Fizika | Felsőoktatás » Váltakozóáram

12. VÁLTAKOZÓÁRAM 12.1 Váltakozóáramú mennyiségek leírása, ábrázolása és középértékei Az elektromágneses indukció kapcsán foglalkoztunk a szinuszosan váltakozó feszültség előállításával (l. 114 c) ) A feszültség időbeli lefolyását leíró egyenlet, mint láttuk, teljesen analóg a harmonikus rezgőmozgást leíró egyenlettel: u= Um sinωt. Ha ezt a feszültséget különböző áramköri elemekből (ohmos ellenállás, tekercs, kondenzátor) álló áramkörre kapcsoljuk, akkor a feszültség ω körfrekvenciájával megegyező, de általában fázisban eltolt áram folyik a körben i = I m sin (ωt + ϕ ) ahol ϕ ugyancsak a rezgőmozgásnál megismert kezdőfázis vagy fázisállandó. Hasonlóképpen a teljesítmény is periodikus függvénnyel lesz felírható. A váltakozó mennyiségeknek gyakori, de mégis speciális fajtája az, amely szinusz függvénnyel irható le. Ilyen például a villamos hálózat is, amelynél a frekvencia f=50 Hz

Az elektronikában számos helyen alkalmaznak másfajta feszültség- és áramjeleket. Mi tehát a közös jellemzője ezen mennyiségeknek? Mindenekelőtt az, hogy periodikus függvénnyel írhatók le, továbbá egy perióduson belül irányt váltanak, amely tehát azt jelenti, hogy pozitív és ugyanakkora negatív maximum között változik a pillanatnyi érték. A periódushossz kifejezhető a T =1/f periódus idővel, vagy a neki megfelelő α= ωT= 2π fázisszöggel Ennek megfelelően egy, a fenti követelményeknek megfelelő i = i(t) függvény a 96. ábrán látható módon ábrázolható. 96. ábra A szinuszosan váltakozó mennyiségek ábrázolásával az előzőekben már többször foglalkoztunk. A 97. a) ábra az i = I m sin ωt függvénnyel leírt szinuszos áram ábráját mutatja. 1 97. ábra A b) ábrán ugyanezen függvény ún. vektoros ábrázolási módját láthatjuk Ennek lényege a következő: az áramerősség Im maximális értékével arányos

hosszúságú vektort forgatunk a váltakozóáram körfrekvenciájának megfelelő ω állandó szögsebességgel. Az ωt=0 fázishelyzetet válasszuk úgy, hogy a vektor az X tengely pozitív irányába mutasson Az Y tengelyen az Im vektor vetülete minden pillanatban az i = i(t) függvény pillanatnyi értékét adja Ha már most két azonos frekvenciájú, de f fázissal eltolt áramfüggvényt kell ábrázolni, akkor ez a matematikából ismert függvénytranszformáció helyett lényegesen egyszerűbben adódik a vektoros ábrázolási módban. Legyen az egyik függvény i1 = I m1 sin ωt a másik i2 = I m 2 sin ωt + ϕ és legyen ϕ < 0. 98. ábra A 98. a) és b) ábra mutatja a kétféle ábrázolási módot A b) ábra az azonos ω szögsebességgel, pozitív forgásirányba forgó vektorok α=ωt=π/2 fázishelyzetét mutatja Bármely helyzetben azonban a két vektor által bezárt szög az állandó ϕ fáziskülönbségnek megfelelő értéknek felel meg 2 A

most ismertetett idő-vektoroknak (időbeli változást szemléltetnek) jelentősége tehát abban van, hogy az azonos frekvenciával változó szinuszos mennyiségek közötti fázisviszonyokat áttekinthető módon szemléltetik. A leírtak értelemszerűen alkalmazhatók természetesen feszültségre is, vagy bármilyen szinuszosan váltakozó mennyiségre A váltakozóáram mérése és hőhatása felveti a gondolatot, hogy a pillanatról-pillanatra változó érték helyett mit mutat a műszer, vagy az ellenállásban fejlődő hő mivel arányos? A mérési gyakorlaton láthatjuk, hogy a váltakozóáramú ampermérő vagy voltmérő nem követi az áramerősség vagy feszültség ingadozását, hanem meghatározott, állandó értéket mutat. Az áram hőhatásán alapuló villamos berendezések (pl. villamos fűtőberendezések) egyen- és váltakozóárammal egyaránt működtethetők. Az elmondott esetekben a váltakozóáramnak mindig valamely időbeli középértékéről

van szó, amellyel hatás szempontjából helyettesíthetjük. A leggyakrabban használt középértékek az abszolút középérték és az effektív érték Az abszolút középérték a függvény abszolút értékének egy periódusra vett átlagértéke, vagyis egy olyan időben állandó áramerősség (la) amelynek a T periódusidővel való szorzata az i (t ) függvénynek egy periódusra számított integráljával egyenlő. Tehát T I aT = ∫ i (t ) dt 0 amelyből T Ia = 1 i (t ) dt T ∫0 Tiszta váltakozóáram esetén (a jelleggörbe a t tengelyre szimmetrikus) la az egyenirányítással nyert „lüktető egyenáram” átlag értékének felel meg. Az effektív értéket a függvény négyzetének egy periódusra vett átlagértékéből számítjuk: T I eff T = ∫ [i (t )] dt 2 2 0 amelyből I eff = 1 T T ∫ [i(t )] dt 2 0 Ezen középérték az áram munkájával van összefüggésben. Ha az uiIeff2T kifejezést megszorozzuk R-rel, akkor az

ellenállásban T idő alatt fejlődő hőt kapjuk: Q = I eff RT 2 Ez az összefüggés nem más, mint Joule törvénye (lásd 9.6 alfejezet) Ennek alapján a váltakozóáram effektív értékének fizikai értelmezését a következőképpen adhatjuk meg: A váltakozóáram effektív értéke megfelel annak az egyenáramnak, amely valamely R ellenállásban T idő alatt ugyanannyi hőt termel. 3 Mivel a gyakorlatban az effektív érték használata a leggyakoribb, az eff jelölést általában nem írjuk ki. A továbbiakban az Ieff = I jelölést alkalmazzuk A fenti definíciók értelemszerűen alkalmazhatók feszültségre és egyéb váltakozó mennyiségre is Alkalmazásképpen számítsuk ki az i = Im sinωt függvénnyel leirt szinuszos áram abszolút középértékét és effektívértékét. Ia = 1 T T ∫I m sin ωt dt = 0 T 2 2 2π I m sin dt ∫ T 0 T I  2π I a = − m cos T π  T 2 2  t = Im 0 π A szinuszos váltakozóáram

abszolút középértéke tehát maximális érték 2/π-szerese. Az effektív érték: T 1 I = ∫ I 2 m sin 2 ω t dt T 0 2 A sin 2 ωt = 1 − cos 2ωt 2 linearizáló formulát felhasználva 2 I I = m 2T 2 T T  I2  ∫ dt − ∫ cos 2ωt dt  = m   2 0 0  mert a második integrál zérust ad eredményül, mivel a cos 2ωt függvény T/2 szerint periodikus. Így I= Im 2 A szinuszos váltakozó áram effektív értéke tehát a maximális érték 2 -ed része. A hazánkban rendszeresített hálózati váltakozóáram szinuszos, frekvenciája 50 Hz, effektív értéke U =220 V. A maximális vagy csúcsértéke a fentiek alapján Um = 220 2 ≅ 310 V. Ellenőrző kérdések 1. Írjon fel egy szinuszosan váltakozó feszültséget és ábrázolja a függvényt! 2. A váltakozóáramú mennyiségeket leíró függvényeknek melyek a tulajdonságai? 3. Rajzolja fel egy szinuszosán váltakozó feszültség és hozzá képest fázisban eltolt

áramerősség vektorábráját! 4. Írja fel és értelmezze (grafikusan is) a váltakozóáram lineáris középértékét! 5. Hogyan számítja ki az effektív értéket? Alkalmazza az általános formulát szinuszosan váltakozó feszültségre! 6. Adja meg az effektív érték fizikai értelmezését! 4 12.2 Fázisviszonyok a váltakozóáramú körökben A váltakozóáramú körök kapcsolási elemei az R ohmos ellenállás, az L induktivitású tekercs és a C kapacitással megadott kondenzátor. A három kapcsolási elem az egyenáramú áramkörökhöz hasonlóan lehet sorba, párhuzamosan vagy vegyesen kapcsolva. A tekercs és a kondenzátor az ohmos ellenálláshoz hasonlóan a töltésáramlással szemben ellenállást jelent, de ezenkívül fáziseltolást is eredményez a rajta átfolyó áram és a kapcsán mérhető feszültség között. Mielőtt rátérnénk a különböző kapcsolású áramkörökre, vizsgáljuk meg külön-külön a három kapcsolási elemnek

a váltakozóáramra gyakorolt hatását. a) Tiszta ohmos ellenállás: a 99. ábrán látható R ohmos ellenállásra szinuszosan váltakozó feszültséget kapcsolunk: u = U m sin ωt 99. ábra E feszültség hatására az áramkörben a feszültség frekvenciájával megegyező frekvenciájú áram folyik, amely az R ellenálláson Ri feszültséget hoz létre. Az áramkörben a feszültség összege: u = iR = 0 amelyből az i áramerősségre az u(t) függvény behelyettesítésével Um sin ωt R adódik. Az Um/R hányados Ohm törvénye alapján az áramerősség Im maximális értékét adja meg. Ezt figyelembe véve i= i = I m sin ωt Összehasonlítva az u(t) és i(t) függvényeket, láthatjuk, hogy tiszta ohmos ellenállás esetén az áramerősség azonos fázisban változik a feszültséggel (fázisban vannak). Ezt szemlélteti a 100 a) és b) ábra is 5 100. ábra b) Tekercs áramköre, tiszta induktív ellenállás: az L induktivitású ideális (ohmos

ellenállása zérus) tekercsre koszinuszos feszültséget kapcsolunk. (Lényegileg nem különb a szinuszostól, csupán a t=0 időpillanat megválasztásától függ, hogy milyen függvénnyel írjuk le) (101. ábra) u = U m cos ωt 101. ábra A feszültség hatására ω frekvenciájú, időben váltakozó áram folyik az áramkörben, di amely a tekercsben u = − L feszültséget indukál. dt Az áramkörben a feszültségek összege: u=L di =0 dt Ezen elsőrendű differenciálegyenlet megoldásaként megkapjuk az i= i( t) függvényt: ∫ di = Um cos ωt dt L ∫ i= 6 Um sin ωt + C Lω A t=0; i=0 kezdeti feltétel felhasználásával C=0. Tehát az áramerősség, mint az idő függvénye: i= Um sin ωt Iω Az I m = UIωm kifejezés az áramerősség maximális értékét adja. Ohm törvénye alapján a nevezőben szereplő Lω ellenállás-jellegű mennyiség, amelyet xL-lel jelölünk, és a tekercs induktív ellenállásának, vagy másként induktív

reaktanciájának nevezünk. x L = Lω Az induktív reaktancia, mint látjuk, frekvenciafüggő, vagyis ugyanazon tekercsnek különböző frekvenciájú váltakozóárammal szemben más az ellenállása. A koszinuszosan váltakozó feszültség hatására az ideális tekercs áramkörében szinuszos áram folyik, amely π/2 fázisszöggel késik a feszültséghez képest. π  i = I m sin ωt = I m cos ωt −  . 2  Az áram és feszültség közötti fázisviszonyt a 102. a) és b) ábra szemlélteti A tekercs fáziskésleltető hatása az önindukció jelensége miatt lép fel, és az áram tehetetlensége nyilvánul meg benne. 102. ábra A tárgyalt eset ideális tekercsre vonatkozik, amelynek tiszta induktív ellenállása van. Gyakorlatilag ilyennek tekinthető az a valóságos tekercs is, amelyre fennáll, hogy R<< XL. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a tekercs áramkésleltető hatása kisebb mértékű, és a fáziseltolás szöge 0 < ϕ <

π/2 határok között van. Az ilyen tekercset sorba kapcsolt tiszta induktív és ohmos ellenállással vehetjük figyelembe c) Kondenzátor áramköre, kapacitív reaktancia. Kapcsoljunk a 103. ábrán látható C kapacitású kondenzátorra szinuszosan váltakozó feszültséget 7 u m = U m sin ωt 103. ábra A váltakozófeszültség hatására az egyenáramtól eltérően állandósult töltésáramlás jön létre, mivel a kondenzátor félperiódusonként feltöltődik és kisül, majd ellentétes polaritással ismét feltöltődik és kisül. A kondenzátoron a töltés valamely t időpillanatban legyen q, feq szültsége u. A kondenzátorok alapegyenlete (Q=CU) szerint: u = C Az áramkörben a feszültségek összege: u− q =0 C vagyis U m sin ωt = q C amelyből q = CU m sin ωt Az áramerősség i = dq , tehát a q=q(t) függvényt deriválva dt i = CωU m cos ωt . A CωUm kifejezés az áramerősség maximális értékét adja: im=CωUm. Ohm törvénye

alapján a kondenzátor kapacitív ellenállása, vagyis a kapacitív reaktancia: X c = C1ω amely az induktív reaktanciához hasonlóan frekvenciafüggő. A szinuszosan váltakozó feszültség hatására a kondenzátor áramkörében tehát π  i = I m cos ωt = I m sin  ωt +  2  áram folyik, amely a feszültséghez viszonyítva π/2 fázisszöggel, azaz T/4 periódussal siet. A 104. a) és b) ábra szemlélteti a feszültség és az áram fázisviszonyát 8 104. ábra Mindez az ideális kondenzátorra igaz, amelynek fegyverzetei között vákuum vagy tökéletes szigetelő van, és amely ezáltal egyenárammal szemben végtelen-nagy ellenállást jelent. A valóságos kondenzátort párhuzamosan kapcsolt tiszta kapacitív és ohmos ellenállással vehetjük figyelembe. Ebben az esetben a fáziseltolás szöge 0 < ϕ < π/2 Ellenőrző kérdések 1. Milyen fázisviszony van az áram és a feszültség között tiszta ohmos, tiszta induktív és

tiszta kapacitív ellenállás esetén? 2. Írja fel mindhárom esetben az u(t) és i(t) időfüggvényeket és ábrázolja azokat! 3. Hogyan számítja ki az induktív reaktanciát? Ábrázolja ω függvényében! 4. Hogyan számítja ki a kapacitív reaktanciát? Ábrázolja ω függvényében! 9 12.3 A váltakozóáram munkája és teljesítménye A váltakozóáramú áramforrások (generátorok) által termelt energia vezetékeken keresztül jut el a fogyasztókhoz és kerül felhasználásra. A mai korszerű ipar és annak fejlesztése elképzelhetetlen ezen igen fontos energiahordozó nélkül A megtermelt villamos energia szállítása és felhasználása számos technikailag és gazdaságilag fontos problémát vet fel Ezek nagy részével a szaktárgyak foglalkoznak, e tárgy keretében most is, mint eddig tettük, azokat az alapismereteket tárgyaljuk, amelyek a gyakorlati problémák megoldásának forrásai. Az áramforrásból és fogyasztókból álló zárt

váltakozóáramú körben, mint láttuk, általában fáziseltolás van a tápláló feszültség és az áramkörben folyó áram között. Például egy villamos motor, mint fogyasztó, ohmos és induktív ellenállást jelent, és így soros R-L áramkörnek tekinthető Az általa mechanikai munka formájában hasznosított villamos energia nagymértékben függ attól is, hogy milyen fázisviszony alakul ki az áramkörében Maradjunk tehát annál a péIdánál, ahol az induktív reaktancia miatt az áram késik a feszültséghez képest valamely ϕ fázisszöggel (ϕ <0). A feszültség- és áramfüggvények: u(t) = Um sin ωt; i(t) = Im sin (ωt + ϕ). A teljesítményt az áramerősség és a feszültség szorzataként kapjuk: p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin ωt sin (ωt+ϕ). A trigonometriából ismeretes sinα sinβ = 1 (cos (α-β) – cos(α+β) kifejezést felhasználva: 2 1 Um lm (cos (-ϕ) - cos (2ωt+ϕ)). 2 I U 1 Mivel U = m , illetve I = m , ezért U m I m = UI ,

továbbá cos(-ϕ)=cosϕ, 2 2 2 így a teljesítményfüggvény: p(t) = p(t ) = UI cos ϕ − UI cos(2ωt + ϕ ) . A váltakozóáramú teljesítmény, mint látható, két komponensből tevődik össze: a P = UI cos ϕ hatásos teljesítményből, amely nem függ t-től, és az UI cos(2ωt + ϕ ) teljesítménykomponensből, amely az áram és a feszültség frekvenciájának kétszereséveI (2ω) változik. 10 105. ábra A 105. ábra grafikusan szemlélteti a leírtakat A P teljesítményre (amelyet az ábrán a t tengellyel párhuzamos egyenes szemléltet) szuperponálódik a váltakozó teljesítménykomponens. A hatásos teljesítmény mértékegysége: [p] = W (watt) A váltakozóáram dt idő alatt végzett munkája a teljesítmény p = ján: dW = p(t )dt . A T periódus alatt végzett munka tehát dW definíciója alapdt T W = ∫ p(t )dt 0 integrállal számítható, amely grafikusan a p(t) görbe alatti területtel szemléltethető. A területre, amint azt a

határozott integrál fogalmából tudjuk, előjeles számot kapunk Fizikailag ezt úgy értelmezhetjük, hogy a pozitív munka fogyasztó által felvett munka, mivel a fogyasztónál az áramerősség és a feszültség iránya (és így előjele is) megegyezik. A negatív munka az áramforrás által leadott munka, mivel az áramforráson az áramerősség a kapocsfeszültséggel ellentétes irányú (lásd a 33. ábrát) Végezzük el az integrálást a levezetett p = p(t) függvényünkre: T T 0 0 W = UI cos ϕ ∫ dt − UI ∫ cos(2ωt + ϕ )dt Az első integrál értéke: UI cos ϕT = PT A második integrál eredménye zérus, mivel T/2 szerint periodikus függvény szerepel az integranduszban. Munkát tehát csak a hatásos teljesítmény végez, az elnevezés is ebből adódik Ennek alapján a hatásos teljesítmény úgy értelmezhető, mint a váltakozó teljesítmény időbeli középértéke. T W = PT = ∫ p(t )dt 0 amelyből 11 T 1 P = ∫ p(t )dt T 0 A p=p(t)

függvény 2ω frekvenciával váltakozó komponensét meddő teljesítménynek nevezzük, mivel T periódus alatt végzett munkája mindig zérus. A hatásos teljesítmény értéke az áramerősség és a feszültség effektív értékein kívül függ még cosϕ -től, amelyet teljesítménytényezőnek hívunk. Tiszta ohmos terhelés esetén ϕ = 0, tehát cosϕ = 1 és P = UI. Ebben az esetben az egész teljesítménygörbe a t tengely felett van. 106. ábra A teljesítményfüggvény: p(t ) = UI − UI cos 2ωt A 106. ábra tisztán ohmos fogyasztó teljesítmény jelleggörbéjét mutatja Tisztán reaktív ellenállás esetén (pl. ideális tekercs vagy kondenzátor) ϕ = ± π/2, tehát cos ϕ = 0 és P = 0. Ekkor csak meddő teljesítményről beszélhetünk A teljesítményfüggvény: π  p(t ) = −UI cos 2ωt ±  = ±UI sin 2ωt t 2  ahol a pozitív előjel a ϕ=π/2 miatt kondenzátorra, a negatív előjel ϕ= - π/2 miatt tekercsre vonatkozik. 12

107. ábra A 107. ábra tisztán induktív reaktancia teljesítmény jelleggörbéjét mutatja (kondenzátor esetén a t tengelyre tükrözni kell a p(t) görbét). Mindkét esetben a t tengely feletti és alatti területek egyenlőek, vagyis T/4 periódusonként a tekercs is és a kondenzátor is váltakozva, fogyasztóként és energiaforrásként viselkedik. Az átlag teljesítmény T periódusra zérussal egyenlő, tehát az áramforrás számára nem jelent fogyasztást 13 Az UI cos (2ωt + ϕ) meddő teljesítményt ismert trigonometrikus összefüggés felhasználásával a következő alakban is felírhatjuk: UI (cosϕ cos2ωt – sinϕ sin2ωt) Mint láttuk, a sin2ωt függvény utal a tiszta meddő teljesítményre. Ezen komponens amplitúdója UI sinϕ, amely egy időtől független Q meddő teljesítményt ad: Q = UI sinϕ. Mértékegysége: [Q] = var A hatásos és meddő teljesítményen kívül használatos még az ún. látszólagos teljesítmény, amelyet az

áramerősség és a feszültség effektív értékeinek szorzataként értelmezünk: S = UI. Mértékegysége: [S] = VA A 105. ábra az induktív jellegű fogyasztó jelleggörbét szemlélteti Ennek megfelelően az áramerősség és feszültség fázisviszonyát a 108. a) vektorábra mutatja Bontsuk fel az áramerősséget a feszültség irányába mutató Ih és arra merőleges Im komponensekre. Az így kapott Ih = I cosϕ, ill Im = I sinϕ áramoknak az U feszültséggel való szorzata a P, ill. Q teljesítményt adja: P = UIh = UI cosϕ Q = UIm = UI sinϕ A három teljesítmény (P, Q és S) közötti kapcsolatot a 108 a) ábrához hasonló paralelogrammával szemléltethetjük (108 b) ábra). A P hatásos teljesítményt wattmérővel közvetlenül mérhetjük. Az S látszólagos teljesítmény az ugyancsak mért U feszültség és I áramerősség ismeretében kiszámítható. Ezek ismeretében A Q meddő teljesítmény az ábra alapján a következő módon számolható: Q =

S 2 − P2 . Végezetül egy gyakorlati problémára hívjuk fel a figyelmet. A P = UI cosϕ összefüggés alapján a hatásos teljesítmény függ a ϕ fázisszögtől Az energiaátvitel szempontjából a hatásos teljesítmény növelése a célszerű, amelyet a fázisszög csökkentésével érhetünk el. Ha induktív jellegű terhelésről van szó (pl. motor), akkor az induktív ellenállás fáziskésleltető ha14 tását kondenzátorral kompenzálhatjuk. Komplex számítási mód, az Ohm-törvény általánosítása Szinuszos áramú hálózatokban az áramerősségek és feszültségek szinuszosan változnak. Az ilyen jeleket szinusz- és koszinusz függvényekkel egyaránt leírhatjuk, csupán a t = 0 időpillanat megváltozásától függ, hogy melyik függvényt alkalmazzuk. Ezen időfüggvények, mint korábban is láttuk: u(t) = Um sin(ωt+ϕ1) i(t) = Im sin(ωt+ϕ2) ahol ϕ1 és ϕ2 a feszültség, ill. az áramerősség kezdő fázisszöge Az időfüggvények

ábrázolása, mint láttuk, igen egyszerű, ha ω szögsebességgel forgó vektoroknak tekintjük őket. A 109 ábra a két függvényt szemlélteti valamely t időpillanatban, feltéve, hogy ϕ1>0, ϕ2>0 és ϕ1>ϕ2 Az áram és feszültség közötti fáziseltolási szöget a ϕ = ϕ1 - ϕ2 fázisok különbségeként értelmezzük. Általában a t = 0 időpont megfelelő megválasztásával az egyik mennyiség kezdő fázisa zérusnak vehető. Legyen például ϕ1 = 0, akkor ϕ = -ϕ2, amely azt mutatja, hogy az áram késik a feszültséghez képest. A fenti időfüggvényekkel számolva, az áramkörökre felírt Kirchoff egyenletek, mint láttuk, differenciálegyenletekhez vezetnek. Pl a 110 ábrán látható soros RLC körre felírható egyenlet: L di 1 + Ri + ∫ idt = U m sin ωt dt C 15 ahol a baloldalon rendre a tekercsen, az ohmos ellenálláson és a kondenzátoron eső UL , UR és dq UC feszültségek szerepelnek. Ezen integrálos tagot is tartalmazó

egyenlet az i = figyedt lembevételével L d 2q dq q +R + = U m sin ωt 2 dt C dt alakban írható. Ez már egy tiszta másodrendű differenciálegyenlet, amelynek a rövid idő alatt kialakuló állandósult állapotra vonatkozó partikuláris megoldásával foglalkozunk a következőkben. Szinuszos hálózatoknál ezen egyenlet megoldása a komplex időfüggvények bevezetésével lényegesen leegyszerűsödik, ugyanis a probléma komplex algebrai egyenletek megoldására vezethető vissza. Az u (t ) = U m cos(ωt + ρ1 ) valós időfüggvényhez u(t ) = U m e j (ωt + ρ1 ) = U m e jρ1 e jωt (1.) egyenlettel megadott komplex időfüggvényt rendelhetjük. (A komplex függvények, mennyiségek vastagon szedve lesznek jelölve) Ha ugyanis trigonometrikus alakba átírjuk a komplex függvényt, vagyis u(t ) = U m (cos(ωt + ρ1 ) + j sin (ωt + ρ1 )) ; akkor a valós rész a kiindulásként felvett koszinuszos feszültséget adja. Ha szinuszos feszültségből indulunk ki, akkor

annak a komplex függvény képzetes része felel meg A komplex időfüggvényeknél tehát vagy a valós, vagy a képzetes résznek tulajdonítunk fizikai realitást. A komplex áramerősség hasonlóképpen i (t ) = I m e j (ωt + ρ 2 ) = I m e jρ 2 e jωt (2.) alakban írható fel. A komplex mennyiségek mint tudjuk, a komplex számsíkon ábrázolhatók Az elektronikában – a matematikától eltérően – a függőleges tengelyt szokás valóstengelynek, a vízszintest a képzetes tengelynek tekinteni, tehát 900-kal pozitív irányba forgatjuk el a rendszert. A fenti egyenletekkel leírt komplex időfüggvények abszolút értéke a feszültség, ill az áramerősség komplex amplitúdója: 16 U m = U m e jρ1 , ill. I m = I m e jρ 2 Mivel szinuszos mennyiségekről van szó, 2 -vel osztva az effektív értéket kapjuk. A komplex effektív értékek tehát a feszültség és áramerősség effektív értékével kifejezve: U = Ue jρ1 , ill. I = Ie jρ 2 Az 1. és 2

kifejezéseket az Um , ill Im komplex amplitúdókkal a következő alakban írhatjuk: u(t ) = U m e jρ1 e jωt = U m e jωt (3.) i (t ) = I m e jρ 2 e jωt = I m e jωt (4.) Az Um , ill. Im komplex mennyiségek a komplex számsíkon egy-egy vektorral ábrázolhatók, és ω szögsebességgel pozitív irányba körbeforgatva, az 1. és 2 egyenlettel megadott időfüggvényeket írják le A 111 a) ábrán a t = 0 időpillanatban ábrázoltuk a komplex vektorokat Ekkor e jωt = 1 és u(t ) = U m , ill. i (t ) = I m A b) ábra egy negyed periódussal későbbi fázishelyzetet mutat, amikor e jω T 4 =e jω π 2 = j , vagyis u(t ) = jU m , ill. i (t ) = jI m A j-vel való szorzás a vektoroknak 900-kal való elforgatását jelenti, amely a két ábra egybevetéséből is kitűnik. A komplex vektorokkal az időfüggvények és az egymáshoz viszonyított fázishelyzetek ugyanúgy szemléltethetők, mint ahogy azt a korábbi fejezetekben láttuk Egy há17 lózat

vektorábrájának elkészítésénél a t=0 időpillanatot tetszőlegesen választhatjuk meg. Ez azt jelenti, hogy egy áram vagy feszültség fázisszögét szabadon választhatjuk és ezzel a hálózat valamennyi áramának és feszültségének a fázisszögét rögzítettük. Az Ohm-törvény általánosítása Az egyenáramú áramköröknél láttuk, hogy a feszültség és az áramerősség hányadosa az ellenállással egyenlő: R= U I A 3. és a 4 függvények által megadott komplex feszültség és áramerősség hányadosa szintén ellenállás jellegű mennyiséget ad, amelyet komplex impedanciának nevezünk és Z-vel jelölünk. Z= u(t ) U m e jρ1 e jωt U m e jρ1 U m = = = i (t ) I m e jρ 2 e jωt Im I m e jρ 2 A Z impedancia, mint látható, az Um és Im komplex amplitúdók hányadosával egyenlő, amely viszont a komplex effektív értékek hányadosával egyezik meg: Um U = Im I vagyis Z= U I U = IZ (5.) A fenti összefüggés az Ohm-törvény

váltakozó áramokra általánosított alakja, amely a komplex effektív értékek és a komplex impedancia közötti összefüggést adja meg az egyenáramú köröknél megismert formában (U = IR). Visszatérve az impedanciára, az 5. összefüggés alapján az U = Ue jρ1 , ill . I = Ie jρ 2 komplex effektív értékek behelyettesítésével a következőt írhatjuk: Z= U Ue jρ1 U j ( ρ1 − ρ 2 ) = jρ 2 = e I I Ie U hányados a komplex impedancia Z abszolút értéke, a ρ1 − ρ 2 pedig Z arkusza, I amely a feszültség és az áramerősség közötti ρ fázis eltolódási szögnek felel meg. Tehát a komplex impedancia általánosan: Z = Ze jρ Az alakban írható. Az impedancia időtől független komplex szám, amelynek abszolút értéke és arkusza az áramkörökben szereplő kapcsolási elemektől és paraméterektől függ. Váltakozó áramú körök impedanciájának számítása 18 a.) Tiszta ohmos ellenállás: R paraméterrel megadott ellenállásra

váltakozó feszültséget kapcsolva, az áramkörben folyó áram a feszültséggel fázisban van, tehát ρ1 = ρ 2 Ekkor U Ue jρ1 U Z = = jρ 2 = = R I I Ie Tehát: ZR = R vagyis az impedancia tiszta valós szám. b.) Tiszta induktív ellenállás: L induktivitású tekercsre váltakozó feszültséget kapcsolva, az áramerősség π 2 fázisszöggel késik a feszültséghez képest, tehát ρ 2 = ρ1 − π 2 . Ekkor π Z= Ue jρ1 U j U = = e 2 π  j  ρ1 −  I I Ie  2  A feszültség és az áramerősség effektív értékének hányadosa az XL induktív reaktanciát adja meg, e j π 2 viszont j-vel egyenlő. Így Z L = jX L vagyis az impedancia tiszta képzetes szám. c.) Tiszta kapacitív ellenállás: C kapacitású kondenzátorra váltakozó feszültséget kapcsolva, az áramerősség π 2 fázisszöggel siet a feszültséghez képest, tehát ρ 2 = ρ1 + π 2 . Ekkor π Ue jρ1 U U −j Z= = = e 2 π  j  ρ1 +  I I Ie

 2  π −j U hányados az XC kapacitív reaktanciával egyenlő, e 2 viszont –j alakban írható. Tehát I Z C = − jX C vagyis az impedancia tiszta képzetes szám. Ohmos és reaktív ellenállásokat tartalmazó áramköröknél az eredő impedancia valós és képzetes részt tartalmazó komplex szám. Az impedancia valós része az R ohmos ellenállás, a képzetes része az X reaktancia. A komplex impedancia általánosan tehát a következő alakban írható fel: Z = R + jX Az Az impedancia abszolút értékét látszólagos ellenállásnak nevezzük: Z = R2 + X 2 Az impedancia szöge: X R Az egyenáramú köröknél láttuk, hogy a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállásának meghatározásánál az ellenállások reciprokát kell figyelembe venni. Célszerű a váltakozó áramú köröknél is bevezetni a reciprok ellenállásokat. A komplex impedancia reciprokát admittanciának nevezzük, és Y-nal jelöljük. ρ = arctg 19 1 = G + jB Z

Ahol a G valós rész a hatásos vezetőképesség, a B képzetes rész pedig az ún. szuszceptancia Az admittancia abszolút értéke: Y = Y = G2 + B2 Az admittancia szöge: B G Az admittancia értelmezéséből következik, hogy az abszolút értéke az impedancia abszolút értékének reciproka, az arkusza pedig az impedancia fázisszögének –1-szerese. Ugyanis ρ = arctg Y = 1 1 = e − jρ = Ye jρY jρ Z Ze Az előzőekben tárgyalt speciális esetekre felírva az admittanciákat: YR = 1 =G R 1 = − jB L jX L 1 YC = = jBC − jX C YL = A következőkben lássunk néhány példát a leírtak alkalmazására. Soros áramkörök: a 112. ábra tiszta soros RLC áramkört mutat Az áramkör eredő impedanciáját a ZR , ZL , ZC impedanciák összeadásával nyerjük Tehát Z = R + jX L − jX C Z = R + j(X L − X C ) Az áramkör látszólagos ellenállása: Z = R 2 + (X L − X C ) Az impedancia szöge: ρ = arctg 20 XL − XC R 2 A ϕ impedanciaszög előjele

az XL és XC reaktív ellenállások nagyságától függ. A 113 ábrán XL > XC esetre ábrázoltuk az impedanciát, ekkor ϕ>0. Mivel az impedanciaszög a feszültség és az áramerősség közötti fáziseltolási szöget adja meg, ϕ = ϕ1-ϕ2 , ezért ebben az esetben ϕ2 < ϕ1, vagyis az áram késik a feszültséghez képest (az áramkör induktív jellegű). Ellenkező esetben (XL < XC) kapacitív jellegű az áramkör, vagyis ϕ2 > ϕ1 Speciális eset adódik akkor, ha XL = XC . Ekkor Z = R és ϕ = 0, vagyis az áramkör tiszta ohmos ellenállásként viselkedik A soros RLC körre leírtak értelemszerűen magukban foglalják a két sorba kapcsolt elemre vonatkozó ismereteket is. (Soros RL, RC és LC áramkörök) Párhuzamos áramkörök: A 114. ábra tisztán párhuzamos RLC áramkört mutat Ebben az esetben az áramkör eredő admittanciáját tudjuk egyszerűen felírni az YR , YL , YC admittanciák összegezésével: Y = G − jB L + jBC Y = G + j (BC

− BL ) Az admittancia abszolút értéke: Y = G 2 + (BC − BL ) 2 Az admittancia szöge: ρ Y = arctg BC − BL G 21 A 115. ábra az XL > XC azaz BL < BC esetet szemlélteti Mivel most ϕY > 0, ezért az impedancia ϕ fázisszöge negatív (ϕ2 > ϕ1), tehát az áramerősség siet a feszültséghez képest (kapacitív jellegű áramkör). Hasonlóan a soros áramkörhöz, itt is további két eset, a ϕ2 < ϕ1 és a ϕ2 = ϕ1 lehetséges. Az admittancia ismeretében a Z impedanciát már egyszerűen megkapjuk, 1 mivel abszolút értéke Z = , fázisszöge ρ = − ρ Y . A két párhuzamosan kapcsolt elemet tarY talmazó RL, RC és LC áramkörökre a fent leírtak értelemszerűen alkalmazhatók. Vegyes kapcsolás: tekintsük a 116. ábrán látható sorba kapcsolt R és L elemekből és ezekkel párhuzamosan kapcsolt C elemből álló áramkört. Az RL tag impedanciája: Z 1 = R + jX L Az impedancia szöge: ρ1 = arctg XL R A C ág impedanciája

tisztán képzetes: Z 2 = − jX C Mivel a Z 1 és Z 2 impedanciák párhuzamosan vannak kapcsolva, ezért 1 1 1 ; = + Z Z1 Z2 vagyis Z1 Z2 . Z= Z1 + Z2 Behelyettesítve: (R + jX L )(− jX C ) . Z= R + jX L − jX C 22 A kijelölt műveleteket elvégezve, majd a valós és képzetes részeket szétválasztva kapjuk: RX C2 X C (R 2 + X L2 − X L X C ) . j − Z= 2 2 R 2 + (X L − X C ) R + (X L − X C ) A feladatot megoldhatjuk úgy is, hogy az admittanciákat összegezzük. A felső ág Y1 admittanciája: R − jX L R X 1 . = 2 = 2 −j 2 Y1 = 2 2 R + jX L R + X L R + X L R + X L2 A kapacitív ág admittanciája: 1 Y2 = j = jBC . XC Az eredő admittancia a kettő összege: Y = Y1 + Y 2 =  1 X R + j  − 2 L 2 2 R + XL  XC R + XL 2   .  Az összefüggéseket a 117.ábra mutatja Egyes áramköri feladatok megoldásánál az admittancia számítása nem csak egyszerűbbnek tűnik, hanem célszerűbb is, mivel pl. az áramerősség kiszámítása

szorzási művelettel végezhető el: U I = = UY . Z Ellenőrző kérdések 1. Mivel egyenlő a Z komplex impedancia tisztán ohmos, induktív és kapacitív ellenállások esetén? 2. Mit nevezünk admittanciának, vezetőképességnek és szuszceptenciának? 3. Írja fel a soros RL, RC és LC áramkörök komplex impedanciáját, látszólagos ellenállását és fázisszögét! 4. Írja fel az admittanciát párhuzamos RL, RC és LC áramkörökre Számítsa ki az admittancia abszolút értékét és arkuszát! Soros RLC kör. Kirchoff II törvényének általánosítása 23 A 118. ábrán sorba kapcsolt ohmos, induktív és kapacitív ellenállásokat láthatunk Az áramforrás feszültsége ezen ellenállásokon megoszlik, hasonlóan, mint az egyenáramú köröknél A fáziseltolódás miatt azonban nem egyszerű algebrai összegezésről van szó. Ha megmérjük külön-külön az U R ; U C és U L feszültségeket, akkor ezek összege a bemenő feszültségektől eltérő

értéket mutat. Az áramforrás feszültségét az u(t ) = U m e jρ1 e jωt = U m e jωt függvénnyel írhatjuk le. Ahol U m a feszültség maximális értéke, ρ1 a kezdőfázisa, ω a körfrekvencia és U m = U m e jρ1 a feszültség komplex-amplitúdója Az áramkörben a feszültség körfrekvenciával megegyező, de fázisban eltolt áram folyik. Az áramerősség komplex-időfüggvénye: i (t ) = I m e jρ 2 e jωt = I m e jωt ; ahol I m az áram max. értéke, ρ 2 a kezdőfázisa és I m = Ie jρ 2 az áramerősség komplexamplitudója A Kirchoff egyenlet felírásánál az e jωt tényezőt (amely az időtől való függésre utal) elhagyhatjuk, mert mind az áramerősség, mind pedig a feszültségek körfrekvenciája megegyezik, és az összegezést mindig adott t időpillanatra végezzük. Továbbá a maximális értékek helyett célszerű áttérni a közvetlen méréssel meghatározható effektív értékekre. Az egyenáramú körökhöz hasonlóan feszültség és

áramirányokat veszünk fel, és a körüljárási iránynak megfelelően a komplex mennyiségeket összegezzük algebrailag. Írjuk fel most rendre a feszültségeket az áramerősség I komplex effektív értékével és a komplex ellenállásokkal kifejezve: U L = jIX L ; U C = − jIX C . U R = IR; Kirchoff II. törvénye a felvett körüljárási iránynak megfelelően: U − U R − U L − UC = 0 ; ill. U − I R − jI X L + jI X C = 0 . Tömörebb és általánosabb formában felírva: n ∑U k =1 k =0 váltakozóáramú áramkörökben bármely áramhurokban a komplex feszültségek összege zérus. 24 A 119. ábrán a soros RLC kör feszültség-áram vektorábrája látható A vonatkoztatási irány a függőleges tengely (valós tengely). Mivel időfüggvények pillanatnyi fázishelyzetének ábrázolásáról van szó, ezért a t időpillanatot tetszőlegesen választhatjuk meg Soros áramkörök esetén célszerű úgy megválasztani, hogy az I komplex

áramvektor a vonatkoztatási irányba mutasson, vagyis tiszta valós szám legyen Soros áramköröknél azért célszerű az áramvektort alapul venni, mert az összes elemen ugyanaz az áram folyik keresztül, viszont a feszültségek nagyságban is és fázisban is eltérnek. Az ábra azt az esetet mutatja, amikor X L > X C , tehát U L > U C . Az ábrán a komplex feszültségvektorok vektori összegezése alapján megkapjuk az áramforrás U feszültségét, amely ϕ fázissal megelőzi az I vektort. Az áramkör tehát induktív jellegű, mert az áramerősség késik az áramforrás feszültségéhez képest ϕ fázisszöggel A 120. ábra azt az esetet mutatja, amikor az X L < X C , vagyis U L < U C A feszültségáram vektorábráról leolvashatjuk, hogy ebben az esetben a feszültség késik az áramerősséghez képest ϕ fázisszöggel, vagy az áramerősség siet ugyanennyivel a feszültséghez képest Az áramkör ebben az esetben kapacitív jellegű, vagyis

a kondenzátornak a fáziseltoló hatása nagyobb mértékű, mint a tekercsé. Nyilván van egy közbenső helyzet, amikor a kondenzátor fázist siettető hatása ugyanolyan mértékű, mint a tekercs fázist késleltető hatása, vagyis az áramkör tisztán ohmos. Ezt az esetet feszültségrezonanciának nevezzük. Feltétele: X L = X C ill. U L = U C A két reaktív elemen ekkor a feszültség minden pillanatban megegyezik és többszöröse lehet a tápfeszültségnek. Mivel a két feszültség ellentétes, ezért összegük bármely pillanatban zérus és az áramforrás összes feszültsége az ellenállásra esik (U = U R ) (121. ábra) 25 Az áramkörben rezonancián maximális áram folyik, mivel az áramkör impedanciája ekkor a legkisebb. U Z r = R ill. I r = R A soros RLC körnél, amely lényegében egy rezgőkör, a rezonancia vagy a tápfeszültség frekvenciájának változtatásával, vagy L és C változtatásával hozható létre. Ugyanis az 1 tehát X L = X C

feltételből az ω r rezonancia-frekvencia kiszámítható. X L = ωL és X C = ωC 1 ω2 = LC 1 1 ill. f r = ωr = LC 2π LC A 122. ábrán az X L = X L (ω ) , ill az X C = X C (ω ) függvényeket láthatjuk A két görbe metszéspontjához tartozó körfrekvencia ω r . Például rádió vevőberendezéseknél a forgókondenzátor kapacitásának változtatásával vagy a tekercsek vasmagjának állításával tudjuk elérni a rezonanciát. Ellenőrző kérdések 1. Írja fel a hurok törvényt soros RLC áramkörre! 2. Hogyan értelmezzük Kirchoff II törvényét váltakozó áramú körökre? 26 3. Írja fel Kirchoff II törvényét soros RL, RC és LC áramkörökre Készítsen feszültség-áram vektorábrát minden esetben! 4. Mit nevezünk feszültségrezonanciának? Mi a feltétele? 5. Hogyan számítja ki a rezonanciafrekvenciát? Párhuzamos RLC kör. Kirchoff I törvényének általánosítása Ohmos, induktív és kapacitív ellenállásokból felépített

párhuzamos RLC kört láthatunk a 123. ábrán Az U feszültséghez képest fázisban eltolt áramok folynak az egyes ágakban, amelyek rendre I R = UG I L = − jUBL I C = jUBC 1 1 1 és BC = vezetőképesség jellegű mennyiségek. A vonatkoztatási ahol G = , BL = R XL XC irányba (valós tengely) most az U vektort célszerű felvenni, mivel az A-B kapcsokra kötött fogyasztók mindegyikén ez jelenik meg. Az A csomópontra felírhatjuk Kirchoff I. törvényét: I − I R − I L − I C = 0; I − UG + jUBL − jUBC = 0 . Tömörebb és általánosabb formában felírva: n ∑I k =1 k =0 váltakozóáramú áramkörökben bármely csomópontban a komplex áramerősségek összege zérus. 27 A 124. ábrán látható feszültség-áram vektorábra arra az esetre vonatkozik, amikor X L > X C Ebben az esetben a kondenzátorágban nagyobb áram folyik, mint a tekercságban, tehát a csomópontba befolyó I áramerősség vektora az U vektor mögött adódik ϕ

fázisszöggel. Ha X L < X C , akkor kapacitív jellegűvé válik az áramkör. Az I L > I C miatt az eredő áramerősség I vektora megelőzi az U vektort. A fő ágban folyó I áramerősség tehát ϕ fázisszöggel siet az áramforrás U feszültségéhez képest (125ábra) Ennél az áramkörnél is megvalósulhat az az eset, hogy I és U fázisban vannak, vagyis tiszta ohmos ellenállásként mutatkozik az áramkör. Ezt az esetet áramrezonanciának nevezzük, mivel a reaktív ellenállásokon az áramerősségek egyeznek meg. A tekercs és a kondenzátor által képezett hurokban lényegesen nagyobb áramok folyhatnak, mint a főágban, de ellentétes fázisuk miatt minden pillanatban az eredőjük zérus. A rezonancia feltétele ugyanaz, mint a soros RLC körnél: X L = X C , ill. I L = I C ωr = 1 LC ill. fr = 1 2π LC . Az áramkör impedanciája rezonancia esetén tiszta ohmos: Z r = R . 28 Ellenőrző kérdések 1. Írja fel a csomóponti törvényt

párhuzamos RLC áramkörre! 2. Hogyan értelmezzük Kirchoff I törvényét váltakozóáramú körökre? 3. Írja fel a törvényt párhuzamos RL, RC és LC áramkörökre Készítsen minden esetben feszültség-áram vektorábrát! 4. Mit nevezünk áramrezonanciának? Mi a feltétele? 5. Hogyan számítja ki a rezonanciafrekvenciát? 29