Matematika | Középiskola » Matematika spanyol nyelven középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika spanyol nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 I. összetevő Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: Información importante 1. Para la resolución de los ejercicios dispone de 45 minutos; acabado este tiempo debe finalizar el trabajo. 2. El orden para resolver los ejercicios es opcional 3. Para la resolución de los problemas se puede usar una calculadora que no tenga memoria de datos y cualquier libro con tablas y fórmulas. No se puede usar ayuda electrónica ni impresa. 4. Escriba el resultado final del ejercicio en el recuadro indicado para ello Sólo tiene que indicar los pasos que le llevan a la solución en caso de que se lo pidan. 5. Escriba con bolígrafo Se pueden hacer los dibujos a lápiz Todo

lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo no se calificará. Si tacha cualquier respuesta o una parte de ella, esa parte no se tendrá en cuenta. 6. Sólo se puede puntuar una solución por ejercicio En caso de que haya varios procedimientos para la resolución, debe indicar con absoluta claridad cuál es el válido. 7. No puede escribir nada en los recuadros de puntuación de color gris írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint 1. Név: . osztály: 1 , está definida en el conjunto de x −3 los números reales distintos de 3. ¿Para qué número real x el valor que toma la función f 1 es ? 20 La función f , expresada con la fórmula f ( x) = x= 2. 2 puntos Del vértice de uno de los ángulos agudos de un rombo salen dos vectores correspondientes a los lados, a y b. Exprese en función de estos vectores, el vector que corresponde a la diagonal que sale del mismo vértice. El vector buscado: 2 puntos 3.

¿Para qué número real x se verifica la siguiente igualdad? 2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2 puntos 3/8 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint 4. Név: . osztály: Elija de entre las siguientes gráficas la que corresponde a la función g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 y determine el punto de corte con el eje x de la función g. y y 1 y 1 1 1 A x 1 x B La letra asignada a la gráfica de la función g: El punto de corte con el eje x de la función: 5. 1 C 2 puntos 1 punto Entre seis lecturas recomendadas, ¿de cuántas maneras se pueden elegir exactamente cuatro? El número de posibilidades: 2 puntos 6. De dos conjuntos A y B sabemos que A ∪ B = { x; y; z; u; v; w }, A B={ z; u }, B A={ v; w }. Realice un diagrama de conjuntos y enumere los elementos del conjunto A∩ B . 1 punto A∩B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 punto 2012. május 8 x Matematika spanyol nyelven középszint 7.

Név: . osztály: Si invertimos 50 000 Ft en fondos, ¿cuánto valdrán al cabo de dos años si su valor aumenta cada año un 10% con respecto al año anterior? Justifique la respuesta. 2 puntos El valor de los fondos: 1 punto 8. En el sistema numérico decimal, N=437y51 representa un número de seis cifras que es divisible por tres. Determine los valores posibles de la cifra y Valores posibles de la cifra y: 2 puntos írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint 9. Név: . osztály: Determine el lugar máximo y el valor máximo de la función f: R R, f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 . Lugar máximo: 1 punto Valor máximo: 1 punto 10. En un compartimento de tren viajaban cinco personas Entre ellas, una persona conocía a otras tres, tres personas conocían cada una de ellas a dos viajeros del compartimento y había una persona que sólo conocía a un viajero. (La relación de conocidos es recíproca). Represente uno

de los posibles grafos que indique las relaciones de conocidos de este grupo. Uno de los posibles grafos de conocidos: 3 puntos írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: 11. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia x + y − 4 x + 2 y = 0 . ¿Cuánto mide su radio? Justifique la respuesta 2 de ecuación 2 2 puntos El centro: 1 punto El radio de la circunferencia: 1 punto 12. De cada una de las siguientes proposiciones, decida si es verdadera o falsa A: El mayor de entre dos números reales será aquel cuyo cuadrado sea el mayor. B: Si un número es divisible por 5 y por 15 entonces también será divisible por su producto. C: Entre dos ángulos agudos distintos, el coseno del menor de ellos será el mayor. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 punto B: 1 punto C: 1 punto 7/8 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint parte I Név: . osztály:

puntuación puntos máxima conseguidos ejercicio 1 2 ejercicio 2 2 ejercicio 3 2 ejercicio 4 3 ejercicio 5 2 ejercicio 6 2 ejercicio 7 3 ejercicio 8 2 ejercicio 9 2 ejercicio 10 3 ejercicio 11 4 ejercicio 12 3 TOTAL 30 fecha profesor que corrige elért pontszám egész számra kerekítve / puntos conseguidos redondeados a un número entero programba beírt egész pontszám / puntos enteros según el programa I. rész / parte I javító tanár / profesor que corrige jegyző / secretario del Tribunal de Examen dátum / fecha dátum / fecha Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! Observaciones: 1.Si el alumno examinado comienza

la parte II del examen escrito, entonces deje en blanco las tablas que aparecen en esta hoja y los lugares destinados a las firmas. 2.Si el examen se interrumpe por alguna causa durante la parte I o si no se continúa en la parte II, entonces habrá que rellenar estas tablas y firmar en esta hoja. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika spanyol nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika spanyol nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 2 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: Información importante 1. Para la resolución de los ejercicios dispone de 135 minutos, acabado este tiempo debe finalizar

el trabajo. 2. El orden para resolver los ejercicios es opcional 3. En la parte B sólo tiene que resolver dos de los tres ejercicios propuestos Al finalizar el examen tiene que escribir el número del ejercicio que no resuelva en este cuadrado. Si para el profesor que corrige no queda absolutamente claro cuál es el ejercicio no elegido, se eliminará automáticamente el ejercicio 18, es decir, no recibiría ningún punto para el ejercicio 18. 4. Para la resolución de los problemas se puede usar una calculadora que no tenga memoria de datos y cualquier libro con tablas y fórmulas. No se puede usar ayuda electrónica ni impresa. 5. Por favor, especifique los pasos que ha seguido en el desarrollo del ejercicio hasta llegar a la solución porque la mayoría de los puntos que puede obtener se dan por las explicaciones. 6. Preste atención a que todos los pasos en el proceso de la resolución puedan seguirse de manera clara. 7. Al resolver los ejercicios, si necesita hacer referencia a

alguno de los teoremas conocidos, como, (por ejemplo, el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura), no tiene que especificar su enunciado ni la demostración; es suficiente nombrarlos y aplicarlos explicando por qué puede hacerlo. 8. Tiene que dar el resultado (la respuesta del problema) también con alguna o algunas frases. 9. Escriba con bolígrafo Se pueden hacer los dibujos a lápiz Todo lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo no se calificará. Si tacha cualquier respuesta o una parte de ella, esa parte no se tendrá en cuenta. 10. Sólo se puede puntuar una solución por ejercicio En caso de que haya varios procedimientos para la resolución, debe indicar, con absoluta claridad, cuál es el válido. 11. No puede escribir nada en los recuadros de puntuación de color gris írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: A 13. La diferencia de una progresión aritmética es 4 y su

décimo término es 10 a) Pali afirma que el término décimo de la progresión escrito en base dos es 1011. Justifique o niegue con argumentos la certeza de la afirmación de Pali. b) ¿Cuál es el primer término de la progresión? c) Determine el menor término de tres cifras de la progresión. ¿Cuál es el lugar de este término en la progresión? d) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto formado por los términos positivos de dos cifras de esta progresión? a) 3 puntos b) 2 puntos c) 4 puntos d) 3 puntos Total: 12 puntos írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 5 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: 14. El hospital de la ciudad Nekeresd publicó los siguientes datos: el año pasado, de las 12 320 personas que viven en Nekeresd, 1978 fueron atendidas en el hospital de la ciudad, durante

periodos de tiempo más o menos largos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que si elegimos al azar a un habitante de Nekeresd, éste hubiera sido atendido en el hospital el año pasado? Dé la probabilidad redondeada con dos decimales. Durante ese año, entre los que fueron atendidos en el hospital, hubo 138 personas menores de 18 años, 633 personas entre 18 y 60 años y el resto, mayores de 60 años. El 24% de los habitantes de la ciudad está por encima de los 60 años y el 18% por debajo de los 18 años. (Para el desarrollo de los cálculos, consideraremos que después de un año, no han ocurrido cambios esenciales en los datos que se conocen de Nekeresd). b) Represente en un diagrama de sectores la distribución por edades de las personas que fueron atendidas en el hospital. Indique también los cálculos necesarios para la realización del diagrama. c) Si elegimos al azar a una persona de entre los mayores de 60 años, ¿ en cuánto aumentará o disminuirá la probabilidad

respecto a la que se pregunta en el apartado a)? a) 3 puntos b) 5 puntos c) 4 puntos Total: 12 puntos írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 7 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: 15. Un grupo de topógrafos, tras la correspondiente nivelación de un terreno, trabajan con la figura plana que se muestra a continuación. El punto Q está separado de los otros puntos por un río. El topógrafo situado en el punto A estaba a 720 metros del punto P, y veía los puntos P és Q en una recta. Tomó la medida del ángulo PAB igual a 53º El topógrafo situado en el punto B se encontraba a 620 metros de A , y midió el ángulo ABQ igual a 108º. Teniendo en cuenta estos datos, calcule las distancias BP; PQ y BQ . Escriba las respuestas redondeadas a metros. Q P A Total: 12 puntos B írásbeli vizsga, II.

összetevő 1111 8 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 9 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: B Sólo tiene que resolver dos de entre los ejercicios 16-18. Puede elegirlos libremente. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado de la página 3. 16. Las selecciones nacionales de dos países, representadas por los equipos A y B, se preparan en un campamento de entrenamiento común para un campeonato del mundo. Durante la primera semana, los deportistas de la misma nacionalidad jugaran partidas de competición de todos contra todos, es decir, cada deportista jugará una partida con cada uno de su misma nacionalidad. El equipo A está formado por 7 jugadores, y en el equipo B se jugaron 55 partidas en total. a) ¿Cuántas partidas se jugaron en el equipo A, y de cuántos miembros está formado el equipo B ? Durante la segunda semana,

cada uno de los 6 jugadores seleccionados del equipo A jugará una partida con cada uno de los 8 jugadores seleccionados del equipo B. b) En total, ¿cuántas partidas se celebraron durante la segunda semana? Al finalizar el campamento de entrenamiento, se sortearon cuatro regalos iguales entre todos los participantes de ambos equipos. Cada jugador podía recibir un regalo como máximo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los regalos le tocara a un jugador del equipo A y los otros tres los recibieran jugadores del equipo B? a) 7 puntos b) 3 puntos c) 7 puntos Total: 17 puntos írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: Sólo tiene que resolver dos de entre los ejercicios 16-18. Puede elegirlos libremente. Escriba el número del ejercicio eliminado en el

cuadrado de la página 3. 17. a) Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales. lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 b) Para el ángulo x de un triángulo se verifica que 4 cos2 x − 8 cos x − 5 = 0 . ¿Cuánto mide este ángulo? c) Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales. 4y − 5 = 8 y d) Consideremos siete números reales distintos de manera que uno de ellos sea solución de la ecuación propuesta en el apartado c). Escribamos los números en cualquier orden. ¿De cuántas maneras distintas se puede establecer el orden entre ellos si el número mencionado se situará en el medio? a) 6 puntos b) 4 puntos c) 4 puntos d) 3 puntos Total: 17 puntos írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: Sólo tiene

que resolver dos de entre los ejercicios 16-18. Puede elegirlos libremente. Escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado de la página 3. 18. La parte central de un depósito de agua es un cilindro de revolución de 8 m de altura y cuyo diámetro interior mide 6 m. La parte inferior del depósito es una semiesfera y la parte superior tiene forma de cono de revolución. La altura del cono es de 3 m El depósito se mantiene en posición vertical, adjuntamos una de las secciones planas que contiene el eje de giro. a) ¿Cuántos metros cuadrados de material impermeable serán necesarios para reconstruir toda la superficie interior del depósito? b) ¿Cuántos metros cúbicos de agua hay en el depósito si se ha llenado hasta el 85% de su altura total? Para el desarrollo de los cálculos, se puede prescindir del grosor de la capa impermeable. Exprese las soluciones redondeadas a números enteros. a) 6 puntos b) 11 puntos Total: 17 puntos írásbeli vizsga, II.

összetevő 1111 14 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Név: . osztály: número del ejercicio parte II A puntuación puntos máxima conseguidos 13. 12 14. 12 15. 12 total 17 parte II B 17 ← ejercicio no elegido TOTAL 70 puntuación puntos máxima conseguidos parte I 30 parte II 70 Puntuación de la parte escrita del examen 100 fecha profesor que corrige elért pontszám egész számra kerekítve / puntos conseguidos redondeados a un número entero programba beírt egész pontszám / puntos enteros según el programa I. rész / parte I II. rész / parte II javító tanár / profesor que corrige jegyző / secretario del Tribunal de Examen dátum / fecha dátum / fecha írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012.

május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Información importante Cuestiones formales para la corrección del examen: 1. El profesor tiene que corregir el examen con un bolígrafo de diferente color al utilizado por el alumno. El profesor indicará los errores, los pasos que faltan, etc, tal y como esté acostumbrado. 2. En los recuadros grises de puntuación, el primero indica la máxima puntuación que se puede dar y el recuadro de al lado recoge los puntos que ha dado el profesor. 3. Si no hay errores en la resolución, es suficiente escribir los puntos máximos en el recuadro correspondiente. 4. Si hay errores o faltan pasos, indique, por favor, los puntos

correspondientes a cada parte. 5. El profesor que corrige no podrá evaluar todo lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo. Cuestiones de contenido: 1. En algunos ejercicios, les hemos ofrecido la puntuación correspondiente a varias resoluciones. Si usted encuentra otra resolución, busque, por favor, las partes equivalentes de las resoluciones que propone la guía y reparta los puntos según dichas partes. 2. Se pueden dividir los puntos que la guía recomienda para indicar distintos pasos de una parte. Pero, en cualquier caso, los puntos que se den siempre serán enteros 3. Si el desarrollo de la resolución y los resultados finales son correctos, se puede dar la puntuación máxima incluso si las explicaciones no son tan amplias como las que aparecen en la guía. 4. Si en una parte de la resolución, el estudiante comete un error de cálculo o de precisión, no recibirá los puntos correspondientes a esta parte. Si al arrastrar este error, el resto de los pasos realizados son

correctos y no cambia el sentido del problema, entonces se puntuarán el resto de los pasos. 5. En caso de un error de aplicación teórica, dentro de un razonamiento en la resolución (los razonamientos distintos aparecen separados con una línea doble en la guía), no se pueden dar puntos ni siquiera por los pasos matemáticamente correctos hechos tras cometer el error. Pero si en el siguiente razonamiento, se sigue trabajando bien, a pesar del resultado incorrecto causado por dicho error, se darán los puntos máximos para las siguientes partes de la resolución del problema, si no ha cambiado el sentido del mismo. 6. Si en la guía, algún comentario o una unidad de medida está entre paréntesis, la solución será correcta aunque no se escriba. 7. Si se escriben varios procedimientos para resolver un ejercicio, sólo se puntuará uno de ellos, el que el alumno examinado haya indicado como válido. 8. No se pueden dar puntos extra que excedan los puntos máximos que se pueden dar

para el ejercicio o una parte de él. 9. No se restan puntos si aparecen errores en algún paso o en partes de la resolución que el alumno no utiliza después para resolver el ejercicio. 10. De los tres ejercicios propuestos en la parte II/B del examen sólo se pueden puntuar dos. Probablemente el estudiante habrá indicado el número del ejercicio eliminado, el que no se puntuará, en el cuadrado correspondiente. Si el alumno hubiera resuelto este ejercicio no habría que corregirlo. Si no queda claro cuál es el ejercicio que el alumno examinado no desea que se le corrija, entonces automáticamente, según el orden en que aparecen los ejercicios, no se corregirá el último. írásbeli vizsga 1111 2 / 14 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 punto Total: También recibirá la 1 punto puntuación completa sin justificar la respuesta . 2 puntos Total: Si en la respuesta no se indican a y b como 2

puntos vectores, entonces recibirá 1 punto. 2 puntos Total: 2 puntos 2 puntos La letra asignada a la gráfica de la función g: B. El punto de corte con el eje x: ( x =) − 1. Total: 2 puntos 1 punto 3 puntos x = 23 2. a+b 3. x = −3 4. 5. Hay 15 posibilidades. Total: También aceptaremos 2 puntos ⎛⎜ 6 ⎞⎟ . ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ 2 puntos 6. Por el diagrama correcto. A x y z u B v w 1 punto A ∩ B = {x; y} Total: 1 punto 2 puntos 7. Estos dos puntos también se t 2 = t0 ⋅ q 2 1 punto pueden dar si no indica la 2 1 punto fórmula y escribe 50 000 ⋅1,1 . t2 = 50 000 ⋅1,12 Si calcula bien el valor después de 1 año, pero continúa de 1 punto manera incorrecta, recibirá 1 punto. El valor de los fondos: 60 500 Ft. Total: írásbeli vizsga 1111 3 / 14 3 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 8. Total: Si da uno o dos valores correctos, 1 punto. Si en la solución 2 puntos aparecen

valores erróneos de ”y”, no se darán puntos. 2 puntos Total: 1 punto 1 punto 2 puntos Los posibles valores de y: 1; 4; 7. 9. El lugar máximo: 6. El valor máximo: 3. 10. En el grafo, habrá exactamente un vértice de grado tres, exactamente tres vértices de grado dos, y sólo un vértice de grado uno. Total: 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 1 punto 1 punto 1 punto En caso de un dibujo 3 puntos correcto, se asignarán los tres puntos. Total: También recibirá estos 2 puntos si aplica correctamente las 2 puntos fórmulas correspondientes del libro de fórmulas. 1 punto 1 punto 4 puntos Total: 1 punto 1 punto 1 punto 3 puntos El centro es el punto O(2; –1), y el radio mide 5 . 12. A: falsa. B: falsa. C: verdadera. írásbeli vizsga 1111 4 / 14 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, La afirmación de Pali es falsa. Total: 2 puntos 1 punto 3 puntos Total: 1 punto 1 punto 2 puntos

13. b) 10 = a1 + 36 a1 = −26 13. c) primer método − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 Si la relación está 2 puntos incompleta, recibirá 1 punto. n ≥ 32,5 ; es decir, se trata del término 33o de la progresión. El término buscado es a33 = 102 . Total: 1 punto 1 punto 4 puntos 13. c) segundo método La progresión está formada por los números que al dividirlos por 4 dan de resto dos. Entre estos, el menor número de 3 cifras es 102. 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Es decir, se trata del término 10 + 23 = 33o de la progresión. Total: 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 4 puntos 13. d) El primer término que se adecúa a las condiciones es a10 = 10 y el último es a32 = 98 , por lo tanto, el conjunto está formado por 22+1=23 elementos. Total: írásbeli vizsga 1111 5 / 14 2 puntos 1 punto 3 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) p= Si esta explicación se puede deducir del 1 punto desarrollo de la

resolución, también se dará 1 punto. k ⎛ casos favorables ⎞ ⎜= ⎟ n ⎜⎝ casos posibles ⎟⎠ 1978 ≈ 12320 ≈ 0,16 p= 1 punto Total: 1 punto ≈16,06% 3 puntos 14. b) entre 18 y 60 años menores de18 60 év mayores defeletti 60 años El número de mayores de 60 años que fueron atendidos fue de 1978 − 138 − 633 = 1207 personas. En el diagrama de sectores, el ángulo central correspondiente a las 138 personas menores de 18 años es 138 ⋅ 360° ≈ 25o . 1978 En el diagrama de sectores, el ángulo central correspondiente a las 633 personas entre 18 y 60 ⎞ ⎛ 633 años es ⎜ ⋅ 360° ≈ ⎟115° . ⎠ ⎝ 1978 En el diagrama de sectores, el ángulo central correspondiente a las 1207 personas mayores de 60 ⎛ 1207 ⎞ años es ⎜ ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° ⎝ 1978 ⎠ Por la correcta representación del diagrama de sectores (dibujando ángulos aproximados, indicando los títulos correspondientes a cada sector). Total: írásbeli vizsga 1111 6 / 14 1

punto 1 punto 1 punto 1 punto Si los valores de los ángulos centrales son correctos, pero no indica en ningún caso la manera correcta de calcularlos, sólo se dará 1 punto. Si sólo muestra uno de los cálculos, pero los tres valores son correctos, recibe 2 puntos. 1 punto 5 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. c) Entre los habitantes de Nekeresd hay 12320⋅ 0,24 = = 2956,8(≈ 2957) personas mayores de 60 años. El número de mayores de 60 años que fueron atendidos en el hospital fue 1207, así la probabilidad 1207 (≈ 0,41) . buscada: 2957 La probabilidad aumentó en 0,41 − 0,16 = 0,25 . Total: 1 punto 1 punto También se puede aceptar 2956. 1 punto 1 punto 4 puntos 15. Aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABP: BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 El ángulo AQB mide 19º. Utilizando el teorema del seno (dos veces) en el triángulo ABQ: 620 AQ = , sin

19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Las distancias aproximadas a metros: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m y BP = 605 m. Si esta explicación se puede deducir del 1 punto desarrollo de la resolución, también se dará este punto. 1 punto 2 puntos* 1 punto Si esta explicación se puede deducir del 1 punto desarrollo de la resolución, también se dará este punto. 1 punto 1 punto* 1 punto* 1 punto 1 punto* Este punto se asigna a la 1 punto* unidad de medida (m) de las respuestas. Total: 12 puntos En el caso de que en el transcurso de los cálculos se apliquen las aproximaciones normales, y sus resultados difieran de los que aparecen en el ejercicio en 3 metros como máximo, también podrá recibir los puntos marcados con *. írásbeli vizsga 1111 7 / 14 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) (Los 7 jugadores del equipo A jugaron con los 6 de su misma

nacionalidad, pero así contaríamos cada partida dos veces). 7⋅6 = 21 partidas. En el equipo A se jugaron 2 (El equipo B tiene n miembros,) n ⋅ (n − 1) = 55 . y el número de partidas jugadas fue 2 De la ecuación n2 − n − 110 = 0 la solución positiva es 11 (las raíces son − 10 y 11). El equipo B tiene 11 miembros. Total: 1 punto 2 puntos 1 punto 2 puntos 1 punto 7 puntos 16. b) Cada uno de los 6 jugadores del equipo A juega 8 partidas. En total, 6·8 = 48 partidas se celebraron durante la segunda semana. Total: írásbeli vizsga 1111 8 / 14 1 punto 2 puntos 3 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 16. c) (Se puede aplicar la fórmula clásica de la casosfavorables probabilidad). p = casosposibles Si esta explicación se puede deducir del 1 punto desarrollo de la resolución, también se dará este punto. ⎛18 ⎞ Se puede elegir a los ganadores de ⎜⎜ ⎟⎟ maneras ⎝4⎠ distintas. De los

7 jugadores del equipo A se puede elegir a 1 de 7 maneras distintas, de los 11 participantes del equipo B se pueden elegir ⎛11⎞ a 3 de ⎜⎜ ⎟⎟ maneras distintas. ⎝3⎠ (Las dos elecciones son independientes una de otra). ⎛11⎞ El número de los casos favorables: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ 1 punto 1 punto También se darán estos 1 punto puntos si sólo escribe de manera correcta el número de los casos favorables. 1 punto ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 La probabilidad buscada es p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ 1 punto ⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ ≈ 0,377 ≈ 38%. Total: Por el valor correcto de la probabilidad 1 punto expresado de cualquier forma, 1 punto. 7 puntos 17. a) También recibirá este punto 1 punto si elimina la solución falsa a partir de la comprobación. 2 x − 1 > 0 y 2 x − 3 > 0 , es decir, x > 1,5 Por las propiedades del logaritmo: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (La función logarítmica es biyectiva),

por lo tanto (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , así 1 punto 1 punto 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . Sus soluciones: x1 = 1 punto 5 1 y x2= − . 2 2 1 punto 5 pertenece al dominio, y ésta es la 2 solución válida. Total: Sólo x1 = írásbeli vizsga 1111 9 / 14 1 punto 6 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. b) Las soluciones obtenidas en la ecuación del cos x son las mismas que las raíces de la ecuación de segundo grado del apartado a). 5 1 ( (cos x )1 = y (cos x )2 = − ) 2 2 5 cos x = no da solución. 2 1 El único ángulo que verifica que cos x = − y que 2 2π puede ser ángulo de un triángulo es x = 120o = 3 y ésta es la solución correcta. Total: 2 puntos 1 punto Este punto se dará si el ángulo x está expresado de cualquier forma 1 punto correcta. No recibirá el punto si el examinado da más ángulos en la solución. 4 puntos 17. c) primer método Introducimos la nueva variable, y = z , así

sólo 0 ≤ z puede ser solución. La única solución no negativa de la ecuación de 5 segundo grado 4 z 2 − 8z − 5 = 0 es z = . 2 25 Así y = , será la solución de la ecuación original 4 y la solución es válida. Total: 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 4 puntos 17. c) segundo método Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y Las raíces de la ecuación de segundo grado 25 1 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 son y1 = , y2 = 4 4 Sustituyendo en la ecuación original o por el estudio de la imagen (rango) de las dos partes de dicha ecuación, se puede concluir que sólo la primera raíz es la solución válida. Total: írásbeli vizsga 1111 10 / 14 1 punto 2 puntos 1 punto 4 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. d) Si esta explicación se puede deducir del 1 punto desarrollo de la resolución, también recibirá este punto. Fijamos el número del medio. El resto de los

números se pueden ordenar de 6! 1 punto maneras distintas, es decir, los siete números se pueden ordenar de 720 1 punto maneras distintas. Total: 3 puntos írásbeli vizsga 1111 11 / 14 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m 3m B 8m D G C 3m Por la comprensión del ejercicio. La superficie de la parte inferior del depósito (área de una semiesfera de radio r = 3 metros): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 La superficie de la parte central del depósito (área lateral de un cilindro circular de radio r = 3 metros y de altura m = 8 metros): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) La superficie de la parte superior del depósito (área lateral de un cono de revolución de radio r = 3 metros, y de altura m = 3 metros): La generatriz del cono: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) La superficie interior: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9

2 π ≈ 247 ,33 m2 pero para que el ejercicio tenga sentido y el material sea suficiente, habrá que aproximar por exceso, es decir, 248 m2 será la respuesta correcta. ( ) Total: írásbeli vizsga 1111 12 / 14 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto Si únicamente ha tenido en cuenta la aproximación matemática y responde, con 247 m2 , también 1 punto recibirá este punto. 6 puntos 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) A A figura 1 F 0,9 m 3m 3m E B I E 2,1 m r’ 0,9 m F H B 3m 8m A figura 2 G D C I 3m E La altura del depósito: (3 + 8 + 3 = ) 14 metros. El 85% de la altura: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 metros, lo que quiere decir que la semiesfera y el cilindro están llenos y en el cono, el agua sólo llega hasta los 0,9 metros de su altura. El volumen de la parte inferior del depósito (volumen de una semiesfera de radio r = 3 metros): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3

⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 El volumen de la parte central del depósito (volumen de un cilindro circular de radio r = 3 metros y de altura m = 8 metros): V 2= r 2π m = = = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . El volumen de la parte superior del depósito (volumen de un tronco de cono). Para calcular el radio de la base superior del cono truncado podemos utilizar el teorema de los segmentos secantes paralelos: (figura 1) ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . V 3= = π 3 π 3 ( ) m r 2 + r 2 + rr = ( F 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto 1 punto* 1 punto* 1 punto ) ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . írásbeli vizsga 1111 3m r’ H 0,9 m J 0,9 mB 13 / 14 1 punto 2012. május 8 Matematika spanyol nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Volumen de agua que hay en el depósito: V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913π ≈ 301 m3. 1 punto Total:

11 puntos El otro método de resolución se refiere a los dos puntos marcados con *. El volumen de la parte superior del depósito (volumen de un tronco de cono). Podemos calcular el radio del círculo 1 punto* superior del cono truncado observando que los triángulos AFB∆ y HJB∆ son triángulos rectángulos isósceles, (figura 2) así r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . 1 punto* írásbeli vizsga 1111 14 / 14 2012. május 8