Matematika | Felsőoktatás » Automatika

Automatika Mûszaki Informatikus hallgatók részére Tartalomjegyzék 1. Alapfogalmak 2. Irányítás fogalma 3. Nyitott és zárt hatásláncú irányítás 4. Az önmûködõ szabályozás elvi felépítése 5. Zavar kompenzáció 6. Matematikai alapok összefoglalója 7. Differenciálegyenlet megoldása az idõtartományban 8. Fourier transzformáció 9. Laplace transzformûáció 10. Differenciálegyenlet megoldása a frekvencia tartományban Lineáris folytonos idejû rendszerek leírása. Rendszer modell Állapotegyenletek Tipikus vizsgáló jelek Mintavételes rendszerek leírása Mintavételezés, tartás A z transzformáció Inverz z transzformáció Folytonos idejû rendszerek diszkrét idejû modellje Folytonos és diszkrét idejû rendszerek összekapcsolása Diszkrét idejû állapotegyenletek Állapotegyenletek átalakítása Összekapcsolt rendszerek állapotegyenlete Összefüggés az állapotegyenlet és az átviteli függvény között Lineáris tag jelátviteli

tulajdonságai Átmeneti függvény Súlyfüggvény Diszkrét rendszerek impulzus átviteli függvénye Folytonos idejû jelátviteli tagok frekvencia átviteli függvényei Nyquist diagram Bode diagram Összefüggés az amplitudó és a fázisdiagram között Diszkrét idejû tagok frekvencia átviteli függvénye A mintavételezett jel frekvencia spektruma A visszaállított jel spektruma Diszkrét frekvencia átviteli függvény Tipikus folytonos jelátviteli tagok jelátviteli tulajdonságai Ideális tagok Tárolós tagok Visszacsatolt rendszerek A lineáris szabályozások stabilitása A stabilitás fogalma A zárt rendszer aszimptotikus stabilitása 1 Stabilitásvizsgálatok a nyitott kör átviteli függvénye alapján Diszkrét idejû rendszerek stabilitása Strukturális és feltételes stabilitás A visszacsatolás hatása a stabilitásra Szabályozási körök követési és zavarelhárítási tulajdonságai A szabályozási hiba Dinamikus jellemzõk a frekvencia

tartományban A szabályozás típusazáma Szabályozási körök méretezési kérdései Méretezési eljárások Méretezés az átviteli függvény alapján Kompenzációs szabályozók, P, PI, PD, PID kompenzáció Holtidõ kompenzálása Labilis folyamatok szabályozása Diszkrét idejû kompenzáció Diszkrét idejû kompenzáció tervezése A mintavételezési idõ megválasztása Szabályozások zavarelhárító képessége Zavar kompenzáció Kaszkád szabályozások Nemlinearitások hatása Munkaponti linearizálás A szabályozási kör mûködése a telítési tartományban Állásos szabályozások 2 Alapfogalmak Irányítás: egy folyamatba történõ beavatkozás adott cél megvalósítása érdekében. Mi technológiai folyamatokkal fogunk csak foglalkozni A folyamat változása külsõ, belsõ hatások következtében jön létre. A folyamat jellemzõit és a külsõ hatásokat jelek testesítik meg. A jelnek van fizikai megjelenési formája, pl. áram,

feszültség, nyomás, ez a jelhordozó. A jelnek van információ tartalma is, mely a jel által képviselt hatást írja le. Pl, hogyan változik az áram, vagy a feszültség. Az irányítás módja az, hogy az irányító berendezés mért vagy más úton szerzett adatok alapján megváltoztatja a folyamatjellemzõit, így eléri más jellemzõknek is a megkívánt mértékû változását. Az irányított folyamat és az irányító berendezés együttesen alkotja az irányítási rendszert. A rendszertechnika a folyamatok anyagi jellemzõitõl elvonatkoztatva a rendszerek közös jellegzetességeivel foglalkozik. Az irányítás jelei. Az irányított folyamatnak vannak belsõ jelei, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk. Az állapotváltozók a folyamat mozgását írják le A belsõ mozgásokról a kimenõ jelekbõl kapunk információt. A folyamatot érõ külsõ hatásokat pedig a bemenõ jelekkel vesszük figyelembe. A bemenõ jelek egy rsze irányító jel, másik

része pedig zavaró jel. A jel lehet a folytonos idõ vagy a diszkrét idõ függvénye. A jel értékkészlete lehet a valós vagy komplex számok összessége vagy csak bizonyos számok összessége, vagy ezek része. A folytonos idejû és értékkészletû jeleket analóg jeleknek, a diszkrét idejû és diszkrét értékkészletû jeleket digitális jeleknek nevezik. 1. ábra: Folytonos ésdiszkrét jelek A jelek lehetnek determinisztikusak vagy sztohasztikusak. A determinisztikus jeleket idõfüggvényükkel lehet megadni. A sztohasztikus jeleket statisztikus tulajdonságaival jellemezhetjük. Az ipari gyakorlatban a jeleknek néhány fontos tulajdonsága van: 3 korlátosak, zajosak véges sávszélességûek, meghatározott információ tartalommal rendelkeznek. Az irányítás funkciói Az irányítási rendszer a 2. ábrán látható fõ komponensekkel rendelkezik 2.ábra: Az irányítási rendszer komponensei A bemenõ jelek: Irányító jel A rendszerrõl

rendelkezésre álló elõzetes információk ( egy része téves is lehet) Az irányított folyamat mért paraméterei, amely real-time információ Zavaró jelek Kimenõ jel az irányított jellemzõ. Rendszervázlatok Szerkezeti vázlat, a rendszert alkotó berendezésekrõl ad áttekintést. Példa erre egy váltakozó áramú fordulatszám szabályozott hajtás A váltakozó áramú szabályozott hajtás blokkvázlata látható a 3. ábrán Az egy vagy háromfázisú 50 Hz-es váltakozó áramú energiát egy egyenirányító (ac/dc konverter) egyenfeszültségû energiává alakítja át. Az egyenfeszültséget a dc/ac konverter (inverter) alakítja vissza háromfázisú változtatható frekvenciájú energiává. Az egyenirányító és az inverter között található a közbensõ kör, melynek energiatárolója szûrõként szerepel. A gépoldali konverter és a váltakozó áramú motor az egyenáramú motor elektromechanikus ekvivalensének tekinthetõ. A szabályozó vagy

vezérlõ elektronika e hajtásoknak nélkülözhetetlen része. 4 3. ábra: Váltakozó áramú hajtás szerkezeti vázlata Hatásvázlat vagy blokk diagram a jelátalakítás folyamatát ábrázolja. Elemei nem a szerkezeti elemek, hanem jelformáló tagok. A tag a blokkvázlat építõeleme, mely a berendezés kimenõ és bemenõ jelei közötti függvénykapcsolatokat szimbolizálja. A tagokat nyilakkal ellátott vonalak kötik össze. A nyilak a jelfolyam irányát mutatják A nyilak iránya a hatásirány, és az ezekkel összekapcsolt elemek hatásláncot képeznek. A jelek között mûveletek jelzésére egyezményes jelölések vannak. Ilyenek az összegezõ és a különbségképzõ, szorzó és osztó mûveletek. 4. ábra: egyenáramú külsõgerjesztésû motor lineáris blokkvázlata Nyitott és zárt hatásláncú irányítás Nyitott láncú irányítás: a folyamat irányított jellemzõjérõl szerzett valós idejû információ nem vesz részt az irányítójel

képzésben. Ez más szóval vezérlés (opel loop control).Példa erre az áramtól vagy idõtõl függõ motor indítás vezérlés A vezérlés akkor lehet pontos, ha az összes zavaró jellemzõt ismerjük. A nyitott hatásláncú vezérlés mindig stabil. Zárt hatásláncú irányítás: Az irányított jellemzõ tényleges értéke visszahat a beavatkozásra-. Ez a szabályozás ( Closed loop control) Az irányított jellemzõ tényleges értékét és a kívánt értéket összehasonlítva keletkezik a beavatkozó jel. A szabályozás lehet kézi vagy automatikus. A szabályozás elõre nem várt zavaró hatásokat is képes figyelembe venni. De lehet instabil 5 Az önmûködõ szabályozás felépítése. 5. ábra: Az önmûködõ szabályozó szerkezeti vázlata Gyakran használjuk az összevonz rendszervázlatot, amikor az erõsítõ, jelformáló szerv és a beavatkozó szerv egy blokként szerepel, és a szabályozott szakasz a következõ elem. 6. ábra: összevont

blokkvázlat Zavarkompenzáció A szabályozási körben a szabályozott jellemzõt visszacsatoljuk a szabályozókör elejére. Így visszacsatolás, feedback keletkezik Negatív visszacsatolás estén az elõírt érték és a módosított jellemzõ különbségét képezzük. Kellõen nagy körerõsítés esetén a módosított jellemzõ az ellenõrzõ, illetve az alapjelhez viszonyítva kis értékû rendelkezõ jellel állítható be a kívánt értékre. A zárt szabályozási rendszer egy olyan tag, ahol a bemenõ jel az alapjel, a kimenõ jel pedig a szabályozott jellemzõ. A két jel között meghatározott arányosság áll fenn, függetlenül a zavaró jelektõl. A zavaró jelekrõl nincs szükség ismeretekre, mert hatásukra a szabályozott jellemzõ megváltozik és ez beavatkozást eredményez. 6 Fontos a szabályozó dinamikus viselkedése is. A jelátviteli tagok jelkésleltetést okoznak, így a változások a hatásláncban idõkéséssel terjednek. Ez az

idõkésés a szabályozott jellemzõ értékében eltéréseket okozhat, és a rendszerben lengések keletkezhetnek. Ha a lényeges zavaró hatások ismertek, hatásuk jobban kiküszöbölhetõ. Ekkor ugyanis a zavar fellépte esetén a szabályozott jellemzõre gyakorolt hatás kialakulása elõtt be lehet avatkozni. Ezt hívjuk zavarkompenzációnak A megvalósítás módja pedig az elõrecsatolás, feedforward. Ekkor a zavaró jellemzõtõl függõen olyan jelet vezetünk a hatáslánc alkalmas összegezési pontjára, amely a zavarás hatását kiegészíti. Ez nyílt láncú beavatkozást jelent Az elõrecsatolást általában kombinálva alkalmazzák a visszacsatolással. A hagyományos szabályozási feladatokat a visszacsatolt rendszer látja el, amely az egyéb, nem ismert zavarok hatását kompenzálja, az ismert zavar felléptekor pedig mûködik az elõrecsatolás. 7. ábra: zavarkompenzáció 7 Matematikai alapok. Egy bemenetû és egy kimenetû lineáris rendszer

mûködését n-ed rendû differenciál egyenlet írja le: dy n ( t ) dy n − 1 ( t ) dy n − 2 ( t ) d m x( t ) d m − 1 x( t ) + bn − 1 + bn − 2 + . + b0 y ( t ) = a m + am− 1 + . + a 0 x( t ) = g ( t ) dt n dt n − 1 dt n − 2 dt m dt m − 1 Az egyenletben m?n. A differenciálegyenletnek elvileg végtelen sok megoldása van, amelyek közül azt kell kiválasztani, amely eleget tesz az y(t) függvényre vonatkozó peremfeltételeknek. A dy ( t ) d 2 y( t ) peremfeltételek kezdeti feltételekként adottak: y ( t ) t = 0 , t= 0 , t = 0 Az dt dt 2 egyenlet inhomogén differenciál egyenlet, amely inhomogén abban az esetben, ha a gerjesztés függvény, g(t) =0. A differenciálegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összegeként kapjuk. y( t ) = y( t ) h + y( t ) i A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: y ( t ) h = k1e s1t + k 2e s 2 t + . + kn e s n t

k1, k2, kn állandók, s1, s2, sn pedig a karakterisztikus egyenlet gyökei. Ha a karakterisztikus egyenletnek többszörös gyökei is vannak, akkor az e4gyes tagokban az exponenciális függvények t hatványaival vannak szorozva. Pl ha s12 kétszeres gyök, a megoldás az alábbi alakú lesz: y ( t ) h = ( k1 + k 2t ) e s12 t + k3e s3t + . + k n e s n t Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása legyen f(u), mivel a gerjesztõ jeltõl függ. Ezzel az általános megoldás: y ( t ) = y ( t ) h + f ( u ) = k1e s1t + k2e s 2 t + . + kn e s n t + f ( u ) A jobboldalon álló tényezõk közül csak f(u) függ a bemenõjeltõl. 8 Fourier transzformáció Bármely y(t) jel felírható harmonikus jelek összegeként. Periodikus jelek esetén az õsszeg megszámlálhatóan végtelen sok tagból áll, amelyek diszkrét frekvenciákkal rendelkeznek. Ez esetben Fourier sorról beszélünk Komplex formája: y( t ) = +∞ ∑ n= − ∞ c n e jnΩ t 2π körfrekvencia, és Ts

az y(t) jel periódus ideje. Ts A cn komplex együtthatót a következõ összefüggésbõl kapjuk: A képletben Ω = cn = 1 Ts Ts 2 ∫ y( t ) e − jnΩ t dt T − s 2 A cn amplitúdók az y(t) periodikus jel amplitudó spektrumát jelentik. Nem periodikus jelek esetén az y(t) függvény spektruma végtelen sok összetevõbõl áll, amelynek frekvenciái folytonos eloszlásúak. Ekkor egy ω körfrekvencia körüli dω sávra számított amplitúdó sûrûséggel számolhatunk. Ennek 2 π szeresét jelöljük y(jω)-val: ∞ 1 y( t ) = 2π y ( jω ) = ∫ y ( jω ) e jω t dω −∞ ∞ ∫ y( t ) e − jω t dt −∞ Az egyenletek alkotják a Fourier transzformációs párt. Összefüggést írnak le az y(t) idõfüggvény és az y(jω) amplitúdó sûrûség spektrum között. Az integrál csak akkor létezik, ha az y(t) függvény abszolút integrálható, vagyis ha ∞ ∫ y( t ) dt = véges. −∞ Ez nagyban korlátozza a szóba jöhetõ függvények

számát. Nagyon gyakran az y(t) függvény csak t≥ 0 idõkre különbözik nullától, ekkor elég az integrálást 0 és +∞ között végezni. A Fourier transzformáció nagy elõnye, hogy a differenciál egyenletek egyszerû algebrai egyenletekké redukálódnak a frekvencia tartományban. Így az idõtartományban a differenciálást és integrálást algebrai mûveletek helyettesítik. 9 Az abszolút integrálhatóság kritériuma azt is jelenti, hogy y(t) négyzetes integrálja is létezik. Így a jeleknek véges energiájuk van Ez a frekvencia tartományban a Parseval vagy Rayleigh tétellel fejezhetõ ki: ∞ ∞ 1 2 y ( t ) dt = y ( j ω ) y ( − j ω ) dω ∫− ∞ 2π −∫∞ Laplace transzformáció A Fourier transzformáció használatát az abszolút integrálhatóság feltétele feltétel erõsen korlátozza. Emiatt sok, a gyakorlat számára fontos függvénynek, így az ugrásfüggvénynek sincs Fourier transzformáltja. E korlátozás jelentõsen

csökkenthetõ, ha a transzformálandó függvényt e − σ t tényezõvel szorozzuk meg és azután képezzük a Fourier transzformáltját. Ez esetben σ>α feltétel esetén még az e − α t exponenciális függvény is abszolút integrálhatóvá válik a t=0 és t=+∞ tartományban. Az e − σ ω t tényezõvel szorzott egyoldalas függvény Fourier transzformáltját az eredeti függvény Laplace transzformáltjának nevezzük: L[ y ( t ) ] = ∞ ∫ y ( t ) e − σ t e − jω t dt = −∞ ∞ ∫ y( t ) e − st dt = Y ( s ) −∞ ahol az s=σ+jω, operátor pozitív valós részû komplex szám, σ>0. Ha képezzük az s j∞ átmenetet, az Y(s) Laplace transzformált az Y(jω) Fourier transzformáltba megy át, Ha a Fourier transzformált létezik. Az inverz Laplace transzformált az inverz Fourier transzformáció képletébõl s=jω helyettesítéssel kapható. 1 y( t ) = 2π σ + jω ∫ Y ( s)e − st ds σ − jω A formula komplex integrál,

ahol az integrálási utat úgy kell kiválasztani, hogy y(s) regularitási tartományban haladjon, és a szinguláris helyek tõle balra essenek. Ezt az általános érvényû Riemann-Mellin-féle inverziós formulát a gyakorlati számításokban szûkebb érvényû, de könnyebben kezelhetõ módszerekkel (pl. kifejtési tétel) lehet helyettesíteni. 10 Néhány egyszerû függvény Laplace transzformáltja az alábbi: y( t ) Y ( s) δ (t) 1 1( t ) 1 s e ± at 1 sa 1 ( s  a) 2 ω 2 s +ω2 s 2 s +ω2 te ± at sin ( ω t ) cos( ω t ) Mûveleti szabályok a.) Differenciálás  dy ( t )  L  = sY ( s ) − y ( 0)  dt   d 2 y( t )  dy ( t ) L = s 2Y ( s ) − sy ( 0 ) − 2  dt  dt  t= 0 Általánosítva, az n-ik derivált Laplace transzformáltja a következõ alakban írható fel:  d n y( t )  dy ( t ) L = s nY ( s ) − s n − 1 y ( 0 ) − s n − 2 n  dt  dt  − s n− 3 t= 0 d 2 y( t ) dt 2 . − s

t= 0 d n− 2 y( t ) dt n − 2 − t= 0 d n− 1 y( t ) dt n − 1 Ha az összes kezdeti érték zérus, akkor az idõszerinti differenciálás s megfelelõ hatványával való szorzássá egyszerûsödik.  d n y( t )  L = s nY ( s ) 2  dt   Azokban az esetekben, amikor egy egyoldalas függvény a t=0 pontban a t ≤ 0 tartománybeli y=0 értékérõl y=y 0 -ra ugrik a (2.16) egyenletben y(0) két különbözõ felfogásban értelmezhetõ. 11 t= 0 α.) A szigorú matematikai szemléletmódban az y függvény a szakadás helyén nem differenciálható, így a (2.16) a t>0 tartománybeli differenciálhányadosainak Laplace transzformáltját adja értelemszerûen e tartomány határán elhelyezkedõ y(0) kezdeti értékkel. (Ezek a differenciálhányadosok t0 esetén a szakadási hely un. jobboldali differenciálhányadosaihoz tartanak, így a (216b)-ban elõforduló y(0); stb. értékek is egyértelmûek) β.) A matematikailag nem eléggé precíz, de

praktikus esetben – legalább is a (2.16a) egyenletre – jól használható felfogás az y függvény ugrását a t=0 pontban egy ∆t ideig tartó véges meredekségû szakasz elméleti határesetének tekinti. Ekkor a (2.16a) egyenletben szereplõ kezdeti érték y(0)=0 A véges meredekségû szakaszon létezik differenciálhányados, amelynek pl. az idõfüggvénye, ha a meredekség állandó, ∆t szélességû állandó amplitúdójú négyszögimpulzus. Ennek területe a meredeken emelkedõ szakasz y 0 végértéke (∆t⋅y 0 /∆t). Ha a meredekség nõ, ∆t csökken, az impulzus terület azonban változatlan marad. A végtelen meredekségre való áttéréskor az impulzus y 0 területû Dirac impulzussá válik. Ekkor a (2.16a) egyenlet y(0)=0 helyettesítéssel nemcsak a t> tartomány differenciálhányadosának, hanem formálisan az „ugrás differenciálhányadosának” minõsíthetõ Dirac impulzusnak is megadja a Laplace transzformáltját. A β.) felfogás

matematikai pongyolasága ellenére is helyes eredményt ad, ameddig olyan jelek képzésére használják, amelyek egy integrátoron (vagy a késõbbiekben tárgyalt tárolós tagon) haladnak keresztül. Az integrálás ugyanis megszünteti a problémát okozó Dirac függvényt. A b.) értelmezés akkor válik egyre nehezebbé, ha a (216b) egyenlet kapcsán a magasabb rendû differenciahányadosokra is ki akarjuk terjeszteni. Ekkor már a Dirac függvény differenciálhányadosait is értelmezni kellene, ami matematikailag egyre abszurdabb eredményre vezet. b.) Integrálás t  1 L  ∫ y ( t ) dt  = Y ( s ) 0  s c.) Eltolási tétel L[ y ( t ± T ) ] = e ± sT Y ( s ) Az egyoldalas y(t) függvény kezdõpontjának T-vel való késleltetése a transzformált függvényben exp(-sT)-vel való szorzással vehetõ figyelembe. d.) Csillapítási tétel [ ] L e − at y ( t ) = Y ( s + a ) 12 A t tartománybeli exponenciális e − at csillapítás az s

tartományban a-val történõ eltolásnak felel meg. e.) Kezdeti és végérték tételek Nagyon gyakran használható tételek a t és az s operátoros tartománybeli határértékek közötti összefüggést írják le: lim y ( t ) = lim sY ( s ) t + 0 s ∞ lim y ( t ) = lim sY ( s ) t ∞ s 0 Ez utóbbi kifejezés akkor alkalmazható, ha Y(s) pólusai a baloldali félsíkra esnek (tehát pl. e at ; sin(t); stb függvények esetén helytelen eredményt ad) f.) Konvolúció (Faltung) tétel Két függvény konvolúcióján az alábbi kifejezést értjük: y1 ( t ) ∗ y2 ( t ) = t ∫ y ( τ ) y ( t − τ ) dτ 1 2 0 A függvény Laplace transzformáltja a következõképpen számítható: Ha L[ y1 ( t ) ] = Y1 ( s ) , és L[ y2 ( t ) ] = Y2 ( s ) ,akkor L[ y1 ( t ) ∗ y2 ( t ) ] = Y1 ( s )Y2 ( s ) Azaz a konvolúció az operátoros tartományban szorzásnak felel meg. g.) Racionális törtfüggvény inverz transzformáltja Lineáris koncentrált paraméterû

rendszerek analízisekor és szintézisekor elõforduló jelek Laplace transzformáltja a legtöbbször racionális törtfüggvény. Y ( s) = G ( s ) a0 + a1s + a2 s 2 + . + am s m = H ( s) b0 + b1s + b2 s 2 + . + bn s n Az egyenlet jobb oldala részlettörtekre bontható és tagonként transzformálható az idõtartományba. Ez a kifejtési tétel, amely akkor egyszerû, ha a nevezõ s i gyökei – y(s) pólusai – egyszeresek. Ekkor a résztörtekre bontott alak: 13 Y ( s) = ∑ G ( si ) ki , ki = H ( si ) s − si H ( si ) a H(s) polinom s szerinti deriváltjának értéke az s=si helyen. az idõfüggvény: y( t ) = n ∑ i= 1 G ( si ) si t e H ′ ( si ) Többszörös gyökhöz a részlettörtekre bontáskor a gyök multiplicitásával azonos számu részlettört tartozik. Pl ha az i-ik gyök kétszeres, a megfelelõ részlettört: ki1 ki 2 + s − si ( s − si ) 2 Az ehhez tartozó idõfüggvény táblázatból kikereshetõ: y ( t ) = ( ki1 + ki 2 ) e si t

Gépi számítás: A részlettörtekre bontást a MATLAB programmal a residue utasítással végezhetjük el. Megfelelõ paraméterezéssel az utasítás a racionális törtfüggvények részlettörtjeinek együtthatóit és pólusait adja, vagy ezekbõl rekonstruálja az eredõ tört számlálóját és nevezõjét. Lineáris állandó együtthatós n-ed rendû differenciálegyenlet megoldása a frekvencia tartományban Az állandó együtthatós differenciálegyenlet frekvencia tartománybeli megoldásakor az idõfüggvények helyett áttérünk azok Laplace transzformáltjára, ezáltal a differenciálegyenlet algebrai egyenletté válik. Kifejezzük a keresett ismeretlen jelet és az eredményt visszatranszformáljuk az idõtartományba. 14 A szabályozott szakasz matematikai modellje Az irányító rendszerekben az irányított folyamatot rendszertechnikai modellel írjuk le. A modell a bemenõ és kimenõ jelek közötti összefüggéseket írja le. A modell alkotás

elméleti megfontolásokkal, empirikusan, vagy a két módszer kombinációjával alkotható meg. Empirikus esetben a folyamaton végzett mérések alapján határozzuk meg a modellt, amit identifikációnak nevezünk. A modell mindig olyan közelítése a folyamatnak, amely az irányítás szempontjából elhanyagolható kevésbé fontos tényezõket nem tartalmazza. Fizikai rendszerekben a fellépõ hatások a rendszer tehetetlensége miatt nem érvényesülhetnek azonnal. Azaz, a rendszer mindig tartalmaz energiatárolókat Ezek különféle formában vannak jelen, mint hõtartalom, villamos töltés, mágneses fluxus, helyzeti és mozgási energia, vagy logikai rendszerekben a regiszterek vagy memória elemek. A tároló elemek tartalma csak egy véges idõ alatt változhat meg, így a rendszer állapota a pillanatnyi bemenõ jeleken kívül a korábbi eseményektõl is függ. Ezen tároló elemek tartalma egyértelmûen jellemzi a rendszer állapotát, így a további állapot a

vizsgált idõpont elõtti állapotok ismerete nélkül is leírható. Ezért a rendszer ezen tárolók tartalmával kapcsolatban álló belsõ jelekkel, úgynevezett állapotváltozókkal is leírható. Az állapotváltozók olyan jelek, amelynek az értéke egy következõ pillanatban meghatározható az adott idõpontbeli értékbõl, a bemenõ jelekbõl és a rendszer paramétereibõl. Ilyen jelek az analóg rendszerekben lévõ integrátorok kimeneti jelei, vagy a passzív villamos hálózatokban az induktivitások árama, a kondenzátorok töltése, feszültsége. Az állapotváltozók a bemenõ jelek és a kimenõ jelek közötti kapcsolatokat differenciál egyenletek, és algebrai egyenletek- állapot egyenletek írják le. A szabályozott szakasz matematikai modelljének megalkotását egy egyenáramú motor segítségével szemléltetjük. 1. Külsõ gerjesztésû egyenáramú gép modellje Differenciál egyenlet és blokkvázlat A külsõgerjesztésû egyenáramú gép

helyettesítõ áramköre az 1. ábrán látható 8. ábra: Külsõ gerjesztésû gép helyettesítõ áramköre 15 A gépet az ua armatúra feszültségrõl tápláljuk. Armatúra körében ia armatúra áram folyik az Ra armatúra köri ellenálláson és az La armatúra köri induktivitáson keresztül. Az armatúrában indukálódik az ui indukált feszültség. A gép nyomatéka mm, míg az mL a gép tengelyét terhelõ összes nyomaték. A teljes forgó tömeg tehetetlenségi nyomatéka J. A megfelelõ differenciál egyenletek a következõk: Ri + L di + ui = u dt ui = ciφ ω = cuω J dω = mm − mL dt armatúra hurokegyenlet, indukált feszültség, komprenzált gépet, azaz állandó fluxust feltételezve mechanikai egyenlet mM = c2φ i = cmi a motor villamos nyomatéka mL pedig a forgórészre ható teljes terhelõ nyomaték. dθ =ω dt szögsebesség t θ = ∫ ω dt szögelfordulás 0 A 2. és 4 egyenletekkel, kiküszöbölve a fluxust, felírható: cu

mmω cm Ahol ui ia az armatúrában mechanikai teljesítménnyé átalakuló villamos teljesítmény. cu = c , így a villamos teljesítmény: cm uiia = ui ia = cmmω Az egyenáramú gép állapotegyenleteinek felírásához ki kell jelölnünk az állapotváltozókat. Ezek: I armatúra áram, amely az induktivitásban tárolt induktív energia miatt nem változhat ugrásszerûen, ω szögsebesség, amely a forgó tömegekben tárolt mozgási energia miatt szintén nem változhat ugrásszerûen, 16 θ szögelfordulás, amely a szögsebesség integrálja, tehát szintén nem változhat ugrásszerûen. A motor egyenleteket ezek figyelembe véve átrendezzük: di R c u = − i− uω + dt L L L dω c m = mi− L dt J J dθ =ω dt A motor kimenõ jelei a szögsebesség és a szögelfordulás: y1 = θ és y2 = ω . A fenti egyenletek adják az egyenáramú szervomotor állapotegyenletes alakját az idõtartományban. Ez alapján felrajzolható a motor hatásvázlata, vagy

számítási modellje, lásd 9. ábra 9. ábra: Az egyenáramú motor állapotegyenletek alapján felrajzolt hatásvázlata Az állapotegyenletek a frekvencia tartományban Az egyenáramú motor állapotegyenletét a frekvencia tartományban is felírhatjuk. Ehhez át kell térnünk a Laplace transzformáltakra. 17 sI ( s ) = − sΩ ( s ) = c R U ( s) I ( s) − u Ω ( s) + + i( 0) L L L cm M L ( s) I ( s) − + ω ( 0) J J sθ ( s ) = Ω ( s ) + θ ( 0 ) A motor kimenõ jelei a szögsebesség és a szögelfordulás: Y1 ( s ) = θ ( s ) és Y2 ( s ) = Ω ( s ) . A hatásvázlat a 10. ábrán látható 10. ábra: Állapotegyenlet a frekvencia tartományban Pl: Differenciál egyenletek megoldása Példa: Legyen egy egyfázisú egyutas diódás egyenirányító induktív jellegû impedanciával terhelve. Szinuszos tápfeszültség esetén határozzuk meg a terhelésen folyó áramot. 18 11. ábra: egyutas diódás egyenirányító LR terheléssel Az áramkörre az

alábbi differenciál egyenlet írható fel: 2U sin ω t = Ri + L di dt A homogén egyenlet általános megoldása az alábbi: ieh = ce − R t L Ha dióda nem lenne az áramkörben, a bekapcsolási jelenség lezajlása után kialakuló állandósult áram szinuszos alakú lenne. Így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása a következõ: iep = 2 I sin ( ω t − ϕ ) Az áram effektív értékét a feszültségbõl és az impedanciából határozhatjuk meg: U I= R + L2ω 2 2 A fázisszög pedig a következõképpen írható fel: ϕ = arctg ωL R A teljes megoldás a két áram összegeként adódik: i = ieh + iep = ce − R t L + 2 I sin ( wt − ϕ ) A következõ feladat a c konstansértékének meghatározása. Ez abból a feltételbõl határozható meg, hogy a dióda zárt állapotában áram nem folyik, így a nyitóirányú feszültség megjelenésekor (t=0), ie=0: c+ 2 I sin ( − ϕ ) = 0 , c = 19 2I sin ϕ Ha ezt visszahelyettesítjük a

teljes megoldásba, az áramkörben folyó áramra a következõ kifejezést kapjuk: i= R − t   2 I  sin ( ω t − ϕ ) + e L sin ϕ    Az áram két komponensbõl áll: egy állandó amplitúdójú szinuszos és egy exponenciálisan csökkenõ egyenáramú komponensbõl. 2. ábra: Az áram idõfüggvénye 20