Matematika | Logika » Az alethikus modalitások

Az alethikus modalitások A következőkben áttekintjük: I. Az alethikus modalitásokat, II. Az ekvivalenciákat, III. A következményrelációkat illetve IV. Az alethikus operátorok közötti kapcsolatokat I. Az alethikus modalitások a következők: Lehetséges (vagy M) Szükségszerű (vagy N) Kontingens (C) jelentése: nem szükségszerű, de lehetséges Apodiktikus (A) jelentése: nem kontingens Ezeket a továbbiakban operátoroknak nevezzük. Az elnevezés onnan ered, hogy ezekkel “operálni” lehet, vagyis segítségükkel megváltoztathatjuk az állítások jelentését és igazságértékét. Az operátorok kapcsolatban állnak egymással: ekvivalenciák illetve következményrelációk írhatók fel közöttük. II. Így ekvivalenciák ( azaz olyan kifejezések kapcsolata, melyek egymással bármikor szabadon behelyettesíthetőek): p  ~~p p ~~p Cp  ~p & ~~p Ap  p ∇ ~p ~p  ~p ~p ~p ~Cp Ap ~Ap 

Cp Lássuk be ezeket egy-egy példa segítségével: p  ~~p Pl.: A “Lehet, hogy a kutyák a mennybe mennek” állítás ugyanazt jelenti, mint az, hogy “Nem szükségszerű, hogy a kutyák ne menjenek a mennybe.” p  ~~p Pl.: Szükségszerű, hogy a kutyák a mennybe menjenek  Lehetetlen (nem lehetséges), hogy a kutyák ne menjenek a mennybe. Cp  ~p & ~~p Pl.: Kontingens, hogy a kutyák a mennybe mennek-e  Nem szükségszerű, hogy a kutyák a mennybe menjenek, és az sem, hogy ne menjenek a mennybe. Ap  p ∇ ~p Pl.: Apodiktikus, hogy a kutyák a mennybe mennek  Vagy az szükségszerű, hogy a kutyák a mennybe menjenek, vagy az, hogy ne menjenek oda. (∇ = kizáró “vagy”, tehát csak az egyik lehetséges, de az mindenképpen!) III. Következményrelációk pedig: (Következményrelációkon olyan kifejezések kapcsolatát értjük, amelyek közül az egyik a másikból következik a következő módon: ebből 

következik ez. Fordítva azonban NEM állnak meg!) p p p  p p  p Példákkal szemléltetve: Ha szükségszerû, hogy az ökör magában igyon, akkor lehetséges is magában innia. (p p) Abból, hogy szükségszerû, hogy az ökör magában igyon, következik, hogy ökör iszik magában. (p  p) Abból, hogy az ökör iszik magában, következik, hogy lehetséges az ökörnek magában innia. (p  p) IV. Az operátorok közti kapcsolatok Az operátorok között fennálló kapcsolatokat az ún. alethikus hatszögből olvashatjuk le Magyarázat: A nyilak az alá-fölérendelő (implikatív) viszonyt mutatják. Ez azt jelenti, hogy ha a fölérendelt állítás igaz, az alárendelt is igaz, ám ez fordítva nincs így. Például: Ha igaz az az állítás, hogy a Napnak minden nap szüksészerű felkelnie, az is igaz, hogy lehetséges minden nap felkelnie, ám abból, hogy a Napnak minden nap lehetséges felkelnie, még nem következik, hogy

szükségszerű is felkelnie. A kék vonalakból leolvashatjuk a kontradiktórikus (ellentmondó) viszonyokat. Ez azt jelenti, hogy ha az egyik állítás igaz, a másik hamis, de egyik mindenképpen igaz. Például: Ha az az állítás, hogy a jegesmedvének szükségszerű halat vacsoráznia, igaz, akkor az az állítás, hogy lehetséges nem halat vacsoráznia, hamis, de valamelyik mindenképp igaz. A lila szín a kontrárius (ellentétes) viszonyokat szimbolizálja. Ennél a kapcsolatnál ha az egyik állítás igaz, a másik szükségszerűen hamis, de lehet, hogy mindkettő hamis. Például: Ha igaz az az állítás, miszerint szükségszerű, hogy a lovakat lelőjék, akkor hamis az az állítás, hogy nem szükségszerű a lovakat lelőni, de lehet, hogy mindkettő hamis. (Pl mert kontingens az állítás.) A zöld vonalak mutatják meg a szubkontrárius (alárendelt-ellentétes) kapcsolatokat. Eszerint ha az egyik állítás hamis, akkor a másik állítás igaz, de az is

lehet, hogy mindkét állítás igaz. Például: Ha hamis az az állítás, hogy lehetséges a madaraknak fogsort felírni, akkor igaz az az állítás, hogy lehetséges a madaraknak fogsort nem felírni, de az is lehet, hogy mindkét állítás igaz