Matematika | Analízis » Kiss Eszter - Laplace transzformáció és alkalmazásai

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Laplace-transzformáció és alkalmazásai Szakdolgozat Kiss Eszter MATEMATIKA Bsc Témavezető Bátkai András, egyetemi docens Alkalmazott Analı́zis és Számı́tásmatematikai Tanszék Budapest 2011 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Laplace-transzformáció 3 2.1 Definı́ció és alkalmazása 3 2.2 Fontosabb alkalmazási szabályok 9 3. Deriválhatóság és integrálhatóság . 13 3.1 A generátor függvény deriválása 13 3.2 Laplace-transzformált deriválása 15 3.3 A generátor függvény primitı́v függvényének transzformáltja 17 3.4 Laplace transzformált integrálása 19 4. Inverz Laplace-transzformáció 21 5. Parciális törtekre bontás módszere 24 6. Egyenletek és egyenletrendszerek 26 6.1

Példák közönséges differenciálegyenletekre 27 6.2 Differenciálegyenletrendszerek 30 6.3 Integrálegyenletek 34 1 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés A dolgozat a Laplace-transzformációval és annak alkalmazásával foglalkozik. Pierre-Simon de Laplace, francia matematikus (1749-1827) nevéhez kapcsolódik ez a módszer. A transzformációval algebrailag egyszerűbb kifejezéseket kapunk Így például függvények konvolúciójából függvények szorzatát, a deriválásból számmal való szorzást képezhetünk. A dolgozatban először definiáljuk a transzformációt majd alkalmazzuk néhány függvényre. Ezek után a transzformáltra vonatkozó tulajdonságokat vesszük sorra. A következő fejezetben a Laplace-transzformált és a generátor függvény alakulását nézzük meg deriválásra és integrálra vonatkozóan. Ezek után a

transzformáció inverzét és a parciális törtekre bontás módszerét tárgyaljuk A dolgozat a transzformáció legfontosabb alkalmazásával, a közönséges differenciálegyenletek és egyenletrendszerek valamint az integrálegyenletek tárgyalásával zárul. 2 http://www.doksihu 2. fejezet Laplace-transzformáció 2.1 Definı́ció és alkalmazása Definı́ció: Az f : [0, ∞[ C, t f (t) függvény Laplace-transzformáltja az Z ∞ f (t) · e−st dt F (s) = 0 függvény, melynek értelmezési tartománya a ]0, ∞[ intervallum azon pontjaiból áll, ahol a fenti improprius integrál konvergens. Jelölés: L[f (t)] = F (s) Definı́ció alapján számı́tsuk ki néhány függvény Laplace-transzformáltját! Az értelmezési tartományt a továbbiakban nem jelöljuk külön. 1. Legyen f (t) = 1 Ekkor Z 0 Tehát L[1] = −st 1·e F (s) = 1 s ∞ e−st dt = −s  ∞ =0+ 0 1 1 = . s s és az

integrál linearitása miatt tetszőleges c ∈ R esetén L[c] = sc . 3 http://www.doksihu 2. Legyenf (t) = t Ekkor parciálisan integrálva: Z ∞ −st t·e F (s) = 0 1 , s2 Tehát L[t] = e−st dt = t· −s  ∞ Z − ∞ 0 0 e−st 1 dt = −s s Z ∞ 0 illetve bármely c ∈ R esetén L[c · t] = 1 1 1 e−st = · = 2 s s s c . s2 3. Legyen f (t) = tn , n ∈ N+ , n > 2 a) Először legyen n = 2. Ekkor parciálisan integrálunk majd felhasználjuk a 2 feladatban kapott eredményt, ı́gy Z ∞ e−st e−st ∞ ]0 − 2t · dt = t · e dt = [t · F (s) = −s −s 0 0 Z 2 ∞ 2 2 1 2 =0+ t · e−st dt = · L[t] = · 2 = 3 = L[t2 ]. s 0 s s s s ∞ Z 2 −st 3 −st 2 b) Ha n = 3, akkor: ∞ Z t ·e F (s) = 0 Z 3 =0+ s ∞ 0   Z ∞ −st ∞ e−st 3 e 3t2 dt = t · − dt = −s 0 −s 0 3 3·2 3! t2 · e−st dt = L[t2 ] = 4 = 4 = L[t3 ]. s s s c) Teljes indukcióval megkapható a L[tn ]: n Z ∞ n t ·e L[t ]

= 0 Z =0− 0 ∞ −st e−st dt = t · −s  n ∞ Z 0 n n · tn−1 · e−st dt = · −s s 4 ∞ − Z 0 0 ∞ n · tn−1 · e−st dt = −s tn−1 · e−st dt = http://www.doksihu =  n−1 e−st · −s ∞ ∞  e−st t (n − 1)t · dt − −s 0 0   Z ∞ n n − 1 n−2 −st n n−1 = tn−2 · e−st dt = 0− ·t · e dt = · · s −s s s 0 0    Z ∞ −st ∞ −st n n−1 n−2 e n−3 e = · t · (n − 2)t · dt = − s s −s 0 −s 0 Z ∞ Z n n−1 n − 2 n−3 st n n − 1 n − 2 ∞ n−3 −st = · t e dt = · · · = (0− ·t ·e dt) = · · · s s −s s s s 0 0 Z n n−1 n−2 4 ∞ 3 −st n n−1 n−2 4 = · · . t · e dt = · · · · · · · L[t3 ] = s s s s 0 s s s s n = s Z ∞ Z n−2 n n−1 n−2 4 3! n! · · · · · · · · 4 = n+1 = L[tn ]. s s s s s s • Exponenciális és trigonometrikus függvények: 1. Legyen f (t) = eat Ekkor Z ∞ at e ·e F (s) = −st Z dt = 0  e(a−s)t dt

= 0  (a−s)t ∞ e a−s ∞ =0− 0 1 1 = . a−s s−a Ez alapján: L[e−at ] = 1 . s+a 2. Legyen f (t) = cos(at) Ekkor, használva az Euler formulát (eiφ = cos φ + i sin φ) kapjuk, hogy 5 http://www.doksihu a cos(at) = eiat +e−iat , 2 ez alapján: ∞ ∞ eiat + e−iat −st F (s) = cos(at) · e dt = · e dt = 2 0 0 Z ∞ (ia−s)t Z ∞ (ia−s)t Z ∞ (−ia−s)t e + e(−ia−s)t e e = = + = 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2s 1 s − )= · = ·( = 2 . 2 2 2 ia − s −ia − s 2 −a − s a + s2 Z Z −st 3. Legyen f(t)=t · eat , ahol a tetszőleges valós vagy komplex állandó Parciálisan integrálva: ∞ Z ∞ Z at t · e−(s−a)t dt = t · e dt = F (s) = 0 0 ∞ ∞ −(s−a)t e e − dt = −(s − a) 0 s−a 0  −(s−a)t ∞   e 1 1 =0+ . = − − = −(s − a)2 0 −(s − a)2 (s − a)2 −(s−a)t  Z = t· 4. Legyen f (t) = tn · eat n=1-re már láttuk: L[t · eat ] = 1 . (s − a)2 n=2 esetben

parciálisan integrálunk: Z ∞ 2 t ·e F (s) = −st Z dt = 0 ∞ t2 · e−(s−a)t dt = 0  ∞ Z ∞ e−(s−a)t e−(s−a)t 2 − t · − 2·t· dt = −(s − a) 0 −(s − a) 0 6 http://www.doksihu 2 0+ s−a Z ∞ t · eat · e−st dt = 0 2 1 2 · = . 2 s − a (s − a) (s − a)3 Folytatható az eljárás n ≥ 3 esetén is. Teljes indukcióval pedig megkaphatjuk L[tn eat ] képletét. Tehát: n at Z L[t · e ] = ∞ n at t ·e ·e 0 −st Z dt = ∞ tn e−(s−a)t = 0   Z ∞ −(s−a)t ∞ e−(s−a)t n e n · tn−1 − dt = t −(s − a) 0 −(s − a) 0 Z ∞ Z ∞ n n n−1 (s−a)t =0− t ·e dt = tn−1 · e−(s−a)t dt = −(s − a) s − a 0 0    Z ∞ −(s−a)t ∞ n e e−(s−a)t n−1 n−2 = t · − (n − 1) · t · dt = s−a −(s − a) 0 −(s − a) 0  Z ∞  Z n n − 1 n−2 −(s−a)t n n − 1 ∞ n−2 −(s−a)t = · 0− ·t ·e dt = · · t ·e dt = s−a −(s − a) s−a

s−a 0 0    Z ∞ −(s−a)t ∞ e−(s−a)t n n−1 n−3 n−2 e (n − 2)t · − = · · t · = s−a s−a −(s − a) 0 −(s − a)dt 0  Z ∞ n−1 n−2 n · · 0− · tn−3 · e−(s−a)t dt = = s−a s−a −(s − a) 0 Z ∞ n n−1 n−2 · · · tn−3 · e−(s−a)t dt = s−a s−a s−a 0 Z ∞ n n−1 3 · · ··· · t2 · e−(s−a)t dt = ··· = s−a s−a s−a 0 n n−1 n−2 3 = · · · ··· · L[t2 eat ] = s−a s−a s−a s−a n−1 n−2 3 2! n! n = = L[tn eat ]. = · · · ··· · · s−a s−a s−a s − a (s − a)3 (s − a)n+1 7 http://www.doksihu • Hiperbolikus függvények: 5. Legyen f (t) = cosh(at), a ∈ C tetszőleges Mivel cosh z = ez +e−z 2 és ı́gy hivatkozva a 3 példára kapjuk: ∞ eat + e−at −st · e dt = 2 0   Z 1 ∞ at −st 1 1 1 s −at −st e · e + e · e dt = · + = 2 . 2 0 2 s−a s+a s − a2 Z F (s) = 6. Legyen f (t) = sinh(at) ekkor sinh z = ez − e−z 2 tehát 1 F (s) =

2 ∞ Z (eat · e−st − e−at · e−st ) = 0 a . s 2 − a2 7. Legyen f (t) = t · sinh(at) Z ∞ −st t · sinh(at) · e F (s) = Z 0 0 1 2 Z 0 ∞ t·eat ·e−st − 1 2 Z ∞ te−at e−st = 0 8 ∞ t· dt = eat − e−at −st · e dt = 2 1 1 2as 1 1 − = 2 . 2 2 2 (s − a) 2 (s + a) (s − a2 )2 http://www.doksihu Összefoglalva, néhány fontosabb függvény Laplace-transzformáltja: f(t) L[t] 1. 1 1 s 2. t 1 s2 3. t2 2 s3 4. tn n! sn+1 5. eat 1 s−a 6. ln(t) − 1s · (C + ln(s)) 7. cos(at) s s2 +a2 8. sin(at) a s2 +a2 9. cos2 (at) s2 +2a2 s(s2 +4a2 ) 10. sin2 (at) 2(a2 ) s(s2 +4a2 ) 11. t · cos(at) s2 −a2 (s2 +a2 )2 12. t · sin(at) 2as (s2 +a2 )2 13. sin(at) t arctan( as ) 14. cosh(at) s s2 −a2 15. sinh(at) a s2 −a2 16. cosh2 at s2 −2a2 s(s2 −4a2 ) 17. sinh2 at 2a2 s(s2 −4a2 ) 2.2 Fontosabb alkalmazási szabályok 1. Linearitás: • Adott f (t), amelynek Laplace

transzformáltja L[f (t)] = F (s) akkor L[Kf (t)] = KL[f (t)] = KF (s), valamely K valós vagy 9 http://www.doksihu komplex számra. Ugyanis a konstans kiemelhetősége miatt Z ∞ −st Kf (t)e L[Kf (t)] = Z ∞ f (t)e−st = KL[f (t)]. dt = K 0 0 • Adott f1 (t), f2 (t), amelyeknek Laplace transzformáltja F1 (s); F2 (s), akkor L[f1 (t) + f2 (t)] = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] = F1 (s) + F2 (s). Ugyanis az integrál additivitása és disztributı́vitása miatt Z ∞ (f1 (t) + f2 (t))e−st dt = L[f1 (t) + f2 (t)] = 0 Z ∞ f1 (t)e−st dt = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] = F1 (s) + F2 (s). 0 2. Eltolási tétel Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f(t)]=F(s), ekkor f (t− τ ) estén a Laplace transzformált eredménye a t−τ = z,t = z+τ ,dt = dz helyettesı́téssel Z ∞ Z ∞ f (t − τ )e dt = f (z)e−(z+τ )s dz = L[f (t − τ )] = 0 0 Z ∞ Z ∞ f (z)e−zs e−τ s dz = e−τ s f (z)e−zs dz = e−τ s F (s). −st 0 0 3.

Csillapı́tási tétel Most megviszgáljuk az előző kérdés fordı́tottját. Ha F az f függvény transzformáltja, akkor az s F (s+a) függvény mely generátorfüggvényhez tartozik? Mivel Z F (s) = 0 10 ∞ f (t)e−st dt http://www.doksihu ezért: Z ∞ F (s + a) = f (t)e Z −(s+a)t ∞ f (t)e−at e−st = L[f (t)e−at ]. dt = 0 0 Tehát a Laplace-transzformált eltolása a generátorfüggvény e−at exponenciális tényezővel való szorzásával egyenértékű. A csillapı́tási tétel segı́tségével számı́tsuk ki a következő függvény transzformáltját! Legyen f (t) = e−at cosh(bt) Korábban már láttuk hogy L[cosh(bt)] = s2 s2 −b2 Ebből következöen s s + a helyettesı́tésel adódik: L[e −at (s + a)2 cosh(bt)] = (s + a)2 − b2 4. Hasonlósági tétel Adott f (t), amelynek Laplace transzformáltja L[f (t)] = F (s) ekkor f (at) esetén a Laplace transzformáció

eredménye: Legyen at = z, ekkor t = z a és dt = a1 dz ı́gy, ∞ Z −st L[f (at)] = f (at)e 0 ∞ Z dt = −s az f (t)e 0 1 1 dz = a a Z ∞ f (z)e − as z 0   1 s dz = F . a a • Hasonlósági tétellel számoljuk ki a L[ln(at)]-t! Laplace-transzformáltakat tartalmazó táblázatból tudjuk hogy: L[ln t] = − 1s (C + ln s), ahol C egy állandó. Innen a hasonlósági tétellel adódik:      1 1 s 1 s L[ln at] = − s C + ln = − C + ln . a a s a a 11 http://www.doksihu • Számoljuk ki a L[(at)2 cosh(at)]-t! Szintén a táblázatból tudjuk hogy: L[t2 cosh(t)] = 2s(s2 + 3) (s2 − 1)3 Ahonnan a hasonlósági tétellel adódik: 1 L[(at) cosh(bt)] = · a 2 s a  2 s a 2·  2 s a  +3  −1 = a2 · 2s(s2 + 3a2 ) . (s2 − a2 )3 5. Konvolúció Az f1 (t) és f2 (t) függvények konvolúcióját a t Z f1 (t)f2 (t − τ )dτ g(t) = 0 összefüggéssel értelmezzük. Most tekintsük a g(t)

Laplace-transzformáltját Cseréljük meg az integrálás sorrendjét, és vezessük be a t0 = t − τ változót: ∞ Z G(s) = e −st f1 (τ )f2 (t − τ )dτ = dt 0 0 ∞ Z = = 0 e−st f2 (t − τ )dt = f1 (τ )dτ ∞ −st e t Z 0 Z t Z 0 ∞ Z e−st f2 (t0 )dt0 = F1 (s)F2 (s). f1 (τ )dτ 0 Így a konvolúció transzformáltja egyszerűen az egyes transzformáltak szorzata. 12 http://www.doksihu 3. fejezet Deriválhatóság és integrálhatóság 3.1 A generátor függvény deriválása Eddig a definı́ció alapján határoztuk meg egy függvény Laplace-transzformáltját. A most következő részben a gyakorlati szempontból fontos eljárást fogalmazunk meg. Melynek segı́tségével könnyebben előállı́tható a transzformált Először egy függvény deriváltjának Laplace-transzformáltjával foglalkozunk. A definı́ció alapján adódik: 0 Z ∞ L[f (t)] = 0 −st f

(t)e  ∞ Z −st dt = f (t) · e − 0 0 Z −f (0) + s · ∞ f (t)(−s)e−st dt = 0 ∞ f (t)e−st dt = s · L[f (t)] − f (0) = sF (s) − f (0). 0 ahol F az f függvény Laplace-transzformáltja. Tehát: L[f 0 (t)] = sL[f (t)] − f (0) 13 http://www.doksihu Ennek a formulának az ismételt alkalmazásával előállı́thatjuk magasabb rendű deriváltak transzformáltját is: L[f 00 (t)] = sL[f 0 (t)]−f 0 (0) = s·(sL[f (t)]−f (0))−f 0 (0) = s2 L[f (t)]−sf (0)−f 0 (0). Így ha tovább folytatjuk adódik az n-edrendű deriváltakra vonatkozó formula: L[f (n)(t) ] = sn L[f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 0 − . − f (n−1) (0) Számı́tsunk ki példákat! 1. Legyen:f (t) = t akkor: L[f 0 (t)] = s · 1 1 − f (0) = . 2 s s 2. Legyen: f (t) = cos(at) A táblázatból láthatjuk hogy L[cos(at)] = s2 s + a2 akkor: L[f 0 (t)] = L[−a · sin(at)] = s · L[cos(at)] − f (0) = s · s2 s − f (0). + a2 3.

Legyen:f (t) = cos2 at f 0 (t) = 2 cos(at)(− sin(at))a = −a2 sin(at) cos(at) = −a sin 2(at) 14 http://www.doksihu ekkor: L[f 0 (t)] = −aL[sin 2at] = −a 2a = L[f (t)]s − f (0) = sL[f (t)] − 1, s2 + 4a2 tehát:   1 2a2 1 s2 + 4a2 − 2a2 s2 + 2a2 L[f (t)] = · 1 − 2 = · . = s s + 4a2 s s2 + 4a2 s(s2 + 4a2 ) 4. Legyen f (t) = sin2 at Mivel f 0 (t) = 2 sin(at) cos(at) · a = a2 sin(at) cos(at) = a sin 2a, ezért: L[a sin 2a] = a · L[sin 2a] = a · s2 2a + 4a2 tehát: L[f (t)] = 3.2 a· 2a s2 +4a2 +0 s = 2a2 . s(s2 + 4a2 ) Laplace-transzformált deriválása Ebben a részben megvizsgáljuk hogy milyen eredmény adódik a Laplacetranszformált deriválásakor. A transzformált deriválása során a deriválás és integrálás sorrendje felcserélhető. Ezért: Z Z ∞ d d ∞ d −st F (s) = f (t) · e dt = f (t) · e−st dt = ds ds 0 ds 0 Z ∞ Z ∞ f (t)(−t) · e−st = − t · f (t) · e−st dt 0 0 15

http://www.doksihu ı́gy d F (s) = −L[t · f (t)]. ds Általánosan n-edrendű deriváltra a következőt kapjuk: Z ∞ Z ∞ dn dn −st F (s) = n f (t) · e = (−t)n · f (t) · e−st dt = n ds ds 0 0 Z ∞ tn · f (t) · e−st dt = (−1)n L[tn f (t)]. (−1)n 0 Vagyis: dn F (s) = (−1)n L[tn f (t)]. dsn • Néhány példa: Legyen: 1. f (t) = t · sin(at) Felhasználva: L[sin(at)] = a s2 +a2 = F (s), valamint alkalmazva d ds · F (s) = −L[t · f (t)] for- mulát kapjuk, hogy   d a a · 2s 2as L[t · sin(at)] = − · 2 = − − = . ds s + a2 (s2 + a2 )2 (s2 + a2 )2 2. Legyen: f (t) = t2 · cosh(at) Tudjuk a hiperbolikus függvény transzformáltját: F (s) = L[cosh(at)] = s . s 2 − a2 Erre alkalmazzuk a d2 · F (s) = (−1)2 · L[t2 cosh(at)] 2 ds 16 http://www.doksihu képletet ı́gy,     d2 s d (s2 − a2 ) − s2s L[t cosh(at)] = 2 2 = = ds s − a2 ds (s2 − a2 )2   d −s2 − a2 2s(s2 + 3a2 ) = = . ds (s2 − a2 )2 (s2 − a2

)3 2 3. Legyen f (t) = tn eat Induljunk ki az eat Laplace transzformáltjából: L[eat ] = Alkalmazzuk erre az F-re a L[tn eat ] = dn F (s) dsn 1 = F (s). s = (−1)n L[tn f (t)] formulát. 1 dn 1 1 dn−1 −1 · · = · · = n n n n−1 (−1) ds s − a (−1) ds (s − a)2 dn−2 (−1)(−2) 1 n! n! 1 · · = . = (−1)n = , n n−2 3 n n+1 (−1) ds (s − a) (−1) (s − a) (s − a)n+1 ahol Re(s − a) > 0. 3.3 A generátor függvény primitı́v függvényének transzformáltja A deriváltra vonatkozó formula alkamazásával könnyen levezethetünk egy összefüggést,egy f függvény integrálfüggvényének Laplace transzformáltjára vonatkozóan. Legyen Z φ(t) = t f (t)dt 0 17 http://www.doksihu Ekkor d φ(t) dt = f (t) összefüggés miatt egyrészt   d L φ(t) = L[f (t)]. dt Másrészt a deriváltra vonatkozó szabály szerint:   d L φ(t) = sL[φ(t)] − φ(0) = sL[φ(t)]. dt Hiszen Z φ(0) = 0 f

(t)dt = 0. 0 Átrendezve az egyenletet, kapjuk a keresett összefüggést: Z t  1 F (s) L f (t)dt = L[f (t)] = , s s 0 ahol F szokás szerint f Laplace transzformáltja. Eszerint a generátorfüggvény integrálása a Laplace transzformált s-sel való osztásával egyenértékű. 1. Számı́tsuk ki a φ(t) = Rt 0 t sin(at)dt függvény Laplace transzformáltját! Az előző megállapı́tás alapján az integrandusnak a Laplace-transzformáltját kell osztani s-sel, ı́gy 1 1 2as 2a · L[t · sin(at)] = · 2 = . s s (s + a2 )2 (s2 + a2 )2 Rt 2. Számı́tsuk ki φ(t) = 0 t2 e−t dt függvény transzformáltját L[φ(t)] = Induljunk ki abból hogy ismerjük a tn eat transzformáltját, most ezt az n = 2, a = −1 helyettesı́téssel kapjuk: L[φ(t)] = 1 1 2! s2 + 2a2 · L[t2 e−t ] = · = . s s (s − (−1))3 s2 (s2 + 4a2 ) 18 http://www.doksihu 3.4 Laplace transzformált integrálása A Laplace transzformáltnak az

integrálfüggvényét ha megviszgáljuk hasznos f (t) t összefüggést kapunk. Ehhez állı́tsuk elő t Z ∞ L[f (t)] = Z f (t) −st e dt = t 0 ∞ Z ∞ = s Z függvény transzformáltját ∞ Z ∞ f (t)dt e−st dt = s 0  f (t)e−st dt ds = Z ∞ F (s)ds, s 0 d e−st ( t ) = −e−st összefüggést. ds f (t) = sin(at) függvény transzformáltját! t ahol felhasználtuk a 1. Számı́tsuk ki az Az előbb levezetett összefüggést alkalmazva:   Z ∞ Z ∞ sin(at) a L L[sin(at)]ds = ds = = t s 2 + a2 s s     ∞ Z 1 ∞ 1 1 s = ds = arctan a = s 2 a s (a) + 1 a a s     ∞   s s a π = arctan = − arctan = arctan . a s 2 a s 2. Számı́tsuk ki az f (t) = sin2 at t függvény transzformáltját. Itt felhasználjuk hogy L[sin2 at] = 2a2 , s(s2 +4a2 ) amit már kiszámoltunk korábban. Innen következik: Z L[f (t)] = ∞ Z 2 L[sin at]ds = s s ∞ 2a2 ds. s(s2 + 4a2 ) Az integrál

kiszámı́tásához parciális törtekre bontunk: 1 1 s 2a2 2 2 = − , 2 2 2 s(s + 4a ) s s + 4a2 19 http://www.doksihu ennek primitı́v függvénye: Z   s2 1 1 2s 1 1 1 2 2 − ds = ln |s| − ln |s + 4a | = ln 2 2s 4 s2 + 4a2 2 4 4 s + 4a2 ahonnan:  Z ∞  ∞ 2a2 s2 sin2 at 1 L = ds = ln 2 = t s(s2 + 4a2 ) 4 s + 4a2 s s  = 1 4a2 ln 1 + 2 . 4 s 20 http://www.doksihu 4. fejezet Inverz Laplace-transzformáció Definı́ció: Legyen az F egy, komplex szám független változójú függvény, és létezzen egy f (t) egyváltozós valós szám értekű függvény,amelyre teljesül,hogy L[f (t)] = F . Az f (t) függvényt az F függvény inverz Laplace transzformáltjának nevezzük Az inverz Laplace traszformált jelölése: L−1 [F ] = f (t). A gyakorlati alkalmazás szempontjából egyik legfontosabb tulajdonságot az alábbi állı́tásban adjuk meg. Állı́tás: Ha létezik f1 (t)=L−1 [F1 ]; f2 (t) = L−1 [F2 ]

; . ; fk (t) = L−1 [Fk ] inverz Laplace transzformált függvények, és c1 ;c2 ; . ; ck tetszőleges adott valós vagy komplex számok akkor L−1 [c1 F1 + c2 F2 + . + ck Fk ] = = c1 L−1 [F1 ] + c2 L−1 [F2 ] + . + ck L−1 [Fk ] = = c1 f1 (t) + c2 f2 (t) + . + ck fk (t) azaz az inverz Laplace transzformáció lineáris tulajdonságú. Fontos még a konvolúciós tételként ismert állı́tás Állı́tás: Egy ismeretlen f (t) függvény F Laplace transzformáltja legyen 21 http://www.doksihu szorzat alakú: F = F1 F2 ,de legyenek ismertek az f1 (t) és f2 (t) függvények, mint a tényezők inverz Laplace-transzformáltjai: f1 (t) = L−1 [F1 ] és f2 (t) = L−1 [F2 ] Ekkor −1 Z −1 0 f1 (x)f2 (t − x)dx. f (t) = L [F ] = L [F1 F2 ] = t • Néhány példa 1. Számı́tsuk ki az F (s) = s2 3s − 1 + 4s + 13 függvény inverz Laplace-transzformáltját! A tört nevezőjét teljes négyzetté

alakı́tjuk F (s) = s2 3s − 1 3(s + 2) − 7 s+2 7 3 3s − 1 = = =3 − 2 2 2 + 4s + 13 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 (s + 2) + 9 3 (s + 2)2 + 9 ezért az inverz Laplace-transzormált linearitását,a csillapitási tételt és a koszinusz és szinusz függvényekre vonatkozó azonosságokat alkalmazva: −1 L [F (s)] = 3L −1     s+2 7 −1 3 7 −2t −2t − = 3e cos(3t)− L e sin(3t). (s + 2)2 + 32 3 (s + 2)2 + 32 3 2. Számı́tsuk ki az F (s) = 19 − 2s +s−6 s2 függvény inverz Laplace-transzformáltját! 19 − 2s 19 − 2s A B = = + +s−6 (s − 2)(s + 3) s−2 s+3 s2 22 http://www.doksihu 19 − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) = As + 3A + Bs − 2B A + B = −2 A = −2 − B 3A − 2B = 19 3(−2 − B) − 2B = 19 −6 − 3B − 2B = 19 −6 − 5B = 19 −5B = 25 B = −5 A = −2 + 5 = 3 tehát: F (s) = 3 5 − . s−2 s+3 Inverz Laplace-transzformáció linearitását alkalmazva: −1 L [F (s)] = 3L −1     1 1

−1 − 5L = 3e2t − 5e−3t . s−2 s+3 23 http://www.doksihu 5. fejezet Parciális törtekre bontás módszere Legyen f (x) = p(x) q(x) alakú, ahol p(x) egy m-edfokú, q(x) pedig n-ed fokú poli- nom. A nevezőnek csak egyszeres, valós gyökei vannak Ekkor q(x) felı́rható gyöktényezős alakban. Ekkor pedig p(x) q(x) felı́rható: p(x) A1 p(x) A2 An = = + + . + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) . (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn alakban. Itt az A1 , A2 , , An számokat az egyenlő együtthatók módszerével kapjuk meg. Tehát p(x) p(x) A1 A2 An = = + + . + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) . (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn azonosságban a jobb oldalt közös nevezőre hozzuk, majd az ı́gy kapott számláló együtthatóit összevetjük p(x) megfelelő együtthatóival, ı́gy egy egyenletrendszert kapunk Ai -kre, amelyet megoldva megkapjuk a kı́vánt együtthatókat. 24 http://www.doksihu PÉLDA 1. Legyen: F

(s) = 19 − 2s +s−6 s2 A nevező szorzattá alakı́tása utána kapjuk F (s) = 19 − 2s A B = + (s − 2)(s + 3) s−2 s+3 ebből 19s − 2s = A(s + 3) + B(s − 2) = As + 3A + Bs − 2B ahonnan: A + B = −2 A = −2 − B A = −2 − (−5) = 3 3A − 2B = 19 3(−2 − B) − 2B = 19 −6 − 3B − 2B = 19 −5B = 25 B = −5 ı́gy F (s) = 19 − 2s 3 5 = − . s2 + s − 6 s−2 s+3 25 http://www.doksihu 6. fejezet Egyenletek és egyenletrendszerek A Laplace transzformáció egyik legfontosabb alkalmazása az álladó együtthatós lineáris differenciálegyenletek és differenciálegyenletrendszerek megoldása. Ehhez tekintsünk egy másodrendű differenciálegyenletet: ax00 + bx0 + cx = f (t) ahol a, b, c adott konstansok, x = x(t) az ismeretlen függvény,f szintén adott függvény. A megoldási módszer lényege abban áll, hogy képezzük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját. Ha bevezetjük

az ismeretlen t x(t) függvény transzformáltjának jelölésére az s X(s) jelet, és felhasználjuk a korábban bizonyı́tott L[x0 (t)] = sX(s) − x(0) L[x00 (t)] = s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) összefüggéseket,akkor a transzformáció eredménye az a(s2 X(s) − sx(0) − x0 (0)) + b(sX(s) − x(0)) + cX(0) = F (s) 26 http://www.doksihu algebrai egyenlet. A transzformáció elvégzése után tehát az ismeretlen x függvény transzformáltjára egy közönséges algebrai egyenletet kapunk. 6.1 Példák közönséges differenciálegyenletekre 1. Tekintsük az x00 − 4x = 0, x(0) = 1, x0 (0) = 0 kezdeti érték feladatot. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját L[x00 ] − 4L[x] = 0. Használva az X(s) = L[x] jelölést valamint a második derivált Laplacetranszformáltjára vonatkozó azonosságot, kapjuk s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) − 4X(s) = 0 A kezdeti értéket használva (s2

− 4)X(s) = s azaz X(s) = s2 27 s . −4 http://www.doksihu Bontsuk parciális törtekre X(s)-t, s s A B = = + s2 − 4 (s + 2)(s − 2) s+2 s−2 amiből átszorozva kapjuk, hogy s = A(s − 2) + B(s + 2) A+B =1A=1−B −2A + 2B = 0 −(1 − B) + B = 0 2B = 1 B = A=1− 1 2 1 1 = 2 2 ezért s2 1 1 1 1 s = + . −4 2s+2 2s−2 Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldását −1 x(t) = L [X(s)] = L −1     s 1 1 1 1 1 −1 1 + =L = e−2t + e2t . 2 s −4 2s+2 2s−2 2 2 2. Tekintsük az    x00 (t) + 4x0 (t) + 3x(t) = 1   x(0) = 0     x0 (0) = 0 28 http://www.doksihu Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) + 4sX(s) − x(0) + 3X(s) = 1 s ekkor X(s) = 1 1 1 · = . s2 + 4s + 3 s s3 + 4s2 + 3s A nevezőt szozattá alakı́tjuk és használjuk a parciális törtekre bontás módszerét: X(s) = 1 A B

C = + + s(s + 1)(s + 3) s s+1 s+3 átszorozva kapjuk 1 = A(s2 + 4s) + 3) + Bs2 + 3Bs + Cs2 + Cs ebből    A+B+C =0   4A + 3B + C = 0     3A = 1 A = 1 3 A-t behelyettesı́tve a másik két egyenletbe   1 3 +B+C =0  4 3 + 3B + C = 0 Kivonjuk egymásból a két egyenletet 1 2 1 1 1 − +C =0C = 3 2 6 −1 − 2B = 0 B = − 29 http://www.doksihu ı́gy 1 1 1 1 1 X(s) = s − + . 3 2s+1 6s+3 Inverz Laplace-transzformáltat használva megkapjuk az egyenlet megoldását: 1 1 1 1 1 1 1 1 x(t) = L−1 [X(s)] = L−1 [ s − + ] = 1(t) − e−t + e−3t . 3 2s+1 6s+3 3 2 6 6.2 Differenciálegyenletrendszerek Differenciálegyenletek esetén felhasználva az összefüggéseket, algebrai lineáris egyenletrendszert kapunk az ismeretlenfüggvények transzformáltjára vonatkozólag. Az egyenletrendszer megoldása után ismét a visszatranszformálás a feladat. 1. Számı́tsuk ki a következő

egyenletrendszert!    x0 = 3x − 2y + et      y 0 = x + 6y − et   x(0) = 2      y(0) = −1 vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-transzformáltját:   sX(s) − x(0) = 3X(s) − 2Y (s) + 1 s−1  sY (s) − y(0) = X(s) + 6Y (s) − 1 s−1 a kezdeti feltételeket használva: 1 s−1 1 −X(s) + (s − 6)Y (s) = −1 − s−1 (s − 3)X(s) + 2Y (s) = 2 + 30 http://www.doksihu az egyenletrendszert rendezve kapjuk:   X(s) = 2s2 −11s+6 (s−4)(s−5)(s−1)  Y (s) = − s2 −5s+1 (s−4)(s−5)(s−1) és ı́gy parciális törtekre bontva X(s)-t: A B C 2s2 − 11s + 6 = + + (s − 4)(s − 5)(s − 1) s−4 s−5 s−1 2s2 − 11s + 6 = A(s2 − 6s + 5) + B(s2 − 5s + 4) + C(s2 − 9s + 20) 2s2 − 11s + 6 = As2 − A6s + 5A + Bs2 − 5Bs + 4B + Cs2 − 9Cs + 20C A+B+C =2A=2−B−C −6A − 5B − 9C = −11 −6(2 − B − C) − 5B − 9C = −11 B = 1 + 3C 5A + 4B + 20C = 6

5(1 − 4C) + 4(1 + 3C) + 20C = 6 9 + 12C = 6 1 4 1 1 B = 1 + 3(− ) = 4 4 1 1 A = 2 − − (− ) = 2 4 4   1 1 1 1 2 −1 x(t) = L + − s−4 4s−5 4s−1 C=− 1 1 x(t) = 2e4t + e5t − et 4 4 majd ismét a parciális törtekre bontás módszerével megkapjuk y(t) is: A + B + C = −1 A = −1 − B − C 31 http://www.doksihu −6A − 5B − 9C = 5 −6(−1 − B − C) − 5B − 9C = 5 B = −1 + 3C 5A + 4B + 20C = −1 5(−4C) + 4(−1 + 3C) + 20C = −1 −4 + 12C = −1 C= 1 4 1 B = −1 + 3C = − 4   1 1 A = −1 − − − = −1 4 4   1 1 1 1 1 −1 y(t) = L − − + s−4 4s−5 4s−1 1 1 y(t) = −e4t − e5t + et . 4 4 2. Legyen: x0 = −7x + y + 5 y 0 = −2x − 5y − 37 x(0) = 0 y(0) = 0 Mindkét egyenletnek vesszük a Laplace-transzformáltját. Ekkor:   sX(s) = −7X(s) + Y (s) + 5 s  sY (s) = −2X(s) − 5Y (s) + 37 s2 Az első egyenletet megszorozzuk s + 5tel majd összeadjuk a két egyenletet ı́gy megkapjuk

az X(s)-t:   X(s)(s + 7) − Y (s) − 5 = 0 /(s + 5) p  Y (s)(s + 5) + 2X(s) − 37 = 0 p2   X(s)(s + 5)(s + 7) − Y (s)(s + 5) = 0  Y (s)(s + 5) + 2X(s) − 37 = 0 s2 X(s)(s2 + 12s + 35 + 2) − 32 37 5s + 25 − =0 s2 s http://www.doksihu X(s) = 37 + 5s2 + 25s s2 (s2 + 12s + 37) Parciális törtekre bontjuk X(s)-t: X(s) = 37 + 5s2 + 25s A B Cs + D = + 2+ 2 2 2 s (s + 12s + 37) s s s + 12s + 37 37 + 5s2 + 25s = A(s(s2 + 12s + 37)) + B(s2 + 12s + 37) + Cs(s2 ) + Ds2 37 + 5s2 + 25s A + C = 0 − C = −1 12A + B + D = 5 − D = −6 37A + 12B = 25 − 37A − 12 = 25 A = 1 x(t) = L−1  37B = −37 − B = −1  1 s+6 1 + − = 1 − t − e−6t cos(t). s s2 (s + 6)2 + 1 Majd az egyenletrendszerből megkapjuk az Y(s)-t ha az első egyenletet megszorozzuk 2vel a másodikat pedig s + 7tel és kivonjuk egymásból:   2X(s)(s + 7) − 2Y (s) − 10 = 0 p  Y (s)(s + 5)(s + 7) + 2(s + 7)X(s) − 37s+259 s2 =0 37s − 259 10 − =0 s2

p −10s − 37s − 259 −47s − 259 = 2 . Y (s) = 2 2 s (s + 12s + 37) s + 12s + 37 Y (s)(s2 + 12s + 37) − Parciális törtekre bontjuk Y(s)-t: −47s − 259 A B Cs + D = + 2+ 2 2 s + 12s + 37 s s s + 12s + 37 −47s − 259 = A(s(s2 + 12s + 37)) + B(s2 + 12s + 37) + Cs(s2 ) + Ds2 33 http://www.doksihu −47s − 259 = As3 + A12s2 + A37s) + Bs2 + B12s + 37B + Cs(s2 ) + Ds2 A+C =0C =1 12A + B + D = 0 12 − 7 = −D D = 5 37A + 12B = −47 37A + 84 = −47 A = 1 37B = −259 B = −7. Megkaptuk hogy: 1 −7 s+5 + 2 + 2 . s s s + 12s + 37 Vesszük az előző egyenlet inverz Laplace-transzformáltját: −1 y(t) = L  7 s + 52 1 − − +1 s s2 s + 6  y(t) = 1 − 7t + e−6t cos(t) + e−6t sin(t). 6.3 Integrálegyenletek Néhány esetben előfordulnak olyan integrálegyenletek,amelyekben az ismeretlen függvény egy konvolúcióban szerepel. A Z b g(x) = f (x) + λ k(x − y)g(y)dy a egyenlet, ahol f (x) és k(x) megadott függvények és a

λ adott állandó. Ha az előző egyenletben a x0 = x−a, y 0 = y −a változó cserével a következőt kapjuk 0 0 Z x0 g(x ) = f (x ) + λ 0 34 k(x0 − y 0 )g(y 0 )dy 0 http://www.doksihu Az általános megoldási módszer: alkalmazzuk a Laplace transzformációt az egyenletre, G(s) = F (s) + λK(s)G(s) algebrai egyenletre jutunk, amelyből következik, hogy G(s) = F (s) . 1 − λK(s) Az egyenlet átı́rható a λK(s) F (s) 1 − λK(s) G(s) = F (s) + alakra. 1. Példa Tekintsük az s Z es−t g(t)dt s= 0 egyenletet. A Laplace transzformáltja a következő 1 1 = G(s) 2 s s−1 Innen G(s) = s−1 1 1 = − 2, 2 s s s g(t) = 1 − t. 2. Példa Tekintsük a Z g(x) = 1 − (x − y)g(y)dy 0 35 x http://www.doksihu egyenletet. Ekkor G(s) = s−1 − s−2 G(s), ami a következö megoldást adja: G(s) = s 1 + s2 g(x) = cosx. 36 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Hanka László, Zalay Miklós Komplex

függvénytan Műszaki alkalmazásaik Műszaki könyvkiadó(2010) [2] Brain Davies Integráltranszformációk és könyvkiadó(1983) [3] Simon L. Péter, Tóth János Differenciálegyenletek, Typotex (2005) 37