Egészségügy | Felsőoktatás » Biometria jegyzet

1 Biometria jegyzet Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 2 BEVEZETÉS A biológiai jelenségeket matematikai módszerekkel elemző tudomány. Statisztikai módszerek segítségével kvantitatív biológiai kérdések megoldását teszi lehetővé. Mérnökök, pszichológusok, orvosok, gyógyszerészek, mezőgazdászok, stb. Dr. Szelezsán János könyve Dr. Sváb János: Biometriai módszerek a kutatatásban, Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1981 Lothar Sachs: Statisztikai módszerek, Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1985. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 3 A változók tulajdonságai Adat Változó Fontos: a vizsgálandó változó milyen típusú: nominális, ordinális, intervallum vagy hányados Nominális. Pl a beteg neme, családi állapota, születési helye, foglalkozása, stb. Ordinális. Pl a beteg szociális helyzete, iskolai végzettsége, stb. Dichotom

Intervallum. Pl a beteg halálozási éve, láza, stb Hányados. Pl a beteg magassága, súlya, stb Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 4 ALPAFOGALMAK Minta, minták. Minták függetlensége Átlag, (korrigált) szórás Legyenek valamely N elemű populáció (betegcsoport, egészséges kontrol, stb.) egy x változójának mért vagy számított értékei: x1 , x2 ,., xn n x1  x2  .  xn x . n Informatikai Alkalmazások Intézete (s.d) s  Gábor Dénes Főiskola  x  x  2 i i 1 n 1 Biometria 001 FM029/01 5 Medián, terjedelem, módusz, variációs együttható Medián Ha n páratlan, akkor az értékek közül a nagyság szerint rendezett sorban a középső, ha n páros, akkor a két középső érték számtani közepe. Terjedelem A legnagyobb és a legkisebb érték közötti különbség. Módusz A leggyakrabban előforduló érték. s Variációs együttható V , x ahol

feltételezzük, hogy mindegyik érték pozitív. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Rangszám 6 x1 , x2 ,., xn Nagyság szerinti növekvő sorrendbe helyezzük. Ha xi (i  1,2,., n) ebben az elrendezésben a j-edik legnagyobb, akkor azt mondjuk, hogy rangszáma j. Ha a nagyság szerinti elrendezésben több azonos is előfordul, akkor az egyenlő értékek sorszámainak számtani közepe lesz ezen értékek rangszáma Példa. x1  85, x2  36, x3  33, x4  85, x5  3.6, x6  38, x7  77, x8  44, x9  85 Ekkor, mivel az elemek sorrendje 3.3, 36, 36, 38, 44, 7.7 ,85, 85, 85, ezért az elemek rangszámai rendre: (7+8+9)/3=8, (2+3)/2=2.5, 1, 8, 25, 4, 5, 6, 8 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Standard hiba (standard error, s.e) 7 Nem más, mint az átlag szórása: . s2 sx  n A PRÓBÁK CÉLJÁNAK RÖVID LEÍRÁSA H 0 nullhipotézis

próbafüggvény p szignifikancia szint egyoldalú vagy kétoldalú próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 8 Bartlett - Binomiális - Cluster BARTLETT PRÓBA Kettőnél több, független minta szórásának összehasonlítása; normális eloszlás BINOMIÁLIS PRÓBA Egy bizonyos tulajdonság 1/2 valószínűséggel fordul-e elő. CLUSTER ANALÍZIS Egy tulajdonsághalmaz, amely minden betegnél ismert. Meghatározandó m csoport (cluster) "hasonlók" legyenek egy csoportban, míg a különböző csoportokhoz tartozók ne legyenek "hasonlók". Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 9 Cochran - Diszkriminancia - Dixon Cochran féle Q-próba n számú egyeden egy adott tulajdonság hogyan alakul k különböző feltétel vagy vizsgálati módszer mellett Diszkriminancia analízis n beteg mindegyikéről tudjuk, hogy melyik csoporthoz tartozik. Ha új

beteget vizsgálunk, a csoportokhoz való tartozás felismerése lehetővé válik változóknak egy, speciális módon definiált függvénynek a megadásával. Dixon próba Kiugró érték kizárásának eldöntéséhez. A vizsgált minta normális Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 10 Előjel - Fisher - F Előjel próba 1.eset: A "tulajdonság", amit vizsgálunk: X > Y 2. eset: a páron belüli különbségek mediánja nulla-e Fisher próba Négymezős táblázatok értékelésére használatos eljárás Eldöntendő: a két minta ugyanolyan eloszlású-e. F-próba Két, szórás összehasonlítására használjuk. (A minták normális eloszlásúak). Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Friedman-Kendall - Homogenitás - Illeszkedés 11 Friedman-Kendall próba N beteget k különböző feltétel mellett vizsgálunk. Arra keresünk választ, hogy az N beteg

származhat-e ugyanabból a populációból. Homogenitás vizsgálat Két minta azonos eloszlású sokaságból származik-e. Illeszkedés vizsgálat Egy csoportra százalékos adatokat találunk bizonyos változóra vonatkozóan és saját anyagunkat szeretnénk ezekkel összehasonlítani. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 12 Iteráció - Kapcsolatvizsgálat Iteráció próba A próba a véletlenszerűség vizsgálatára használható Kapcsolat vizsgálata Egy populáció egyedeinek két tulajdonságát vizsgáljuk Asszociációs együttható - Kontingencia együttható Egy minta két változóját vizsgáljuk Közönséges korreláció Normalitást feltételezzük Spearman féle rangkorreláció A rangszámok közötti közönséges korrelációs együtthatóval azonos. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 13 Kolmogorv-Szmirnov - Konfidenciaintervallumok

Kolmogorov-Szmirnov próba Normalitás vizsgálat (egymintás eset), illetve két változó, vagy két minta valamilyen változója azonos eloszlású-e (kétmintás eset). Konfidenciaintervallumok Azt az intervallumot, amelyik egy ismeretlen értéket (középérték, medián, szórás, variációs együttható, relatív gyakoriság, stb.) egy meghatározott valószínűséggel tartalmaz, megbízhatósági tartománynak vagy konfidenciaintervallumnak nevezzük. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 14 Kruskal-Wallis - Mann-Whitney - McNemar KRUSKAL-WALLIS PRÓBA Azt vizsgálhatjuk vele, hogy k független minta valamilyen változójának átlagai megegyeznek-e. MANN-WHITNEY FÉLE U PRÓBA Két független minta ordinális típusú változó átlagainak összehasonlítására szolgál. MCNEMAR PRÓBA Négymezős táblázatban azt vizsgálhatjuk, hogy azonos N számú egyeden valamilyen alternatív tulajdonság hogyan alakul két

különböző feltétel vagy vizsgálati módszer mellett. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Regressziók - t-próbák REGRESSZIÓK Néhány ismert függvénnyel kapcsolatos regressziót ismertetünk. T-PRÓBÁK (normalitás) a. Egy minta átlaga megegyezik-e valamilyen adott értékkel. (u-próba) b. Két minta átlaga megegyezik-e c. Páros t-próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 15 16 Valószínűségek, variációs együtthatók összehasonlítása Valószínűségek összehasonlítása Adott két minta. A két mintát össze szeretnénk hasonlítani abból a szempontból, hogy valamely esemény bekövetkezésére ugyanúgy viselkednek-e. Variációs együtthatók összehasonlítása Két variációs együttható összehasonlítása a normális eloszlásfüggvény segítségével végezhető el. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola

Biometria 001 FM029/01 17 Variancia-analízis - Wald-Wolfowitz - Wilcoxon Variancia-analízis Normális eloszlású populációk átlagai megegyezésének vizsgálatára használt próba. Wald-Wolfowitz próba Az vizsgálható ezzel a próbával, hogy két minta ugyanolyan eloszlású-e. Wilcoxon féle előjeles rangpróba n megfigyelés párunk van. Azt vizsgáljuk, hogy van-e a két minta átlaga között szignifikáns különbség. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 18 Mintapéldák AZONosítója NEMe (1=férfi, 2=nő) életKORa testSULYa (kg) MAGassága (cm) BETegsége (1=SPA, 2=RA, 3=SLE, 4=XXX, 5=YYY, 6=UUU, 7=EGYÉB) ALLAPota (1-5, 5 a legsúlyosabb) életkor KEZDeti elsőfokú ROKona (1=van, 2=nincs, 3=nem tudja) Használt gyógyMOD (1-4) süllyedés (WEE ill. WEU) Légzési kitérés (LEGZE ill. LEGZU) Fájdalma vizuális analóg skálán (VASE ill. VASU) Laborparaméterek: LABiE ill. LABiU (i=1,,5) (ORVE, ORVU:

0-4 skálán) Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 19 1. Milyen típusú(ak) a változó(k)? 2. Mit kell alkalmaznunk? 1. Példa A kezelés előtti VAS és a kezelés utáni VAS értékei között (VASE ill. VASU) van-e szignifikáns különbség? a. t-próba b. páros t-próba c. Wilcoxon féle előjeles rangpróba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 20 2. - 3 Példa 2. példa: Az SPA-s és az RA-s betegek kezelés előtti légzési kitérése között van-e szignifikáns különbség? a. t-próba b. páros t-próba c. Mann-Whitney féle u-próba 3. példa: Van- e szignifikáns kapcsolat a KOR és a SULY között? a. Asszociációs együttható b. Közönséges korrelációs együttható c. Spearman-féle rangkorreláció együttható Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 4. -5 Példa 4. példa: Az egyik beteg testsúlya

jóval magasabb a többihez viszonyítva. Ez kiugró érték? a. t-próba b. Dixon próba c. Előjel próba 21 5. példa: A KOR szórása az egyes betegcsoportokban különbözik-e egymástól? a. F-próba b. Bartlett próba c. Diszkriminancia analízis Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 6. - 7 Példa 22 6. példa: Az egyes változók normális eloszlásúak-e? a. Illeszkedésvizsgálat b. Egymintás Kolmogorov-Szmirnov próba c. Wald-Wolfowitz próba 7. példa: A NEM és a BETegségcsoportok függetlenek-e? a. Spearman korreláció b. Asszociációs együttható c. Kontingencia együttható d. Fisher próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 8. - 9 Példa 23 8. példa: Az SPA-s és az RA-s betegek testsúlya azonos eloszlású-e? a. Kétmintás Kolmogorov-Szmirnov próba b. Wald-Wolfowitz próba c. Kruskal-Wallis próba 9. példa: Az egyes betegcsoportok Broka

indexének megoszlása különbözik-e egymástól? (Broka index=suly / (magasság - 100)) a. Variancia analízis b. Kruskall-Wallis próba c. Bartlett próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 24 10. Példa 10. példa: Ha lehetőségünk lenne, hogy a betegekre bizonyos időközöket követve mind a négy kezelésmódot megcsináljuk, akkor a betegek kezelés utáni paraméterei a négy csoportban ugyanolyan eloszlásúak? a. Friedmann-Kendall próba b. Variancia analízis c. Wald-Wolfowitz próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 25 11. Példa 11. példa: Ha lehetőségünk lenne, hogy a betegekre bizonyos időközöket követve mind a négy kezelésmódot megcsináljuk, akkor a betegek azon tulajdonságát, hogy a VAS értéke legalább felére csökkent, mivel ellenőrizzük? a. McNemar próba b. Cocran féle Q-próba c. Illeszkedés vizsgálat Informatikai

Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 12. - 13 Példa 26 12. példa: Az első laboratóriumi érték csökken? Melyik próbát használjuk? a. Fisher próba b. Páros t-próba c. Előjel próba 13. példa: Azonos eloszlású-e az XXX-es és az YYY-os betegek Broka indexe? a. Kétmintás Kolmogorov-Szmirnov próba b. t-próba c. Homogenitás vizsgálat Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 27 14. Példa 14. példa: Tételezzük fel, hogy a WEE, a LEGZE és a kezelés előtti laborparaméterek annyira jellemzőek a betegcsoportokra, hogy értékükből "elég jól" meg lehet mondani, ki milyen betegségben szenved. Van egy új betegünk, akiről az említett változók értékei alapján meg kell mondani, melyik betegségben szenved. Mit használunk ehhez? a. Clusteranalízis b. Diszkriminancia analízis c. Varianciaanalízis Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes

Főiskola Biometria 001 FM029/01 28 15. - 16 Példa 15. példa: Az RA-s betegek ORVU alapján kapott csoportjainak VASU értékei között van-e szignifikáns különbség? a. Cluster-analízis b. Diszkriminancia analízis c. Variancia analízis 16. példa: A kezelés előtti és a kezelés utáni VAS értékei között különbségek mediánja szignifikánsan különbözik-e nullától? a. páros t-próba b. Előjel próba c. Wilcoxon próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 29 17. Példa 17. példa: Tételezzük fel, hogy az SPA-s betegeknél a kezelés utáni labor paraméterek alapján a betegeket állapotuknak megfelelően 5 csoportba szeretnénk beosztani. Mivel tudjuk megcsinálni ezt a beosztást? a. Clusteranalízis b. Diszkriminancia anlízis c. Variancia analízis Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 30 18. - 19 Példa 18. példa: Az EGYEB betegségű

páciensek a rendelésre véletlenszerűen érkezett első 100 közül kerültek ki. Véletlenszerűnek tekinthető-e a férfiak-nők megjelenése a rendelésen? a. Iteráció próba b. Binomiális próba c. Előjel próba 19. példa: Az AAA-s betegek súlyossági állapota a következő: 5, 25, 40, 20 ill. 10 százalékos Megegyezik-e ez a mi adatainkkal? a. Illeszkedés vizsgálat b. Homogenitás vizsgálat c. Kolmogorov-Szmirnov próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 31 20. - 21 Példa 20. példa: Azt sejtjük, hogy betegségcsoporttól függetlenül az egyik labor változó értéke nagyobb, mint egy másik labor változó értéke. Mivel ellenőrizhetjük ezt? a. Fisher próba b. Iteráció próba c. Előjel próba 21. példa: Az EGYEB betegségű pácienseknél a LEGZE nem bizonyult normális eloszlásúnak. Az EGYEB és UUU csoportok LEGZE értékei között van-e szignifikáns különbség? a. t-próba b. Mann-Whittney

féle U próba c. Wald-Wolfowitz próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 32 22. - 23 Példa 22. példa: A VAS javulása és a süllyedés javulása között van-e összefüggés! Mit használjuk? a. Asszociációs együttható b. Spearmann féle rangkorrelációs együttható c. McNemar próba 23. példa: Van-e kapcsolat a betegség súlyossági állapota (ALLAP) és azon tulajdonság között, hogy a páciensnek van ugyanolyan betegségben szenvedő rokona? a. McNemar próba b. Asszociációs együttható c. Kontingencia együttható Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 33 24. - 25 Példa 24. példa: A különböző súlyossági állapotokban lévő betegek kezelés előtti laborparaméterei értékei között van-e szignifikáns különbség? a. t-próba b. Mann-Whitney próba c. Varianciaanalízis 25. példa: Az SLE-s betegek kezelés előtti VASE és a kezelés utáni

VASU értékei között van-e szignifikáns különbség? (Tudjuk: VASU nem normális) a. Wilcoxon próba b. páros t-próba c. Wald-Wolfowitz próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 34 26. - 27 Példa 26. példa: Az SPA-soknál van-e lineáris összefüggés a súlyossági állapot és a betegség kezdetekori életkor között? a. Korrelációs együttható b. Spearman féle rangkorrecációs együttható c. Lineáris regresszió 27. példa: Az XXX betegségű pácienseknél a kezelés előtti légzési kitérés (LEGZE) nem normális eloszlású. Van-e szignifikáns különbség a LEGZE és a LEGZU értékek között? a. páros t-próba b. Mann-Whittney féle U próba c. Wilcoxon féle előjeles rangpróba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 35 28. - 29 Példa 28. példa: Egy cikkben azt olvastuk, hogy 1200 YYYs beteg 42 százaléka túlsúlyos (Broka indexe nagyobb,

mint 2.12) A mi vizsgálati anyagunkban 1012 közül 277 túlsúlyos. Van-e különbség? a. Valószínűségek összehasonlítása b. McNemar próba c. Asszociációs együttható 29. példa: A betegség súlyossága szerinti csoportok között a kezelés előtti értékekben van-e szignifikáns különbség? a. Kruskall-Wallis próba b. Mann-Whitney féle U próba c. Cochran féle Q-próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 36 30. - 31 Példa 30. példa: Egy cikkben azt olvastuk, hogy az XXX-es betegek Broka indexének átlaga 2.12 A mi betegcsoportunk eltér-e ettől? a. u próba b. t-próba c. Mann-Whittney féle U próba 31. példa: Egy cikkben azt olvastuk, hogy 128 UUU-s beteg közül 36-nak van elsőfokú UUU-s beteg rokona. A mi anyagunkban 100 közül 27-nek van. Van-e különbség? a. Valószínűségek összehasonlítása b. McNemar próba c. Binomiális próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes

Főiskola Biometria 001 FM029/01 32. - 33 Példa 37 32. példa: A VASE (kezelés előtti VAS) és WEE (kezelés előtti süllyedés) között van-a kapcsolat? a. Spearman rangkorrelációs együttható b. Közönséges korrelációs együttható c. Kontingencia együttható 33. példa: A MOD (használt gyógymód) és az ORVU (az orvos véleménye a beteg kezelés utáni állapotáról) között van-e kapcsolat? a. Asszociációs együttható b. Kontingencia együttható c. Spearman rangkorrelációs együttható Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 A PRÓBÁK RÉSZLETES ISMERTETÉSE 38 Bartlett próba k H 0 :  1   2  .   k  2  1 23026( f lg s 2   f lg s 2 ), i i 0 c i 1 k 1 1 1 (  ) c  1 3(k  1) i 1 f i f k f i  (i. minta elemszáma - 1), f   f i i 1   2 Informatikai Alkalmazások Intézete k s2   i 1 f i si2 f 2 k 1; p Gábor

Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Bartlett példa 1. csoport 133,8 125,3 143,1 128,9 135,7 39 2. csoport 3 csoport 4 csoport 151,2 225,8 193,4 149 224,6 185,3 162,7 220,4 182,8 145,8 212,3 188,5 153,5 198,6 6,807936545 6,400234 46,348 40,963 6,10594 6,350354 37,2825 40,327 s  46.35, s  4096, s  3728 és 2 1 2 2 2 3 s42  40.33, c  1113 és végül  02  00383  32;0.05  7815  00383, Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Binomiális próba - 1.eset A minta elemszámát jelölje n, az adott tulajdonság megfigyelt gyakoriságát m. n! n P( x)  0.5 1.eset: 5  n  25 x!(n  x)! 40 A nullhipotézis: A tulajdonság előfordulási valószínűsége nem nagyobb, mint 0.5 (Egyoldalú próba) elutasítjuk P (m)  P (m  1)  .  P (n)  p, Példa: 12 beteg, A és B kezelések. A: 10, B: 2 jobb P (10)  P (11)  P (12)   0.01611  000293  000024  001928

Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Binomiális próba - 2.eset 2. eset: n>25  np  n / 2 z   np (1  p ) p  m n 41 N(0,1) normális eloszlású Példa: 18 nő és 12 férfi van. A nullhipotézis: a populációban a férfiak és a nők aránya megegyezik 18  15  0.5 z  0.932  z005; 2  196, 18  0.4 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Cluster analízis I  I1 , I 2 ,., I n  c  c1 , c2 ,., c p  42 n beteg halmaza tulajdonsághalmaz m csoport (cluster) : egy csoporthoz tartozzanak a "hasonlók" A hasonlóság definíciója függ a tulajdonságoktól. A feladat természetének legjobban megfelelő hasonlóságot a szakemberek (orvos, matematikus) közös megbeszélései, a megadott hasonlóság kipróbálása után lehet megtalálni. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola

Biometria 001 FM029/01 Cochran féle Q-próba 43 1. Tulajd 2 Tulajd k tulajd 1. Egyed 1 0 1 2. Egyed 1 1 0 . n. egyed 0 0 1 k  k 2 2 (k  1) k  G j  ( G j )  j 1 j 1   Q n n k  Li   L i 1 Informatikai Alkalmazások Intézete i 1 2 i Gábor Dénes Főiskola közelítőleg k-1 szabadságfokú  2-eloszlású Biometria 001 FM029/01 Páciens 1 2 3 4 5 6 7 Összesen Cochran példa Január 0 0 1 0 0 0 0 1 Március 0 0 1 1 1 0 0 3 Május 0 0 0 1 0 1 1 3 44 Augusztus 1 1 1 1 0 1 1 6 Október 0 1 0 1 1 1 0 4 Összesen 1 2 3 4 2 3 2 17 17 2   (5  1)1  9  9  36  16   5  52.8  Q   6.947 1  4  9  16  4  9  4 7 . 6 17  5  2  9.488, 4; 0.05 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Diszkriminancia analízis 45 Betegek megfigyelt változóik alapján történő homogén csoportokba való

besorolására használt eljárás. Egy tulajdonság nem elegendő arra, hogy a megfelelő csoportosítást elvégezzük. Olyan betegek változói alapján, akikről tudjuk, hogy melyik csoporthoz tartoznak, megadhatjuk a változóknak egy olyan függvényét, mely alapján a csoportokhoz való tartozás felismerése lehetővé válik. Vagyis: n beteg mindegyikéről tudjuk, hogy melyik csoportba tartozik. Egy új beteget már be tudunk sorolni valamelyik csoportba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Dixon próba 46  X 1  X 2 , ha 3  n  7, X  X n  1  X 1  X 2 , ha 8  n  10,  X 1  X n1 D  X 1  X 3 , ha 11  n  13 és  X 1  X n1  X  X 1 3  , ha 14  n  25.  X 1  X n2 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Dixon próba táblázat Adatok száma 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 Informatikai Alkalmazások Intézete p=10 % p=5 % p=2 % p=1 % 0.886 679 557 482 434 479 441 409 517 490 467 492 472 454 438 424 412 401 391 382 374 367 360 0.941 765 642 560 507 554 512 477 576 546 521 546 525 507 490 475 462 450 440 430 421 413 406 0.976 846 729 644 586 631 587 551 638 605 578 602 579 559 542 527 514 502 491 481 472 464 457 0.988 889 780 698 637 683 635 597 679 642 615 641 616 595 577 561 547 535 524 514 505 497 489 Gábor Dénes Főiskola 47 p=0.5 % 0.994 926 821 740 680 725 677 639 713 675 649 674 647 624 605 589 575 562 551 541 532 524 516 Biometria 001 FM029/01 48 Dixon próba - példa Példa: Kiszámítottuk négy minta átlagát, melyek rendre 157, 326, 177 és 176 . Mivel 326  177  0.882 D 326  157 nagyobb, mint az 5%-os szinthez, ill. a 4 elemszámhoz tartozó 0.765 táblázatbeli érték, ezért a kiugró értéket (jelen esetben a 326-ot) kizárjuk. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes

Főiskola Biometria 001 FM029/01 F-próba 49 Két, egymástól függetlenül becsült szórás összehasonlítására használjuk. A nullhipotézis:  12   22 2 1 2 2 s F ( s1  s2 ) s Az F eloszlás táblázatában a p szinthez  2  (n1  1) F  F1 ; 2 :elvetjük Informatikai Alkalmazások Intézete  2  (n2  1) F1 ; 2 H a :  12   22 :elfogadjuk Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 F próba példa 50 s  33.44, n1  30, s  2255, n2  30 2 1 2 2 33.44 F  1.483  186  F29; 29 22.55 Ekkor, ha 0.05 szignifikancia szinten akarunk dönteni, mivel, ezért a nullhipotézist el kell fogadnunk. Megjegyzés: Az F próba alkalmazása a t-próbánál is fontos. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Friedman-Kendall próba 51 N beteget k különböző feltétel mellett vizsgálunk. Kérdés: az N beteg származhat-e ugyanabból a

populációból. A próbát rangszámok segítségével végezzük k 12 2   Ri j 3 N (k  1).  Nk (k  1) i 1 2 r 2 χ 2 r χ  r;e  3  t)  (t 1     N(k 3  k)    Informatikai Alkalmazások Intézete 1 . 1 . . . j i . k rij . . . N  Gábor Dénes Főiskola Ri Biometria 001 FM029/01 Friedman-Kendall próba - kis mintára N/k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20  Informatikai Alkalmazások Intézete 3 6.000 6.500 6.400 7.000 7.143 6.250 6.222 6.200 6.545 6.167 6.000 6.143 6.400 5.99 5.99 5.99 5.99 5.99 5.99 4 7.4 7.8 7.8 7.6 7.8 7.65 7.66 7.67 7.68 7.70 7.70 7.71 7.72 7.73 7.73 7.73 7.74 7.74 7.82 52 5 8.53 8.8 8.99 9.08 9.11 9.19 9.22 9.25 9.27 9.29 9.30 9.32 9.33 9.34 9.34 9.36 9.36 9.37 9.49 Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 B e te g so rszám a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ri Friedman-Kendall próba - példa  VAS A 4 14 4 6 0 0 12 14 16 6 VAS B 16 6 4 2 18 2 14 16 18 10

VAS C 16 8 12 6 18 16 16 10 16 2 R angsz. A 1 3 1 .5 2 .5 1 1 1 2 1 .5 2 1 6 .5  R angsz. B 2 .5 1 1 .5 1 2 .5 2 2 3 3 3 2 1 .5 53 R angsz. C 2 .5 2 3 2 .5 2 .5 3 3 1 1 .5 1 22 2  21.52  222  12 16 . 5 χ2   3 10  4  1.850 r 10  3  4 3   5 ( 2 2 )   2   2.114   1.850 / 1  r; e  10  24    Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Homogenitás vizsgálat 54 A nullhipotézis: két minta azonos eloszlású sokaságból származik. Jelölje r a csoportok számát, n és m az egyes minták elemszámait és x1 , x2 ,., xr illetve y1 , y2 ,, yr az egyes gyakoriságokat. x y r 1 2 2 i i (  )   mn  0 i  1 xi  yi n m   : 2 0 2 p a hipotézis p szinten érvényes, ellenkező esetben nem. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Homogenitás vizsgálat - példa nem közepesen fáj fáj

1. csoport 2. csoport Összesen   5.495, 2 0 2 8 10 16 18 34 nagyon fáj 55 Összesen 22 14 36 40 40 80 2  5.495<5991= 2;005 a homogenitási hipotézist 5 %-os szinten nem vetjük el. Megjegyzés: Csinálhatnánk a megoldást a kétmintás Kolmogorov-Szmirnov próbával is. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Illeszkedés vizsgálat - diszkrét eset r  i  Npi  i 1 Npi   2 0 56 2 (r-1) paraméterű 2 eloszlású Példa: Egy vizsgálatba 1200 személyt vontak be hat körzetből: 184, 212, 190, 208, 212 és 194 pácienst. Igaz-e, hogy minden körzetből egyforma valószínűséggel kerültek a mintába? Megoldás: A nullhipotézis: Az adódik, hogy=3.72, míg a táblázatban a 0.05 szinthez 111 kritikus érték olvasható ki, így a hipotézist elfogadjuk. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Illeszkedés vizsgálat -

folytonos eset 57 A nullhipotézis: H 0 : P (  x)  F ( x)    z0  z1  .  zr   r  1 , 2 ,., r ( i ) i 1  i  10   i  N  F ( zi )  F ( zi1 )    N  F ( zi )  F ( zi 1 )  i 1 r 2 0 (r-1) paraméterű 2 eloszlású Iteráció próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 58 Kapcsolatok vizsgálata Asszociációs együttható "A" tulajdonság "B" Tulajdonság van nincs van a c nincs b d összes a+b c+d összes a+c b+d n=a+b+c+d A nullhipotézis: a két tulajdonság független. 2  ( ad bc ) ad  bc N Q . (a  b)(a  c)(b  d )(c  d ) ad  bc 1 paraméterű 2 eloszlású Kis minta Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Asszociációs együttható - példa Rendelkezik Férfi Nő Öszszesen 35 28 63 Nem rendelkezik 14 25 39

59 Összesen 49 53 102 Van-e kapcsolat a nem és a rendellenesség között? 35  25  28 14 Q  0.38 35  25  28 14 2 2 ( 35 25 28 14 )    1, 0.05  384  2  102   3.7292 49  53  63  39 elfogadjuk Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Kontingencia együttható 60 Két változó kapcsolatát vizsgáljuk. A hipotézis: a két változó független.  X változó Y változó 1.csop 2.csop 2.csop 11 21 12 22      1 2 1.csop i-edik csop  r-edik csop  i1 r1 i2 r2 Informatikai Alkalmazások Intézete j-edik csop    1j 2 j  ij    rj  j s-edik csop    1s 2s  is     s N Gábor Dénes Főiskola rs 1 2  i r Biometria 001 FM029/01 c Kontingencia együttható - képletek 

r s   N  2 2 n  2 61  i  j   )  ij  N   2  i  j i 1 j 1 A nullhipotézis fennállása esetén ez utóbbi (rs-1) paraméterű (szabadságfokú) 2 -eloszlású. 2. változó 1 2 3 Oszlop összes 1 1 1 0 2 Kontingencia együttható Informatikai Alkalmazások Intézete 1. változó 2 2 23 0 25 Érték .56134 3 1 6 6 13 Sor összes 4 30 6 40 Szignifikanciaszint .00103 Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Közönséges korreláció 62 1  n  n  xi yi    xi   yi   n  i 1  i 1  i 1 r 2 2 n n n n  1 1     2 2  xi    xi    yi    yi   n  i 1    i 1 n  i 1    i 1 n 2  1 r   Kis n esetén: * r  r 1   2 ( 3 ) n    n2 A függetlenségi hipotézis: r 1 r2 (n-2) szabadságfokú

Student (t-) eloszlású. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 63 Közönséges korreláció - példa x y 2,3 4,7 -2 -4 11 22 -3 -3,1 6,5 12,1 Szum 14,8 31,7 0,96 x2 y2 5,29 22,1 4 15,9 121 484 9 9,3 42,3 145 182 677 xy 10,8 7,98 242 9,15 78,4 348 0,99 0,98 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Két korrelációs együttható összehasonlítása 64 1  r1 1  r2  1 / 2 ln 1 / 2 ln 1  r2 1  r1 1 1  n1  3 n2  3 Ez N(0,1) normális eloszlású. Példa: Két változó között egy 28 elemű mintában 0.6, egy 23 elemű mintában 08 a korr egyh Elfogadható-e az egyenlőségük? Megoldás: Behelyettesítve az adott értékeket, 1.35-öt kapunk. Mivel ez kisebb, mint 196, a hipotézist nem vethetjük el 0.05 szinten Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 65 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor

Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Spearman féle rangkorreláció -1 A függetlenségi hipotézis: a két változó független n egymástól 6 di2 rS  1  i 21 nn  1 Ha volt rangszám egyezés és t egy ilyen közös rangszám előfordulási száma, akkor 3 3 3 t t n n n n   Ty , és ,x T   Tx , y  12 12 12 n rs  Informatikai Alkalmazások Intézete x  y   di2 i 1 2 xy Gábor Dénes Főiskola . Biometria 001 FM029/01 66 Spearman féle rangkorreláció -2 67 n  30 n2  t  rs (n  2) szabadságfokú Student eloszlású 2 1  rs  t  tn2, 2 p : a hipotézist elutasítjuk p szign. szinten Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Spearman féle rangkorreláció -3 n<30 rn; p p n 5% p>0.05 1% p>0.01 p n 5% p>0.05 1% p>0.01 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0.886 0.786 0.738 0.700 0.648 0.618 0.587

0.560 0.538 0.521 0.503 0.485 1.000 0.929 0.881 0.883 0.794 0.755 0.727 0.703 0.679 0.654 0.635 0.615 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0.472 0.460 0.447 0.435 0.425 0.415 0.406 0.398 0.390 0.382 0.375 0.368 0.600 0.584 0.570 0.556 0.544 0.532 0.521 0.511 0.501 0.491 0.483 0.475 68 rs  rn; p : a két változó korrelált Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Spearman féle rangkorreláció -példa 69 x 5 15 23 25 10 35 13 30 16 18 y 7 17 12 21 5 20 15 11 10 6 Tx 1 4 7 8 2 10 3 9 5 6 Ty 3 8 6 10 1 9 7 5 4 2 2 d 4 16 1 4 1 1 16 16 1 16 10 d 2 i  76, rs  1  6  76 /10100  1  i 1  0.5394  r10, 005  0648 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Nem utasítjuk el. Biometria 001 FM029/01 Kolmogorov-Szmirnov próba Konfidenciaintervallumok 70 Kolmogorov-Szmirnov próba: Normalitás vizsgálatára használjuk, vagy annak eldöntésére, hogy egy

csoport két független változója,vagy két csoport valamilyen változója ugyanolyan eloszlású-e! Konfidenciaintervallum: Azt az intervallumot, amelyik egy ismeretlen értéket (középérték, medián, szórás, variációs együttható, relatív gyakoriság, stb.) egy meghatározott valószínűséggel tartalmaz, megbízhatósági tartománynak vagy konfidenciaintervallumnak (röviden KI) nevezzük. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 A medián konfidencia intervalluma x x(1) , x( 2 ) ,., x( n ) n h n h n h n h n h n h n h n h n h n h 1 16 3 31 9 46 15 61 22 76 28 91 35 106 42 121 49 136 56 2 17 4 32 9 47 16 62 22 77 29 92 36 107 42 122 49 137 56 3 18 4 33 10 48 16 63 23 78 29 93 36 108 43 123 50 138 57 n  51 : Informatikai Alkalmazások Intézete 4 19 4 34 10 49 17 64 23 79 30 94 37 109 43 124 50 139 57 ( h 1) 5 20 5 35 11 50 17 65 24 80 30 95 37 110 44 125 51 140 57 6 0 21 5 36 11 51 18 66 24 81 31 96

37 111 44 126 51 141 58 7 0 22 5 37 12 52 18 67 25 82 31 97 38 112 45 127 51 142 58 8 0 23 6 38 12 53 18 68 25 83 32 98 38 113 45 128 52 143 59 9 1 24 6 39 12 54 19 69 25 84 32 99 39 114 46 129 52 144 59 71 ; x( nh )  10 1 25 7 40 13 55 19 70 26 85 32 100 39 115 46 130 53 145 60 11 1 26 7 41 13 56 20 71 26 86 33 101 40 116 46 131 53 146 60 12 2 27 7 42 14 57 20 72 27 87 33 102 40 117 47 132 54 147 61 13 2 28 8 43 14 58 21 73 27 88 34 103 41 118 47 133 54 148 61 14 2 29 8 44 15 59 21 74 28 89 34 104 41 119 48 134 55 149 62 15 3 30 9 45 15 60 21 75 28 90 35 105 41 120 48 135 55 150 62 h  n  1  1.96 n  / 2 Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 A relatív gyakoriság konfidencia intervalluma x p n 72 1. eset: np  5 és n(1  p )  5 p (1  p ) x  0.5 p (1  p )   x  0.5 ;  1.96  1.96   n n n   n 2. eset: np  5 vagy n(1  p )  5   ( x  1) F2 ( x1), 2 ( n x ) x   , 

 n  x  ( x  1) F x ( n x 1 ) F    2 ( x 1), 2 ( n  x ) 2 ( n  x 1), 2 x   Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Kruskal-Wallis próba k független minta származhat-e ugyanabból a populá2 k cióból. R 12 j H  3( N  1),  N ( N  1) j 1 n j 1. kis minta: k  3; 2  n1  5; 1  n2  4; 1  n3  3; n1  n2  n3 2. egyéb minta: 2 k Rj 12  3( N  1)  N ( N  1) j 1 n j H , ahol T  t 3  t. T  (1  3 ) N N Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 73 Mann-Whitney féle U próba 74 X 1 , X 2 ,., X m és Y1 , Y2 ,, Yn H0 : X  Y . Egyesítsük a két mintát és rangsoroljuk őket. Jelölje W az első minta rangszámainak összegét. Normális közelítés: m és n nagyobb, mint 8, akkor m(n  1) mn W  2 2 Z mn(m  n  1) 12 Informatikai Alkalmazások Intézete

közelítőleg standard normális eloszlású. Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Mann-Whitney féle U próba - példa 75 Példa: H0 : A férfi és női egyetemi hallgatók magassága megegyezik HA : A férfi egyetemi hallgatók magassága nagyobb, mint a nőké Férfiak: 170,169,167,166,165,165,165,163,161 Nők: 174,173,172,172,171,170,164,160 A megfelelő rangszámok: 6.5,8,9,10,12,12,12,15,16 illetve 1,2,3.5,35,5,65,14,17 Esetünkben W=52.5, m=8, n=9, s így Z=22612 H0 0.024 szinten elut 1   (2.2612)  00120 HA 0.012 szinten elfog Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 76 Mc Nemar próba Négymezős táblázatban azt vizsgálhatjuk hogy azonos N számú egyeden valamilyen alternatív tulajdonság hogyan alakul két különböző feltétel vagy vizsgálati módszer mellett. I. módszer negatív A C II. módszer pozitív II. módszer negatív (B  C) 2   BC Informatikai Alkalmazások

Intézete 2 I. módszer pozitív B D  B  C  1 2   2 Gábor Dénes Főiskola BC Biometria 001 FM029/01 Mc Nemar próba 77 Példa: 10 páciens kapott gyógyszer ill. placebot megfelelő szünetet követően. Placebo Pozitív Negatív Gyógyszer Pozitív Negatív 1 1 8 0 2=4.0000, p=00391, s így a gyógyszer hatásosabb, mint a placebo. Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Regressziós függvény log y  a  bx y  a  b log x log y  a  b log x Regressziók 78 Megoldandó egyenletrendszer an  b x   y a  x  b x 2    x log y  an  b log x   y a  log x  b (log x) 2    y log x  an  b log x   log y a  log x  b (log x) 2   log x log y  y  ab x n log a  log b x   log y log a  x  log b x 2    x log y  y  a  bx  cx 2 an  b x

 c  x 2   y a  x  b x 2  c  x 3   xy   a  x 2  b x 3  c  x 4   x 2 y MULTIPLE REGRESSION Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 t-próbák 79 Van két normális eloszlású mintánk, melynek szórásai különböznek. Ellenőrizni akarjuk a (két oldalú) H 0 : m1  m2 Hipotézist. s s      n1 n2  2 1 2 2 2 x1  x2 , ez f = t 2 4 4 2 s1 s2 s1 s2  2  2 n1 (n1  1) n2 (n2  1) n1 n2 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 80 Páros t-próba Elemek Átlag x y d x1 , x2 ,., xn y1 , y2 ,., yn d1 , d 2 ,., d n 1.m 2.m Kül n n sd  d  2 i i 1 d i i 1 n . n(n  1) Informatikai Alkalmazások Intézete d t n-1 szabadságfokú sd Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Valószínűségek összehasonlítása Az esemény bekövetkezett

1. minta 2. minta Összesen N1  N 2 Az esemény nem következett be x1 x2 x 81 Összesen N1  x1 N2  x2 Nx N1 N2 N p1  x1 / N1 és p2  x2 / N 2 x  xb esetén amennyiben p1  p2 : Pb   amennyiben p1  p2 : 2 Pb  2 x  x j esetén amennyiben p1  p2 : Pj   amennyiben Informatikai Alkalmazások Intézete p1  p2 : 2 Pj  2 Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 82 Valószínűségek összehasonlítása Példa: 22 balkezes között 8, 36 jobbkezes között 10 esetben észleltünk valamilyen elváltozást. Van-e különbség a két csoport között? Megoldás: N1  22, N 2  35, N  58, x1  8, x  18, nincs szignifikáns különbség Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Variációs együtthatók összehasonlítása 83 n1 , n2  30 V1  V2 2 2 V1 / 2n1  V2 / 2n2 N(0,1) normális eloszlású. Példa: A mintában 0.1, egy másik

mintában 013 lett a variációs együttható. Mindkét minta 30 elemű Van e különbség a variációs együtthatók között? 0.10  013 z  1.417 <196 2 2 0.10 / 60  013 / 60 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Variancia-analízis 84 H 0 : m1  m2  .  mk k 1 k x   ni xi , ahol N   ni N i 1 i 1 k Q1 Q1   ni ( xi  x ) , s  k 1 i 1 2 k 2 1 ni Q2 , Q2   ( x  x ) , s  nk i 1 j 1 (i ) j s12 s22 2 2 2 hányadosra F próbát végzünk (a számláló szabadságfoka k-1, a nevezőé n-k). Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Wilcoxon féle előjeles rangpróba 85 n megfigyeléspárunk van. A nullhipotézis: a két minta átlaga között nincs szignifikáns különbség. Képezzük az értékek közötti különbségeket (mindig az első minta eleméből vonva ki a másodikat). A

különbségeket jelölje di A nullákat elhagyva marad N különbség. A | di | különbségeket rendezve legyen Ta negatív különbségek rangszámainak összege. N  25 Informatikai Alkalmazások Intézete N > 25 Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Algoritmus - 1 86 1. Egy minta van 1.1 Minden változónak egy mért értéke van 1.11 Két változó kapcsolatának vizsgálata a. Mindkét változó hányados típusú Korreláció Regresszió b. Egyik változó ordinális típusú Spearmann-féle rangkorr. c. Egyik változó nominális típusú Kontingencia együttható Asszociációs együttható Fisher próba 1.12 Több változó kapcsolatának vizsgálata Regresszió 1.13 Irodalomban talált vagy sejtett értékkel való összehasonlítás a. Normalitásvizsgálat Kolmogorov-Szmirnov b. Eloszlásvizsgálat Homogenitás vizsgálat c. Adott átlaggal való összevetés t-próba (1. pont) 1.14 Kiugró érték ellenőrzése Dixon próba Informatikai

Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 87 Algoritmus - 2 1.2 Minden változónak két vagy több mért értéke van (pl kezelés előtt-után vagy 1. asszisztens mérése, 2 asszisztens mérése, 1.21 Páros értékek összehasonlítása Előjel próba 1. eset 1.22 Páros értékek mediánjának összehasonlítása Előjel próba 2. eset 1.23 Eloszlásvizsgálat Friedman-Kendall 1.24 Két középérték összehasonlítása páros, normális: Páros t-próba páros, nem normális: Wilcoxon féle előjeles rangpróba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Algoritmus - 3 88 2. Kettő vagy több független minta van 2.1 Minták átlagainak összehasonlítása 2.11 Két minta, ordinális változók esetén Mann-Whitney féle U próba 2.12 Két minta, normális esetben t-próba 2. eset 2.13 Párosított minták Páros t-próba Wilcoxon féle előjeles rangpróba 2.14 Több minta - normális

esetben Variancia analízis - nem normális esetben Kruskal-Wallis próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Algoritmus - 4 89 2.2 Minták szórásainak összehasonlítása a. Két minta esetén F-próba b. Több minta esetén Bartlett próba 2.3 Két minta eloszlásának összehasonlítása a. Mindkét minta ugyanannyi csoportra van osztva Homogenitás vizsgálat b. Mint előző, csak két csoporttal Valószínűségek összehasonlítása Fisher próba c. Nem kell csoport beosztás Wald-Wolfovitz próba Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 Algoritmus - 5 3. Valamely minta csoportokra való osztása 4. Meglévő csoportokba besorolás 5. Véletlenszerűség vizsgálat 6. Konfidenciaintervallum megadása 7. Vizsgálati módszerek összehasonlítása: a. két módszer esetén b. több módszer esetén 8. Tulajdonság előfordulásának gyakorisága 9. Egyéb Informatikai

Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola 90 Cluster analízis Diszkriminancia analízis Iteráció próba Középérték, Medián, Szórás, Variációs együttható, Relatív gyakoriság McNemar próba Cochran féle Q-próba Binomiális próba Forduljon matematikushoz Biometria 001 FM029/01 Statistical Packages for Social Sciences Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 91 FM029/01 92 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 93 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 94 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 95 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 96 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 97 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria

001 FM029/01 98 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 99 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01 100 Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Biometria 001 FM029/01