állandó sebességű mozgást közvetlenül nem érzékeli, a sebesség nagyságának, irányának megváltozására viszont kifejezetten érzékeny Nagy sebességű (v >50 ms−1) vasúti pályák egyenes és köríves szakaszai között ezért alakítják ki úgy az átmeneti íveket, hogy azok mentén a másodrendű gyorsulás

(a mozgástörvény harmadik deriváltja) se lépjen túl egy – az utasok által érzékelhető, kényelmetlenségérzetet keltő – mértéket. 2.3 Egyenes vonalú mozgás A mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló mozgásfajta az egyenes vonalú mozgás. Ebben az esetben pálya iránya egyetlen vektorral jellemezhető, erre illeszkedik a helyzetvektor, a sebességvektor, és (ha van) a gyorsulásvektor is. A mozgást jellemző mennyiségek ( r , v, a ) matematikai kifejezései akkor öltik a legegyszerűbb alakot, ha ezt az irányt választjuk a vonatkoztatási rendszer x tengelyéül Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó feladatok különböző változatai aszerint fogalmazhatók meg, hogy a helyzet, a sebesség vagy a gyorsulás közül melyik és milyen változó függvényében tekinthető ismertnek. Egyszerűbbek azok az esetek, amelyekben a három jellemző mindegyikét az idő függvényének tekintjük. Ismert lehet x(t ), v(t ) vagy a(t ) valamelyike, és a másik

kettőt kell meghatározni Ebben a feladatcsoportban az adott összefüggésből a keresett másik két kifejezés deriválással vagy integrálással közvetlenül előállítható, hiszen v(t ) = x (t ) és a(t ) = v(t ) = x(t ) t t τ t0 t0 t0 (10) x(t ) = x 0 + ∫ v(τ )dτ = x0 + v0 (t − t 0 ) + ∫ ∫ a(τ )dτ dτ (11) (az utóbbi kifejezésben a 0 index utal arra, hogy a t =t0 időpontban a pont x0 helyét és v0 sebességét is ismernünk kell, ha az a gyorsulás ismeretében akarjuk meghatározni a hely és a sebesség későbbi értékét). Különösen egyszerű alakot öltenek ezek a kifejezések, ha az a gyorsulás állandó, ekkor ugyanis v = v 0 + at és x = x0 + v 0 t + 1 2 at 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (12a, b) Vissza ◄ 15 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 16 ► Körülményesebb a feladat, ha a helyzet

függvényében ismert a sebesség vagy a gyorsulás kifejezése, v(x) vagy a(x). Előfordul olyan eset is, amelyben a gyorsulás a sebesség függvényeként, a(v) alakban ismert Ilyen feladatokban a közönséges differenciálegyenletek megoldási módszereivel lehet meghatározni a mozgástörvényt és a többi származtatott összefüggést. 2.4 Síkmozgás ismert pályán Az egyszerűbb, ismert pálya mentén történő mozgások körében kitüntetett figyelmet érdemel a síkmozgás. Nagyon sok mérnöki feladat igen jó közelítéssel tárgyalható így. A pálya tetszőleges pontjának helyzetét ebben az esetben a t = t0 időponthoz rendelt kezdőponttól számítva, a megtett s úttal (az ismert pálya ívhosszával) célszerű megadni (2.7 ábra) 2.7 ábra Ismert síkbeli pálya jellemzői A pálya minden pontjában ismertnek tekinthető az érintő irányú eτ (s ) , az erre merőleges, görbületi középpont felé mutató e n (s ) egységvektor, és a ρ görbületi

sugár is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 16 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 17 ► 2.8 ábra Mozgásjellemzők ismert síkbeli pályán A pálya mentén mozgó P anyagi pont helyzetét a t = t1 időpillanatban P1, a t = t2 = t1 + ∆t időpillanatban P2 jelöli (2.8 ábra) A két pont távolsága a pálya mentén ∆s, helyvektoraik különbsége ∆ r . A mozgás sebessége ∆r ∆ r ∆s d r ds ds = lim = = eτ = v eτ ∆t 0 ∆t ∆t 0 ∆s ∆t ds dt dt v = lim (13) (itt figyelembe vettük v korábbi értelmezését és azt, hogy a d r / ds vektor éppen az érintő irányú eτ egységvektor). A sebességvektor eszerint a pálya érintőjére illeszkedik. A mozgás gyorsulása a (13) összefüggésből számítható: a= dv = veτ ( s ) + veτ ( s ) dt (14) Ebben a kifejezésben az első tag a sebesség érintő irányú

változásának vektora. A második tag eτ = d eτ d eτ ds de = =v τ dt ds dt ds A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (15) Vissza ◄ 17 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► alakba írható át. Az eτ (s ) vektor merőleges az eτ (s ) vektorra3, a pályagörbe normálisának irányába mutat Nagyságát a pályagörbe ρ lokális görbületi sugarú, elemi környezetében elvégezhető vizsgálattal lehet meghatározni, eredményül v eτ = e n (16) ρ adódik. Ilyeténképpen a = a τ + a n = veτ + v2 ρ (17) en Eszerint az érintő irányú gyorsulás a sebesség nagyságának változásától függ, a normális irányú gyorsulás azonban akkor is fellép, ha a pálya mentén a sebesség nagysága állandó. 2.5 Mozgás körpályán Ha a síkbeli pályagörbe zárt kör, akkor a mozgásjellemzőket érdemes a kör r sugara, valamint a

kör középpontjához illeszkedő (célszerűen a mozgás kezdőpontjához tartozó sugárral meghatározott) poláris koordinátarendszerben értelmezett, φ szögelfordulás függvényeként kifejezni (2.9 ábra) 2.9 ábra Körpályán mozgó anyagi pont mozgásjellemzői Az ( e τ ⋅ e τ ) = 1 skalárszorzat idő szerinti deriváltjára fennáll a 2( e τ ⋅ e τ ) = 0 azonosság, ami tetszőleges irány esetén csak akkor lehet igaz, ha eτ ⊥ eτ . 3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► Ebben a vonatkoztatási rendszerben a mozgástörvény alakja s (t ) = rϕ (t ) (18) ahol s a pálya menti elmozdulás, φ mértékegysége [rad]. Az általánosabb, síkmozgásra vonatkozó összefüggéseket alkalmazva az anyagi pont pálya menti, mindig érintő irányú sebességét v(t ) = ds d (rϕ (t

)) dϕ (t ) = =r = rω (t ) dt dt dt (19) alakban lehet felírni, ahol ω(t) a szögsebesség, mértékegysége [rads−1]. A gyorsulásvektor két összetevőjét ugyancsak a síkmozgást végző anyagi pontra vonatkozó általános összefüggések alkalmazásával kapjuk. Az érintő irányú a τ = veτ (20a) gyorsulás nagysága d 2 (rϕ (t )) dω (t ) aτ = v(t ) = =r = rκ (t ) . (20b) 2 dt dt Itt κ (t ) a szöggyorsulás, amelynek mértékegysége [rads−2]. Eszerint a τ (t ) = rκ (t )eτ . (21) A gyorsulásvektor normális irányú (az adott esetben mindig a kör középpontja felé mutató) összetevője v 2 (t ) r 2ω 2 (t ) a n (t ) = en = e n = rω 2 (t )e n . r r (22) A gyorsulásvektor nagysága így a (t ) = aτ2 + a n2 = (rκ (t )) 2 + (rω 2 (t )) 2 = r κ 2 (t ) + ω 4 (t ) . (23) Ha a körmozgás egyenletes (v = constans), akkor az ω = v/r szögsebesség is állandó, deriváltja tehát zérus. Ebben az esetben a gyorsulásnak nincs érintő irányú

összetevője, a sugár irányú gyorsulás pedig szintén állandó nagyságú: v2 . (24) a n (t ) = r A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► Mechanika Az anyagi pont kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► Egyenletes körmozgás esetén a pont által megtett út s = vt = rωt . Egy teljes kör megtételéhez eszerint T= 2πr 2π = rω ω (25) keringési idő tartozik (mértékegysége [s]). Az egységnyi idő alatt megtett fordulatok száma a fordulatszám: n= 1 ω . = T 2π (26) A fordulatszám mértékegysége [s]. Gyakorlati feladatokban elterjedten használatos mozgásjellemző a percenkénti fordulatok száma n= 30ω π . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (27) Vissza ◄ 20 ► Mechanika A merev testek kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► 3. A merev

testek kinematikája Ha a mozgó test méretei nem hanyagolhatók el a pálya menti elmozdulásokhoz viszonyítva, akkor pontjainak mozgásállapotát nem lehet minden további nélkül egyetlen, az egész testre (mint anyagi pontra) vonatkozó (például a test súlypontjához tartozó) pályajellemzővel közvetlenül megadni. Az ilyen értelemben általános térbeli mozgásra vonatkozó összefüggések meglehetősen bonyolultak. Ezek tárgyalása a gépészmérnöki feladatok körében szinte nélkülözhetetlen. Az építőmérnöki gyakorlat szerényebb igényeket támaszt, az előforduló esetek nagy hányada vizsgálható néhány egyszerűbb mozgásfajta ismeretében. Ilyen, sokszor előforduló mozgásfajta például • az eltolódó, haladó mozgás – a merev test pontjai egymással azonos alakú, egybevágó pályákon mozognak; • a rögzített tengely körüli forgó mozgás – a test két pontja (vagy a testhez rögzítettnek képzelhető két pont) által

meghatározott egyenes térbeli helyzete a mozgás időtartama alatt nem változik; • a síkmozgás – a merev test pontjai egymással párhuzamos síkok mentén mozognak; • az adott pont körüli forgó mozgás – a test egy pontja (vagy egy, a testhez rögzítettnek képzelhető pont) a mozgás időtartama alatt változatlan helyzetben marad. Közülük ez a fejezet az első hármat tárgyalja. 3.1 Eltolódás (haladó mozgás) Eltolódó (haladó) mozgás esetén a test két tetszőlegesen kiválasztott pontjának pályagörbéi egybevágóak. Ebben az esetben r P = r P + ∆r , (28) ahol ∆ r bármely P ( P ≡ A, B,. ) esetén állandó (31 ábra) Következésképpen a mozgás egy tetszőleges t pillanatában a test valamennyi pontjá- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► Mechanika A merev testek kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 22 ► d r P (t ) d 2 r P (t

) d v P (t ) sebességvektora és a P (t ) = = gyordt dt dt 2 sulásvektora azonos4. nak v P (t ) = 3.1 ábra Haladó mozgás jellemzői 3.2 Rögzített tengely körüli forgó mozgás A merev test rögzített tengely körüli forgó mozgására vonatkozó összefüggéseket célszerű olyan vonatkoztatási rendszerben felírni, amelynek egyik (például y ) tengelyére illeszkedik a rögzített tengely. Ilyen választás esetén a test forgástengelyen kívüli, egyébként tetszőleges helyzetű P pontjai az y tengely körül, rendre olyan ( x , y P , z ) síkokban végeznek mozgást, amelyekben a pályagörbe kör, sugara a pont rP = x P2 + z P2 távolsága az y tengelytől (3.2 ábra) Ebből a szemléletes tényből azonnal következik, hogy a test valamenynyi pontjának mozgásjellemzői meghatározhatók, ha – a forgástengely helyzete mellett –- ismeretes egyetlen, forgástengelyen kívüli pontjának mozgástörvénye. Ez tehát az a kivételes eset, amelyben a test el

nem hanyagolható mérete sem teszi szükségessé egynél több pont mozgásállapotának ismeretét. 4 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 22 ► Mechanika A merev testek kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► 3.2 ábra Körpályán mozgó anyagi pont mozgásjellemzői A mozgásjellemzőket a 2.5 szakaszban tárgyalt, körmozgásra vonatkozó összefüggések ismeretében lehet felírni. Láttuk, hogy ebben az esetben az s (t ) dϕ (t ) s (t ) = rϕ (t ) egyenletből ϕ (t ) = következik, és az ω (t ) = r dt 2 dω (t ) d ϕ (t ) szögsebesség, illetve a κ (t ) = = szöggyorsulás fogalmának dt dt 2 használatával célszerű jellemezni a mozgást. A forgástengelytől tetszőleges r távolságra lévő pontok5 sebességének nagysága v = v = rω . A v sebességvektor közvetlenül felírható vektoriális szorzatként is, ha értelmezzük a szögsebesség-vektort ω j

alakban: v =ω j×r (29) (az y tengely irányába mutató szögsebesség-vektor helyvektorral képzett vektoriális szorzata a körpálya érintőjéhez simul). A gyorsulásvektor a n normális irányú összetevője a forgástengely felé – a körpálya középpontjába – mutat, a pályamenti a τ összetevő a körpálya érintőjébe esik. A komponensek és az eredő nagysága a (20)(23) összefüggések szerint számítható. Vektoriális alakban a = a τ + a n = −ω 2 r + κ j × r . 5 (30) Érdemes észrevenni, hogy ezek a pontok egy r sugarú hengerfelületen helyezkednek el. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► Mechanika A merev testek kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 24 ► Az ( x, z ) síkban kifejtve ugyanez az összefüggés a = (−ω 2 rx + κrz )i + (−ω 2 rx + κrz )k . (31) 3.3 Síkmozgás A síkmozgás megértéséhez nincs szükség új

fogalmak bevezetésére. Ez a mozgásfajta egy tengely körüli elfordulás és az e tengelyre merőleges síkban történő haladó mozgás egymásra halmozódásával jön létre6. 3.3 ábra Síkmozgást végző test metszete az (x, z) síkban A 3.3 ábrán feltüntetett vonatkoztatási rendszerben a mozgás síkja az ( x, z ) sík (a test pontjai ezzel párhuzamos síkokban mozognak). A test valamennyi pontja ω szögsebességgel fordul el az A pontra illeszkedő y A tengely körül, miközben valamennyi pont az A pont elmozdulásával azonos, r A haladó mozgást is végez. Egy tetszőleges P pont v P (t ) sebességvektora ilyeténképpen v P (t ) = v A (t ) + ω (t ) j × r AP (t ) (32) alakban írható fel. A síkbeli tartók kinematikájában tárgyalt – kis eltolódások és elfordulások meghatározásával megoldható – feladatok teljes analógiában vannak az ide sorolható mozgásfajtákkal. 6 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

◄ 24 ► Mechanika A merev testek kinematikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► Ebben az összefüggésben a második tag nagysága attól függően változik, hogy a kiszemelt P pont milyen távol van a forgástengelytől. Lesznek tehát olyan P* pontok a térben (ha nem a testen belül, akkor ahhoz kapcsoltnak képzelhetően, a forgástengellyel párhuzamos y egyenes mentén), amelyekre nézve v P∗ (t ) = v A (t ) + ω (t ) j × r AP∗ (t ) = 0 (33) Ez más szóval azt jelenti, hogy a test mozgása a t időpillanatban az y* pillanatnyi forgástengely körüli elfordulásként is leírható. Az y ∗ tengely a mozgás síkját az ( x ∗ , z ∗ ) pontban döfi át. E pont helye a 13 ábra szerint, a kinematika kis mozgásokra vonatkozó megfontolásával analóg módon határozható meg: bármely tetszőlegesen felvett A v ponttól d A = A távolságban van, a v A (t ) pillanatnyi sebességvektorra ω merőleges

irányban. A síkmozgást végző test gyorsulásának számítása során is érvényes az egymásra halmozás elve: a haladó mozgáshoz és a mozgás síkjára merőleges tengely körüli elforduláshoz tartozó gyorsulásokat kell összegezni. Eszerint a test pontjainak szöggyorsulása rendre κ (t ) = dω (t ) . dr (34) A mozgás síkjában A ponttal jelölt forgásközéppontra vonatkozó mozgásjellemzők ismeretében így egy tetszőleges, az A ponthoz illesztett vonatkoztatási rendszerben r AP (t ) helyzetvektorral megadott P pont (3.3 ábra) gyorsulásvektora vektoriális alakban a P (t ) = a A (t ) − ω 2 (t )r AP (t ) + κ (t ) j × r AP (t ) (35) lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 26 ► 4. Az anyagi pont kinetikája 4.1 A dinamika alaptörvényei A kinetika a mozgásjellemzők mellett

kiterjeszti a figyelmet a mozgásállapot megváltozását okozó erőkre is. Ezzel összhangban a kinematika fogalomtárát kiegészíti egy további alapfogalommal, a tömeggel amely az erők nagyságának számítása során jut szerephez, mértékegysége a kilogramm [kg] A kinetikai összefüggések elméleti alapja – a dinamika alaptörvénye – Newton második axiómája, amely szerint az anyagi pont mozgásának változása a mozgatóerő hatásával arányos, és ugyanannak az egyenes vonalnak az irányába esik, mint amelyben az erő működik. Newton ezt a megállapítást F (t − t 0 ) = m(v − v 0 ) (36) alakban fogalmazta meg. A t-t0 = ∆t jelölést használva és határátmenetet végezve Euler ugyanezt az összefüggést ∆ ( mv ) d ( mv ) = ∆t 0 ∆t dt F = lim (37) alakban fejezte ki. Az mv szorzat önállóan is értelmezett fogalom, a lendület7, mértékegysége [kgms−1] A newtoni mechanikában a sebességek több nagyságrenddel kisebbek, mint a

fénysebesség, ezért a tömeg állandónak tekinthető, és az md v F= = ma (38) dt eredmény adódik. Több erő egyidejű hatása vektoriális összegzéssel számítható, az egyes erők által okozott gyorsulások eredője egyenlő az erők eredője által okozott gyorsulással. Ugyanez az egymásra halmozhatóság teszi lehetővé az eredő gyorsulásvektor komponenseinek felírását is az eredő erővektor összetevői szerint: R x = ma x , R y = ma y , R z = ma z . (39) a magyar nyelvű szakirodalomban elterjedten használatos a mozgásmennyiség elnevezés is; a későbbiekben kiderül, hogy ez a szóhasználat nem teljesen következetlen 7 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 26 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 27 ► Adott pálya mentén történő mozgásnál az erő érintő és normális irányú összetevőire vonatkoznak analóg

összefüggések: Rτ = maτ , R n = ma n . (40) Az egymásra halmozhatóság következménye az is, hogy a véges kiterjedésű merev testek kinetikai szempontból anyagi pontnak tekinthetők, ha haladó mozgást végeznek. A (38) egyenlet egyszerű átrendezésével olyan összefüggéshez jutunk, amely formai szempontból azonos a statikában megszokott egyensúlyi egyenletekkel: R − (ma) = 0 . (41) D’Alembert értelmezését és szóhasználatát követve az egyenlet baloldalán megjelenő m a mennyiség a tehetetlenségi erő. Eszerint az értelmezés szerint a testre ható (mozgásállapotot megváltoztató) erők egyensúlyban vannak a tehetetlenségi erővel, az egyensúly azonban nem statikai, hanem kinetikai (4.1 ábra) Haladó mozgást végző merev testek esetében a tehetetlenségi erő a tömegeloszlás szerint megoszló erőként értelmezhető. 4.1 ábra Kinetikai egyensúly 4.2 A dinamika alapfeladatai A dinamikai feladatokat jellegük szerint két csoportba

lehet sorolni: vagy ismert mozgáshoz tartozó erőket, vagy adott erők hatására létrejövő mozgásokat kell meghatározni. a) Az első csoportba tartozó feladatok megoldása során egy ismert kinematikai jellemzőből (többnyire az idő függvényében megadott mozgástörvényből) kiindulva, ismert kezdeti feltételek mellett számítható ki minden további kinematikai jellemző. Közöttük kitüntetett szerepe van a gyorsulás-összetevőknek, mert ezek meghatározása után a kinetikai össze- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 27 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► függésekből lehet számítani a mozgást (mozgásállapot-változást) létrehozó erőket. Ebben a feladatcsoportban különösen előnyös a D’Alembert-féle feladatértelmezés, a kinetikai egyensúlyt kifejező egyenletek használata. E körbe tartoznak például

azok a feladatok, amelyekben ismert geometriájú közlekedési pályákon mozgó testekre ható, vagy az általuk a környezetükre kifejtett erőket kell meghatározni. b) A második feladatcsoportban rendszerint az anyagi pontnak tekintett merev testre ható erők adottak a hely, az idő, vagy a sebesség függvényeként. Általános esetben az m tömegű anyagi pont mozgására vonatkozó (38) egyenlet másodrendű differenciálegyenlet-rendszerként jelenik meg: mx = Fx ( x, y, z , x , y , z, t ) (42a) my = Fy ( x, y, z , x , y , z, t ) (42b) mz = Fz ( x, y, z , x , y , z, t ) . (42c) Ezt az egyenletrendszer kell megoldani előírt kezdeti feltételek mellett, ami az első csoporthoz viszonyítva bonyolultabb feladat. Ebbe a körbe tartoznak például azok az esetek, amelyekben egy anyagi pont periodikusan ismétlődő (rezgő) mozgást végez egy elmozdulásával arányos, de azzal ellenkező értelmű erő hatására. 4.3 A lendületváltozás tétele A

(37) összefüggés közönséges elsőrendű differenciálegyenlet, amelyet a változók szétválasztásával és integrálással lehet megoldani. Vektorokkal kifejezve t2 ∫ F (t )dt = m[v(t 2 ) − v(t1 )] = m(v 2 − v 1 ) , (43) t1 derékszögű koordinátarendszerben, skalár egyenletekkel felírva pedig t2 ∫ F (t )dt = m[v x x (t 2 ) − v x (t1 )] = m(v 2 x − v1x ) , y (t 2 ) − v y (t1 ) = m(v 2 y − v1 y ) , (44a) t1 ∫ F (t )dt = m[v t2 y ] (44b) t1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék t2 ∫ F (t )dt = m[v z z Vissza ◄ (t 2 ) − v z (t1 )] = m(v 2 z − v1z ) . 29 ► (44c) t1 A (43) egyenlet a lendület megváltozásának tételét fejezi ki: a tömegre ható erő adott időtartamra vonatkozó integrálja egyenlő a test lendületének (mozgásmennyiségének) ugyanezen

időtartam alatti megváltozásával. Az t2 ∫ F (t )dt (45) t1 mennyiség az erő impulzusa, ezért az összefüggést impulzus-tételnek is nevezik. A tétel egyetlen anyagi pontra, és több összekapcsolt pontból álló rendszerekre, merev testekre is fennáll. A lendület mértékegysége [Ns] A gyakorlatban sokszor fordul elő, hogy ismert az erő az idő függvényében, és ki kell számítani egy adott időpontban az anyagi pont sebességét, vagy két pont között a sebesség adott értékű megváltozása végett kifejtett erő működésének időtartamát kell meghatározni. Ezekben a feladatokban a lendülettétel előnyösen alkalmazható Newton első axiómája szerint az egyenes vonalú egyenletes sebességű test mozgásállapota mindaddig nem változik, amíg nem hat rá kiegyensúlyozatlan erő. A lendülettétel ennek az axiómának másfajta, gyakorlatias megfogalmazásaként is értelmezhető, ha a (43) egyenlőséget t2 mv(t 2 ) = mv(t1 ) + ∫ F (t )dt

(46) t1 alakban írjuk fel. A lendülettétel ebben a felfogásban a lendület (mozgásmennyiség) megmaradásának tétele A látszólag formális átalakításhoz kapcsolódó értelmezés gyakorlati jelentőségét jól érzékeltetik az űrkutatás kritikus helyzetei. A Holdról visszatérőben lévő, út közben megsérült Apollo 13 asztronautáinak az élete múlott azon, hogy v 1 sebességgel Földhöz közelítő űrhajójuk (ismert nagyságú fékező erő kifejtésére képes) hajtóműveit megfelelő ideig működtetik-e, amikor a sebességet a légkörön való biztonságos áthaladáshoz szükséges v 2 sebességre kell csökkenteni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 29 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 30 ► 4.4 A perdület, a perdületváltozás tétele A statika és a kinetika eddig megismert fogalmai mellett a mérnöki feladatok

körében fontos szerepe van annak a mennyiségnek, amelyet egy m tömegű anyagi pont esetében a mozgásmennyiség valamely rögzített K pontra vonatkozó nyomatékaként értelmezünk – ez a perdület (4.2 ábra): Π K = r × mv . (47) E vektoriális szorzat kiszámítása a ΠK = i j k x y z mv x mv y mv z (48) determináns kifejtésével történik. A perdület mértékegysége [kgm2s−1], a statikai analógiára való tekintettel használatos a kinetikai nyomaték megnevezése is. 4.2 ábra A perdület értelmezése Az analógia nem csak a fogalmak, hanem a velük felírható alapösszefüggések körére is kiterjed. A Π K perdület idő szerinti deriváltjának részletes kifejtése a  K = dΠK = r × R = M K Π (49) dt eredményre vezet – ez a perdülettétel, amely szerint a K pontra vonatkozó perdület idő szerinti differenciálhányadosa az anyagi pontra ható erők ugyanazon K pontra vonatkozó nyomatékával egyenlő. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 30 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 31 ► A perdülettétel analóg a korábban látott Euler-féle (a lendület differenciálhányadosára vonatkozó) összefüggéssel. Ezzel összhangban fogalmazható meg (és bizonyítható) a perdületváltozás tétele, amely szerint az m tömegű anyagi pontra ható erők valamely rögzített pontra vonatkozó nyomatékösszegének egy t2−t1 időintervallumra vonatkozó integrálja egyenlő a pont perdületének megváltozásával: t2 ∫M K dt = Π K (t 2 ) − Π K (t1 ) . (50) t1 Sajátos és fontos esetben előfordulhat, hogy a mozgó anyagi pontra ható erők eredője mindig ugyanazon rögzített K ponton megy át, más szóval az erők eredőjének nyomatéka zérus értékű. Egyszerű példa erre a lehetőségre a Föld gravitációs erőterében mozgó anyagi pont, ha arra a Föld

középpontja felé mutató nehézségi erőn kívül más erő nem hat Ha az anyagi pontra ható erők eredője kielégíti ezt a feltételt, azaz centrális erő, akkor az m tömegű anyagi pont perdülete állandó: Π 0 = r × mv = állandó . (51) Az r és v vektorok vektoriális szorzata csak akkor lehet állandó, ha ugyanabban a síkban mozognak, amiből az következik, hogy centrális erőtérben az anyagi pont állandó perdületű síkmozgást végez. 4.5 Az erő munkája és teljesítménye A munka fogalmát a kinetikában is úgy értelmezzük, mint a statikában (4.3 ábra) Az F (r ) erő a d r elemi eltolódás mentén dL = F ⋅ d r munkát végez: ez a mennyiség a két vektor skaláris szorzata Az A1 és A2 pontok között végzett munka ezzel az értelmezéssel összhangban az A2 r2 x2 y2 z2 L1− 2 = ∫ dL = ∫ F ⋅ d r = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz A1 r1 x1 y1 (52) z1 integrállal egyenlő. A mechanikai munka egysége [Nm], ennek az egységnek

a munka fogalmának más tudományterületeken is széles körű alkalmazása miatt önálló neve is van: joule [J]. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 31 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 32 ► 4.3 ábra Az erő munkája Ha az erő nagysága és iránya állandó, a mozgás pedig ezzel az iránnyal α szöget bezáró egyenes vonalú mozgás (4.4 ábra), akkor az (52) kifejezés leegyszerűsödik: L1− 2 = F ( x 2 − x1 ) cos α (53) 4.4 ábra Egyenes vonalú pálya mentén ható állandó erő munkája Hasonlóan egyszerű eredmény adódik, ha az erő valamelyik koordinátairánnyal párhuzamos – például a gravitációs erőtérben a nehézségi gyorsulás iránya a z tengely (4.5 ábra) Ha az anyagi pontra csak súlyerő hat, akkor az (53) egyenlőségből az L1− 2 = − F ( z 2 − z1 ) (54) eredményre jutunk. A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 32 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 33 ► . 4.5 ábra Gravitációs erő munkája Általános esetben az anyagi pontra ható erő is, a pont helyzete is függhet az időtől. A pálya mentén az F (t ) erő ∆t idő alatt ∆L = F ⋅ d r munkát végez. A teljesítmény az időtartamra vetítve átlagos munkavégzés határátmenettel adódó értéke: ∆L dL = , (55) P = lim ∆t 0 ∆t dt mértékegysége [Nms−1] – ennek az egységnek önálló neve a watt [W]. Ha az erő nagysága állandó, a teljesítmény kifejezése egyszerűbb alakot ölt: P= dL F ⋅ d r dr = =F⋅ = F ⋅v . dt dt dt (56) 4.6 Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele A statika és a szilárdságtan fogalomrendszerében a mechanikai energia két fontosabb fajtája, a helyzeti energia és az alakváltozási energia játszott

fontos szerepet. A dinamikában értelmezhető egy további, hasonlóan lényeges fogalom, a mozgási energia, amelyhez a (38) egyenlet – Newton törvénye – alábbi átalakítása vezet: F = ma = dv dv dv d r md v . =m ⋅ =m ⋅ v = mv ⋅ dr dr d r dt dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza (57) ◄ 33 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► Az ilyen alakba átírt közönséges differenciálegyenletben a változók szétválasztása után – és a 4.3 ábra jelöléseit használva, az A1 és A2 pontok közötti pályaszakaszra elvégzett integrálással – az erő munkájával egyenlő, sebességfüggő mennyiséget kapunk: r2 v2 v x2 r1 v1 v x1 ∫ F ⋅ d r = ∫ mv ⋅ d v = m ∫ v dv x x v y2 v z2 v y1 v z1 + m ∫ v y dv y + m ∫ v z dv z . (58) Az integrálási műveleteket elvégezve a sebesség-összetevőkben négyzetes

kifejezések adódnak, amelyeket össze lehet vonni, és így a végeredmény az alábbi skalármennyiség lesz: mv22 mv12 . − 2 2 (59) Az itt megjelenő, a pálya bármely pontján egyértelműen meghatározott, pozitív mv 2 (60) T= 2 mennyiség az anyagi pont mozgási energiája, mértékegysége [Nm]. A mozgási energia megváltozásának tételét ezekkel a jelölésekkel a T2 − T1 = L1− 2 (61) egyenlet fejezi ki, a mozgási energia változása egyenlő a pontra ható erők által végzett munkával. 4.7 Potenciálos erőtér, helyzeti energia A mechanikai energia megmaradása A mozgó pont pályája mentén ható erők figyelembe vétele általában nagyon körülményes, alkalmasint kifejezetten nehéz lehet. Vannak azonban olyan fontos gyakorlati esetek, amelyekben az erőhatások nagysága időben állandó (stacionárius), és azokat a választott vonatkoztatási rendszer tetszőleges pontjában meg lehet adni, függetlenül attól, hogy ugyanebben a

vonatkoztatási rendszerben milyen pályán mozognak anyagi pontok. Az ilyen tulajdonságokkal jellemezhető „hatástartomány” neve stacionárius erőtér. A leggyakrabban előforduló stacionárius erőterek egyike a gravitációs (nehézségi) erőtér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 35 ► 4.6 ábra Anyagi pontra ható z irányú Fz erő által végzett munkák Matematikai leírás és gyakorlati jelentőség szempontjából érdekesek és fontosak azok a stacionárius erőterek, amelyekben a különféle li pályák mentén mozgó pontokra ható erők által végzett Li munkák nagysága nem függ a pályától, azokat egyértelműen meghatározza a mozgás kezdőpontja és végpontja. Egyszerű, ilyen jellegű esetet szemléltet a 46 ábra Az ilyen erőterekben mindig létezik olyan U ( x, y, z )

skalárfüggvény – potenciál – amelyből a tér tetszőleges pontjában ható erő közvetlenül meghatározható: ∂U ∂U ∂U k (62) j− i− F = Fx i + Fy j + Fz k = − ∂z ∂x ∂y Például a Föld nehézségi erőterében, a felszín közelében mozgó anyagi pontok pályáit és a rájuk ható nehézségi erőket célszerű olyan vonatkoztatási rendszerben vizsgálni, amelyben a z tengely a Föld középpontjából kifelé mutató sugár, az erre merőleges ( x, y ) sík a felszín „érintősíkja”. Ebben a rendszerben a gravitációs potenciál igen jó közelítésként G ( x, y, z ) = mgz + C (63) alakban vehető fel. Ezzel a választással a nehézségi erőtérben mozgó anyagi pontokra ható erők komponenseit G x = 0 G y = 0 G z = − mg (64a, b, c) alakban nyerjük. A potenciálfüggvény dimenziója [Nm], munka-, illetve energiajellegű mennyiség. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 35 ► Mechanika

Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► A magyar szóhasználatban a potenciállal jellemezhető erőtereket potenciálos vagy potenciális erőtereknek nevezzük8. Érdemes észrevenni, hogy a lineáris rugóerőhöz is rendelhető U= kx 2 2 (65) potenciálfüggvény, ha a rugó tengelyének megfelelő egyenest egydimenziós térnek tekintjük. Ebben az esetben a rugóerőre – a (62) egyenlőség szerint elvégezve a differenciálást – a jól ismert F = − kx összefüggés adódik. A bevezetett fogalmak jelentősége és hasznossága akkor válik világossá, ha egy anyagi pontra potenciálos erőtérben ható erők által végzett munkát kell kiszámítani. Az (52) összefüggésből a (62) értelmezéssel összhangban történő átalakítás után A2 ⎛ ∂U ∂U ⎞ ∂U dz ⎟⎟ = − ∫ dU dy + dx + L1− 2 = − ∫ ⎜⎜ ∂z ⎠ ∂y ∂x A1 ⎝ A1 A2 (66) következik, azaz L1− 2 = U

1 − U 2 . (67) Az így kapott eredmény azt jelenti, hogy a potenciálos erőtérben végzett munka a potenciálfüggvény kezdő- és végpontbeli értékeinek különbsége. A nehézségi erőtérben vizsgált mozgások körében ebből a tényből előnyös egyszerűsítési lehetőségek következnek. A fentebb értelmezett vonatkoztatási rendszerben a z1 koordinátájú pontokból a z 2 koordinátájú pontokhoz vezető pályák bármelyikére (4.6 ábra) nézve L = U 1 − U 2 = mg ( z1 − z 2 ) = mgh . (68) A potenciálos erőtérben az azonos potenciállal jellemezhető pontok ekvipotenciális felületeken helyezkednek el (4.7 ábra – az U1 felületen minden pontban azonos a potenciál) Amennyiben ezek közül kitüntetünk egyet, akkor hozzá viszonyítva értelmezhetővé válik minden további pont potenciális energiája (helyzeti energiája). Zárt pályát befutó pontok esetében a munkavégzés zérus (ugyanez a helyzet akkor, ha a mozgás ekvipotenciális

felületen történik) A megkülönböztetés lingvisztikai kérdés, nem vezet félreértésekhez, ha az értelmezéssel a használók tisztában vannak. 8 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► 4.7 ábra Ekvipotenciális felületek A potenciálos erőterekben nem értelmezünk olyan (például súrlódási, közegellenállási stb.) erőket, amelyek valóságos viszonyok közepette működni szoktak Az ilyen jellegű erők tényleges jelenléte miatt fellépő energiaveszteségeket (energiaszóródást) elhanyagoljuk Ez a közelítés jut kifejezésre abban a szóhasználatban, amely szerint a potenciálos erőtérben mozgó anyagi pontokra konzervatív erők hatnak. Ha potenciálos erőtérben egy anyagi pont mozog, a rá ható erők munkájának megfelelő – a (61) egyenlet szerinti – mértékben

megváltozik a kinetikai energiája. Eközben helyzeti energiája is módosul, amit a (67) egyenlet fejez ki. A két egyenletből T2 − T1 = L1− 2 = U 1 − U 2 (69) következik. Mivel a mozgás pályája mentén kiszemelt kezdő- és végpontok tetszőlegesek lehetnek, ebből az összefüggésből az U 1 + T1 = U 2 + T2 = állandó (70) összefüggésre lehet áttérni – ez a mechanikai energia megmaradásának törvénye. Tudatában kell lenni annak, hogy az energia megmaradását kifejező általános természettörvény ebben a formájában a merev testek külső erők hatására történő mozgására vonatkozik. A testek alakváltozását okozó, vagy nem-mechanikai energiaveszteségekkel járó hatások jelenléte esetében már csak többé vagy kevésbé elfogadható közelítésként érvényes. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 38 ► 4.8 Járművek mozgását befolyásoló hatások egyenes pályán A mérnöki gyakorlatban rendszeresen előforduló feladat az egyenes pályán mozgó járművek mozgásállapotának elemzése. A járművek viselkedésének vizsgálata, a közlekedési pályák tervezése, forgalomtechnikai kérdések tisztázása során figyelembe kell venni néhány olyan egyszerű hatást, amelyek már a középiskolai fizika tananyagában is megjelennek. Ezek közül a mérnöki számításokban a kinetika keretei között célszerű tárgyalni • • • • a súrlódás, a gördülő ellenállás, a menetellenállás és a kis hajlásszögű lejtőn való mozgás figyelembe vételének kérdéseit. Súrlódás Általános fizikai tapasztalat szerint egymással érintkező testek közös felületén akkor keletkezik a felület síkjában relatív elmozdulás, ha az e síkban ható F csúsztató erő túllép egy véges nagyságú F = µ0 F n (71)

küszöbértéket (4.8 ábra) Itt F n a két felületet egymáshoz nyomó erő, µ 0 a tapadási súrlódási együttható. Ha F ≤ µ 0 F n , akkor a csúsztató erőt az F t tapadási súrlódási erő kiegyenlíti. 4.8 ábra Súrlódási erők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 38 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► Folyamatos csúszás esetén a mozgó testre a csúszó felület mentén a mozgást gátló F s = µF n (72) súrlódási erő hat. Itt µ a csúszási súrlódási együttható, amely mindig kisebb, mint a tapadási súrlódási együttható A csúszási felület az építőmérnöki feladatok széles körében előre ismert, mint egymással érintkező testek közös határfelülete. Nem kevésbé fontos esetekben viszont térbeli testekben alakul ki ez a felület, éppen ott, ahol a testben keletkező feszültségek elérik azt

a küszöbértéket, amelynél az anyag elnyíródással szembeni szilárdsága kimerül, már nem képes kiegyenlíteni a csúsztató erők hatását. Az ilyen jellegű (elsősorban geotechnikai) feladatokban a csúszási felület megkeresése is részét képezi a mérnöki tennivalóknak A súrlódás mérnöki szempontból nem minősíthető kedvező, vagy kedvezőtlen jelenségnek. Egyes esetekben a mozgások befolyásolásának nélkülözhetetlen követelménye, és elégtelensége gondot okoz, máskor csökkentéséhez fűződik komoly érdek. Gördülő ellenállás Tapasztalat szerint vízszintes, sík felületen csúszásmentesen gördülő kerekekre is hat olyan erő, amely az (átmenetileg) érintkező, kicsiny felületek egymáson történő elcsúszása nélkül is gátolja a gördülést. Teljesen merev testek esetében a gördülő henger pillanatnyi forgástengelye a sík felületen lévő érintkezési vonal (a henger alkotója). A (mégoly kicsiny, de véges

nagyságú) alakváltozások miatt a forgástengely ettől a vonaltól valamivel távolabb helyezkedik el. 4.9 ábra Gördülő ellenállás értelmezése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► A külpontosság figyelembe vételére az építőmérnöki feladatok körében megfelelő közelítést jelent az a modell (4.9 ábra), amelyben a forgást előidéző nyomaték küszöbértékét a gördülő kerék súlyának a pillanatnyi forgásközéppontra vonatkozó nyomatékával fejezik ki: M = d G = λG . r (73) Itt λ a gördülő ellenállási tényező, dimenziója [m]. Menetellenállás Az egyenes és vízszintes pályán mozgó járművek sebessége Newton törvénye szerint csak akkor változik, ha valamilyen erőhatás következtében lép fel gyorsulás vagy lassulás. A valóságban ilyen hatások

mindig fellépnek, az állandó sebességű mozgás fenntartásához szükség van vonóerőre Ez az erő egyensúlyozza a menetellenállást, amely a jármű mozgó szerkezeti elemeiben fellépő súrlódások, gördülési ellenállások, a mozgás terében fellépő közegellenállás9 stb. következménye A menetellenállásban összegződő, a mozgási energia csökkenését okozó hatások nagysága függhet a sebességtől, a jármű tömegétől, műszaki állapotától (például elhasználódottságától), a pálya állapotától stb. (a légellenállás például a sebesség négyzetével arányos) Az építőmérnöki gyakorlatban előforduló sebességek és hatások tartományában megengedhető közelítéssel a menetellenállást mégis E = µG (74) alakban vesszük fel, ahol G = mg a mozgó test súlya, µ a menet-ellenállási tényező. A gyakorlatban előforduló, fontosabb esetekben µ kicsiny, ezrelék-nagyságrendű. Erre való tekintettel a súlyerőt

sokszor [kN] egységben fejezik ki, a menetellenállást pedig [‰] dimenzióban adják meg (ekkor E [N] egységben adódik). Minél alacsonyabb értékre való csökkentése a járművek és közlekedési pályák műszaki fejlesztésének örök célkitűzése, jó karban tartásuk soha meg nem szűnő indoka Mozgás kis hajlásszögű pályán A föld felszíne közelében kialakított közlekedési pályák magassági vonalvezetése elvileg lehetne „vízszintes” (illeszkedhetne egy kiválasztott, a 9 Ez a fogalom nem a légellenállás szinonimája. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► Mechanika Az anyagi pont kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 41 ► Föld gravitációs erőterében ekvipotenciális felületre). A terepadottságok, a közlekedési csomópontok kialakítása és néhány más szempont miatt ez ésszerűtlen döntés lenne. Helyette a pályákat

lehetőleg kis hajlásszögű lejtők és emelkedők alkalmazásával alakítják ki. 4.10 ábra Mozgás- és pályajellemzők kis hajlásszögű lejtőn Az utak és vasutak esetében a hajlásszög – kevés kivétellel - kicsiny. Megengedhető azoknak a közelítéseknek az alkalmazása, amelyeket a kinematikában a kis mozgások elemzése körében is elfogadunk (410 ábra): cos α = 1 sin α = tan α Ha egy lejtő esetében élni lehet ezzel a közelítéssel, akkor a lejtőn való mozgáshoz szükséges (vagy éppen ezt a mozgást segítő) erőt – a menetellenálláshoz hasonlóan – egy e tényezővel, a mozgó test súlyára vonatkoztatva lehet kifejezni: E = eG (75) Az e tényező nagyságrendje is az ezrelékek tartománya, ezért célszerű [‰] dimenzióban megadni. Ilyen értelmezésekkel a menetellenállás és a kis hajlásszögű pálya hatása összevontan vehető figyelembe: a mozgás állandó sebességének fenntartásához R = µG + eG = ( µ + e)G (76)

vonóerő szükséges. Az összegzést előjel-helyesen kell megejteni, a mozgás irányától függően: emelkedőn e pozitív, lejtőn negatív értékkel veendő figyelembe. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 41 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► 5. Merev testek kinetikája Az építőmérnöki feladatok körében a merev testeket nem mindig lehet anyagi pontként, térbeli kiterjedésüket elhanyagolva kezelni. Vizsgálni kell olyan mozgásokat is, amelyekben a test alakjának, méretének, tömegeloszlásának legalább akkora szerepe van, mint súlypontja helyzetének, és tömege egészének. Nagyobb szerkezeti elemek forgó mozgása, tömör hengeres testek, tárcsák gördülése, fékezése tartozik például ebbe a körbe. 5.1 Tömegközéppont, tehetetlenségi nyomaték A statikában és a szilárdságtanban is szükség van arra, hogy

a véges kiterjedésű testek elemi (dL, dA, dV ) résztartományaihoz rendelt mechanikai mennyiségeknek a test egészére kiterjesztett integrálját határozzuk meg. A dinamikában (a tömeg és az idő szerepével összhangban) megjelenik a dm tömegelem és a dt elemi időtartam szerinti integrálás igénye. A kinetikai vizsgálatokban előforduló mechanikai fogalmakhoz olyan integrálkifejezések tartoznak, amelyek többnyire tartalmazzák az x, y, z koordináták első és másodfokú kifejezéseit, a pontokra, tengelyekre, síkokra vonatkozó, első- (statikai) és másodrendű (tehetetlenségi) nyomatékokat (5.1 ábra) 5.1 ábra Tömegközéppont, első- és másodrendű nyomatékok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 43 ► A három koordinátasíkra vonatkozó statikai és tehetetlenségi nyomatékok

rendre az alábbi összefüggések szerint számíthatók: S xy = ∫ zdm I xy = ∫ z 2 dm (77a, b) S yz = ∫ xdm I yz = ∫ x 2 dm (77c, d) S zx = ∫ ydm I zx = ∫ y 2 dm (77e, f) m m m m m m A koordinátatengelyekre vonatkozó első és másodrendű nyomatékokat az S x = ∫ ξdm I x = ∫ ξ 2 dm (78a, b) S y = ∫ η dm I y = ∫ η 2 dm (78c, d) S z = ∫ ςdm I z = ∫ ς 2 dm (78e, f) m m m m m m kifejezésekkel értelmezzük és számítjuk. A tehetetlenségi nyomatékok esetében természetesen figyelembe vehetők a ξ 2 = y 2 + z 2 , η 2 = z 2 + x 2 és ς 2 = y 2 + x 2 (79a, b, c) azonosságok. Ezért a (78b, d, f) integrálok kiszámítása helyett egyszerű összegzéssel is előállíthatók a tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékok: I x = I zx + I xy , I y = I xy + I yz , I z = I zx + I yz . (80a, b, c) A koordinátarendszer kezdőpontjára vonatkozó nyomatékokat az S 0 = ∫ rdm és I 0 = ∫ r 2 dm m (81a, b) m

kifejezések definiálják (eszerint a statikai nyomaték vektoriális jellegű mennyiség). A másodrendű nyomaték esetében itt is egyszerű összegzésre van lehetőség. Mivel r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , azért I 0 = I zx + I y = I xy + I z = I yz + I x = I xy + I yz + I zx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza (82) ◄ 43 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 44 ► A test tömegét (analóg értelemben nulladrendűnek nevezhető nyomatékként) a m = ∫ dm (83) m integrálkifejezéssel lehet felírni. A bevezetett mennyiségek felhasználásával értelmezhető kinetikai alapfogalom a test S tömegközéppontja (súlypontja), amelyet az S rS = 0 = m ∫ rdm (84) m ∫ dm m összefüggéssel számított vektor határoz meg. 5.2 Súlyponttétel A merev test mozgásának jellemzése végett a test olyan elemi részek ( dm tömegelemek) összleteként

képzelhető el, amelyek önmagukban anyagi pontnak tekinthetők, rájuk külső erők és az anyagi összefüggést helyettesítő belső erők hatnak (5.2 ábra) 5.2 ábra Tömegelemek és súlypontjuk mozgásjellemzői Newton törvénye valamennyi elemi részre felírható, R dm = adm A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (85) Vissza ◄ 44 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 45 ► ahol R dm tartalmazza a tömegelemre ható összes külső és belső erőt, a pedig a tömegelem gyorsulása. Az így adódó egyenleteket összegezni lehet Mivel bennük a belső erők párosával, egymás ellentettjeként szerepelnek, ezért az összegzett egyenletben csak a külső erők R eredője jelenik meg: R = ∫ adm . (86) m A súlypont helyzetére vonatkozó (84) egyenlet szerint viszont mr S = ∫ rdm . (87) m Ezt az egyenlőséget az időváltozó szerint kétszer

deriválva (és tudva, hogy a deriválás és integrálás sorrendje ebben az esetben felcserélhető) az m d2rS d2r = ∫m dt 2 dm dt 2 (88) összefüggésre térhetünk át. Itt a baloldalon a súlypont a S gyorsulása, a jobboldalon pedig az anyagi pontként kezelt tömegelemek a gyorsulásai jelennek meg. Ez az eredmény a súlyponttétel, amely szerint d2r ma S = ∫ 2 dm = ∫ adm = R , m dt m (89) tehát a merev test súlypontja úgy mozog, mint egy anyagi pont, amelynek tömege egyenlő a test tömegével és a rá ható erő a testre ható erők eredője. 5.3 Lendülettétel A merev test lendületének meghatározása során is alkalmazható a súlypont esetében követett gondolatmenet. A dm tömegelem d I lendülete vdm , ahol a v sebesség természetesen a tömegelem helyének függvénye (5.3 ábra). Az egész test lendülete a tömegre kiterjesztett integrálással állítható elő, d (90) I = ∫ d I = ∫ rdm . dt m m A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Irodalomjegyzék Vissza ◄ 45 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 46 ► 5.3 ábra Merev test lendülete A (87) egyenlőséget felhasználva ebből az összefüggésből I= d d rdm = mr S = mv S ∫ dt m dt (91) következik: a merev test lendülete a test tömegének és a súlypontja sebességének a szorzata. A lendület adott időtartamra számított változása merev test esetében is egyenlő a testre ható erők R vektorösszegének ugyanezen időtartamra vonatkozó integráljával. A 43 szakaszban látott átalakítás – a mozgásjellemzők tekintetében a tömegelemekről a súlypontra való áttérés lehetőségének köszönhetően – merev testek esetében is elvégezhető Eredményül a (43) egyenlőséggel analóg tétel adódik: t2 v2 vS 2 t1 m v1 vS1 ∫ Rdt = ∫ ∫ vdm = m ∫ d v S = m (v S 2 − v S 1 ) . (92) 5.4 Perdületre vonatkozó összefüggések

síkmozgás esetén A merev testek kinetikája körében vizsgált egyszerűbb építőmérnöki feladatok a 3.3 szakaszban ismertetett, síkmozgásra vonatkozó feltevésekkel tárgyalhatók (ezt a mozgásfajtát a haladó mozgás és a rögzített tengely körüli elfordulás összegeként értelmeztük). A perdületre és annak megváltozására vonatkozó összefüggéseket ezért az alábbiakban a síkmozgásra szorítkozva tekintjük át. Tételezzük fel, hogy a test az y tengelyre illeszkedő pillanatnyi forgástengely körül ω szögsebességgel és κ szöggyorsulással végez forgó moz- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 46 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 47 ► gást (mindkettő valamennyi tömegelem esetében azonos nagyságú, a mozgás síkja az xz sík). Vizsgáljuk meg ennek a testnek egy dy vastagságú szeletét és alkalmazzuk a

korábban használt jelöléseket: egy tetszőleges elemi tartomány tömegét jelölje dm , sebességét v , forgástengelyhez viszonyítva helyzetvektora legyen r y (5.4 ábra) 5.4 ábra Tömegelemek és perdületük síkmozgás esetén A súlyponttétel esetében választott gondolatmenetet követve, az ott alkalmazott feltevésekkel élve az I y ω = ∫ ωry dm = ∫ r × vdm = Π y 2 m (93) m eredményre jutunk. A Π y perdület a merev test tömegelemeihez rendelhető, rendre azonos állású elemi perdületvektorok összege Az I y tehetetlenségi nyomaték a pillanatnyi forgástengelyre vonatkozik, a mozgás során változhat, de a (93) összefüggésben állandó. Ezzel összhangban a perdület idő szerinti deriváltja  y = I y ω = I y κ Π (94) Ez a derivált – ismét az elemi tömegpontokra vonatkozó összegzés lehetőségével élve, és az anyagi pont perdületére vonatkozó (49) egyenlet értelmét figyelembe véve – a testre ható külső erők

pillanatnyi forgástengelyre vonatkozó nyomatékával egyenlő, azaz M y = Iyκ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (95) Vissza ◄ 47 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 48 ► A (95) egyenlőség a perdülettétel síkmozgást végző merev testre vonatkozó, a pillanatnyi forgástengelyre vonatkoztatott mozgásjellemzők és külső hatások között érvényes alakja. A pillanatnyi forgástengely helyzete tetszőleges lehet, áthaladhat a test súlypontján is A perdülettétel ilyen, súlyponti tengelyre felírt (96) M S = IS κ alakjában a baloldalon a testre ható külső erők súlyponti tengelyre vonatkozó nyomatékösszege, a jobboldalon a mozgás síkjára merőleges súlyponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték szerepel. A síkmozgást végző merev test perdületének változása a (95) illetve a (96) egyelőségek folyományaként

határozható meg. A (95) egyenletet differenciálegyenletként, dω (97) M y = Iy dt alakban felírva, a változók szétválasztása és integrálás után ω2 t2 ∫M y dt = I y ∫ d ω = I y (ω 2 − ω 1 ) (98) ω1 t1 illetve ω2 t2 ∫M t1 S dt = I S ∫ d ω = I S (ω 2 − ω 1 ) (99) ω1 eredményre jutunk. A síkmozgást végző merev testre ható erők nyomatékösszegének adott időintervallumra vonatkozó integrálja egyenlő a test perdületének megváltozásával. 5.5 Mozgási energia, a mozgási energia változásának tétele síkmozgás esetén Az 5.4 szakaszban elfogadott, síkmozgásra vonatkozó feltevéseket és jelöléseket használva a dm tömegelem mozgási energiája dT = 1 2 v dm , 2 (100) a merev test mozgási energiája pedig a pillanatnyi forgástengelyre vonatkozó változókkal kifejezve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 48 ► Mechanika Merev testek kinetikája A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza T= ◄ 1 2 1 1 1 v dm = ∫ ω 2 r 2 dm = ω 2 ∫ r 2 dm = I y ω 2 . ∫ 2m 2m 2 m 2 49 ► (101) A pillanatnyi forgástengelyől a Steiner-tétel alkalmazásával lehet áttérni a súlyponton átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengelyre számított mozgásjellemzőket tartalmazó összefüggésre. Mivel I y = rS2 m + I S és rS2ω 2 = v S2 , azért T= 1 2 2 1 1 1 rS ω m + I S ω 2 + = mv S2 + I S ω 2 2 2 2 2 (102) A mozgási energia tehát a súlypont haladó mozgásának és a test súlyponti tengely körüli forgásának megfelelő két tag összege. A mozgási energia változására vonatkozó – az anyagi pontok mozgását tárgyaló fejezetben látott összefüggésekhez hasonló – tételeket is annak belátásával nyerjük, hogy a tömegelemekre felírható kifejezések összegzése során a fellépő, egymással ellentétes értelmű belső erők hatása eliminálódik10. A mozgási energia

változásának tétele ezért most is T2 − T1 = L (103) alakban, a mechanikai energia megmaradásának tétele pedig T2 + U 2 = T1 + U 1 (104) alakban írható fel, de ezekben a kifejezésekben a mozgási energiát a (101) vagy a (102) összefüggések szerint kell értelmezni. Belső erőkön ezúttal is merev tömegelemek közötti kapcsolati erőket kell érteni –szilárdságtani értelemben vett (alakváltozást okozó) belső erőkkel a merev testekre vonatkozó gondolatmenetekben nem kell számolni. 10 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 49 ► Mechanika Ütközések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 50 ► 6. Ütközések 6.1 Ütközési jelenségek mechanikai modellezése A dinamikai feladatok egy érdekes osztályában a vizsgálat tárgya két olyan mozgó test találkozása, amelyek azonos időpillanatban érkeznek a tér egy pontjához, egymástól különböző

lendülettel11. Összeütköznek, addig folytonos pályagörbéjük megtörik Egy viszonylag kicsiny környezetben igen rövid, elemi12 idő alatt igen nagy érintkezési erők alakulnak ki. Az ütköző testek mozgási energiája átmenetileg lecsökken, bennük rugalmas alakváltozási energiák halmozódnak fel, majd alakulnak vissza mozgási energiává. Az ütközés előtti mozgási energiák egy része disszipálódik (hangenergiává, hővé alakul), esetleg képlékeny alakváltozást okoz, sőt anyagszerkezetet is módosíthat. Ha ezek az energiaveszteségek elhanyagolhatóak, akkor az ütközést közelítően rugalmasnak tekinthetjük. Általános esetben az ütközés után mindkét test megváltozott lendülettel mozog tovább. Egyszerűbbek azok a feladatok, amelyekben az egyik test a mozgások leírásához felvett vonatkoztatási rendszerben mozdulatlan, vagy mindkét test egyenes vonalú mozgást végez, lendületvektoraik egyenese közös, csak előjeles nagyságuk

különböző (6.1 ábra) Gyakran feltételezhető, hogy az ütköző testeknek az érintkezési pontban közös érintősíkja van. 6.1 ábra Egyszerűbb ütközési feladatok A testek egyike lehet mozdulatlan is. A matematikai értelemben „nem véges” mennyiség megnevezésére használt kifejezés: elemi, infinitezimálisan kicsiny, differenciális. 11 12 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 50 ► Mechanika Ütközések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 51 ► Az egymással ütköző anyagi pontok viselkedésének matematikai leírásához a lendületváltozásra vonatkozó, korábban látott t2 mv(t 2 ) = mv(t1 ) + ∫ F (t )dt . (105) t1 összefüggés részletesebb elemzésére van szükség. Az ütközés ugyanis eleminek tekinthető időtartam alatt játszódik le, miközben az ütköző testek lendülete (az mv mozgásmennyiség) nem differenciális, hanem véges mértékben

változik meg. A közvetlen érintkezés kis környezetében nagy – a mozgást okozónál esetleg nagyságrendekkel nagyobb – erők lépnek fel. A jelenség matematikai modelljét a 6.2 ábra szemlélteti A pályagörbéje mentén F k (t ) külső erő hatására mozgó anyagi pontot a pálya C pontjában F (t ) ütközési erőhatás éri 6.2 ábra Véges mozgásmennyiség-változás pillanatnyi idő alatt Feltételezzük, hogy az ütközés időtartama τ = τ 1 + τ 2 . Az F k erő impulzusa eközben Sk = t1 +τ ∫F k (106) dt t1 nagyságú érték, az ütközés időtartama alatt működő (ismeretlen és szintén változó) F ütközési erő impulzusa pedig S= t1 +τ ∫ F (t )dt . (107) t1 E két impulzus közül az utóbbi – amelyben igen nagy, F >> F k erő működik igen rövid ideig – véges (nem elemi) nagyságú lehet. Hozzá képest A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 51 ► Mechanika

Ütközések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► az F k erő impulzusa a τ időtartam rövidségére való tekintettel elhanyagolható. A lendületváltozás tétele e megfontolással mv(t 2 ) − mv(t1 ) = S (108) alakot ölt. Ebből az összefüggésből következik, hogy az ütközés során a C pontban az anyagi pont sebességvektora változik meg v 2 − v1 = 1 S m (109) értékkel. A 62 ábrán a C pontban feltüntetett vektorok állása szemlélteti ezt a tényt. Bonyolultabb a helyzet akkor, ha a test kiterjedése nem hanyagolható el, és bár mozgása jellemezhető tömegközéppontjának mozgástörvényével, a sebességvektor nem az ütközési pontba mutat (6.3 a) ábra), vagy az ütközési pontban van közös érintősík, de arra a sebességvektor nem merőleges (6.3 b) ábra) A biliárdjátékosok mindkét lehetőség (két golyó excentrikus ütköztetése, illetve az asztal szélének bevonása megtervezett

ütközések sorozatába) várható következményeinek előrelátó mesterei 6.3 ábra Excentrikus ütközés, ferde ütközés A véges kiterjedésű (biliárdgolyóknál jóval nagyobb méretű) testek excentrikus, ferde ütközéseinek modellezése, számítása gyakorlati szempontból is fontos feladat. A közlekedési baleseteket elemző szakértők tudása például nagyrészt abban áll, hogy a mozgásjellemzők számítása mellett a pontszerű és a véges kiterjedés, a különféle nem rugalmas alakváltozások és excentricitások – tapasztalatot és képzelőerőt is igénylő – modellezésére képesek. Ugyancsak gyakorlati okok miatt érdemel megkülönböztetett figyelmet a haladó mozgást végző testek ütközése rugóval megtámasztott testtel. A mérnöki szerkezetek ugyanis ritkán tekinthetők merevnek. Velük ütköző A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► Mechanika Ütközések A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 53 ► testek impulzusának hatására rugóként viselkednek: bennük igénybevételek, és alakváltozások keletkeznek, amelyeket a tartószerkezetek elmélete és az ütközésre vonatkozó dinamikai megfontolások egyidejű alkalmazásával lehet meghatározni. Ebbe a feladatkörbe tartozik a leeső, gravitációs térben mozgó teher hatásainak vizsgálata, továbbá a lökésszerű terhelések (például nagynyomású lökéshullámok) hatására bekövetkező, képlékeny tönkremenetelt okozó hatások elemzése. Ezekben a feladatkörben további segédfogalmak, bonyolultabb algebrai összefüggések bevezetése nélkül csak nagyon durva közelítéseket lehet elérni. A fejezet ezeket elkerülve csak néhány egészen egyszerű ütközési feladat megoldását mutatja be. 6.2 Haladó mozgást végző test centrikus ütközése mozdulatlan felülethez A centrikus egyenes ütközés τ = τ 1 + τ 2

időtartamának első, összenyomódási szakaszában az mv lendülettel érkező test és a mozdulatlan felület is öszszenyomódik, v nullára csökken (6.4 ábra) 6.4 ábra Centrikus ütközés mozdulatlan felülethez A mozgási energia alakváltozási energiává, hő- és hangenergiává alakul, egy része pedig rugalmas feszültségekkel arányos energiaként halmozódik fel mindkét testben. Az ütközési impulzus értéke a τ 1 időtartományban τ1 S 1 = ∫ N 1 dt , (110) 0 ahol N 1 időben változó erő. A lendületváltozás tétele szerint 0 − mv = − S 1 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (111) Vissza ◄ 53 ► Mechanika Ütközések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► Az ütközés második, alakvisszanyerő szakaszában a rugalmas feszültségek hatására az alakváltozások rugalmas része megszűnik, az így felhalmozódott energia visszaalakul mozgási

energiává. A test, amelyre időben változó N 2 erő hat, elválik a felülettől, azt a beérkezés tengelyére illeszkedő u sebességgel hagyja el. A τ 2 időtartományban az impulzus τ S 2 = ∫ N 2 dt . (112) τ1 A lendületváltozás tétele erre az időszakaszra mu − 0 = S 2 (113) alakban érvényes. Ha (és a gyakorlatban mindig) a beérkező test mozgási energiája nem alakul teljes egészében rugalmas alakváltozási energiává, a kinetikai energia egy része disszipálódik, a sebességek nem lesznek azonosak, u < v . Az arányukat kifejező u mu S 2 (114) e= = = v mv S1 paraméter a visszapattanási tényező. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén e = 1 , a teljesen képlékeny ütközéshez e = 0 tényező tartozik. A 0 < e < 1 intervallum a rugalmatlan ütközések tartománya. A mozgó test lendülete előjelet vált, nagysága csökken, az ütközés következtében elvesztett lendület (1 − e)mv . A visszapattanási tényező

anyagjellemző paraméter, egyszerre függ mindkét test tulajdonságaitól. Nagysága kísérletekkel állapítható meg, tapasztalat szerint például azonos anyagú ütköző testekre az alábbi számszerű értékek használhatók: üveg-üveg acél-acél fa-fa 0,94 0,55 0.50 Az impulzusveszteség mellett a mozgási energia is csökken. A kinetikai energia veszteség mv 2 mu 2 1 mv 2 2 2 2 ∆E = − = m (v − e v ) = (1 − e 2 ) . 2 2 2 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza (115) ◄ 54 ► Mechanika Ütközések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 55 ► 6.3 Két haladó mozgást végző test ütközése A mérnöki gyakorlatban előforduló ütközési jelenségek fontos, mindamellett viszonylag egyszerű eszközökkel vizsgálható változata az azonos egyenes pályán mozgó, különböző tömegű, és sebességű testek centrikus ütközése (6.5 ábra) 6.5 ábra Haladó mozgást

végző testek ütközése A jelenség leírására vonatkozó dinamikai modellben feltételezzük, hogy az m1 és m2 tömegű testek sebességvektorai azonos állásúak, és az ütközés oka „utolérés”, v1 > v 2 . Ilyen esetben a két test érintkezésének első, összenyomódási szakaszában a testek súlypontjai közelednek egymáshoz, alakváltozások kialakulása mellett közös u sebességet vesznek fel Az érintkezés második, alakvisszanyerési szakaszában a rugalmas alakváltozási energiák mozgási energiává alakulnak vissza, a súlypontok távolodnak. A két test sebessége közötti viszony megfordul, szétválásuk pillanatában w1 < w2 . Az ütközés kezdetekor felvett közös u sebesség a lendületre vonatkozó, a 4.3 szakaszban megismert tétel felhasználásával határozható meg Külső erők nincsenek, a két testből álló rendszer együttes mozgásmennyisége nem változik, (m1 + m2 )u = m1v1 + m2 v 2 (116) amiből m v + m2 v 2 u= 1 1 (117)

m1 + m2 következik. Az ütközési impulzusnak az összenyomódás τ 1 időtartamára számított értéke m1u − m1v1 = − S I , illetve m2 u − m2 v 2 = S I , (118a, b) az alakvisszanyerés τ 2 időtartamához tartozó impulzusra vonatkozó érték pedig m1 w1 − m1u = − S II , illetve m2 w2 − m2 u = S II . (119a, b) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 55 ► Mechanika Ütközések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► A két test ütközés előtti kinetikai energiája nem alakul vissza teljes egészében kinetikai energiává, a két impulzus nagysága sem azonos. Jó közelítéssel feltételezhető azonban, hogy arányuk a visszapattanási tényezővel fejezhető ki, S II = eS I . (120) Ezekből az egyenletekből, algebrai átalakítások után, a visszapattanási tényezőre w − w1 (121) e= 2 v1 − v 2 kifejezés vezethető le, a visszapattanási tényező a

sebességkülönbségek hányadosa. További átalakításokkal a tömegek és a kezdeti sebességek függvényeként kifejezhető a teljes ütközési impulzus is: S = (1 + e) S I = (1 + e) m1 m2 (v1 − v 2 ) . m1 + m2 (122) A (118)(120) egyenletekből egyszerű algebrai műveletekkel levezethetők olyan kifejezések is, amelyek az ütközés utáni w1 és w2 sebességeket az üközés előtti adatokkal adják meg: w1 = v1 − (1 + e)m2 (v1 − v 2 ) , m1 + m2 (123a) w2 = v 2 + (1 + e)m1 (v1 − v 2 ) , m1 + m2 (123b) A kinetikai energiaveszteségre vonatkozó kifejezés ebben az ütközési modellben m1 m2 (124) ∆E = (1 − e 2 ) (v1 − v 2 ) 2 2(m1 + m2 ) alakot ölt. A bemutatott kifejezéseket hiba lenne memorizálni. Levezetésük sem tananyag, legfeljebb a tanulás segédeszköze: előállításuk gondolatmenetét kell ismerni és érteni. Ilyen összefüggésben érdemes felfigyelni arra, hogy m2 = ∞ és v 2 = 0 esetén a 6.1 szakaszban látott eredmények

adódnak Az alkalmazások szempontjából pedig azok a változatok érdemelnek figyelmet, amelyekben a kifejezések lényegesen leegyszerűsödnek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Ütközések Vissza ◄ 57 ► A haladó mozgást végző testek ütközése is lehet rugalmas, rugalmatlan vagy képlékeny. Ha például e = 1 , és a tömegek azonosak, akkor az ütközés nyomán sebességeik kicserélődnek Képlékeny ütközés esetén a két test közös sebességgel halad tovább, miközben a rendszer impulzusa felére csökken. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 57 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 58 ► 7. Rezgések 7.1 Alapfogalmak A rezgési jelenségek megértésére, a leírásukhoz szükséges fogalmak bevezetésére és a

legfontosabb összefüggések bemutatására egyaránt alkalmas, egyszerű modell a k merevségű, súlytalan rugóra függesztett m tömegű anyagi pont mozgása (7.1 ábra) Feltételezzük, hogy a rugóból és testből álló rendszer kezdeti állapotában a rugó terheletlen, a test egy állványon nyugszik, és ebben az állapotban vannak összekapcsolva. Ezt követően más történik, ha az állványt rövid idő alatt, pillanatszerűen távolítjuk el a test alól, mint ha ezt „nagyon lassan” tesszük. 7.1 ábra A rezgés – alapfogalmak Az utóbbi esetben a rugó fokozatosan megnyúlik, a test lassan süllyed. A megtámasztás teljes megszűnése után olyan est elmozdulás mellett jön létre egyensúlyi állapot, amelynél a rugóban ébredő (a megnyúlással arányosan kialakult) kest rugóerő megegyezik a test m g = G súlyával. Az ilyen elmozdulást, teherátadást, illetve terhelésfelvételt statikusnak nevezzük. Jellemzője az, hogy nem keletkeznek figyelembe

vételt megkövetelő gyorsulások (a szilárdságtanban mindig feltételeztük, hogy a feszültségek és alakváltozások ilyen módon alakulnak ki). A példában tehát e st = G mg = k k A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (125) Vissza ◄ 58 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► Ha az m tömeg alátámasztása pillanatszerűen szűnik meg, akkor a kiegyensúlyozatlan G súlyerő azonnali hatására a test gyorsulni kezd, és valamekkora sebességgel érkezik az est eltolódással jellemezhető helyzetbe, amelyen áthalad. Ettől kezdve a megnyúlás nagysága e > e st , a rugóerő nagysága meghaladja a test súlyát, a két erő különbsége a mozgás irányával ellentétes, lassulást okoz. Ha a statikus egyensúlyi helyzethez illesztjük az elmozdulás jellemzésére választott koordinátarendszer kezdőpontját (7.1 ábra), akkor a lassulás tartományában

egy x pontban a visszatérítő erő nagysága − k (e st + x ) + mg = − kx . (126) Az elmozdulás maximális értéke nyilvánvalóan függ a rugó merevségétől és a test tömegétől, de minden bizonnyal véges érték. Elérésekor a testre olyan kiegyensúlyozatlan rugóerő hat, amely felfelé irányuló gyorsulást okoz. Hatására a test felfelé mozogva halad át a kezdőponton, miközben a rugóerő folytonosan csökken. A kezdőpont feletti x" pontban a testre − k (e st − x" ) + mg = kx" (127) erő hat. A test lassulva emelkedik, majd egy pillanatnyi nyugalom után mozgásának iránya ismét előjelet vált. Ha a rendszert más hatás nem éri, ez az ismétlődő, periodikus mozgás – az egyensúlyi helyzet körüli mechanikai rezgés – időtlen időkig folytatódhat. A természetben és a mérnöki gyakorlatban előforduló rezgések több ok miatt sokkal bonyolultabbak. Például a) a rendszerek egynél több anyagi pontból állhatnak,

folytonos tömegeloszlású testeket is tartalmazhatnak; b) olyan testek rezgését is vizsgálni kell, amelyek nem tekinthetők anyagi pontnak; c) a rendszer mozgásállapotát befolyásoló erők hatása időben is, térben is jóval bonyolultabb lehet; d) a rendszer mozgási energiája más energiafajtákká alakul. A gyakorlati feladatok osztályozása szempontjából különösen a szabadságfok, a gerjesztés és a csillapítás fogalma fontos. A rezgésfajták megkülönböztetésének alapesetei vannak: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Rezgések Vissza ◄ 60 ► • Egy szabadságfokú rezgés – A rezgő mozgást végző test egyetlen tömegpontnak tekinthető, és a mozgás egy paraméterrel jellemezhető. • Több szabadságfokú rezgés – A rendszert több tömegpont alkotja, vagy a mozgást leíró függvények többváltozósak. •

Szabad rezgés – Egy kezdeti hatás következtében rezgésbe jövő rendszer további külső erőhatás nélkül saját tulajdonságaitól függő mozgást végez. • Gerjesztett rezgés – A rendszerre folyamatosan hat valamilyen gerjesztő erőrendszer. • Csillapítatlan rezgés – A rendszer rezgését jellemző függvények paraméterei időben változatlanok. • Csillapított rezgés – A rendszer mozgási energiája a csillapító hatások következtében fokozatosan csökken. A gyakorlatban előforduló rezgések dinamikai modelljei általában ezeknek az alapeseteknek a kombinációiként alkothatók meg. A rugóra függesztett anyagi pont mozgása például ebben a fogalomrendszerben egy szabadságfokú csillapítatlan szabad rezgés. A bonyolultabb változatok tárgyalása során további mechanikai fogalmakat is be kell vezetni, és a matematikai modellek is összetettebbek. A jelen jegyzet ezért csak néhány egyszerűbb rezgésfajta ismertetésére szorítkozik

7.2 Egy szabadságfokú rendszer szabad rezgései 7.21 Csillapítatlan szabad rezgés A rezgés fogalmának bevezetéséhez használt egyszerű példa kissé módosított változata látható a 7.2 ábrán 7.2 ábra Csillapítatlan szabad rezgést végző anyagi pont modellje A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 60 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► A k merevségű rugóhoz ellenállásmentesen gördülő, m tömegű anyagi pontnak tekinthető kocsi kapcsolódik. Ha a pont a terheletlen rugónak megfelelő egyensúlyi helyzettől x(t ) távolságban van, sebessége x (t ) , gyorsulása13 pedig x(t ) , miközben rá − kx(t ) rugóerő hat, akkor Newton törvénye − kx(t ) = mx(t ) (128) alakban írható fel, a csillapítatlan szabad rezgés differenciálegyenlete így mx(t ) + kx(t ) = 0 . (129) Ennek a közönséges másodrendű, homogén,

lineáris, állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletnek az általános megoldását x(t ) = De λt alakban célszerű keresni. A behelyettesítés után lehetséges egyszerűsítéseket végrehajtva adódik a differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete: mλ2 + k = 0 (130) (ennek a másodfokú egyenletnek a két gyöke, λ1 és λ2 értékek mellett a megoldás alakjára vonatkozó feltevés kielégül). Ha bevezetjük az ω0 = k m (131) jelölést, akkor a (130) egyenlet megoldásait λ1, 2 = ±iω 0 alakban írhatjuk fel. Matematikai átalakítások után az általános megoldás x(t ) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t (132) alakban adódik. Az ω 0 mennyiség dimenziója a (131) összefüggésből következően [s−1] Az adott feladathoz tartozó partikuláris megoldást kezdeti feltételek kiszabásával és figyelembe vételével határozhatjuk meg. Célszerű például kezdeti feltételként előírni, hogy a t 0 = 0 időponthoz x = x 0 elmozdulás

tartozzon. Az ennek megfelelő Emlékeztetjük az olvasót arra, hogy a ”gyorsulás” adott esetben lassulás is lehet – itt a rugóerő irányából éppen ez következik. 13 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ x0 = A cos 0 + B sin 0 62 ► (133) feltételi egyenletből A = x0 következik. Második kezdeti feltételként a sebességre adhatunk előírást: tartozzon a t 0 = 0 időponthoz x = v0 kezdeti sebesség. Az általános megoldásból kiindulva x (t ) = − Aω 0 sin ω 0 t + Bω 0 cos ω 0 t , (134) v0 = − Aω 0 sin 0 + Bω 0 cos 0 , (135) ezt felhasználva következésképp B= v0 ω0 . (136) Ezekkel az átalakításokkal a csillapítatlan szabad rezgést végző anyagi pont mozgásegyenlete x(t ) = x 0 cos ω 0 t + v0 ω0 sin ω 0 t . (137) Ugyanennek a mozgástörvénynek egy másik,

egyenértékű alakját lehet A előállítani az a = A 2 + B 2 és α = arctan állandók használatával: B x(t ) = a sin (ω 0 t + α ) . (138) Ez a kifejezés a harmonikus rezgőmozgás egyenlete. A 73 ábra szemlélteti a mozgásjellemzőket az idő függvényében. A (138) felírásmód azért hasznos, mert a rezgő mozgás néhány jellemzője közvetlenül jelenik meg benne. A maximális kitérés, az amplitúdó értéke a A sinus függvény ω0t + α argumentuma a rezgés adott időpillanathoz tartozó fázisa, benne α a kezdeti fázis A fázis és az amplitúdó láthatóan függ az előírt kezdeti feltételektől is. Az ω 0 mennyiséget közvetlenül meghatározzák a rezgő rendszer mechanikai jellemzői (a pont tömege és a rugó merevsége), neve saját körfrekvencia. Ennek a szóhasználatnak a hátterét a 74 ábra világítja meg A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 62 ► Mechanika Rezgések A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 63 ► 7.3 ábra Harmonikus rezgőmozgást végző anyagi pont helyzete, sebessége, gyorsulása 7.4 ábra Körmozgás és harmonikus rezgőmozgás Ha egy anyagi pont a t = 0 , x = 0 kezdeti feltétellel a sugarú körpályán, állandó ω 0 szögsebességgel mozog, akkor helyzetvektorának függőleges vetületét éppen az x(t ) = a sin ω 0 t egyenlet adja meg. A körfrekvencia dimenziója ebben a felfogásban [rads−1] alakban is írható, megegyezik a szögsebességével14. Hasonló megfeleltetés lehetséges a v(t ) = aω0 sebes- Mivel a radiánban mért szögérték egysége természetes szám, a [rads−1] és [s−1] dimenziók egyenértékűek. 14 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 63 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 64 ► ség és függőleges vetülete, valamint az aω02 gyorsulás és

függőleges vetülete között. A harmonikus rezgés és az egyenletes szögsebességű körmozgás közötti szoros kapcsolatból következik az is, hogy egy teljes rezgéshez (ahhoz, hogy a pont ugyanoda ugyanolyan sebességgel érkezzen vissza) T0 = 2π (139) ω0 saját – a kezdeti feltételektől nem függő – rezgésidő tartozik (dimenziója [s]). Az egységnyi idő alatt történő rezgések száma, a frekvencia, harmonikus rezgés esetében n0 = 1 ω0 = T0 2π (140a) alakban adható meg. Ez a sajátrezgésszám (más szóval önrezgésszám), dimenziója [s−1], önálló neve a Hertz [Hz]. A műszaki gyakorlatban kiterjedten használt egység az N 0 = 60n0 (140b) percenkénti önrezgésszám is (forgó berendezések, például motorok fordulatszámát például ilyen egységben szokás megadni). 7.22 Csillapított szabad rezgés A csillapítatlan rezgést (annak amplitúdóját, frekvenciáját) módosító különféle kényszerek pontos leírása a

differenciálegyenletek elméletének eszköztárát ismerők számára is nehéz feladat. A csillapító hatások némelyike azonban (többé-kevésbé elfogadható közelítésként) a harmonikus rezgés differenciálegyenletének kisebb módosításával figyelembe vehető. Ezek egyike a sebességgel arányos külső csillapítás. Ha az egyensúlyi helyzetéből kimozduló testre a sebességével arányos, de azzal ellentett értelmű csillapító erő hat (7.5 ábra), akkor a rendszer viselkedését leíró differenciálegyenlet mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = 0 (141) alakban írható fel. Az itt megjelenő c csillapítási tényező az egységnyi sebességhez tartozó ellenállási erőnek felel meg, dimenziója [Nsm−1]. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 64 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 65 ► 7.5 ábra Csillapított szabad rezgést végző anyagi pont

modellje Ennek a közönséges, másodrendű, homogén, lineáris, állandó együtthatójú differenciálegyenletnek a megoldása ugyanolyan gondolatmenetet követve található meg, mint a csillapítatlan rezgésre vonatkozó, valamivel egyszerűbb (129) egyenleté. A megoldást ismét x(t ) = De λt alakban lehet keresni, a karakterisztikus egyenlet mλ2 + cλ + k = 0 (142) lesz. A két gyök 2 λ1, 2 c k ⎛ c ⎞ =− ± ⎜ ⎟ − 2m m ⎝ 2m ⎠ (143) és a rendszert jellemző m, c, k paraméterek egymáshoz viszonyított nagyságától függően három esetet kell megkülönböztetni. a) Ha a csillapítás nagy, 2 k ⎛ c ⎞ azaz c > 2 km , ⎜ ⎟ > m ⎝ 2m ⎠ akkor λ1 és λ 2 két egymástól különböző, negatív valós szám. Ebben az esetben az általános megoldás x(t ) = D1e − λ1t + D2 e − λ2t (144) alakban adódik. A két exponenciális függvény összege monoton csökkenő görbe, az eredeti állapotából kimozdított anyagi pont

aszimptotikusan közeledik kiinduló helyzetéhez (7.6 ábra) – nem alakul ki rezgő mozgás A D1 és D2 együtthatók a kezdeti feltételek függvényeként számíthatók ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 65 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 66 ► 7.6 ábra Sebességgel arányos, nagy csillapítású mozgás amplitúdója b) Ha a csillapítás kicsi, 2 k ⎛ c ⎞ azaz c < 2 km , ⎜ ⎟ < m ⎝ 2m ⎠ akkor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van. Ebben az esetben a csillapítatlan rezgés esetéhez hasonló lépésekkel lehet eljutni az x(t ) = e − c t 2m (A cos ω t + B sin ω t ) * 0 (145) * 0 általános megoldáshoz, amelyben 2 ω = * 0 k ⎛ c ⎞ −⎜ ⎟ = m ⎝ 2m ⎠ k c2 c2 1− = ω0 1 − m 4km 4km (146) a kialakuló, csillapodó rezgés frekvenciája. A rezgés amplitúdója – a (145) egyenlet

jobboldalán megjelenő exponenciális függvény szerint – fokozatosan csökken (7.7 ábra) Az A és B állandókat ezúttal is a kezdeti feltételekből lehet meghatározni. Az építőmérnöki gyakorlatban fontos, egyszerű esetben ismert a mozgás kezdetén az anyagi pont helyzete és sebessége: x(0) = x0 és x (0) = v(0) = v0 . Ezekkel az értékekkel a (145) általános megoldás partikuláris megoldása x(t ) = e − c t 2m c ⎞ ⎛ v0 + x0 ⎟ ⎜ 2m sin ω *t ⎟ ⎜ x0 cos ω 0*t + 0 ⎟ ω 0* ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza (147) ◄ 66 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► alakban adódik15 (a 7.7 ábrán az x(0) = x0 = 0 esetnek megfelelő görbe látható). x t 0 7.7 ábra Sebességgel arányos, kis csillapítású mozgás amplitúdója c) Ha a csillapítás kritikus, 2 k ⎛ c ⎞ azaz c = 2 km , ⎜ ⎟ = m ⎝ 2m

⎠ akkor a karakterisztikus egyenlet két gyöke azonos, λ1 = λ 2 = − c , ezért 2m az általános megoldás alakja x(t ) = e − c t 2m (D1 + D2 t ) (148) lesz. Rezgés nem alakul ki, az a) esethez hasonlóan alakul az amplitúdó A sebességgel arányos csillapítás hatása egyetlen anyagi pont esetében matematikailag jól értelmezhető és viszonylag egyszerűen számítható. A gyakorlatban előforduló, összetettebb rendszerek viselkedése jóval bonyolultabb modellekkel is csak közelítően írható le. Ráadásul a tapasztalat szerint a szabad rezgést végző rendszerek mozgása akkor is csillapodik, ha külső hatást nem éri őket. Ennek az az oka, hogy a szerkezetek anyaga nem tökéletesen rugalmas, a szerkezeti kapcsolatokban súrlódás lép fel, általában energiadisszipáció következik be. A szerkezeti csillapítás jellemzése, mértékének becslése elmélyültebb, az alapképzés követelményeit meghaladó mechanikai ismeretek birtokában

lehetséges. Ezt az összefüggést tilos – mert felesleges – megtanulni. Kizárólag a matematikai tárgyalás jellegének szemléltetése végett szerepel a jegyzetben 15 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 68 ► 7.3 Gerjesztett rezgések Dinamikus tényező Rezonancia A szabad rezgést végző rendszerek mozgásállapotát a kezdeti feltételek (elmozdulás és sebesség) mellett saját (a mozgást leíró differenciálegyenlet együtthatóiként megjelenő) paramétereik határozzák meg. A rezgések egy másik, fontos osztályában a rendszerre gerjesztő erő is hat, amely időben változó lehet. 7.8 ábra Csillapítatlan gerjesztett rezgést végző anyagi pont modellje Az egy szabadságfokú gerjesztett rendszer (7.8 ábra) esetében például a csillapítatlan rezgésre (7.1 ábra) vonatkozó (129) egyenlet

kiegészül egy taggal: a q (t ) gerjesztő erő is megjelenik a Newton-törvényben a rugóerő mellett: q(t ) − kx(t ) = mx(t ) . (148) Ezzel összhangban az erővel gerjesztett csillapítatlan rezgés differenciálegyenlete mx(t ) + kx(t ) = q(t ) . (149) alakot ölt. Ha lenne a rendszerben sebességgel arányos csillapítást okozó elem, akkor a (141) egyenlet egészülne ki hasonló módon, mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = q (t ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (150) Vissza ◄ 68 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 69 ► alakra. A gerjesztő erő figyelembe vétele esetén eszerint homogén differenciálegyenletek helyett inhomogén differenciálegyenleteket kell megoldani Egyszerűbb esetekben (például, ha a gerjesztő erő állandó, q(t ) ≡ q , vagy időbeli változása harmonikus, q(t ) = q sin ωt ) az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris

megoldása viszonylag egyszerűen meghatározható, és a homogén változat általános megoldását használva a megoldás megtalálható. Általában a gerjesztő erő maximumának megfelelő, statikusan működő erő hatásához hasonlítjuk az állandósult rezgések amplitúdóját, illetve (csillapítástól függően) a létrejövő elmozdulásokat, de ezek közelítő becslése is körültekintő elemzéseket követel meg Az eddig részletesebben tárgyalt rezgésfajták matematikai modelljeinek megnevezésekor a „közönséges”, „állandó együtthatójú”, „lineáris”, „homogén” jelzőket használtuk. Ha a rezgő mozgás nem egy tengely mentén, hanem a háromdimenziós térben történik, akkor parciális differenciálegyenletekre kell áttérni. Ha a rezgő rendszer anyagát jellemző paraméterek (például a rugók tulajdonságai, vagy a csillapítás tényezője) változnak a terhelés függvényében, fel kell adni az együtthatók állandóságára

vonatkozó feltevést. Többféle értelemben is nemlineárissá válhat a feladat, emellett sok anyagi pontból, alkalmasint szilárd testekből is állhat egy rezgő rendszer. A külső erőknek megfelelő, a differenciálegyenletekben inhomogenitást okozó kifejezések megállapítása további nehézségek forrása. Könnyű elgondolni, hogy a gyakorlatban előforduló mérnöki szerkezetek dinamikai viselkedésének elfogadható pontosságú vizsgálata milyen bonyolult mechanikai modellek megalkotását követeli meg, ezek matematikai kezeléséhez milyen sok és nehezen megállapítható anyagjellemzőre van szükség, és miért nélkülözhetetlenek a numerikus vizsgálatokhoz a nagysebességű számítógépek. Az alapképzés tananyagának kereteit a dinamikai feladatok további, részletesebb tárgyalása ezek miatt az okok miatt szétfeszítené. Csak a fizikai viselkedést jellemző néhány fontos további fogalom megemlítésének lehet még helye. Ez utóbbiak

körében kitüntetett szerepe van a mérnöki gyakorlatban ν= x dinamikus x statikus A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék (151) Vissza ◄ 69 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 70 ► kifejezéssel értelmezett dinamikus tényezőnek, amely a rendszerre ható erők dinamikus, illetve statikus működése nyomán kialakuló (a rendszer mozgására jellemző) elmozdulások hányadosa16. A dinamikus tényező állandó nagyságú erővel gerjesztett csillapítatlan rezgés esetén 2 körüli érték lehet. Harmonikus gerjesztő erők hatására azonban olyan állandósult rezgés alakulhat ki, amelynek ω körfrekvenciája különbözhet a gerjesztett rendszer saját ω0 körfrekvenciájától. Ilyen esetben a rendszer viselkedése nagy mértékben függ az értékétől. Ha ω hányados ω0 ω ≈ 1 , akkor rezonancia keletkezik, és a gerjesztő erő által ω0 okozott

elmozdulás sokszorosa lehet a statikus hatás esetén várhatónak (ν >> 1 ). Ha ω << 1 , akkor a rezgés amplitúdója alig nagyobb, mint a ω0 statikusan működő gerjesztő erő által okozott elmozdulás. Ha pedig 1 << ω , akkor a gerjesztő erő csak igen kis amplitúdójú rezgéseket okoz. ω0 A gyakorlati feladatok körében szélesedik az a terület, ahol a dinamikai viselkedésre vonatkozó ismereteket használni lehet és kell. Közülük három érdemel kiemelést a) Csillapított gerjesztett rezgés – A mérnöki szerkezetek viselkedését jelentős mértékben lehet befolyásolni adott tulajdonságú csillapító elemek elhelyezésével. Ez a lehetőség véletlen és periodikus gerjesztések esetében is fennáll. Különösen akkor jöhet szóba, ha a tervezés szakaszában még fel nem ismert és figyelembe nem vett rezgésképek alakulnak ki egy szerkezeten, és azt emiatt módosítani kell. Ilyen utat követtek a londoni Millennium

Bridge tervezői, amikor 2000. nyarán kiderült, hogy a gyalogos forgalomra tervezett, építészeti szempontból kivételesen elegáns, innovatív szerkezet a rendeltetésszerű használat első óráiban komoly ijedelmet okozó lengésbe jött (www.arupcom/millenniumbridge) b) Támaszrezgés – A 7.9 ábra egy anyagi pont támaszrezgés hatására bekövetkező mozgásának jellegét szemlélteti A tömegpontra az alátámasztó A dinamikus tényező értelmezésének több lehetősége is van, az itt használt változat ezek egyike – szabványokban, előírásokban másféle értelmezéseket is definiálnak. 16 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 70 ► Mechanika Rezgések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► szerkezet (az adott esetben a függőleges oszlop) rugalmas viselkedésének megfelelő kx(t ) visszatérítő erő és az y (t ) eltolódáshoz tartozó y gyorsulás miatt

fellépő tehetetlenségi erő hat. A mozgás differenciálegyenletét ebben az esetben is fel lehet írni a (129) egyenlet esetében követett módon: my(t ) + kx(t ) = 0 . (152) A z (t ) = y (t ) − x(t ) összefüggésre tekintettel ebben az egyenletben kétféle módon is szerepeltetni lehet a támasz z elmozdulásfüggvényét. A lehetőséggel élve (129) helyett az mx(t ) + kx(t ) = −mz(t ) (153a) my(t ) + ky (t ) = kz (t ) . (153b) egyenletek bármelyikére át lehet térni. Mindkettő esetében egyértelmű, hogy a támaszrezgés olyan gerjesztett rezgésként tárgyalható, amelyben a gerjesztő erő a támasz z gyorsulásából származó tehetetlenségi erő. 7.9 ábra Támaszrezgés egyszerű modellje Ez a rezgéstípus különösen a földrengések hatásainak vizsgálatában játszik kiemelt szerepet. Az építmények, létesítmények sok szabadságfokú rezgésre képes szerkezetként történő modellezése mellett az őket megtámasztó

talajkörnyezet mozgásainak, kitüntetetten gyorsulásainak mérése, becslése, figyelembe vétele jelenti a mérnöki feladatot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Rezgések Vissza ◄ 72 ► c) Gépalapok rezgései – A vízszintes tengely körül forgó elemeket tartalmazó gépek alaptestjeire működésük közben a forgástengelyre merőleges irányban kiegyensúlyozatlan tömegerők hatása miatt gyakran adódnak át függőleges irányú, harmonikus rezgéseket keltő erők. Az alaptest „válasza” (amely függhet a környező szerkezet- vagy talajviszonyoktól is) sokszor tekinthető jó közelítéssel rugalmasnak, és számítani lehet csillapító hatásra is. Az adott terhek és elmozdulások tartományában a körülményektől függően mégis igen jelentős és káros dinamikus hatások léphetnek fel, ha a gép működésére

jellemző frekvencia közel van a gép-alap rendszer sajátfrekvenciájához. A rezonancia kialakulásának megelőzése végett többnyire az alaptest méreteinek, tömegének megváltoztatásával (elhangolással) lehetséges és célszerű módosítani a sajátfrekvenciát, ezzel távolabb kerülni a gerjesztő frekvenciától. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 72 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 73 ► 8. Földrengés A földrengés hatásainak azonosítása, mechanikai modellezése, a vele öszszefüggő műszaki beavatkozások megtervezése és megvalósítása a mérnöki fogalomalkotás, elemzés, tervezés és megvalósítás egyik próbaköve. A jelenség annyira összetett, hogy a rá vonatkozó észlelések évezredes sora, következményeinek sok maradandó nyoma, a fokozatosan gyarapodó és finomodó műszeres megfigyelések eredményeinek

feldolgozása mindmáig nem volt elegendő ahhoz, hogy az ember alkotta létesítmények esetében elvárt pontosságú és megbízhatóságú módszerek alakuljanak ki a földrengésekkel összefüggő kérdések megoldására. Az építőmérnöki megfontolások geológiai, lemeztektonikai ismeretekre épülnek. A műszaki tennivalók szinte kizárólag a károk előzetes megítéléséhez, lehetséges megelőzéséhez vagy csökkentéséhez, bekövetkezésük után felszámolásukhoz kapcsolódnak. A földrengésekkel foglalkozó tudomány- és szakterület – természetéből következően – multidiszciplináris, és folyamatos fejlődésre van ítélve. A dinamikai kérdések tárgyalása a megszokottnál kevésbé szabatos, az „alkotó” mérnöki feladatok ritkábbak. Ezek a körülmények inkább növelik, mint csökkentik az alapképzés keretében megszerzendő, földrengésekkel összefüggő ismeretek jelentőségét. Minél kiszolgáltatottabb egy társadalom

életvitele, gazdasága az életterében előforduló földrengések hatásának, annál több felkészült építőmérnököt kell foglalkoztatnia a tennivalók felismerése, a károk csökkentése, a biztonság elérhető és megfizethető optimumának elérése végett. Magyarország földrajzi helyzete ilyen összefüggésben szerencsés, szemben például olyan, nem is távoli térségekkel, mint Észak-Olaszország vagy Dél-Románia. A veszélyeztetettség alacsonyabb, de fennáll Emellett gyarapszik azoknak a létesítményeknek a száma, amelyek érzékenyebbek a földrengések hatásaira (e körbe sorolhatók egyebek mellett a földalatti építmények, magas házak, különféle rendeltetésű tornyok). Nem felesleges a kérdéskörrel összefüggő dinamikai ismeretek elsajátítása, a jegyzet ezért tárgyalja az alapképzés szintjén esedékes tudnivalókat. 8.1 Földrengések észlelése A földrengéshez kapcsolódó mechanikai fogalmak többsége a közbeszédben is

használatos, általában szemléletes, elsősorban a rengések idején észlelt erőhatásokat, mozgásokat, a bekövetkező károk komolyságát jel- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 73 ► Mechanika Földrengés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 74 ► lemzi. A társadalmak életét komolyan megzavaró rengésekről évezredek óta készülnek feljegyzések (a Kárpát-medence területén kipattant rengésekről mintegy másfél évezredre visszamenően vannak adatok). Ezek sokszor pontatlanok, megbízhatóságuk nehezen ítélhető meg (érthető okok miatt drámai túlzásokkal is terheltek), de sok szempontból jól használhatók, többségük legalább statisztikus feldolgozásra alkalmas. A XIX. századtól kezdve kibontakozó műszaki fejlődésnek köszönhetően a megfigyelések mérnöki felhasználhatósága folyamatosan javul Közülük különösen a mérhető mennyiségek,

így elsősorban a különböző helyeken különböző időpontokban észlelt gyorsulások fontosak Ezek folyamatos észlelésének, gyűjtésének és feldolgozásának fontossága régóta ismert, a műszeres megfigyeléseket végző obszervatóriumok közel két évszázada végzik ezt a tevékenységet világszerte. A rengések enyhébb vagy erősebb voltának jellemzésére használt fogalmakat (intenzitás, megrázottság) az észlelt károk gondos (olykor több évig tartó) feldolgozása után mennyiségi jellemzőként, izoszeiszta térképeken tüntetik fel a szeizmológusok. Egy-egy konkrét földrengés esetében a földfelszín közelében megállapított, legmagasabb értékek az epicentrum környékén, az ún epicentrális területen mutatkoznak (81 ábra) 8.1 ábra Rengési fészek, epicentrum A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 74 ► Mechanika Földrengés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► A térképek alapján becsülhető az epicentrum környékére jellemző intenzitás, következtetni lehet a földrengés fészkének mélységére, a megrázott kőzetek bizonyos mechanikai tulajdonságaira is. Az intenzitás fokozatainak meghatározása szakmai megállapodás kérdése, empirikus megfigyelések számszerűsítését kívánó feladat. Különösen igaz ez a múltbéli rengésekre vonatkozó leírások esetében. Például a megrázottság kezdőértéke (I) lehet az a szint, amelyet különösen érzékeny személyek kedvező körülmények között egyáltalán érzékelnek, és végértéke (X) rendelhető a teljes épített és természeti környezetet elpusztító rengéshez. A közbenső fokozatokat az észlelt mozgások és károk jellege, mértéke alapján lehet meghatározni. Egy ilyen leíró jellegű besorolás sem a határok, sem a lépcsőzés vonatkozásában nem tekinthető jól definiáltnak. A szakértők

ezért a XX század kezdetétől folyamatosan vitatják és fejlesztik az intenzitás jellemzésére alkalmas skálákat. Felismerték például, hogy a maximális intenzitás nem feltétlenül azonos a tapasztalt legnagyobb intenzitással (ez a helyzet például akkor, ha az epicentrum a legközelebbi lakott területtől 10-20 kilométerre vagy annál távolabb van). A hatások minél objektívebb megítélése végett az Európai Makroszeizmológiai Skála (MSK–92) részletezi, és sérülékenységi osztályokba sorolja az építési módokat, megadja a nekik megfelelő, lehetséges, földrengés okozta károk jellegét. A magnitúdó ( M ) fogalmát először Richter definiálta (kaliforniai rengések nagyságát jellemezte szeizmográffal mért adatokhoz rendelt számmal, megadva a mérőeszköz jellemzőit is). Későbbi, általánosabb javaslatai nyomán ma viszonylag széles körben használják az M = aI + b + c log H (154) képletet, ahol I az epicentrális intenzitás

(az észlelt tönkremenetelnek megfelelő skálaérték), H a rengés fészekmélysége, a , b és c pedig olyan állandó, amely a rengés és az obszervatórium földtani környezetétől kismértékben függ. A (154) képletet egy-egy körzetre és obszervatóriumra vonatkozóan, statisztikai (illeszkedési) vizsgálattal állítják elő. Az így számított magnitúdó megbízhatóságának korlátai a lineáris kapcsolat feltevéséből következnek A tapasztalatok szerint az epicentrális intenzitás – és így nagy rengéseknél a pusztítás is – függ a felszín közeli rétegek rugalmas tulajdonságaitól. Laza talajon (ilyen a lösz, a folyami üledék, a feltöltés) számos ismert A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► Mechanika Földrengés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► rengés szomorú példájának tanúsága szerint a megrázottság akár egy vagy két

fokozattal nagyobb is lehet, mint kemény kőzeten. A földrengéskutatók szokványos statisztikai módszerekkel kapcsolatot találtak a rengések magnitúdója és gyakorisága között is. Jó közelítéssel log N = p − qM (155) ahol N az évenkénti rengések száma, p és q a vizsgált körzetre jellemző állandó17. 8.2 A Föld belső szerkezete A Kárpát-medence szerkezete A Föld átmérője ≈ 1,27 ⋅ 10 7 m, tömege ≈ 6,0 ⋅ 10 24 kg. Égitestként anyagi pontnak tekinthető, forgó mozgásának jellemzői szempontjából gömb alakú merev testként vizsgálható. Ezek a közelítések mindaddig nagyon jók, vagy legalábbis megengedhetők, ameddig elhanyagolható az égitestet alkotó anyagok fizikai állapota, mechanikai tulajdonságai, a vizsgált tartomány méretei pedig a Föld sugarának nagyságrendjébe esnek, vagy még nagyobbak. A földrengések esetében ezek a feltevések nem teljesülnek. A jelenség a Föld köpenyének nevezett (alsó és felső

köpenyből álló) tartományban lejátszódó folyamatok következménye, hatásait a felszín közelében (a felső köpenyt héjaló kéregben) észleljük, okai között a felső köpeny és a kéreg szerkezetének és mechanikai viselkedésének van meghatározó szerepe, a vizsgálandó állapotváltozások tartománya pedig 101103 km nagyságrendű. A 8.2 ábrán a Föld szerkezetének fontosabb egységei, a felszín-közeli kéreg, a felső és alsó köpeny, a külső és a belső mag láthatók. A mag sugara mintegy 3500 km Külső, mintegy 2200 km vastagságúnak becsült rétegében az anyag folyadékszerű állapotban van, sűrűsége nagyobb, mint 5 gcm3. E tartományban a nyírási modulus nagyon kicsiny, benne transzverzális (nyírási) hullámok nem terjednek és a longitudinális hullámok sebessége is csekély A belső, mintegy 1300 km sugarú magban terjedhetnek nyírási hullámok és a longitudinális hullámok sebessége is nagyobb. A magnak, fentebb röviden

jellemzett állapotának a tudomány a földrengések kialakulása szempontjából jelenleg nem tulajdonít érdemi szerepet. Ez az eredmény alig lép túl a trivialitáson – szemilogaritmikus léptéket használva csaknem minden görbe közelíthető egyenessel 17 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► Mechanika Földrengés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 77 ► 8.2 ábra A Föld felépítése A kéreg vastagsága széles határok között változik: az óceánok alatt 6-10 km, a szárazföldek alatt átlagosan 30-40 km, a lánchegységek alatt 70 km is lehet. A kéreg és a felső köpeny együtt alkotja a litoszférát. Ez a hasonlóan széles határok között változó (az óceánok alatt legalább 30-40 km, átlagosan 100 km, a nagy kontinensek alatt 300 km-t is meghaladó) vastagságú héj egymáshoz illeszkedő, szilárd kőzetként viselkedő, kontinentális méretű

lemezdarabokból áll18. A litoszféra alatt (közötte és a mag között) elhelyezkedő alsó köpeny az asztenoszféra Ennek vastagságát jelenleg mintegy 2700 km-re becsülik. A megkülönböztetést a mechanikai állapotok különbözősége indokolja: • a litoszféra anyaga viszonylag rideg, szilárd, töredezésre is, rugalmas alakváltozásokra is képes, benne alakváltozási energia halmozódhat fel, mechanikai rezgéshullámok terjedhetnek, • az asztenoszféra anyaga is szilárd halmazállapotú, de jóval kevésbé rideg, izzó állapotban van, alakváltozásai képlékenyek, benne rugalmas alakváltozási energia nem halmozódik fel. A jobb világatlaszokban szemléletes térképek tüntetik fel a litoszférát alkotó lemezeket, ezek érintkezési tartományaira irányítva a figyelmet. 18 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 77 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés

Vissza ◄ 78 ► A felső és alsó köpenyréteg nem válik el éles határfelület mentén. Az átmeneti (200-400 km vastagságú) tartomány helyének és kiterjedésének becslése szempontjából relatív merevségüknek van meghatározó szerepe. A jelenleg elfogadott, a múlt század 60-as éveiben kiépült, lemeztektonikai elmélet szerint • a litoszférát alkotó kisebb-nagyobb, viszonylag merev, átlagosan 100 km vastagságú lemezek beborítják a bolygó egész felületét, • a szárazföldek és az óceánok alatt is vannak – zeg-zugos – érintkezési tartományaik (ezeket nevezik mélytengeri árkoknak, óceáni hátságoknak), • az asztenoszféra legfelső, mintegy 4-500 km vastagságú rétegén „úsznak”, • egymáshoz képest a tér bármelyik irányában elmozdulhatnak. A mozgások okai között ott van a Föld forgása, valamint az asztenoszférában olvadt állapotban lévő anyag hőmérsékletének és sűrűségének inhomogenitása, amely

hő- és anyagáramokat indukál. A lemezek rövid idő alatt végbemenő relatív elmozdulásaival együtt járó folyamatokat észleljük földrengésként. A litoszféra lemezei közötti (a kéreg mentén mérve 105 km nagyságrendű hosszban elnyúló) érintkezési tartományok szilárdsága a relatív mozgások irányától függően más és más lehet. A lemezek távolodhatnak egymástól, összenyomódhatnak, kialakulhat nyírási jellegű relatív elmozdulás. Vastagságuk, helyzetük, tömegük függvényében egymás alá vagy fölé csúszhatnak, töredeznek. A kialakuló diszkontinuitások mentén elérhetik a kéreg felszínét a mélyebb rétegekből nyomás alatt feltörő kőzetolvadékok. Mivel a kőzetanyagok ellenállása nyomással és nyírással szemben jelentős, húzással szemben kisebb, domináns jelenség az óceáni medencék tágulása. Ezek az adottságok magyarázzák azt, hogy a külső köpenyben keletkező repedések, csúszások a térben gyorsan

terjedve, a különböző tulajdonságú rétegek határfelületein megtörve, visszaverődve nagyon bonyolult felszíni rezgéseket gerjeszthetnek. Ezek elemzése a szaktudomány nagy kihívása, az ismeretek bővülésének gyakorlati jelentőségét pedig a sűrűn belakott földrengés-érzékeny térségekben időről időre keletkező károk nagysága jelzi. A rengések kipattanása szempontjából meghatározó tartomány anyagának szilárdsági tulajdonságai is nagyon változóak. A közvetlen megfigyelés szintjén, a felszín közelében szinte általánosíthatatlan változatossággal A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 78 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 79 ► lehetnek jelen különböző telepedésű (rétegzett, repedésekkel, törésvonalakkal tagolt), nagyon eltérő geotechnikai tulajdonságokkal jellemezhető talajok. A néhány száz méteres

méretek nagyságrendjében a terepadottságok, a geológiai tagoltság eltérései szembeszökőek. A tíz kilométeres nagyságrendben fokozatosan elenyésznek a felszínközeli tartományban (az ember által belakott és feltárt térben) még jelentős különbségek, így a domborzat vagy a tengerek szerepe is. A litoszféra lemezei az őket érő erőhatásokra mozgásokkal, rugalmas és képlékeny alakváltozásokkal válaszolnak. Az alakváltozásokkal járó feszültségek időről időre elérhetnek olyan határértékeket, amelyek a lemezekben – anyaguktól, geometriai alakjuktól stb függően – töréseket, véges elmozdulásokat pattantanak ki. Kiterjedés, összenyomódás, szögtorzulás léphet fel és terjedhet tova rugalmas, csillapodó rezgéseket, longitudinális (kompressziós) és transzverzális (nyírási) rengéshullámokat gerjesztve. Ha a változások lassúak, kicsinyek és folytonosak, akkor érzékelésük szinte lehetetlen. Jelenlétük,

felhalmozódásuk akkor válik érzékelhetővé, ha a felhalmozódó feszültségek – a kéreg anyagának szilárdsági jellemzőitől függő helyeken és időpontokban – meghaladják a folytonosság szempontjából mértékadó küszöbértékeket. A folytonosan megoszló alakváltozások ilyenkor igen rövid idő alatt átrendeződnek: repedések, szakadások, érintkező felületek mentén elcsúszások jönnek létre. Eközben a korábban felhalmozódott feszültségek, és alakváltozások jelentős hányada lecsökken, alakváltozási energiák szabadulnak fel. Ezeknek a kéregben lejátszódó folyamatoknak a földfelszín közeléig ható következményeit észleljük földrengés formájában. A földtani adottságok tekintetében a Kárpát-medence, és azon belül Magyarország teljes területe „alacsony szeizmicitású” körzet, földrengéses veszélyeztetettsége jóval kisebb, mint Japáné vagy az Egyesült Államok nyugati területeié. Sokkal nagyobb

azonban, mint Nagy Britanniáé és nagyjából az Egyesült Államok keleti területeinek megfelelő mértékű. Ez a kedvező helyzet – amelynek ismeretében építményeink méretezése során a földrengés hatásaival csak korlátozott mértékben kell számolni, és így komoly költségek terheitől mentesülünk – annak köszönhető, hogy a medence környezetében a korábbi geológiai korokban lejátszódott kéregmozgások konszolidálódtak, a jelenleg aktív állapotban lévő, kontinentális léptékű törésvonalak viszonylag távol húzódnak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 79 ► Mechanika Földrengés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 80 ► Tapasztalat szerint viszonylag ritkán fordul elő olyan rengés, amelynek erőssége meghaladja a Richter-skála szerinti 5-ös szintet (az eddig észlelt legerősebb földrengések19 magnitúdója 9 felett volt). A

magyarországi rengések többsége a medencét kitöltő üledékes kőzetekben pattan ki, viszonylag kisebb mélységben (nem a litoszféra alsó, medencealjzatot alkotó tartományában). A MTA által elfogadott osztályozás Magyarországon négy szeizmikus zónát különböztet meg, ezek közül a legveszélyeztetettebb körzetben sem haladja meg a földmozgás gyorsulásának várható értéke a nehézségi gyorsulás tizedét. 8.3 A rengések jellemzése A földrengések véletlenszerű hatások. Nem csak előfordulásukra vonatkozóan igaz ez, hanem kvantitatív jellemzőikre is, amelyek valószínűségi változóként értelmezhető fogalmak. Vizsgálatukhoz, a közöttük fennálló összefüggések leírásához, így az építményekre gyakorolt hatásuk figyelembe vételéhez is valószínűségelméleti módszereket kell használni. Vannak természetesen egészen egyszerű paraméterek is. Például jellemezni lehet a földrengésveszélyt a szeizmikus esemény

visszatérési periódusidejével Ez az adat azt mutatja, hogy egy meghatározott intenzitású rengés egy adott térségben bizonyos valószínűséggel hány évenként fordul elő. Az évadatok természetesen becslések, amelyeket korábbi megfigyelések, összehasonlító statisztikus vizsgálatok adatainak felhasználásával lehet javítani. A magnitúdó és maximális (epicentrális) intenzitás közötti, empirikus lineáris kapcsolatot elfogadva a MTA Szeizmológiai Obszervatóriuma a (154) képlet M = 0,6 I − 1,3 + 1,8 log H (156) alakú változatát használja. Ugyanez az intézmény a gyakoriság és az I 0 maximális intenzitás között, valamivel több mint 100 év megfigyelési anyagának alapján meghatározott állandókkal, a log N = 1,73 − 0.42 I 0 (157) képletet fogadja el. Eszerint például 4o intenzitású rengésre minden évben kell számítani, 6o intenzitású rengés nagyjából évtizedenként egy esetleg 19 Chile, 9,5 (l960), Alaska, 9,2

(1964). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 80 ► Mechanika Földrengés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 81 ► kettő fordul elő, 8o epicentrális intenzitású rengés egy évszázadban nagyjából kétszer pattanhat ki. Természetesen ez a kapcsolat is statisztikus jellegű A kéregben kialakuló rengések hatása hullámjelenségként érzékelhető az epicentrum környezetében (8.3 ábra) A hullámok a hypocentrumból indulnak. Többnyire a kompressziós (longitudinális) hullámok érik el először az epicentrumot és körzetét, valamivel később, kisebb sebességgel következnek a rendszerint jóval pusztítóbb hatású transzverzális hullámok. 8.3 ábra Földrengés-hullámok A földrengés fészke (a hypocentrum) és a felszín közötti tartományban a kialakuló kompressziós és transzverzális (nyírási) hullámok amplitúdói, valamint terjedési sebességük és a

csillapítások nagyságát befolyásoló, fontos tényező a felszín közeli talajok rétegzettsége, tömörsége, víztartalma. A felszín-közeli építményeket leginkább károsító nyírási hullámok v S terjedési sebessége például nagyobb a szilárdabb rétegekben, kőzetekben, tömör szemcsés talajokban, kemény agyagokban ( 800ms −1 < v S ), alacsony a laza homok- és iszaptalajokban, puha agyagokban ( v S < 200ms −1 ). A hullámok a rengés fészkétől távolodva csillapodnak, de az erősebb rengéseket a Föld szinte valamennyi obszervatóriumában érzékelik. A dinamikai hatások szempontjából – a tehetetlenségi erők kialakulását meghatározó szerepük miatt – a gyorsulások nagysága a legfontosabb kérdés. Ezzel összhangban a földrengés hatását az építmények veszélyeztetettségét jellemző egyik fontos alapadat az a g tervezési talajgyorsulás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 81 ►

Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 82 ► Ennek referenciaértékét egy-egy térségre, szeizmikus körzetre, és ott sziklatalajra vonatkoztatva szokás megadni. Ha a g ≤ 0,10 g , akkor a térség szeizmicitása alacsony20. Ha a g ≤ 0,04 g , akkor földrengés-hatásra nem kell méretezni az építményeket. Gyakorlati tapasztalat szerint egyetlen jellemző adattal nem lehet a talajkörnyezet építményt károsító potenciálját kielégítően jellemezni, de az a g gyorsulás elfogadható közelítéseket tesz lehetővé a szerkezetek méretezése szempontjából. A geológiai adottságok szerepe elsősorban a nagy méretű, környezetükre nézve nagy kockázatot jelentő létesítményeknél, például nukleáris létesítmények, völgyzáró gátak, földalatti létesítmények esetében fontos. A rengéshullámok terjedése, visszaverődése ugyanis a felszín közelében is nagy mértékben függ

korábban keletkezett vetők, más geológiai alakzatok jelenlététől. 8.4 Földrengések hatása épületekre, építményekre A földrengések hatása szinte minden elgondolható mérnöki létesítményt, szerkezetet fenyeget. Még az sem állítható, hogy elsősorban az erőtani, dinamikai következmények a legsúlyosabbak. Megsérülnek (eltörnek, elszakadnak) ugyanis az anyag- és energiaellátó vezetékek A földrengések legnehezebben megelőzhető következményei közé tartoznak ezért a tűzvészek, amelyek rendszerint az éghető anyagokat szállító vezetékek és a vízellátó rendszerek egyidejű tönkremenetele miatt következnek be. A szokványos építmények körében különösen a csekély húzószilárdsággal rendelkező (például falazott kő- és tégla) szerkezetek károsodhatnak. Általában sérülékenyek a tömbszerű épülettömegekből kinyúló szerkezeti elemek, az alapozásukhoz kis felületeken mereven kapcsolódó építmények. A

gyorsulást szenvedő testekre vonatkozó egyensúlyi egyenlet D’Alembert-féle (a 4.1 szakaszban megismert) értelmezésével összhangban, a tehetetlenségi erő hatására az ilyen szerkezetek „lerázódhatnak” alapozásukról, kéményeik, egyéb elemeik rögzítésüktől függően válhatnak el a nagyobb szerkezeti elemektől. A középmagas falazott építmények a legsérülékenyebbek. Merev falaik törések árán tudják csak a rájuk ható tehetetlenségi erőt áthárítani a többi szerkezeti elemre és az alapozásra. A tartószerkezetekben képlékeny alakváltozások keletkezhetnek, folyási mechanizmusok alakulhatnak ki 20 Utaltunk arra, hogy ez a helyzet Magyarország egész területén. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 82 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 83 ► A korábban már említett Európai Makroszeizmológiai Skála (MSK–92

skála) részletesen megadja az építési módokat (például acélvázas épület, vasbetonszerkezet, faanyagú szerkezet stb.) és ezeket sérülékenységi osztályokba sorolja (például vályogépület, megerősített betonszerkezet) Pontosan megadja a földrengés okozta épületkárok jellegét (hajszálrepedésektől a teljes pusztulásig) és százalékosan definiálja a régebbi, a földrengések intenzitását épületkárok alapján minősítő skálák „kevés”, „sok”, „majdnem minden” elnevezéseit. A földrengés építményekre gyakorolt hatása a dinamikai feladatok körében támaszmozgásként tárgyalt jelenséghez áll a legközelebb. A talajkörnyezetben haladnak el azok az összenyomódási és nyírási hullámok, amelyek a rengés centrumában keletkeztek A megrázott körzet geológiai szerkezete általában annyira változatos, hogy a hullámok iránya, visszaverődéseik, interferenciáik, a csillapodás pontosan szinte soha nem azonosítható,

mérésekkel sem (a nehézségek nagyobbak, mint azok, amelyekkel az építőmérnök a talajfeltárás megszokottabb korlátai vonatkozásában szembesül). Ezért van szükség gyakorlatias egyszerűsítő megfontolások sorára A sokféle hatás mennyiségi jellemzésére leggyakrabban alkalmazott közelítés szerint a talajkörnyezet gyorsulása használható kiinduló, gerjesztést jellemző adatként. Az általában térbeli állású gyorsulásvektor három komponensének periódusideje, amplitúdója szerencsés esetben mérési adatokból (akcelerogramokból) megállapítható, kikövetkeztethető. Ezeknek az adatoknak az ismerete a legfontosabb a földrengés-biztos szerkezetek tervezése, létrehozása szempontjából is. A gyorsulást rendszerint a gravitációs gyorsulás tört részeként adják meg (például 1 ms−2 ≈ 0.1g, 2 ms−2 ≈ 02g stb) Lényeges a gyorsulás csúcsértéke is, de még fontosabb az az időtartam, amely alatt – mindvégig – nagy a

gyorsulás. Ennek meghatározásához rendszerint a 005 s küszöbértéket használják, és azt adják meg, milyen hosszú időtartamban nagyobb a gyorsulás a küszöbértéknél A talajrezgések T periódusideje általában néhány tizedmásodperc (0,1 s < T < 0,5 s). A vízszintes síkban fellépő gyorsuláskomponenseknek általában fele-kétharmada a függőleges komponens. Minden építménynek állékonynak kell lennie a gravitációs térben. A gyakorlatban a teherviselő szerkezeteket természetesen az önsúly mellett ennél nagyobb értékű „függőleges” terhekre méretezik, a szabványok vagy előírt nagyságú biztonsági tényezők alkalmazásával. Emiatt a földrengéshullámok vertikális (függőleges irányú) összetevőjének hatása - eltekintve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 83 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 84 ►

különlegesen nagy rengésektől és szélsőségesen fenyegetett helyzetű építményektől - nem mértékadó. A vertikális irányú gyorsulásokat az építmények még akkor is károsodás nélkül viselik, ha a potenciális földrengések hatását a tervezésnél nem vették figyelembe. Sokkal fontosabb a horizontális (vízszintes síkba eső) gyorsulásösszetevő ismerete. Tapasztalatok szerint egy kritikus értéknél nagyobb vízszintes gyorsulás okozza a legjelentősebb károkat. Hatására röviden utalt már a 7.3 szakasz, amely megvilágította a támaszmozgás mibenlétét Alapvető fontosságú tapasztalat szerint szilárd talajon, néhányszor tíz kilométer távolságban kipattant, mérsékelten nagy (5 és 7 közötti magnitúdójú) földrengések esetében a maximális gyorsulás 0.05g és 035g közé esik A rengéshullámok laza talajon mért gyorsulása jóval nagyobb, mint ugyanazon földrengés hullámainak ugyanakkora távolságban, de kemény kőzeten

mérhető gyorsulása. Mi több, a rezgések az érintett körzetben a laza talajrétegek felszínén mintegy felerősödnek. Szomorú gyakorlati példát adott erre a Mexikóváros környéki, 1985 szeptember 19-i földrengés A város egyes – szilárd alapozásra épült – részei mérsékelten sérültek, míg a laza talaj fölötti épületek szinte teljesen elpusztultak. Mért akcelerogram hiányában számításokkal lehet meghatározni egy adott helyen a várható legnagyobb gyorsulásokat. A helyi geológiai viszonyok mellett ekkor szükség van egy bemeneti akcelerogramra is Az adott helyet érintő lehetséges földrengések távolságát, a rengéshullámokat gerjesztő diszlokáció (felszakadás, kipattanás) helyének és helyzetének adatait, az úgynevezett fészekmechanizmust és a várható legnagyobb rengés magnitúdóját kell figyelembe venni. Mivel igen sok és sokféle fészekmechanizmusú, magnitúdójú és távolságú rengés akcelerogramját

regisztrálták és tárolják az adatbankokban, rendszerint sikerül kiválasztani néhány bemeneti akcelerogramot, melyek elég jól jellemzik a veszélyeztetett létesítmény közelében elhelyezkedő földrengéses terület várható legnagyobb rengéseit. Feltételezve, hogy a szilárd alapkőzeten a gyorsulás az így kiválasztott bemeneti akcelerogram szerint fog változni, az építéshelyi geológiai viszonyok alapján számítani lehet azt is, hogy milyen gyorsulás várható a felszínen. 8.5 Károk és védekezési lehetőségek A földrengés hatásai soha nem célzottak, a természetes és az épített környezet minden elemére kiterjednek. Egy-egy 8-9 magnitúdójú rengés sűrűn lakott körzetekben százezernyi emberéletet követelhet (Kína, 1976, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 84 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 85 ► >300 ezer

áldozat, Indonézia, 2004, >200 ezer áldozat). Az anyagi veszteségek nagysága nagy mértékben függ az érintett körzet kiépítettségétől, nem ritka a 100 milliárd dolláros (Magyarország egy éves bruttó nemzeti össztermékének megfelelő nagyságú) kárösszeg. Ez az összkép az építőmérnöki tevékenység szinte minden eredménye szempontjából károsodást jelent (elhanyagolhatóan csekély annak a valószínűsége, hogy egy szerencsés helyen kipattanó rengésnek köszönhetően a pisai ferde torony függőlegessé válik21). Az épületekkel azonos mértékben veszélyeztetettek a közlekedési pályák, ideértve a földszerkezeteket is, a vízgazdálkodás valamennyi létesítménye, anyagellátó hálózatok és tárolók vezetékei és műtárgyai is. A magas intenzitású rengésekkel fenyegetett térségekben élő népesség tisztában van ezzel a ténnyel, és számol a kockázatokkal (Los Angeles, Istanbul, Tokyo, Lima a keserves, sőt tragikus

élmények ellenére ugyanúgy növekszik, mint a világ többi nagyvárosa). A tudomásul vétel a mérnöki tevékenységet keretező szabályozásban (szabványokban, technológiai előírásokban, üzemeltetési módokban) tükröződik. A dinamikai ismeretek és a tapasztalatok jelenlegi szintjén az is elfogadott adottság, hogy nem léteznek olyan tervezési és építési megoldások, amelyek még ésszerű ráfordítással teljes védelmet biztosítanak még valószínűsíthető erejű földrengések hatása ellen. Ebben a helyzetben a műszaki szabályozás alapelvként rögzíti a tervezéssel szemben támasztott követelményeket. Az európai szabályozás (az EUROCODE 8) a tervezés és kivitelezés számára három alapvető célt jelöl meg: • az emberi élet védelme, • a károsodások korlátozása, • a polgári védelmi rendszerek működőképességének fenntartása. A tervezési paraméterekkel összemérhető intenzitású (ésszerűen megválasztott

gyakorisággal várható) rengésekkel szemben az építménynek két szempontból kell megfelelnie: • elvárt cél az összeomlás elkerülése, ennek megfelelő teherbírási határállapotra kell méretezni; • a keletkező károk nagyságrendje kisebb kell legyen, mint a teljes újraépítés költsége; használhatósági határállapotot kell értelmezni és annak kell megfelelni. 21 mielőtt összedőlne. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 85 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 86 ► A károk megelőzése, korlátozása különleges, szerteágazó dinamikai tudást, szerkezettervezői kreativitást, különleges és költséges megoldások alkalmazására való készséget követel meg. Az építmények kialakításánál elsődleges szempont a várt gyorsulások nagyságának és jellegének helyes becslése. Az ezekre vonatkozó előírások és

várakozások ismeretében a függőleges és vízszintes teherhordó szerkezetek megválasztását adott esetben döntően meghatározhatja a nagy intenzitású fölrengéssel szembeni ellenálló képesség igénye. A kaliforniai építési előírások hatálya alatt tervezett magas épületek jelentős részénél például az önsúlyra és a hasznos terhekre vonatkozó megfelelőség gyakran csak ellenőrzési feladat – a szerkezeti kialakítást és a méreteket a földrengés esetére számított terhelések döntik el. A gyakorlott szerkezettervezés és kivitelezés a károk megelőzésének, mérséklésének fontos eszköze. Megfelelően erősített, rugalmas-képlékeny viselkedésre képes alapozások, energiaelnyelő elemek, csuklók, csomópontok valóban elérhetővé teszik a fentebb említett megfelelőségi célokat. A magyarországi előírások – az alacsony szeizmicitásnak köszönhetően – viszonylag szerény követelményeket támasztanak. Közvetlen

törvényi kötelezettséget nem ír elő törvény; az OTÉK (az országos településrendezési és építési követelményeket tartalmazó kormányrendelet) csak általánosságban említi azoknak a várható ártalmaknak a körében a földrengést, amelyek ellen védelmet kell nyújtani. A korábbi nemzeti szabvány (MSZ 15021/1) és az EUROCODE8 már közzétett magyar verziója (MSZ EN 1998–1:2005) egyaránt előírja, hogy az épületeket tervezni kell földrengésre. A nemzeti szabvány 2006-ban hatályos, részletes szövegezése ezt az általános kötelezettséget egyértelműen leszűkíti azzal, hogy hatósági előírás esetén rendeli figyelembe venni a földrengés hatását. Az MSZ EN (várhatóan 2009–2010-ben életbe lépő) előírásai nem lesznek enyhébbek. A Magyar Mérnöki Kamara Tartószerkezeti Tagozata ezért tervezési segédletet adott ki, és ajánlja ennek használatát. A segédlet a Magyarországon várható, kis intenzitású rengésekhez

tartozó ag relatív gyorsulások értékét három körzetre adja meg, és ezekbe besorolja a megyéket: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 86 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Földrengés Vissza ◄ 87 ► ag Megye 0,06g Békés, Borsod-Abaúj-Zemplén, Csongrád, Hajdú-Bihar, JászNagykun-Szolnok, Nógrád, Szabolcs-Szatmár-Bereg, Tolna 0,08g Baranya, Bács-Kiskun, Fejér, Győr-Moson-Sopron, Heves, Pest és Budapest, Somogy, Vas, Veszprém, Zala 0,10g Komárom-Esztergom A legkevésbé fenyegetett körzetben a segédlet néhány szerkesztési szempont érvényesítését javasolja. A második körzetben ajánlja a földrengésvizsgálat elvégzését, és ennek megkönnyítése végett – a bonyolult és munkaigényes szabatos vizsgálatot kiváltandó – helyettesítő statikai méretezési módszert ismertet. A legveszélyeztetettebb körzetben már műszakilag is indokolt a

vizsgálat, és azt az európai szabályozás hatályba lépése után el kell majd végezni, ezért (az építmények élettartamára is gondolva) célszerű azt már most megejteni. A tervező akkor jár el helyesen, ha erre – dokumentáltan – felhívja az építtető figyelmét A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 87 ► Mechanika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék Vissza ◄ 88 ► Irodalomjegyzék (felhasznált, illetve tanulmányozásra ajánlott szakirodalom) Vértes Gy. – Györgyi J: Mechanika, kinetika, kinematika Budapest, 1984, Tankönyvkiadó (J–9–1060 jegyzet, 2. kiadás) Heinemann, H. et al: Most már értem a fizikát Budapest, 1983, Műszaki Könyvkiadó. Györgyi J.: Dinamika 2006, Műegyetemi Kiadó Tongue, B.H, Sheppard, S,D: Dynamics – analysis and design of systems in motion. 2005, Wiley A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

◄ 88 ►