Matematika | Középiskola » Matematika horvát nyelven középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

2012. május 8 Név: . osztály: MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika horvát nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 I. összetevő Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: Važne informacije 1. Za rješavanje zadataka imate na raspolaganju 45 minuta, nakon isteka vremena posao morate završiti. 2. Redoslijed rješavanja zadataka je po vlastitom izboru 3. Pri rješavanju zadataka možete koristiti džepni kalkulator bez funkcije za pohranjivanje i prikaz tekstualnih podataka, odnosno bilo koje četveroznamenkaste priručne tablice; korištenje bilo kojeg drugog električkog ili pisanog pomagala je zabranjeno! 4. Konačne rezultate rješavanja zadataka upišite u za to namijenjene okvire, rezultate morate detaljizirati samo ako vas tekst zadataka upućuje na to! 5. Radnju pišite

kemijskom olovkom, crteže možete crtati i grafitnom olovkom! One dijelove radnje – osim prikaza koji su pisani grafitnom olovkom, profesor koji ispravlja radnje ne može vrednovati. Rješenje ili dio rješenja koje je precrtao – ne može se vrednovati. 6. Kod svakoga zadatka se može vrednovati samo jedno rješenje Pri više pokušaja rješenja nedvosmisleno označite koje držite važećim! 7. U polja zatamnjenih pravokutnika ne smijete upisivati ništa! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint 1. Név: . osztály: 1 na skupu realnih brojeva koji su x −3 1 različiti od 3. U slučaju kojih x brojeva funkcija f prima vrijednost ? 20 Funkciju f definiramo s formulom f ( x) = x= 2. 2 boda Dva vektora stranice koji polaze iz jednog šiljastog kuta jednog romba su a i b. S ta dva vektora izrazite vektor dijagonale koja polazi iz istog vrha! Traženi vektor: 2 boda 3. U slučaju kojeg x broja je istinita

sljedeća jednadžba? 2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2 boda 3/8 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: 4. Od sljedećih grafikona izaberite grafikon funkcije g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 napišite nultočku funkcije g! y 1 y y 1 1 1 x 1 A x 1 B Slovni znak grafikona funkcije g: Nultočka: 5. i C 2 boda 1 bod Na koliko se načina mogu izabrati točno četiri od šest preporučenih knjiga preporučene lektire? Broj načina: 2 boda 6. O dva skupa, o A i B, znamo da A ∪ B = { x; y; z; u; v; w }, A B={ z; u }, B A={ v; w }. Napravite prikaz skupova, te navođenjem njegovih elemenata napišite skup A ∩ B ! 1 bod A∩ B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 bod 2012. május 8 x Matematika horvát nyelven középszint 7. Név: . osztály: Kolika će za dvije godine biti vrijednost vrijednosnog papira od 50 000 ft. čija vrijednost godišnje raste 10% u odnosu na godinu dana

prije? Obrazložite svoj odgovor! 2 boda Vrijednost vrijednosnog papira: 8. 1 bod N=437y51 označuje šestoznamenkasti broj u brojevnom sustavu s bazom od 10 koji je djeljiv s tri. Napišite moguće vrijednosti znamenke y! Moguće vrijednosti znamenke y: 2 boda írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint 9. Név: . osztály: Ustanovite mjesto maksimuma i vrijednost maksimuma funkcije f: R R, f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 ! Mjesto maksimuma funkcije: 1 bod Vrijednost maksimuma funkcije: 1 bod 10. U jednom kupeu vlaka putuju pet putnika Jedna osoba od njih poznaje druge tri osobe, tri osobe imaju po 2 poznata suputnika, a ima jedna osoba koja poznaje samo jednog suputnika. (Poznanstva su uzajamna) Prikažite jedan mogući graf poznanstava jednog takvog društva! Jedan mogući graf poznanstava: 3 boda írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: .

osztály: 11. Odredite kordinate središta kružnice čija je jednadžba x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 0 ! Koliki je radijus kružnice? Obrazložite svoj odgovor! 2 boda Središte: 1 bod Radijus kružnice: 1 bod 12. O svakoj od sljedećih tvrdnji odlučite je li istinita ili lažna! A: Od dva realna broja je veći onaj čiji je kvadrat veći. B: Ako je jedan broj djeljiv i s 5 i s 15, onda je djeljiv i s njihovim umnoškom. C: Od dva različita šiljasta kuta manji ima veći kosinus. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 bod B: 1 bod C: 1 bod 7/8 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint I. dio Név: . osztály: 1. zadatak 2. zadatak 3. zadatak 4. zadatak 5. zadatak 6. zadatak 7. zadatak 8. zadatak 9. zadatak 10. zadatak 11. zadatak 12. zadatak UKUPNO Datum Maksimalni broj bodova 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 3 30 Broj postignutih bodova Profesor koji je ispravio radnju Broj

postignutih bodova zaokružen na cijele brojeve/elért pontszám egész számra kerekítve Broj cijelih bodova upisan u program/programba beírt egész pontszám I.dio/I rész Profesor koji je ispravio radnju / javító tanár Bilježnik/ jegyző Datum/dátum Datum/dátum Primjedbe: 1. Ako je pristupnik započeo rješavati II dio pismenog ispita, onda ova tabela i dio s potpisima ostaju prazni! 2. Ako ispit tijekom rješavanja zadataka I dijela biva prekinut, odnosno ne nastavi se II. dijelom, onda se moraju popuniti i tabela i dio s potpisima! Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI

VIZSGA 2012. május 8 8:00 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika horvát nyelven középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 2 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: Važne informacije 1. Za rješavanje zadataka imate na raspolaganju 135 minuta, istekom vremena morate završiti posao. 2. Redoslijed rješavanja zadataka je po vlastitom izboru 3. Od tri zadatka dijela B morate riješiti samo dva Redni broj neizabranog zadatka, nakon završetka radnje, upišite u sljedeći kvadrat! Ako za profesora koji bude ispravljao radnju ne bude nedvosmisleno jasno za koji od zadataka tražite da ne bude vrednovan, onda za 18. zadatak nećete dobiti bodove! 4. Pri rješavanju zadataka možete koristiti

džepni kalkulator bez funkcije za pohranjivanje i ispis podataka i bilo koje četveroznamenkaste priručne tablice, upotreba drugih elektronskih ili pisanih pomagala je zabranjena! 5. U svakom slučaju napišite postupak rješavanja, jer znatan dio bodova se daje za to! 6. Pripazite na to da se i važniji parcijalni izračuni mogu slijediti! 7. Pri rješavanju zadataka imena poučaka (npr Pitagorin poučak, poučak o visini pravokutnog trokuta) koje koristite i koje ste učili u školi ne morate točno formulirati, dovoljno je navesti samo njihova imena, ali mogućnost njihove primjene treba ukratko argumentirati. 8. Konačne rezultate zadataka (odgovore koji se daju na postavljena pitanja) priopćite i tekstualnom formulacijom! 9. Radnju pišite kemijskom olovkom, prikaze možete crtati i olovkom One dijelove radnje – osim prikaza – koji su pisani grafitnom olovkom, profesor koji ispravlja radnje neće vrednovati. Ako neko rješenje ili dio rješenja prekrižite, ono se neće

vrednovati 10. Kod svakog se zadatka može vrednovati samo jedno rješenje U slučaju više pokušaja rješavanja nedvosmisleno označite koje od njih smatrate važećim! 11. U polja sivih pravokutnika ne smijete upisivati ništa! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: A 13. Deseti član jednog aritmetičkog niza je 10, a njegova diferencija je 4 a) Pavao tvrdi da je oblik desetog člana niza u binarnom brojevnom sustavu 1011. Obrazložite ili negirajte ispravnost Pavlove tvrdnje! b) Koliki je prvi član niza? c) Odredite najmanjeg troznamenkastog člana niza! Koji je po redu to član niza? d) Koliko članova ima onaj skup koji čine dvoznamenkasti pozitivni članovi tog aritmetičkog niza? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4 / 16 a) 3 boda b) 2 boda c) 4 boda d) 3 boda U.: 12 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály:

írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 5 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: 14. Bolnica grada „Nema Ga“ objavila je sljedeće podatke: u prethodnoj godini u bolnici je od 12 320 stanovnika grada liječeno duže ili kraće vrijeme 1978 ljudi. a) Kolika je vjerojatnost da je jedan slučajno izaberen stanovnik grada „Nema Ga“ bio na liječenju u bolnici prethodne godine? Vjerojatnost dajte zaokruženu na dvije decimale! Te je godine od liječenih u bolnici 138 osoba bilo mlađe od 18 godina, 633 osobe su bile stare između 18 i 60 godina, a ostali su bili stariji. 24% stanovnika grada je staro iznad 60 godina, a 18% mlađe od 18 godina. (Tijekom izračuna možemo pretpostaviti da u podacima koji su objavljeni o gradu „Nema Ga“ za godinu dana nisu uslijedile bitne promjene.) b) Napravite kružni dijagram o rasporedu starosti skupina pacijenata liječenih u bolnici! Napišite potrebna računanja za crtanje dijagrama! c)

Za koliko je manja ili veća vjerojatnost pitana u zadatku a) ako slučajno izaberemo nekoga iz grupe starijih od 60 godina? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 a) 3 boda b) 5 bodova c) 4 boda U.: 12 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 7 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: 15. Geometri nakon odgovarajućih radnji za postavljanje osi u vertikalni i horizontalni položaj rade sa sljedećim prikazom (u ravnini). Točku Q od ostalih točaka odvaja jedna rijeka. Geometar koji radi kod točke A je od točke P bio na udaljenosti od 720 metara, a točke P i Q je vidio na jednom pravcu. Kut PAB je izmjerio na 53° Geometar koji je stajao kod točke B je udaljenost od točke A izmjerio na 620 metara, a kut ABQ na 108°. Na osnovi toga izračunajte udaljenosti BP; PQ i BQ! Svoj odgovor zaokružite na cijele metre! Q P A U.: 12

bodova B írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 8 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 9 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: B Od 16.-18 zadatka morate, po vlastitom izboru, riješiti dva izabrana zadatka, a redni broj izostavljenog zadatka upišite u prazno polje kvadrata na 3. stranici! 16. Šahovske reprezentacije dviju država, momčad A i momčad B se nalaze na zajedničkom logorovanju za jedno svjetsko natjecanje. Prvoga tjedna se organizira zonsko natjecanje za sportaše koji su članovi iste nacionalne vrste, dakle svaki pojedini sportaš odigra po jednu partiju sa svakim članom svoje nacionalnosti. Momčad A je na natjecanje doputovala sa 7 igrača, kod momčadi B odigrano je ukupno 55 partija. a) Koliko je partija odigrano kod momčadi A, te koliko članova ima momčad B? Drugoga tjedna svaki od 6 izabranih članova momčadi A

odigra po jednu partiju s 8 članova momčadi B. b) Koliko je ukupno partija odigrano drugog tjedna? Na kraju logorovanja su među svim članovima momčadi izvlačenjem podijelili četiri jednaka dara. Jedan je igrač mogao dobiti samo jedan dar c) Kolika je vjerojatnost da će jedan dar dobiti igrač momčadi A, a tri dara pak igrači momčadi B? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 a) 7 bodova b) 3 boda c) 7 bodova U.: 17 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: Od 16.-18 zadatka morate, po vlastitom izboru, riješiti dva izabrana zadatka, a redni broj izostavljenog zadatka upišite u prazno polje kvadrata na 3. stranici! 17. a) Sljedeću jednadžbu riješite na skupu realnih brojeva! lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 b) Za x kut jednog trokuta je istina da 4 cos2 x − 8 cos x

− 5 = 0 . Koliki je taj kut? c) Sljedeću jednadžbu riješite na skupu realnih brojeva! 4y − 5 = 8 y d) Zadali smo sedam takvih različitih realnih brojeva od kojih je jedan i rješenje jednadžbe koja je navedena u pitanju c). Brojeve napišemo u nekakvom redoslijedu. Koliko takvih redoslijeda imaju zadani brojevi u kojima je spomenuti broj srednji? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 a) 6 bodova b) 4 boda c) 4 boda d) 3 boda U.: 17 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: Od 16.-18 zadatka morate, po vlastitom izboru, riješiti dva izabrana zadatka, a redni broj izostavljenog zadatka upišite u prazno polje kvadrata na 3. stranici! 18. Srednji dio jednog spremnika za vodu je jedan rotacijski valjak čiji je unutarnji dijametar 6 m, a visina 8 m, njegov donji dio je u obliku

polukugle, a gornji dio u obliku rotacijskog stošca. Visina stošca iznosi 3 m Spremnik je postavljen okomito, priložili smo vam jedan od ravnih presjeka koji prelazi preko rotacijske osi. a) Koliko kvadratnih metara treba premazati vodootpornim materijalom tijekom unutarnjeg renoviranja spremnika? b) Koliko kubičnih metara vode ima u spremniku ako je spremnik napunjen vodom do 85% svoje cijele visine? Pri izračunu možete zanemariti debljinu vodootpornog materijala. Svoje odgovore dajte zaokružene na cijele brojeve! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 14 / 16 a) 6 bodova b) 11 bodova U.: 17 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Név: . osztály: Redni broj zadatka Maksimalni broj bodova 13. 12 14. 12 15. 12 II:A dio Broj postignutih bodova Ukupno 17 II.B dio 17 ← Neizabrani zadatak UKUPNO

70 Maksimalni broj bodova I. dio 30 II. dio 70 Broj bodova pismenog ispita Broj postignutih bodova 100 Datum Profesor koji je ispravio radnju Broj bodova zaokružen na cijele brojeve/elért pontszám egész számra kerekítve Broj cijelih bodova upisan u program/programba beírt egész pontszám I. dio/I rész II. dio/II rész Profesor koji je ispravio radnju / javító tanár Bilježnik / jegyző Datum/dátum Datum/dátum írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Važne informacije Formalni propisi: 1. Radnju treba

ispraviti kemijskom olovkom čija se boja razlikuje od one kakvom je pisao pristupnik, pogreške, nedostatke itd. treba obilježavati sukladno školskoj praksi 2. U prvom od dvaju sivih pravokutnika koji se nalaze pored zadatka upisan je maksimalni broj bodova za dani zadatak, a broj bodova koje daje profesor koji ispravlja radnje upisuje se u pravokutnik pored njega. 3. U slučaju besprijekornog rješenja dovoljno je upisati maksimalni broj bodova u odgovarajuće pravokutnike. 4. U slučaju manjkavih/netočnih rješenja vas molimo da i parcijalne bodove zapišete na radnju. 5. One dijelove rješenja koji su pisani grafitnom olovkom – osim crteža – profesor koji ispravlja radnje ne može vrednovati. Pitanja u svezi sa sadržajem: 1. Kod pojedinih smo zadataka dali i bodovanje više rješenja U koliko ste dobili rješenje koje odstupa od danih, potražite one dijelove rješenja koji su ekvivalentni rješenjima Upute i na osnovi toga bodujte! 2. Bodovi Upute se mogu dalje dijeliti

Međutim, bodovi koji se daju mogu biti samo cijeli. 3. Za evidentno pravilan postupak i konačan rezultat se, naravno, može dati maksimalni broj bodova i onda kada je ono manje detaljno od onoga u Uputi. 4. Ako rješenje sadrži netočnost, pogrešku u računanju, učenik ostaje bez bodova samo za onaj dio zadatka gdje je učinio pogrešku. Ako s pogrešnim parcijalnim rješenjem, ali pravilnim postupkom učenik radi dalje i problem koji se mora riješiti u biti ne mijenja onda mu se moraju dati sljedeći parcijalni bodovi. 5. U slučaju pogreške u načelu, u okviru jedne misaone cjeline (one su u Uputi označene dvostrukom crtom) se ne dodjeljuju bodovi niti za formalno pravilne matematičke korake. Međutim, ako učenik s pogrešnim rezultatom koji je dobio primjenom pogrešnog načela, kao polaznim podatkom pravilno računa u sljedećoj misaonoj cjelini, onda za taj dio mora dobiti maksimalni broj bodova ako se problem koji se mora riješiti u biti nije mijenjao. 6. Ako su u

Uputi za ispravljane i vrednovanje primjedbe ili jedinice za mjerenje navedene u zagradama onda je i bez njih rješenje punovažeće. 7. Od više pravilnih pokušaja rješenja zadatka može se vrednovati jedan - onaj koji je pristupnik označio. 8. Za rješenja zadataka se ne mogu dati nagradni bodovi (više od maksimalnog broja bodova za rješenje zadatka ili dijela zadatka). 9. Ne oduzimaju se bodovi za one pogrešne parcijalne izračune i korake koje pristupnik nije koristio pri rješavanju zadatka. 10. Od 3 zadatka niza zadataka II B dijela mogu se vrednovati samo 2 zadatka Kandidat je, pretpostavljamo, u polje kvadrata namijenjenog u tu svrhu upisao redni broj zadatka čija se ocjena neće pribrojiti sveukupnom broju bodova. Sukladno tome se eventualno rješenje naznačenog zadatka ne mora ispraviti. Ako ipak nije nedvosmisleno jasno za koji zadatak učenik traži da ne bude vrednovan, onda je automatski posljednji u nizu navedenih zadataka onaj koji ne treba vrednovati.

írásbeli vizsga 1111 2 / 14 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 bod x = 23 1 bod Ukupno: I odgovor bez obrazloženja je u cijelosti valjan. 2 boda 2. Ukupno: Ako iz napisanog odgovora 2 boda nije jasno da su a i b vektori, onda se daje 1 bod. 2 boda Ukupno: 2 boda 2 boda Ukupno: 2 boda 1 bod 3 boda Ukupno: ⎛ 6⎞ 2 boda Prihvatimo i ⎜⎜ ⎟⎟ ! ⎝ 4⎠ 2 boda a+b 3. x = −3 4. Slovni znak grafikona funkcije g: B. Nultočka: ( x =) − 1. 5. Ima 15 načina. 6. Pravilan prikaz. A z u B x y v w 1 bod A ∩ B = {x; y} Ukupno: 1 bod 2 boda 7. t 2 = t0 ⋅ q 2 t2 = 50 000 ⋅1,12 Vrijednost vrijednosnog papira: 60 500 ft. Ukupno: írásbeli vizsga 1111 Ova se dva boda mogu dati ako bez jednadžbe 1 bod napiše: 50 000 ⋅1,12 . Ako dobro izračuna aktualni iznos za godinu dana, a zatim 1 bod pogrešno nastavlja – neka dobije 1 bod! 3 boda 1 bod 3 / 14 2012. május

8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 8. Ukupno: Za rješenje jedne ili dvije dobre vrijednosti daje se 2 boda 1 bod. Ako u rješenju ima i pogrešne vrijednosti y, ne daje se bod. 2 boda Ukupno: 1 bod 1 bod 2 boda Moguće vrijednosti y: 1; 4; 7. 9. Mjesto maksimuma: 6. Vrijednost maksimuma: 3. 10. Na prikazu ima točno jedna točka trećeg stupnja, točno tri točke drugog stupnja, točno jedna točka prvog stupnja. Ukupno: 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 1 bod 1 bod 1 bod U slučaju ispravnog 3 boda prikaza se daju sva 3 boda. Ukupno: Ova 2 boda se daju i onda ako odgovarajuće 2 boda formule iz priručnih tablica dobro primijeni. 1 bod 1 bod 4 boda Ukupno: 1 bod 1 bod 1 bod 3 boda Središte O(2; –1), radijus 5 . 12. A: lažna B: lažna C: istinita írásbeli vizsga 1111 4 / 14 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, Pavlova tvrdnja je

lažna. Ukupno: 2 boda 1 bod 3 boda Ukupno: 1 bod 1 bod 2 boda 13. b) 10 = a1 + 36 a1 = −26 13. c) prvo rješenje − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 2 boda n ≥ 32,5 ; dakle 33. član niza Traženi član a33 = 102 . Ukupno: Ako je relacija nepotpuna daje se 1 bod. 1 bod 1 bod 4 boda 13. c) drugo rješenje Riječ je o brojevima u nizu koji podijeljeni s 4 daju ostatak dva. Među njima je najmanji troznamenkasti broj 102 . 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Dakle, riječ je o 10 + 23 = 33. članu niza Ukupno: 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 4 boda 13. d) Prvi odgovarajući član a10 = 10 , poslijednji član a32 = 98 , stoga skup ima 22+1=23 elementa. Ukupno: írásbeli vizsga 1111 5 / 14 2 boda 1 boda 3 boda 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) p= Taj se bod daje ako misao/ideja postaje jasna 1 bod samo tijekom rješavanja zadatka. k ⎛ broj povoljnih slučajeva ⎞ ⎜= ⎟ broj svih slučajeva ⎠ n⎝ 1978 ≈

12320 ≈ 0,16 p= 1 bod Ukupno: 1 bod ≈16,06% 3 boda 14. b) između 18 i 60 godina mlađi od 18 godina stariji od 60 godina Broj pacijenata starijih od 60 godina: 1978 − 138 − 633 = 1207 osoba. 138 osoba mlađih od 18 godina odgovaraju 138 ⋅ 360° ≈ 25o kružnog središnjem kutu od 1978 dijagrama. 663 osobe između 18 i 60 godina odgovaraju ⎞ ⎛ 633 središnjem kutu od ⎜ ⋅ 360° ≈ ⎟115° kružnog ⎠ ⎝ 1978 dijagrama. 1207 osoba starijih od 60 godina godina odgovaraju ⎛ 1207 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° kružnog središnjem kutu od ⎜ ⎝ 1978 ⎠ dijagrama. 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod Ako se pravilan postupak izračunanja središnjeg kuta nijednom ne pojavljuje, onda se i u slučaju dobrih podataka daje samo 1 bod. Ako detaljizira samo jedan izračun, ali su mu sva tri podatka dobra, neka dobije 2 boda. Pravilno nacrtan kružni dijagram (s približnim 1 bod kutovima, natpisima kružnih isječaka). Ukupno: 5 bodova írásbeli vizsga 1111 6 / 14 2012.

május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 14. c) Od stanovnika „Nema Ga“ je 12320⋅ 0,24 = = 2956,8(≈ 2957) osoba starijih od 60 godina. Broj liječenih starijih od 60 godina je 1207, 1207 (≈ 0,41) . tako je tražena vjerojatnost 2957 Vjerojatnost je porasla za 0,41 − 0,16 = 0,25 . Ukupno: 1 bod 1 bod Može se prihvatiti i 2956. 1 bod 1 bod 4 boda 15. Koristeći kosinusov poučak u trokutu ABP: BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Kut AQB je 19º. Koristeći (dva puta) sinusov poučak u trokutu ABQ: 620 AQ = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 Udaljenosti zaokružene na metre: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m i BP = 605 m. Taj se bod daje ako misao/ideja postaje 1 bod jasna samo tijekom rješavanja zadatka. 1 bod 2 boda* 1 bod Taj se bod daje ako misao/ideja postaje 1 bod jasna samo tijekom rješavanja zadatka. 1 bod 1 bod * 1 bod * 1

bod 1 bod * Ovaj se bod daje za naznaku jedinice za 1 bod * mjerenje (m). .,odgovora Ukupno: 12 bodova Ukoliko se tijekom računanja može pratiti primjena pravilnih zaokruživanja, bodove označene *-om može dobiti i u slučaju da njegovi rezultati od zadanih odstupaju najviše s 3 metra. írásbeli vizsga 1111 7 / 14 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) (Kod momčadi A svih 7 igrača igra partije sa svojih 6 sunarodnjaka, tako smo partije računali dvostruko.) 7⋅6 = 21 partija. U momčadi A odigrana je 2 (Momčad B ima n članova,) n ⋅ (n − 1) = 55 . broj odigranih parija je 2 jednadžba n2 − n − 110 = 0 ima jedan pozitivni korijen 11 (korijeni su − 10 i 11). Momčad B ima 11 članova. Ukupno: 1 bod 2 boda 1 bod 2 boda 1 bod 7 bodova 16. b) Svih 6 članova momčadi A odigra 8 partija. Drugoga je tjedna ukupno odigrano 6·8 = 48 partija. Ukupno: írásbeli vizsga 1111 8 / 14 1 bod 2 boda 3

boda 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 16. c) (Može se primijeniti klasični model vjerojatnosti.) broj povoljnih slučajeva. p = broj svih slučajeva ⎛18 ⎞ Pobjednike možemo izabrati na ⎜⎜ ⎟⎟ načina. ⎝4⎠ Od 7 članova momčadi A 1-og člana možemo izabrati na 7 načina, od 11 članova momčadi B 3 člana možemo ⎛11⎞ izabrati na ⎜⎜ ⎟⎟ načina. ⎝3⎠ (Dva su izbora neovisni jedan od drugog.) Taj se bod daje ako misao/ideja postaje 1 bod jasna samo tijekom rješavanja zadatka. 1 bod 1 bod Ti se bodovi daju i u 1 bod slučaju ako pravilno napiše samo broj povoljnih slučajeva. 1 bod ⎛11⎞ Broj povoljnih slučajeva: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 Tražena vjerojatnost p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ 1 bod ⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ ≈ 0,377 ≈ 38%. Ukupno: írásbeli vizsga 1111 9 / 14 Pravilna vjerojatnost 1 bod

napisana u bilo kakvom obliku vrijedi 1 bod. 7 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) Taj se bod daje i ako 1 bod na kraju uvrštavanjem izdvoji lažni korijen. 2 x − 1 > 0 i 2 x − 3 > 0 , dakle x > 1,5 Na osnovi jednakosti logaritma: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (Funkcija logaritma je uzajamno jednosmisleno pridruživanje,) zato (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , to jest 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . Čiji su korijeni : 5 1 x1 = i x2= − . 2 2 U područje definicije spada samo x1 = 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 5 i to je 2 1 bod stvarno rješenje. Ukupno: 6 bodova 17. b) Dobiveni korijeni na cos x su isti s korijenima kvadratne jednadžbe iz a). 5 1 ( (cos x )1 = i (cos x )2 = − ) 2 2 5 cos x = ne daje rješenje. 2 1 Jedini kut koji pripada cos x = − i koji može biti 2 2π kut jednog trokuta je x = 120o = 3 i to je stvarno rješenje. Ukupno: 2 boda 1 bod Za bilo koje pravilno zadavanje kuta x se

daje bod. 1 bod Ne daje se bod ako pristupnik napiše više kutova. 4 boda 17. c) prvo rješenje Uvedemo novu varijablu y = z tako samo 0 ≤ z daje rješenje. Jedini nenegativni korijen kvadratne jednadžbe 5 4 z 2 − 8z − 5 = 0 je z = . 2 25 Tako je rješenje prvotne jednadžbe y = , 4 i to je zaista rješenje. Ukupno: írásbeli vizsga 1111 10 / 14 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 4 boda 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 17. c) drugo rješenje Obje strane kvadriramo: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y 1 bod Korijeni kvadratne jednadžbe 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 25 1 , y2 = su : y1 = 4 4 Uvrštavanje ili analiza područja vrijednosti dviju strana prvotne jednadžbe pokazuje da je samo prvi korijen rješenje jednadžbe. Ukupno: 2 boda 1 bod 4 boda 17. d) Registriramo srednji broj. Ostali brojevi mogu imati 6! vrsta redoslijeda, dakle, sedam brojeva mogu biti napisana na 720 načina redoslijeda. Ukupno: írásbeli vizsga

1111 11 / 14 Taj se bod daje ako misao/ideja postaje jasna 1 bod samo tijekom rješavanja zadatka. 1 bod 1 bod 3 boda 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m 3m B 8m D G C 3m Razumijevanje zadatka. Površina donjeg dijela spremnika (površina jedne polukugle čiji je r = 3 metra): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 Površina srednjeg dijela spremnika (površina plašta jednog kružnog valjka čiji je r = 3 metra, a visina m = 8 metara): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) Površina gornjeg dijela spremnika (površina plašta jednog rotacijskog stošca čiji je r = 3 metra, a visina m = 3 metra): Izvodnica stošca:. AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) Unutarnja površina: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 to jest, budući da prema interpretaciji zadatka tu treba zaokružiti prema gore da bi bilo dovoljno

materijala, pravilan odgovor je 248 m². Ukupno: ( írásbeli vizsga 1111 ) 12 / 14 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod Ako je izvršio samo matematičko zaokruživanje, onda se i u slučaju 247 m² daje 1 bod taj bod. 6 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) A A 1. ábra F 0,9 m 3m 3m E B I E 2,1 m r’ 0,9 m F H B 3m 8m A 2. ábra G D C I 3m E Visina spremnika: (3 + 8 + 3 = ) 14 metara. 85% visine: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 metara, što znači da su polukugla i valjak puni, odnosno u stošcu u visini od 0,9 metara stoji voda. Volumen donjeg dijela spremnika (volumen jedne polukugle čiji je r = 3 metra): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 Volumen srednjeg dijela spremnika (volumen jednog kružnog valjka čiji je r = 3 metra, a visina m = 8 metara): V 2= r 2π m = = = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . Volumen gornjeg dijela

spremnika (volumen jednog krnjeg stošca). Radijus poklopne kružnice stošca možemo izračunati pomoću teorema paralelnih sekanti: (prikaz br. 1) ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . V 3= = π π m(r 2 + r 2 + rr ) = 3 ( F 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod 1 bod * 1 bod * 1 bod ) ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 1 bod 3 Volumen vode u spremniku: V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913 π ≈ 301 m3. 1 bod Ukupno: írásbeli vizsga 1111 3m r’ H 0,9 m J 0,9 mB 13 / 14 11 bodova 2012. május 8 Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató Drugi način rješenja za 2 boda koja su označena *-om. Volumen gornjeg dijela spremnika (volumen jednog krnjeg stošca). Radijus poklopne kružnice stošca 1 bod * možemo izračunati tako da primijetimo da su i AFB∆ i HJB∆ istokračni pravokutni trokuti (prikaz br. 2), tako r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . 1 bod

* írásbeli vizsga 1111 14 / 14 2012. május 8