Informatika | Információelmélet » Információ megjelenítés, fraktálok

Információ megjelenítés Fraktálok Dr. Iványi Péter Fraktálok • Eddigi objektumok egyszerűek • Természeti tárgyak komplexek – Nem símák – Kaotikus viselkedés, alak • Felhők, hegyek, növények • Első alkalmazása: – Skócia partvonalának hossza – A hossz egyre nagyobb lett, ahogy a mérőeszköz kisebb lett!!! Fraktálok • Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (önmagához hasonló) Előállítás egyik módszere • Iterációval • Például: L rendszerek • A. Lindenmayer (1925-1989) vezette be mint matematikai eszközt több cellás organizmusok modellezésére „Újraírás” • Az újraírás, olyan technika complex objektumok definiálására, ahol egy egyszerű kezdeti objektum részeit egy szabály szerint helyettesítjük újabb objektumokkal. • Újraírási szabály adja meg a hogyant Hópehely • Von Koch 1905 Nyelvtanok

• Legjobban tanulmányozott újraírási rendszerek karakterekre épülnek • 1950-es évektől Chomsky munkája meghatározó a formális nyelvtanok területén • Az L-rendszereket Lindenmayer 1968-ban vezette be Különbség • A Chomsky nyelvtan szekvenciálisan, egymás után sorban, alkalmazza az újraírást • Az L-rendszerben az újraírás parallel, egyszerre történik, ezzel is egy celuláris organizmus osztódását szimulálva Példa 1. • Vegyük azokat a szavakat melyek az „a” és a „b” betűkből állnak • Minden betűhöz egy „újraírási szabály” is adva van • a ab • b a • Az újraírás egy alap szóval kezdődik, egy axiómával Példa 2. Grafikus értelmezés • A karaktersorozatok (szavak) „teknős” grafikai parancsok sorozataként is értelmezhetők • Például: – “F”: mozdulj előre – “+”: fordulj balra – “-”: fordulj jobbra Példa • Axióma: F-F-F-F • Szabály: F F-F+F+FF-F-F+F

Növények 1. Növények 2. Növények 3. Más fraktálok Mandelbrot halmaz Julia halmazok Matematikai definíció • Fraktál: olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a topológiai dimenziójánál. • Topológiai dimenzió – Pont : 0 – Egyenes szakasz : 1 – Felszín : 2 Fraktál dimenzió • Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek s-szeres (s < 1) nagyításai Hnak. • Egy objektumban egy x hosszt N darab nem átfedő x/s hosszal helyettesítünk, akkor az objektum dimenziója: log N D( H ) = log s Nem fraktálok Pl.: egyenes szakasz log N log 2 D( H ) = = =1 log s log 2 Pl.: négyzet log N log 4 D( H ) = = =2 log s log 2 Fraktál Pl.: Koch-féle görbe N = 4 vonaldarab, s = 3-ad olyan hosszú vonalak N=4, s =3 log N log 4 D( H ) = = = 1.261 log s log 3 Fraktál 3 különálló rész, 2-szeres nagyítás log N log 3 D( H ) = = = 1.5849 log s log 2 Fraktál • A terület nem

változik, így a belső terület fraktál dimenziója: 2 • A kerület viszont változik • Minden x hosszt 4 vonaldarabbal helyettesítünk, melyek hossza 2 / 4 D( H ) = log 4 ( log 4 / 2 ) = 1.3333 Fraktál hegyek Fraktál felhő