Fizika | Energetika » Bagoly Attila - Nagyenergiás nehézion-ütközések numerikus hidrodinamikai modellezése

Forrás:http://www.doksihu ❊Ö❚❱Ö❙ ▲❖❘➪◆❉ ❚❯❉❖▼➪◆❨❊❨❊❚❊▼ ❚❡r♠és③❡tt✉❞♦♠á♥②✐ ❑❛r ◆❛❣②❡♥❡r❣✐ás ♥❡❤é③✐♦♥✲üt❦ö③és❡❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛✐ ♠♦❞❡❧❧❡③és❡ ❇❛❣♦❧② ❆tt✐❧❛ ❋✐③✐❦❛ ❇❙❝✱ ■■■✳ é✈❢♦❧②❛♠ ❚é♠❛✈❡③❡t➤✿ ❈s❛♥á❞ ▼áté ❊▲❚❊ ❚❚❑ ❆t♦♠✜③✐❦❛✐ ❚❛♥s③é❦ Forrás:http://www.doksihu ❑✐✈♦♥❛t ❆ ♥❡❤é③✐♦♥✲✜③✐❦á❜❛♥ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ üt❦ö③t❡tés❡ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ♥②❡rü♥❦ ✐♥❢♦r♠á❝✐ót ❛ t❡r♠és③❡t ❛❧❛♣✈❡t➤ ♠➯✲ ❦ö❞ésér➤❧✳ ◆❛❣②❡♥❡r❣✐ás ♥❡❤é③✐♦♥✲üt❦ö③és❡❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧

❡❧ér❤❡t➤✱ ❤♦❣② ❛③ ➤❦❡t ❢❡❧é♣ít➤ ❦✈❛r❦♦❦ s③í♥✲ s③❛❜❛❞sá❣✐ ❢♦❦❛ ✒❦✐♦❧✈❛❞❥♦♥✑✳ ✈❡③③ü❦✳ ❆③ í❣② ❧étr❡❥ö✈➤ ❦ö③❡❣❡t ❡r➤s❡♥ ❦ö❧❝sö♥❤❛tó ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠á♥❛❦ ♥❡✲ ❆③ ✉tó❜❜✐ é✈t✐③❡❞ ❢♦♥t♦s ❦ísér❧❡t✐ t❛♣❛s③t❛❧❛t❛✱ ❤♦❣② ❡③❡♥ ❦ö③❡❣ s③✐♥t❡ tö❦é❧❡t❡s ❢♦❧②❛❞é❦❦é♥t ✈✐s❡❧❦❡❞✐❦✱ í❣② ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ésér❡ ❛❧❦❛❧♠❛③❤❛tó❛❦ ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐✳ ❆ ❦ísér❧❡t❡❦❜❡♥ ❛ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣ ❦✐❢❛❣②ás❛❦♦r ❦❡❧❡t❦❡③➤ ❤❛❞r♦♥♦❦ ❡❧♦s③❧ás❛✐t ♠ér❤❡t❥ü❦

♠❡❣✱ ❡③❡❦❜➤❧ ❦ö✈❡t❦❡③t❡t❤❡tü♥❦ ❛ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣ ❧é✲ tér❡ és t✉❧❛❥❞♦♥sá❣❛✐r❛✳ ❆③ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ üt❦ö③és❡ ❡❧s➤ ❦ö③❡❧ítés❜❡♥ ❢❡❧❢♦❣❤❛tó ❦ét ✭▲♦r❡♥t③✲❦♦♥tr❛❤á❧t✮ ❣ö♠❜s③❡r➯ ♦❜❥❡❦t✉♠ üt❦ö③és❡❦é♥t✱ ❛♠❡❧② ❡❧❧✐♣t✐❦✉s ❛❧❛❦♦t ❡r❡❞♠é♥②❡③ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣ ❡❧♦s③❧ásá✲ ❜❛♥✳ ❆ ❢♦❧②❛❞é❦s③❡r➯ ✈✐s❡❧❦❡❞és ♠✐❛tt ❛ ✈é❣á❧❧❛♣♦t❜❛♥ ❦❡❧❡t❦❡③➤ ❤❛❞r♦♥♦❦ ✐♠♣✉❧③✉s❡❧♦s③❧ás❛ s❡♠ ❧❡s③ t❡♥❣❡❧②s③✐♠♠❡tr✐❦✉s✳ ❆③ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ ✈é❣❡s ♥✉❦❧❡♦♥s③á♠❛ ♠✐❛tt

❛③♦♥❜❛♥ ♠❛❣❛s❛❜❜ r❡♥❞➯ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥♥❡❦ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ❡❧♦s③❧ás❜❛♥ és ❛ ✈é❣á❧❧❛♣♦t❜❛♥✱ ❛③❛③ ❛ ❤❛❞r♦♥♦❦ ✐♠♣✉❧③✉s❡❧♦s③❧ás❛✐❜❛♥ ✐s✳ ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛✐ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás❛✐✱ ❜ár s♦❦ s③❡♠♣♦♥t❜ó❧ ❤❛s③♥♦s❛❦✱ ❝s❛❦ s♣❡❝✐á❧✐s ❦❡③❞❡t✐ ❢❡❧tét❡❧❡❦ ❡s❡té♥ ér✈é♥②❡s❡❦✳ ◆✉♠❡r✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❤❛s③♥á❧❛tá✈❛❧ ❦✐❦üs③ö❜ö❧❤❡t➤❡❦ ❛③ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣✲ ♦❧❞ás♦❦ ❡③❡♥ ❦♦r❧át♦③ás❛✐✱ ❛③♦♥❜❛♥ ❡❦❦♦r ❛③ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és és ❛

❦❡③❞❡t✐ ❢❡❧tét❡❧❡❦ rés③❧❡t❡✐ ❡❣②ütt ❤❛tár♦③③á❦ ♠❡❣ ❛ ✈é❣á❧❧❛♣♦t♦t✳ ❆③ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és ♠❡❣értés❡ ér❞❡❦é❜❡♥ ♥✉♠❡r✐❦✉s ✶✰✷ ❞✐♠❡♥③✐ós ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛✐ ❦ó❞♦t ❢❡❥❧❡s③t❡tt❡♠ ❦✐✱ és ❡♥♥❡❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠♦❞❡❧❧❡❦ ♣❡rt✉r❜á❝✐ó✐t ✈✐③s❣á❧t❛♠✳ ❆③t ❛ ✜③✐❦❛✐ ❦ér❞ést ✈✐③s❣á❧t❛♠✱ ❤♦❣② ❛ ❢❡♥t ❡♠❧ít❡tt ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ésér❡ ♠✐❧②❡♥ ❤❛tás❛ ✈❛♥ ❛ ♥②♦♠ás ♥❛❣②sá❣á♥❛❦✱ ♥②♦♠ás ❣r❛❞✐❡♥sé♥❡❦✱ ❤❛♥❣s❡❜❡ssé❣♥❡❦✱ ✈✐s③❦♦③✐tás♥❛❦ és

r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡✛❡❦t✉s♦❦♥❛❦✳ Forrás:http://www.doksihu ❚❛rt❛❧♦♠❥❡❣②③é❦ ✶✳ ❇❡✈❡③❡tés ✶ ✷✳ ❍✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✹ ✶✳✶✳ ❘és③❡❝s❦❡✜③✐❦❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ◆❡❤é③✐♦♥✲üt❦ö③és❡❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸✳ ❑✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ ❘❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳ ❆♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✶✳ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s✱ ✈✐s③❦♦③✐tás♠❡♥t❡s ♠❡❣♦❧❞ás ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✷✳ Ú❥ ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✸✳ ❊❧❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s s③✐♠♠❡t✐rá✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ✷✳✸✳✹✳ ❚❡ts③➤❧❡❣❡s

s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ✳ ✷✳✹✳ ❑✐❢❛❣②ás ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳ P❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás❛ ✸✳✶✳ ✸✳✷✳ ✸✳✸✳ ✸✳✹✳ ❱é❣❡s tér❢♦❣❛t ♠ó❞s③❡r ✳ ✳ ✳ ❙t❛❜✐❧✐tás ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❖♣❡rát♦r♦❦ s③ét✈á❧❛s③tás❛ ✳ ✳ ❋❧✉①✉s♦❦ s③á♠íts❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✹✳✶✳ ❑♦♥t✐♥✉✐tás✐✲❡❣②❡♥❧❡t ✳ ✸✳✹✳✷✳ ❉✐✛ú③✐ós ❡❣②❡♥❧❡t ✳ ✳ ✳ ✸✳✺✳ ▼❯❙❚❆ ❛❧❣♦r✐t♠✉s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✻✳

❑❡③❞➤✲ és ♣❡r❡♠❢❡❧tét❡❧ ✳ ✳ ✳ ✸✳✼✳ ❆ ❦✐❢❡❥❧❡s③t❡tt ❦ó❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳ ❊r❡❞♠é♥②❡❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✶✳ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s

❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✶✳✶✳ ❱✐s③❦♦③✐tás ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✶✳✷✳ ❍❛♥❣s❡❜❡ssé❣ ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✶✳✸✳ ❑❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✶✳✹✳ ❆ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✷✳ ❘❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✷✳✶✳ ❑ü❧ö♥❜ö③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és❡ és ❛ vn

♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ✹✳✷✳✷✳ ❆ κ ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✷✳✸✳ ❑❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✷✳✹✳ ❆ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ❤❛tás❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳✷✳✺✳ ❑ü❧ö♥❜ö③➤ tö♠❡❣➯ rés③❡❝s❦é❦ s♣❡❦tr✉♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳ Öss③❡❢♦❣❧❛❧ás ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✶ ✸ ✺ ✼ ✾ ✾ ✶✵ ✶✶ ✶✶ ✶✷ ✶✸ ✶✹ ✶✺ ✶✺ ✶✻ ✶✻ ✶✼ ✶✽ ✶✾ ✷✵ ✷✶ ✷✷ ✷✷ ✷✹ ✷✺ ✷✺ ✷✻ ✷✻ ✷✼ ✷✽ ✷✾ ✷✾ ✸✵ Forrás:http://www.doksihu ✶✳ ❇❡✈❡③❡tés ✶✳✶✳ ❘és③❡❝s❦❡✜③✐❦❛ ❆③ ❡♠❜❡r✐sé❣ ❡❣②✐❦ ❛❧❛♣✈❡t➤ tör❡❦✈és❡ ❛ ♠✐♥❦❡t ❦örü❧✈❡✈➤ ✈✐❧á❣ ♠❡❣✐s♠❡rés❡✳ ❆ ♠❡❣✐s♠❡rés ❢♦❧②❛♠❛t❛ ♠ár ❛③ ó❦♦r❜❛♥ ❦❡③❞➤❞ött✱ és ❛③ót❛ ❡❧❦é♣❡s③t➤ ♠❛❣❛ssá❣♦❦❛t ért ❡❧✳ ▼❛ ♠ár t✉❞❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛ ♠✐♥❦❡t ❦örü❧✈❡✈➤ ✈✐❧á❣ ❛t♦♠♦❦❜ó❧ é♣ü❧

❢ö❧✱ s➤t ❛③t ✐s t✉❞❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛③ ❛t♦♠♦❦❛t ♠✐❧②❡♥ ❦✐s❡❜❜ rés③❡❝s❦é❦ é♣ít✐❦ ❢❡❧✳ ❏❡❧❡♥❧❡❣✐ t✉❞ás✉♥❦ s③❡r✐♥t ❛ t❡r♠és③❡t ❛❧❛♣✈❡t➤ é♣ít➤❦ö✈❡✐ ❛ ❢❡r♠✐♦♥♦❦ ❝s❛❧á❞❥á❜❛ t❛rt♦③ó ❦✈❛r❦♦❦ és ❧❡♣t♦♥♦❦✱ ✈❛❧❛♠✐♥t ❛ ❜♦③♦♥♦❦✳ ❆ ❦✈❛r❦♦❦ ❛❧❦♦tt❛ ♦❜❥❡❦t✉♠♦❦❛t ❤❛❞r♦♥♦❦♥❛❦ ♥❡✈❡③③ü❦✱ ❡③❡♥ ❜❡❧ü❧ ❛ ❦ét ❦✈❛r❦❜ó❧ á❧❧ó❦❛t ♠❡③♦♥♦❦♥❛❦✱ ❛ ❤ár♦♠ ❦✈❛r❦❜ó❧ á❧❧ó❦❛t ❜❛r✐♦♥♥❛❦✳ ❆③ ❛t♦♠♠❛❣ ♥✉❦❧❡♦♥❥❛✐ ❡③ ✉tó❜❜✐ ❝s❛❧á❞❜❛ t❛rt♦③♥❛❦✳ ❆ ❜♦③♦♥♦❦ ♣❡❞✐❣ ❛

❦ö❧❝sö♥❤❛tás♦❦❛t ❦ö③✈❡tít➤ rés③❡❝s❦é❦✱ ♣é❧❞á✉❧ ❛③ ❛t♦♠♠❛❣♦t öss③❡t❛rtó ❡r➤s ❦ö❧❝sö♥❤❛tás ❜♦③♦♥❥❛ ❛ ❣❧✉♦♥✱ ❛③ ❡❧❡❦tr♦♠á❣♥❡s❡s ❦ö❧❝sö♥❤❛tásé ♣❡❞✐❣ ❢♦t♦♥✳ ❆ ♠✐❦r♦rés③❡❝s❦é❦ ❡❧❦é♣❡s③t➤ ✈✐❧á❣á♥❛❦ ❦ísér❧❡t✐ t❛♣❛s③t❛❧❛t♦❦❦❛❧ ♠❡❣❡❣②❡③➤ ♠❛t❡♠❛t✐❦❛✐ ❧❡írás❛ ❦✈❛♥✲ t✉♠♠❡❝❤❛♥✐❦❛ s③ü❧❡tésé✈❡❧ ❦❡③❞➤❞ött✱ ♠❡❧②♥❡❦ ❢♦❧②t♦♥♦s ♠❡③➤❦r❡ törté♥➤ á❧t❛❧á♥♦sításá✈❛❧✱ ❛ ❦✈❛♥t✉♠✲ tér❡❧♠é❧❡tt❡❧✱ s③ü❧❡t❡tt ❛③ ❡❧❡♠✐ rés③❡❝s❦é❦❡t és ❛❧❛♣✈❡t➤ ❦ö❧❝sö♥❤❛tás♦❦❛t

❧❡író st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧❧✱ ❛♠❡❧② ❡❣② SU (3)×SU (2)×U (1) s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ♠érté❦❡❧♠é❧❡t✳ ❆③ ❡❧♠é❧❡t ♠❛❣á❜❛♥ ❢♦❣❧❛❧❥❛ ❛ t❡r♠é✲ s③❡t ❤ár♦♠ ❛❧❛♣✈❡t➤ ❦ö❧❝sö♥❤❛tását ❛③ ❡❧❡❦tr♦♠á❣♥❡s❡s✲✱ ❛ ❣②❡♥❣❡✲ és ❛③ ❡r➤s❦ö❧❝sö♥❤❛tás ❡❧♠é❧❡tét✳ ❆③ ✉tó❜❜✐t ❧❡író ❡❧♠é❧❡t❡t ❦✈❛♥t✉♠✲s③í♥❞✐♥❛♠✐❦á♥❛❦ ✭rö✈✐❞❡♥ ◗❈❉ ✲ ◗✉❛♥t✉♠ ❈❤r♦♠♦❉②♥❛♠✐❝s✮ ♥❡✈❡③③ü❦✱ ❡③ ❡❣② SU (3) s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ♠érté❦❡❧♠é❧❡t✳ ❆ ❦✈❛♥t✉♠✲s③í♥❞✐♥❛♠✐❦❛ ❦✐❛❧❛❦✉❧ásá❤♦③ ❛③ ❛

❦ísér❧❡t✐ t❛♣❛s③t❛❧❛t ✈❡③❡t❡tt✱ ❤♦❣② ❧ét❡③♥❡❦ ♦❧②❛♥ rés③❡❝s❦é❦ ❛♠❡❧②❡❦❜❡♥ ❧áts③ó❧❛❣ ❤ár♦♠ ✉❣②❛♥ ♦❧②❛♥ á❧❧❛♣♦t❜❛♥ ❧❡✈➤ ❦✈❛r❦ ✈❛♥ ✭♣❧✳ ∆++ ✱ ∆−− ❜❛r✐♦♥♦❦✮✳ ▼✐✈❡❧ ❛ ❦✈❛r❦♦❦ ❢❡r♠✐♦♥♦❦ ❡③ért ér✈é♥②❡s rá❥✉❦ ❛ P❛✉❧✐✲❡❧✈✱ ❛③❛③ ♥❡♠ ❧❡❤❡t♥❡❦ ✉❣②❛♥ ♦❧②❛♥ ❦✈❛♥t✉♠á❧❧❛♣♦t✲ ❜❛♥✳ ❊③❡♥ t❛♣❛s③t❛❧❛t❜ó❧ ❦ö✈❡t❦❡③❡tt✱ ❤♦❣② ❧ét❡③♥✐❡ ❦❡❧❧ ❡❣② ú❥ ❦✈❛♥t✉♠s③á♠♥❛❦✱ ❛♠❡❧❧②❡❧ ❛ ❦✈❛r❦♦❦ r❡♥❞❡❧❦❡③♥❡❦✱ ❡③t ❡❧♥❡✈❡③té❦ s③í♥

❦✈❛♥t✉♠s③á♠♥❛❦✳ ❆ s③í♥❡❦ ❦ö③ött ❤❛tó ❦ö❧❝sö♥❤❛tást ❧❡író ❡❧♠é❧❡t ❛ ❦✈❛♥t✉♠✲s③í♥❞✐♥❛♠✐❦❛✳ ❆ ❦✈❛r❦♦❦ s③í♥tö❧tés❡ ✸ ❢é❧❡ ❧❡❤❡t ✭❦é❦✱ ♣✐r♦s✱ ③ö❧❞✮✱ ❛ ♠❡❣❢❡❧❡❧➤ rés③❡❝s❦é❦ ❛♥t✐✲ rés③❡❝s❦é✐ ♣❡❞✐❣ ❛③ ❛❞♦tt s③í♥ ❦♦♠♣❧❡♠❡♥t❡r s③í♥❡✐ ✭sár❣❛✱ ❝✐á♥✱ ♠❛❣❡♥t❛✮✳ ❆ ❦✈❛r❦♦❦ ❡❧♠é❧❡té♥❡❦ ❡❣②✐❦ ❢♦♥t♦s á❧❧ítás❛✱ ❤♦❣② ❛ ♠❡❣✜❣②❡❧❤❡t➤ rés③❡❝s❦é❦ s③í♥✲s❡♠❧❡❣❡s❡❦✱ ❡③ért ❛ ❤❛❞r♦♥♦❦ ú❣② é♣ü❧♥❡❦ ❢❡❧✱ ❤♦❣② ❛ ✷ ✈❛❣② ✸ s③í♥ öss③❡ssé❣é❜❡♥ ❢❡❤ér❡t ❛❞❥♦♥ ❦✐

❛③ ❛❞❞✐tí✈ s③í♥❦❡✈❡rés s③❛❜á❧②❛✐ s③❡r✐♥t✳ ❆③❛③ ❛ ❦✈❛r❦♦❦ ❤❛❞r♦♥♦❦❜❛ ✈❛♥♥❛❦ ③ár✈❛✱ ❡③t ❛ ❥❡❧❡♥sé❣❡t ♥❡✈❡③③ü❦ ❦✈❛r❦❜❡③árás♥❛❦✳ ❆ ❦✈❛♥t✉♠✲s③í♥❞✐♥❛♠✐❦❛ ♠ás✐❦ ❢♦♥t♦s ❥❡❧❡♥sé❣❡ ❛③ ❛s③✐♠♣t♦t✐❦✉s s③❛❜❛❞sá❣✱ ❛♠❡❧② s③❡r✐♥t ♥❛❣②♦♥ ♥❛❣② ❡♥❡r❣✐á♥ ❛ ❦✈❛r❦♦❦ és ❛ ❣❧✉♦♥♦❦ ❤❛❞r♦♥❜❛ ③ártsá❣❛ ♠❡❣s③➯♥✐❦✳ ✶✳✷✳ ◆❡❤é③✐♦♥✲üt❦ö③és❡❦ ❆ ♥❡❤é③✐♦♥✲✜③✐❦á❜❛♥ ♥❛❣② r❡♥❞s③á♠ú ❛t♦♠♠❛❣♦❦ ❦ö③❡❧ ❢é♥②s❡❜❡ssé❣❡♥ ✈❛❧ó üt❦ö③t❡tésé✈❡❧ ♣ró❜á❧✉♥❦

✐♥❢♦r♠á❝✐ót s③❡r❡③♥✐ ❛③ ❡❧❡♠✐ rés③❡❝s❦é❦ ✈✐❧á❣áró❧✳ ❆③ ❛t♦♠♠❛❣♦❦❛t ❦ö③❡❧ ❢é♥②s❡❜❡ssé❣r❡ ❣②♦rsít❥✉❦ ❡❧❡❦t✲ r♦♠á❣♥❡s❡s t❡r❡❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ✭▲❍❈✱ ❘❍■❈ ❛ ❦ét ❧❡❣♥❛❣②♦❜❜ ❡♥❡r❣✐á❥ú ❣②♦rsító✮✳ ❆ ❧❛❜♦r✲r❡♥❞s③❡r❜➤❧ ♥é③✈❡ ▲♦r❡♥t③✲❦♦♥tr❛❤á❧t ❛t♦♠♠❛❣♦❦❛t öss③❡üt❦ö③t❡tü♥❦✱ ❛③ üt❦ö③és s♦rá♥ ❧❡❥áts③ó❞♥❛❦ ❜✐③♦♥②♦s ✈❛❧ó✲ s③í♥➯sé❣❣❡❧ ✒❦❡♠é♥②✑ ❢♦❧②❛♠❛t♦❦ ❛♠❡❧②❡❦ s♦rá♥ rés③❡❝s❦❡③á♣♦r♦❦ ✭❥❡t✮ ❦❡❧❡t❦❡③♥❡❦✱ ♠❡❧②❡❦ ❤❛❞r♦♥♦❦❜ó❧✱ ❧❡♣t♦♥♦❦❜ó❧ és

❢♦t♦♥♦❦❜ó❧ á❧❧♥❛❦✳ ❆ ❦❡♠é♥② ❢♦❧②❛♠❛t♦❦ ❥❡❧❧❡♠③➤❥❡✱ ❤♦❣② ❛ ❥❡t❡❦ ♣ár♦❦❜❛♥ ❦❡❧❡t❦❡③♥❡❦✱ ♠❛❥❞ ❛③ ✐♠♣✉❧③✉s♠❡❣♠❛r❛❞ás ♠✐❛tt ❡❧❧❡♥❦❡③➤ ✐rá♥②❜❛ ❤❛❧❛❞♥❛❦✱ ❛③ üt❦ö③és❡❦ s♦rá♥ ❛ ❧❡❣✈❛❧ós③í♥➯❜❜ ❡❣② ❥❡t✲♣ár ❦❡❧❡t❦❡③és❡✳ ❊❣② üt❦ö③és s♦rá♥ ♥❡♠ ❝s❛❦ ❦❡♠é♥② ❢♦❧②❛♠❛t♦❦ ③❛❥❧❛♥❛❦✱ ❤❛♥❡♠ ❛ ✒❧á❣②✑ ❢♦❧②❛♠❛t♦❦ ✐s✱ ♠❡❧②❡❦ s♦rá♥ ❛ rés③❡❝s❦é❦ ♥❡♠ ❥❡t❡❦❜❡♥ ❦❡❧❡t❦❡③♥❡❦✳ ❆③ üt❦ö③➤ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ tö♠❡❣❦ö③é♣♣♦♥t✐ ❡♥❡r✲ ❣✐á❥á♥❛❦

♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ♥➤ ❛ ❦❡♠é♥② ❢♦❧②❛♠❛t♦❦ ✈❛❧ós③í♥➯sé❣❡✱ és ❝sö❦❦❡♥ ❛ ❧á❣② ❢♦❧②❛♠❛t♦❦é✳ ❆③ üt❦ö③és✐ ✶ Forrás:http://www.doksihu ♣♦♥t ❦öré é♣ít❡tt ❞❡t❡❦t♦r♦❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ♠ér❥ü❦ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ rés③❡❝s❦é❦ ❡❧♦s③❧ás❛✐t és ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ✜③✐❦❛✐ ♣❛r❛♠ét❡r❡✐t✳ ❊③❡♥ ❛❞❛t♦❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ♣ró❜á❧✉♥❦ ❦ö✈❡t❦❡③t❡t♥✐ ❛③ üt❦ö③és ✉tá♥ ❧❡③❛❥❧ó ❥❡❧❡♥sé❣❡❦r❡✳ ❆③ üt❦ö③és❡❦ ❥❡❧❧❡♠③ésér❡ ❞❡✜♥✐á❧♥✐ s③♦❦t✉❦ ❛③ ✐♠♣❛❦t ♣❛r❛♠ét❡rt✱ ❛♠❡❧② ❛ ❦ö③é♣♣♦♥t♦❦ tá✈♦❧sá❣át ❥❡❧❡♥t✐✳ ❆③ ✐♠♣❛❦t

♣❛r❛♠ét❡r ❛❧❛♣❥á♥ ❝❡♥tr❛❧✐tás ♦s③tá❧②♦❦❜❛ r❡♥❞❡③③ü❦ ❛③ üt❦ö③és❡❦❡t✱ ❡③❡♥ ♦s③tá❧②♦❦❛t ❛ ❝❡♥trá❧✐stó❧ ♣❡r✐❢ér✐❦✉s ❢❡❧❡ ❤❛❧❛❞✈❛ s③á③❛❧é❦♦s❛♥ ❛❞✉♥❦ ♠❡❣✳ ▼ás✐❦ ❢♦♥t♦s ❢♦❣❛❧♦♠ ❛ ♥✉❦❧❡ár✐s ♠ó❞♦s✉❧ás✐ ❢❛❦t♦r✱ ❛♠❡❧② s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛③ üt❦ö③és ❢♦❧②❛♠❛tát t✉❞❥✉❦ ❥❡❧✲ ❧❡♠❡③♥✐✳ ❆③ üt❦ö③és ❝❡♥tr❛❧✐tását ✐s♠❡r✈❡ ❦✐ t✉❞❥✉❦ s③á♠♦❧♥✐ ❛③ üt❦ö③és❜❡♥ rés③t✈❡✈➤ ♥✉❦❧❡♦♥♦❦ s③á♠át✳ ❆ t❡❧❥❡s ❢♦❧②❛♠❛t♦t ❡❧❦é♣③❡❧❤❡t❥ü❦ ❜✐♥ár✐s üt❦ö③és❡❦ öss③❡❣❡❦é♥t✱

❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❢❡❧t❡ss③ü❦✱ ❤♦❣② ❛ ♣r♦t♦✲ ♥♦❦ ♣ár♦♥❦é♥t üt❦ö③♥❡❦ és ❡❣②♠ástó❧ ❢ü❣❣❡t❧❡♥ü❧ ③❛❥❧❛♥❛❦ ❛③ ❡s❡♠é♥②❡❦✳ ❋ü❣❣❡t❧❡♥ ♣✰♣ üt❦ö③és❡❦❜➤❧ ✐s♠❡r❥ü❦ ❡❣② ✐❧②❡♥ ❡s❡♠é♥② s♦rá♥ ❦❡❧❡t❦❡③➤ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠át✳ ◆❡❤é③✐♦♥ üt❦ö③és❡❦ ❡s❡té♥ ❡③t ❛ s③á♠♦t ♠❡❣s③♦r♦③③✉❦ ❛③ üt❦ö③és ❜✐♥ár✐s ❡s❡♠é♥②❡✐♥❡❦ s③á♠á✈❛❧✱ í❣② ♠❡❣❦❛♣❥✉❦ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠át✳ ❆③♦♥❜❛♥ ❡③t ❛ s③á♠♦t ❦ö③✈❡t❧❡♥ü❧ ✐s ♠❡❣❤❛tár♦③❤❛t❥✉❦ ❦ét ♥❡❤é③✐♦♥ öss③❡üt❦ö③t❡tésé✈❡❧✱ ❛③

❡❧➤❜❜✐✈❡❧ ✈❡tt ❛rá♥②t ♥❡✈❡③③ü❦ ❛ ♥✉❦❧❡ár✐s ♠ó❞♦s✉❧ás✐ ❢❛❦t♦r♥❛❦✳ Pé❧❞á✉❧ ❆✉✰❆✉ üt❦ö③és ❡s❡té♥✱ ❤❛ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ ré✲ s③❡❝s❦é❦ s③á♠❛ NAu ✱ ❜✐♥ár✐s üt❦ö③és❡❦ s③á♠❛ Nbin és ♣✰♣ üt❦ö③és❡❦ ❡s❡té♥ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠❛ Np ❛❦❦♦r ❛ ♥✉❦❧❡ár✐s ♠ó❞♦s✉❧ás✐ ❢❛❦t♦r ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ♥é③ ❦✐✿ RAA = NAu Nbin Np ✭✶✳✷✳✶✮ ❆ ♥✉❦❧❡ár✐s ♠ó❞♦s✉❧ás✐ ❢❛❦t♦r érté❦ér❡ RAA = 1 ✈ár✉♥❦✱ ♠✐✈❡❧ ❛③ ❆✉✰❆✉ üt❦ö③és❡❦❡t ú❣② ❦é♣③❡❧❥ü❦ ❡❧✱ ❤♦❣② ❛③ üt❦ö③és❜❡♥ rés③t✈❡✈➤ ♣r♦t♦♥♦❦ ♣ár♦♥❦é♥t

üt❦ö③t❡❦✳ ✶✳✶✳ á❜r❛✳ ❆✉✰❆✉ üt❦ö③és❡❦ ❡s❡té♥ ❛ ♥✉❦❧❡ár✐s ♠ó❞♦s✉❧ás✐ ❢❛❦t♦r ❛ ♥✉❦❧❡♦♥s③á♠ ❢ü❣❣✈é♥②é❜❡♥ ♣✐♦♥♦❦r❛ és ❢♦t♦♥♦❦r❛✳ ❆③ á❜rá♥ ❧át❤❛tó✱ ❤♦❣② ♥❛❣② ❝❡♥tr❛❧✐tás ❡s❡té♥ ❦❡✈❡s❡❜❜ ♥❛❣②❡♥❡r❣✐ás ♣✐♦♥t és③❧❡❧ü♥❦ ♠✐♥t ♣✰♣ üt❦ö③és❡❦ ❛❧❛♣❥á♥ ✈ár♥á♥❦✱ t♦✈á❜❜á ❛③ ❡r➤s ❦ö❧❝sö♥❤❛tás❜❛♥ ♥❡♠ rés③t✈❡✈➤ ❢♦t♦♥♦❦ s③á♠❛ ❛ ✈ártt❛❧ ❡❣②❡③✐❦✳ ❊③ ✉t❛❧ ❛③ ❡r➤s❡♥ ❦ö❧❝sö♥❤❛tó ❦ö③❡❣ ❥❡❧❡♥❧étér❡✳ ✷ Forrás:http://www.doksihu ✶✳✸✳ ❑✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛ ❆ ❘❍■❈

❣②♦rsító❜❛♥ ❆✉✰❆✉ üt❦ö③és❡❦ s♦rá♥ ♥❛❣② ♥❛❣② ❝❡♥tr❛❧✐tás♥á❧ ♠érés❡❦ s♦rá♥ ❦❡✈❡s❡❜❜ ♥❛❣②❡♥❡r✲ ❣✐ás rés③❡❝s❦ét ♠ért❡❦ ❛ ♣✰♣ üt❦ö③és❡❦ ❛❧❛♣❥á♥ ✈árt♥á❧ ✭✶✳✶ á❜r❛✮✱ ❛ ❥❡t✲♣ár♦❦ ❡❣②✐❦ t❛❣❥❛ ♥❡♠ ❥❡❧❡♥t ♠❡❣✳ ❆③♦♥❜❛♥ ❡③❡♥ t❛♣❛s③t❛❧❛t♦❦♥❛❦ tö❜❜ ❦✐✈á❧tó ♦❦❛ ✐s ❧❡❤❡t✱ ❛ ❦ér❞és ❡❧❞ö♥tésér❡ t♦✈á❜❜✐ ❦ísér❧❡t❡❦❡t ✈é❣❡③t❡❦✳ ❆③ ❡❣②✐❦ ✈♦❧t ❛ ❞❡✉tér✐✉♠✲❛r❛♥② üt❦ö③és❡❦ ❡❧✈é❣③és❡✱ ❛③♦♥❜❛♥ ✐tt s❡♠♠✐❧②❡♥ ❝❡♥tr❛❧✐tás♥á❧ ♥❡♠ ✈♦❧t ❥❡t✲❡❧♥②♦♠ás✳ ❊♥♥❡❦

♠❛❣②❛rá③❛t❛✱ ❤♦❣② üt❦ö③és❡❦ ❡s❡té♥ ❡r➤s❡♥ ❦ö❧❝sö♥❤❛tó ❦ö③❡❣ ❥ö❤❡t ❧étr❡ ❛♠❡❧② ❛ ❥❡t✲♣ár ❡❣②✐❦ t❛❣❥át ❡❧♥②❡❧✐ ✭❛♠❡❧② ♥❛❣②♦❜❜ ✉t❛t t❡s③ ♠❡❣ ❜❡♥♥❡✮✱ ❛③♦♥❜❛♥ ❞❡✉tér✐✉♠✲❛r❛♥② üt❦ö③és❡❦ s♦rá♥ ❛ ❧étr❡❥ö✈➤ ❦ö③❡❣ ♠ér❡t❡ tú❧ ❦✐❝s✐✱ ❤♦❣② ❡❧♥②❡❧❥❡ ❛③t✳ ❊③❡♥ ❦ö③❡❣ ❧étr❡❥öttét ❡❧♠é❧❡t✐❧❡❣ ❛ ◗❈❉ ♠❛❣②❛rá③③❛ ♠❡❣✳ ❆③ ❡❧♠é❧❡t s③❡r✐♥t ♥❛❣②♦♥ ♥❛❣② ❡♥❡r❣✐á♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥♥❡❦ ❦✈❛r❦ s③❛❜❛❞sá❣✐ ❢♦❦♦❦✱ ❛③❛③ ❛ ❦✈❛r❦♦❦ ❤❛❞r♦♥❜❛ ③ártsá❣❛ ♠❡❣s③➯♥✐❦✳ ❆

❧étr❡❥ö✈➤ ❦ö③❡❣ ❛③ ❡r➤s❡♥ ❦ö❧❝sö♥❤❛tó ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛ ♥❡✈❡t ✈✐s❡❧✐ ✭s◗P✮✳ ❊③❡♥ ❦ö③❡❣❜❡♥ ♥❛❣②♦❦ ❛ ❤❛tás❦❡r❡s③t✲ ♠❡ts③❡t❡❦✱ ❡③ért ❦✐❝s✐ ❛ s③❛❜❛❞ út❤♦ss③ és ❣②♦rs ❛ t❡r♠❛❧✐③á❝✐ó✱ ❡③ért ✈❛♥ ért❡❧♠❡ ❧♦❦á❧✐s ❡❣②❡♥sú❧②ró❧ ❜❡s③é❧♥✐✱ í❣② ❛❧❦❛❧♠❛③❤❛tó❛❦ rá ❛ st❛t✐s③t✐❦✉s ✜③✐❦❛ ❢♦❣❛❧♠❛✐ ✭♣❧✳ ❤➤♠érsé❦❧❡t✮✳ ❆③ ➤sr♦❜❜❛♥ást ❦ö✈❡t➤ ❡❣② ♠✐❧❧✐♦♠♦❞ ♠ás♦❞♣❡r❝❜❡♥ ❛③ ✉♥✐✈❡r③✉♠♦t ✐s ❛ ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛ ❛❧❦♦tt❛ ❬✶✽❪✳ ❆③ ú❥ ❦ö③❡❣ ❢❡❧❢❡❞❡③és❡

✉tá♥ ❛ ❘❍■❈ ❣②♦rsító❜❛♥ ❡③❡♥ ❦ö③❡❣ t✉❧❛❥❞♦♥sá❣❛✐♥❛❦ ♠❡❣✐s♠❡rését ❝é❧③ó ❦ísér❧❡✲ t❡❦ ❦❡③❞➤❞t❡❦✳ ❊③❡♥ ❦ísér❧❡t❡❦ s♦rá♥ ❦✐❞❡rü❧t✱ ❤♦❣② ❛ ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛ ❛③ ❡❞❞✐❣ ❧át♦tt ❧❡❣tö❦é❧❡t❡s❡❜❜ ✭✈✐s③❦♦③✐tás ♠❡♥t❡s✮ ❢♦❧②❛❞é❦❦é♥t ✈✐s❡❧❦❡❞✐❦✱ ❛♠❡❧② ♠❡❣❧❡♣➤ ✈♦❧t ❤✐s③ ♥❛❣②♦♥ ❦✐s ✈✐s③❦♦③✐táss❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ❢♦❧②❛❞é❦♦❦❛t ❡❞❞✐❣ ♥❛❣②♦♥ ❛❧❛❝s♦♥② ❤➤♠érsé❦❧❡t❡♥ t✉❞t❛❦ ❝s❛❦ ❡❧➤á❧❧ít❛♥✐✳ ❆ ❦✈❛r❦❢♦❧②❛❞é❦ ✈✐s③❦♦③✐tásá✲ r❛ ❛ ❣r❛✈✐tá❝✐ós✲ és

❦✈❛♥t✉♠tér❡❧♠é❧❡t❡❦ ❛♥❛❧ó❣✐á❥á❜ó❧ ✭❆❞❙✴❈❋❚✮ s③ár♠❛③✐❦ ❡❣② ❛❧só ❜❡❝s❧és✱ ❡s③❡r✐♥t ❛ ✈✐s③❦♦③✐tás ♥❡♠ ❧❡❤❡t ❦✐s❡❜❜ ♠✐♥t h̄/4π ✳ ✶✳✷✳ á❜r❛✳ ❑ét ❣ö♠❜ üt❦ö③és❡❦é♥t ❧étr❡❥ö✈➤ s♣❡❝✐á❧✐s ❡❧❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ❦❡③❞❡t✐ ❡❧♦s③✲ ❧ás ❦✐❛❧❛❦✉❧ás❛✳ ✸ Forrás:http://www.doksihu ❯❧tr❛r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s s❡❜❡ssé❣r❡ ❢❡❧❣②♦rsít♦tt ❛t♦♠♠❛❣♦❦ üt❦ö③és❡ ❦ét ▲♦r❡♥t③✲❦♦♥tr❛❤á❧t ❦♦r♦♥❣ üt❦ö③é✲ s❡❦é♥t ❢♦❣❤❛tó ❢❡❧✱ ❧❛❜♦rr❡♥❞s③❡r❜➤❧ ♥é③✈❡✳ ❆♠✐♥t ❛③ ✶✳✷ á❜r❛ ✐s

s③❡♠❧é❧t❡t✐✱ ❡③ ❛ ❧étr❡❥ö✈➤ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣❜❛♥ s♣❡❝✐á❧✐s ❦❡③❞❡t✐ ❡❧♦s③❧ást ❡r❡❞♠é♥②❡③✱ ❡❣② cos(2ϕ)✲s③❡r✐♥t✐ ❛s③✐♠♠❡tr✐át ❛③ ❡❧♦s③❧ás❜❛♥✱ ❛♠❡❧② ❛ t❡♥❣❡❧②✲ s③✐♠♠❡tr✐átó❧ ✈❛❧ó ❡❧❧✐♣t✐❦✉s ❡❧térést ❥❡❧❡♥t✐✳ ❆ ♥②❛❧á❜✐rá♥②r❛ ♠❡r➤❧❡❣❡s❡♥ ❜❡✈❡③❡t❥ü❦ ❛ tr❛♥s③✈❡r③✲sí❦♦t✱ ❡❜❜❡♥ ❛ sí❦❜❛♥ ❛③ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣ ❦❡③❞❡t✐ ❡❧♦s③❧ását ❋♦✉r✐❡r✲s♦r❜❛ ❢❡❥t❥ü❦ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥✿ ∞ h i X A(ϕ) = a0 + an cos(nϕ) + bn sin(nϕ) ✭✶✳✸✳✶✮ n=1 ❊③❡♥ s♦r❢❡❥tés ❛❧❛♣❥á♥ ❧át❤❛tó✱ ❤♦❣② ❛③ a2

❥❡❧❧❡♠③✐ ❛③ ❡❧➤❜❜ ❡♠❧ít❡tt ❛s③✐♠♠❡tr✐át✱ ❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ tö❦é❧❡t❡s❡♥ ❣ö♠❜s③✐♠♠❡tr✐❦✉s❛❦ ❧❡♥♥é♥❡❦ ❛③ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ és ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ ❡❧❧✐♣s③✐s ❡❣②✐❦ ♥❛❣②t❡♥❣❡❧②é♥ ✈❡♥♥é♥❦ ❢ö❧ ❛ ❛ ❦♦♦r❞✐♥át❛✲r❡♥❞s③❡r ①✲t❡♥❣❡❧②ét ❝s✉♣á♥ ❡③ ❛ t❛❣ ❥❡❧❡♥♥❡ ♠❡❣✳ ❆③♦♥❜❛♥ ♠✐✈❡❧ ❛③ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ ✈é❣❡s ♥✉❦❧❡♦♥s③á♠♠❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③♥❡❦✱ ♠❡❧②❡❦♥❡❦ ✈❛♥ ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ ❡❧♦s③❧ás❛ ❛ ♠❛❣♦♥ ❜❡❧ü❧✱ ❛ ❣ö♠❜s③✐♠♠❡tr✐❛ ❝s✉♣á♥ ❡❧s➤ ❦ö③❡❧ítés❦é♥t ❢♦❣❤❛tó ❢❡❧✳ ❆③ üt❦ö③és

✉tá♥ ❧étr❡❥ö✈➤ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣ r♦❜❜❛♥áss③❡r➯❡♥ tá❣✉❧ ❡❣és③ ❛❞❞✐❣ ❛♠í❣ ❛ ❤➤♠érsé❦❧❡t ❧❡ ♥❡♠ ❝sö❦✲ ❦❡♥ ❡❣② ❜✐③♦♥②♦s érté❦r❡✱ ❡❦❦♦r ♠❡❣s③➯♥✐❦ ❡③ ❛ ❢á③✐s és ❛ ❦✈❛r❦♦❦❜ó❧ ❤❛❞r♦♥♦❦ ❦❡❧❡t❦❡③♥❡❦ ❛♠❡❧②❡❦❡t ♠ér♥✐ ✐s t✉❞✉♥❦✳ ▼✐✈❡❧ ❛ ❦✈❛r❦❛♥②❛❣ ❢♦❧②❛❞é❦s③❡r➯❡♥ ✈✐s❡❧❦❡❞✐❦ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ♥❡♠ t➯♥♥❡❦ ❡❧✱ ❛ ❦✐❢❛❣②ás ♣✐❧❧❛♥❛tá❜❛ ✐s ❥❡❧❡♥ ✈❛♥♥❛❦✱ ❡③ért ❛③♦❦ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ ❤❛❞r♦♥♦❦ ❡❧♦s③❧ásá❜❛♥ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥♥❡❦✳ ❆③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦❛t

❥❡❧❧❡♠③➤ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦❡t ❛③ ✐♠♣✉❧③✉stér❜❡♥ s③♦❦ás ❞❡✜♥✐á❧♥✐✳ ❆ rés③❡❝s❦é❦ ❡❧♦s③❧á✲ sát tr❛♥s③✈❡r③✲sí❦❜❛♥ ❛ N (pt , ϕ) ❢ü❣❣✈é♥♥②❡❧ ❥❡❧❧❡♠❡③③ü❦✱ ❛♠❡❧② ♠❡❣♠♦♥❞❥❛✱ ❤♦❣② [ϕ, ϕ + dϕ] ✐rá♥②❜❛♥ [pt , pt + dpt ] ✐♠♣✉❧③✉s✲t❛rt♦♠á♥②❜❛♥ ♠❡♥♥②✐ rés③❡❝s❦❡ t❛❧á❧❤❛tó✳ ❆ ❢ü❣❣✈é♥② s③ö❣❢ü❣❣ését ❧❡✈á❧❛s③t✈❛✱ ❛③t ❋♦✉r✐❡r✲s♦r❜❛ ❢❡❥t✈❡ és ✶✲r❡ ♥♦r♠á❧✈❛ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛♥ ír❤❛t❥✉❦✿  ∞ h i X N (pt , ϕ) = N (pt ) 1 + vn cos(nϕ) + wn sin(nϕ) ✭✶✳✸✳✷✮ n=1 ❆ ❋♦✉r✐❡r✲s♦r ❡❧s➤ ❦♦♠♣♦♥❡♥s❡✐ ❥áts③❛♥❛❦

❢♦♥t♦s❛❜❜ s③❡r❡♣❡t✳ ❊③❡❦ ❦ö③ü❧ ✐s ❛ v2 ❡❣②ütt❤❛tó ❛ ❧❡❣❧é♥②❡✲ ❣❡s❡❜❜✱ ♠❡rt ❡③ ❛ ♣❛r❛♠ét❡r ❤♦r❞♦③③❛ ❛③ ❡❧❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s ❛s③✐♠♠❡tr✐át✱ ❡③t ❛③ ❡❧❧✐♣t✐❦✉s ❢♦❧②ás ♣❛r❛♠ét❡✲ ré♥❡❦ ♥❡✈❡③③ü❦✳ ❊③❡♥ ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ❛ ❦✐❢❛❣②♦tt ❤❛❞r♦♥♦❦ és ❢♦t♦♥♦❦ ❡❧♦s③❧ásá❜❛♥ ❬✼❪ ❬✶❪ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥✐❦✱ ❡③ért ❛ ❢♦❧②❛❞é❦❦é♣ ❤❡❧②❡ssé❣ét ❜✐③♦♥②ít❥❛ ❛ ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛ ❡s❡té♥✳ ❆ ❋♦✉r✐❡r✲s♦r s③✐♥✉s③♦s rés③ét ♥❡♠ s③♦❦t✉❦ ❦ü❧ö♥ ❦❡③❡❧♥✐✱ ♠✐✈❡❧ ❛ ♠érés❡❦ s♦rá♥ ❛

r❡❛❦❝✐ósí❦❤♦③ ❦é♣❡st✐ s③ö❣ s③❡r✐♥t✐ s♦rt ✈❡s③ü♥❦ P ✭ vn cos[n(ϕ − ψn )])✱ í❣② ❛ ❢❡♥t✐ s③✐♥✉s③♦s és ❦♦s③✐♥✉s③♦s t❛❣♦❦ öss③❡✈♦♥✈❛ ❥❡❧❡♥♥❡❦ ♠❡❣✳ ▼ás ♠érés✐ ♠ó❞s③❡r ❡s❡té♥ ✉❣②❛♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥❤❡t♥❡❦ ❦ü❧ö♥ ✐s ❛ s③✐♥✉s③♦s t❛❣♦❦✱ ❞❡ ❡❦❦♦r ✐s s③✐♠♠❡tr✐❛ ♦❦♦❦❜ó❧ ❡③❡♥ t❛❣♦❦ ❡❧t➯♥♥❡❦✳ ✷✳ ❍✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛ ❢♦❧②❛❞é❦♦❦ ❦♦❧❧❡❦tí✈ ✈✐s❡❧❦❡❞ését ír❤❛t❥✉❦ ❧❡✳ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ♠❡❣❦♦♥str✉✲ á❧ás❛❦♦r ❛③ ❛♥②❛❣♦t ❢❡❧é♣ít➤ ♦❜❥❡❦t✉♠♦❦ ✭♣❧✳

❛t♦♠♦❦✱ ❦✈❛r❦♦❦✮ t✉❧❛❥❞♦♥sá❣❛✐t ♥❡♠ ✈❡ss③ü❦ ✜❣②❡❧❡♠❜❡✱ ❡❤❡❧②❡tt ❡❣② ❢♦❧②t♦♥♦s ❦é♣❜❡♥ ❦❡③❡❧❥ü❦ ❛③ ❛♥②❛❣♦t✳ ❆ ❦♦❧❧❡❦tí✈ ✈✐s❡❧❦❡❞ést ❥❡❧❧❡♠❡③❤❡t❥ü❦ ❛♥②❛❣✴s③á♠✲ és ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣❣❡❧✱ ♥②♦♠ás❡❧♦s③❧áss❛❧ ✈❛❧❛♠✐♥t s❡❜❡ssé❣❡❧♦s③❧áss❛❧✳ ❆ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦❜❡♥ ❡③❡♥ ✻ ♠❡♥♥②✐sé❣r❡ ❢❡❧ír❤❛tó ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ rö✈✐❞ ❧❡✈❡③❡tését ♠✉t❛t♦♠ ❜❡✳ ✹ Forrás:http://www.doksihu ✷✳✶✳ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s

❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦á❜❛♥ ❡❧t❡❦✐♥tü♥❦ ❛ttó❧✱ ❤♦❣② tö♠❡❣❣❡❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ❛♥②❛❣ ♥❡♠ ér❤❡t✐ ❡❧ ❛ ❢é♥② ✈á❦✉✉♠❜❡❧✐ s❡❜❡ssé❣ét✳ ❊❦❦♦r ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❦ö♥♥②❡❜❜❡♥ ♠❡❣❦♦♥str✉á❧❤❛tó❛❦✱ ✈✐s③♦♥t ♥❛❣② s❡❜❡s✲ sé❣❡❦ ❡s❡té♥ ♠ár ♥❡♠ ❧❡s③♥❡❦ ❤❡❧②❡s❡❦✳ ❍✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❧s➤ ❡❣②❡♥❧❡t❡ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛③t ❛ ❦ísér❧❡t✐ t❛♣❛s③t❛❧❛t♦t s③❡r❡t♥é♥❦ ♠❛t❡♠❛t✐❦❛✐ ❢♦r♠á❜❛ ö♥t❡♥✐✱ ❤♦❣② ❛③ ❛♥②❛❣ ♠❡❣♠❛r❛❞✳ ❊③t ú❣② t❡❤❡t❥ü❦ ♠❡❣✱ ❤♦❣② ❛③ ❛♥②❛❣❜❛♥ t❡❦✐♥tü♥❦ ❡❣② V

tér❢♦❣❛t♦t✱ és ❡❜❜❡♥ ❛ tö♠❡❣ ♠❡❣✈á❧t♦③ásá♥❛❦ ♠❡❣ ❦❡❧❧ ❡❣②❡③♥✐❡ tér❢♦❣❛t ❤❛tárá♥ át❢♦❧②t ❛♥②❛❣ tö♠❡❣é✈❡❧✿ d ❆♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❢❡❧t❡ss③ü❦✱ ❤♦❣② ❛ ❧❡♦s③t❥✉❦ dt✲✈❡❧✱ V Z 3 V ρd x = − I ρvdtdA tér❢♦❣❛t✉♥❦ rö❣③ít❡tt✱ ❛③❛③ ♥❡♠ ✈á❧t♦③✐❦ ❛③ ✐❞➤❜❡♥✱ és ❛ ❢❡♥t✐ ❡❣②❡♥❧❡t❡t ❛③ ✐❞➤ s③❡r✐♥t✐ ❞❡r✐✈á❧t ❜❡✈✐❤❡t➤ ❛③ ✐♥t❡❣rá❧ ❛❧á✳ ❛✉ss✲❖str♦❣r❛❞s❦②✲tét❡❧ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ át❛❧❛❦ít❤❛tó tér❢♦❣❛tr❛ ✈❡tt ✐♥t❡❣rá❧ ✵✳ ✭✷✳✶✳✶✮ ∂V ▼✐✈❡❧ V V ✲r❡ ❆ ③árt ∂V ✲r❡ ✈❡tt ❢❡❧ü❧❡t✐ ✐♥t❡❣rá❧

✈❡tt tér❢♦❣❛t✐ ✐♥t❡❣rá❧❧á✱ í❣② ❛③t ❦❛♣❥✉❦✱ ❤♦❣② V t❡ts③➤❧❡❣❡s ❧❡❤❡t✱ ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t ❛❦❦♦r t❡❧❥❡sü❧ ♠✐♥❞❡♥ ❡s❡t❜❡♥ ❤❛ ❛③ ✐♥t❡❣rá❧ ❛❧❛tt s③❡r❡♣❧➤ ♠❡♥♥②✐sé❣ ♥✉❧❧❛✳ ❮❣② ❦❛♣❥✉❦ ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❧s➤ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡tét✱ ♠❡❧②❡t ❦♦♥t✐♥✉✐tás✐ ❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ♥❡✈❡③ü♥❦✿ ∂ρ + ∇ρv = 0 ∂t ✭✷✳✶✳✷✮ ❚♦✈á❜❜✐ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦❡t ú❣② ❦❛♣❤❛t❥✉❦✱ ❤♦❣② ❢❡❧ír❥✉❦ ❢♦❧②t♦♥♦s ❦ö③❡❣❡❦r❡ ◆❡✇t♦♥ ■■✳ tör✈é♥②ét✳ ér❞❡❦é❜❡♥ ✐s♠ét t❡❦✐♥tü♥❦ ❡❣②

t❡ts③➤❧❡❣❡s tér❢♦❣❛t♦t✳ ❊♥♥❡❦ ❆ tér❢♦❣❛t❜❛♥ ❧❡✈➤ ❛♥②❛❣r❛ ❤❛t❤❛t ❡❣② ❦ü❧s➤ ❡r➤s➯r➯sé❣✱ ✈❛❧❛♠✐♥t ❛ tér❢♦❣❛t ❤❛tárá♥ ❛ ✒❦✐♥t✲r❡❦❡❞t✑ ❛♥②❛❣ á❧t❛❧ ❦✐❢❡❥t❡tt ❡r➤✱ ❛♠❡❧②❡t ❢❡❧ír❤❛t✉♥❦ ❡❣② t❡♥③♦r ❢❡❧ü❧❡t✐ ✐♥t❡❣rá❧❥❛❦é♥t✳ ❊③❡♥ t❡♥③♦rt ♥❡✈❡③③ü❦ ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦r♥❛❦✳ Z V dv ρ dV = dt Z f dV + V I ✭✷✳✶✳✸✮ σdA ∂V ❆ ❦♦♥t✐♥✉✐tás✐ ❡❣②❡♥❧❡t♥é❧ ✈á③♦❧t ❡❧❥árás s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❡③t ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡t ✐s át❛❧❛❦ít❤❛t❥✉❦ ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥✲ ❧❡tté✱ í❣② ❦❛♣❥✉❦ ♠❡❣ ❛

❢♦❧②t♦♥♦s ❦ö③❡❣❡❦ ♠♦③❣ás❡❣②❡♥❧❡tét✿ ρ dv = ❢ + ∇σ dt ✭✷✳✶✳✹✮ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ ✐❞➤❞❡r✐✈á❧t ❡❣②ütt✲♠♦③❣ó r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ✈❛♥ ért❡❧♠❡③✈❡✱ ❡③ért ❢♦❧②❛❞é❦♦❦ ❡s❡té✲ ❜❡♥ ❧❛❜♦rr❡♥❞s③❡r❜❡♥ ❢❡❧ír✈❛ ❛③ ✐❞➤❞❡r✐✈á❧ás ❛ ∂t + (v∇) ♦♣❡rát♦r ❧❡s③✳ ❆ ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦r ❢♦❧②❛❞é❦♦❦ ❡s❡té❜❡♥ ❦ét rés③r❡ ❜♦♥t❤❛tó σ = σid + σvisc ✱ ❛❤♦❧ ❛ σid ❥❡❧ö❧✐ ❛ ✈✐s③❦♦③✐✲ tás♠❡♥t❡s ❢♦❧②❛❞é❦ ✭❛③ ✐❧②❡♥ ❢♦❧②❛❞é❦♦❦❛t ♥❡✈❡③③ü❦ ✐❞❡á❧✐s ❢♦❧②❛❞é❦♥❛❦✮ ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦rát✱

♠í❣ ❛ σvisc t❛❣ ❛ súr❧ó❞ás ❦ö✈❡t❦❡③té❜❡♥ ❦❡❧❡t❦❡③➤ ❢❡s③ü❧tsé❣❡t ❥❡❧❧❡♠③✐✳ ▼✐✈❡❧ ✐❞❡á❧✐s ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ ♥❡♠ ❤❛t♥❛❦ ♥②író❡r➤❦ ❛ ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦r ❝s❛❦ ❞✐❛❣♦♥á❧✐s ❧❡❤❡t✱ ❡③ért ✐③♦tró♣ ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ ❝s❛❦ ❛③ ❡❣②sé❣♠át✲ r✐①s③❛❧ ❧❡❤❡t ❛rá♥②♦s✿ σid = −pI ✱ ❛❤♦❧ ❛ p ❛rá♥②♦ssá❣✐ té♥②❡③➤ ❛ ♥②♦♠ás✳ ✺ ■③♦tró♣ ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ Forrás:http://www.doksihu ❛ súr❧ó❞ást s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❦ö✈❡t❦❡③té❜❡♥ ❦ét ♣❛r❛♠ét❡rr❡❧ ❥❡❧❧❡♠❡③❤❡t❥ü❦✱ ♠❡❧②❡❦ ❛③ ❛♥②❛❣r❛ ❥❡❧❧❡♠③➤

á❧✲ ❧❛♥❞ó❦✳ ❊③❡♥ á❧❧❛♥❞ó❦ s❡❣ítésé✈❡❧ ❧✐♥❡ár✐s ✈✐s③❦ó③✉s ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦r ❦ö♥♥②❡♥ ♠❡❣❦♦♥str✉á❧❤❛tó✱ ❛ t❡❧❥❡s ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦r ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❛❧❛❦✉❧✿    2µ  I(∇v) + µ ∇ ◦ v + (∇ ◦ v)T σ = −pI + ζ − 3 ✭✷✳✶✳✺✮ ❊③❡♥ ❢❡s③ü❧tsé❣t❡♥③♦rt ❜❡ír✈❛ ❛ ♠♦③❣ás❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ ❦❛♣❤❛t❥✉❦ ❛ súr❧ó❞ó ✐③♦tró♣ ❢♦❧②❛❞é❦♦❦ ♠♦③❣ás❡❣②❡♥✲ ❧❡tét✱ ❛♠❡❧②❡t ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ♥❡✈❡③ü♥❦ ✭❤❛ ♥✐♥❝s ✈✐s③❦ó③✉s t❛❣ ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ ❛❦❦♦r ❊✉❧❡r✲ ❡❣②❡♥❧❡t ♥❡✈❡t

✈✐s❡❧✐✮✿  ∂v   µ ρ + (v∇)v = −∇p + µ∆v + ζ + ∇(∇v) + f ∂t 3 ✭✷✳✶✳✻✮ ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✉t♦❧só ❡❣②❡♥❧❡té♥❡❦ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛ ♠ér❧❡❣❡❣②❡♥❧❡t❡ t❡❦✐♥t❤❡t➤✳ ❆③ ❛♥②❛❣♠❡❣♠❛r❛❞ást ❦✐❢❡❥❡✲ ③➤ ♠ér❧❡❣❡❣②❡♥❧❡tt❡❧ ❡❧❧❡♥tét❜❡♥ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛ ❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ ❛ ε ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣ és εv ár❛♠ ♠❡❧❧❡tt ❢♦rrást❛❣♦❦ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥♥❡❦✱ ♠✐✈❡❧ ❛ r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ❤❛tó ❡r➤❦ ✈á❧t♦③t❛t❤❛t❥á❦ ❛③ ❡♥❡r❣✐át✳ ■❞❡á❧✐s ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ ❡❣②s③❡r➯❡♥ ♠❡❣❦❛♣❤❛t❥✉❦ ❛ ❢♦rrást❛❣♦t✳ ❊♥♥❡❦ ér❞❡❦é❜❡♥

t❡❦✐♥tsü❦ ❛ t❡r♠♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❧s➤ ❢➤tét❡❧ét és t❡❣②ü❦ ❢❡❧✱ ❤♦❣② ❛ ♠♦③❣ás ❧♦❦á❧✐s❛♥ ❛❞✐❛❜❛t✐❦✉s✱ ❡❦❦♦r ❛③ ❡❧s➤ ❢➤tét❡❧ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛♥ ír❤❛tó✿ 1 ε d = −pd ✭✷✳✶✳✼✮ ρ ρ ❊❧✈é❣❡③✈❡ ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧ás♦❦❛t ♠❛❥❞ ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡t dt✲✈❡❧ ❧❡♦s③t✈❛✱ ❛③ ❡❣②ütt✲♠♦③❣ó r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ér✈é♥②❡s ✐❞➤✲❞❡r✐✈á❧t❛t átír✈❛ ❧❛❜♦rr❡♥❞s③❡r❜❡ és ❛ ✭✷✳✶✳✷✮ ❡❣②❡♥❧❡t❡t ❦✐❤❛s③♥á❧✈❛ ❦❛♣❥✉❦ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤t✿ ∂ε + ∇εv = −p∇v ∂t ✭✷✳✶✳✽✮ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t❜➤❧ ❧áts③✐❦✱ ❤♦❣② ✐❞❡á❧✐s

❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ ❛ ❢♦rrást❛❣ −p∇v ✳ ❆♠❡♥♥②✐❜❡♥ ✈❛♥ ✈✐s③❦♦③✐tás ❡❣② ú❥ ❢♦rrást❛❣ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥✐❦✱ ♠✐✈❡❧ ❛ súr❧ó❞ás ❤❛tásár❛ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛ ❞✐ss③✐♣á❧ó❞✐❦✳ ❊③ ❛ t❛❣ ∇(σv) ❛❧❛❦❜❛♥ ír❤❛tó ❢❡❧✳ ❮❣② ❛ ✈✐s③❦ó③✉s ❢♦❧②❛❞é❦♦❦ ❡♥❡r❣✐❛✲♠ér❧❡❣❡❣②❡♥❧❡t❡ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ír❤❛tó ❢❡❧✿ ∂ε + ∇εv = −p∇v + ∇(σv) ∂t ✭✷✳✶✳✾✮ ❆ ❢♦❧②❛❞é❦♦❦ ❦♦❧❧❡❦tí✈ ✈✐s❡❧❦❡❞ését ❥❡❧❧❡♠③➤ ✻ ❞❛r❛❜ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦r❡ ✺ ❞❛r❛❜ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t❡t írt✉♥❦ ❢❡❧✳ ❆③ ✉t♦❧só

❡❣②❡♥❧❡t ❛ ε és ❛ p ❦ö③t✐ ❦❛♣❝s♦❧❛t❜ó❧ ❛❞ó❞✐❦✱ ♠❡❧②❡t á❧❧❛♣♦t❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ♥❡✈❡③ü♥❦✳ ▼✐✈❡❧ ❛ r❡♥❞s③❡rü♥❦ ❧♦❦á❧✐s❛♥ t❡r♠♦❞✐♥❛♠✐❦❛✐ ❡❣②❡♥sú❧②❜❛ ❦❡rü❧ ❤➤♠érsé❦❧❡t ❡❧♦s③❧ásró❧ ✐s ❜❡s③é❧❤❡tü♥❦✱ ❛♠❡❧②❡t ❛ p = nT öss③❡❢ü❣❣éss❡❧ s③♦❦ás ❞❡✜♥✐á❧♥✐✳ ❊❦❦♦r ❛③ á❧❧❛♣♦t❡❣②❡♥❧❡tr❡ s♦❦ ❡s❡t❜❡♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤✱ ✈✐s③♦♥②❧❛❣ ❡❣②s③❡r➯ ❡❣②❡♥❧❡t ❤❛s③♥á❧❤❛tó✿ ε = κ(T )p ✻ ✭✷✳✶✳✶✵✮ Forrás:http://www.doksihu ✷✳✷✳ ❘❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❆ ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛

tá❣✉❧ás❛ ❢é♥②s❡❜❡ssé❣❣❡❧ öss③❡♠ér❤❡t➤ s❡❜❡ssé❣❣❡❧ törté♥✐❦✱ ❡③ért ❛ ❦♦❧❧❡❦tí✈ ✈✐s❡❧✲ ❦❡❞ésé♥❡❦ ♣♦♥t♦s❛❜❜ ❧❡írás❛ ér❞❡❦é❜❡♥ ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❛❧❦❛❧♠❛③❛♥❞ó✳ ❆③ ❛♥②❛❣♠❡❣♠❛r❛❞ást ❦✐❢❡❥❡③➤ ❡❣②❡♥❧❡t ♠❡❣t❛❧á❧ás❛ ér❞❡❦é❜❡♥ t❡❦✐♥tsü❦ ❛ s➯r➯sé❣ és ♥é❣②❡s✲s❡❜❡ssé❣ s③♦r③❛tá♥❛❦ ❞✐✈❡r❣❡♥❝✐á❥át✳ ❊③t ❢❡❧ír✈❛ és v ≪ c ❦ö③❡❧ítést ❛❧❦❛❧♠❛③✈❛ ✭✷✳✶✳✷✮ ❡❣②❡♥❧❡t ❜❛❧♦❧❞❛❧át ❦❛♣❥✉❦✳ ❊③ért ❛③ ❛♥②❛❣♠❡❣♠❛r❛❞ást ❧❡író r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s

❡❣②❡♥❧❡t ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤✿ ∂µ (ρuµ ) = 0 ✭✷✳✷✳✶✮ ❆ t♦✈á❜❜✐ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❧❡✈❡③❡tésér❡ ❛③ á❧t❛❧á♥♦s✲r❡❧❛t✐✈✐tás❡❧♠é❧❡t ♥②ú❥t s❡❣ítsé❣❡t ❬✶✶❪✳ ■tt ❛ ❦❧❛ss③✐❦✉s ♠❡❝❤❛♥✐❦á❤♦③ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦❡t ❛ ❧❡❣❦✐s❡❜❜ ❤❛tás ❡❧✈é❜➤❧ s③ár♠❛③t❛t❤❛t❥✉❦✳ ❆③ á❧t❛❧á♥♦s r❡❧❛t✐✈✐tás❡❧♠é❧❡t ❡❣②✐❦ ❛❧❛♣á❧❧ítás❛✱ ❤♦❣② ❛ tér✐❞➤t ❛③ ❛♥②❛❣ ❣ör❜ít✐✳ ❆ tér✐❞➤ ♥é❣②❞✐♠❡♥✲ ③✐ós s♦❦❛sá❣❣❛❧ ♠♦❞❡❧❧❡③❤❡t➤✱ ❛♠❡❧②♥❡❦ ❣ör❜ü❧tsé❣ét ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✲t❡♥③♦r ❥❡❧❧❡♠③✐✱ ❛♠❡❧②

❡❣② ✹✲✐♥❞❡①❡s ♠❡♥♥②✐sé❣✱ ❦ét ✐♥❞❡①ét öss③❡❡❥t✈❡ ❦❛♣❥✉❦ ❛ ❘✐❝❝✐✲t❡♥③♦rt ✭Rµν ✮✱ ❡♥♥❡❦ ❛ ❦ét ✐♥❞❡①ét öss③❡❡❥t✈❡ ♣❡❞✐❣ ❛ ❘✐❝❝✐✲s❦❛❧ár ❦❛♣❤❛tó✱ ❛♠❡❧②❡t R✲❡❧ ❥❡❧ö❧ü♥❦✳ ❊③ ❛ tér✐❞➤t ❣ör❜ü❧tsé❣ét ❥❡❧❧❡♠③➤ ❧❡❣❡❣②s③❡r➯❜❜ s❦❛❧ár✱ í❣② ❛❞ó❞✐❦ ❛③ öt❧❡t✱ ❤♦❣② ❡③t t❡❦✐♥tsü❦ ▲❛❣r❛♥❣❡✲s➯r➯sé❣❢ü❣❣✈é♥②♥❡❦✳ ❯tó❧❛❣ ❦✐❞❡rü❧t✱ ❤♦❣② ❝é❧s③❡r➯ ♠é❣ ❡❣② ❦♦♥st❛♥st ❤♦③③á❛❞♥✐ ✭Λ✮ és ❡③t t❡❦✐♥t❡♥✐ s➯r➯sé❣❢ü❣❣✈é♥②♥❡❦ ✭❞✐♠❡♥③✐♦♥á❧✐s ♦❦♦❦❜ó❧ ♠é❣ c4 /G

érté❦❦❡❧ ✐s ♠❡❣ ❦❡❧❧ s③♦r♦③♥✐✱ 16π ✲❛❧ ér❞❡♠❡s ❧❡♦s③t❛♥✐✱ ❤♦❣② ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❢❡❧írás❛ ✉tá♥ ❦ö③❡❧ítés❜❡♥ ✈✐ss③❛❦❛♣❥✉❦ ❛ ◆❡✇t♦♥✲❢é❧❡ ❣r❛✈✐tá❝✐ós ❡❧♠é❧❡t❡t✮✳ ❆♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❛ s♦❦❛sá❣♦t ❡❧❧át❥✉❦ ♠❡tr✐❦á✈❛❧✱ ❛③ ➤ ✐s♠❡r❡t❡ t❡❧❥❡s ❧❡írás❛ ❛ tér✐❞➤♥❡❦✳ ❆ ❤❛tás✐♥t❡❣rá❧t ❢❡❧ír❤❛t❥✉❦ ♠✐♥t ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ ❛♥②❛❣♦t ❥❡❧❧❡♠③➤ s➯r➯sé❣❢ü❣❣✈é♥② ✭LM ✮ és ❛ tér✐❞➤t ❥❡❧❧❡♠③➤ s➯r➯sé❣❢ü❣❣✈é♥② öss③❡❣❡✿ 1 S[g] = c Z √  d4 x −g LM +  c4 (R + 2Λ) 16πG ✭✷✳✷✳✷✮ ❆ ❝é❧✉♥❦

♠❡❣❤❛tár♦③♥✐✱ ❤♦❣② ❛③ ❛♥②❛❣ ❤♦❣②❛♥ ❣ör❜ít✐ ❛ tér✐❞➤t✱ ❛③❛③ ❦❡r❡ssü❦ ❛ ❤❛tás ♠✐♥✐♠✉♠át ❛ ♠❡tr✐❦✉s t❡♥③♦rt ✈❛r✐á❧✈❛✳ ❆③ ❛♥②❛❣♦t ❥❡❧❧❡♠③➤ ▲❛❣r❛♥❣❡✲s➯r➯sé❣❢ü❣❣✈é♥② ♠❡tr✐❦✉s t❡♥③♦r s③❡r✐♥t✐ ✈❛r✐✲ á❝✐ó❥á✈❛❧ ❞❡✜♥✐á❧❥✉❦ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲✐♠♣✉❧③✉s t❡♥③♦rt ✭T µν ✮✱ í❣② ♥é♠✐ s③á♠♦❧áss❛❧ ❛ t❡❧❥❡s ❤❛tás ✈❛r✐á❝✐ó❥❛✿ 1 δS = c Z 4 √ d x −g 1 2 T µν
 1 µν c4 µν µν R − Rg + Λg − δgµν 16πG 2 ✭✷✳✷✳✸✮ ▼✐✈❡❧ t❡ts③➤❧❡❣❡s✱ ❦✐❝s✐ δgµν ❡s❡té♥ ❤❛tás♥❛❦ ✈❛r✐á❝✐ó❥á♥❛❦ ♥✉❧❧á♥❛❦ ❦❡❧❧

❧❡♥♥✐❡ ❛ ③áró❥❡❧❜❡♥ ❧❡✈➤ ♠❡♥♥②✐sé❣ ❡❧ ❦❡❧❧✱ ❤♦❣② t➯♥❥ö♥✱ í❣② ❦❛♣❥✉❦ ❛③ ❊✐♥st❡✐♥✲❡❣②❡♥❧❡t❡t✿ 1 8πG Rµν − Rg µν + Λg µν = 4 T µν 2 c ✭✷✳✷✳✹✮ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t ❜❛❧♦❧❞❛❧á♥❛❦ ❦♦✈❛r✐á♥s ❞✐✈❡r❣❡♥❝✐á❥át ✈é✈❡ ❛③♦♥♦s❛♥ ♥✉❧❧át ❦❛♣✉♥❦✱ ❛♠❡❧②❜➤❧ ❦ö✈❡t❦❡③✐❦✱ ❤♦❣② ❛ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧ ❦♦✈❛r✐á♥s ❞✐✈❡r❣❡♥❝✐á❥á♥❛❦ ✐s ♥✉❧❧á♥❛❦ ❦❡❧❧ ❧❡♥♥✐❡✿ ∇µ T µν = 0 ✼ ✭✷✳✷✳✺✮ Forrás:http://www.doksihu ❆③ ❡♥❡r❣✐❛✲✐♠♣✉❧③✉s t❡♥③♦rt ❛③ ❛♥②❛❣✐ ▲❛❣r❛♥❣❡✲s➯r➯sé❣❢ü❣❣✈é♥② ♠❡tr✐❦✉s

t❡♥③♦r s③❡r✐♥t✐ ✈❛r✐á❝✐ó❥á✈❛❧ ❞❡✜♥✐á❧t✉❦✱ í❣② ➤ ❛③ ❛♥②❛❣♦t ❥❡❧❧❡♠③➤ t❡♥③♦r✳ ❆③③❛❧✱ ❤♦❣② ❛③t ❦❛♣t✉❦✱ ❤♦❣② ❛ ❦♦✈❛r✐á♥s ❞✐✈❡r❣❡♥❝✐á❥á♥❛❦ ♥✉❧❧á♥❛❦ ❦❡❧❧ ❧❡♥♥✐❡✱ ❛③ ❛♥②❛❣ ✈✐s❡❧❦❡❞ésér❡ ❦❛♣❤❛t✉♥❦ ♦❧②❛♥ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦❡t ❛♠❡❧②♥❡❦ ❡❧❡❣❡t ❦❡❧❧ t❡♥♥✐❡✳ ❚❡❤át ❤❛ ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ ♠❡❣❤❛tár♦③③✉❦ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲✐♠♣✉❧③✉s t❡♥③♦rt✱ ❛③ ➤ ❦♦✈❛r✐á♥s ❞✐✈❡r❣❡♥❝✐á❥á✲ ♥❛❦ ❡❧t➯♥és❡ ❢♦❣❥❛ ❛❞♥✐ ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛

❡❣②❡♥❧❡t❡✐t✳ ❆ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦❜❡♥ ♠❡❣❤❛tár♦③♦♠ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲✐♠♣✉❧③✉s t❡♥③♦rt ❢♦❧②❛❞é❦♦❦r❛✳ ■❞❡á❧✐s ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té❜❡♥ ❜❡❧s➤ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣❡♥ ❦í✈ü❧ ♥❡♠ ❥❡❧❡♥❤❡t ♠❡❣ ♠ás ❡♥❡r❣✐❛❥❡❧❧❡❣➯ ♠❡♥♥②✐sé❣ ❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ ♥✐♥❝s ❦ö❧❝sö♥❤❛tás ❛ ❢♦❧②❛❞é❦ és ❦ü❧✈✐❧á❣ ❦ö③t✳ ❮❣② ❛③ ❛♥②❛❣✐ ▲❛❣r❛♥❣❡✲s➯r➯sé❣❢ü❣❡✈é♥② ❛ ❜❡❧s➤ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣❣❡❧ ❡❣②❡③✐❦ ♠❡❣✳ ❆ t❡r♠♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❧s➤ ❢➤tét❡❧❡ s③❡r✐♥t ❡♥♥❡❦ ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❥❛ s③á♠s➯✲ r➯sé❣❣❡❧ és ❢❛❥❧❛❣♦s

❡♥tró♣✐❛ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛♥ ír❤❛tó✿ dε = ε+p dn + nT ds n ✭✷✳✷✳✻✮ ❊❜❜➤❧ ❦ö✈❡t❦❡③✐❦✱ ❤♦❣② ❛③ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣ és ❢❛❥❧❛❣♦s ❡♥tró♣✐❛ ❢ü❣❣✈é♥②❡✱ és s③á♠s➯r➯sé❣ s③❡r✐♥t✐ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞❡r✐✈á❧t❥❛ ❛ (ε + p)/n✳ ❆ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦❜❡♥ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲✐♠♣✉❧③✉s t❡♥③♦r ♠❡❣❤❛tár♦③ás❛ ér❞❡❦é❜❡♥ ♠❡tr✐❦✉s t❡♥③♦r s③❡r✐♥t ✈❛r✐á❧❥✉❦ ❛③ ❛♥②❛❣♦t ❧❡író ❤❛tást✳ ■tt ❦✐❤❛s③♥á❧❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛ ❢❛❥❧❛❣♦s ❡♥tró♣✐❛ ❛ ♠❡tr✐❦✉s t❡♥③♦r ✈❛r✐á❝✐ó❥ár❛ ✐♥✈❛r✐á♥s ♠✐✈❡❧ ❛③

❡♥tró♣✐❛ és ❛ rés③❡❝s❦❡s③á♠ ❤á♥②❛❞♦s❛✱ ❛ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠❛ ♥❡♠ ❢ü❣❣ ❛ttó❧✱ ❤♦❣② ❤♦❣② ír❥✉❦ ❧❡ ❛ tér✐❞➤t és ❛③ ❡♥tró♣✐❛ ❛ ♠✐❦r♦á❧❧❛♣♦t♦❦ s③á♠átó❧ ❢ü❣❣ ❝s✉♣á♥✱ ❛♠❡❧② s③✐♥té♥ ♥❡♠ ❢ü❣❣ ❛ tér✐❞➤ ❧❡írásátó❧✳ ❊③❡❦ ❛❧❛♣❥á♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦ú ❧❡s③ ❛ ❤❛tás ✈❛r✐á❝✐ó❥❛✿ δSM 1 =δ c Z √ 1 d x −gε(n, s) = c 4 Z 4 dx  √ ∂ε −δg −g δn + √ ε ∂n 2 −g ❆ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ ♠❡tr✐❦✉s t❡♥③♦r ❞❡t❡r♠✐♥á♥sá♥❛❦ ✈❛r✐á❝✐ó❥❛ ❡❣②s③❡r➯❡♥ ❢❡❧ír❤❛tó ♠✐♥t  ✭✷✳✷✳✼✮ δg = gg µν δgµν ✳ ❆ s③á♠s➯r➯sé❣ ✈❛r✐á❝✐ó❥á♥❛❦

♠❡❣❤❛tár♦③ás❛ ér❞❡❦é❜❡♥ t❡❦✐♥tsü❦ ❛ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠át✱ ❛♠❡❧② ❡❣② ✒♠♦st ❢❡❧ü✲ ❧❡t❡♥✑ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣ ❤ár♠❛s✲tér❢♦❣❛t✐ ✐♥t❡❣rá❧❥❛❦é♥t ír❤❛tó ❢❡❧✳ ❆ tér❢♦❣❛t❡❧❡♠ átír❤❛tó ❜❛♥✱ ❛❤♦❧ ❛ d4 x ❛③ ✐♥✈❛r✐á♥s tér❢♦❣❛t❡❧❡♠✱ í❣② ❛ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠á♥❛❦ ✐♥✈❛r✐❛♥❝✐á❥á❜ó❧ ❛ √ −gd4 x/dτ ❛❧❛❦✲ √ δ(n −g/dτ ) = 0 ❡❣②❡♥❧❡t ❛❞ó❞✐❦✱ ❛♠❡❧②❜➤❧ ❦✐❢❡❥❡③❤❡t➤ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣ ♠❡tr✐❦✉s t❡♥③♦r s③❡r✐♥t✐ ✈❛r✐á❝✐ó❥❛✿  1 1 µ ν δn µν δgµν u u − g = n 2 c2 ✭✷✳✷✳✽✮ ❊③❡❦❡t ❜❡ír✈❛ ❛ ❤❛tás ✈❛r✐á❝✐ó❥á❜❛♥

♠❡❣❦❛♣❥✉❦ ❛③ ✐❞❡á❧✐s ❢♦❧②❛❞é❦ ❡♥❡r❣✐❛✲✐♠♣✉❧③✉s t❡♥③♦rát✿ T µν = ε + p
uµ uν − pg µν c2 ✭✷✳✷✳✾✮ ❊③❡♥ t❡♥③♦r ❦♦✈❛r✐á♥s ❞✐✈❡r❣❡♥❝✐á❥á♥❛❦ ♥✉❧❧úsá❣❛ ❛❞❥❛ ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐t✱ ❡③ ▼✐♥❦♦✇s❦✐✲tér✐❞➤❜❡♥ ❢❡❧ír✈❛ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦♦t ö❧t✐✿ ∂µ T µν = 0 ✽ ✭✷✳✷✳✶✵✮ Forrás:http://www.doksihu ❊③ öss③❡s❡♥ ✹ ❞❛r❛❜ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t✳ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t❡t ❦ét rés③r❡ ❜♦♥t❤❛t❥✉❦ ú❣②✱ ❤♦❣② ❦✐ír❥✉❦ ❛ t❛❣♦❦❛t✱ rás③♦r③✉♥❦ ❡❣② uν ✲✈❡❧ és

❦✐❤❛s③♥á❧❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛ ♥é❣②❡s✲❣②♦rs✉❧ás ♠❡r➤❧❡❣❡s ❛ ♥é❣②❡s✲s❡❜❡ssé❣r❡✳ ❊❦❦♦r ❦❛♣❥✉❦ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ♠❡❣❢❡❧❡❧➤ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡❣②❡♥❧❡t❡t✱ ❛♠❡❧② ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤✿ (ε + p)∂µ uµ + uµ ∂µ ε = 0 ✭✷✳✷✳✶✶✮ ❆③ ❡r❡❞❡t✐ ❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ ❦✐❤❛s③♥á❧✈❛ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲❡❣②❡♥❧❡t❡t ❦❛♣❥✉❦ ❛③ ❊✉❧❡r✲❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ♠❡❣❢❡❧❡❧➤ r❡❧❛t✐✲ ✈✐s③t✐❦✉s ❡❣②❡♥❧❡t❡t✿ (ε + p)uν ∂ν uµ = (c2 g µν − uµ uν )∂ν p ✭✷✳✷✳✶✷✮ ✷✳✸✳ ❆♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ ✷✳✸✳✶✳ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s✱

✈✐s③❦♦③✐tás♠❡♥t❡s ♠❡❣♦❧❞ás ■❞❡á❧✐s ❢♦❧②❛❞é❦ ❡s❡té♥ ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐♥❡❦ ❡❣② ✸✰✶ ❞✐♠❡♥③✐ós ❣②♦rs✉❧✈❛ tá❣✉❧ó ♠❡❣♦❧❞ását ❈sör❣➤ ❚❛♠ás írt❛ ❢❡❧ ✷✵✵✻✲❜❛♥ ❬✹❪✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ás ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ á❧❧❛♣♦t❡❣②❡♥❧❡tét ❤❛s③♥á❧✈❛ ér✈é♥②❡s ✭❛ t♦✈á❜❜✐❛❦❜❛♥ ♠✐♥❞❡♥ ❜❡♠✉t❛t♦tt ♠❡❣♦❧❞ás ❡③❡♥ á❧❧❛♣♦t❡❣②❡♥❧❡t ♠❡❧❧❡tt ér✈é♥②❡s✮✿ ε = κp, ❡③ κ = 3 2 ✭✷✳✸✳✶✮ ❡s❡t❜❡♥ ❛③ ✐❞❡á❧✐s ❣á③ á❧❧❛♣♦t❡❣②❡♥❧❡t❡✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ás ❡❧❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧

r❡♥❞❡❧❦❡③✐❦✱ ♠❡❧②❡t ❛❞♦tt ✐❞➤❜❡♥ ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ór❛ ✈♦♥❛t❦♦③ó s = konstans ❡❣②❡♥❧❡tt❡❧ ❥❡❧❧❡♠❡③❤❡tü♥❦✳ ❆ s❦á❧❛✈á❧t♦③ót ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❦❡❧❧ ✐tt ❞❡✜♥✐á❧♥✐✿ s= y2 z2 x2 + + , X(t)2 Y (t)2 Z(t)2 ✭✷✳✸✳✷✮ ❛❤♦❧ x, y, z ❤❡❧②❦♦♦r❞✐♥átá❦✱ X(t), Y (t), Z(t) s❦á❧❛♣❛r❛♠ét❡r❡❦✳ ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐❜❡♥ áttér✈❡ ❛ tö♠❡❣s➯r➯sé❣r➤❧ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣r❡ ✭n = mρ✱ ❛❤♦❧ m ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ tö♠❡❣❞✐♠❡♥③✐ó❥ú ❦♦♥st❛♥s✮ ❛♥♥❛❦ ❛❧❛❦❥ár❛ ❢❡❧t❡ss③ü❦ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤t ✭ν(s) t❡ts③➤❧❡❣❡s✮✿ n(t, r) = n0 X 0 Y0 Z 0 ν(s)

XY Z ✭✷✳✸✳✸✮ ❆ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤r❡ ❛ r♦❜❜❛♥ás♦❦r❛ á❧t❛❧á❜❛♥ ❥❡❧❧❡♠③➤ ❍✉❜❜❧❡✲s❡❜❡ssé❣♠❡③➤❤ö③ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤t ❦❡❧❧ ❢❡❧t❡♥♥✐✿ v(t, r) =  Ẋ Ẏ Ż x, y, z X Y Z  ❆ ❤➤♠érsé❦❧❡t✲❡❧♦s③❧ásr❛ ♣❡❞✐❣ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣❤❡③ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ✭τ (s) t❡ts③➤❧❡❣❡s✮✿ 1  X 0 Y0 Z 0 κ T (t, r) = T0 τ (s) XY Z ✾ ✭✷✳✸✳✹✮ ✭✷✳✸✳✺✮ Forrás:http://www.doksihu ❆ ❤➤♠érsé❦❧❡t✲❡❧♦s③❧ás❜ó❧ ❛ p = nT ❡❣②❡♥❧❡t s❡❣ítsé❣é✈❡ ❦❛♣❥✉❦ ❛ ♥②♦♠ás✲❡❧♦s③❧ását✱ ❛③ á❧❧❛♣♦t❡❣②❡♥❧❡t❡t ❢❡❧❤❛s③♥á❧✈❛ ♣❡❞✐❣ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣

❡❧♦s③❧ást✳ ❆ ❢❡♥t ❢❡❧írt ❡❧♦s③❧ás♦❦❜❛♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ t❡ts③➤❧❡❣❡s ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ❦ö③t ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐t ❤❛s③♥á❧✈❛ ❦❛♣✉♥❦ ❡❣② öss③❡❢ü❣❣ést✿ 1 ν(s) = exp τ (s)  Ti − 2T0 Z s 0 ds′ τ (s′ )  ✭✷✳✸✳✻✮ ❊③❡❦❦❡❧ ❛③ ❡❧♦s③❧ás♦❦❦❛❧ ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t✲r❡♥❞s③❡r❡ ❡❣② ❦ö③ö♥sé❣❡s✱ ♠ás♦❞✲ r❡♥❞➯ ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡tr❡ ✈❡③❡t✱ ❛♠❡❧② ❛ s❦á❧❛♣❛r❛♠ét❡r❡❦r❡ ❛❞ó❞✐❦✿  1 T i X 0 Y0 Z 0 κ ẌX = Ÿ Y = Z̈Z = m XY Z ✭✷✳✸✳✼✮ ❆❜❜ó❧✱ ❤♦❣② ♠ás♦❞r❡♥❞➯

❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t❡t ❦❛♣t✉♥❦ ❛ s❦á❧❛♣❛r❛♠ét❡r❡❦r❡ ❧áts③✐❦✱ ❤♦❣② ❛ ♠❡❣♦❧❞ás ❣②♦rs✉❧áss❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③✐❦✳ ❆ ❦❛♣♦tt ❡❣②❡♥❧❡t ❡❣③❛❦t✉❧ ♥❡♠ ♦❧❞❤❛tó ♠❡❣✱ ✈✐s③♦♥t ❥ó✈❛❧ ❡❣②s③❡r➯❜❜❡♥ tár✲ ❣②❛❧❤❛tó✳ ✷✳✸✳✷✳ Ú❥ ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ♥✉♠❡r✐❦✉s ✈✐③s❣á❧❛t❛ s♦rá♥ t❛❧á❧t✉♥❦ ❡❣② ú❥ ♠❡❣♦❧❞ást ❛ ✈✐s③❦ó③✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥✲ ❧❡t❡✐♥❡❦✱ ❛♠❡❧② t❡ts③➤❧❡❣❡s s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ✸✰✶ ❞✐♠❡♥③✐ós ♠❡❣♦❧❞ás✳ ❆

♠❡❣♦❧❞ás❜❛♥ ❛ ✷✳✸✳✹ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤t ❤❛s③♥á❧❥✉❦ és ❛ r❡♥❞s③❡rt ❥❡❧❧❡♠③➤ s❦á❧❛✈á❧t♦③ór❛ ❢❡❧t❡ss③ü❦✱ ❤♦❣② ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ t❡ts③➤❧❡❣❡s F ❢ü❣❣✈é♥② s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ír❤❛tó ❢❡❧✿ s = F x y z t, t, t
✳ ❊❦❦♦r ❛③ F ❢ü❣❣✈é♥② ❛③ ❡❧s➤ ❦ét ✈á❧t♦③ó❥á❜❛♥ ❋♦✉r✐❡r✲s♦r❜❛ ❢❡❥t❤❡t➤✱ í❣② ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó t❡ts③➤❧❡❣❡s s③✐♠♠❡tr✐❛ ❡s❡té♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛♥ ír❤❛tó ✭R = R0 t✮✿   ∞ X r2 z2 s= 2 1+ ǫn cos(nϕ) + 2 R R n=1 ✭✷✳✸✳✽✮ ❆ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó és ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ t❡ts③➤❧❡❣❡s ν ❢ü❣❣✈é♥②

s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ♠❡❣❛❞❤❛t❥✉❦ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣❡t✿ n(t, r) = n0 X 0 Y0 Z0 ν(s) XY Z ❆ ♥②♦♠ás✲❡❧♦s③❧ást ú❣② ír❥✉❦ ❢ö❧✱ ❤♦❣② ♥❡ ❢ü❣❣❥ö♥ ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ótó❧✿  3+3/κ X 0 Y0 Z 0 p(t, r) = p0 XY Z ✭✷✳✸✳✾✮ ✭✷✳✸✳✶✵✮ ❊③❡♥ ❡❧♦s③❧ás♦❦ ♠❡❣♦❧❞ás❛✐ ❧❡s③♥❡❦ ❛ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ❤❛✱ ❛ s❦á❧❛♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❦✐❡❧é❣ít✐ ❛ ❦ö✈❡t✲ ❦❡③➤ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦❡t✱ ♠❡❧②❡❦ ♠❡❣♦❧❞ás❛ ❡❣②s③❡r➯✿ X = Ẋt, Y = Ẏ t, Z = Żt ✶✵ ✭✷✳✸✳✶✶✮ Forrás:http://www.doksihu ✷✳✸✳✸✳ ❊❧❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s s③✐♠♠❡t✐rá✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤

r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ❆ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦á♥❛❦ ♥é❤á♥② ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás❛ ❧ét❡③✐❦✳ ❈sör❣➤ és társ❛✐ ✷✵✵✹✲❜❡♥ ír✲ t❛❦ ❢ö❧ ❡❣② ✸✰✶ ❞✐♠❡♥③✐ós ♠❡❣♦❧❞ást ❛♠❡❧② ❛③ ❡♠❧ít❡tt ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás❤♦③ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ❡❧✲ ❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③✐❦ ❬✺❪✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ás❜❛♥ ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó❥❛ ♠❡❣❡❣②❡③✐❦ ❛ ❢❡♥t ❡♠❧ít❡tt ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás s❦á❧❛✈á❧t♦③ó❥á✈❛❧✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ást c=1 ❡❣②sé❣r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ❛❞♦♠

♠❡❣✳ ❆ s③á♠s➯r➯sé❣r❡ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦♦t ❦❛♣tá❦✿ n = n0 ❛❤♦❧ ❛ τ ❛ ❦♦♦r❞✐♥át❛✲s❛❥át✐❞➤ ✭τ = √  τ 3 τ0 ν(s), ✭✷✳✸✳✶✷✮ t2 − r 2 ✮✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ás ♥❡♠ ❣②♦rs✉❧ó✱ ❡③ért ❛ ♥é❣②❡s✲s❡❜❡ssé❣ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ♥é③ ❦✐✿ xµ u = τ µ ✭✷✳✸✳✶✸✮ ❆ ♥②♦♠ásás❡❧♦s③❧ás ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛♥ ❛❞❤❛tó ♠❡❣✿ p = p0  τ τ0 3+3/κ ✭✷✳✸✳✶✹✮ ❊③❡♥ ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ♠❡❣♦❧❞❥á❦ ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐t✱ ❡❣②❡t❧❡♥ ❤átrá♥②✉❦✱ ❤♦❣② ♥❡♠ ❣②♦rs✉❧ó ♠❡❣♦❧❞ást ír♥❛❦ ❧❡✳ ✷✳✸✳✹✳

❚❡ts③➤❧❡❣❡s s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ◆❡♠ré❣ ❦❡rü❧t ❢❡❧írásr❛ ❡❣② ❬✸❪✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ást c=1 3+1 ❞✐♠❡♥③✐ós t❡ts③➤❧❡❣❡s s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás ❡❣②sé❣r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ír♦♠ ❢❡❧✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞ás❜❛♥ tr❛♥s③✈❡r③ sí❦❜❛♥ t❡ts③➤❧❡❣❡s ◆ t❡♥❣❡❧②➯ s③✐♠♠❡tr✐❛ ♠❡❣❡♥❣❡❞❡tt✱ ❡❦❦♦r ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ír❤❛tó✿ s=  z2 r2  1 + ε cos N ϕ + 2 N R2 R ✭✷✳✸✳✶✺✮ ❆ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛ ❦❡r❡s❡tt ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❡t ❛

❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛ ír❥✉❦✿ Ṙ Ṙ  Ṙ u = γ 1, r cos ϕ, r sin ϕ, z R R R µ  n = n0  γR 3 p = p0 0 R ν(s)  γR 3+ κ3 0 R ✶✶ ✭✷✳✸✳✶✻✮ ✭✷✳✸✳✶✼✮ ✭✷✳✸✳✶✽✮ Forrás:http://www.doksihu γ=q 1 1− (r2 + ✭✷✳✸✳✶✾✮ z 2 )Ṙ2 /R2 ❆ ❢❡❧írt ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ♠❡❣♦❧❞❥á❦ ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐t ❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ t❡❧❥❡sü❧ ❛ R = Ṙt ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t✱ ❛♠❡❧②♥❡❦ ♠❡❣♦❧❞ásá❜ó❧ ❛❞ó❞✐❦ ❛ ❢❡❧írt ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❜❡♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ ♣❛r❛♠ét❡r R = R 0 t✳ ✷✳✹✳ ❑✐❢❛❣②ás ❆③ ❛t♦♠♠❛❣♦❦ üt❦ö③és❡ s♦rá♥ ❧étr❡❥ö✈➤ ♠❛❣❛s

❤➤♠érsé❦❧❡t❡♥ ❧étr❡❥ö♥ ❛ ❦✈❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛③♠❛✱ ❛♠❡❧② tá✲ ❣✉❧ás❛ s♦rá♥ ❤➯❧✳ ❆♠✐❦♦r ❛ ❤➤♠érsé❦❧❡t❡ ❡❧ér ❡❣② ❜✐③♦♥②♦s ❤➤♠érsé❦❧❡t❡t ♠❡❣s③➯♥♥❡❦ ❛ ❦✈❛r❦ s③❛❜❛❞sá❣✐ ❢♦❦♦❦✱ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ ❤❛❞r♦♥♦❦❛t ❞❡t❡❦t♦r♦❦ s❡❣ítésé✈❡❧ ♠ér❤❡t❥ü❦✳ ❚❡❤át ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ s③á✲ ♠♦❧t ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ❦ö③✈❡t❧❡♥ü❧ ♥❡♠ ♠ér❤❡t➤❦✱ ✈✐s③♦♥t ❛ ❦✐❢❛❣②ás❦♦r ♠❡❣❤❛tár♦③③á❦ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③➤ rés③❡❝s❦é❦ ❡❧♦s③❧ását✳ ❊♥♥❡❦ ❧❡írásár❛ ❜❡✈❡③❡t❥ü❦ ❛ ❢♦rrás❢ü❣❣✈é♥②t ✭S(x, p)d4 xd4

p✮✱ ❛♠❡❧② ♠❡❣♠♦♥❞❥❛✱ ❤♦❣② x és p ❤❡❧②❡♥ d4 xd4 p ❢á③✐stér❢♦❣❛t❜❛♥ ♠❡♥♥②✐ rés③❡❝s❦❡ ❦❡❧❡t❦❡③✐❦✳ ❆ ❦✐❢❛❣②ás ✈❛❧ós③í♥➯sé❣ér❡ ❇♦❧t③♠❛♥♥✲❏ütt♥❡r ❡❧♦s③❧ást✱ n(x)exp −  ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦ú✿ 4 S(x, p)d x = N n(x) exp  p µ uµ  T (x) ✱ ❢❡❧tét❡❧❡③✈❡ ❛ ❢♦rrás❢ü❣❣✈é♥②  p µ uµ H(τ )pµ d3 Σµ dτ, − T (x) ✭✷✳✹✳✶✮ ❛❤♦❧ N ♥♦r♠á❧ás✐ té♥②❡③➤✱ H(τ ) ❛ ❤❛❞r♦♥✐③á❝✐ót s❛❥át✐❞➤❜❡♥ ❧❡író t❛❣✱ d3 Σµ ❛ ❦✐❢❛❣②ás✐ ❤✐♣❡r❢❡❧ü❧❡t ✈❡❦t♦r♠érté❦❡✳ ❆ ❤❛❞r♦♥✐③á❝✐ór❛ ❢❡❧t❡❤❡t❥ü❦✱ ❤♦❣② s❛❥át✐❞➤❜❡♥

♣✐❧❧❛♥❛ts③❡r➯❡♥ törté♥✐❦✱ ❡❦❦♦r H(τ )dτ = δ(τ − τf )dτ ✳ ❆ ❦✐❢❛❣②ás ❤✐♣❡r❢❡❧ü❧❡té♥❡❦ ✈❡❦t♦r♠érté❦ér❡ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ öss③❡❢ü❣❣ést ír❤❛t❥✉❦ ❢❡❧ ❬✷❪✿ uµ d 3 x u0 d 3 Σµ = ✭✷✳✹✳✷✮ ❆ ❢♦rrás❢ü❣❣✈é♥② ✐♥t❡❣rá❧ásá✈❛❧ ❦❛♣❥✉❦ ❛③ ✐♠♣✉❧③✉s❡❧♦s③❧ást✱ ❛♠❡❧② ♠❡❣❛❞❥❛ ❛ p ✐♠♣✉❧③✉ss❛❧ ❦❡❧❡t❦❡③➤ rés③❡❝s❦é❦ s③á♠át✿ N (p) = Z S(x, p)d4 x ✭✷✳✹✳✸✮ ❆ ♥②❛❧á❜✐rá♥②r❛ ♠❡r➤❧❡❣❡s sí❦♦t ♥❡✈❡③③ü❦ tr❛♥s③✈❡r③✲sí❦♥❛❦✱ ❛ ♥②❛❧á❜✐rá♥♥②❛❧ ♣ár❤✉③❛♠♦s ✐rá♥②t ♣❡❞✐❣ ❧♦♥❣✐t✉❞✐♥á❧✐s ✐rá♥②♥❛❦✳ ❆

tr❛♥s③✈❡r③✲sí❦♦♥ ❛③ ✐♠♣✉❧③✉st ♣❛r❛♠ét❡r❡③❤❡t❥ü❦ pt és ϕ ✈á❧t♦③ó❦❦❛❧✳ ❊❦❦♦r ♠érés✐ ❛❞❛t♦❦❦❛❧ öss③❡✈❡t❤❡t➤ ❛ N (pt ) ♠❡❧②❡t ❛ N (pt , ϕ) ❢ü❣❣✈é♥②❜➤❧ ❛ ϕ ✈á❧t♦③ó s③❡r✐♥t ❦✐✐♥t❡❣rá❧✈❛ ♥②❡rü♥❦✱ ❛③ N (ϕ)✱ ♠❡❧②❡t pt s③❡r✐♥t✐ ✐♥t❡❣rá❧áss❛❧✳ ❆ ♠ár ❡♠❧ít❡tt ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦❛t ❥❡❧❧❡♠③➤ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦✱ ♠❡❧②❡❦ ❛③ N (pt , ϕ) ❡❧♦s③❧ás ❋♦✉r✐❡r✲❡❣②ütt❤❛tó✐✱ érté❦❡ ❛ hcos(nϕ)i ✈ár❤❛tó érté❦❦❡❧ ❡❣②❡③✐❦ ♠❡❣✿ 1 vn (pt ) = hcos(nϕ)iN = N (pt ) ✶✷ Z 2π N (pt , ϕ) cos(nϕ)dϕ 0 ✭✷✳✹✳✹✮ Forrás:http://www.doksihu ✸✳ P❛r❝✐á❧✐s

❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás❛ ❈é❧✉♥❦ ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐♥❡❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás❛✱ ❛♥♥❛❦ ér❞❡❦é❜❡♥✱ ❤♦❣② ❛ ❧ét❡③➤ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦♥á❧ r❡❛❧✐s③t✐❦✉s❛❜❜ ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧ ❡s❡té♥ ✐s ✈✐③s❣á❧❤❛ss✉❦ ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❤❛tását ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ésér❡✳ ❆ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ♦❧❞❤❛tó❦ ♠❡❣ ♠✐♥t ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ s♦❦❛t ❬✾❪✱ ♥❡❤é③✐♦♥✜③✐❦á❜❛♥ ♠ár tö❜❜ ♠ó❞s③❡rr❡❧ ✐s

✈é❣❡③t❡❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛✐ s③á♠♦❧á✲ ❬✽❪ ❬✶✹❪✳ ❑ísér❧❡t✐ t❛♣❛s③t❛❧❛t❛✐♥❦ s③❡r✐♥t ❛③ és③❧❡❧t rés③❡❝s❦❡s③á♠✲s➯r➯sé❣ és ♠ás ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ✐s ♠❛①✐♠✉♠♠❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③♥❡❦ ♠✐❞r❛♣✐❞✐tás♥á❧✱ rá❛❞ás✉❧ ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❦örü❧ ❦♦♥st❛♥s♥❛❦ t❡❦✐♥t❤❡t➤❡❦✳ ♠✐❞r❛♣✐❞✐tás♥❛❦ ❛ ❦❡③té❜❡♥ ❛ z pz = 0 ✐♠♣✉❧③✉s ❢❡❧❡❧ ♠❡❣✱ ❛♠❡❧② tér❦♦♦r❞✐♥átá❦❜❛♥ z = 0 sí❦♦t ❥❡❧ö❧✐ ❦✐✳ ✐rá♥②ú ❞✐♥❛♠✐❦❛ ❦✐❤❛❣②❤❛tó ❛ s③á♠♦❧ás❜ó❧✱ t❡❤át ❡❧é❣sé❣❡s ❛ s③á♠♦❧ás♦❦❛t ❆ ❊♥♥❡❦ ❦ö✈❡t✲ 2+1

❞✐♠❡♥③✐ó❜❛♥ ❡❧✈é❣❡③♥✐✳ ❆ 2 + 1 ❞✐♠❡♥③✐ós ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐ r❡♥❞❦í✈ü❧ ❜♦♥②♦❧✉❧t❛❦✱ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás✉❦ ♥❡❤é③✳ ❆ ♥❡♠✲ r❡❧❛t✐✈s③t✐❦✉s ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❦ö♥♥②❡❜❜ ❦❡③❡❧❤❡t➤sé❣❡ ér❞❡❦é❜❡♥ ❡❧➤s③ör ér❞❡♠❡s ❛③ ❡❣②❡♥❧❡tr❡♥❞s③❡r ♠✐♥❞❡♥ t❛❣❥át ✒❛❞✈❡❦tí✈✑ ❢♦r♠á❜❛ ❛❧❛❦ít❛♥✐✱ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡❣②❡♥❧❡t❡❦❤❡③✳ ❊③ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ t❡❤❡t➤ ♠❡❣✿ ∂t ρ + ∂x (ρvx ) + ∂y (ρvy ) = 0 ✭✸✳✵✳✺✮ ∂t (ρvx ) + ∂x (ρvx2 + p + σxx ) + ∂y (ρvx vy − σxy ) = 0 ✭✸✳✵✳✻✮

∂t (ρvy ) + ∂x (ρvx vy − σyx ) + ∂y (ρvy2 + p + σyy ) = 0 ✭✸✳✵✳✼✮ ∂t εtot + ∂x [(εtot + p)vx − σxx vx − σxy vy ] + ∂y [(εtot + p)vy − σyx vx − σyy vy ] = 0 ✭✸✳✵✳✽✮ ❆③ átírt ❡❣②❡♥❧❡t❡❦♥é❧ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ✈❡③❡tt❡♠ ❜❡ ❛ t❡❧❥❡s ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣❡t✿ εtot = ε + ρ vx2 + vy2 2 ✭✸✳✵✳✾✮ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦❜❡♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ ✈✐s③❦ó③✉s ✢✉①✉st❛❣♦❦ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ír❤❛tó❦ ❢❡❧✿  2µ  σxx = 2µ∂x vx + ζ − (∂x vx + ∂y vy ) 3 ✭✸✳✵✳✶✵✮  2µ  (∂x vx + ∂y vy ) σyy = 2µ∂y vy + ζ − 3 ✭✸✳✵✳✶✶✮ σxy = σyx = µ(∂x vx + ∂y vy ) ✭✸✳✵✳✶✷✮ ✶✸ Forrás:http://www.doksihu ❆ ❞❡r✐✈á❧t❛❦ ❛❧❛tt

s③❡r❡♣❧➤ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦r❡ ú❥ ❥❡❧ö❧és❡❦❡t ❜❡✈❡③❡t✈❡ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❛❧❛❦❜❛♥ ír❤❛tó ❛ 2 + 1 ❞✐♠❡♥③✐ós ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡tr❡♥❞s③❡r❡✿ ∂Qk ∂Fk ∂Gk + + =0 ∂t ∂x ∂y ✭✸✳✵✳✶✸✮ ❊③❡♥ ❢❡❧írás ❛ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡s❡té♥ ✐s ér✈é♥②❡s✱ ✐tt ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❛✉t♦♠❛t✐❦✉s❛♥ ✐❧②❡♥ str✉❦túrá❜❛♥ s③❡r❡♣❡❧♥❡❦✱ ❛③♦♥❜❛♥ ❛ ❜❡✈❡③❡t❡tt Qk ✱ Fk ✱ Gk ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ♠ás♦❦ ❧❡s③♥❡❦✳ ▼✐♥❞❦ét ❡s❡t❜❡♥ ❛ Qk ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ✐❞➤❢❡❥❧❡s③tését ❦❡❧❧ ✈é❣❡③♥ü♥❦✱ ❡③❡♥

♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❜➤❧ ❡❣②ért❡❧♠➯❡♥ ✈✐ss③❛❦❛♣❤❛t❥✉❦ ❛ ❦❡r❡s❡tt ✜③✐❦❛✐ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❡t✳ ✸✳✶✳ ❱é❣❡s tér❢♦❣❛t ♠ó❞s③❡r ❆ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠ó❞s③❡r❡❦❦❡❧ ❛ ❢♦❧②t♦♥♦s ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ❦❡③❡❧és❡ ❞✐s③❦r❡t✐③á❝✐ó s❡❣ítésé❣é✈❡❧ ❧❡❤❡tsé❣❡s✳ ❊❦❦♦r tér✐❞➤t ❢❡❧♦s③t❥✉❦ ✈❛❧❛♠❡♥♥②✐ ✈é❣❡s ♣♦♥tr❛✱ ❛ rá❝s♣♦♥t♦❦ s③á♠á♥❛❦ ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ❛ ❞✐s③❦ért ♣♦♥t♦❦❜❛♥ ✈❡tt érté❦❡❦ ❦ö③❡❧ít✐❦ ❛ ❢♦❧②t♦♥♦s ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❡t✳ ❆ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❞✐s③❦r❡t✐③á❝✐ó❥❛ ♠❡❣t❡❤❡t➤ ❛

✈é❣❡s tér❢♦❣❛t ♠ó❞s③❡r s❡❣ítsé❣é✈❡❧✳ ❚❡❦✐♥tü♥❦ ❡❣② [tn , tn−1 ] × [xi− 21 , xi+ 21 ] × [yj− 12 , yj+ 21 ] tér❢♦❣❛t♦t✱ és ❛ ✭✸✳✵✳✶✸✮ ❡❣②❡♥❧❡t♥❡❦ ✈❡❣②ü❦ ❡③❡♥ tér❢♦❣❛tr❛ ❛ tér❢♦❣❛t✐ ✐♥t❡❣rá❧❥át✿ Z xi+ 1 2 xi− 1 2 Z yj+ 1 2 yj− 1 2  Qk (t n+1 n  ) − Qk (t ) dydx + Z tn+1 tn Z yj+ 1 2  yj− 1 2 + Z t n+1 tn Z xi+ 1 2 xi− 1 2   Fk (Q(xi+ 21 )) − Fk (Q(xi− 12 )) dydt  Gk (Q(yj+ 21 )) − Gk (Q(yj− 12 )) dxdt = 0 ✭✸✳✶✳✶✮ ❆③ ❡❣②❡♥❧❡t❡t átír❤❛t❥✉❦ ❛ n Qn+1 k;i,j − Qk;i,j ∆t ❛❧❛❦❜❛♥✱ ❛❤♦❧ + Fk;i+ 12 − Fk;i− 21 ∆x 1 ∆x∆y Z k Fi+ 1 ,j = 1 ∆t∆y Z Gki,j+ 1 = 1 ∆t∆x Z Qnk;i,j = xi+ 1 2 xi− 1 Z 2 2 + tn+1 tn xj+ 1 Gk;j+ 21 − Gk;j− 12 ∆y =0

✭✸✳✶✳✷✮ Qk (tn , x, y)dydx ✭✸✳✶✳✸✮ Fk (t, xi+ 21 , y)dydt ✭✸✳✶✳✹✮ Gk (t, x, yj+ 21 )dxdt ✭✸✳✶✳✺✮ 2 yj− 1 2 Z yj+ 1 2 yj− 1 2 2 tn+1 tn Z xi+ 1 2 xi− 1 2 ❊③❡❦ ❛ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ❛③ n✱ i✱ j rá❝s♣♦♥t ❦öré ❞❡✜♥✐á❧t tér❢♦❣❛t❜❛♥ ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ sí❦♦❦❜❛♥ ✈❡tt át❧❛❣♦❦✳ ❍❛ ❛ rá❝s♣♦♥t♦❦ s③á♠á✈❛❧ t❛rt✉♥❦ ✈é❣t❡❧❡♥❜❡♥ ❛❦❦♦r ❡③❡♥ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ✈✐ss③❛❛❞❥á❦ ❛ Qk (t, x, y)✱ Fk (Q(t, x, y))✱ Gk (Q(t, x, y)) ❢♦❧②t♦♥♦s ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❡t✳ ❚❡❤át ❛ ❢❡❧❛❞❛t✉♥❦ ❛ ✭✸✳✶✳✷✮ ❡❣②❡♥❧❡t ❛❧❛♣❥á♥ ❛ Q0k;i,j ✭❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧✮ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❜➤❧ ❛ Qnk;i,j

♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ♠❡❣❤❛tár♦③ás❛✱ ❛♠❡❧② ❛ rá❝s♣♦♥t♦❦ s③á♠á♥❛❦ ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ t❛rt ❛ ✭✸✳✵✳✶✸✮ ❡❣②❡♥❧❡t ♠❡❣♦❧❞ásá❤♦③✳ ❆ ❢❡❧❛❞❛t ♥❡❤é③sé❣❡ ❛❜❜ó❧ ❛❞ó❞✐❦✱ ❤♦❣② ❛③ Fk;i+ 21 ,j és ❛ Gk;i;j+ 21 ✢✉①✉s♦❦❛t ❞❡✜♥✐á❧ó ✐♥t❡❣rá❧♦❦❛t ♥❡♠ ❧❡❤❡t ❡❣③❛❦t✉❧ ♠❡❣❛❞♥✐ ♠✐♥t ❛ ✈é❣♣♦♥t♦❦ ❢ü❣❣✈é♥②❡✐✱ ♥✉♠❡r✐❦✉s❛♥ ♠❡❣ ♥❡♠ ❧❡❤❡t ❦✐s③á♠♦❧♥✐✱ ♠✐✈❡❧ rá❝s♣♦♥t♦❦ ❦ö③ött ♥✐♥❝s❡♥❡❦ t♦✈á❜❜✐ rá❝s♣♦♥t♦❦ ❛♠❡❧②❡❦❡♥ ❡❧✈é❣❡③❤❡t♥é♥❦ ❛③ ✐♥t❡❣rá❧ást✳ ❆③♦♥❜❛♥ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ❦ö③❡❧ít➤

♠ó❞s③❡r❡❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❡③❡❦ ❜❡❝sü❧❤❡t➤❡❦✳ ✶✹ Forrás:http://www.doksihu ✸✳✷✳ ❙t❛❜✐❧✐tás ❆ ✢✉①✉s♦❦ ♠❡❣❤❛tár♦③ásá♥❛❦ ♥❡❤é③sé❣é♥ ❢❡❧ü❧ ❛ ♣❛r❝✐á❧✐s ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ásá♥á❧ t❛❧á❧❦♦③✉♥❦ ✐♥st❛❜✐❧✐tás✐ ♣r♦❜❧é♠á❦❦❛❧✳ ❆③ ✐♥st❛❜✐❧✐tás ♦❦❛✱ ❤♦❣② ❛ ③á❛❞❤❛t✉♥❦ ♦❧②❛♥ n qk;i,j Qnk;i,j ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❤❡③ s③❛❜❛❞♦♥ ❤♦③✲ ❢ü❣❣✈é♥②❡❦❡t ❛♠❡❧②❡❦ ❛ rá❝s♣♦♥t♦❦❜❛♥ ♥✉❧❧á❦✱ ❡③❡❦❡t ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ír❤❛t❥✉❦ ❢❡❧✿ n qk;i,j = Ank e−i(kx ∆xi+ky ∆yj) ❊③ ❡❣② k = (kx

, ky ) ✭✸✳✷✳✶✮ ❤✉❧❧á♠s③á♠ú sí❦❤✉❧❧á♠♦t ír ❧❡ ♠❡❧②♥❡❦ ❛♠♣❧✐tú❞ó❥❛ Ank ✳ ❆♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❛ ❤✉❧❧á♠ ❛♠♣❧✐tú❞ó❥á♥❛❦ ❛❜s③♦❧út érté❦ét ♥ö✈❡❧✐ ❛ ✈á❧❛s③t♦tt ❦ö③❡❧ít➤ ♠ó❞s③❡r✱ ❛ ❤✉❧❧á♠ ❛③ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és❡ s♦rá♥ ♠✐♥❞❡♥ ❤❛tár♦♥ tú❧ ♥➤❤❡t és ❡❦❦♦r ❛ ✜③✐❦❛✐ ♠❡❣♦❧❞ás ❤❡❧②❡tt ❡③ ❢♦❣❥❛ ❞♦♠✐♥á❧♥✐ ❛ ✒t❡❧❥❡s ♠❡❣♦❧❞ást✑✳ ❚❡❤át ❛ ✢✉①✉s♦❦ ❜❡❝s❧ésé♥é❧ ❛③t ✐s s③❡♠❡❧➤t ❦❡❧❧ t❛rt❛♥✉♥❦✱ ❤♦❣② ❛ ❦ö③❡❧ítés ♥❡ ❡r➤síts❡ ❢ö❧ ❛③ ❡♠❧ít❡tt ❤✉❧❧á♠ ❛♠♣❧✐tú❞ó❥át✱ ❡③t

❢❡❧tét❡❧❦é♥t ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❢♦❣❛❧♠❛③❤❛t❥✉❦ ♠❡❣✿ An+1 k <1 Ank A= ✭✸✳✷✳✷✮ ✸✳✸✳ ❖♣❡rát♦r♦❦ s③ét✈á❧❛s③tás❛ ❆ ❞✐s③❦r❡t✐③á❧t 2+1 ❞✐♠❡♥③✐ós ❡❣②❡♥❧❡tr❡♥❞s③❡r ♠❡❣♦❧❞ásá❜❛♥ ❛③ Fk és Gk ✢✉①✉s♦❦ ♣♦♥t♦s ❜❡❝s❧és❡ ❡❣②✐❞❡❥➯❧❡❣ ♥❡♠ ❦✐✈✐t❡❧❡③❤❡t➤✳ ❆ ❢❡❧❛❞❛t ❜♦♥②♦❧✉❧tsá❣❛ r❡❞✉❦á❧❤❛tó ❤❛ ❛ ♠❡❣♦❧❞ást ❦ö③❡❧ít❥ü❦ ú❣②✱ ❤♦❣② ❡❣② ✐❞➤❧é♣és❜❡♥ ❦éts③❡r ♦❧❞✉♥❦ ♠❡❣ ❡❣② 1+1 ❞✐♠❡♥③✐ós ❡❣②❡♥❧❡t❡t✳ ❊③ ❛③ ♦♣❡rát♦r♦❦ s③ét✈á❧❛s③tás❛ ✭❛♥❣♦❧✉❧ ♦♣❡r❛t♦r

s♣❧✐tt✐♥❣✮ ♥❡✈❡③❡t➯ ♠ó❞s③❡r s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❧❡❤❡tsé❣❡s ❬✶✷❪ ❬✶✸❪✳ ❆ ♠ó❞s③❡r ❜❡♠✉t❛tás❛ ér❞❡❦é❜❡♥ t❡❦✐♥tsü♥❦ ❛ ∂t u = Au + Bu, ❡❣②❡♥❧❡t❡t✱ ❛❤♦❧ A és B ✭✸✳✸✳✶✮ ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ ❧✐♥❡ár✐s ♦♣❡rát♦r✳ ❊❦❦♦r ❤❛ ✐s♠❡r❥ü❦ ❛ ♠❡❣♦❧❞ást ✈❛❧❛♠❡❧② ♥❛t❜❛♥ és s③❡r❡t♥é♥❦ ♠❡❣❤❛tár♦③♥✐ t + ∆t t ♣✐❧❧❛✲ ♣✐❧❧❛♥❛t❜❛♥ ❛❦❦♦r ❡♥♥❡❦ ❛ ♣r♦❜❧é♠á♥❛❦ ❛③ ❡❣③❛❦t ♠❡❣♦❧❞ás❛ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤✿ u(t + ∆t) = e∆t(A+B) u(t) ✭✸✳✸✳✷✮ ❆♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❡③❡♥ ♠❡❣♦❧❞ás ♠❡❣❛❞ás❛ ♥❡❤é③✱ ♠✐♥t ❛ ♠✐

❡s❡tü♥❦❜❡♥✱ ❦ö③❡❧ítéss❡❧ é❧❤❡tü♥❦ ❛♠❡❧②♥❡❦ ❛ ❧é♥②❡❣❡✱ ❤♦❣② ❛ e∆t(A+B) ♦♣❡rát♦rt ❢❡❧❜♦♥t❥✉❦✱ és ❤❛tását ♥❡♠ ❡❣②s③❡rr❡ ✭♥❡❤é③✮✱ ❤❛♥❡♠ tö❜❜ ❡❣②s③❡r➯ ❧é♣és❜❡♥ ✭❡③❡❦ ❦ö♥♥②❡❜❜❡❦✮ ❤❛tár♦③③✉❦ ♠❡❣✳ ❆③ ❡❧ér♥✐ ❦í✈á♥t ♣♦♥t♦ssá❣ ❢ü❣❣✈é♥②é❜❡♥ tö❜❜ ♠ó❞s③❡r ❧ét❡③✐❦ ❡♥♥❡❦ ❦✐✈✐t❡❧❡③ésér❡✳ ❆ ❧❡❣❡❣②s③❡r➯❜❜ ❛ ▲✐❡ ❢❡❧❜♦♥tás✱ ❛♠❡❧② ❤❛ A és B ♦♣❡rát♦r♦❦ ❦♦♠♠✉tá❧♥❛❦ ❡❣③❛❦t ❡r❡❞♠é♥②t ❛❞✿ uL (t + ∆t) = e∆tA e∆tB u(t), ❡♥♥❡❦ ❧♦❦á❧✐s ❤✐❜á❥át ❛③ ✐❞➤❧é♣és ♥é❣②③❡t❡

és [A, B] ❦♦♠♠✉tát♦r ❜❡❢♦❧②ás♦❧❥❛✳ ✭✸✳✸✳✸✮ ❇♦♥②♦❧✉❧t❛❜❜✱ ✉❣②❛♥❛❦❦♦r ♣♦♥t♦s❛❜❜ ❢❡❧❜♦♥tást ❛❞ ❛ ❙tr❛♥❣ ♠ó❞s③❡r ❛♠❡❧② ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤✿ 1 1 uS (t + ∆t) = e 2 ∆tA e∆tB e 2 ∆tA e∆tB u(t), ✶✺ ✭✸✳✸✳✹✮ Forrás:http://www.doksihu ❛ ❧♦❦á❧✐s ❡❧térését ❛③ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ástó❧ ❛③ ✐❞➤❧é♣és ❦ö❜❡ és [B, [B, A]]✱ [A, [A, B]] ❦♦♠♠✉tát♦r♦❦ ❤❛tár♦③③á❦ ♠❡❣✳ ❆③ ♦♣❡rát♦r♦❦ s③ét❝s❛t♦❧ásár❛ ❛ ▲✐❡ ♠ó❞s③❡rt ✈á❧❛s③t♦tt✉❦✱ ♠✐✈❡❧ ❡③ s♦❦❦❛❧ ❦❡✈❡s❡❜❜ s③á♠♦❧ást ✐❣é♥②❡❧ ❛ tö❜❜✐ ♠ó❞s③❡r❤❡③ ❦é♣❡st✳ ❆ ♠ó❞s③❡r

❛❧❦❛❧♠❛③ás❛ s③á♠✉♥❦r❛ ❦❡❧❧➤❡♥ ♣♦♥t♦s ❡r❡❞♠é♥②t s③♦❧❣á❧t❛t♦tt✳ ❆ ♠❡❣♦❧❞❛♥✐ ❦í✈á♥t ❡❣②❡♥❧❡tr❡♥❞s③❡r ❡s❡té❜❡♥ ❛ ♠ó❞s③❡rt ú❣② ❛❧❦❛❧♠❛③t✉❦✱ ❤♦❣② ❡❧➤s③ör ❝s✐♥á❧✉♥❦ ✐❞➤❜❡♥ ❡❣② ❦ö③t❡s ❧é♣ést ❛③ Fk;i+ 12 ✢✉①✉s s❡❣ítsé❣é✈❡❧✱ ♠❛❥❞ ❛ ❦ö③t❡s ❧é♣és❜➤❧ ❦✐✐♥❞✉❧✈❛ ❧é♣ü♥❦ ❛ Gk;j+ 21 ✢✉①✉st ❤❛s③♥á❧✈❛✳ ✸✳✹✳ ❋❧✉①✉s♦❦ s③á♠íts❛ ❆ ✭✸✳✶✳✹✮✱ ✭✸✳✶✳✺✮ ✢✉①✉s♦❦ ❜❡❝s❧ésér❡ s③♦❧❣á❧ó ♥é❤á♥② ♠ó❞s③❡rt ❛ ∂t ρ + v∂x ρ = 0 és ∂t T = α∂x2 T ❡❣②❡♥❧❡✲ t❡❦❡♥ ♠✉t❛t♦♠ ❜❡ ❬✻❪✳

✸✳✹✳✶✳ ❑♦♥t✐♥✉✐tás✐✲❡❣②❡♥❧❡t ❆ ❧❡❣❡❣②s③❡r➯❜❜ ♠ó❞s③❡r❡❦ ❛③ ❋❚❈❙ ✭❋♦r✇❛r❞ ❚✐♠❡✱ ❈❡♥t❡r❡❞ ❙♣❛❝❡✮✱ ❋❚❇❙ ✭❋♦r✇❛r❞ ❚✐♠❡✱ ❇❛❝❦✇❛r❞ ❙♣❛❝❡✮ és ❋❚❋❙ ✭❋♦r✇❛r❞ ❚✐♠❡✱ ❋♦r✇❛r❞ ❙♣❛❝❡✮ ♥❡✈❡❦❡t ✈✐s❡❧✐❦✱ ❛③ ✉t♦❧só ❦❡tt➤t ❡❣②ütt s③♦❦tá❦ ❡♠❧❡❣❡t♥✐ ✒❡❧❧❡♥s③é❧✑ ♠ó❞s③❡r ♥é✈❡♥ ✭✉♣✇✐♥❞✮✳ ❆③ ❋❚❈❙ ♠ó❞s③❡r ❧é♥②❡❣❡✱ ❤♦❣② ❛ ✢✉①✉st ❡❣②s③❡r➯❡♥ ❛ rá❝s♣♦♥t ❦ét ❧❡❣❦ö③❡❧❡❜❜✐ s③♦♠s③é❞❥á♥❛❦ át❧❛❣á✈❛❧ ❜❡❝sü❧❥ü❦✱ ❛③❛③ Fi+ 21 = 21 (F (ρni+1 ) + F (ρni−1 ))✱ ❡③ ❛③t

❥❡❧❡♥t✐✱ ❤♦❣② ❛ ♠❡❣♦❧❞❛♥✐ ❦í✈á♥t ❡❣②❡♥❧❡t❡t ❛ ρn+1 − ρnj ρnj+1 − ρnj−1 j +v = 0, ∆t 2∆x ✭✸✳✹✳✶✮ ❢♦r♠á❜❛♥ ❞✐s③❦r❡t✐③á❧❥✉❦✳ ❆ ✭✸✳✷✮ rés③❜❡♥ ❜❡♠✉t❛t♦tt st❛❜✐❧✐tás✐ ❢❡❧tét❡❧t ❢❡❧ír✈❛ ❛③ ❡❣②❡♥❧❡tr❡ ❛❞ó❞✐❦ A= 1+ v∆t i sin k∆x = |1 + iC sin k∆x| > 1, ∆x t❡❤át ❡③ ❛ ♠ó❞s③❡r ♠✐♥❞✐❣ ✐♥st❛❜✐❧ ✭❛ ❜❡✈❡③❡t❡tt C ✲t ✭✸✳✹✳✷✮ ❈♦✉r❛♥t✲s③á♠♥❛❦ s③♦❦ás ♥❡✈❡③♥✐✮✳ ❆③ ✒❡❧❧❡♥s③é❧✑ ♠ó❞s③❡r ❡s❡té❜❡♥ ❛③ ár❛♠❧ás✐ s❡❜❡ssé❣ ❢ü❣❣✈é♥②é❜❡♥ ❛ ✢✉①✉s♦❦❛t ❛③ ❛❞♦tt rá❝s♣♦♥t és ❥♦❜❜ ✈❛❣② ❜❛❧♦❧❞❛❧✐

s③♦♠s③é❞❥á❜ó❧ s③ár♠❛③t❛t❥✉❦✳ ❊❦❦♦r ❛ ❞✐s③❦r❡t✐③á❧t ❡❣②❡♥❧❡t ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤ ❢♦r♠át ö❧t✐✿ ρn+1 − ρnj ρnj − ρnj−1 j +v = 0, ∆t 2∆x ✭✸✳✹✳✸✮ ❤❛ ❛③ ár❛♠❧ás s❡❜❡ssé❣❡ ♣♦③✐tí✈ ❡❧➤❥❡❧➯✱ ❡❧❧❡♥❦❡③➤ ❡s❡t❜❡♥✿ ρn+1 − ρnj ρnj+1 − ρnj j +v =0 ∆t 2∆x ❆ ♠ó❞s③❡r ❡s❡té♥ ❛ st❛❜✐❧✐tás ❢❡❧tét❡❧ér❡ ❛③ ❛❞ó❞✐❦✱ ❤♦❣② |C| < 1 ❡❣②❡♥❧➤t❧❡♥sé❣♥❡❦ ❦❡❧❧ t❡❧❥❡sü❧♥✐❡✱ ❤✐s③❡♥ A = |1 − |C| + |C| exp ±ik∆x| ✶✻ ✭✸✳✹✳✹✮ ✭✸✳✹✳✺✮ Forrás:http://www.doksihu ✸✳✶✳ á❜r❛✳ ❙♦r❜❛♥ ❋❚❇❙✱ ❋❚❈❙✱ ❋❚❋❙ ♠ó❞s③❡r❡❦❡t s③❡♠❧é❧t❡t➤ á❜rá❦✳

❇♦♥②♦❧✉❧t❛❜❜✱ tö❜❜ s③á♠♦❧ást ✐❣é♥②❧➤ ♣♦♥t♦s❛❜❜ ♠ó❞s③❡r❡❦ ✐s ❧ét❡③♥❡❦✳ ■❧②❡♥❡❦ ♣é❧❞á✉❧ ❛③ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠ó❞s③❡r❡❦✱ ❛♠❡❧②❡❦♥é❧ ❛ ✢✉①✉s♦❦ s③á♠♦❧ásá♥á❧ ❛ ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦❡t ♠ás ✐❞➤❜➤❧ ✈❡ss③ü❦✳ Pé❧❞á✉❧ ❛③ ❋❚❈❙✲ ❤❡③ ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ❜❡❝sü❧❤❡t❥ü❦ ❛ ✢✉①✉st ú❣②✱ ❤♦❣② ❛③ ❦❡③❞➤♣✐❧❧❛♥❛t❜ó❧ ❛ s③♦♠s③é❞♦❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ s③á♠♦❧t át❧❛❣♦t ❦✐át❧❛❣♦❧❥✉❦ ❛ s③á♠♦❧♥✐ ❦í✈á♥t ♣♦♥t s③♦♠s③é❞❥❛✐♥❛❦ át❧❛❣á✈❛❧✱ ❡③ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ♥é③ ❦✐✿ n Fi+ 1 = 2  1  1 n+1 F (ρni+1 ) + F

(ρni−1 ) + F (ρn+1 i+1 ) + F (ρi−1 ) , 4 4 ✭✸✳✹✳✻✮ ❡❦❦♦r ❛ st❛❜✐❧✐tás ❢❡❧tét❡❧ér❡ s③✐♥té♥ ❛ |C| < 1 ❛❞ó❞✐❦✱ ✈✐s③♦♥t ❛ ♠ó❞s③❡r ♣♦♥t♦s❛❜❜ ♠✐♥t ❛③ ❡❞❞✐❣ ❡♠❧ít❡tt❡❦✳ ✸✳✷✳ á❜r❛✳ ❑ü❧ö♥❜ö③➤ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠ó❞s③❡r❡❦❡t s③❡♠❧é❧t❡t➤ á❜rá❦✳ ❆③ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠ó❞s③❡r❡❦ ♥❛❣② ❤átrá♥②❛✱ ❤♦❣② ♠❡❣♦❧❞ás✉❦ ♠átr✐① ✐♥✈❡rtá❧ásr❛ ✈❡③❡t❤❡t➤ ✈✐ss③❛✱ ❛♠❡❧② r♦♣✲ ♣❛♥t s③á♠♦❧ás✐❣é♥②❡s✳ ❆ ✢✉①✉s♦❦ ❜❡❝s❧ésé♥❡❦ ❥❛✈ításár❛ ❛ s③á♠♦❧ás✐❣é♥② ❞r❛s③t✐❦✉s ♥ö✈❡❦❡❞és❡ ♥é❧❦ü❧ ✐s ✈❛♥♥❛❦ ❧❡❤❡t➤sé❣❡✐♥❦✱

✐❧②❡♥❡❦ ❛♠✐❦♦r ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ♠❡❣❢♦♥t♦❧ás♦❦❜ó❧ ✈❛❣② trü❦❦ös át❛❧❛❦ítás♦❦ s❡❣ítsé✲ ❣é✈❡❧ ❦♦rr❡❦❝✐ó❦❛t ✈❡③❡tü♥❦ ❜❡ ❛ ✢✉①✉s♦❦ ❜❡❝s❧ésé❜❡♥✳ ■❧②❡♥ ♠ó❞s③❡rr❡ ♣é❧❞❛ ❛ ▲❛①✕❋r✐❡❞r✐❝❤s ♠ó❞s③❡r✱ ❛♠❡❧②♥é❧ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ✈❡③❡tü♥❦ ❜❡ ❦♦rr❡❦❝✐ó❦❛t✿ n Fi+ 1 = 2  ∆x n 1 F (ρni+1 ) + F (ρni ) − (ρi+1 − ρni ), 2 2∆t ✭✸✳✹✳✼✮ ❡③ ❤❛r♠❛❞r❡♥❞❜❡♥ ♣♦♥t♦s és st❛❜✐❧✐tás✐ ❢❡❧tét❡❧❡ |C| < 1✳ ✸✳✹✳✷✳ ❉✐✛ú③✐ós ❡❣②❡♥❧❡t ❆ ❞✐✛ú③✐ós ❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ ❛ ✢✉①✉s♦❦ ❜❡❝s❧és❡ ♥❡❤❡③❡❜❜ ❢❡❧❛❞❛t✱

❤✐s③❡♥ ✐tt ❛ ♠❡♥♥②✐sé❣ ❞❡r✐✈á❧t❥❛ ✐s ♠❡❣❥❡✲ ❧❡♥✐❦✱ ❡③ ❣②❛❦♦r❧❛t✐❧❛❣ ❛③t ❥❡❧❡♥t✐✱ ❤♦❣② ❛ ♠ás♦❞✐❦ ❞❡r✐✈á❧t❛t ❦❡❧❧ ✈❛❧❛❤♦❣②❛♥ ❞✐s③❦r❡t✐③á❧♥✐✳ ✶✼ Forrás:http://www.doksihu ■tt ✐s ❧ét❡③✐❦ ❛③ ❋❚❈❙ ♥❡✈❡③❡t➯ ♠ó❞s③❡r✱ ❛♠❡❧② ❡s❡té❜❡♥ ❛ tér♣♦♥t♦❦❛t ❝❡♥trá❧❥✉❦✱ ❡❦❦♦r ❞✐s③❦r❡t✐③á❝✐ó ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ♥é③ ❦✐✿ n n Tjn+1 − Tjn − 2Tjn + Tj+1 Tj+1 −α = 0, ∆t ∆x2 ✭✸✳✹✳✽✮ ❡❦❦♦r ❜❡❤❡❧②❡tt❡sít✈❡ ❡❣② rá❝s♣♦♥t♦❦❜❛♥ ♥✉❧❧❛ érté❦❡t ❢❡❧✈❡✈➤ ❤✉❧❧á♠♦t✱ ❦❛♣❥✉❦✿ A=1−4 k∆x k∆x α∆t sin2 = 1 − 4s

sin2 , ∆x2 2 2 ✭✸✳✹✳✾✮ ❛♠❡❧②❜➤❧ ❛ ❜❡✈❡③❡t❡tt s = α∆t/∆x2 ♣❛r❛♠ét❡r s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ✭❞✐✛ú③✐ós ❡❣②❡♥❧❡t ❡s❡té♥ ♠✐♥❞✐❣ ❡③❡♥ ♣❛r❛✲ ♠ét❡r s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❢♦❣❛❧♠❛③③✉❦ ♠❡❣ ❛ st❛❜✐❧✐tás✐ ❢❡❧tét❡❧t✮ ❛ st❛❜✐❧✐tás✐ ❢❡❧tét❡❧ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❢♦❣❛❧✲ ♠❛③❤❛tó ♠❡❣✿ s < 21 ✳ ❍❛s♦♥❧ó❛♥ ❛ ❦♦♥t✐♥✉✐tás✐✲❡❣②❡♥❧❡t❤❡③ ✐tt ✐s ❧ét❡③♥❡❦ ✐♠♣❧✐❝✐t ♠ó❞s③❡r❡❦✳ ❊rr❡ ♣é❧❞❛ ❤❛ ❛ tér ❝❡♥trá❧ás❛ ♠❡❧❧❡tt ❛③ ✐❞➤❜❡♥ ✐s ❝❡♥trá❧✉♥❦✱ ❡❦❦♦r ❛ ❞✐s③❦r❡t✐③á❝✐ó ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ♥é③ ❦✐✿ n

n Tjn+1 − Tjn−1 − 2Tjn + Tj+1 Tj+1 −α = 0, ∆t ∆x2 ✭✸✳✹✳✶✵✮ ❡③ ❛ ♠ó❞s③❡r ♠ár ❢❡❧tét❡❧ ♥é❧❦ü❧ st❛❜✐❧✳ ✸✳✺✳ ▼❯❙❚❆ ❛❧❣♦r✐t♠✉s ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐♥❡❦ ♠❡❣♦❧❞ását r❡❞✉❦á❧t✉❦ ❛ ∂t Qk + ∂x Fk (Q) = 0 ✭✸✳✺✳✶✮ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ♠❡❣♦❧❞ásá♥❛❦ ♣r♦❜❧é♠á❥ár❛✳ ❈é❧✉♥❦ ❡③❡♥ ❡❣②❡♥❧❡t ♣♦♥t♦s❛❜❜ és st❛❜✐❧❛❜❜ ♠❡❣♦❧❞ás❛ ❛♥♥á❧ ❛♠✐r❡ ❛③ ❡❞❞✐❣ ❜❡♠✉t❛t♦tt ♠ó❞s③❡r❡❦ ❦é♣❡s❡❦✳ ❊③❡♥ ❝é❧ ❡❧érés❡ ér❞❡❦é❜❡♥ ♠✐ ❛ ▼❯❙❚❆ ♥❡✈➯ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠ó❞s③❡rt ❛❧❦❛❧♠❛③t✉❦ ❬✶✻❪ ❬✶✺❪ ❬✶✼❪✳ ❆③

á❧t❛❧✉♥❦ ❤❛s③♥á❧t ❛❧❣♦r✐t♠✉s ✐s♠❡rt❡tés❡ ❡❧➤tt t❡❦✐♥tsü❦ ❛ ♠ár ✐s♠❡rt❡t❡tt ▲❛①✕❋r✐❡❞r✐❝❤s ♠ó❞s③❡rt✱ ❛♠❡❧②❜❡♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❜❡❝sü❧❤❡t❥ü❦ ❛ ❝❡❧❧❛❦ö③✐ ✢✉①✉s♦❦❛t✿ LF Fi+ 1 2 i
i 1 ∆x h n
1h n n n Q − Qi = F Qi + F Qi+1 − 2 2 ∆t i+1 ✭✸✳✺✳✷✮ ❊❣② s③✐♥té♥ ❦♦rr❡❦❝✐ó❦❛t ❜❡✈❡③❡t➤ ♣♦♥t♦s❛❜❜ ♠ó❞s③❡r ❛ ▲❛①✲❲❡♥❞r♦✛ ♥❡✈❡t ✈✐s❡❧✐✱ ❛♠❡❧②♥é❧ ❛ ❝❡❧❧❛❦ö③✐ ✢✉①✉s♦❦❛t ❡❣② ❦ö③t❡s✲♣♦♥t s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛❞❥✉❦ ♠❡❣✱ í❣② ❛ ✢✉①✉s ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤✿ n+ 1
LW 2 Fi+ 1 = F Q i+ 1 2 ✭✸✳✺✳✸✮ 2 ❆ ❦ö③t❡s ♣♦♥t♦t ❛③

✐❞➤❢❡❥❧➤❞ést ❧❡író ❡❣②❡♥❧❡t s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❜❡❝sü❧❥ü❦ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥✿ n+ 12 Qi+ 1 2 i 1 ∆t h
i
1h n n n n F Qi+1 − F Qi = Qi + Qi+1 − 2 2 ∆x ✶✽ ✭✸✳✺✳✹✮ Forrás:http://www.doksihu ❆ ❦ét ✢✉①✉s❜❡❝s❧és s③á♠t❛♥✐ ❦ö③❡♣ét ✈é✈❡ ❡❣② ♣♦♥t♦s❛❜❜ ❜❡❝s❧ést ❦❛♣❤❛t✉♥❦✱ ❡③ ❛ ❢♦r❝❡ ✢✉①✉s❜❡❝s❧és ♥❡✈❡t ✈✐s❡❧✐✿ force Fi+ 1 = 2 i
∆x  n 1h n+ 1
F Qni+1 ) + 2F Qi+ 12 + F Qni − Qi+1 − Qni 2 4 ∆t ✭✸✳✺✳✺✮ ❆ ▼❯❙❚❆ ❛❧❣♦r✐t♠✉s s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛ ❢♦r❝❡ ✢✉①✉s ❜❡❝s❧ést ♣♦♥t♦sít❤❛t❥✉❦ tö❜❜ ❧é♣és❜❡♥✳ ❆③ n✲❡❞✐❦ ✐❞➤❧é✲ (0) ♣és❜➤❧ ✐♥❞ít❥✉❦ ❛③

❛❧❣♦r✐t♠✉st✿ Q(0) ≡ Qni Qi+1 ≡ Qni+1 ✳ i ❆③ ❛❧❣♦r✐t♠✉s á❧t❛❧ t❡tt l✲❡❞✐❦ ❧é♣és❜❡♥ ❛ ❥♦❜❜ és ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ ✢✉①✉s♦❦❛t ❡❣②s③❡r➯❡♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥
(l) (l)
Fi+1 ≡ F Qi+1 ✳ s③á♠♦❧❥✉❦✿ Fi(l) ≡ F Q(l) i ❆ ❢♦r❝❡ ✢✉①✉s ❛♥❛❧ó❣✐á❥ár❛ ❜❡✈❡③❡t❥ü❦ ❛ ❝❡❧❧❛❦ö③✐ érté❦❡t és ❛ ❤♦③③á t❛rt♦③ó ✢✉①✉st✱ ♠♦st é♣♣ ❛③ ❛❧❛♣❥á♥✱ ❤♦❣② ❤á♥②❛❞✐❦ ❦♦rr✐❣á❧ó ❧é♣és❜❡♥ ✈❛❣②✉♥❦✿ (l) Qi+ 1 2 i 1 ∆t h i 1 h (l) (l)
(l) (l) (l) (l) Fi+1 − Fi , FM ≡ F Qi+ 1 = Qi + Qi+1 − 2 2 2 ∆x ✭✸✳✺✳✻✮ ❊③③❡❧ ❛ ❦ö③t❡s ❧é♣éss❡❧ ❛ ❝❡❧❧❛❦ö③✐ ✢✉①✉st ❛ ❢♦r❝❡ ✢✉①✉ss❛❧

❜❡❝sü❧❥ü❦✿ (l) Fi+ 1 = 2 i ∆x  (l) 1 h (l) (l) (l) (l) Fi+1 + 2FM + Fi − Qi+1 − Qi 4 ∆t ✭✸✳✺✳✼✮ ❆③ ❛❧❣♦r✐t♠✉s ❛ Q(l+1) érté❦❡❦❡t ❛ Q(l) érté❦❡❦❜➤❧ ❛ ✢✉①✉s♦❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❤❛tár♦③③❛ ♠❡❣✱ ❛ ♠❡❣♦❧❞❛♥✐ ❦í✈á♥t ❡❣②❡♥❧❡t ❛❧❛♣❥á♥✿ (l+1) Qi (l+1) Qi+1 (l) = Qi − = (l) Qi+1 i ∆t h (l) (l) Fi+ 1 − Fi 2 ∆x ✭✸✳✺✳✽✮ i ∆t h (l) (l) − F − Fi+ 1 2 ∆x i+1 ✭✸✳✺✳✾✮ ❆③ ❛❧❣♦r✐t♠✉ss❛❧ ♠✐♥é❧ tö❜❜ ❧é♣ést t❡s③ü♥❦ ♠❡❣ ❛♥♥á❧ ❥♦❜❜ ❜❡❝s❧ésü♥❦ ❧❡s③ ❛ ❦❡r❡s❡tt ❝❡❧❧❛❦ö③✐ ✢✉①✉sr❛✱ (k) ❛♠❡❧②❡t k ❧é♣és ❡❧✈é❣③és❡ ✉tá♥ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❛❞✉♥❦ ♠❡❣✿ Fi+ 12 = Fi+ 1✳

2 ✸✳✻✳ ❑❡③❞➤✲ és ♣❡r❡♠❢❡❧tét❡❧ ❆ ✈❛❧ósá❣❜❛♥ ❛ ❦✈❛r❦❢♦❧②❛❞é❦ tá❣✉❧ásá♥á❧ ♥❡♠ ❥❡❧❡♥♥❡❦ ♠❡❣ ❤❛tár♦❦✳ ▼✐✈❡❧ ♥✉♠❡r✐❦✉s❛♥ ❝s❛❦ ✈é❣❡s t❛r✲ t♦♠á♥②♦♥ ❧❡❤❡tsé❣❡s ❛ s③á♠♦❧ást ✈é❣❡③♥✐ és ♥❡♠ ❡❣② ❦♦♠♣❛❦t t❛rt♦♠á♥②♦♥ ♥❡♠ ♥✉❧❧❛ ❛♥②❛❣ tá❣✉❧ásá♥❛❦ ✈✐③s❣á❧❛t❛ ❛ ❝é❧✉♥❦✱ ❤❛♥❡♠ ✈é❣t❡❧❡♥ t❛rt♦♠á♥②♦♥ ✈é❣❡s ❛♥②❛❣ tá❣✉❧ásá♥❛❦ t❛♥✉❧♠á♥②♦③ás❛ ✭✐❧②❡♥ ❡❣✲ ③❛❦t ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ ♠ó❞♦sítás❛✐t s③❡r❡t♥é♥❦ ✈✐③s❣á❧♥✐✮✱ ❡③ért ♠✉s③á❥ ✈❛❧❛♠✐❧②❡♥ ❢❡❧tét❡❧t ❦✐ró♥✐

❛ t❛rt♦♠á♥② s③é❧é♥✱ ❡③❡❦ ❛③♦♥❜❛♥ ❜❡❢♦❧②ás♦❧❥á❦ ❛ s③á♠♦❧ást ❡③ért ❛ ♣❡r❡♠❢❡❧tét❡❧❡❦ r❡♥❞❦í✈ü❧ ❢♦♥t♦s s③❡r❡♣❡t ❦❛♣♥❛❦ ♥✉♠❡r✐❦✉s s③á♠♦❧ás♦❦ s♦rá♥✳ ❆ ♠ár ❧ét❡③➤ ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ á❧t❛❧ ❛❧❦❛❧♠❛③♦tt ♣❡r❡♠❢❡❧tét❡❧❡❦❡t ✈✐③s❣á❧✈❛ és t❛♥✉❧♠á♥②♦③✈❛✱ ❤♦❣② ❛ ♠✐ ♠ó❞s③❡rü♥❦ ❡s❡té❜❡♥ ♠✐❧②❡♥ ♣❡r❡♠❢❡❧tét❡❧ ✈❡③❡t ♣♦♥t♦s❛❜❜ ♠❡❣♦❧❞ásr❛✱ ❛③t t❛❧á❧t✉❦✱ ❤♦❣② ❧❡❣♣♦♥t♦s❛❜❜ ❛③✱ ❤❛ ❛ ❤❛tár♦♥ ❛ ❜❡✈❡③❡t❡tt Qk ♠❡♥♥②✐sé❣❡❦ ❤❡❧②✲s③❡r✐♥t✐ ❞❡r✐✈á❧t❥á♥❛❦ ♥✉❧❧❛sá❣át

❦ö✈❡t❡❧❥ü❦ ♠❡❣✳ ✶✾ Forrás:http://www.doksihu ❆ ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧❡❦ ❛③ ❡♠❧ít❡tt ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ ♠❡❣✈á❧t♦③t❛tásá✈❛❧ á❧❧t❛❦ ❡❧➤✳ ❆ ❤❛s③♥á❧t ❦❡③❞➤✲ ❢❡❧tét❡❧ t❡ts③➤❧❡❣❡s ❛s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③❡tt ❤❛s♦♥❧ó❛♥ ❛ ❧ét❡③➤ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦❤♦③✱ ❛③♦♥❜❛♥ ❡③❡❦❦❡❧ ❡❧❧❡♥tét❜❡♥ ❛ ♥②♦♠ás♥❛❦ ✈♦❧t ❣r❛❞✐❡♥s❡✳ ❆ ❦❡③❞❡t✐ ❡❧♦s③❧ás♦❦ ❛s③✐♠♠❡tr✐á✐t ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó ❋♦✉r✐❡r✲ ❢❡❧❜♦♥tásá❜❛♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ εi ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❥❡❧❧❡♠❡③✐❦✳ ✸✳✸✳ á❜r❛✳ ❑❡③❞❡t✐

❡❧♦s③❧ás♦❦ ❛❧❛❦❥❛✐ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ εi ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❡s❡té♥✳ ✸✳✼✳ ❆ ❦✐❢❡❥❧❡s③t❡tt ❦ó❞ ❆ ❢❡❧❛❞❛t t❡❧❥❡sítés❡ ér❞❡❦é❜❡♥ ▼❯❙❆❚❆ ❛❧❣♦r✐t♠✉st ❤❛s③♥á❧ó ❦ó❞♦t ❢❡❥❧❡s③t❡tt❡♠ ❦✐ ❈✰✰ ♥②❡❧✈❡♥✳ ❆ ❦ó❞ ❢❡❥❧❡s③tés❡ s♦rá♥ ❛ s③á♠♦❧ás✐ s❡❜❡ssé❣ ♥ö✈❡❧és❡ ♠❡❧❧❡tt ❛ s③á♠♦❧ás♦❦ ❡❧❧❡♥➤r③és❡ ✐s ❢♦♥t♦s s③❡r❡♣❡t ❥áts③♦tt✱ ❤✐s③❡♥ ♠ás❦é♣♣ ♥❡♠ t✉❞t✉❦ ✈♦❧♥❛ ❡❧❞ö♥t❡♥✐✱ ❤♦❣② ❛ ❦❛♣♦tt ❡r❡❞♠é♥②❡❦❡t ♠❡♥♥②✐r❡ ❤✐❤❡t❥ü❦ ❡❧✳ ❆③ ❡❧s➤ t❡s③t ❛ ❙♦❞ s♦❦❦❤✉❧❧á♠ ❬✶✵❪ ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧

❡s❡té♥ törté♥t✳ ❊❦❦♦r ❛ ✈ár❛❦♦③ás♦❦♥❛❦ ♠❡❣❢❡❧❡❧➤❡♥ ❢❡❥❧❡s③t❡tt❡ ❛ ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧t ❛③ ✐❞➤❜❡♥ ❛ ❦ó❞✳ ❆ ♥❡❤é③✐♦♥✜③✐❦á❜❛♥ ❥❡❧❡♥t➤s❡❜❜✱ ❜❡♠✉t❛t♦tt ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ t❡s③t❡❧t❡♠ ❛ ❦ó❞ ♣♦♥t♦s✲ sá❣át✳ ❊③❡♥ ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ s❡❣ít❡tt❡❦ ❛ ❤❛tár❢❡❧tét❡❧ ❦✐✈á❧❛s③tásá❜❛♥ és ❛ st❛❜✐❧✐tás✐ ❢❡❧tét❡❧❜❡♥ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ ❦♦♥st❛♥s érté❦é♥❡❦ ❦✐✈á❧❛s③tásá❜❛♥ ✐s✳ ▼✐✈❡❧ ❛ ✈✐③s❣á❧❛t❛✐♥❦ s♦rá♥ ❡③❡♥ ♠❡❣♦❧❞ás♦❦❛t ♣❡rt✉r❜á❧t✉❦ ❢❡❧✲ tét❡❧❡③❤❡t➤✱ ❤♦❣② ❛③

❡r❡❞♠é♥②❡❦ ❦ö③❡❧ ♠❡❣❡❣②❡③♥❡❦ ❛③ ❡❣②❡♥❧❡t❡❦ ❡❣③❛❦t ♠❡❣♦❧❞ás❛✐✈❛❧✳ ✷✵ Forrás:http://www.doksihu ✸✳✹✳ á❜r❛✳ ❆ ✷✳✸✳✶ ❢❡❥❡③❡t❜❡♥ ❜❡♠✉t❛t♦tt ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❛ ❦ó❞ ♣♦♥t♦ssá❣á♥❛❦ ❡❧❧❡♥➤r③és❡✳ ❆③ á❜rá❦ ❛③ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ástó❧ ✈❛❧ó r❡❧❛tí✈ ❡❧térés ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ♠✉t❛t❥á❦ ❆ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ ❛③ X = Y ✱ ❛ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐ ❛③ X 6= Y ❡s❡t❜❡♥ ♠✉t❛t❥❛ ❛ ❤✐❜át✳ ❆ ❦✐❢❡❥❧❡s③t❡tt r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s és ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s s③á♠♦❧ást és ❛❞❛t❢❡❧❞♦❧❣♦③ást

✈é❣③➤ ❦ó❞♦❦ ❡❧ér❤❡t➤❡❦ ❛ ❤tt♣✿✴✴❜❛tt✐❧❛✾✸✳✇❡❜✳❡❧t❡✳❤✉✴❝♦❞❡✴ ❤❡❧②❡♥✳ ❆ ❢❡❧é♣ítését és ❤❛s③♥á❧❛tát ❛③ ❖▲❱❆❙❙❊▲ ❢á❥❧♦❦ ír❥á❦ ❧❡✳ ✹✳ ❊r❡❞♠é♥②❡❦ ❆ ❝é❧✉♥❦ ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ésr❡ ❣②❛❦♦r♦❧t ❤❛tásá♥❛❦ ✈✐③s❣á❧❛t❛ ✈♦❧t✳ ❆ ❦✐✲ ❢❡❥❧❡s③t❡tt ❦ó❞ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ és ❛③ ❡♠❧ít❡tt ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧ ❜❡á❧❧ításá✈❛❧ ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ✈á❧t♦③t❛tás❛ ♠❡❧❧❡tt s③á♠♦❧t✉❦ ❛ ♥✉♠❡r✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ást✱ ✈❛❧❛♠✐♥t ❛③ ❡❧♦s③❧ás♦❦

❛s③✐♠♠❡tr✐á✐t ❛♠❡❧②❡t ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣✲ ♣❡♥ ❞❡✜♥✐á❧t✉♥❦✿ ǫn = hcos(nϕ)iρ/ε/w , ✭✹✳✵✳✶✮ ❛❤♦❧ ❛ w ❛ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥á♥❛❦ ♣♦♥t♦s❛❜❜ ♥✉♠❡r✐❦✉s s③á♠♦❧ásár❛ ❞❡✜♥✐á❧t ❡❧♦s③❧ás✱ ♠❡❧②♥❡❦ ❞❡✜♥í❝✐ó❥❛ w = exp (−vx2 − vy2 )✳ ❆♥♥❛❦ ér❞❡❦é❜❡♥✱ ❤♦❣② ❛③ í❣② ❞❡✜♥✐á❧t ❛s③✐♠♠❡tr✐át ❥❡❧❧❡♠③➤ ♣❛r❛♠é✲ t❡r❡❦ ❥❡❧❡♥tését ért❡❧♠❡③♥✐ t✉❞❥✉❦✱ s♦r❢❡❥téss❡❧✱ ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó❜❛♥ s③❡r❡♣❧➤ εi ❦✐s érté❦❡✐r❡ ✭❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❦❡③❞❡t❜❡♥ ❝s❛❦ ε2 ✱ ε3 ✱ ε4 ✈❛♥✮✱ ♠❡❣❤❛tár♦③t✉❦ ❛③

á❧t❛❧✉♥❦ ❞❡✜♥✐á❧t és εi ❦ö③t✐ ❦❛♣❝s♦❧❛t♦t✳ ❆ ❦❛♣❝s♦❧❛tr❛ ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦ ❛❞ó❞t❛❦✿ ǫ1 = ǫ2 = (ε2 + ε4 )ε3 P 2 + 4n=2 ε2n −ε2 + ε2 ε4 P 2 + 4n=2 ε2n ✷✶ ✭✹✳✵✳✷✮ ✭✹✳✵✳✸✮ Forrás:http://www.doksihu ǫ3 = 2+ −ε3 P4 n=2 ε2n −ε4 + 12 ε22 ǫ4 = P 2 + 4n=2 ε2n ✭✹✳✵✳✹✮ ✭✹✳✵✳✺✮ ❆③ öss③❡❢ü❣❣és❡❦❜➤❧ ❧áts③✐❦✱ ❤♦❣② ❛③ á❧t❛❧✉♥❦ ❞❡✜♥✐á❧t ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦❜❡♥ ǫ1 ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥✐❦ ❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ ε2 ✈❛❣② ε4 és ε3 ♣❛r❛♠ét❡r ❡❣②✐❞❡❥➯❧❡❣ s③❡r❡♣❡❧ ❛ s❦á❧❛✈á❧t♦③ó❜❛♥✳ ❚♦✈á❜❜á ❛ ε2 ❥❡❧❡♥❧ét❡ ǫ4 ✲❡t ✐s

❣❡♥❡rá❧✱ ✈❛❧❛♠✐♥t ε4 ❥❡❧❡♥❧ét❡ ❜❡❢♦❧②ás♦❧❥❛ ❛ ǫ2 ♣❛r❛♠ét❡rt✳ ❆❞♦tt s❦á❧❛✈á❧t♦③ó ❡s❡té♥ ❛③ ❛❧á❜❜✐ tá❜❧á③❛t ♠✉t❛t❥❛ ❜❡ ❛③ ú❥ ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ érté❦❡✐t✿ i εi ǫi ✶ ✷ ✸ ✹ ✵ ✵✱✺ ✵✱✷ ✵✱✶ ✵✱✵✺✷ ✲✵✱✶✾✻ ✲✵✱✵✽✼ ✵✱✵✶✶ ❆ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦❜❡♥ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ❡③❡♥ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ✈✐③s❣á❧❥✉❦✳ ✹✳✶✳ ◆❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ✹✳✶✳✶✳ ❱✐s③❦♦③✐tás ❤❛tás❛ ✹✳✶✳ á❜r❛✳ ❆ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣✱ ♠í❣ ❛ ❥♦❜❜

♦❧❞❛❧✐ ❛ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤ ❡s❡té♥ s③á♠♦❧t ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ♠✉t❛t❥❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ✈✐s③❦♦③✐tás♦❦ ❡s❡té♥✳ ❆③ ❡♥❡r❣✐❛✲ és ❛♥②❛❣s➯r➯sé❣ ❡s❡té♥ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és❡ ❦ö③❡❧ ❛③♦♥♦s✱ ❡③ért ❝s❛❦ ❛③ ❡❣②✐❦ á❜rát ♠✉t❛t♦♠ ❜❡✳ ❆♠✐♥t ❛③t ❛ ✹✳✶ á❜rá❦ ❛❧❛♣❥á♥ ❧át❤❛t❥✉❦ ❛ ✈✐s③❦♦③✐tás ❛③ ❡♥❡r❣✐❛✲ és ❛♥②❛❣s➯r➯sé❣❜❡♥ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❡❧✲ t➯♥ését ❧❛ssít❥❛✳ ❊♥♥❡❦ ❛③ ♦❦❛ ❛③ ❧❡❤❡t✱ ❤♦❣② súr❧ó❞ás ❤❛tásár❛ ❛③ ❢♦❧②❛❞é❦❞❛r❛❜♦❦ s❡❜❡ssé❣❡

❝sö❦❦❡♥✱ í❣② ❛ r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ❧❡✈➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❧❛ss❛❜❜❛♥ t✉❞♥❛❦ ❡❧t➯♥♥✐✳ ❆③ á❜r❛ t❛♥✉❧sá❣❛ s③❡r✐♥t ❛ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤❜❡♥ ♣❡❞✐❣ ❣②♦rs❛❜❜❛♥ ❡❧t➯♥♥❡❦ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦✳ ❊♥♥❡❦ ❛③ ❧❡❤❡t ❛ ♠❛❣②❛rá③❛t❛✱ ❤♦❣② ❛ ✈✐s③❦ó③✉s ❡r➤s➯r➯sé❣ ✷✷ Forrás:http://www.doksihu t❡r❥❡❞❤❡t♥❡❦ ❛③ ❛♥②❛❣❜❛♥✱ ❧❛ss✉❧ ❛ r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ❛ ♥②♦♠ás ❦✐❡❣②❡♥❧ít➤❞és❡✱ í❣② ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❡❧t➯♥és❡ ✐s✳ ✹✳✶✳✸✳ ❑❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ❤❛tás❛ ✹✳✺✳ á❜r❛✳ ❆ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ ❛③ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣✱ ❛

❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐ ❛ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á ❥á♥❛❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ♠✉t❛t❥❛✳ ❆ ✹✳✺ á❜rá♥ ❛③t ❧át❥✉❦✱ ❤♦❣② ♠✐♥é❧ ♥❛❣②♦❜❜ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ❛♥♥á❧ ❣②♦rs❛❜❜❛♥ t➯♥♥❡❦ ❡❧ ❛③ ❛s③✐♠♠❡t✲ r✐á❦✳ ❊♥♥❡❦ ♦❦❛✱ ❤♦❣② ❛ ♥❛❣②♦❜❜ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ♥❛❣②♦❜❜ ❦❡③❞❡t✐ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣❡t ❥❡❧❡♥t✱ és ❡♥♥❡❦ ❦ö✈❡t❦❡③té❜❡♥ ♥❛❣②♦❜❜ s❡❜❡ssé❣❣❡❧ törté♥✐❦ ❛③ ár❛♠❧ás✱ í❣② ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❣②♦rs❛❜❜❛♥ ❡❧t➯♥♥❡❦✳ ✹✳✶✳✹✳ ❆ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ❤❛tás❛ ✹✳✻✳ á❜r❛✳ ❆

❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ ❛ tö♠❡❣s➯r➯sé❣ ♠í❣ ❛ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐ ❛ s❡❜❡ssé❣❡❧♦s③❧ás ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥á♥❛❦ ✐❞➤✲ ❢❡❥❧➤❞ését ♠✉t❛t❥❛✳ ❆ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤ ❡❧❡❥ét ♠♦st ♥❡♠ á❜rá③♦❧t❛♠✱ ♠✐✈❡❧ ❡❜❜❡♥ ❛③ ❡s❡t❜❡♥ ❛♠í❣ ❜❡á❧❧ ❛ ❍✉❜❜❧❡✲s③❡r➯ tá❣✉❧ás ♥❛❣② ✈á❧t♦③ás♦❦ ✈❛♥♥❛❦ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✈á❧t♦③ásá❜❛♥✱ és ♥❡♠ s③❡r❡tt❡♠ ✈♦❧♥❛ ❤❛ ❡③❡❦ ❜❡❢♦❧②ás♦❧❥á❦ ❛③ á❜rát✳ ✷✺ Forrás:http://www.doksihu ❆ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ❤❛tásá♥❛❦ ✈✐③s❣á❧❛t❛ ú❣② ③❛❥❧♦tt✱ ❤♦❣② ❛ ❦❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ❤❡❧②❢ü❣❣ését ❛ ❛③ exp

(−ec · s) exp (−s) ❤❡❧②❡tt ❥❡❧❧❡♠❡③tü❦✱ í❣② ❛③ ❡❝ ♣❛r❛♠ét❡r ✈á❧t♦③t❛tásá✈❛❧ ❛ ♥②♦♠ás ❣r❛❞✐❡♥sét ✈á❧t♦③t❛t❥✉❦✳ ▼✐♥t ❛ ✹✳✻ á❜rá❦ s③❡♠❧é❧t❡t✐❦✱ ❛ ♥②♦♠ás ❣r❛❞✐❡♥sé♥❡❦ ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ♥➤ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❡❧t➯♥ésé♥❡❦ s❡❜❡ssé❣❡✳ ❊③t ❛③ ♦❦♦③③❛✱ ❤♦❣② ❛ ❣r❛❞✐❡♥s ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ♥➤ ❛③ ár❛♠❧ás s❡❜❡ssé❣❡✱ ❡♥♥❡❦ ❦ö✈❡t❦❡③té❜❡♥ ❣②♦rs❛❜❜ ❛ ❢♦❧②❛❞é❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és❡✱ í❣② ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❣②♦rs❛❜❜❛♥ ❡❧t➯♥♥❡❦ ❛ r❡♥❞s③❡r❜➤❧✳ ✹✳✷✳ ❘❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛

✹✳✷✳✶✳ ❑ü❧ö♥❜ö③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és❡ és ❛ ✹✳✼✳ á❜r❛✳ vn ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❆ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜rá❦ ❛ ♥②♦♠ás✲❡❧♦s③❧ás ❛s③✐♠♠❡tr✐á ❥á♥❛❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞és❡✐✱ ❛ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐❛❦ ❛ ❦✐❢❛✲ ❣②ást ❦ö✈❡t➤❡♥ ❛ ♠ér❤❡t➤ rés③❡❝s❦é❦ ❡❧♦s③❧ásá♥❛❦ ✐♠♣✉❧③✉stér❜❡❧✐ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥át ❥❡❧❧❡♠③➤ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❧át❤❛tó❛❦✳ ❆ ✹✳✼ á❜rá❦ ❛❧❛♣❥á♥ ❛♠❡♥♥②✐❜❡♥ ❝s✉♣á♥ ❡❧❧✐♣s③♦✐❞á❧✐s ❡❧térés ✈❛♥ ❛ t❡♥❣❡❧②s③✐♠♠❡tr✐átó❧ ❦❡③❞❡t❜❡♥ ❛ r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ❛❦❦♦r ❛ ❦✐❢❛❣②ást ❦ö✈❡t➤❡♥ ❛

❞❡t❜❡♥ ❛❦❦♦r ❛ v3 ♣❛r❛♠ét❡r ♠❡❧❧❡tt ❦✐s v2 v4 érté❦❡ ❧❡s③ ❥❡❧❡♥t➤s✱ ♠í❣ ❤❛ ❝s❛❦ ε3 ❛s③✐♠♠❡tr✐❛ ✈❛♥ ❦❡③✲ ✐s ♠❡❣❥❡❧❡♥✐❦✳ ❑ü❧ö♥❜ö③➤ ❦❡③❞❡t✐ ❛s③✐♠♠❡tr✐á✈❛❧ r❡♥❞❡❧❦❡③➤ ✷✻ Forrás:http://www.doksihu ❆ κ ♥ö✈❡❧és❡ ❧❛ssít❥❛ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❦✐♠♦só❞ását✱ és ❝sö❦❦❡♥t✐ ❛ ❤➤♠érsé❦❧❡t ❝sö❦❦❡♥ésé♥❡❦ üt❡♠ét✱ ❡③ ✉tó❜❜✐ ❦ö✈❡t❦❡③♠é♥②❡✱ ❤♦❣② ❛ ❦✈❛r❦❢♦❧②❛❞é❦ ❦és➤❜❜ ❢❛❣② ❦✐✳ ❆ ❧❛ss✉❧ás ♦❦❛✱ ❤♦❣② ❛ κ ❛ ❤❛♥❣s❡❜❡s✲ sé❣ ♥é❣②③❡té♥❡❦ ✐♥✈❡r③é✈❡❧ ❡❣②❡③✐❦ ♠❡❣✱ ❡③ért

♥ö✈❡❧és❡ ❛ ❤❛♥❣s❡❜❡ssé❣ ❝sö❦❦❡♥tésé✈❡❧ ❡❣②❡③✐❦✱ ❛♠❡❧②♥❡❦ ❤❛tás❛✱ ♠✐♥t ❛ ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡s❡t❜❡♥ ✐s ❧átt✉❦✱ ❛ ❢♦❧②❛❞é❦❜❛♥ ✈é❣❜❡♠❡♥➤ ❢♦❧②❛♠❛t♦❦ ❧❛ssítás❛✱ í❣② ❧❛ss❛❜❜❛♥ ❤➯❧ ❛ r❡♥❞s③❡r és ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐s t♦✈á❜❜ ♠❛r❛❞♥❛❦ ❛ r❡♥❞s③❡r❜❡♥ ✭❡③t tá♠❛s③t❥❛ ❛❧á ❛ ✹✳✽ á❜r❛✮✳ ✹✳✷✳✸✳ ❑❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ❤❛tás❛ ✹✳✶✵✳ á❜r❛✳ ❆ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ s③á♠s➯r➯sé❣ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥á♥❛❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ♠✉t❛t❥❛✱ ♠í❣ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐ ❛ ❦✐❢❛✲ ❣②♦tt rés③❡❝s❦é❦

✐♠♣✉❧③✉stér❜❡❧✐ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥át✳ ❆ ♥②♦♠ás ♥❛❣②sá❣❛ ♥❡♠ ❜❡❢♦❧②ás♦❧❥❛ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ❛③ ✉❧tr❛r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s t❛rt♦♠á♥②❜❛♥ törté♥➤ r♦❜❜❛♥ás♦❦❜❛♥✱ ❡❧❧❡♥tét❜❡♥ ❛ ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡s❡tt❡❧✳ ❆③ ❡❧térés ♦❦❛✱ ❤♦❣② ❛ r❡❧❛t✐✈✐tás❡❧♠é✲ ❧❡t❜❡♥ ❛ ❢é♥②s❡❜❡ssé❣ ❤❛társ❡❜❡ssé❣✱ és ♠✐✈❡❧ ❡❤❤❡③ ❦ö③❡❧✐ s❡❜❡ssé❣❡♥ ③❛❥❧✐❦ ❛ tá❣✉❧ás ❛ ❦❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ás ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ♥❡♠ t✉❞✉♥❦ s③á♠♦tt❡✈➤❡♥ ❣②♦rs❛❜❜ tá❣✉❧ást ❡❧ér♥✐✱ ❡❧❧❡♥tét❜❡♥ ❛

♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐✲ ♥❛♠✐❦á✈❛❧✳ ❆ ✹✳✶✵ á❜rá♥ ♠é❣✐s ❛③t ❧át❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❛ rés③❡❝s❦❡❡❧♦s③❧ás♦❦❜❛♥ ♠é❣✐s ❢ü❣❣♥❡❦ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ástó❧✳ ❊♥♥❡❦ ❛③ ❛③ ♦❦❛✱ ❤♦❣② ♠✐♥é❧ ♥❛❣②♦❜❜ ❦❡③❞❡t✐ ♥②♦♠ásró❧ ✐♥❞ít❥✉❦ ❛③ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ést ❛♥♥á❧ ♥❛❣②♦❜❜ ❧❡s③ ❛ ❦❡③❞❡t✐ ❤➤♠érsé❦❧❡t✱ ❡③ért tö❜❜ ✐❞➤t ❦❡❧❧ ✈ár♥✐ ❛♠í❣ ❡❧ér❥ü❦ ❛ ❦✐❢❛❣②ás ❤➤♠érsé❦❧❡tét✱ ❡❦❦♦r ❛ r❡♥❞s③❡r ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ✐❞➤❦❜❡♥ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦❦❛❧ ❢❛❣② ❦✐✳ ✷✽

Forrás:http://www.doksihu ✹✳✷✳✹✳ ❆ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ❤❛tás❛ ✹✳✶✶✳ á❜r❛✳ ❆ ❢❡❧s➤ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ ❛ s③á♠s➯r➯sé❣ ♠í❣ ❛ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐ ❛ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥á♥❛❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ♠✉t❛t❥❛✳ ❆③ ❛❧só ❦é♣ ♣❡❞✐❣ ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ✐♠♣✉❧③✉sú rés③❡❝s❦é❦ s③á♠át s③❡♠❧é❧t❡t✐✱ ✐tt ❛③t ❧át❥✉❦✱ ❤♦❣② ❡③ ♥❡♠ ❢ü❣❣ ❛ ♥②♦♠ás ❣r❛❞✐❡♥sét➤❧✳ ❍❛s♦♥❧ó❛♥ ❛ ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦á❤♦③✱ ❛ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ✭❛③ ❡♥❡r❣✐❛s➯r➯sé❣♥é❧ ♠❡❣❥❡❧❡♥➤ ❡❝ ♣❛r❛♠ét❡r

❛♥❛❧ó❣✐á❥ár❛ ❜❡✈❡③❡t❡tt ♣❝ ♣❛r❛♠ét❡r ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧✮ ❣②♦rs✉❧ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❡❧✲ t➯♥és✐ s❡❜❡ssé❣❡✳ ❊♥♥❡❦ ♦❦❛ ✉❣②❛♥❛③ ♠✐♥t ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡s❡t❜❡♥✱ ❛③❛③ ♥❛❣②♦❜❜ ♥②♦♠ás❣r❛❞✐❡♥s ❣②♦rs❛❜❜ ár❛♠❧ást ❡r❡❞♠é♥②❡③✱ ❛♠❡❧②♥❡❦ ❤❛tásár❛ ❤❛♠❛r❛❜❜ ❦✐♠♦só❞♥❛❦ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ❛ r❡♥❞s③❡r✲ ❜➤❧✳ ✹✳✷✳✺✳ ❑ü❧ö♥❜ö③➤ tö♠❡❣➯ rés③❡❝s❦é❦ s♣❡❦tr✉♠❛ ❆ ❦✈❛r❦❢♦❧②❛❞é❦ ❦✐❢❛❣②ás❛❦♦r ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ tö♠❡❣➯ rés③❡❝s❦é❦ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ✈❛❧ós③í♥➯sé❣❡❦❦❡❧

❦❡❧❡t❦❡③♥❡❦✳ ❆ ✷✳✹ ❢❡❥❡③❡t❜❡♥ ❜❡♠✉t❛t♦tt ❦✐❢❛❣②ás✐ ❦é♣❜❡♥ ❧át❤❛tó✱ ❤♦❣② ❛ rés③❡❝s❦é❦ tö♠❡❣é♥❡❦ ♥ö✈❡❧ésé✈❡❧ ❝sö❦❦❡♥ ❛ ❦❡❧❡t❦❡③és✐ ✈❛❧ós③í♥➯sé❣✱ í❣② t❡❤át ♥❛❣②♦❜❜ tö♠❡❣➯ rés③❡❝s❦é❦❜➤❧ ❦❡✈❡s❡❜❜ ❦❡❧❡t❦❡③✐❦ ❡❣② ❦✐❢❛❣②ás s♦rá♥✳ ✷✾ Forrás:http://www.doksihu ✹✳✶✷✳ á❜r❛✳ ❆ ❜❛❧♦❧❞❛❧✐ á❜r❛ ♠✉t❛t❥❛ ♣✐♦♥✱ ❦❛♦♥ és ♣r♦t♦♥ s♣❡❦tr✉♠át✱ ❧áts③✐❦✱ ❤♦❣② ❛③ ❡❣②r❡ ♥❛❣②♦❜❜ tö♠❡❣➯ rés③❡❝s❦é❦❜➤❧ ♥❛❣②sá❣r❡♥❞❡❦❦❡❧ ❦❡✈❡s❡❜❜ ❦❡❧❡t❦❡③✐❦✳ ❆ ❥♦❜❜♦❧❞❛❧✐ á❜r❛

s③❡♠❧é❧t❡t✐✱ ❤♦❣② ♠✐♥é❧ ♥❛❣②♦❜❜ ❛ rés③❡❝s❦é❦ tö♠❡❣❡ ❛♥♥á❧ ❦✐s❡❜❜ ❧❡s③ ❛③ ✐♠♣✉❧③✉stér❜❡❧✐ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❥✉❦✳ ▼érés❡❦ s♦rá♥ ✐s ❤❛s♦♥❧ó ❡r❡❞♠é♥②❡❦❡t ❦❛♣✉♥❦✳ ✺✳ Öss③❡❢♦❣❧❛❧ás ❆ ❞♦❧❣♦③❛t ❝é❧❥❛ ❛ ♠ár ❧ét❡③➤ ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ás♦❦ ❦♦r❧át♦③♦tt ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧❡✐♥ tú❧❧é♣✈❡✱ ❛ ✈❛❧ósá❣❤♦③ ❦ö③❡❧❡❜❜ á❧❧ó ❦❡③❞➤❢❡❧tét❡❧❡❦ ❛❧❦❛❧♠❛③ásá✈❛❧✱ ❛ ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ✜③✐❦❛✐ ♣❛r❛♠ét❡r❡❦ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ésér❡ ❣②❛❦♦r♦❧t ❤❛tásá♥❛❦ ✈✐③s❣á❧❛t❛ ✈♦❧t✳

❊♥♥❡❦ ér❞❡❦é❜❡♥ ❦✐❢❡❥❧❡s③t❡tt❡♠ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s és ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦át ♠❡❣♦❧❞ó ❦ó❞♦t✱ ❛♠❡❧② ▼❯❙❚❆ ♠ó❞s③❡r s❡❣ítsé❣é✈❡❧ ❜❡❝sü❧✐ ❛ rá❝s♣♦♥t♦❦ ❦ö③t✐ ✢✉①✉s♦❦❛t✳ ❆ ❞♦❧❣♦③❛t❜❛♥ rö✈✐❞❡♥ ❜❡♠✉t❛tt❛♠ ❛ ❦✈❛r❦❢♦❧②❛❞é❦ ❢❡❧❢❡❞❡③ésé❤❡③ ✈❡③❡t➤ ❢♦♥t♦s❛❜❜ ❦ísér❧❡t❡❦❡t ❛♠❡❧②❡❦ ✐♥❞♦❦♦❧❥á❦ ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❛❧❦❛❧♠❛③ását✳ ❆ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐♥❡❦ ❢❡❧é♣ítés❡ ✉tá♥ ❜❡♠✉t❛tt❛♠ ♥é❤á♥② ✐s♠❡rt ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ást és ❡❣② ú❥✱

á❧t❛❧✉♥❦ t❛❧á❧t ❡❣③❛❦t ♠❡❣♦❧❞ását ✐s ❛ ✈✐s③❦ó③✉s✱ ♥❡♠r❡❧❛t✐✲ ✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦á♥❛❦✳ ➪tt❡❦✐♥t❡ttü❦✱ ❤♦❣② ♠✐❦é♥t ❧❡❤❡t ❛ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛ ❡❣②❡♥❧❡t❡✐t ♥✉♠❡r✐❦✉s❛♥ ♠❡❣♦❧❞❛♥✐✱ ♠✐❧②❡♥ ♥❡❤é③sé❣❡❦❦❡❧ t❛❧á❧❦♦③✉♥❦ és ♠✐❧②❡♥ st❛❜✐❧✐tás✐ ♣r♦❜❧é♠á❦ ❥❡❧❡♥t❦❡③♥❡❦✳ ▲átt✉❦✱ ❤♦❣② ❛ ❦ó❞ ❦✐s ❤✐❜á✈❛❧ r❡♣r♦❞✉❦á❧❥❛ ❛③ ✐s♠❡rt ❛♥❛❧✐t✐❦✉s ♠❡❣♦❧❞ást✱ ❡③ért ❡r❡❞♠é♥②❡✐t ❛ t♦✈á❜❜✐❛❦❜❛♥ ❡❧❢♦✲ ❣❛❞t✉❦ és ✈✐③s❣á❧t✉❦ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦

✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését✳ ■tt ❛③t t❛♣❛s③t❛❧t✉❦✱ ❤♦❣② ♥❡♠r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡s❡t❜❡♥ ❛ ✈✐s③❦♦③✐tás ❛ ♥②♦♠ás✲ és s➯r➯sé❣❡❧♦s③❧ás ❛s③✐♠♠❡tr✐á✐♥❛❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését ❧❛ssít❥❛✱ ♠í❣ ❛ s❡❜❡ssé❣♠❡③➤ ❛s③✐♠♠❡tr✐á✐ ❡s❡té♥ ❣②♦rsít❥❛✳ ▲átt✉❦✱ ❤♦❣② ❛ ❦ö③❡❣❜❡❧✐ ❤❛♥❣s❡❜❡ssé❣ ❝sö❦❦❡♥tés❡ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s és ♥❡♠✲ r❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❡s❡t❜❡♥ ✐s ❧❛ssít❥❛ ❛③ ❛s③✐♠♠❡tr✐á❦ ✐❞➤❢❡❥❧➤❞ését✳ ❊③❡♥ t❛♣❛s③t❛❧❛t♦❦ ❜❡♠✉t❛tás❛ ✉tá♥ ♠❡❣♣ró❜á❧t❛♠ ért❡❧♠❡③♥✐ ❛③ ❡r❡❞♠é♥②❡❦❡t✳ ❑ös③ö♥❡t♥②✐❧✈á♥ítás

❑ös③ö♥❡t❡t ♠♦♥❞♦❦ té♠❛✈❡③❡t➤♠♥❡❦✱ ❈s❛♥á❞ ▼áté♥❛❦✱ ❛❦✐ r❡♥❞❦í✈ü❧✐ tür❡❧❡♠♠❡❧ ✈❡③❡t❡tt ❜❡ ❛ ♥❡❤é③✐♦♥✲ ✜③✐❦❛ ✈✐❧á❣á❜❛✱ ú❥ ✐s♠❡r❡t❡❦❦❡❧ ❣❛③❞❛❣ít♦tt❛ t✉❞ás♦♠❛t✱ ❧❡❧❦✐✐s♠❡r❡t❡s❡♥ ✈á❧❛s③♦❧t ❛ ❦ér❞és❡✐♠r❡ és s❡❣ít❡tt ❢❡❧♠❡rü❧➤ ♣r♦❜❧é♠á✐♠ ♠❡❣♦❧❞ásá❜❛♥✳ ✸✵ Forrás:http://www.doksihu ❍✐✈❛t❦♦③ás♦❦ ❬✶❪ ❆✳ ❆❞❛r❡ ❡t ❛❧✳ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐r❡❝t✲♣❤♦t♦♥ ❝♦❧❧❡❝t✐✈❡ ✢♦✇ ✐♥ P❤②s✳❘❡✈✳▲❡tt✳✱ √ sN N = 200 ❡❱ ❆✉✰❆✉ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ✶✵✾✿✶✷✷✸✵✷✱ ✷✵✶✷✳ ❬✷❪ ❋r❡❞

❈♦♦♣❡r ❛♥❞ r❛❤❛♠ ❋r②❡✳ ❈♦♠♠❡♥t ♦♥ t❤❡ ❙✐♥❣❧❡ P❛rt✐❝❧❡ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❍②❞r♦❞②♥❛♠✐❝ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❚❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ▼♦❞❡❧s ♦❢ ▼✉❧t✐♣❛rt✐❝❧❡ Pr♦❞✉❝t✐♦♥✳ P❤②s✳❘❡✈✳✱ ❉✶✵✿✶✽✻✱ ✶✾✼✹✳ ❬✸❪ ▼áté ❈s❛♥á❞ ❛♥❞ ❆♥❞rás ❙③❛❜ó✳ ▼✉❧t✐♣♦❧❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ❤❛r♠♦♥✐❝s✳ ✷✵✶✹✳ ❬✹❪ ❚✳ ❈sör❣➤✳ ❙✐♠♣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✜r❡❜❛❧❧ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s❡❧❢s✐♠✐❧❛r✱ ❡❧❧✐♣s♦✐❞❛❧ ✢♦✇s✳ P❤②s✳P♦❧♦♥✳✱ ❆❝t❛ ❇✸✼✿✹✽✸✕✹✾✹✱

✷✵✵✻✳ ❬✺❪ ❚✳ ❈sör❣➤✱ ▲✳P✳ ❈s❡r♥❛✐✱ ❨♦❣✐r♦ ❍❛♠❛✱ ❛♥❞ ❚✳ ❑♦❞❛♠❛✳ ❙✐♠♣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❤②❞r♦❞②♥❛✲ ♠✐❝s ❢♦r s②st❡♠s ✇✐t❤ ❡❧❧✐♣s♦✐❞❛❧ s②♠♠❡tr②✳ ❬✻❪ ❇❡r♥❞ ❋r❡②t❛❣✳ ❍❡❛✈② ■♦♥ P❤②s✳✱ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❍②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✳ ❆✷✶✿✼✸✕✽✹✱ ✷✵✵✹✳ ✷✵✶✵✳ ❬✼❪ ❏♦s❡♣❤ ◆✳ ✐♥♦❝❝❤✐♦ ❛♥❞ ❆✳ ▲❡✈✐❛t❛♥✳ ❈r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ✐♥ ♥✉❝❧❡✐ ❛♥❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ❜♦s♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥tr✐♥s✐❝ st❛t❡s✳ ✷✵✵✸✳ ❬✽❪ ■✉✳ ❑❛r♣❡♥❦♦✱ P✳ ❍✉♦✈✐♥❡♥✱ ❛♥❞ ▼✳

❇❧❡✐❝❤❡r✳ ❆ ✸✰✶ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈✐s❝♦✉s ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝ ❝♦❞❡ ❢♦r r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❤❡❛✈② ✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ❈♦♠♣✉t✳P❤②s✳❈♦♠♠✉♥✳✱ ✶✽✺✿✸✵✶✻✕✸✵✷✼✱ ✷✵✶✹✳ ❬✾❪ ❏♦sé ▼❛r✐❛ ▼❛rtí ❛♥❞ ❊✇❛❧❞ ▼ü❧❧❡r✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ s♣❡❝✐❛❧ r❡❧❛t✐✈✐t②✳ ✐♥ ❘❡❧❛t✐✈✐t②✱ ▲✐✈✐♥❣ ❘❡✈✐❡✇s ✻✭✼✮✱ ✷✵✵✸✳ ❬✶✵❪ ②ör❣② ▼❛r①✳ ❘❡❧❛t✐✈✐s③t✐❦✉s ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐❦❛✳ ▼❛❣②❛r ❋✐③✐❦❛✐ ❋♦❧②ó✐r❛t✱ ✺✿✶✵✶✕✶✵✹✱ ✶✾✺✼✳ ❬✶✶❪ ❆❘❨ ❆✳ ❙❖❉✳ ❆ ❙✉r✈❡② ♦❢ ❙❡✈❡r❛❧

❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❙②st❡♠s ♦❢ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ▲❛✇s✳ ❏❖❯❘◆❆▲ ❖❋ ❈❖▼P❯❚❆❚■❖◆❆▲ P❍❨❙■❈❙✱ ✷✼✿✶✕✸✶✱ ✶✾✼✽✳ ❬✶✷❪ ✐❧❜❡rt ❙tr❛♥❣✳ ❆❝❝✉r❛t❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ♠❡t❤♦❞s ■✿ ▲✐♥❡❛r ❈❛✉❝❤② ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❆♥❛❧✳✱ ❆r❝❤✳ ❘❛t✐♦♥✳ ▼❡❝❤✳ ✶✷✿✸✾✷✕✹✵✷✱ ✶✾✻✸✳ ❬✶✸❪ ✐❧❜❡rt ❙tr❛♥❣✳ ❖♥ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t s♣❧✐tt✐♥❣ s❝❤❡♠❡s✳ ❆♥❛❧✳✱ ❙■❆▼ ❏✳ ◆✉♠❡r✳ ✺✿✺✵✻✕✺✶✼✱ ✶✾✻✽✳ ❬✶✹❪ ▼✳ ❚❛❦❛♠♦t♦ ❛♥❞

❙✳✲■✳ ■♥✉ts✉❦❛✳ ❆ ❢❛st ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ ❞✐ss✐♣❛t✐♦♥✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ P❤②s✐❝s✱ ✷✸✵✿✼✵✵✷✕✼✵✶✼✱ ❆✉❣✉st ✷✵✶✶✳ ❬✶✺❪ ❱✳ ❆✳ ❚✐t❛r❡✈ ❛♥❞ ❊✳ ❋✳ ❚♦r♦✳ ▼❯❙❚❆ s❝❤❡♠❡s ❢♦r ♠✉❧t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ s②st❡♠s✿ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥ts✳ ■♥t✳ ❏✳ ◆✉♠❡r✳ ▼❡t❤✳ ❋❧✉✐❞s✱ ✹✾✿✶✶✼✕✶✹✼✱ ✷✵✵✺✳ ❬✶✻❪ ❊✳❋✳ ❚♦r♦✳ ▼❯❙❚❆✿ ❆ ♠✉❧t✐✲st❛❣❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✢✉①✳ ❆♣♣❧✐❡❞ ◆✉♠❡r✐❝❛❧

▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ✺✻✿✶✹✻✹✕✶✹✼✾✱ ✷✵✵✻✳ ❬✶✼❪ ❊✳❋✳ ❚♦r♦ ❛♥❞ ❱✳❆✳ ❚✐t❛r❡✈✳ ④▼❯❙❚❆⑥ ✢✉①❡s ❢♦r s②st❡♠s ♦❢ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s✳ ✉t❛t✐♦♥❛❧ P❤②s✐❝s✱ ❬✶✽❪ ❙t❡✈❡♥ ❲❡✐♥❜❡r❣✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❈♦♠♣✲ ✷✶✻✭✷✮✿✹✵✸ ✕ ✹✷✾✱ ✷✵✵✻✳ ❚❤❡ ❋✐rst ❚❤r❡❡ ▼✐♥✉t❡s✳ ❇❛s✐❝ ❇♦♦❦s✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✼✼✳ ✸✶