Matematika | Analízis » Pásztor Nikolett - Numerikus integrálás

http://www.doksihu Szakdolgozat Numerikus integrálás Írta: Pásztor Nikolett Matematika BSc - matematikai elemz® szakirány Témavezet®: Kurics Tamás, egyetemi tanársegéd Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 1.1 Motiváció . 2 1.2 A határozott integál . 2 1.3 Hogyan közelítünk? . 3 2. Interpolációs kvadratúraképletek 4 3. Newton-Cotes formulák 6 3.1 Egyszer¶ kvadratúraképletek . 6 3.11 A középpont szabály avagy érint®formula . 6 3.12 Trapézformula . 7 3.13 Simpson-formula 8 3.14 A kvadratúraképletek pontossága 3.15 Magasabbrend¶ Newton-Cotes formulák .

. 10 . 13 3.2 Összetett kvadratúraképletek . 15 3.3 Példák . 17 4. Gauss-féle kvadratúra 21 4.1 Gauss-Csebisev kvadratúra . 23 4.2 Gauss-Legendre kvadratúra 24 . 5. Összefoglalás 27 1 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés 1.1 Motiváció Az integrálszámítással többféle matematikai szinten is foglalkozunk. Ebben a dolgozatban a numerikus integrálási módszereket fogjuk tanulmányozni. Erre miért van szükségünk? Az alkalmazásokban gyakran találkozhatunk olyan feladattal, amikor egy-egy határozott integrált kell kiszámítani. Ezen számítások azonban nem mindig egyszer¶ek. Ugyanis nem minden integrál fejezhet® ki ismert függvény segítségével, nem áll rendelkezésünkre mindig szép képlet A másik eset pedig ha ugyan ismert a függvény a megoldáshoz,

de az túl bonyolult, hogy kiszámítsuk. Ilyen esetekben a megoldást a közelít® integrálási módszerek jelentik, amelyekkel a határozott integrálok értékét közelít®leg meg tudjuk határozni. A dolgozatban bemutatok néhány numerikus integrálási módszert, és azt is, hogy ezek a módszerek mennyire pontosak. De el®ször ismerkedjünk meg a határozott integrál fogalmával. 1.2 A határozott integál 1. Deníció Legyen adott egy f függvény, amely az [a, b] zárt intervallum minden pontjában értelmezett Ennek az f függvénynek az a-tól b-ig vett határozott integrálja az Z I := b f (x) dx = lim a n∞ 2 n X i=1 ∆xi f (xi ), http://www.doksihu az ún. Riemann-féle közelít® összegek határértéke, ahol a ∆xi az [a, b] intervallum i részintervallumának hossza, azaz: ∆xi = xi − xi−1 . Az f (xi ) pedig ennek az i részintervallumnak egy tetsz®leges pontjához tartozó függvényérték, ahol: xi ∈ [xi−1 , xi ] Az xi pontok pedig

az [a, b] intervallumnak egy n-t®l függ® felosztását képezik: a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Ha a felírt határérték létezik, akkor az f (x) függvény integrálható az [a, b] intervallum- ban. Ez a határozott integrál könnyen kiszámítható, ha ismert az vagyis: 0 F =f f primitív függvénye, ismert. Ekkor a Newton-Leibniz-féle formula alkalmazható: Z b f (x)dx = F (b) − F (a) = [F ]ba . a De mi van akkor ha nincs primitív függvénye az adott függvénynek? Ekkor ugyebár nem tudjuk alkalmazni a Newton-Leibniz-formulát, tehát más módszert kell keresnünk az integrál kiszámítására. Egy ilyen módszer a numerikus integrálás, amellyel közelít®leg ki tudjuk számolni az integrál értékét. A kérdés pedig az, hogy ezt hogyan tehetjük meg, vagyis azt hogy hogyan közelítünk? 1.3 Hogyan közelítünk? Jelöljük a határozott integrált a következ®képpen: Ekkor I(f ) I(f ) := Rb a f (x)dx. közelítését így

határozzuk meg: In (f ) = n X ci · f (xi ), ahol xi ∈ [a, b]. i=0 Itt a ci -ket súlyoknak nevezzük, az xi -ket pedig alappontoknak hívjuk. 2. Deníció Az In (f ) = In (f, c0 , x0 , , cn , xn )-et kvadratúraképletnek nevezzük Tehát a továbbiakban azt a módszert alkalmazzuk, hogy I(f )-et In (f )-fel közelítjük. Mivel ezek a módszerek csak közelít® pontosságot adnak, azt is meg kell vizsgálnunk, ha elég sokszor dierenciálható, akkor mennyi lehet legfeljebb az eltérés 3 f I(f ) és In (f ) között. http://www.doksihu 2. fejezet Interpolációs kvadratúraképletek A határozott integrál közelít® kiszámítása: Z b f (x)dx ≈ a ck · f (xk ), ahol a ck súlyok ismeretlen együtthatók. (2.1) k=0 A feladat tehát a Ötlet: n X ck együtthatók meghatározása. Helyettesítsük f -et az xi ∈ [a, b] alappontokra (i = 0, . , n) támaszkodó Lagrange- féle interpolációs polinommal, majd azt integráljuk.

Tehát: b Z Z f (x) dx ≈ b Ln,f (x) dx. a a Lagrange-féle interpolációs polinomok: (x0 , . , xn ) Adottak az és az a Ln,f (x) = (f0 , . , fn ) n X fk · lk (x), értékek. A Lagrange-féle interpolációs polinom ahol k=0 n Y x − xj lk (x) = . x − xj j=0 k j6=k Ezután integráljuk a Lagrange-féle interpolációs polinomot az Z b Ln,f (x) dx = a Z bX n a [a, b] intervallumon: n X Z bY n x − xj fk · lk (x) dx = fk · dx. a j=0 xk − xj k=0 k=0 j6=k Tehát a következ®t kaptuk a Lagrange-interpolációs polinom integráljára: n X Z bY n x − xj dx. fk · x − x k j a j=0 k=0 j6=k 4 (2.2) http://www.doksihu A (2.1) és a (22) alapján a következ®t kapjuk a b Z ck = a ck együtthatóra: Z bY n x − xj lk (x) dx = dx a j=0 xk − xj (2.3) j6=k 3. Deníció Azokat a (21) típusú numerikus integráló formulákat, amelyekre az együtthatókat a (23) alapján számoljuk, interpolációs integráló formulának nevezzük

Tehát ismerünk egy eljárást, amivel ki tudjuk számítani a határozott integrál közelít® értékét. Mivel az alappontok ismertek, ezekb®l ki tudjuk számítani a súlyokat a Lagrangeféle interpoláció segítségével Nézzük ennek a módszernek a hibáját! Ismerjük a Lagrange-interpoláció hibaképletét, ezért felírhatjuk az interpolációs kvadratúraképlet hibáját. A Lagrange-interpoláció hibája a következ®, ha f ∈ C n+1 [a, b]: f (x) − Ln,f (x) = f (n+1) (ξ(x)) · ωn+1 (x). (n + 1)! Ezt a hibaképletet most integráljuk: Z b b Z f (x)dx − a Z Ln,f (x)dx = a a b f (n+1) (ξ(x)) · ωn+1 (x) dx. (n + 1)! Ebb®l a hibára a következ®t kapjuk: Mn+1 | en (x) | ≤ · (n + 1)! Z b | ωn+1 (x) | dx, a ahol Mn+1 := max | f (n+1) | . [a,b] 1. Következmény Az interpolációs kvadratúraképletek, ha n + 1 pontra támaszkodnak, akkor az n-edfokú polinomokra pontosak. 4. Deníció Ekvidisztáns felosztás esetén, azaz ha xk −

xk−1 = h állandó, ezeket a formulákat Newton-Cotes típusú kvadratúráknak nevezzük. 5 http://www.doksihu 3. fejezet Newton-Cotes formulák Newton-Cotes típusú formulák azok, amelyekben a felosztás ekvidisztáns, azaz: xk = x0 + k · h, ahol h= b−a és n k = 0, 1, . , n 5. Deníció A Newton-Cotes kvadratúraformulát zártnak nevezzük, ha a és b is osztópont, azaz a = x0 , b = xn és ekkor xk = a + k · h, (k = 0, , n) ,és nyíltnak hívjuk, ha az a és b nem alappontok, xk = a + (k + 1) · h, (k = 0, . , n) és h = b−a . n 3.1 3.11 Egyszer¶ kvadratúraképletek A középpont szabály avagy érint®formula Ez a formula nyílt formula, tehát lum középpontja: x0 = a és b nem osztópont, és egy osztópont lesz, az interval- a+b . 2 Ahogy az el®z® fejezetben tárgyaltuk, Lagrange-interpolációs polinommal közelítsünk (ez egy egytényez®s összeg, mivel egy osztópont van): Z b Z b f (x) ≈ f (x0 ) · a |a Z c0 = l0 (x) dx

{z } (3.1) c0 b 1 dx = [x]ba = b − a a Ez azért igaz, mert a (3.1)-es képletben az l0 (x) 0-tényez®s szorzat (mivel csak egy osz- tópont van) és ennek értéke 1, aminek integrálját a NewtonLeibniz-formulával könnyen 6 http://www.doksihu 3.1 ábra Érint®formula kiszámolhatunk, és így kijön a c0 értéke. Így már mindent ismerünk, tehát felírhatjuk az érint®formulát:  E(f ) := f 3.12 a+b 2  · (b − a) Trapézformula Ez a formula zárt formula, és két alappontja van, ami a zártság miatt az intervallum két széle: a és b. Mint azt tudjuk a határozott integrál egy adott intervallumon egy adott függvény görbe alatti területét számolja ki. f (x) Ezt a formulát azért nevezzük trapézformulának, mert az integrálját egy trapéz területével közelítjük. 3.2 ábra Trapézformula 7 http://www.doksihu Feladat: Fektessünk az (a, f (a)) és a (b, f (b)) pontokra Lagrange-interpolációs poli- nomot: b Z

f (x) ≈ a 1 X b Z ci · f (xi ), ahol Z l0 (x)dx c0 = és Ezután kiszámoljuk ezeket a c0 , c1 l1 (x)dx. c1 = a a i=0 b súlyokat, ahol l0 (x)-r®l és l1 (x)-r®l a következ®t tudjuk: l0 (x) = x − x2 x−b = , x1 − x2 a−b x − x1 x−a = . x2 − x1 b−a és c1 -t. l1 (x) = Ezután már ki tudjuk számolni Z b c0 = a Z  2 b  2  x−b 1 1 a2 x b 2 l0 (x)dx = dx = · − bx = · −b − + ab = a−b 2 a−b 2 2 a a−b a − 12 · (a − b)2 1 1 = − · (a − b) = · (b − a) = (a − b) 2 2 Z b a = b  2 b  2  x−a 1 1 x b a2 2 dx = · − ax = · − ab − +a = b−a 2 b−a 2 2 a b−a a 1 · (b − a)2 1 2 = · (b − a) (b − a) 2 Z l1 (x)dx = c1 = c0 -et b A trapézformula a következ® lesz: T (f ) = 3.13 b−a · (f (a) + f (b)) 2 Simpson-formula Ez a formula zárt formula és 3 alappontja van. A zártság miatt az intervallum két széle is alappont lesz. Az alappontok tehát a következ®k lesznek: x0 = a , x1

= a+b 2 x2 = b. és A formulát a következ® alakban keressük:  S(f ) = c0 · f (a) + c1 · f 8 a+b 2  + c2 · f (b). http://www.doksihu 3.3 ábra Simpson-formula A c0 , c1 és c2 súlyokat pedig úgy számoljuk ki mint az el®z® fejezetben, a 3 alappontra Lagrange-interpolációs polinomot fektetünk, és így a súlyok a következ®k lesznek: Z c0 = b Z l0 (x)dx , c1 = a Mivel ismerjük a következ®ket: Z b c0 = a b Z l1 (x)dx a l0 (x), l1 (x) és c2 = b l2 (x)dx. a és l2 (x), ezért ki tudjuk számolni a súlyokat:
Z b (x − b) x − a+b 1 2 dx = · (2x2 − 3bx − ax + ab + b2 )dx = l0 (x)dx = a+b 2 (a − b) (a − b)(a − ) a a 2  3 b 1 2x 3bx2 ax2 2 = · − − + abx + b x (a − b)2 3 2 2 a Z b Tehát kiszámoljuk a határozott integrált Newton-Leibniz formulával és egyszer¶sítés után a következ®t kapjuk: c0 = A c1 1 b3 − 3ab2 + 3a2 b − a3 −(a − b)3 b−a · = = 2 2 (a − b) 6 6(a − b) 6 c2 súlyokat

ugyanígy számoljuk ki, és a következ® eredményeket kapjuk: Z b Z b (x − b)(x − a) 1 4(b − a) c1 = · (x2 − bx − ax + ab)dx = dx = a+b a+b 2 (b − a) 6 a ( 2 − a)( 2 − b) a és Z c2 = a b (x − a)(x − a+b ) 1 2 dx = · a+b (b − a)2 (b − a)(b − 2 ) Z 9 a b (2x2 − 3ax − bx + ab + a2 )dx = b−a 6 http://www.doksihu Most hogy már mindent ismerünk, felírhatjuk a Simpson-formulát:   4(b − a) a+b b−a b−a · f (a) + ·f + · f (b) = S(f ) = 6 6 2 6     b−a a+b = · f (a) + 4 · f + f (b) 6 2 Megjegyzés: A Simpson-formulát el®állíthatjuk a trapézformula és az érint®formula kombinálásával a következ®képpen: 3.14 2 · érint®formula és 13 · trapéz-szabály: 3 2 S(f ) = · (b − a) · f 3  4 = · (b − a) · f 6  a+b 2  a+b 2  + 1 b−a · · (f (a) + f (b)) = 3 2 + b−a · (f (a) + f (b)). 6 A kvadratúraképletek pontossága Mivel közelít® módszerekr®l beszélünk, érdemes

megvizsgálni, hogy ezekkel a formulákkal számolva milyen egyszer¶ függvények esetén kapjuk meg az integrál pontos értékét? A következ® állítások igazak az eddig felsorolt formulákra: • Csak konstans és lineáris függvény esetén pontos a középpont szabály és a trapézformula. • A Simpson-formula pedig pontos a legfeljebb harmadfokú polinomokra. Ezeket könnyen ellen®rizhetjük a következ® módon: a) Középpont szabály: Legyen Z a b f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 . Ekkor ennek az integrálja, I(f ) a következ® lesz: h i c1 2 c2 3 i b c1 c2 2 2 f (x)dx = c0 x + x + x = (b − a) · c0 + (b + a) + (b + ab + a ) . 2 3 2 3 a h A középponti szabály szerint pedig ennek az integrálja: E(f ) = (b − a) · a+b c0 + c1 + c2 2  a+b 2 2 ! . Tehát az eltérés a következ®képpen alakul: I(f ) − E(f ) = (b − a) · c2 2 c2 (b − a)3 (b − 2ab + a2 ) = 12 12 10 http://www.doksihu Itt mind a c2 -t®l c0 , mind a függ az

eltérés. c1 kiesik, tehát ez nem befolyásolja a különbséget. Csak a Ez alapján csak akkor polinom legfeljebb els®fokú. 0 az eltérés, ha c2 = 0, tehát ha a Ezzel ellen®riztük a középpont szabály pontosságát, ami tehát csak akkor pontos, ha a függvény konstans, vagy lineáris. b) Trapéz szabály: Hasonlóan számoljuk ki mint a középpont szabály esetében. Legyen f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 . Ekkor I(f ) ugyanaz mint az el®bb, tehát csak a trapéz szabályt kell felírnunk erre a függvényre: T (f ) = b−a · [c0 + c1 a + c2 a2 + c0 + c1 b + c2 b2 ] 2 Ekkor a különbség: I(f ) − T (f ) = (b − a) · Ez is csak akkor 0, ha a c2 = 0. c2 (b − a)3 c2 (−b2 + 2ab − a2 ) = − 6 6 Tehát a trapéz szabály akkor pontos, ha a függvény konstans, vagy lineáris. c) Simpson-formula: Erre a formulára az [1]-es könyvben található gondolatmenet szerint írjuk fel a formula pontosságának ellen®rzését. f -fel számolunk:    

b−a a+b S(f ) = · f (a) + 4 · f + f (b) = 6 2 b−a (6c0 + 3(a + b)c1 + c2 (a2 + (a + b)2 + c2 b2 )) = I(f ) = 6 Elöször nézzük meg mit kapunk akkor, ha az el®z® Ezzel tehát igazoltuk, hogy a Simpson-képlet pontos a másodfokú polinomokra. Ezután vegyünk egy speciális p3 (x) := (x−a)(x− a+b )(x−b) harmadfokú polinomot. 2 Ezzel számolva a Simpson-képlet a következ®: b−a S(p3 ) = (f (a) + f 6  a+b 6  + f (b)) = 0 Tehát a Simpson-képlet alappontjaiban ez a harmadfokú polinom elt¶nik: 0. Ezután nézzük az S(f + αp3 )-at, a következ® tulajdonságokat: Az I ahol α tetsz®leges valós szám. Itt alkalmazzuk integrálok és az és homogén: 11 S(p3 ) = In kvadratúraképlet is additív http://www.doksihu - ha f = f1 + f2 f = αf1 , - és ha függvények, akkor ahol α In (f ) = In (f1 ) + In (f2 ), konstans, akkor In (f ) = αIn (f1 ). Tehát ezeket alkalmazva: S(f + αp3 ) = S(f ) + S(αp3 ) = S(f ). Ugyanakkor a

szimmetria miatt I(p3 ) = 0 is igaz, vagyis I(f + αp3 ) = I(f ) = S(f ). Bármely harmadfokú polinom felírható f + αp3 alakban, ahol f egy tetsz®leges másodfokú polinom. Így beláttuk, hogy a Simpson-formula a legfeljebb harmadfokú polinomokra pontos. Mind a három formulára felírhatjuk a hibaképletét (ld. [3]) 1. Tétel Legyen f : [a, b] R kétszer folytonosan dierenciálható Ekkor az érint®formula hibaképlete a következ®: b Z f (x) dx − E(f ) = a (b − a)3 00 · f (ξ), 24 ahol ξ ∈ [a, b]. 2. Tétel Legyen f : [a, b] R kétszer folytonosan dierenciálható Ekkor a trapézformula hibaképlete a következ®: b Z f (x) dx − T (f ) = − a (b − a)3 00 · f (ξ), 12 ahol ξ ∈ [a, b]. 3. Tétel Legyen f : [a, b] R négyszer folytonosan dierenciálható Ekkor a Simpsonformula hibaképlete a következ®: Z b f (x) dx − S(f ) = − a (b − a)5 (4) · f (ξ), 2880 12 ahol ξ ∈ [a, b]. http://www.doksihu 3.15 Magasabbrend¶

Newton-Cotes formulák Ebben a fejezetben felsoroljuk a további Newton-Cotes típusú formulákat. Írjuk fel a nyílt és zárt típusú formulákat. Legyenek az a = x1 < x2 < . < xn−1 < xn = b hozzájuk tartozó függvényértékek. Valamint legyen • az alappontok, az h := f1 , f2 , ., fn a b−a . n−1 Nyílt Newton-Cotes formulák: Mivel nyílt formula, ezért az intervallum két széle nem lesz osztópont. Írjuk fel ezeket a formulákat a hibataggal együtt: - 1 alappont: ez volt az érint®formula: E(f ) = (b − a) · f a+b 2
+ (b−a)3 24 · f 00 (ξ). - 2 alappont: Z a b 1 3 f (x) dx = h · (f1 + f2 ) + h3 · f 00 (ξ). 2 4 - 3 alappont: Z b a 28 4 f (x) dx = h · (2f1 − f2 + 2f3 ) + h5 · f (4) (ξ). 3 90 - 4 alappont: Z b f (x) dx = a 5 95 5 (4) h · (11f1 + f2 + f3 + 11f4 ) + h · f (ξ). 24 144 - 5 alappont: b Z f (x) dx = a 6 41 7 (6) h · (11f1 − 14f2 + 26f3 − 14f4 + 11f5 ) − h · f (ξ). 20 140 - 6

alappont: b Z 7 h · (611f1 − 453f2 + 562f3 + 562f4 − 453f5 + 611f6 ) − 1440 5257 7 (6) − h · f (ξ). 8640 f (x) dx = a - 7 alappont: Z b 8 h · (460f1 − 954f2 + 2196f3 − 2459f4 + 2196f5 − 954f6 + 945 3956 9 (8) + 460f7 ) − h · f (ξ). 14175 f (x) dx = a 13 http://www.doksihu • Zárt Newton-Cotes formulák: Mivel zárt formula, ezért az intervallum két széle is alappont lesz. Írjuk fel ezeket a formulákat is, úgy mint a nyílt formulákat: - 2 alappont: ez a trapézszabály: T (f ) = h 2 · (f (a) + f (b)) − (b−a)3 12 · f 00 (ξ). - 3 alappont: ez a Simpson-szabály:     h a+b (b − a)5 (4) S(f ) = · f (a) + 4f + f (b) − ·f . 6 2 2880 - 4 alappont: ezt úgy hívjuk, hogy Simpson Z a b 3 szabály: 8 3 3 f (x) dx = h · (f1 + 3f2 + 3f3 + f4 ) − h5 · f (4) (ξ). 8 80 - 5 alappont: ezt úgy hívjuk, hogy Boole-szabály: b Z f (x) dx = a 2 8 7 (6) h · (7f1 + 32f2 + 12f3 + 32f4 + 7f5 ) − h · f (ξ). 45 945 - 6

alappont: b Z 5 h · (19f1 + 75f2 + 50f3 + 50f4 + 75f5 + 19f6 ) − 288 275 7 (6) − h · f (ξ). 12096 f (x) dx = a - 7 alappont: b Z 1 h · (41f1 + 216f2 + 27f3 + 272f4 + 27f5 + 216f6 + 140 9 9 (8) h · f (ξ). + 41f7 ) − 1400 f (x) dx = a - 8 alappont: Z b 7 h · (751f1 + 3577f2 + 1323f3 + 2989f4 + 2989f5 + 17280 8183 9 (8) + 1323f6 + 3577f7 + 751f8 ) − h · f (ξ). 518400 f (x) dx = a 14 http://www.doksihu 3.2 Összetett kvadratúraképletek Az eddig látott alacsonyabbrend¶ formulák pontosságát úgy lehet javítani, hogy nem az [a, b] intervallumra, hanem ennek az intervallumnak a részintervallumaira alkalmazzuk az egyszer¶ formulákat. Feltehetjük azt a kérdést, hogy miért nem használjuk a magasabbrend¶ Newton-Cotes formulákat, amelyek sok osztópontra vannak felírva? Ezzel több probléma is van. Az egyik ilyen probléma az, hogy a magasfokú polinommal való interpoláció oszcillál az intervallum szélén. Ezért jobb, ha

szakaszonkénti polinomiális interpolációval dolgozunk Osszuk fel az h := [a, b] intervallumot m egyenl® részre, az intervallumok hossza pedig legyen b−a . Az alappontok a következ®ek: m a = x0 < x1 < . < xm−1 < xm = b Ezután minden részintervallumra alkalmazzuk az el®z® fejezetben levezetett egyszer¶ formulákat, és így megkapjuk az összetett formulákat. a) Összetett érint®formula: Az érint®formulát alkalmazzuk az összes részintervallumra. Az érint®formulát ismerjük az [a, b] intervallumra, amikor egy osztópont van, az intervallum felez®pontja: E(f ) = f ( a+b ) · (b − a). 2 Most ezt írjuk fel minden intervallumra, jelöljük ezt az Em (f )-vel:       x0 + x1 x1 + x 2 xm−1 + xm Em (f ) = h · f +h·f + . + h · f = 2 2 2   m X xi−1 + xi = h· f 2 i=1 összetett formulát b) Összetett trapézformula: A trapézszabályt írjuk fel az összes részintervallumra. Már láttuk az [a, b] tervallumra felírva,

amikor a két osztópont az intervallum két széle volt, T (f ) = b−a 2 · (f (a) + f (b)). ezt az összetett formulát a in- és b: Most ezt írjuk fel minden részintervallumra, és jelöljük Tm (f )-vel: h h h · [f (x0 ) + f (x1 )] + · [f (x1 ) + f (x2 )] + . + · [f (xm−1 ) + f (xm )] = 2 2 2 ! m−1 X h = · f (x0 ) + 2 · f (xi ) + f (xm ) 2 i=1 Tm (f ) = c) Összetett Simpson-formula: Az egyszer¶ Simpson-formulát 3 alappontra írtuk fel, amik: 15 a, b és a+b . A formula 2 http://www.doksihu pedig a következ® volt: S(f ) = b−a 6
· f (a) + 4 · f ( a+b ) + f (b) . 2 Most ezt a formulát kell felírni minden egyes részintervallumra. Az intervallumot m részre kell felosztani, de ebben az esetben feltesszük azt hogy m páros, mivel itt a Simpson-formulát nem egy részintervallumra írjuk fel, hanem kett®re. Tehát az intervallumokat kettessével vesszük és így írjuk fel a formulát. Így nem hanem 2h. h lesz az adott

intervallumunk hossza, Tehát az összetett formula a következ® lesz, amit Sm (f )-vel jelölünk: 2h 2h · (f (x0 ) + 4 · f (x1 ) + f (x2 )) + · (f (x2 ) + 4 · f (x3 ) + f (x4 )) + . = 6 6 ! X X h = · f (x0 ) + f (xm ) + 4 · f (xi ) + 2 · f (xi ) . 3 i páros i páratlan Sm (f ) = Ugyanúgy mint az egyszer¶ formuláknál, itt is felírhatjuk a hibaképleteket. Hibaképletek: • Összett érint®formula hibaképlete: b Z f (x) dx − Em (f ) = a • (b − a)3 00 · f (ξ), 24m2 ξ ∈ [a, b]. Összett trapézformula hibaképlete: b Z f (x) dx − Tm (f ) = − a • ahol (b − a)3 00 · f (ξ), 12m2 ahol ξ ∈ [a, b]. Összett Simpson-formula hibaképlete: Z b f (x) dx − Sm (f ) = − a (b − a)5 (4) · f (ξ), 180m4 16 ahol ξ ∈ [a, b]. http://www.doksihu 3.3 Példák Ebben az alfejezetben oldjunk meg néhány példát az eddig levezett formulák segítségével. 1. Számoljuk ki a következ® integrált: Z 1 I := −1 1 dx 2+x

trapézszabály, Simpson-szabály, Boole-szabály és összetett Simpson-formula segítségével. 3.4 ábra 1 példa Megoldás: a) Trapézszabály: x0 = −1 Az alappontok: és x1 = 1. Az ezekhez tartozó fügyvényértékek: 1 . 3 f (x0 ) = 1 és f (x1 ) = Z 1 1 b−a 2 1 4 dx ≈ · (f (x0 ) + f (x1 )) = · (1 + ) = ≈ 1, 3333. 2 2 3 3 −1 2 + x b) Simpson-szabály: Alappontok: és f (x2 ) = x0 = −1, x1 = 0 és x2 = 1. Fügvényértékek: f (x0 ) = 1, f (x1 ) = 1 . 3 Z 1 −1 1 b−a dx ≈ · (f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )) = 2+x 6 2 4 1 20 = · (1 + + ) = ≈ 1, 1111. 6 2 3 18 17 1 2 http://www.doksihu c) Boole-szabály: Alappontok: x0 = −1, x1 = − 12 , x2 = 0, x3 = 2 , 3 1 , 2 1 és 2 x4 = 1. 2 és 5 Fügvényértékek: 1 . Valamint a 3 f (x0 ) = 1, f (x1 ) = f (x0 ) = f (x3 ) = f (x4 ) = h = 21 . Z 1 1 2h dx ≈ · (7f (x0 ) + 32f (x1 ) + 12f (x2 ) + 32f (x3 ) + 7f (x4 )) = 45 −1 2 + x   2 · 12 2 1 2 1 · 7 + 32 · + 12 · + 32 · + 7 ·

= = 45 3 2 5 3   1 71 64 742 = · 13 + + = ≈ 1, 09925. 45 3 5 675 d) Összetett Simpson-szabály: Ebben a feladatban osszuk fel a h= [−1, 1] intervallumot 6 egyenl® részre és így 1 . 3 Így az alappontok a következ®ek lesznek: x4 = 1 , 3 x5 = 2 és 3 x6 = 1. A függvényértékek: 3 és 8 f (x5 ) = Z 1 x0 = −1, x1 = − 23 , x2 = − 13 , x3 = 0, f (x0 ) = 1, f (x1 ) = f (x6 ) = 3 , 4 f (x2 ) = 3 , 5 f (x3 ) = 1 , 2 f (x4 ) = 3 , 7 1 . 3 h 1 dx ≈ · (f0 + f6 + 4 · (f1 + f3 + f5 ) + 2 · (f2 + f4 )) = 2+x 3     1  1 3 1 3 3 3 3 = · 1+ +4· + + + +2· = 3 3 4 2 8 5 7   1 4 13 72 = · + + = 9 3 2 35 1 280 + 1365 + 432 2077 = · = ≈ 1, 09894. 9 210 1890 −1 Kiszámoltuk a közelít® értékeket, most nézzük meg mi az integrál pontos értéke: Z 1 I := −1 1 dx = [ln(2 + x)]1−1 = ln(3) − ln(1) = ln(3) ≈ 1, 09861. 2+x Láthatjuk, hogy ehhez az értékhez az összetett Simpson-formulával kiszámított érték van a

legközelebb. Ezután a Boole-szabállyal számított érték következik. Tehát észrevehetjük, hogy sok alappont esetén kapunk jobb megoldást. 2. Számoljuk ki Simpson 3 szabállyal, valamint összetett Simpson-szabállyal a következ® 8 integrált: 3 Z √ I := 0 18 2x dx. 1+x http://www.doksihu 3.5 ábra 2 példa Megoldás: a) Simpson 3 szabály: 8 Ez a szabály x2 = 2 4 alappontra van és és x3 = 3 . Z 3 h = 1. Az alappontok tehát: A függvényértékek pedig: f0 = 0 ,f1 = √ x0 = 0, x1 = 1, 2, f2 = √ 4· 3 és 3 f3 = 3. 0 √ 3 2x dx ≈ · h · (f0 + 3f1 + 3f2 + f3 ) = 8 1+x √ 3 4 √ = · (0 + 3 · 2 + 3 · · 3 + 3) ≈ 5, 3140 8 3 b) Összetett Simpson-szabály: Összetett szabály esetén el®bb állapítsuk meg, hány részintervallumra osszuk fel a így [0, 3] intervallumot. h= Osszuk fel most 6 egyenl® részre ezt az intervallumot, 1 . 2 Az alappontok: x0 = 0 , x1 = Függvényértékek: 1 , 2 x2 = 1 , x3 = f0 = 0;

f1 = 0, 8164; f2 = 19 3 , 2 √ x 4 = 2 , x5 = 5 és 2 x6 = 3 . 2 = 1, 4142; f3 = 1, 8973; http://www.doksihu f4 = √ 4· 3 3 3 Z 0 = 2, 6726; f5 = 2, 6726 és f6 = 3. 2x h √ dx ≈ · (f0 + f6 + 4 · (f1 + f3 + f5 ) + 2 · (f2 + f4 )) = 3 1+x 1 = · (3 + 4 · (0, 8164 + 1, 8973 + 2, 6726) + 6 + 2 · (1, 4142 + 2, 3094)) = 1 = · (3 + 21.5452 + 7, 4472) ≈ 5, 3320 6 Most, hogy kiszámoltuk, nézzük meg az integrál pontos értékét: 3 Z 0 3  2x 16 4 √ √ · 1 + x · (−2 + x) = ≈ 5, 3333. dx = 3 3 1+x 0 Láthatjuk, hogy az összetett szabállyal számított közelít® érték közelebb van a pontos értékhez, mint az egyszer¶ formulával számolt érték. f (x) = x2 3. Tekintsük az molni a [0, 1] függvényt. intervallumon ennek közelítését, akkor hány részintervallumra osszuk fel, hogy a hiba kisebb legyen mint Megoldás: Ha összetett érint®formulával akarjuk kiszá- 10−4 -en? Az összetett érint®formula hibája a

következ® volt: b Z f (x) dx − Em (f ) = a Ennek kell kisebbnek lennie, mint (b − a)3 00 · f (ξ), 24m2 10−4 . ahol ξ ∈ [a, b] Azaz (b − a)3 00 · f (ξ) < 10−4 . 24m2 Tudjuk, hogy f 00 (ξ) = (x2 )00 = 2. Ezért egyszer¶sítés után a következ®t kapjuk: 1 < 10−4 12m2 m ≥ 29. Tehát a [0, 1] legyen, mint intervallumot legalább 29 részre kell felosztani, hogy a hiba kisebb 10−4 . 20 http://www.doksihu 4. fejezet Gauss-féle kvadratúra Az eddig levezetett formulák csak összetett alakban és magas pontszám esetén adtak pontos eredményt, ekkor viszont már a kerekítési hibák észrevehet®vé válhatnak. Tehát a kérdés a következ®: hogyan lehetne az alappontok számának aránylag kis száma mellett a kvadratúra pontosságát növelni? A Gauss-kvadratúrák lényege az, hogy mi magunk válasszuk meg nem csak a súlyokat, hanem az alappontokat is, ahol a függvényt megszeretnénk közelíteni. A Gauss-kvadratúra pontos

értéket ad tok és ci 2n − 1 vagy ennél alacsonyabb fokú polinomok esetén az súlyok megfelel® megválasztása esetén (i = 1, ., n) xi alappon- Ez kétszer magasabb fok lesz, mint a Newton-Cotes formulák esetén. Azonban magasabb fok akkor jelent nagyobb pontosságot, amikor az integrálandó függvény sima és jól meg lehet közelíteni egy polinommal. Tehát a feladat a következ®: mi válasszuk meg az alappontokat is. Ahhoz, hogy megvalósítsuk ezt a fokú pontosságot, az alappontoknak és a súlyoknak a következ® feltételt kell kielégítenie: n X k=1 i Z ck · (xk ) = b xi dx, ahol i = 0, ., 2n − 1 a Ebben a fejezetben ezeket a Gauss-kvadratúrákat fogjuk egy kicsit jobban megvizsgálni. Haladjunk egy kicsit általánosabban Legyen Z b Q(f ) := w(x)f (x) dx, (4.1) a ahol w létezik egy súlyfüggvény. Feltesszük, hogy Rb a w(x) dx. w : (a, b) R Fontos esetek a következ®k: 21 folytonos és pozitív, valamint

http://www.doksihu a) w(x) = 1, b) w(x) = c) w(x) = √ amit Gauss-Legendre kvadratúrának hívunk. 1 − x2 . √ 1 , amit Gauss-Csebisev kvadratúrának hívunk. 1−x2 Ahol az integrálra feltesszük, hogy 6. Deníció Az Z [a, b] = [−1, 1]. b w(x)f (x) dx ≈ a n X ck f (xk ) (4.2) k=1 kvadratúra formulát n különböz® alapponttal Gauss-kvadratúra formulának nevezzük, ha az integrál minden p ∈ P2n−1 polinom esetén pontos, azaz ha n X Z b ck p(xk ) = w(x)p(x) dx a k=1 minden p ∈ P2n−1 -re. 4. Tétel (ld [5]) Az n alapponttal rendelkez® (x1 , , xn ) interpolációs tipusú kvadratúraformula minden legfeljebb (2n − 1)-edfokú polinomra pontos ⇐⇒ ha az alappontokkal alkotott q(x) := (x − x1 ) · · · (x − xn ) n-edfokú polinom ortogonális minden legfeljebb (n − 1) -edfokú polinomra a w(x) súlyfüggvényre nézve. Bizonyítás: ⇒ Tegyük fel, hogy a kvadratúraformula pontos minden legfeljebb (2n − 1)-edfokú

poli- nomra. Legyen R-re a R(x) w(x) legfeljebb (n − 1)-edfokú súlyfüggvényre nézve. Az polinom. Azt kell belátni, hogy f (x) = q(x) · R(x) egy q(x) ortogonális (2n − 1)-edfokú polinom. Tehát erre a (4.2) pontos, azaz: b Z b Z w(x)f (x) dx = a w(x)q(x)R(x) dx = a n X ck w(xk )R(xk ) = 0. k=1 ⇐ Tegyük fel, hogy Legyen f (x) q(x) legfeljebb ortogonális minden legfeljebb (2n − 1)-edfokú polinom. Ekkor (n − 1)-edfokú f f (x) = q(x)R(x) + r(x), 22 polinomra. a következ®képpen írható fel: http://www.doksihu ahol R(x) és r(x) legfeljebb (n−1)-edfokú polinom. Z b b Z Z w(x)q(x)R(x) dx + {z } w(x)f (x) dx = a a Így felírhatjuk ezt a következ®képpen: | b w(x)r(x) dx = a n X ck f (xk ). k=1 0 5. Tétel (ld. [3]) A Gauss-kvadratúra formula súlyai mind pozitívak. 6. Tétel (ld. [3]) Legyen f ∈ C 2n [a, b]. Ekkor a Gauss-kvadratúra hibája a következ®: Z a b n X f 2n (ξ) w(x)f (x) dx − ck

f (xk ) = (2n)! k=1 Z b w(x)[q(x)]2 dx, a ahol ξ ∈ [a, b]. 1. Lemma Létezik a polinomoknak egy qn sorozata, hogy qn = 1 és qn (x) = xn + rn−1 (x), n = 1, 2., ahol rn−1 ∈ Pn−1 és qn kielégíti az ortogonalitási feltételt: b Z w(x)qn (x)qm (x) dx = 0, n 6= m. a 4.1 Gauss-Csebisev kvadratúra Tekintsük azt a Gauss-kvadratúrát, ahol a súlyfüggvény a következ®: w(x) = √ A Csebisev-polinom a [−1, 1] 1 , 1 − x2 x ∈ [−1, 1]. intervallumon a Tn (x) := cos(n arccos x). Nyilvánvalóan T0 (x) = 1 és T1 (x) = x. A cos(n + 1)t + cos(n − 1)t = 2 cos(nt) képlet alapján levezethetjük a Tn+1 (x) + Tn−1 (x) = 2xTn (x), rekurzív formulát. Ezért létezik Tn ∈ P n , n = 1, 2, . hogy Tn (x) = 2n−1 xn + ., 23 n = 1, 2, . addíciós http://www.doksihu Helyettesítsük be az alábbiakba Z 1 −1 x = cos(t)-t: Z Tn (x)Tm (x) √ dx = 1 − x2 π cos(nt) cos(mt) dx = 0 qn = 21−n Tn . Ezért az 1. lemma alapján:

    π, n = m = 0, π , n = m > 0, 2    0, n 6= m. Tn = 0-nak A van megoldása, ezért a kvadratúra alappontjai a Csebisev-polinom gyökei lesznek, azaz  xk = cos  2k + 1 π , k = 0, ., n − 1 2n A súlyokat pedig könnyen kiszámolhatjuk a n−1 X Z 1 ck Tm (xk ) = −1 k=0 T (x) √m dx, 1 − x2 m = 0, ., n − 1 Tm (x)-et behelyettesítve kapjuk, hogy  (  n−1 X π, m = 0, (2k + 1)m π = ck cos 2n 0, m = 1, ., n − 1, k=0 pontosság feltételb®l. amelynek megoldása megadja a ck = súlyt. π , n k = 0, ., n − 1 Tehát minden megvan, hogy felírjuk a Gauss-Csebisev kvadratúrát esetén: Z 1 −1 4.2 n−1 f (x) π X √ dx ≈ · f n k=0 1 − x2 n = 1, 2.   2k + 1 cos π . 2n Gauss-Legendre kvadratúra Most nézzük azt az esetet, amikor a w(x) = 1, x ∈ [−1, 1] a súlyfüggvény. Az 1 dn 2 (x − 1)n 2n n! dxn tudjuk, hogy Ln ∈ Pn . Ln (x) := az n-edik Legendre-polinom. Amelyr®l integrálással az

Z 1 −1 xm dn 2 (x − 1)n dx = 0 dxn 24 Ha m < n, akkor parciális http://www.doksihu (x2 − 1)n értéke a végpontokban 0. Z 1 Ln (x)Lm (x)dx = 0, n 6= m. összefüggést kapjuk, mivel a Ezért érvényes hogy, −1 Nézzük meg az n=1 és n=2 eseteket. Az els® Gauss-Legendre kvadratúra alappontja az az x1 = 0. A súlyokat pedig megkapjuk 1 Z 1 dx = 2 c1 = −1 pontosság feltételb®l. Így az els® Gauss-Legendre kvadratúra az 1 Z f (x) dx = 2f (0) −1 lesz. Ez pedig a téglalapszabály a [−1, 1] intervallumra. A második Gauss-Legendre kvadratúrát a következ®képpen kapjuk meg: 1 Z 1 dx = 2 c1 + c2 = −1 Z 1 c1 x 1 + c2 x 2 = x dx = 0 −1 Ezt az egyenletrendszert megoldva jutunk az 1 x1 = − √ , 3 1 x2 = √ 3 és alappontokhoz, és az c1 = 1 és c2 = 1 súlyokhoz. Ezért felírhatjuk a második Gauss-Legendre formulát: Z 1  f (x) dx ≈ f −1 1 √ 3   +f −1 √ 3  . Ennek hibája: Z 1  f (x)

dx − f −1 ahol 1 √ 3   +f ξ ∈ [−1, 1]. 25 −1 √ 3  = 1 (4) f (ξ), 135 http://www.doksihu Azonban a Gauss-Legendre kvadratúra nemcsak a hanem tetsz®leges [a, b] [−1, 1] intervallumra alkalmazható, intervallumra is. Ekkor x= b−a a+b t+ . 2 2 Legyen  g(t) := f Ekkor Z a b b−a f (x) dx = 2 b−a a+b t+ 2 2 n 1  . b−aX g(t) dt ≈ ck f 2 k=1 −1 Z  a+b b−a t+ 2 2  . Így tehát ezzel a képlettel tetsz®leges intervallumon is alkalmazhatjuk a Gauss-Legendre kvadratúrát. 26 http://www.doksihu 5. fejezet Összefoglalás A dolgozatban a numerikus integrálás alapjaival próbáltam megismertetni az olvasókat. Azt, hogy ez miért is hasznos számunkra, és hogy milyen módszereket használhatunk az integrálok közelít® kiszámítására. Ezeknek a módszereknek egy részét írtam le, mutattam be ®ket. A bemutatást az interpolációs kvadratúrákkal kezdtem. esetén az (n − 1)-edfokú Ez a formula n alappont

polinomok osztályán pontos. Ezután a Newton-Cotes formulák következtek, ezek nyílt és zárt változatai. A cél az volt hogy csökkentsük a hibát Ezután ezt még jobban szerettük volna csökkenteni, ezért bemutattam az összetett formulákat, amik sok részintervallum esetén pontosabbak mint az egyszer¶ formulák. De még mindig nem elég hatékonyak ezek a formulák, ugyanis az egyszer¶ formulák magas alappontszám esetén adnak pontosabb eredményt, az összetett formulák pedig sok részintervallumnál. Erre mutattam néhány példát is. Tehát más módszereket kell keresni, és egy ilyen a Gauss-kvadratúra, aminek foka kétszer nagyobb lesz mint a Newton-Cotes formuláké, kis alalppontszám mellett. Én ezeket az egyszer¶ eseteket mutattam be részletesen. 27 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Stoyan Gisbert: Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex Kiadó, Budapest, 2007 [2] Peter Henrici: Numerikus analízis, M¶szaki

könyvkiadó, Budapest, 1985 [3] Rainer Kress: Numerical analysis, Springer, 1998 [4] Stoyan Gisbert, Takó Galina: Numerikus módszerek I., Typotex Kiadó, Budapest, 2005 [5] http : //www.infunidebhu/valseg/dolgozok/koko/f iles/numanal2pdf [6] http : //hu.wikipediaorg/wiki/Gauss − kvadrat%C3%BAra [7] http : //mathworld.wolf ramcom/N ewton − CotesF ormulashtml [8] Faragó István: Alkalmazott analízis I. el®adásjegyzet, ELTE, 2008 28