Matematika | Középiskola » Matematika szlovák nyelven középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szlovák nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: Dôležité pokyny 1. Na riešenie úloh je určených 45 minút Po uplynutí času treba prácu ukončiť 2. Poradie riešenia úloh je ľubovoľné 3. Na riešenie príkladov môžete použiť kalkulačku, ktorá nie je vhodná na registráciu a zverejnenie slovných údajov a hociktorú štvormiestnu funkčnú tabuľku, iné elektronické alebo písomné pomôcky je zakázané používať! 4. Výsledok riešenia úloh zapíšte do rámca určeného na tento účel, riešenie príkladov rozoberajte len vtedy, ak to text príkladu prikazuje. 5. Písomnú prácu píšte perom, obrázky môžete kresliť

aj ceruzkou Ceruzkou písané časti mimo obrázkov nebude opravujúci učiteľ hodnotiť. Ak niektoré riešenie alebo časť riešenia prečiarknete, nebudú vyhodnotené. 6. Pri každom príklade možno hodnotiť len jeden spôsob riešenia V prípade viacerých pokusov na vyriešenie, jednoznačne označte, ktoré považujete za platné! 7. Do sivých obdĺžnikov nič nesmiete nepísať! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint 1. Név: . osztály: Funkciu f definujeme na množine reálnych čísiel odlišných od 3 vzorcom f ( x) = Pri ktorom reálnom čísle x má funkcia f hodnotu 1 ? 20 x= 2. 1 . x −3 2 body Dva vektory vychádzajúce z jedného ostrouhlého vrcholu kosoštvorca sú bočné vektory a a b. Vyjadrite pomocou týchto dvoch vektorov vektor uhlopriečky vychádzajúcej z toho istého vrcholu! Hľadaný vektor: 2 body 3. Pre ktoré reálne číslo x je pravdivá nasledujúca rovnosť?

2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2 body 3/8 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint 4. Név: . osztály: Vyberte z nasledujúcich grafov graf funkcie g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 bod funkcie g! y y 1 y 1 1 1 x 1 A x 1 B Písmeno grafu funkcie g: Nulový bod: 5. a udajte nulový C 2 body 1 bod Koľkými spôsobmi môžno vybrať presne štyri zo šiestich doporučených čítaní? Počet možností: 2 body 6. O dvoch množinách, A a B vieme, že A ∪ B = { x; y; z; u; v; w }, A B={ z; u }, B A={ v; w. Utvorte obraz množín a udajte vymenovaním prvkov množinu A ∩ B ! 1 bod A∩ B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 bod 2012. május 8 x Matematika szlovák nyelven középszint 7. Név: . osztály: Akú bude mať hodnotu za dva roky vkladový list za 50 000Ft-ov, ktorého hodnota rastie ročne o 10% v porovnaní s predošlým rokom? Svoju odpoveď odôvodnite! 2 body Hodnota

vkladového listu: 1 bod 8. N=437y51 označuje šesťciferné číslo deliteľné tromi, v desiatkovej číselnej sústave. Udajte možné hodnoty čísla y! Možné hodnoty čísla y: 2 body írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint 9. Név: . osztály: Zistite miesto maxima a hodnotu maxima funkcie f: R R, f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 ! Miesto maxima: 1 bod Hodnota maxima: 1 bod 10. V kupé vlaku cestuje päť cestujúcich Z nich jedna osoba pozná ďalšie tri, tri osoby poznajú 2–2 spolucestujúcich v kupé, a je jedna osoba, ktorá pozná len jedného spolucestujúceho. (Vzťahy známostí sú vzájomné) Znázornite graf známostí tejto spoločnosti! Jeden možný graf známostí: 3 body írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: 11. Určite súradnice stredobodu kružnice, ktorého rovnica je x 2 + y 2 − 4 x + 2 y

= 0 ! Aká je dĺžka polomeru kružnice? Svoju odpoveď odôvodnite! 2 body Stredobod: 1 bod Polomer kruhu: 1 bod 12. Rozhodnite o každom z nasledujúcich tvrdení, či je pravdivé alebo nepravdivé! A: Z dvoch reálnych čísiel je väčšie to, ktorého druhá mocnina je väčšia. B: Keď je jedno číslo deliteľné číslom 5 a 15, tak je deliteľné aj ich súčinom. C: Z dvoch rozličných ostrých uhlov má menší hodnotu kosína väčšiu. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 bod B: 1 bod C: 1 bod 7/8 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint I. časť Név: . osztály: Maximálny počet bodov Úloha č.1 2 Úloha č.2 2 Úloha č.3 2 Úloha č.4 3 Úloha č.5 2 Úloha č.6 2 Úloha č.7 3 Úloha č.8 2 Úloha č.9 2 Úloha č.10 3 Úloha č.11 4 Úloha č.12 3 SPOLU 30 dátum Získaný počet bodov Opravujúci profesor Elért pontszám egész számra

kerekítve/ Počet získaných bodov zaokrúhlený na celé Programba beírt egész pontszám/ Počet celých bodov vpísaných do programu I. rész/ Ičasť Javító tanár/ Opravujúci profesor Jegyző/ Zapisovateľ Dátum/dátum Dátum/dátum Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! Poznámky: 1. Keď maturant začal riešiť II časť písomnej práce, tak táto tabuľka a časť podpisov zostane prázdna! 2. Keď sa skúška v priebehu riešenia I časti preruší, alebo nepokračuje II časťou, túto tabuľku a časť podpisov treba vyplniť! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szlovák nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika szlovák nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 2 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: Dôležité pokyny 1. Na riešenie úloh je určených 135 minút, uplynutím času je treba prácu ukončiť 2. Poradie riešenia úloh je ľubovoľné 3. V časti B je treba z troch príkladov vyriešiť dva Poradové číslo nevybraného príkladu napíšte po ukončení písomnej práce do uvedeného štvorca! Ak pre opravujúceho učiteľa nebude jednoznačne jasné, že vyhodnotenie ktorého príkladu študent nežiada, potom nedostane body za príklad 18! 4. Na riešenie príkladov môžete použiť kalkulačku, ktorá nie je vhodná na registráciu a

zverejnenie slovných údajov a hociktorú štvormiestnu funkčnú tabuľku, iné elektronické alebo písomné pomôcky je zakázané používať! 5. Použitý myšlienkový postup riešení napíšte v každom prípade, lebo na základe tohto je prisúdená významná časť bodov! 6. Dbajte o to, aby najdôležitejšie čiastkové výpočty boli tiež sledovateľné! 7. Pomenované vety naučené v škole a používané pri riešení príkladov ( napr Pythagorova veta, výšková veta), nie je potrebné presne definovať, stačí spomenúť len názov vety, ale ich použiteľnosť je potrebné v krátkosti odôvodniť. 8. Výsledky príkladov ( odpoveď na položenú otázku ) uveďte aj v písomnej forme! 9. Písomnú prácu píšte perom, obrázky môžete kresliť aj ceruzkou Ceruzkou písané časti mimo obrázkov opravujúci učiteľ nemôže hodnotiť. Ak niektoré riešenie, alebo časť riešenia prečiarknete, potom nie sú vyhodnotiteľné. 10. Pri každom príklade možno

hodnotiť len jeden spôsob riešenia V prípade viacerých pokusov na vyriešenie jednoznačne označte, ktoré považujete za platné! 11. Do sivých obdĺžnikov nič nesmiete napísať! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: A 13. Desiaty člen aritmetickej postupnosti je 10, diferencia je 4 a) Paľo tvrdí, že tvar desiateho člena v dvojkovej číselnej sústave je 1011. Odôvodnite alebo poprite správnosť tvrdenia Paľa! b) Ktorý je prvý člen postupnosti? c) Určte najmenší trojciferný člen postupnosti! Koľkatý člen postupnosti to je? d) Koľkočlenná je množina, ktorú tvoria kladné dvojciferné členy tejto postupnosti? a) 3 body b) 2 body c) 4 body d) 3 body Sp.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4 / 16 12 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 5 / 16

2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: 14. Nemocnica mesta Nehľadaj priniesla na verejnosť nasledujúce údaje: Z 12 320 ľudí žijúcich v meste Nehľadaj ošetrovali v minulom roku dlhšiu–kratšiu dobu v mestskej nemocnici 1978 ľudí. a) Aká je pravdepodobnosť toho, že náhodne vybraného obyvateľa Nehľadaja v minulom roku ošetrovali v mestskej nemocnici? Pravdepodobnosť udajte zaokrúhlenú na dve desatinné miesta! V nemocnici bolo v danom roku liečených 138 osôb mladších ako 18 rokov, 633 osôb medzi 18 a 60 rokov, ostatní boli starší. Z počtu obyvateľov mesta je 24% nad 60 rokov, 18% mladších ako 18 rokov. ( V priebehu výpočtov môžeme predpokladať, že v meste Nehľadaj v daných údajoch značná zmena počas jedného roka nenastala.) b) Pripravte kruhový diagram o rozdelení liečených v nemocnici podľa veku! Výpočty potrebné k príprave kruhového diagramu napíšte! c) O koľko je väčšia

alebo menšia pravdepodobnosť časti a), keď náhodne vyberieme niekoho zo starších ako 60 rokov? a) 3 body b) 5 bodov c) 4 body Sp.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 12 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 7 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: 15. Zememerači po vhodnej nivelizácii pracovali s nasledujúcim ( rovinným ) útvarom Bod Q oddeľuje od ďalších bodov rieka. Zememerač pracujúci v bode A bol od bodu P 720 metrov a videl body P a Q na jednej priamke. Uhol PAB meral ako 53°-vý Zememerač v bode B bol od bodu A 620 metrov a zmeral uhol ABQ ako 108°-vý. Na základe týchto údajov vypočítajte vzdialenosti BP, PQ a BQ! Svoju odpoveď udajte zaokrúhlenú na metre! Q P A Sp.: 12 bodov B írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 8 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint

írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 9 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: B Z úloh 16-18. treba vyriešiť dve ľubovoľne vybrané a poradové číslo nevybranej úlohy treba napísať do prázdneho štvorca na strane 3! 16. Šachové družstvá dvoch štátov, družstvá A a B, sa pripravujú na svetovú súťaž v jednom výcvikovom tábore. Prvý týždeň hrajú kruhové zápasy športovci jedného národa, teda každý hráč hraje jeden zápas s každým zo svojho národa. Družstvo A prišlo so 7-mi hráčmi, v družstve B hrali 55 zápasov. a) Koľko zápasov prebehlo v družstve A, a koľko členov má družstvo B? Druhý týždeň každý zo 6 vybraných hráčov družstva A hraje po jednom zápase s 8-mi hráčmi družstva B. b) Koľko zápasov hrali spolu druhý týždeň? Na konci výcvikového tábora vylosovali medzi všetkými hráčmi 4 rovnaké darčekové predmety. Jeden hráč môže

dostať nanajvýš jeden dar c) Aká je pravdepodobnosť toho, že jeden dar dostane hráč družstva A a tri dary dostanú hráči družstva B? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 a) 7 bodov b) 3 body c) 7 bodov Sp.: 17 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: Z úloh 16-18. treba vyriešiť dve ľubovoľne vybrané a poradové číslo nevybranej úlohy treba napísať do prázdneho štvorca na strane 3! 17. a) Vyriešte na množine reálnych čísiel nasledujúcu rovnicu! lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 b) Na uhol x v jednom trojuholníku platí, že 4 cos2 x − 8 cos x − 5 = 0 . Aký veľký je tento uhol? c) Vyriešte na množine reálnych čísiel nasledujúcu rovnicu! 4y − 5 = 8 y d) Udali sme sedem rôznych reálnych čísiel, z ktorých jedno je aj riešením

rovnice zadanej v otázke c). Čísla napíšeme v nejakom poradí Koľko takých poradí týchto čísiel existuje, v ktorých je spomenuté číslo prostredné? a) 6 bodov b) 4 body c) 4 body d) 3 body Sp.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 17 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: Z úloh 16-18. treba vyriešiť dve ľubovoľne vybrané a poradové číslo nevybranej úlohy treba napísať do prázdneho štvorca na strane 3! 18. Prostredná časť vodnej nádrže je valec s vnútorným priemerom 6 m a výškou 8 m Spodná časť je pologuľa, horná časť má tvar kužeľa. Výška kužeľa je 3 m Nádrž stojí zvisle, znázornili sme jeden rovinný prierez prechádzajúci osou otáčania. a) Koľko metrov štvorcových treba pokryť vodotesným materiálom pri obnove celej

vnútornej časti nádrže? b) Koľko metrov kubických vody je v nádrži, keď je naplnená do 85% celej výšky? Hrúbku vodotesného materiálu možno pri výpočtoch zanedbať. Odpovede udajte zaokrúhlené na celé! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 14 / 16 a) 6 bodov b) 11 bodov Sp.: 17 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Név: . osztály: Poradové číslo príkladu Maximálny počet bodov 13. 12 14. 12 15. 12 Časť II. A Dosiahnutý počet bodov Spolu 17 Časť II. B 17 ← nevybraný príklad SPOLU 70 Maximálny počet bodov I. časť 30 II. časť 70 Počet bodov písomnej skúšky 100 Dátum Dosiahnutý počet bodov Opravujúci profesor Elért pontszám egész számra kerekítve/ Dosiahnutý počet

bodov zaokrúhlený na celé Programba beírt egész pontszám/ Počet celých bodov vpísaných do programu I. rész/ I časť II. rész/ II časť Javító tanár/ Opravujúci profesor Jegyző/ Zapisovateľ Dátum/dátum Dátum/dátum írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Dôležité pokyny Formálne predpisy: 1. Písomnú prácu je treba opravovať perom odlišnej farby než akú použil skúšaný študent a podľa zvyklostí označovať chyby, nedostatky, atď. 2. Z obdĺžnikov nachádzajúcich sa vedľa príkladov je v prvom uvedený maximálny počet bodov na daný príklad, do vedľajšieho

obdĺžnika sa napíše počet bodov daných opravujúcim. 3. V prípade bezchybného riešenia stačí napísať maximálny počet bodov do vhodného obdĺžnika. 4. V prípade neúplného/chybného riešenia prosíme, aby hodnotiaci napísal na úlohu aj jednotlivé čiastkové bodové ohodnotenie. 5. Mimo obrázkov ceruzkou písané časti opravujúci učiteľ nemôže hodnotiť Obsahové požiadavky: 1. V prípade jednotlivých úloh sme uviedli aj bodovanie viacerých riešení Ak sa vyskytne od uvedených odlišné riešenie, vyhľadajte zodpovedajúce rovnocenné riešenie v častiach smernice, a na základe tohto bodujte. 2. Body bodovacej smernice sú ďalej deliteľné Pridelené body môžu byť ovšem len celé body. 3. V prípade jednoznačne správneho myšlienkového postupu a výsledkov je možné dať maximálny počet bodov aj vtedy, ak popis je menej rozvedený. 4. Ak je v riešení výpočtová chyba, nepresnosť, potom len na tú časť neprislúcha bod, v ktorej

žiak urobil chybu. Ak s chybným čiastkovým výsledkom žiak pokračuje ďalej so správnym myšlienkovým postupom, potom mu treba prideliť ďalšie čiastkové body. 5. V prípade zásadnej myšlienkovej chyby v rámci jednej myšlienkovej jednotky (tieto označuje v príručke dvojčiara) neprislúchajú body ani na formálne správne matematické kroky. Ak študent so zásadnou myšlienkovou chybou získaným výsledkom ako východiskovým údajom ďalej počíta správne v ďalšej myšlienkovej jednoke alebo čiastočnej otázke, potom na túto časť má dostať maximálny počet bodov. 6. Ak sa v opravnej príručke nachádza v zátvorke poznámka alebo jednotka merania, v prípade jej chýbania má riešenie úplnú hodnotu. 7. Z viacero pokusov riešenia jedného príkladu možno hodnotiť len jedno, to riešenie, ktoré skúšaný označí. 8. Za riešenie bónusové body ( body prekračujúce maximálny počet bodov daných pre danú úlohu alebo časť úlohy) nie je

možné dať. 9. Pre tie nesprávne čiastkové výpočty, čiastkové kroky netreba strhnúť body, ktoré skúšaný pri riešení príkladu v skutočnosti nepoužil 10. V prípade série skúšobných úloh v časti IIB z 3 príkladov je možné vyhodnotiť len riešenie 2 príkladov. Skúšaný do štvorčeka slúžiaceho na tento účel – predpokládajúc – označil poradové číslo toho príkladu, ktorého vyhodnotenie nebude započítané do celkového počtu bodov. Tomuto odpovedajúc riešenie dané na tento príklad nie je potrebné ani opraviť. Keď nevysvitne jednoznačne, že skúšaný hodnotenie ktorého príkladu nežiada, potom bude automaticky v poradí posledný príklad ten, ktorý netreba vyhodnotiť. írásbeli vizsga 1111 2 / 13 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 bod Spolu: Aj odpoveď bez 1 bod odôvodnenia je plnohodnotná. 2 body Spolu: Keď z odpovede 2 body

nevysvitá, že a a b sú vektory, prislúcha 1 bod. 2 body Spolu: 2 body 2 body Spolu: 2 body 1 bod 3 body Spolu: ⎛6⎞ 2 body Prijmime aj ⎜⎜ ⎟⎟ ! ⎝ 4⎠ 2 body x = 23 2. a+b 3. x = −3 4. Označením grafu funkcie g je písmeno: B. Nulový bod: ( x =) − 1. 5. Je 15 druhov možností. 6. Správny obraz. A z u B x y v w 1 bod A ∩ B = {x; y} Spolu: 1 bod 2 body Spolu: Tieto dva body možno dať aj keď napíše bez 1 bod vzorca: 50 000 ⋅1,12 . Keď dobre vypočíta aktuálnu hodnotu za 1 1 bod rok a potom nesprávne pokračuje, dostáva 1 bod! 3 body 7. t 2 = t0 ⋅ q 2 1 bod t2 = 50 000 ⋅1,12 Hodnota vkladového listu: 60 500 Ft. írásbeli vizsga 1111 3 / 13 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 8. Spolu: Udanie jednej alebo dvoch správnych hodnôt 2 body je 1 bod. Keď v riešení udá aj chybnú hodnotu y, neprislúcha bod. 2 body Spolu: 1 bod 1 bod 2 body Možné

hodnoty y: 1; 4; 7. 9. Miesto maxima: 6 Hodnota maxima: 3 10. V obrázku je presne jeden bod tretieho stupňa, tri body druhého stupňa, a jeden bod prvého stupňa. 1 bod 1 bod 1 bod Spolu: 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 V prípade správneho 3 body obrazu prislúchajú všetky 3 body. Spolu: Tieto dva body prislúchajú aj vtedy, keď 2 body správne použije vzorce tabuľky funkcií. 1 bod 1 bod 4 body Spolu: 1 bod 1 bod 1 bod 3 body Stredobod je bod O(2; –1), a polomer je 5 . 12. A: nepravdivé. B: nepravdivé. C: pravdivé. írásbeli vizsga 1111 4 / 13 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, Tvrdenie Paľa je nepravdivé. Spolu: 2 body 1 bod 3 body Spolu: 1 bod 1 bod 2 body 13. b) 10 = a1 + 36 a1 = −26 13. c) prvé riešenie − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 2 body n ≥ 32,5 ; teda 33. je členom postupnosti Hľadaný člen je a33 = 102 . Keď je relácia neúplná,

prislúcha 1 bod. 1 bod Spolu: 1 bod 4 body 13. c) druhé riešenie V postupnosti hovoríme o číslach ktoré po delení 4-mi dávajú zvyšok dva. Z týchto najmenšie 3-ciferné číslo je 102. 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Teda hovoríme o 10+23=33-om člene postupnosti. Spolu: 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 4 body 13. d) Prvý vhodný člen je a10 = 10 , posledný a32 = 98 , preto množina má 22+1=23 členov. Spolu: írásbeli vizsga 1111 5 / 13 2 body 1 bod 3 body 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) P= počet výhodných prípadov počet všetkých prípadov Keď táto myšlienka 1 bod vysvitne len v priebehu riešenia, bod prislúcha. 1978 ≈ 12320 ≈ 0,16 p= 1 bod Spolu: 1 bod ≈16,06% 3 body 14. b) Medzi 18 a 60 rokov Pod 18 rokov Nad 60 rokov 60 év feletti Počet liečených starších ako 60 rokov: 1978 − 138 − 633 = 1207 osôb. 138 osôb mladších ako 18 rokov na kruhovom diagrame

zodpovedá stredovému uhlu 138 ⋅ 360° ≈ 25o 1978 633 osôb medzi 18 a 60 rokov zodpovedá ⎛ 633 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟115° stredovému uhlu ⎜ ⎝ 1978 ⎠ . 1207 osôb starších ako 60 rokov zodpovedá ⎞ ⎛ 1207 ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° stredovému uhlu ⎜ ⎝ 1978 ⎠ . 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod Správne vyhotovenie kruhového diagramu ( s približnými uhlami a nápismi na kruhových výsekoch). Keď spôsob správneho výpočtu stredového uhlu nenapíše ani raz, tak aj v prípade správnych údajov prislúcha len 1 bod. Keď rozoberie len jeden výpočet, ale všetky tri údaje sú správne, dostáva 2 body. 1 bod Spolu: 5 bodov 14. c) Medzi žijúcimi v meste Nehľadaj je 12320⋅ 0,24 = = 2956,8(≈ 2957) osôb nad 60 rokov. Počet osôb liečených a starších ako 60 rokov je 1207, 1207 (≈ 0,41) . tak hľadaná pravdepodobnosť je: 2957 Pravdepodobnosť sa zvýšila o 0,41 − 0,16 = 0,25 . Spolu: írásbeli vizsga 1111 6 / 13 1 bod 1 bod Aj 2956

možno prijať. 1 bod 1 bod 4 body 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 15. V trojuholníku ABP použitím kosínovej vety: BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Uhol AQB je 19º. V trojuholníku ABQ použitím sínovej vety (dvakrát): 620 AQ = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Vzdialenosti zaokruhlené na metre: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m és BP = 605 m. Keď táto myšlienka vysvitne len počas 1 bod riešenia, tento bod prislúcha. 1 bod 2 body * 1 bod Keď táto myšlienka vysvitne len počas 1 bod riešenia, tento bod prislúcha. 1 bod 1 bod * 1 bod * 1 bod 1 bod * Tento bod prislúcha za 1 bod * jednotku miery v odpovedi (m). Spolu: 12 bodov Keď v priebehu výpočtov používa sledovateľné správne zaokrúhlenia, body označené *-kou môže dostať aj vtedy, keď výsledky sa líšia od udaných nanajvýš o 3 metre.

írásbeli vizsga 1111 7 / 13 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) (V družstve A všetkých 7 hráčov zápasí so 6-mi vlastného národa, takto sme zápasy počítali dvakrát.) 7⋅6 = 21 zápasov. V družstve A prebehlo 2 (Družstvo B má n členov,) n ⋅ (n − 1) = 55 . Počet hratých zápasov je 2 Rovnica n2 − n − 110 = 0 má kladné riešenie 11 ( korene sú −10 a 11). Družstvo B má 11 členov. Spolu: 1 bod 2 body 1 bod 2 body 1 bod 7 bodov 16. b) Všetkých 6 hráčov družstva A hraje 8 zápasov. Druhý týždeň prebehlo spolu 6·8 = 48 zápasov. Spolu: 1 bod 2 body 3 body 16. c) (Možno použiť klasický model pravdepodobnosti.) počet výhodných prípadov P= počet všetkých prípadov ⎛18 ⎞ Vyhrávajúcich možno vybrať ⎜⎜ ⎟⎟ - spôsobmi. ⎝4⎠ Tento bod prislúcha aj 1 bod vtedy, keď myšlienku uvedie len v riešení. 1 bod Zo 7 členov družstva A jedného

7-spôsobmi, 1 bod ⎛11⎞ z 11 členov družstva B 3 (troch) možno vybrať ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ spôsobmi. (Dva výbery sú od seba nezávislé.) ⎛11⎞ Počet výhodných prípadov: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ 1 bod Tieto body prislúchajú aj vtedy, keď napíše správne len počet výhodných prípadov. 1 bod ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 Hľadaná pravdepodobnosť p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ 1 bod ⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ ≈ 0,377 ≈ 38%. Spolu: írásbeli vizsga 1111 8 / 13 Správna pravdepodobnosť v 1 bod ľubovoľnom tvare má hodnotu 1 bod. 7 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) Tento bod prislúcha aj vtedy, keď nepravdivý 1 bod koreň zistí na konci dosadením. 2 x − 1 > 0 a 2 x − 3 > 0 , teda x > 1,5 Na základe zhodností logaritmov: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 ( Logaritmická funkcia je vzájomne jednoznačné

priradenie,) preto (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , teda 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . Korene tejto: 5 1 x1 = és x 2 = − . 2 2 Do definičného oboru patrí len x1 = 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 5 a toto je 2 1 bod skutočne riešením. Spolu: 6 bodov 17. b) Korene rovnice na cos x sa zhodujú s koreňmi rovnice druhého stupňa z bodu a). 5 1 ( (cos x )1 = a (cos x )2 = − ) 2 2 5 cos x = nedáva riešenie. 2 Jediný uhol prislúchajúci ku 1 cos x = − čo môže byť uhlom trojuholníka je 2 2π x = 120o = 3 a toto je skutočne riešením. Spolu: 2 body 1 bod Bod prislúcha za ľubovoľné správne riešenie uhlu x. 1 bod Bod neprislúcha, keď skúšaný udá viac uhlov. 4 body 17. c) prvé riešenie Zavedieme novú premennú y = z , takto dáva riešenie len 0 ≤ z . Jediným kladným riešením rovnice 4 z 2 − 8z − 5 = 0 5 je z = . 2 25 Takto je riešením pôvodnej rovnice y = , 4 a toto je skutočne riešenie. Spolu: írásbeli vizsga 1111 9 / 13 1 bod 1 bod 1 bod 1

bod 4 body 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. c) druhé riešenie Obidve strany umocníme: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y 1 bod Korene rovnice druhého stupňa 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 25 1 sú y1 = , y2 = 4 4 Dosadenie, alebo vyšetrenie oboru hodnôt oboch strán pôvodnej rovnice ukazuje, že len prvý koreň je riešením rovnice. Spolu: 2 body 1 bod 4 body 17. d) Prostredné číslo upevníme. Ostatné čísla môzu mať 6! poradí, teda sedem čísel má 720 možných žiadaných poradí napísania. Spolu: írásbeli vizsga 1111 10 / 13 Keď táto myšlienka vysvitne len počas 1 bod riešenia, tento bod prislúcha. 1 bod 1 bod 3 body 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m 3m B 8m D G C 3m Pochopenie úlohy. Povrch dolnej časti nádrže ( povrch pologule s polomerom r = 3 metre): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅

π = 18π (≈ 56,5) 2 Povrch strednej časti nádrže ( plocha plášťa valca s polomerom r=3 metre, a výškou v=8 metrov): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) Povrch hornej časti nádrže (plocha plášťa kužeľa s polomerom r = 3 metre , a výškou v = 3 metre): Hrana kužeľa: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) Vnútorný povrch: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 Podľa zmyslu úlohy tu treba zaokrúhliť smerom hore, aby materiál vystačil, správna odpoveď je 248 m2 . Spolu: ( írásbeli vizsga 1111 ) 11 / 13 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod Keď previedol len matematické zaokrúhlenie, tak aj v prípade 247m2 1 bod prislúcha bod. 6 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) A A 1. ábra F 0,9 m 3m 3m E B 2,1 m r’ 0,9 m I E F H B 3m 8m A 2. ábra G D C I 3m E Výška nádrže je: (3 + 8 + 3 = ) 14 metrov. 85% výšky

je: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 metrov, čo znamená, že pologuľa a valec je plný, a v kuželi stojí voda do výšky 0,9 metrov. Objem spodnej časti nádrže ( objem pologule s polomerom r = 3 metre): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 Objem prostrednej časti nádrže ( objem valca s polomerom r = 3 metre a výškou v = 8 metrov): V 2= r 2π m = = = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . Objem hornej časti nádrže ( objem zrezaného kužeľa). Polomer horného krycieho kruhu kužeľa môžeme vypočítať pomocou vety rovnobežných sečných úsekov: (obraz č.1) ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . V 3= = π π 3 ( ) m r 2 + r 2 + rr = ( F 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod * 1 bod * 1 bod ) ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 1 bod 3 Objem vody v nádrži je: V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913 π ≈ 301 m3. 1 bod Spolu:

írásbeli vizsga 1111 3m r’ H 0,9 m J 0,9 mB 12 / 13 11 bodov 2012. május 8 Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Druhé riešenie na dva body označené*-kou. Objem hornej časti nádrže (objem zrezaného kužeľa). Polomer krycieho kruhu zrezaného kužeľa vieme vypočítať, keď si všimneme, že AFB∆ a HJB∆ sú pravouhlé, rovnoramenné trojuholníky, (obraz č.2) takto r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . írásbeli vizsga 1111 13 / 13 1 bod * 1 bod * 2012. május 8