Villamosságtan | Felsőoktatás » Váltóáramú áramkörök jellemzőinek számítása komplex számokkal

22. Váltóáramú áramkörök jellemzőinek számítása komplex számokkal Váltakozó feszültség és áram leírása komplex alakban: Az u = U max * ej  t komplex szám a számsíkon U max nagyságú,  szögsebességgel pozitív irányban forgó, irányított egyenes szakaszt jelent. Fázisa ugyanis az idővel arányosan változik: =t Az Euler-összefüggés felhasználásával: u = U max * ej  t = U max (cos  t + j sin  t) Látható, hogy u képzetes része, egy szinuszosan változó feszültség időfüggését adja. Tehát egy szinuszosan változó feszültség u = U max * sin  t = Im u = Im U max ej  t összefüggéssel írható le. Az u feszültséghez képest  szöggel siető feszültség leírása hasonló módon történhet: u 1 = U 1max * sin ( t + ) = Im u 1 = Im U 1max ej ( t + ) u 1 tehát u-hoz képest  szöggel elforgatott forgó komplex szám segítségével írható le. Ha két szinuszosan változó feszültség

összegét akarjuk meghatározni, akkor a feszültséget leíró komplex mennyiségek összegének képzetes részét vesszük. Tehát szinuszos mennyiségek összeadása történhet úgy, hogy a leírásukra szolgáló komplex mennyiségeket összeadjuk és az összeg képzetes részét vesszük. Az eddig követett eljárás differenciálás és integrálás esetén is alkalmazható: Im  u dt = - (1 / ) U max * cos ( t + ) =  u dt A szinuszos mennyiség deriváltja, illetve integrálja kiszámítható, ha a megfelelő komplex mennyiséget differenciáljuk, illetve integráljuk, és az így kapott kifejezés képzetes részét vesszük. A komplex pillanatérték deriválása j -val való szorzást, az integrálás pedig j -val való osztást jelent. Komplex leírásnál a csúcsfeszültség U max = U max * ej  A komplex effektív érték és a komplex csúcsfeszültség közötti kapcsolat: U = U eff = 1 / 21/2 U max * ej  = U ej  A komplex effektív

érték abszolút értéke megegyezik a feszültség effektív értékével, szöge a feszültség kezdőfázisával. A fenti összefüggések alkalmazhatók szinuszos áramok esetén is Komplex ellenállások (impedanciák): Az eddig tanultak szerint az ellenálláson, induktivitáson és kapacitáson átfolyó áram és a rajtuk eső feszültség pillanatértékei között a következő kapcsolat áll fenn: u R = R i R ; u L = L (di L / dt); i C = C (du C / dt) A feszültségek és áramok helyett a komplex pillanatértéket behelyettesítve, és felhasználva azt, hogy a deriválás j -val való szorzást jelent: uR = R iR; uL = j  L iL; iC = j  C uC A pillanatértéket felírva az effektív értékek segítségével u = 21/2 U ej  t és i = 21/2 I ej  t Ezeket behelyettesítve az előbbiekbe, és egyszerűsítve a következőket kapjuk: u R = R I R ; U L = j  L I L ; U C = (1 / j  C) I C Ezek a kifejezések mind U=Z*I alakban írhatók. Ezt az

összefüggést szokás váltóáramú Ohm-törvénynek nevezni A Z-t impedanciának nevezzük. Ennek értéke az egyes kapcsolási elemekre: Z R = Z; Z L = j  L; Z C = 1 / j  C Számítások váltakozó áramú áramkörökben komplex mennyiségekkel: Az egyenáramú hálózatoknál megismert összefüggések itt is használhatók. Számításaink eredményeként mindig a komplex effektív értékeket kapjuk meg, és ezek abszolút értéke adja a ténylegesen mérhető értékeket. A Kirchoff – egyenletek megfelelő formája:  I k = 0 és  U k = 0 Soros és párhuzamos impedanciák eredője: Z S =  Z k és 1 / Z P =  (1 / Z k ) A hálózatokban rendszerint ellenállások, tekercsek és kondenzátorok együtt fordulnak elő. Így általános esetben az impedancia valós és képzetes részt tartalmaz: Z = R + j X = Z ej  ; Z = (R2 + X2)1/2 ;  = arc tg (X / R); R = Z * cos ; X = Z sin  A váltóáramú Ohm-törvény felírható a következő formában:

Z = U / I = (U * ej u / I ej i) = (U / I) ej (u - i) = Z ej  Ebből  u -  i =  következik, ami azt jelenti, hogy a feszültség az impedancia fázisszögével siet az áramhoz képest. Ugyanis  u =  i + 