Matematika | Középiskola » Matematika orosz nyelven középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA OROSZ NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika orosz nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 I. összetevő Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: Важная информация 1. На выполнение теста отведено 45 минут, по истечении этого времени работу нужно завершить. 2. Порядок выполнения заданий по усмотрению 3. При выпонении заданий вы можете пользоваться калькулятором, который не пригоден для хранения и отображения текстовых данных, а также любой четырёхзначной таблицей функций.

Использование других электронных или письменных вспомогательных средств запрещено! 4. Окончательный результат запишите в специальную рамку, подробное описание решения требуется только в том случае, если это указано в тексте задания! 5. Тест нужно заполнять ручкой, чертежи можно чертить и карандашом тоже Всё, что написано карандашом вне чертежей, проверяющий экзаменатор не оценивает. Если вы перечеркнули решение или часть решения, проверяющий экзаменатор его не оценивает. 6. По каждому заданию оценивается только одно решение Если вы

попытались дать несколько решений, укажите однозначно, какое решение вы считаете действительным! 7. Ничего не записывайте в серые поля! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint 1. Név: . osztály: 1 на множестве действительных чисел, x −3 1 отличных от 3. При каком действительном числе x функция f имеет значение ? 20 Функцию f задаём формулой f ( x) = x= 2. 2 балла Пусть будет два вектора сторон ромба, исходящие из одной из его остроугольных вершин a и б. Выразите этими двумя векторами вектор диагонали, исходящей из этой же вершины! Искомый

вектор: 2 балла 3. При каком действительном числе x верно следующее равенство? 2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2 балла 3/8 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint 4. Név: . osztály: Выберите из следующих графиков график функции g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 определите точку нуля функции g! y y 1 y 1 1 1 A x 1 x Б Буквенное обозначение графика функции g: Точка нуля функции: 5. и 1 В 2 балла 1 балл Сколькими способами можно выбрать ровно четыре из шести рекомендованных литературных произведений? Количество способов: 2 балла 6. О двух множествах A и Б нам известно, что A ∪ B = { x; y; z; u; v;

w }, A B={ z; u }, B A={ v; w }. Составьте рисунок множеств и задайте множество A ∩ B путём перечисления его элементов ! 1 балл A∩ B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 балл 2012. május 8 x Matematika orosz nyelven középszint 7. Név: . osztály: В настоящее время стоимость акции инвестиционного фонда составляет 50 000 фт. Стоимость этой ценной бумаги ежегодно увеличивается на 10% по сравнению с предыдущим годом. Какова будет её стоимость через два года? Обоснуйте ваш ответ! 2 балла Стоимость акции инвестиционного фонда: 8. 1 балл N=437y51 обозначает шестизначное число в десятичной системе

счисления, которое делится на три. Укажите возможные значения цифры y! Возможные значения цифры y: írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2 балла 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint 9. Név: . osztály: Определите точку максимума функции f: R R, и значение максимума! f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 Точка максимума: 1 балл Значение максимума: 1 балл и 10. В поезде в одном купе едет пять пассажиров Один из них знаком с тремя другими пассажирами, три человека имеет 2-2 знакомых в купе, имеется один человек, который знаком только с одним из спутников. (Отношения знакомста взаимны) Изобразите

один возможный граф отношений знакомства в этой компании! Один возможный граф отношений знакомства: 3 балла írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: 11. Определите координаты центра окружности, заданной уравнением x + y − 4 x + 2 y = 0 ! Какова величина радиуса окружности? Обоснуйте ваш ответ! 2 2 2 балла Центр: 1 балл Радиус окружности: 1 балл 12. Определите по отдельности, верны или ложны следующие утверждения! A: Из двух действительных чисел большее значение имеет то, значение квадрата которого больше. Б: Если какое-то

число делится и на 5 и на 15, то оно делится и на их произведение. В: Из двух острых углов, для меньшего угла, значение косинуса больше. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 балл Б: 1 балл В: 1 балл 7/8 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint часть I Név: . osztály: 1. задание 2. задание 3. задание 4. задание 5. задание 6. задание 7. задание 8. задание 9. задание 10. задание 11. задание 12. задание ВСЕГО дата максимальное количество баллов 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 3 30 количество набранных баллов проверяющий экзаменатор pontszáma egész számra kerekítve/количество

баллов с округлением до целого числа programba beírt egész pontszám/количество целых баллов, вписанных в программу I. rész / часть I javító tanár / проверяющий экзаменатор jegyző / секретарь dátum / дата dátum / дата Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! Примечание: 1. Эта таблица не заполняется и подписи не ставятся, если экзаменующийся приступил к решению заданий части II письменного экзамена. 2. Эта таблица заполняется, если при

решении заданий части I экзамен был прерван или экзаменующийся не приступил к решению заданий части II письменного экзамена. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 MATEMATIKA OROSZ NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika orosz nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 2 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: Важная информация 1. На выполнение задания отведено 135 минут, по истечении этого времени работу нужно

завершить. 2. Порядок выполнения заданий по усмотрению 3. Из трёх заданий, указанных в разделе Б, нужно выполнить только два Номер задания, которое вы не выбрали, после решения теста запишите в следующий квадрат! Если для проверяющего экзаменатора не указано однозначно, какое задание вы просите не оценивать, то вы не получите баллов по заданию 18. 4. При выпонении заданий вы можете пользоваться калькулятором, который не пригоден для хранения и отображения текстовых данных, а также любой четырёхзначной таблицей функций. Использование других

электронных или письменных вспомогательных средств запрещено! 5. В каждом случае напишите ход мысли при решении задания, потому что за это ставится значительная часть баллов! 6. Следите за тем, чтобы можно было проследить важные промежуточные расчёты! 7. Если вы использовали выученные в школе теоремы, которые названы по имени (например, теорема Пифагора, теорема высоты), то их не нужно полностью излагать, достаточно назвать, однако нужно кратко обосновать их применение. 8. Конечный результат (ответ на поставленный вопрос) напишите и текстом

тоже! 9. Тест нужно заполнять ручкой, чертежи можно чертить и карандашом тоже Всё, что написано карандашом вне чертежей, проверяющий экзаменатор не оценивает. Если вы перечеркнули решение или часть решения, проверяющий экзаменатор его не оценивает. 10. По каждому заданию оценивается только одно решение Если вы попытались дать несколько решений, укажите однозначно, какое решение вы считаете действительным! 11. Ничего не записывайте в серые поля! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: A 13. Десятый элемент

арифметической прогрессии 10, разница 4 a) Павел утверждает, что десятый элемент прогрессии в двоичной системе счисления имеет форму 1011. Обоснуйте или опроверните правильность утверждения Павла! б) Каков первый элемент прогрессии? в) Определите наименьший трёхзначный элемент прогрессии! Каким по счёту является этот элемент в прогрессии? г) Из скольких элементов состоит множество, которое составляют двухзначные положительные элементы этой арифметической прогрессии? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4 / 16 a) 3 балла б) 2 балла в) 4 балла г) 3 балла

Всего.: 12 баллов 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 5 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: 14. Больница одного города опубликовала следующие данные: в предыдущем году из 12 320 жителей города в городской больнице проходили госпитализацию 1978 человек. a) Какова вероятность того, что какой-то житель города, отобранный в порядке случайного отбора, в предыдущем году проходил госпитализацию в городской больнице? Определите вероятность, округлив ответ до двух десятичных знаков! В том году из тех, кого

госпитализировали в больнице, 138 человек были моложе 18 лет, 633 человек имели возраст 18-60 лет, остальные были старше. 24% населения города старше 60 лет, 18% населения города моложе 18 лет. (При выполнении вычислений можем предположить, что в течение одного года указанные выше данные существенно не изменились.) б) Составьте круговую диаграмму, изображающую распределение госпитализированных людей по их возрасту! Напишите вычисления, необходимые для составления круговой диаграммы! в) Насколько меньше или больше вероятность, о которой говорилось в

пункте a), если в порядке случайного отбора отбирается человек старше 60 лет? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 a) 3 балла б) 5 баллов в) 4 балла Всего.: 12 баллов 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 7 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: 15. После проведения соответствующего нивелирования геодезисты работают со следующим (плоскостным) рисунком. Точку Q от остальных точек отделяет река Геодезист, работающий в точке A находился в 720 метрах от точки P, и точки P и Q он видел на одной прямой линии. Он измерил величину угла PAB,

которая составила 53º. Геодезист, работающий в точке B находился в 620 метрах от точки A, он измерил величину угла ABQ, которая составила 108º. Вычислите на основе этих данных расстояния между точками BP; PQ и BQ! Округлите ваш ответ до метра! Q P A B Всего.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 8 / 16 12 баллов 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 9 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: Б Вы должны выбрать два задания из заданий 16-18 и решить их. Номер пропущенного задания запишите в пустой квадрат на странице № 3. 16. Сборные команды двух

стран по шахматам, команды A и Б в совместном тренировачном лагере готовятся к участию в большом турнире. На первой неделе члены отдельных команд проводят матч-турнир между собой, т.е каждый член данной команды проводит по одному матчу с остальными членами своей команды. В тренировочном лагере в составе команды A были 7 шахматистов, в команде Б состоялось всего 55 матчей. a) Сколько матчей состоялось в команде A, и сколько членов имеет команда Б? На второй неделе каждый из 6 отобранных для игры членов команды А проводит по одному матчу с 8 членами

команды Б. б) Всего сколько матчей состоялось на второй неделе? При закрытии тренировочного лагеря проводится жеребъёвка для всех его участников и разыгрывается четыре одинаковых сувенира. Один игрок может получить не больше одного сувенира. в) Какова вероятность того, что один из сувениров получит игрок команды A, а три сувенира получат члены команды Б? a) 7 баллов б) 3 балла в) 7 баллов Всего.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 17 баллов 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály:

Вы должны выбрать два задания из заданий 16-18 и решить их. Номер пропущенного задания запишите в пустой квадрат на странице № 3. 17. a) Решите следующее уравнение на множестве действительных чисел! lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 б) Для угла x треугольника верно, что 4 cos2 x − 8 cos x − 5 = 0 . Какова величина этого угла? в) Решите следующее уравнение на множестве действительных чисел! 4y − 5 = 8 y г) Даны семь различных действительных чисел, одно из которых является результатом решения уравнения, имеющегося в вопросе в). Записываем эти числа в какой-то очерёдности.

Сколько существует таких вариантов очерёдности этих чисел, в которых указанное число является средним? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 a) 6 баллов б) 4 балла в) 4 балла г) 3 балла Всего.: 17 баллов 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: Вы должны выбрать два задания из заданий 16-18 и решить их. Номер пропущенного задания запишите в пустой квадрат на странице № 3. 18. Центральная часть цистерны для воды представляет собой цилндр вращения, внутренний диаметр которого равен 6 м, а

его высота равна 8 м. Нижняя часть цистерны представляет собой полушарие, и её верхняя часть имеет форму конуса вращения. Высота конуса 3 м Цистерна стоит в вертикальном положении Прилагается изображение одного из плоских сечений, пересекающих ось вращения цистерны. a) Сколько квадратных метров нужно покрыть водоустойчивым материалом при реконструкции всей внутренней поверхности цистерны? б) Сколько кубических метров воды находится в цистерне, если она заполнена до 85% своей высоты? При выполнении вычисления толщина водоустойчивого слоя

не учитывается. Ответы округлите до целого числа! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 14 / 16 a) 6 баллов б) 11 баллов Всего.: 17 баллов 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika orosz nyelven középszint номер задания максимальное количество баллов 13. 12 14. 12 15. 12 часть II A количество набранных баллов всего 17 часть II Б 17 ← не выбранное задание ВСЕГО 70 максимальное количество баллов часть I 30 часть II 70 Баллы письменного экзамена 100 дата количество набранных баллов проверяющий экзаменатор

pontszáma egész számra kerekítve / количество баллов с округлением до целого числа programba beírt egész pontszám / количество целых баллов, вписанных в программу I. rész/часть I II. rész/часть II javító tanár / проверяющий экзаменатор jegyző / секретарь dátum / дата dátum / дата írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA OROSZ NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Важная информация Инструкции по форме проверки: 1. Проверка

теста производится ручкой, цвет которой отличается от ручки ученика, ошибки, недочёты и т.д, обозначаются так, как этого требует педагогическая практика. 2. В первом сером поле, расположенном рядом с заданием, указано максимальное количество баллов по данному заданию. Количество баллов, которое ставит учитель, указывается в соседнем поле. 3. В случае совершенно правильного решения достаточно вписать максимальное количество баллов в соответствующиее поле. 4. В случае недостаточного/ошибочного решения просим промежуточные баллы также

вписать в тест. 5. Записи, сделанные карандашом вне чертежей, проверяющим экзаменатором не оцениваются. Инструкции по содержанию: 1. В некоторых заданиях мы дали оценку нескольких возможных решений В случае возникновения отличного от них решения найдите в данной инструкции равноценные части решения и поставьте баллы на основании них. 2. Можно производить разбивку баллов, указанных в инструкции Но при этом ставятся только целые баллы. 3. Если ход мысли и конечный результат являются правильными, максимальное количество баллов можно поставить,

даже если описание решения менее подробно, чем требует инструкция. 4. Если в решении допущена ошибка вычисления, неточность, балл не ставится только за ту часть задания, в которой ученик допустил ошибку. Если ученик работает дальше с ошибочным промежуточным результатом, но ход мысли правильный, и суть решаемой задачи не изменилась, то нужно ставить последующие промежуточные баллы. 5. После принципиальной ошибки в одном разделе задания (разделы задания отмечены в инструкции двойной линией) балл не ставится даже за формально правильные

математические шаги. Но если ученик с тем исходным результатом, который получил после принципиальной ошибки, правильно производил дальнейшие расчёты в следующем разделе или подразделе задания, за решение этой части задания он получает максимальное количество баллов, если суть решаемой задачи не изменилась. 6. Если в инструкции в скобках указаны примечание или единица измерения, а в решении её нет, решение всё равно считается полноценным. 7. Среди нескольких попыток решения одного задания оценивается только вариант, указанный учеником. 8.

За решения не ставится премиальный балл (балл, превышающий максимальное количесвтво баллов за данное задание или раздел задания). 9. Не вычитаются баллы за такие промежуточные расчёты, шаги, которые ошибочны, но ученик фактически не использовал их для решения задачи. 10. Из 3 заданий, указанных в разделе II Б экзаменационного задания, оценивается решение только 2 заданий. Предполагается, что ученик в специальном квадрате указал номер того задания, оценка которого не учитывается в общем количестве баллов. Решение этого задания не нужно

проверять, даже если оно имеется. Если невозможно однозначно определить задание, которое ученик не просит оценивать, тогда автоматически самое последнее по порядку задание будет тем, которое оценивать не нужно. írásbeli vizsga 1111 2 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 балл Ответ без обоснования 1 балл тоже считается полноценным. Всего: 2 балла x = 23 2. Если из ответа не выясняется, что a и б 2 балла являются векторами, даётся 1 балл. Всего: 2 балла a+б 3. x = −3 2 балла Всего: 2 балла 4. Буквенное обозначение графика функции g: Б.

2 балла Точка нуля функии: ( x =) − 1. 1 балл Всего: 3 балла 5. ⎛6⎞ 2 балла Принимается и ⎜⎜ ⎟⎟ ! ⎝ 4⎠ Всего: 2 балла Имеется 15 способов. 6. Правильный рисунок. A x y z u B v w 1 балл A ∩ B = {x; y} Всего: írásbeli vizsga 1111 3 / 15 1 балл 2 балл 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 7. Эти два балла даётся и в случае, если без 1 балл формулы записано: 50 000 ⋅1,12 . Если правильно вычисляется актуальная стоимость акции, которую она 1 балл будет иметь через 1 год, но продолжение вычисления неправильно, даётся 1 балл! Всего: 3 балла t 2 = t0 ⋅ q 2 1 балл t2 = 50 000 ⋅1,12 Стоимость

акции: 60 500 фт. 8. За указание одного или двух правильныхзначений 2 балла даётся 1 балл. Если в ответе указано и неправильное значение y, не даётся балл. Всего: 2 балла Возможные значения y: 1; 4; 7. 9. Точка максимума: 6. Значение максимума: 3. 1 балл 1 балл Всего: 2 балла 10. На рисунке имеются ровно одна вершина степени 3, ровно три вершины степени 2, ровно одна вершина степени. 1 балл 1 балл 1 балл За указание правильного рисунка Всего: 3 балла даются все 3 балла. írásbeli vizsga 1111 4 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 Эти 2 балла

даются в случае, если правильно применяются 2 балла соответствующие формулы таблицы функций. Координаты центра окружности O(2; –1) , 1 балл 1 балл Величина радиуса 5 . Всего: 4 балла 12. A: ложно. Б: ложно. В: верно. írásbeli vizsga 1111 1 балл 1 балл 1 балл Всего: 3 балла 5 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, Утверждение Павла ложно. 2 балла 1 балл Всего: 3 балла 13. б) 10 = a1 + 36 a1 = −26 1 балл 1 балл Всего: 2 балла 13. в) первое решение − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 n ≥ 32,5 ; следовательно, 33-й элемент прогрессии. Искомый элемент a33 = 102 . При неполном указании

2 балла соотношения даётся 1 балл. 1 балл 1 балл Всего: 4 балла 13. в) второе решение В прогрессии присутствуют числа, после деления 1 балл которых на 4, остаток равен 2. Среди них наименьшим трёхзначным элементом 1 балл прогрессии является 102. 1 балл 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Итак, речь идёт о 10 + 23 = 33-ем элементе 1 балл прогрессии. Всего: 4 балла 13. г) Первый соответствующий элемент a10 = 10 , 2 балла последний a32 = 98 , поэтому прогрессия имеет 22+1=23 элемента. 1 балл Всего: 3 балла írásbeli vizsga 1111 6 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) Если эта мысль

выясняется только в 1 балл ходе решения, даётся этот балл. k ⎛ количество подходящих случаев ⎞ p = ⎜= ⎟ количество всех случаев n⎝ ⎠ p= 1978 ≈ 12320 1 балл ≈ 0,16 1 балл ≈16,06% Всего: 3 балла 14. б) 18 – 60 лет моложе 18 лет старше 60 лет 60 év feletti Количество пациентов старше 60 лет: 1978 − 138 − 633 = 1207 чел. 138 чел. моложе 18 лет на круговой диаграмме соответствует центральному углу 138 ⋅ 360° ≈ 25o 1978 633 человек в возрасте 18-60 лет на круговой диаграмме соответствует центральному углу ⎛ 633 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟115° ⎜ ⎝ 1978 ⎠ 1207 человек старше 60 лет на круговой диаграмме соответствует

центральному углу ⎛ 1207 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° ⎜ ⎝ 1978 ⎠ 1 балл 1 балл 1 балл 1 балл Если правильный метод вычисления центрального угла ни разу не появляется, даже при указании правильных данных даётся только 1 балл. Если детелизируется только одно вычисление, но правильны данные всех трёх вычислений, даётся 2 балла. Правильное составление круговой диаграммы (с приблизительными углами, этикетировкой 1 балл кругового сектора). Всего: 5 баллов írásbeli vizsga 1111 7 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. в) Количество жителей старше 60 лет

12320⋅ 0,24 = 1 балл = 2956,8(≈ 2957) . 1 балл Принимается и 2956. Количество госпитализированных пациентов старше 60 лет 1207, таким образом, искомая 1 балл 1207 (≈ 0,41) . вероятность: 2957 Вероятность повысилась на 0,41 − 0,16 = 0,25 . 1 балл Всего: 4 балла írásbeli vizsga 1111 8 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 15. Используя теорему косинусов в треугольнике ABP: BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Угол AQB 19º. Используя (двая раза) теорему синусов в треугольнике ABQ: 620 AQ = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Расстояния с округлением до метра: PQ = 1091 m,

BQ = 1521 m és BP = 605 m. Если эта мысль выясняется только в 1 балл ходе решения задания, даётся этот балл. 1 балл 2 балла* 1 балл Если эта мысль выясняется только в 1 балл ходе решения задания, даётся этот балл. 1 балл 1 балл* 1 балл* 1 балл 1 балл* Этот балл даётся за 1 балл* указание единицы измерения (м) в ответе. Всего: 12 баллов Если в ходе проведения вычислений применяется хорошо прослеживаемое правильное округление данных, обозначенные знаком* баллы даются и в случае, если результаты расходятся с указанными результатами не более, чем на 3 метра. írásbeli vizsga 1111

9 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. Б 16. a) (В команде A все 7 шахматистов играют с 6 членами собственной команды, таким образом, каждый матч учтён два раза.) 7⋅6 = 21 матчей. В команде A состоялось 2 (В команде Б имеется n-ое количество членов,) n ⋅ (n − 1) = 55 матчей. Было проведено 2 Уравнение n 2 − n − 110 = 0 Положительный корень указанного выше равнения 11 (корни − 10 и 11). В команде Б имеется 11 членов. Всего: 1 балл 2 балла 1 балл 2 балла 1 балл 7 баллов 16. б) Все 6 членов команды A проводит 8 матчей. На второй неделе состоялось всего 6·8 = 48

матчей. Всего: 1 балл 2 балла 3 балла 16. в) (Можно исползовать классическую модель вероятности.) p= количество подходящих случаев количество всех случаев ⎛18 ⎞ Победителей жеребьёвки можно отобрать ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ способами. Можно отобрать одного из 7 членов команды A 7способами, ⎛11⎞ Трёх из 11 членов команды Б ⎜⎜ ⎟⎟ - способами. ⎝3⎠ (Два отбора независимы друг от друга.) ⎛11⎞ Количество подходящих случаев: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 Искомая вероятность p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ Если эта мысль выясняется только 1 балл в ходе решения задания,

даётся этот балл. 1 балл 1 балл Эти баллы даются 1 балл и в случае, если правильно указано только количество подходящих случаев. 1 балл 1 балл ⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ írásbeli vizsga 1111 10 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató ≈ 0,377 ≈ 38%. Всего: За правильную вероятность в 1 балл любой форме записи даётся 1 балл. 7 баллов 17. a) Этот балл даётся и в случае, если лишний корень 1 балл обнаруживается в конце на основе субституции. 2 x − 1 > 0 и 2 x − 3 > 0 , следовательно x > 1,5 На основе тождеств логарифма: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (Логарифмическая функция

это взаимное однозначное сопряжение,) поэтому (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , то есть 1 балл 1 балл 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . Его корни: 5 1 x1 = и x 2 = − . 2 2 1 балл 1 балл В область задания функции входит только x1 = 5 2 1 балл и действительно это и есть решение задания. Всего: 6 баллов 17. б) Корни уравнения на cos x совпадают с корнями уровнения второй степени, приведённого в задании a). 2 балла 5 1 ( (cos x )1 = és (cos x )2 = − ) 2 2 5 cos x = не даёт решения. 1 балл 2 Единственный угол, уловлетворяющий условию За любое правильное 1 cos x = − который может быть углом указание угла x даётся 2 1 балл балл. 2π o Если

указано несколько треугольника x = 120 = 3 углов, балл не даётся. и действительно это и есть решение. Всего: 4 балла írásbeli vizsga 1111 11 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. в) первое решение Вводится новая переменная y = z , таким образом решение даёт только 0 ≤ z Единственный не отрицательный корень 1 балл 1 балл уравнения второй степени 4 z 2 − 8z − 5 = 0 z = 5 . 2 Таким образом, решение первоначального 25 , уравнения y = 4 и действительно это и есть решение. 1 балл 1 балл Всего: 4 балла 17. в) второе решение Обе стороны уравнения возводятся в

квадрат: 1 балл 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y Корни уравнения второй степени 25 1 2 балла 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 y1 = , y2 = 4 4 Субституция или анализ значений двух сторон первоначального уравнения показывают, что 1 балл только первый корень является решением уравнения. Всего: 4 балла 17. г) Если эта мысль выясняется только в 1 балл ходе решения задания, даётся этот балл. Фиксируем среднее число. Имеется 6!- способов очерёдности остальных 1 балл чисел, следовательно имеется 720- способов записи семи 1 балл чисел в соответствии с условием задания. Всего: 3 балла írásbeli vizsga 1111 12 / 15

2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m 3m B 8m D G C 3m Понимание задания. Поверхность нижней части цистерны (поверхность полушария с радиусом r = 3 метра): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 Поверхность средней части цистерны (площадь боковой поверхности кругового цилиндра с радиусом r = 3 метра, высотой m = 8 метра): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) Поверхность верхней части цистерны (площадь боковой поверхности конуса вращения с радиусом r = 3 метра, высотой m = 3 метра): Образующая конуса: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) 1 балл 1

балл 1 балл 1 балл 1 балл Внутренняя поверхность: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 поскольку по смыслу задания следует произвести округление вверх, чтобы хватило материала, правильный ответ 248 m2 . ( írásbeli vizsga 1111 ) При выполнении только математического округления, за указание результата 247 m2 1 балл тоже даётся этот балл. Всего: 6 баллов 13 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. б) A A рис.1 F 0,9 m 3m 3m E B 2,1 m r’ 0,9 m I E F H B 3m 8m A рис.2 G D C 3m E Высота цистерны: (3 + 8 + 3 = ) 14 метров. 85% высоты: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 метров, что означает то, что полушарие и

цилиндр заполнены водой, а в конусе вода достигает высоты 0,9 метра. Объём нижней части цистерны (объём полушария с радиусом r = 3 метра): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 Объём средней части цистерны (объём кругового цилиндра с радиусом r = 3 метра, высотой m = 8 метров): V 2= r 2π m = = = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . Объём верхней части цистерны (объём усечённого конуса). Радиус верхнего круга усечённого конуса можно рассчитать при помощи теоремы параллельных секущих отрезков: (рисунок 1) ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . V 3= = π π

3 ( ) m r 2 + r 2 + rr = ( r’ H 0,9 m J 0,9 mB I 3m F 1 балл 1 балл 1 балл 1 балл 1 балл 1 балл 1 балл* 1 балл* 1 балл ) ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 3 Объём воды в цистерне: V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913 π ≈ 301 m3. 1 балл 1 балл Всего: 11 баллов írásbeli vizsga 1111 14 / 15 2012. május 8 Matematika orosz nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Другой способ решения за два балла,отмеченных знаком *. Объём верхней части цистерны (объём усечённого конуса). Радиус верхнего круга усечённого конуса 1 балл* можно рассчитать заметив, что AFB∆ и HJB∆ представляют собой равнобедренные прямоугольные треугольники,

(рисунок 2) таким образом r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . 1 балл* írásbeli vizsga 1111 15 / 15 2012. május 8