Matematika | Középiskola » Matematika középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 1212 I. összetevő Név: . osztály: Matematika középszint Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A megoldások sorrendje tetszőleges 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad! 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül

ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnál csak egy megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 2/8 2012. május 8 Matematika középszint 1. Név: . osztály: Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa (−2) . Adja meg a sorozat első hat tagjának összegét! A sorozat első hat tagjának összege: 2. 2 pont Írja fel annak az e egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos a 2 x − y = 5 egyenletű f egyenessel és áthalad a P(3; –2) ponton! Válaszát indokolja! 2 pont Az e egyenes egyenlete: 1 pont 3. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = ( x + 2) 2 + 4 függvény. Adja meg az f függvény minimumának helyét és

értékét! írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 A minimum helye: 1 pont A minimum értéke: 1 pont 3/8 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika középszint 4. Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis! A) Hét tanulóból négyet ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani, mint hármat, ha a kiválasztás sorrendjétől mindkét esetben eltekintünk. B) Van olyan x valós szám, amelyre igaz, hogy 5. x2 = −x . A) 1 pont B) 1 pont András 140 000 forintos fizetését megemelték 12%-kal. Mennyi lett András fizetése az emelés után? András fizetése az emelés után 2 pont Ft lett. 6. Határozza meg a radiánban megadott α = α= írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 π 4 ° szög nagyságát fokban! 2 pont 4/8 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika középszint 7. Adja meg az ( x + 2) 2 + y 2 = 9 egyenletű kör K középpontjának koordinátáit és sugarának hosszát! A kör középpontja: K ( ; A kör sugara: 8.

) 2 pont 1 pont A testtömegindex kiszámítása során a vizsgált személy kilogrammban megadott tömegét osztják a méterben mért testmagasságának négyzetével. Számítsa ki Károly testtömegindexét, ha magassága 185 cm, tömege pedig 87 kg! Károly testtömegindexe: (kg/m2) írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 5/8 3 pont 2012. május 8 Matematika középszint 9. Név: . osztály: Egy piros és egy sárga szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege pontosan 4 lesz? Válaszát indokolja! 2 pont A kérdéses valószínűség: 1 pont 10. Adja meg azokat az x valós számokat, melyekre teljesül: log 2 x 2 = 4 Válaszát indokolja! 1 pont A lehetséges x értékek: írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 6/8 2 pont 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika középszint 11. Egyszerűsítse a következő törtet: x 2 − 6x + 9 , ahol x ≠ 3 és x ≠ −3 . x2 − 9 A tört

egyszerűsített alakja: 3 pont 12. Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük. Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától? π⎞ 1 ⎛ A) x a sin( 2 x) B) x a sin x C) x a cos⎜ x − ⎟ 2⎠ 2 ⎝ A helyes válasz betűjele: írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 7/8 2 pont 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika középszint I. rész maximális elért pontszám pontszám 1. feladat 2 2. feladat 3 3. feladat 2 4. feladat 2 5. feladat 2 6. feladat 2 7. feladat 3 8. feladat 3 9. feladat 3 10. feladat 3 11. feladat 3 12. feladat 2 ÖSSZESEN 30 dátum javító tanár elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész javító tanár jegyző dátum dátum

Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész üresen marad! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! írásbeli vizsga, I. összetevő 1212 8/8 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 1212 II. összetevő Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 Név: . osztály: 2 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje

tetszőleges 3. A B részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 18. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a

tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. 8. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges megfogalmazásban is közölje! 9. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 3 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: A 13. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 5 x +1 + 5 x + 2 = 30 b) 3 2 − = 1 , ahol x ≠ 0 és x ≠ –2 x x+2 írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 4 / 16 a) 5 pont b) 7

pont Ö.: 12 pont 2012. május 8 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 Név: . osztály: 5 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: 14. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 14 cm, AC = 12 cm, a BCA szög nagysága pedig 40°. a) Számítsa ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! b) Számítsa ki az AB oldal hosszát! Válaszait cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja pedig legyen D. c) Határozza meg az AEDC négyszög területét! Válaszát cm2-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 6 / 16 a) 2 pont b) 3 pont c) 7 pont Ö.: 12 pont 2012. május 8 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 Név: . osztály: 7 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: 15. Az újkori olimpiai játékok megrendezésére 1896 óta kerül sor, ebben

az évben tartották az első (nyári) olimpiát Athénban. Azóta minden negyedik évben tartanak nyári olimpiát, és ezeket sorszámmal látják el Három nyári olimpiát (az első és a második világháború miatt) nem tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot a) Melyik évben tartották a 20. nyári olimpiai játékokat? b) Számítsa ki, hogy a 2008-ban Pekingben tartott nyári olimpiának mi volt a sorszáma! A nyári olimpiák szervezőinek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel. Rendelkezésünkre állnak a következő adatok (millió dollárban számolva): Olimpia sorszáma Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből 20. 22. 75 192 Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek – a 20. olimpiától kezdve – az egymás utáni nyári olimpiákon egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják. Marci szerint ugyanezek a számok

egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapján mindketten kiszámolják, hogy mennyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 27. nyári olimpián Ezután megkeresik a tényleges adatot, amely egy internetes honlap szerint 1383 (millió dollár) c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékben a 27. nyári olimpia tényleges adatától! írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 8 / 16 a) 2 pont b) 2 pont c) 8 pont Ö.: 12 pont 2012. május 8 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 Név: . osztály: 9 / 16 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika középszint B A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 16. Tekintsük a következő halmazokat: A = {a 100-nál nem nagyobb pozitív egész számok}; B = {a 300-nál nem nagyobb 3-mal

osztható pozitív egész számok}; C = {a 400-nál nem nagyobb 4-gyel osztható pozitív egész számok}. a) Töltse ki a táblázatot a minta alapján, majd a táblázat alapján írja be az 52, 78, 124, 216 számokat a halmazábra megfelelő tartományába! 114 52 78 124 216 A halmaz nem eleme B halmaz eleme C halmaz nem eleme b) Határozza meg az A ∩ B ∩ C halmaz elemszámát! c) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az A halmazból egy elemet véletlenszerűen kiválasztva a kiválasztott szám nem eleme sem a B, sem a C halmaznak! írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 10 / 16 a) 8 pont b) 3 pont c) 6 pont Ö.: 17 pont 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 11 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres

négyzetbe! 17. Az alábbi táblázat András és Bea érettségi érdemjegyeit mutatja Magyar nyelv és irodalom Matematika Történelem Angol nyelv Földrajz a) András 3 4 4 3 5 Bea 4 5 4 5 5 Cili Számítsa ki András jegyeinek átlagát és szórását! Cili érettségi eredményéről azt tudjuk, hogy jegyeinek átlaga András és Bea jegyeinek átlaga közé esik, továbbá Cili jegyeinek a szórása 0. b) Töltse ki a táblázatot Cili jegyeivel! Dávid is ebből az 5 tárgyból érettségizett, az 5 tárgy az ő bizonyítványában is a fenti sorrendben szerepel. Eredményeiről azt tudjuk, hogy jegyeinek mediánja 4, átlaga pedig 4,4 lett. c) Határozza meg Dávid osztályzatait és azt, hogy hányféleképpen lehetne ezekkel az osztályzatokkal kitölteni az érettségi bizonyítványát! Az ábra a 24 fős osztály érettségi eredményeinek megoszlását mutatja matematikából. Tudjuk, hogy jeles osztályzatot 4 tanuló ért el d) Az osztály tanulói közül

hányan érettségiztek közepes eredménnyel matematikából? írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 12 / 16 a) 3 pont b) 3 pont c) 7 pont d) 4 pont Ö.: 17 pont 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 13 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 18. a) Számítsa ki annak a szabályos négyoldalú gúlának a térfogatát, melynek minden éle 10 cm hosszú! Térgeometriai feladatok megoldásában segíthet egy olyan készlet, melynek elemeiből (kilyuggatott kisméretű gömbökből és különböző hosszúságú műanyag pálcikákból) matematikai és kémiai modellek építhetők. Az ábrán egy kocka modellje látható. b) Számítsa ki az ABH szög nagyságát! (A test csúcsait tekintse pontoknak, az éleket

pedig szakaszoknak!) Anna egy molekulát modellezett a készlet segítségével, ehhez 7 gömböt és néhány pálcikát használt fel. Minden pálcika két gömböt kötött össze, és bármely két gömböt legfeljebb egy pálcika kötött össze. A modell elkészítése után feljegyezte, hogy hány pálcikát szúrt bele az egyes gömbökbe. A feljegyzett adatok: 6, 5, 3, 2, 2, 1, 1 c) Mutassa meg, hogy Anna hibát követett el az adatok felírásában! Anna is rájött, hogy hibázott. A helyes adatok: 6, 5, 3, 3, 2, 2, 1 d) Hány pálcikát használt fel Anna a modell elkészítéséhez? írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 14 / 16 a) 6 pont b) 4 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 17 pont 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 15 / 16 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika középszint a feladat sorszáma maximális pontszám 13. 12 14. 12 15. 12 II. A rész elért pontszám

összesen 17 II. B rész 17 ← nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális pontszám I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész pontszáma 100 dátum elért pontszám javító tanár elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész II. rész javító tanár jegyző dátum dátum írásbeli vizsga, II. összetevő 1212 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 1212 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat,

hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az

útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott

többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem

kell értékelni. írásbeli vizsga 1212 2 / 12 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. S 6 = −63 Összesen: Ha a vizsgázó jól felírja a sorozat elemeit vagy a mértani sorozat összeg2 pont képletébe jól helyettesíti be az adatokat, de rosszul számol, akkor 1 pontot kap. 2 pont 2. első megoldás Az f egyenes egy normálvektora a (2; − 1) vektor, ez a vektor az e egyenesnek is egy normálvektora. 2 x − y = 2 ⋅ 3 + (− 1) ⋅ (−2) Az e egyenes egyenlete: 2 x − y = 8 . Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. Ez a pont jár az egyenes egyenletének bármely 1 pont alakjába való jó behelyettesítés esetén. 1 pont 3 pont 2. második megoldás Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont 1 pont 3 pont Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont Összesen: 1

pont 1 pont 2 pont András fizetése az emelés után 156 800 Ft lett. Összesen: 2 pont 2 pont Az f egyenes meredeksége 2, így az e egyenes meredeksége is 2. − 2 = 2 ⋅ 3 + b egyenletből b = −8 . Az e egyenes egyenlete: y = 2 x − 8 . 3. A minimum helye: –2. A minimum értéke: 4. 4. A) igaz B) igaz 5. írásbeli vizsga 1212 3 / 12 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 6. α = 45° Összesen: 2 pont 2 pont 7. A kör középpontja: K (−2; 0) , 2 pont sugara r = 3 . Ha csak az egyik koordináta jó, akkor 1 pont jár. Összesen: 1 pont 3 pont Összesen: Ha a vizsgázó a magasságot nem számolja át méterbe, akkor legfeljebb 3 pont 2 pontot kaphat. Más helyes kerekítés (pl. 25) is elfogadható 3 pont 8. Károly testtömegindexe ≈ 25,42 (kg/m2). 9. Két kockával 3-féleképpen lehet a dobott számok összege 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1). Két kockával összesen 6 2 = 36 -félét dobhatunk. 3 Így a

kérdéses valószínűség: (≈ 0,083) . 36 Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 10. A logaritmus definíciója alapján: x 2 = 16 , a lehetséges x értékek: 4, –4. 1 pont 1 pont 1 pont Összesen: 3 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó 2log2x = 4-et, majd ebből x = 4-et kap, akkor 1 pontot kaphat. 11. Összesen: Ha a vizsgázó a számlálót, illetve a nevezőt jól 3 pont alakítja szorzattá, akkor ezért 1-1 pontot kaphat. 3 pont Összesen: 2 pont 2 pont x−3 A tört egyszerűsített alakja: . x+3 12. A helyes válasz betűjele: A. írásbeli vizsga 1212 4 / 12 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) (A hatványozás azonosságainak felhasználásával) 5 ⋅ 5 x + 5 2 ⋅ 5 x = 30 . 30 ⋅ 5 x = 30 5x = 1 (Az 5 alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt) x = 0 . Ellenőrzés. Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 5 pont 13. b) Az egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozva:

3( x + 2) − 2 x = 1. x( x + 2) Az egyenlet mindkét oldalát x( x + 2) -vel szorozva: 3( x + 2) − 2 x = x( x + 2) . A zárójelek felbontása és összevonás után: x + 6 = x 2 + 2x . Nullára rendezve: x2 + x − 6 = 0 . A másodfokú egyenlet gyökei: x1 = −3 , x 2 = 2 . Ellenőrzés. Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó az első lépés1 pont ben az egyenlet mindkét oldalát x(x + 2)-vel megszorozza. 1 pont 1 pont 1 pont 2 pont 1 pont 7 pont 14. a) első megoldás Ez az 1 pont akkor is jár, 1 pont ha a vizsgázó ábra nélkül jól dolgozik. Az ATC derékszögű háromszögben ma = 12 ⋅ sin 40° ≈ ≈ 7,7 cm. Összesen: írásbeli vizsga 1212 5 / 12 1 pont 2 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) második megoldás Az ABC háromszög területe: 12 ⋅ 14 ⋅ sin 40° T= . 2 Ebből a BC oldalhoz tartozó ma magasság: 12 ⋅ 14 ⋅ sin 40° ma = ≈ 7,7 cm. 14 1 pont 1 pont Összesen: 2 pont

14. b) A háromszög kérdéses oldalára a koszinusztételt felírva: AB 2 = 14 2 + 12 2 − 2 ⋅ 14 ⋅ 12 ⋅ cos 40° AB ≈ 9,1 cm Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont 1 pont 3 pont 14. c) első megoldás Az AEDC négyszög trapéz, mert az ED szakasz az ABC háromszögben középvonal, így párhuzamos az AC oldallal. ED = 6 (cm) A trapéz magassága az ABC háromszög AC oldalhoz tartozó magasságának a fele. Az ABC háromszög területe: 12 ⋅ 14 ⋅ sin 40° T= (≈ 54 cm2). 2 Ebből az AC oldalhoz tartozó mb magasság: T ⋅2 mb = ≈ 9 (cm). 12 12 + 6 mb Az AEDC trapéz területe: T = ⋅ ≈ 2 2 ≈ 40,5 cm2. Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont mb = 14 ⋅ sin 40° ≈ 1 pont

≈ 9 (cm). 1 pont 1 pont 7 pont 14. c) második megoldás Az AEDC négyszög területét megkapjuk, ha az ABC háromszög területéből levonjuk a BDE háromszög területét. A BDE háromszög hasonló az ABC háromszöghöz. írásbeli vizsga 1212 6 / 12 Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 A hasonlóság aránya: , 2 így a BDE háromszög területe negyede az ABC há1 pont romszög területének. Mivel az ABC háromszög területe: T ≈ 54 (cm2), 1 pont 2 ezért a BDE háromszög területe ≈ 13,5 (cm ), 1 pont így az AEDC trapéz területe ≈ 40,5 cm2. 1 pont Összesen: 7 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó helyes kerekítésekkel a kérdéses trapéz területére 40,4 cm2-t kap eredményül, akkor a

megfelelő pontok járnak. Ha a vizsgázó az egész feladat megoldása során több helyen nem kerekít vagy rosszul kerekít, akkor emiatt összesen 1 pontot veszítsen. Ha a vizsgázó válaszait az egész feladat megoldása során több helyen mértékegység nélkül adja meg, akkor emiatt összesen 1 pontot veszítsen. 15. a) A nyári olimpiák évszámai egy olyan számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja 1896, különbsége pedig 4. a 20 = 1896 + 19 ⋅ 4 = 1972, vagyis 1972-ben tartották a 20. nyári olimpiát Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont 2 pont 15. b) 1896 + (n − 1) ⋅ 4 = 2008 Ez a 2 pont jár, ha a vizsgázó az olimpiák évszámának felsorolásával ad1 pont ja meg a jó választ. 2 pont 1 pont n = 29. nyári olimpiát tartották 2008-ban Összesen: 15. c) (A megadott két adatot egy számtani sorozat első, illetve harmadik tagjának tekintve:) 75 + 2d =

192 , amiből d = 58,5 . Így Eszter becslése a sorozat nyolcadik tagjára: 75 + 7d (= 484,5) ≈ 485 (millió dollár). (A megadott két adatot egy mértani sorozat első illetve harmadik tagjának tekintve:) 75q 2 = 192 , amiből ( q > 0 miatt) q = 1,6 . Így Marci becslése a sorozat nyolcadik tagjára: 75q 7 ≈ 2013 (millió dollár). 1383 − 485 = 898 és 2013 − 1383 = 630 , vagyis Marci becslése tér el kisebb mértékben a tényleges adattól. Összesen: írásbeli vizsga 1212 7 / 12 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 8 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) 52 78 124 216 A halmaz eleme eleme nem eleme nem eleme B halmaz nem eleme eleme nem eleme eleme C halmaz eleme nem eleme eleme eleme Minden jól kitöltött sor 1-1 pont Ha a vizsgázó a táblázat egy sorát hibásan töltötte ki, de az adott számot a feladat szövegének megfelelő tartományba írja, akkor ez a pont sem

jár. Minden jó helyre írt szám: Összesen: 1-1 pont 8 pont 16. b) A három halmaz közös részében azok a pozitív egész számok vannak, melyek 100-nál nem nagyobbak és 3-mal és 4-gyel is (tehát 12-vel) oszthatók. Ezek a számok: A ∩ B ∩ C = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96}. Összesen 8 darab ilyen szám van. Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. Ez a pont jár, ha a vizsgázó a 100 : 12 = 8,3& mű1 pont velet eredményére hivatkozik. 1 pont 3 pont 16. c) Az A halmaz elemeinek a száma: A = 100 . 1 pont Ezek közül hárommal osztható (vagyis B-nek is eleme) 33 darab. Néggyel osztható (vagyis C-nek is eleme) 25 darab. Tizenkettővel osztható (vagyis mindhárom halmaznak eleme) 8 darab. Így az A halmaz azon elemeinek a száma, melyek nem elemei sem a B, sem a C halmaznak: 100 − 33 − 25 + 8 = 50 . 50 A kérdéses valószínűség: P = = 0,5 . 100 Összesen: írásbeli

vizsga 1212 8 / 12 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) András jegyeinek átlaga 3,8, 1 pont Ez a 3 pont akkor is jár, 1 pont ha a vizsgázó számológéppel jól számol. ≈ 0,75 . 1 pont Összesen: 3 pont Megjegyzés: Ha számológéppel ún. „korrigált szórást” számol (≈ 0,84), akkor 2 pontot kap így jegyeinek szórása (3 − 3,8) 2 + . + (5 − 3,8) 2 ≈ 5 17. b) András jegyeinek átlaga 3,8, Bea jegyeinek átlaga 4,6. Mivel Cili jegyeinek szórása 0, ezért minden jegye azonos. Így Cilinek minden jegye 4-es. Összesen: 1 pont Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont 3 pont 17. c) Dávid jegyeinek összege 22, 1 pont jegyeit nagyság szerint sorba rendezve a középső 4-es. Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. A

jegyek között 1-es, 2-es és 3-as nem szerepelhet. Négy darab 4-ese nem lehet, mert akkor a jegyek összege nem lehet 22. Dávid jegyei: 4; 4; 4; 5; 5. ⎛5⎞ Ezekkel a jegyekkel érettségi bizonyítványát ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2⎠ = 10 -féleképpen lehet kitölteni. Összesen: 1 pont Ez a pont bármilyen helyes indoklás esetén jár. 1 pont Ez a 3 pont jár, ha a vizsgázó felsorolja az összes 1 pont lehetséges esetet. 7 pont 2 pont 17. d) 1 része ért el, a hozzá6 juk tartozó körcikk középponti szöge 60°. A közepes osztályzatot elérőkhöz tartozó középponti szög 360° − (60° + 45° + 150°) = 105° , Jeles osztályzatot az osztály 105° az ehhez tartozó diákok száma: ⋅ 24 , 360° vagyis közepes osztályzatot 7 diák szerzett. Összesen: írásbeli vizsga 1212 9 / 12 1 pont 1 pont Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó megállapítja, 1 pont hogy egy diákhoz 15°-os középponti szög tartozik. 1 pont 4 pont 2012. május 8 Matematika

középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A test alaplapja négyzet, melynek területe T = 100 (cm2). 1 pont Ez a 2 pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, hogy a vizsgázó gon1 pont* dolatmenete helyes volt. A gúla m magassága egy olyan derékszögű háromszög egyik befogója, melynek átfogója 10 (cm), másik befogója (az alaplap átlójának fele): 10 ⋅ 2 (= 50 ≈ 7,07 cm). 2 (Így a Pitagorasz-tétel értelmében:) m 2 = 100 − 50 = 50 , amiből ( m > 0 miatt) m = 50 (≈ 7,07 cm). A gúla térfogata V = Tm 100 ⋅ 50 = (≈ 236) cm3. 3 3 Összesen: 1 pont* 1 pont* 1 pont 1 pont 6 pont A *-gal jelölt 3 pontot az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. A gúla m magassága egy olyan derékszögű háromszög egyik befogója, melynek másik befogója 5 (cm), átfogója (egy 10 cm oldalú szabályos háromszög ma10

⋅ 3 (= 75 ≈ 8,66 cm). gassága): 2 (Így a Pitagorasz-tétel értelmében:) m 2 = 75 − 25 = 50 , írásbeli vizsga 1212 1 pont 1 pont 10 / 12 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) első megoldás Ez a pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, 1 pont hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt (Mivel a kocka BA éle merőleges az ADHE oldallapra, ezért) a HAB szög nagysága 90°. A kocka élének hosszát a-val jelölve AH = a ⋅ 2 , 1 pont így tgα = 2 , 1 pont amiből (0° < α < 90° miatt) α ≈ 54,74° . Összesen: Bármilyen helyes kere1 pont kítés (pl. 55º) esetén jár ez a pont. 4 pont 18. b) második megoldás A kocka élének hosszát a-val jelölve AH = a ⋅ 2 , BH = a ⋅ 3 . Az ABH háromszögben felírható koszinusztétel: 2a 2 = a 2 + 3a 2 − 2 ⋅ a ⋅ a ⋅ 3 ⋅ cos α , 1 amiből cos α = , 3 1 pont 1 pont 1 pont Bármilyen helyes kere1 pont kítés (pl. 55º) esetén

jár ez a pont. Összesen: 4 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó egy általa választott élhosszúságú kockából jól számolja ki a szöget, akkor teljes pontszámot kaphat. így (0° < α < 90° miatt) α ≈ 54,74° . írásbeli vizsga 1212 11 / 12 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. c) A gömböket jelölje a megadott fokszámok sorrendjében A, B, C, D, E, F és G. 1 pont Az A gömb mindegyik másik gömbbel össze van kötve. Mivel G elsőfokú gömb, ezért csak A-val van össze1 pont kötve. F is elsőfokú gömb, ezért F is csak A-val van össze1 pont kötve. Ezek szerint B csak A-val, C-vel, D-vel és E-vel lehet 1 pont összekötve, vagyis nem lehet ötödfokú. Összesen: 4 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó egy olyan 7 csúcsú gráfot rajzol, amely tükrözi a feladat megértését, de szövegesen nem indokolja az ellentmondást, akkor 2 pontot kaphat. 18. d) első megoldás Mindegyik felhasznált pálcika

két gömböt köt össze, így az egyes csúcsokból induló pálcikákat megszámolva minden felhasznált pálcikát kétszer számolunk meg. Így az összes (jól) feljegyzett szám összege éppen kétszerese a pálcikák számának. 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 2 +1 A pálcikák száma tehát: = 11 . 2 Összesen: 1 pont 1 pont Ez a 2 pont akkor is jár, ha a megoldásból kiderül, hogy a vizsgázó gondolatmenete helyes volt. 1 pont 3 pont 18. d) második megoldás A gömböket tekintsük egy gráf csúcsainak, a gömböEz a 2 pont akkor is jár, 1 pont ket összekötő pálcikákat pedig a gráf éleinek. ha a megoldásból kiderül, hogy a vizsgázó gonEbben a gráfban a csúcsok fokszámának összege az 1 pont dolatmenete helyes volt. élek számának kétszerese. 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 2 +1 A pálcikák száma tehát: = 11 . 1 pont 2 Összesen: 3 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó egy helyesen felrajzolt gráfból adja meg az élek (pálcikák) számát, akkor ez a 3 pont jár.

írásbeli vizsga 1212 12 / 12 2012. május 8