Matematika | Középiskola » Matematika szerb nyelven emelt szintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Azonosító jel: MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 2 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: Важне информације 1. Време за решавање задатака је 240 минута, након његовог истека треба завршити са радом. 2. Редослед решавања задатака је произвољан 3. У II делу од наведених пет задатака треба решити само четири Након завршетка рада упишите у доњи квадрат редни број задатка који не

решавате! Ако наставник који исправља не може једносмислено да утврди за који задатак не желите да се бодује, онда за 9. задатак нећете добити бодове 4. Приликом решавања задатака могу се користити дигитрон (који не може да меморише и приказује текстуалне податке) и логаритамске таблице са четвороцифреним бројевима, коришћење других електронских или писаних средстава је забрањено! 5. У сваком случају запишите поступак који сте применили приликом решавања задатака, јер се за то даје значајан део бодова! 6. Трудите се да значајнији делови

прорачуна могу да се прате и контролишу! 7. Међу теоремама које сте користили приликом решавања задатака, оне које сте већ учили у школи и имају свој назив (нпр. Питагорина теорема, теорема о висинама) није потребно тачно објаснити; довољно је споменути назив теореме, али примену треба кратко образложити. Коришћење појединих теорема се у потпуности прихвата само онда, ако тачно искажете тврдње заједно са свим условима (без доказивања) и у датом проблему образложите примену теореме. 8. Коначно решење задатака (одговор који треба да дате на

постављено питање) саопштите и у текстуалном облику! 9. Задатке пишите хемијском оловком, а слике (скице) можете цртати обичном оловком. Осим слика, делове који су написани обичном оловком наставник неће вредновати (оцењивати). Ако прецртате неко решење или део решења, тај део се неће вредновати. 10. Код сваког задатка се вреднује (оцењује) само једно решење У случају да покушате са више решења, једносмислено означите за које решење сте се одлучили! 11. Молимо вас да у сиве правоугаонике ништа не уписујете! írásbeli vizsga 0911 3 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven

emelt szint Azonosító jel: I 1. За a, b и c странице једног троугла знамо следеће: c = 2b ; a 2 + b2 = 4 ; a 2 − b2 = 2 . a) b) c) Колико износе странице тог троугла? Колико износе углови тог троугла? Колико износи полупречник уписане кружнице? Напишите тачне вредности резултата! a) 4 бода b) 5 бодова c) 4 бода У.: írásbeli vizsga 0911 4 / 24 13 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 5 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: 2. a) Једном правилном коцкицом за игру ћемо извршити бацање два пута, а добијене бројеве ћемо по редоследу бацања уписати у шестоцифрени

број 8a567b на места a и b. Колика је вероватноћа да је свака цифра тако добијеног шестоцифреног броја различита? b) Дата су четири скупа: Елементи скупа А су позитивни двоцифрени бројеви дељиви са седам. Елементи скупа B су позитивни двоцифрени бројеви који су производ броја 29 (одн. дељиви са 29) Елементи скупа C су сви они позитивни двоцифрени бројеви, који имају особину да ако им се дода број 11 добија се један квадратни број. Елементи скупа D су сви они позитивни двоцифрени бројеви, који имају особину да ако се од њих одузме број 13 добија се један

квадратни број. b1) Колико елемената има скуп A ∪ C ? b2) Колико елемената има скуп B ∩ D ? b3) Који су то позитивни двоцифрени цели бројеви који су од наведена четири скупа елементи тачно два скупа? írásbeli vizsga 0911 6 / 24 a) 4 бода b) 8 бодова У.: 12 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 7 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint 3. Azonosító jel: У једној округлој кутији су сиреви са црвеном етикетом, а у другој истој таквој кутији су сиреви са плавом етикетом. По 6 комада сира идентичне величине потпуно испуњава једну кутију. Садржај кутија ћемо

истрести на сто У колико различитих поредака (односно комбинација) од ових 12 комада сира можемо да вратимо назад 6 комада сира у једну кутију да су постављени са етикетом на горе? (За два поретка (комбинације) сматрамо да су различита ако њиховим окретањем комбинације не могу да се подударају.) У.: írásbeli vizsga 0911 8 / 24 12 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 9 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: 4. a) b) 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n −1 , n ∈ N + . 7 7 7 7 Који је највећи природни број n за који важи a n > 49 −50 ? Дат је низ a n = 1 1 1 1 + 3 + 5 + K + 2 n

−1 , n ∈ N + . 7 7 7 7 Израчунајте граничну вредност lim bn ! Дат је низ bn = n∞ a) 10 бодова b) 4 бода У.: írásbeli vizsga 0911 10 / 24 14 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 11 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: II Међу задацима 5–9. треба решити четири по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3.! 5. a) У правоуглом координатном систему је дат један правоугаоник чија темена су: A ( 0 ; 0 ), B ( 4 ; 0 ) , C ( 4 ; 1 ) és D ( 0 ; 1 ) . Случајно ћемо изабрати једну унутрашњу тачку правоугаоника P ( x ; y )

. 1 1 Колика је вероватноћа да је y ≤ x + ? 3 2 b) Мартон је на маскенбалу од 200 штампаних листића за томболу купио 4 комада. На томболи се извлачи 10 наградних предмета За сваки листић може да се добије највише један предмет. b1) Колика је вероватноћа да ће Мартон на томболи добити само један предмет? b2) Колика је вероватноћа да ће Мартон добити на томболи? Резултате – и међурезултате – израчунајте заокруживањем на четири децимале! írásbeli vizsga 0911 12 / 24 a) 5 бодова b1) 5 бодова b2) 6 бодова У.: 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 13 /

24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: Међу задацима 5–9. треба решити четири по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3.! 6. Теме T ( 4; a) b) c) графика функције другог степена f : R R, f ( x ) = ax 2 + bx + c је тачка 2 ) , а тачка P ( 2 ; 0 ) се такође налази на графику (дате функције). Израчунајте вредности за коефицијенте a, b и c ! Напишите једначину тангенте на функцију f која додирује функцију f у тачки чија апсциса је 3! Израчунајте површину коју ограничавају функција f и x оса! írásbeli vizsga 0911 14 / 24 a) 6

бодова b) 5 бодова c) 5 бодова У.: 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 15 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: Међу задацима 5–9. треба решити четири по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3.! 7. Решите следећу једначину у скупу реалних бројева: ⎛ log 3 x ⎞ ⎟ 6 ⋅ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ log x 3 ⎛ 2⎞ = ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ log x 3 − 6075 . У.: írásbeli vizsga 0911 16 / 24 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 17 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: Међу задацима

5–9. треба решити четири по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3.! 8. Једна фирма је отворила своје филијале у три града. Просечна старост запослених у филијали у Кесегу је 37 година, запослених у филијали у Тати је 23 године, а оних који су запослени у филијали у Фиреду је 41 година. Код ове фирме су три пута организовали научно путовање. На ова путовања су ишли само запослени радници те фирме, а свако је ишао на она путовања за која је био распоређен. За поједина путовања су

распоредили по две филијале са свим запосленим радницима у тим филијалама. Прво путовање су организовали за запослене који раде у филијалама у Кесегу и Тати. Просечна старост запослених који су ишли на ово путовање је била 29 година. На другом путовању – на које су ишли запослени у филијалама у Кесегу и Фиреду – просечна старост учесника је била 39,5 година. На треће научно путовање су ишли запослени у филијалама у Тати и Фиреду. На том путовању је просечна старост учесника била 33 године. Колика је просечна старост за све запослене у тој фирми?

У.: írásbeli vizsga 0911 18 / 24 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 19 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Azonosító jel: Међу задацима 5–9. треба решити четири по слободном избору, а редни број изостављеног задатка упишите у празан квадрат који се налази на страни 3.! 9. Једна галерија је отворила нови изложбени простор намењен деци. Облик овог простора (сале) има облик праве пирамиде на квадратној основи, са следећим мерама: ивица основе је 12 метара, а бочна ивица је 10 метара. Један од уметника који су излагали своја дела је тражио да

организатор изложбе постави на бочне зидове (странице) једну танку траку у боји (линију) која иде у круг и паралелна је са ивицама основе, јер ће после на њу да поставе натписе. Замишљена водоравна раван коју формирају траке (линије) у боји сече запремину изложбеног простора на два једнака дела. a) Колика је укупна дужина линија у боји? На којој висини у односу на раван пода се налази замишљена раван која полови запремину пирамиде? За отварање изложбе је звучни техничар тако поставио микрофон који виси са највише тачке сале да буде на истој

удаљености од сваког бочног зида и од пода. b) Колико је дугачак кабел који виси са највише тачке сале ако занемаримо величину учвршћења и величину микрофона? (Одговор дајте са тачношћу у цм!) írásbeli vizsga 0911 20 / 24 a) 9 бодова b) 7 бодова У.: 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 21 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 22 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 23 / 24 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint I део редни број задатка 1. 2. 3. 4. II део Azonosító jel: максималан постигнут број максималан

постигнут број бодова бодова број бодова број бодова 13 12 51 12 14 16 16 64 16 16 ← задатак који је изостављен Број бодова на писменом делу испита датум 115 наставник који исправља programba beírt elért pontszám egész számra kerekítve/ egész pontszám/ постигнут број бодова број целих бодова заокружен на цео број уписаних у програм I. rész/ I део II. rész/ II део javító tanár/ наставник који исправља jegyző/ записничар dátum/ датум dátum/ датум írásbeli vizsga 0911 24 / 24 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 0911 MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ

ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató Важне информације Формални захтеви: 1. Задатак треба исправити хемијском оловком другачије боје од оне коју користи кандидат, а грешке, недостатке итд. обележити одговарајући наставничкој пракси 2. Међу сивим правоугаоницима који су поред задатака у првом је максималан број бодова за тај задатак, а у други наставник уписује постигнут број бодова за тај задатак. 3. У случају потпуно исправног решења (без грешке) у одговарајући правоугаоник је

довољно уписати максималан број бодова. 4. У случају решења са недостатком/грешком, молимо да се на задатак напише појединачи делимични број бодова. Садржајни захтеви: 1. Код појединих задатака смо дали бодовање за више начина решавања Уколико се нађе тачно решење различито од наведених, потражите у упутству делове који се подударају и на основу тога извршите бодовање. 2. Бодови у упутству се могу даље разложити Међутим, број бодова који се додељује по задатку може бити само цео број. 3. У случају тачног поступка решавања и коначног решења

максималан број бодова се даје и онда ако је код кандидата опис из упутства дат са мање детаља. 4. Ако у решењу има рачунске грешке, нетачности, бодови се не дају само на онај део где је ученик нечинио грешку. Ако са погрешним делимичним резултатом даље ради тачним поступком, а проблем за решавање се у суштини не мења, додељују му се даљи делимични бодови. 5. У случају принципијелне грешке у оквиру једне мисаоне целине (у упутству означено двоструком линијом) ни за формално тачне математичке поступке се бодови не додељују. Уколико ученик наставља

са радом и као почетни податак узима лоше решење које је добио због принципијелне грешке, а даље тачно рачуна у следећој мисаоној целини или делу питања, онда за тај део добија максималан број бодова, уколико се проблем за решавање у суштини није променио. 6. Ако се у упутству за решавање у загради налази нека напомена или нека мерна јединица, у случају њиховог недостатка се решење сматра да има потпуну вредност. 7. Од више тачних покушаја решења за један задатак вреднује се она варијанта коју је кандидат означио. 8. За решења се наградни бодови

(бодови који прелазе прописани максимални број за дати задатак или његов део) не могу доделити. 9. За делимичне прорачуне који су са грешкама али их кандидат при решавању задатка није искористио не одузимају се бодови. 10. Од означених задатака у испитном делу II се од назначених 5 задатка вреднују само решења за 4 задатка. Кандидат је уписао у квадрат – вероватно – редни број задатка чије вредновање неће ући у укупан број бодова. Према томе, евентуално дато решење за означени задатак ни не треба исправљати. Ако и поред тога није једносмислено

јасно за који задатак кандидат не жели да се бодује, онда ће задатак који се не бодује аутоматски бити онај који је последњи по истакнутом редоследу. írásbeli vizsga 0911 2 / 17 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató I 1. a) Из система једначина формираног од друге две једначине се могу израчунати вредности a и b. Сабирајући одговарајуће стране две једначине добијамо да је 2a 2 = 6 , значи a = 3 (a > 0). b 2 = 4 − 3 = 1 , значи b = 1 . c = 2 . (Странице троугла су дугачке (мерне) јединице.) 2 бода За вредност a. 1 бод За вредност b. 3;1и2 Укупно: 1 бод За вредност c. 4 бода 1.

b) 2 1 бод Пошто је 12 + 3 = 22 , на основу дефиниције Питагорине теореме 1 бод то је правоугли троугао, а наспрам најдуже 1 бод странице (c) се налази угао од 90°. 1 sin β = , дакле β = 30o , 1 бод 2 1 бод па је α = 60o . Укупно: 5 бодова Напомена: Ако на основу страница препозна да је реч о правоуглом троуглу са углом од 60º, а не образлаже детаљно, добија укупан број бодова. 1. c) Полупречник уписане кружнице се може израчунати као количник површине и половине t обима: r = . k 2 Површина троугла једнака је половини производа 1⋅ 3 3 две катете: . = 2 2 3 3 ⎛ 3 −1 ⎞ 2 ⎜= ⎟. r= = 2 ⎟⎠ 1 + 2 + 3 3 +

3 ⎜⎝ 2 Укупно: írásbeli vizsga 0911 3 / 17 Бод се даје и онда ако се ова мисао појављује 1 бод само током решавања задатка. 1 бод 2 бода Ако коначан резултат напише само 4 бода приближном вредношћу, онда добија највише 3 бода. 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. a) Бацајући коцкицу два пута се на 36 начина (исте вероватноће) могу попунити места a и b. Међу резултатима бацања могу да се нађу само 1, 2, 3 и 4. (Од њих за a на 4, а за b већ само на 3 начина могу да се нађу,) односно број повољних попуњавања места је 3 ⋅ 4 = 12 . 12 1 Тражена вероватноћа је: = . 36 3

Укупно: 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 4 бода 2. b) Набројмо елементе четири скупа: A = { 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91; 98 } . ( A = 13.) 1 бод B = { 29; 58; 87 }, 1 бод C = { 14; 25; 38; 53; 70; 89 } , 1 бод D = { 13; 14; 17; 22; 29; 38; 49; 62; 77; 94} . 1 бод b1) Број елемената скупа A ∪ C је 17. (Скуп C од 1 бод 6 елемената и скуп A од 13 елемената имају тачно два заједничка елемента.) b2) Број елемената скупа B ∩ D је 1.(Заједнички 1 бод елемент скупова B и D је само број 29.) b3) Набројмо све позитивне двоцифрене целе бројеве који су од четири испитивана скупа 2 бода елементи тачно два скупа: 29; 38; 49; 70; 77. Укупно: 8 бодова Напомене: 1.

Ако је на питања b1) и b2) дао лош одгпвор зато што је лоше набројао елементе скупа A, B, C и/или D, али са лоше написанм скуповима тачно протумачио операције са скуповима, даје се по 1 бод. 2. Ако одговор на питање b3) за један елемент одступа од тачног, уместо 2 бода се даје 1 бод. 3. Ако је одговор на питање b3) лош зато што је лоше написао елементе скупа A, B, C и/или D, не треба да губи даље бодове. 4. Ако кандидат приликом решавања не изабере горе наведени пут решавања (не наброји елементе скупова A-D), укупан број бодова нека добије за одговарајуће образложење. У

случају одговора без образложења уместо 8 може добити највише 3 бода. írásbeli vizsga 0911 4 / 17 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 3. Ако само једну боју вратимо: 2 могућности. Ако се појављују обе боје: враћањем 1 црвене и 5 плавих има 1 могућност, (јер пет истих ће увек бити једно поред другог). враћањем 2 црвене и 4 плаве има 3 могућности, јер 2 исте боје или стављамо једну до друге, или их једна, односно друге две раздвајају. враћањем 3 црвене и 3 плаве има 4 могућности, јер 3 исте боје или стављамо једну до друге, или једна по једну, односно

друге две-једна их раздвајају (последње је могуће на два начина): Ц Ц Ц Ц П П П П Ц Ц П П Ц П П Ц Ц П Ц П Ц Ц П 1 бод 2 бода 1 бод Ако наводи само 1 или 2 тачне могућности 2 бода (убрајање)- 1 бод. Недовољно образложење- 1 бод. Само за тачан одговор 1 бод се даје 1 бод. Навођење само 1 добре могућности (убрајање)0 бодова, давање 2или 3 добре 2 бода могућности (убрајање)1 бод. Недовољно образложење- 1 бод. П враћањем 4 плаве и 2 црвене има 3 могућности. Образложење се подудара са случајем 2 + 4. враћањем 5 црвених и 1 плаве има 1 могућност. Образложење се подудара са

случајем 1 + 5. Могуће је поређати на укупно 14 начина. Ови бодови се дају ако је одговор лош јер је лоше израчунао случај 1 бод 2+4 и/или 1+5. 1 бод 1 бод Укупно: 12 бодова Напомене: 1. Резултат се може образложити и добрим скицама (цртањем) 2. Ако кандидат израчуна колико могућности има за случајеве распореде 6 црвених, 5 црвених – 1 плави, 4 црвена – 2 плава, 3 црвена – 3 плава (и то тачно уради), а затим све помножи са 2, јер може да буде и обрнуто, али тиме случајеве 3 црвена – 3 плава рачуна дупло, зато губи 2 бода. írásbeli vizsga 0911 5 / 17 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint

Javítási-értékelési útmutató 4. a) 1 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n−1 = 1+3+5+K+(2 n−1) 7 7 7 7 7 Експонент броја 7 је збир првих n чланова једног аритметичког низа, чији је први члан 1, а разлика је 2. 1 an = (1+ 2 n−1) n 7 2 1 an = n 2 7 1 Треба испитати неједначину n 2 > 49 −50 . 7 1 1 Пошто је 49 = 7 2 , треба решити n 2 > 100 . 7 7 an = 2 7 n < 7100 . Зато што је функција x a 7 x строго моното растућа n 2 < 100 . Највећи квадратни број који је мањи од 100 је број 81. Највећи природни број који задовољава дате услове је 9. Укупно : 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 10 бодова 4. b) први начин bn је збир првих чланова

таквог геометријског 1 низа чији је први члан , а количник низа је 7 1 . 72 lim bn је збир (s) оног геометријског низа чији n ∞ први члан је b = 1 бод 1 1 и q= 2 . 7 7 1 7 b ⎛ 7 ⎞ = ⎜= ⎟ 1 − q 1 − 1 ⎝ 48 ⎠ 72 7 Тражена гранична вредност је . 48 Укупно: Зато што је q < 1 , s = írásbeli vizsga 0911 1 бод Ова 2 бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка. 6 / 17 1 бод 1 бод 4 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. b) решење на други начин bn је збир првих чланова таквог геометријског 1 1 , а количник низа је 2 низа чији је први члан 7 7 1 1− n 1 1 1 1 1 49 bn = +

3 + 5 + K + 2 n−1 = ⋅ 7 7 7 7 7 1− 1 49 7 ⎛ 1 ⎞ bn = ⋅ ⎜1 − n ⎟ . 48 ⎝ 49 ⎠ 7 lim bn = n ∞ 48 Укупно: írásbeli vizsga 0911 7 / 17 1 бод Ова 2 бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током 1 бод решавања задатка. 1 бод 1 бод 4 бода 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató II 5. a) y 1 D A 1 C B x 1 1 ⎛ 1⎞ x + сече y осу у тачки ⎜ 0; ⎟ , 3 2 ⎝ 2⎠ ⎛3 ⎞ а праву y = 1 сече у тачки ⎜ ; 1⎟ . ⎝2 ⎠ Одговарајуће тачке P у правоугаонику се налазе 1 1 у делу испод праве y = x + . 3 2 1 3 ⋅ 2 2 = 29 . Површина тог дела је: T jó = 4 − 2 8 (По прорачуну геометријске вероватноће) је 29 29 тражена вероватноћа P = 8 = (= 0,90625) . 4 32

Укупно : Права y = 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 5 бодова 5. b1) први начин Мартон је 4 од укупно 200 тикета могао да купи ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ начина. на ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Од 200 тикета за томболу има 10 добитничких и 190 за које се не добија награда. Мартон ће добити тачно једну ствар, ако се међу његова четири тикета налази 1 од 10 добитничких, а остала три се налазе међу 190 тикета за које се не добија награда. ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ начина. То је могуће на ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ Тражена вероватноћа је: ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 4 ⎝ ⎠ Укупно: írásbeli vizsga 0911

8 / 17 1 бод Овај бод се даје и онда ако се ова мисао 1 бод појављује само током решавања задатка. 2 бода 1 бод 5 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b1) решење на други начин Од 200 тикета се 10 добитничких могу извући на ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ начина. ⎝ 10 ⎠ Од 200 тикета Мартон има 4, осталих 196 се не налазе код њега. Мартон ће добити једну ствар ако се од 10 добитничких тикета кад њега налази тачно 1, а других 9 су међу осталих 196 тикета. ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟⎟ Дакле, број повољних случајева је: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝1⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 9

⎟⎠ ⎝ Тражена вероватноћа је: ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ Укупно: 1 бод Овај бод се даје и онда ако се ова мисао 1 бод појављује само током решавања задатка. 2 бода 1 бод 5 бодова 5. b2) први начин Уместо траженог догађаја, израчунаћемо вероватноћу супротног (комплементарног) догађаја. Супротни догађај од тога да је Мартон добио на томболи је да он није добио на томболи. То је могуће ако су сва 4 тикета била међу 190 који нису добитнички. ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ Број свих исхода једнаке вероватноће је ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ . Међу њима број повољних је ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠

Вероватноћа да Мартон није добио на томболи је ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ (≈ 0,8132) . ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Вероватноћа да је Мартон добио на томболи је ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟ 4 ⎟⎠ ⎝ 1− ≈ 0,1868. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Укупно: írásbeli vizsga 0911 9 / 17 1 бод Ова 2 бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка. 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 6 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b2) решење на други начин Мартон је од 10 добитака могао да освоји 1, 2, 3 или 4 добитка. Вероватноћа да му је један тикет добитнички је ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝

1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Вероватноћа да су му два тикета добитничка је ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ≈ 0,0125. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Вероватноћа да су му три тикета добитничка је ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≈ 0,0004. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Вероватноћа да су му 4 тикета добитничка је ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ≈ 0,0000. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Овај бод се даје и онда ако се ова мисао 1 бод појављује само током решавања задатка. 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод Вероватноћа да ће Мартон добити на томболи 1 бод је збир ове четири

вероветноће – 0,1868. Укупно: 6 бодова Ако ради на основу догађаја описаних у решењу b1)-на други начин, односно испитује да ли се међу 10 добитничких тикета налазе 1, 2, 3 или 4 Мартонова, онда се тражена вероватноћа добија следећим збиром: ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 6 ⎠ . ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ írásbeli vizsga 0911 10 / 17 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. a) први начин На основу координата темена је једначина 2 графика

функције f : y = a ( x − 4 ) + 2 . Тачка P се такође налази на графику, зато је 4a + 2 = 0 , 1 одакле је a = − . 2 1 1 2 Па је f ( x ) = − ( x − 4 ) + 2 = − x 2 + 4 x − 6 , 2 2 одакле је b = 4 , c = −6 . Укупно: 2 бода 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 6 бодова 6. a) решење на други начин График функције f је парабола, потражимо једначину у облику y = ax 2 + bx + c . Координате темена T ( 4 ; 2 ) задовољавају једначину: 16a + 4b + c = 2 . (1) Координате дате тачка на параболи P( 2 ; 0) задовољавају једначину параболе: 4a + 2b + c = 0. (2) Оса симетрије параболе је права x = 4 , зато је за дату тачку параболе P њена симетрична тачка на параболи R ( 6 ;

0) . Зато је: 36a + 6b + c = 0. (3) Решавајући систем једначина (1)-(2)-(3) добијамо: 1 a = − ; b = 4; c = −6. 2 Укупно: írásbeli vizsga 0911 11 / 17 1 бод 1 бод 1 бод 3 бода 6 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. b) Правац тангенса одговарајуће тангенте је вредност коју узима извод функције f (изводна функција) на месту x = 3 . f ′( x ) = − x + 4 , па је m = f ′(3) = 1 . Тангента чија је једначина y = x + d додирује график функције f у тачки чија апсциса је 3, а 3 чија друга координата је f (3) = . 2 3 Коришћењем тога d = − . 2 3 Једначина тангенте је: y = x − . 2 Укупно: Овај бод се даје и онда

ако се ова мисао 1 бод појављује само током решавања задатка. 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 5 бодова 6. c) Нуле функције f су 2 и 6, зато је тражена површина: 6 6 ⎛ 1 ⎞ T = ∫ f ( x )dx = ∫ ⎜ − x 2 + 4 x − 6 ⎟dx = 2 ⎠ 2 2⎝ 1 бод 1 бод 6 ⎤ ⎡ 1 = ⎢− x 3 + 2 x 2 − 6 x ⎥ = ⎦2 ⎣ 6 1 бод ⎛ 4 ⎞ = (− 36 + 72 − 36 ) − ⎜ − + 8 − 12 ⎟ . 3 ⎝ ⎠ 16 T= . 3 1 бод 1 бод Укупно: írásbeli vizsga 0911 12 / 17 5 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 7. Кандидат бодија овај бод и онда ако 1 бод контролише коренове замењивањем у оригиналну једначину. По дефиницији логаритма x > 0 . (3 ) = x (x ) = (x ) log 3 x log 3 x log 3 x 1 бод 2 log 3 x

log 3 x 2 1 бод Нека буде y = x log3 x 1 бод (, где је y > 0 ). Тада је једначина 6 y = y 2 − 6075 , односно y 2 − 6 y − 6075 = 0 . 1 бод Корени су: y1 = −75 , што није решење оригиналне једначине, и y 2 = 81 . 1 бод 1 бод Из могуће вредности за y је x 3 = 81 , log x и одатле log 3 x 3 = log 3 81 = 4. log x ( ) 1 бод 2 бода (На основу идентичности у вези степеновања 2 логаритма:) (log 3 x ) = 4 . 1 бод Ако је log 3 x = 2 , 1 бод онда је x1 = 3 = 9 . 1 бод Ако је log 3 x = −2 , 1 онда је x 2 = 3 − 2 = . 9 Оба броја су решења оригиналне једначине. Укупно: 1 бод 2 írásbeli vizsga 0911 13 / 17 1 бод 1 бод 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint

Javítási-értékelési útmutató 8. Нека број особа групе K из Кесега буде k; T групе из Тате буде t; а F групе из Фиреда буде f. Даље, означимо збир година старости чланова групе K са S k ; групе T са S t ; и групе F са S f . Ова 2 бода се дају и онда ако се ова мисао 2 бода појављује само током решавања задатка. Са датим подацима се могу написати следеће једначине: S k = 37 k ; 1 бод S t = 23t ; 1 бод S f = 41 f ; 1 бод S k + S t = 29(k + t ) ; 1 бод За решевање задатка је од ове три зависности 1 бод довољно написати две, зато ако напише било 1 бод које две, то вреди 3 бода. S k + S f = 39,5( k + f ) ; S t + S f = 33(t + f ) .

Прве три зависности ћемо заменити у следеће три једначине: 4 37 k + 23t = 29( k + t ) , односно t = k . 3 5 37 k + 41 f = 39,5( k + f ) , односно f = k . 3 4 23t + 41 f = 33(t + f ) , односно t = f . 5 Просечна старост свих S k + St + S f запослених: . k +t + f Код овога се t и f могу изразити преко k, и онда добијамо следеће за тражени просек: 4 5 92 205 37k + 23 ⋅ k + 41 ⋅ k 37 + + 3 3 = 3 3 = 4 5 4 k+ k+ k 3 3 37 + 99 136 = = = 34 . 4 4 Просечна старост свих запослених у фирми је 34 године. Укупно: írásbeli vizsga 0911 14 / 17 1 бод За решевање задатка је од ове три зависности довољно написати две, зато ако напише било 1 бод које две, то вреди 3 бода. 1 бод 1 бод

Ако у систему једначина са три непознате добије тачно решење рачунајући са три конкретна броја, 2 бода али не доказује да би до тога решења дошао у слушају за сваки корен, губи 2 бода. 1 бод 1 бод 16 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. a) E x J G D M A 10 I K H C F B 12 Са ознакама на скици пирамида GHIJE је слична пирамиди ABCDE. V ABCDE = 2 , зато је однос одговарајућих дужи VGHIJE AB FE 3 (нпр.): = = 2. GH KE AB 12 GH = 3 = 3 (≈ 9,524) . 2 2 48 4 ⋅GH = 3 (≈ 38,10). 2 Укупна дужина линија у боји је: 38,10 m. На основу Питагорине теореме је у правоуглом троуглу ABD : BD = 12 2 . FB = 6 2 На основу

Питагорине теореме је у правоуглом ( ) L 1 бод 2 бода 1 бод 1 бод троуглу FBE: (FE ) = 10 2 − 6 2 . 1 бод FE = 28 = 2 7 ≈ 5,29 1 бод 2 2 ( KE = ) ⎞ 28 ⎛ 2 7 ⎟ ⎜= ≈ 4 , 2 ⎟ 3 2 ⎜⎝ 3 2 ⎠ 1 бод 3 ⎞ 28 ⎛ 2 −1 ⎜ = 28 ⋅ ≈ 1,09 ⎟⎟ ⎜ 3 3 2 ⎝ 2 ⎠ Раван која преполовљава запремину се налази на висини од 1,09 m од пода сале. Укупно: FK = FE − KE = 28 − írásbeli vizsga 0911 15 / 17 1 бод 9 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) први начин E N 2 2 r P r 6 6 O r M 6 F Микрофон треба поставити у центар O уписане лопте у пирамиду. На скици су EL и EM висине бочних страница. На основу Питагорине теореме је

у правоуглом 2 троуглу ELC: (EL ) = 10 2 − 6 2 , одакле је EL = 8 . Пошто су дужине тангентних дужи повучених из спољне тачке, тада је MF = MN = 6 , и NE = 2 . На основу Питагорине теореме је у правоуглом 2 2 2 троуглу OEN: (OE ) = (ON ) + ( NE ) . ( ) 2 28 − r = r 2 + 2 2 6 (≈ 2,27 ) r= 7 Удаљеност микрофона од тачке E је: EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 метара. Укупно: írásbeli vizsga 0911 16 / 17 6 L 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 7 бодова 2012. május 8 Matematika szerb nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) решење на други начин Микрофон треба поставити у тачку O. Нека удаљеност те тачке од страна пирамиде буде x (метара). На

скици је EL висина бочне странице EBC. Повезивајући тачку O са теменима (врховима) пирамиде ABCDE, растављамо пирамиду ABCDE на пет пирамида. Напишимо запремину пирамиде ABCDE као збир запремине пет пирамида. Пирамиде ABEO, BCEO, DCEO и ADEO су подударне. Запремина им је једнака V ABCDE = V ABCDO + 4 ⋅ VBCEO (1) AB 2 ⋅ EF 144 ⋅ 28 VABCDE = = = 48 ⋅ 28 . 3 3 AB 2 ⋅ x 144 ⋅ x VABCDO = = = 48 x . 3 3 T ⋅x VBCEO = BCE . Висину труогла BCE која 3 припада страници BC ћемо израчунати из правоуглог троугла BEL: EL = 10 2 − 6 2 = 8 . BC ⋅ EL 12 ⋅ 8 TBCE = = = 48. 2 2 T ⋅ x 48 ⋅ .x = = 16 x . Зато је V BCEO = BCE 3 3 Уписивањем у једначину (1) израза добијених за

запремине: 48 ⋅ 28 = 48 x + 4 ⋅ 16 x = 112 x , 6 7 ≈ 2,27 (m). 7 Удаљеност микрофона од тачке E је: EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 метара. Укупно: 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод 1 бод одакле је x = írásbeli vizsga 0911 17 / 17 1 бод 7 бодова 2012. május 8