Matematika | Középiskola » Matematika német nyelven emelt szintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Azonosító jel: MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 2 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: Wichtige Hinweise 1. Es steht Ihnen eine Arbeitszeit von 240 Minuten zur Verfügung, nach dem Ablauf der Zeit müssen Sie die Arbeit beenden. 2. Die Reihenfolge der Ausarbeitung der Aufgaben ist beliebig 3. Im Teil II müssen Sie nur vier von den fünf gegebenen Aufgaben lösen Schreiben Sie am Ende ihrer Arbeit die Nummer der nicht gewählten Aufgabe in das Kästchen! Wenn es für die Korrektoren nicht eindeutig erkennbar ist, welche Aufgabe Sie nicht wählen wollten, wird die neunte Aufgabe nicht bewertet.

4. Zur Lösung der Aufgaben sind Taschenrechner, die für die Speicherung und Darstellung von Texten nicht geeignet sind, und ein beliebiges Tafelwerk zugelassen. Weitere elektronische, gedruckte oder schriftliche Hilfsmittel sind nicht erlaubt! 5. Beschreiben Sie den Lösungsweg immer ausführlich, denn die meisten für die Aufgabe bestimmten Punkte werden dafür vergeben! 6. Achten Sie darauf, dass die Berechnungen anschaulich sind! 7. Sätze, die Sie in der Schule mit Namen gelernt haben (z B Satz von Pythagoras, Höhensatz), müssen nicht formuliert werden. Es reicht, wenn Sie den Namen des Satzes nennen und kurz begründen, warum der Satz hier verwendbar ist. Der Bezug auf weitere Sätze wird nur dann vollständig akzeptiert, wenn Sie den Satz mit allen Bedingungen genau formulieren (ohne Beweis) und seine Anwendung im konkreten Fall begründen. 8. Die Endergebnisse der Aufgaben, die die gestellte Frage beantworten, müssen Sie in einem Antwortsatz formulieren! 9. Schreiben sie

mit Kugelschreiber oder mit Tinte, die Abbildungen können auch mit Bleistift gezeichnet werden! Außerhalb der Abbildungen werden die mit Bleistift geschriebenen Teile nicht bewertet. Wenn Sie eine Lösung oder einen Teil davon durchstreichen, kann dieses nicht bewertet werden. 10. Bei den einzelnen Aufgaben ist nur eine Lösung zu bewerten Bei mehreren Lösungsversuchen markieren Sie bitte eindeutig, welchen Sie für richtig halten! 11. Beschreiben Sie bitte die grauen Kästchen nicht! írásbeli vizsga 0911 3 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: I. 1. Von den Seiten a, b und c eines Dreiecks weiß man, dass: c = 2b ; a 2 + b2 = 4 ; a 2 − b2 = 2 . a) b) c) Wie groß sind die Seiten des Dreiecks? Wie groß sind die Winkel des Dreiecks? Wie groß ist der Inkreisradius? Geben Sie die genauen Werte der Ergebnisse an! írásbeli vizsga 0911 4 / 24 a) 4 Punkte b) 5 Punkte c) 4 Punkte I.: 13 Punkte 2012. május 8 Matematika

német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 5 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: 2. a) Mit einem regulären Spielwürfel würfelt man zweimal, dann werden die gewürfelten Zahlen in der Reihenfolge des Würfelns in die sechsstellige Zahl 8a567b an die Stellen von a und b geschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ziffern der so erhaltenen Zahl verschieden sind? b) Es sind vier Mengen gegeben: Die Elemente der Menge A sind die durch sieben teilbaren, positiven zweistelligen Zahlen. Die Elemente der Menge B sind die positiven zweistelligen Vielfachen von 29. Die Elemente der Menge C sind die positiven zweistelligen Zahlen, bei denen die um 11 größere Zahl eine Quadratzahl ist. Die Elemente der Menge D sind die positiven zweistelligen Zahlen, bei denen die um 13 kleinere Zahl eine Quadratzahl ist. b1) Wie viele Elemente hat die Menge A ∪ C ? b2) Wie viele Elemente hat die Menge B ∩ D ?

b3) Wie heißen die positiven zweistelligen Zahlen, die in genau zwei der obigen Mengen enthalten sind? írásbeli vizsga 0911 6 / 24 a) 4 Punkte b) 8 Punkte I.: 12 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 7 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint 3. Azonosító jel: In einer runden Schachtel sind Käsestücke mit roten Etiketten, in einer anderen, gleichen Schachtel sind Käsestücke mit blauen Etiketten. Jede Schachtel ist mit je 6 gleichgroßen, voneinander ununterscheidbaren Käsestücken vollständig gefüllt. Die Inhalte der Schachteln werden auf den Tisch gekippt. Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es, 6 der 12 Käsestücke in eine Schachtel mit den Etiketten nach oben zurückzulegen? (Zwei Anordnungen werden als verschieden betrachtet, wenn sie nicht durch ein Rotation (Drehung) ineinander überführt werden können.) I.: írásbeli vizsga 0911 8 / 24 12 Punkte 2012.

május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 9 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: 4. a) b) 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n −1 , n ∈ N + . 7 7 7 7 Welche ist die größte natürliche Zahl n, für die gilt: a n > 49 −50 ? Gegeben ist die Folge an = 1 1 1 1 + 3 + 5 + K + 2 n −1 , n ∈ N + . 7 7 7 7 Berechnen Sie den Grenzwert lim bn ! Gegeben ist die Folge bn = n ∞ írásbeli vizsga 0911 10 / 24 a) 10 Punkte b) 4 Punkte I.: 14 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 11 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: II. Von den Aufgaben 5 - 9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Schreiben Sie bitte die Nummer der nicht gewählten Aufgabe ins leere Kästchen auf der Seite 3! 5. a) Im kartesischen Koordinatensystem ist ein Rechteck gegeben,

mit den Ecken: A ( 0 ; 0 ), B ( 4 ; 0 ) , C ( 4 ; 1 ) und D ( 0 ; 1 ) . Zufällig wird ein innerer Punkt des Rechtecks ausgewählt: P ( x ; y ). 1 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass y ≤ x + ? 3 2 b) Marci hat bei einem Faschingsfest von den 200 verkauften Losen 4 Stück gekauft. Bei der Tombola werden 10 Gewinne verlost Mit jedem Los kann man höchstens einen Gegenstand gewinnen. b1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Marci genau einen Gegenstand gewinnt? b2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Marci bei der Verlosung gewinnt? Berechnen Sie die Ergebnisse – auch die Teilergebnisse – auf vier Dezimalstellen gerundet! írásbeli vizsga 0911 12 / 24 a) 5 Punkte b1) 5 Punkte b2) 6 Punkte I.: 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 13 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: Von den Aufgaben 5 - 9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte

Aufgaben lösen. Schreiben Sie bitte die Nummer der nicht gewählten Aufgabe ins leere Kästchen auf der Seite 3! 6. Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f : R R, f ( x ) = ax 2 + bx + c ist der Punkt T ( 4 ; 2 ) . Der Punkt P ( 2 ; 0 ) liegt auf dem Graphen der Funktion a) Berechnen Sie die Werte der Koeffizienten a, b, c! b) Schreiben Sie die Gleichung der Tangenten auf, die durch den Punkt des Graphen mit der Abszisse von 3 zu ziehen ist! c) Berechnen Sie die Fläche des Bereiches, der vom Graphen der Funktion f und von der x – Ache eingeschlossen ist! írásbeli vizsga 0911 14 / 24 a) 6 Punkte b) 5 Punkte c) 5 Punkte I.: 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 15 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: Von den Aufgaben 5 - 9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Schreiben Sie bitte die Nummer der nicht gewählten Aufgabe ins

leere Kästchen auf der Seite 3! 7. Lösen Sie die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen: ( 6 ⋅ 3log3 x ) log3 x ( ) = x2 log3 x − 6075. I.: írásbeli vizsga 0911 16 / 24 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 17 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: Von den Aufgaben 5 - 9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Schreiben Sie bitte die Nummer der nicht gewählten Aufgabe ins leere Kästchen auf der Seite 3! 8. Eine Firma eröffnet in drei Städten je eine Filiale. Das Durchschnittsalter der Angestellten in der Filiale in Kőszeg ist 37 Jahre, das der Angestellten in der Tataer Filiale ist 23 Jahre, das der Angestellten in der Füreder Filiale ist 41 Jahre. Die Firma veranstaltet drei Fortbildungsreisen. An diesen nehmen nur die Angestellten der Filialen teil, und jeder Angestellte nimmt an den für ihn vorgeschriebenen

Fortbildungsreisen teil. Für die verschiedenen Fortbildungsreisen wurden jeweils alle Angestellten von je zwei Filialen eingeteilt. Die erste Reise wurde für die Mitarbeiter der Kőszeger und Tataer Filialen organisiert. Das Durchschnittsalter der Teilnehmer dieser Reise war 29 Jahre. Das Durchschnittsalter der Teilnehmer der zweiten Reise – für die Mitarbeiter der Kőszeger und Füreder Filialen– war 39,5 Jahre. An der dritten Exkursion haben die Mitarbeiter der Tataer und Füreder Filialen teilgenommen. Das Durchschnittsalter der Teilnehmer an dieser Reise war 33 Jahre. Wie groß ist das Durchschnittsalter aller Mitarbeiter der Firma? I.: írásbeli vizsga 0911 18 / 24 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 19 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: Von den Aufgaben 5 - 9 müssen Sie vier beliebig ausgewählte Aufgaben lösen. Schreiben Sie bitte die Nummer

der nicht gewählten Aufgabe ins leere Kästchen auf der Seite 3! 9. Eine Galerie für bildende Kunst hat einen neuen Ausstellungsraum für Kinder eröffnet. Der Raum hat die Form einer quadratischen, gerade Pyramide, deren Innenmaße die folgenden sind: Grundkante 12 Meter, Seitenkante 10 Meter. Ein Künstler hat darum gebeten, an die Wände des Ausstellungsraumes parallel zu den Grundkanten eine farbige Linie zu kleben, an die Informationen aufgehängt werden können. Die gedachte horizontale Ebene, die durch die Linie festgelegt ist, soll das Volumen des Ausstellungssaales halbieren. a) Wie groß ist die Gesamtlänge der farbigen Linie? Wie hoch liegt die gedachte Halbierungsebene über dem Boden? Vor der Eröffnung der Ausstellung hat der Toningenieur das Mikrophon im höchsten Punkt des Raumes so aufgehängt, dass es von allen vier Seitenflächen und auch vom Boden den gleichen Abstand hat. b) Wie lang ist die einzuhängende Leitung, wenn man von der Größe des Mikrofons und

der Befestigung absieht? (Geben Sie Ihr Ergebnis in cm genau an!) írásbeli vizsga 0911 20 / 24 a) 9 Punkte b) 7 Punkte I.: 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 21 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 22 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 23 / 24 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Azonosító jel: Die Nummer der Aufgabe 1. 2. 3. 4. maximale erreichte maximale Punktezahl Punktzahl Punktzahl 13 12 51 12 14 16 16 64 16 16 ← nicht gewählte Aufgabe Punktzahl der schriftlichen Teil der Prüfung 115 Teil I Teil II Datum erreichte Punktzahl Fachlehrer, der korrigiert elért pontszám egész számra kerekítve/ erreichte Punktzahl auf ganze gerundet programba

beírt egész pontszám/ ins Programm eingetragene ganze Punktzahl I. rész/ Teil I II. rész/ Teil II javító tanár/ Korrektor jegyző/ Schriftführer dátum/Datum dátum/Datum írásbeli vizsga 0911 24 / 24 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 0911 MATEMATIKA NÉMET NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató Wichtige Hinweise Formvorschriften: 1. Die Arbeit ist mit einem andersfarbigen Stift, als der Abiturient ihn benutzt hat, zu korrigieren. Die Fehler und die fehlenden Schritte sind wie üblich zu markieren 2. In den Kästchen neben den Aufgaben steht zuerst die maximale Punktzahl Der Korrektor trägt die von ihm gegebene Punktzahl in das zweite Kästchen ein. 3. Bei einwandfreier Lösung kann ohne Angabe von

Teilpunkten die maximale Punktzahl eingetragen werden. 4. Bei fehlerhaften oder mangelhaften Lösungen geben Sie bitte auch die Teilpunkte für die richtigen Schritte an. Inhaltliche Fragen: 1. Bei einigen Aufgaben sind verschiedene Lösungswege angegeben Wenn eine von diesen unterschiedlichen Lösungen vorkommt, suchen Sie die gleichwertigen Teile und verteilen die Punkte entsprechend. 2. Die vorgeschriebenen Punktzahlen lassen sich weiter zerlegen, dürfen aber nur als ganze Punkte vergeben werden. 3. Offensichtlich gute Lösungswege und Endergebnisse können auch dann mit maximalen Punktzahlen bewertet werden, wenn sie weniger ausführlich als die Musterlösung in der Anweisung beschrieben sind. 4. Wenn der Schüler einen Rechenfehler macht oder ungenau wird, aber damit das zu lösende Problem nicht wesentlich verändert wird, bekommt er nur für den Teil keinen Punkt, wo der Fehler lag. Wenn er mit falschem Teilergebnis, aber mit richtigem Gedankengang weiterrechnet, sind die

weiteren Teilpunkte zu gewähren. 5. Begeht der Schüler einen theoretischen Fehler, so bekommt er innerhalb einer Gedankeneinheit auch für die formell richtigen mathematischen Schritte keinen Punkt. Wenn der Schüler in einer folgenden Teilaufgabe oder Gedankeneinheit, wo durch diesen Fehler das lösende Problem nicht wesentlich verändert wurde, mit diesem falschen Ergebnis als Ausgangswert richtig weiterrechnet, bekommt er die maximale Punktzahl für diesen neuen Teil. 6. Falls in der Musterlösung eine Bemerkung oder die Einheit bei dem Ergebnis in Klammern steht, ist die Lösung auch ohne diese als vollständig zu bewerten. 7. Bei mehreren Lösungsversuchen für eine Aufgabe ist nur der eine zu bewerten, den der Kandidat markiert hat. 8. Zusatzpunkte (mehr Punkte als die vorgeschriebene maximale Punktzahl für die Aufgabe) sind nicht zugelassen. 9. Es gibt keinen Punktabzug für Berechnungen und Schritte, die zwar falsch sind, aber eigentlich vom Schüler bei der Lösung der

Aufgabe nicht verwendet werden. 10. Im Teil II sind aus den 5 Aufgaben nur Lösungen von 4 zu bewerten Der Abiturient hat – vermutlich – die Nummer der Aufgabe, die nicht bewertet werden soll, in das entsprechende Kästchen eingetragen. Dementsprechend wird die eventuell vorhandene Lösung für diese Aufgabe nicht korrigiert. Wenn die abgewählte Aufgabe nicht eindeutig feststeht, dann ist die nicht zu bewertende Aufgabe automatisch die letzte Aufgabe der vorgegebenen Aufgabenreihe. írásbeli vizsga 0911 2 / 17 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató I. 1. a) In dem Gleichungssystem kann man aus den letzten zwei Gleichungen die Werte von a und b berechnen. Wenn man die entsprechenden Seiten der Gleichungen addiert, bekommt man 2a 2 = 6 , also a= 3 (a > 0). b 2 = 4 − 3 = 1 , d.h b = 1 c = 2 . (Die Seiten des Dreiecks sind Einheiten lang.) 2 Punkte Für den Wert von a. 1 Punkt Für den Wert von b. 3 ; 1 und 2

Insgesamt: 1 Punkt Für den Wert von c. 4 Punkte 1. b) 2 1 Punkt Da 12 + 3 = 22 , wegen des Umkehrsatzes des Pythagoras-Satzes 1 Punkt das Dreieck ist rechtwinklig, 90° liegt gegenüber der 1 Punkt längsten Seite c. 1 sin β = , also β = 30o , 1 Punkt 2 1 Punkt also α = 60o . Insgesamt: 5 Punkte Bemerkung: Wenn man aus den Seiten bemerkt, dass es hier um ein rechtwinkliges Dreieck geht, in dem ein Winkel 60° groß ist, es aber nicht ausführlich begründet, bekommt man die maximale Punktzahl. 1. c) Der Inkreisradius ist aus der Hälfte des Quotienten t der Fläche und des Umfangs zu berechnen: r = . k 2 Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte des Produkts 1⋅ 3 3 der Katheten: = . 2 2 3 3 ⎛ 3 −1 ⎞ 2 ⎜= ⎟. r= = ⎜ 2 ⎟⎠ 1+ 2 + 3 3 + 3 ⎝ 2 Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 3 / 17 Der Punkt ist zu geben, wenn in der Lösung 1 Punkt diese Gedanken vorausgesetzt sind. 1 Punkt 2 Punkte Wenn man das Ergebnis nur mit einem 4 Punkte Näherungswert angibt, kann

man höchstens 3 Punkte bekommen. 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. a) Wenn man würfelt, können auf 36 verschiedene Weisen die Stellen von a und b (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) ausgefüllt werden. Unter den gewürfelten Zahlen dürfen nur 1, 2, 3 und 4 vorkommen. (a kann man auf 4, b nur noch auf 3 Weisen bekommen) Die Anzahl der günstigen Fälle ist 3 ⋅ 4 = 12 . 12 1 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist: = . 36 3 Insgesamt: 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 4 Punkte 2. b) Man zählt die Elemente der vier Mengen auf: A = { 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91; 98 } . ( A = 13.) 1 Punkt B = { 29; 58; 87 }, 1 Punkt C = { 14; 25; 38; 53; 70; 89 }, 1 Punkt D = { 13; 14; 17; 22; 29; 38; 49; 62; 77; 94} . 1 Punkt b1) Die Elementezahl von A ∪ C ist 17. (Die Mengen 1 Punkt C und A haben genau zwei gemeinsame Elemente.) b2) Die Elementezahl von B ∩ D ist 1.(Nur die 29 ist 1 Punkt das gemeinsame Element der

Mengen B und D.) b3) Wir zählen die positiven zweistelligen ganzen Zahlen auf, die von den obigen vier Mengen genau zu 2 Punkte zwei Mengen gehören: 29; 38; 49; 70; 77. Insgesamt: 8 Punkte Bemerkung: 1. Wenn er die Fragen b1) und b2) falsch beantwortet, weil er die Elemente der Mengen A, B, C und/oder D falsch aufzählt, er aber die Mengenoperationen mit den falschen Mengen gut durchgeführt, bekommt er je 1 Punkt pro Teilaufgabe. 2. Wenn die Antwort auf die Frage b3) sich in nur einem Element von der richtigen Lösung unterscheidet, bekommt er statt 2 Punkte 1 Punkt. 3. Wenn die Antwort auf die Frage b3) falsch ist, weil er die Elemente der Mengen A, B, C und/oder D falsch aufzählt, verliert er keinen weiteren Punkt. 4. Wenn der Schüler bei der Lösung nicht dem obigen Weg folgt (er zählt die Elemente der Mengen A-D nicht auf), bekommt er die vollständige Punktzahl, wenn er es ausführlich begründet hat. Wenn die Antwort ohne Begründung gegeben wird, darf man statt 8

höchstens 3 Punkte bekommen. írásbeli vizsga 0911 4 / 17 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 3. Wenn er nur eine Farbe zurücklegt:2 Möglichkeiten. Wenn beide Farben vorkommen: 1 rote und 5 blaue werden zurücklegt 1 Möglichkeit, (weil die fünf gleichfarbigen immer nebeneinander sind). 2 rote 4 blaue werden zurückgelegt: 3 Möglichkeiten, denn entweder legt man die 2 gleichfarbigen nebeneinander oder ein oder zwei Stücke der anderen Farbe trennen sie voneinander. 3 rote 3 blaue werden zurückgelegt: 4 Möglichkeiten, denn entweder legt man die 3 gleichfarbige nebeneinander oder je ein oder je zwei Stücke der anderen Farbe trennen sie voneinander (der letzte Fall kann auf zwei verschiedene Weisen vorkommen): R R B R R B B R B B R B B B R R B R 2 Punkte 1 Punkt Nur 1 oder 2 richtige Lösungen angegeben: 2 Punkte 1 Punkt. Unvollständige Begründung: 1 Punkt. Nur bei richtiger 1 Punkt Lösung: 1 Punkt. Nur

1 richtige Lösungen angegeben: 0 Punkt, Nur 2 oder 3 richtige 2 Punkte Lösungen angegeben: 1 Punkt. Nicht völlige Begründung: 1 Punkt. R R B 1 Punkt R B B 4 rote 2 blaue werden zurückgelegt: 3 Möglichkeiten. Begründung ist mit dem Fall 2 + 4 identisch. 5 rote 1 blaue werden zurückgelegt: 1 Möglichkeit. Begründung ist mit dem Fall 1 + 5 identisch. Diese Punkte stehen 1 Punkt ihm zu, wenn die Antwort deshalb falsch ist, weil die Fälle 2+4 und/oder 1 Punkt 1+5 falsch berechnet wurden. 1 Punkt 12 Punkte Insgesamt gibt es 14 verschiedene Reihenfolgen. Insgesamt: Bemerkungen: 1. Das Ergebnis kann auch mit einer guten Abbildung begründet werden 2. Wenn der Schüler berechnet, wie viele Reihenfolgen es in den Fällen von 6 roten, 5 roten – 1 blauen, 4 roten – 2 blauen, 3 roten – 3 blauen (und diese richtig angegeben werden) gibt, und dann mit 2 multipliziert, weil es auch umgekehrt vorkommen kann, dann rechnet er den Fall von 3 roten – 3 blauen zweimal, deshalb

verliert er 2 Punkte. írásbeli vizsga 0911 5 / 17 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. a) 1 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n−1 = 1+3+5+K+(2 n−1) 7 7 7 7 7 Der Exponent von 7 ist die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge, deren erstes Glied 1, Differenz 2 sind. 1 an = (1+ 2 n−1) n 7 2 1 an = n 2 7 1 Man muss die Ungleichung n 2 > 49 −50 untersuchen. 7 1 1 Da 49 = 7 2 , ist zu lösen n 2 > 100 . 7 7 an = 2 7 n < 7100 . Da x a 7 x streng monoton steigt, n 2 < 100 . Die größte Quadratzahl, die kleiner als 100 ist, ist 81. Die größte natürliche Zahl, die den Bedingungen entspricht, ist 9. Insgesamt: 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 10 Punkte 4. b) erste Lösung bn ist die Summe der ersten n Glieder einer 1 geometrischen Folge, deren erstes Glied ist, der 7 1 Quotient ist 2 . 7 lim bn ist die Summe der geometrischen Reihe (s), n∞

1 1 und q = 2 sind. 7 7 1 b ⎛ 7 ⎞ Da q < 1 , s = = 7 ⎜= ⎟ 1 − q 1 − 1 ⎝ 48 ⎠ 72 7 . Der gesuchte Grenzwert ist 48 Insgesamt: wo das erste Glied b = írásbeli vizsga 0911 6 / 17 1 Punkt Diese 2 Punkte sind zu geben, wenn in der Lösung diese Gedanken vorausgesetzt sind. 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 4 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. b) zweite Lösung bn ist die Summe der ersten n Glieder einer 1 geometrischen Folge, deren erstes Glied ist, der 7 1 Quotient ist 2 . 7 1 1− n 1 1 1 1 1 49 bn = + 3 + 5 + K + 2 n−1 = ⋅ 7 7 7 7 7 1− 1 49 7 ⎛ 1 ⎞ bn = ⋅ ⎜1 − n ⎟ . 48 ⎝ 49 ⎠ 7 lim bn = n∞ 48 Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 7 / 17 1 Punkt Diese 2 Punkte sind zu geben, wenn in der Lösung diese Gedanken vorausgesetzt sind. 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 4 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató II. 5. a) y 1 D A 1

Die Gerade y = C B x 1 1 x + schneidet die y-Achse im 3 2 ⎛ 1⎞ Punkt ⎜ 0; ⎟ , ⎝ 2⎠ ⎛3 ⎞ die Gerade y = 1 schneidet sie im Punkt ⎜ ; 1⎟ . ⎝2 ⎠ Die entsprechenden Punkte P sind die Innenpunkte 1 1 des Rechtecks unter der Geraden y = x + . 3 2 1 3 ⋅ 29 Die Fläche dieses Teiles: Tgut = 4 − 2 2 = . 2 8 (Laut der geometrischen Wahrscheinlichkeit) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 29 29 P = 8 = (= 0,90625) . 4 32 Insgesamt: 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 5 Punkte 5. b1) erste Lösung ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ -Weisen Marci konnte die 4 Lose von 200 auf ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ kaufen. Unter 200 Losen gibt es 10 Gewinnlose und 190, womit man nicht gewinnt (Nieten). Marci gewinnt 1 Gegenstand, wenn unter seinen 4 Losen genau 1 Gewinnlos ist, die anderen 3 zu den 190 gehören, die nicht gewinnen (Nieten). ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ Weisen vorkommen. Das kann auf ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎠

⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ Die Wahrscheinlichkeit ist : ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 8 / 17 1 Punkt Der Punkt ist zu geben, wenn in der Lösung 1 Punkt diese Gedanken vorausgesetzt sind. 2 Punkte 1 Punkt 5 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b1) zweite Lösung Aus den 200 Losen kann man die 10 Gewinnlose auf ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ Weisen ziehen. ⎜⎜ ⎝ 10 ⎠ Von den 200 Losen sind 4 bei Marci, und 196 nicht. Marci gewinnt genau 1 Gegenstand, wenn er von den 10 Gewinnlosen genau eines hat und die anderen 9 von den 196 Losen stammen, die nicht gewinnen. ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟⎟ Anzahl der günstigen Fälle ist: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 9 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 9 ⎟⎠ ⎝ Die Wahrscheinlichkeit ist: ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 10 ⎠ Insgesamt: 1 Punkt Der Punkt ist zu geben, wenn in der Lösung

1 Punkt diese Gedanken vorausgesetzt sind. 2 Punkte 1 Punkt 5 Punkte 5. b2) erste Lösung Wir berechnen statt der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, die Wahrscheinlichkeit des Gegen(Komplementär) Ereignisses. Das Gegenereignis, dass Marci gewonnen hat, ist, dass er nicht gewonnen hat. Das ist möglich, wenn alle seine 4 Lose von den 190 Losen kommen, womit man nicht gewinnt. ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ Anzahl aller gleichwahrscheinlichen Fälle ist ⎜⎜ 4 ⎠ ⎝ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ . Daraus die günstigen Fälle: ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Die Wahrscheinlichkeit, dass Marci bei der ⎛190 ⎞ ⎟ ⎜⎜ 4 ⎟⎠ ⎝ (≈ 0,8132) . Verlosung nicht gewonnen hat, ist: ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Die Wahrscheinlichkeit, dass Marci bei der ⎛190 ⎞ ⎟ ⎜⎜ 4 ⎟⎠ ⎝ ≈ 0,1868. Verlosung gewonnen hat, ist 1 − ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 9 / 17 Diese 2 Punkte sind zu 1 Punkt geben, wenn diese Gedanken in der Lösung vorausgesetzt sind. 1

Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 6 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b2) zweite Lösung Marci kann von den 10 Gewinnen 1, 2, 3 oder 4 gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines seiner Lose ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ ≈ 0,1739. gewinnt, ist ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei seiner Lose ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ ≈ 0,0125. gewinnen, ist ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Die Wahrscheinlichkeit, dass drei seiner Lose ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎟⎠ ⎝ ≈ 0,0004. gewinnen, ist ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Die Wahrscheinlichkeit, dass vier seiner Lose ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 4 ⎠ ⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ ≈ 0,0000. gewinnen, ist ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Der Punkt ist zu geben, wenn in der Lösung diese

1 Punkt Gedanken vorausgesetzt sind. 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt Die Wahrscheinlichkeit, dass Marci bei der Verlosung gewonnen hat, ist die Summe dieser 1 Punkt vier Wahrscheinlichkeiten, als 0,1868. Insgesamt: 6 Punkte Wenn er mit dem Ereignisraum arbeitet, der in der zweiten Lösung von b1) beschrieben ist, er also untersucht, dass von den 10 Gewinnlosen 1, 2, 3, oder 4 Stück bei Marci sind, dann gibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit die folgende Summe an: ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 6 ⎠ . ⎛ 200 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 10 ⎠ írásbeli vizsga 0911 10 / 17 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. a) erste Lösung Mit den Koordinaten des Scheitelpunktes ist

die 2 Gleichung des Graphen von f: y = a( x − 4) + 2 . P liegt auch auf dem Graphen, so dass 4a + 2 = 0 , 1 woraus folgt: a = − . 2 1 1 2 Also f ( x ) = − ( x − 4) + 2 = − x 2 + 4 x − 6 , 2 2 woraus b = 4 , c = −6 . Insgesamt: 2 Punkte 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 6 Punkte 6. a) zweite Lösung Der Graph von f ist eine Parabel, die in der Form y = ax 2 + bx + c gesucht ist. Die Koordinaten des Scheitelpunktes T ( 4 ; 2 ) genügen der Gleichung: 16a + 4b + c = 2 . (1) Die Koordinaten des bekannten Punktes P( 2 ; 0 ) genügen auch der Gleichung: 4a + 2b + c = 0. (2) Die Symmetrieachse der Parabel ist die Gerade x = 4 , deshalb liegt auch der Spiegelpunkt von P, der Punkt R ( 6 ; 0) auf dem Graphen. Deshalb: 36a + 6b + c = 0. (3) Wenn man das Gleichungssystem (1)-(2)-(3) löst: 1 a = − ; b = 4; c = −6. 2 Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 11 / 17 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 3 Punkte 6 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint

Javítási-értékelési útmutató 6. b) Die Steigung der Tangente ist der Funktionswert der Ableitung von f im Punkt x = 3 . f ′( x ) = − x + 4 , also m = f ′(3) = 1 . Die Tangente mit der Gleichung y = x + d geht durch den Punkt von f mit der Abszisse von 3, dessen 3 zweite Koordinate f (3) = ist. 2 3 Dadurch d = − . 2 3 Die Gleichung der Tangente ist: y = x − . 2 Insgesamt: Der Punkt ist zu geben, wenn in der Lösung 1 Punkt diese Gedanken vorausgesetzt sind. 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 5 Punkte 6. c) Die Nullstellen von f sind 2 und 6, deshalb ist die gesuchte Fläche: 6 6 ⎞ ⎛ 1 T = ∫ f ( x )dx = ∫ ⎜ − x 2 + 4 x − 6 ⎟dx = 2 ⎠ 2 2⎝ 1 Punkt 1 Punkt 6 ⎡ 1 ⎤ = ⎢− x 3 + 2 x 2 − 6 x ⎥ = 6 ⎣ ⎦2 1 Punkt ⎞ ⎛ 4 = (− 36 + 72 − 36 ) − ⎜ − + 8 − 12 ⎟ . ⎠ ⎝ 3 16 T= . 3 1 Punkt 1 Punkt Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 12 / 17 5 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint

Javítási-értékelési útmutató 7. Wegen der Definition des Logarithmus x > 0 . (3 ) = x (x ) = (x ) log 3 x log 3 x 2 log 3 x log 3 x log 3 x 2 Dieser Punkt steht dem Schüler auch zu, wenn er die 1 Punkt erhaltenen Lösungen in die Gleichung einsetzt. 1 Punkt 1 Punkt Sei y = x log3 x (,wo y > 0 ). 1 Punkt Dann ist die Gleichung 6 y = y − 6075 , also y 2 − 6 y − 6075 = 0 . 2 1 Punkt Die Lösung: y1 = −75 , welche keine Lösung der Gleichung ist, und y 2 = 81 . Aus den möglichen Werten von y: x und so ist log 3 x log3 x = log 3 81 = 4. ( ) log 3 x = 81 , 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 2 Punkte (Nach dem Gesetz des Logarithmus einer Potenz:) (log 3 x )2 = 4 . 1 Punkt Wenn log 3 x = 2 , 1 Punkt dann x1 = 3 2 = 9 . 1 Punkt Wenn log 3 x = −2 , 1 dann x 2 = 3 − 2 = . 9 Beide Zahlen sind Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Insgesamt: 1 Punkt írásbeli vizsga 0911 13 / 17 1 Punkt 1 Punkt 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven

emelt szint Javítási-értékelési útmutató 8. Seien die Mitgliederzahlen der Kőszeger K Gruppe: k; der Tataer T Gruppe: t; der Füreder F Gruppe: f. Bezeichne weiterhin die Summe der Alter der Mitglieder der Gruppe K : S k ; der Gruppe T : S t ; der Gruppe F : S f . Diese 2 Punkte sind zu geben, wenn in der 2 Punkte Lösung diese Gedanken richtig erscheinen. Dann kann man die folgenden Gleichungen aufschreiben: S k = 37k ; 1 Punkt S t = 23 t ; 1 Punkt S f = 41 f ; 1 Punkt S k + S t = 29(k + t ) ; 1 Punkt Zur Lösung der S k + S f = 39,5(k + f ) ; 1 Punkt diesen drei Aufgabe reicht es, von S t + S f = 33(t + f ) . 1 Punkt Die ersten drei Zusammenhänge werden in den folgenden drei Gleichungen eingesetzt: 4 37k + 23t = 29(k + t ) , d.h t = k 3 5 37k + 41 f = 39,5(k + f ) , d.h f = k 3 4 23t + 41 f = 33(t + f ) , d.h t = f 5 Das Durchschnittsalter aller Mitarbeiter: S k + St + S f . k +t + f Daraus sind t und f auszudrücken mit Hilfe von k, dann bekommt man das

Folgende für das Durchschnitt: 4 5 92 205 37 k + 23 ⋅ k + 41 ⋅ k 37 + + 3 3 = 3 3 = 4 5 4 k+ k+ k 3 3 37 + 99 136 = = = 34 . 4 4 Das Durchschnittsalter aller Mitarbeiter der Firma ist 34 Jahre. Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 14 / 17 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt Zusammenhängen zwei aufzuschreiben, deshalb bekommt er für das Aufschreiben zweier von diesen Zusammenhängen diese 3 Punkte. Zur Lösung der Aufgabe reicht es, von diesen drei Zusammenhängen zwei aufzuschreiben, deshalb bekommt er für das Aufschreiben zweier von diesen Zusammenhängen diese 3 Punkte. 1 Punkt Wenn er im Gleichungssystem mit einem konkreten Zahlentrippel rechnet und er ein richtiges Ergebnis bekommt, er 2 Punkte aber nicht beweist, dass er bei allen Lösungen dieses Ergebnis bekommt, verliert er 2 Punkte. 1 Punkt 1 Punkt 16 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. a) E x J G D M A 10 I K H C F B 12 Die Pyramide GHIJE ist zur

Pyramide ABCDE ähnlich. V ABCDE = 2 , deshalb ist das Verhältnis der VGHIJE AB FE 3 entsprechenden Strecken (z.B): = = 2. GH KE AB 12 GH = 3 = 3 (≈ 9,524) . 2 2 48 4 ⋅GH = 3 (≈ 38,10). 2 Gesamtlänge der farbigen Linie: 38,10 m. Nach dem Satz von Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ABD: BD = 12 2 . FB = 6 2 Nach dem Satz von Pythagoras im rechtwinkligen ( ) L 1 Punkt 2 Punkte 1 Punkt 1 Punkt Dreieck FBE: (FE ) = 10 2 − 6 2 . 1 Punkt FE = 28 = 2 7 ≈ 5,29 1 Punkt 2 2 ( KE = ) ⎞ 28 ⎛ 2 7 ⎜= ⎟ ≈ 4 , 2 ⎟ 3 2 ⎜⎝ 3 2 ⎠ 1 Punkt 3 ⎞ 28 ⎛ 2 −1 ⎜ = 28 ⋅ ≈ 1,09 ⎟⎟ ⎜ 3 3 2 ⎝ 2 ⎠ Die Ebene, die das Volumen halbiert, ist 1,09 m vom Boden des Saales entfernt. Insgesamt: FK = FE − KE = 28 − írásbeli vizsga 0911 15 / 17 1 Punkt 9 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) erste Lösung E N 2 2 r P r 6 6 O r M 6 F Das Mikrophon muss im Mittelpunkt

O der einbeschriebenen Kugel der Pyramide hängen. EL und EM sind die Höhen der Seitenflächen. Nach dem Satz von Pythagoras im rechtwinkligen 2 Dreieck ELC: (EL ) = 10 2 − 6 2 , woraus EL = 8 . Da die Längen der zwei von einem äußeren Punkt aus an einen Kreis gelegten Tangentenabschnitte gleich sind: MF = MN = 6 , und NE = 2 . Nach dem Satz von Pythagoras im rechtwinkligen 2 2 2 Dreieck OEN: (OE ) = (ON ) + ( NE ) . ( ) 2 28 − r = r 2 + 2 2 6 (≈ 2,27 ) r= 7 Die Entfernung des Mikrophons vom Punkt E ist: EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 Meter. Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 16 / 17 6 L 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 7 Punkte 2012. május 8 Matematika német nyelven emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) zweite Lösung Das Mikrophon muss im Punkt O hängen. Die Entfernung dieses Punktes von den Seiten der Pyramide sei x (Meter). Auf der Abbildung ist EL die Höhe der Seitenfläche EBC. Wenn man den Punkt O mit

den Ecken der Pyramide ABCDE verbindet, wird die Pyramide ABCDE in fünf Pyramiden zerlegt. Man schreibt das Volumen der Pyramide ABCDE als Summe der anderen fünf Pyramiden auf. Die Pyramiden ABEO, BCEO, DCEO und ADEO sind kongruent, ihre Volumina sind gleich. V ABCDE = V ABCDO + 4 ⋅ VBCEO (1) AB 2 ⋅ EF 144 ⋅ 28 = = 48 ⋅ 28 . 3 3 AB 2 ⋅ x 144 ⋅ x VABCDO = = = 48 x . 3 3 T ⋅x V BCEO = BCE . Man rechnet die Höhe BC des 3 Dreiecks BCE aus dem rechtwinkligen Dreieck BEL 1 Punkt 1 Punkt VABCDE = aus: EL = 10 2 − 6 2 = 8 . BC ⋅ EL 12 ⋅ 8 TBCE = = = 48. 2 2 T ⋅ x 48 ⋅ .x = = 16 x . Deshalb V BCEO = BCE 3 3 Wenn man den Term der Volumina in die Gleichung (1) einsetzt: 48 ⋅ 28 = 48 x + 4 ⋅ 16 x = 112 x , 6 7 woraus x = ≈ 2,27 (m). 7 Die Entfernung des Mikrophons vom Punkt E ist: EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 Meter. Insgesamt: írásbeli vizsga 0911 17 / 17 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 1 Punkt 7 Punkte 2012. május 8