Matematika | Középiskola » Matematika francia nyelven emelt szintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Azonosító jel: MATEMATIKA FRANCIA NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika francia nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 2 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: Instructions importantes 1. La durée de l’épreuve est de 240 minutes Dès que les 240 minutes se sont écoulées, il faut terminer le travail. 2. L’ordre de l’exécution des exercices est de votre choix 3. Dans la partie II il ne faut résoudre que quatre exercices sur les cinq A la fin du travail, écrivez le numéro de l’exercice non-choisi dans la case ci-dessous. Si ce numéro d’exercice n’est pas clairement indiqué alors, c’est le 9-ième exercice qui ne sera pas évalué. (Recevra

zéro point) 4. Lors de l’exécution des exercices vous pouvez utiliser une calculatrice qui n’est pas capable de stocker et d’afficher des données texte. L’emploi de n’importe quel formulaire „négyjegyű függvénytáblázat” est permis. L’usage de tout autre outil électronique ou document écrit est strictement interdit. 5. Ecrivez toujours le raisonnement des résolutions, car la plupart des points de l’exercice peuvent être donnés pour cela. 6. Veillez aussi à ce que les plus importants calculs partiels apparaissent clairement 7. Au cours de la résolution des problèmes, la citation explicite des théorèmes désignés par un nom, étudiés à l’école (par ex. théorème de Pythagore, théorème de hauteur) n’est pas demandée. Il suffit de les nommer, par contre, il faut justifier brièvement leur applicabilité. La citation d’autres théorèmes est entièrement acceptable dans le seul cas où l’affirmation est prononcée précisément avec

toutes les conditions (sans la démonstration), et son applicabilité est justifiée dans le problème en question. 8. Formulez le résultat final des exercices (la réponse à la question posée) en phrase entière aussi. 9. Ecrivez au stylo, les schémas peuvent être tracés au crayon A part les schémas, les parties écrites au crayon ne doivent pas être évaluées. Si vous barrez une résolution ou bien une partie de résolution, alors elle ne sera pas évaluée. 10. Une seule variante de résolution sera évaluée à chaque exercice Au cas où le candidat proposerait plusieurs solutions il doit signaler sans équivoque laquelle prendre en considération. 11. Prier de ne rien écrire dans les rectangles gris írásbeli vizsga 0911 3 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: I. 1. On sait que les trois côtés a, b et c d’un triangle vérifient : c = 2b ; a 2 + b2 = 4 ; a 2 − b2 = 2 . a) b) c) Quelle est la longueur des côtés du

triangle ? Quelle est la mesure des angles du triangle ? Quel est le rayon de son cercle inscrit ? Donner la valeur exacte des résultats. írásbeli vizsga 0911 4 / 24 a) 4 points b) 5 points c) 4 points T.: 13 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 5 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: 2. a) On lance deux fois un dé régulier et on écrit les chiffres sortis - dans l’ordre du lancé – à la position de a et b dans le nombre de six chiffres 8a567b . Quelle est la probabilité que le nombre de six chiffres ainsi obtenu ne soit composé que des chiffres distincts ? b) On donne quatre ensembles : Les éléments de l’ensemble A sont les nombres positifs de deux chiffres et divisibles par sept. Les éléments de l’ensemble B sont les multiples positifs de 29 à deux chiffres. Les éléments de l’ensemble C sont de tels nombres positifs de deux

chiffres auxquels les nombres qui leur sont supérieurs de 11 sont des nombres carrés. Les éléments de l’ensemble D sont de tels nombres positifs de deux chiffres auxquels les nombres qui leur sont inférieurs de 13 sont des nombres carrés. b1) Combien d’éléments l’ensemble A ∪ C a-t-il ? b2) Combien d’éléments l’ensemble B ∩ D a-t-il ? b3) Quels sont les entiers positifs de deux chiffres qui appartiennent exactement à deux des quatre ensembles ci-dessus? írásbeli vizsga 0911 6 / 24 a) 4 points b) 8 points T.: 12 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 7 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: 3. Dans une boîte ronde, il y a de petits fromages emballés à étiquette rouge, dans une autre boîte de même forme et de dimension, il y en a à étiquette bleue. Les 6 – 6 portions de fromage sont de même dimension ils ne sont pas distingables

l’un de l’autre et ils remplissent parfaitement chacune des boîtes. On verse le contenu des boîtes sur la table. En combien de rangements differents peut-on remettre 6 fromages sur les 12 dans une boîte avec les étiquettes en haut ? (Deux rangements sont considérés différents si l’un des deux ne peut pas être transformé en l’autre par rotation.) T.: írásbeli vizsga 0911 8 / 24 12 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 9 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: 4. a) b) 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n −1 , n ∈ N + . 7 7 7 7 Quel est le plus grand nombre naturel n pour lequel a n > 49 −50 ? Etant donnée la suite a n = Etant donnée la suite bn = 1 1 1 1 + 3 + 5 + K + 2 n −1 , n ∈ N + . 7 7 7 7 Calculer la limite lim bn . n ∞ írásbeli vizsga 0911 10 / 24 a) 10 points b) 4 points T.: 14 points 2012. május 8 Matematika

francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 11 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: II. Sur les exercices du numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre de votre choix; le numéro de l’exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 5. a) Etant donné un rectangle dans un repère orthonormé dont les sommets sont: A ( 0 ; 0 ), B ( 4 ; 0 ) , C ( 4 ; 1 ) és D ( 0 ; 1 ) . On choisit au hasard un point P( x ; y ) intérieur du recetangle. 1 1 Quelle est la probabilité que y ≤ x + ? 3 2 b) Marci a acheté 4 billets de tombola sur les 200 imprimés pour un bal de carnaval. Lors du tirage au sort de la tombola, 10 lots sont à gagnés Chaque billet de tombola ne permet de gagner qu’un seul lot au plus. b1) Quelle est la pobabilité que Marci gagne exactement un lot à la tombola? b2) Quelle est la probabilité que Marci gagne à la tombola ? Les résultats (même intermédiaires)

doivent être calculés au dix-millième près. írásbeli vizsga 0911 12 / 24 a) 5 points b1) 5 points b2) 6 points T.: 16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 13 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: Sur les exercices du numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre de votre choix; le numéro de l’exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 6. Etant donnée la fonction du second degré f : R R, f ( x ) = ax 2 + bx + c dont le graphique a pour sommet le point T ( 4 ; 2 ), et le point P ( 2 ; 0 ) appartient aussi à la courbe. a) Calculer la valeur des coefficients a, b et c. b) Ecrire l’équation de la tangente à la courbe en le point dont l’abscisse est 3. c) Calculer l’aire de la figure détérminée par le graphique de f et l’axe des x. írásbeli vizsga 0911 14 / 24 a) 6 points b) 5 points c) 5 points T.:

16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 15 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: Sur les exercices du numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre de votre choix; le numéro de l’exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 7. Résoudre l’équation suivante sur l’ensemble des nombres réels : ⎛ log 3 x ⎞ ⎟ 6 ⋅ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ log x 3 ⎛ 2⎞ = ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ log x 3 − 6075 . T.: írásbeli vizsga 0911 16 / 24 16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 17 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: Sur les exercices du numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre de votre choix; le numéro de l’exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 8. Une entreprise a ouvert des

bureaux dans trois villes. La moyenne d’âges des employés du bureau de Kőszeg est de 37 ans, celle des employés du bureau de Tata est de 23 ans et celle des employés du bureau de Füred est de 41 ans. L’entreprise a organisé 3 voyages de stimulation. Seuls les employés de l’entreprise ont participé à ces voyages, et tout le monde a pris part au voyage qui lui a été désigné. A chaque voyage, tous les employés de deux bureaux choisis sur 3 étaient affectés. Le premier voyage était organisé pour les employés des bureaux de Kőszeg et de Tata. La moyenne d’âges des participants était de 29 ans. Lors du deuxième voyage, dont les participants étaient les employés des bureaux de Kőszeg et de Füred, la moyenne d’âges était de 39,5 ans. C’est les employés des bureaux de Tata et de Füred qui ont participé au troisième voyage de stimulation. La moyenne d’âges des participants était de 33 ans à ce voyage. Quelle est la moyenne d’âges de tous les

employés de l’entreprise ? T.: írásbeli vizsga 0911 18 / 24 16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 19 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: Sur les exercices du numéro 5 à 9, vous devez en résoudre quatre de votre choix; le numéro de l’exercice non-choisi doit être marqué dans la case vide à la page 3. 9. Dans une galérie des Beaux-arts, on a créé une nouvelle salle d’exposition pour les enfants. La forme de la salle est une pyramide régulière de base carrée dont les dimensions intérieures sont: l’arête de base est de 12 mètres, l’arête latérale est de 10 mètres. L’un des artistes impliqués a demandé au personnel de l’exposition de coller une mince bande colorée (une ligne) tout autour, sur les murs latéraux parallèlement aux arêtes de base pour pouvoir y placer des plaquettes d’information. Le plan imaginaire des lignes

colorées a divisé le volume de l’espace d’exposition juste en deux parties égales. a) Quelle est la longueur totale des lignes colorées ? A quelle hauteur se situe le plan médiateur imaginaire par rapport au plancher ? Pour la cérémonie de l’inauguration de l’exposition, l’ingénieur de son a suspendu un microphone du point le plus haut de la salle de sorte qu’il soit à égale distance de toutes les faces latérales et du plancher aussi. b) Quelle était la longueur du câble suspendant le microphone si on ne tient pas compte de la dimension du microphone et de la fixation ? (Donner vos réponses au cm près.) írásbeli vizsga 0911 20 / 24 a) 9 points b) 7 points T.: 16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 21 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 22 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint

Azonosító jel: írásbeli vizsga 0911 23 / 24 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Azonosító jel: le n° d’exercice 1. 2. 3. 4. partie I partie II maximum des points les les maximum points points des points obenus obtenus 13 12 12 14 16 16 16 16 51 64 ← l’exercice non-choisi Le nombre de points de l’épreuve écrite 115 examinateur date le points obtenus arrondis au nombre entier / elért pontszám egész számra kerekítve le nombre de points entier écrit au logiciel / programba beírt egész pontszám partie I /I. rész partie II /II. rész examinateur /javító tanár secrétaire du jury/jegyző date/dátum date/dátum írásbeli vizsga 0911 24 / 24 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 0911 MATEMATIKA FRANCIA NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI

VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató Instructions importantes Les prescriptions de forme: 1. La copie doit être corrigée au stylo de couleur différente de celle utilisée par le candidat, et il faut indiquer les fautes, les lacunes etc. selon la pratique pédagogique 2. Le nombre de points maximal apparaît dans le premier des rectangles se trouvant à côté des exercices, et le nombre de points donné par l’examinateur doit figurer dans le rectangle adjacent. 3. Pour une solution impeccable, il suffit d’inscrire le nombre de points maximal dans les rectangles correspondants. 4. Dans le cas d’une solution incomplète ou fausse, veuillez écrire les nombres de points partiels aussi sur la copie. Les demandes de contenu: 1. A certains exercices, on a donné l’évaluation de plusieurs variantes de résolution Si une résolution en diffère, recherchez-y

les parties de résolution qui équivalent à certains détails du guide, et proposez des points en fonction. 2. Les points proposés par le guide d’évaluation peuvent être décomposés Toutefois, les points proposables doivent être entiers. 3. Pour des raisonnements et résultats évidemment corrects on peut donner le nombre maximal des points même si la copie est moins détaillée que la proposition du guide d’évaluation. 4. Si dans la solution on rencontre une erreur de calcul ou une inexactitude alors on enlève seulement les points de la partie où l’étudiant a commis l’erreur. S’il continue le calcul en utilisant le résultat partiel faux mais par un raisonnement juste et le problème n’a pas été fondamentalement modifié alors il a droit aux points partiels ultérieurs. 5. En cas d’une erreur de principe, dans une même unité conceptuelle (dans le guide, elles sont séparées de double ligne), on n’accorde aucun point même si certaines étapes

mathématiques sont formellement correctes. Cependant si le candidat continue le calcul, à la base du faux résultat issu de l’erreur de principe, mais d’une manière juste dans l’unité conceptuelle ou la question partielle suivante, et le problème n’a pas été fondamentalement modifié alors il a droit au point maximal de cette partie. 6. Si une unité de mesure ou une remarque est mise entre parenthèses dans le guide alors même en l’absence de celle-ci, la solution est complète. 7. Sur les différentes tentatives de solution correctes données à un exercice, seule la variante indiquée par le candidat peut être évaluée. 8. On ne peut pas accorder de bonus aux solutions (à savoir un nombre de points dépassant le maximum des points voulus pour l’exercice ou partie d’exercice donné.) 9. Un enlèvement de points ne doit pas se faire pour des calculs partiels, étapes partielles qui sont faux mais ne sont pas effectivement utilisés. 10. La résolution de

seulement 4 exercices sur les 5 proposés de la partie II de l’épreuve écrite peut être évaluée. Dans le carré correspondant, le candidat a vraisemblablement- marqué le numéro de l’exercice dont il ne désire pas l’évaluation dans la somme totale des points. De sorte qu’il ne faut même pas corriger la solution éventuellement donnée à l’exercice marqué. Si le candidat ne marque pas d’une manière univoque le numéro de l’exercice dont l’évaluation n’est pas demandée alors c’est automatiquement le dernier exercice dans l’ordre proposé qu’il ne faudra pas évaluer. írásbeli vizsga 0911 2 / 17 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató I. 1. a) La valeur de a et b peut être calculée du système formé des deux dernières équations. En additionnant les membres correspondants des deux équations on obtient que. 2a 2 = 6 , d’où a = 3 (a > 0). 2 b = 4 − 3 = 1 , d’où b = 1 . c = 2 .

(Les côtés du triangle sont longs de 3 ; 1 et 2 unité.) Total: 2 points Pour la valeur de a. 1 point Pour la valeur de b. 1 point Pour la valeur de c. 4 points 1. b) 2 Puisque 12 + 3 = 22 , selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle, l’angle de 90° est à l’opposition du côté le plus long c. 1 , donc β = 30o , 2 ainsi α = 60o . sin β = 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point Total: 5 points Remarque : Il a droit au nombre total de points s’il reconnait – à la base des côtés – qu’il s’agit d’un triangle rectangle d’angle de 60°, mais ne précise pas la justification. 1. c) Le rayon du cercle inscrit peut être calculé comme le t quotient de l’aire et du mi-périmètre : r = . k 2 L’aire du triangle est la moitié du produit des deux 1⋅ 3 3 côtés de l’angle droit : = . 2 2 3 3 ⎛ 3 −1 ⎞ 2 ⎜= ⎟. r= = 2 ⎟⎠ 1 + 2 + 3 3 + 3 ⎜⎝ 2 Total: írásbeli vizsga 0911 3 / 17 Ce point doit être

accordé même si cette 1 point idée n’apparaît que lors de la résolution. 1 point 2 points On accorde 3 points au plus s’il ne donne le 4 points résultat final que par une valeur approchée. 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. a) En lançant un dé deux fois, on pourrait remplir la position de a et b en 36 façons (d’une manière équiprobable). Ce ne sont que 1, 2, 3 et 4 qui peuvent figurer parmi les résultats du lancer. (parmi ces nombres, a peut être choisi en 4, tandis que b en 3 façons seulement), donc le nombre des cas favorables est 3 ⋅ 4 = 12 . 12 1 La probabilité cherchée : = . 36 3 Total: 1 point 1 point 1 point 1 point 4 points 2. b) On énumère les éléments des quatre ensembles: A = { 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91; 98 } . ( A = 13.) 1 point B = { 29; 58; 87 }, 1 point C = { 14; 25; 38; 53; 70; 89 }, 1 point D = { 13; 14; 17; 22; 29; 38; 49; 62; 77; 94} . 1 point b1)

Le cardinal de A ∪ C est 17. (L’ensemble C de 6 1 point éléments et l’ensemble A de 13 éléments ont exactement deux éléments communs.) b2) Le cardinal de B ∩ D est 1. (29 est le seul élément 1 point commun des ensembles B et D.) On énumère tous les entiers positifs à deux chiffres qui appartiennent à exactement deux des quatre ensembles 2 points étudiés: 29; 38; 49; 70; 77. Total: 8 points Remarque : 1. On accorde les points correspondants aux points b1) et b2) si la réponse est fausse du fait qu’il a énuméré erronément les éléments des ensembles A, B, C et/ou D mais il avait appliqué correctement l’opération sur ces ensembles. 2. Si la réponse donnée à la question b3) diffère de un élément de la réponse juste, on peut accorder 1 point au lieu de 2. 3. Si la réponse donnée à la question b3) est fausse parce qu’il a énuméré erronément les éléments des ensembles A, B, C et/ou D, il ne doit pas perdre de point supplémentaire. 4. Si le

candidat ne suit pas le même raisonnement lors de sa résolution (il n’énumère pas les éléments des ensembles A-D), il peut avoir le nombre total de points dans le cas d’une justification suffisante. On peut accorder 3 points au plus au lieu des 8 dans le cas des réponses non justifiées írásbeli vizsga 0911 4 / 17 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 3. Si on en remet d’une couleur seulement : 2 possibilités. Si toutes les deux couleurs y figurent : Pour la remise de 1 rouge et 5 bleus on a 1 possibilité (puisque les cinq de même couleur sont toujours voisins). Pour la remise de 2 rouges et 4 bleus on a 3 possibilités, puisque les 2 de même couleur sont soit voisins, soit séparés de un ou de deux fromages. Pour la remise de 3 rouges et 3 bleus on a 4 possibilités, puisque les trois de même couleur sont soit adjacents soit séparés de un ou de un et de deux autres (ce dernier peut se produire en

deux façons): P P P P K K K K P P K K P K K P P K P K P P K 1 point 2 points 1 point 1 point s’il ne donne (considère) qu’une ou deux possibilités 2 points correctes seulement. 1 point pour une justification incomplète. Csak a helyes válasz 1 point esetén jár az 1 point. 0 point s’il ne donne (considère) qu’une possibilité correcte, 1 point s’il donne (considère) deux ou 2 points trois possibilités correctes. 1 point pour une justification incomplète. K Pour la remise de 4 rouges et 2 bleus on a 3 possibilités. La justification est identique à celle du cas 2 + 4. Pour la remise de 5 rouges et 1 bleu on a 1 possibilité. La justification est identique à celle du cas 1 + 5. Au total il y a 14 rangements possibles. Ces points sont 1 point accordables même si la réponse est fausse du fait qu’il a mal calculé les cas 2 + 4 1 point et/ou 1 + 5. 1 point 12 points Total: Remarque : Le résultat peut être justifié par un dessin correct aussi. Si le

candidat calcule d’abord le nombre des rangements possibles des cas 6 rouges, 5 rouges – 1 bleu, 4 rouges – 2 bleus, 3 rouges – 3 bleus (et son résultat est correct) et puis il multiplie le tout par 2, parce qu’on peut intervertir les couleurs, il calcule deux fois le cas 3 rouges – 3 bleus, alors il perd 2 points. írásbeli vizsga 0911 5 / 17 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. a) 1 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n−1 = 1+3+5+K+(2 n−1) 7 7 7 7 7 L’exposant de 7 est la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique, dont le premier terme est 1, sa raison est 2. 1 an = (1+ 2 n−1) n 7 2 1 an = n 2 7 Il faut étudier l’inégalité 1 > 49 −50 . n2 7 1 1 Puisque 49 = 7 2 , il faut résoudre n 2 > 100 . 7 7 an = 2 7 n < 7100 . A cause du fait que la fonction x a 7 x est strictement croissante n 2 < 100 . Le plus grand nombre carré inférieur à 100 est 81. Alors le plus grand

nombre naturel satisfaisant aux conditions du problème est 9. Total: 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 10 points 4. b) la première variante de résolution bn est la somme des n premiers termes de la suite 1 géométrique dont le premier terme est et sa raison 7 1 est 2 . 7 Le lim bn est la somme (s) de la série géométrique n∞ Ces 2 points doivent être accordés même si cette idée n’apparaît que lors de la résolution. 1 point 1 1 et q = 2 . 7 7 1 b ⎛ 7 ⎞ Puisque q < 1 , s = = 7 ⎜= ⎟ 1 − q 1 − 1 ⎝ 48 ⎠ 72 7 . La limite cherchée est 48 dont le premier terme est b = 1 point 1 point Total: írásbeli vizsga 0911 1 point 6 / 17 4 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. b) la deuxième variante de résolution bn est la somme des n premiers termes de la suite 1 géométrique dont le premier terme est et sa raison 7 1 est 2 . 7 1 1−

n 1 1 1 1 1 49 bn = + 3 + 5 + K + 2 n−1 = ⋅ 7 7 7 7 7 1− 1 49 7 ⎛ 1 ⎞ bn = ⋅ ⎜1 − n ⎟ . 48 ⎝ 49 ⎠ 7 lim bn = n∞ 48 Total: írásbeli vizsga 0911 7 / 17 1 point Ces 2 points doivent être accordés même si cette idée n’apparaît que lors de la résolution. 1 point 1 point 1 point 4 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató II. 5. a) y 1 D A 1 C B x 1 1 ⎛ 1⎞ x + coupe l’axe des y en ⎜ 0; ⎟ , 3 2 ⎝ 2⎠ ⎛3 ⎞ et la droite y = 1 en le point ⎜ ; 1⎟ . ⎝2 ⎠ Les points P convenables se trouvent dans la partie du rectangle se situant au dessous de la droite. 1 1 y = x+ . 3 2 1 3 ⋅ 29 2 L’aire de cette partie : T favorable = 4 − 2 = . 2 8 La probabilité cherchée (selon le calcul de la 29 29 probabilité géométrique) : P = 8 = (= 0,90625) . 4 32 Total: La droite y = 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 5 points 5. b1) la première variante de résolution

Marci a pu acheter ces quatre billets sur les 200 en ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ façons. ⎝ 4 ⎠ Parmi les 200 billets de tombola, il y a 10 qui sont gagnants et 190 qui ne le sont pas. Marci gagne un lot si exactement un de ses 4 billets figure parmi les 10 gagnants et les trois autres figurent parmi les 190 qui ne sont pas gagnants. ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ possibilités. Cela représente ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ A keresett valószínűség: ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ On accorde ce point même si cette idée 1 point n’apparaît que lors de la résolution. 2 points 1 point Total: írásbeli vizsga 0911 1 point 8 / 17 5 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b1) la deuxième variante de résolution Les 10 billets gagnants peuvent être choisis sur les ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ façons. 200 en ⎜⎜ ⎝

10 ⎠ Parmi les 200 billets de tombola, il y en a 4 qui sont à Marci et 196 qui ne sont pas à lui. Marci gagne un lot si exactement un des 10 billets gagnants est à lui et les 9 autres sont parmi les 196. ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟⎟ Le nombre des cas favorables est alors : ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ 9 ⎟⎠ ⎝ La probabilité cherchée : ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ 1 point On accorde ce point même si cette idée 1 point n’apparaît que lors de la résolution. 2 points 1 point Total: 5 points 5. b2) la première variante de résolution Au lieu de l’événement cherché on calcule la probabilité de l’événement complémentaire. L’événement complémentaire de l’événement que Marci gagne à la tombola est que Marci ne gagne point à la tombola. Celui-ci se réalise si tous ses 4 billets sont parmi les 190 billets non gagnants. Le nombre de tous les résultats

équiprobables : ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ . Parmi eux, le nombre des favorables: ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ La probabilité que Marci n’a rien gagné à la tombola ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟ 4 ⎟⎠ ⎝ (≈ 0,8132) . est ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ La probabilité que Marci ait gagné à la tombola est ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟ 4 ⎟⎠ ⎝ 1− ≈ 0,1868. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Total: írásbeli vizsga 0911 9 / 17 1 point On accorde ces 2 points même si ces idées n’apparaissent que lors de la résolution. 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 6 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b2) la deuxième variante de résolution Marci a pu gagner 1, 2, 3 ou 4 lots parmi les 10. La probabilité qu’un de ses billets ait gagné est ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ La probabilité que

deux de ses billets aient gagné est ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ≈ 0,0125. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ La probabilité que trois de ses billets aient gagné est ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ≈ 0,0004. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ La probabilité que quatre de ses billets aient gagné ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 4 ⎠ ⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ ≈ 0,0000. est ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ On accorde ce point même si cette idée 1 point n’apparaît que lors de la résolution. 1 point 1 point 1 point 1 point La probabilité que Marci ait gagné à la tombola est la somme de ces quatre probabilités ci-dessus, qui est 1 point 0,1868. Total: 6 points Si le candidat fait les calculs sur l’univers décrit dans la deuxième résolution de b1) c’est à dire qu’il étudie le fait que Marci a pu avoir 1, 2, 3 ou 4 sur les dix billets gagnants, alors la

probabilité cherchée est donnée par la somme suivante : ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 6 ⎠ . ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ írásbeli vizsga 0911 10 / 17 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. a) la première variante de résolution Selon les coordonnées du sommet, l’équation du 2 graphique de f : y = a( x − 4) + 2 . P aussi, il est sur le graphique donc 4a + 2 = 0 , 1 d’où a = − . 2 1 1 2 Ainsi f ( x ) = − ( x − 4) + 2 = − x 2 + 4 x − 6 , 2 2 d’où b = 4 , c = −6 . Total: 2 points 1 point 1 point 1 point 1 point 6 points 6. a) la deuxième variante de résolution Le graphique de f est une parabole, on cherche son équation sous la

forme de y = ax 2 + bx + c . Les coordonnées du sommet T( 4 ; 2 ) vérifient cette équation : 16a + 4b + c = 2 . (1) Les coordonnées du point donné P( 2 ; 0 ) de la parabole vérifient l’équation de la parabole : 4a + 2b + c = 0. (2) L’axe de symétrie de la parabole est la droite x = 4, donc le symétrique R( 6 ; 0 ) du point P est également sur le graphique, d’où: 36a + 6b + c = 0. (3) En résolvant le système d’équations (1)-(2)-(3): 1 a = − ; b = 4; c = −6. 2 Total: írásbeli vizsga 0911 11 / 17 1 point 1 point 1 point 3 points 6 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. b) Le coefficient directeur de la tangente correspondante est la dérivée de f en x = 3. f ′( x ) = − x + 4 , d’où m = f ′(3) = 1 . La tangente d’équation y = x + d passe par le point du graphique de f dont l’abscisse est 3 et dont la 3 deuxième coordonnée est f (3) = . 2 3 De cette relation d = − . 2 3

L’équation de la tangente : y = x − . 2 Total: On accorde ce point même si cette idée 1 point n’apparaît que lors de la résolution. 1 point 1 point 1 point 1 point 5 points 6. c) Les racines (points de zéro) de f sont 2 et 6, donc l’aire cherchée est: 6 6 ⎞ ⎛ 1 T = ∫ f ( x )dx = ∫ ⎜ − x 2 + 4 x − 6 ⎟dx = 2 ⎠ 2 2⎝ 1 point 1 point 6 ⎡ 1 ⎤ = ⎢− x 3 + 2 x 2 − 6 x ⎥ = ⎣ 6 ⎦2 1 point ⎞ ⎛ 4 = (− 36 + 72 − 36) − ⎜ − + 8 − 12 ⎟ . ⎠ ⎝ 3 16 T= . 3 1 point 1 point Total: írásbeli vizsga 0911 12 / 17 5 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 7. A cause de la définition du logarithme x > 0. (3 ) = x (x ) = (x ) log 3 x log 3 x log 3 x log 3 x 2 2 log 3 x Ce point doit être accordé même s’il vérifie les racines 1 point obtenues par substitution dans l’équation initiale. 1 point 1 point Soit y = x log3 x (,où y > 0 ). 1 point

Alors l’équation devient 6 y = y − 6075 , donc y 2 − 6 y − 6075 = 0 . 2 Les racines sont : y1 = −75 , qui n’est pas solution de l’équation initiale, et y 2 = 81 . log 3 x De la valeur possible de y x d’où log 3 x log3 x = log 3 81 = 4. ( ) = 81 , 1 point 1 point 1 point 1 point 2 points ((Selon la propriété concernant le logarithme d’une 2 puissance :) (log 3 x ) = 4 . 1 point Si log 3 x = 2 , 1 point alors x1 = 3 2 = 9 . 1 point Si log 3 x = −2 , 1 point 1 . 9 Tous les deux nombres sont solutions de l’équation initiale. Total: alors x 2 = 3 − 2 = írásbeli vizsga 0911 13 / 17 1 point 1 point 16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 8. L’effectif du groupe K de Kőszeg soit noté par k, celui du groupe T de Tata par t et celui du groupe F de Füred par f. Soient ensuite les sommes de l’âge des membres des groupes K, T e F respectivement Sk, St et Sf. A partir des

données, on peut alors écrire les équations suivantes : S k = 37k ; On accorde ces 2points même si ces idées 2 points n’apparaissent que lors de la résolution. 1 point S t = 23 t ; 1 point S f = 41 f ; 1 point S k + S t = 29(k + t ) ; 1 point Pour pouvoir résoudre le problème, il suffit de 1 point donner deux relations sur les trois, par conséquent l’écriture 1 point de n’importe quelles deux sur les trois vaut 3 points. S k + S f = 39,5(k + f ) ; S t + S f = 33(t + f ) . On remplace les trois premières égalités dans les trois équations qui les suivent: 4 37k + 23t = 29(k + t ) , d’où t = k . 3 5 37 k + 41 f = 39,5(k + f ) , d’où f = k . 3 4 23t + 41 f = 33(t + f ) , d’où t = f . 5 La moyenne d’âges de tous les employés S k + St + S f . k +t + f t et f peuvent être exprimés avec k d’où on obtient pour la moyenne d’âges cherchée: 4 5 92 205 37 k + 23 ⋅ k + 41 ⋅ k 37 + + 3 3 = 3 3 = 4 5 4 k+ k+ k 3 3 37 + 99 136 = = = 34 . 4 4 La

moyenne d’âges de tous les employés de l’entreprise est 34 ans. Total: írásbeli vizsga 0911 14 / 17 Pour pouvoir résoudre 1 point le problème, il suffit de donner deux relations sur les trois, par conséquent l’écriture 1 point de n’importe quelles deux sur les trois vaut 1 point 3 points. S’il trouve un résultat 1 point correct en calculant par un triplet de nombres donné dans le système d’équations à trois inconnues, mais il 2 points ne prouve pas qu’il aboutirait au même résultat dans le cas de chaque racine, il perd 1 point 2 points. 1 point 16 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. a) E x J G D M A 10 I K H C F B 12 Avec les notations du schéma, la pyramide GHIJE est semblable à la pyramide ABCDE. V ABCDE = 2 , donc le rapport des segments VGHIJE AB FE 3 correspondants (p.ex) : = = 2. GH KE AB 12 GH = 3 = 3 (≈ 9,524) . 2 2 48 4 ⋅GH = 3 (≈ 38,10). 2 La longueur

totale des lignes colorées : 38,10 m. Selon le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABD: BD = 12 2 . FB = 6 2 Selon le théorème de Pythagore dans le triangle ( ) L 1 point 2 points 1 point 1 point rectangle FBE: (FE ) = 10 2 − 6 2 . 1 point FE = 28 = 2 7 ≈ 5,29 1 point 2 2 ( KE = ) ⎞ 28 ⎛ 2 7 ⎜= ⎟ ≈ 4 , 2 ⎟ 3 2 ⎜⎝ 3 2 ⎠ 1 point 3 ⎞ 2 −1 28 ⎛ ⎜ = 28 ⋅ ⎟ ≈ 1 , 09 ⎟ 3 3 2 2 ⎜⎝ ⎠ Le plan qui divise le volume en deux parties égales est à 1,09 m du plancher de la salle. Total: FK = FE − KE = 28 − írásbeli vizsga 0911 15 / 17 1 point 9 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) la première variante de résolution E N 2 2 r P r 6 6 O r M 6 F Le microphone doit être placé au centre O de la boule inscrite à la pyramide. Sur le schéma, EL et EM sont la hauteur des faces latérales. D’après le théorème de Pythagore, dans

le triangle 2 rectangle ELC : (EL ) = 10 2 − 6 2 , d’où EL = 8 . Puisque la longueur des segments tangents au cercle issus d’un point extérieur est égale, MF = MN = 6 , et NE = 2 . D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle 2 2 2 rectangle OEN : (OE ) = (ON ) + ( NE ) . ( ) 2 L 1 point 1 point 1 point 1 point 1 point 28 − r = r 2 + 2 2 6 (≈ 2,27 ) r= 7 La distance du microphone au point E : EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 mètre. 1 point 1 point Total: írásbeli vizsga 0911 6 16 / 17 7 points 2012. május 8 Matematika francia nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) la deuxième variante de résolution Le microphone doit être placé au point O. La distance de ce point aux faces de la pyramide soit notée par x (mètre). Sur la figure, EL est la hauteur de la face latérale EBC. On partage la pyramide ABCDE en cinq pyramides si on relie le point O aux sommets de la pyramide ABCDE. On écrit le volume de la

pyramide ABCDE comme la somme du volume des cinq pyramides. Les pyramides ABEO, BCEO, DCEO et ADEO sont égales, leur volume est égal. (1) V ABCDE = V ABCDO + 4 ⋅ VBCEO AB 2 ⋅ EF 144 ⋅ 28 = = 48 ⋅ 28 . 3 3 AB 2 ⋅ x 144 ⋅ x VABCDO = = = 48 x . 3 3 T ⋅x V BCEO = BCE . On calcule la hauteur relative au 3 côté BC du triangle BCE dans le triangle rectangle 1 point 1 point VABCDE = BEL: EL = 10 2 − 6 2 = 8 . BC ⋅ EL 12 ⋅ 8 TBCE = = = 48. 2 2 T ⋅ x 48 ⋅ .x = = 16 x . Donc V BCEO = BCE 3 3 En écrivant les expressions obtenues pour les volumes dans l’égalité (1) : 48 ⋅ 28 = 48 x + 4 ⋅ 16 x = 112 x , 1 point 1 point 1 point 1 point 6 7 ≈ 2,27 (m). 7 La distance du microphone au point E : EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 mètre. d’où x = 1 point Total: írásbeli vizsga 0911 17 / 17 7 points 2012. május 8