Matematika | Középiskola » Matematika román nyelven középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika román nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 I. összetevő Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: Informaţii utile! 1. Candidaţii vor avea la dispoziţie 45 de minute pentru rezolvarea problemelor, după care vor preda lucrarea. 2. Ordinea de rezolvare a problemelor este opţională 3. La rezolvarea problemelor se pot folosi calculatoare, fără funcţie de salvare, respectiv de afişare a datelor alfanumerice, şi tabele de funcţii matematice. Este interzisă folosirea altor materiale ajutătoare electronice sau scrise. 4. Treceţi rezultatele problemelor în rubricile indicate, nu detaliaţi rezolvarea decât dacă se cere în text! 5. Problemele se vor rezolva cu stilou sau pix, la desenarea figurilor

se poate folosi şi creionul. Profesorul examinator nu are dreptul să corecteze părţi din lucrare scrise cu creionul, în afara figurilor. Soluţia, sau o parte din soluţie, care este tăiată, nu se va lua în considerare. 6. La fiecare problemă se va lua în considerare numai o singură soluţie Dacă sunt mai multe încercări de rezolvare, indicaţi clar, care variantă o consideraţi valabilă! 7. Nu scrieţi nimic în dreptunghiurile de culoarea gri lăsate goale írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint 1. Név: . osztály: Se defineşte funcţia f pe mulţimea numerelor reale diferite de 3 prin formula 1 1 f ( x) = . Care este valoarea reală a lui x, pentru ca funcţia f să fie ? x −3 20 x= 2. 2 puncte Fie a şi b vectorii celor două laturi ale unui romb, care pornesc dintr-un vârf al unui unghi ascuţit. Să se exprime vectorul diagonalei care porneşte din acelaşi vârf în funcţie de aceşti

doi vectori. Vectorul căutat: 3. 2 puncte La ce număr real x egalitatea următoare este adevărată? 2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2 puncte 3/8 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: 4. Să se determine care dintre graficele alăturate este graficul funcţiei g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 , şi să se determine zeroul funcţiei g . y y 1 y 1 1 1 x 1 A 1 B Litera de la graficul funcţiei g: Zeroul: 5. x C 2 puncte 1 punct Din şase lecturi recomandate, în câte feluri se pot alege exact patru? Numărul posibilităţilor: 2 puncte 6. Se consideră două mulţimi A şi B despre care se ştie că A∪ B ={ x; y; z; u; v; w }, A B={ z; u }, B A={ v; w }. Să se schiţeze o diagramă de mulţime şi să se determine mulţimea A ∩ B prin enumerarea elementelor! 1 punct A∩ B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 punct 2012. május 8 x Matematika román nyelven középszint

7. Név: . osztály: Ce valoare va avea un bon de investiţie de 50 000 Ft după doi ani, dacă valoarea lui creşte cu 10% pe an. Să se justifice răspunsul dat 2 puncte Valoarea bonului de investiţie: 1 punct 8. N=437y51 este un număr în sistemul zecimal format din şase cifre, divizibil cu trei. Să se determine valorile posibile ale cifrei y. Valorile posibile ale cifrei y: 2 puncte írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint 9. Név: . osztály: Se consideră funcţia f: R R, f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 . Să se determine punctul de maxim respectiv valoarea maximă a funcţiei. Punct de maxim: 1 punct Valoare maximă: 1 punct 10. Într-un compartiment de tren călătoresc cinci călători Unul dintre ei cunoaşte alţi trei, iar trei dintre călători cunoaşte fiecare câte 2 dintre tovarăşii de drum, şi există un călător care cunoaşte doar un singur tovarăş de drum. (Relaţia de cunoştinţe

este reciprocă.) Să se reprezinte grafic o posibilitate a grafului de cunostinţe în această companie. O posibilitate a grafului de cunoştinţe: 3 puncte írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: 11. Se dă un cerc de ecuaţie x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 0 Să se determine coordonatele centrului cercului. Să se determine raza cercului Să se justifice răspunsul dat 2 puncte Centrul cercului: 1 punct Raza cercului: 1 punct 12. Care din afirmaţiile următoare este adevărată şi care este falsă A: Dintre două numere reale numărul mai mare va fi cel care are pătratul mai mare. B: Dacă un număr este divizibil prin 5 şi prin 15, atunci va fi divizibil şi prin produsul lor. C: Dintre două unghiuri ascuţite diferite cel mai mic are cosinusul mai mare. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 punct B: 1 punct C: 1 punct 7/8 2012. május 8 Matematika román nyelven

középszint Partea I Név: . osztály: punctajul maxim problema 1 2 problema 2 2 problema 3 2 problema 4 3 problema 5 2 problema 6 2 problema 7 3 problema 8 2 problema 9 2 problema 10 3 problema 11 4 problema 12 3 TOTAL 30 data punctajul obţinut profesor examinator elért pontszáma egész számra kerekítve/ punctaj întreg rotunjit programba beírt egész pontszám/ punctaj întreg înregistrat în program I. rész/Partea I javító tanár/ profesor examinator jegyző/notar dátum/data dátum/data Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! Observaţii: 1. În cazul în care candidatul a început să rezolve partea a

II-a a probei scrise, acest tabel şi rubrica pentru semnătură rămân necompletate. 2. În cazul în care proba scrisă se întrerupe la rezolvarea primei părţi, sau lipseşte rezolvarea celei de-a doua părţi, se va completa atât tabelul cât şi rubrica pentru semnătură. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika román nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika román nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 2 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: Informaţii utile! 1. Candidaţii vor avea la dispoziţie 135 de minute pentru rezolvarea problemelor, după care vor preda lucrarea. 2.

Ordinea de rezolvare a problemelor este opţională 3. Se vor rezolva numai două probleme dintre cele trei date la partea B La terminarea lucrării treceţi în chenarul de mai jos numărul curent al problemei pe care nu aţi ales-o de rezolvat. Dacă profesorul care corectează lucrarea nu are informaţii clare despre problema care nu a fost aleasă pentru rezolvare, candidatul nu va primi notă la problema 18. 4. Se pot folosi calculatoare care nu au funcţie de salvare, respectiv de afişare a datelor alfanumerice, şi tabele de funcţii matematice. Este interzisă folosirea altor materiale ajutătoare electronice sau scrise. 5. Prezentaţi de fiecare dată raţionamentul folosit la rezolvarea problemei, pentru că o bună parte din puncte se acordă pentru raţionament. 6. Aveţi grijă ca şi calculele parţiale mai importante să fie clar prezentate 7. Teoremele însuşite la şcoală, aplicate la rezolvarea problemelor, şi cunoscute după nume (teorema lui Pitagora, teorema

înălţimii) nu trebuie să fie exact enunţate. Faceţi referinţă doar la ele, însă justificaţi pe scurt de ce le aplicaţi. 8. Rezultatul final al problemei (răspunsul la întrebarea pusă) se va explica şi textual 9. Problemele se vor rezolva cu stilou sau pix, la desenarea figurilor se poate folosi şi creionul. În afara figurilor profesorul examinator nu are dreptul să corecteze alte părţi din lucrare, scrise cu creionul. O parte din soluţie, sau soluţia care este tăiată, nu se va lua în considerare. 10. La fiecare problemă se va lua în considerare o singură rezolvare Dacă sunt mai multe încercări de rezolvare, indicaţi clar care variantă o consideraţi valabilă! 11. Nu scrieţi nimic în dreptunghiurile goale de culoarea gri írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: A 13. Al zecelea termen al unei progresii aritmetice este 10, iar diferenţa ei este 4 a) Paul afirmă

că, al zecelea termen scris în sistem binar din progresia aritmetică de mai sus este de forma 1011. Justificaţi sau negaţi afirmaţia lui Paul b) Să se determine primul termen al progresiei. c) Să se determine cel mai mic termen al progresiei care este format din trei cifre. Al câtelea este acest termen în progresia dată? d) În această progresie aritmetică câte elemente are mulţimea compusă din termenii pozitivi formaţi din două cifre? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4 / 16 a) 3 puncte b) 2 puncte c) 4 puncte d) 3 puncte T.: 12 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 5 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: 14. Dintre cei 12 320 de locuitori ai oraşului de Nicăieri în anul anterior au fost tratate pe periode mai lungi sau mai scurte 1978 de persoane. a) Care este probabilitatea tratării în spital a unui

locuitor oarecare al oraşului în anul precedent. Să se exprime probabilitatea obţinută rotunjită la două zecimale Numărul de persoane tratate în spital în acel an după categorii de vârstă: 138 de persoane sub 18 ani, 633 de persoane între 18 şi 60 de ani, iar restul mai în vârstă. 24% din locuitorii oraşului sunt peste 60 de ani, 18% sub 18 ani. (Presupenem că datele referitoare la oraşul de Nicăieri, pe baza cărora s-au efectuat aceste calcule nu s-au schimbat în mod esenţial în decurs de un an.) b) Să se realizeze o diagramă cerc privind repartiţia persoanelor tratate în spital după categorii de vârstă. Să se arate calculele efectuate pentru realizarea diagramei cerc. c) Cu cât va fi mai mare sau mai mică probabilitatea cerută în punctul a) decât probabilitatea tratării unui locuitor din categoria de vârstă de peste 60 de ani, ales la întâmplare? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 a) 3 puncte b) 5 puncte c) 4 puncte

T.: 12 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 7 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: 15. Topografii lucrează cu următoarea figură (în plan) obţinută în urma măsurătorilor de teren. Punctul Q este separat de celelalte puncte printr-un râu. Topograful care a lucrat în punctul A s-a aflat la o distanţă de 720 de metri de la punctul P, şi vedea punctele P şi Q pe aceeaşi dreaptă. El a măsurat un unghi PAB de 53º Topograful care a stat în punctul B s-a aflat la o distanţă de 620 de metri de la punctul A. El a măsurat unghiul ABQ de 108º. Pe baza acestor date, să se determine distanţele BP; PQ şi BQ. Să se exprime răspunsul rotunjit la metrii. Q P A B T.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 8 / 16 12 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: .

osztály: 9 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: B Se vor alege opţional două din problemele 16-18, şi se va trece în pătratul gol din pagina a 3-a numărul problemei pe care nu aţi ales-o. 16. Echipele A şi B, selecţionatele naţionale de şah din două ţări sunt în cantonament comun pentru campionatul mondial. În prima săptămână, membrii echipelor naţionale au un campionat intern, în care fiecare membru al echipei naţionale joacă câte o partidă cu fiecare. a) Câte partide au jucat membrii echipei A şi câţi membri are echipa B? În a doua săptămână se aleg 6 jucători din echipa A şi fiecare dintre ei joacă câte o partidă de şah cu fiecare dintre cei 8 jucători aleşi din echipa B. b) Câte partide s-au jucat în a doua săptămână? La sfărşitul cantonamentului se trag la sorţi patru jucători din cele două echipe, care vor primi cadouri egale. Un jucător nu poate primi mai mult de un

cadou c) Cu ce probabilitate se poate întâmpla, ca din echipa A un singur jucător să primească cadou, iar celelalte trei cadouri să revină celor din echipa B? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 a) 7 puncte b) 3 puncte c) 7 puncte T.: 17 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: Se vor alege opţional două din problemele 16-18, şi se va trece în pătratul gol din pagina a 3-a numărul problemei pe care nu aţi ales-o. 17. a) Să se rezolve următoarea ecuaţie în mulţimea numerelor reale. lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 b) Un unghi x al unui triunghi se definşte prin: 4 cos2 x − 8 cos x − 5 = 0 . Se se determine acest unghi c) Să se rezolve următoarea ecuaţie în mulţimea numerelor reale: 4y − 5 = 8 y d) S-au dat şapte numere reale diferite, dintre care

unul este totodată şi soluţia ecuaţiei din punctul c). Aceste numere se înşiră într-o anumită ordine Câte înşirări au aceste şapte numere, dacă în fiecare înşirare numărul dat se află la mijloc? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 a) 6 puncte b) 4 puncte c) 4 puncte d) 3 puncte T.: 17 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: Se vor alege opţional două din problemele 16-18, şi se va trece în pătratul gol din pagina a 3-a numărul problemei pe care nu aţi ales-o. 18. Un rezervor de apă se compune la mijloc dintr-un cilindru de rotaţie, cu diametrul interior de 6m, iar înălţimea de 8m. Partea inferioară a rezervorului este o emisferă, iar partea superioară este un con de rotaţie înalt de 3m. Rezervorul are poziţie verticală, iar în figura de mai jos se

vede o secţiune în plan, care trece prin axa de rotaţie a rezervorului. a) Câţi metri pătraţi trebuie căptuşiţi cu material impermeabil, cu ocazia renovării suprafeţei interiore totale? b) Să se determine în metri cubi cantitatea de apă aflată în acest rezervor, dacă rezervorul este umplut cu apă pâna la 85% din înălţimea totală a rezervorului. În calcule nu se ia în considerare grosimea materialului impermeabil. Să se rotunjească la întreg răspunsurile obţinute. írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 14 / 16 a) 6 puncte b) 11 puncte T.: 17 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Név: . osztály: numărul curent al problemei punctajul maxim 13. 12 14. 12 15. 12 Partea II. A punctajul obţinut total 17 Partea II. B 17 ← problema care nu a fost aleasă TOTAL 70 punctajul

maxim Partea I 30 Partea II 70 Punctajul lucrării scrise 100 punctajul obţinut profesor examinator data elért pontszám egész számra kerekítve/ punctaj întreg rotunjit programba beírt egész pontszám/ punctaj întreg înregistrat în program I. rész/ Partea I II. rész/Partea II javító tanár/profesor examinator jegyző/notar dátum/data dátum/data írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Informaţii utile! Indicaţii asupra formatului evaluării: 1. Corectarea lucrărilor se va efectua cu o culoare diferită de cea

folosită de candidat Marcarea greşelilor, lipsurilor, etc. se face conform practicii de corectare 2. Primul dintre chenarele gri de lângă probleme conţine punctajul maxim care se poate acorda la problema respectivă, punctajul acordat de profesorul care corectează se înscrie în chenarul de alături. 3. În cazul rezolvării ireproşabile a unei probleme, este de ajuns să se înscrie punctajul maxim în chenarul corespunzător. 4. În cazul rezolvării cu greşeli, sau cu lipsuri a problemei, vă rugăm să scrieţi şi punctele parţiale acordate pe unele părţi ale lucrării. 5. Profesorul examinator nu va lua în considerare acele părţi ale lucrării, care sunt scrise cu creionul, în afara figurilor. Indicaţii asupra conţinutului evaluării 1. La unele probleme s-a dat punctajul pentru mai multe soluţii Dacă soluţia obţinută de candidat este diferită de acestea, căutaţi părţi echivalente cu cele din soluţia din barem, pe baza căreia se corectează şi se

notează lucrarea. 2. Punctele din baremul de corectare-notare se pot descompune în puncte parţiale Numărul de puncte acordate nu pot fi decât numere întregi. 3. Dacă raţionamentul şi rezultatul sunt evident corecte, se poate acorda punctaj maxim şi dacă rezolvarea este mai puţin detaliată decât cea din baremul de corectare-notare. 4. Dacă în rezolvare s-au comis greşeli de calcul, sau apar inexactitudini, nu se acordă punct pentru partea la care a greşit candidatul. Dacă candidatul mai departe lucrează logic corect, dar cu valori iniţiale parţial greşite, punctajele parţiale trebuie să fie acordate în continu. 5. În cazul greşelilor de principiu, în cadrul unei unităţi logice (acestea sunt marcate prin linie dublă în baremul de corectare-notare) nu se acordă punct, chiar dacă formal operaţiunea matematică este corectă. Însă dacă candidatul calculează în continuare corect, cu valorile iniţial obţinute în urma unei greşeli de principiu, i

se acordă punctajul parţial maxim posibil în această unitate logică sau parte a problemei, dacă problema de rezolvat în esenţă nu s-a schimbat. 6. Dacă în baremul de corectare-notare o unitate de măsură este dată între paranteze, rezultatul obţinut este considerat de valoare totală, chiar dacă această unitate de măsură lipseşte din rezultatul obţinut. 7. Dacă la o problemă candidatul a dat mai multe rezolvări corecte, se va lua în considerare numai rezolvarea indicată de către candidat. 8. Pentru rezolvare nu se pot acorda puncte de premiu (punct în plus la punctajul maxim pentru rezolvare, sau pentru rezolvarea parţială respectivă). 9. Nu se scad puncte în urma calculelor parţiale greşite sau în urma operaţiunilor parţiale greşite, dacă ele nu sunt folosite în continuare în rezolvarea problemei. 10. În partea II B a lucrării vor fi notate numai 2 dintre cele 3 probleme date Candidatul a trecut în pătratul alăturat – probabil în acest

scop - numărul problemei pe care nu o vom lua în considerare la determinarea notei finale a lucrării. Ca atare, o eventuală rezolvare la problema respectivă nici nu trebuie corectată. Astfel, dacă pentru profesorul care corectează nu este indicat clar şi univoc care problemă nu a fost aleasă spre rezolvare de către candidat, ultima în ordinea problemelor prezentate spre rezolvare nu va fi notată. írásbeli vizsga 1111 2 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 punct x = 23 1 punct Răspunsul este de valoare totală şi fără justificare. Total: 2 puncte 2. 2 puncte a+b Se acordă numai 1 punct dacă din răspunsul dat nu reiese că a şi b sunt vectori. Total: 2 puncte 3. x = −3 2 puncte Total: 2 puncte 4. Litera corespunzătoare funcţiei g este: B. Zeroul este: ( x =) − 1. 2 puncte 1 punct Total: 3 puncte 5. Există 15 posibilităţi. 2 puncte ⎛ 6⎞ Se

acceaptă şi ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4⎠ Total: 2 puncte 6. Figură corectă. A z u A ∩ B = {x; y} B x y 1 punct v w 1 punct Total: 2 puncte 7. t 2 = t0 ⋅ q 2 1 punct t2 = 50 000 ⋅1,12 1 punct Valoarea bonului de investiţie este: 60 500 Ft. 1 punct Se pot acorda aceste 2 puncte şi dacă este 2 scris: 50 000 ⋅1,1 fără formulă.Se acordă 1 punct dacă se calculează corect valoarea actuală după un an, dar se continuă greşit. Total: 3 puncte írásbeli vizsga 1111 3 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 8. Valorile posibile ale lui y sunt: 1; 4; 7. 2 puncte Se acordă 1 punct pentru una sau două valori corecte. Nu se acordă punt dacă printre rezultate apare şi o valoare falsă a lui y. Total: 2 puncte 9. Punct de maxim este: 6. Valoare maximă este: 3. 1 punct 1 punct Total: 2 puncte 10. Pe figură există exact un punct de ordine trei, exact trei puncte de ordine doi, exact un punct

de ordine unu. 1 punct 1 punct 1 punct Total: 3 puncte 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 2 puncte Centrul cercului este punctul O(2; –1) , raza este 5 . Se acordă toate cele 3 puncte pentru figura corectă. Se acordă aceste 2 puncte şi dacă se aplică corect formulele corespunzătoare din tabelul de funcţii. 1 punct 1 punct Total: 4 puncte 12. A: fals. B: fals. C: adevărat. írásbeli vizsga 1111 1 punct 1 punct 1 punct Total: 3 puncte 4 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, Afirmaţia lui Paul este falsă. 2 puncte 1 punct Total: 3 puncte 13. b) 10 = a1 + 36 a1 = −26 1 punct 1 punct Total: 2 puncte 13. c) prima soluţie − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 n ≥ 32,5 ;deci al 33-lea termen al progresiei. Termenul căutat este a33 = 102 . 2 puncte Se acordă 1 punct dacă relaţia este incompletă. 1 punct 1 punct Total: 4 puncte 13. c) a doua soluţie Aceştia sunt termenii,

care împărţiţi la 4 dau restul egal cu doi. Cel mai mic dintre aceşti termeni care se compune din 3 cifre este 102. 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Deci este termenul de ordine 10 + 23 = 33. Total: 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 4 puncte 13. d) Primul termen al progresiei, care corespunde este 2 puncte termenul a10 = 10 , ultimul este a32 = 98 , de aici rezultă că mulţimea are 22+1=23 de 1 punct elemente. Total: 3 puncte írásbeli vizsga 1111 5 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) k ⎛ nr. cazurilor favorabile ⎞ p = ⎜= ⎟ n⎝ nr. tuturor cazurilor ⎠ 1978 ≈ 12320 ≈ 0,16 1 punct p= Se acordă acest punct şi dacă raţionamentul reiese numai din rezolvare. 1 punct 1 punct Total: 3 puncte ≈16,06% 14. b) între18 şi 60 de ani sub 18 de ani peste 60 de ani Nr. pacienţilor trataţi peste vârsta de 60 de ani este: 1978 − 138 − 633 = 1207 . Pe diagrama cerc, un unghi la centru de 138

⋅ 360° ≈ 25o corespunde celor 138 de persoane sub 1978 18 ani. Pe diagrama cerc, un unghi la centru de ⎛ 633 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟115° corespunde celor 633 de persoane ⎜ ⎝ 1978 ⎠ între 18 şi 60 de ani. Pe diagrama cerc, un unghi la centru de ⎛ 1207 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° corespunde celor 1207 de persoane ⎜ ⎝ 1978 ⎠ peste 60 de ani. 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct Se acordă numai 1 punct chiar dacă datele sunt corect,în cazul în care metoda corectă de calcul al unghiului la centru nu apare nici o dată. . Se acordă 2 puncte dacă numai un calcul este detaliat, însă toate cele trei date sunt corecte. Prezentarea corectă a diagramei cerc (cu unghiurile 1 punct aproximative şi etichetarea sectoarelor de cerc). Total: 5 puncte írásbeli vizsga 1111 6 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. c) Nr. locuitori de peste 60 de ani din oraşul de Nicăieri este de 12320⋅ 0,24 = =

2956,8(≈ 2957) de persoane. Nr. persoanelor de peste 60 de ani care au fost tratate este 1207, astfel probabilitatea cerută este: 1207 (≈ 0,41) . 2957 Probabilitatea a crescut cu 0,41 − 0,16 = 0,25 . Total: 1 punct 1 punct Se acceaptă şi 2956. 1 punct 1 punct 4 puncte 15. Aplicând teorema cosinusurilor în triunghiul ABP: 1 punct BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Unghiului AQB este de 19º. 1 punct 2 puncte* 1 punct Aplicând teorema sinusurilor (de două ori) în triunghiul ABQ obţinem: 1 punct 620 AQ = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Distanţele, rotunjite la metru: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m şi BP = 605 m. Se acordă acest punct şi dacă raţionamentul reiese numai din rezolvare. Se acordă acest punct şi dacă raţionamentul reiese numai din rezolvare. 1 punct 1 punct* 1 punct* 1 punct 1 punct* 1 punct* Se acordă acest punct pentru unitatea de măsură (m)

în răspunsul dat. Total: 12 puncte Se acordă punctele marcate prin * şi dacă rezultatele obţinute diferă de cele date în soluţie cel mult cu 3 m, în cazul în care din calculele efectuate reiese clar că rotunjirile făcute de candidat sunt corecte. írásbeli vizsga 1111 7 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) (Cei 7 jucători ai echipei A joacă cu fiecare 6 dintre compatrioţii săi, astfel am numărat dublu numărul partidelor.) 7⋅6 = 21 de partide. La echipa A s-au jucat 2 (Echipa B are n membri,) n ⋅ (n − 1) = 55 . numărul partidelor jucate este 2 Ecuaţia n2 − n − 110 = 0 are soluţia pozitivă 11 (rădăcinile sunt − 10 şi 11). Echipa B are 11 membri. Total: 1 punct 2 puncte 1 punct 2 puncte 1 punct 7 puncte 16. b) Fiecare dintre cei 6 jucători ai echipei A joacă 8 1 punct partide. În total s-au organizat 6·8 = 48 de partide în cea de 2 puncte a doua săptămână.

Total: 3 puncte 16. c) (Se poate aplica modelul probabilităţii clasice.) nr . cazurilor favorabile p= nr . tuturor cazurilor 1 punct ⎛18 ⎞ Câştigătorii se pot alege în ⎜⎜ ⎟⎟ feluri. ⎝4⎠ 1 punct Dintre cei 7 jucători ai echipei A se poate alege 1 jucător în 7 feluri, Dintre cei 11 jucători ai echipei B se pot alege 3 ⎛11⎞ jucători în ⎜⎜ ⎟⎟ feluri. ⎝3⎠ (Cele două alegeri sunt independente una de alta.) ⎛11⎞ Astfel nr. cazurilor favorabile este: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ Probabilitatea căutată este ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 ⎛ 7 ⋅165 ⎞ p = ⎝ ⎠ = ⎜= ⎟≈ ⎛18 ⎞ ⎝ 3060 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ Se acordă acest punct şi dacă raţionamentul reiese numai din rezolvare. 1 punct 1 punct Se acordă aceste puncte şi dacă numai numărul cazurilor favorabile este dat corect. 1 punct 1 punct ≈ 0,377 ≈ 38%. 1 punct Probabilitatea corectă valorează 1 punct în orice formă. Total: 7 puncte írásbeli

vizsga 1111 8 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) 2 x − 1 > 0 şi 2 x − 3 > 0 , deci avem x > 1,5 1 punct Din identităţile logaritmului obţinem: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (Funcţia logaritm este o funcţie bijectivă,) de unde rezultă că (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , adică 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . A cărei rădăcini sunt: 5 1 x1 = şi x 2 = − . 2 2 5 Numai x1 = aparţine domeniului de definiţie , 2 care într-adevăr este soluţie. Total: Se acordă acest punct şi dacă rădăcina falsă este eliminată la urmă prin substituţie. 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 6 puncte 17. b) Rădăcinile ecuaţiei în cosx coincid cu rădăcinile ecuaţiei de gradul doi din punctul a). 2 puncte 5 1 ( ) ( ) cos cos x = x = − ( şi ) 2 1 2 2 5 Ecuaţia cos x = nu are nici o soluţie. 1 punct 2 1 Ecuaţia cos x = − are o singură soluţie, care poate 2 fi totodată un unghi al unui

triunghi, şi anume 1 punct 2 π x = 120o = 3 Se acordă acest punct pentru orice formă corectă a unghiului x. Nu se acordă punct dacă candidatul dă mai multe unghiuri. Total: 4 puncte 17. c) prima soluţie Se întroduce variabila y = z , de unde obţinem că numai 0 ≤ z poate da o soluţie Ecuaţia de gradul doi 4 z 2 − 8z − 5 = 0 are o 5 singură rădăcină nenegativă z = . 2 25 Astfel rădăcina ecuaţiei iniţiale este y = , 4 care într-adevăr este şi soluţia. Total: írásbeli vizsga 1111 9 / 13 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 4 puncte 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. c) a doua soluţie Prin ridicarea la pătrat a ambelor laturi ale acuaţiei: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y Rădăcinile ecuaţiei de gradul doi: 25 1 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 sunt y1 = , y2 = 4 4 Substituind sau examinând domeniile de valoare ale ambelor laturi ale ecuaţiei iniţiale obţinem că numai prima rădăcină este

soluţie a ecuaţiei. Total: 1 punct 2 puncte 1 punct 4 puncte 17. d) Fixăm numărul din mijloc. 1 punct Se acordă acest punct şi dacă raţionamentul reiese numai din rezolvare. Celelalte numere se pot ordona în 6! de feluri, 1 punct deci cele şapte numere se pot scrie în 720 de feluri 1 punct de diferite ordini. Total: 3 puncte írásbeli vizsga 1111 10 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m 3m B 8m D G C 3m Înţelegerea problemei. Aria laterală a părţii inferioare a rezervorului (aria laterală a unei emisfere de raza r = 3 metri): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 Aria laterală a părţii din mijloc a rezervorului (aria laterală a unui cilindru de raza r = 3 metri şi înălţimea de m = 8 metri): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) Aria laterală a părţii superioare a rezervorului (aria laterală a unui con de rotaţie de

raza r = 3 metri şi înălţimea de m = 3 metri): Generatorul conului este: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct Aria laterală a suprafeţei interioare a rezervorului este: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 adică conform interpretării problemei, aici rotunjirea se efectuează în sus, pentru ca materialul să fie 1 punct suficient. Rezultatul corect este 248 m2 Total: 6 puncte ( írásbeli vizsga 1111 ) 11 / 13 Se acordă acest punct şi dacă se efectuează numai rotunjirea matematică, obţinându-se rezultatul de 247 m2 . 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) A A fig. 1 F 0,9 m 3m 3m E B 2,1 m r’ 0,9 m I E F H B 3m 8m A fig. 2 G D C I 3m E Înălţimea rezervorului este: (3 + 8 + 3 = ) 14 metri. 85% din înălţime este: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 metri, cea ce înseamnă că emisfera şi cilindrul sunt pline

cu apă, şi totodată apa din con se ridică la o înălţime de 0,9 metri. Volumul părţii inferioare a rezervorului este (volumul unei emisfere de raza r = 3 metri): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 Volumul părţii din mijloc a rezervorului este (volumul unui cilindru circular de raza r = 3 metri şi înălţimea de m = 8 metri): V 2= r 2π m = = = π π 3 ( ) m r 2 + r 2 + rr = ( F 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct 1 punct = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . Volumul părţii superioare a rezervorului este (volumul unui trunchi de con). Raza cercului bazei mici se poate calcula prin teorema secantelor paralele: (fig. 1) ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . V 3= 3m r’ H 0,9 m J 0,9 mB 1 punct 1 punct* 1 punct* 1 punct ) ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 3 Volumul apei din rezervor este: V = 18π + 72π + 5,913π =

95,913 π ≈ 301 m3. 1 punct 1 punct Total: 11 puncte írásbeli vizsga 1111 12 / 13 2012. május 8 Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Cealalaltă soluţie pentru punctele marcate prin *. Volumul părţii superioare a rezervorului (volumul unui trunchi de con). Raza bazei mici a trunchiului de con se poate afla observând că ∆AFB şi ∆HJB sunt triunghiuri isoscele şi dreptunghice (fig. 2) Astfel avem: r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . írásbeli vizsga 1111 13 / 13 1 punct* 1 punct* 2012. május 8