Matematika | Diszkrét Matematika » Gyűrű, test matematikai feladatok

Gyűrű, test. 1. Vizsgálja meg, hogy gyűrűt alkotnak-e az alábbi kétműveletes struktúrák: a. egész számok az összeadásra és szorzásra nézve; b. a páros számok az összeadásra és szorzásra nézve; c. adott n egész szám többszörösei az összeadásra és szorzásra nézve (az n=0 esetet külön nézzük meg); d. {a+b 2 a,b∈Z} az összeadásra és szorzásra nézve; f. {a+bia,b∈Z} az összeadásra és szorzásra nézve; (Gauss-egészek) g. az n-edrendű (nxn-es) egész elemű mátrixok a mátrix összeadásra és szorzásra nézve; h. az n-edrendű valós elemű mátrixok a mátrix összeadásra és szorzásra nézve; 2. Jelöljön (S; +) egy Abel-csoportot Definiáljuk a o műveletet az alábbi módon: a o b:=0 0 az (S; +) egységeleme. Bizonyítsa be, hogy az (S; +, o ) struktúra gyűrű (Ezt nevezzük zérógyűrűnek.) 3. Teljesüljenek az (R; +, ⋅) struktúrában a következő tulajdonságok: a. (R; +) csoport, b. (R; ⋅) egységelemes

félcsoport, c. A szorzás és összeadásra nézve disztributív Bizonyítsa be, hogy (R; +, ⋅) gyűrű. 4. Bizonyítsa be, hogy ha az (R; +, ⋅) egységelemes gyűrű minden elemének van multiplikatív inverze, akkor a gyűrűnek csak egyetlen eleme van. { } 5. Testet alkotnak-e a mod 2m maradékosztályok közül a párosak, 0 ,2 ,4 ,6 , 2 m − 2 a maradékosztályok közötti összadásra és szorzásra, ha 1. 2m=10 2. 2m=20 6. Bizonyítsa be, hogy ha (T, +, ⋅) véges, legalább két elemet tartalmazó integritási tartomány, akkor test. 7. Milyen m-re ismerünk m elemű gyűrűt, ill testet? 8. Határozza meg a mod 12 maradékosztályok gyűrűjében a nullosztókat 9. Legyen (R,+,⋅) egységelemes gyűrű Jelölje a nullelemet 0, az egységelemet e Bizonyítsa be, hogy ha az a∈R elemre fennáll az an=0 valamilyen n∈N-re (a nilpotens elem), akkor az e–a elemnek van inverze. 10. Mutassuk meg, hogy egy gyűrű egységeleme nem lehet két nílpotens elem

összege (Ld előző példa) 11. Vizsgálja meg, hogy gyűrűt alkotnak-e az alábbi kétműveletes struktúrák: e. az a+b 3 alakú számok, ahol a, b egész számok az összeadásra és szorzásra nézve; i. a [-1, 1] intervallumon értelmezett valós függvények a függvények összeadására és szorzására nézve. (Az f és g függvények összegét (f+g)(x)=f(x)+g(x), a szorzatát pedig a (f⋅g)(x)=f(x)g(x) (x∈[-1, 1] hozzárendeléssel definiáljuk.)  a b j. Az   alakú mátrixok, ahol a, b valós számok a mátrix összeadásra és szorzásra 2b a  12. Vizsgálja meg, hogy testet alkotnak-e az a+b 2 (a,b∈Q) alakú számok, az összeadásra és a szorzásra nézve. 13. Végezzük el a kijelölt műveleteket a Z17 maradékosztálytestben a. ( 5 ) −1 b. 9 − 11 ( ) c. 15 + 10 ( 3 + 5 ) −1 d. 1 ⋅ 2 ⋅ 3⋅K⋅16 14. Bizonyítsa be, hogy ha egy (R; +, ⋅) egységelemes gyűrű a elemének van bal oldali multiplikatív inverze, akkor az

a elem nem lehet a gyűrű bal oldali nullosztója. { } 15. Legyen D = x x ∈ Q, x = m ⋅ 2 k , m, k ∈ Z a véges diadikus törtek halmaza Lássuk be, hogy a véges diadikus törtek az összeadásra és szorzásra integritási tartományt alkotnak, de nem alkotnak testet. 16. a1. Tekintsük a Z10 maradékosztály-gyűrűt Írjuk fel ebben minden elem (minden maradékosztály) osztóit. a2. Mik az egységek? b. Legyen a a Zm maradékosztály-gyűrű egy maradékosztálya Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy mikor osztható minden maradékosztály a-val vagyis hogy az a maradékosztály mikor egység. 17. Mutassuk meg, hogy ha egy R gyűrű minden a elemére a2=a teljesül, akkor R karakterisztikája 2 és kommutatív. (Boole-gyűrű) 18. Legyen H halmaz, R={P(H), o , ∩} ( A o B = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) = ( A B) ∪ ( B A) , szimmetrikus differencia.) Lássuk be, hogy R gyűrű, keressük meg a nullelemét, egységelemét Lássuk be, hogy R

Boole-gyűrű. Keressünk benne nullosztót 19. Ha gyűrűben a=a⋅e teljesül, következik-e ebből, hogy e egységelem? 20. a Felbonthatatlan-e Z10-ben 5 ? b Prím-e Z10-ben 5 ? (A definíciókat kiterjeszthetjük euklideszi gyűrűről akár tetszőleges gyűrűre.) 21. Mely számok osztói az 1-nek a véges diadikus számok gyűrűjében? Mik az egységek? Adjunk egyszerű feltételt arra, hogy ebben a gyűrűben egy szám oszt egy másikat. 22. A véges diadikus számok gyűrűjében hány osztója van egy számnak Lehet egy számnak nála nagyobb osztója is? 23. A véges diadikus számok gyűrűjében mely elemeknek van végtelen sok lényegesen különböző osztója? (Vagyis olyanok, amelyek nem csak egységszorzóban különböznek egymástól.) 24. A véges diadikus számok gyűrűjében felbonthatatlan-e a 12? 25. Melyek a felbonthatatlanok és melyek a prímek a véges diadikus számok gyűrűjében? 26. Legyen G:={a+bia, b∈Z, i2= –1} (Gauss-egészek) Legyen

ϕ(a+bi)=(a+bi)(a–bi)=a2+b2 Bizonyítsa be, hogy a Gauss-egészek körében az egységek 1, –1, i, –i. 27. A (páros számok, +, ⋅) integritási tartományt képeznek Euklidészi gyűrű-e? 28. Legyen L:={a+b −5 a, b∈Z } (L egészek) a. Bizonyítsa be, hogy az (L, +, ⋅) struktúra egységelemes integritási tartomány, b. Bizonyítsa be, hogy az L egészek körében két egység van, ezek 1 és –1 29. Lássuk be, hogy ha integritási tartományban létezik prím, akkor létezik egységelem 30. Legyen L:={a+b −5 a, b∈Z } (L egészek) c. Bizonyítsa be, hogy az L egészek körében 1+i 5 , 1–i 5 , 2, 3, felbonthatatlan elemek, de nem prímelemek. d. Bizonyítsa be, hogy az (L, +, ⋅) gyűrű nem euklideszi gyűrű 31. Igaz-e hogy ha érvényes az egyértelmű felbontás tétele valamely gyűrűben, akkor az euklideszi gyűrű? 32. Legyen H2:={a+b 2 a, b∈Z} és ϕ(a+b 2 )=(a+b 2 )(a–b 2 )=a2–2b2 Bizonyítsa be, hogy a (H2, +, ⋅)

struktúra euklidészi gyűrű. 33. Legyen H2:={a+b 2 a, b∈Z}, és ϕ(a+b 2 )=a2–2b2 Mik az egységek ebben az euklidészi gyűrűben. 34. Z4 a mod 4 maradékosztályok halmaza Melyek (Z4,+,⋅) részgyűrűi Van-e köztük ideál? 35. Legyen R véges gyűrű, I ideál R-ben, és I≠R Bizonyítsa be, hogy I minden a nullelemtől különböző eleme nullosztó R-ben. 36. Határozza meg a (T, +, ⋅) test ideáljait (Lássa be, hogy testben nincs nem triviális ideál) 37. 38 Tekintsük a racionális számok (Q, +, ⋅) gyűrűjét a. Bizonyítsa be, hogy a páros egészek a racionális számok gyűrűjének részgyűrűjét alkotják, de nem ideálját. b. Bizonyítsa be, hogy az egész számok részgyűrűt képeznek a racionális számok gyűrűjében, de nem ideált. 39. Jelölje M a valós számtest feletti 2∗2-es mátrixok halmazát, K illetve L pedig a a b  a 0   b 0, illetve 0 0      (a, b∈R) alakú mátrixok halmazát. a.

Igazolja, hogy (K, +, ⋅) bal oldali ideálja (M, +, ⋅)-nek de nem jobb oldali ideálja b. Igazolja, hogy (L, +, ⋅) jobb oldali ideálja (M, +, ⋅)-nek, de nem bal oldali ideálja 40. a. Lássuk be, hogy a páros számok (P) az egészek részgyűrűjét, sőt ideálját alkotják b. Határozzuk meg a Z/P maradékosztály gyűrűt  a b   a b     a , b , c , d ∈ Z  , és I=   a , b , c, d ∈ 2Z   c d   c d    41. Legyen R=  1. Mutassa meg, hogy I ideál R-ben 2 Hány elemű az R/I faktorgyűrű? 42. Jelöljük N-nel az R kommutatív gyűrűben a nullosztók és a 0 által alkotott halmazt a. Lehet-e, hogy N nem részgyűrű? b. Lehet-e, hogy N részgyűrű, de nem ideál? c. Bizonyítsa be, hogy ha N ideál, akkor R/N nullosztómentes d. Mely m-ekre igaz, hogy a mod m maradékosztálygyűrűben N ideál? a b 43. Jelölje M az   alakú, egész elemű mátrixok halmazát. Bizonyítsa be,

hogy az (M;+,⋅) 2 b a  struktúra izomorf az ({a+b 2 a, b∈Z} ,+,⋅) gyűrűvel.; { } { } 44. Izomorfak-e a G = a + b 2 a , b ∈ Z , + , ⋅) és K = a + b 3 a , b ∈ Z , + , ⋅) gyűrűk 45.46 Bizonyítsuk be, hogy ha egy gyűrűben pontosan egy balegységelem van, akkor az szükségképpen egységelem. 47. Igazoljuk, hogy ha egy gyűrűben az 1–ab elemnek van inverze, akkor az 1–ba elemnek is van 48. Írjuk fel a Z12 maradékosztály-gyűrűben minden elem osztóit!  a b 49. Jelölje M a valós számtest feletti 2∗2-es mátrixok halmazát, K pedig a   − b a  számok) (a, b valós alakú mátrixok halmazát. a Igazolja, hogy (K, +, ⋅) részgyűrűje az (M, +, ⋅) gyűrűnek. b Ideálja-e K az M-nek?  a b 50. Jelölje M az   a, b∈R alakú mátrixok halmazát. Bizonyítsa be, hogy az − b a  (M, +, ⋅) struktúra izomorf a komplex számok testével